101坑班真题A5302

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北京101中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学试卷 Word版含解析

北京101中学2018－2019学年上学期高二年级期中考试数学试卷一、选择题共10小题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.已知向量a=（8，x，x），b=（x，1，2），其中.若a∥b，则x的值为（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】根据两向量平行的等价条件及题意，得到存在实数λ>0，使得，即，然后根据向量相等得到关于的方程组，解方程组可得所求．【详解】∵∥且，∴向量共线同向，∴存在实数λ>0，使得，即，∴，解得．故选A．【点睛】本题考查两向量共线的等价条件及其应用，考查计算能力，属于基础题．2.双曲线的焦点坐标为（）A. （±l，0）B. （±，0）C. （±，0）D. （±4，0）【答案】B【解析】【分析】先确定双曲线焦点的位置，然后根据曲线方程得到实半轴和虚半轴的值，进而得到半焦距的值，由此可得焦点坐标．【详解】由题意得双曲线的焦点在轴上，且，∴，∴双曲线的焦点坐标为．故选B．【点睛】判断双曲线的焦点位置时，要看曲线方程中变量的正负，焦点在正的项对应的变量所在的轴上，然后再根据求出半焦距后可得焦点的坐标．3.直线被圆截得的弦长为（）A. 1B. 2C. 4D.【答案】C【解析】因为化为，可知圆的圆心为,半径为，圆心到直线的距离为，由勾股定理可得直线被圆截得的弦长为，故选.【此处有视频，请去附件查看】4.已知圆：与圆：相内切，那么等于（）A. 4B. 5C. 6D.【答案】C【解析】【分析】根据两圆相内切得到圆心距和两半径间的关系，由此可得所求的值．【详解】由题意得．∵圆和圆相内切，∴，即，解得或（舍去）．故选C．【点睛】本题考查两圆位置关系的运用，当两圆相内切时，两圆的圆心距等于两半径之差的绝对值，同时也考查数形结合的应用．5.直线与圆相交于两点，则是“的面积为”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】试题分析：由时,圆心到直线的距离.所以弦长为.所以.所以充分性成立,由图形的对成性当时,的面积为.所以不要性不成立.故选A.考点：1.直线与圆的位置关系.2.充要条件.【此处有视频，请去附件查看】6.抛物线的焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将抛物线的方程化为标准形式后可得焦点坐标．【详解】由题意得抛物线的标准方程为，∴焦点在轴的负半轴上，且，∴，∴抛物线的焦点坐标为．故选B．【点睛】本题考查抛物线的基本性质，解题的关键是把曲线方程化为标准形式，然后得到相关参数，进而得到所求，属于基础题．7.已知双曲线（a>0，b>0）的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由双曲线的渐近线方程为可得，即，由此可得，故双曲线的焦点为．再由题意得到抛物线的准线方程为，故得，于是可得曲线方程．【详解】由，得，即为双曲线的渐近线方程，又双曲线的一条渐近线方程是，∴，，∴，∴双曲线的焦点坐标为．又抛物线的准线方程为，双曲线的焦点在抛物线的准线上，∴，∴，∴双曲线的方程为．故选D．【点睛】（1）已知双曲线的标准方程求其渐近线方程时，可把等号后的“1”改为“0”，变形为一次的形式后即为渐近线的方程．（2）解答本题的关键是理清条件中各个量间的关系，求出双曲线方程中的参数的值．8.正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1BD与平面ABCD所成角的正切值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】画出图形，作出所求的角，然后通过解三角形得到正切值．【详解】如图，连，交于，则为的中点，连．∵ABCD－AB1C1D1是正方体，1∴，∴，∴即为平面A1BD与平面ABCD所成二面角的平面角．在中，，设正方体的棱长为，则，∴，∴平面A1BD与平面ABCD所成角的正切值为．故选A．【点睛】解答类似问题的关键是作出两平面所成角的平面角，将空间问题转化为平面问题求解，再通过解三角形的方法得到所求角（或其三角函数值），考查作图能力和计算能力，属于中档题．9.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，平面A1B1C1D1内的一动点P，满足到点A1的距离与到线段C1D1的距离相等，则线段PA长度的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，由题意得点P在以点A1为焦点、以C1D1为准线的抛物线上，由此可得点P坐标间的关系，然后根据空间中两点间的距离公式求解可得结果．【详解】如图，以A1D1的中点为原点，以A1D1为x轴建立如图所示的空间直角坐标系，则．由于动点P到点A1的距离与到线段C1D1的距离相等，所以点P在以点A1为焦点、以C1D1为准线的抛物线上．由题意得，在平面内，抛物线的方程为，设点P的坐标为，则，所以，又，所以当时，有最小值，且．故选C．【点睛】本题考查空间中两点间的距离公式及最值问题，解题的关键有两个：（1）建立空间直角坐标系，并得到相关点的坐标；（2）根据题意得到点P在抛物线上，进而消去一个参数将所求距离化为二次函数的问题处理．10.若存在直线l与曲线C1和曲线C2都相切，则称曲线C1和曲线C2为“相关曲线”，有下列四个命题：①有且只有两条直线l使得曲线C1：和曲线C2：为“相关曲线”；②曲线C1：和曲线C2：是“相关曲线”；③当b>a>0时，曲线C1：和曲线C2：一定不是“相关曲线”；④必存在正数a使得曲线C1：和曲线C2：为“相关曲线”.其中正确命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】【分析】根据“相关曲线”的定义，只需判断每个命题中的两条曲线是否有公切线即可，若有公切线，则为“相关曲线”，否则则不是．【详解】对于①，由题意得曲线C1是以(0,0)为圆心，2为半径的圆；曲线C2是以(2,−1)为圆心，半径为1的圆．两圆的圆心距为，由于，故两圆相交，因此有两条外公切线，故①正确．对于②，由题意得曲线C1，C2是共轭双曲线（它们各自在x轴上方的部分），具有相同的渐近线，因此两曲线没有公切线，故②不正确．对于③，因为b>a>0，在同一坐标系内画出两曲线，如下图中的图形．由图可得圆在抛物线的内部，所以两曲线不会有公切线，故③正确．对于④，当a=1时，曲线C1：，此时直线与曲线C1和曲线C2都相切，故④正确．综上可得有三个命题正确．故选C．【点睛】解答本题的关键是正确理解题意，并找出两曲线的公切线，解题时要注意对每个结论中两曲线形状、性质的分析和判定，进而得到两曲线是否有公切线．考查理解和运用知识解决问题的能力．二、填空题，共6小题.11.已知⊙M：，则⊙M的半径r=____________.【答案】【分析】把圆的一般方程化为标准方程后可得圆的半径．【详解】由题意得圆的标准方程为，所以该圆的圆心为，半径为．故答案为．【点睛】本题考查圆的一般方程和标准方程间的转化，考查变形能力和辨识能力，属于简单题．12.如图所示，正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，线段B'D'上有点H，满足D'H=1，则异面直线DH与CC'所成角的大小为___________.【答案】【解析】【分析】根据两异面直线所成角的定义得到即为所求的角（或其补角），结合条件在求解可得所求．【详解】如图，因为，所以即为异面直线DH与CC'所成的角（或其补角）．在中，，所以，所以异面直线DH与CC'所成的角为．故答案为．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，解题的关键是根据定义作出两直线所成的角，同时还应注意两异面直线所成角的范围，这一点在解题中容易被忽视．13.已知椭圆焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，则△F1PF2的周长为__________.【答案】【解析】【分析】结合图形根据椭圆的定义求解即可得到三角形的周长．【详解】由题意得．∵P为椭圆上一点，∴，∴△F1PF2的周长为．故答案为．【点睛】椭圆上的点和两焦点构成的三角形称为焦点三角形，解决有关焦点三角形的问题时往往要用到椭圆的定义，然后再结合正弦、余弦定理等知识求解，解题时注意整体代换（即椭圆定义）的应用．14.若向量，且夹角的余弦值为，则=__________.【答案】【解析】【分析】根据向量的数量积得到关于的方程，解方程可得所求的值．【详解】∵，∴．又夹角的余弦值为，∴，整理得，解得．当时，，不合题意，舍去．当时，，符合题意．∴．故答案为1．【点睛】本题考查空间向量数量积的应用，解题时根据数量积的两种表示方法得到关于参数的方程，求解后可得所求．本题也可直接根据夹角的求法得到关于参数的方程后求解．15.若椭圆W：的离心率是，则m=___________.【答案】或【解析】【分析】按照椭圆的焦点在轴和在轴上两种情况分别求解，可得所求结果．【详解】①当椭圆的焦点在轴上时，则有，由题意得，解得．②当椭圆的焦点在轴上时，则有，由题意得，解得．综上可得或．故答案为或．【点睛】解答本题的关键有两个：一个是注意分类讨论思想方法的运用，注意椭圆焦点所在的位置；二是解题时要分清椭圆方程中各个参数的几何意义，然后再根据离心率的定义求解．16.如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b（0<a<b），原点O为AD的中点，抛物线经过C，F两点，则=__________.【答案】【解析】试题分析：由题意，代入抛物线方程得：，因为，消去得：，化简整理得：，即，解得：，故填．考点：1．抛物线的标准方程；2．齐次方程的求解．【此处有视频，请去附件查看】三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.已知抛物线C：的焦点为F，直线l：y=与抛物线C交于A，B两点.（1）求AB弦长；（2）求△FAB的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用代数方法，根据弦长公式求解；（2）在（1）的基础上，再求出点F到直线AB的距离，最后根据三角形的面积公式求解即可．【详解】（1）由消去整理得，其中，设A（，），B（，）.则，.所以，所以=.（2）由题意得点F（1，0），故点F到直线AB的距离，所以.即△FAB的面积为．【点睛】直线和圆锥曲线相交所得的弦长即为两交点间的距离，解题时可根据弦长公式求解，由于涉及到大量的运算，所以解题中要注意“设而不求”和“整体代换”等方法的运用，以减少运算量，提高解题的效率和准确程度．18.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面A1AB⊥平面A1BC，且AH⊥A1B交线段A1B于点H，AB=BC=2，CC1=3.点M是棱CC1的中点.（1）证明：BC⊥平面A1AB；（2）求直线MB与平面A1BC所成角的正弦值.【答案】（1）详见解析；（2）【解析】【分析】（1）由平面A1AB⊥平面A1BC，且AH⊥A1B可得AH⊥平面A1BC，于是得AH⊥BC；再根据直三棱柱可得BC⊥B1B，于是可得BC⊥平面ABB1A1，即BC⊥平面A1AB；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量，利用向量的夹角可求出线面角的正弦值．【详解】（1）因为平面A1AB⊥平面A1BC，平面A1AB∩平面A1BC=A1B，AH⊥A1B，所以AH⊥平面A1BC．又BC平面A1BC，所以AH⊥BC．因为ABC－A1B1C1为直三棱柱，所以AA1⊥BC．又AA1∩AH=A，所以BC⊥平面ABB1A1，即BC⊥平面A1AB．（2）由BC⊥平面ABB1A1可得BC⊥AB，所以BA, BC, BB1两两垂直．以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，则,所以.设平面A1BC的法向量为，由，得，令得．设直线MB与平面A1BC所成的角为，则，即直线MB与平面A1BC所成角的正弦值为．【点睛】利用向量法求线面角时，可利用平面的法向量和直线的方向向量来求，即设平面的法向量为，直线的方向向量为，直线与平面所成的角为，则．解题时注意向量的夹角和直线与平面所成角之间的关系．19.如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，O为AD 中点，AB=1，AD=2，AC=CD=.（1）证明：直线AB∥平面PCO；（2）求二面角P－CD－A的余弦值；（3）在棱PB上是否存在点N，使AN⊥平面PCD，若存在，求线段BN的长度；若不存在，说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据条件AC=CD可得，又AB⊥AD，所以AB∥CO，然后根据线面平行的判定定理可得结论；（2）以O为原点建立空间直角坐标系，求出平面PCD和平面ABCD的法向量，根据两向量的夹角求解可得所求余弦值；（3）假设存在点N满足条件，设出点N的坐标，根据直线AN的方向向量和平面PCD的法向量平行可得结论．【详解】（1）因为AC=CD，O为AD中点，所以．又AB⊥AD，所以AB∥CO，又AB平面PCO，CO平面PCO，所以AB∥平面PCO．（2）因为PA=PD，所以PO⊥AD.又因为PO平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD.因为CO平面ABCD，所以PO⊥CO.因为AC=CD，所以CO⊥AD.如图建立空间直角坐标系O－.则A（0，1，0），B（1，1，0），C（2，0，0），D（0，－1，0），P（0，0，1）.设平面PCD的法向量为，则，得'令z=2，则．又平面ABCD的法向量为=（0，0，1），所以.由图形得二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．（3）假设存在点N是棱PB上一点，使得AN⊥平面PCD，则存在∈[0，1]使得，因此.由（2）得平面PCD的法向量为.因为AN⊥平面PCD，所以∥，即.解得=∈[0，1]，所以存在点N是棱PB上一点，使AN⊥平面PCD，此时=.【点睛】（1）用向量法求二面角时，先求出两平面法向量的夹角，再通过观察图形得到二面角为锐角还是钝角，最后才能得到结论．（2）解决立体几何中的探索性问题时，一般先假设存在满足条件的元素（点或线），然后以此作为条件进行推理，看能否得到矛盾，若得到矛盾，则假设不成立；若得不到矛盾，则假设成立．20.平面直角坐标系中，已知点M（，1）和点N（，）都在椭圆C：上.（1）求椭圆C的方程及其离心率e；（2）已知O是坐标系原点，一条直线l与椭圆C交于A，B两点，与y轴正半轴交于点P，令.试问：是否存在定点P，使得t为定值.若存在，求出点P的坐标和t的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1），；（2），.【解析】【分析】（1）将点M,N的坐标代入椭圆方程，求出的值后可得椭圆方程，进而可得离心率；（2）由题意直线的斜率存在，设其方程为，代入椭圆方程后消元得到关于的二次方程，结合根与系数的关系得到t=，故得当时t为定值，并可求出点P的坐标．【详解】（1）因为点M（，1）和点N（，）在椭圆上，所以，解得，所以椭圆C的方程为．又，所以离心率.（2）由题意得直线的斜率存，设直线l的方程为，由消去y整理得.因为直线直线与椭圆交于A，B两点，所以.（*）设直线l与椭圆C交于两点A，B，则，.根据条件可知P（0，m），则t=.所以当m2=1，即时，（*）式成立，t为定值－3，所以直线l过定点P（0，1），此时t=－3.【点睛】存在性问题通常采用“肯定顺推法”求解，将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．。

