无界域上三维波动方程求解
第七章 行波法(一)
第七章 行波法
利用初值条件确定函数 F，G
u( x,0) ( x)
ut ( x,0) ( x)
F ( x) G ( x) ( x)
a[ F ( x) G( x)] ( x)
x
a[F ( x) G( x)] C ( )d
x0
其中
x
x1
x2
内，因此该三角区域称为
决定区域。
结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速 为a波的叠加，故称为行波法。
第七章 行波法
影响区域、依赖区间、决定区域
波动是以一定的速度 a 向两个方向传播的。
如果在初始时刻 t＝0，扰动仅仅在有限区间 [ x1 , x2 ] 上存在，则经过时间 t 后，扰动传到的范围为
x1 at x x2 at
第七章 行波法
无界弦振动的初值问题
2 2u 2 u x 2 a 2 x t u ( x, 0) ( x), u ( x, 0) ( x) t
第七章 行波法
2. 行波法的基本思想
这种方法是针对波动方程提出的。由于波动现象的普
1 过 x1 作斜率为 的直线 x x1 at a 1 过 x2 作斜率为 的直线 x x2 at a t 则 它们与区间 [ x1 , x2 ]
一起围成的三角形区域 中的任意一点 ( x, t ) 的 依赖区间都落在区间 [ x1 , x2 ]
x x1 at
x x2 at
遍性，对如何认识和解决波动问题，一直是物理学家和数 学家们长期探索的课题。 （1）波函数可写成位置和时间函数的分离形式，且波函数
是由无穷多个谐波分量叠加而成的，由此提出了分离变量
第七章 波动方程初值问题
x1 x0 at
即, f1(x - at) 表示波速为 a 的右行波
同理可知, f2(x + at) 表示波速为 a 的左行波. 因此，行波解为左行波与右行波的叠加. 三. 半无界弦的自由振动
utt a 2 uxx 0 u x0 0 u t 0 ( x ), ut
二. 行波解的物理意义 行波法的通解为：
u( x, t ) f1 ( x at ) f 2 ( x at )
对 f1(x - at)，在 t0 时刻，x0 位置的波动位移为：
f1 ( x0 at0 )
若在t0+Δt 时刻, x1位置的波动位移也为 f1 ( x0 at0 ) 则：
t 0
a f1 ( x at ) x
f 2 ( x at ) t 0 a x
t 0
a f1 '( x ) a f 2 '( x ) y ( x )
对上式积分：
1 x x0 y ( )d [ f1 ( x ) f1 ( x0 )] [ f2 ( x ) f2 ( x0 )] (2) a
(1)
t 0
y ( x ) a f1 '( x ) a f 2 '( x )
1 x x0 y ( )d f1 ( x ) f 2 ( x ) c a
(2)
1 1 x c f1 ( x ) 2 [ ( x ) a x0 y ( )d ] 2 由 (1) (2) (x > 0) 解得： x f ( x ) 1 [ ( x ) 1 y ( )d ] c 2 2 a x0 2
三维波动方程
三维波动方程
近年来，随着莫比乌斯旅行器技术的发展，三维波动方程在科学界和互联网领域中越来越受到重视。
三维波动方程（3D Wave Equation）又称三维Kirchhoff波动方程，是一种基于原点的数学模型，一般用于研究被称为波动的物理现象，比如声音、光等。
这种方程是用来描述一维、二维或三维电磁学波在介质中传播的高级模型，被应用到声学、电磁学、地震学和热力学等多个学科领域中。
三维波动方程在互联网行业发挥着越来越重要的作用，如在图像传输方面，3D Wave Equation可以把原本静态的图片转化为动态的响应帧，使图片显示更加生动活泼，增强用户体验。
此外，三维波动方程也被应用到音频行业，帮助实现更加生动的立体声。
而且，三维波动方程技术可以在全息图像、游戏开发、空间导航等方面实现进一步扩展。
三维波动方程在保证内容质量的同时还保证了高精度度和高稳定性，以更加精确准确的方式模拟物理世界，因此不仅仅在互联网领域具有重要意义，而且在更多领域有着广泛的应用前景。
根据技术发展趋势，三维波动方程将在互联网行业越来越受人关注，并开始发挥更大的作用。
波动方程的解析求解
波动方程的解析求解波动方程是描述波动现象的一种数学模型，广泛应用于物理学、工程学和地球科学等领域。
它描述了波的传播和变化规律，并可以通过解析方法得到具体的解。
波动方程可以写作:∂²u/∂t² = c²∇²u其中，u表示波动的物理量，t表示时间，c为波的传播速度，∇²表示Laplace算子。
解析求解波动方程是指通过代数运算、微积分工具等数学方法，直接得到方程的解析解。
相对于数值方法，解析求解具有精确性和通用性的优势。
