奥数-分式恒等变形学
奥数-分式恒等变形学
分式恒等变形方法一、通分：直接通分；逐步通分；移项通分；分组通分；分母因式分解再通分。
例1. 若22004a m +=，22003b m +=，22002c m +=且24abc =，求111a b c bc ca ab a b c++---的值。
例2. 若0abc ≠，0a b c ++=，求222a b c bc ac ab++的值。
例3. @例4.求证：2220()()()()()()a bcb ac c baa b a c a b b c c b a c ---++=++++++例5. 设正数x ，y ，z 满足不等式2222x y z xy +-+2222y z x yz +-+2222z x y xz+->1,求证x ，y ，z 是某个三角形的三边长例6. 求分式248161124816111111a a a a a a +++++-+++++，当2a =时的值．；例7. 若1111a b c a b c ++=++，求证：7777771111a b c a b c ++=++.例8. 化简:()()()()()()a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a ------+++++++++．！例9. 计算：2132x x x -++262x x ---2104x x ---．例10. 化简2232233223222244113a b a b a a b ab b a a b ab b a b a b a b +++--+++-+--+-．例11.#例12.化简：()()()()()()222222222222a b c b c a c a b a c ba b cb c a------+++-+-+-例13. 已知0a b c ++=，求证2222222221110b c a a c b b a c ++=+-+-+-例14. 已知0a b c ++=，求222222222a b c a bc b ac c ab+++++的值…例15. 已知1,2xyz x y z =++=，22216x y z ++=，求代数式111222xy z yz x zx y+++++的值。
分式与恒等变形-初中数学联赛题型解读系列(二)
a b ________． 【解析】 首先应该将等式化简，然后根据等式的形式再作进一步的分析， 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 a 1 1 1 1 1 1 1 b a b a b 1 1 1 1 1 1 1 1 a b 1 1 1 1 1 1 a b 2 2 a b a b a b a 2 b2 a 2 b2 a b a 2 b2
（2） 连等比例式求值 这类问题一般可以找出几个字母或者代数式间的之间的比例关系，然后带入目标分式求值。 2 3 5 5x y 【例2】 （2007 年联赛）已知 x, y, z 满足 ，则 的值为（ ） x yz zx y 2z A．1 B．
1 3
C．
1 3
D．
1 2
【解析】 B ．由 （3） 裂项
1 ab 2 1 1 ab 3 a b
∴ 3b 2 3a 2 4 ， ∴ 3b 2 1 ，3a 2 4 或 3b 2 1 ， ∴ 3ab 2a 2b 0 ，
3a 2 4 ，∴ a 2 ， b 1 ，∴ a b 3 ，其中，后式无整数解，舍去．
【解析】 由已知可得
9 9 9 10 3 9 3 7 ． bc ca ab 9
【例7】 （2011 年联赛） 已知 为（ A．1 ）
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 ， ， ， 则 的值 x yz 2 y zx 3 z x y 4 x y z
式，且有 a b ， a b c ，则 N _________ 【解析】 4 ． x2 x 2 x 2 x 1 ，所以 a 2, b 1, c a b 1 ，所以
分式的恒等变形
分式的恒等变形————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：ﻩ第二讲 分式的恒等变形 【专题知识点概述】 分式的恒等变形是代数式恒等变形的一种。
它以整式恒等变形为基础,并结合分式自身的特点,因此更具有独特的复杂性和技巧性,在数学竞赛中常常出现有关这方面的命题。
分式的恒等变形涉及到的主要内容有:分式性质、概念的灵活应用,分式的各种运算、化简、求值及恒等证明等等。
一:基本知识 1.分式的运算规律 (1）加减法:)(同分母cb ac b c a ±=± )(异分母bcbd ac c d b a ±=± （2）乘法：bdac d c b a =• （3）除法：bcad d c b a =÷ （4）乘方：n nn ba b a =)( 2.分式的基本性质（１))0(,≠÷÷==m mb m a b a bm am b a (2）分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个，分式的值不变。
３.比例的重要性质(1）如果ef b a e f c d c d b a ===那么,(传递性） (2）如果bd ac cd b a ==那么（内项积等于外项积） (3)如果)(合比性质那么cd c b b a d c b a ±=±= (4)如果)()0(,合分比性质那么db d bc a c ad b d c b a -+=-+≠-= (5）如果,0,≠+++==n d b nm d c b a 且 那么)(等比性质ba n db mc a =++++++4.倒数性质（1）如果两个数互为倒数，那么这两个数的乘积为1。
（2)如果两个数互为倒数，那么这两个数的同次幂仍互为倒数。
（3）如果两个正数互为倒数,那么这两个正数的和不小于2。
二、有关分式的运算求值问题乘法公式是进行整式恒等变形的常用的重要的工具，我们通过下面的例题来说明在整式的恒等变形中,如何灵活巧妙的运用乘法公式。
分式的恒等变形
c
b
a
abc
第二讲：分式的恒等变形
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例 15.如果 p, q, 2 p 1, 2q 1都是整数，且p 1, q 1,求p q的值 。
qp
