样本空间
概率与统计中的抽样与样本空间
概率与统计中的抽样与样本空间概率与统计是数学的一个重要分支，涉及到很多与现实生活相关的问题。
在概率与统计中，抽样与样本空间是两个重要的概念。
本文将详细介绍抽样与样本空间的概念及其在概率与统计中的应用。
一、抽样的概念抽样是概率与统计中的一个重要概念，指的是从总体中选择部分个体进行观察、测量和研究的过程。
在实际应用中，总体往往很大，很难对每一个个体进行研究分析。
而通过抽样，我们可以通过对样本的研究来推断总体的特征。
1.1 简单随机抽样简单随机抽样是指在总体中每个个体被选入样本的概率相等的抽样方法。
简单随机抽样的优点是操作简单且具有代表性，能够更好地反映总体的特征。
1.2 系统抽样系统抽样是指按照一定的规则，每隔一定的间隔选择一个样本元素的抽样方法。
通过系统抽样，可以较好地保持总体特征。
1.3 分层抽样分层抽样是按照总体的某些特征将总体划分为若干层次，然后在每一层中进行简单随机抽样或系统抽样的方法。
分层抽样能够更好地反映总体的特征和差异。
二、样本空间的概念在概率与统计中，样本空间指的是一个随机试验中所有可能结果的集合。
例如，掷硬币的随机试验中，样本空间为{正面, 反面}；掷骰子的随机试验中，样本空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
2.1 样本点样本空间中的每个元素称为样本点。
对于掷硬币的随机试验，样本点即为{正面, 反面}中的每个元素；对于掷骰子的随机试验，样本点即为{1, 2, 3, 4, 5, 6}中的每个元素。
2.2 事件在样本空间中，根据我们感兴趣的问题，可以定义一些子集，称为事件。
事件即为一个或多个样本点的集合。
例如，对于掷硬币的随机试验，事件A可以定义为“出现正面”，即A={正面}；事件B可以定义为“至少出现一次反面”，即B={正面, 反面}。
三、概率与统计中的应用概率与统计中的抽样与样本空间具有广泛的应用。
以下是一些应用场景的例子：3.1 市场调查在市场调查中，常常使用随机抽样的方法来选择调查对象。
1-2节 样本空间和随机事件
A ( B C ) ( A B) ( A C ),
(4)德 摩根律 : A B A B, A B A B.
(对偶律)
A A,
i 1 i i 1 i
样本空间的元素由试验的目的所确定.
二、随机事件
随机事件 在一次试验中可能发生也可能不发
生的结果称为随机事件, 简称事件.事件常用A、
B、C表示. 随机事件是由样本空间的某些样本点构成的. 例如 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. 试验中,骰子“出现1点”, “出现2点”, … ,“出现6 点”, “点数不大于4”, “点数为偶数” 等都为随机事件.
空集 和样本空间S都是样本空间S的子集, 在每次试验中 必不发生,称 为不可能事件; S 必发生,称 S为必然事件. 为叙述方便,把不可能事件和必然事件都包括 在随机事件中.
三、事件间的关系及运算
设试验 E 的样本空间为 S , 而 A, B, Ak (k 1,2,) 是 S 的子集.
个事件,称此事件为事件 A与事件B的积事
件. 记作 A I B或AB 显然 A I B {e | e A且e B}.
A AB
B
S
图示:事件A与B 的积事件.
积事件具有如下性质：
(1)若A B, 则A B A; B A, 则A B B.
(2) A B A; A B B.
3. 和事件
“事件 A与事件B至少有一个发生”也是 一 个事件, 称此事件为事件 A 与事件B的和事件. 记作A B，显然A B {e | e A或e B}.
B A
S
1.2样本空间、随机事件
二、随机事件的概念
1. 基本概念
随机试验 E 的样本空间 S 的子集称为 E 的随 机事件, 简称事件.
每次实验中, 当且仅当这一子集中的一个样本 点出现时, 称这一事件发生.
由一个样本点组成的单点集, 称为基本事件.
样本空间 S包含所有的样本 , 它点是S自身的 子集, 在每次实验中它总是发生的, S称为必然事 件.
A S
某种产品的合格与否是由该产品的长度与直
径是否合格所决定, 因此 “产品不合格”是“长
不合格”与“直径不度合格”的并.
n
推广 称 A k为 n个事 A 1,A 2 件 , ,A n的和事 k1
件, 称 A k为可列 A 1,A 个 2, 的 事和 件 . 事件 k1
3 . 事 A B x x 件 A 且 x B , 称为事件A
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的模 型, 也可以作为产品检验中合格与不合格的模型, 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的模型.