下面将从几个方面介绍波动方程的解析求解方法。
一、分离变量法：对于边界条件和初值条件满足特定形式的波动方程，可以通过分离变量法求解。
具体步骤为将未知函数拆分成时间和空间两个变量的乘积形式，代入方程后将时间和空间两部分分别等于一个常数，得到一组关于常数和变量的常微分方程。
通过求解这组方程并考虑边界条件，可以得到波动方程的解析解。
二、傅里叶变换法：傅里叶变换是一种将函数分解成频域分量的方法，对于满足一定条件的波动方程，可以通过傅里叶变换得到解析解。
具体步骤为将波动方程进行傅里叶变换，得到频域的代数方程，再将其反变换回时域，即可得到原方程的解析解。
三、格林函数法：格林函数是波动方程的特殊解，可以用来表示波在某一点的传播规律。
通过构造波源函数和格林函数的卷积，可以得到波动方程的解析解。
这种方法常用于求解具有一定边界条件的波动方程，可以得到空间中任意一点的解析解。
四、变量替换方法：对于一些特殊形式的波动方程，如球坐标系或柱坐标系下的波动方程，可以通过将自变量进行适当的变换，得到新的形式，进而求解原方程。
这种方法可以简化方程的形式，使求解变得更加方便。
综上所述，波动方程的解析求解方法主要包括分离变量法、傅里叶变换法、格林函数法和变量替换方法等。
这些方法对于特定形式的波动方程都有适用性，能够得到精确的解析解。
在实际问题中，根据具体情况选择合适的方法进行求解，将有助于深入理解波动现象的特性和规律。
求解波动方程的关键步骤
求解波动方程的关键步骤波动现象在我们日常生活中随处可见，如光的传播、声音的传递以及水波的起伏等。
为了更好地理解和描述这些波动现象，我们需要掌握求解波动方程的关键步骤。
本文将介绍波动方程的求解过程，并以声波传播为例进行具体说明。
首先，要求解波动方程，我们首先需要明确波动方程的形式。
波动方程可以用数学模型进行描述，一般形式为：∂²u/∂t² = c²∇²u其中，u代表介质的波动量，t代表时间，c代表波速，∇²代表拉普拉斯算子。
这个方程是一个偏微分方程，其中包含了关于时间和空间的导数。
因此，求解波动方程需要使用偏微分方程的求解方法。
其次，我们需要确定边界条件和初始条件。
边界条件是指在介质的边界上，波动量u要满足的条件。
初始条件是指在初始时刻，波动量u的分布情况。
边界条件和初始条件的确定对于波动方程的求解至关重要，它们将影响到波动方程解的形式和性质。
以声波传播为例，假设我们要求解声波在一维空间中的传播情况。
我们可以设定一个弦，弦上的波动量u代表声波的振动情况。
边界条件可以是弦的两端固定或自由。
初始条件可以是弦上某点接受到一个初始的电信号，使弦开始振动。
接下来，我们需要应用适当的数值方法来求解波动方程。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
这些数值方法将波动方程转化为离散的差分方程或代数方程，从而可以通过计算机进行求解。
以声波传播为例，我们可以使用有限差分法来求解波动方程。
将空间划分为离散的节点，时间划分为离散的时间步长。
根据波动方程的差分形式，我们可以通过节点之间的关系，逐步更新波动量u的数值。
通过迭代计算，最终得到时间和空间上波动量u的数值解。
最后，我们应该对数值解进行验证和分析。
验证数值解的正确性，可以比较数值解和解析解之间的差异。
当然，在实际情况下，解析解并不一定存在或很难求得。
因此，我们还可以通过调整边界条件和参数，观察数值解的变化规律，进一步分析波动方程的性质和特点。
7.3-7.4三维波动问题
Methods of Mathematical Physics第七章 行波法 travelling wave method武汉大学 物理科学与技术学院Wuhan University问题的引入：设大气中有一个半径为1的球形薄膜，薄膜内的 压强超过大气压的数值为 p0，假定薄膜突然消 失，试求球外任意位置的附加压强 p 。
定解问题：⎧ ptt − a 2 Δp = 0⎪ ⎧ p0 , R < 1 ⎪ ⎨ p t =0 = ⎨ ⎩ 0, R > 1 ⎪ ⎪ pt t =0 = 0 ⎩p0rM•θ01at§7.4-§7.5：三维无界波动问题 3-D non-bounded wave problemsWuhan University一、定解问题：§7.3-§7.4：三 维无界波动问题⎧u tt = a 2 Δu (1) M = M ( x, y, z ) ⎪ ⎨u | t = 0 = ϕ ( M ) ( 2 ) − ∞ < x , y , z < ∞ ⎪u | = ϕ ( M ) (3) ⎩ t t =0二、求解1、思路： 化三维问题为一维问题，利用§7.1的方法和结 果求解。
