(完整word版)北京高考导数大题分类
2010-2019年北京高考真题导数汇编
2010-2019年北京高考导数汇编2019整体法（h(x)=f(x)-g(x)≥0，左侧当成一个成体，求最小值≥0）+讨论参数(求h(x)的导数会出现未知参数进行讨论)2018（18）（本小题13分）设函数2()[(41)43]e x f x ax a x a =-+++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，求a ；（Ⅱ）若()f x 在2x =处取得极小值，求a 的取值范围．直接讨论f(x)的性质+讨论参数201719．（13分）已知函数f （x ）=e x cosx ﹣x ．（1）求曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（2）求函数f （x ）在区间[0，]上的最大值和最小值．简单二次求导问题2016（18）（本小题13分）设函数f(x)=x a x e - +bx ，曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e -1)x+4，（I ）求a,b 的值；(I I) 求f(x)的单调区间。
简单二次求导问题18．（本小题13分）已知函数()1ln1x f x x +=-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程； （Ⅱ）求证：当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭； （Ⅲ）设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对()01x ∈，恒成立，求k 的最大值．第三问结合第二问去讨论参数问题2014(18)（本小题13分）已知函数()cos sin f x x x x =-，[0,]2x ∈π（Ⅰ）求证：()0f x ≤；（Ⅱ）若sin x a b x<<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值．构造新函数（sinx -ax>0,sinx -bx<0,再用整体法求a,b 的值）2013（18）（本小题共13分）设L 为曲线ln :x C y x=在点()1,0处的切线． （Ⅰ）求L 的方程；（Ⅱ）证明：除切点()1,0之外，曲线C 在直线L 的下方．位置问题用作差法（求证L -y>0）18．（2012•北京）已知函数f （x ）=ax 2+1（a ＞0），g （x ）=x 3+bx（1）若曲线y=f （x ）与曲线y=g （x ）在它们的交点（1，c ）处具有公共切线，求a 、b 的值；（2）当a 2=4b 时，求函数f （x ）+g （x ）的单调区间，并求其在区间（﹣∞，﹣1）上的最大值．简单讨论导数零点大小问题201118．（本小题共13分）已知函数2()()x k f x x k e =-。
2023高考数学北京卷导数的计算历年真题及答案
2023高考数学北京卷导数的计算历年真题及答案一、第一题已知函数f(x) = x^3 - 2x + 1，求f(x)的导数f'(x)。
解答过程：首先，根据导数的定义，我们知道f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h。
代入f(x) = x^3 - 2x + 1，得到f'(x) = lim(h→0) [(x+h)^3 - 2(x+h) + 1 - x^3 + 2x - 1] / h。
展开并进行化简计算，得到f'(x) = lim(h→0) [3x^2h + 3xh^2 + h^3 -2h] / h。
再一次化简，得到f'(x) = lim(h→0) (3x^2 + 3xh + h^2 - 2)。
在h→0的极限下，只有常数项-2保留，得到导数 f'(x) = 3x^2 - 2。
所以，f(x)的导数为 f'(x) = 3x^2 - 2。
二、第二题已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，求f(x)的导数f'(x)及f''(x)。
解答过程：首先，计算f(x)的导数f'(x)。
根据导数的定义，f'(x) = lim(h→0)[f(x+h) - f(x)] / h。
代入f(x) = 2x^2 + 3x - 5，得到f'(x) = lim(h→0) [2(x+h)^2 + 3(x+h) -5 - (2x^2 + 3x - 5)] / h。
展开并进行化简计算，得到f'(x) = lim(h→0) [2x^2 + 4xh + 2h^2 + 3x + 3h - 5 - 2x^2 - 3x + 5] / h。
再一次化简，得到f'(x) = lim(h→0) (4xh + 2h^2 + 3h) / h。
化简后消去h，得到 f'(x) = lim(h→0) (4x + 2h + 3)。
(完整word版)导数大题题型全面
一、 分类讨论：分类讨论复杂影响定义域， 导是否有根，最高次项系数(开口方向) 例1.(大兴19)已知函数f(x) (22 m)X .x m(I)当m 1时，求曲线f (x)在点(1, f (1))处的切线方程； (n)求函数f(x)的单调区间.(2 m)(x 2m) (2 m)x 2x fW--- K (1 )当 m 0时，f(x)-.x因为f '(x)当 f'(x) 0 时，x 0,或x 0.所以函数f (x)的单调减区间为(，0),(0,)，无单调增区间(2) 当m 0时，f (x)的定义域为{xxm}.当 f'(x) 0时，x 、、 m 或.m x . m 或x 、. m ,所以函数f (x) 的单调减区间为(,j m ),( —, —),(~m, 单调增区间•(3) 当 m 0时，f'(x) (m 2)(x 2 而2x 扁).(x 2 m)2①当0 m 2时，若 f '(x) 0，则 x. m 或x . m ，(13分)解：(I)当 m 1 时，f(x)x x 2 1.因为f '(x)x 2 1 22-(x 1)所以k 所以函数f (x)在点1 1(訐(2))处的切线方程为12x 25y4(m 2)(x 2m) 2 2(x m))，无f'121 25 .因为f (2若f '(x) 0 ,贝y m x 、、m ,所以函数f(x)的单调减区间为(,,m),C，m,),函数f(X)的单调增区间为(、、m,、、m).②当m 2时，f (x) 0 ,为常数函数，无单调区间•③当m 2时，若f '(x) 0，贝U 、、m x .. m，若f '(x) 0 ,则x 、、m或x m ,所以函数f(x)的单调减区间为(,函数f(x)的单调增区间为(，.m),( . m,).综上所述，当m 0时，函数f (x)的单调减区间为(,0),(0,)，无单调增区间；当m 0时，函数f(x)的单调减区间为(，■-m),(、._m,, _m),(、~~m,)无单调增区间；当m 0时，①当0 m 2时，函数f (x)的单调减区间为(,x m),^ m,),函数f (x)的单调增区间为(•、一 m, •、_ m)；②当m 2时，f(x) 0 ,为常数函数，无单调区间；③当m 2时，函数f (x)的单调减区间为(、、m,-、m)，函数f(x)的单调增区间为(，吊),(、m, ) —13根与定义域，最值处需要比较例2. (2012年北京理科)已知函数f(x) ax2 1(a 0)，g(x) x3 bx -(i)若曲线y f (x)与曲线y g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a, b的值;2(n )当a 4b时，求函数f(x) g(x)的单调区间，并求其在区间(-上的最大值解：(1 )由1, c为公共切点可得：2f (x) ax 1(a 0)，贝U f (x) 2 ax, K 2a ,3 2g(x) x bx，贝U f (x)=3x b , k2 3 b,2a 3 b ①又 f(1) a 1 , g(1) 1 b ,a 11 b ，即a b ，代入①式可得:(2) Q a 24b ,设 h(x) f(x)g(x) x 321 2 ax ax41 则 h (x) 3x 22ax 1 2a ，令 h (x)0，解得 a :x 1x ?a —;426Q a 0 ,aa26，原函数在a单调递增，在a-单调递减， 在a 上单调递增22， 66，①若1< a，即a < 2时，最大值为 h(1) a 2a” ,•24②若a 1 a 即2 a 6时， 最大值为 h -12 62③若1> 6时，即a >6时，最大值为h综上所述:当a 0,2时，最大值为h(1)2a ta；当 a 2 ,4时，最大值为h ?1•二、恒成立问题例3( 2014海淀一模)已知函数 f (x) xln x .(I )求 f(x)的单调区间；(n )当k 1时，求证：f (x) kx 1恒成立.(I )定义域为0,---------------------------------- 1分 f '(x) In x 1---------------------------------- 2分1令 f '(x) 0 ,得 x ----------------------------------- 3分f '(x)与f (x)的情况如下:分1 1所以f(X)的单调减区间为(0,—)，单调增区间为(―，)--------------------------- 6分e e(n )分离参数，证明1:1设g(x) ln x , x 0 ----------------------------- 7分X八1 1 X 1g(X) 2 2 ------------------------------------------- 8分X X Xg'(x)与g(X)的情况如下：所以g(x) g(1) 1，即1ln x 1在x 0时恒成立， ------------- 10 分x, 1 ,所以，当k 1时，ln x k，x所以xlnx 1 kx，即xlnx kx 1，X|k | B| 1 . c|O |m所以，当k 1时，有f (x) kx 1. -------------------- 13 分证明2：直接作差构造新函数令g(x) f (x) (kx 1) xlnx kx 1 ----------------------------- 7分g'(x) In x 1 k ----------------------------- 8分令g '(x) 0 ,得x e k 1------------------------------ 9 分g'(x)与g(x)的情况如下:2x)x证明：设g （x ）f(x)xe ^(xxX( 20)，则 g '(x)4x------------------- 10分g(x)的最小值为g(e k1) 1 e k 1--------------- 11分当 k 1 时，e k1 1，所以 1 e k1 0 故 g(x) 0----------------------- 12 分 即当 k 1 时，f(x) kx 1. ------------------------------ 13 分xe 例4.（ 2015海淀期末文科20题）已知函数f （x ） .x（I ）若曲线y f （x ）在点（x 。
2023北京高考数学导数题
2023北京高考数学导数题2023北京高考数学导数题第一部分：问题描述在2023年的北京高考数学卷子中，有一道关于导数的题目引起了广泛的讨论。
这道题目涉及到函数的导数及其在实际问题中的应用。
通过解答这道题目，考生们需要展示出对导数概念的理解以及对实际问题的抽象能力。
第二部分：题目内容题目要求考生计算某函数在给定点处的导数，并利用求导的结果来解决实际问题。
具体内容如下：设函数f(x)表示某物体从初始位置出发沿直线匀速运动，其位移与时间的关系满足f(x) = 2x^2 - 3x + 5。
求物体在时刻x=2处的速度。
第三部分：解题思路对于这道题目，考生首先需要计算出函数f(x)的导数。
根据导数的定义，导数表示函数变化的速率，可以通过求函数在某一点的切线斜率来计算。
根据导数的定义，我们可以得到f'(x) = 4x - 3。
接下来，考生需要将x=2代入导数表达式中得到相应的速度值。
第四部分：解答过程将x=2代入导数表达式，可以得到f'(2) = 4(2) - 3 = 5。
因此，物体在时刻x=2处的速度为5。
第五部分：意义解释在解答过程中，考生需要进一步解释计算出的速度值的意义。
由于题目中所给定的函数表示物体的位移与时间的关系，所以导数表示了物体的瞬时速度。
在这个特定的情境中，物体在时刻x=2处的瞬时速度为5。
第六部分：实际应用这道题目通过导数的概念和应用，将抽象的数学概念与实际问题相联系。
在现实生活中，导数有着广泛的应用领域，包括物理、经济、工程等。
例如，在物理学中，导数可以用来描述物体的速度和加速度；在经济学中，导数可以用来分析收益率和成本函数的变化率。
在解答这道题目的过程中，考生们不仅仅是在计算数字，更重要的是培养了对导数及其应用的理解和运用能力。
通过将抽象的数学知识与实际问题相结合，考生不仅能够更好地掌握相关知识，还能够培养出解决实际问题的能力。
总结：这道2023北京高考数学卷子中关于导数的题目，引发了广泛的讨论。
北京高考数学导数题
北京高考数学导数题北京高考数学导数题一、题目背景和意义北京市高考是全国各地考生争先恐后的焦点，其中数学科目一直备受关注。
在这个充满竞争的考场上，导数是一道常见而又重要的题目。
导数作为微积分的基础概念之一，具有深远的理论意义和实际应用价值。
解题数量和质量是考查学生对导数的理解和运用能力的重要指标。
二、题目描述假定某城市的人口总数P（单位：万人）与时间t（单位：年）的关系满足函数表达式为P(t)=3t^3+5t^2-t+1。
1. 求在最近的10年（即t的取值范围为[0,10]）内，该城市人口的平均增长率。
2. 若该城市人口的增长速度最大值的时刻为t=3年，求此时的人口总数。
三、题目分析和解答1. 求在最近的10年内，该城市人口的平均增长率。
根据题意和函数表达式P(t)=3t^3+5t^2-t+1，我们需要求在[0,10]范围内函数P(t)的平均增长率。
首先，计算t=0时刻和t=10时刻的人口总数，分别代入函数表达式得到P(0)=1和P(10)=3311。
其次，计算[0,10]范围内人口总数的变化量，即P(10)-P(0)=3310。
