华中科技大学流体力学课件Fm9

1 (1 1
1 2 1 21
2
M12 11 M 2 ))11
M
2 2
9.1 正激波
4. p1与p2关系（动量方程）
p2 p1
2
1
M12
1 1
5. p2 / p1与2 / 1关系
1 2 1
p2 p1
1 1 1 2
1 1
6. p01/p02与M1关系（绝热关系 T01= T02 ）
maxM无1解， max45.4
(气流折转角)
max 单解
max 双解 M 2 1
M2 1
M1 2.8 M 2 1
(斜激波角)
9.2 斜激波
例5. 设=1.4的超声速气流流过顶角2=20的楔形物，在 楔形物顶点产生斜激波。由纹影图量得=50，并测得
激波后T0=288K。求激波前马赫数M1和速度u1。
1V1nV1 2V2nV2 V1 V2 V
法向动量方程
p1 p2 1V1n (V2n V1n )
激波压缩为绝热过程
C
pT1
V12n 2
V12 2
C pT2
V22n 2
V22 2
CpT0
9.2 斜激波 比斜较激正波激四波个的关关系系式式
1、连续性方程 1V1n2V2V2 2n
2、动量方程
温度。
解 激波前有
例
T0 T1
1
2
1
M
2 1
=1.66
题
激波前后总温相等。因此激波后的叶片上的
驻点温度即总温 T0
T0=1.66700=1162K
例7. 飞机在高空匀速飞行，空气经正激波进入超声速扩
压器。相对于激波V2=260m/s，T02=400K。求: (1) p01/p02; (2)V1; (3)V2增加到多少，扩压器前不出现激波？
积A与喉部面积A*之比。
9.1 正激波
p0=15105Pa, Ae/ A*=8
解 （1）喉部临界状态，无激波，求出口截面压强
例
AA2 A*A1
1M(11 MM 2
11M1
(12
2 11
22
M2 22 1 1 ) )2( 21() 1)
M
2 1
M
0.073 3.677
题
p0
(1
1
M
2
)
1
p
2
T
2
等熵流动关系式
p0
(1
1
M
2
)
1
p
2
0
(1
1
M
2
)
1 1
2
9.1 正激波 1. V1与V2的关系
V1V2 c*2
引入速度系数得
12 1
超声速气流经过激波变成亚声速气流
亚声速气流能否经过激波变成超声速气流 ？
9.1 正激波
2. M1与M2关系 用到速度系数与马赫数关系
1M 2
M2 M1
斜激波
脱体激波
微弱扰动波（压缩波）叠加 产生强间断面（激波）
9.1 正激波
9.1 正激波 一、激波的形成及激波的主要特征 V=Vg V=0
静止气体 Vs 激波传播速度
等截面圆管
波面动坐标系中的定常流
活塞在极短时间内 由零加速至有限值
激波波面控制体
激波的形成
9.1 正激波 1. 激波是速度、压强、密度和温度的间断面
1
M
2 1
p2 p1
2
1
M12
1 1
A A*
1 M1
1 (
2
1
M
2 1
1
)
1 2( 1)
=4.017
2
9.1 正激波
第9章 激波与膨胀波 § 9.2 斜激波
气流折转角 斜激波角
在激波波面上建立控制体
9.2 斜激波
一、斜激波前后参数关系
连续性方程
波面控制体
1V1n 2V2n
沿波面方向动量方程
p
14.94 105
0.153
105
Pa Pa
等熵变化的亚声速流 等熵变化的超声速流
9.1 正激波
（2）若出口截面发生正激波， 求波后压强
例
p2 p1
2
1
M12
1 1
15.61
p
14.94 105
0.153
105
Pa Pa
p0=15105Pa Ae/ A*=8
p2 0.153105 15.61 2.39105 Pa
s2
s1
R ln
p01 p02
Cv ln
p
C
9.1 正激波
超声速气流经过激波变成亚声速气流（非等熵）
T01 T02
V1V2 c*2
12 1
M
2 2
1
M
2 1
2
1
M
2 1
1
2
p01
（
1
） （1
p2
1
） 1
p02 2
p1
p2 p1
2
1
M12
1 1
2 1
1
1
2
2
M
2 1
1 M12
例1. 设=1.4的超声速气流中放置一钝头测速管，在管前
解. 波后 T2=366.4K，c2=384m/s，M2=0.678
例
(1) 激波前后参数关系
M1=1.569
p2 2.7054 2 1.9795
