第三章静定结构组合结构及拱

11.18 4.47 6.71kN
0 FNK 左 FQK 左 sin FH cos 12.5 0.447 10 0.894
5.59 8.94 14.53kN (压)
0 FQK 右 FQK 右 cos FH sin 2.5 0.894 10 0.447
一、概述 杆轴线为曲线 在竖向荷载作 用下不产生水 平反力。
1.拱的定义
这是拱结构Biblioteka Baidu?
曲梁
拱--杆轴线为曲
线，在竖向荷载 作用下会产生水 平推力的结构。
拱
凡在竖向荷载作用 下会产生水平力的结构 都可称为拱式结构或 推力结构。
拱 (arch)
一、概述
2.拱的受力特点
拱 曲梁
P
拱比梁中的弯矩小
拱的主要优点：由于水平推力的存在使得拱的弯矩要 比跨度、荷载相同的梁的弯矩小得多，并主要是承受压 力。 拱的主要缺点：由于支座要承受水平推力，因而要求 比梁具有更坚固的地基或支承结构（墙、柱、墩、台等）
2000年完成的山西晋城至河南焦作公路线上的丹河大桥， 跨度达146m，创造了新的世界记录。
灞陵桥是一座古典纯木结构伸臂曲拱型廊桥, 号称“渭水长虹” “渭水第一桥” 主跨：40 米 建成时间：1368
一、三铰拱内力计算的数解法
下面以图示三铰拱为例加以说明。 y FP1=15kN FP2=5kN J B FHB 4m l/2 FVB x
0 FNJ 右 FQJ 右 sin FH cos ( 7.5) ( 0.447) 10 0.894
3.35 8.94 12.29kN (压)
二、三较拱的压力线
如果三铰拱某截面D以左(或以右)所有外力的 合力FRD已经确定，则该截面的弯矩、剪力、轴 力可按下式计算： MD FRD
5
-1
2
FºQK右＝－7.5kN B 7.5kN
sin 0.447 cos 0.894
FºQJ右＝－7.5kN
0 FQJ 右 FQJ 右 cos FH sin 7.5 0.894 10 ( 0.447)
6.71 4.47 2.24kN
0 上式中，M C 为代梁C截面弯矩。
M FHB () f
0 C
将本例题数据代入得：
l l M F FP1 12.5 8 15 4 40kN .m 2 4 0 MC 40 FHA 10kN () FHB 10kN () f 4
0 C 0 VA
§3-5
组 合 结 构
一、组合结构的组成与特点
组合结构由链杆和梁式杆组成。常用于吊车梁、桥梁的承重结 构、房屋中的屋架。
(a)
(b)
下撑式五角屋架
(a)
A
F
C
B
D
(b)
E
梁破坏后的加固体系
二、组合结构的计算
先算二力杆，后算弯曲杆 . 前面关于桁架结点的一些特性对有梁式杆的结点不再
适用 取分离体时，尽量不截断梁式杆
0 0 FQD FVA FP1 0 FQD FQD cos FH sin 0 FND FQD sin FH cos
0 QD
FP1
D φ φ
0 FQD
FND FH
FQD
FHA A
FVA
FP1
1) 左半拱 >0，右半拱 <0。 A
4f a tg y ' 2 (l 2 x) l b
定义：三铰拱每个截面一边所有外力的合力作 用点的连线，就称为三铰拱的压力线。
作压力线的方法和步骤为： 1）求三铰拱的支座反力FHA、FVA、FHB、FVB， 进而求出反力FRA、FRB的大小和方向。
FHA FRA FVA 2）作封闭的力多边形，以确定拱轴各截面一 边外力合力的大小及方向。作力多边形时应按力 的大小按比例绘制。
0 VA 0 D
FP1 M D
FND
M FHA yD
FHA A
FVA
xD
FP1
D yD F QD
由上式可见，因为有推力 存在，三铰拱任一截面之 弯矩小于代梁中相应截面 的弯矩，即MD <Mº D。
d1