北京101中矿大分校2020-2021学年高一上学期10月月考数学试题Word版缺答案

北京101中矿大分校2021—2021学年度第一学期10月考试班级：姓名：得分：一、选择题〔每题4分，共44分〕1.集合{}1,2,3M =，那么以下关系正确的选项是〔〕A. 1M ∈B. 1M ∉C. 1M ⊆D. 1M ≠⊂ 2．“220x y +=〞是“0xy =〞的〔〕C. 充分必要条件3．如果0a b <<，那么以下不等式成立的是〔〕A ．11a b<B ．2ab b <C ．22a b <D ．2ab a -< 4．以下命题正确的选项是〔〕A ．假设a b >，那么22ac bc >B ．假设a b >，c d >，那么ac bd >C ．假设22ac bc >，那么a b >D ．假设a b >，c d >，那么a c b d ->-5.方程组⎩⎨⎧-=-=+13y x y x ，的解集为〔〕 A. {〔2，1〕}B.C.{1，2}D.{〔1，2〕} 21010x x 的解集是〔〕 A.1(,1)2 B.1(,1]2 C.1(,)2 D.(,1]7.假设0a ，那么1a a的最小值是〔〕A. 4B. 2C. 18.命题“x R ，20x 〞的否认是〔〕A.x R ，20xB.x R ，20xC.x R ，20xD.x R ，20x9.以下命题中正确的个数是〔〕①形如y kx b 的函数是一次函数； ②22x y 是||||x y 的充要条件；③假设,a b R 那么2a b ab ；④3322()()a b a b a ab b 10.a ，b 是实数，使a b >成立的一个充分而不必要的条件是〔〕〔A 〕1a b >-〔B 〕1a b >+ 〔C 〕22a b > 〔D 〕33a b >11. 某学习小组,调查鲜花市场价格得知，购置2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元，而购置4只玫瑰与5只康乃馨所需费用之和小于22元.设购置2只玫瑰花所需费用为A 元，购置3只康乃馨所需费用为B 元，那么,A B 的大小关系是〔〕A . AB >B . A B <C . A B =D . ,A B 的大小关系不确定二、填空题〔每题4分，共24分〕12.集合2{|280}A x x x ，{||1|4}B x x 那么A ∪B ＝13．设全集U ＝R ，假设A ＝{x |21x x -＞1}，那么UA =___________． 14. 假设{}21|220x x ax a ∈-+->，那么实数a 的取值范围为__________. 15.不等式210x kx -+<的解集为∅，那么实数k的取值范围为__________. 16．设1x y +=，,x y 均为正数，那么11x y+的最小值为．17．能说明“假设a b >，那么11a b <〞为假命题的一组,a b 的值依次为.三、解答题〔共32分〕18. 〔6分〕求方程组的解集〔1〕2122x y x y 〔2〕2202x y x y 19. 〔9分〕求以下不等式的解集〔1〕|21|2x 〔2〕2320x x 〔3〕102xx20．〔6分〕集合P ＝{x |x 2＋4x ＋3＝0}，Q ＝{x |x 2＋6x ＋a ＝0}，假设P ∪Q ＝P ，求实数a 的取值范围．21．〔6分〕关于x 的方程x 2+2(m-2)x+m 2+4=0有实数根。