课堂练习
写出下列随机试验的样本空间. 1. 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和. 2. 生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的 总件数.
所以在具体问题的研究 中, 描述随机现象的第一步 就是建立样本空间.
对立事件与互斥事件的区别
A、B 互斥
A、B 对立
A
BS
AB
互斥
A
B A S
A B S 且 A B
对立
事件间的运算规律 设A,B,C为事,件 则有
(1)交换律 AB BA; AB BA.
(2)结合律 A(BC) (AB)C; A(BC) (AB)C.
(3)分配律 A(BC) (A B ) (A C ); A(BC) (A B ) (A C ).
样本空间
相等关系
事件B 事件 相等(或称等价) ,记作 A = B .
若 A B 且B A,则称事件A与
概率论
2. 和事件: 事件 A、B 至少有一个发生所构成 的
∪ 事件叫做事件 A与事件 B的和.记作 A∪ B .
类似地, 称事件 A 、A2、 、An 中至少有一个发 … 1
生的事件为事件 A、A 、 、A 的和事件. 记之为 1 2 … n n A ∪ A2 ∪…∪ An , 简记为 ∪ Ai . 1
互为对立事件.事件 A的对立事件记为 A .
概率论
对立事件与互斥事件的关系:
. 对立一定互斥, 但互斥不一定对立
两事件A 互斥： 两事件 、B互斥： AB = 互斥 不可能同时发生. 即A与B不可能同时发生 与 不可能同时发生 两事件A 两事件 、B互逆或互为对立事件 互逆或互为对立事件 除要求A 互斥( 除要求 、B互斥 AB = )外，还要求 互斥 外
试验有一个需要观察的目的
概率论
我们注意到 试验是在一定条件下进行的 试验有一个需要观察的目的 根据这个目的, 试验被观察到多个不同的结果. 根据这个目的 试验被观察到多个不同的结果 试验的全部可能结果,是在试验前就明确的 试验的全部可能结果 是在试验前就明确的; 是在试验前就明确的 或者虽不能确切知道试验的全部可能结果,但可 或者虽不能确切知道试验的全部可能结果 但可 知道它不超过某个范围. 知道它不超过某个范围
S = {t ：t ≥0｝ ｝
概率论
调查城市居民（以户为单位） 调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支 出，结果可以用（x，y）表示，x，y分别是烟、 结果可以用（ ）表示， 分别是烟、 分别是烟 酒年支出的元数. 酒年支出的元数
这时， 这时，样本空间由坐标平面第一象限内一定区域 内一切点构成 . 也可以按某种标准把支出分为高、 也可以按某种标准把支出分为高、中、低三 这时，样本点有（ 高 （ 中），…， 档. 这时，样本点有（高,高）,（高,中）， ， (低,低）等9种，样本空间就由这 个样本点构成 . 低低 种 样本空间就由这9个样本点构成
1.2样本空间
§1.2样本空间
试验的结果中每一个可能发生的事件叫做试验的样本点，通常用字母ω表示.
试验的所有样本点 ,,,,21n ωωω构成的集合叫做样本空间，通常用字母Ω表示，于是，我们有
}.,{n 21 ωωω，，，=Ω
任一随机事件A 都是样本空间Ω的一个子集，该子集中任一样本点ω发生时事件A 即发生.