三、有关分式的化简问题 例 16.化简 a b b c c a (a b)(b c)(c a) 。
a b b c c a (a b)(b c)(c a)
c ab c2
0
求 a b c 的值。
(bc a2 )2 (ac b2 )2 (ab c2 )2
例 5.已知 x y z 1, a b c 0,
abc xyz
求 x2 y2 z2 的值。
a2 b2 c2
第二讲：分式的恒等变形
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例 6.已知 x+y+z=3a ( a 0 ,且 x、y、z 不全相等)， 求 (x a)( y a) ( y a)(z a) (z a)(x a) 的值 。
2
第二讲：分式的恒等变形
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例 9.已知 x 1 ，试求分式 x2 的值。
x2 x 1 4
x4 x2 1
例 10.已知三个不全为零的数 x、y、z 满足 4x 3y 6z 0 ，
x
2y
7z
0 。求
2x2 3y2 6z2 x2 5y2 7z2
的值。
例 11.若 x、y、z 为有理数，且
b
c
（4）如果 a c , (b d 0)那么 a c b d (合分比性质)
bd
ac bd
（5）如果 a c m ,且b d n 0,
bd
n
那么 a c m a (等比性质) b d n b
初中数学精品教学设计：分式的恒等变形微设计
《分式的恒等变形》微设计学习目标:1．指导学生初步学会利用拆项添项、取倒数、引入参数等技巧进行分式恒等变形；2．通过分式的恒等变形，体会化繁为简的乐趣，强化方程、转化等数学思想；3．经历探究过程，激发学生学习数学的兴趣，提高学习数学的自信心.学习重点：引导学生合理选择方法化繁为简.学习难点：针对分式特征运用技巧解题.教学过程：一、知识概述分式的恒等变形是代数式恒等变形的一种.它以整式恒等变形为基础，并结合分式自身的特点，因此更具有独特的复杂性和技巧性.分式的恒等变形的依据主要有：1.分式的基本性质2.分式的运算规律3.比例的重要性质①传递性e f b a e f c d c d b a ===那么如果, ②基本性质bd ac c d b a ==则若③合比性质c d c b b a d c b a ±=±=那么如果 ④等比性质,0,≠+++==n d b n m d c b a 且如果ba n db mc a =++++++ 那么 4.倒数的性质二、例题解析例1 化简 1111(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)x x x x x x x x +++++++++++的结果是 . 分析：由于111111,(1)(2)12(2)(3)23x x x x x x x x =-=-++++++++，… ，将每一项拆成两项后正好可以两两抵消.例2 已知x 、y 、z 满足235x y z z x ==-+，则52x y y z -+的值为 . 分析：由235x y z z x==-+可得x 、y-z 、z+x 的比为2:3:5，因此可设参数来化简所求分式. 例3 已知2,3,4xy xz yz x y x z y z===+++，求7x +5y -2z 的值. 分析：直接化简,,xy xz yz x y x z y z +++求x 、y 、z 比较麻烦，但是这三个分式的倒数分别是11x y +、11x z +、11y z +因此可考虑将三个分式取倒数，分别先求出1x 、1y 、1z的值.三、感悟提升。
分式的基本性质恒等变形28页PPT
分式的基本性质恒等变形
6
、
露Hale Waihona Puke 凝无游氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
分式(三)分式恒等变形
分式（三）分式恒等变形【学习目标】1.学习分式恒等变形常用的各类技巧方法.2.锻炼代数计算能力.3.增强轮换对称式的认识和理解.【专题简介】分式恒等变形可以包括各类代数技巧，课内大型考试不涉及，但是小型周练和老师平时的拓展会大量涉及.分式恒等变形为联赛考察热点之一，变形复杂，难度较大，学习的关键在于基本计算能力和轮换对称式的理解，同学们在学习的时候应注意多练习自己的代数计算能力，不要怕算，更不能不算，大多数题目的技巧都是计算过后才能发现和总结的.【专题分类】1、整体代入：2、连等式：3、配项法：4、乘法公式与因式分解：题型1 整体代入基础夯实【例1】已知a2－3b2＝2ab，求2a ba b+-的值.【练1】(1)若x＋y＝－4，xy＝－3，求11x+＋11y+的值.(2)已知1x＋1y＝5，求2522x xy yx xy y-+++的值.强化挑战【例2】当x分别取值12007，12006，12005，…，12，1，2，…，2005，2006，2007时，计算代数式2211xx-+的值，将所得的结果相加，其和等于( )A.－1B.1C.0D.2007【练2】对于正数x ，规定f (x )＝1x x +，例如f (3)＝313+＝34，f (13)＝13113+＝14，计算：f (12013)＋f (12012)＋f (12011)＋…＋f (13)＋f (12)＋f (1)＋…＋f (2011)＋f (2012)＋f (2013)＝题型2 连等 基础夯实【引例】若2x ＝3y ＝4z，求222234xy yz zx x y z ++++的值.【例3】(第20届“希望杯”全国数学邀请赛初2第1试)若a b c +＝b c a +＝c a b +，则223a b ca b c+++-＝ .【练3】(“希望杯”邀请赛试题)若a b ＝b c ＝c d ＝d a ，则a b c da b c d-+-+-+的值为 .强化挑战 【拓3.1】已知x y z u ++＝y z u x ++＝z u x y ++＝u x y z ++，求x y z u ++＋y zu x++＋z u x y ++＋u x y z ++的值.【拓3.2】已知x b c a +-＝y c a b +-＝za b c+-，求(b －c )x ＋(c －a )y ＋(a －b )z 的值.【拓3.3】(第20届“希望杯”全国数学邀请赛初2第2试)已知实数x ，y ，z 满足1x x +＝2y y +＝3z z +＝3x y z++，则x ＋y ＋z ＝ .