数字图像处理第三版 (Rafael C.Gonzalez著)第三章答案

（a ）由2
)(Kr
Ae
r T s -==，3/2
A Ae
KL =-得：)
3/1ln(20=-KL ，20
/0986.1L K = 2
2
0986.1)(r
L Ae r T s -==
（b ）、由
， 4/)1(2
0B e KL =--B 得：
)4/3ln(2
0=-KL ,2
0/2877.0L K =
)1()(2
2
2877.0r
L e B r T s -
-==
（c ）、
逐次查找像素值，如（x ，y ）=（0，0）点的f （x ，y ）值。

若该灰度值的4比特的第0
位是1，则该位置的灰度值全部置1，变为15；否则全部置0，变为0。

因此第7位平面[0,7]置0，[7,15]置1，第6位平面[0,3]，[4,7]置0，[8,11]，[12,15]置15。

依次对图像的全部像素进行操作得到第0位平面，若是第i 位平面，则该位置的第i 位值是0还是1，若是1，则全置1，变为15，若是0，则全置0
设像素的总数为n ，是输入图像的强度值，由，rk 对
应sk ，所以，由 和得
由此得知，第二次直方图均衡化处理的结果与第一次直
方图均衡化处理的结果相同，这里我们假设忽略不计四舍五入的误差。

3.11题、由
dw w p z G v z
z )()(0
⎰
=
=,
⎩⎨
⎧=<<-5
.0041
5.044)( w w
w w
z w p
{
5
.0021
5.02210
2
2
)()(<<<<+-=
=
=⎰
z z
z z z z
z dw w p z G v
令v s =得
所以⎪⎩
⎪⎨⎧=⎪⎩
⎪⎨
⎧==-
<<+-±<<-
-+-±±-±-5.010221
5.0121
)2(25.022
125.01
22
)(r r r r r r v
v v G z
3.12题、第k 个点邻域内的局部增强直方图的值为：
P r (r k )=n k /n (k=0,1,2,……K-1)。

这里n k 是灰度级为r k 的像素个数，n 是邻域内像素的总个数，k 是图像中可能的灰度级总数。

假设此邻域从左以一个像素为步长向右移动。

这样最左面的列将被删除的同时在后面又产生一个新的列。

变化后的直方图则变成
：
(k=0,1,2,……K-1)
这里n lk 是灰度级r k 在左面的列出现的次数，n rk 则为在右面出现的次数。

上式也可以改写成：
(k=0,1,2,……K-1)
同样的方法也适用于其他邻域的移动：
这里a k 是灰度级r k 在邻域内在移动中被删除的像素数，b k
则是在移动中引入的像素数：
(k=0,1,2,……
K-1)
上式等号右边的第一项为0（因为f 中的元素均为常数）。

变量
是噪声的简单抽样，它
的方差是。

因此
并且我们可以得到。

上述过
程证明了式2
),(2
)
,(1y x y x g K
ησσ
=
-
的有效性。

（A ）中值是]2/)1[(2+=n ζ的最大值
（B ）一旦中值被找出，我们简单的删除邻域边缘的值，在合适的位置插入合适的值
旋转前坐标的拉普拉斯定义为2
2
2
2
2
y
f x
f f ∂∂+
∂∂=
∇，旋转后坐标的拉普拉斯定义为
2
'2
2
'2
2
y
f x
f f ∂∂+
∂∂=
∇，现在给出θθθθcos sin sin cos ,,,,y x y y x x +=-=和，其中θ指轴
旋转的角度，若想证明拉普拉斯变换是各向同性的，只需证明
2
'2
2
'2
2
2
2
2
y
f x
f y
f x
f ∂∂+
∂∂=
∂∂+
∂∂，
首先，
θθsin cos ,
,
'
y
f x
f x
y y f x
x x f x
f ∂∂+
∂∂=
∂∂∂∂+
∂∂∂∂=
∂∂
两边对'x 求导得， θθθθθθ2
2
2
2
2
2
2,2
sin sin cos )(
cos sin )(
cos y
f x
f
y y
f
x x
f x
f ∂∂+
∂∂∂∂
+
∂∂∂∂
+
∂∂=
∂∂ （1）
同理可得，
θθcos sin ,
,
'
y
f x
f y
y y f y
x x f y
f ∂∂+
∂∂-
=∂∂∂∂+
∂∂∂∂=
∂∂
两边对,
y 求导得， θθθθθθ2
2
2
2
2
2
2,2
sin sin cos )(
cos sin )(
cos y
f x
f
y y
f
x x
f y
f ∂∂+
∂∂∂∂
-
∂∂∂∂
-
∂∂=
∂∂ （2）
（1）和（2）式相加得，2
'2
2
'2
2
2
2
2
y
f x
f y
f x
f ∂∂+
∂∂=
∂∂+
∂∂，所以拉普拉斯变换是各向同性的。

3.28题 （3.6.6）公式：
),(4)]1,()1,(),1(),1([2
y x f y x f y x f y x f y x f f --+++-++=∇
考虑到下列公式
其中),(_
y x f 是),(y x f 预先确定的临域的平均数，更确切的说就是以),(y x 为中心并且包括中心像素以及四个相邻像素。

把上面的等式的最后一行的常量视为均衡因子（或比例因子），我们可以写出 ),(),(),(),(_
2
y x f y x f y x f y x f -≈∇-
等式的右端就是等式),(),(),(_
y x f y x f y x f s -=给出的非锐化掩膜处理的定义。

因此验证了从一幅图像中间取相应的拉普拉斯图像等同于对图像做非锐化掩膜处理。

3.29题
（3.6.11）公式2
/122
2/122]
)(
)[(
][)f (y
f x
f G G ma
g f y x ∂∂+∂∂=+=∇=∇
（3.6.12）公式||||y x G G f +≈∇ （a ）由 θθsin cos '
y
f x
f x
f ∂∂+
∂∂=
∂∂和
θθcos sin '
y
f x
f y
f ∂∂+
∂∂-
=∂∂
2
'2
2
'2
2
2
2
2
y
f x
f y
f x
f ∂∂+
∂∂=
∂∂+
∂∂或2
/12
'2
2
'2
2
/12
2
2
2
)
(
)
(
y
f x
f y
f x
f ∂∂+
∂∂=∂∂+
∂∂
因此,我们看到的梯度向量的模值是一种各向同性梯度算子 （b ）从上面的结果得||
||x
f G x ∂∂=，||
||y
f G y ∂∂=
|sin cos |
||
||'
'θθy
f x
f x
f G x ∂∂+
∂∂=∂∂=，|cos sin |||
||'
'
θθy
f x
f y
f G y ∂∂+
∂∂-
=∂∂=
显然得到||||||||'
'y x y x G G G G +≠+。