p2 p1
T2
M12222
111MM212122121M1MM12212112
1 1
1.3667
题
p1
1
T1
p01 p02
（
1
） （1
2
p2
1
） 1
产生正激波。已测得管前壁面 p1=10.5kN/m2，激波后气 流温度180C ，及激波后测速管头部总压 p02=50kN/m2。 求激波前马赫数M1和速度V1。
解. 激波前后压强与马赫数关系
例
p2 p1
2
1
M
2 1
1 1
题
p02 p02 p2
p1 p2 p1
9.1 正激波 激波前后压强与马赫数关系
M
2 1n
1 2
2 1
V1n V2n
1
1
2
2
M
2 1n
1 M12n
p2 p1
2
1
M
2 1n
1 1
9.2 斜激波
如何确定激波角 ？
V1n V2n
1
1
2
2
M
2 1n
1
M
2 1n
几何关系
V V1n cot V2n cot( )
tan(
tan
)
1
1 2
M12
sin
2
2
1
M
2 1
sin 2
T1=292.9K
V1=624.4m/s
例2. 滞止压强为 p0 的空气流入缩放喷管。设：当喉部
压强达到 p*，扩张段为亚声速流时出口压强为 pf ，扩
张段为超声速流时出口压强为 pa；管口出现正激波时
背压 pe=pd 。由下列背压情况判断管内流动状态：
（1） p0 > pe > pf
亚声速
pp0f
(
2
T* T0
T0 Te
) 1
p0 1
9.1 正激波
再由 p02、p02/p01求M1
p02 pe
(1
2
1
M
2 e
)
1
例
p01
（
1
） （1
p2
1
） 1
p02
2
p1
M1=2.945 题 波前等熵流有
pe=5105Pa, Me=0.216
2 1
1
1
2
2
pAM0e=1/2 A15*=8105Pa
2
1
2
1 M
2
2
12 1
1 2
M
2 1
1 2
M
2 2
1
1 2
M
2 1
1
1 2
M
2 2
1
或
M
2 2
1
M
2 1
2
1
M
2 1
1
2
9.1 正激波
3. 2/1 与M1关系（连续方程）
2 1
1
1
2
2
M
2 1
1M
2 1
激波为绝热压缩波，当M1(空气)
2 1 6 1 1
对于等熵变化的压缩波
02 1
p1 p2 21V122n (V2n1V12V1n )
3、绝热能量方程
C pT1
V 22 11n 22
CCppTT22VV222222nCCpTp0T0
V2 2
4、状态方程
p1 p2
1T1 2T2
V1nV2n
c*2
11V2
当V=0同正激波
9.2 斜激波
斜激波倾斜角确定后，用M1n同正激波计算 在切向运动系中类比正激波
（p出2=）pepe缩= 放pf 管全为亚声速 （p出3=）pepf >喉p部e >声p速d ，扩张段亚声速
pd
（p出4=）pepe喉= p部d 声速，扩张段内出现激波超声速
pa
（5） pd >p出pe=>pap，a pd=pe 喉部声速，扩张段内超声速流
（6） （7）
pe pe
p=<pp出出出pp速===aa p流ppaaa<=>，速ppp出流eee 流喉口喉，喉激，部外部出部波声脱声出口声位速体速口处速于，激，无处，出扩波扩膨膨扩p口0张或张胀胀张段斜段波波段超激内和内A声波超激*超声波声速
A2 A1
M1 M2
1
( 1
2
1
M
2 2
)
1 2( 1)
2
1
M12
p0
(1
1
M
2
)
1
p
2
9.1 正激波
9.1 正激波
连续性方程和动量方程
1V1 2V2 p1 p2 2V22 1V12 绝热定常流动能量方程
定常流
C pT
u2
2
CpT0
2(
1 1)
c*2
1 2
um2
T0 1 1 M 2
p01
（
1
） （1
p2
1
） 1
p02
2
p1
9.1 正激波
7. s01/s02
ds
q
T
1 T
(CvdT
pd
1)
s
Cv
dT T
R
d
s2
s1
Cv
ln(
p2 p1
1 2
)
Cv Cv
ln ln
T ( 1)Cv
T
1
C'
ln
p01 p02
C' （
1 2
） （1
p2 p1
1
） 1
Cv ln
p
R
C'
在他运热动M力坐22学n 标参系1数M中应12n，2和1除驻M滞2正112n止激参波数相外同其
这里