【拓3.4】已知y z x x y z +-++＝z x y y z x +-+-＝x y zz x y+-+-＝p .求p 3＋p 2＋p 的值.【拓3.5】已知p ＋q ＋r ＝9，且2p x yz -＝2q y zx -＝2r z xy -，求px qy rz x y z++++的值.【拓3.6】已知x ，y ，z 互不相等，x ＋1y ＝y ＋1z ＝z ＋1x＝k ，求 (1)xyz 的值； (2)k 的值.题型3 配项法(拆添) 强化挑战【例4】已知实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝11与1a b +＋1b c +＋1c a +＝1317，求a b c +＋b c a +＋ca b+的值.【练4】(2012年全国初中数学竞赛)如果a ，b ，c 是正数，且满足a ＋b ＋c ＝9,(不完整)【例5】若x y z +＋yz x+＋z x y +＝1，求2x y z +＋2y z x +＋2z x y +的值.【练5】若2x y z +＋2y z x +＋2z x y +＝0，求x y z +＋yz x+＋z x y +的值.巅峰突破 【例6】已知a b c -＋b c a -＋ca b -＝0，求证：()2a b c -＋()2b c a -＋()2c a b -＝0.【练6】(2015年联赛初二组)已知()2ab c -＋()2bc a -＋()2ca b -＝0，求证：a b c -＋b c a -＋ca b-＝0【例7】已知a 、b 、c 满足a 2＋b 2＋c 2＝1，a (1b ＋1c )＋b (1a ＋1c)＋c (1a ＋1b )＝－3,那么a ＋b ＋c 的值为多少?【练7】已知非零实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，求证：(a b c -＋b c a -＋c a b -)(c a b -＋a b c -＋bc a-)＝9.题型4 乘法公式与因式分解 强化挑战【例8】已知xyz ＝1，x ＋y ＋z ＝2，x 2＋y 2＋z 2＝16，求代数式12xy z +＋12yz x +＋12zx y+的值.【练8】(2012年全国初中数学联赛1试)已知实数a ，b ，c 满足abc ＝－1，a ＋b ＋c ＝4，231a a a --＋231bb b --＋231cc c --＝49，求a 2＋b 2＋c 2的值.【拓8】a ，b ，c 是实数，若2222b c a bc +-，2222c a b ac +-，2222a b c ab+-之和恰等于1，求证：这三个分式的值有两个为1，一个为－1.第6讲 七年级尖端班课后作业分式（三）分式恒等变形【习1】实数a 、b 满足ab ＝1，记M ＝11a +＋11b +，N ＝1a a +＋1b b +，则M 与N 的关系是：( ) A .M ＞NB .M ＝NC .M ＜ND .不确定【习2】若1a ＋1b ＝5a b+，则22b a ＋22a b ＝ .【习3】当x 分别取值2013，2012，2011，…，3，2，1，…，12011，12012，12013；计算代数式2211x x -+的值，将所得的结果相加，其和等于( ) A .－1 B .1 C .0 D .2009 【习4】如果a ＋b ＋c ＝1，11a +＋12b +＋13c +＝0，那么(a ＋1)2＋(b ＋2)2＋(c ＋3)2的值为( ) A .36B .16C .49D .0【习5】有这样一组数据a 1，a 2，a 3，…，a n ，满足以下规律，a 1＝12，a 2＝111a -，a 3＝211a -，…，a n＝111n a --(n ≥2且n 为正整数)，则a 2013的值为 .(结果用数字作答)【习6】设有理数a 、b 、c 都不为零，且a ＋b ＋c ＝0，则2221b c a +-＋2221c a b +-＋2221a b c +-的值是( )A .正数B .负数C .零D .不能确定【习7】设1x －1y ＝14，求2322y xy x y x xy +---的值.【习8】已知x y ＝12，求2222x x xy y -+·22x y x y -+＋2y x y -的值.【习9】已知2m ＋n ＝0，求分式222m nm n +-·(m ＋n )的值.【习10】已知2x ＋y ＝0，求22x y x xy -+·(x 2－y 2)÷2244x xy y x-+的值.【习11】(全国数学竞赛)若4x －3y －6z ＝0，x ＋2y －7z ＝0(xyz ≠0)，求222222522310x y z x y z +---的值.【习12】若x y z z +-＝x y z y -+＝x y z x-++，求()()()x y y z z x xyz +++的值.【习13】若x ＋y ＋z ＝3，则()()()()()()333111111x y z x y z ----+-+-的值是 .【习14】已知x＋y＋z＝3a(a≠0)，那么()()()()()()()()()222x a y a y a z a z a x ax a y a z a--+--+---+-+-的值是.【习15】已知有理数a、b、c满足1a＋1b＋1c＝1a b c++，求证：a＝－b，或b＝－c，或c＝－a.【习16】已知3x y+＝4y z+＝5z x+，则222x y zxy yz zx++++＝.【习17】设a＋b＋c＝0，求222aa bc+＋222bb ac+＋222cc ab+的值.【习18】已知xyz＝－6，x＋y＋z＝2，x2＋y2＋z2＝14，求代数式12xy z+＋12yz x+＋12zx y+的值.【习19】已知abc＝1，a＋b＋c＝2，a2＋b2＋c2＝3，求11ab c+-＋11bc a+-＋11ca b+-的值.【习20】设x，y，z为互不相等的非零实数，且x＋1y＝y＋1z＝z＋1x，求证：x2y2z2＝1。
高中数学竞赛讲义---代数式的恒等变换方法与技巧
1—1 代数式的恒等变换方法与技巧一、代数式恒等的一般概念定义1 在给定的数集中，使一个代数式有意义的字母的值，称为字母的允许值。
字母的所有允许值组成的集合称为这个代数式的定义域。
对于定义域中的数值，按照代数式所包含的运算所得出的值，称为代数式的值，这些值的全体组成的集合，称为代数式的值域。