Wuhan University二、求解2、平均值方法： （1）定义：§7.3-§7.4：三 维无界波动问题1 u (r , t ) = 4πr 21 ∫∫S rM 0 uds = 4π∫∫S rM 0ud ΩM0 r称为函数u ( M , t )在以M 0为中心, r为半径的球面S上的平均值.其中, dΩ = ds r 2 = sin θdθdϕ为立体角元. （2）由定义可知： u ( M 0 , t0 ) = lim u (r , t )r → 0 ,t →t 0∴ 要求u ( M 0 , t0 )，只需求u (r , t )即可-平均值方法Wuhan University二、求解2、平均值方法：Z§7.3-§7.4：三 维无界波动问题Z′•θM ( x, y , z )M ′( x′, y′, z ′)rY⎧ x ′ = x + r sin θ cos ϕ ⎪ ⎨ y ′ = y + r sin θ sin ϕ ⎪ z ′ = z + r cos θ ⎩Y′ϕXX′r=( x′ − x) 2 + ( y′ − y ) 2 + ( z ′ − z ) 2Wuhan University二、求解3、求波动方程的通解： 1 a u tt d Ω = ∫∫ 4π S 4π∂2 1 ∂ t 2 4π2§7.3-§7.4：三 维无界波动问题∫∫ Δ ud ΩS1 ∫∫S ud Ω = a Δ ( 4π∫∫ ud Ω )Su ( r , t ) tt = a 2 Δ u ( r , t )∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u 在直角坐标系中：Δ u = + 2 + 2 2 ∂x ∂y ∂z ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u → Δu = + + 2 2 2 ∂x ∂y ∂zWuhan University二、求解§7.3-§7.4：三 维无界波动问题3、求波动方程的通解： ∂u ∂u ∂r ∂u x − x0 = = ∂x ∂r ∂x ∂r r ∂ 2u ∂u r 2 − ( x − x0 ) 2 ∂ 2u x − x0 2 ) + 2( = 2 3 r r ∂r ∂r ∂x∂ 2u ∂u r 2 − ( y − y0 ) 2 ∂ 2u y − y0 2 ) = + 2( 2 3 r r ∂y ∂r ∂r∂ 2u ∂u r 2 − ( z − z0 ) 2 ∂ 2u z − z0 2 ) + 2( = 2 3 r r ∂r ∂r ∂zWuhan University2 ∂u ∂ 2u 1 ∂ 2 → Δu = + 2 = ( ru ) 2 r ∂r ∂r r ∂r二、求解§7.3-§7.4：三 维无界波动问题3、求波动方程的通解： 令（ ru ) = v ( r , t ), 则 u tt = a 2 Δ u → vtt = a 2 vrr→ v ( r , t ) = f1 ( r + at ) + f 2 ( r − at ) 由 v(r , t ) 有v ( 0, t ) = 0 →f1 ( at ) + f 2 ( − at ) = 0 → f1′( at ) = f 2′( − at )v(r , t ) = 2 f ′(at0 ) u ( M 0 , t0 ) = lim u (r , t0 ) = lim r →0 r →0 rWuhan University二、求解§7.3-§7.4：三 维无界波动问题4、三维波动问题的解－泊松（Poisson)公式∂ ( ru ) = f1′( r + at ) + f 2′( r − at ) ∂r 1 ∂ ( ru ) = f1′( r + at ) − f 2′( r − at ) a ∂t 取r = at0 , t = 0代入初始条件得 1 ∂ ϕ ( M ′) ψ ( M ′) 2 f ′(at0 ) = [ ∫∫ ds + ∫∫ ds ] s 4πa ∂t s at at ϕ ( M ′) ψ ( M ′) 1 ∂ u(M , t ) = [ ∫∫ ds + ∫∫ ds ] s 4πa ∂t s at atM at M atM atM atM sat − 以M为中心at为半径的球面； M 上的点； M ′ = M ′( x′, y′, z ′) − 球面sat-泊松公式Wuhan University三、泊松公式物理意义§7.3-§7.4：三 维无界波动问题设初始扰动限于空间某区域T0 ,d 1. t < , u ( M , t ) = 0, 扰动前锋未传到。
(优选)三维波动方程初值问题
xat
( )d 为初始位移
xat
在 [x at, x at] 上的算
术平均值，
1
xat
( )d 为初始速度 在 [x at, x at]上的算术均值
2at xat
受此启发，在以M(x,y,z)为中心，以at为半径的球面上作初
始函数 和 的平均值，分别为
1 (, , )dS, 1 (, , )dS.