D
A Fº VA
Mº D 代梁
Fº QD
下面求K、J截面的弯矩MK和MJ。 5kN 15kN MK K J MJ 10kN A 4m yK=3m 12.5kN yJ=3m 4m B 10kN
小结：
0 MC 1) 水平推力与矢高 f 成反比。 FHA FHB f 2) 支座反力FVA、FVB、FHA、FHB与拱轴形状
无关，只与三个铰A、B、C及荷载的相对位
置和荷载的大小有关。
2. 弯矩计算公式 求任意截面D的弯矩。由AD段隔离体可得： d1 MD 0
M D FVA xD FHA yD FP1 d1 ( FVA xD FP1 d1 ) FHA yD ( F xD FP1 d1 ) FHA yD
0
可见合理拱轴为抛物线方程。
静水压力作用下的合理拱轴 线是圆弧曲线。
填土重量作用下的合理拱轴 线是悬链线。
作业
3-21
图示桁架中轴力等零的杆为 A 1杆和4杆 B 2杆和3杆
C
5杆和6杆 D 1，2，3，4，5，6杆
FN DE 135kN ,
FNDF FN EG =-67.5kN
FAy
D
FCx 135kN , FCy 15kN
FNDA
FNDF
D
FN DA FN EB＝ 151kN
FNDE
2m
F
50kN.m
求AC杆和BC杆弯矩
22.5kN 5kN.m
20kN.m 10kN/m
30kN.m
3) 合力大小由力多边形确定，合力作用线由压力 线确定。
4) 若荷载是竖向集中力，则压力线为折线；若为 均布荷载，压力线为曲线。
三、 三较拱的合理轴线
在给定荷载作用下，三铰拱任一截面弯矩为零 的轴线就称为合理拱轴。 若用压力线作为三铰拱轴线，则任一截面弯矩都 为零，故压力线为合理拱轴。 三铰拱任一截面弯矩为
M
B A
0, FAy 75kN 0, FBy 75kN
FAy
4m
D
FBy
4m
2m
2m
C
0, FAy 6 90 2 FN DE 2 0
A
90kN C F
Fy 0, FAy 90 FCy 0
FCx
FCy FNDE
Fx 0, FN DE FCx 0
FP2 FP1 D
E
C
FP3
FRA A o FRA
FP1
FP2
F B
FRB
FP3
FRB
在上图所示力多边形中，射线1－2代表FRA与 FP1合力的大小和方向；射线2－3代表FRA与FP1、 FP2合力的大小和方向。
3）画压力线 过A作FRA的延长线交FP1于D，过D作射线1－2的 平行线交FP2于E，过E作射线2－3的平行线交FP3 于F，则FB必为FRB的作用线。 小结： 1) 压力线一定通过铰C。 2) 压力线与拱轴形状无关，只与三个铰A、B、C 及荷载的相对位置和荷载的大小有关。
2.24 4.47 6.71kN
0 FNK 右 FQK 右 sin FH cos ( 2.5) 0.447 10 0.894
1.12 8.94 7.82kN (压)
求FQJ右、FNJ右 。 xJ＝12m J右
4 4 1 y ' 2 (16 2 12) 16 2
7.5kN
4 4 yk 2 4(16 4) 3m 求MK 16 MK 0 MK 12.5 4 10 3 20kN.m(下拉)
求MJ
M
yJ 3m
J
0
M J 7.5 4 10 3 30 30 0
3. 求FQ、FN的计算公式
拱轴任意截面D切线与水平线夹角为φ。 相应代梁中， F 设为正方向。
67.5kN
50
A F C G E
B
30
D
M图
kN.m
求AC杆和BC杆剪力
F
FQAC
y
0, FQAC 7.5kN
22.5kN 7.5 32.5 10kN/m FNAD
FAy
+ _
15
+
7.15 67.5kN 35 FQ图 kN
作业
3-20
§3-6 三铰拱受力分析
拱 (arch)
拉杆来代替支座承受水平推力
