广雅中学数学试卷
广东省广州市广雅中学2025届高三3月份模拟考试数学试题含解析
广东省广州市广雅中学2025届高三3月份模拟考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数41i z i =+，则z 对应的点在复平面内位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =，则AB AM ⋅等于（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．73．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x 的值为2，则输出的v 值为( )A ．10922⨯-B ．10922⨯+C ．11922⨯+D ．11922⨯- 4．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离5．已知集合1|2A x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭，{|10}B x x =-<<则A B =（ ）A ．{|0}x x <B ．1|2x xC ．1|12x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭ D ．{|1}x x >-6．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（ ）A ．3?i ≤B ．4?i ≤C ．5?i ≤D ．6?i ≤7．金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（ ）A ．20B ．24C ．25D ．268．下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为[)0,+∞的是（ ）A ．()lg 1y x =+B ．12y x =C ．2x y =D ．ln y x =9．点(,)P x y 为不等式组+40x y y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域上的动点，则+22-y x 的取值范围是（ ） A ．()(),21,-∞-⋃+∞ B ．(][),11,-∞-+∞ C ．()2,1- D ．[]2,1-10．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为,F O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双 曲线C 的一条渐近线交于点O 及点332A ⎛ ⎝⎭，则双曲线C 的方程为（ ）A ．2213y x -= B ．22126x y -= C ．2213x y -= D ．22162x y -= 11．已知实数x 、y 满足不等式组2102100x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =-+的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．32- D ．2- 12．若集合{}A=|2x x x R ≤∈，，{}2B=|y y x x R =-∈，，则A B ⋂=（ ）A ．{}|02x x ≤≤B ．{}2|x x ≤C ．{}2|0x x -≤≤D ．∅ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东广雅中学2024~2025学年九年级上学期开学考试数学试题(解析版)
2024学年第一学期九年级综合素质评估试卷数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，共25小题，满分120分，考试用时120分钟．注意事项：1．开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、考号等相关信息填写在答题卡指定区域内．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．第一部分选择题部分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了最简二次根式以及二次根式的性质，根据最简二次根式的定义：二次根式的被开方式中不含分母，并且不含有能开得尽方的因式或因数，进行判断即可．【详解】解：AB=C=，不是最简二次根式，不符合题意；D故选：A．2. 一组数据5，4，5，6，5，3，4的众数是（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】此题考查众数的定义，根据众数的概念，找到该组数据中出现次数最多的数即可选出正确答案．【详解】解：数据5出现了3次，最多， 所以众数为5，故选：C ．3. 下列各组数据中，是勾股数的是（ ）A.B. 6，7，8C. 1，2，3D. 9，12，15【答案】D【解析】【分析】本题考查勾股定理逆定理，两条较短线段的平方和等于较长线段的平方．根据勾股定理逆定理判断即可．【详解】解：A 、222+≠，不能组成直角三角形，不符合题意；B 、222678+≠，不能组成直角三角形，不符合题意；C 、123+=，不能组成三角形，不符合题意；D 、22291215+=，能组成直角三角形，符合题意；故选：D ．4. 甲、乙、丙、丁四人参加射击比赛，经过几轮初赛后，他们的平均数相同，方差分别为：22220.34,0.21,0.4,0.5s s s s ≡===甲乙丁丙．如果要从这四人中选取成绩稳定的一人参加决赛，你认为最应该派去参加决赛的是（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B【解析】【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义，根据方差的定义进行判断即可得出答案．【详解】解：∵22220.34,0.21,0.4,0.5s s s s ≡===甲乙丁丙， 2222s s s s ∴<<<乙甲丁丙， ∴乙的成绩更加稳定，故选：B ．5. 如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列说法正确的是（ ）A. 若AB BC ⊥，则ABCD 是菱形B. 若AC BD ⊥，则ABCD 是正方形C. 若AC BD =，则ABCD 是矩形D. 若AB AD =，则ABCD 是正方形【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查了矩形和正方形以及菱形的判定，熟练掌握矩形和正方形以及菱形的判定定理是解题的关键．根据矩形和正方形以及菱形的判定定理逐项判断，即可解答．【详解】解：A 、邻边互相垂直的平行四边形不一定是菱形，故A 错误，不符合题意；B 、因为对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B 错误，不符合题意；C 、若AC BD =，则ABCD 是矩形，故C 正确，符合题意；D 、因为邻边相等的平行四边形是菱形，故D 错误，不符合题意；故选：C ．6. 已知方程2210kx x +−=有实数根，则k 的取值范围是（ ）A. 1k ≥−B. 1k ≥C. 1k ≤且0k ≠D. 1k ≥−且0k ≠ 【答案】A【解析】【分析】本题考查了根的判别式．讨论：当0k =时，方程化为一元一次方程，有一个实数解；当0k ≠时，根据根的判别式的意义得到224(1)0k ∆=−×−≥，解得1k ≥−且0k ≠，然后综合两种情况得到k 的取值范围．【详解】解：当0k =时，方程化为210x −=， 解得12x =； 当0k ≠时，则224(1)0k ∆=−×−≥，解得1k ≥−且0k ≠，综上所述，k 取值范围为1k ≥−．故选：A ．7. 如图，矩形ABCD 中，8AB =，12AD =，E 为AD 的中点，F 为CD 边上任意一点，G ，H 分别为EF，的BF 的中点，则GH 的长是（ ）A. 6B. 5.5C. 6.5D. 5【答案】D【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，关键是由三角形中位线定理推出12GH BE =，由勾股定理求出BE 的长．连接BE ，由矩形的性质得到90A ∠=°，由勾股定理求出10BE，由三角形中位线定理得到152GH BE ==． 【详解】解：连接BE ，∵四边形ABCD 是矩形，90A ∴∠=°，12AD =∵，E 为AD 中点，162AE AD ∴==， 8AB = ，10BE ∴=，∵G ，H 分别为EF ，BF 中点，GH ∴是BEF △的中位线，152GH BE ∴==． 故选：D ．8. 已知直线1l ：y kx b =−+与直线2l ：3y kx b =−在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质，数形结合是本题的关键．根据两个一次函数的图象逐一分析系数符号即可解决．【详解】解：A 、直线1:l y kx b =−+中0k >，0b >，2:3l y kx b =−中0k >，0b <，b 的取值相矛盾，故本选项不符合题意；B 、直线1:l y kx b =−+中0k <，0b >，2:3l y kx b =−中0k <，0b >，k 、b 的取值一致，故本选项符合题意；C 、直线1:l y kx b =−+中0k >，0b >，2:3l y kx b =−中0k <，0b >，k 的取值相矛盾，故本选项不符合题意；D 、直线1:l y kx b =−+中0k <，0b <，2:3l y kx b =−中0k <，0b >，b 的取值相矛盾，故本选项不符合题意．故选：B ．9. 在平面直角坐标系中，以方程组1y x m y x =−+ =−的解为坐标的点位于第三象限，则m 的取值范围是（ ） A. 1m <−B. 1m <C. 1m >D. 11m −<<【答案】A【解析】【分析】此题考查了解不等式组、解二元一次方程组，利用了消去的思想，消去的方法有：加减消去法与代入消元法，还考查了点的坐标．先求出方程组1y x m y x =−+ =−的解．根据以方程组的解为坐标的点位于第三象限列出不等式组求解即可； 【详解】解：解方程组1y x m y x =−+ =− 得：1212m x m y + = − =， ∵以方程组1y x m y x =−+ =− 的解为坐标的点位于第三象限， ∴102102m m + < − <， 解得：1m <−，故选：A ．10. 如图，在矩形ABCD 中，点E 在BC 上，10AE AD ==，6CD =，作AF DE ⊥于点G ，交CCCC 于F ，则CCCC 的长是（ ）A. 103B. 83C. 3D. 2【答案】B【解析】【分析】根据题意，10AD BC AE ===，6AB CD ==，可得8BE =，这样得2EC BC BE =−=，设CF x =，则6FE DF x ==−，利用勾股定理计算即可．本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段的垂直平分线的判定和性质，熟练掌握勾股定理，线段的垂直平分线的判定和性质是解题的关键．【详解】解：∵矩形 ABCD ，10AD AE ==，6CD =，∴10AD BC AE ===，6AB CD ==，90B C ∠=∠=°，∴8BE =，∴2EC BC BE =−=，∵10AD AE ==，AF DE ⊥，∴直线AF 是线段DE 的垂直平分线，∴FE FD =，设CF x =，则6FE DF x ==−，则()2264x x −=+， 解得83x =， 故选：B ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）11. 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是__________．【答案】3x ≥【解析】【分析】根据二次根式被开方数的非负性求出答案．【详解】解：由题意得30x −≥，解得3x ≥，故答案为：3x ≥．【点睛】此题考查了二次根式的非负性，熟记二次根式的被开方数大于等于零的性质是解题的关键． 12. 已知()211350mm x x +−+−=是关于x 的一元二次方程，则m 的值为______． 【答案】1−【解析】【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次幂是2次的整式方程，特别注意二次项系数不为0，正确把握定义是解题关键．直接利用一元二次方程的定义知道二次项系数不为0同时x 的最高次幂为2，得出m 的值进而得出答案．【详解】解：由题意知：212m +=且10m −≠，解得1m =−，故答案为：1−．13. 已知正比例函数的图象过点()2,1A −，则该函数的解析式为______． 【答案】12y x =−【解析】【分析】本题考查的是求解正比例函数的解析式，直接利用待定系数法求解函数解析式即可．【详解】解：设正比例函数解析式为y kx =，∵正比例函数的图象过点()2,1A −21k ∴−=， 解得：12k =−， ∴该函数的解析式为12y x =−； 故答案为：12y x =− 14.已知1x =，1y =−，则22x y −的值为____________．【答案】【解析】【分析】先将22x y −因式分解，然后将1x =+、1y =−代入计算即可．详解】解：()())221111x y x y x y −=+−+++=−+故答案为键．15. 若关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根分别为13x =，22x =−，则方程()()2(1)100a x b x c a −+−+=≠的两根分别为______．【答案】14x =，21x =−【解析】【分析】本题考查一元二次方程的解的概念，根据一元二次方程的解即可求得结果．关键是把方程()()22230a x b x ++++=中的2x +看成一个新的未知数，则关于2x +的方程的解等于关于x 的一元二次方程230ax bx ++=的解． 【详解】解：由题意得：关于1x −的方程()()2(1)100a x b x c a −+−+=≠的解为：13x −=，12x −=−，【解得：14x =，21x =−，故答案为：14x =，21x =−．16. 如图，点()03B ，，A 为x 轴上一动点，将线段AB 绕点A 顺时针旋转90°得到.AC 连接.OC 当OC 取最小值时，点A 的坐标是_______________．【答案】302 −， 【解析】【分析】本题考查了直线与图形的变化，垂线段最短，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题；如图，在x 轴的正半轴上取一点H ，使得3OH OB ==，在OB 上取一点D ，使得OD OA =．证明点C 在直线3y x =−上运动，根据垂线段最短即可解决问题．【详解】解：在x 轴的正半轴上取一点H ，使得3OH OB ==，在OB 上取一点D ，使得OD OA =．OB OH = ，OD OA =，BD AH ∴=，90HAC OAB ∠+∠=° ，90OAB ABO∠+∠=°， HAC DBA ∴∠=∠，BA AC = ，()SAS BDA AHC ∴ ≌，AHC ADB ∴∠=∠，OD OA = ，90AOD ∠=°，45ADO ∴∠=°，135AHC ADB ∴∠=∠=°，45CHx ∴∠=°，设直线CH 的解析式为y x b =+，()30H ，，∴直线CH 的解析式为3y x =−，∴点C 在直线3y x =−上运动，作OP CH ⊥于点P ，OP = 此时点3322P − ，，即3322C −，，设()0A m ，， AB AC = ，222233322m m ∴+=−+， 解得32m =−， ∴点302A −， 故答案为：3,02 −． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. ()03π1−−． 【答案】3−【解析】【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． 先算乘除法和零次幂，并化简二次根式，最后合并同类二次根式即可．()03π1+−1= 261=−+3=−18. 如图，在ABCD 中，E ，F 分别是,AB CD 的中点．求证：AF CE =．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，线段中点的有关计算，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质．根据平行四边形的判定和性质和线段中点的有关计算，证明四边形AECF 是平行四边形，进而即可证明．【详解】证明： 四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ∥，AB CD =，E ，F 分别是ABCD 的边AB ，CD 上的中点， ∴12CF CD =，12AE AB =， ∴CF AE =，CF AE ∥，∴四边形AECF 是平行四边形，∴AF CE =．19. 如图，已知CD AB ⊥，垂足为D ，1BD =，2CD =，4=AD ．判断ABC 的形状，并说明理由．【答案】ABC 是直角三角形，理由见解析【解析】【分析】根据勾股定理分别求出2BC ，2AC ，再根据勾股定理逆定理，即可得出结论．【详解】解：ABC 是直角三角形．理由：CD AB ⊥ ，垂足为D ，1BD =，2CD =，4=AD ．22222125BC BD CD ∴=+=+=，222224220AC AD CD =+=+=．415AB AD BD =+=+= ，22225205AB AC BC ∴==+=+．ABC ∴ 是直角三角形．【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方，两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形．20. （1）化简：24211326x x x x −+ −÷ ++； （2）若x 是一元二次方程2320x x −+=的解，请求出上面化简后的代数式的值．【答案】（1）21x −；（2）2 【解析】【分析】本题考查分式的化简求值、解一元二次方程，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． （1）根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子即可；（2）根据因式分解法解一元二次方程，可以得到x 的值，然后将使得原分式有意义的x 的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：（1）24211326x x x x −+ −÷ ++ 234(1)32(3)x x x x +−−÷++ 212(3)3(1)x x x x −+×+− 21x =−； （2）解方程：2320x x −+=∴(1)(2)0x x −−=∴121,2x x ==， ∵1x =时分式无意义∴当xx =2 时，原式2221=−． 21. 某校学生会决定从三名学生会干事中选拔一名干事，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试，三人的测试成绩如下表所示：根据录用程序，学校组织200名学生采用投票推荐的方式，对三人进行民主测评，三人得票率（没有弃权，每位同学只能推荐1人）如扇形统计图所示，每得一票记1分．（1）分别计算三人民主评议的得分；（2）根据实际需要，学校将笔试、面试、民主评议三项得分按4:3:3的比例确定个人成绩，三人中谁的得分最高？【答案】（1）甲50，乙80，丙70；（2）丙．【解析】【分析】本题考查了加权平均数、扇形统计图等知识点，熟记相关公式是解题关键．（1）分别用200乘以三人的得票率，求出三人民主评议的得分各是多少即可．（2）根据加权平均数的计算方法列式计算，分别求出三人的得分各是多少；然后比较大小，判断出三人中谁的得分最高即可．小问1详解】解：甲民主评议得分是：20025%50×=（分）； 乙民主评议的得分是：20040%80×=（分）； 丙民主评议的得分是：20035%70×=（分）． 【小问2详解】解：甲的成绩是：()()7549335034337291072.9×+×+×÷++=÷=（分）， 乙的成绩是：()()8047038034337701077×+×+×÷++=÷=（分）， 丙的成绩是：()()9046837034337741077.4×+×+×÷++=÷=（分），【的∵77.47772.9>>，∴丙的得分最高．22. 如图，在平面直角坐标中，直线26y x =−+与x 轴相交于点B ，与直线2y x =相交于点A ．（1）求AOB 的面积；（2）点P 为y 轴上一点，当PA PB +取最小值时，求点P 的坐标，【答案】（1）92（2）()0,2P【解析】【分析】本题考查两直线相交问题，一次函数的性质以及轴对称−最短线路问题，解题的关键是掌握待定系数法．（1）先求出点B 的坐标，联立两直线解析式构成方程组，得262y x y x=−+= ，解方程组求出3,32A 即可求解； （2）直线26y x =−+与y 轴的交点()3,0B ，作点B 关于y 轴的对称点(3,0)B ′−，连接,AB PB ′，交x 轴于点P ，利用待定系数法求出AB ′的解析式并令函数值为0即可求出点P 的坐标．【小问1详解】解： 026B x =−+， ∴3B x =，即()3,0B ，联立262y x y x =−+ =， 解得：323x y = = ，∴点A 的坐标为3,32， ∴AOB 的面积为：11933222A OB y ⋅=××=； 【小问2详解】解：作点B 关于y 轴的对称点B ′，连接AB ′，交y 轴于点P ，PB PB ′= ，PB PA PB PA ′∴+=+，此时，,,B P A ′三点共线，PB PA +有最小值，()3,0B ，3,32A， (3,0)B ′∴−设直线AB ′的解析式为y k x b ′′=+， 代入(3,0)B ′−，3,32A ，的坐标得03332k b k b ′′′=−+ =+， 解得：223b k ==′′， ∴直线AB ′的解析式为223yx =+， 令0x =，得2y =， ∴点()0,2P 使PB PC +最小．23. 为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元．经过市场调研发现，每台售价为35万元时，年销售量为550台；每台售价为40万元时，年销售量为500台．假定该设备的年销售量y （单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系．（1）求年销售量y 与销售单价x 的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于60万元，如果该公司想获得8000万元的年利润．则该设备的销售单价应是多少万元？【答案】（1）10900y x =−+ （2）50万元【解析】【分析】（1）设年销售量y 与销售单价x 的函数关系式yy =kkxx +bb (kk ≠0)，根据点的坐标，利用待定系数法即可求解；（2）设此设备的销售单价为m 万元/台，则每台设备的利润为()30m −万元，销售数量为()10900m −+台，根据总利润=单台利润×销售数量，即可得出关于m 的一元二次方程，解之取其小于60的值即可得出结论． 【小问1详解】解：设年销售量y 与销售单价x 的函数关系式yy =kkxx +bb (kk ≠0)，将()35,550，()40,500代入解析式，得：3555040500k b k b += +=， 解得：10900k b =− =， ∴年销售量y 与销售单价x 的函数关系式为10900y x =−+； 【小问2详解】设此设备的销售单价为m 万元/台，则每台设备的利润为()30m −万元，销售数量为()10900m −+台，根据题意得：()()30109008000m m −−+=， 整理得：212035000m m −+=，解得：150m =， 270m =，此设备的销售单价不得高于60万元，50m ∴=，则该设备的销售单价应是50万元．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．24. 某条城际铁路线共有A ，B ，C 三个车站，每日上午均有两班次列车从A 站驶往C 站，其中D 1001次列车从A 站始发，经停B 站后到达C 站，G 1002次列车从A 站始发，直达C 站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示．列车运行时刻表 车次A 站B 站C 站 发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻D 10018：00 9：30 9：50 10：50 G 1002 8：25 途经B 站，不停车10：30 请根据表格中的信息，解答下列问题：（1）D 1001次列车从A 站到B 站行驶了______分钟，从B 站到C 站行驶了______分钟；（2）记D 1001次列车的行驶速度为1v ，离A 站的路程为1d ；G 1002次列车的行驶速度为2v ，离A 站的路程为2d ．①12v v =______； ②从上午8：00开始计时，时长记为t 分钟（如：上午9：15，则75t =），已知1240v =千米/小时（可换算为4千米/分钟），在G 1002次列车的行驶过程中()25150t ≤≤，若1260d d −=，求t 的值． 【答案】（1）90，60（2）①56；②75t =或125 【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的应用，速度、时间、路程的关系，明确题意，合理分类讨论是解题的关键．（1）直接根据表中数据解答即可；（2）①分别求出D 1001次列车、G 1002次列车从A 站到C 站的时间，然后根据路程等于速度乘以时间求解即可；②先求出2v ， A 与B 站之间的路程，G 1002次列车经过B 站时，对应t 的值，从而得出当90110t ≤≤时，D 1001次列车在B 站停车． G 1002次列车经过B 站时，D 1001次列车正在B 站停车，然后分2590t ≤<，90100t ≤≤，100110t <≤，110150t <≤讨论，根据题意列出关于t 的方程求解即可．【小问1详解】解：D 1001次列车从A 站到B 站行驶了90分钟，从B 站到C 站行驶了60分钟，故答案为：90，60；【小问2详解】解：①根据题意得：D 1001次列车从A 站到C 站共需9060150+=分钟，G 1002次列车从A 站到C 站共需356030125++=分钟，∴12150125v v =， ∴1256v v =， 故答案为：56； ②14v = （千米/分钟），1256v v =， 2 4.8v ∴=（千米/分钟）．490360×= ，∴A 与B 站之间的路程为360．360 4.875÷=， ∴当100t =时，G 1002次列车经过B 站．由题意可如，当90110t ≤≤时，D 1001次列车在B 站停车．∴G 1002次列车经过B 站时，D 1001次列车正在B 站停车．ⅰ．当2590t ≤<时，12d d >，1212d d d d ∴−=−，()4 4.82560t t ∴−−=，75t =（分钟）；ⅱ．当90100t ≤≤时，12d d ≥，1212d d d d ∴−=−，()360 4.82560t ∴−−=，87.5t =（分钟），不合题意，舍去； ⅲ．当100110t <≤时，12d d <，1221d d d d ∴−=−，()4.82536060t ∴−−=，112.5t =（分钟），不合题意，舍去；ⅳ．当110150t <≤时，12d d <，1221d d d d ∴−=−，()()4.825360411060t t ∴−−+−=，125t =（分钟）． 综上所述，当75t =或125时，1260d d −=． 25. 如图，等边ABD △中，8AB =．（1）尺规作图：在图1中作点A 关于BD 的对称点C ，连接BC DC ，，并证明四边形ABCD 是菱形； （2）在（1）的条件下，点O 是四边形ABCD 对角线交点，动点E ，F ，G 分别在线段CD AC BC ，，上，且满足EF AD EG EF ⊥∥，，H 是FG 中点；①当OH AB ∥时，求证12OH DE =； ②当OH BC ⊥时，求OH 长度．