2019年北京一零一中学新高一分班考试数学试题-真题-含详细解析

2019年北京一零一中学新高一分班考试数学试题真题一、选择题（本大题共8小题，共24分）1.如图，点D是OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD=√2，∠ADB=135°，S△ABD=2.若反比例函数y=x(x>0)的图象经过A、D两点，则k的值是()kA.2√2B.4C.3√2D.62.2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”.这个节日的昵称是“π(Day)”.国际数学日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是与圆周率数值最接近的数字．在古代，一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展水平的一个主要标志．我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年．以下对于圆周率的四个表述：①圆周率是一个有理数；②圆周率是一个无理数；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；④圆周率是一个与圆的大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比．其中表述正确的序号是()A.②③B.①③C.①④D.②④3.如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”.下列数中为“幸福数”的是()A.205B.2504C.502D.520114.如图，在平面直角坐标系中，函数y=x(x>0)与y=x−1的图象交于点P(a,b)，则代数式a−b的值为()A.−2B.2C.−4D.411115.“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，“可食用率”P 与加工煎炸时间t(单位：分钟)近似满足的函数关系为：p=at2+bt+c(a≠0,a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为()A.3.50分钟B.4.05分钟C.3.75分钟D.4.25分钟6.如图①，正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，E是OD的中点．动点P从点E出发，沿着E→O→B→A的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点A，在此过程中线段AP的长度y随着运动时间x的函数关系如图②所示，则AB的长为()A.4√2B.4C.3√3D.2√27.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边AB=a，BC=b，∠DAO=x，则点C到x轴的距离等于()A.acosx+bsinxB.acosx+bcosxC.asinx+bcosxD.asinx+bsinx8.已知二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc>0，②b−2a<0，③a−b+c>0，④a+b>n(an+b)，(n≠1)，⑤2c<3b．正确的是()二、填空题（本大题共9小题，共27分）9.已知y=√(x−4)2−x+5，当x分别取1，2，3，…，2020时，所对应y值的总和是______．10.如图，点C在线段AB上，且AC=2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG=______．第10题图第11题图11.如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB=18°，则这个正多边形的边数为______．12.如图，等腰△ABC的两个顶点A(−1,−4)、B(−4,−1)在反比例函数y=作边AB的垂线交反比例函数y=位长度，到达反比例函数y=k2xk1xk1x(x<0)的图象上，AC=BC.过点C(x<0)的图象于点D，动点P从点D出发，沿射线CD方向运动3√2个单(x>0)图象上一点，则k2=______．13.观察下列结论：(1)如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM=BN，则AN=CM，∠NOC=60°；(2)如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM=BN，则AN=DM，∠NOD=90°；(3)如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM=BN，则AN=EM，∠NOE=108°；…根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…An中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M=A2N，A1N与AnM相交于O.也会有类似的结论，你的结论是______．14.如图，∠MON=30°，在OM上截取OA1=√3.过点A1作A1B1⊥OM，交ON于点B1，以点B1为圆心，B1O为半径画弧，交OM于点A2；过点A2作A2B2⊥OM，交ON于点B2，以点B2为圆心，B2O为半径画弧，交OM于点A3；按此规律，所得线段A20B20的长等于______．15.某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A、B、C三个同学相同数量的扑克牌(假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多)，然后依次完成以下三个步骤：第一步，A同学拿出二张扑克牌给B同学；第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学；第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学．请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为______．16.如图，点P在以MN为直径的半圆上运动(点P不与M，N重合)，PQ⊥MN，NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F．(1)第16题图第17题图17.如图，在△ABC中，∠B=45°，AB=6√2，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，在直线DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、DG.若BF=3DG，且直线BF与直线DG互相垂直，则BG的长为______．三、解答题（本大题共10小题，共49分）18.本地某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费：寄件超过1千克的部分按千克计费．小丽分别寄快递到上海和北京，收费标准及实际收费如下表：收费标准目的地上海北京实际收费目的地上海北京求a，b的值．19.一只不透明的袋子中，装有三个大小、质地都相同的乒乓球，球面上分别标有字母A、O、K.搅匀后先从袋中任意摸出一个球，将对应字母记入图中的左边方格内；然后将球放回袋中搅匀，再从袋中任意摸出一个球，将对应字母记入图中的右边方格内．(1)第一次摸到字母A的概率为______；(2)用画树状图或列表等方法求两个方格中的字母从左往右恰好组成“OK”的概率．PFPQ+=______．(2)若PN2=PM⋅MN，则=______．PM NQPE MQ起步价(元)aa+3超过1千克的部分(元/千克)bb+4质量23费用(元)922(x> 20.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点A(0,−4)、B(2,0)，交反比例函数y=mx0)的图象于点C(3,a)，点P在反比例函数的图象上，横坐标为n(0<n<3)，PQ//y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求△DPQ面积的最大值．21.习近平总书记于2019年8月在兰州考察时说“黄河之滨也很美”.兰州是古丝绸之路商贸重镇，也是黄河唯一穿城而过的省会城市，被称为“黄河之都”.近年来，在市政府的积极治理下，兰州的空气质量得到极大改善，“兰州蓝”成为兰州市民引以为豪的城市名片．如图是根据兰州市环境保护局公布的2013～2019年各年的全年空气质量优良天数绘制的折线统计图．请结合统计图解答下列问题：(1)2019年比2013年的全年空气质量优良天数增加了______天；(2)这七年的全年空气质量优良天数的中位数是______天；(3)求这七年的全年空气质量优良天数的平均天数；(4)《兰州市“十三五”质量发展规划》中指出：2020年，确保兰州市全年空气质量优良天数比率达80%以上．试计算2020年(共366天)兰州市空气质量优良天数至少需要多少天才能达标．22.甲、乙两地的路程为290千米，一辆汽车早上8：00从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后．按原速继续前进，当离甲地路程为240千米时接到通知，要求中午12：00准时到达乙地．设汽车出发x 小时后离甲地的路程为y千米，图中折线OCDE表示接到通知前y与x之间的函数关系．(1)根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为______千米/小时；(2)求线段DE所表示的y与x之间的函数表达式；(3)接到通知后，汽车仍按原速行驶能否准时到达？请说明理由．23.如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，∠BAC=30°，BC=1．(1)点F到直线CA的距离是______；(2)固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF与CA重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形(用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法).该图形的面积为______；②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE=OB时，求OF的长．24.已知直线y =kx −2与抛物线y =x 2−bx +c(b,c 为常数，b >0)的一个交点为A(−1,0)，点M(m,0)是x 轴正半轴上的动点．(1)当直线y =kx −2与抛物线y =x 2−bx +c(b,c 为常数，b >0)的另一个交点为该抛物线的顶点E 时，求k ，b ，c 的值及抛物线顶点E 的坐标；(2)在(1)的条件下，设该抛物线与y 轴的交点为C ，若点Q 在抛物线上，且点Q 的横坐标为b ，当S △EQM =1S 时，求2△ACE m 的值；127√24(3)点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为b +2，当√2AM +2DM 的最小值为时，求b 的值．25.问题背景：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD =90°，∠BCD =90°，BA =BC ，∠ABC =120°，∠MBN =60°，∠MBN 绕B 点旋转，它的两边分别交AD 、DC 于E 、F.探究图中线段AE ，CF ，EF 之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长FC 到G ，使CG =AE ，连接BG ，先证明△BCG≌△BAE ，再证明△BFG≌△BFE ，可得出结论，他的结论就是______；探究延伸1：如图2，在四边形ABCD 中，∠BAD =90°，∠BCD =90°，BA =BC ，∠ABC =2∠MBN ，∠MBN 绕B 点旋转．它的两边分别交AD 、DC 于E 、F ，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论(直接写出“成立”或者“不成立”)，不要说明理由；探究延伸2：如图3，在四边形ABCD 中，BA =BC ，∠BAD +∠BCD =180°，∠ABC =2∠MBN ，∠MBN 绕B 点旋转．它的两边分别交AD 、DC 于E 、F.上述结论是否仍然成立？并说明理由；实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O 处)北偏西30°的A 处．舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E 、F 处．且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°.试求此时两舰艇之间的距离．26.如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点(Q在P、H之间).我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ⋅PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．(1)如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为(0,4).半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点______(填“A”.“B”、“C”或“D”)，⊙O关于直线m的“特征数”为______；②若直线n的函数表达式为y=√3x+4.求⊙O关于直线n的“特征数”；(2)在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M(1,4)，点F是坐标平面内一点，以F为圆心，√2为半径作⊙F.若⊙F与直线1相离，点N(−1,0)是⊙F关于直线1的“远点”.且⊙F关于直线l的“特征数”是4√5，求直线l的函数表达式．27.我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H点”.根据该约定，完成下列各题．(1)在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H函数”的打“×”．①y=2x(______)；(m≠0)(______)；②y=mx③y=3x−1(______).(2)若点A(1,m)与点B(n,−4)是关于x的“H函数”y=ax2+bx+c(a≠0)的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线x=2的右侧，求a，b，c的值或取值范围．(3)若关于x的“H函数”y=ax2+2bx+3c(a,b，c是常数)同时满足下列两个条件：①a+b+c=0，②(2c+b−a)(2c+b+3a)<0，求该“H函数”截x轴得到的线段长度的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：作AM ⊥y 轴于M ，延长BD ，交AM 于E ，设BC 与y 轴的交点为N ，∵四边形OABC 是平行四边形，∴OA//BC ，OA =BC ，∴∠AOM =∠CNM ，∵BD//y 轴，∴∠CBD =∠CNM ，∴∠AOM =∠CBD ，∵CD 与x 轴平行，BD 与y 轴平行，∴∠CDB =90°，BE ⊥AM ，∴∠CDB =∠AMO ，∴△AOM≌△CBD(AAS)，∴OM =BD =√2，∵S △ABD =2BD ⋅AE =2，BD =√2，∴AE =2√2，∵∠ADB =135°，∴∠ADE =45°，∴△ADE 是等腰直角三角形，∴DE =AE =2√2，∴D 的纵坐标为3√2，设A(m,√2)，则D(m −2√2,3√2)，∵反比例函数y =x(x >0)的图象经过A 、D 两点，∴k =√2m =(m −2√2)×3√2，解得m =3√2，∴k =√2m =6．故选：D ．根据三角形面积公式求得AE =2√2，易证得△AOM≌△CBD(AAS)，得出OM =BD =√2，根据题意得出△ADE 是等腰直角三角形，得出DE =AE =2√2，设A(m,√2)，则D(m −2√2,3√2)，根据反比例函数系数k 的几何意义得出关于m 的方程，解方程求得m =3√2，进一步求得k =6．k 1本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积等，表示出A 、D 的坐标是解题的关键．2.【答案】A【解析】解：因为圆周率是一个无理数，是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比，所以表述正确的序号是②③；故选：A ．根据实数的分类和π的特点进行解答即可得出答案．此题考查了实数，熟练掌握实数的分类和“π”的意义是解题的关键．3.【答案】D【解析】解：设较小的奇数为x ，较大的为x +2，根据题意得：(x +2)2−x 2=(x +2−x)(x +2+x)=4x +4，若4x +4=205，即x =若4x +4=250，即x =若4x +4=502，即x =201424644984，不为整数，不符合题意；，不为整数，不符合题意；，不为整数，不符合题意；若4x +4=520，即x =129，符合题意．故选：D ．设较小的奇数为x ，较大的为x +2，根据题意列出方程，求出解判断即可．此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．4.【答案】C【解析】解：由题意得，x =2x =2x {(舍去)，，解得，{或{−1−√17√17−1y =x −1y =2y =2y =∴点P(1+√17√17−1,2)，21+√172241+√171−√17即：a =11，b =√217−12，1∴a −b =1+故选：C ．√−17=−4，√17−1根据函数的关系式可求出交点坐标，进而确定a 、b 的值，代入计算即可．本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，求出交点坐标是正确计算的前提．5.【答案】C【解析】解：将图象中的三个点(3,0.8)、(4,0.9)、(5,0.6)代入函数关系p=at2+bt+c中，9a+3b+c=0.8{16a+4b+c=0.9，25a+5b+c=0.6a=−0.2解得{b=1.5，c=−1.9所以函数关系式为：p=−0.2t2+1.5t−1.9，由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标：t=−b2a =− 1.52×(−0.2)=3.75，则当t=3.75分钟时，可以得到最佳时间．故选：C．将图象中的三个点(3,0.8)、(4,0.9)、(5,0.6)代入函数关系p=at2+bt+c中，可得函数关系式为：p=−0.2t2+ 1.5t−1.9，再根据加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标，求出即可得结论．本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．6.【答案】A【解析】解：如图，连接AE．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA=OC=OD=OB，由题意DE=OE，设DE=OE=x，则OA=OD=2x，∵AE=2√5，∴x2+(2x)2=(2√5)2，解得x=2或−2(不合题意舍弃)，∴OA=OD=4，∴AB=AD=4√2，故选：A．连接AE，由题意DE=OE，设DE=OE=x，则OA=OD=2x，AE=2√5，在Rt△AEO中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．本题考查动点问题，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意读懂图象信息，属于中考常考题型．7.【答案】A【解析】解：作CE⊥y轴于E，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=a，AD=BC=b，∠ADC=90°，∴∠CDE+∠ADO=90°，∵∠AOD=90°，∴∠DAO+∠ADO=90°，∴∠CDE=∠DAO=x，∵sin∠DAO=AD ，cos∠CDE=CD，∴OD=AD×sin∠DAO=bsinx，DE=D×cos∠CDE=acosx，∴OE=DE+OD=acosx+bsinx，∴点C到x轴的距离等于acosx+bsinx；故选：A．作CE⊥y轴于E，由矩形的性质得出CD=AB=a，AD=BC=b，∠ADC=90°，证出∠CDE=∠DAO=x，由三角函数定义得出OD=bsinx，DE=acosx，进而得出答案．本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的性质和三角函数定义是解题的关键．OD DE8.【答案】D【解析】解：①由图象可知：a<0，b>0，c>0，abc<0，故此选项错误；②由于a<0，所以−2a>0．又b>0，所以b−2a>0，故此选项错误；③当x=−1时，y=a−b+c<0，故此选项错误；④当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，而当x=n时，y=an2+bn+c，所以a +b +c >an 2+bn +c ，故a +b >an 2+bn ，即a +b >n(an +b)，故此选项正确；⑤当x =3时函数值小于0，y =9a +3b +c <0，且该抛物线对称轴是直线x =−2a =1，即a =−2，代入得9(−)+3b +c <0，得2c <3b ，故此选项正确；2故④⑤正确．故选：D ．由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y =ax 2+bx +c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．b b b 9.【答案】2032【解析】解：当x <4时，原式=4−x −x +5=−2x +9，当x =1时，原式=7；当x =2时，原式=5；当x =3时，原式=3；当x ≥4时，原式=x −4−x +5=1，∴当x 分别取1，2，3，…，2020时，所对应y 值的总和是：7+5+3+1+1+⋯+1=15+1×2017=2032．故答案为：2032．直接把已知数据代入进而得出变化规律即可得出答案．此题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题关键．10.【答案】2【解析】解：连接CG ，在正方形ACDE 、BCFG 中，∠ECA =∠GCB =45°，∴∠ECG =90°，设AC =2，BC =1，1∴CE =2√2，CG =√2，∴tan∠GEC =EC =2，故答案为：2．根据正方形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．本题考查正方形，解题的关键是熟练运用正方形的性质以及锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．1CG 111.【答案】10【解析】解：连接OA ，OB ，∵A 、B 、C 、D 为一个正多边形的顶点，O 为正多边形的中心，∴点A 、B 、C 、D 在以点O 为圆心，OA 为半径的同一个圆上，∵∠ADB =18°，∴∠AOB =2∠ADB =36°，∴这个正多边形的边数=故答案为：10．连接OA ，OB ，根据圆周角定理得到∠AOB =2∠ADB =36°，于是得到结论．本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键．360°36∘=10，12.【答案】1【解析】解：把A(−1,−4)代入y =∴反比例函数y =k 1k 1x中得，k 1=4，为y =x，x 4∵A(−1,−4)、B(−4,−1)，∴AB 的垂直平分线为y =x ，4x =−2x =2y =x ，解得{联立方程驵{，或{，y =−2y =2y =x∵AC =BC ，CD ⊥AB ，∴CD 是AB 的垂直平分线，∵CD 与反比例函数y =∴D(−2,−2)，∵动点P 从点D 出发，沿射线CD 方向运动3√2个单位长度，到达反比例函数y =∴设移动后的点P 的坐标为(m,m)(m >−2)，则(x +2)2+(x +2)2=(3√2)2，k 2xk 1x(x <0)的图象于点D ，(x >0)图象上一点，∴x=1，∴P(1,1)，把P(1,1)代入y=故答案为：1．用待定系数求得反比例函数y=后将求得的P点坐标代入y=k2x k 1 xk 2 x (x>0)中，得k2=1，，再与直线y=x联立方程组求得D点坐标，再题意求得运动后P点的坐标，最(x>0)求得结果．本题主要考查了反比例函数的图象与性质，等腰三角形的性质，求反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标，待定系数法，关键是确定直线CD的解析式．13.【答案】A1N=AnM，∠NOAn=(n2)×180°n【解析】解：∵(1)如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM=BN，则AN=CM，∠NOC=(32)×180°3=60°；(42)×180°4 (2)如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM=BN，则AN=DM，∠NOD=90°；= (3)如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM=BN，则AN=EM，∠NOE=108°；…根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…An中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M=A2N，A1N与AnM相交于O．也有类似的结论是A1N=AnM，∠NOAn=故答案为：A1N=AnM，∠NOAn=n(n2)×180°n(52)×180°5=．(n2)×180°．根据已知所给得到规律，进而可得在正n边形A1A2A3A4…An中，对相邻的三边实施同样的操作过程会有类似的结论．本题考查了正多边形和圆、规律型：图形的变化类、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握正多边形的性质．14.【答案】219【解析】解：∵B1O=B1A1，B1A1⊥OA2，∴OA1=A1A2，∵B 2A 2⊥OM ，B 1A 1⊥OM ，∴B 1A 1//B 2A 2，∴B 1A 1=2A 2B 2，∴A 2B 2=2A 1B 1，同法可得A 3B 3=2A 2B 2=22⋅A 1B 1，…，由此规律可得A 20B 20=219⋅A 1B 1，∵A 1B 1=OA 1⋅tan30°=√3×∴A 20B 20=219，故答案为219．利用三角形中位线定理证明A 2B 2=2A 1B 1，A 3B 3=2A 2B 2=22⋅A 1B 1，寻找规律解决问题即可．本题考查解直角三角形，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．√331=1，15.【答案】7【解析】解：设每人有牌x 张，B 同学从A 同学处拿来二张扑克牌，又从C 同学处拿来三张扑克牌后，则B 同学有(x +2+3)张牌，A 同学有(x −2)张牌，那么给A 同学后B 同学手中剩余的扑克牌的张数为：x +2+3−(x −2)=x +5−x +2=7．故答案为：7．本题是整式加减法的综合运用，设每人有牌x 张，解答时依题意列出算式，求出答案．本题考查了整式的加减法，此题目的关键是注意要表示清A 同学有(x −2)张．16.【答案】1√5−12【解析】解：(1)∵MN 为⊙O 的直径，∴∠MPN =90°，∵PQ ⊥MN ，∴∠PQN =∠MPN =90°，∵NE 平分∠PNM ，∴∠MNE =∠PNE ，∴△PEN∽△QFN ，∴QF =QN ，即PN =QN ①，∵∠PNQ +∠NPQ =∠PNQ +∠PMQ =90°，PE PN PE QF∴∠NPQ =∠PMQ ，∵∠PQN =∠PQM =90°，∴△NPQ∽△PMQ ，∴PNMP =NQ PQ②，PE QF ∴①×②得PM =PQ，∵QF =PQ −PF ，∴PM =PQ =1−PQ，∴PF PQ PEQF PF +PE PM=1，故答案为：1；(2)∵∠PNQ =∠MNP ，∠NQP =∠NPQ ，∴△NPQ∽△NMP ，∴MN =PN，∴PN 2=QN ⋅MN ，∵PN 2=PM ⋅MN ，∴PM =QN ，∴MQ NQ PNQN =MQ PM，MQ PM ∵tan∠M =∴∴MQ NQ MQ NQ PM =PM MN ，=MN ，=NQ MQ+NQ，MQ 2NQ 2∴NQ 2=MQ 2+MQ ⋅NQ ，即1=设NQ =x ，则x 2+x −1=0，MQ+MQ NQ，解得，x =√，或x =−√<0(舍去)，22∴MQ NQ 5−15+1=√5−1，25−12故答案为：√．PE QF PN NQ (1)证明△PEN∽△QFN ，得PN =QN ①，证明△NPQ∽△PMQ ，得MP =式便可求得结果；②，再①×②得PM =PQ，再变形比例PQ PE QF (2)证明△NPQ∽△NMP ，得PN 2=NQ ⋅MN ，结合已知条件得PM =NQ ，再根据三角函数得NQ =MN ，进而得MQ PMMQ与NQ的方程，再解一元二次方程得答案．本题主要考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，角平分线的定义，关键是灵活地变换比例式．17.【答案】4【解析】解：如图，过点B作BT⊥BF交ED的延长线于T，过点B作BH⊥DT于H．∵DG⊥BF，BT⊥BF，∴DG//BT，∵AD=DB，AE=EC，∴DE//BC，∴四边形DGBT是平行四边形，∴BG=DT，DG=BT，∠BDH=∠ABC=45°，∵AD=DB=3√2，∴BH=DH=3，∵∠TBF=∠BHF=90°，∴∠TBH+∠FBH=90°，∠FBH+∠F=90°，∴∠TBH=∠F，∴tan∠F=tan∠TBH=∴=，BH3TH1BTBF=DGBF=，31∴TH=1，∴DT=TH+DH=1+3=4，∴BG=4．故答案为4．如图，过点B作BT⊥BF交ED的延长线于T，过点B作BH⊥DT于H，证明四边形DGBT是平行四边形，求出DH，TH即可解决问题．本题考查相似三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．18.【答案】解：依题意，得：{a+3+(3−1)(b+4)=22，a+(2−1)b=9a=7解得：{．b=2答：a的值为7，b的值为2．【解析】根据小丽分别寄快递到上海和北京的快递质量和费用，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论．本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．19.【答案】3【解析】解：(1)共有3种可能出现的结果，其中是A的只有1种，因此第1次摸到A的概率为3，故答案为：3；(2)用树状图表示所有可能出现的结果如下：111共有9种可能出现的结果，其中从左到右能构成“OK”的只有1种，∴P(组成OK)=．9(1)共有3种可能出现的结果，其中是A的只有1种，可求出概率；(2)用树状图表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率．本题考查树状图或列表法求随机事件发生的概率，列举出所有等可能出现的结果情况是得出正确答案的关键．120.【答案】解：(1)把A(0,−4)、B(2,0)代入一次函数y=kx+b得，b=−4k=2{，解得，{，2k+b=0b=−4∴一次函数的关系式为y=2x−4，当x=3时，y=2×3−4=2，∴点C(3,2)，∵点C在反比例函数的图象上，∴k=3×2=6，∴反比例函数的关系式为y=x，答：一次函数的关系式为y=2x−4，反比例函数的关系式为y=x；(2)点P在反比例函数的图象上，点Q在一次函数的图象上，∴点P(n,n)，点Q(n,2n−4)，∴PQ=n−(2n−4)，∴S△PDQ =n[−(2n−4)]=−n2+2n+3=−(n−1)2+4，2n166666∴当n=1时，S最大=4，答：△DPQ面积的最大值是4．【解析】(1)由A(0,−4)、B(2,0)的坐标可求出一次函数的关系式，进而求出点C的坐标，确定反比例函数的关系式；(2)根据题意，要使三角形PDQ的面积最大，可用点P的横坐标n，表示三角形PDQ的面积，依据二次函数的最大值的计算方法求出结果即可．本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是求函数关系式的常用方法，将面积用函数的数学模型表示出来，利用函数的最值求解，是解决问题的基本思路．21.【答案】26254【解析】解：(1)∵296−270=26，∴2019年比2013年的全年空气质量优良天数增加了26天；故答案为：26；(2)∵这七年的全年空气质量优良天数分别为：213，233，250，254，270，296，313，∴这七年的全年空气质量优良天数的中位数是254天；故答案为：254；(3)∵x=7(213+233+250+254+270+296+313)≈261(天)，则这七年的全年空气质量优良天数的平均天数为261天；(4)∵全年空气质量优良天数比率达80%以上．∴366×80%=292.8≈293(天)，则兰州市空气质量优良天数至少需要293天才能达标．−1(1)根据折线统计图可得2019年比2013年的全年空气质量优良天数增加的天数；(2)先将这七年的全年空气质量优良天数从小到大排列，即可得中位数；(3)根据表格数据利用加权平均数公式即可求这七年的全年空气质量优良天数的平均天数；(4)用80%×366即可得兰州市空气质量能达标的优良天数．本题考查了折线统计图、加权平均数、中位数，解决本题的关键是掌握折线统计图．22.【答案】80【解析】解：(1)由图象可知，休息前汽车行驶的速度为80千米/小时；故答案为：80；(2)休息后按原速继续前进行驶的时间为：(240−80)÷80=(小时)，∴点E的坐标为(3.5,240)，设线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为y=kx+b，则：1.5k+b=80k=80{，解得{，3.5k+b=240b=−40∴线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为：y=80x−40；(3)接到通知后，汽车仍按原速行驶，则全程所需时间为：290÷80+0.5=4.125(小时)，12：00−8：00=4(小时)，4.125>4，所以接到通知后，汽车仍按原速行驶不能准时到达．(1)观察图象即可得出休息前汽车行驶的速度；(2)根据题意求出点E的横坐标，再利用待定系数法解答即可；(3)求出到达乙地所行驶的时间即可解答．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．π23.【答案】112【解析】解：(1)如图1中，作FD⊥AC于D，∵Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，∠BAC=30°，BC=1．∴∠ACB=60°，∠FCE=∠BAC=30°，AC=CF，∴∠ACF=30°，∴∠BAC=∠FCD，在△ABC和△CDF中，∠BAC=∠FCD{∠ABC=∠CDF，AC=CF∴△ABC≌△CDF(AAS)，∴FD=BC=1，故答案为1；(2)线段EF经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E落在CF上的点H处．S阴=S△EFC+S扇形ACF−S扇形CEH−S△AHC=S扇形ACF−S扇形ECH=故答案为12．(3)如图2中，过点E作EH⊥CF于H.设OB=OE=x．π30⋅π⋅22360−30⋅π⋅(√3)2360=12．π在Rt △ECF 中，∵EF =1，∠ECF =30°，EH ⊥CF ，∴EC =√3EF =√3，EH =√3，CH 2=√3EH =2，3在Rt △BOC 中，OC =√OB 2+BC 2=√1+x 2，∴OH =CH =OC =−√1+x 2，23在Rt △EOH 中，则有x 2=(√)2+(−√1+x 2)2，2233解得x =√或−√(不合题意舍弃)，334√7∴OC =√1+(3)2=3，77∵CF =2EF =2，∴OF =CF −OC =2−3=3．(1)如图1中，作FD ⊥AC 于D.证明△ABC≌△CDF(AAS)可得结论．(2)线段EF 经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E 落在CF 上的点H 处．根据S 阴=S △EFC +S 扇形ACF −S 扇形CEH −S △AHC =S 扇形ACF 计算即可．(3)如图2中，过点E 作EH ⊥CF 于H.设OB =OE =x.在Rt △EOH 中，利用勾股定理构建方程求解即可．本题考查作图−旋转变换，解直角三角形，全等三角形的性质，扇形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．4224.【答案】解：(1)∵直线y =kx −2与抛物线y =x 2−bx +c(b,c 为常数，b >0)的一个交点为A(−1,0)，∴−k −2=0，1+b +c =0，∴k =−2，c =−b −1，∴直线y =kx −2的解析式为y =−2x −2，∵抛物线y =x 2−bx +c 的顶点坐标为E(,2∴E(2,b −4b−4−b 24b 4c−b 24)，)，∵直线y =−2x −2与抛物线y =x 2−bx +c(b,c 为常数，b >0)的另一个交点为该抛物线的顶点E ，∴−4b−4−b 24=−2×2−2，b解得，b=2，或B=−2(舍)，当b=2时，c=−3，∴E(1,−4)，故k=−2，b=2，c=−3，E(1,−4)；(2)由(1)知，直线的解析式为y=−2x−2，抛物线的解析式为y=x2−2x−3，∴C(0,−3)，Q(2,−3)，如图1，设直线y=−2x−2与y轴交点为N，则N(0,−2)，∴CN=1，∴S△ACE=S△ACN+S△ECN=×1×1+×1×1=1，2211∴S△EQM=，2设直线EQ与x轴的交点为D，显然点M不能与点D重合，设直线EQ的解析式为y=dx+n(d≠0)，2d+n=−3则{，d+n=−4d=1解得，{，n=−5∴直线EQ的解析式为y=x−5，∴D(5,0)，∴S△EQM=S△EDM=S△QDM=2DM×|−4|−2DM×|−3|=2DM=2|5−m|=2，解得，m=4，或m=6；(3)∵点D(b+2,yD)在抛物线y=x2−bx−b−1上，∴yD=(b+2)2−b(b+2)−b−1=−2−4，可知点D(b+2,−2−4)在第四象限，且在直线x=b的右侧，1b311b3111111 1。