拱 (arch)
一、概述
3.拱的分类
静定拱
超静定拱
两铰拱 三铰拱 拉杆 拉杆拱
高差h
超静定拱
无铰拱
斜拱
拱 (arch)
一、概述
4.拱的有关名称 拱顶（顶铰） 矢高 拱趾铰
起拱线
跨度
世界著名石拱桥——赵州桥 建于1400多年前，是世界上跨径最大(37.02m)、建 造最早的单孔空腹式石拱桥
世界上最古老的铸铁拱桥（1779年英国科尔布鲁克代 尔桥)
1997 ，四川万州长江公路大桥完工。该桥跨度达420m ，居 世界同类桥梁首位；主拱圈采用钢管混凝土与劲性骨架组合 的钢筋混凝土箱形截面，采用缆索吊装和悬臂拼装的方法施 工。该桥的建成，使我国的拱桥建筑水平处于世界领先地位。
巫山长江大桥，主跨492m
小结：
D
0 FQD
F
0 VA
a2+b2
a
b
代梁
2) Fº QD是代梁截面D的剪力，设为正方向。 故FºQD可能大于零、等于零或小于零。 下面用上述公式求FQK、FNK。 xK＝4m
4 4 1 y ' 2 (16 2 4) 16 2
5
1
2
Fº QK左＝12.5kN FºQK右＝－2.5kN A 12.5kN K左 Fº QK左＝12.5kN A 12.5kN
K FHA A
FVA 4m
C
yk f=4m yJ 4m 4m
l/2
FP1=15kN A C 4m K l/2 4m 4m
FP2=5kN J l/2 B 4m 代梁
F
0 VA
F
0 VB
解： 4f 拱轴方程为 y= 2 x (l x )
1. 支座反力 整体平衡
0 VA
l
M
B
0
1 1 F FVA ( FP1 12 FP 2 4) (15 12 5 4) 16 16 200 16 12.5kN ()
rD
FND
D
FRD
FP1
90
。
rD
FRD
A FRA
D
C
FP2
FQD
B FRB
M D FRD rD FQD FRD sin D FND FRD cos D
rD ——截面D形心到FRD作用线之距离。
D ——FRD作用线与截面D轴线切线的夹角。
由此看出，确定截面内力的问题归结为确定截 面一边所有外力的合力之大小、方向及作用线的 问题。
M M FH y
0
令 得到
M 0
M y FH
0
合理拱轴方程的表达式
例 求三铰拱在均布荷载作用下的合理拱轴。 q
C
FH A FVA l /2 q A
f
l /2
B FH FVB
M 0 qx(l x) / 2
x 代梁
ql / 2
解：
M0 y FH 1 M qx(l x) 2 0 MC 1 1 2 ql 2 FH ql f f 8 8f 8f 1 4f y 2 qx(l x) 2 x(l x) ql 2 l
15kN K右
Fº QK右＝－2.5kN
0 0 (FH 10kN , FQK 12.5 kN , F 左 QK右 2.5kN )
(sin 0.447, cos 0.894)
0 FQK 左 FQK 左 cos FH sin 12.5 0.894 10 0.447
P A C P 1 2 2P/3 B
2P × 3
P
D A
对称结构受对称荷载作用 ① FN1=FN2=0 × ② FN1=－FN2 × ③ FN1≠FN2 × ④ FN1=FN2≠0 √
FNAB= 2
× ） FNCD=0 （ C
例:作图示结构内力图
A
90kN
10kN/m
B C G E
M M
Fy 0
0 F VB F VB 20 12.5 7.5kN ()
下面求支座水平推力。 考虑拱AC部分平衡：
FP1=15kN K
C yk f=4m
FHA A
FVA 4m
l/2
MC 0
4m
l l FVA FHA f FP1 0 2 4 0 MC 1 l l FHA ( FVA FP1 ) () f 2 4 f