【答案】（1）作图见解析，证明见解析（2 【解析】【分析】（1）作BAD ∠的平分线，交BD 于O ，截取OC OA =，点C 即为所作；由等边ABD △，可得AC 垂直平分BD ，即AC BD ⊥，OD OB =，进而可证四边形ABCD 是菱形；（2）①由题意证，EF CE =，如图2，作EP CF ⊥，则EP BD ∥，由EF CE =，可得P 是CF 的中点，如图2，连接PH ，则PH CG ∥，由OH AB ∥，AB CD ∥，可得30POH BAC OPH ∠=∠=°=∠，OH CD ∥，则OH PH =，如图2，作HQ EP ∥交EF 于M ，则HQ OD ∥，证明四边形ODQH 是平行四边形，证明四边形MEPH 是平行四边形，证明MEQ △是等边三角形，则QE ME PH ==，由2DE DQ QE OH PH OH =+=+=，可得12OH DE =；②由题意求2BP =，6CP =，2CE CG =，如图3，作EN CF 于H ，连接HN ，延长OH ，交BC 于P ，交EF于Q ，则四边形EGPQ 是矩形，QE PG PQ EG ==，，设CG a PG b ==，，则2EF CE a ==，PQ EG =，12HN a =，QE PG b ==，2FQ EF QE a b =−=−，6a b +=，证明()AAS FHQ GHP ≌，则12QH PH PQ ===，由题意知，2OF OQ =，2ON OH =，由勾股定理得，2FQ a b =−，则OQ =OH =，由QH OQ OH =++，可求a b =，则3a b ==，进而可求OH 的长． 【小问1详解】 解：作BAD ∠的平分线，交BD 于O ，截取OC OA =，点C 即为所作； ∵等边ABD △，∴AC 垂直平分BD ，即AC BD ⊥，OD OB =， 又∵OC OA =，∴四边形ABCD 菱形；【小问2详解】①证明：∵菱形ABCD ，∴30DAC DCA BAC BCA ∠=∠=∠=∠=°，60CDB ∠=°，120ADC ∠=°，BD AC ⊥，AB CD ∥，∵EF AD ∥，∴EFC DAC DCA ∠=∠=∠，120FEC ADC ∠=∠=°，60DEF ∠=°， ∴EF CE =，如图2，作EP CF ⊥，则EP BD∥，是图2∵EF CE =，∴P 是CF 的中点，如图2，连接PH ，∵H 是FG 中点，∴PH CG ∥，∴30OPH ACB ∠=∠=°， ∵OH AB ∥，AB CD ∥，∴30POH BAC OPH ∠=∠=°=∠，OH CD ∥，∴OH PH =，如图2，作HQ EP ∥交EF 于M ，则HQ OD ∥，∴四边形ODQH 是平行四边形，60CQH CDB ∠=∠=°， ∴DQ OH =，∵120EPH EPF OPH ∠=∠+∠=°，1602FEP CEF ∠=∠=°， ∴180EPH FEP ∠+∠=°，∴PH ME ∥，∴四边形MEPH 是平行四边形，∴PH ME =，∵60QEM MQE ∠=°=∠，∴MEQ △是等边三角形， ∴QEME PH ==， ∴2DE DQ QE OH PH OH =+=+=， ∴12OH DE =； ②解：∵菱形ABCD ，8AB =， ∴11422OB BD AB ===， ∵60DBC ∠=°，OHBC ⊥，∴30BOP ∠=°，∴2BP =，6CP =，∵60BCD ∠=°，90EGC FEG ∠=∠=°，∴30CEG ∠=°，∴2CE CG =，如图3，作EN CF 于H ，连接HN ，延长OH ，交BC 于P ，交EF 于Q ，则四边形EGPQ 是矩形，图3∴QE PGPQ EG ==，， 由①可知，EF CE =，HN CG ∥，12HN CG =， ∴90OHN QPC ∠=∠=°，30ONH BCA ∠=∠=°，设CG a PG b ==，，则2EF CE a ==，PQ EG =，12HN a =，QE PG b ==，2FQ EF QE a b =−=−，6a b +=，∵90FQH GPH ∠=°=∠，FHQ GHP ∠=∠，FH GH =， ∴()AAS FHQ GHP ≌，∴12QH PH PQ ===， 由题意知，2OF OQ =，2ON OH =，由勾股定理得，2FQ a b =−，解得，OQ =，同理，OH =， ∵QHOQ OH =+，a ，解得，a b =，∴3a b ==，∴OH =∴OH 【点睛】本题考查了作角平分线，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，中位线，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，含30°的直角三角形，勾股定理等知识．熟练掌握作角平分线，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，中位线，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，含30°的直角三角形，勾股定理是解题的关键．。
广东省江门市广雅中学2024-2025学年高一上学期9月月考数学试题B卷(含答案解析)
广东省江门市广雅中学2024-2025学年高一上学期9月月考数学试题B 卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}03A x x =≤≤∣，{14}B x x =<<∣，则A B = （）A ．{13}xx <≤∣B ．{04}xx ≤<∣C ．{}13xx ≤≤∣D ．{04}xx <<∣2．命题“0x ∀>，210x x ++≥，”的否定是（）A ．0x ∃≤，210x x ++<B ．0x ∃>，210x x ++<C ．0x ∃≤，210x x ++≥D ．0x ∀>，210x x ++<3．已知a 、b 为非零实数，且a b <，则下列不等式成立的是（）A ．22a b <B ．11a b<C ．33a b <D ．ac bc<4．甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：{}0Δ2A x x =<<，{}235,03B x x C x x ⎧⎫=-≤≤=<<⎨⎬⎩⎭，然后他们三人各用一句话来正确的描述“Δ”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲､乙､丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B 是A 成立的必要不充分条件；丙：C 是A 成立的充分不必要条件.则“Δ”中的数字可以是（）A ．3或4B ．2或3C ．1或2D ．1或35．已知二次函数221=-+y x ax 在区间(2,3)内是单调函数，则实数a 的取值范围是（）A ．2a ≤或3a ≥B ．23a ≤≤C ．3a ≤-或2a ≥-D ．32a --≤≤6．若函数223,1()1,1x ax x f x ax x ⎧++≤=⎨+>⎩是R 上的减函数，则a 的取值范围是A ．[3,1]--B ．(,1]-∞-C ．[1,0)-D ．[2,0)-7．已知命题p ：x ∀∈R ，210ax ax -+>；q ：x ∃∈R ，20x x a -+=.均为真命题，则a 的取值范围是（）A ．(),4-∞B ．[)0,4C ．10,4⎛⎤ ⎝⎦D ．10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．对任意实数,a b 定义运算“ ”，,,,b a b a b a a b≥⎧=⎨<⎩ ，设2()(2)(4)f x x x =-- ，有下列四个结论：①()f x 最大値为2；②()f x 有3个单调递减区间；③()f x 在3[,1]2--是减函数；④()f x 图象与直线y m =有四个交点，则02m ≤<，其中正确结论有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、多选题9．21x ≤的一个充分不必要条件是（）A ．10x -≤<B ．1x ≥C ．01x <≤D ．11x -≤≤10．下列各组函数能表示同一个函数的是（）A ．()()f x g x x==B ．()()2,x f x x g x x==C ．()()f x g x ==D ．()()222,2f x x x g u u u=-=-11．已知正实数x ，y 满足xy x y =+，则下列结论正确的是（）A ．xy的最小值为4B ．2x y +的最小值为3+C ．22x y +的最大值为8D ．112x y+的最小值为4三、填空题12．已知函数()f x 的图象如图所示，则()()2f f =.13．函数()f x =的单调递增区间是.14．已知关于x 的不等式()())R (110ax x a +-≤∈，若2a =-，则该不等式的解集是，若该不等式对任意的11x -≤≤均成立，则实数a 的取值范围是.四、解答题15．已知集合{}240A x x =-<，{}012B x x =≤-≤.(1)求A B ；(2)若集合{}11C x m x m =-≤≤+，A C ⋂=∅，求实数m 的取值集合.16．已知函数()1f x x x=+.(1)请用定义证明函数()f x 在()0.1上单调递减；(2)若存在11,42x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，使得210x ax -+≥成立，求实数a 的取值范围.17．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”经调研发现．某珍稀水果树的单株产量即（单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()()()()253025050251x x W x x x ⎧+≤≤⎪=⎨-<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）．(1)求()f x 的函数关系式；(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?18．已知函数2()2y x a b x a =-++．(1)若关于x 的不等式0y <的解集为{|12}x x <<，求a ，b 的值；(2)当2b =时，解关于x 的不等式0y >．19．已知()f x 是二次函数，且满足()()()02,123f f x f x x =+-=+．(1)求函数()f x 的解析式；(2)设函数()()()2g x f x t x =-+，求()g x 在区间[]1,2上的最小值()h t 的表达式．(3)在（2）的条件下，对任意的[]0,6t ∈，存在[]0,2m ∈，使得()28h t mk mk m ≤+-+成立，求k 的取值范围．参考答案：题号12345678910答案B BCCAADCACAD题号11答案AB1．B【分析】根据并集的知识确定正确答案.【详解】{}=|04A B x x ⋃=≤<.故选：B 2．B【分析】根据全称量词命题的否定的知识求得正确答案.【详解】原命题的全称量词命题，其否定是存在量词命题,注意到要否定结论而不是否定条件，所以B 选项符合.故选：B 3．C【分析】利用特殊值法可判断出A 、B 、D 三个选项中不等式的正误，利用作差法可判断C 选项中不等式的正误，由此可得出结论.【详解】对于A 选项，由于a b <，取2a =-，1b =，则22a b >，A 选项中的不等式不成立；对于B 选项，由于a b <，取1a =，2b =，则11a b>，B 选项中的不等式不成立；对于C 选项，()()()2332221324a b a b a ab b a b a b b ⎡⎤⎛⎫-=-++=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，a b < ，所以，a 与b 不可能同时为零，则223024b a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，则330a b -<，即33a b <，C 选项中的不等式成立；对于D 选项，取0c =，由于a b <，则ac bc =，D 选项中的不等式不成立.故选：C.【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用特殊值法、作差法、不等式的基本性质和函数的单调性进行判断，考查推理能力，属于基础题.4．C【分析】根据此数为小于5的正整数得到20ΔA x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，再推出C 是A 的真子集，A 是B 的真子集，从而得到不等式，求出2Δ,35⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，得到答案.【详解】因为此数为小于5的正整数，故{}20Δ20ΔA x x x x ⎧⎫=<<=<<⎨⎬⎩⎭，因为B 是A 成立的必要不充分条件，C 是A 成立的充分不必要条件，所以C 是A 的真子集，A 是B 的真子集，故22Δ3>且25Δ≤，解得2Δ,35⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故“Δ”中的数字可以是1或2.故选：C 5．A【分析】根据二次函数的性质求解.【详解】二次函数221=-+y x ax 的对称轴为0x a =，欲使得()2,3x ∈时是单调的，则对称轴0x a =必须在()2,3区间之外，即2a ≤或者3a ≥；故选：A.6．A【分析】根据分段函数单调性的性质可以得到关于a 的不等式组，解这个不等式组即可求出a 的取值范围.【详解】因为函数()f x 是R 上的减函数，所以有221201231aa a a ⎧-≥⎪⎪<⎨⎪++≥+⎪⎩，解得31a -≤≤-，故本题选A.【点睛】本题考查了已知分段函数的单调性求参数问题，数形结合是解题的关键.7．D【分析】210ax ax -+>，分0a =和0a ≠，结合开口方向，根的判别式得到不等式，求出p 为真命题，需满足04a ≤<，再利用根的判别式得到q 为真命题，需满足14a ≤，求交集得到答案.【详解】210ax ax -+>恒成立，当0a =时，10>，满足要求，当0a ≠时，需满足2Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，解得04a <<，故p 为真命题，需满足04a ≤<，x ∃∈R ，20x x a -+=，则140a ∆=-≥，解得14a ≤，故q 为真命题，需满足14a ≤，综上，a 的取值范围为[)010,4,41,4⎡⎤⎢⎥⎛⎤-∞=⎥⎣⎝⎦⎦故选：D 8．C【分析】根据f x （）的解析式，作出f x （）的图象，根据图象判断每个选项是否正确.【详解】根据定义，作出f x （）的图象（实线部分），可知当2x =±或0时，f x （）取得最大值2，①正确；f x （）单调递减区间为[2,)-+∞，所以②正确；由图象可知，f x （）在3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调，③错误；要使f x （）图象与直线y m =有四个交点，则0m =，④不正确.故答案为C.【点睛】以新定义运算为背景，设计出函数性质与图象的综合问题，考查函数的最大值、单调性、图象综合性问题，重在考查学生的转化能力和作图能力，属于中档题.9．AC【解析】由不等式21x ≤，求得11x -≤≤，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由不等式21x ≤，可得11x -≤≤，结合选项可得：选项A 为21x ≤的一个充分不必要条件；选项B 为21x ≤的一个既不充分也不必要条件；选项C 为21x ≤的一个充分不必要条件；选项D 为21x ≤的一个充要条件,故选：AC.10．AD【分析】根据定义域、值域和对应法则判断即可.【详解】()f x 的定义域为R ，()g x 定义域为R ，即定义域一样，且()||()f x x g x ==，即值域一样，故能表示同一个函数，故A 选项符合题意；()f x 的定义域为R ，()g x 定义域为0x ≠，定义域不一样，故不能表示同一函数，故B 选项不符合题意；()f x 定义域为[2,)+∞(],2∞⋃--，()g x 定义域为[2,)+∞，二者定义域不一样，故不能表示同一函数，故C 选项不符合题意；()f x 定义域为R ，()g u 定义域为R ，且对应法则一样，值域一样，故能表示同一函数，故D 选项正确.故选：AD 11．AB【分析】由基本不等式及“1”的代换求xy 、2x y +的最值，由基本不等式求得4x y +≥，结合二次函数性质求222()2()x y x x y y +=+-+的最值，由1111(122x y x +=+且101x<<求范围，即可判断各项正误.【详解】由题设111x y+=且0,0x y >>，111x y +=≥114xy ≤，故4xy ≥，当且仅当2x y ==时取等号，A 对；1122(2)()333y x x y x yx y x y +=++=++≥+=+1x y =时取等号，B 对；22222()2()2()(1)1x y xy x y x x y x y y =+-=+-=+-++-，而2()4x y xy x y +=+≤，整理有2()4()0x y x y +-+≥，则4x y +≥，当且仅当2x y ==时取等号，所以22x y +≥8，即2x y ==时取等号，C 错；1121111()(1)2222x y x y x y xy xy x x +++==+=+，而101x<<，故111(,1)22x y +∈，D 错.故选：AB 12．4【分析】根据函数()f x 的图象，先求得()2f 的值，进而求得()()2f f 的值，得到答案.【详解】由函数()f x 的图象，可得()20f =，则()()()204f f f ==.故答案为：4.13．[3,)+∞【分析】首先求出函数()f x 的定义域，令256t x x =-+，分别求出256t x x =-+和y 的单调区间，再利用符合函数单调性的性质即可求出()f x 的单调递增区间.【详解】因为2560x x -+≥，得(2)(3)0x x --≥，得2x ≤或3x ≥，解得函数()f x 的定义域为(,2][3,)-∞⋃+∞.令256t x x =-+，y 在[0,)+∞单调递增.因为函数256t x x =-+在[3,)+∞单调递增，由复合函数的单调性知：()f x =[3,)+∞单调递增.故答案为：[3,)+∞【点睛】本题主要考查符合函数的单调性，特别注意先求定义域，利用复合函数“同增异减”为解题的关键，属于容易题.14．[)1,1,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ ，[]1,1-.【分析】代入2a =-，化简可得()()2110x x --≥，根据一元二次不等式解法求结论，当1x =时由条件求a 的取值范围，当1<1x ≤-时，化简不等式，由条件求a 的取值范围，由此可得结论.【详解】当2a =-时，不等式()()110ax x +-≤可化为()()2110x x -+-≤，所以()()2110x x --≥，所以1x ≥或12x ≤，所以不等式()()2110x x -+-≤的解集是[)1,1,2∞∞⎛⎤-⋃+ ⎥⎝⎦，由已知对任意的11x -≤≤，不等式()()110ax x +-≤恒成立，当1x =时，()()110ax x +-=，此时R a ∈，当1<1x ≤-时，不等式()()110ax x +-≤，可化为10ax +≥，所以()min 10ax +≥，其中1<1x ≤-，所以1010a a -+≥⎧⎨+≥⎩，所以11a -≤≤，所以不等式对任意的11x -≤≤均成立时，a 的取值范围是[]1,1-.故答案为：[)1,1,2∞∞⎛⎤-⋃+ ⎥⎝⎦，[]1,1-.15．(1){|23}x x -<≤；(2){|3m m ≤-或3}m ≥.【分析】（1）求解不等式，从而求得集合,A B ，再求并集即可；（2）根据交集为空集，结合（1）中所求，列出对应的不等式，求解即可.【详解】（1）因为{}240A x x =-<{|22}x x =-<<，{}012B x x =≤-≤{|13}x x =≤≤，故可得：A B {|23}x x =-<≤.（2）因为{|22}A x x =-<<，{}11C x m x m =-≤≤+，且A C ⋂=∅，故可得：12m +≤-或12m -≥，解得3m ≤-或3m ≥，故实数m 的取值范围为：{|3m m ≤-或3}m ≥.16．(1)证明见解析(2)17(,]4-∞【分析】（1）根据题意，利用函数单调性的定义与判定方法，即可求解；（2）根据题意，转化为存在11,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得1a x x ≤+，由（1）得到()f x 在11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为单调递减函数，求得()f x 的最大值，即可求解.【详解】（1）证明：任取()12,0.1x x ∈且12x x <，则()()122121212121211211111()()()x x f x f x x x x x x x x x x x x x --=+--=-+-=-⋅，因为()12,0.1x x ∈且12x x <，可得210x x ->，且1201x x <<，所以1210x x -<，所以()()122121121()0x x f x f x x x x x --=-⋅<，即()()12f x f x >，所以函数()f x 在()0.1上为单调递减函数.（2）解：由11,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式210x ax -+≥可化为211x a x x x+≤=+，因为存在11,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得210x ax -+≥成立，即max 1()a x x ≤+，由（1）知，函数()1f x x x =+在11,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦为单调递减函数，所以()max 1117()4444f x f ==+=，所以174a ≤，即实数a 的取值范围17(,]4-∞.17．(1)()27530225,027*******,251x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨--<≤⎪+⎩(2)4千克时，利润最大480元.【分析】（1）利用销售额减去成本投入可得出利润解析式；（2）利用分段函数的单调性及基本不等式计算最值即可.【详解】（1）由已知()()27530225,0215201075075030,251x x x f x W x x x x x x ⎧-+≤≤⎪=--=⎨--<≤⎪+⎩；（2）由（1）得()2175222,025********,251x x f x x x x ⎧⎛⎫-+≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-++<≤ ⎪⎪+⎝⎭⎩，即由二次函数的单调性可知，当[]0,2x ∈时，()()max 2465f x f ==，由基本不等式可知当(]2,5x ∈时，()257803017803024801f x x x ⎛⎫=-++≤-⨯ ⎪+⎝⎭，当且仅当4x =时取得最大值，综上，当4x =时取得最大利润，最大利润为480元.18．(1)1a =，2b =(2)答案见解析【分析】（1）依题意可得关于x 的方程2()20x a b x a -++=的两个根为1和2，利用韦达定理得到方程组，解得即可；（2）依题意可得()(2)0x a x -->，再分2a <、2a =、2a >三种情况讨论，分别求出不等式的解集.【详解】（1）因为关于x 的不等式0y <的解集为{|12}x x <<，所以关于x 的方程2()20x a b x a -++=的两个根为1和2，∴322a b a +=⎧⎨=⎩，解得1a =，2b =；（2）当2b =时，原不等式可化为2(2)20x a x a -++>，即()(2)0x a x -->，当2a <时，解得x a <或2x >；当2a =时，解得2x ≠；当2a >时，解得2x <或x a >；综上可知，当2a ≤时，原不等式的解集为()(),2,a -∞+∞ ；当2a >时，原不等式的解集为()(),2,a -∞+∞ ．19．(1)()222f x x x =++(2)()23,22,24462,4t t t h t t t t -≤⎧⎪⎪=-<<⎨⎪-≥⎪⎩(3)2k ≥或3k ≤-【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）求出()g x 的对称轴为2t x =，然后进行分类讨论求解；（3）将问题转化为()()()2max max 8h t mk mk m ≤+-+，求出()()max 6h t =，然后得到不等式()21140k k m ++-≥，对21k k ++进行分类讨论求解．【详解】（1）设()()20f x ax bx c a =++≠，()02,f = ()02f c ∴==又()()123,f x f x x +-=+ ()22(1)12223a xb x ax bx x ∴++++---=+即223ax a b x ++=+，223a a b =⎧∴⎨+=⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩，即()222f x x x =++，（2）由题意得，()()()222g x f x t x x tx =-+=-+，则二次函数()g x 的对称轴为2t x =，若2t ≤时，12t ≤，当1x =时，()g x 的最小值为3t -；若24t <<时，122t <<，当2t x =时，()g x 的最小值为224t -；若4t ≥时，22t ≥，当2x =时，()g x 的最小值为62t -；所以()23,22,24462,4t t t h t t t t -≤⎧⎪⎪=-<<⎨⎪-≥⎪⎩；（3）在（2）的条件下，对任意的[]0,6t ∈，存在[]0,2m ∈，使得()28h t mk mk m ≤+-+成立，即()()()2max max 8h t mk mk m ≤+-+，作如下图形：故()23,22,24462,4t t t h t t t t -≤⎧⎪⎪=-<<⎨⎪-≥⎪⎩是单调递减函数，[]0,6t ∈ ，当0t =时，()03h =，当6t =时，()66h =-，()max 6h t ∴=，()[]2max 86,0,2mk mk m m ∴+-+≥∈，()[]2max 1140,0,2k k m m ⎡⎤∴++-≥∈⎣⎦，因为22133100244k k k ⎛⎫++==-+≥> ⎪⎝⎭所以2m =时()2114k k m ++-取最大值，所以不等式()221140k k ++-≥，解得：2k ≥或3k ≤-；综上所述：2k ≥或3k ≤-．【点睛】本题考查了求解二次函数的解析式，分段函数的解析式及最值问题、不等式中恒成立问题，利用分类讨论的思想及转化思想求解是关键．。
2023-2024学年广东省广雅中学八年级下学期月考数学试卷含详解
A. B.
C. D.
4.关于正比例函数 ,下列说法中,错误的是（）
A.其图象经过原点B.其图象是一条直线
C. 随 的增大而增大D.点 在其图象上
5.已知点 , 在一次函数 的图象上,若 ,则 与 的大小关系是（）
【详解】解： 与 成正比例, 与 成正比例.
, .
.
当 时, ,当 时, .
.
解得, .
．
故答案为： ．
13.已知一次函数 的图象经过点 ,则 ______．
【答案】
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点,熟知一次函数图像上各点的坐标适合一次函数解析式是解题的关键．本题直接把点 代入一次函数 ,即可求解．
11.若正比例函数 的图象经过第一,第三象限,则 的取值范围是______．
12.已知 , 与 成正比例, 与 成正比例,且当 时, ,当 时, ,则 关于 的函数解析式为______．
13.已知一次函数 的图象经过点 ,则 ______．
14.菱形 在平面直角坐标系中的位置如图所示,点 的坐标为 , ,则点 的坐标为_____．
4.关于正比例函数 ,下列说法中,错误的是（）
A.其图象经过原点B.其图象是一条直线
C. 随 的增大而增大D.点 在其图象上
【答案】C
【分析】本题考查了正比例函数 性质．解题的关键是熟练掌握正比例函数的性质．本题根据一次函数的性质,对四选项逐个进行判断即可得出结论．
【详解】解：A,当 时, ,故图象经过原点,说法正确.
．满足对于x的每一个取值,y都有唯一确定的值与之对应关系,可以表示 是 的函数,故该选项不符合题意.
