极限思想在高中数学及应用

极限思想在高中解题中的运用
宜宾县一中 雷勇
极限的思想是近代数学的一种重要思想，我们在大学所学的数学分析就是以极限概念为基础、极限理论为主要工具来研究函数的一门学科。

而在高中一些数学问题的解答上如运用极限的思想，会是我们的解答简单而高效。

所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。

下面将用例题举出极限思想的妙处。

尝试将极限思想和方法渗透、融合在解题教学中，实现方法与内容的整合实践，以期引起广大师生的广泛关注和高度重视。

例1、过抛物线
)0(2
>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与QF 的长分别是p 、q ,则q p 1
1+等于（ ）
(A)a 2 (B) a 21
(C) a 4 (D) a 4
分析：本题是有关不变性的问题，常规解法是探求a q p 、、的关
系，过程繁琐，且计算较复杂。

若能充分借助于极限思想即取PQ 的极限位置可使问题变得简便易行：将直线PQ 绕点F 顺时针方向旋转到与y 轴重合，此时Q 与O 重合，点P 运动到无穷远处，虽不能再称它为抛物线的弦了，
它是弦的一种极限情形，因为
a OF p QF 41
=
==，而+∞→=q PF ，所以
a q
p 41
1→+，故选择（C ）。

针对客观选择题题型的特点，这种解法体现出思维的灵活性和敏捷性，凸现了试题的选拔功能。

例2、正n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（ ） A （
2,n n ππ-） B （1
,n n
ππ-） C （0,2
π
） D （
21
,n n n n
ππ--） x
y
F
P
Q
O
H
A n
A 1
A 2
A 3
S
分析：当正棱锥的顶角无限接近底面时，两侧面所成的二面角无限接近π.当正棱锥的高无限增大时，两侧面所成的二面角无限接近正n 多边形的一个内角，即为2n n π-，因此，所求二面角的范围应为（2
,n n
ππ-）
例3、已知长方形的四个项点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和
AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 坐标为),0,(4x 若,2x 14<<则
θtg 的取值范围是（ ）
A ．)1,31(
B ．)32,31(
C ．)2
1,52(
D ．)32,52(
分析：本题命制得很有趣，它把人们常见的台球活动模型迁移到数学试题中，考查了处理几何、代数问题的能力，是一个小型综合题，我们可以充分利用几何关系通过“极端位置”找出θtg 的取值范围，根据极限的观点，令14→x ，不妨令
4P 与0P 重合，依据入射角等于反射角，即知1P 、2P 、3P 均为各边中点，此时
2
1
tan =θ，而四个选择项中仅有选择项（C ）与此数据有关，故选（C ）
例4、已知函数21()(1)4
f x x =+，若存在,t t 为实数，只要[1,]x m ∈(1)m
>，就有
()f x x ≤，则m 的最大值是
分析：作函数y x =与21
(1)4
y x =+的图像，平移f(x)的图像.使之与直线y x =交于（1，1）和(,),(1)m m m >两点，此时所得的图像是()y f x t =+，图像的极端位置；于是解方程组(1)1()f t f m t m +=⎧⎨+=⎩
，再由1m >，得4
9t m =-⎧⎨=⎩，所以max 9m =
x
θ
4P B
C
D
P 1
P 2
P 3
P A
y
例5、 已知数列{}n a 中，51=a 且对于任意正整数n ，总有2
1-=
+n n
n a a a ，是否存在实数b a ,，使得n n b a a )4
3
(--=，对于任意正整数n 恒成立？若存在，给出证
明；若不存在，说明理由。

分析: 如果这样的b a ,存在的话，则由n
n b a a ⎪⎭⎫
⎝⎛--=43，可得a a n n =∞
→lim 。

对2
1-=
+n n n a a a 两边取极限，得2-=a a
a ，解得0=a 或3=a 。

若0=a ，则数列{}n a 应该是以51=a 为首项、以4
3
-=q 为公比的等比数列，
于是，1
435-⎪
⎭
⎫
⎝⎛-⨯=n n a ，415
4351
22-
=⎪
⎭
⎫
⎝⎛-⨯=-a 不符合2112-=a a a 显然，不可能对任意的正整数n 都满足2
1-=
+n n
n a a a ； 若3=a ，将51=a 代入n
n b a a ⎪⎭
⎫
⎝⎛--=43 ，可求得38=b ，此时，n
n a ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=43383，
验证：2
24338335⎪⎭⎫
⎝⎛--≠=a ，不符合n
n
a ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=43383。

所以，这样的实数
b a ,不存在。

例6、设n 为自然数，求证:()4
1
121251912
<++++n 分析： 当1=n 时，不等式显然成立。

设()1≥=k k n 时，不等式成立，即
()4
1
121251912
<++++k ()1 那么，当1+=k n 时，
()()()
222321
4132112125191++<++++++k k k
由于
()4
1321412>++k ， 证到此处，用数学归纳法证题思路受阻。

之所以用数学归纳法证题思路行不通，其原因在于
4
1
是一个常数，从k 到()1+k 右边常量不变，而左边在增大，这样，无法使用归纳假设。

当联想()4114lim
=+∞→n n n ，且当1=n 时，()9
1
8114>=+n n ，不妨把要证结论强化为：
()()
14121251912+<++++n n
n ()2 证明：①当1=n 时，
()9
1
8114>=+n n ，不等式()2成立， ②设()1≥=k k n 时，不等式()2成立，即
()()
14121251912+<++++k k k 那么，当1+=k n 时，
()())
2(41)42)(22(1
141)32(1)1(43211212519122
2++=
+++
+<++
+<++++++k k k k k k k k k k k 即当1+=k n
时，不等式()2成立，所以有
()
()4114121251912
<+<++++n n n
通过以上例题可以看出，让学生掌握和运用极限思想，不仅降低了某些问题的解题难度，而且在寻找解题思路、探索发现新结论有着重大作用。