最后，计算平均增长率，即(3310/10) = 331(单位：人/年)。
因此，在最近的10年内，该城市人口的平均增长率为331人/年。
2. 若该城市人口的增长速度最大值的时刻为t=3年，求此时的人口总数。
根据题意和函数表达式P(t)=3t^3+5t^2-t+1，我们需要求在t=3时刻的人口总数。
首先，代入t=3到函数表达式中得到 P(3) = 102。
因此，在t=3时刻，该城市的人口总数为102万人。
四、题目总结本题通过考查导数的相关概念和运用，旨在培养考生对数学知识的理解和应用能力。
通过计算平均增长率和最大增长速度对应的人口总数，考察学生的计算和推理能力。
同时，这道题目也暗示了人口增长问题在城市规划和社会预测中的重要性。
要成功解答本题，学生需要熟练掌握导数的求解方法和相关定理，并能够将其应用到实际问题中。
2009-2013年北京高考真题--导数大题汇编
_________高考题库，荣誉出品__________●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●2009-2013年北京高考真题--导数大题汇编5年高考真题分类汇编-教师卷题号一总分得分△注意事项：1.本系列试题包含2009至2013年北京市高考真题，并经过精心校对。
2.本系列文档包含全部试题分类汇编，命名规律为：2009-2013年北京高考真题--******试题汇编。
3.本系列试题涵盖北京高考所有学科，均有相关实体书出售。
i.、解答题（本大题共5小题，共0分）1.（2013年北京高考真题数学(文)）已知函数2()sin cos f x x x x x （1）若曲线()y f x 在点(,())a f a 处与直线y b 相切，求a 与b 的值。
（2）若曲线()y f x 与直线y b 有两个不同的交点，求b 的取值范围。
【答案解析】解：（1）'()2cos (2cos )f x x x x x x 因为曲线()y f x 在点(,())a f a 处的切线为y b 所以'()0()f a f a b ，即22cos 0sin cos a a a a a a a b ，解得01a b （2）因为2cos 0x 所以当0x 时'()0f x ，()f x 单调递增当0x 时'()0f x ，()f x 单调递减所以当0x 时，()f x 取得最小值(0)1f ，所以b 的取值范围是(1,)2.（2012年北京高考真题数学(文)）。
2023北京高考数学 20题导数
2023北京高考数学 20题导数2023年的北京高考数学卷中，涉及到导数的题目达到了20道。
导数作为数学中的重要概念，在高考中一直是重点考察的内容之一。
让我们一起来看看这些20道导数相关的题目，了解一下考点和解题技巧。
第一题是一道基础的导数定义题目。
给定函数f(x) = x^2，求f'(3)的值。
这是一道直接应用导数定义的题目，根据定义直接计算即可，答案是6。
第二题是一道求导法则的题目。
给定函数f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 3x - 1，求f'(x)的值。
这是一道多项式函数求导的题目，根据求导法则逐项求导即可，答案是6x^2 - 8x + 3。
接下来的几道题目涉及到了导数的应用。
第三题是一道最值问题。
给定函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，在区间[-1, 2]上找出f(x)的最大值和最小值。
这是一道典型的最值问题，通过求导并找出临界点，再对端点进行计算，可以得到最大值和最小值。
第四题是一道函数图像判断题。
给定函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，判断f(x)的图像在[-∞, +∞]上的变化趋势。
这是一道根据函数的导数来判断函数图像的题目，根据导数的正负性可以判断出函数图像的上升和下降区间。
第五题是一道极值问题。
给定函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，在区间[-1, 2]上找出f(x)的极大值和极小值。
这是一道求极值的题目，通过求导并找出临界点，再进行二阶导数的判断，可以得到极值点和极值。
第六题是一道曲线的切线问题。
给定曲线y = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，求曲线在点(1,1)处的切线方程。
这是一道直接应用导数求切线的题目，先求出函数的导数，再代入给定的点求出切线的斜率，最后带入切点的坐标即可得到切线方程。
第七题是一道函数的单调性问题。
给定函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，判断f(x)在[-∞, +∞]上的单调性。
2009至2018年北京高考真题分类汇编之导数大题
2009至2018年北京高考真题分类汇编之导数大题精心校对版题号一总分得分△注意事项：1.本系列试题包含2009年-2018年北京高考真题的分类汇编。
2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。
3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科一、解答题（本大题共10小题，共0分）1.（2013年北京高考真题数学(文)）已知函数2()sin cos f x x x x x （1）若曲线()y f x 在点(,())a f a 处与直线y b 相切，求a 与b 的值。
（2）若曲线()y f x 与直线y b 有两个不同的交点，求b 的取值范围。
2.（2012年北京高考真题数学(文)）已知函数2()1(0)f x ax a ，3()g x x bx ．（Ⅰ）若曲线()y f x 与曲线()y g x 在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求,a b 的值；（Ⅱ）当3a ，9b 时，若函数()()f x g x 在区间[,2]k 上的最大值为28，求k 的取值范围．3.（2011年北京高考真题数学(文)）已知函数()()x f x x k e . （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值.4.（2009年北京高考真题数学(文)）姓名：__________班级：__________考号：__________●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●。
(完整word版)高考数学导数压轴题7大题型总结
高考数学导数压轴题7大题型总结
北京八中
高考数学导数压轴题7大题型总结
高考导数压轴题考察的是一种综合能力，其考察内容方法远远高于课本，其涉及基本概念主要是：切线，单调性，非单调，极值，极值点，最值，恒成立等等。
导数解答题是高考数学必考题目，今天就总结导数7大题型，让你在高考数学中多拿一分，平时基础好的同学逆袭140也不是问题
01导数单调性、极值、最值的直接应用
02交点与根的分布
03不等式证明
（一）做差证明不等式
（二）变形构造函数证明不等式
（三）替换构造不等式证明不等式
04不等式恒成立求字母范围（一）恒成立之最值的直接应用
（二）恒成立之分离参数
（三）恒成立之讨论字母范围
05函数与导数性质的综合运用
06导数应用题
07导数结合三角函数。
北京考生专用 导数大题(含答案)
(18)（本小题满分13分）已知函数22()3x af x x a+=+（0a ≠，a ∈R ）. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a =时，若对任意12,[3,)x x ∈-+∞，有12()()f x f x m -≤成立，求实数m 的最小值.(18)（本小题满分13分） 解：222()(3)'()(3)x a x a f x x a --+=+.令'()0f x =，解得x a =或3x a =-. ……………………………………2分 （Ⅰ）当0a >时，'()f x ，()f x 随着x 的变化如下表函数()f x 的单调递增区间是(3,)a a -，函数()f x 的单调递减区间是(,3)a -∞-，(,)a +∞. ……………………………………4分当0a <时，'()f x ，()f x 随着x 的变化如下表函数()f x 的单调递增区间是(,3)a a -，函数()f x 的单调递减区间是(,)a -∞，(3,)a -+∞. ……………………………………6分（Ⅱ）当1a =时，由（Ⅰ）得()f x 是(3,1)-上的增函数，是(1,)+∞上的减函数.又当1x >时，21()03x f x x +=>+. ……………………………………8分 所以 ()f x 在[3,)-+∞上的最小值为1(3)6f -=-，最大值为1(1)2f =.……………………………………10分 所以 对任意12,[3,)x x ∈-+∞，122()()(1)(3)3f x f x f f -≤--=. 所以 对任意12,[3,)x x ∈-+∞，使12()()f x f x m -≤恒成立的实数m 的最小值为23. ……………………………………13分 18．（本小题满分14分）已知函数2()2ln f x x a x =+.（Ⅰ）若函数()f x 的图象在(2,(2))f 处的切线斜率为1，求实数a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）若函数2()()g x f x x=+在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围. 18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）2222'()2a x a f x x x x+=+= …………1分 由已知'(2)1f =，解得3a =-. …………3分（II ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.（1）当0a ≥时, '()0f x >，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；……5分（2）当0a <时'()f x =当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下：由上表可知，函数()f x 的单调递减区间是；单调递增区间是)+∞. …………8分 （II ）由22()2ln g x x a x x =++得222'()2ag x x x x=-++，…………9分 由已知函数()g x 为[1,2]上的单调减函数，则'()0g x ≤在[1,2]上恒成立，即22220ax x x -++≤在[1,2]上恒成立. 即21a x x≤-在[1,2]上恒成立. …………11分令21()h x x x =-，在[1,2]上2211'()2(2)0h x x x x x=--=-+<，所以()h x 在[1,2]为减函数. min 7()(2)2h x h ==-,所以72a ≤-. …………14分（18）（本小题共13分）已知1=x 是函数()(2)e xf x ax =-的一个极值点． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）当1x ，[]20,2x ∈时，证明：12()()e f x f x -≤．（Ⅰ）解：'()(2)e xf x ax a =+-， …………2分由已知得)1('=f ，解得1=a ． …………4分当1a =时，()(2)e xf x x =-，在1x =处取得极小值．所以1a =. …………5分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，()(2)e xf x x =-，'()(1)e xf x x =-.当[]1,0∈x 时，0)1()('≤-=x e x x f ，)(x f 在区间[]0,1单调递减；当(]1,2x ∈时，'()(1)0xf x x e =->，)(x f 在区间(]1,2单调递增. …………8分所以在区间[]0,2上，()f x 的最小值为(1)e f =-， 又(0)2f =-，(2)0f =， 所以在区间[]0,2上，()f x 的最大值为(2)0f =. …………12分对于[]12,0,2x x ∈，有12max min ()()()()f x f x f x f x -≤-．所以12()()0(e)e f x f x -≤--=. …………13分18．（本小题共14分）已知函数2()(1)2ln ,f x a x x =-+()2g x ax =,其中1a > （Ⅰ）求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程; （Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求()h x 的单调区间. 18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）当1x =时，(1)1f a =-，'2()2(1)f x a x x=-+∴'(1)2f a =，∴(1)2(1)y a a x --=-所求切线方程为210ax y a ---=__________5分 （Ⅱ）2()()()(1)22ln h x f x g x a x ax x =-=--+∴[]'2(1)(1)12()2(1)2x a x h x a x a x x---=--+=，__________6分 根1211,1x x a ==-，（1a >）__________8分 当111a >-，即12a <<时， 在()10,1,(,)1a +∞-上'()0f x >，在1(1,)1a -上'()0f x < ∴()f x 在()10,1,(,)1a +∞-上单调递增，在1(1,)1a -上单调递减；__________10分当111a ≤-，即2a ≥时， 在1(0,),(1,)1a +∞-上'()0f x >，在1(,1)1a -上'()0f x <∴()f x 在()10,1,(,)1a +∞-上单调递增，在1(1,)1a -上单调递减. __________14分18.