因为样本空间Ω中任一样本点ω发生时，必然事件U 都发生，所以U 是所有样本点构成的集合；这就是说，必然事件U 就是样本空间Ω .今后我们就把必然事件记作Ω. 因为样本空间Ω中任一样本点ω发生时，不可能事件V 都吧发生，所以V 不是任何样本点的集合；这就是说，不可能事件V 是空集φ.今后我们就把不可能事件记作φ. 应该指出，试验的任一样本点ω也是随机事件，今后我们把试验的样本点称为试验的基本事件.显然，基本事件就是样本空间Ω的仅由单个样本点构成的子集.。
1.2 样本空间、随机事件
S
A=B，则称事件 相等。 若 A ⊂ B 且 B ⊃ A ，即 A=B，则称事件 A 与事件 B 相等。
2°事件 A U B = { x | x ∈ A 或 x ∈ B }称为事件 A 与 B 的 ° 中至少有一个发生。 和事件，它指的是事件 A 与事件 B 中至少有一个发生。 事件，它指的是事件
如何来研究随机现象? 如何来研究随机现象 随机现象是通过随机试验来研究的！ 随机现象是通过随机试验来研究的！ 随机试验来研究的 研究方法？数学方法？ 研究方法？数学方法？ 将E的结果数量化！---用集合：S={e}，A，B… 的结果数量化！---用集合：S={e}， 用集合 引进（随机）变量、函数（概率、分布函数） 引进（随机）变量、函数（概率、分布函数）… 概率论研究的主线？ 概率论研究的主线？ 1、事件表示：---利用事件间关系、运算表示较复 事件表示：---利用事件间关系、 利用事件间关系 杂事件… 杂事件 计算事件的概率：----利用概率的定义 性质、 利用概率的定义、 2、计算事件的概率：----利用概率的定义、性质、 概率运算公式… 概率运算公式
2. 几点说明
由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。 由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。 基本事件
S 作为自己的一个子集，在每次试验中必然发生，称为 作为自己的一个子集，在每次试验中必然发生， 必然发生 必然事件; 必然事件; 空集∅ 作为 S 的一个子集，在每次试验中都不会发生，称 的一个子集，在每次试验中都不会发生， 都不会发生 为不可能事件 不可能事件. 事件
子集
事件间关系。。。 随机事件→事件间关系。。。 事件间关系
集合→ 集合→集合间关系运算
定义于集合的函数： 定义于集合的函数：函数
样本空间样本点
4. 事件 A 与 B 的交 (积事件)
事件 A B { x x A 且 x B}称为事件 A 与事件 B 的积事件.
积事件也可记作 A B 或 AB.
实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定,因此“产品合格”是 “长度合格”与“直径合格”的交或积事件. 图示事件A与B 的积事件.
“骰子出现1点” 互斥
“骰子出现2点”
图示 A 与 B 互斥. A
B
S
6. 事件 A 与 B 的差 由事件 A 出现而事件 B 不出现所组成的
事件称为事件 A 与 B 的差. 记作 A- B.
实例 “长度合格但直径不合格” 是 “长度合
格”
与 “直径合格” . 图示 A 与 B 的差的差 .
B A
四、小结
1. 随机试验、样本空间与随机事件的关系
随机试验 样本空间 子集 随机事件
基本事件 随 机 复合事件 事 必然事件 件 不可能事件
2. 概率论与集合论之间的对应关系 记号 概率论 集合论
S
样本空间，必然事件
不可能事件
空间
空集 元素
基本事件 e 子集 随机事件 A A的补集 A的对立事件 A A B A出现必然导致B出现 A是B的子集 A B 事件A与事件B相等 集合A与集合B相等
随机事件 随机试验 E 的样本空间 S 的子集称 为 E 的随机事件, 简称事件. 实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数.
试验中,骰子“出现1点”, “出现2点”, … ,“出现6点”
“点数不大于4”, “点数为偶数” 等都为随机事件.
基本事件 由一个样本点组成的单点集. 实例 “出现1点”, “出现2点”, … , “出现6点”. 必然事件 随机试验中必然会出现的结果. 实例 上述试验中 “点数不大于6” 就是必然事件. 不可能事件 随机试验中不可能出现的结果. 实例 上述试验中 “点数大于6” 就是不可能事件.
概率论 样本空间、随机事件
S4 ={1,2,3,4,5,6}； S5 ={0,1,2…}； S6 ={t | t≥0} t为灯泡寿命； S7 ={(x,y)|T0≤x≤y≤T1},这里x表示最低温度，y 表示最高温度，并设这一地区的温度不会小 于T0，也不会大于T1。 S8 ={(x,y)|x2+y2≤100}, 注意：样本空间的元素是由试验的目的所确 定的。例如，在E2和E3种同是将一枚硬币连 抛三次，由于试验的目的不一样，其样本空 间也不一样。
反之，当且仅当“接点a未闭合”与“接点 b、c都未闭合”二事件中至少有一事件发 生时，指示灯不亮；所以有
．
这个等式也可以由等式 D= A（B∪C） 利用De Morgan对偶律得到．事实上，我 们有
例7 设A，B，C，D是四个事件，用A，B，C， D的运算关系表示下列事件。 （1）A1：“A，B，C，D中仅有A发生” （2）A2：“A，B，C，D中恰有一个发生” （3）A3：“A，B，C，D中至少有一个发生” （4）A4：“A，B，C，D中至少有两个发生” （5）A5：“A，B，C，D中至多有一个发生” （6）A6：“A，B，C，D中至多有两个发生” （7）A7：“A，B，C，D都不发生” （8）A8：“A，B，C，D不都发生” （9）A9：“A，B，C，D中至多一个发生，但D 不发生” （10）A10：“A，B，C，D中至多一个不发生”
7. 事件的对立
AB , A B
— A 与B 互相对立 A 每次试验 A、 B中 有且只有一个发生 称B 为A的对立事件 (or 逆事件)， 记为 B A
注意：“A 与B 互相对立”与 “A 与B 互斥”是不同的概念
B A
运算律
事件 运算 对应 集合 运算
吸收律
样本空间随机事件
件, 称 Ak为可列个事件A1, A2 , 的积事件 .
k 1
和事件与积事件的运算性质 A A A, A S S, A A,
A A A, A S A, A .