定义2 如果两个代数式A 、B ，对于它们定义域的公共部分（或公共部分的子集）内的一切值，它们的值都相等，那么称这两个代数式恒等，记作A=B 。
两个代数式恒等的概念是相对的。
同样的两个代数式在它们各自的定义域的某一个子集内是恒等，但x =，在x≥0时成立，但在x<0时不成立。
因此，在研究两个代数式恒等时，一定要首先弄清楚它们在什么范围内恒等。
定义3 把一个代数式变形成另一个与它恒等的代数式，这种变形称为恒等变换。
代数式的变形，可能引起定义域的变化。
如lgx 2的定义域是(,0)(0,)-∞+∞ ，2lgx 的定义域是(0,)+∞，因此，只有在两个定义域的公共部分(0,)+∞内，才有恒等式lgx 2=2lgx 。
由lgx 2变形为2lgx 时，定义域缩小了；反之，由2lgx 变形为lgx 2时，定义域扩大了。
这种由恒等变换而引起的代数式定义域的变化，对研究方程和函数等相关问题时也十分重要。
由于方程的变形不全是代数式的恒等变形，但与代数式的恒等变形有类似之处，因此，在本节里，我们把方程的恒等变形与代数式的恒等变形结合起来讨论。
例1：设px =有实根的充要条件，并求出所有实根。
由于代数式的变形会引起定义域的改变，因此，在解方程时，尽量使用等价变形的方法求解。
这样可避免增根和遣根的出现。
解：原方程等价于222(0,0x p x x x ⎧-=-⎪⎨-≥≥⎪⎩222222(4)4448(2)441330440,0p x x p p x x x x p x ⎧-=⎪⎧=+--⎪⎪⎪⎪⇔≤≤⇔≤⎨⎨⎪⎪≥⎪⎪+-≤≥⎩⎪⎩222(4)8(2)44,043p x p p x x ⎧-=⎪⎪-⇔⎨-⎪≤≤≥⎪⎩ 由上式知，原方程有实根，当且仅当p 满足条件24(4)44048(2)33p p p p --≤≤⇔≤≤-这说明原方程有实根的充要条件是403p ≤≤。
分式的恒等变形
巩固练习
4.填空:
(1) x y
xy x3 y
(2)
2a 1 2b
1
(3)
2x
1 2x 2x2 x
(4) 2ab 2a2 2a
3b2 3ab
(5)
y x
() x2
(6)
ab a2
(
b
)
(7)
1 xy
() 2 xy 2
(8) a2 a ( ) ac c
为规范的形式.
练习2.下列等式的右边是怎样从左边得到的？
（1） x2 xy x2
x
x
y
（2） y 1 y2 2y 1 y 1 y2 1
y 1
(3) x 1 xz z (z 0) xy xyz
例2、化简下列分式：
(1)
32a2b3c 24b2cd
(2) 5a(c b) 15a(b c)
1.理解分式的基本性质. 2.会利用分式的基本性质对分式作恒等变形。 3.会正确运用分式的符号法则. 4.通过对分数和分式基本性质比较，进一步理解类比的数 学思想. 重点:理解与运用分式的基本性质. 难点：确定分式在变形过程中的有关符号。
一 、复习提问
1、分式在什么情况下无意义？
2、 分式在什么情况下有意义？
.
三、例题讲解与练习
练习4.不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项
的系数都化为整数.
0.5x 1 0.01x 0.5
(1)
(2)
0.3x 2 0.3x 0.04
2a 3 b
(3)
2
2ab
初二数学第四讲《分式的化简及恒等变形》 - 副本
分式的化简及恒等变形教学目标掌握分式的化简及恒等变形教学内容1.分式的化简；2.分式的恒等变形教学内容精讲A1.一般地，如果A , B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B 叫做分式。
整式与分式统称有理式；2.分式有意义的条件是分母不为0；当分母为0 时，分式无意义；3.分式的值为零，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意“同时性”；4.分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘（或除以）一个不等于0 的整式，分式的值不变；上述性质用公式可表示为：a=a ⨯m，a=a ÷m( m ≠ 0 )；b b ⨯m b b ÷m5.分式的乘法用公式可表示为：a⨯c=ac；b d bd6.分式的除法用公式可表示为：a÷c=a⨯d=ad.b d bc bc课堂练习【例1】先化简，然后请你选择一个合适的x 值代入求值：x2 - 4xx + 3÷4 -xx + 3【巩固】先化简，再求值：( a2 + 2ab +b2a2 -b2-a -b) ÷a +b，其中a =-1,b = 2 .a +b a -b⎩a 3b + a 2b 2 a 2 - ab 【巩固】化简求值： 3ab -÷ ，其中 a = a 2 + 2ab + b 2 a 2 - b 2 5 +1,b = 5 -1.2 2 a - b a 2 - b 2 5b 【例2】 已知4a + b= 4ab (ab ≠ 0) ，求 a + ÷ 3b a - 2 + 6ab+ 9b 2 a + b 的值.【巩固】已知： 1 - 1 = -3,则5x + xy - 5y 的值为.x y x - xy - y⎧x + 2 y = 4 x ⋅x 3 - y 3 + 1 【巩固】已知 x 、y 是方程⎨x - y = -5 的解，求 x 2 - 2xy + y 2 x 3 + x 2 y + xy 2 的值.x - y【例3】请从下列三个代数式中任选两个构造一个分式，并将得到的分式化简，再求当x = 4, y =-2 时分式的值.x2 -y2 , xy -y2 , y2 +xy【巩固】已知A =1x -2, B =2x2 - 4,C =xx +2，将它们组合成(A -B) ÷C 或A -B ÷C的形式，请你从中任选一种进行计算，先化简，再求值.其中x = 3【例4】已知：x2 - 4x + 4与y -1 互为相反数，则式子( x-y) ÷ (x +y) 的值等y x于. 课后练习1.计算：1+a + 1a=.a + 12.计算：a + 9b-a + 3b 3ab 3ab3.计算：2x2 +1-3x2 -x -5 +x2 +xx + 3 3 +x x +3。
奥数-恒等证明-1师