101坑班真题A5301

2012-2013学年暑期五年级讲义第一讲分数与百分数问题一、知识要点：1、分数、百分数应用题是研究数量之间份数关系的典型应用题．在解这类问题时，分析题中的数量之间关系，准确找出“量”与“率”间的对应是解题的关键．分数应用题涉及的知识面广，题目变化的形式多，解题的思路宽，它既有独特的思维方式，又有基本的解题思路．正确辨认应用题中的“标准数”，这是解答分数、百分数应用题的关键．在确定“标准数”时，要特别注意分析应用题中含有“分率”或“百分率”的词句．当正确地确定题中的“标准数”以后，就可以找出题中各个数量间的对应关系．2、常见基本题型：①求一个数是另一个数的几（百）分之几的应用题； ②求一个数的几（百）分之几是多少的应用题；③已知一个数的几（百）分之几是多少，求这个数的应用题． 3、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面：① 具备整数应用题的解题能力．解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等仍广泛应用于分数、百分数应用题；② 在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用；③ 学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理；④ 学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，不断地开拓解题思路．（教学时可采用算式和方程两种方法）二、例题讲解：例1. 桃树棵数的53和梨树棵数94相等．两种果树共有141棵，两种树各有多少棵？例2. 甲数是乙数、丙数、丁数之和的21，乙数是甲数、丙数、丁数之和的31，丙数是甲数、乙数、丁数之和的41．已知丁数是260，求甲数、乙数、丙数、丁数之和．例3. 一篓苹果分给甲、乙、丙三人，甲分得全部苹果的51加5个苹果，乙分得全部苹果的41加7个苹果，丙分得其余苹果的21，最后剩下的苹果正好等于一篓苹果的81．这篓苹果有多少个？例4.有一桶油，第一次取出40％，第二次比第一次少取出10千克，桶里还剩30千克油．这桶油原来有多少千克？例5.有若干堆围棋，每堆的棋子数量是一样多的，且每堆中白子都占28%，小明从某一堆中拿走一半棋子后，而且拿走的棋子都是黑子，现在，在所有的棋子中，白棋子占32%，那么一共有棋子多少堆呢？例6.某区举行小学生春季运动会，其中某学校参加的人数占总人数的115，若这个学校再多去10名运动员，则该校人数占总人数的223，问这次运动会共有运动员多少人？这个学校原有多少人参加？例7.某学校男、女学生人数比为3:2，将所有学生分成甲乙丙三组，人数比为10:8:7，甲组中，男:女=3:1，乙组男:女=5:3，问丙组中男:女是多少？例8.甲乙两个大水杯（每个能装2000克的水）中各有水1000克。

101坑班历年真题汇总+答案详解

101真题汇总一、选择⒈、玛丽参加一次数学竞赛，共有12道题，计分标准是：做对第K 题记K 分，做错第K 题扣K 分（K ＝1、2、3、…、12），玛丽做了全部题目，得了60分。

现在知道玛丽做错了3道题，那么错题号可能为（）。

A. ⑨②①B. ⑥②① C . ⑤③① D . ④③②2、若干名战士排成8列长方形的队列，若增加120人或减少120人都能组成一个新的正方形队列，那么，原有战士( )人。

A 、.904B 、 136C 、 240D 、 3603、在一条笔直的公路上，有两个骑车人从相差500米的A 、B 两地同时出发。

甲从A 地出发,每分钟行驶600米, 乙从B 地出发，每分钟行驶500米，经过( )分钟两人相距2500米。

A 、2118 B 、1119 C 、20 D 、30二、填空 4、计算：（3117＋4138＋51715）÷（2112＋21310＋3179）5、数学考试有一道题是计算4个分数35、23、813、58的平均值，小明很粗心，把其中一个个分数的分子和分母抄颠倒了，问抄错后的平均值和正确的答案最大相差。

6、六年级某班学生中有161的学生年龄为13岁，有43的学生年龄为12岁，其佘学生年龄为11岁，这个班学生的平均年龄是岁。

三、解答7、如图，过平行四边形ABCD 内一点P 画一条直线，将平行四边形分成面积相等的两部分(画图并说明方法)。

8、将1到9填入下图中，使5条线上的数字之和都等于18，共有多少种填法？9、把11块相同的长方体的砖拼成如图所示的大长方体，已知每块砖的体积是288cm 3，则大长方体的表面积为多少?10、将1、2、3、……、2000、2001、2002这2002个数从小到大排成一列，算出前面999个数的平均数及后面1003个数的平均数，这两个平均数的差是多少？1、分析：如果全做对应该得到1+2+3+…+12=78分，如果答错第Κ题，不仅得不到Κ分，还要倒扣Κ分，净损失2Κ分。

2021-2022年度北京101中学12月月考试卷(含答案)

2021～2022学年北京市101中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每题2分，共16分。

1．（2分）下列自然能源图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A．【点评】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后和原图形重合．2．（2分）抛物线y＝2（x﹣1）2+5的顶点坐标是（）A．（1，5）B．（2，1）C．（2，5）D．（﹣1，5）【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．【解答】解：抛物线y＝2（x﹣1）2+5的顶点坐标是（1，5）．故选：A．【点评】本题考查二次函数的性质，记住顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．3．（2分）点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）是反比例函数图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＜y2＜y1B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y1＜y2【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据各点横坐标的特点进行解答即可【解答】解：∵中，k＝2＞0，∴反比例函数图象在一、三象限，并且在每一象限内y随x的增大而减小，∵﹣1＜0，∴A点在第三象限，∴y1＜0，∵2＞1＞0，∴B、C两点在第一象限，∴y2＞y3＞0，∴y1＜y3＜y2．故选：B．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．4．（2分）⊙O的半径为3，点P在⊙O外，点P到圆心的距离为d，则d需要满足的条件（）A．d＞3B．d＝3C．0＜d＜3D．无法确定【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法求解．【解答】解：∵点P在⊙O外，∴d＞3．故选：A．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．5．（2分）不透明的袋子里有50张2022年北京冬奥会宣传卡片，卡片上印有会徽、吉祥物冰墩墩、吉祥物雪容融图案，每张卡片只有一种图案，除图案不同外其余均相同，其中印有冰墩墩的卡片共有n张．从中随机摸出1张卡片，若印有冰墩墩图案的概率是，则n的值是（）A．250B．10C．5D．1【分析】根据概率的意义列方程求解即可．【解答】解：由题意得，＝，解得n＝10，故选：B．【点评】本题考查概率的意义及计算方法，理解概率的意义是正确求解的关键．6．（2分）若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（）A．πB．2πC．3πD．6π【分析】根据弧长公式计算．【解答】解：该扇形的弧长＝＝3π．故选：C．【点评】本题考查了弧长的计算：弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．7．（2分）如图，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx交于M，N两点，则二次函数y＝ax2+（b﹣k）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据直线y＝kx与抛物线y2＝ax2+bx+c相交于M、N两点，可以得到方程kx＝ax2+bx+c有两个不同的根，从而可以得到函数y＝ax2+（b﹣k）x+c与x轴的交点个数和交点的正负情况，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx交于M，N两点，∴kx＝ax2+bx+c有两个不同的根，即ax2+（b﹣k）x+c＝0有两个不同的根且都小于0，∴函数y＝ax2+（b﹣k）x+c与x轴两个交点且都在x轴的负半轴，故选：A．【点评】本题考查二次函数的性质、一元二次方程与二次函数的关系、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8．（2分）如图，点M坐标为（0，2），点A坐标为（2，0），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，当线段OD取得最大值时，点D的坐标为（）A．（0，）B．（1，）C．（2，2）D．（2，4）【分析】根据垂径定理得到OA＝OB，然后根据三角形中位线定理得到OD∥BC，OD＝BC，即当BC取得最大值时，线段OD取得最大值，根据圆周角定理得到CA⊥x轴，进而求得△OAD是等腰直角三角形，即可得到AD＝OA＝2，得到D的坐标为（2，2）．【解答】解：∵OM⊥AB，∴OA＝OB，∵AD＝CD，∴OD∥BC，OD＝BC，∴当BC取得最大值时，线段OD取得最大值，如图，∵BC为直径，∴∠CAB＝90°，∴CA⊥x轴，∵OB＝OA＝OM，∴∠ABC＝45°，∵OD∥BC，∴∠AOD＝45°，∴△AOD是等腰直角三角形，∴AD＝OA＝2，∴D的坐标为（2，2），故选：C．【点评】本题考查了点和圆的位置关系，垂径定理、圆周角定理以及三角形中位线定理，明确当BC为直径时，线段OD取得最大值是解题的关键．二、填空题共8小题，每题2分，共16分。