（本小题满分14分）设函数22()ln (0)a f x a x a x=+≠. （Ⅰ）已知曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线l 的斜率为23a -，求实数a 的值； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，求证：对于定义域内的任意一个x ，都有()3f x x ≥-． （18）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为{|0}x x >, . ………1分222()a a f x x x'=-. ………2分根据题意，(1)23f a '=-， 所以2223a a a -=-，即2210a a -+=，解得1a =. .………4分（Ⅱ）2222(2)()a a a x a f x x x x -'=-=.（1）当0a <时，因为0x >，所以20x a ->，(2)0a x a -<，所以()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减. ………6分 （2）当0a >时，若02x a <<，则(2)0a x a -<，()0f x '<，函数()f x 在(0,2)a 上单调递减； 若2x a >，则(2)0a x a ->，()0f x '>，函数()f x 在(2,)a +∞上单调递增. …8分 综上所述，当0a <时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，函数()f x 在(0,2)a 上单调递减，在(2,)a +∞上单调递增. ………9分（Ⅲ）由（Ⅰ）可知2()ln f x x x=+. 设()()(3)g x f x x =--，即2()ln 3g x x x x=++-. 2222122(1)(2)()1(0)x x x x g x x x x x x+--+'=-+==>. ………10分 当x 变化时，()g x '，()g x 的变化情况如下表：1x =是()g x 在(0,)+∞上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是()g x 的最小值点.可见()(1)0g x g ==最小值， .………13分 所以()0g x ≥，即()(3)0f x x --≥，所以对于定义域内的每一个x ，都有()3f x x ≥-.18. （本题满分14分）已知函数()2()1e x f x ax =-⋅,a ∈R .（Ⅰ）若函数()f x 在1x =时取得极值，求a 的值； （Ⅱ）当0a ≤时，求函数()f x 的单调区间. （18）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）()2()21e x f x ax ax '=+-⋅.x ∈R ……………………2分 依题意得(1)(31)e =0f a '=-⋅，解得13a =. 经检验符合题意. ………4分 （Ⅱ）()2()21e x f x ax ax '=+-⋅，设2()21g x ax ax =+-，（1）当0a =时，()e xf x =-，()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……5分（2）当0a <时，方程2()21g x ax ax =+-=0的判别式为244a a ∆=+，令0∆=, 解得0a =（舍去）或1a =-.1°当1a =-时，22()21(1)0g x x x x =---=-+≤， 即()2()21e 0xf x ax ax '=+-⋅≤，且()f x '在1x =-两侧同号，仅在1x =-时等于0，则()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……………………7分 2°当10a -<<时，0∆<，则2()210g x ax ax =+-<恒成立，即()0f x '<恒成立，则()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……………9分 3°1a <-时，2440a a ∆=+>，令()0g x =， 方程2210ax ax +-=有两个不相等的实数根11x a =-+，21x a =--，作差可知11-->-+则当1x <-+时，()0g x <，()0f x '<，()f x 在(,1-∞-上为单调减函数；当11x a a -+<<--时，()0g x >，()0f x '>，()f x 在(11-+-上为单调增函数；当1x >-时，()0g x <，()0f x '<，()f x 在(1)--+∞上为单调减函数. ……………………………………………………………………13分综上所述，当10a -≤≤时，函数()f x 的单调减区间为(),-∞+∞；当1a <-时，函数()f x的单调减区间为(,1a -∞-+，(1)a --+∞，函数()f x 的单调增区间为(1,1a a-+--18．已知函数,)1()(23bx x b x x f ++-=R b ∈.（Ⅰ）若函数)(x f 在点())1,1(f 处的切线与直线03=-+y x 平行，求b 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求)(x f 在区间]3,0[上的最值.18．解：（Ⅰ）b x b x x f ++-=')1(23)(2∵函数)(x f 在点())1,1(f 处的切线与直线03=-+y x 平行 ∴()()11231-=++-='b b f ,解得2=b ………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知x x x x f 23)(23+-=，263)(2+-='x x x f ，令0263)(2=+-='x x x f ，解得331,33121+=-=x x . ………………7分 在区间]3,0[上，x ，)(x f '，)(x f 的变化情况如下：………………11分 所以当=x 3时，6)(max =x f ；当331+=x 时，=min )(x f 932-. ………………13分(18)（本小题满分13分）已知函数211()ln (0)22f x a x x a a =-+∈≠且R . （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得对任意的[)1,x ∈+∞，都有()0f x ≤？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.(18)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞.2'()a x af x x x x-+=-=. ………………………………………2分当0a <时，在区间(0,)+∞上，'()0f x <.所以 ()f x 的单调递减区间是(0,)+∞. ………………………………………3分当0a >时，令'()0f x =得x =x =.函数()f x ,'()f x 随x 的变化如下：所以 ()f x 的单调递增区间是，单调递减区间是)+∞.………………………………………6分综上所述，当0a <时， ()f x 的单调递减区间是(0,)+∞；当0a >时，()f x 的单调递增区间是，单调递减区间是)+∞. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：当0a <时, ()f x 在[1,)+∞上单调递减.所以()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤. ………………………………………7分当0a >时，① 1≤，即01a <≤时，()f x 在[1,)+∞上单调递减.所以()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤. ………………………………………10分② 1>，即1a >时，()f x 在上单调递增，所以 (1)f f >.又 (1)0f =，所以 0f >，与对于任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤矛盾.………………………………………12分综上所述，存在实数a 满足题意，此时a 的取值范围是(,0)(0,1]-∞.………………………………………13分18．（本小题满分13分）设a ∈R ，函数233)(x ax x f -=．（Ⅰ）若2=x 是函数)(x f y =的极值点，求实数a 的值；（Ⅱ）若函数()()xg x e f x =在]2,0[上是单调减函数，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）2()363(2)f x ax x x ax '=-=-．因为2x =是函数()y f x =的极值点，所以(2)0f '=，即6(22)0a -=，所以1a =．经检验，当1a =时，2x =是函数()y f x =的极值点． 即1a =．---------------6分（Ⅱ）由题设，'322()(336)xg x e ax x ax x =-+-，又0xe >，所以，(0,2]x ∀∈，3223360ax x ax x -+-≤，这等价于，不等式2322363633x x x a x x x x ++≤=++对(0,2]x ∈恒成立． 令236()3x h x x x+=+（(0,2]x ∈），则22'22223(46)3[(2)2]()0(3)(3)x x x h x x x x x ++++=-=-<++，---------------------------10分 所以()h x 在区间0,2]（上是减函数，所以()h x 的最小值为6(2)5h =． ---------------12分 所以65a ≤．即实数a 的取值范围为6(,]5-∞．-----------------------------------13分18.（本小题共13分）已知函数321()13f x x ax =-+ ()a R ∈． （Ⅰ）若曲线y =f (x )在(1，f (1))处的切线与直线x +y +1=0平行，求a 的值； （Ⅱ）若a >0，函数y =f (x )在区间(a ，a 2-3)上存在极值，求a 的取值范围； （Ⅲ）若a >2，求证：函数y =f (x )在(0，2)上恰有一个零点． 18．解：（Ⅰ）2()2f x x ax '=-， ……………………1分(1)12f a '=-， ……………………2分因为曲线y =f (x )在(1，f (1))处的切线与直线x +y +1=0平行 所以121a -=-， ……………………3分所以1a =． ……………………4分（Ⅱ）令()0f x '=， ……………………5分即()(2)0f x x x a '=-=，所以x =或2x a =． ……………………6分因为a >0，所以0x =不在区间(a ，a 2-3)内，要使函数在区间(a ，a2-3)上存在极值，只需223a a a <<-． ……………………7分所以3a >． ……………………9分（Ⅲ）证明：令()0f x '=，所以 0x =或2x a =．因为a >2，所以2a >4， ……………………10分所以()0f x '<在(0，2)上恒成立，函数f (x )在(0，2)内单调递减． 又因为(0)10f =>，1112(2)03af -=<， ……………………11分 所以f (x )在(0，2)上恰有一个零点． ……………………13分18．（本题13分）已知函数f (x )=ln x －x 2. （I ）求函数f (x )的单调递增区间；（II ）求函数f (x )在(]0,a (a ＞0)上的最大值. 18． （Ⅰ）因为函数()2ln f x x x =-，0>x所以()12.f x x x'=- 令()0f x '>，所以211220.x x x x--=>所以02x <<所以函数()f x 的单调递增区间是⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,0. ………………………… 5分 （Ⅱ） 由（Ⅰ）知函数在⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,0为增函数， 同理可得函数()x f 在⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞,22为减函数. ………………………… 6分所以当02a <<时，函数()x f 在(]0,a 上单调递增， 所以函数()x f 的最大值为()2ln f a a a =-； ………………………… 9分当2a ≥时，函数()x f在0,2⎛ ⎝⎭上单调递增，在,2a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以函数()x f最大值为1.2f =-⎝⎭………………………… 12分综上所述，当0a <<时，函数()x f 的最大值为()2ln f a a a =-；当2a ≥时，函数()x f最大值为1ln .222f ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭………………………… 13分18．（本小题满分13分）已知函数2221()1ax a f x x +-=+，其中a ∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间．18．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：当1a =时，22()1xf x x =+，22(1)(1)()2(1)x x f x x +-'=-+． ………………2分 由 (0)2f '=， 得曲线()y f x =在原点处的切线方程是20x y -=．…………4分 （Ⅱ）解：2()(1)()21x a ax f x x +-'=-+． ………………6分① 当0a =时，22()1xf x x '=+．