如何确定激波角 ？
M1n
V1n c1
V1 sin c1
M1 sin
M 2n
V2n c2
V2 c2
sin(
)
M 2 sin(
)
9.2 斜激波
斜激波前后参数关系
M
2 2n
1
1 2
M
2 1n
波后气流速度
9.1 正激波 二、正激波前后的参数关系
M>1 M<1
激波是厚度可忽略的绝热压缩波
9.1 正激波 可控喉口调节超声速气流状态
调节气流方法： (1) 调节真空泵阀门开度——改变背压； (2) 调节第二喉口面积。
实验室气压
阀门前气压
扼流 阻塞 触发
9.1 正激波 激波 亚声速 扼流
9.1 正激波 阻塞
pe
9.1 正激波
拉伐尔喷管内的正激波
例4. 空气流入拉伐尔喷管p0=15105Pa，出口面积 Ae 与喉部面积 A* 之比 Ae/ A*=8。
（1）若喉部达到临界状态，管内未发生激波，求 出口截面压强；
（2）若出口截面发生正激波，求波后压强； （3）若背压 pe=5105Pa，求管内发生激波处的面
9.2 斜激波
斜激波后的气流偏转角 和激波倾斜角 的关系
tan 2 cot (M12 sin 2 1) 2 M12 ( cos 2 )
=0， M12 sin 2 1 斜激波退化为马赫波 =0， 正激波
2
9.2 斜激波
tan
2 cot
(M
2 1
sin
2
1)
2
M
2 1
(
cos 2 )
触发
9.1 正激波
p* (
2
) 1
p0 1
问题1： 拉伐尔喷管扩张段沿 流向测得压强减小， 试问管内是亚声速气 流还是超声速气流？
问题2： 一定截面形状的拉伐 尔喷管喉部已达到声 速，试问此时能否确 定出口截面的压强？
9.1 正激波 亚声速
超声速
喉部达到声速后，扩张段 流速与出口背压有关
等熵条件下
9.1 正激波
2. 正激波的传播速度
连续性方程
p1
1V1A 2V2 A
p2
1V12
(
2V22 1V12
1)
动量方程
( p1 p2
)
A
2V22
A
微1弱V12扰A动波Vs=c
Vs V1
2 p2 p1 1 2 1
波前气流速度 (激波移动速度)
V1 V2 Vg
( p2 p1)(2 1) 12
第9章 激波与膨胀波
§ 9.1 正激波 § 9.2 斜激波 § 9.3 膨胀波
第9章 激波与膨胀波
§ 9.1 正激波 一、激波的形成及激波的主要特征 二、正激波前后的参数关系
激波
微弱扰动波叠加产生的强间断面 厚度在分子自由程量级
绝热、不可逆非等熵过程 水跃
激波
9.1 正激波 压缩波汇聚为激波
M>1
p1
1.1031
(2) 激波前 T1=268.1K ，c1=328m/s，V1=515m/s
9.2 斜激波
例8. M1=3的超声速空气流，沿凹壁面折过角度=15，
求斜激波后的马赫数M2。
解 将方程写为 f (x)=0的形式，x=；
例
Mtan12sin 22cot2c(oMt 12 sinM2 12tan1) cos 2
解 斜激波角 、气流折转角 与波前马赫数关系
例
tan
2 cot (M12 sin 2 1) 2 M12 ( cos 2 )
激波前马赫数 M1=1.6255
题
T0 T1
1
2
1
M
2 1
激波前后T0不变
T1=188.42K
u1 M1 RT1 447.27m / s
9.1 正激波
例6. M1=2 、T1=700K 的过热蒸汽( =1.33, R=462J/kgK) 绕叶片流动，在叶片前方产生正激波。试求叶片上驻点
题
9.1 正激波
（3）背压pe=5105Pa，求发生激波处A/A*
先求Me ， A*与Ae处Qm不变
例
Qm
uA
p RT
M
RT A
p0=15105Pa Ae/ A*=8
题
p* T*
A*
pe Te
M e Ae
p* A* pe Ae
Me
(1
2
1
M
2 e
)
/
出口马赫数 Me=0.216
1 2
p*
T* Te
p02 p02 p2 p1 p2 p1
p02 p1
(1
2
1
1MM221)2211(M221121)
M11(2
21M11)12
1) 1
例 用牛顿迭代法解出波前马赫数M1=1.82
题
M
2 2
1 M12
2
1
M12
1
2Baidu Nhomakorabea
M2=0.612
激波后T2=453K
T2 T1
T2 T0 T0 T1
1.547