2025届北京一零一中高三数学上学期统练试卷(三)附答案解析

北京一零一中2024-2025 学年度第一学期高三数学统练三班级：＿＿＿＿学号：＿＿＿＿姓名：＿＿＿＿成绩：＿＿＿＿一、选择题共 10小题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 在复平面内，复数z 满足i 34i z =-，则z 的虚部为（）A. 3i B. 3i -C. 3 D. 3-【答案】D 【解析】【分析】由 i 34i z =-，化简得到43i z =--求解.【详解】解：因为复数 z 满足 i 34i z =-，所以34i43i iz -==--，所以z 的虚部为-3，故选：D2. 已知{}n b 是等比数列，若23b =，627b =，则4b 的值为（）A. 9 B. 9- C. 9± D. 81【答案】A 【解析】【分析】根据等比中项的性质即可得到答案.【详解】由题得242632781b b b =×=´=，而2420b b q =×>，则49b =，故选：A.3. 已知函数()f x 的导函数()f x ¢的图象如图所示，则()f x 的极小值点为（）A. 1x 和4xB. 2xC. 3xD. 5x 【答案】D【解析】【分析】根据导函数的图像，确定导函数取得正负的区间，得到原函数的单调性，从而可得选项.【详解】因为当()3,x x Î-¥，()0f x ¢>，所以()f x 单调递增；当()35,x x x Î时，()0f x ¢<，当()5,x x Î+¥时，()0f x ¢>，所以()f x 在()35,x x 上单调递减，在()5,x +¥上单调递增，故()f x 的极小值点为5x .故选：D.4. 在同一个坐标系中，函数()log a f x x =，()xg x a-=，()ah x x =的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】先根据的单调性相反排除AD ，然后根据幂函数图象判断出a 的范围，由此可得答案.【详解】因为在同一坐标系中，所以函数()log a f x x =，()1xx g x a a -æö==ç÷èø的单调性一定相反，且图象均不过原点，故排除AD ；在BC 选项中，过原点的图象为幂函数()ah x x =的图象，且由图象可知01a <<，所以()log a f x x =单调递减，()1xx g x a a -æö==ç÷èø单调递增，故排除B ，所以C 正确.故选：C.5. 已知实数,0a b c abc >>¹，则下列结论一定正确的是（）A. a a b c >B. ab bc >C. 11a c< D. 2ab bc ac b +>+【答案】D 【解析】【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可.【详解】解：由题可知，0,0,0a b c ¹¹¹，A 项中，若0a b c >>>，则a ab c<，故A 项错误；B 项中，若0>>>a b c ，则0,0ab bc <>，故ab bc <，故B 项错误；C 项中，若0>>>a b c ，则11a c>，故C 项错误；D 项中，22()()ab ac b bc a ab bc b c b c a b c b Þ->-Þ-+>->+，因为,0a b c abc >>¹，则0b c ->，故2ab bc ac b +>+正确，故D 项正确.故选：D.6. 设,a b r r 是非零向量，则“a b a b +=-r r r r ”是“//a b r r”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据题意利用平面向量的三角不等式可得结论.【详解】对于充分性，易知a b a b +=-r r r r 成立的条件是,a b r r 方向相反，且a b >rr ，所以由a b a b +=-r r r r 可得//a b r r，所以充分性成立；对于必要性，若//a b r r ，,a b r r的方向也可以相同，此时满足a b a b +=+r r r r ，因此必要性不成立，所以“a b a b +=-r r r r ”是“//a b r r”的充分而不必要条件.故选：A.7. 已知函数()()()cos 20,πf x A x A j j =+><是奇函数，且3π14f æö=-ç÷èø，将()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数为()g x ，则（）A. ()sin g x x = B. ()sin g x x=-C. ()πcos 4g x x æö=+ç÷èøD. ()πcos 4g x x æö=-ç÷èø【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的性质及图象变换计算即可.【详解】由题意可知()ππZ 2k k j =+Î，π<j ，所以π2j =或π2j =-，由3π3π1cos 142f A j æöæö=-=+=-ç÷ç÷èøèø因为3π0cos 02A j æö>Þ+<ç÷èø，所以π,12A j =-=，即()πcos 2sin 22f x x x æö=-=ç÷èø，故()sin g x x =.故选：A .8. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.若甲、乙两同学当下的知识储备量均为a ，甲同学每天的“进步”率和乙同学每天的“退步”率均为2%.n 天后，甲同学的知识储备量为()12%na +，乙同学的知识储备量为()12%na -，则甲、乙的知识储备量之比为2时，需要经过的天数约为（）（参考数据：lg20.3010»，lg102 2.0086»，lg98 1.9912»）A. 15B. 18C. 30D. 35【答案】B 【解析】【分析】根据题意列式，结合对数运算，即可求得答案.【详解】由题意可设经过n 天后甲、乙知识储备量之比为2，则()()12%1022,29812%nnnn aa+=\=-，则lg20.3010(lg102lg98)lg2,18lg102lg98 2.0086 1.9912n n -=\=»»--（天），故选：B9. 若数列{}n a 满足12a =，1123n nn S S n a +++=+，则88S a +的值为（）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】B的【解析】【分析】由n S 与n a 的关系求得()()112n n S n S n +=++，从而1n S n ìüíý+îþ为常数列，得到1n S n =+，即可求88S a +的值.【详解】由11n n n S S a ++-=及1123n nn S S n a +++=+得()()1123n n n n S S n S S +++=+-，即()()112323n n n n S S n S n S ++-+=++，即()()112n n S n S n +=++，所以112n n S S n n +=++，即1n S n ìüíý+îþ常数列，又11221S a ==，所以11n Sn =+，即1n S n =+，所以878879,81,S S a S S ===-=，所以8810S a +=.故选：B10. 2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术，设计了如下实验：目标P 在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距7m 的A ，B 两点各放置一个传感器，分别实时记录A ，B 两点与物体P 的距离.科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离-时间”函数图像，分别如曲线a ，b 所示.1t 和2t 分别是两个函数的极小值点.曲线a 经过()()0110,,,r t r 和()20,t r ，曲线b 经过()22,t r .已知211212,4m,4s rt r t r t ===，并且从0t =时刻到2=t t 时刻P 的运动轨迹与线段AB 相交.分析曲线数据可知，P 的运动轨迹与直线AB 所成夹角的正弦值以及P 的速度大小分别为（）A.6/s 7B.6/s 7为C.2/s 7 D.2/s 7【答案】B 【解析】【分析】建系，设点，作相应的辅助线，分析可知6m,2m AC BC v ==，结合7m AB =分析求解即可.【详解】如图，建立平面直角坐标系，设动点P 的轨迹与y 轴重合，其在120,,t t t =时刻对应的点分别为O （坐标原点），,D E ，P 的速度为m /s,0v v >，因为1122112,4m,2s,4s rt r t r t t ====，可得22m r =，由题意可知：,AD BE 均与y 轴垂直，且4m,2m,2m AD BE OD DE v ====，作BC AD ^垂足为C ，则6m,2m AC BC v ==，因为222AC BC AB +=，即236449v +=，解得v =又因为BC ∥y 轴，可知P 的运动轨迹与直线AB 所成夹角即为ABC Ð，所以P 的运动轨迹与直线AB 所成夹角的正弦值为6sin 7AC ABC ABÐ==.故选：B.【点睛】关键点点睛：建系，设动点P 的轨迹与y 轴重合，以坐标系为依托，把对应的量转化为相应的长度，进而分析求解.二、填空题共5小题.11. 已知集合A={﹣1，1，3}，B={2，2a ﹣1}，A∩B={1}，则实数a 的值是________．【答案】1【解析】【详解】由A∩B={1}知，1B Î，即2a ﹣1=1，解之得a =1，故填112. 函数 ()()043f x x =--的定义域是___________.【答案】133,,244éöæöÈ+¥÷ç÷êëøèø【解析】【分析】根据底数不为0以及二次根式的被开方数大于等于0，列式可求定义域.【详解】由题意可知210430x x -³ìí-¹î，解得12x ³且34x ¹，所以函数0()(43)f x x =-的定义域为133[,(,)244+¥U .故答案为：133[,(,)244+¥U .13. 已知命题p ：x R $Î，2210ax ax ++£，若命题p 为假命题，则实数a 的取值范围是___．【答案】[)0,1【解析】【分析】根据已知中“x R $Î，2ax 2ax 10++£”为假命题，可以得到否定命题:“x R "Î，2ax 2ax 10++>”为真命题，则问题可转化为一个函数恒成立问题，对二次项系数a 分类讨论后，综合讨论结果，即可得到答案．【详解】解：Q “x R $Î，2ax 2ax 10++£”为假命题，\其否定“x R "Î，2ax 2ax 10++>”为真命题，当a 0=时，显然成立；当a 0¹时，2ax 2ax 10++>恒成立可化为：a 024a 4a 0>ì-<íî解得0a 1<<综上实数a 的取值范围是[)0,1.故答案为[)0,1.【点睛】本题考查的知识点是命题真假判断与应用，其中根据原命题与其否定命题之间真假性相反，写出原命题的否定命题，并将问题转化为一个函数恒成立问题是解答本题的关键．14. 已知等边ABC V 的边长为4，E F ，分别是，AB AC 的中点，则EF EA ×=uuu r uuu r_______；若M N ，是线段BC 上的动点，且1MN =，则EM EN ×uuuu r uuu r的最小值为_______．【答案】 ①. 2②.114##2.75【解析】分析】第一空：通过()EF EA EA AF EA ×=+×uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 展开整理，带入数据计算即可；第二空：设,03BN t t =££，通过()()EM EN EB BM EB BN ×=+×+uuuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r展开整理，带入数据然后配方求最值.【详解】()22222cos1202EF EA EA AF EA EA AF EA ×=+×=+×=+´´=o uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r;若M N ，是线段BC 上的动点，且1MN =，不妨设N 点相对M 更靠近B 点，设,03BN t t =££，()()()2EM EN EB BM EB BN EB BM BN EB BM BN\×=+×+=++×+×uuuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r ()()2221cos1201t t t t=+++++o 22111324t t t æö=-+=-+ç÷èø，当12t =时，EM EN ×uuuu r uuu r 取最小值，且为114.故答案为：2；114.15. 已知函数()[][]sin cos 23,x x f x =+其中[]x 表示不超过x 的最大整数.例如： [][][]11,0.50,0.51==-=-给出以下四个结论：①2π4;33f æö=ç÷èø②集合}R (,{)R |y y f x x Î=Î的元素个数为9;③存在R a Î，对任意的R x Î，有()()f a x f a x =-+;【④()f x x a >+对任意[0,2π]x Î都成立，则实数a 的取值范围是3,2π,2æù-¥-çúèû其中所有正确结论的序号是__________.【答案】①④【解析】【分析】利用给定定义直接判断①，卡出[]0,2πx Î，求出每个元素判断②，举反例判断③，利用题意分离参数，得到min ()a g x <，再结合给定定义求解min ()g x ，最后得到参数范围即可.【详解】对于①，由()[][]sin cos 23x x f x =+知，()2π2π1sin cos 0133242323233f x éùéùéù-êúêê-ëûëûëû=+=+=+=，故①正确，对于②，由周期性可知，()f x 的周期为2π，故讨论[]0,2πx Î即可，易得当0x =时，()01234f x =+=，当π2x =时，()10233f x =+=，当πx =时，()014233f x -=+=，当3π2x =时，()103232f x -=+=，当2πx =时，()01234f x =+=，当π(,π)2x Î时，()014233f x -=+=，当π(0,2x Î时，()00232f x =+=，当3ππ,2x Î()时，()115236f x --=+=，当3π,2π2x Î()时，()103232f x -=+=，故该集合元素个数为6，故②错误，对于③，显然在[]0,2πx Î时，()f x 的值域不关于x a =对称，故()f x 不关于x a =对称，即()()f a x f a x -¹+，故③错误，对于④，当0x =时，()012304f x x -=+-=，当π2x =时，()10ππ23322f x x -=+-=-，当2πx =时，()01232π42πf x x -=+-=-，当π(0,2x Î时，()0π232(2,2)2f x x x x -=+-=-Î-，当π,π2x æùÎçúèû时，()01444π23π,3332f x x x x -éö-=+-=-Î--÷êëø，当3ππ,2x Î()时，()11553π523(,π)6626f x x x x ---=+-=-Î--，当3π,2π2x éöÎ÷êëø时，()103333232π,π2222f x x x -æù=+-=-Î--çúèû，而()f x x a >+对任意[0,2π]x Î都成立，故()a f x x <-恒成立，令()()g x f x x =-，即min ()a g x <，而显然3()2π2g x >-，可得32π2a £-恒成立，即3,2π2a ¥æùÎ--çúèû，故④正确.故答案为：①④【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数新定义，解题关键是找合理分离参数，然后利用给定定义求解函数最值，最后得到所要求的参数范围即可．三、解答题共6小题.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 等差数列{}n a 中，首项11a =，且2342,,2a a a +-成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列11n n a a +ìüíýîþ的前n 项和(N )n S n *Î．【答案】（1）21n a n =- （2）21n nS n =+【解析】【分析】（1）根据等比中项的性质结合等差数列的通项公式求出d ，进而得出数列{}n a 的通项公式；（2）根据裂项相消求和法得出前n 项和为和(N )n S n *Î.【小问1详解】因为2342,,2a a a +-成等比数列，所以()()232422a a a =+-即()()()21112232a d a d a d +=+++-，解得2=d ，所以21n a n =-；【小问2详解】因为12231111n n n S a a a a a a +=+++L ，()11113352121n S n n =+++´´-´+L （），111111123352121n S n n æö=´-+-++-ç÷-+èøL ，11122121n n S n n æö=-=ç÷++èø．17. 已知函数2()cos 2cos 222x x xf x =-．（1）求f(π3)的值；（2）求函数()f x 的单调递减区间及对称轴方程．【答案】（1）0；（2）2π5π2π,2π,33k k k éù++ÎêúëûZ ，2ππ,3x k k =+ÎZ ．【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简得π()2sin()16f x x =--，把π3x =代入函数解析式中，即可f(π3)的值；（2）由正弦函数单调性和对称性，由整体代入法求解可得.【小问1详解】由2()cos 2cos 222x x xf x =-得()(cos 1)f x x x =-+cos 1x x =--π2sin()16x =--所以πππ()2sin(10336f =--=.【小问2详解】令ππ3π2π2π,262k x k k +£-£+ÎZ ，得2π5π2π2π,33k x k k +££+ÎZ 所以函数()f x 的单调递减区间是2π5π2π,2π,Z33k k k éù++Îêúëû令πππ,62x k k -=+ÎZ ，得2ππ,3x k k =+ÎZ 即函数()f x 的对称轴方程2ππ,3x k k =+ÎZ 18. 已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2222sin b c a bc A +=-．（1）求A 的大小；（2）若D 是边AB 的中点，且2CD =，求c +的取值范围．【答案】（1）3π4A = （2）(4,【解析】【分析】（1）根据余弦定理可以求解；（2）令ACD q Ð=，利用正弦定理，把边长,b c 都用q 表示，最后用三角函数知识解得取值范围.【小问1详解】因为2222sin b c a bc A+=-所以2222sin cos sin 22b c a bc A A A bc bc+-==-=-，所以tan 1A =-，又因为()0,πA Î，所以3π4A =；【小问2详解】令ACD q Ð=,因为3π4A =，所以π04q æöÎç÷èø，由正弦定理可得：2π3πππsin 4sin sin sin 444q q q b CD b b A æö=Þ=Þ=-ç÷æöæöèø--ç÷ç÷èøèø23πsin sin sin sin 4qq q AD CD AD AD A =Þ=Þ=,所以2q c AD ==，所以π4q q q c æö+=+-=ç÷èø，又因为π04q æöÎç÷èø，，所以cos q öÎ÷÷ø所以(4,c +Î19. 已知函数()2112ln 2f x a x x x x æöæö=+---ç÷ç÷èøèø.（1）求()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程；（2）讨论()f x 的单调区间.【答案】（1）12y =- （2）答案见解析【解析】【分析】（1）由导数的几何意义求解切线方程即可；（2）先将f ′(x )整理为()()()()211,0x x f x a x x x×-¢+-=>，只需考虑()()1x a x --的符号即可，根据二次函数的图象性质对参数a 分类讨论可得结果.【小问1详解】()()()21111,10,12f x a x f f x x æöæö=---==-ç÷ø¢ç÷èèø¢.故()f x 的图象在点(1,f (1))处的切线方程为12y =-.【小问2详解】()()()()2211111,0x x f x a x a x x x x x +-æöæö=---=×->ç÷ç÷èøèø¢.①当0a £时，令()0f x ¢=，解得1x =，有x(0,1)1(1,+∞)f ′(x )+-()f x Z极大值]故单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,+∞).②当0a >时，令()0f x ¢=，解得1x =或x a =.当01a <<时，x()0,a a(),1a 1(1,+∞)f ′(x )-+-()f x ]极小值Z极大值]故单调递增区间为(),1a ，单调递减区间为()()0,,1,a ¥+，当1a =时，()()0,f x f x ¢£的单调递减区间为(0,+∞)，无单调递增区间.当1a >时，x(0,1)1()1,a a(),a ¥+f ′(x )-0+0-()f x ]极小值Z 极大值]单调递增区间为()1,a ，单调递减区间为()()0,1,,a ¥+.综上，当0a £时，()f x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,+∞)；当01a <<时，单调递增区间为(),1a ，单调递减区间为()()0,,1,a ¥+；当1a =时，单调递减区间为(0,+∞)，无单调递增区间；当1a >时，单调递增区间为()1,a ，单调递减区间为()()0,1,,a ¥+.20. 已知()()21e axf x x x =--在0x =处的切线方程为0x y b ++=．（1）求实数,a b 的值；（2）证明：()f x 仅有一个极值点0x ，且()034f x <-．（3）若()()1e kxg x kx x =--，是否存在k 使得()1g x ³-恒成立，存在请求出k 的取值范围，不存在请说明理由．【答案】（1）2,1a b == （2）证明见详解（3）不存在，理由见详解【解析】【分析】（1）求出()f x 的导数，根据切线方程求出a ，b 的值即可；（2）求导可得()24e1xf x x ¢=-，令()()g x f x ¢=，利用导数可得()g x 的单调性，结合零点存在性定理可得()g x 在10,4æöç÷èø上存在唯一零点0x ，且0204e 1x x ×=，进而可得()f x 的单调性，可判断极值情况；结合0204e1x x ×=代入化简()0001124f x x x æö=-+ç÷èø，运算得证；（3）问题转化为()1e 1kxkx x -³-，对x ÎR 恒成立，当0k £时，显然上式不成立；当0k >时，令()()1e 1kx x kx x j =--+，利用导数可得存在1210,x k æöÎç÷èø，使得()10x j ¢=，当()10,x x Î时，()0x j ¢<，即()x j 单调递减，此时()()00x j j <=，上式不能恒成立，得解.【小问1详解】由题意，()()22e 1axf x ax a ¢=+--，则()011f a ¢=-=-，解得2a =，又()01f =-，可得切点为()0,1-，代入0x y b ++=，得1b =.所以实数2,1a b ==.【小问2详解】由（1）得()()221exf x x x =--，则()24e 1x f x x ¢=-，令()()g x f x ¢=，()()24e 12xg x x ¢\=+，令()0g x ¢>，得12x >-，令()0g x ¢<，得12x <-，所以()g x 在1,2æö-¥-ç÷èø上单调递减，在1,2æö-+¥ç÷èø上单调递增，所以()1min 12e 102g x g -æö=-=--<ç÷èø，且当0x <时，()0g x <，()010g =-<，121e 104g æö=->ç÷èø，所以()g x 在10,4æöç÷èø上存在唯一零点0x ，使得()00g x =即0204e 1x x ×=，当()0,x x Î-¥时，()0g x <，即()0f x ¢<，()f x 单调递减，当()0,x x Î+¥时，()0g x >，即()0f x ¢>，()f x 单调递增，所以()f x 仅存在一个极值点0x ，010,4x æöÎç÷èø，()()()020000000011121e 21424x f x x x x x x x x æö=--=-´-=-+ç÷èø，又函数14y x x =+，10,4x æöÎç÷èø，而224104x y x-¢=<，所以14y x x =+在10,4x æöÎç÷èø上单调递减，则1544y x x =+>，所以()0153244f x <-=-.【小问3详解】若存在k ，使得()1g x ³-恒成立，即()1e 1kxkx x -³-，对x ÎR 恒成立，当0k £时，当1x >时，则()1e 0kxkx -<，显然上式不成立；当0k >时，令()()1e 1kxx kx x j =--+，()00j =，则()2e 1kxx k x j ¢=-，令()()G x x j ¢=，则()()21e 0kx G x kkx ¢=+>在[)0,+¥上恒成立，所以()G x 即()x j ¢在[)0,+¥上单调递增，又()01j ¢=-，121e 10k k j æö¢=->ç÷èø，所以存1210,x k æöÎç÷èø，使得()10x j ¢=，所以当()10,x x Î时，()0x j ¢<，即()x j 单调递减，此时()()00x j j <=，所以()0x j ³不恒成立，故当0k >时，不存在k 满足条件.综上，不存在k ，使得()1g x ³-恒成立.【点睛】关键点睛：本题第三问，解题的关键是将问题转化为()1e 1kxkx x -³-，对x ÎR 恒成立，分0k £和0k >讨论，其中0k >时，令()()1e 1kxx kx x j =--+，利用导数判断求解找出矛盾.21. 有穷数列12,,,(2)n a a a n >L 中，令()()*1,1,,p p q S p q a a a p q n p q +=+++£££ÎNL ，当p =q在时，规定(),p S p q a =.（1）已知数列3213,,,--，写出所有的有序数对(),p q ，且p q <，使得(),0S p q >；（2）已知整数列12,,,,n a a a n L 为偶数，若(),11,2,,2n S i n i i æö-+=ç÷èøL ，满足：当i 为奇数时，(),10S i n i -+>；当i 为偶数时，(),10S i n i -+<.求12n a a a +++L 的最小值；（3）已知数列12,,,n a a a L 满足()1,0S n >，定义集合(){}1,0,1,2,,1A i S i n i n =+>=-L .若{}()*12,,,k A i i i k =ÎN L 且为非空集合，求证：()121,k i i i S n a a a >+++L .【答案】（1）()1,4、()2,3、()2,4、()3,4 （2）1n - （3）证明见解析【解析】【分析】（1）结合题意，逐个计算即可得；（2）由题意可得()1,0S n >，()2,10S n -<，可得当2n i ¹时，有12i n i a a -++³，当2ni =时，1221n na a ++³，结合11i n i i n i a a a a -+-++³+，即可得解；（3）将()()121,k i i i S n a a a -+++L 展开，从而得到证明m i a 与1m i a +之间的项之和，1121i a a a -+++L ，112k k i i n a a a -+++++L 都为正数，即可得证.【小问1详解】(),p q 为()1,4时，()(),321310S p q =-++-+=>，(),p q 为()2,3时，()(),2110S p q =+-=>，(),p q 为()2,4时，()(),21340S p q =+-+=>，(),p q 为()3,4时，()(),1320S p q =-+=>，故p q <，且使得(),0S p q >的有序数对有()1,4、()2,3、()2,4、()3,4；【小问2详解】由题意可得()1,0S n >，()2,10S n -<，又n a 为整数，故()1,1S n ³，()2,11S n -£-，则()()11,2,12n S n S n a a --=+³，同理可得()()212,13,22n S n S n a a ----=+£-，即有212n a a -+³，同理可得，当2ni ¹时，有12i n i a a -++³，即当2ni ¹时，有112i n i i n i a a a a -+-++³+³，当2n i =时，122,1122n n n n S a a +æö+=+³ç÷èø，故()()12121122n n n n n a a a a a a a a a -+æö+++=++++++ç÷ç÷èøL L ()()121122n n n na a a a a a -+æö++++++ç÷ç÷èø³L 22112n n -æö=+=-ç÷èø；【小问3详解】对于数列12,,,n a a a L ，{}12,,,k A i i i =L ，不妨设12k i i i <<<L ，①首先考虑()1121,2,,,21m m k i i m k i i n --³=£<£-L 的情况，由于()1,0S i n £，()11,0S i n +>，故10i a <，同理20i a <，L ，0k i a <，故()121,0k i i i S n a a a >>+++L .②再考虑12,,,k i i i L 中有连续一段是连续的正整数的情况，此时1,p i A -Ï1,q i A +Ï11,,1,,1),111m m i i m p p q p q k +-==+-££-£-L ,因为()()121,,p p q p i i q i S i n S i n a a a ++-+=+++L ，()()10,,p q S i n S i n -+<，故这说明此连续q p -项的和为负.同理，当含有多段的连续正整数的情况时，每段的和为负，再由①中结论，可得()121,0k i i i S n a a a >>+++L .③若在①②中1211,2,,,m m i i i m i A +===ÏL ，由于()1,0m S i n +>，的此时去掉前m 项，则可转化①②的情况，所以有()121,0k i i i S n a a a >>+++L .④若{}()1,2,3,,1A m m n =£-L ，则210m m n a a a +++++>L ，所以此时有()121,k i i i S n a a a >+++L ，综上，结论成立.【点睛】关键点点睛：本题最后一小问关键点在于将()()121,k i i i S n a a a -+++L 展开，从而得到证明m i a 与1m i a +之间的项之和，1121i a a a -+++L ，112k k i i n a a a -+++++L 都为正数，即可得证.。