第三讲恒等证明考试要点剖析等式(包括恒等式与条件恒等式)的证明实质上就是有目标的代数式的恒等变形，因而在代数等式的证明过程中除了要熟练地运用等式变形的技巧外，还要善于寻找代数式与代数式、条件与结论之间的联系，从而保证证题的每个步骤都是有的放矢，不断向结论靠近．等式证明的主要思路是：(1)由繁到简．即从比较复杂的一边向较简单的一边推导．(2)两边夹证．即等式两边同时变形为同一个代数式．在证明等式的过程中，可视具体情况，运用不同的变形技巧和方法，使证明过程尽量简捷．下面介绍常用的证明方法．1.直证法由等式的一边推导等式的另一边,一般由复杂的一边向较简单的一边推导．例1.（★★★）求证：【评述】：观察各分母的特征，比较其异同，设法将其化为相同的分母，以便于相加．【解】：例2.（★★★）求证：【评述】：分析注意到等式两边均是关于x，y，z的轮换对称式，故可先对左端其中一个分式进行变形．【解】：本讲纲要等式证明常用方法1.直证法2.两边夹证3.综合法4.分析法5.比较法6.换元法7.设参法8.构造法2.两边夹证当一个等式的两边都比较复杂时，可考虑将等式两边同时变形为同一个代数．这种方法是一种间接证法，简称两边夹证．两边夹证适用于任何恒等式的证明，特别是对于条件恒等式的证明比较奏效．例3.（★★★★）求证：存在惟一的正数a，使下面等式成立．【评述】：分析等式两边可以说是太复杂了，宜用两边夹证．注意到无穷省略号“…”的意义，可考虑分别构造方程计算等式两边．【解】：例4.（★★★★）求证：【评述】：本题的已知条件是一个连比式，在处理时往往设连比式的值为k或其他形式，然后利用等式证明的相应技巧．【解】：例5.（★★★），求证：【解】：3.综合法所谓综合法是从原因推导出由原因产生的结果的一种思维方法．简单地说，综合是“由因到果”．在数学证明中，为了找到证明的途径，如果推理的方向是从已知到求证，这种思考方法由于是“由因导果”，则可用综合法．例6.（★★★）已知，求证：同理，当b=-a，或b=-c时，等式也成立．【题注】：本题的关键是由已知条件推得a，b，c中必有两个互为相反数，而此处的2001并不具有实质性，可推广到任意正奇数．4.分析法为了证明某一个结论，可以从结论出发，经过若干逆向推理，逐步寻求该结论成立的原因，最后将这个原因归结到已知．这种推理的形式称为分析法，也可以叫做逆证法．例7.（★★★）求证：【解】：例8.（★★★）已知，求证：a，b，c中至少有一个等于1．【解】：例9.（★★★）已知，求证：【解】：【题注】：本题采用的方法称为分析综合法．分析法是执果索因，综合法是由因导果．在解数学题时，往往兼用这两种思维方法，从分析法中得到启示，用综合法严谨地表达解题过程．例10.（★★★）证明：若a，b，c，d，x，y>0，且xy=ac+bd，，则【解】：5.比较法比较法有两种基本形式：(1)求差比较法：要证A=B，只需证A－B=0；(2)求商比较法：要证A=B(B≠0)，只需证AB=1．对于条件恒等式的证明比较奏效．例11.（★★★）已知，求证：【评述】：本题可用两种比较分别证出．【解】：6.换元法在等式的恒等变形中，适当地进行换元可以达到化简计算的目的．例12.（★★★★）若x，y为实数，且【解】：7.设参法在等式的字母之间引入一个新的字母，使原来的老字母与新字母之间产生一种比较明显的等量关系，借助这种新的等量关系可证明要证的等式，这种方法称为设参法．这种方法主要用来证明条件恒等式，在题目条件中出现连等、连比关系时，常引入比值作参数．例13.（★★★），求证：【解】：8.构造法构造一个方程、函数(多项式)、一个图形等，利用方程、函数、图形的性质证明等式的方法称为构造法．例14.（★★★★）已知非零实数a，b，c满足求证：成等差数列．【解】：例15.（★★★★）设a，b，c是互不相等的实数，证明【评述】：一般地，我们有如下定理：对于一个n次方程如果f(x)=0有n+1个不同的根，则f(x)恒等于0．上述定理对于证明恒等式是非常有用的．【解】：练习题1.（★★★）已知，求证：【解】：2.（★★★）求证：【解】：3.（★★★）已知x+y+z+u=0，求证：【解】：4.（★★★）证明：【解】：5.（★★★）求证：【解】：6.（★★★）已知，a，b，c互不相等，且都不等于零．求证：以上各分式都等于【解】：提示：令比例常数为k>O．7.（★★★）．求证：【解】：提示：令比例常数为k．8.（★★★）已知，求证：【解】：提示：用分析综合法．9.（★★★）已知n为正整数，且，求证：【解】：10.（★★★）已知，求证：【解】：提示：用分析法．。
2020年初中数学竞赛讲义：分式恒等变形
2020年初中数学竞赛讲义：分式恒等变形一、分式恒等变形 (1)第1 页共6 页第 1 页 共 6 页一、 分式恒等变形1. （1993年全国初中数学联赛1试）当x 变化时，分式22365112x x x x ++++的最小值是____________．【难度】 ★★【解析】4 22222236561210226612422(1)112x x x x x x x x x x x ++++==-=-++++++++ ∴当1x =-时，公式取最小值4．2. （1994年全国初中数学联赛1试）若在关于x 的恒等式222Mx N c x x x a x b +=-+-++中，22Mx N x x ++-为最简分式，且有a b >，a b c +=，则N =_________． 【难度】 ★★【解析】 4-∵()()2212x x x x +-=-+，且a b >， 所以，取2a =，1b =-，从而1c a b =+=． 因此，221121Mx N x x x x +==+-+-． 在上式中，令0x =，得4N =-.3. （1996年全国初中数学联赛1试）实数a ，b 满足1ab =，记1111M a b=+++，11a b N a b=+++，则M ，N 的关系为（） A ．M N > B ．M N = C ．M N <D ．不确定 【难度】 ★★【解析】B 1111b a M a b b ab a ab=+=+++++， 又由1ab =，得到11b a M N b a =+=++． 选B ．4. （2000年全国初中数学联赛1试）设a ，b 是不相等的任意正数，又21b x a+=，21a y b+=，则x ，y 这两个数一定（） A ．都不大于2 B ．都不小于2。
第3节 分式的化简求值与恒等变形