所以()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减． ………………7分当0a ≠，21()()()21x a x a f x a x +-'=-+．② 当0a >时，令()0f x '=，得1x a =-，21x a =，()f x 与()f x '的情况如下：故)(x f 的单调减区间是(,)a -∞-，1(,)a +∞；单调增区间是1(,)a a-．………10分 ③ 当0a <时，()f x 与()f x '的情况如下：所以()f x 的单调增区间是1(,)a -∞；单调减区间是1(,)a a--，(,)a -+∞． ………………13分 综上，0a >时，()f x 在(,)a -∞-，1(,)a+∞单调递减；在1(,)a a-单调递增.0a =时，()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减；0a <时，()f x 在1(,)a-∞，(,)a -+∞单调递增；在1(,)a a-单调递减．19．（本小题满分14分）已知函数axx x x f -+=1ln )(，其中a 为常数，且+∈R a . （Ⅰ）若函数)(x f 在区间),1[+∞内调递增，求a 的取值范围； （Ⅱ）当0>a 时，求函数)(x f 在区间],1[e 上的最小值． 解： 19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）)0(1)(2>-='x axax x f . ……………………………2分 令0)(='x f ，得ax 1=. ………………………………………………3分∴在]1,0(a 上0)(≤'x f ，在),1[+∞a上0)(≥'x f .∴)(x f 在]1,0(a 上单调递减，在),1[+∞a上单调递增. ……………………5分∵ 函数)(x f 在区间),1[+∞内调递增，∴11≤a.∵0>a ，∴1≥a . ∴所求实数a 的取值范围为),1[+∞……………………………………………7分 （Ⅱ）当1≥a 时，∵在),1(e 上0)(>'x f ，)(x f 在],1[e 上为增函数，∴0)1()(min ==f x f . ……………………………………………9分当11<<a e 时，在]1,0(a 上0)(≤'x f ，在),1[+∞a上0)(≥'x f )(x f 在]1,0(a上为减函数，在),1[+∞a 上为增函数.∴a a a f x f 111ln )1()(min -+==. ……………………………………11分当ea 10≤<，在),1(e 上0)(<'x f ，)(x f 在],1[e 上为减函数.∴aeee f x f -+==11)()(min . …………………………………………13分18.（本小题共13分） 设函数3221()23()3f x x ax a x a a R =-+-+∈. （Ⅰ）当1=a 时，求曲线)(x f y =在点())3(,3f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数)(x f 的单调区间和极值；（Ⅲ）若对于任意的∈x (3,)a a ，都有()1f x a <+，求a 的取值范围. 18．（本小题共13分）解：（I ）∵当1=a 时，13231)(23+-+-=x x x x f ，………………………1分 34)(2-+-='x x x f …………………………………2分当3=x 时，1)3(=f ，=')3(f 0 …………………………………3分 ∴曲线)(x f y =在点())3(,3f 处的切线方程为01=-y ………………………4分（II ）22()4-3()(3)f x x ax a x a x a '=-+=--- ……………………………5分 0a =时，()0f x '≤，(,)-∞∞是函数的单调减区间；无极值；……………6分 0a >时，在区间(,),(3,)a a -∞∞上，()0f x '<； 在区间(,3)a a 上，()0f x '>， 因此(,),(3,)a a -∞∞是函数的单调减区间，(,3)a a 是函数的单调增区间，函数的极大值是(3)f a a =；函数的极小值是34()3f a a a =-；………………8分 0a <时，在区间(,3),(,)a a -∞∞上，()0f x '<； 在区间(3,)a a 上，()0f x '>，因此(,3),(,)a a -∞∞是函数的单调减区间，(3,)a a 是函数的单调增区间函数的极大值是34()3f a a a =-，函数的极小值是(3)f a a = ………………10分 (III) 根据（II ）问的结论，(3,)x a a ∈时，34()()3f x f a a a <=-………………11分因此，不等式()1f x a <+在区间(3,)a a 上恒成立必须且只需：⎪⎩⎪⎨⎧<+≤-01343a a a a ，解之，得a ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭ ……………………13分18.(本小题满分13分)已知函数ax xx x f ++=1ln )(（a 为实数）. （I ）当0=a 时， 求)(x f 的最小值；（II ）若)(x f 在),2[+∞上是单调函数，求a 的取值范围.18.(本小题满分13分)解：(Ⅰ) 由题意可知：0>x ……1分 当0=a 时21)(xx x f -=' …….2分 当10<<x 时，0)(<'x f 当1>x 时，0)(>'x f ……..4分 故1)1()(min ==f x f . …….5分(Ⅱ) 由222111)(x x ax a x x x f -+=+-='① 由题意可知0=a 时，21)(xx x f -=',在),2[+∞时，0)(>'x f 符合要求 …….7分 ② 当0<a 时，令1)(2-+=x ax x g 故此时)(x f 在),2[+∞上只能是单调递减0)2(≤'f 即04124≤-+a 解得41-≤a …….9分 当0>a 时，)(x f 在),2[+∞上只能是单调递增 0)2(≥'f 即,04124≥-+a 得41-≥a故0>a …….11分综上),0[]41,(+∞⋃--∞∈a …….13分18．（本小题满分14分）设函数3221()231,0 1.3f x x ax a x a =-+-+<< （I ）求函数)(x f 的极大值；（II ）若[]1,1x a a ∈-+时，恒有()a f x a '-≤≤成立（其中()f x '是函数()f x 的导函数），试确定实数a 的取值范围． 18．（本小题满分14分）解：（I ）∵2234)(a ax x x f -+-='，且01a <<，…………………………………1分当0)(>'x f 时，得a x a 3<<；当0)(<'x f 时，得a x a x 3><或； ∴)(x f 的单调递增区间为(,3)a a ；)(x f 的单调递减区间为),(a -∞和),3(+∞a ．…………………………………3分故当3x a =时，)(x f 有极大值，其极大值为()31f a =． …………………4分 （II ）∵()()2222432f x x ax a x a a '=-+-=--+，当103a <<时，12a a ->， ∴()f x '在区间[]1,1a a -+内是单调递减．…………………………………………6分 ∴[]()[]()2max min 861,21f x f a a a f x f a a ''''==-+-==-（）1-（）1+．∵()a f x a '-≤≤，∴2861,21.a a a a a ⎧-+-≤⎨-≥-⎩此时，a ∈∅．…………………………………………………………………………9分 当113a ≤<时，[]()2max 2f x f a a ''==（）． ∵()a f x a '-≤≤，∴22,21,861.a a a a a a a ⎧≤⎪-≥-⎨⎪-+-≥-⎩即01,1,3a a a ⎧⎪≤≤⎪⎪≥⎨≤≤ ……11分此时，17316a ≤≤．……………………………………………………………13分 综上可知，实数a的取值范围为13⎡⎢⎣⎦．…………………………………14分18．（本小题满分14分） 已知函数2()2ln f x x a x =+．（Ⅰ）若函数()f x 的图象在(2,(2))f 处的切线斜率为1，求实数a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若函数2()()g x f x x=+在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围．16. （本小题满分13分）已知函数1)(23-++=bx ax x x f 在1=x 处有极值1-．（I ）求实数b a ，的值；（II ）求函数x ax x g ln )(+=的单调区间． 16. （本小题满分13分） 已知函数1)(23-++=bx ax x x f 在1=x 处有极值－1． （I ）求实数b a ，的值；（II ）求函数x ax x g ln )(+=的单调区间．解（I ）求导，得 b ax x x f ++='23)(2 ……2分 由题意⎩⎨⎧='-=0)1(1)1(f f ，解得12=-=b a ，……6分 （II ）函数x ax x g ln )(+=的定义域是}0|{>x x ，……9分 xx g 12)(+-='……11分解012>+-x 且}0|{>x x ， 得210<<x ， 所以函数)(x g 在区间)21,0(上单调递增；……12分解012<+-x 得21>x ， 所以函数)(x g 在区间),21(+∞上单调递减。
北京历年高考文科数学导数题汇总(2008-2016)word版
北京历年高考文科数学导数题汇总1.（2008年北京第17题）已知函数32()3(0)f x x ax bx c b =+++≠，且()()2g x f x =-是奇函数．（Ⅰ）求a ，c 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间．2.(2009年北京18题）设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处与直线8y =相切，求,a b 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点.3. (2010年北京第18题）设函数32()(0)3a f x x bx cx d a =+++>，且方程()90f x x '-=的两个根分别为1，4.（Ⅰ）当a =3且曲线()y f x =过原点时，求()f x 的解析式；（Ⅱ）若()f x 在(,)-∞+∞无极值点，求a 的取值范围。
4.（2011年北京第18题）已知函数()()e x f x x k =-.（Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值. 5.(2012年北京第18题）已知函数2()1f x ax =+（0a >），3()g x x bx =+.（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点（1，c ）处具有公共切线，求,a b 的值；（2）当3,9a b ==-时，若函数()()f x g x +在区间[,2]k 上的最大值为28，求k 的取值范围.6.(2013年北京第18题) 已知函数2()sin cos f x x x x x =++（1）若曲线()y f x =在点(,())a f a 处与直线y b =相切，求a 与b 的值；（2）若曲线()y f x =与直线y b =有两个不同的交点，求b 的取值范围.。
北京高考导数大题
1.(丰台一模) 已知函数.ln )(x a x x f += （I ）当a<0时，求函数)(x f 的单调区间；（II ）若函数f （x ）在[1，e]上的最小值是,23求a 的值.2已知函数3221()(1)(,)3f x x ax a x b a b =-+-+∈R ⑴若1x =为()f x 的极值点，求a 的值；⑵若()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y +-=，①求()f x 在区间[2,4]-上的最大值；②求函数()[()(2)]()x G x f x m x m e m -'=+++∈R 的单调区间．3 设函数2e (),1axf x a x R =∈+. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数)(x f 单调区间.4已知函数()e (1)ax af x a x=⋅++，其中1-≥a . （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求)(x f 的单调区间.5已知函数2()2ln f x x a x =+. （Ⅰ）若函数()f x 的图象在(2,(2))f 处的切线斜率为1，求实数a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；6已知函数221()2e 3e ln 2f x x x x b =+--在0(,0)x 处的切线斜率为零． （Ⅰ）求0x 和b 的值；（Ⅱ）求证：在定义域内()0f x ≥恒成立；(Ⅲ) 若函数()()a F x f x x'=+有最小值m ，且2e m >，求实数a 的取值范围. 7已知函数21()e ()(0)kx f x x x k k-=+-<. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得函数()f x 的极大值等于23e -？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.8 （本小题满分14分） 已知函数22()ln (0)a f x a x x a x=++≠． （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=垂直，求实数a 的值； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）当(,0)a ∈-∞时，记函数()f x 的最小值为()g a ，求证：21()e 2g a ≤． 9已知函数2221()1ax a f x x +-=+，其中a ∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程；（Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上存在最大值和最小值，求a 的取值范围．10已知函数21()ln()(0)2f x a x a x x a =--+<. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若12(ln 21)a -<<-，求证：函数()f x 只有一个零点0x ，且012a x a +<<+； （Ⅲ）当45a =-时，记函数()f x 的零点为0x ，若对任意120,[0,]x x x ∈且211,x x -=都有21()()f x f x m -≥成立，求实数m 的最大值.（本题可参考数据：99ln 20.7,ln 0.8,ln 0.5945≈≈≈11.函数R ,2)1ln()(2∈-++=b x x b x x f（I ）当23=b 时，求函数)(x f 的极值； （II ）设x x f x g 2)()(+=，若2≥b ，求证：对任意),1(,21+∞-∈x x ，且21x x ≥，都有)(2)()(2121x x x g x g -≥-.。