101坑班真题A5308

2012-2013学年度学暑期五年级讲义第八讲数论基础------质数、合数、因数分解，奇偶分析一、知识要点Ⅰ.整数的奇偶性将全体整数分为两类，凡是2的倍数的数称为偶数，否则称为奇数.因此，任一偶数可表为2m （m ∈Z ），任一奇数可表为2m+1或2m －1的形式.奇、偶数具有如下性质：（1）奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；奇数±偶数=奇数；偶数×偶数=偶数；奇数×偶数=偶数；奇数×奇数=奇数；（2）奇数的平方都可表为8m +1形式，偶数的平方都可表为8m 或8m +4的形式（m ∈Z ）.（3）任何一个正整数n ，都可以写成l n m2=的形式，其中m 为非负整数，l 为奇数.这些性质既简单又明显，然而它却能解决数学竞赛中一些难题. Ⅱ.质数与合数、算术基本定理大于1的整数按它具有因数的情况又可分为质数与合数两类.一个大于1的整数，如果除了1和它自身以外没有其他正因子，则称此数为质数或素数，否则，称为合数.显然，1既不是质数也不是合数；2是最小的且是惟一的偶质数.定理：（正整数的惟一分解定理，又叫算术基本定理）任何大于1的整数A 都可以分解成质数的乘积，若不计这些质数的次序，则这种质因子分解表示式是惟一的，进而A 可以写成标准分解式：n a na a p p p A 2121⋅= （*）.其中i n p p p p ,21<<< 为质数，i α为非负整数，i =1，2，…，n .推论：（合数的因子个数计算公式）若n n p p p A ααα 2121=为标准分解式，则A 的所有因子（包括1和A 本身）的个数等于).1()1)(1(21+++n ααα定理：质数的个数是无穷的.二、典型例题例1.数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?例2.A,B 两数都仅含有质因数3和5,它们的最大公约数是75.已知数A 有12个约数，数B 有10个约数，那么A,B 两数的和等于多少?例3．有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是140．如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少?例4．在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶)，或者是不超过10的自然数．甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环．求甲、乙的总环数各是多少?例5.一个长方体的长、宽、高是连续的3个自然数，它的体积是39270立方厘米，那么这个长方体的表面积是多少平方厘米?例6. 3条圆形跑道,圆心都在操场中的旗杆处,甲、乙、内3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步.开始时,3人都在旗杆的正东方向,里圈跑道长15千米,中圈跑道长14千米,外圈跑道长38千米.甲每小时跑312千米,乙每小时跑4千米,丙每小时跑5千米.问他们同时出发,几小时后,3人第一次同时回到出发点?例7.有两个自然数,它们的和等于297,它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693.这两个自然数的差等于多少?例8.3个连续的自然数的最小公倍数是9828,那么这3个自然数的和等于多少?例9.a b c >>是3个整数.,,a b c 的最大公约数是15；,a b 的最大公约数是75；a,b 的最小公倍数是450；,b c 的最小公倍数是1050.那么c 是多少?例10.甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少?例11.有两组数，甲组：1、3、5、7、9……、23；乙组：2、4、6、8、10、……24，从甲组任意选一个数与乙组任意选出一个数相加，能得到______个不同的和。

101中学坑班2012年春季五年级第十二讲构造与论证及答案

101中学坑班2012年春季五年级第十二讲构造与论证及答案一、知识要点构造与论证是一类创造性的思维活动，要求我们积极展开联想灵活运用所学的知识。

而构造法是一种重要的数学方法，一类数论问题可以通过构造出某些特殊结构，特殊形式的数列或数组来解决，另外在解决一些图形问题上，逻辑推理问题上也可以通过构造我们所熟悉的特殊情景然后再解题，问题就变得容易多了。

二、典型例题1.一个立方体的12条棱分别被染成白色和红色，每个面上至少要有一条边是白色的，那么最少有多少条边是白色的?2.一个三位数，如果它的每一位数字都不超过另一个三位数对应数位上的数字，那么就称它被后一个三位数“吃掉”．例如，24l被352吃掉，123被123吃掉(任何数都可以被与它相同的数吃掉)，但240和223互相都不能被吃掉．现请你设计6个三位数，它们当中任何一个都不能被其他5个数吃掉，并且它们的百位数字只允许取l，2；十位数字只允许取1，2，3；个位数字只允许取1，2，3，4．问这6个三位数分别是多少?3.在如图所示表格第二行的每个空格内，填入一个整数，使它恰好表示它上面的那个数字在第二行中出现的次数，那么第二行中的5个数字各是几?4.有一把长为9厘米的直尺，你能否在上面只标出3条刻度线，使得用这把直尺可以量出从1至9厘米中任意整数厘米的长度？5.盒子里放着红、黄、绿3种颜色的铅笔，并且规格也有3种：短的、中的和长的。

已知盒子的铅笔，3种颜色和3种规格都齐全。

问是否一定能从中选出3支笔，使得任意2支笔在颜色和规格上各不相同？6.在100个人之间，消息的传递是通过电话进行的，当甲与乙两个人通话时，甲把他当时所知道的信息全部告诉乙，乙也把自己所知道的全部信息告诉甲。

请你设计一种方案，使得只需打电话196次，就可以使得每个人都知道其他所有人的信息。

7.能否在5×5方格表的各个小方格内分别填入数1，2，……，24，25，使得从每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之和？8.把图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。

101中学坑班2021年春季五年级第八讲行程综合(三)及答案

101中学坑班2021年春季五年级第八讲行程综合（三）及答案一、知识要点:主讲环形跑道问题及钟面问题；1.环形路程内的相遇和追及问题两人相遇两次时距离之和（差）=跑道一圈的距离2.研究时钟的长针（分针）与短针（时针）成直线、成直角与重合的问题，叫做时钟问题。

时钟的分针每小时走60个小方块，而时针每小时只走5个小方块；分针每分钟移动一个小网格，而时针每分钟只移动一次56012121111问题的每一个公式都与有关，个小格是两针在1分钟内所走的路程差。

根据两针1212对于不同的间隔要求，问题中所需的时间可以通过除法计算。

111个小格，即个小格。

每分钟分针比时针多走个小格。

时钟解决问题的规则：（1）求两针成直线所需要的时间，有：两针成直线所需要的分钟数=（原来两针间隔的格数±30）÷（1-）12（2）求两针成直角所需要的时间，有：两针成直角所需要的分钟数=（原来两针间隔的格数±15）÷（1-112121（3）求两针重合所需要的时间，有：两针重合所需要的时间=原来两针间隔的格数÷（1-）在计算所需时间并加上原始时间后，我们可以得到两个针形成不同位置的时间。

1），两针成直角所需要的分钟数=（原来两针间隔的格数±45）÷（1-1）二、典型例题1.小张和小王在周长500米的环形跑道上以一定的速度奔跑小王的速度是每分钟180米（1）小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，75秒后两人第一次相遇，小张的速每分钟多少米是学位？（2）小张和小王从同一个点出发，同时朝同一个方向跑。

小张第一次能跑多少圈才能赶上小王？2.如图，a、b是圆的直径的两端，小张在a点，小王在b点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C点距离a点80米；在距离B点60米的D点第二次相遇，找出圆的周长3.运动场的跑道一圈长400m，甲骑自行车每分钟490m；乙跑步平均每分钟跑250m。

101中学点招考试真题精选

101中学点招考试真题精选-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN一、计算专题：1、计算：2、我们规定“※”为一种新运算，它满足式子a ※b例如：2※3 = ，那么1995※（1995※1995） .。