2024年湖北省武汉市二中学广雅中学数学九上开学统考试题【含答案】
2024年湖北省武汉市二中学广雅中学数学九上开学统考试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是黄金分割比（黄金分割比≈0.618）著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是黄金分割比．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为103cm ，头顶至脖子下端的长度为25cm ，则其身高可能是（）A ．165cm B ．170cm C ．175cm D ．180cm 2、（4分）如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，E 为AB 的中点，G 为BC 延长线上一点，射线EO 与∠ACG 的角平分线交于点F ，若AC ＝5，BC ＝6，则线段EF 的长为()A ．5B ．112C ．6D ．73、（4分）若反比例函数ky x =的图象经过点()1,2--，则该反比例函数的图象位于()A ．第一、二象限B ．第二、三象限C ．第二、四象限D ．第一、三象限4、（4分）已知函数y=2x+k-1的图象经过第一、三、四象限，则k 的值可以是（）A ．3B ．2C ．1D ．05、（4分）若式子x 的取值范围是（）A ．x ＞32B ．x ＜32C ．x≥32D．x≤326、（4分）如果a ＞b ，下列各式中正确的是（）A ．ac ＞bc B ．a ﹣3＞b ﹣3C ．﹣2a ＞﹣2b D ．22a b <7、（4分）下列二次根式是最简二次根式的是（）A ．B C D ．8、（4分）下列分式2410xy x ，22a ba b ＋＋，22x y x y －＋，221a a a ＋－最简分式的个数有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）比较大小：10、（4分）等边三角形中，两条中线所夹的锐角的度数为_____．11、（4分）如图，已知()1,0A ，()3,0B ，()0,1C -，()0,1D，若线段CD 可由线段AB 围绕旋转中心P 旋转而得，则旋转中心P 的坐标是______.12、（4分）在1，2，3，4-这四个数中，任选两个数的积作为k 的值，使反比例函数y kx=的图象在第二、四象限的概率是________.13、（4分）如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝BC ＝BD ＝2，AD ＝1，则AC ＝__________.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图所示，在中，点在上，于，且平分，.求证：.15、（8分）如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为位似中心，将OAB ∆放大到原来的2倍后得到OA B ∆''，其中A 、B 在图中格点上，点A 、B 的对应点分别为A '、B '。
2023-2024学年广东省广雅中学八年级下学期期中模拟数学试卷含详解
【答案】C
【分析】本题考查函数的概念,设在一个变化过程中有两个变量x与y,对于x的每一个确定的值,y都有唯一的值与其对应,那么就说y是x的函数,由此即可判断．
【详解】解：A,曲线能表示y是x的函数,故A不符合题意.
B,曲线能表示y是x的函数,故B不符合题意.
C,曲线中对于x的每一个确定的值,y都有两个值与之对应,则不能表示y是x的函数,故C符合题意.
2023—2024学年度第二学期期中质量检测
八年级数学模拟试卷
一,选择题：本大题10小题,每小题3分,共30分．
1.下列根式是最简二次根式的是（）
A. B. C. D.
2.如图所示曲线中不能表示 是 函数的是（）．
A B. C. D.
3. 与 是平行四边形 的一组对角,若 ,那么 的度数是（）
A. B. C. D.
4.已知正比例函数 ,且 随 的增大而减小,则 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】正比例函数y随x的增而减小,则系数小于0．
【详解】解：由题意可知,正比例函数y随x的增大而减小.
∴k-5＜0.
∴k＜5.
故选：B．
【点睛】本题主要考查一次函数系数与图象的关系,了解函数的增减性是解答本题的关键．
10.如图,已知四边形 为正方形, , 为对角线 上一点,连接 ,过点 作 ,交 的延长线于点 ,以 , 为邻边作矩形 ,连接 ．以下结论：①矩形 是正方形,② ,③ 平分 ,④ ．其中结论正确的序号有（）．
A.①③④B.①②④C.①②③D.①②③④
【答案】A
【分析】过点E作 于点M,作 于点N,根据正方形性质结合所作辅助线可推出四边形 是正方形,由矩形性质得 ,又可证 ,即可利用“ ”证明 ,即得出 ,说明矩形 是正方形,故①正确,根据正方形性质得 ,推出 ,得到 ,由此推出 平分 ,故③④正确,进而求得 ,故②错误.
2023-2024学年广东省广州市荔湾区广雅中学八年级(上)期中数学试卷
2023-2024学年广东省广州市荔湾区广雅中学八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只1．（3分）我们生活在一个充满对称的世界中，生活中的轴对称图形随处可见，下面几幅图片是校园中运动场上代表体育项目的图标，其中可以看作是轴对称图形的是（）A．乒乓球B．跳远C．举重D．武术2．（3分）下列运算正确的是（）A．a2•a4＝a8B．a4+a4＝a8C．（2ab）3＝8a3b3D．（a2）4＝a63．（3分）为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门背面加钉了一根木条，这样做的道理是（）A．三角形具有稳定性B．三角形两边之和大于第三边C．两点确定一条直线D．两点之间线段最短4．（3分）在下列各图中，正确画出△ABC边AC上的高的是（）A．B．C．D．5．（3分）一个多边形的内角和等于外角和的两倍，那么这个多边形是（）A．三边形B．四边形C．五边形D．六边形6．（3分）一个等腰三角形的周长为16cm，其中有一边的长为4cm，则该等腰三角形的腰长为（）A．4cm B．6cm C．4cm或6cm D．4cm或8cm7．（3分）如图，△ACB≌△A′CB′，A′B′经过点A，∠BAC＝65°，则∠ACA′的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°8．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝1，则AD的长为（）A．1.5B．2C．3D．49．（3分）如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝5，AD＝12，AB∥CD，点E是CD上一点，BE交AD于点F，若AB＝DE，则图中阴影部分的面积为（）A．30B．40C．45D．6010．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，与CD相交于点F，DH⊥BC于点H，交BE于点G．下列结论：①BD＝CD；②AD+CF＝BD；③；④AE＝CF．其中正确的是（）A．①②B．①③C．①②③D．①②③④二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）点P（﹣1，2）关于x轴对称的点的坐标是．12．（3分）若a m＝2，a n＝6，则a m+n＝．13．（3分）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，若测量得A'B'＝10cm，则工件内槽宽AB为cm．14．（3分）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交AC于点D，交AB于点E，连接BD．若∠C＝90°，若∠ABD＝2∠CBD，求∠A 的度数是．15．（3分）已知x+y＝3，xy＝1，则（x﹣2）（y﹣2）＝．16．（3分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，点D为直线BC上异于点B，C的一点，若△ABD是等腰三角形，求∠BAD的度数为．三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
广东省广州市广雅中学2024届高三下学期教学情况检测(二) 数学试题【含答案】
广东广雅中学2024届教学情况检测（二）数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}11P x x =-≤≤，{},M a a =-．若P M P ⋃=，则实数a 的取值范围是（）A ．{}11a a -≤≤B ．{}11a a -<<C ．{11a a -<<且}0a ≠D ．{11a a -≤≤且}0a ≠2．在5(2)x +的展开式中，2x 项的系数为（）A ．1B ．10C ．40D ．803．已知直线a ，b 和平面α，a ⊂α，b α⊂，则“//a α”是“//a b ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．2024年2月4日，“龙行中华——甲辰龙年生肖文物大联展”在山东孔子博物馆举行，展览的多件文物都有“龙”的元素或图案．出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）就是这样一件珍宝．玉璜璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰“S ”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：8AB ≈cm ，2AD ≈cm ，5AO ≈cm ，若3sin 375︒≈，π 3.14≈，则璜身（即曲边四边形ABCD ）面积近似为（）A ．26.8cmB ．29.8cmC ．214.8cmD ．222.4cm 5．甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（）A ．156B ．210C ．211D ．2166．记正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，20100S =，则1011a a ⋅的最大值为（）A ．9B ．16C ．25D ．507．已知直线:1l y mx m =--，P 为圆22:4210C x y x y +--+=上一动点，设P 到直线l 距离的最大值为()d m ，当()d m 最大时，m 的值为（）A ．12-B ．32-C ．23D ．28．已知抛物线214y x =和21516y x =-+所围成的封闭曲线如图所示，已知点()0,A a ，若在此封闭曲线上至少存在两对不同的点，满足每一对点关于点A 对称，则实数a 的取值范围是（）A ．(]1,4B ．5,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．5,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．(]2,3二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．设z 为复数（i 为虚数单位），下列命题正确的有（）A ．若z ∈R ，则z z =B ．若2z ∈R ，则z ∈RC ．若()1i 1i z +=-，则1z =D ．若210z +=，则iz =10．袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件A =“取出的球的数字之积为奇数”，事件B =“取出的球的数字之积为偶数”，事件C =“取出的球的数字之和为偶数”，则（）A ．事件A 与B 是互斥事件B ．事件A 与B 是对立事件C ．事件B 与C 是互斥事件D ．事件B 与C 相互独立11．已知函数()cos sin2xf x x =+，则（）A ．()f x 在区间π0,6⎛⎫⎪⎝⎭单调递增B ．()f x 的图象关于直线πx =对称C ．()f x 的值域为90,8⎡⎤⎢⎣⎦D ．关于x 的方程()f x a =在区间[0,2π]有实数根，则所有根之和组成的集合为{}π,2π,4π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知O 为坐标原点，点F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，点A ，B 在C 上，AB 的中点为F ，OA OB ⊥，则C 的离心率为．13．已知函数()log ab f x x x =-（0a >，0b >）且1b ≠），若()1f x ≥恒成立，则ab 的最小值为.14．已知球O 的表面积为12π，正四面体ABCD 的顶点B ，C ，D 均在球O 的表面上，球心O 为BCD △的外心，棱AB 与球面交于点P ．若A ∈平面1α，B ∈平面2α，C ∈平面3α，D ∈平面4α，1//(1,2,3)i i i αα+=且i α与1(1,2,3)i i α+=之间的距离为同一定值，棱AC ，AD 分别与2α交于点Q ，R ，则PQR 的周长为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是边长为2的菱形，1π3ABB ∠=，AC =M 为11A B 中点，CM(1)证明：平面ABC ⊥平面11ABB A ；(2)若2BC =，求平面ABC 与平面1ABC 夹角的余弦值.16．“双减”政策执行以来，中学生有更多的时间参加志愿服务和体育锻炼等课后活动．某校为了解学生课后活动的情况，从全校学生中随机选取100人，统计了他们一周参加课后活动的时间（单位：小时），分别位于区间[7,9),[9,11),[11,13),[13,15),[15,17),[17,19]，用频率分布直方图表示如下：假设用频率估计概率，且每个学生参加课后活动的时间相互独立．(1)估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间[)13,17的概率；(2)从全校学生中随机选取3人，记ξ表示这3人一周参加课后活动的时间在区间[)15,17的人数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ；(3)设全校学生一周参加课后活动的时间的中位数估计值为a ､平均数的估计值为b （计算平均数时，同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替），请直接写出,a b 的大小关系．17．双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>32,2T在C 上.(1)求C 的方程；(2)设圆O ：222x y +=上任意一点P 处的切线交C 于M 、N 两点，证明：以MN 为直径的圆过定点.18．已知函数()()sin e ln 1xf x x a x =+++．(1)求曲线()y f x =在0x =处的切线方程；(2)当2a ≤-时，求函数()f x 在(]1,0-上的最小值；(3)写出实数a 的一个值，使得()1f x ≥恒成立，并证明．19．已知12:,,,k Q a a a 为有穷正整数数列，且12k a a a ≤≤≤，集合{}1,0,1X =-．若存在,1,2,,i x X i k ∈= ，使得1122k k x a x a x a t +++= ，则称t 为k -可表数，称集合{}1122,,1,2,,k k i T t t x a x a x a x X i k ==+++∈= ∣为k -可表集．(1)若110,2,1,2,,i i k a i k -=== ，判定31，1024是否为k -可表数，并说明理由；(2)若{}1,2,,n T ⊆ ，证明：312k n -≤；(3)设13,1,2,,i i a i k -== ，若{}1,2,,2024T ⊆ ，求k 的最小值．1．D【分析】根据并集结果可知M P ⊆，进而可构造不等式，解不等式求得结果.【详解】解：P M P = ，M P ∴⊆a P ∴∈，a P -∈且a a≠-11a ∴-≤≤，11a -≤-≤，0a ≠，解得：11a -≤≤且0a ≠a ∴的取值范围为{11a a -≤≤且}0a ≠故选：D 2．D【分析】利用通项求解可得.【详解】通项公式为515C 2rrr r T x -+=，当2r =时，232235C 280T x x ==，所以2x 项的系数为80.故选：D 3．B【分析】根据题意，由空间中的线面关系，即可判断.【详解】根据线面平行的判定定理可得，若//a b ，则//a α，即必要性成立，若//a α，则//a b 不一定成立，故充分性不成立，所以“//a α”是“//a b ”的必要不充分条件.故选：B 4．C【分析】根据给定图形求出圆心角AOB ∠，再利用扇形面积公式计算即得.【详解】显然AOB 为等腰三角形，5,8OA OB AB ===，则142cos 5ABOAB OA ∠==，3sin 5OAB ∠=，即37OAB ∠≈ ，于是53π10690AOB ∠==，所以璜身的面积近似为()()()222221153π·5314.8cm 2290AOB OA OD ∠-=⨯⨯-≈.故选：C 5．D【分析】共有三种情况，3人站一个台阶，或2人站一个台阶另1人站另一个台阶，或3人各站一个台阶，然后根据分类计数加法原理即可求解．【详解】若三人站在一个台阶上，有1363C A 种站法，若三人站在两个台阶上，有2262A A 种站法，若三人站在三个台阶上，有3363C A 种站法，所以，一共有132233636263C A A A C A 216++=种站法.故选：D.6．C【分析】根据等差数列的求和公式计算可得101110a a +=，利用基本不等式计算即可得出结果.【详解】∵12020201002a a S +=⨯=，120101112010,10.a a a a a a ∴+=∴+=+=又∵10110,0a a >>，∴210111011+100==2524a a a a ⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭，当且仅当1011==5a a 时，取“=”∴1011a a ⋅的最大值为25.故选：C 7．A【分析】先得出直线l 过定点()1,1A -，再求出圆心坐标，由圆的对称性以及斜率公式得出m 的值.【详解】因为:l (1)(1)y m x --=-，所以直线l 过定点()1,1A -，圆22:4210C x y x y +--+=可化为22(2)(1)4x y -+-=，则圆心()2,1C ，2r =，由圆的对称性可知，当AC l ⊥时，P 到直线l 距离的最大，则1(1)221AC k --==-，112AC m k =-=-.故选：A 8．B【分析】先联立两抛物线方程求出抛物线交点的横坐标为4±，再根据题意知在某一支抛物线必存在一对点满足题意，故必定还存在两支曲线上的不同点关于(0,)A a 对称，设抛物线214y x =上的点21(,)4P t t ，则P 关于A 的对称点21(,2)4P t a t '--在21516y x =-+上，从而可得关于t 的方程：221125416a t t -=-+在(4,4)t ∈-上有解，最后参变分离转化为函数的值域，即可求解.【详解】联立22141516y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，可得216x =，所以4x =±，故两抛物线交点的横坐标为4±，显然在某一支抛物线上必存在一对点满足题意，故必定还存在两支曲线上的不同点关于(0,)A a 对称，不妨设抛物线214y x =上的点21(,)4P t t ，则P 关于A 的对称点21(,2)4P t a t '--在21516y x =-+上，所以关于t 的方程：221125416a t t -=-+在(4,4)t ∈-上有解，即232516a t =+在(4,4)t ∈-上有解，因为[)20,16t ∈，所以[)2355,816t +∈，所以[)25,8a ∈，即5,42a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：B 9．AC【分析】利用共轭复数的定义可判断A 选项；利用特殊值法可判断B 选项；利用复数的除法化简复数z ，利用复数的模长公式可判断C 选项；解方程210z +=，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，若z ∈R ，则z z =，A 对；对于B 选项，若2z ∈R ，不妨取i z =，则21z =-∈R ，但z ∉R ，B 错；对于C 选项，若()1i 1i z +=-，则()()()21i 1i i 1i 1i 1i z --===-++-，故1z =，C 对；对于D 选项，若210z +=，则21z =-，解得i z =±，D 错.故选：AC.10．AB【分析】利用互斥，对立，相互独立的概念逐一判断.【详解】对于AB ：取出的球的数字之积为奇数和取出的球的数字之积为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，故事件A 与B 是互斥事件，也是对立事件，AB 正确；对于C ：如果取出的数为2,4，则事件B 与事件C 均发生，不互斥，C 错误；对于D ：()()()22223333222666C C C C 4211,,C 5C 5C 5P B P C P BC +=-=====，则()()()P B P C P BC ≠，即事件B 与C 不相互独立，D 错误；故选：AB.11．BCD【分析】利用符合函数的单调性判断A ，计算出()()2πf x f x -=即可判断B ，利用换元法求出函数的值域，即可判断C ，求出函数在[0,2π]上的单调性，即可画出函数()f x 在区间[0,2π]的图象，结合图象分类讨论，即可判断D.【详解】对于A ：当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时sin 02x >，所以2()cos sin 12sin sin 222x xx f x x =+=-+，因为sin 2x y =在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，又πsin 124===，所以62sin 24x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，因为49316>，即74>172044=>，即124>，12>，所以π1sin 124=，又221y x x =-++在1,4∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以212sin sin 22xx y =-+在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，即()f x 在区间π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭不单调，故A 错误；对于B ：因为()()()2π2πcos 2πsincos sin 22x xf x x x f x --=-+=+=，所以()f x 的图象关于直线πx =对称，故B 正确；对于C ：因为()22cos sin 12sin sin 12sin sin 22222x x x x xf x x =+=-+=-+，令sin2x t =，则[]0,1t ∈，令()212h t t t =-+，[]0,1t ∈，则()h t 在10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，又()01h =，()10h =，1948h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()90,8h t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 的值域为90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故C 正确；对于D ：当[0,2π]x ∈时sin02x ≥，所以()2cos sin 12sin sin 222x x xf x x =+=-+，由A 选项可令π0,6α⎡⎤∈⎢⎣⎦且1sin 24α=，则当[]0,x α∈时()f x 单调递增，令π222x α<<，即πx α<<时sin 2x y =在(),πα上单调递增，且1sin 142x<<，所以()f x 在(),πα上单调递减，又2π1sinsin 224αα-==，令π2π222x α-<<，即π2πx α<<-时sin 2xy =在()π,2πα-上单调递减，且1sin 142x<<，所以()f x 在()π,2πα-上单调递增，当2ππ22x α-<<，即2π2πx α-<<时sin 2x y =在()2π,2πα-上单调递减，且10sin 24x <<，所以()f x 在()2π,2πα-上单调递减，又()()02π1f f ==，()π0f =，()()92π8f f αα=-=，所以()f x 在[0,2π]上的函数图象如下所示：由图可知：①当0a =时()y f x =与y a =有且仅有一个交点，即关于x 的方程()f x a =在区间[0,2π]的实数根为π；②当01a <<或98a =时()y f x =与y a =有两个交点，即关于x 的方程()f x a =在区间[0,2π]有两个实数根，且两根关于πx =对称，所以两根之和为2π；③当918a ≤<时()y f x =与y a =有四个交点，即关于x 的方程()f x a =在区间[0,2π]有四个实数根，不妨设为1234,,,x x x x 且1234x x x x <<<，所以1x 与4x 关于πx =对称，2x 与3x 关于πx =对称，所以12344πx x x x +++=；④当a<0或98a >时()y f x =与y a =无交点，即关于x 的方程()f x a =在区间[0,2π]无实数根；综上可得，若关于x 的方程()f x a =在区间[0,2π]有实数根，则所有根之和组成的集合为{}π,2π,4π，故D 正确；故选：BCD【点睛】关键点点睛：对于D 选项关键是分析出函数的单调性，结合函数图象，将方程的解转化为函数与函数的交点问题，结合函数的对称性求出方程的根的和.12．12【分析】先结合图形求得(),A c c ，代入椭圆方程构造齐次式，然后可解.【详解】由椭圆的对称性可知，AB 垂直于x 轴，又OA OB ⊥，所以π4AOF ∠=，所以AOF 为等腰直角三角形，故(),A c c ，所以22221c c a b+=，即222222a c b c a b +=，所以()()22222222a c a c c a a c +-=-，整理得42310e e -+=，解得2352e -=或2352e +=（舍去），故2355151222e ⎛⎫---=== ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：512-13．e【分析】根据题意分类讨论01b <<，1b >两种情况，通过导数求导得到ln bab b=，再构造函数()()1ln bg b b b=>及导数方法求出其最小值，从而求解.【详解】函数()log ab f x x x =-的定义域为()0,+∞，当01b <<时，可得()f x 在()0,+∞上单调递增，()0110a f b b b =-<-=，不合题意；当1b >时，()111ln ln a a a f x axx x b x a b -⎛⎫=--'= ⎝⎭，令()00f x '=，解得101ln a x a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以当0x x =时，()f x 有极小值，也是最小值，又因为()11f ≥且()11f =，所以()()0min 011f x f x x ⎧==⎨=⎩，则1011ln ax a b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，得ln 1a b =，所以ln b ab b =，设()()1ln b g b b b=>，()()2ln 1ln b g b b -'=，令()0g b '=，得e b =，当()1,e b ∈，()0g b '<，当()e,b ∈+∞，()0g b '>，所以()g b 在区间()1,e 单调递减，()e,+∞单调递增，所以()()min e e g b g ==，即ab 的最小值为e .故答案为：e .【点睛】方法点睛：通过分类讨论01b <<，1b >两种情况得到符合的情况，通过导数求导得到ln b ab b =，再构造函数()()1ln bg b b b=>并利用导数求出其最小值即可.14．1+1【分析】结合球的表面积公式，根据正三角形外接圆的性质求得边长，利用三点共线及数量积的运算律求得113AP AB ==，然后利用平行平面的性质求得1AR =，32AQ =，再利用余弦定理求得PQ RQ ==PQR 的周长.