4. 事件A B x x A且x B, 称为事件A与
事件B的差事件 . 当且仅当A发生, B不发生时, 事 件A B发生 .
样本空间S包含所有的样本点, 它是S自身的 子集, 在每次实验中它总是发生的, S称为必然事 件.
空集不包含任何点, 它也作为样本空间的 子集, 它在每次实验中都不发生, 称为不可能事件.
必然事件的对立面是不可能事件, 不可能事 件的对立面是必然事件, 它们互称为对立事件.
随机事件举例
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数.
A (B C) (A B) C . (3)分配律 A (B C ) ( A B) ( A C ) ;
A (B C) (A B) (A C) . (4)德.摩根律 A B A B; A B A B .
经常用到下述定律
吸收律 A
与事件B的积事件 .当且仅当A, B同时发生时事件
A B发生 . A B也记作AB .
A和B重叠部分 B
A S
某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径
是否合格所决定, 因此“产品合格”是“长度合格”
与“直径合格”的交或积事件.
n
类似地, 称 Ak为n个事件A1, A2 , , An的积事
k 1
由一个样本点组成的单点集, 称为基本事件.
2. 几点说明
(1) 随机事件可简称为事件, 并以大写英文字母
A, B, C, 来表示事件.
例如 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. 可设 A = “点数不大于4”, B = “点数为奇数” 等等.
概率论课件——样本空间、随机事件
互
斥
事件间的运算规律 设 A, B, C 为事件, 则有
(1) 交换律
A B B A, AB BA. (Exchange law)
( 2) 结合律 ( A B ) C A ( B C ),
( AB )C A( BC ).
(Combination law)
k 1
n
称 Ak 为可列个事件 A1 , A2 , 的积事件.
k 1
和事件与积事件的运算性质
A A A, A A A, A S S, A S A, A A,
A .
5. 事件 A 与 B 互不相容 (互斥) (Incompatible events) 若事件 A 的出现必然导致事件 B 不出现, B
直径是否合格所决定,因此 “产品不合格”是“长度 不合格”与“直径不合格”的并. 图示事件 A 与 B 的并.
B A B A
S
推广 称 Ak 为 n 个事件 A1 , A2 , , An 的和事件;
k 1
n
称 Ak 为可列个事件 A1 , A2 , 的和事件.
k 1
4. 事件 A 与 B 的交 (积事件) (Product of events)
例如 只包含两个样本点的样本空间
S {H , T }
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的
模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的模 型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的 模型等.
所以在具体问题的研究
中 , 描述随机现象的第一步
就是建立样本空间.
二、随机事件(Random event ) 的概念
第二节 样本空间、随机事件 (Sampling space, Random event )
样本空间
我们注意到
概率论
试验是在一定条件下进行的 试验有一个需要观察的目的
根据这个目的, 试验被观察到多个不同的结果.
试验的全部可能结果,是在试验前就明确的; 或者虽不能确切知道试验的全部可能结果,但可 知道它不超过某个范围.
一、样本空间
概率论
一个随机试验 E 的所有可能结果所组成的集合 称为随机试验 E 的样本空间,记为 S .
概率论
第二节 样本空间 随 机事件
样本空间 随机事件 事件间的关系与事件的运算 小结 布置作业
概率论
寿命试验 测试在同一工艺条件下生产 出的灯泡的寿命.
E6 : 记录某地一昼夜的最高温度和最低温度 .
试验是在一定条件下进行的
概率论
E2 : 将一枚硬币抛掷三次,观察正面 H 和反面 T 出现 的情况. E7 : 将一枚硬币抛掷三次,观察正面 H 出现的次数.
事件 B={掷出奇数点}
概率论
当且仅当集合A中的一个样本点出现时,称 事件A发生.
如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .
样本空间为: S 1,2,3,4,5,6.
事件 B={掷出奇数点} 1,3,5
B发生当且仅当 B中的样本点1, 3,5中的某一个 出现.
