耦合电感及变压器

L1' = L1 − M
L2 = L2'+ L3'⇒ L2' = L2 − M
M = L3'
L3' = M
耦合电感相联，公共联接点和外电路相联时
适用 去耦等效电路中要注意公共联接点
的移位
补例2 求等效电感 Lab
M=3H
a
a 3H
3H 6H
M=4H 5H 6H
b 1.5H
解 a 3H 6H
Lab=6H
能否由已知条件 判断联接方式?
解： M = L顺 − L反 = X 顺 − X反
4
4ω
Z = R2 + X 2 , V = Z I , P = I 2R
顺接时：V I顺 P顺 反接时：V P反 R
Z 顺 R X顺
I反 Z 反 X反
Z
顺
=
VU I顺
=
88Ω
R
=
P
I
2 顺
=
10Ω
M
=
L顺
− L反 4
=
X顺 − X反 4ω
v2 =2
v1
= i1
v2
=
0
i1 =
i2i2=0
−
1 5
*
v1 1:20 * v2
v1 = − 1 v2 20
i1 = i2 = 0
~
~
二、阻抗变换 1 I1
I2 2
*. *
Zeq
~
V1
n:1.
~
V2
ZL
1' 得的功率 P
jω (L1 +- M) jω (L2 +- M)
R1 6Ω
j5Ω -jω M
ab j5Ω ~ 1
j5Ω I = 0
~
VS
12∠0°V R2
a
6Ω
Z
=
Z
* eq
=
3
−
j7.5Ω
Zeq = 3 + j7.5Ω
Pma1x '=
Vo2c 4 Req
=
3W
9.10 变压器
~
I1 1
2
~ ZS
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i1 M i2
**
v1
=
L1
di1 dt
+
M
di2 dt
v1 L1
L2 v2
v2
=
L2
di2 dt
+
M
di1 dt
V~1若=ij1ω，Li12I~频1I~+率1 jω相M同I~j，2ωMVVC~2R=可jωI采~2L用2I~2相+量jω形M式I~1
+
M
di dt
+
L2
di dt
+
M
di dt
=
(
R1
+
R2
)i
+
(
L1
+
L2
+
2
M
)
di dt
若为正弦稳态电路
~
~
~
V = ( R1 + R2 ) I + jω( L1 + L2 ± 2M ) I
~
~
~
= R I + jω L I = Z I
~
IR
jωL
~
V
a
黑
c 如何判断同名
b
盒 子
d 端及测互感?
互感现象
利用—变压器：信号、功率传递 避免—干扰
克服：合理布 置线圈相互位 置或增加屏蔽 减少互感作 用。
电抗器
电抗器磁场
铁磁材料屏蔽磁场
*耦合电感的联接
一、耦合电感的串联
顺向串联 反向串联
i
R1
*
L1
*
M
**
L2
R2
v
v = vR1 + vR2 + vL1 + vL2
=
R1i
+
R2i
+
L1
di dt
9H -3H
b
1.5H
b 2H 3H
M=1H
a 1H
Lab=6H b 3H
2H 3H
4H
例
R1
~
VS
jωL1
~
I1
jωM
..
a
jωL2 I&
1
R2
ZL
VS=12V, ωL1=ωL2=10Ω , ω M=5Ω , R1=R2= 6Ω , 求 ZL 最佳匹配时获
解： jω (L1 +- M)
R1 6Ω -j5jΩω M
电感(自感) L：单位电流产生的磁通链
Φ λ （单位：H, mH, µH）
i v
< L=λ
i
磁链
磁通
λ = NΦ = Li
v = dλ = L di
线圈
dt
dt
匝数
*耦合电感元件
一、互感
Φ21
λ 21
xyxy::变产量生所该在变线量圈的号电
流所在线圈号
M12 = M21= M
i1
1
Φ12
λ12
互感“削弱” 2
二、去耦等效法
耦合电感 ⇒ 三个独立电感
A
i1
*
L1 *
M
**
L2
i2 B A
i1
v1
O v2
v1
L1' O' L2' i2 B
i
L3'
i1 +
iv22
v1
=
L1
di1 dt
+
M
di2 dt
v2
=
L2
di2 dt
O +
M
di1 dt
v1
=
L1
'
di1 dt
+
L3'
di dt
=
(L1'+ L3' )
dt
如何确定互感
v2
=
L2
di2 dt
+− M
d i1 dt
电压的正负?