【详解】设i α与1(1,2,3)i i α+=之间的距离为d ，设球O 的半径为R ，则由题意得24π12πR =，解得R =所以OB OP ==，所以3AB BC ===，所以OA ，由A ，P ，B 三点共线，故存在实数λ使得()()101OP OA OB λλλ=+-<< ，所以()()22222121OP OA OB OA OB λλλλ=+-+-⋅，所以()223631λλ=+-，即2320λλ-=，解得23λ=，所以2133OP OA OB =+ ，所以12AP PB =，所以113AP AB ==，又1//(1,2,3)i i i αα+=且i α与1(1,2,3)i i α+=之间的距离为d ，则133AR d AD d ==，122AQ d AC d ==，所以1AR =，32AQ =，所以93171214222PQ RQ ==+-⨯⨯⨯=，又113PR BD ==，所以PQR 的周长为712172+⨯=+.故答案为：17+【点睛】关键点点睛：本题考查学生的空间想象能力，解题关键是找到点,,P Q R 的位置．本题中应用正四面体的性质结合球的半径，求出边长，利用平行平面的距离，得到所求三角形的边长即可求解.15．(1)证明见解析(2)77【分析】（1）连接1,AM AB ，证明AM AB ⊥，继而证明AM AC ⊥，即可证明AM ⊥平面ABC ，根据面面垂直的判定定理，即可证明结论；（2）建立空间直角坐标，求得相关点坐标，求出平面ABC 与平面1ABC 的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案.【详解】（1）连接1,AM AB ，在菱形11ABB A 中，111π2,3A A AB AA B ==∠=，故1AA B 为正三角形，又M 为11A B 中点，故11AM A B ⊥，且3AM =又11AB A B ∥，故AM AB ⊥，CM =AC =222AM AC C M +=，故AM AC ⊥,而,,AB AC A AB AC =⊂ 平面ABC ，故AM ⊥平面ABC ，又AM ⊂平面11ABB A ，故平面ABC ⊥平面11ABB A ；（2）由于2BC AB ==，AC =222BC BA AC +=，故CB AB ⊥，又平面ABC ⊥平面11ABB A ，平面ABC ⋂平面11ABB A AB =，而CB ⊂平面ABC ,故CB ⊥平面11ABB A ，取1BB 中点为O ，则1ABB 为正三角形，则1AO BB ⊥，作OH BC ∥，交1CC 于H ，故OH ⊥平面11ABB A ，1BB ,OA ⊂平面11ABB A ，故1,OH OA OH OB ⊥⊥，则1,,OA OB OH 两两垂直，分别以1,,OA OB OH 所在直线为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，则)()()()13,0,1,0,0,1,2,0,1,2,,,022AB C C M ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，)()1,0,2,2BA BC ==，因为AM ⊥平面ABC，故3,,022AM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭可作为平面ABC 的法向量，设平面1ABC 的法向量为(),,n x y z = ，则100n BA n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即0220y y z +=+=⎪⎩，令y =(1,n = ，故cos ,n AM n AM n AM ⋅===⋅，而平面ABC 与平面1ABC 夹角的范围为π[0,2，故平面ABC 与平面1ABC夹角的余弦值为7.16．(1)0.65(2)分布列见解析，期望为1.2(3)b a<【分析】（1）根据频率分布直方图计算出对应频率即为所求；（2）由题意可得ξ服从二项分布，再根据二项分布的分布列及期望公式求解即可；（3）根据公式计算平均数和中位数，再比较大小即可.【详解】（1）根据频率分布直方图，可得学生一周参加课后活动的时间位于区间[)13,17的频率为()0.1250.20020.65+⨯=，因此估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间[)13,17的概率为0.65；（2）从全校学生中随机选取1人，其一周参加课后活动的时间在区间[)15,17的概率为0.4，因此()3,0.4B ξ ，ξ可取0,1,2,3，()()311230(10.4)0.216,1C 0.4(10.4)0.432P P ξξ==-===⨯⨯-=，()()221332C 0.4(10.4)0.288,30.40.064P P ξξ==⨯⨯-====．则ξ的分布列为：ξ0123P0.2160.4320.2880.064()30.4 1.2E ξ=⨯=；（3）因为()0.0250.0500.07520.30.5++⨯=<，()0.0250.0500.0750.12520.550.5+++⨯=>，故中位数a 在区间[)13,15上，则()130.1250.50.30.2a -⨯=-=，14.6a =；()280.025100.050120.075140.125160.200180.02514b =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故b a <.17．(1)2212y x -=(2)证明见解析【分析】（1）结合题目所给条件可列出不等式组，解出即可得；（2）可结合双曲线及圆的对称性得出，若存在定点，则该定点必为原点，从而先猜后证，简化过程；或根据圆的方程，结合韦达定理表示出该圆方程，即可得定点坐标.【详解】（1）依题意有22222221a b c a b c a ⎧-=⎪⎪=+⎨⎪⎪⎩，即有22222212a b a b⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得：21a =，22b =，所以双曲线方程为2212y x -=；（2）方法一：设()11,M x y ，()22,N x y ，①当切线斜率存在时，设直线方程为y kx m =+，=2222m k =+，联立()22222122202y x k x kmx m y kx m ⎧-=⎪⇒----=⎨⎪=+⎩，()()()222222Δ4422820k m k m m k =+-+=+->，则12222km x x k +=-，212222m x x k --=-，由对称性知，若以MN 为直径的圆过定点，则定点必为原点.1212OM ON x x y y ⋅=+()()()()22121212121x x kx m kx m kx xmk x x m =+++=++++()2222222122m kmkmk m k k--=+++--222222m k k--=-，又2222m k =+，所以0OM ON ⋅=，所以OM ON ⊥，故以MN 为直径的圆过原点；②当直线斜率不存在时，直线方程x =此时,MN或,MN，此时圆方程为(222x y +=，恒过原点；或((,M N或((,M N ，此时圆方程为(222x y +=，恒过原点；综上所述，以MN 为直径的圆过原点.方法二：设()11,M x y ，()22,N x y ，①当切线斜率存在时，设直线方程为y kx m =+，=2222m k =+，联立()22222122202y x k x kmx m y kx m ⎧-=⎪⇒----=⎨⎪=+⎩，()()()222222Δ4422820k m k m m k =+-+=+->，则12222km x x k +=-，212222m x x k --=-，以()11,M x y ，()22,N x y 为直径的圆的方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--=，即()()22121212120x x x x x x y y y y y y -+++-++=，因为()()()()221212121212121x x y y x x kx m kx m k x x km x x m +=+++=++++，所以()222221212222222210222m km m k x x y y k km m k k k ----+=+⋅+⋅+==---，且()121222242222km my y k x x m k m k k +=++=⋅+=--，所以所求的圆的方程为222224022km m x x y y k k -+-=--，所以MN 为直径的圆过原点；②当直线斜率不存在时，同法一，此时圆方程为(222x y +=，恒过原点；综上所述，以MN 为直径的圆过原点.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.18．(1)()210a x y +-+=(2)1(3)2a =-，证明见解析【分析】（1）由()()02,01f a f k =+'==直接写出切线方程；（2）先证()f x 单调递减再求最小值.（3）2a =-时，()f x 在(]1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，得()()01f x f =≥．【详解】（1）因为()()sin e ln 1xf x x a x =+++，所以()cos e 1xa f x x x =+++'，所以()()02,01f a f =+='，所以切线方程为()21y a x =++，即()210a x y +-+=．（2）当2a ≤-时，()()()sin e ln 1,cos e 1x xa f x x a x f x x x =+++=+'++．当(]1,0x ∈-时，cos e 2,21xax x +≤≤-+，所以()0f x '≤恒成立，()f x 单调递减．所以()min ()01f x f ==．（3）2a =-．证明：当2a =-时，()2cos e 1xf x x x =+-+'，根据（2），当(]1,0x ∈-时，()f x 单调递减．当()0,x ∈+∞时，设()2cos e 1x g x x x =+-+，则()22e sin (1)xg x x x =+-+'，2222e sin 110(1)(1)x x x x +->+->++，所以()2cos e 1xf x x x =+-+'单调递增，()()00f x f ''>=，所以()f x 单调递增．综上所述，()f x 在(]1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，所以()()01f x f =≥．19．(1)31是k -可表数，1024不是k -可表数，理由见解析；(2)证明见解析；(3)8【分析】（1）根据定义赋值及数列求和计算验证即可；（2）根据定义判定s T ∈则有s T -∈，从而可知{}1,2,,,0n T ±±±⊆ ，利用集合间的基本关系得出T 中最多含有3k 个元素，解不等式即可证明；（3）利用第二问的结论可设N ,N n m **∀∈∃∈，有1313122m m n ---<≤，然后利用定义先证n 为m -可表数，再根据三进制的基本事实确定k 的最小值为满足1313122m mn ---<≤成立的m ，代入2024n =求m 即可.【详解】（1）31是，1024不是，理由如下：由题意可知1122k k x a x a x a t +++= ，当12,10i i a k -==时，有{}9121022,1,0,1i x x x t x +++=∈- ，显然若{}()161,1,02,3,4,5,7,8,9,10i x x x i =-==∈时，31t =，而012910212121212110231024t ≤⨯+⨯+⨯++⨯=-=< ，故31是k -可表数，1024不是k -可表数；（2）由题意可知若00i x t =⇒=，即0T ∈，设s T ∈，即{}1,0,1i x ∃∈-使得1122k k x a x a x a s +++= ，所以()()()1122k k x a x a x a s -+-++-=- ，且{}1,0,1i x -∈-成立，故s T -∈，所以若{}1,2,,n T ⊆ ，则{}1,2,,,0n T ±±±⊆ ，即{}1,2,,0n ±±± 中的元素个数不能超过T 中的元素，对于确定的Q ，T 中最多有3k 个元素，所以312132k kn n -+≤⇒≤；（3）由题意可设N ,N n m **∀∈∃∈，使1313122m m n ---<≤，又122221231311333111313132m m m m x x x x -----⨯+⨯+⨯++⨯≤⨯+⨯+⨯++⨯= ，所以1k m >-，即k m ≥，而2131111313132m m --⨯+⨯+⨯++⨯= ，即当312m n -=时，取1121,3,3m m a a a -=== 时，n 为m -可表数，因为()21312111313132312m m m--⨯⨯+⨯+⨯++⨯=⨯=- ，由三进制的基本事实可知，对任意的031m p ≤≤-，存在{}()0,1,21,2,,,i r i m ∈= ，使01112333m m p r r r -=⨯+⨯+⨯ ，所以()()01101112313333332m m m m p r r r ----=⨯+⨯+⨯-+++ ()()()01112131313m m r r r -=-⨯+-⨯++-⨯ ，令1i i x r =-，则有{}1,0,1,1,2,,i x i m ∈-= ，设313131222m m m t p t ---=-⇒-≤≤，由p 的任意性，对任意的3131,Z 22m mt t ---≤≤∈，都有{}01112333,1,0,1,1,2,,m m i t x x x x i m -=⨯+⨯++⨯∈-= ，又因为312m n -≤，所以对于任意的,Z n t n t -≤≤∈，t 为m -可表数，综上，可知k 的最小值为m ，其中m 满足1313122m m n ---<≤，又当2024n =时，78313122n --<≤，所以k 的最小值为8.【点睛】难点点睛：第二问关键是根据定义可确定T 中元素互为相反数，再利用集合间的基本关系确定元素个数的关系计算即可；第三问利用第二问的结论可设N ,N n m **∀∈∃∈，有1313122m m n ---<≤，利用定义先证n 为m -可表数，再根据三进制的基本事实设任意的031m p ≤≤-，存在{}()0,1,21,2,,,i r i m ∈= ，使01112333m m p r r r -=⨯+⨯+⨯ ，得出312m t p -=-并结合定义确定t 为m -可表数，从而确定k 的最小值为满足1313122m m n ---<≤成立的m ，代入2024n =求m 即可.。
2025届广东省广雅中学高三第三次测评数学试卷含解析
2025届广东省广雅中学高三第三次测评数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．72B ．64C ．48D ．322．函数()1log 1a x f x x x +=+（01a <<）的图象的大致形状是（ ） A ． B ． C ．D ．3．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（ ）A ．413B 213C ．926D 3134．在直角坐标系中，已知A （1，0），B （4，0），若直线x +my ﹣1=0上存在点P ，使得|PA |=2|PB |，则正实数m 的最小值是( ) A ．13B ．3C ．33D 35．已知集合{}0,1,2,3A =，{|22}B x x =-≤≤，则AB 等于（ ）A ．{}012,,B ．{2,1,0,1,2}--C ．{}2,1,0,1,2,3--D ．{}12, 6．若单位向量1e ，2e 夹角为60︒，12a e e λ=-，且3a =，则实数λ=（ ）A ．－1B ．2C ．0或－1D ．2或－17．在直角坐标平面上，点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，点(),Q a b 的坐标满足方程2268240a b a b ++-+=则y bx a--的取值范围是（ ） A ．[]22-,B ．4747---+⎣⎦C ．13,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D ．6767-+⎣⎦8．已知椭圆2222:1x y C a b+=的短轴长为2，焦距为1223F F ，、分别是椭圆的左、右焦点，若点P 为C 上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为（ ） A ．[]1,2B ．2,3⎡⎣C ．2,4⎤⎦D ．[]1,49．在三棱锥P ABC -中，AB BP ⊥，AC PC ⊥，AB AC ⊥，22PB PC ==，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（ ） A ．3πB ．32π C ．12πD ．24π10．如图，在ABC ∆中，点Q 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 为线段BQ 上靠近点B 的三等分点，则PA PC +=（ ）A ．1233BA BC + B ．5799BA BC + C ．11099BA BC + D ．2799BA BC + 11．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）A ．B ．C ．D ．12．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为（ ）A ．356B ．328C ．314D ．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省广州荔湾区广雅中学2025届数学高一上期末经典试题含解析
【详解】集合 A {1, 2}的所有非空子集是1， 2 ，{1，2}.
故答案为：1， 2 ，{1，2}.
13、1；
1
【解析】
16 81
4
log8 2
24 ( 34
1
)4
log23
2
2 3
1 3
1
14、 4 3
【解析】由同角三角函数关系 sin2
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
11、2 5 .
【解析】分析：要求小虫爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果 详解： 由题意知底面圆的直径 AB＝2， 故底面周长等于 2π. 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为 n°，
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得 2π＝ 4nπ ， 180
时， sin
sin
2k
5 6
sin
5 6
1， 2
所以“ 2k ， k Z ”是“ sin 1 ”的充分而不必要条件，
6
2
故选: A . 2、A 【解析】直接利用诱导公式和两角和的正弦公式求出结果 【详解】 sin 20cos70 cos160cos20 sin 20cos70 cos20sin70 sin90 1 ，
A f (x) 1 sin 2x 2
B. f (x) 1 cos 2x 2
C. f (x) 1 sin x 2
D. f (x) 1 cos x 2
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
11．如图，圆锥的底面圆直径 AB 为 2，母线长 SA 为 4，若小虫 P 从点 A 开始绕着圆锥表面爬行一圈到 SA 的中点 C，
广东省江门市广雅中学2023~2024学年高一下学期3月月考数学试卷
广东省江门市广雅中学2023~2024学年高一下学期3月月考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，在正六边形ABCDEF 中，与向量AB u u u r相等的向量是（ ）A ．BC u u u rB ．ED u u u rC ．AF u u u rD ．CD u u u r2．在ABC V 中，点D 为边BC 的中点，记,AB a AC b ==u u u r u u u r r r ，则AD =u u u r（ ）A ．12a b +r rB ．12a b -r rC ．1122a b +r rD ．1122rr a b -3．在ABC V 中，60A =︒，4AC =，BC =B 的值为（ ） A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒4．向量()6,2a =r在向量()2,1b =-r 上的投影向量为（ ） A ．()2,1- B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．()4,2- D ．()3,15．已知α、β为锐角，且3sin 5β=，5cos()13αβ+=-，则sin α的值为（ ）A ．6365B ．3365C ．4865-D ．48656．若函数()sin y A x ωϕ=+的部分图象如图所示，则其解析式可以是（ ）A ．1π3sin 212y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭B ．1π3sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．π3sin 23y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭D ．π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7．在平行四边形ABCD 中，32120AB BC BAD ==∠=︒，，，点E 在AB 上，且满足2AE EB =，点F 是CD 的中点，则⋅=u u u r u u u rAE AF （ ）A ．12B C ．1D ．328．将函数()sin2f x x =的图像向右平移π 02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足()()122f x g x -=的12x x ，，有12min π3x x -=， 则ϕ=（ ） A ．5π12B ．π3C ．π4D ．π6二、多选题9．下列结果恒为零向量的是（ ） A ．()AB BC CA -+u u u ru u u ru u u rB ．AB AC BD CD -+-u u u r u u u r u u u r u u u rC ．OA OD AD -+u u u r u u u r u u u rD ．NO OP MN MP ++-u u u r u u u r u u u u r u u u r10．【多选题】已知()(),24,a t b t =-=-r r，，则（ ）A ．若//a b r r ，则t =±B ．若a b ⊥r r ，则0=tC ．a b -r r 的最小值为2D ．若向量a r与向量b r 的夹角为钝角，则t 的取值范围为()0,∞+11．已知函数()2sin 2f x x x +，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．()f x 的图象关于π3x =对称 D ．函数()ππ2246x F x f f x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为94-三、填空题 12．cos105︒= ．13．已知向量(),1m x =r ，()3,2n =-r ，若()21,4m n +=r r ，则m =r.14．如图，某学校有一块扇形空地，半径为10m ，圆心角为π3，现学校欲在其中修建一个矩形劳动基地，矩形的一边AB 在扇形的一条半径上，另一边的两个端点C ，D 分别在弧和另一条半径上，则劳动基地的最大面积是2m ．四、解答题15．已知向量(1,3),(1,2)a b =-=r r．(1)求||a r ,||b r ；(2)求a r 与b r夹角的大小；16．已知sin cos 3sin cos αααα+=-，计算下列各式的值.(1)tan α；(2)2sin 2sin cos ααα-.17．已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且a =5b =，c (1)求角C 的大小； (2)求sin A 的值；(3)求πsin 24A ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.18．已知)2a x =r ，()sin 2,1b x =-r ，若()12f x a b =⋅+r r ，(1)求()0f 的值；(2)求函数()f x 的单调递减区间；(3)若存在0π,3x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使()032f x =，求m 的最小值．19．已知函数()()()sin 0,0πf x x ωϕωϕ=+><<的图象相邻对称轴之间的距离是π2，若将()f x 的图象向右移π6个单位，所得函数()g x 为奇函数．(1)求()f x 的解析式；(2)若函数()()35h x f x =-的零点为0x ，求0πcos 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭； (3)若对任意π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()210f x af x -⎡⎣-⎦=⎤有解，求a 的取值范围．。
广东省江门市广雅中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题B卷(解析版)