2.1 三维齐次波动方程的球对称解
考虑初值问题
utt a2 (uxx uyy uzz ), (x, y, z) R3,t 0
u
t0
(x,
y,
z), ut
t0
(x,
y,
z), ( x,
y,
z) R3
其中 , 满足一定的光滑性条件。
(2.1)
x r sin cos,
引入球坐标系 (r,,),
2ar atr
2.2 三维齐次波动方程的泊松公式和球平均法
(1) 主要结果
一维齐次波动方程的达朗贝尔解
u(x,t) 1 [(x at) (x at)] + 1
xat
( )d
2
2a xat
可改写成
u(x,t)
t
t
1 2at
xat
(
xat
)d
+t
1 2at
xat
( )d
xat
1
其中 2at
则类似于半界弦的振动情况，可得初值问题(2.3)-(2.4)的解
1 2r
[(r
at
) (r
at)
(r
at)
(r
at)]
u(r, t )
1
关于三维波动方程柯西问题的求解方法
关于三维波动方程柯西问题的求解方法三维波动方程柯西问题(Cauchy problem for 3D wave equation)是非常重要的物理理论模型，可以用来描述许多实际物理现象，如声波传播、热传递、电磁场传播等等。
在当今计算物理专业，求解三维波动方程柯西问题的研究仍然是一大热门话题。
接下来，将着重介绍三维波动方程柯西问题的求解方法。
首先，在求解三维波动方程柯西问题时，我们要充分理解其基本物理模型，这是一个非常重要的环节。
根据模型，三维波动方程可以表示为：a∇^2u＝h，其中a为方程的系数，∇^2u为二阶偏微分算子，h为外加场。
而柯西问题则要求从u（x，y，z）求出特定时刻的解u(x,y,z,t)，以及初始边界和最终的边界条件。
其次，就是采用适当的数值计算方法来求解三维波动方程柯西问题，常用的有有限差分法、有限体积法、有限元法等。
有限差分法是最常见的数值模拟方法之一，它将时空连续性描述为离散性，利用差分格式来近似被解函数，最后可以求出三维波动方程柯西问题的模拟解。
有限体积法也是常用的一种求解方法，它将物理区域分为多个体积单元，由这些单元构成一个离散的物理模型，最后可以求解三维波动方程柯西问题的模拟解。
此外，有限元法也是一种较为常用的求解方法，它将要求解的三维波动方程柯西问题划分为多个位置节点（即有限元），把各位置节点上满足外加本性物理场的一组方程及其边界条件全部集成，最后可以求得三维波动方程柯西问题的模拟解。
总的来说，求解三维波动方程柯西问题应该包括对其物理模型的充分理解、采用适当的数值计算技术等步骤。
只有彻底掌握这些方法，才可以求解出三维波动方程柯西问题的微观模拟解。
三维波动方程的解法
三维波动方程的解法随着科技的发展，数字化软件的使用越来越广泛，计算机模拟已经成为了许多领域中不可或缺的重要工具，如气象预报、油气勘探、地震预测等。
在这些领域中，三维波动方程的解法是一项至关重要的任务，本文将介绍一些常见的解法。
一、有限差分法有限差分法是一个经典的数值解法，其基本思路是对微分方程进行离散化处理，然后求解离散化方程组。
在三维波动方程中，有限差分法的思路是将连续的空间进行网格化，将时间轴分成若干个时间步长。
这样，在每个时间步长内，将每个空间点一一计算，从而得到下一个时间步长的解。
有限差分法的优点是简单易懂，方便实现，但是它的精度可能会受到差分步长的影响，因此需要注意选择适当的差分步长。
二、有限元方法有限元方法是一类广泛应用于各个领域的数值分析方法，它的基本思路是将求解区域分割成若干小单元，然后通过求解每个小单元内的问题，从而得到整个求解区域的解。
在三维波动方程中，有限元方法可以将求解区域分割成若干四面体单元或者六面体单元。
通过计算每个单元的刚度矩阵和质量矩阵，可以得到离散化的三维波动方程。
然后通过求解离散化方程组，就可以得到整个求解区域的解。
有限元方法的优点是可以适应复杂的求解区域，精度高、收敛速度快。
当然，它的复杂度也比有限差分法高一些，需要更多的计算资源。
三、边界元法边界元法是一种利用边界条件而不是体系方程求解问题的方法，它的基本思路是将求解区域的边界分解成若干离散的小元素，然后通过求解每个小元素之间的关系，从而得到整个求解区域内部的解。
在三维波动方程中，边界元法可以将求解区域的边界分解成若干小面单元，然后通过求解相邻面积之间的关系，从而得到三维波动方程的解。
边界元法的优点是可以减少求解区域的离散化，大大降低了计算量。
然而，边界元法需要求解每个小元素之间的关系，该关系矩阵中存在一个对角主元，会导致矩阵的条件数很大，因此需要特殊的算法来求解。
结语：三维波动方程的解法有许多种，但是每种方法都有自己的优缺点。
数学物理方程第三章达朗贝尔公式
例3 用达朗贝尔公式求解下列问题
u tt − a 2 u xx = 0, − ∞ < x < ∞ − x2 − x2 u |t = 0 = e , u t |t = 0 = 2 axe