例6.6 求含有磁耦合线圈电路的网孔电流方程
（a）根据图6.25所示电路中的电流 i1 和 i2 ，列 写一组网孔电流方程式。
图6.25 例6.6的电路
• 解： 沿第一个网孔对电压求和，产生
4 × di1 + 8× d × (ig − i2)+ 20× (i1 − i2)+ 5× (i1 − ig ) = 0
v1
L1 L2
v2
1'
λ1
= =
λ11 − L1i1 −
λ12 MM12ii22
ΦΦ11
λ
λ
11
v1
=
dλ1 dt
=
L1
di1 dt
−
M
di2 dt
2'
λλ
22
ΦΦ 22
i2
λ2 = λ22 − λ21 = L2i2− M 2i11i1
v2
=
L2
di2 dt
−
M
di1 dt
λ1 = λ11 + λ12
=
35.5mH
X顺 =
Z
2 顺
−
R2
=
87.4Ω
ω
= 2πf
I反 =
P反 = 5A R
Z
反
=
VU I反
=
44Ω
X反 =
Z
2 反
−
R2
=
42.8Ω
实验测定互感
的方法：
~
~
I 1 R1 jωM R2 I 2 = 0
1、伏安法
~
V1
*. * jωL1 jωM . jωL2
~
V2
~
~
V1 =VS
V A
~~
~
di2 dt
=
L2
di2 dt
+
M
di1 dt
二、耦合电感VCR 三、 同 名 端(点标记）
1
v1
i1
L1 *.
M M
i2
* .
L2
2
v2
1、电流同时流入(出) 同名端时，互感增助 互感、自感电压方向相同
反之亦反
1' v1 =
L1
di1 dt
+− M
2' di
2
2、互感电压正极性端和 电流相对于同名端一致
dt dt 第二个网孔方程是
20× (i2 − i1) + 60i2 + 16× d (i2 − ig) − 8 × di1 = 0
d
dt
通过4H线圈的电流为(ig − i2) ,则线圈电压为
8d(ig − i2)dt ，该电压降与i1 方向一致。电流 i1在16H感 应的电压是 8di dt ，其电压升与 i 2方向一致。
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Z = R + jωL
R = R1 + R2 , L = L1 + L2 ± 2M
1、判断同名端
L顺 > L反 ⇒ Z顺 > Z反
电压相等时：I顺 =
UV Z顺
< I反 =
UV Z反
电流相等时：UV顺 = Z顺 I > UV反 = Z反 I
Z 22 反映副边对原边的影响
和副边阻抗性质相反
电源发出有功: P = I12(R1+Rr)
•等效电路法分析 副边等效电路 ~
−
ZM
~
V
S
~
I2
=
Z22
Z11 + (ωM
Z11
)2
Zr
I2
~ (ωM )2
V oc Z11
Z22
原边对副边的反映（引入）阻抗
副边开路时，原边电流在副边产生的互感电压
注意 副边等效电路可又戴维南等效电
L2
= jω L1( 1 − k 2 )
= L1(1− k2)
补例2
~
ω =106rad/s, V s = 10∠0o V , R1=10Ω,
L1=L2=0.1mH , M=0.02mH , C1=C2=0.01µF
问：R2=？能吸收最大功率, 求最大功率。
1/jω C1 jω M 1/jω C2
~+ VS–
V~1 jωL1 *
*
jωL2
V~2
L1 = 2H , L2 = 3H , M = 1H L1 = 2H , L2 = 1H , M = 1H
如何比较电感 耦合的紧密度?
k1 =
1 6
< k2 =
1 2
四、耦合系(因)数
def
k=
λ12 ⋅ λ21
λ11 λ22
0≤k = M ≤1 L1 L2
全耦合
V~S
10Ω 400 R2
当 Zr = Z11 = 10 R2=40Ω 时吸收最大功率
Pmax = 102 (4 ×10) = 2.5W
解2
应用副边等效电路
~
~
V
oc
=
jω M
⋅V
S
Z 11
Zr
=
(ω M Z 11
)2
= 40
I~ 2
V~oc
R2
= j20 × 10 = j20 V 10
当 Zr = R2 = 40Ω 时吸收最大功率 Pmax = 202 (4× 40) = 2.5W
路求解
补例1 全耦合电路如图，求ab端的等效阻抗。
a
vS+
–b
M ** L1 L2
解1 Z11 = jω L1
Z22 = jω L2
Zr
=
(ωM Z22
)2
=
− jω
M2 L2
Zab = Z11 + Zr
L1－M L2－M a
vS
M
b
解2 去耦等效电路
Lab
=
L1
−
M
+
M(L2 − L2
M))
= L1L2 − M2
jω
ab
(Lj52Ω+-1'~M得) 的1功V~率ocP=
1~ V
2
S
j5Ω I = 0 = 6∠0°V
~
VS
12∠0°V R2
a
6Ω
1'
例
R1
~
VS
jωL1
~
I1
jωM
..
a
jωL2 I&
1
R2
ZL
VS=12V, ωL1=ωL2=10Ω , ω M=5Ω , R1=R2= 6Ω , 求 ZL 最佳匹配时获
~
VS
jωL1
*.