北京高考模块复习—导数
导数综合复习一、 高考要求二、 知识点梳理1.导数的有关概念（1）导数：如果当 0→∆x 时，xy∆∆有极限，就说函数)(x f y =在0x x =处可导，并把这个极限叫做)(x f在0x x =处的导数.记作)(0'x f ，即xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(lim lim)(00000'.（2）导函数：如果函数)(x f 在开区间),(b a 内每一点都可导，其导数值在),(b a 内构成一个新的函数，叫做)(x f 在区间),(b a 内的导函数，记作)('x f 或'y . 2.导数的几何意义几何意义：函数 )(x f 在0x 处的导数值就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线的斜率. 3.常见函数的导数1．0='C 2．1)(-='n n nx x3．x x cos )(sin =' 4．x x sin )(cos -='5．x x e e =')( 6．1(ln )x x'=7．a a a xx ln )(=' 8．ax e x x a a ln 1log 1)(log ==' 4.导数的四则运算（1）和差：()u v u v '''±=±（2）积：v u v u uv '+'=')(（3）商： 2)(v v u v u v u '-'=')0(≠v 5.复合函数的导数运算法则:[])(x u f y =的导数为'''x u u y y ∙=. 6.利用导数的符号判断函数的单调性 （1）导数的单调性)(x f 在区间),(b a 内可导，若)('x f 在),(b a 的任意子区间内都不恒等于0，则 )(0)('x f x f ⇒≥在),(b a 上单调递增. )(0)('x f x f ⇒≤在),(b a 上单调递减.7.函数的极值（1）设函数)(x f 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有点都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作)(f )(0x x f =极大值；如果对0x 附近的所有点都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作)(f )(0x x f =极小值.（2）判断)(0x f 是极值的方法一般地，当函数)(x f 在0x x =处连续时，如果在0x 附近左侧0)('<x f ，右侧0)('>x f ，那么)(0x f 是极小值. 如果在0x 附近左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极大值. 8.函数的最值（1） 在闭区间[]b a ,上的连续函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值.（2）设函数)(x f 在区间[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，先求)(x f 在),(b a 内的极值；再将各极值与)(a f ，)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.9.定积分概念：如果函数)(x f 在区间[]b a ,上连续，用分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 将区间[]b a ,等分成n 个小区间，在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点),3,2,1(n i i =ε作和式)()(11i ni ni i f nab x f εε∑∑==-=∆，当∞→n 时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数)(x f 在区间[]b a ,上的定积分. 10.微积分基本定理：一般地，如果)(x f 在区间[]b a ,上连续，并且)()('x f x F =，那么⎰-=baa Fb F dx x f )()()(，这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿-莱布尼茨公式. 11.常见求定积分公式：1. ⎰=ba b a C Cx Cdx 是常数）(| 2. )1|111-≠+=+⎰n x n dx x ba n ban （ 3. ⎰-=b ab a x xdx |cos sin 4. ⎰=baba x xdx |sin cos5. ⎰=baba x dx x|ln 1 6. ⎰=b a b a x x e dx e | 三、导数小题练习导数的概念及几何意义1. 设曲线)1ln(+-=x ax y 在点)0,0(处的切线方程为x y 2=，则=a _____.2. 曲线1-=x xe y 在)1,1(处的切线斜率等于_________.3. 设曲线ax y e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = ．4. 经过原点O 作函数233)(x x x f +=的图像的切线，则切线方程为_____________________________.5. 如果函数()y f x =的图象如图，那么导函数()y f x '=的图象可能是（ ）D积分的运算1.定积分⎰=+1)2(x ex__________.2.直线xy4=与曲线3xy=在第一象限内围成的封闭图形的面积为_____________.3.若dxxS⎰=2121，dxxS⎰=2121，dxeS x⎰=213，则1S，2S，3S的大小关系是__________________.4.若函数)(),(xgxf满足⎰-=11)()(dxxgxf，则称)(x f与)(x g为区间[]1,1-上的一组正交函数.下列三组函数中在区间[]1,1-为正交函数的序号是_________________.①2sin)(xxf=,2cos)(xxg=②1)(+=xxf，1)(-=xxg③xxf=)(，2)(xxg=5.定积分由直线xyyxx sin2,32,0====与π所围成的图形的面积等于___________.函数的极值、最值1. 函数()f x的导函数图象如下图所示，则函数()f x在图示区间上（）A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点2.如果函数()y f x=的导函数的图象如下图所示，给出下列判断：①函数()y f x=在区间1(3,)2--内单调递增；②函数()y f x=在区间1(,3)2-内单调递减；③函数()y f x=在区间(4,5)内单调递增；④当2x=时，函数()y f x=有极小值；⑤ 当12x =-时，函数()y f x =有极大值.则上述判断中正确的是____________．3.函数()f x 的定义域为开区间()a b ，，导函数()f x '在()a b ，内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间()a b ，内有极小值点（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．函数1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则a 的取值范围是（ ） A ．21<<-a B ．63<<-a C ．3-<a 或6>a D ．1-<a 或2>a5.下列四个函数，在0=x 处取得极值的函数是（ ）①3x y = ②12+=x y ③||x y = ④x y 2= A.①②B.②③C.③④D.①③6．函数y=2x 3-3x 2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A.5 , -15 B.5 , 4 C.-4 , -15 D.5 , -16 7.函数)1()(2x x x f -=在[0，1]上的最大值为（ ）A. 932 B. 922 C. 923 D. 838.下列说法正确的是（ ）A.当)(0'x f =0时，则)(0x f 为)(x f 的极大值B.当)(0'x f =0时，则)(0x f 为)(x f 的极小值C.当)(0'x f =0时，则)(0x f 为)(x f 的极值D.当)(0x f 为函数)(x f 的极值且)(0'x f 存在时，则有)(0'x f =0 单调性1．设有时则当且上可导在函数,),()(],[)(),(b x a x g x f ，b a x g x f <<'>'（ ）)()()()(. )()()()(. )()(. )()(. b f x g b g x f D a f x g a g x f C x g x f B x g x f A +>++>+<> 2.知函数2()cos f x x x =-，对于ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的任意12x x ，，有如下条件：①12x x >；②2212x x >； ③12x x >．其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是 ．3.若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且),(b a x ∈时，)(0'x f >0,又)(a f <0,则（ ） A. )(x f 在],[b a 上单调递增，且)(b f >0 B. )(x f 在],[b a 上单调递增，且)(b f <0C. )(x f 在],[b a 上单调递减，且)(b f <0D. )(x f 在],[b a 上单调递增，但)(b f 的符号无法判断 4.函数y=(x+1)(x 2－1)的单调递减区间为______________________.四、含参数单调区间的求解步骤（导数问题的核心）：①确定定义域（易错点） ②求导函数)('x f③对)('x f 进行整理，能十字交叉的十字交叉分解，若含分式项，则进行通分整理. ④)('x f 中x 的最高次系数是否为0，为0时求出单调区间. 例1：x x a x a x f ++-=23213)(，则)1)(1()('--=x ax x f 要首先讨论0=a 情况 ⑤)('x f 最高次系数不为0，讨论参数取某范围的值时，若0)('≥x f ，则)(x f 在定义域内单调递增；若0)('≤x f ，则)(x f 在定义域内单调递减.例2：x x a x f ln 2)(2+=，则)('x f =)0(,12>+x x ax ，显然0≥a 时0)('>x f ，此时)(x f 的单调区间为),0(+∞.⑥)('x f 最高次系数不为0，且参数取某范围的值时，不会出现0)('≥x f 或者0)('≤x f 的情况 求出)('x f =0的根，（一般为两个）21,x x ，判断两个根是否都在定义域内.如果只有一根在定义域内，那么单调区间只有两段.若两根都在定义域内且一根为常数，一根含参数.则通过比较两根大小分三种情况讨论单调区间，即212121,,x x x x x x =<>.例3:若)0(,ln )1(2)(2≠++-=a x x a x a x f ，则xx ax x f )1)(1()('--=，)0(>x 解方程0)('=x f 得a x x 1,121==0<a 时，只有11=x 在定义域内.0>a 时,比较两根要分三种情况：1,10,1><<=a a a用所得的根将定义域分成几个不同的子区间，讨论)('x f 在每个子区间内的正负，求得)(x f 的单调区间。
完整word版导数题型分类大全
y = f(u),u =®(x)，则 y ； = f'(X)冲'(X)如，（e sinx ）』题型二：利用导数几何意义及求切线方程导数的几何意义： 函数y = f （x ）在X o 处的导数是曲线 y=f （x ）上点（X o , f （X o ））处的切线的斜 率.因此，如果f '（x o ）存在，则曲线y = f （X ）在点（X o , f （x o ））处的切线方程为导数题型分类（A ）题型一：导数的定义及计算、常见函数的导数及运算法则 △v f （x 0 + A x ） — f （x 0）（一）导数的定义：函数y = f （X ）在X o 处的瞬时变化率lim 丿=lim o o2 i x 心T O y ，即 为函数y = f （X ）在X = X o 处的导数，记作f / （X o ）或y / /f （X o +&）_f （X o ）f （x o ） = lim ---------------- 如果函数y = f （x ）在开区间（a,b ）内的每点处都有导数， 此时对于每一个 X 亡（a,b ），都对 应着一个确定的导数 f /（X ），从而构成了一个新的函数 f /（X ）。