解：将初始条件代入达朗贝尔公式，有 将初始条件代入达朗贝尔公式，
u ( x, t ) = [e
1 2
1 0.8 0.6 0.4
0.2
0
解的动画演示（ 解的动画演示（my2） ）
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1 -5
0
5
10
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -10
1 0.8
1 0.8
t=0.2
0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8
t=0.5
0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -10
t=1
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-1 -10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10Байду номын сангаас
1
1
1 0.8
0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -10
t=2
0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4
t=4
0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4
三维波动方程的解
ｌ ｆ ， ＝０ （ ｚ ＋王 ， ¨＋ ） ， ｔ ＞ ０
方程 （ ４ ） 是亥 姆 霍兹 程 ，（ ４ ） 中 的 ｕ可 以代表 电场强
； ， Ｙ ， ｚ ， ０ ） ＝０ ， 一 ∞＜ ， ｙ ， ＜ ∞
｛ ， ， Ｙ ， 。 ， ０ ） ＝ （ — ， ｙ 一 叼 ，
Ｃ
Ｚ Ｃ 一，
ｎ
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ２ — １ １ — １ ５
作者简介： 张子珍０９ ６ ５ 一 ） ， 女 ，Ｉ Ｊ Ｊ 西大 同人 ，敦授 ， 研究力‘ ： 论物理 。
“ 西大 Ｍ大学学报（ 自然科学 版 ） Ｅ一： Ｃｓ ｉ ｎ
ａ
Ｘ Ｓ ｉ １ ３
【 “ ， Ｙ ， ， ０ ） ＝ ， Ｙ ， ）
（ ３ ）
ｆ ４ １
先 求 出点 源 引 起 的基 本 解 ，再 利 用 叠 加 原 理
求 出连续 源的解 。点源 引起 的基 本解１ ｌ 所 满足 的
方 程 是 ｌ
方程 ｆ ３ １ 的解是
Ｔ （ ｔ ） Ｏ Ｃ ． ｅ － ｉ ｋ ＝ｅ ，
Ｍ ， Ｙ ， ， ｆ ） ＝ Ｍ ， Ｙ ， ｚ ） Ｔ （ ｔ ） ，
得
ｆ ｆ ） ＋ｋ ２ ａ ７ ＝０ ，
Ｍ＋七 “ ＝ ０。
ｉ “ ｆ ， ＝ａ ２ （ ｔ ｉ ＋ｕ ”＋“ ） ， ｔ ＞ Ｏ
｛ ｔ Ｉ （ ｘ ， Ｙ ， ， ０ ） ＝ ， Ｙ ， ｚ ） ， － ｏ ￣ ＜ ｘ ， Ｙ ， ｚ ＜ ｏ ｏ （ １ ）
标系下， 分别求解波动方程 ，并将各种情形赋予相 应的物 理 意义 ，以求 对 该 问题有 一个 整体 的认 识 。
鲁Ｊ 一 Ｊ 一 Ｊ 一 （ 州） ， 叼 ， ） ｄ 叼 ＝ 鲁
习题21无界空间中的波动方程初值问题
∂ 4π a ∂t 1
M Sat
∫∫
u ( x′, y′, z ′, 0 ) u ∂ ⎡1 2⎤ dS ′ = 0 4π ( at ) ⎥ = u0 。 ⎢ at 4π a ∂t ⎣ at ⎦
R−r R+r 2 2 2 2 M ，即球面 S at 与球面 x′ + y′ + z′ = R 有交集，如下图： <t < a a
M Sat
∫∫
ψ (ζ )
⎤ dS ⎥ at ⎥ ⎦
π π 1 ⎧ ∂ ⎡ 2π ⎫ ⎤ 2π ⎨ ⎢ ∫0 dϕ ∫0 ϕ ( z + at cos θ ) at sin θ dθ ⎥ + ∫0 dϕ ∫0 ψ ( z + at cos θ ) at sin θ dθ ⎬ ⎣ ⎦ 4π a ⎩ ∂t ⎭
R 2 − ( r − at ) 球面 S 在球面 x′ + y′ + z′ = R 内的部分是高为 h = 的球冠，面积为 2r
2
M at
2
2
2
2
R 2 − ( r − at ) ， S = 2π ath = π at r
2
2 2 u0 d ⎡ R − ( r − at ) ⎤ u0 2π a ( r − at ) r − at = u0 u (M ,t) = ⎢π ⎥= 。 4π a dt ⎢ r 4 π a r r 2 ⎥ ⎣ ⎦
（1）先讨论 M ( x, y, z ) 位于球面 x′ + y′ + z′ = R 内，即 r =