概率论
两个特殊的事件：
即在试验中必定发生的事件，常用S表示;
B0 B1 B2 B3 C1 B1 B2 B3 A1 A2 A3 C2 B2 B3 A1 A2 A1 A3 A2 A3 C3 B3 A1 A2 A3
概率论
四、小结 样本空间和随机事件的定义 事件间的关系与事件的运算
概率论
五、布置作业
概率论与数理统计标准化作业 (一)
样本空间与概率空间
样本空间、概率空间及概率的公理化定义一、样本空间在概率论中，随机试验是指在一定条件下出现的结果带有随机性的试验。
我们用E 表示随机试验。
随机试验E 的所有可能出现的结果构成一个集合，而把每一可能出现的试验结果称为一个基本事件（样本点）。
随机试验E 的所有基本事件构成所谓样本空间。
下面举几个实际例子。
例1 掷一枚分币。
出现“正面”、“反面”都是基本事件。
这两个基本事件构成一个样本空间。
例2 掷一颗骰子。
分别出现“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”、“6点”都是基本事件。
这六个基本事件构成一个样本空间。
例3 向实数轴的(0,1)区间上随意地投掷一个点。
在(0,1)区间中的每一个点是一个基本事件，而所有点的集合（即(0,1)区间）构成一个样本空间。
抽象地说，样本空间是一个点的集合，此集合中每个点都称为样本点。
样本空间记为()ωΩ=，其中ω表示样本点。
这里小括号表示所有样本点构成的集合。
样本空间的某些子集称为事件。
从数学观点看，要求事件（样本点的集合）之间有一定的联系，亦即对事件需加一些约束。
定义 设样本空间()ωΩ=的某些子集构成的集合记为F ，如果F 满足下列性质：（1）Ω∈F ；（2）若A ∈F ，则A A =Ω-∈F ；（3）若,1,2,k A k ∈=L F ，则1k k A∞=∈U F那么称F 是一个波雷尔（Borel 事件域），或σ事件域。
波雷尔事件域中每一个样本空间Ω的子集称为一个事件。
特别指出，样本空间Ω称为必然事件，而空集φ称为不可能事件。
在上面三个样本空间的例子中，每一个样本点都是基本事件。
但是，一般并不要求样本点必需是基本事件。
在例1中共有两个样本点：“正面”，“反面”。
作{=F 正面或反面，正面，反面，空集}，它构成一个波雷尔事件域，其中每一个元素都是一个事件。
需要说明，F 表达式中的花括号。
是指事件的集合。
在例2中共有六个样本点，记i ω为出现“i 点”的样本点，1,2,3,4,5,6i =。
§1.1 随机事件与样本空间
§1.1 随机事件与样本空间随机事件与样本空间是概率论中的两个最基本的概念。
一、 基本事件与样本空间对于随机试验来说，我们感兴趣的往往是随机试验的所有可能结果。
例如掷一枚硬币，我们关心的是出现正面还是出现反面这两个可能结果。
若我们观察的是掷两枚硬币的试验，则可能出现的结果有（正、正）、（正、反）、（反、正）、（反、反）四种，如果掷三枚硬币，其结果还要复杂，但还是可以将它们描述出来的，总之为了研究随机试验，必须知道随机试验的所有可能结果。
1、 基本事件通常，据我们研究的目的，将随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件。
因为随机事件的所有可能结果是明确的，从而所有的基本事件也是明确的，例如：在抛掷硬币的试验中“出现反面”，“出现正面”是两个基本事件，又如在掷骰子试验中“出现一点”，“出现两点”，“出现三点”，……，“出现六点”这些都是基本事件。
2、 样本空间基本事件的全体，称为样本空间。
也就是试验所有可能结果的全体是样本空间，样本空间通常用大写的希腊字母Ω表示，Ω中的点即是基本事件，也称为样本点，常用ω表示，有时也用A,B,C 等表示。
在具体问题中，给定样本空间是研究随机现象的第一步。
例1、 一盒中有十个完全相同的球，分别有号码1、2、3……10，从中任取一球，观察其标号，令=i {取得球的标号为i }，=i 1,2,3,…,10. 则Ω={1,2,3,…,10},=i ω{标号为i },=i 1,2,3,…,101ω,2ω,…, 10ω为基本事件（样本点）例2 在研究英文字母使用状况时，通常选用这样的样本空间： Ω={空格，A,B,C,…,X,Y,Z}例 1，例 2讨论的样本空间只有有限个样本点，是比较简单的样本空间。
例3讨论某寻呼台在单位时间内收到的呼叫次数，可能结果一定是非负整数而且很难制定一个数为它的上界，这样，可以把样本空间取为Ω={0,1,2,3,…}这样的样本空间含有无穷个样本点，但这些样本点可以依照某种顺序排列起来，称它为可列样本空间。
第二节 样本空间
如果试验是测试某灯泡的寿命：
则样本点是一非负数，由于不能确知寿 命的上界，所以可以认为任一非负实数都是 一个可能结果， 故样本空间
Ω = {t ：t ≥0｝
引入样本空间后，事件便可以表示为 样本空间的子集 。 例如，掷一颗骰子，观察出现的点数
样本空间：
Ω = { i ：i=1,2,3,4,5,6｝
事件B就是Ω的一个子集 B = {1,3,5｝
B发生意味着B中的样本点1， 3，5中的某一个出现.