江门市广雅中学2023－2024学年第二学期期中考试八年级数学试卷（时间：120分钟，满分：120分）一、选择题（每题3分，共30分）1.在实数范围内有意义，则取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数非负是解答此题的关键．【详解】解：在实数范围内有意义，∴，解得：，故选：C ．2. 已知，，，下列结果计算正确的是（）A. 12B. 8C.D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查了二次根式的化简求值．利用完全平方公式分解得到，代入数据即可求解．【详解】解：∵，，∴，故选：A ．3. 在中，，则的度数是（ ）A. B. C. D.的x 0x >3x >3x ≤3x ≥30x -≥3x ≤1x =+1y =222x xy y ++()2x y +1x =+1y =-()2222x xy y x y ++=+)211=(2=12=ABCD Y 80A C ∠+∠=︒D ∠80︒40︒70︒140︒【答案】D【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的性质可得，，结合得出，再由平行线的性质计算即可得出答案．【详解】解：如图，，四边形为平行四边形，，，，，，，，故选：D ．4. 如图，矩形的对角线，相交于点，若，，则的周长为（ ）A. 16B. 12C. 14D. 11【答案】A【解析】【分析】根据矩形的性质和勾股定理可以求出，，进而求出结果．【详解】四边形是矩形，，，，，A C ∠=∠AB CD 80AC ∠+∠=︒40A C ∠=∠=︒ ABCD A C ∴∠=∠AB CD 80A C ∠+∠=︒ 40A C ∠∴∠==︒∥ AB CD 180A D ∴∠+∠=︒180140D A ∠=︒-∠=∴︒ABCD AC BD O 6AB =8BC =COD △10AC BD ==152OC OD AC === ABCD ∴90ABC ∠=︒AC BD =6AB =8BC =，四边形是矩形，，，的周长为：．故选：A ．【点睛】本题主要考查了矩形的性质和勾股定理的应用，熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解本题的关键．5. 如图，在港有甲、乙两艘船，若甲船沿北偏东60°的方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度前进，2小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距34海里，则乙船的航行方向是（ ）A. 南偏东30°B. 南偏东40°C. 南偏东50°D. 南偏东60°【答案】A【解析】【分析】由路程速度时间可得PA 、PB 长，根据勾股逆定理可知是直角三角形，即，易知乙船的航行方向.【详解】解：如图由题意可得∴10AC BD ==== ABCD ∴152OC OD AC ===6CD AB ==∴COD △55616OD OC CD ++=++=P A B =⨯PAB 90APB ︒∠=8216,15230,34PA PB AB =⨯==⨯==是直角三角形，即， 所以乙船的航行方向是南偏东30°.故选：A.【点睛】本题考查了勾股定理在方位角中的应用，灵活利用勾股逆定理判定直角三角形是解题的关键.6. 已知直线与直线的交点坐标为，则关于x 的不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查图象法求不等式的解集，画出两条直线的解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．【详解】解：∵，∴当时，，∴直线过点，∵，∴直线过原点，又直线与直线的交点坐标为，画图如下：22222216256,30900,341156PA PB AB ∴======222PA PB AB ∴+=PAB ∴ 90APB ︒∠=180609030BPC ︒︒︒︒∴∠=--=()120y kx k =+<()20y mx m =>13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭2kx mx +<12x >12x <32x >32x <()120y kx k =+<0x =2y =()120y kx k =+<()0,2()20y mx m =>()20y mx m =>()120y kx k =+<()20y mx m =>13,22⎛⎫⎪⎝⎭由图象可知：不等式的解集为；故选：A ．7. 为了了解学生学科作业量，某中学对学生做周末学科作业的时间进行抽样调查，结果如下表：关于“周末做学科作业时间”这组数据说法正确的是（ ）时间（小时）1234学生人数（人）31296A. 中位数是2.5B. 中位数是2C. 众数是4D. 众数是12【答案】A【解析】【分析】本题考查中位数和众数．通过表格可知一共有30名学生参与调查，按照从小到大的顺序排列之后，找到第15和第16个数据，取平均值即为中位数；出现人数最多的对应时长即为众数．【详解】解：一共有名学生参与调查，按照从小到大的顺序排列之后，处于中间的两数是2和3，故中位数为2.5；出现次数最多的时长是2，所以众数为2；故选：A ．8. 一次函数的图象经过点，且与轴，轴分别交于点、，则的面积是A. B. 1 C. D. 2【答案】C【解析】【分析】由一次函数y ＝−3x ＋m 的图象经过点P （−2，3），可求m 得值，确定函数的关系式，进而可求出与x 轴，y 轴分别交于点A 、B 的坐标，从而知道OA 、OB 的长，可求出△AOB 的面积．2kx mx +<12x >3129630+++=3y x m =-+()2,3P -x y A B AOB 1232【详解】解：将点P （−2，3）代入一次函数y ＝−3x ＋m 得：3＝6＋m ，∴m ＝−3∴一次函数关系式为y ＝−3x−3，当x ＝0时，y ＝−3；当y ＝0是，x ＝−1；∴OA ＝1，OB ＝3，∴S △AOB＝×1×3＝，故选C ．【点睛】考查一次函数图象上点的坐标特征，以及一次函数的图象与x 轴、y 轴交点坐标求法，正确将坐标与线段的长的相互转化是解决问题的前提和基础．9. 在中，，，，点N 是边上一点．点M 为边上的动点（不与点B 重合），点D ，E 分别为，的中点，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查了三角形的中位线性质、勾股定理、垂线段最短，熟练掌握三角形的中位线性质，将求的最小值转化为求的最小值是解答的关键．先根据勾股定理求出，再根据点D 、E 分别为，的中点，得出为的中位线，则，最后用等面积法，求出当时的的长度，即可求出的最小值，再根据，即可得出答案．【详解】解：连接，如图所示：∵，，，∴，1232Rt ABC △90C∠=6AC =8BC =BC AB CN MN DE 34DE <<34DE ≤<34DE ≤≤1245DE ≤<DE CM AB CN MN DE CMN 12DE CM =C M A B ⊥CM DE CM BC <CM 90C ∠=︒6AC =8BC =10AB ==∵点D 、E 分别为，的中点，∴，∴当最小时，取最小值，当时，取最小值，如图：∴，即，解得：，∴，即的最小值为，∵，∴，∴，∴．故选：D ．10. 小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动．如图折线和线段分别表示小泽和小帅离甲地的距离（单位：千米）与时间（单位：小时）之间函数关系的图象．根据图中提供的信息，你认为正确的结论是（ ）①小帅的骑车速度为16千米/小时；②点的坐标为；③线段对应的函数表达式为；④当小帅到达乙地时，小泽距乙地还有4千米．CN MN 12DE CM =CM DE C M A B ⊥CM 1122ABC S AC BC AB CM =⋅=⋅△6810CM ⨯=245CM =11225==DE CM DE 125CM BC <8CM <4DE <1245DE ≤<OAB CD y x C ()0.5,0AB ()840.5 2.5y x x =+≤≤A. ①②B. ②③C. ①③④D. ①②③④【答案】D【解析】【分析】根据点的坐标，确定直线DC 的解析式，继而确定点C 的坐标，计算出小帅的行驶时间，用路程24除以这个时间，就是小帅的速度，可以判断①②的正误；根据点的坐标，确定直线AB 的解析式，可以判断③的正误；根据AB 的解析式，可以判定小泽的运动速度，乘以时间0.5小时即可确定行驶路程，从而判断④的正误．【详解】根据图像，得（1，8），（2，24）是直线DC 上的两点，设直线DC 的解析式为y =kx +b ，∴，解得，∴直线DC 的解析式为y =16x -8，∴点C （0.5，0），∴小帅的速度为=16（千米/小时），∴①②都正确；根据图像，得A （0.5，8），B （2.5，24），设直线AB 的解析式为y =mx +n ，∴，解得，∴线段AB 的解析式为y =8x +4，且0.5x ≤2.5,8224k b k b +=⎧⎨+=⎩168k b =⎧⎨=-⎩2420.5-0.582.524m n m n +=⎧⎨+=⎩84m n =⎧⎨=⎩∴小泽的速度为=8（千米/小时），∴小泽在小帅达到后，还行走了0.5×8=4（千米）；∴③④都正确；∴①②③④都正确；故选D ．【点睛】本题考查了函数图像信息，一次函数的解析式确定，正确获取图像信息，灵活运用待定系数法是解题的关键．二、填空题（每题3分，共18分）11. 若最简二次根式___________．【答案】【解析】【分析】根据题意可知，同类二次根式的被开方数相同，根指数相同，可得答案．【详解】解：最简二次根式∴解得：∴，故答案为：．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．12. 已知函数是一次函数，则m 的值为_________．【答案】4【解析】【分析】根据一次函数的定义即可求解．一次函数中、为常数，，自变量次数为．【详解】解：依题意，，解得：，故答案为：4．【点睛】本题考查了一次函数的定义，理解一次函数的定义是解题的关键．2482.50.5--m n +=812214n n n m-=⎧⎨+=-⎩35n m =⎧⎨=⎩8m n +=8325m y x -=+y kx b =+k b 0k ≠131m -=4m =13. 某电视台招募主持人，甲候选人的综合专业素质、普通话、才艺展示成绩如表所示，根据实际需求，该电视台规定综合专业素质、普通话和才艺展示三项测试得分按5：3：2的比例确定最终成绩，则甲候选人的最终成绩为______分．测试项目综合专业素质普通话才艺展示测试成绩869090【答案】88【解析】【分析】本题主要考查加权平均数．根据加权平均数公式计算甲的最终成绩即可得出答案．【详解】解：（分）．甲候选人的最终成绩为88，故答案为：88．14. 根据如图所示的程序，计算y 的值，若输入x 的值是时，则输出的y 值等于________．【答案】【解析】【分析】此题是一道程序题，做题时要按照程序一步一步做，主要考查代数式求值，是一道常考的题型．由题意输入然后平方得，然后再小于0，乘以，可得y的值．【详解】解：当时，，．故答案为：．15.如图1是小强在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景；图2是小强锻炼时上半身由位置运动到与地面垂直的位置时的示意图，已知米，，则M 、N 两点的距离是______米．86590390288532⨯+⨯+⨯=++1-2-1x =2x (1+1x =210x =-<(11132y ∴=+=-=-2-ON CD OM 0.8ON =30α=︒【解析】【分析】本题主要考查了含有角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握含有角的直角三角形的性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过N 作于E ，可得，根据含有角的直角三角形的性质，求出米，利用勾股定理依次可求米，米；【详解】解：由题意得：米，，过N 作于E，，，，，，米，米，在中，米，；16. 如图，在，，．在内作正方形，使点，分别在两直30︒30︒NE MO ⊥30ONE ∠=︒30︒0.4OE =EN =MN =0.8OM ON ==MH DH ⊥NE MO ⊥MH DH ⊥ NE MO ⊥NE DH ∴∥90NEO ∠=︒30ONE α︒∴∠==110.80.422N O O E ∴===⨯0.80.4 1.2ME OM OE ∴=+=+=Rt OEN EN ===MN ∴===ABC 90A ∠=︒AB AC =ABC 1111D C B A 1A 1B角边，上，点，在斜边上，用同样的方法，在内作正方形；在内作正方形……，若，则正方形边长为______．【答案】【解析】【分析】本题考查等腰直角三角形的性质与判定、正方形的性质、规律型问题．先求出正方形的边长，同理求出正方形的边长，正方形的边长，由此得到规律即可得到答案．【详解】解：∵在，，，∴，，∵四边形是正方形，∴，∴，∴同理可以求出正方形的边长为，正方形的边长为，∴正方形的边长为，∴正方形的边长为，故答案：．为AB AC 1C 1D BC 11C B C △2222A B C D22CB C △3333A B C D 1AB =2024202420242024A B CD 20241111DC B A 2222A B CD 3333A B C D ABC 90A∠=︒1AB AC ==45B C ∠==︒∠BC ==1111D C B A 1111111111190A D C A D B A D C D B C ==︒==∠∠，111145BA D CB C B C ∠=∠=︒=∠=∠111111113BC A D BD C D B C CC ======2222A B C D 23333A B C D 3n n n n A B C D n 2024202420242024A B C D 20242024三、解答题（一）（17至21题，分值分别为4分，4分，6分，6分，8分，共28分）17. 计算：．【答案】【解析】【分析】根据化简绝对值，负整数指数幂，二次根式的乘法，零次幂进行计算即可求解．【详解】解：原式＝【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握化简绝对值，负整数指数幂，二次根式的乘法，零次幂是解题的关键．18. 在中，，，高，求的面积．【答案】24或84【解析】【分析】分两种情况讨论，分别求出和的长，就可求出，计算面积即可．【详解】解：当为锐角三角形时，过点A 作垂足D ，，，，，，，，，，当△ABC 为钝角三角形时，过点A 作垂足为D ，为10||3(5)π-----23113--+23=ABC 15AB =13AC =12AD =ABC BD CD BC ABC AD BC ⊥AD BC ⊥ 90ADB ADC ∴∠=∠=︒15AB = 13AC =12AD =9BD ===∴5CD ===9514BC BD CD =+=+=∴1114128422ABC S BC AD ∴=⋅=⨯⨯= AD BC ⊥，，，，，，，，，的面积为24或84 ．【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．19. 如图，平行四边形中，过的中点，与边、分别相交于点、．试说明四边形是平行四边形．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．先根据平行四边形的性质得出，则，，再通过证明得出，即可求证．【详解】证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴，，∵点O 为中点，∴，在和中，，AD BC ⊥ 90ADB ADC ∴∠=∠=︒15AB = 13AC =12AD=9BD ===∴5CD ===954BC BD CD ∴=-=-=114122422ABC S BC AD \=×=´´= ABC ∴ ABCD EF AC O AD BC E F AECF AD BC ∥AEO CFO ∠=∠EAO FCO ∠=∠()AAS AOE COF △≌△OE OF =ABCD AD BC ∥AEO CFO ∠=∠EAO FCO ∠=∠AC OA OC =AOE △COF AEO CFO EAO FCO OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴，∴，∴四边形是平行四边形．20. 高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见的小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空抛物下落的时间t （单位：s ）和高度h （单位：m ）近似满足公式．（不考虑风速的影响，）（1）求从60m 高空抛物到落地的时间．（结果保留根号）（2）已知高空坠物动能（单位：J ）物体质量（单位：kg ）高度（单位：m ），某质量为0.2kg 的玩具被抛出，经过3s 后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由．（注：伤害无防护人体只需要65J 的动能）【答案】（1）从60m 高空抛物到落地的时间为（2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人【解析】【分析】（1）根据题中高空抛物下落的时间t （单位：s ）和高度h （单位：m ）近似满足公式，将，代入求解即可得到结论；（2）根据题中高空坠物动能（单位：J ）物体质量（单位：kg ）高度（单位：m ），已知某质量为0.2kg 的玩具被抛出，经过3s 后落在地上，先利用公式得到，再结合动能公式求出动能，参照注：伤害无防护人体只需要65J 的动能即可得到结论．【小问1详解】解：由题意知，∴，答：从60m 高空抛物到落地的时间为；()AAS AOE COF △≌△OE OF =AECF t =210m /s g ≈=10⨯⨯t =60m h =210m /s g ≈=10⨯⨯45m h =60m h=t【小问2详解】解：这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人．理由：当时，∴，这个玩具坠落产生的动能，∴这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人．【点睛】本题考查二次根式的实际应用，通过具体情境考查二次根式，读懂题意，理解题中现实情境相关的公式，正确运算代入求值是解决本题的关键．21. 为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，某校组织开展“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动．随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图1和图2所示．（1）本次抽查的学生人数是_______，并补全条形统计图；（2）本次捐款金额的众数为______元，中位数为______元；（3）若该校八年级学生为600名，请你估算捐款总金额约有多少元？【答案】（1）50，补全统计图详见解答；（2）15，15；（3）8040元．【解析】【分析】本题考查扇形统计图，条形统计图，中位数、众数以及样本估计总体，理解两个统计图中数量之间的关系，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的前提．（1）从两个统计图中可知，样本中“捐款为5元”的学生有8人，占调查人数的16%，根据频率可求出答案；（2）根据众数、中位数的定义进行计算即可；=3s t 3=45m h =∴=100.245=90(J)>65(J)⨯⨯=频数总数（3）求出样本平均数，估计总体平均数，再进行计算即可．【小问1详解】解：（人），“捐款为15元”的学生有（人），补全条形统计图如下：【小问2详解】解：学生捐款金额出现次数最多的是15元，共出现18次，因此捐款金额的众数是15元，将这50名学生捐款金额从小到大排列处在中间位置的两个数都是15元，因此中位数是15元，故答案为：15，15；【小问3详解】（3）样本平均数为（元/人），所以全校八年级学生为600名，捐款总金额为（元），答：全校八年级学生为600名，捐款总金额为8040元．四、解答题（二）（每题10分，共20分）22. 如图，在中，，分别是边，的中点，连接并延长到点，使，连接、、．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）由是的中点可得，再由可得到四边形是平行四边形，再根816%50÷=508146418----=581014151820625413.450⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=1346008040.⨯=Rt ABC △90ABC ∠=︒D E 、BC AC ED F DF ED =BE BF CF BFCE 4BC =2EF =AC D BC BD CD =DF ED =BFCE据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即可得证；（2）由菱形的性质可得，，由勾股定理可得，再由直角三角形的性质进行计算即可．【小问1详解】证明：是的中点，，，四边形是平行四边形，为的中点，，，四边形是菱形；【小问2详解】解：四边形是菱形，，，，，，为的中点，，．【点睛】本题考查了平行四边形判定、菱形的判定及性质、勾股定理、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．23. 2024年4月18日上午10时08分，华为系列正式开售，华为和已在华为商城销售，约一分钟即告售罄．“改变生活，改变社会”，不一样的手机给人们带来了全新的体验，某营业厅现有A 、B 两种型号的手机出售，售出1部A 型、1部B 型手机共获利600元，售出3部A 型、2部B 型手机共获利1400元．（1）求A 、B 两种型号的手机每部利润各是多少元；（2）某营业厅再次购进A 、B 两种型号手机共20部，其中B 型手机的数量不超过A 型手机数量的，请设计一个购买方案，使营业厅销售完这20部手机能获得最大利润，并求出最大利润．【答案】（1）A 种型号手机每部利润是200元，B 种型号手机每部利润是400元．（2）营业厅购进A 种型号手机12部，B 种型号手机8部时获得最大利润，最大利润是5600元．的BE CE =112122BD BC DE EF ====，BC EF ⊥BE =D BC BD CD ∴=DF ED = ∴BFCE E AC 90ABC ∠=︒BE CE ∴=∴BFCE BFCE 4BC =2EF =112122BD BC DE EF ∴====，BC EF ⊥90BDE ∴∠=︒BE ∴===E AC 90ABC ∠=︒2AC BE ∴==70Pura 70Pura Ultra 70Pura Pro 4G 5G 5G 5G 23【解析】【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，一次函数的应用，一元一次不等式的应用：（1）设A 种型号手机每部利润是x 元，B 种型号手机每部利润是y 元，由售出1部A 型、1部B 型手机共获利600元，售出3部A 型、2部B 型手机共获利1400元，再建立方程组即可；（2）设购进A 种型号的手机a 部，则购进B 种型号的手机部，获得的利润为w 元，，再利用一次函数的性质可得答案．【小问1详解】解：设A 种型号手机每部利润是x 元，B 种型号手机每部利润是y 元，由题意得：解得．答：A 种型号手机每部利润是200元，B 种型号手机每部利润是400元；【小问2详解】解：设购进A 种型号的手机a 部，则购进B 种型号的手机部，获得的利润为w 元，由题意得，，∵B 型手机的数量不超过A 型手机数量的，∴，解得，∵，，∴w 随x 的增大而减小，∴当时，w 取得最大值，此时，．答：营业厅购进A 种型号的手机12部，B 种型号的手机8部时获得最大利润，最大利润是5600元．五、解答题（三）（每题12分，共24分）24. 一次函数的图象与坐标轴交于点A ，B ，平分交轴于点，，垂足为D ．（1）求点A ，B 的坐标；（2）求所在直线的解析式；()20a -2008000w a =-+600321400x y x y +=⎧⎨+=⎩200400x y =⎧⎨=⎩()20a -()200400202008000w a a a =+-=-+232203a a -≤12a ≥2008000w a =-+200k =-12a =240080005600w =-+=2020128a -=-=364y x =-BC OBA ∠x C CD AB ⊥CD（3）若点E 是线段上的一点，点F 是线段上的一点，求的最小值．【答案】（1），（2） （3）【解析】【分析】（1）将，，分别代入求解．（2）通过角平分线的性质证明，通过勾股定理求出，及的长度，再由求出点纵坐标，进而求出点坐标，最后通过待定系数法求解．（3）由平分，可得，关于对称，即，由此可得到轴距离即所求．【小问1详解】解：将代入得，，将代入得，．【小问2详解】设长为，则，平分，，，在和中，，，为OB BC EF OF +(8,0)A (0,6)B -443y x =-+2450x =0y =Rt Rt (HL)COB CDB △≌△OC CD AC ACD ACB BCD S S S =-△△△D D BC OBA ∠CD AB ⊥O D BC EF OF EF DF +=+D y 0x =364y x =-y =-6(0,6)B ∴-0y =364y x =-8x =(8,0)A ∴OC m 8CA OA OC m =-=-BC OBA ∠CD AB ⊥CD OC m ∴==∴Rt COB △Rt CDB △CO CD BC BC =⎧⎨=⎩Rt Rt (HL)COB CDB ∴△≌△，在中，由勾股定理得：，．在中，，即，解得，，．，，，即，解得，将代入得，解得，点坐标为，．设所在直线解析式为，将，，代入得：，解得，．【小问3详解】如图，连接，6BD OB ∴==Rt AOB △10AB ==4AD AB BD ∴=-=∴Rt ACD △222CD AD AC +=2224(8)m m +=-3m =3OC CD ∴==5AC =1152ACB S AC OB =⋅= △192BCD S BD CD =⋅=△6ACD ACB BCD S S S ∴=-=△△≌11||5||622D D AC y y ⋅=⨯=12||5D y =125D y ∴=-125y =-364y x =-123654x -=-245x =∴D 24(512)5-CD y kx b =+(3,0)C 24(5D 12)5-03122455k b k b =+⎧⎪⎨-=+⎪⎩434k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩443y x ∴=-+DF平分，，点，关于对称，，，即到轴距离为最小值，的最小值为．【点睛】本题考查一次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握一次函数的性质，掌握角平分的性质及求线段和最值的方法．25. 已知，如图1，正方形和正方形，三点A 、B 、E 在同一直线上，连接和，（1）判定线段和线段的数量有什么关系？请说明理由．（2）将正方形，绕点B 顺时针旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）若在图2中连接和，且，求正方形和正方形的面积之和为．【答案】（1），见解析（2）成立，见解析（3）10【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明三角形全等是解题的关键．（1）证明，由全等的性质即可得线段和线段的数量关系；BC OBA ∠CD AB ⊥∴O D BC OF DF ∴=EF OF EF DF ∴+=+D y EF OF +EF OF ∴+245ABCD BEFG AG CE AG CE BEFG AE CG 24AE CG ==ABCD BEFG AG CE =ABG CBE ≌△△AG CE（2）仍然成立；证明即可；（3）由可得，分别在与中，由勾股定理可得，由正方形面积等于两对角线乘积一半即可求得结果．【小问1详解】解：．理由如下：在正方形和正方形中，，，在和中，∵，∴，∴；【小问2详解】解：仍然成立．理由如下：在正方形和正方形中，，，∵，，∴，在和中，∵，∴，∴；【小问3详解】解：如图2，连接，设交点为H ，ABG CBE ≌△△ABG CBE ≌△△AG CE ⊥Rt CGH △Rt AEH △222220AC C GE G AE ++==AG CE =ABCD BEFG AB CB BG BE ==，90ABG CBE ∠=∠=︒ABG CBE △90AB CB ABG CBE BG BE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩(SAS)ABG CBE ≌ AG CE =AG CE =ABCD BEFG AB CB BG BE ==，90ABC EBG Ð=Ð=°ABG ABC CBG ∠=∠+∠CBE EBG CBG ∠=∠+∠ABG CBE ∠=∠ABG CBE △AB CB ABG CBE BG BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)ABG CBE ≌ AG CE =AC EG 、AG CE 、∵，∴，∴，∴，在中，，在中，，∴，∵，∴，∴，∴正方形和正方形的面积之和为．ABG CBE ≌△△BAG BCE ∠=∠CAH ACH CAH ACB BCE∠+∠=∠+∠+∠90CAH ACB BAG =∠+∠+∠=︒AG CE ⊥Rt CGH △222CG CH GH =+Rt AEH △222AE AH EH =+22CG AE +2222CH GH AH EH =+++2222))((CH AH GH EH =+++22AC EG =+24AE CG ==2CG =22222420AC EG +=+=ABCD BEFG 120102⨯=。
广东省广州市广雅中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