2 2 2 2
x2 + y 2 + z 2 < R 。
（i） 0 ≤ t <
三维波动方程基本解的一个求法
三维波动方程基本解的一个求法随着数学技术的发展，三维波动方程也得到了重视，已经成为许多科学研究的重要工具。
三维波动方程是一个模拟物理现象的数学模型，其基本解十分重要，它可以用来研究物理问题的准确性和评价模型的有效性。
本文将分析三维波动方程的基本解以及一种求解该基本解的方法。
首先，我们来了解一下三维波动方程的定义。
三维波动方程是一个常微分方程，包括了三个空间维度，空间变量可以由x, y, z三个坐标表示，时间变量可以由t表示。
空间和时间变量可以组合一个四元组(x, y, z, t)，这个四元组用来定义三维波动方程的解，这个解可以用下面的形式表示：u(x, y, z, t)=F(x, y, z, t)其中F(x, y, z, t)是一个函数，可以用来计算三维波动方程的基本解。
三维波动方程的基本解是一个空间动力盛行的系统，它产生的结果是分布在空间上的，因而其基本解有“定常解”和“波动解”之分。
定常解是指当t=0时，F(x, y, z, t)的值仅依赖于(x,y,z)三个空间变量，而随着时间变量t的变化，F(x, y, z, t)的值不会发生变化。
波动解是指F(x, y, z, t)的值随时间变化不断发生改变，但是空间变量(x, y, z)的变化不会影响函数F(x, y, z, t)的值。
两种解形式都十分重要，分析这两种解形式涉及到函数F(x, y, z, t)的研究。
求解三维波动方程的基本解的一种方法是分析函数F(x, y, z, t)的定义，并以此为基础构建一组数学模型。
根据空间变量(x, y, z)的定义，将其表示为由模型参数构成的向量，再根据时间变量t对F(x, y, z, t)进行求导，可以构成一组联立方程系统。
根据系统联立方程的具体形式，可以用几何技术、迭代法、梯度下降法等求解出一组解。
一旦求得解，就可以判断F(x, y, z, t)的变化，从而得出三维波动方程的基本解。
本文简要地介绍了三维波动方程的基本解和一种求解它的方法，但是求解三维波动方程的基本解是一个极其复杂的过程，它涉及到多种数学技巧以及数值分析技术。
三维波动方程基本解的一个求法
三维波动方程基本解的一个求法
三维波动方程基本解是复杂的数学表达式，用于实现模拟计算性能。
它在物理和化学中被广泛应用，可用于描述粒子行为、热运动以及机器学习中的模型。
这里，将讨论一个简单的求法，即Fourier-Bloch理论，它可以用来求解三维波动方程的基本解。
Fourier-Bloch理论旨在通过分析频率空间上的波动来理解波动的行为。
它的基本思想是将复杂的三维波动方程转换成一系列简单的平面波方程。
在平面波方程中，波动解可以表示为一系列线性无关的特征基模式。
这些特征基模式可以用简单的函数表示（例如，正弦，余弦，正切），从而实现三维波动方程基本解的简单求解。
由于Fourier-Bloch理论的有效性，它已经被广泛应用于天文，物理，材料学，机器学习，生物，数学等领域。
例如在天文领域，Fourier-Bloch理论被用于实现近似波动求解，以建立星系结构的模型。
在材料学领域，它可以用于求解细胞内各种有序排列的结构，以及金属材料和陶瓷材料的波动问题。
在机器学习领域，它可以被用来建立基于广义回归模型的模拟系统，以便表达因果关系和复杂的模式。
因此，Fourier-Bloch可以简化三维波动方程求解的复杂度。
它可以将复杂的三维波动方程转换为一系列简单的平面波方程，这些方程可以用简单的函数表示（正弦，余弦，正切）实现三维波动方程基本解的求解。
此外，Fourier-Bloch理论还被广泛应用于众多学科，以及机器学习中的模型。
第三章 三维波动方程的定解问题-2
t 0
2 F (r a t )
t 0
(ru ) r u r a t
t 0
( 3.35)
考虑到先前有一个动作 ：令 r 0 ，得到了（ 3.33 ）：
u (0, t ) 2F (a t )
另一方面，令 r 0 ，正是
u( M , t ) lim u ( r , t ) u (0, t )
深圳大学电子科学与技术学院
物理意义
1 1 1 u(M , t ) (M ' ) dS (M ' ) dS 2 2 4 a t t S M 4a t S M at at
T0 d
M'
D
M
at
S
M at
如果D< at，u(M,t) = 0 (扰动阵尾已过)
( 3.32)
上式的结果代入（ 3.30 ）式，得
u (0, t ) 2F (a t )
( 3.33)
u (r u ) u (r , t ) r F ( r a t ) G( r a t ) r r u r aF ( r a t ) aG( r a t ) t
d
, , 0
,
0 2 .