3、0.a •bc •是循环小数，把它化为分数，分子和分母的和为64，这个分数是 .。

4、如果a ＝×100，那么a 的整数部分是 .。

5、计算： .。

二、计数专题6、用数字0、1、2、3、4、5一共可以组成（）个没有重复数字且能被5整除的四位数。

7、一个三位数abc ＿＿＿如果同时满足a ＞b ，b ＜c 则称这个三位数为“凹数”，那么所有不同的三位“凹数”的个数是 .。

8、有些四位数的各位数字均取自1,2,3,4,5（可重复选取），并且任意相邻两位数（大减小）的差都是1，则这样的四位数共有 .个。

9、四边形内有11个点，以这11个点和四边形的4个顶点为三角形的顶点，最多能剪出 .个小三角形。

10、用5条直线能将圆最多分成（）个区域。

三、数论专题11、某市电话号码原为六位数，第一次升位是首位和第二位数字之间加上3成为一个七位数，第二次升位是在首位数字前加2成为一个八位数。

某人家中的电话号码升位后的八位数恰好为原来的六位数的电话号码的33倍，那么原来的电话号码是 .。

12、有三个质数，它们的乘积恰好等于它们之和的17倍，那么这三个质数中最大的一个是 .。

13、A、B两数都只含有质因数3和5，它们的最大公约数是75，已知数A有12个约数，数B有10个约数，那么A、B两数的差（大减小）等于 .。

14、在1至2008的所有正整数中，有 .个整数x，使得x2与2x被7除余数相同。

15、有一串数如下：1,2,4,7,11,16，…，直到第101个数中，被3除余1的数有____个。

四、几何专题16、如图，正方形ABCD和正方形EFGH并排放置，BF和EC交于H点，已知AB=4厘米，则阴影部分的面积是________。

2021届郑州市101中学高三英语第一次联考试卷及参考答案

2021届郑州市101中学高三英语第一次联考试卷及参考答案第一部分阅读（共两节，满分40分）第一节（共15小题；每小题2分，满分30分）阅读下列短文，从每题所给的A、B、C、D四个选项中选出最佳选项AA 21-year-old female student has become the youngest womanever to be elected as Mayor (市长) after first entering politics to campaign about food.Labor Party (工党) member Rosie Corrigan was elected as Mayor of Selby a market town in North Yorkshire, on Monday. The student’s election was unchallenged to the mayoralty, following a year serving as deputy mayor. Corrigan has just finished her second year studying politics at theUniversityofHull. A political activist since secondary school, lifelong Selby citizen Corrigan has always been ambitious. As a member of the UK Youth Parliament, she co-founded the Selby Youth council, and then went on to run for and win the local council election as a Labour candidate (候选人) aged just 18.Corrigan plan to use her year in office to further encourage political awareness in the youth of Selby. By breaking a political record of being the youngest woman ever elected inUKhistory, Corrigan hopes this will break the misunderstanding of Selby being a sleepy town with old-fashioned views. “It’s an honor to be the Mayor of my lovely hometown,” Corrigan told a newspaper. “I plan on using the year to encourage children and young people to champion their communities.”The politics student’s election has been supported whole heartedly by the politicians she has worked with throughout her early-developing career, including thebackingof former deputy Prime Minister (副首相) John Prescott. Simon Darvill said in an interview, “I hope that the success of Rosie and others like her encourages more young people to get involved in politics and change where they live for the better.”1. Which statement is true according to Paragraph 2?A. Corrigan is new to the political scene of Selby.B. Corrigan became interested in politics in childhood.C. Corrigan has been living in Selby since she was born.D. Corrigan founded the Selby Youth council by herself.2. What can we infer from Paragraph 3?A. Corrigan plans to further her time in office by at least a year.B. The people of Selby are passive and have out-of-date views.C. Corrigan is the youngest person ever elected inUKhistory.D. Corrigan intends to increase Selby’s youth’spolitical involvement.3. Which of the following can replace the underlined word “backing” in Paragraph 4?A. ApprovalB. AppreciationC. PraiseD. SupportBOwning a dog is associated with a significantly lower risk of heart disease and death, according to a comprehensive new study published by a team of Swedish researchers on Friday in the journal Scientific Reports.The scientists followed 3.4 million people over the course of 12 years and found that adults who lived alone and owned a dog were 33 percent less likely to die during the study than adults who lived alone without dogs. In addition, the single adults with dogs were 36 percent less likely to die from heart disease.“Dog ownership was especiallyprominentas a protective factor in persons living alone, which is a group reported previously to be at higher risk of heart disease and death than those living in a multi-person household,” Mwenya Mubanga, a Ph.D. student at Uppsala University in Uppsala, Sweden, and the lead junior author of the study, said in a statement announcing its findings. The link between dog ownership and lower mortality(死亡率)was less pronounced in adults who lived either with family members or partners, but still present, according to the study. “Perhaps a dog may stand in as an important family member in the single households,” Mubanga added. “Another interesting findingwas that owners of dogs which were intended originally for hunting were most protected.”The study, which is the largest to date on the health relations of owning a dog, suggested that some of the reasons dog owners may have a lower risk of mortality and heart disease were because dog owners walk more. “These kind of epidemiological (流行病学的)studies look for associations in large populations but do not provide answers on whether and how dogs could protect their owners from heart disease,” Tove Fall, a senior author of the study and a professor at Uppsala University, said in a statement“We know that dog owners in general have a higher level of physical activity, which could be one explanation to the observed results,” Fall added. “Other explanations include an increased well-being and social contacts or effects of the dog on the bacterial microbiome(微生物菌群) in the owner.” Fall added that because all participants of dog owners in Sweden or other “European populations with similar culture regarding dog ownership.”4. Why did the researchers do the study related to 3.4 million people’s health and the dogs?A. To help Europeans,B. To find their association.C. To protect unhealthy adults.D. To reduce risk of heart disease.5. What does the underlined word “prominent” probably mean in Para.3?A. Universal.B. Confusing.C. Appealing.D. Important6. What’s the main idea of the text?A. Adults living with dogs are less likely to die.B. Swedish people are very fond of animal pets.C. Keeping a dog is a popular and healthy hobby.D. Owning dogs reduces the risk of heart disease.7. What’s the writer’s attitude towards owning a dog?A. Positive.B. Negative.C. Objective.D. Contradictory.CBack about 20 months ago I started college and just struggled with everything, such as classes and friends. I quickly became depressed and angry at myself for not being about to do better in school, in addition to lack of friends due to poor social and communication skills.This went on for months until my 19th birthday. My parents sent me a cake, which was a great cake. But I remember having this large cake and ly no one to share it with. I ended throwing out the cake after having one piece, with about 90 % of it leftover. That night I was depressed that I decided to go outside to the freezing temperature of the winter and run. I put my earphones in, went outside and ran about 2 miles at 11 p.m. on my birthday.When I got back inside I was content. I was proud of what I was able to do. The next night I did the same. I wasn’t quick or fit but you know that I went outside and did something. This continued for about 2 months until I finally worked up the courage to go to the gym, where I started swimming again as I used to in high school. A month went by and I started lifting weights and continually running.Looking back I can see that exercise helped cure my depression but it didn’t only do that. At the gym I met new friends and back at my dorm I grew confidence to go to the end of the hall seeing people playing Super Smash Brothers and ask if I could join.So go forward to present now. I exercise every day and look forward to that hour and a half I get daily to do what I love with people who love it as well. I hope this helps someone who may be or have been in a similar situation.8. What made the author decide to run at night?A. His l9th birthday.B. His parents’ cake.C. His loneliness.D. His friends.9. Which of the following best describes the author?A. Traditional.B. Determined.C. Humorous.D. Generous.10. What is the biggest benefit of the author’s running?A. Regaining his confidence.B. Losing his weight.C. Playing with his brothers.D. Joining other activities.11. Why do you think the author wrote this passage?A. To recall his life in college.B. To show his gratitude to his parents.C. To emphasize the importance of friendship.D. To share his experience of dealing with hardship.DA wife’s level of education positively influences both her own and her husband’s chances of having a long life, according to a new Swedish study.In the study, researchers from the Swedish Institute for Social Research inStockholmfound that a woman’s level of education had a stronger connection to the likelihood of her husband dying over education. What’s more, they discovered that a husband’s social class, based on his occupation, had a greater influence on his wife’s longevity(长寿) than her own class.“Women traditionally take more responsibility for the home than men do, and, as a result, women’s levels of education might be more important for determining lifestyles－for example, in terms of food choices－than those of men,” say Srs. Robert Erikson and Jenny Torssander of the Swedish Institute for Social Research inStockholm.The results show that a husband’s level of education does not influence his longevity, but that men with partners who had quit studying after school were 25 per cent more likely to die early than men living with women holding university degrees. In turn, those married to women with university degrees were 13 percent more likelyto die early than those whose wives had post-graduate qualifications.According to the researchers, a woman with a good education may not marry a man who drinks and smokes too much or who drives carelessly, and men with such habits may not prefer highly educated woman. Drs. Erikson and Torssander also suggest that better-educated women may be more aware of what healthy eating and good health care consist of.The findings suggest that education has a huge impact on how long and how well people live. It also reflects social factors, since educated individuals usually have better jobs, which allow them to afford healthier diets and lifestyles, as well as better health care.12. In this passage the author intends to ________.A. present the results of a studyB. encourage women to get higher educationC. analyze the relationship between education and lifeD. discuss why women usually live longer than men13. A woman with higher education is likely to ________.A. teach her children wellB. earn more money than her husbandC. marry a man without many bad habitsD. choose a husband with a higher degree than hers14. A wife’s education has more effect on a family than a husband’s because ________.A. women make more sacrifices to their families than men doB. most women have higher degrees than their husbandsC. most men marry women with higher degreesD. women have a leading role in the home life of most families15. We learn from the passage that ________.A. a man with a lot of education lives longer than one with littleB. educated wives tend to choose healthy lifestyles for their familiesC. highly-educated women don’t marry uneducated menD. a man’s longevity depends on not only his wife’s level of education but also his own第二节（共5小题；每小题2分，满分10分）阅读下面短文，从短文后的选项中选出可以填入空白处的最佳选项。

2021-2022学年北京市一零一中矿大分校高二年级下册学期期中考试数学试题【含答案】

2021-2022学年北京市一零一中矿大分校高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．已知等差数列中，，公差，则（）{}n a 12a =3d =10a =A ．29B ．32C ．26D ．35【答案】A【分析】直接根据等差数列的通项公式进行基本量的求解.【详解】依题意，对于等差数列，，故.{}n a 101(101)927a a d d -=-==1012729a a =+=故选：A 2．已知等比数列的公比为q ，前n 项和为，若q = 2，，则（）{}n a n S 26S =3S=A ．8B ．12C ．13D ．14【答案】D【分析】由等比数列的基本量运算求得后求得，从而易得．1a 3a 3S 【详解】由题意，，所以，．21126S a a =+=12a =23228a =⨯=3236814S S a =+=+=故选：D ．3．函数的导函数（）()e xf x x =()f x '=A ．B ．C ．D ．()1e xx x -()21e xx x -()21e xx x -()1e xx x+【答案】B【分析】根据除法求导法则以及基本初等函数的求导公式即可求解.【详解】由得，()e xf x x =()()()'222e e 1ee e xxxxxx x x x f x x x x ---===''故选：B4．函数的单调递增区间是（）ln y x x =-A ．B ．C ．D ．()0,1()0,2()1,∞+()0,∞+【答案】C【分析】先求出函数的定义域，再利用导数即可求出函数的单调增区间.【详解】函数的定义域为，ln y x x =-()0,∞+∵，()1110x y x x x -'=-=>令，则，解得，0'>y 10x ->1x >∴函数的单调递增区间是.ln y x x =-()1,∞+故选：C.5．已知某物体运动的位移s 关于t 的函数为，则当时的瞬时速度为（）()2s t t t=+2t =A ．2m/s B ．3m/s C ．4m/sD ．5m/s【答案】D 【分析】直接对求导，代入即可得到答案.()s t 2t =【详解】因为，()2s t t t=+所以，()()21v t s t t '==+所以当时，（m/s ）.2t =()22215v =⨯+=故选：D.6．已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是图中的（）()y f x =()'y f x =A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】由函数的图象的增减变化趋势，判断函数取值的正、负，由此判断可()y f x =()'y f x =得选项.【详解】解：由函数的图象的增减变化趋势，判断函数取值的正、负情况如下()y f x =()'y f x =表：x()1b -，()b a ，()1a ，()f x 递减递增递减()'f x -+-所以当时，函数的图象在x 轴下方；()1x b ∈-，()'y f x =当时，函数的图象在x 轴上方；()x b a ∈，()'y f x =当时，函数的图象在x 轴下方．()1x a ∈，()'y f x =故选：C.7．若函数有唯一零点，则实数的取值范围为（）()33f x x x a=-+a A ．B ．C ．D ．或{}2,2-{}2{22}a a -<<∣{2aa <-∣2}a >【答案】D【分析】由导数求得函数的极大值和极小值，三次函数有唯一零点，则极大值小于0或极小值大于0．【详解】，或时，，时，，2()33f x x '=-1x <-1x >()0f x '>11x -<<()0f x '<因此在和上都递增，在上递减，()f x (,1)-∞-(1,)+∞(1,1)-所以极大值，极小值，()f x (1)2f a =-=+()f x (1)2f a ==-+有唯一零点，则或，解得或．()f x 20a +<20a -+>2a <-2a >故选：D 8．函数在区间内存在最小值，则实数a 的取值范围是（）()3213f x x x =-()5a a ，+A ．B ．C ．D ．()3,2-[)3,2-[)1,2-()1,2-【答案】C【分析】由导数法求得函数最小值点，根据区间列不等式求解即可.【详解】由得，则当或，，单调递()220f x x x '=-=120,2x x ==(),0x ∈-∞()2,+∞()0f x ¢>()f x 增；，，单调递减.()0,2x ∈()0f x '<()f x 在区间内存在最小值，故最小值为，又，故有，解得()f x ()5a a ，+()2f ()()12f f -=1252a a -≤<⎧⎨+>⎩.12a ≤<故实数a 的取值范围是.[)12-，故选：C.9．已知函数，则下列说法正确的是（）()3221f x x x x =-+-A ．的极小值为B ．的极大值为()f x 2-()f x 2327-C ．在区间上单调递增D ．在区间上单调递减()f x 1,13⎛⎫⎪⎝⎭()f x (),0-∞【答案】B【分析】求导，利用导函数的符号变化得到函数的单调区间，进而求出函数的极值.【详解】因为，所以，()3221f x x x x =-+-()2341f x x x '=-+令，得或；令，得；()0f x '>1x >13x <()0f x '<113x <<所以在区间，上单调递增，在区间上单调递减，()f x ()1,+∞1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭所以在处有极大值，极大值为；()f x 13x =123327f ⎛⎫=-⎪⎝⎭在处有极小值，极小值为.1x =()11f =-故选：B.10．已知等比数列满足，记，则数列（）{}n a 1132,2a q ==-()12n n T a a a n +=∈N {}n T A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项【答案】A【分析】求出等比数列的通项公式，进而求出，再由数列最大项、最小项的意义判断作答.{}n a n a nT【详解】依题意，等比数列的通项公式，{}n a 111161(1)32()22n n n n n a a q -----==⋅-=，，(1)231123(1)2(11)54326(5)(4)(3)(6)211(1)(1)(1)(1)(1)2222222n n n n n n n n n T --++++--------+-+-++-------=⋅⋅⋅⋅⋅== (11)21|2|n n n T -=由知，时，数列是递增的，时，数列(11)(1)(10)5122||221||n n n n n n n T T -+---+==≥,5n N n *∈≤{}||n T ,6n N n *∈≥是递减的，{}||n T 于是得数列的最大项为，而n 为奇数时，，n 偶数时，，{}||n T 1556||||2T T ==0n T >0n T <所以和分别是数列的最大项和最小项.1552T =1562T =-{}n T 故选：A 11．已知成等差数列，成等比数列，则等于（）121,,,7a a --1233,,,,12b b b --()2212b a a ⋅-A ．B ．C ．D ．或6-612-6-6【答案】A【分析】根据等差和等比数列通项公式可求得公差和公比的平方，由此可得，代入即可d q122,,a a b 得到结果.【详解】设构成的等差数列公差为，构成的等比数列公比为，121,,,7a a --d 1233,,,,12b b b --q ，，即，()7123d ---∴==-41243q -==-22q =，，，113a d ∴=-+=-2125a d =-+=-2236b q =-=-.()()22126566b a a ∴⋅-=-⨯-+=-故选：A.12．函数的图像大致是（）()()22e xfx x x =-A ． B ． C ．D ．【答案】C【分析】运用函数的零点，极值点，单调性即可解决.【详解】解：由得或，故BD 错；()0f x =0x =2x =又，()()22e xx x f '=-所以，当或；当时，，x <x ()0f x ¢>x <<()0f x '<所以在和上单调递增，在上单调递减，()f x (,-∞)+∞(所以，在处取得极小值，故A 错.()f x x =x =故选：C二、填空题13．过且与曲线相切的直线方程是___________.()11，3y x =【答案】3203410x y x y --=-+=或【分析】设曲线切点为，对函数求导，点斜式方程，代入即可求出，即可求出()30,x x '2()3f x x=0x 答案.【详解】设切点为，曲线，，()30,x x 3()f x x='2()3f x x =则切线斜率为'200()3k f x x ==直线经过点，则直线，()11，()20131y x x -=-切点在直线上，则()32000131x x x -=-332323220000000013323102210x x x x x x x x -=-⇒-+=⇒--+=()()()()()220000000211101210x x x x x x x -++-=⇒---=或01x ⇒=012x =-或3k =34k =则直线为.3203410x y x y --=-+=或故答案为：.3203410x y x y --=-+=或14．函数，设在区间与的平均变化率为a ，b ，则a ，b 的大小关系为()1f x x x =+()f x []1,2[]3,5_______.【答案】a < b##b>a【分析】根据平均变化率的计算公式分别计算出，，进而得出结果.12a =1415b =【详解】自变量从1变化到2时，函数的平均变化率为，x ()f x (2)(1)1212y f f a x ∆-===∆-自变量从3变化到5时，函数的平均变化率为，x ()f x (5)(3)145315y f f b x ∆-===∆-由于，所以函数在区间的平均变化率比在的平均变化率小，114215<()f x []1,2[3,5]也即.a b <故答案为：.a b <15．已知函数，则_______.()ln f x x=()()22limx f x f x→+∆-=∆ 【答案】##0.512【分析】由导数的定义与导数的运算公式可得结果.【详解】∵()ln f x x =∴1()f x x'=∴0(2)(2)1lim(2)2x f x f f x ∆→+∆-'==∆故答案为：.1216．若数列满足：，在数列的通项公式为___________.{}n a 1112n n n a a a +==+，{}n a 【答案】21nn a =-【分析】利用累加法，结合等比数列的求和公式进行求解即可【详解】由，则，……，于是12n n n a a +=+112n n n a a ---=2122n n n a a ----=1212a a -=12111221112()()()22212112nn n n n n n n n a a a a a a a a ------=-+-++-+=++++==-- 故答案为：21nn a =-三、解答题17．已知等差数列满足：，．{}n a 1=2a 5=18a (1)求数列的通项公式；{}n a (2)记为数列的前n 项和，求正整数n 的范围，使得．n S {}n a 60800n S n >+【答案】(1)42n a n =-(2)()40Νn n +>∈【分析】（1）根据已知条件可求出的公差，进而可求得的通项公式；{}n a {}n a （2）结合（1）可得到，然后解不等式即可求得正整数n 的范围．n S 【详解】（1）设等差数列的公差为，{}n a d 则，解得，514=18216d a a =--=4d =所以；()()1124142n a a n d n n =+-=+-=-（2）结合（1）可得，()224222n n n S n +-⎡⎤⎣⎦==令，即，解得或（舍去），2260800n n >+2304000n n -->40n >10n <-所以存在，使得成立，()40Νn n +>∈60800n S n >+故正整数n 的范围为．()40Νn n +>∈18．已知函数且在处取得极值.()322331f x x ax bx =+++12x x ==及(1)求a ，b 的值；(2)求函数在的最大值与最小值.()y f x =[]03，【答案】(1)34a b =-=，(2)()()max min 101f x f x ==，【分析】（1）利用来求得的值.()()''10,20f f ==,a b （2）结合（1）求得在区间上的最值，由此确定正确结论.()f x []0,3【详解】（1），()'2663f x x ax b=++依题意，解得.()()166302241230f a b f a b ⎧=++=⎪⎨=++=''⎪⎩3,4a b =-=，()()()'261812612f x x x x x =-+=--所以在区间上递增；()f x ()(),1,2,-∞+∞()()'0,f x f x >在区间上递减.()1,2()()'0,f x f x <所以在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意.()f x 1x =2x =（2），()3229121f x x x x -+=+，()()()()01,16,25,310f f f f ====由（1）知，在区间上的最大值为，最小值为.()f x []0,310119．已知函数.()21ln 22f x x a x =--(1)当时，求在处的切线方程；3a =()f x 1x =(2)求的单调区间.()f x 【答案】(1)122y x =-+(2)见解析【分析】（1）利用导数求出在处的切线的斜率，再由原函数求出在处的切点，()f x 1x =()f x 1x =利用直线点斜式直接得出答案；（2）分类讨论，当时，由二次函数性质得出；当时，分为与，由导数得出，0a =0a ≠a<00a >最后综合得出答案.【详解】（1）当时，，3a =()213ln 22f x x x =--则，()3f x x x '=-在处的切线的斜率，且，()f x \1x =()1132k f '==-=-()213113ln1222f =⨯--=-在处的切线方程为，()f x \1x =()3212y x +=--即；122y x =-+（2）当时，，0a =()2122f x x =-此时在上单调递减，在上单调递增；()f x (],0-∞[)0,∞+当时，定义域为，，0a ≠()f x ()0,∞+()2a x af x x x x -'=-=当时，在定义域上恒成立，a<0()0f x ¢>此时在上单调递增，无递减区间；()f x ()0,∞+当时，由解得，解得解得，0a >()0f x '=x =()0f x ¢>x ()0f x '<0x <<此时在上单调递增，在上单调递减；()f x )+∞(综上所述：当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；0a =()f x (],0-∞[)0,∞+当，的单调递增区间为，无单调递减区间；a<0()f x ()0,∞+当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.0a >()f x )∞+(20．已知函数.()ln f x x ax=-（1）当时，判断函数的单调性；1a =()f x （2）若恒成立，求的取值范围.()0f x ≤a 【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.()y f x =()0,1()1,+∞1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）将代入函数的解析式，求出该函数的定义域，并求出导数，分别1a =()y f x =()f x '解不等式和，可得出函数的单调递增区间和单调递减区间；()0f x ¢>()0f x '<()y f x =（2）由得出，构造函数，利用导数求出函数的最大值，()0f x ≤ln xa x ≥()()ln 0x g x x x =>()y g x =即可得出实数的取值范围.a 【详解】（1）当时，，定义域为，且，1a =()ln f x x x=-()0,∞+()111xf x x x -'=-=若，则；若，则，()0f x ¢>01x <<()0f x '<1x >所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；()y f x =()0,1()1,+∞（2）若恒成立，则恒成立，()0f x ≤ln 0x ax -≤，所以分离变量得恒成立，0x >ln xa x ≥设，其中，则，所以，()ln x g x x =0x >()max a g x ≥()21ln xg x x -'=当时，；当时，.()0g x '<(),x e ∈+∞()0g x '>()0,x e ∈即函数在上单调递增，在上单调递减.()ln x g x x =()0,e (),e +∞当时，函数取最大值，即，所以.x e =()ln x g x x =()()max 1g x g e e ==1a e ≥因此，实数的取值范围是.a 1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题第一问考查利用导数求函数的单调区间，第二问考查利用导数研究函数不等式恒成立问题，在求解含单参数的函数不等式恒成立问题时，灵活利用参变量分离法求解，可避免分类讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.。