广东省广州市广雅中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列式子是最简二次根式的是（ ）A B C D 2．由下列条件不能判定ABC V 为直角三角形的是（ ）A ．::3:4:5ABC ∠∠∠=B ．2a =，4b =，c =C ．A B C ∠∠=∠+D ．()()2b c b c a -+= 3．下列运算正确的是（ ）A2- B ．2 C 1 D 2= 4．已知点()11,y -、()23,y 在直线()0y kx k =<上，则1y 与2y 的大小关系（ ） A ．12y y = B ．12y y > C ．12y y < D ．无法确定 5．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）A ．当AB BC =时，它是菱形B ．当AC BD ⊥时，它是菱形 C ．当AC BD =时，它是正方形 D ．当90ABC ∠=︒时，它是矩形 6．如图，有一个绳索拉直的木马秋干，绳索AB 的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即DE =3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ）A．1米BC．2米D．4米7．如图平行四边形ABCD的周长为20，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝6，则△DOE的周长为（）A．6 B．7 C．8 D．108．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉''''，祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A B C D形成一个“方胜”图案，则点D，B'之间的距离为（）A．1cm B．2cm C．1)cm D．1)cm 9．如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为AB的中点，若，，则OE的长为（）==8cm6cmAC BDA．5cm B．4cm C．3cm D．2.5cm10．如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线一点，连接AE 交CD 于F ，作A E G A E B ∠=∠，EG 交CD 的延长线于G ，连接AG ，当4==CE BC 时，作FH AG ⊥于H ，连接DH ，则：①点F 是CD 的中点；②AF AG =；③AH ④45ADH ∠=︒；⑤1DH =．其中正确的结论有（ ）A ．①②③④B ．①③④⑤C ．①③④D ．①④⑤二、填空题11．函数y =x 的取值范围是．12．已知正比例函数2y x =-的图象经过点()2,A m ，则m 的值为．13．如图，将Y ABCD 的一边BC 延长至E ，若∠A=110°，则∠1=．14．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点为O ，点E 为BC 边的中点，30OCB ∠=︒，如果2OE =，那么对角线BD 的长为．15．如图，菱形ABCD 中A 70∠=︒, E 为边AD 上一点，△ABE 沿着BE 折叠，点A 的对应点F 恰好落在边CD 上，则ABE ∠=．16．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，P ，Q 分别为CD BC ，上的点，CP CQ =，则AP DQ +的最小值为．三、解答题17．计算：(2)(2218．如图，在菱形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，过B ，C 两点分别作AC ，BD 的平行线，相交于点E ，求证：四边形BOCE 是矩形．19．汽车油箱中有汽油50L ，如果不再加油，那么油箱中的余油量()L y 随行驶路程()km x 的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km ．(1)求y 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围；(2)汽车行驶200km 时，油箱中还有多少汽油？(3)油箱中剩余汽油10L 时，汽车行驶了多少千米？20．如图，在77⨯网格中，每个小正方形的边长都为1．(1)判断ABC V 的形状，并说明理由；(2)求点C 到边AB 的距离．21．如图，D 是线段AB 的中点，C 是线段AB 的垂直平分线上的任意点，DE AC ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ．(1)求证：CE CF =．(2)线段CD 与AB 满足什么数量关系时，四边形CEDF 成为正方形？请说明理由． 22．如图，点O 是ABC V 内一点，连结OB 、OC ，并将AB 、OB 、OC 、AC 的中点D 、E 、F 、G 依次连结，得到四边形DEFG ．(1)求证：四边形DEFG 是平行四边形；(2)如果45OBC ∠=︒，30OCB ∠=︒，4OC =，求OBC △的面积．23．已知，如图1，在平行四边形ABCD 中，8cm AB =，14cm BC =，AC 的垂直平分线EF 分别交AD BC 、于点E 、F ．垂足为O ，连接AF CE 、．(1)求证：四边形AFCE 为菱形；(2)如图2，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿AFB △和CDE V 各边匀速运动一周，即点P 自A F B A →→→停止，点Q 自C D E C →→→停止．在运动过程中． ①已知点P 的速度为每秒6cm ，点Q 的速度为每秒5cm ，运动时间为t 秒，当四边形APCQ 为平行四边形时，求t 的值；②若点P 、Q 的运动路程分别为x 、y （单位：cm ，0xy ≠），已知以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形，求x 与y 满足的数量关系式．24．菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，BEF △为等边三角形，将BEF △绕点B 顺时针旋转，G 为线段DF 的中点，连接AG EG 、．(1)如图1，E 为边AB 上一点（点A 、E 不重合），则EG 、AG 的关系是___，请说明理由．(2)将BEF △旋转至如图2所示位置，（1）中的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．25．在一次数学探究性学习活动中，某学习小组进行以下的探究操作：(1)如图1，矩形ABCD 中，10AB =，8AD =，点P 是边AD 上的一个动点，将BAP △沿BP进行翻折到BQP V ，当Q 点折叠到CD 上时，求CQ 和AP 的长；(2)如图2，矩形ABCD 中，10AB =，8AD =，若点P 、O 分别为是边AD CD 、的中点，点H 是边BC 上的一个动点，连接PH ，将四边形ABHP 沿PH 折叠，得到四边形PFEH ，连接OE ，求OE 长度的最小值．（直接写出结果）(3)如图3，当矩形ABCD 变成正方形，且正方形的边长为10，在P 点移动的过程中， ①当90DQC ??时，求AP 的长；②当CDQ V为等腰三角形时，请在备用图中探究并直接写出线段AP 的长．。
武汉二中广雅中学2024-2025学年九年级上学期9月考数学试题 (解析版)
九年级（上）数学限时作业9.15一、选择题（每小题3分，共30分）1. 将一元二次方程2320x x −−=化成一般形式后，常数项是2−，则二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 3，2− B. 3，1C. 3，1−D. 3，0【答案】C 【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程一般形式的相关概念是解题的关键．一元二次方程2320x x −−=就是一般形式，再找出二次项系数和一次项系数即可． 【详解】解：∵2320x x −−=是一般形式，常数项是2−， ∴二次项系数和一次项系数分别是3和1−， 故选：C ．2. 抛物线2y x =与2y x =−相同的性质是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是y 轴C. 有最低点D. 对称轴是x 轴【答案】B 【解析】【分析】根据二次函数2(0)y ax a ≠的性质分析即可．【详解】解：∵10>，∴抛物线2y x =开口向上，对称轴为y 轴，有最低点； ∵10−<，∴抛物线2y x =−的开口向下，对称轴为y 轴，有最高点． 故选B ．【点睛】本题考查了二次函数2(0)yax a ≠的性质，是基础知识，需熟练掌握．抛物线2(0)y ax a ≠是最简单二次函数形式．顶点是原点，对称轴是y 轴，0a >时，开口向上；0a <时，开口向下． 3. 用配方法解方程2410x x −+=，变形后的结果正确的是（ ） A. ()223x −= B. ()223x −=−C. ()225x −=D. ()225x −=−【答案】A 【解析】的【分析】此题考查了一元二次方程的配方法．把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．【详解】解： 2410x x −+=，∴241x x −=−，配方得24414x x −+=−+，即()223x −=， 只有选项A 符合题意； 故选：A ．4. 抛物线223y x =−向左平移1个单位长度后得到新抛物线，新抛物线的解析式为（ ） A. 224y x =− B. ()2213y x =+− C. ()2213y x =−− D. 222y x =−【答案】B 【解析】【分析】本题考查了二次函数图象平移．根据二次函数的平移规则“左加右减”即可得到答案． 【详解】解：将抛物线223y x =−向左平移1个单位长度， 所得新抛物线的函数解析式为()2213y x =+−， 故选：B ．5. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是157，设每个支干长出的小分支数目为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. 21157x x ++= B. 2157x x += C. 2(1)157x += D. 21(1)157x ++=【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．根据题意主干，支干和小分支的总数是157，列出方程即可． 【详解】解：每个支干长出x 个小分支，根据题意得：21157x x ++=，故选：A ．6. 知一元二次方程2310x x ++=的两根为1x 、2x ，则1212x x x x ++的值是（ ）的A. 4−B. 2−C. 2D. 4【答案】B 【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与系数关系：12bx x a +=−，12c x x a ⋅=是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系得到123x x +=−，121x x ⋅=，代入进行计算即可得到答案． 【详解】解： 一元二次方程2310x x ++=的两根为1x ，2x ，∴123x x +=−，121x x ⋅=，1212132x x x x ∴++=−=−， 故选：B ．7. 若关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x −++=有两个实数根，则k 的取值范围是（ ） A. 14k >−B. 14k ≥−C. 14k >−且0k ≠ D. 14k ≥−且0k ≠ 【答案】D 【解析】【分析】根据一元二次方程中二次项系数不为零及根的判别式建立不等式组求解即可．【详解】解：由题意得：()22202140k k k ≠−+−≥ ， 解得：14k ≥−且0k ≠． 故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握根的判别式是解题的关键，注意不要忽略“一元二次方程二次项系数不为零”这一隐含条件．8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+和二次函数()2y b x k =+的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象，解题的关键是对参数k 和b 进行分类讨论．分当0k >，0b >时，当0k >，0b <时，当0k <，0b >时，当0k <，0b <时，四种情况讨论即可． 【详解】解：对于一次函数y kx b =+和二次函数()2y b x k =+的图象，①当0k >，0b >时，一次函数y kx b =+的图象过第一、二、三象限，二次函数()2y b x k =+的图象开口向上，对称轴在y 轴左侧，没有选项符合；②当0k >，0b <时，一次函数y kx b =+的图象过第一、三、四象限，二次函数()2y b x k =+的图象开口向下，对称轴在y 轴左侧，没有选项符合；③当0k <，0b >时，一次函数y kx b =+的图象过第一、二、四象限，二次函数()2y b x k =+的图象开口向上，对称轴在y 轴右侧，选项B 符合；④当0k <，0b <时，一次函数y kx b =+的图象过第二、三、四象限，二次函数()2y b x k =+的图象开口向下，对称轴在y 轴右侧，没有选项符合； 故选：B ．9. 已知抛物线2(0)y ax bx c a ++>的对称轴为直线1x =，与x 轴的一个交点为(1,0)−．若关于x 的一元二次方程2(0)ax bx c p p ++=<有整数根，则p 的值有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 5个【答案】B 【解析】【分析】本题考查了二次函数图象抛物线与x 轴及常函数(0)y p p =<直线的交点横坐标与一元二次方程根的关系．根据题意可知一元二次方程的根应为整数2(0)ax bx cp p ++=<，通过抛物线2(0)y ax bx c a ++>的对称轴为直线1x =，与x 轴的一个交点为(1,0)−．可以画出大致图象判断出直线()40y p a y =−≤<，观察图象当40a y −≤<时，抛物线始终与x 轴相交于()1,0−与()3,0．故自变量x 的取值范围为13x −<<．所以x 可以取得整数0，1，2共3个．由于2x =与0x =关于对称轴直线1x =对称，所以2x =与0x =对应一条平行于x 轴的直线，，1x =时对应一条平行于x 轴且过抛物线顶点的直线，从而确定y p =时，p 的值应有2个．【详解】解： 抛物线2(0)y ax bx c a ++>的对称轴为直线1x =，12ba∴−=，解得2b a =−． 又 抛物线2(0)y ax bx c a ++>与x 轴的一个交点为(1,0)−， 把(1,0)−代入2y ax bx c ++得，02a a c =++， 解得：3c a =−．223(0)y ax ax a a ∴=−−>．对称轴1h =，最大值4k a =−． 如图所示，顶点坐标()1,4a −， 令2230ax ax a −−=， 即2230x x −−=， 解得1x =−或3x =．∴当0a >时，抛物线始终与x 轴交于()1,0−与()3,0，为2ax bx c p ∴++=． 即常函数直线y p =，由0p <， 40a y ∴−≤<，由图象得当40a y −≤<时，13x −<<，其中x 为整数时，0x =，1，2．∴一元二次方程2(0)ax bx c p p ++=>的整数解有3个．又0x = 与2x =关于直线1x =轴对称， 当1x =时，直线y p =恰好过抛物线顶点， 所以p 值可以有2个． 故选：B ．10. 抛物线232y x x =−+与直线1y x =−交于A 、B 两点，抛物线上只有三个点到直线1y x =−的距离为m ，则m 的值是（ ）A.B. 1C.D.【答案】A 【解析】【分析】本题考查二次函数的性质、一次函数的应用，二元二次方程组，二元一次方程的根的判别式等知识．如图当直线l 与l ′和直线AB l 与抛物线只有一个交点，且直线l 与直线l ′和直线AB 的距离相等，此时，直线l 与直线l ′和抛物线的交点满足条件．求出点E 的坐标，证明AHE 是等腰直角三角形即可解决问题．【详解】解：如图当直线l 与l ′和直线AB 平行，直线l 与抛物线只有一个交点，且直线l 与直线l ′和直线AB 的距离相等，此时，直线l 与直线l ′和抛物线的交点满足条件．设直线l 与抛物线的交点为E ，作EH AB ⊥于H ．由2321y x x y x =−+ =− 解得10x y = = 或32x y = = ，∴ 1,0A ，()3,2B ，∴2tan 132BAE ∠==−， 45BAE ∴∠=°，设直线l 的解析式为y x b =+，由232y x b y x x =+ =−+，消去y 得到2420x x b −+−=， 由题意0∆=，164(2)0b −−=， 解得2b =−．方程组的解为20x y = =，(2,0)E ∴，∵45HAE ∠=°，且1AE =，m HE ∴==． 故选：A ．二、填空题（每小题3分，共18分）11. 抛物线()215y x =−−+的顶点坐标是_____． 【答案】()1,5 【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质．根据抛物线2()y a x h k =−+的顶点坐标为(),h k 求解即可． 【详解】解：抛物线()215y x =−−+的顶点坐标是()1,5，故答案为：()1,5． 12. 若()21my m x =−+是关于x 的二次函数，则m =______．【答案】2− 【解析】【分析】此题考查了二次函数的定义，形如()20y a x bx c a ++≠的函数是二次函数．根据定义解答即可，熟记定义是解此题的关键． 【详解】解：∵函数()21my m x=−+是二次函数，∴202m m −≠ =，解得：2m =−， 故答案为：2−．13. 九（2）班元旦晚会上，某活动小组每两位同学间互赠一张贺卡、共赠贺卡132张，如果设活动小组有x 名学生，则列出方程化为一般式为_____． 【答案】21320x x −−= 【解析】分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程．设全班有x 人．根据互赠卡片一张，则x 人共赠卡片()1x x −张，列方程即可．【详解】解：根据题意得，()1132x x −=，即21320x x −−=，故答案为：21320x x −−=．14. 已知二次函数2y ax bx c ++自变量x 与函数值y 之间满足下列数量关系，则代数式a b c −+的值等于_____．【答案】1− 【解析】【分析】本题考查二次函数的性质．由表格可得1x =−时1y =−，据此求解即可． 【详解】解：∵1x =−时1y =−， ∴1a b c −+=−． 故答案为：1−．15. 二次函数()20y ax bx c a ++≠的部分图象如图所示，图象过点(1,0)−，对称轴为直线1x =．下列结论：①20a b +=；②93a b c +≤−；③若点()13,A y −、点22,5B y−，点()34,C y 在该函数图象上，则123y y y <<；④若方程(1)(3)3a x x +−=−的两根为1x 和2x ，且12x x <，则121,3x x <−>．其中一定正的【确的结论有_____（填写序号）．【答案】①④##④① 【解析】【分析】本题考查二次函数的图象与性质．根据抛物线的对称轴可判断①正确；根据抛物线的对称性，求得图象也过点(3,0)，据此可判断②错误；先求得()34,y 关于直线1x =的对称点为()32,y −，1x <时，y 随着x 的增大而增大，据此可判断③错误；方程(1)(3)3a x x +−=−有两根，可看作直线=3y −与抛物线(1)(3)y a x x =+−有两个交点，根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】解：①由题意可知：对称轴1x =，∴12ba−=， 20a b ∴+=，故①正确；②图象过点(1,0)−，对称轴为直线1x =，∴图象也过点(3,0)，即当3x =时，0y =，930y a b c ∴++，即93a b c +=−，故②错误；③()34,y 关于直线1x =的对称点为()32,y −， 由图可知：1x <时，y 随着x 的增大而增大， 由于2325−<−<−，132y y y ∴<<，故③错误；④设(1)(3)y a x x =+−，=3y −，由于图象可知：直线=3y −与抛物线(1)(3)y a x x =+−有两个交点，∴方程(1)(3)3a x x +−=−的两根为1x 和2x ，1213x x ∴<−<<，故④正确；综上，正确的只有①④， 故答案为：①④．16. 已知抛物线2(2)53y x m x m =−++−在11x −≤≤的范围内能使1y ≥恒成立，则m 的取值范围为_____． 【答案】54m ≥ 【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键．分三种情况：当212m +≥时，当212m +≤−时，当2112m +−≤≤时，讨论即可． 【详解】解：2(2)53y x m x m =−++−的对称轴为直线22m x +=，开口向上， ①当212m +≥时，即0m ≥时， 要使在11x −≤≤的范围内能使1y ≥恒成立，只需1x =时的函数值大于等于1，即21(2)531m m −++−≥， 解得：54m ≥， 结合0m ≥，得：54m ≥； ②当212m +≤−时，即4m ≤−时， 要使在11x −≤≤的范围内能使1y ≥恒成立，只需1x =−时的函数值大于等于1，即()21(2)531m m −+++−≥， 解得：16m ≥结合4m ≤−，得无解； ③当2112m +−≤≤时，即40m −≤≤时， 要使在11x −<<的范围内能使1y ≥恒成立，只需22m x +=时的函数值大于等于1，即222(2)53122m m m m ++ −+⋅+−≥， 化简得：216200m m −+≤，解得：88m −≤≤+，结合11x −<<，得无解； 综上，得54m ≥， 故答案为：54m ≥． 三、解答题（共8题，共72分）17. 用指定方法解方程：（1）248x x −=；（配方法） （2）22310x x +−=．（公式法）【答案】（1）12x =+22x =−（2）1x =，2x =． 【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种方式是解题的关键．（1）运用配方法即可解答．（2）运用一元二次方程求根公式解答即可．【小问1详解】解：248x x −=，配方得24484x x −+=+，即()2212x −=，开方得2x −=±，解得2x =±，即12x =+22x =−【小问2详解】解：22310x x +−=， 231a b c ===−，，，∴()22Δ43421170b ac =−=−××−=>，∴x∴1x =，2x = 18. 已知二次函数25y ax x c =−+的图象与x 轴交于(1,0)(4,0)A B 、．（1）求二次函数的解析式；（2）当10y =时，求自变量x 的值．【答案】（1）254y x x =−+；（2）当10y =时，自变量x 的值为1−或6【解析】【分析】此题考查了二次函数与x 轴的交点、待定系数法求二次函数解析式以及一元二次方程的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．（1）将A 与B 坐标代入二次函数解析式求出a 与c 的值，即可确定出二次函数解析式；（2）把10y =代入解析式解一元二次方程即可．【小问1详解】解：将(1,0)A ，(4,0)B 代入解析式得：5016200a c a c −+= −+=， 解得：1a =，4b =．则抛物线解析式为254y x x =−+；【小问2详解】解：当10y =时，即25410x x −+=，解得：11x =−，26x =，∴当10y =时，自变量x 的值为1−或6．19. 随着人们环保意识的不断增强，我市家庭电动自行车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2009年底拥有家庭电动自行车125辆，2011年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆．若该小区2009年底到2012年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同，则该小区到2012年底电动自行车将达到多少辆？【答案】该小区到2012年底电动自行车将达到216辆【解析】【分析】设年平均增长率为x ，根据增长率相同可以得到2020年的拥有量为()1251x +辆，2021年的为()21251x +辆．【详解】解：设2009年底到2011年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率为x ，根据题意得()21251180x +=， 解得10.220x ==％，1 2.2x =−（不符合题意，舍去）， ∴180×（1+20%）＝216（辆），答：该小区到2012年底电动自行车将达到216辆．【点睛】本题考查二次方程的实际应用，能够熟练通过增长率公式得到式子是解题关键．20. 已知二次函数()()13y kx x =−−的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为负整数．（1）求函数解析式；（2）若()()12,,2,P a y Q y −是抛物线上的两点，且12y y >请画出函数图象，并结合函数图象直接写出实数a 的取值范围是_____．【答案】（1）()()13y x x =−+−； （2）24a −<<【解析】【分析】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，二次函数的对称性，以及利用二次函数图象解决二次函数与不等式的关系．（1）令0y =，解关于x 一元二次方程，求出二次函数图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为3和1k，然后根据整数的整除性可确定负整数k 值；(3)把()22,Q y −代入抛物线的解析式即可求出2y ，求得点Q 关于对称轴的对称点为()4,5−，再利用12y y >即可求出a 的取值范围．【小问1详解】解：令0y =，则()()130kx x −−=， 解得：11x k =，23x =， 根据题意得1k为整数，且k 为负整数， ∴整数1k =−，∴函数解析式为()()()()1313y x x x x =−−−=−+−；【小问2详解】解：∵()()13y x x =−+−， ∴对称轴为直线1312x −+=， 把点()22,Q y −代入()()13y x x =−+−得25y =−， 则点()2,5Q −−，则点Q 关于对称轴的对称点为()4,5−，由图象可知：当24a −<<时，12y y >．故答案为：24a −<<．21. 阅读下列材料：若关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个实数根分别为1x 、2x ，则12b x x a +=−，12c x x a=．解决下面问题： 已知关于x 的一元二次方程22444x nx n x ++=有两个不等实数根1x 、2x ，（1）求n 的取值范围；（2）当0n ≠时，设1222=+m x x ，试用含n 的代数式表示出m ； （3）在（2）的条件下，若4m =，求出n 的值．【答案】（1）12<n （2）288n m n −+= （3）1n −【解析】【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．（1）把方程变形成一般形式，再根据有两个不等实数根列出不等式，即可求出n 的范围；（2）由一元二次方程写出121x x n +=−+，2124n x x ⋅=，再代入()121212222x x m x x x x +=+=即可得答案； （3）列出方程，解方程并检验即可得答案．【小问1详解】解：将22444x nx n x ++=变形得：()224440x n x n +−+=， 22444x nx n x ++=有两个不等实数根， ∴0∆>，即()2244440n n −−×>，解得：12<n ， n ∴的取值范围是12<n ； 【小问2详解】解：1x 、2x 是()224440x n x n +−+=的两个实数根， 121x x n ∴+=−+，2124n x x ⋅=， ()()1222121222122884x x n n m n x x x x n +−+−+∴=+===；【小问3详解】解：由题意，得：2884n m n −+==，化简得：2220n n +−=，解得1n =−或1n −，经检验，1n=或1n −是方程的解， 12n < 且0n ≠，1n ∴−．22. 小明的爸爸投资1200元围一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙（墙长24m ），另外三边选用不同材料建造．平行于墙的边的费用为20元/m ，垂直于墙的边的费用为15元/m ，设平行于墙的边长为x m ．（1）设垂直于墙的一边长为y m ，求y 与x 之间的函数关系式；（2）设菜园的面积为2m S ，求S 与x 的函数关系式，并求出当546S =时x 的值；（3）请问菜园的最大面积能达到2600m 吗？如能，求出x 的值；如不能，说明理由．【答案】（1）2403y x =−+； （2）22403S x x =−+，当546S =时，21x =； （3）菜园的最大面积不能达到2600m ．【解析】【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为一元二次方程和二次函数的问题． （1）根据“垂直于墙的长度2−÷总费用平行于墙的总费用垂直于墙的单价”可得函数解析式； （2）根据矩形的面积公式列出总面积关于x 的函数解析式；（3）根据矩形的面积公式列出总面积关于x 的函数解析式，配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得． 【小问1详解】 解：根据题意知，1200202401523x y x −==−+×， 故y 与x 之间的函数关系式为2403y x =−+； 【小问2详解】 解：根据题意得，222(40)4033S x x x x =−+=−+，当576S =时，22405463x x −+=， 解这个方程，得121x =，239x =，24x ≤ ，∴当546S =时，21x =；【小问3详解】解：菜园的最大面积不能达到2600m ， 理由：222240(30)60033S x x x =−+=−−+ ， 230a =−<， ∴当24x ≤时，S 随x 的增大而增大．∴当24x =时，S 最大，此时576600S =<．∴菜园的最大面积不能达到2600m ．23. 如图，ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=°，D 是BC 的中点，E 点在线段BD 上运动，作等边DEF ．（1）如图1，DEF 在BC 的上方，且F 点恰好落在线段AB 上，求BF AF的值； （2）如图2，DEF 在BC 的下方，H 在CB 延长线上，CE EH =，连接AF FH 、，求证：AF FH ⊥；（3）如图3，将DEF 绕D 点旋转，连接AF BE 、，已知2AB DE =，直接写出AF BE +的最小值为_____．【答案】（1）3 （2）见解析（3【解析】【分析】（1）连接AD ，根据等腰三角形的“三线合一”得到60BAD ∠=°，90ADB ∠=°，进而得到30ADF ∠=°，90AFD ∠=°，从而有12AF AD =，同理在Rt ABD △中，由30B ∠=°得到2AB AD =，从而32BF AB AF AD =−=，即可求解； （2）连接AD ，连接AH ，取AH 的中点O ，连接,OF OE ，通过三角形的中位线定理结合等边三角形的性质证明()SAS ADF DEF ≌，继而得到OFA 为等边三角形，再根据等边三角形的性质结合外角定理得到160302OHF OFH ∠=∠=×°=°，即可求证； （3）以BD 为边在BD 下方作等边BDG ，连接,,AD AG FG ，可证明BDE GDF ≌△△，则BE GF =，故AF BE AF GF AG +=+≥，当且仅当点,,A G F 三点共线时取得最小值且为AG ，而90ABG ∠=°，故由勾股定理可求AG ，即可求出最小值． 【小问1详解】解：连接AD ，∵AB AC =，点D 是BC 的中点， ∴111206022BAD BAC ∠=∠=×°=°，AD BC ⊥， ∴90ADB ∠=°，∵DEF 是等边三角形，∴60EDF ∠=°，∴906030ADF ADB EDF ∠=∠−∠=°−°=°∴180180306090AFD ADF BAD ∠=°−∠−∠=°−°−°=°，∴在Rt ADF 中，12AF AD =， ∵180180609030B BAD ADB ∠=°−∠−∠=°−°−°=°，∴在Rt ABD △中，2AB AD =， ∴13222BF AB AF AD AD AD =−=−=， ∴32312AD BF AF AD ==． 