dS si n dd 球立体角元 r2
x
dS r 2 sin d d 球面上的面积元 dV dSdr r 2dr sin d d 球的体积元
dV dSdr r 2dr sin d d 球的体积元 r 2drd 球的体积元
因此，以下我们将先求 出 u (r , t ) 。 （这比求解 u( M , t ) 方便得多了） 。
波动方程求解法2
现在我们讨论在三维无限空间中的波动问题:200(3.1)|()|()tt t t t u a u u M u M ϕψ==⎧=Δ⎪=⎨⎪=⎩,,x y z −∞<<+∞,,,0x y z t −∞<<+∞>(,,).M M x y z =其中M 代表空间中任意一点, 这个定解问题采用求平均法来求解.11(,)(()())()22()().22x at x atx at x at x at x at u x t x at x at d a t t d d t at at ϕϕψξξϕξξψξξ+−++−−=−+++⎛⎞∂=+⎜⎟∂⎝⎠∫∫∫先回忆一维的达朗贝尔公式的变形称为函数在区间[x -at , x +at ]1()2x at x atd at ωξξ+−∫()ωξ上的平均值，这个平均值与x, 半径at 和函数有关，()ωξ1(,)().2x at x atv x t d at ωωξξ+−=∫记作于是达朗贝尔公式的变为()(,)(,)(,).u x t tv x t tv x t tϕψ∂=+∂上述方法称为球平均法.23123(,,)(),x x x C R ω∈设函数现在考虑该函数在球面2222112233:()()()r C x x x rξξξ−+−+−=上的平均值.123(,,),r C ξξξ∈对于采用球坐标：123,1,2,3,sin cos ,sin sin ,cos ,0,02.i i i x r i ξααθϕαθϕαθθπϕπ=+====≤≤≤≤21231122332002123112233100211(,,,)(,,),(3.3)41(,,,)(,,),(3.4)4sin ,sin ,r r v x x x r x r x r x r d r v x x x r x r x r x r d d r d d d d d ππωππωωααασπωααασπσθθϕσθθϕ=+++=+++==∫∫∫∫或者 其中面积单元：记作引理4.2: 对于给定的则由(3.3)或(3.4)确定的函数v 满足PDE 2220(3.5)v v v r r r∂∂−Δ+=∂∂以及初始条件123(,,)x x x ω在球面上的平均值:r C 23123(,,)(),x x x C R ω∈12312321122332200(,,,)(,,,)11(,,)(3.7)44r r rC v x x x r v x x x r x r x r x r d d r r ωππωααασωσππΔ=Δ=Δ+++=Δ∫∫∫∫故由(3.3)有再由复合函数的求导法则应用奥高公式12300(,,),0.(3.6)r r v v x x x r ω==∂==∂证明：由于沿单位球面的积分可以在积分号下求导r C 33212001111,44r k k r k k kkC v d d r x r x ππωωασασππ==∂∂∂==∂∂∂∑∑∫∫∫∫21,(3.8)4rD v d r r ωπ∂=ΔΩ∂∫∫∫其中是由所围成的区域.r D r C 22000sin ,r r D d d d d ππωωρθθϕρΔΩ=Δ∫∫∫∫∫∫∵2200sin ,r r r D C d r d d d r ππωωθθϕωσ∂∴ΔΩ=Δ=Δ∂∫∫∫∫∫∫∫由(3.8)及上式有223211,(3.9)24r rr D C v d d r r r ωωσππ∂−∴=ΔΩ+Δ∂∫∫∫∫∫由(3.7),(3.8)和(3.9)变知函数v 满足方程(3.5).下面验证由(3.3)或(3.4)确定的v 满足初始条件(3.6).由(3.4)知211223312300001(,,)(,,).4r r r v x r x r x r d x x x ππωααασωπ==∴=+++=∫∫又由(3.8)，利用积分中值定理知31231232123141(,,)(,,),433(,,).r v r r r r D πωξξξωξξξπξξξ∂=Δ=Δ∂其中是内的某点1231230,(,,)(,,),0(0).v r x x x r rξξξ∂→∴→→∂当时趋于球心引理4.2得证.