第三节 分式的化简求值与恒等变形一、课标导航二、核心纲要给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值. 分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化简后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略.解有条件的分式化简与求值问题是，既要瞄准目标，又要抓住条件，既要根据目标变换条件，又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的方法外，还常常用到如下技巧： （1）恰当引入参数． （2）取倒数或利用倒数关系． （3）拆项变形或拆分变形． （4）整体代入． （5）利用比例性质等．三、全能突破基础演练1．若2x + y = 0 ，则2222x xy y xy x -++的值为（ ）A ．51-B ． 53- C ． 1 D ． 无法确定 2．已知31=+x x ，则=+221x x ；=-x x 1.3．已知411=-b a ，则分式bab a bab a 2722-+--的值为 .4．课堂上，李老师给大家出了这样一道题：当x =3，22-5，37+时，求代数式12211222+-÷-+-x x x x x 的值. 小明一看，说：“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？请你写出具体的解题过程.5．化简求值：（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+111111x x ，其中21-=x （2）)232(2-12++-÷+-x x xx x ，其中21=x 6． 已知121)12)(1(45---=---x Bx A x x x ，求A 、B 的值.能力提升7．当x 分别取值2009200820072121200712008120091， ， ， ， ， ，， ， ， Λ时，计算代数式221-1x x +的值，将所得的结果相加，其和等于（ ）. A ．－1 B ． 1 C ．0 D ．2009 8．已知a 、b 、c 是互不相等的实数，且ac zc b y b a x -=-=-，则x +y +z 的值为（ ）. A ．－1 B ． 0 C ． 1 D ．2 9．若73222++y y 的值为41，则16412-+y y 的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ． D ．10．已知0201352=--x x ，则代数式21)1(223-+---x x x ）（的值是（ ）A ．2012B ．2014C ．2017D ．201911．（1）已知51=+a a ，则=++1242a a a ．（2）已知712=+-x x x，则1242++x x x = ． 12．若a d d c c b b a ===，则dc b a dc b a +-+-+-的值是 ． 13．（1）已知ab = 1，求1111+++b a ． （2）已知abc = 1，求111++++++++c ca cb bc b a ab a ．14．（1）已知a +b =8，求b a a b b b a a -÷⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-122的值． （2）若x 2 +y 2-4x +6y +13=0，求()x y y yx x y x -+-•+2222的值．15．如果1<x <2，求xxx x xx +-----1122的值．16．当正整数a 为何值时，代数式2804399++a a 的值为整数．17．不等于0的三个数a 、b 、c 满足cb ac b a ++=++1111，求证：a 、b 、c 中至少有两个互为相反 数．18．已知32)3)(2(12-+-+=---x cx b a x x x ，当x ≠1,2,3时永远成立，求以a 、-b 、c 为三边长的四边形的第四边d 的取值范围．19．已知：x +y +z =3a （a ≠0,且x ，y ，z 不全相等），求222)()()())(())(()(a z a y a x a x a z a z a y a y a x -+-+---+--+--）（ 的值．20．已知分式xyyx -+1的值是m ，如果用x 、y 的相反数代入这个分式，那么所得的值为n ，则m 、n 是什么关系？中考链接21．（2012·湖南张家界）先化简：1224422++÷--a aa a ，再用一个你最喜欢的数代替a 计算结果．22．（2012·江苏南京）化简代数式22112x x x x x --÷+，并判断当x 满足不等式组()21216x x +<⎧⎪⎨->-⎪⎩时该代数式的符号．23．（2012·北京）已知023a b =≠，求代数式()225224a ba b a b -⋅--的值．巅峰突破24．已知abc =1，a +b +c =2，3222=++c b a ，则111111-++-++-+b ca a bc c ab 的值为（ ）． A ．－1 B ．21- C ． 2 D ． 32-25． 已知3x - 2y -4z = 0 ，2x +y - 5z =0 且xyz ≠0，求)2242(1222222zy xy x zy xyz z x z y x z z y x z -++++--++++的值．26．已知ax = by = cz = 1，求444444111111111111zy x c b a +++++++++++的值．。
七年级(上)数学培优班--第9讲 分式恒等变形 学生版
已知非零实数 a 、 b 、 c 满足 a b c 0 ，
求证：
a
c
b
b
a
c
c
b
a
a
c
b
b
a
c
c
b
a
9
．
5 / 自招班 7 年级 第九讲
【练习1】 证明：
x ax a2
y ay a2
z az a2
1 xa
1 ya
1 za
3 a
【练习2】 已知 abc 1，求证： a b c 1 1 a ab 1 b bc 1 c ca
【练习3】 已知： x a b ， y b c ， z c a ，求证： (1 x)(1 y)(1 z) (1 x)(1 y)(1 z)
ab
bc
ca
【练习4】 已知 ab 1 ， bc 1 ， ac 1 ，求证： abc 1 ．
ab 3 bc 4 ac 5
ab bc ac 6
（1）已知 a x ， b y ， c z 且 x y z 0 ，证明： a b c 1 .