【小问2详解】解：连接AD ，∵,120AB AC BAC =∠=°，点D 为BC 中点， ∴30,ABC C AD BC ∠=∠=°⊥， ∴12AD AC =， 连接AH ，取AH 的中点O ，连接,OF OE ，∵CE EH =， ∴1,2OE AC OE AC =∥， ∴180150,OECC OE AD ∠=°−∠=°=， ∵FDE 是等边三角形，∴,60FE FD FED FDE EFD =∠=∠=∠=°， ∴9060150ADF ∠=°+°=°，360150OEF DEC FED ∠=°−∠−∠=°，∴ADF OEF ∠=∠，∴()SAS ADF OEF ≌，∴,12AF OF =∠=∠，∴60OFA EFD ∠=∠=°，∴OFA 为等边三角形，∴OA OF =，∴OA OH OF ==， ∴160302OHF OFH ∠=∠=×°=°， ∴603090AFH AFO OFH ∠=∠+∠=°+°=°，∴AF FH ⊥．【小问3详解】解：在Rt ABD △中，30ABC ∠=°，AB =∴cos 3BD AB ABC =⋅∠=，以BD 为边在BD 下方作等边BDG ，连接,,AD AG FG ，∴3,60DB DG BG BDG DBG ===∠=°=∠，∵DEF 为等边三角形，∴,60DE DF EDF =∠=°， ∴BDG EDF ∠=∠，∴3=4∠∠，∴BDE GDF ≌△△，∴BE GF =，∴AF BE AF GF AG +=+≥，当且仅当点,,A G F 三点共线时取得最小值且为AG ，∵ABG ABC DBG ∠=∠+∠，∴90ABG ∠=°，∴AG ，∴AF BE +．【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理解三角形等知识点，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．24. 如图1，抛物线2162y x mx m =−++与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 左边），与y 轴正半轴交于C 点，23OA OC =．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，N 点在抛物线上，2ACN BAC ∠=∠，求N 点的横坐标；（3）如图3，P 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x 轴于F 点，过点122Q，的直线l 分别交抛物线于D 、E 两点，直线PD 、PE 分别交x 轴于G 、H 两点，求证：FG FH ⋅为定值，并求该定值． 【答案】（1）211322y x x =−++ （2）3223（3）62536【解析】【分析】（1）利用抛物线解析式得出()06C m ，，结合23OA OC =得出()40A m −，，代入抛物线解析式即可求出m ，即可得； （2）过点C 作ACN ∠角平分线CM ，交x 轴于点M ，在CN 延长线上取点W ，使CW CA =，连接AW ，交CM 于点T ，过点W 作WK x ⊥轴于点K ，先在等腰ACM △中利用勾股定理求出OM 和CM ，再利用AMT CMO △≌△，得出AT 和TM ，再利用AMT AWK △∽△，求出WK 和AK ，即可得出W 的坐标，则可得出直线CN 解析式，再联立抛物线解析式，即可得N 的横坐标；（3）设直线DE 解析式为122y n x−+ ，设211111322D x x x −++，，222211322E x x x −++ ，，联立直线DE 和抛物线可求得122x x n =−−，1221x x n +=−+，设直线DP 解析式为：12528y q x −+ ，设直线EP 解析式为：12528y p x =−+ ，将211111322D x x x −++，代入直线DP 解析式可求得DP 解析式为112125428x y x − −+ ，则可得1112021x G x + −，，同理：2212021x H x + −，，求出FG ，FH ，代入FG FH ⋅即可求解．【小问1详解】解：当0x =时，抛物线21662y x mx m m =−++=， 则()06C m ，， 则6OC m =， ∴243OA OC m ==， ∴()40A m −，， 将()40A m −，代入2162y x mx m =−++， 得：()()2144602m m m m −−+⋅−+=， 解得：0m =（舍），或12m =， ∴抛物线解析式为：211322y x x =−++； 【小问2详解】解：如图，过点C 作ACN ∠角平分线CM ，交x 轴于点M ，在CN 延长线上取点W ，使CW CA =，连接AW ，交CM 于点T ，过点W 作WK x ⊥轴于点K ，∵2ACN BAC ∠=∠，ACM WCM ∠=∠，∴ACM MAC ∠=∠，∴AM CM =，由（1）知63OC m ==，42OA m ==，∴2CM AM OM ==+，在Rt OCM △中，222OC OM CM +=，即：()22232OM OM +=+， 解得：54OM =， ∴1324CM AM OM ==+=， ∵CW CA =，ACM WCM ∠=∠，∴AT WT =，AW CM ⊥，∴90ATM COM ∠=∠=°， ∵AMT CMO ∠=∠，AM CM =，∴AMT CMO △≌△， ∴3AT CO ==，54TMOM ==， ∴26AW AT ==， ∵MAT WAK ∠=∠，90ATM WKA ∠=∠=°，∴AMT AWK △∽△， ∴WK AK AW TM AT AM==， 即：6513344WK AK ==， 解得：3013WK =，7213AK =， ∴4613OK AK AO =−=， ∴46301313W，， 设直线CN 解析式为y kx t =+， 代入()03C ，，46301313W，， 得：346301313t k t = += ，解得：3946t k = =−， 则直线CN 解析式为9346y x =−+， 联立抛物线解析式，得：2193241263x x x −−=+++， 解得：0x =（舍）或3223x =， 故点N 的横坐标为3223； 【小问3详解】 解：由22111125322228y x x x =−++=−−+ ， 则抛物线顶点P 坐标为12528，， ∵直线DE 过点122Q，， ∴设直线DE 解析式为122y n x−+ ， 设211111322D x x x−++ ，，222211322E x x x −++，，其中1212x x ≠≠， 联立：212211322y n x y x x −+ =−++， 整理得：()22120x n x n +−−−=， ∴122x x n =−−，1221x x n +=−+， ∵直线DP 和直线EP 都过点12528P，， ∴设直线DP 解析式为：12528y q x−+ ，设直线EP 解析式为：12528y p x =−+， 将211111322D x x x −++ ，代入12528y q x −+ ，解得：1124x q −=， 则直线DP 解析式为：112125428x yx − −+ ， 当0y =，得：1121250428x x − −+ ， 解得：111221x x x +=−， 即1112021x G x + −，， 同理：2212021x H x + −，， ∴11121221x FG x +=−−，22121212x FH x +=−−， ∴()()()1212121212121211252562522121222122144221x x FG FH x x x x x x x x ++−⋅=−⋅−=⋅=− −−−−−−+， 将122x x n =−−，1221x x n +=−+代入， 得：62536FG FH ⋅=． 【点睛】本题考查了二次函数的图象综合题，涉及二次函数的图象与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与这些判定、性质的结合是解题的关键．。
广东广雅中学2024-2025学年高三10月月考数学试题(含答案)
广东广雅中学2025届高三10月月考数学（时间：120分钟，满分：150分）第I 卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的。
1．有下列一组数据：2，17，33，15，11，42，34，13，22，则这组数据的第30百分位数是（ ） A ．11B ．15C ．13D ．342．设常数a R ∈，集合}(1)|()0{A x x x a =−−≥，}1{|B x x a =≥−，若A B R ⋃=，则a 的取值范围为（ ） A ．(,2)−∞B ．(,2]−∞C ．(2+∞，）D ．[2+∞，）3．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB ，则12z z ⋅对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．sin 3α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π4β=，则()tan αβ−=（ ） A ．1 B ．3− C ．3D ．3−5．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//m n ，n ⊂α，则//m α B ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβC ．若m α⊥，n α⊥，m β⊂，n γ⊂，则//βγD ．若//m α，//n α，则m ，n 平行、相交、异面均有可能6．已知O 为坐标原点，()11,P x y 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>上一点()10x >，F 为右焦点.延长PO ，PF 交椭圆E 于D ，G 两点，0DF FG ⋅=，4DF FG =，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．3B ．5C ．6D ．57．已知函数()()f x g x ，的定义域是R ，()g x 的导函数为()g x '，且()()5f x g x '+=，()()155f x g x −'−−=，若()g x 为偶函数，则下列说法中错误的是（ ） A ．()05f =B ．()()()()123202410120f f f f ++++=C ．若存在0x 使()f x 在[]00,x 上严格增，在[]0,2x 上严格减，则2024是()g x 的极小值点D ．若()f x 为偶函数，则满足题意的()f x 唯一，()g x 不唯一8．小丽同学有一枚不对称的硬币，每次掷出后正面向上的概率为(01)p p <<，她掷了N 次硬币后有10次正面向上.但她没有留意自己一共掷了多少次硬币.设随机变量X 表示每掷N 次硬币中正面向上的次数，现以使(10)P X =最大的N 值估计N 的取值并计算()E X .(若有多个N 使(10)P X =最大，则取其中的最小N 值).下列说法正确的是（ ） A ．()10E X > B ．()10E X <C ．()10E X =D ．()E X 与10的大小无法确定二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
2023-2024学年湖南省长沙一中广雅中学七年级(下)期末数学试卷及答案解析
2023-2024学年湖南省长沙一中广雅中学七年级（下）期末数学试卷一、单选题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列各数中是无理数的是（）A．B．πC．0.24D．20242．（3分）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（3，4），则点P所在的位置是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（3分）若a＞b，则下列不等式成立的是（）A．2a＞2b B．a﹣2＜b﹣2C．﹣2a＞﹣2b D．4．（3分）下列各式中，正确的是（）A．B．C．D．﹣5．（3分）在△ABC中，AB＝8，BC＝2，AC的长为奇数，△ABC的周长为（）A．17B．19C．17或21D．17或196．（3分）明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（）A．B．C．D．7．（3分）以下调查中，适宜抽样调查的是（）A．了解某班学生是否存在水痘患者B．调查某海域的海水质量C．选出全校长跑最快的同学参加全市比赛D．旅客登机前的安全检查8．（3分）如图，直线a，b被直线c，d所截，则下列条件可以判定直线c∥d的是（）A．∠2＝∠3B．∠1＝∠3C．∠1+∠5＝180°D．∠4+∠5＝180°9．（3分）关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（）A．a＜1B．a＝1C．a＞1D．a≤110．（3分）如图，有一个三角形纸片ABC，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角进行折叠，使点C落在△ABC外，若∠2＝36°，则∠1的度数为（）A．96°B．106°C．116°D．126°二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）9的算术平方根是．12．（3分）如图，已知∠A＝35°，∠B＝25°，点B、C、D在一条直线上，则∠ACD＝度．13．（3分）已知是关于x，y的二元一次方程3kx+y＝7的解，则k的值为．14．（3分）一个多边形的内角和为1440°，则这个多边形是边形．15．（3分）在平面直角坐标系中，点A（a﹣3，a+1）在x轴上，则点A的坐标为．16．（3分）如图，已知CD和BE是△ABC的角平分线，∠A＝60°，则∠BOC＝．三、解答题17．（6分）计算：．18．（6分）解不等式组：．19．（6分）如图，A、D、B、F在一条直线上，DE∥CB，BC＝DE，AD＝BF．求证：△ABC≌△FDE．20．（8分）我市中小学全面开展“阳光体育”活动，某校在大课间中开设了A（体操）、B（乒乓球）、C （毽球）、D（跳绳）四项活动．为了解学生最喜欢哪一项活动，随机抽了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如图两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有人；（2）请将统计图2补充完整；（3）统计图1中B项目对应的扇形的圆心角是度．（4）已知该校共有学生2500人，根据调查结果估计该校喜欢体操的学生有人．21．（8分）已知关于x、y的方程组．（1）若方程组的解也是方程3x+2y＝10的一个解，求a的值；（2）若方程组的解满足x﹣y＞5，求a的取值范围．22．（9分）如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝40°，∠ACB＝80°．点F在BC的延长线上，FG⊥AE，垂足为H，FG与AB相交于点G．（1）求∠AGF的度数；（2）求∠EAD的度数．23．（9分）某中学为了给同学们提供更好的学习环境，计划购买一批桂花树和香樟树来绿化校园，经市场调查发现购买2棵桂花树和3棵香樟树共需460元，购买3棵桂花树和2棵香樟树共需440元．（1）求桂花树和香樟树的单价各是多少元？（2）根据学校实际情况，需购买两种树苗共130棵，总费用不超过12000元，且购买香樟树的棵数不少于桂花树的1.5倍，请你算算，该校本次购买桂花树和香樟树共有哪几种方案．24．（10分）我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例：已知方程2x﹣3＝1与不等式x+3＞0，方程的解为x＝2，使得不等式也成立，则称“x＝2”为方程2x﹣3＝1和不等式x+3＞0的“梦想解”（1）已知①，②2（x+3）＜4，③，试判断方程2x+3＝1解是否为它与它们中某个不等式的“梦想解”；（2）若关于x，y的二元一次方程组的解是不等式组的梦想解，且m为整数，求m的值．（3）若关于x的方程x+4＝3m的解是关于x的不等式组的“梦想解”，且此时不等式组有7个整数解，试求m的取值范围．25．（10分）如图1：在平面直角坐标系内，O为坐标原点，线段AB两端点在坐标轴上，点A（﹣4，0），点B（0，3），将AB向右平移4个单位长度至OC的位置．（1）点C的坐标；（2）如图2，过点C作CD⊥x轴于点D，在x轴正半轴有一点E（1，0），过点E作x轴的垂线，在垂线上有一动点P，求△PCD的面积；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AC，是否存在点P，使得△ACP的面积为，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2023-2024学年湖南省长沙一中广雅中学七年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（每小题3分，共30分）1．【分析】根据无理数、有理数的定义逐项判断即可．【解答】解：A．是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；B．π是无理数，故此选项符合题意；C．0.24是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意；D．2024是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．2．【分析】根据第一象限内点的坐标特点解答即可．【解答】解：∵3＞0，4＞0，∴点P（3，4）在第一象限．故选：A．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．3．【分析】根据不等式的基本性质对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A、∵a＞b，∴2a＞2b，不等式成立，符合题意；B、∵a＞b，∴a﹣2＞b﹣2，原变形错误，不符合题意；C、∵a＞b，∴﹣2a＜﹣2b，原变形错误，不符合题意；D、∵a＞b，∴＞，原变形错误，不符合题意．故选：A．【点评】本题考查的是不等式的基本性质，熟知：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．4．【分析】根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：A、＝3，故选项A不符合题意；B、＝3，故选项B不符合题意；C、＝3，故选项C不符合题意；D、﹣＝﹣3，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是关键．5．【分析】首先根据三角形的三边关系定理可得2﹣2＜AC＜2+2，再根据AC为奇数确定AC的值．【解答】解：由题意得：8﹣2＜AC＜8+2，即：6＜AC＜10，∵AC为奇数，∴AC＝7或9，∴△ABC的周长为17或19．故选：D．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．6．【分析】设有好酒x瓶，薄酒y瓶，根据“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒”列出方程组，即可求解．【解答】解：设有好酒x瓶，薄酒y瓶，根据题意得：，故选：A．【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找到等量关系是关键．7．【分析】如何选择调查方法要根据具体情况而定．一般来讲：通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．其一，调查者能力有限，不能进行普查；据此进行判断即可．【解答】解：了解某班学生是否存在水痘患者适宜全面调查，则A不符合题意；调查某海域的海水质量适宜抽样调查，则B符合题意；选出全校长跑最快的同学参加全市比赛适宜全面调查，则C不符合题意；旅客登机前的安全检查适宜全面调查，则D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查全面调查及抽样调查，熟练掌握其定义是解题的关键．8．【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．【解答】解：由∠2＝∠3，不能判定c∥d，故A不符合题意；∵∠1＝∠3，∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∴a∥b，故B不符合题意；∵∠1+∠5＝180°，∴c∥d，故C符合题意；∵∠4+∠5＝180°，∴a∥b，故D不符合题意；故选：C．【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．9．【分析】不等式组整理后，根据无解确定出a的范围即可．【解答】解：不等式组整理得：，∵不等式组无解，∴a≤1．故选：D．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．10．【分析】先根据三角形的内角和定理可出∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣65°﹣75°＝40°；再根据折叠的性质得到∠C′＝∠C＝40°，再利用三角形的内角和定理以及外角性质得∠3+∠2+∠5+∠C′＝180°，∠5＝∠4+∠C＝∠4+40°，即可得到∠3+∠4＝65°，然后利用平角的定义即可求出∠1．【解答】解：如图，∵∠A＝65°，∠B＝75°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣65°﹣75°＝40°，又∵将三角形纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，∴∠C′＝∠C＝40°，而∠3+∠2+∠5+∠C′＝180°，∠5＝∠4+∠C＝∠4+40°，∠2＝36°，∴∠3+36°+∠4+40°+40°＝180°，∴∠3+∠4＝64°，∴∠1＝180°﹣64°＝116°，故选：C．【点评】本题考查了三角形内角和定理，翻折变换（折叠问题），熟练掌握折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了三角形的内角和定理以及外角性质．二、填空题（每小题3分，共18分）11．【分析】根据算术平方根的定义计算即可．【解答】解：∵32＝9，∴9的算术平方根是3，故答案为：3．【点评】本题考查了算术平方根的定义，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．12．【分析】三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．据此即可获得答案．【解答】解：∵∠A＝35°，∠B＝25°，∴∠ACD＝∠A+∠B＝35°+25°＝60°．故答案为：60．【点评】本题主要考查了三角形外角的定义和性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题关键．13．【分析】把代入已知方程可得关于k的方程，解方程即得答案．【解答】解：把代入方程3kx+y＝7，得3k﹣2＝7，解得：k＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了二元一次方程的解，掌握二元一次方程解的定义是关键．14．【分析】设这个多边形的边数为n，根据内角和公式得出（n﹣2）×180°＝1440，求出方程的解即可．【解答】解：设这个多边形的边数为n，则（n﹣2）×180°＝1440°，解得：n＝10，即这个多边形是十边形，故答案为：十．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，能熟记多边形的内角和公式是解此题的关键，注意：边数为n（n≥3）的多边形的内角和＝（n﹣2）×180°．15．【分析】根据坐标轴上点的坐标特征进行计算即可【解答】解：∵点A（a﹣3，a+1）在x轴上，∴a+1＝0，即a＝﹣1，当a＝﹣1时，a﹣3＝﹣4，∴点A的坐标为（﹣4，0），故答案为：（﹣4，0）．【点评】本题考查点的坐标，掌握在x轴上的点的坐标特征是正确解答的关键．16．【分析】根据角平分线的定义得出∴∠CBE＝∠ABE＝∠ABC，∠BCD＝∠ACD＝∠ACB，利用三角形内角和定理可得∠BOC＝90°+∠A，再代入计算即可．【解答】解：∵CD和BE是△ABC的角平分线，∴∠CBE＝∠ABE＝∠ABC，∠BCD＝∠ACD＝∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣∠CBO﹣∠BCO＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝90°+×60°＝120°，故答案为：120°．【点评】本题考查角平分线，三角形内角和定理，掌握角平分线的定义，三角形内角和是180°是正确解答的前提．三、解答题17．【分析】首先计算有理数的乘方，化简绝对值，立方根和算术平方根，然后计算加减．【解答】解：＝＝．【点评】此题考查了有理数的乘方，化简绝对值，立方根和算术平方根，解题的关键是掌握以上知识点．18．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：，解不等式①，得x＜1；解不等式②，得x＞﹣6；∴不等式组的解集为﹣6＜x＜1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．【分析】由SAS可证△ABC≌△FDE即可．【解答】证明：∵AD＝BF，∴AD+DB＝DB+BF，∴AB＝FD，∵DE∥CB，∴∠ABC＝∠FDE，在△ABC与△FDE中，，∴△ABC≌△FDE（SAS）．【点评】本题考查全等三角形判定，解题的关键是掌握全等三角形判定定理．20．【分析】（1）根据喜欢C的人数和所占的百分比，可以求得这次被调查的学生人数；（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以得到喜欢A和D的人数，从而可以将统计图2补充完整；（3）根据条形统计图中的数据，可以计算出统计图1中B项目对应的扇形的圆心角的度数；（4）根据统计图中的数据，可以计算出该校喜欢体操的学生的人数．【解答】解：（1）这次被调查的学生共有：160÷40%＝400（人），故答案为：400；（2）喜欢D的学生有：400×20%＝80（人），喜欢A的学生有：400﹣120﹣160﹣80＝40（人），补全的统计图2如图所示；（3）统计图1中B项目对应的扇形的圆心角是：360°×＝108°，故答案为：108；（4）2500×＝250（人），即该校喜欢体操的学生有250人．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．21．【分析】（1）首先解不等式组，利用a表示出x，y的值，然后根据方程组的解也是方程3x+2y＝10的一个解，可得关于a的方程，解方程可求a的值；（2）根据x﹣y＞5，列不等式组求得a的范围．【解答】解：（1）解方程组得：，∵方程组的解也是方程3x+2y＝10的一个解，∴6a﹣a＝10，解得：a＝2；（2）∵x﹣y＞5，∴2a+a＞5，解得：a＞2．【点评】本题考查了解一元一次不等式组的解法与二元一次方程组的解法，正确解方程组是关键．22．【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线定义即可得到结论；（2）根据高线定义得到∠ADB＝90°，再根据角平分线定义，即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠ACB＝80°，∴∠BAC＝180°﹣40°﹣80°＝60°，∵AE是△ABC的角平分线，∴∠BAE＝∠BAC＝30°，∵FG⊥AE，∴∠AHG＝90°，∴∠AGF＝180°﹣90°﹣30°＝60°；（2）∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∵∠ACB＝80°，∴∠CAD＝180°﹣90°﹣80°＝10°，∵∠BAC＝60°，AE是△ABC的角平分线，∴∠CAE＝∠BAC＝30°，∴∠EAD＝∠CAE﹣∠CAD＝30°﹣10°＝20°．【点评】本题考查了三角形内角和定理，垂直的定义，角平分线定义等知识，正确识别图形，理清角之间的和差关系是解决问题的关键．23．【分析】（1）设桂花树的单价为x元/棵，香樟树的单价是y元/棵，然后根据购买2棵桂花树和3棵香樟树共需460元，购买3棵桂花树和2棵香樟树共需440元，列出二元一次方程组，求解即可；（2）设购买桂花树a棵，表示出香樟树为（130﹣a）棵，然后根据总费用和两种树的棵数关系列出不等式组，求出a的取值范围，在根据a是正整数确定出购买方案．【解答】解：（1）设桂花树每棵x元，香樟树每棵y元．根据题意得：，解得，答：桂花树每棵80元，香樟树每棵100元；（2）设桂花树a棵，则香樟树（130﹣a）棵．根据题意得：，解得：50≤a≤52，∵a取整数，∴a＝50，51，52，所以有三种购买方案：①购买桂花树50棵，香樟树80棵，②购买桂花树51棵，香樟树79棵，③购买桂花树52棵，香樟树78棵．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．24．【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，即可判断；（2）先求出方程组的解和不等式组的解集，根据题意得出﹣5＜2m﹣31＜1，解不等式组即可；（3）先求出不等式组的解集，不等式组有7个整数解，即可得出，然后解方程x+4＝3m得：x＝3m﹣4，根据“梦想解”的定义得出，即可得出．【解答】解：（1）解方程2x+3＝1得x＝﹣1，解①得：x＞2，故方程2x+3＝1不是①的“梦想解”；解②得：x＜﹣1，故方程2x+3＝1不是②“梦想解”；解③得：x＜7，故方程2x+3＝1是③的“梦想解”；故答案为：③（2）解方程得：∴x+y＝2m﹣31∵解是不等式组的梦想解∴﹣5＜2m﹣31＜1∴13＜m＜16∵m为整数，∴m为14或15；（3）解不等式组得：m﹣1＜x≤3m+1，∵不等式组的整数解有7个，令整数的值为n，n+1，n+2，n+3，n+4，n+5，n+6则有：n﹣1≤m﹣1＜n，n+6≤3m+1＜n+7．故，∴且，∴1＜n＜3，∴n＝2，∴，∴，解方程x+4＝3m得：x＝3m﹣4，∵方程x+4＝3m是关于x的不等式组的“梦想解”，∴，解得，综上m的取值范围是．【点评】本题考查了解一元一次不等式（组），一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“关联方程”是解题的关键．25．【分析】（1）由点的平移即可求解；（2）由即可求解；＝S梯形ACFG﹣S△（3）①当P在AC的上方时，将△PAC补成直角梯形ACFG，设P（1，m），由S△P ACAGP﹣S△CFP即可求解；②当P在x轴上方，AC的下方时，由可判断此情况不存在；③当P在x的下方时，将△PAC补成直角梯形ACMN，同理①即可求解；【解答】解：（1）由平移得：C（4，3），故答案为：（4，3）；（2）如图2，∵CD⊥x轴，∴x D＝x C＝4，∴DE＝4﹣1＝3，∵CD＝3，PE⊥x轴，∴＝＝；故△PCD的面积为；（3）①当P在AC的上方时，如图3.1，将△PAC补成直角梯形ACFG，设P（1，m），∴AG＝DF＝m，GP＝AE＝5，FP＝DE＝3，CF＝m﹣3，FG＝AD＝8，＝S梯形ACFG﹣S△AGP﹣S△CFP∴S△P AC＝＝＝，∵△ACP的面积为，∴，解得：m＝8，∴P（1，8）；②当P在x轴上方，AC的下方时，如图3.2，因为但是∴此种情况不存在；③当P 在x 的下方时，如图3.3，将△PAC 补成直角梯形ACMN ，设P （1，m ），∴AN ＝DM ＝﹣m ，NP ＝AE ＝5，PM ＝DE ＝3，CM ＝3﹣m ，MN ＝AD ＝8，∴S △P AC ＝S 梯形ACMN ﹣S △ANP ﹣S △CMP＝＝＝，∵△ACP 的面积为，∴，解得：，∴；综上所述：点P 的坐标为（1，8）或．【点评】本题考查了点的平移，在平面直角坐标系中动点产生三角形的面积，掌握“割补法”求面积，能根据动点的位置进行分类讨论，并将面积转化为S △P AC ＝S 梯形ACFG ﹣S △AGP ﹣S △CFP 是解题的关键。