称这个函数f /（X ）为函数 y = f （x ）在开区间内的 导函数，简称导数，也可记作y /，即f^x ） = y / = ,f （x +A x ）-f （x ） lim - ------ --- -- 2 A x 导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数 y = f （X ）在X o 处的导数y / X 赳，就是导函数f^x ）在X o 处的函数值，即 XzX o=f / ( X o )。
例1.函数y = f （x 在X =a 处的导数为A ,求Ijmf (a+4t )— f(a +5t ) ---------------------- 。
北京高考题导数,DOC
函数北京高考题二——导数1.（2011年文科18）已知函数()()x=-，f x x k e （I）求()f x的单调区间；（II）求()f x在区间[]0,1上的最小值2.（2012年文科18）函数2g x x bx=+．()=+>，3()1(0)f x ax a（Ⅰ）若曲线()=在它们的交点(1,)c处具有公共切线，求,a by g x=与曲线()y f x的值；（Ⅱ）当3b=-时，若函数()()a=，9k上的最大值为28，求k的取值f xg x+在区间[,2]范围．23.（2012年理科18）已知函数2()1f x ax =+(0a >),3()g x x bx =+.(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,c )处具有公共切线,求,a b 的值;(2)当24a b =时,求函数()()f x g x +的单调区间,并求其在区间(,1]-∞-上的最大值.4.（2013年文科18．）已知函数f(x)＝x2＋x sin x＋cos x.(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．45.（2013年理科18．）设L为曲线C：y＝在点(1，0)处的切线．(1)求L的方程；(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方．6.（2014年文科20.）已知函数3=-.()23f x x x（1）求()f x在区间[2,1]-上的最大值；（2）若过点(1,)=相切，求t的取值范围；y f xP t存在3条直线与曲线()（3）问过点(1,2),(2,10),(0,2)=相切？（只y f xA B C-分别存在几条直线与曲线()需写出结论）67．（2014年理科18.）已知函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈，（1）求证：()0f x ≤； （Ⅱ）若sin x a b x<<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值81.（2011年文科18）解：（I ）/()(1)x f x x k e =-+，令/()01f x x k =⇒=-；所以()f x 在(,1)k -∞-上递减，在(1,)k -+∞上递增；（II ）当10,1k k -≤≤即时，函数()f x 在区间[]0,1上递增，所以min ()(0)f x f k ==-；当011k <-≤即12k <≤时，由（I ）知，函数()f x 在区间[]0,1k -上递减，(1,1]k -上递增，所以1min ()(1)k f x f k e -=-=-；)k e 。
北京市部分区高三上学期考试数学理试题分类汇编：导数及其应用 Word版含答案
北京市部分区2017届高三上学期考试数学理试题分类汇编导数及其应用1、（昌平区2017届高三上学期期末）设函数()ln(1)f x ax bx =++，2()()g x f x bx =-.（Ⅰ）若1,1a b ==-，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若曲线()y g x =在点(1,ln 3)处的切线与直线1130x y -=平行.(i) 求,a b 的值；(ii)求实数(3)k k ≤的取值范围，使得2()()g x k x x >-对(0,)x ∈+∞恒成立.2、（朝阳区2017届高三上学期期末）设函数2()ln(1)1f x x ax x =-+++，2()(1)e x g x x ax =-+，R a ∈．（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()g x 有两个零点，试求a 的取值范围； （Ⅲ）证明()()f x g x ≤．3、（朝阳区2017届高三上学期期中）已知函数2()e ()xf x x a =-，a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 在(3,0)-上单调递减，试求a 的取值范围； （Ⅲ）若函数()f x 的最小值为2e -，试求a 的值．4、（东城区2017届高三上学期期末）设函数()ln(1)()1axf x x a x =+-∈+R ． （Ⅰ）若(0)f 为()f x 的极小值，求a 的值；（Ⅱ）若()0f x >对(0,)x ∈+∞恒成立，求a 的最大值．5、（丰台区2017届高三上学期期末）已知函数()e x f x x =与函数21()2g x x ax =+的图象在点(00)，处有相同的切线.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设()()()()h x f x bg x b =-∈R ，求函数()h x 在[12]，上的最小值.6、（海淀区2017届高三上学期期末）已知函数()ln 1af x x x=--． （Ⅰ）若曲线()y f x =存在斜率为1-的切线，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设函数()ln x ag x x+=，求证：当10a -<<时，()g x 在(1,)+∞上存在极小值．7、（海淀区2017届高三上学期期中）已知函数3()9f x x x =-，函数2()3g x x a =+.（Ⅰ）已知直线l 是曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线，且l 与曲线()y g x =相切，求a 的值； （Ⅱ）若方程()()f x g x =有三个不同实数解，求实数a 的取值范围.8、（石景山区2017届高三上学期期末）已知函数2()11x f x x =++，2()(0)a xg x x e a =<． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对任意12,[0,2]x x ∈，12()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围．9、（通州区2017届高三上学期期末）设函数()()1kxf x e k R =-∈．（Ⅰ）当k ＝1时，求曲线()y f x =在点))0(0(f ，处的切线方程； （Ⅱ）设函数kx x x f x F -+=2)()(，证明：当x ∈)0(∞+，时，()F x ＞0.10、（西城区2017届高三上学期期末）已知函数()ln sin (1)f x x a x =-⋅-，其中a ∈R ．（Ⅰ）如果曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-，求a 的值； （Ⅱ）如果()f x 在区间(0,1)上为增函数，求a 的取值范围．11、（北京市第四中学2017届高三上学期期中）已知函数()1()ln(1)01xf x ax x x-=+++≥，其中0a >. （Ⅰ）若1a =，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围.12、（北京市第四中学2017届高三上学期期中）设函数()ln e xb f x a x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，曲线()y f x =在点()()1,1P f 处的切线方程为e(1)2y x =-+.（Ⅰ）求,a b ； （Ⅱ）设()2()e 0ex g x x x -=->，求()g x 的最大值； （Ⅲ）证明函数()f x 的图象与直线1y =没有公共点.参考答案1、解：（Ⅰ）当1,1a b ==-时，()ln(1),(1)f x x x x =+->-，则1'()111xf x x x-=-=++. 当'()0f x >时，10x -<<； 当'()0f x <时，0x >；所以()f x 的单调增区间为(1,0)-，单调减区间为(0,)+∞. ……………4分（Ⅱ）(i)因为22()()ln(1)()g x f x bx ax b x x =-=++-，所以'()(12)1ag x b x ax=+-+. 依题设有(1)ln(1),11'(1),3g a g =+⎧⎪⎨=⎪⎩ 即ln(1)ln 3,11.13a a b a+=⎧⎪⎨-=⎪+⎩解得23a b =⎧⎨=-⎩. ……………8分(ii)所以21()ln(12)3(),(,)2g x x x x x =+--∈-+∞.2()()g x k x x >-对(0,)x ∈+∞恒成立，即2()()0g x k x x -->对(0,)x ∈+∞恒成立.令2()()()F x g x k x x =--．则有24(3)1'()12k x k F x x-+-=+．①当13k ≤≤时，当(0,)x ∈+∞时，'()0F x >， 所以()F x 在(0,)+∞上单调递增.所以()(0)0F x F >=，即当(0,)x ∈+∞时，2()()g x k x x >-；②当1k <时，当x ∈时，'()0F x <，所以()F x 在上单调递减，故当x ∈时，()(0)0F x F <=，即当(0,)x ∈+∞时，2()()g x k x x >-不恒成立.综上，k [1,3]∈．……………13分2、解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(1,)+∞，(221)()1x ax a f x x -+'=-．当1a =时，(2)426f a '=+=，(2)437f a =+=．所以函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程为76(2)y x -=-．即65y x =-．…………………………………4分（Ⅱ）函数()g x 的定义域为R ，由已知得()(e 2)xg x x a '=+．①当0a =时，函数()(1)e xg x x =-只有一个零点； ②当0a >，因为e 20xa +>，当(,0)x ∈-∞时，()0g x '<；当(0,)x ∈+∞时，()0g x '>． 所以函数()g x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增． 又(0)1g =-，(1)g a =，因为0x <，所以10,1xx e -<<，所以(1)1xe x x ->-，所以2()1g x ax x >+-取0x =，显然00x <且0()0g x >所以(0)(1)0g g <，0()(0)0g x g <．由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点． ③当0a <时，由()(e 2)0xg x x a '=+=，得0x =，或ln(2)x a =-．ⅰ)当12a <-，则ln(2)0a ->． 当x 变化时，(),()g x g x '变化情况如下表：注意到(0)1g =-，所以函数()g x 至多有一个零点，不符合题意． ⅱ)当12a =-，则ln(2)0a -=，()g x 在(,)-∞+∞单调递增，函数()g x 至多有一个零点，不符合题意． 若12a >-，则ln(2)0a -≤．当x 变化时，(),()g x g x '变化情况如下表：注意到当0,0x a <<时，2()(1)e 0xg x x ax =-+<，(0)1g =-，所以函数()g x 至多有一个零点，不符合题意．综上，a 的取值范围是(0,).+∞…………………………………………9分 （Ⅲ）证明：()()(1)e ln(1)1xg x f x x x x -=-----．设()(1)e ln(1)1xh x x x x =-----，其定义域为(1,)+∞，则证明()0h x ≥即可． 因为1()e (e )11x x x h x x x x x '=-=---，取311e x -=+，则1311()(e e )0x h x x '=-<，且(2)0h '>．又因为21()(1)e 0(1)xh x x x ''=++>-，所以函数()h x '在(1,)+∞上单增． 所以()0h x '=有唯一的实根0(1,2)x ∈，且001e1x x =-． 当01x x <<时，()0h x '<；当0x x >时，()0h x '>． 所以函数()h x 的最小值为0()h x ．所以00000()()(1)e ln(1)1xh x h x x x x ≥=-----00110x x =+--=．所以()().f x g x ≤……………………………………………………14分3、解：由题意可知2()e (2)x f x x x a '=+-．（Ⅰ）因为1a =，则(0)1f =-，(0)1f '=-，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为(1)(0)y x --=--． 即10x y ++=．…………………3分 （Ⅱ）因为函数()f x 在(3,0)-上单调递减，所以当(3,0)x ∈-时，2()e (2)0xf x x x a '=+-≤恒成立． 即当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立．显然，当(3,1)x ∈--时，函数2()2g x x x a =+-单调递减， 当(1,0)x ∈-时，函数2()2g x x x a =+-单调递增． 