又如，将一枚硬币抛掷两次，观察 结果。则样本空间为：
Ω={(正,正), (正,反), (反,正), (反,反)} A表示“恰有一个正面朝上”则 A={ (正,反), (反,正) } B表示“至少一个正面朝上”则 B={ (正,正), (正,反), (反,正) } C表示“两个正面都朝上”则 C={ (正,正) } 从集合角度有 B＝A∪C
基本事件
（相对于观察目的 事 件
不 可再分解的事件）
如在掷骰子试验中， 观察掷出的点数 。
事件 Ai ={掷出i点} i =1,2,3,4,5,6
复合事件
（两个或一些基本事件并在一 起，就 构成一个复合事件） 事件 B={掷出数点}
在试验的结果中，有多个随机事件， 有些比较简单，有些比较复杂，分析事件 之间的关系及运算，从而找到它们的概率 以及概率之间的关系，是非常自然，也是 必要的。
Ω
.
样本点ω
如果试验是将一枚硬币抛掷两次， 考察正反面情况，则样本空间由如下四 个样本点组成： Ω={(正,正), (正,反), (反,正), (反,反)} 考察正面出现的次数，则样本空间由 如下三个样本点组成：
Ω={w0, w1, w2} wi表示正面出现i次
1.2样本空间随机事件
k 1
件, 称 Ak为可列个事件A1, A2,的积事件 .
k 1
和事件与积事件的运算性质 A A A, A S S, A A, A A A, A S A, A .
4. 事件A B x x A且x B, 称为事件A与
事件B的差事件 . 当且仅当A发生, B不发生时, 事 件A B发生 .
骰子“出现1点”“,出现2点”,… , “出现6点”, “点数不大于4”, “点数为偶数” 等都为随机事件.
“出现1点”，“出现2点”，… , “出现6点”等都是 基本事件.
“点数不大于6” 就是必然事件. “点数大于6” 就是不可能事件.
三、随机事件间的关系及运算
设实验E的样本空间为S ，而A, B, Ak (k 1,) 是S的子集 .
(3) A1A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1A2 A3 A4 A1A2 A3 A4; (4) A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4
A1 A2 A3 A4;
设一个工人生产了四个零件, Ai 表示他生 产的第 i 个零件是正品( i 1,2,3,4), 试用 Ai 表 示下列各事件: (5)恰好有三个是次品; (6)至多有一个是次品.
或ABC ABC ABC ABC
例3 设一个工人生产了四个零件, Ai 表示他生
产的第 i 个零件是正品( i 1,2,3,4), 试用 Ai 表 示下列各事件: (1)没有一个是次品; (2)至少有一个是次品; (3)只有一个是次品; (4)至少有三个不是次品; (5)恰好有三个是次品; (6)至多有一个是次品.