广东省广州市广东广雅中学2024~2025学年九年级上学期开学考试数学试题
广东省广州市广东广雅中学2024~2025学年九年级上学期开学考试数学试题一、单选题1．下列各式中，属于最简二次根式的是（ ）AB C D 2．一组数据5，4，5，6，5，3，4的众数是 （ ）A ．3B ．4C ．5D ．63．下列各组数据中，是勾股数的是（ ）AB ．6，7，8C ．1，2，3D ．9，12，15 4．甲、乙、丙、丁四人参加射击比赛，经过几轮初赛后，他们的平均数相同，方差分别为：22220.34,0.21,0.4,0.5s s s s ≡===甲乙丁丙．如果要从这四人中选取成绩稳定的一人参加决赛，你认为最应该派去参加决赛的是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁5．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列说法正确的是（ ）A ．若AB BC ⊥，则ABCD Y 是菱形B ．若AC BD ⊥，则ABCD Y 是正方形 C ．若AC BD =，则ABCD Y 是矩形 D ．若AB AD =，则ABCD Y 是正方形 6．已知方程2210kx x +-=有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．1k ≥-B ．1k ≥C ．1k ≤且0k ≠D ．1k ≥-且0k ≠ 7．如图，矩形ABCD 中，8AB =，12AD =，E 为AD 的中点，F 为CD 边上任意一点，G ，H 分别为EF ，BF 的中点，则GH 的长是（ ）A ．6B ．5.5C ．6.5D ．58．已知直线1l ：y kx b =-+与直线2l ：3y kx b =-在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．在平面直角坐标系中，以方程组1y x m y x =-+⎧⎨=-⎩的解为坐标的点位于第三象限，则m 的取值范围是（ ）A ．1m <-B ．1m <C ．1m >D ．11m -<<10．如图，在矩形ABCD 中，点E 在BC 上，10AE AD ==，6CD =，作AF DE ⊥于点G ，交CD 于F ，则CF 的长是（ ）A ．103B ．83C ．3D ．2二、填空题11x 的取值范围是．12．已知()211350m m x x +-+-=是关于x 的一元二次方程，则m 的值为．13．已知正比例函数的图象过点()2,1A -，则该函数的解析式为．14．已知1x ，1y ，则22x y -的值为．15．若关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根分别为13x =，22x =-，则方程()()2(1)100a x b x c a -+-+=≠的两根分别为．16．如图，点()03B ，，A 为x 轴上一动点，将线段AB 绕点A 顺时针旋转90︒得到.AC 连接.OC 当OC 取最小值时，点A 的坐标是．三、解答题17()03π1-． 18．如图，在ABCD Y 中，E ，F 分别是,AB CD 的中点．求证：AF CE =．19．如图，已知CD AB ⊥，垂足为D ，1BD =，2CD =，4=AD ．判断ABC V 的形状，并说明理由．20．（1）化简：24211326x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭； （2）若x 是一元二次方程2320x x -+=的解，请求出上面化简后的代数式的值．21．某校学生会决定从三名学生会干事中选拔一名干事，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试，三人的测试成绩如下表所示：根据录用程序，学校组织200名学生采用投票推荐的方式，对三人进行民主测评，三人得票率（没有弃权，每位同学只能推荐1人）如扇形统计图所示，每得一票记1分．(1)分别计算三人民主评议的得分；(2)根据实际需要，学校将笔试、面试、民主评议三项得分按4:3:3的比例确定个人成绩，三人中谁的得分最高？22．如图，在平面直角坐标中，直线26y x =-+与x 轴相交于点B ，与直线2y x =相交于点A ．(1)求AOB V 的面积；(2)点P 为y 轴上一点，当PA PB +取最小值时，求点P 的坐标，23．为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元．经过市场调研发现，每台售价为35万元时，年销售量为550台；每台售价为40万元时，年销售量为500台．假定该设备的年销售量y （单位：台）和销售单价x （单位：万元）成一次函数关系．(1)求年销售量y 与销售单价x 的函数关系式；(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于60万元，如果该公司想获得8000万元的年利润．则该设备的销售单价应是多少万元？24．某条城际铁路线共有A ，B ，C 三个车站，每日上午均有两班次列车从A 站驶往C 站，其中D 1001次列车从A 站始发，经停B 站后到达C 站，G 1002次列车从A 站始发，直达C 站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示．列车运行时刻表请根据表格中的信息，解答下列问题：(1)D 1001次列车从A 站到B 站行驶了______分钟，从B 站到C 站行驶了______分钟；(2)记D 1001次列车的行驶速度为1v ，离A 站的路程为1d ；G 1002次列车的行驶速度为2v ，离A 站的路程为2d ．①12v v =______； ②从上午8：00开始计时，时长记为t 分钟（如：上午9：15，则75t =），已知1240v =千米/小时（可换算为4千米/分钟），在G 1002次列车的行驶过程中()25150t ≤≤，若1260d d -=，求t 的值．25．如图，等边ABD △中，8AB =．(1)尺规作图：在图1中作点A 关于BD 的对称点C ，连接BC DC ，，并证明四边形ABCD 是菱形；(2)在（1）的条件下，点O 是四边形ABCD 对角线交点，动点E ，F ，G 分别在线段CD AC BC ，，上，且满足EF AD EG EF ⊥∥，，H 是FG 中点；①当OH AB ∥时，求证12OH DE =； ②当OH BC ⊥时，求OH 长度．。
广东省江门市广雅中学2023-2024学年七年级下学期月考数学试题(B卷)
广东省江门市广雅中学2023-2024学年七年级下学期月考数学试题 （B 卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，直线a b c 、、两两相交，则下列选项中的两个角是同旁内角的是（ ）A ．1∠和3∠B ．1∠和2∠C ．3∠和5∠D ．4∠和5∠2．有下列各数：0.456、32π、3.14、0.801080.36&、0.1010010001…中无理数的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．下列运算正确的是（ ）A 2=±B 5=C ．(23=-D 5=±4 ）A ．2B ．±2CD ．5．若22x -与38x -是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是（ ） A ．2 B ．2- C ．4 D ．4-6．已知命题甲：等角的余角相等；命题乙：若a b =的是（ ）A ．命题甲的逆命题的题设是两个角相等BC ．命题甲的逆命题是假命题D ．命题乙的逆命题是假命题 7．用两块相同三角板按如图所示的方式作平行线AB 和CD ，能解释其中道理的依据（ ）A ．内错角相等，两直线平行B ．同位角相等，两直线平行C ．同旁内角互补，两直线平行D ．平行于同一直线的两条直线平行8．已知直线m n ∥，将一块含30°角的直角三角板ABC 按如图方式放置（∠ABC =30°），其中A ，B 两点分别落在直线m ，n 上，若∠1=20°，则∠2的度数为（ ）A ．20°B ．30°C ．45°D ．50°9．如图，直线AB ∥CD ，点E 是BC 上一点，连接AE ，若∠DCB=35°，∠EAB=23°，则∠AEC 的度数是（ ）A ．58°B ．45°C ．23°D ．60°10．如图，已知：AB CD P ，CD EF ∥，AE 平分BAC ∠，AC CE ⊥，有下列结论：①AB EF ∥；②21490∠-∠=︒；③232180∠-∠=︒；④1341352∠+∠=︒.结论正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．已知25n -的立方根是2-，则n =．12．明明家的卫生间地面恰好由120块相同的正方形地砖铺成，若该地面的面积是10.8 m 2，则每块正方形地砖的边长是 cm ．13．甲、乙、丙、丁四个运动员参加比赛．赛前，甲说：“我肯定是最后一名．”乙说：“我不可能是第一名，也不可能是最后一名．”丙说：“我绝对不会是最后一名．”丁说：“我肯定得第一名．”赛后，发现他们4人的预测中只有一人是错误的．请判断的预测是错误的．14．如图，当∠=∠时，AD ∥BC ．15．如图，在一块长为a 米、宽为b 米的长方形地上，有一条弯曲的柏油马路，马路的任何地方的水平宽度都是2米，其他部分都是草地，则草地的面积为平方米．16．如图，将周长为18cm 的△ABC 沿BC 平移得到△DEF ．平移后，如果四边形ABFD 的周长是21cm ，那么平移的距离是cm ．17．如图，若OP ∥QR ∥ST ，则∠1，∠2，∠3的数量关系是：．三、解答题18．计算：(1)()2221320x --=(2)()33127x -=19．已知24a +的立方根是2，34a b +-的算术平方根是3．(1)求a b 、的值(2)求5a b -的平方根．20．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，ABC V 的三个顶点都在网格顶点处，现将ABC V 平移得到DEF V ，使点A 的对应点为点D ，点B 的对应点为点E ．(1)请画出平移后的DEF V ；(2)若连接AD ，CF ，则这两条线段之间的位置关系是______ ，数量关系是______ ；(3)求DEF V 的面积．21的整数部分为a 1的小数部分为b ，求2a+3b 的值． 22．如图，点O 在直线AB 上，OC 平分AOF ∠，OD 平分BOF ∠，F 是DE 上一点，连接OF ．(1)求证：OC OD ⊥；(2)若D ∠与1∠互余，求证：ED AB ∥．23．如图，线段AB ，BC 被直线AC 所截，D 是线段AC 上的点，过点D 作DE ∥AB ，连接AE ，B E ∠=∠．将线段AE 沿着直线AC 平移得到线段PQ ，连接DQ ．(1)求证：AE BC ∥；(2)若75E ∠=︒，DE DQ ⊥，求Q ∠的度数．24．如图，一只蚂蚁从点A 沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B ，点A 表示设点B 所表示的数为m ．(1)求11m m ++-的值；(2)在数轴上还有C 、D 两点分别表示实数c 和d ，且有2c d +求：23c d +的平方根．25．直线AB CD ∥，点M 在直线AB 上，点N 在直线CD 上，点E 在直线AB 、CD 之间，连接ME 、NE ，BME ∠大于ENC ∠．(1)如图1，探究BME ∠、MEN ∠、ENC ∠之间的数量关系，并说明理由；(2)如图2，GH 平分ENC ∠，与BME ∠的平分线交于点H ，若MEN ∠比MHG ∠大m ︒，求MEN ∠的度数（用含m 的式子表示）；(3)保持（2）中所求MEN ∠的度数不变，如图3，NQ 平分END ∠，MP 平分AME ∠，NF MP ∥，求QNF ∠的度数（用含m 的式子表示）．。
广东省广州市荔湾区广雅中学2023-2024学年八年级上学期月考数学试题
D．如果 a2 : b2 : c2 9 :16 : 25，那么 ABC 是直角三角形
6．下列等式中，成立的是（ ）
A． 3 a 3 2 a 9a
B． 32 18 16 6 7 2
C． a 3 b 3 ab 3
D． 3 3 42
7．在平面直角坐标系中，点 (3, 2) 关于 y 轴对称的点的坐标为( )
A． (3, 2)
B． (2，3)
C． (2, 3)
D． (3, 2)
8．若点 P(x, y) 在第四象限，且| x | 2,| y | 3 ，则 | x y （ ）
A． 1
B．1
C．5
D． 5
9．平面直角坐标系中，过点 2,3 的直线 l 经过一、二、三象限，若点 0, a ， 1,b，
c,1 都在直线 l 上，则下列判断正确的是（ ）
C．3 个
2．下列式子正确的是（ ）
A． 92 9 B． 25 5
C． 3 13 1
） D．4 个
2
D． 2 2
3．若点 P(m, n) 在第二象限,则点 P(m2 , n) 在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
4．已知 P1（﹣3，y1）、P2（2，y2）是 y＝﹣2x+1 的图象上的两个点，则 y1、y2 的大小 关系是（ ）
果它运动的路径是最短的，则此最短路径的长为
．
试卷第 2页，共 4页
16．在 ABC 中，a，b，c 为其三边长， a 3 ， b 7 ， c2 58 ，则 ABC 是
．
17．如图，直线 y x 1与两坐标轴分别交于 A、B 两点，点 C 是 OB 的中点，点 D、E
广东广雅中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题(C卷)(原卷版)
2023-2024学年广东省江门市广雅中学八年级（下）第一次月考数学试卷（C 卷）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 下列各式是最简二次根式的是（ ）A.B.C.D. 2.函数y =x 的取值范围是（ ） A. 2x ≥− B. 2x ≥−且1x ≠ C. 1x ≠ D. 2x >−且1x ≠ 3. 下列运算正确的是（ ）A.B.C. 2÷=D. 3−= 4. 下列命题错误的是（ ）A. 矩形的对角线相等且互相平分B. 正方形的四条边相等，四个角相等，且有四条对称轴C. 菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角D. 一组对边平行，另一组对边相等四边形是平行四边形5. 把一组数据中的每个数据都加后得到一组新数据，新的这组数据与原数据相比（ ）A. 平均数不变B. 中位数不变C. 众数不变D. 方差不变 6. 为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方A 处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离2.4AB =米，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.8米的市民CD 正对门缓慢走到离门0.8米的地方时（即0.8BC =米），测温仪自动显示体温（ ）A. 1.0米B. 1.2米C. 1.25米D. 1.5米 7. 菱形ABCD 中，60BAD ∠°＝，边长为4，则对角线AC 的长为（ ）的A. 4B.C. D. 88. 如图所示的网格是正方形网格，A ，B ，C ，D 是网格线交点，则BAC ∠与DAC ∠的大小关系为（ ）A. BAC DAC ∠>∠B. BAC DAC ∠<∠C. BAC DAC ∠=∠D. 无法确定9. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，BEAC ⊥于点E ．若36CE AE ==，则边AB 长是（ ）A.B. C. 4 D. 610. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的两个顶点A 、B 是坐标轴上的动点，若正方形的边长为4，则线段OC 长的最大值是( )A. 2+B. 2+C. D. 8二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11.在函数12y x ++中，自变量x 的取值范围是__________． 12. 若实数m ，n 满足()260m −=的值是______．13. 小敏同学第二学期数学前三次考试的成绩的分别是：阶段一得分：90分，期中的得分100分，阶段三的得分95分，如果按照如图所示的权重，小敏同学第二学期总评成绩要想不低于98分，则期末数学至少要考 _____分．14. 如图，将平行四边形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在点E 处，ED 交BC 于点F ．若48ABD ∠=°，40CFD ∠=°，则E ∠的度数为______．15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 的坐标为()0,2，顶点B 在x 轴上，对角线AC BD 、相交于点M ，若OM =，则点C 的坐标为____．三、解答题一（本大题共3小题，每小题8分，共24分）16. 计算：（12−；（2）． 17. 如图，在平行四边形ABCD 中，AB<BC ．（1）利用尺规作图，在BC 边上确定点E ，使点E 到边AB ，AD 的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若BC=7，CD=5，求CE 长．的18. 如图，某货船以24n mile/h的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C 在北偏东60°的方向上，该货船航行30min后到达B处，此时再测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在岛C周围9n mile的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由.四、解答题二（本大题共3题，每小题9分，共27分）19. 如图，每个小正方形的边长为1，四边形ABCD的每个顶点都在网格的格点上，且AB=，AD=．（1）请在图中标出点A位置，补全四边形ABCD，并求其面积；（2）判断BCD∠是直角吗？请说明理由．20. 某单位招聘员工，采取笔试与面试相结合方式进行，两项成绩的原始分均为100分．前6名选手的得分如下：序号项目1 2 34 56笔试成绩/分85 92 84 90 84 80面试成绩/分90 88 86 90 80 85根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折合成综合成绩(综合成绩的满分仍为100分)．的（1）这6名选手笔试成绩的中位数是________分，众数是________分；（2）现得知1号选手的综合成绩为88分，求笔试成绩和面试成绩各占的百分比；（3）求出其余五名选手的综合成绩，并以综合成绩排序确定前两名人选．21. 将两张完全相同的矩形纸片ABCD ，矩形纸片FBED 按如图方式放置，BD 为重合的对角线，重叠部分为四边形DHBG ．（1）求证：四边形DHBG 为菱形；（2）若四边形DHBG 的面积为60，6AD =，求AB 的长．五、解答题三（本大题共2小题，每小题12分，共24分）22. 如图，点E 在正方形ABCD 对角线BD 上，连接AE CE 、，点F AB 上一点，连接CF ，交BD 于点G ．连接EF ，若AE EF =．（1）求证：AE CE =；（2）求ECF ∠的度数；（3）经探究，DE 、BG 、EG 三条线段满足某种数量关系，请直接写出它们之间的关系式． 23. 如图，平面直角坐标系中，()0,4A ，()8,0C ．F 为矩形OABC 对角线AC 的中点，过点F 的直线分别与OC AB 、交于点D 、E ．为（1）求证：FD FE =；（2）设OD m =，ADF △的面积为S ，①求S 与m 的函数关系式；②当DE AC ⊥时，求S 的值；（3）若点P 在坐标轴上，平面内存在点Q ，使以P 、Q 、A 、C 为顶点的四边形是矩形，请直接写出点Q 的坐标．。
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广州市广雅中学11-12学年高一上学期期中考试
数学试题
命题人：高一数学备课组 统审人：何其峰 审核人：徐广华 本试卷满分为150分，考试用时120分钟。
第一部分 选择题 (共40分)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. 函数)1(log 2
1-=x y 的定义域是
A ．0(,)+∞
B ．1(,)+∞
C ．2(,)+∞
D ．12(,)
2．已知{}{}1,2,3,2,4A B ==，定义{}|A B x x A x B -=∈∉且，则A B -=
A. {}1,2,3
B. {}2,4
C. {}1,3
D. {}2
3．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是
A ．R x x y ∈-=,
B ．R x y x ∈=,2
C ．R x x y ∈=,3
D ．,y x x R =
4．已知2m >，点123(1,),(,),(1,)m y m y m y -+都在二次函数2
2y x x =-的图象上，则
A. 123y y y <<
B. 321y y y <<
C. 312y y y <<
D. 213y y y <<
5. 已知函数x e y =的图象与函数)(x f y =的图象关于直线x y =对称,则
A ．()()22x f x e x R =
B ．()ln ln ()220f x x x =>
C ．()()22x f x e x R =
D ．()ln ln ()220f x x x =+>
6. 函数(01)x
y a a =<<的图象是
7. 设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0
,60,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是
A ．),3()1,3(+∞⋃-
B ．),2()1,3(+∞⋃-
C ．),3()1,1(+∞⋃-
D ．)3,1()3,(⋃--∞
8. ()f x 在(1,1)-上既是奇函数，又为减函数. 若2(1)(1)0f t f t -+->，则t 的取值范围是
A ．12t t ><-或
B ．1t <<
C ．21t -<<
D ．1t t <>或
第二部分 非选择题 (共110分)
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 若函数 1 (0)() 4 (0)
x x f x x x +≥⎧=⎨
--<⎩，则()5f f -=⎡⎤⎣⎦ .
10. 计算222log 10log 0.04+= .
11.函数()20.5log (32)f x x x =--的单调递增区间是 .
12. 若函数1()42
3x x f x +=-+的定义域为[1,1]-，则()f x 值域为 .
13. 已知()f x 在R 上是奇函数，且当0x ≥时，2()ln(1)f x x x =-+；则当0x <时， ()f x 的解析式为()f x = .
14. 方程0122=++ax x 一个根大于1，一个根小于1，则实数a 的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，共 80 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本题满分13分）
设全集为U ，集合}6,4,2,0{=A ，{1,3,1,3}U A =--ð，{1
,0,2}U B =-ð，求B A 和B A
16．（本题满分13分）
若函数22,0()22,0x x f x x x x ⎧>⎪=⎨---≤⎪⎩
， （Ⅰ）在给定的平面直角坐标系中画出函数()f x 图象；
（Ⅱ）利用图象写出函数()f x 的值域、单调区间.
17．（本题满分13分） 已知1()log 1a x f x x
+=-（0a >且1a ≠） （Ⅰ）求()f x 的定义域；
（Ⅱ）判断()f x 的奇偶性并证明；
（Ⅲ）求使()0f x >成立的x 的取值范围.
18．（本题满分14分） 已知函数2142
a y x ax =-+-
+在区间[0,1]上的最大值是2，求实数a 的值.
19．（本题满分13分）
一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面
积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今
. （Ⅰ）求每年砍伐面积的百分比；
（Ⅱ）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
（Ⅲ）今后最多还能砍伐多少年？
20．（本题满分14分）
函数()f x 对一切实数x ，y 均有()()(21)f x y f y x y x +-=++成立，且(1)0f =． （Ⅰ）求(0)f 的值；
（Ⅱ）求函数()f x 的解析式； （Ⅲ）对任意的11(0,)2x ∈，21(0,)2
x ∈，都有12()2log a f x x +<成立时，求a 的取值范围．
广东广雅中学2011学年度上学期期中必修1模块考试
参考答案及评分标准(共3页)
16．（本题满分13分）
解：
…………………………7分
()10,012<<∴<-∴x x x …………10分
10<<a 当时，由()0f x >得 1011x x
+<<-， 则由1101101x x x x
+⎧+>⎪⎪-⎨+⎪<⎪-⎩解得01<<-x …………………………12分 综上，当1a >时，使()0f x >的x 的取值范围为(0,1)；
10<<a 当时，使()0f x >的x 的取值范围为(1,0)-. …………………13分
123456-1-2-3-4-5-6-1
-2-3
-4
-5
12
345
x y 0
（Ⅱ）设经过m 年
剩余面积为原来的2
，则 a x a m 22)1(=-， 即2110)2
1()21(=m ，2110=m ，解得5=m 故到今年为止，已砍伐了5年。
………………………………8分 （Ⅲ）设从今年开始，以后砍了n 年，则n 年后剩余面积为n x a )1(2
2- 令n x a )1(2
2-≥a 41，即n x )1(-≥42， 10)21(n ≥23
)21(，10n ≤23，解得n ≤15 故今后最多还能砍伐15年。
………………………13分。