yz
zx
x y
a 1 b1 c 1
3 / 自招班 7 年级 第九讲
（2）已知 x by cz ， y cz ax ， z ax by 且 x y z 0 ，证明： a b c 1 . 1 a 1b 1c
第九讲
分式的恒等变形
分式恒等变形的变化比整式更多，所以题型也更多，因此并没有统一的方法，需要根据具体问题， 采用不同的变形技巧，使化简、证明的过程更加简洁.（不过这个简洁主要是思路上的简洁，有时候 计算量并不一定会减少） 不过没有方法，我们也要总结出一定的思路，分式和整式的关系就像分数和整数的关系，在学习分 数的时候，其加减法涉及的技巧是“通分”，后来我们还学了通分的逆运算，就是“裂项”的技巧， 所以分式恒等变形最基本的技巧也可分为通分和裂项，其中通分在等式中又可以理解为“去分母” 的思想，所以处理基本分式题型时，不妨通通分，裂裂项，去个分母，也许一个题目就有了思路。
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分式恒等变形方法一、通分：直接通分；逐步通分；移项通分；分组通分；分母因式分解再通分。
例1. 若22004a m +=，22003b m +=，22002c m +=且24abc =，求111a b c bc ca ab a b c++---的值。
例2. 若0abc ≠，0a b c ++=，求222a b c bc ac ab++的值。
例3. 求证：2220()()()()()()a bcb ac c baa b a c a b b c c b a c ---++=++++++例4. 设正数x ，y ，z 满足不等式2222x y z xy +-+2222y z x yz +-+2222z x y xz+->1,求证x ，y ，z 是某个三角形的三边长例5. 求分式248161124816111111a a a a a a +++++-+++++，当2a =时的值． 例6. 若1111a b c a b c ++=++，求证：7777771111a b c a b c ++=++.例7. 化简:()()()()()()a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a ------+++++++++．例8. 计算：2132x x x -++262x x ---2104x x ---．例9. 化简2232233223222244113a b a b a a b ab b a a b ab b a b a b a b +++--+++-+--+-．例10. 化简：()()()()()()222222222222a b c b c a c a b a c ba b cb c a------+++-+-+-例11. 已知0a b c ++=，求证2222222221110b c a a c b b a c++=+-+-+- 例12. 已知0a b c ++=，求222222222a b c a bc b ac c ab+++++的值例13. 已知1,2xyz x y z =++=，22216x y z ++=，求代数式111222xy z yz x zx y+++++的值。
方法二、约分：分子、分母先因式分解再约分例14. 已知分式2221(1)()x xy x y -+-+（1） 在什么条件下此分式有意义?（2） 在什么条件下分式的值为正、为负？ （3） 分式的值能否为0？ 例15. 化简：()()42236421121111a a a a a a a a a ---⎛⎫-÷⎪-+---++⎝⎭ 例16.化简：()4224232164242416844m m m m m m m m m m -+-+÷⨯÷+++--+例17. 化简：2222222211222a b a ab b ab a b a b ab ⎡⎤-⎛⎫+÷+⋅⎢⎥ ⎪++-+⎝⎭⎢⎥⎣⎦例18.化简：222111111()()()111111()()()a b c b c c a a b a b c b c c a a b-+-+--+-+- .方法三、倒数法例19.若13x x +=，则33441713x x x x++++=___________．例20.⑴ 已知15a a+=，则4221a a a ++=_________.⑵ 若2410x x ++=，则42321912192x x x x x ++++=_________.⑶ 若271xx x =-+，则2421x x x ++=__________．例21. 若2310x x -+=，则74843231x x xx x ++=++________．例22.设211xx mx =-+，则36331x x m x -+的值是（ ） A. 1 B. 213m + C. 2132m - D. 2131m +例23. 己知311=-y x ，求y xy x yxy x ---+2232的值。
例24. 设43223440(0,0)a a b a b ab b a b +-++=≠≠，求b aa b+的值. 例25. 已知xy a x y =+，yz b y z =+，zxc z x=+，且0abc ≠，求x 的值。
例26.已知()1xf x x=+，求下列的值 111()()()(1)(0)(1)(2)(2011)(2012)201220112f f f f f f f f f +++++++++方法四、等比定理、设k 法例27. 已知：2341341231241234a a a a a a a a a a a a k a a a a ++++++++====，求k ；例28. 如果234x y z==，求222xy yz zx x y z ++++的值。
例29. 若a b c d b c d a ===，则a b c da b c d-+-+-+的值是_______或________.例30. 若0abc ≠，且a b b c c a c a b +++==，求()()()a b b c c a abc+++的值。
例31.若x y z x y z x y z z y x +--+-++==，且0xyz ≠，求()()()x y y z z x xyz+++的值；例32. 已知222p q rx yz y zx z xy==---，求证()()px qy rz x y z p q r ++=++++。
例33.已知x y z x y z x y z z y x +--+-++==，且()()()1x y y z z x xyz+++=-，求x y z ++.例34. 已知0ay ≠，且22222222b bx x b bx x a ay y a ay y ++-+=++-+，求证x b a y =或x by a=。