注：试验的样本空间是根据试验的内容确 定的！
例3 观察一个新灯泡的寿命，其样本点也 有无穷多个：t小时，0 t ,样本空间为：
概率论教学中与样本空间有关的几个问题
05 概率论教学中的 其他问题
大数定律与中心极限定理
大数定律
在概率论中，大数定律描述了当样本数量足够大时，随机事件的频率将逐渐稳定于某一概率值。例如，在投掷一 枚公正的硬币时，随着投掷次数的增加，正面朝上的频率将逐渐接近0.5。
中心极限定理
中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它指出，当一个随机变量的取值范围足够大时，无论这个随机变量是 由什么分布产生的，它的分布函数近似于高斯分布。这个定理在许多实际问题的统计分析中有着广泛的应用。
贝叶斯推断
贝叶斯定理
贝叶斯定理是贝叶斯推断的基础，它描述了给定某个未知 参数的条件下，样本数据的概率分布。
先验概率与后验概率
先验概率是指在进行样本观察之前对未知参数的概率评估 ，后验概率是指结合样本信息与先验信息对未知参数的概 率评估。
最大后验估计
最大后验估计是一种基于贝叶斯定理确定未知参数最优估 计的方法，其基本思想是在先验概率和样本信息的基础上 ，最大化后验概率分布。
试验：在一定条件下 ，可以重复进行，结 果具有随机性
样本空间的性质
样本空间的每一个元素都是试验 的一个可能结果
试验的所有可能结果都属于样本 空间
样本空间中的元素是互斥的，即 任意两个元素之间不可能同时发
生
样本空间的运算
01
02
03
并集
两个样本空间的并集是它 们所有元素组成的集合
交集
两个样本空间的交集是它 们共有的元素组成的集合
类型
常见的随机变量包括离散型和连续型。离散型随机变量可以取有限 个或可数无穷个值，而连续型随机变量可以取实数域上的任意值。
变换
对于一个随机变量X，可以通过对其进行数学变换得到新的随机变 量。常见的数学变换包括平方、开方、对数等。
样本空间写法
样本空间写法样本空间写法，是概率论中的基本概念之一。
样本空间是指一个随机试验中所有可能结果的集合。
根据概率论的定义，概率就是样本空间中某个事件发生的可能性，通常用P表示。
下面，我们就以一些实际例子来阐述样本空间写法的应用。
1. 抛掷硬币问题假设有一个硬币，抛掷后可能出现正面或反面。
这个试验的样本空间就是 {正面，反面}。
由于硬币是均匀的，所以正反两面出现的概率是相等的，即P(正面) = P(反面) = 0.5。
2. 抽卡问题手机游戏中的抽卡是一种非常常见的随机事件。
假设你要抽取一个 S 级英雄，游戏中一次抽取有10%的概率获得，并且每次抽卡时会给出一些提示，例如“出现紫色光芒”，“出现橙色光芒”等。
这个试验的样本空间就是 {获得 S 级英雄，不获得 S 级英雄}。
根据概率公式，P(获得 S 级英雄) = 0.1，P(不获得 S 级英雄) = 0.9。
3. 投掷骰子问题投掷骰子是另一个非常常见的随机事件。
假设你要投掷一个六面骰子，那么这个试验的样本空间就是 {1,2,3,4,5,6}。
由于每个面出现的可能性是相等的，即每个面的概率都是P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=P(6)=1/6。
除了上述例子，样本空间写法也可以应用于更为复杂的随机事件中。
例如，投掷两个骰子的问题，样本空间就是{(1,1),(1,2),(1,3),...,(6,5),(6,6)}。
在这个问题中，每个点的概率是P(1,1)=P(1,2)=...=P(6,6)=1/36。
根据样本空间写法定义事件的概率，可以帮助我们更加清晰地理解随机事件的性质，而不是仅仅看到结果。
这种方法不仅在概率论中有广泛应用，而且在实际生活中也具有重要意义。
通过对于样本空间的合理定义，我们可以对于各种随机事件的概率进行合理的估算和预测，为我们的决策提供更加科学准确的参考。
1.1 样本空间与随机事件解析
H→正面，T→反面
S1 { H , T }.
(2)抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
可能结果为: “1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”.
S2 {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
(3)4件产品，2正，2次，从中任取3件，观察正次品出 现情况.