* jωM .
jωL2
ZL
1'
2'
~
~
~
( ZS + R1 + jω L1 ) I 1 − jω M I 2 = V S
~
~
- jω M I 1 + ( R2 + jω L2 + ZL ) I 2 = 0
~
~~
{ Z11
I1
~
+
Z12
I2
~
=V S
Z21 I1+Z22 I2 =0
~
Φ21
λ2 =λ22 + λ 21
= L1i1 + Mi2
1 i1
v1
* .
1'
Φ12
L1 L2
互感 “增助”
= L2i2+Mi1
i2 2
* .
v2
2'
v 11 自感
v 12 互感
v 22 电压 Φ11
Φ22
v 21 电压
v1 = v11 + v12
v2 = v22 + v21
=
L1
di1 dt
+
M
VV2 2==±0jω M I 1
V2 = ω M I1
R = R1 + R2 , L = L1 + L2 ± 2M
2、三表法
UV顺 I P顺
~
I R jωL
= = >
~
XV反 I P反
V
M = L顺 − L反 = X顺 − X反
4
4ω
类似于补例1
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~
I1 =
Z 22 V S
Z~11 Z 22 − Z12 Z21
=
VS
Z 11
−
Z
2 M
Z 22
~
~
I2
=
−
Z 21
I1
Z22
−
ZM
~
V
S
=
Z11 Z22 −
Z
2 M
Z11
•等效电路法分析 ~
原边等效电路
~
I1
=
VS
Z11
−
Z
2 M
Z 22
~
VS
(ωM )2
~
I1
Z11
Zr
=−
ZM2 Z22
Zr
副边对原边的反映阻抗
=m
1 n
功率： p(t) = v1i1 + v2i2
=
± nv 2
(m
1 n
i2
)
+
v2i2
=0
无功率损耗
补例1 写出下列理想变压器的特性方程
i1
i2
i1
i2
**
v1
v2
** v1
v2
10:1
5:1
v1 = 10 v2 i1 *
i1 = 1 i2 i2 10
v1 v1 = v2
1
1:2
* i1
2 i2
di1 dt
+
L3
'
di2 dt
v2
=
L2
'
di2 dt
+
di L3' dt
=
(
L2
'+
L3
'
)
di2 dt
+
L3
'
di1 dt
A
L1-
M O'
L2-
MB
L1 + M L2 + M
(同名端)M - M(异名端)
等效参数仅与O 点联接端有关， 和电压、电流参 考方向无关
O
{ { L1 = L1'+ L3'
2、测M的值 M = L顺 − L反 4
补 测量两线圈互感时, 把它们串接至220V, 例 50Hz的正弦电源。在一种联结方式下, 测
1 得I=2.5A, P = 62.5W； 将其中一个电感
反向再次测量，得P =250W。求互感M
V, R 不变
P = 62.5W 顺接 I<I
P = 250W 反接
9.11 理想变压器
实际变压器的 理想化模型
一、特性方程Biblioteka Baidu
1 i1
v1
1'
原边线圈
*.
i2
*
2
. v2
n:1 2'
N1 副边线圈 N2
v1 = N1 = n
v2
N2
i1 = N2 = 1
i2
N1
n
电压相对于同名端
n = N1
一致时取正，电流
N2
方程判断方法相反
相量形式
VV~~12 = ±n
I~I~21
R1 jω L*1
* jω L2 R2
解1
Z11 Z 22
=
R1
+
j(ω
L1
−
1 ωC
=
R2
+
j(ω
L2
−
1 ωC2
1
)
) =
= 10Ω R2
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应用原边等效电路
~I1
Zr
=
(ω M Z 22
)2
=
400 R2
VS
电源
R1 jωM R2
**
jωL1
jωL2
~
I2
ZL
负载
1'
2'
初级回路 初级线圈 次级线圈 次级回路
原边回路
副边回路
能量通过耦合作用传递
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~
I1 1
•回路法分析
~
2 I2
ZS
R1 jωM R2