例35.已知y z x z x y x y z p x y z y z x z x y+-+-+-===+++-+-，求23p p p ++的值。
方法五、巧变“1”例36.若1abc =，求证：1111a b ca ab b bc c ca++=++++++．例37.已知1111a b ca ab b bc c ca++=++++++，求证：1abc =．例38.若1abc =，解关于x 的方程2012111x x xa ab b bc c ca++=++++++．例39. 已知1ax by cz ===，求444444111111111111a b c x y z +++++++++++的值。
例40. 设a 、b 、c 均为正数，且a+b+c=1，求证1119a b c++≥。
方法六、换元法例41.化简分式：222222113111112123x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤+--+⎢⎥⎛⎫+-+-÷⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥--+--+⎣⎦例42.计算22223322332223()2n m n m m n m n n m n m n m m n m n m n+++÷---+-例43.化简)()(2)(2)y x z x x y z x y z ---++-（+()()(2)(2)z y x y x y z y z x --+-+-+()()(2)(2)x z y z y z x x y z --+--+例44.设a ，b ，c 是实数，且222222()()()(2)(2)(2)b c c a a b b c a c a b a b c -+-+-=+-++-++-，求分式222(1)(1)(1)(1)(1)(1)bc ac ab a b c ++++++的值；例45. 关于x 的方程22x c x c +=+的两根是122,x c x c==，求关于x 的方程2211x a x a +=+--的两个根？例46. 若0x y z ++=，1110123x y z ++=+++，求222(1)(2)(3)x y z +++++的值。
例47. 已知1,0x y z a b ca b c x y z ++=++=，求证：2222221x y z a b c++=.例48. 设x 、y 、z 都是正数，求证2229x y y z z x x y z++≥+++++。
方法七、巧解方程组：消元思想；整体相加（减）；整体相乘；两两相加（减）；倒数法例49.已知三个不全为零的数x 、y 、z 满足4360x y z --=，270x y z +-=。
求22222223657x y z x y z ++++的值。
例50. 已知11a b +=，11b c +=，求2c a+的值。
例51.已知111x y zy z x+=+=+，其中x，y，z互不相等，求证：2221x y z=.例52.已知111x y z ty z x+=+=+=，其中x，y，z互不相等，求t的值。
例53.已知14xy+=，11yz+=，173zx+=，求xyz的值。
例54.解方程组：222222414414414xyxyzyzxz⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩例55.解方程组：1112 1113 1114 x y zy z xz x y⎧+=⎪+⎪⎪+=⎨+⎪⎪+=⎪+⎩例56. 已知0a b cb c c a a b++=---，求证：2220()()()a b c b c c a a b ++=--- 例57.已知220a b -≠，且22abc abca b M b c c a-=-=++，求证： ()()()abc a b b c c a =+++，且2abcM c a b=-+.方法八、降次思想例58. 已知210x x --=，求2521x x x++的值。
例59. 已知2519970x x --=，求42(2)(1)1(1)(2)x x x x -+----的值。
例60. 已知210x x --=，求42322329321122x ax x ax -+=-++的值。
方法九、裂项：因式分解再裂相例61. 计算：2018119171531421311⨯+⨯++⨯+⨯+⨯例62.化简111...123234(1)(2)n n n +++⨯⨯⨯⨯++例63.1111(1)(2)(2)(3)(3)(4)(100)(101)x x x x x x x x +++++++++++例64.化简：()()()()()d c b a c b a d c b a b a c b a a b +++++++++++例65.求证：111()()(2)[(1)]()()n a a d a d a d a n d a nd a a nd ++⋅⋅⋅+=++++-++例66.化简22()()()()()()b c c a a b a b a c b c b a c a c b b a c a---+++---------例67.化简分式：2221113256712x x x x x x ++++++++例68.化简：222222b c c a a b a ab ac bc b ab bc ac c bc ac ab a b b c c a---++-----+--+--+---.例69. 化简：222222a b c b c a c a b a ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab ------++--+--+--+.例70.化简：()()()()()()222a bc b ac c ab a b a c b c b a c a c b ---++++++++．例71. 若()212a x b xy -=--，且0ab >，求()()()()111...1120072007xy x y x y +++++++的值．例72. 设正整数m 、n 满足m n <，且2221111(1)23m m m m n n +++=++++，则m n +的值是多少？方法十、化为真分式：部分分式化，求最值或整数解例73.将269x -化为部分分式．例74.将下列分式写成部分分式的和的形式：()()3222236113x x x x x -++++．例75.将下列分式写成部分分式的和的形式：()()()32241338121x x x x x x -+++--．例76. 若0x y z ++≠，0x y +≠，0y z +≠，0z x +≠，x a y z =+，y b x z=+，z c x y =+。