“点数不大于4”, “点数为偶数” 等均为随机事件
例2：将一枚硬币抛两次，事件A表示“第一次出现正 面”，事件B表示“两次出现同一面”，事件C表示“至 少出现一次正面”。试写出该试验的样本空间、随机 事件A,B,C。 练习：同时投掷两枚骰子，试写出该试验的样本空间、 随机事件A,B,C。事件A表示“出现的点数之和大于 10”, 事件B表示“出现的点数均为奇数”，事件C表示“出 现 的点数之差的绝对值小于2”。
习题3：袋中装有6个球，4白(a,b,c,d)，2红 (x,y)，试用列举法写出下列试验的样本空间。
E1( 放回抽样)：取一个，放回后，再取一个。
{(i1 , i2 ) 1 i1 , i2 6} 1 i1 i2 6}
n 6 6 n 65
65 n 15 1 2
练习4：观察某时间段内某交通路口的机动车流量情况。
综合习题：
试用列举法写出下列试验的样本空间、随机事件。 习题1：同时掷两枚硬币，观察正反面出现情况，事 件A表示掷出同一面，事件B表示其中一枚掷出正面。
习题2：将一枚骰子连续掷两次，记录骰子点数出现 情况，事件A表示点数之和等于7，事件B表示两枚 骰子点数之差等于1。
S5 {t t 0}. 其中t表示灯泡的使用寿命
注 1. 试验不同, 对应的样本空间一般不同. eg S={H,T} 可以作为抛掷硬币试验的样本空间
事件与样本空间如何描述随机事件和样本空间
事件与样本空间如何描述随机事件和样本空间随机事件和样本空间是概率论和统计学中的重要概念，用于描述随机现象和可能的结果。
本文将介绍事件和样本空间的概念，并探讨如何准确描述它们。
一、事件的概念事件是指随机现象中的某一个结果或一组结果的集合。
通常用大写字母A、B、C等来表示事件。
例如，扔一枚硬币的结果可以是正面或反面，我们可以定义事件A为“出现正面”的结果，事件B为“出现反面”的结果。
二、样本空间的概念样本空间是指随机现象的所有可能结果的集合，通常用大写字母Ω表示。
样本空间是事件集合的全集，包含了所有可能的结果。
例如，扔一枚硬币的样本空间可以表示为Ω = {正面, 反面}。
三、事件与样本空间的关系事件是样本空间的子集，即事件中的结果必须属于样本空间。
事件的发生与否取决于实际观察或实验的结果，而样本空间则包含了所有可能的结果。
事件与样本空间之间的关系可以用集合论的概念来描述。
四、描述事件与样本空间的方法1. 列举法通过列举样本空间中的每个结果，以及事件中的部分或全部结果，来描述事件和样本空间。
例如，扔一枚骰子的样本空间可以表示为Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}，事件A表示“出现偶数”的结果，则可以表示为A = {2, 4, 6}。
2. 数学符号使用特定的数学符号来描述事件和样本空间。
事件可以用集合论中的符号表示，样本空间可以用Ω表示。
例如，事件A可以表示为A = {ω ∈ Ω | ω 是偶数}，表示事件A是由样本空间中满足条件“是偶数”的结果组成。
3. 文字描述通过文字来描述事件和样本空间。
使用简洁、准确的语言来表达。
例如，事件A可以描述为“扔一枚骰子结果为偶数”，样本空间可以描述为“扔一枚骰子的可能结果为1、2、3、4、5、6”。
五、小节事件和样本空间是描述随机现象和可能结果的重要概念。
事件是样本空间的子集，用于描述随机现象中某个结果或一组结果的集合。
样本空间是所有可能结果的集合，是事件集合的全集。
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§1.2 样本空间
（3）掷骰子 i : 出现 i 点(i 1, 2, 3, 4, 5, 6) ,
{ 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }.
（4）考察灯泡的寿命
x : 灯泡的寿命为 x (0 x ),
{x 0 x }.
§1.2 样本空间
2. 随机事件与样本空间的关系
eg2 上面的eg1(2)：一枚硬币抛两次 ① A : 恰好正面朝上一次
对 1 ,
对 2 ,
A 发生. 当出现“正反”或“反正” 时， A ｛正反 , 反正} .
1
当出现 1 时， A 发生.
A {1} 2 .
§1.2 样本空间
eg1 （1）抛硬币 1 : 正面朝上,
2 : 反面朝上，
{ 1 , 2 }.
（2）抛硬币：一枚硬币抛两次 ① 观察正、反面朝上的情况
1 { 正正, 正反, 反正, 反反 }.
② 观察正面朝上的次数
i : 正面朝上 i 次 (i 0, 1, 2),
2 { 0 , 1, 2 }.
§1.2 样本空间
② B : 至少正面朝上一次源自对 1 ,对2 ,
B {正正, 正反, 反正} 1.
B {1 , 2 } 2 .
§1.2 样本空间
随机事件可以用样本空间的子集来描述， 该子集 中任意一个样本点发生时事件就发生，即
随机事件={导致该事件发生的所有样本点的集合}.
第一章 随机事件及其概率
§1.2 样本空间
§1.2 样本空间
1. 样本点与样本空间的概念
样本点 试验的结果中每一个可能发生的事件叫做试验的 样本点， 用 表示.
样本空间 试验的所有样本点 1 , 2 ,, n , 构成的集合 称为样本空间， 用字母 表示.
{1,2 ,,n , }.
随机事件={导致该事件发生的所有样本点的集合}.
在eg2中:
A {正反, 反正} 1 , B {正正, 正反, 反正} 1 .
特别地， U , V .
基本事件就是样本空间的仅由单个样本点构成的 子集. 在eg2中: A {1} 2 .
§1.2 样本空间
小 结
1. 主要概念：样本点，样本空间. 2. 用样本空间的子集表示随机事件：该子集中任 意一个样本点发生时事件就发生.