所以要使得“当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立”， 等价于(3)0,(0)0.g g -≤⎧⎨≤⎩即3,0.a a ≥⎧⎨≥⎩所以3a ≥．…………………8分（Ⅲ）设2()2g x x x a =+-，则44a ∆=+．①当440a ∆=+≤，即1a ≤-时，()0g x ≥，所以()0f x '≥． 所以函数()f x 在(,)-∞+∞单增，所以函数()f x 没有最小值．②当440a ∆=+>，即1a >-时，令2()e (2)0x f x x x a '=+-=得220x x a +-=，解得1211x x =-=-随着x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：当x ∈( , 1-∞-时，22( 12x a ≥-=++.所以220x a -≥+. 所以2()e ()0xf x x a =->. 又因为函数()f x 的最小值为2e<0-，所以函数()f x 的最小值只能在21x =-处取得.所以121(1e 1]2e 2e f a ---=--==-.所以1e 1)e -=.11=.解得3a =．…………………………………14分 以下证明解的唯一性，仅供参考：设1()e g a -=因为0a >，所以0->，10<．设0x =->，则1x -= 设()e xh x x =-，则()e (1)xh x x '=-+.当0x >时，()0h x '<，从而易知()g a 为减函数. 当(0,3)a ∈，()0g a >；当(3,)a ∈+∞，()0g a <．所以方程1e 1)e -=只有唯一解3a =．4、解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(1,)-+∞．因为()ln(1)1axf x x x =+-+， 所以21'()1(1)a f x x x =-++． 因为(0)f 为()f x 的极小值， 所以'(0)0f =，即21001(01)a -=++． 所以1a =．此时，2'()(1)xf x x =+． 当(1,0)x ∈-时，'()0f x <，()f x 单调递减； 当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增． 所以()f x 在0x =处取得极小值，所以1a =． ……………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知当1a =时，()f x 在[0,)+∞上为单调递增函数， 所以()(0)0f x f >=，所以()0f x >对(0,)x ∈+∞恒成立． 因此，当1a <时，()ln(1)ln(1)011ax xf x x x x x =+->+->++， ()0f x >对(0,)x ∈+∞恒成立．当1a >时，221(1)'()1(1)(1)a x a f x x x x --=-=+++， 所以，当(0,1)x a ∈-时，'()0f x <，因为()f x 在[0,1)a -上单调递减， 所以(1)(0)0f a f -<=．所以当1a >时，()0f x >并非对(0,)x ∈+∞恒成立． 综上，a 的最大值为1． ……………………………13分 5、解：（Ⅰ）因为()e e xxf x x '=+，所以(0)1f '=.……………….2分因为()g x x a '=+，所以(0)g a '=. ……………….4分 因为()f x 与()g x 的图象在（0,0）处有相同的切线，所以(0)(0)f g ''=，所以1a =. …….5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知,21()2g x x x =+, 令21()()()e 2xh x f x bg x x bx bx =-=--，[1,2]x ∈，则()e e (1)(1)(e )x x xh x x b x x b '=+-+=+-．……………….6分(1)当0b ≤时，[1,2]x ∀∈，()0h x '>，所以()h x 在[1,2]上是增函数，故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -； ……………….7分 (2)当0b >时，由()=0h x '得，ln x b =， ……………….8分①若ln 1b ≤，即0e b <≤，则[1,2]x ∀∈，()0h x '>，所以()h x 在[1,2]上是增函数，故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -. ……………….9分 ②若1ln 2b <<，即2e e b <<，则(1,ln )x b ∀∈，()0h x '<，(ln 2)x b ∀∈，，()0h x '>，所以()h x 在(1,ln )b 上是减函数，在(ln 2)b ，上是增函数， 故()h x 的最小值为21(ln )=ln 2h b b b -； ……………….11分 ③若ln 2b ≥，即2e b ≥，则[1,2]x ∀∈，()0h x '<，所以()h x 在[1,2]上是减函数， 故()h x 的最小值为2(2)=2e 4h b -. ……………….12分 综上所述，当e b ≤时，()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -， 当2e e b <<时，()h x 的最小值为21ln 2b b -， 当2e b ≥时，()h x 的最小值为22e 4b -.…………….13分6、解：（Ⅰ）由()ln 1af x x x =--得221'()(0)a x af x x x x x+=+=>. 由已知曲线()y f x =存在斜率为1-的切线， 所以'()1f x =-存在大于零的实数根， 即20x x a ++=存在大于零的实数根， 因为2y x x a =++在0x >时单调递增， 所以实数a 的取值范围0∞（-，）. （Ⅱ）由2'()x af x x +=，0x >，a ∈R 可得 当0a ≥时，'()0f x >，所以函数()f x 的增区间为(0,)+∞； 当0a <时，若(,)x a ∈-+∞，'()0f x >，若(0,)x a ∈-，'()0f x <， 所以此时函数()f x 的增区间为(,)a -+∞，减区间为(0,)a -.（Ⅲ）由()ln x ag x x+=及题设得22ln 1('()(ln )(ln )a x f x x g x x x --==）， 由10a -<<可得01a <-<，由(Ⅱ)可知函数()f x 在(,)a -+∞上递增，所以(1)10f a =--<， 取e x =，显然e 1>，(e)lne 10e a af e=--=->， 所以存在0(1,e)x ∈满足0()0f x =，即 存在0(1,e)x ∈满足0'()0g x =，所以(),'()g x g x 在区间(1,)+∞上的情况如下：x0(1,)x 0x 0(,)x +∞ '()g x-0 +()g x极小所以当10a -<<时，()g x 在(1,)+∞上存在极小值. （本题所取的特殊值不唯一，注意到0(1)ax x->>），因此只需要0ln 1x ≥即可） 7、解析：8、解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R ，()()()()()()x x x f x x x --+'==++2222211111．……2分 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，函数()f x 的单调递增区间是(,)-11，单调递减区间是(,)-∞-1，(,)+∞1． …………5分（Ⅱ）依题意，“对于任意12,[0,2]x x ∈，12()()f x g x ≥恒成立”等价于 “对于任意[0,2]x ∈，min max ()()f x g x ≥成立”．由（Ⅰ）知，函数()f x 在[0,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减，因为(0)1f =，2(2)115m f =+>，所以函数()f x 的最小值为(0)1f =． 所以应满足max ()1g x ≤．………………………………………………7分因为2()e ax g x x =，所以2()(+2)e ax g x ax x '=．………8分因为0a <，令()0g x '=得，10x =，22x a =-． （ⅰ）当22a-≥，即10a -≤<时， 在[0,2]上()0g x '≥，所以函数()g x 在[0,2]上单调递增，所以函数2max ()(2)4e a g x g ==．由24e 1a ≤得，ln 2a ≤-，所以1ln 2a -≤≤-． ……………11分（ⅱ）当202a<-<，即1a <-时, 在2[0,)a -上()0g x '≥，在2(,2]a-上()0g x '<， 所以函数()g x 在2[0,)a -上单调递增，在2(,2]a-上单调递减， 所以max 2224()()eg x g a a =-=． 由2241e a ≤得，2ea ≤-，所以1a <-． ……………13分 综上所述，a 的取值范围是(,ln 2]-∞-． ……………14分9、解：(Ⅰ)'()x f x e =，……………….1分将x =0分别代入f (x )和f ’(x )得，f ’(0)=1， f (0)=0……………….3分所以曲线在点(0, f (0))处的切线方程为：y =x . ……………….4分(Ⅱ)'()2kx F x ke x k =+-……………….6分令()2kx g x ke x k =+-，则2'()2kx g x k e =+……………….8分20,0kx e k >≥，2'()20kx g x k e ∴=+>……………….10分∴g (x )在(0,)+∞上单调递增，∴g (x )>g (0)=0即'()0F x >，……………….11分∴F (x )在(0,)+∞上单调递增，∴F (x )>F (0)=0……………….13分10、解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(0,)+∞，[1分] 导函数为1()cos(1)f x a x x'=-⋅-．[2分] 因为曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-，所以(1)1f '=-，即11a -=-，[3分]所以2a =．[4分]（Ⅱ）因为()f x 在区间(0,1)上为增函数，所以对于任意(0,1)x ∈，都有1()cos(1)0f x a x x '=-⋅-≥．[6分] 因为(0,1)x ∈时，cos(1)0x ->， 所以11()cos(1)0cos(1)f x a x a x x x '=-⋅-⇔⋅-≤≥．[8分] 令()cos(1)g x x x =⋅-，所以()cos(1)sin (1)g x x x x '=--⋅-．[10分]因为(0,1)x ∈时，sin (1)0x -<，所以(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 在区间(0,1)上单调递增，所以()(1)1g x g <=．[12分]所以1a ≤．即a 的取值范围是(,1]-∞．[13分]11、解:定义域为[)0,+∞.22222()1(1)(1)(1)a ax a f x ax x ax x +-'=-=++++.（Ⅰ）若1a =，则221()(1)(1)x f x x x -'=++，令()0f x '=，得1x =（舍1-）.所以1a =时，()f x 的单调增区间为(1,)+∞，减区间为(0,1).（Ⅱ）222()(1)(1)ax a f x ax x +-'=++，∵0,0,x a ≥>∴10.ax +> ①当2a ≥时，在区间(0,)'()0,f x +∞>上，∴()f x 在[)1,+∞单调递增，所以 ()(0)1;f x f =的最小值为②当02a <<时，由'()0'()0f x x f x x >><<解得由解得 ∴()f x +∞的单调减区间为（0）.所以()f x 在x =处取得最小值，注意到(0)1,f f <=，所以不满足 综上可知，若()f x 得最小值为1，则a 的取值范围是[2,).+∞12、解：()f x ∞（I ）函数的定义域为(0,+), ()2()ln ln ln .x x x b b a b b f x a x e a x e a x e x x x xx '⎛⎫⎛⎫⎛⎫''=+++=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (1)2,(1).f f e '==由题意可得21,.a b e==故 （Ⅱ）2(),'()(1)x x g x xe g x e x e--=-=-则. (0,1)()0;(1,)()0.()1()(0,)(1).x g x x g x g x g x g e''∈>∈+∞<∞∞=-所以当时当时，故在（0,1）单调递增，在(1,+)单调递减，从而在的最大值为 （Ⅲ）12()ln ,x x f x e x e x-=+由（I ）知又0(1)ln12=21,f e e =+>于是函数()f x 的图象与直线1y =没有公共点等价于()1f x >。
2022年北京高考函数与导数真题解析
由（Ⅰ）知 g(x) ex[ln(1 x) 1 ], x 0, ，
1 x
令(x) ex ， h(x) ln(1 x) 1 , x 0, ，则 g(x) (x)h(x)
1 x
所以对 h(x)
求导得 h '(x)
1 1 x
1 (1 x)2
x (1 x)2
0 ，即 h(x) 在线 y f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y x
重要信息： 函数 y f (x) 的图像过点 (0, 0) ，即 f (0) 0 ；
函数 y f (x) 在 (0, 0) 切线的斜率为1，即 f '(0) 1
二、解法分析及详解 题目（2022 年北京高考第 20 题）已知函数 f (x) ex ln(1 x)
2022年北京高考函数与导数 真题解析