2021北京101中学高三(上)统考(二)数学(教师版)

2021北京101中学高三（上）统考（二）数学考生须知：1.本试卷满分150分。

2.在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号。

3.试题答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4.在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5.考试结束时，将本试卷、答题卡一并交回。

一、选择题共10小题。

每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．（3分）已知集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，0，1}，B＝{1，则∁U（A∪B）＝（）A．{﹣2，3}B．{﹣2，2，3}C．{﹣2，﹣1，0，3}D．{﹣2，﹣1，0，2，3}2．（3分）在复平面内，复数z对应的点与1+i对应的点关于实轴对称，则＝（）A．1+i B．﹣1+i C．﹣1﹣i D．1﹣i3．（3分）下列结论正确的是（）A．若ac＜bc，则a＜b B．若a＞b，c＜0，则ac＜bcC．若a2＜b2，则a＜b D．若＜，则a＞b4．（3分）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，用基底{，，则（）A．＝3﹣2B．＝﹣3+2C．＝﹣2+3D．＝2﹣35．（3分）设{a n}为等比数列，则“对于任意的m∈N*，a m+2＞a m”是“{a n}为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（3分）设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C．若0＜a1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞07．（3分）已知函数f（x）＝sin x+cos x，将f（x），纵坐标保持不变，得到函数y＝g（x）1）g（x2）＝﹣2，则|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．πC．2πD．4π8．（3分）下列命题中，不正确的是（）A．在△ABC中，A＞B，∴sin A＞sin BB．在锐角△ABC中，不等式sin A＞cos B恒成立C．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形D．在△ABC中，若a cos A＝b cos B，则△ABC必是等腰三角形9．（3分）已知函数在上单调，且，则φ＝（）A．B．C．D．10．（3分）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I（t）rt描述累计感染病例数I（t）随时间t（单位：天）的变化规律0，T近似满足R0＝1+rT．有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段（）（ln2≈0.69）A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天二、填空题共5小题。

2022-2023学年北京一零一中学矿大校区高一上学期12月月考数学试题(解析版)

2022-2023学年北京一零一中学矿大校区高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}{}0,1,3|2,0A B x x ==<<，则A B ⋂=（） A ．{1} B ．{1,2}C ．{0,1,2}D ．{}|02x x <<【答案】B【分析】根据集合的交运算，直接求解即可. 【详解】根据题意，{}1,2A B ⋂=. 故选：B.2．下列函数中，既是偶函数又在()0+∞，上是增函数的是（） A ．()lg f x x = B ．()0.3xf x =C ．()3f x x =D ．()21f x x =【答案】A【分析】根据单调性排除BD ，根据奇偶性排除C ，A 满足单调性和奇偶性，得到答案.【详解】对选项A ：()()lg f x x f x -==，函数为偶函数，当0x >时，()lg f x x =为增函数，正确；对选项B ：()0.3xf x =在()0+∞，上为减函数，错误；对选项C ：()()3f x x f x -=-=-，函数为奇函数，错误；对选项D ：()21f x x =在()0+∞，上为减函数，错误；故选：A3．某校初一（1）班和初一（2）班各有10人骑自行车上学，他们每天骑行路程（单位：千米）的茎叶图如图所示，则1班10人每天骑行路程的极差和2班10人每天骑行路程的中位数分别是（）A ．14，9.5B ．9，9C ．9，10D ．14，10【答案】D【分析】根据茎叶图中的数据，计算1班的极差和2班的中位数即可．【详解】根据茎叶图中数据，1班共有10个数据，最大为22，最小为8，因此极差为22－8＝14； 2班共有10个数据，中间两个是10和10，因此中位数为1010102+=．故选：D ．4．已知函数()21log f x x x=-在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（） A ．()01， B ．()12， C ．()23， D ．()34，【答案】B【分析】确定函数单调递增，计算()10f <，()20f >，得到答案. 【详解】()21log f x x x=-在()0,∞+上单调递增，()110f =-<，()1121022f =-=>，故函数的零点在区间()12，上. 故选：B5．设0.343log 5,lg 0.1,a b c -===，则（） A ．c<a<b B ．b<c<a C ．a b c << D ．c b a <<【答案】A【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可判断. 【详解】因为3x y =在R 上单调递增，且30x y =>恒成立，所以0.300331-<<=，即01a <<，因为4log y x =在()0,∞+上单调递增，所以44log 541log b =>=，因为lg y x =在()0,∞+上单调递增，所以lg 0.1lg10c =<=，综上：c<a<b . 故选：A6．幂函数()af x x =，则“()f x 的图像经过点()1,1--”是“()f x 为奇函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】代入点得到()11a -=-，根据函数为奇函数得到()11a-=-，得到答案.【详解】()af x x =的图像经过点()1,1--，故()()111af =--=-；()a f x x =为奇函数，()()()()1aa a af x f x x x x -=-==-=--，故()11a-=-.故“()f x 的图像经过点()1,1--”是“()f x 为奇函数”的充要条件. 故选：C7．函数()21,0ln(1),0x x f x x x ⎧-≤=⎨+>⎩的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据指数函数和对数函数图象，结合特殊值的函数值，即可判断和选择. 【详解】当0x ≤时，()21xf x =-，故()1102f -=-<，排除ABC.故选：D.8．甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的八次测试得分情况如图，则下列结论正确的是（）A ．甲得分的极差大于乙得分的极差B ．甲得分的平均数小于乙得分的平均数C ．甲得分的标准差大于乙得分的标准差D ．甲得分的75%分位数小于乙得分的75%分位数【答案】C【分析】根据折线图和茎叶图可得甲乙两人的数据，根据数据特征进行判断即可得解.【详解】对于A ，乙得分的最大值为29，最小值为5，极差为24，甲得分的最大值小于29，最小值大于5，故A 错误；对于B ，甲得分的具体数据不易看出，不能判断甲得分的平均数与乙得分的平均数的大小关系，故B 错误；对于C ，乙得分的数据更集中，标准差更小，故C 正确；对于D ，甲得分的75%分位数大于202522.52+=，乙得分的75%分位数是17，故D 错误. 故选：C ．9．李明开发的小程序在发布时已有500名初始用户，经过t 天后，用户人数()()0e ktA t A =，其中k为常数.已知小程序发布经过10天后有4000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为（）（本题取lg 20.30=） A ．22 B ．23 C ．33 D ．34【答案】B【分析】依题意知()0500A =和()104000A =，从而求得()A t ，再令()50000A t >，结合对数运算可求得结果.【详解】由题意知()0500A =，则()500e ktA t =，又因为()104000A =，所以10500e 4000k =，解得13ln8ln 21010k ==，所以()3ln 210500et A t ⋅=，令3ln 210500e 50000t ⋅>，则3ln 2ln10010t ⋅>，所以2lg1001010ln10010lg1020lg e22.2lg 23ln 23lg 230.33lg et ⨯⨯>===≈⨯⨯，所以至少需经过23天. 故选：B.10．设a ，b ，c 是正整数，且[)[)[]60,70,70,80,80,90a b c ∈∈∈，当数据a ，b ，c 的方差最小时，a b c ++的值为（） A ．221或222 B ．222或223C ．223或224D ．224或225【答案】C【分析】计算()()()222219s a b b c c a ⎡⎤=-+-+-⎣⎦，要使方差最小，取69a =，80c =，根据二次函数性质得到答案. 【详解】设3a b cx ++=，a b c <<， ()()()()22222222113233s a x b x c x a b c x x a b c ⎡⎤⎡⎤=-+-+-=+++-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()22221133a b c a b c ⎡⎤=++-++⎢⎥⎣⎦()22222213332229a b c a b c ab ac bc =++------()()()22219a b b c c a ⎡⎤=-+-+-⎣⎦要使方差最小，故三个数据应该尽量靠近，故69a =，80c =，()()()2222222211698011229869801199s b b b b ⎡⎤=-+-+=-+++⎣⎦，对应二次函数对称轴为1492b =，故74b =或75b =时，方差最小，此时223a bc ++=或224. 故选：C二、双空题11．已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到-3，3，8，12，则这组数据的平均数为_.25%分位数为_.【答案】 5 0【分析】①数据全部相加除以总个数即可得到平均数；②总个数乘以百分比看得数为整数还是小数即可.【详解】①3381254x -+++==②425%=1⨯为整数，所以原数据的25%分位数为第1个数和第二个数的平均数，即3+32-=0. 故答案为：5 0.三、填空题12．2034log 2ln e 27++=______.【答案】10【分析】直接计算得到答案.【详解】20344log 2ln e 27log ln e 9019101=++++=++=. 故答案为：1013．已知甲乙两地温度如下，设甲、乙两地温度方差分别用21S 、22S 表示，则21S 、22S 的大小关系为______.时间（时）4 8 12 16 20 24温度（℃）甲地5- 7 15 14 4-3-乙地 14 10 7 2【答案】21S >22S【分析】先求得甲乙两地温度的平均数，再根据方差的计算公式求得方差，即可比较大小. 【详解】甲地温度的平均数为()15715144346-+++--=，乙地温度的平均数为()1141072046+++++=；故21S ()()()()()()22222212125474154144443463⎡⎤=--+-+-+-+--+--=⎣⎦； 22S ()()()()()()222222137144410474240463⎡⎤=-+-+-+-+-+-=⎣⎦，故21S >22S .故答案为：21S >22S .14．已知函数()f x 为在R 上的偶函数，且满足条件：①在[)0+∞，上单调递减；②()21f =，则关于x 的不等式()11f x ->的解集是______.【答案】()1,3-【分析】确定函数的单调性，画出函数简图，根据图像得到212x -<-<，解得答案.【详解】函数()f x 为在R 上的偶函数，在[)0+∞，上单调递减，故在(),0∞-上单调递增； ()21f =，故()21f -=.画出函数简图，如图所示：()11f x ->，故()()12f x f ->，故212x -<-<，解得13x -<<.故答案为：()1,3-15．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，定义函数()[]f x x x =-，则下列说法正确的有______.①函数()f x 的值域为[)01，；②方程()17f x =有无数个解； ③函数()f x 在R 上单调递增；④函数()f x 在定义域内为奇函数【答案】①②【分析】计算值域得到①正确；确定函数是周期为1的函数得到②正确③错误；举反例得到④错误，得到答案.【详解】()[]f x x x =-表示x 的小数部分，故()f x 的值域为[)01，，①正确； ()[]()11[1]f x x x x x f x +=+-+=-=，函数是周期为1的函数，7171f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故②正确③错误；1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1122⎛⎫-= ⎪⎝⎭f ，故函数不可能为奇函数，④错误。