一、试题呈现 题目（2022 年北京高考第 20 题）已知函数 f (x) ex ln(1 x) （Ⅰ）求曲线 y f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程；
（Ⅱ）设 g(x) f '(x) ，讨论函数 g(x) 在0, 上的单调性； （Ⅲ）证明：对任意的 s,t 0, ，有 f (s t) f (s) f (t)
（Ⅱ）设 g(x) f '(x) ，讨论函数 g(x) 在0, 上的单调性；
分析：研究函数的单调性，常规方法通过研究导函数的正负解决问题， 也可以通过不等式、函数性质，依据单调性的定义解决问题。
二、解法分析及详解 题目（2022 年北京高考第 20 题）已知函数 f (x) ex ln(1 x)
二、解法分析及详解 题目（2022 年北京高考第 20 题）已知函数 f (x) ex ln(1 x)
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导数大题分类一、含参数单调区间的求解步骤：①确定定义域（易错点）②求导函数)('x f③对)('x f 进行整理，能十字交叉的十字交叉分解，若含分式项，则进行通分整理.④)('x f 中x 的最高次系数是否为0，为0时求出单调区间.例1：x x a x a x f ++-=23213)(，则)1)(1()('--=x ax x f 要首先讨论0=a 情况 ⑤)('x f 最高次系数不为0，讨论参数取某范围的值时，若0)('≥x f ，则)(x f 在定义域内单调递增；若0)('≤x f ，则)(x f 在定义域内单调递减. 例2：x x a x f ln 2)(2+=，则)('x f =)0(,12>+x x ax ，显然0≥a 时0)('>x f ，此时)(x f 的单调区间为),0(+∞.⑥)('x f 最高次系数不为0，且参数取某范围的值时，不会出现0)('≥x f 或者0)('≤x f 的情况 求出)('x f =0的根，（一般为两个）21,x x ，判断两个根是否都在定义域内.如果只有一根在定义域内，那么单调区间只有两段.若两根都在定义域内且一根为常数，一根含参数.则通过比较两根大小分三种情况讨论单调区间，即212121,,x x x x x x =<>. 例3:若)0(,ln )1(2)(2≠++-=a x x a x a x f ，则x x ax x f )1)(1()('--=，)0(>x 解方程0)('=x f 得a x x 1,121== 0<a 时，只有11=x 在定义域内.0>a 时,比较两根要分三种情况：1,10,1><<=a a a用所得的根将定义域分成几个不同的子区间，讨论)('x f在每个子区间内的正负，求得)(x f的单调区间。
（1）求函数的单调区间1.已知函数22)1ln()(x k x x x f +-+= )0(≥k （Ⅰ）当2=k 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程.（Ⅱ）求)(x f 得单调区间.2. 已知函数2()4ln f x ax x =-，a ∈R . （Ⅰ）当12a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）讨论()f x 的单调性.3.已知函数()()sin cos ,(0,)f x x a x x x π=-+∈. （Ⅰ）当π2a =时，求函数()f x 值域； （Ⅱ）当π2a >时，求函数()f x 的单调区间. 4．已知函数12e ()44x f x ax x +=++，其中a ∈R . （Ⅰ）若0a =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）当1a >时，试确定函数()f x 的单调区间.（二）求函数在给定的区间的最值问题5．已知函数1)(2+=ax x f )0(>a ，bx x x g +=3)(.（Ⅰ）若曲线)(x f 与)(x g 在它们的交点),1(c 处具有公切线，求b a ,的值.（Ⅱ）当b a 42=时，求函数)()(x g x f +的单调区间，并求其在)1,(--∞上的最大值.6．已知函数21()ln 2f x ax x =-，a ∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[1,e]的最小值为1，求a 的值．7.已知函数bx ax x x f ++=2ln )(（其中b a ,为常数且0≠a ）在1=x 处取得极值.（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数)(x f 在区间[0,e]上的最大值为1，求a 的值.8．已知函数)1ln(21)(2x ax x x f +--=，其中a ∈R . （Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值；（Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围.9.已知21()ln(1)2f x ax x x =-+-+，其中0>a ． (Ⅰ)若函数()f x 在点(3,(3))f 处切线斜率为0，求a 的值；(Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)若()f x 在[)0,+∞上的最大值是0，求a 的取值范围．10.设函数()x f x e ax =-，x R ∈．（Ⅰ）当2a =时，求曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证： ()0f x >；（Ⅲ）当1a >时，求函数()f x 在[0,]a 上的最大值．二、恒成立问题的几种问法：1．对于()b a x ,∈∀，k x f ≥)(恒成立，等价于函数)(x f 在()b a ,上的最小值k x f ≥min )(.诉讼2．对于()b a x ,∈∀，a x f ≤)(恒成立，等价于函数)(x f 在()b a ,上的最大值k x f ≤max )(.3.对于[]b a x x ,,21∈∀，)()(21x g x f ≥，等价于)(x f 在区间[]b a ,上的最小值min )(x f ，大于等于)(x g在区间[]b a ,上的最大值max )(x g ，即max min )()(x g x f ≥.4. 对于[]b a x x ,,21∈∀，)()(21x g x f ≤，等价于)(x f 在区间[]b a ,上的最大值max )(x f ，小于等于)(x g在区间[]b a ,上的最小值min )(x g ，即min max )()(x g x f ≤.5.对于[]b a x ,∈∀，)()(x g x f ≥，等价于构造函数)()()(x g x f x h -=，)(x h 在区间[]b a ,上的最小值0)(min ≥x h .6.对于[]b a x ,∈∀，)()(x g x f ≤，等价于构造函数)()()(x g x f x h -=，)(x h 在区间[]b a ,上的最大值0)(max ≤x h .7.)(x f 在区间[]b a ,上单调递增，等价于[]b a x x f ,,0)(min '∈≥. 8.)(x f 在区间[]b a ,上单调递减，等价于[]b a x x f ,,0)(max '∈≤.1.已知函数k x e k x x f 2)()(-=.（Ⅰ）求)(x f 的单调区间.（Ⅱ）若对于任意的),0(+∞∈x ，都有e x f 1)(≤，求k 的取值范围. 2.设l 为曲线C:xx y ln =在点)0,1(处的切线. （Ⅰ）求l 的方程.（Ⅱ）证明：除切点外，曲线C 在直线l 下方.3.已知函数x x x x f sin cos )(-=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx （Ⅰ）求证：0)(≤x f （Ⅱ）若b x x a <<sin 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π上恒成立，求a 的最大值和b 的最小值. 5.已知0a >，函数2()21ax f x a x =++，()ln g x a x x a =-+. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）求证：对于任意的12,(0,e)x x ∈，都有12()()f x g x >.6.已知函数21()e 1x f x ax +=-+，a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直，求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）设32e a <，当[0,1]x ∈时，都有()f x ≥1成立，求实数a 的取值范围．7.已知函数R a x a x x f ∈-=,ln )()(（Ⅰ）当0=a 时求)(x f 的极小值 .（Ⅱ） 若函数)(x f 在区间),0(+∞上为增函数，求a 得取值范围8. 已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f .（I ）求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值；（II ）对一切)()(2),,0(x g x f x ≥+∞∈恒成立，求实数a 的取值范围.9.已知函数2()ln ,.f x x ax x a =-+∈R（I ）若函数()f x 在(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴，求实数a 的值；(II) 在（I ）的条件下，求函数()f x 的单调区间；(III) 若1,()0x f x >>时恒成立，求实数a 的取值范围. 10.已知函数，其中a ∈ R ．⑴ 当 时，求 f (x )的单调区间；⑵ 当a ＞ 0时，证明：存在实数m ＞ 0，使得对于任意的实数x ，都有｜ f (x )｜≤m 成立．三、存在性问题的几种问法：1.()b a x ,0∈∃,使得k x f ≥)(成立，等价函数)(x f 在()b a ,上的最大值k x f ≥max )(.2.()b a x ,0∈∃,使得k x f ≤)(成立，等价函数)(x f 在()b a ,上的最小值k x f ≤min )(.3.[]b a x x ,,21∈∃，使得)()(21x g x f ≥成立，等价于)(x f 在区间[]b a ,上的最大值max )(x f ，大于等于 )(x g 在区间[]b a ,上的最小值min )(x g ，即min max )()(x g x f ≥.4.[]b a x x ,,21∈∃，使得)()(21x g x f ≤，等价于)(x f 在区间[]b a ,上的最小值min )(x f ，小于等于)(x g 在区间[]b a ,上的最大值max )(x g ，即max min )()(x g x f ≤.5.[]b a x ,∈∃，使得)()(x g x f ≥，等价于构造函数)()()(x g x f x h -=，)(x h 在区间[]b a ,上的最大值0)(max ≥x h .6. []b a x ,∈∃，使得)()(x g x f ≤，等价于构造函数)()()(x g x f x h -=，)(x h 在区间[]b a ,上的最小值 0)(min ≤x h .7.)(x f 在区间()b a ,上存在单调递增区间，等价于)('x f的最大值0)(max '>x f . 8.)(x f 在区间()b a ,上存在单调递减区间，等价于)('x f的最小值0)(min '<x f .1.已知曲线()x f x ax e =-(0)a ≠. （Ⅰ）求曲线在点（0,(0)f ）处的切线方程；（Ⅱ）若存在0x 使得0()0f x ≥，求a 的取值范围.2.已知函数1()()2ln ()f x a x x a x=--∈R ． （Ⅰ）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）设函数()a g x x=-．若至少存在一个0[1,e]x ∈，使得00()()f x g x >成立，求实数a 的取值范围． 3.已知函数1()ln (0,)f x a x a a x=+≠∈ R （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值和单调区间；（Ⅱ） 若在区间[1,e]上至少存在一点0x ，使得0()0f x <成立，求实数a 的取值范围.4.已知函数()e x f x x a -=+⋅．（Ⅰ）当2e a =时，求()f x 在区间[1,3]上的最小值；（Ⅱ）求证：存在实数0[3,3]x ∈-，有0()f x a >.四、切线问题1.已知函数()f x =ln ,x a x a +∈R ．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当[]1,2x ∈时，都有()0f x >成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）试问过点(13)P ，可作多少条直线与曲线()y f x =相切？并说明理由．2.已知函数3()f x x x =-．（I ）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（II ）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线， 证明：()a b f a -<<．五、特殊问题1.已知函数21ln ()x f x x-=. （Ⅰ）求函数()f x 的零点及单调区间； （Ⅱ）求证：曲线ln x y x=存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标01y <-.六、构造函数模型1.设函数1)(--=x ae x f x ，R ∈a ．（Ⅰ）当1a =时，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当),0(+∞∈x 时，0)(>x f 恒成立，求a 的取值范围； （Ⅲ）求证：当),0(+∞∈x 时，21ln x x e x >-．。