引理4.3: 设v 是由(3.3)确定的函数，则123123(,,,)(,,,)(3.10)u x x x t tv x x x at =是定解问题2001230()|0,|(,,)tt t t t u a u i u u x x x ω==⎧−Δ=⎪⎨==⎪⎩的解.证明：直接计算,得 Δu = t Δv( x1 , x2 , x3 , at ),ut = v( x1 , x2 , x3 , at ) + atvr ( x1 , x2 , x3 , at ), utt = 2avr ( x1 , x2 , x3 , at ) + a 2tvrr ( x1 , x2 , x3 , at ),其中 vr ( x1 , x2 , x3 , at ) 是导数 vr ( x1 , x2 , x3 , r ) 在r=at的值. 直接验算,得2 utt − a Δu = a t (vrr − Δv + vr ) = 0. at 这正好是方程(3.5)在r=at的情形.2 2关于满足定解条件, 可由表达式(3.10)和(3.6)直接推出.引理4.4: 设 u ( x1 , x2 , x3 , t ) 是定解问题(i)的解，则 ∂ u ( x1 , x2 , x3 , t ) = u ( x1 , x2 , x3 , t ) (3.11) ∂t 是定解问题⎧ utt − a 2 Δu = 0 ⎪ ( ii ) ⎨ ⎪ u |t = 0 = ω ( x1 , x2 , x3 ), ut |t = 0 = 0 ⎩的解.证明：直接计算,得⎞ ∂ 2u ∂ ⎛ ∂ 2u 2 2 − a Δu = ⎜ 2 − a Δu ⎟ = 0, 2 ∂t ∂t ⎝ ∂t ⎠ ∂u u t =0 = = ω ( x1 , x2 , x3 ), ∂t t =0 utt =0∂u = 2 = a 2 Δu ( x1 , x2 , x3 , 0) = 0. ∂t t =02所以引理得证.利用叠加原理, 将Cauchy问题(3.1)写成定解问题⎧ utt − a 2 Δu = 0 ⎪ ( iii ) ⎨ ⎪ u |t = 0 = ϕ ( x1 , x2 , x3 ), ut |t = 0 = 0 ⎩ ⎧ utt − a 2 Δu = 0 ⎪ ( iv ) ⎨ ⎪ u |t = 0 = 0, ut |t = 0 = ψ ( x1 , x2 , x3 ) ⎩的叠加. 设 u1 ( x, y, z , t ), u2 ( x, y, z , t ), 是定解问题(iii)和(iv) 的解,则 u = u1 ( x, y, z , t ) + u2 ( x, y, z , t ) 就是Cauchy问题 (3.1)解.由引理4.3知，只要取 ω = ψ 就可得到定解问题(iv)的解t 2π π ∴ u2 ( x, y , z , t ) = ∫0 ∫0 ψ ( x1 + α1at , x2 + α 2 at , x3 + α 3at ) sin θ dθ dϕ 4π 1 = 2 ∫∫M )ψ dS , dS 是球面面积微元 4π a t Sat (⎞ ∂⎛ 1 ∴ u1 ( x, y, z , t ) = ⎜ ϕ dS ⎟ ⎜ 4π a 2t S ∫∫ ) ⎟ ∂t ⎝ (M at ⎠由引理4.4知，只要取 ω = ϕ 就可得到定解问题(iii)的解所以Cauchy问题(3.1)的解为∂⎛ 1 u( x , y , z , t ) = ⎜ ∂t ⎝ 4πa 2 t1 ⎞ ∫∫Sat ( M ) ϕ dS ⎟ + 4πa 2 t ∫∫Sat ( M )ψ dS (3.12) ⎠可写为:1 ∂ ϕ ( M ′) ψ ( M ′) u( M , t ) = [ ∫∫ dS + ∫∫ dS ] Sat ( M ) 4πa ∂t Sat ( M ) at at上式称为三维波动方程的泊松公式,它给出了三维无界 空间波动方程的初值问题的解.其中 M ′ 表示以 M 为中 心 at 为半径的球面 S at 上的动点.Mϕ ( x1 , x2 , x3 ) ∈ C 3 ,ψ ( x1 , x2 , x3 ) ∈ C 2 , 定理4.9：若函数则由Poisson公式(3.12)确定的函数u(x, y, z, t)就是 Cauchy问题的解.泊松公式的物理意义很明显,它说明定解问题的解 M 在M点t 时刻之值,由以M为中心at 为半径的球面 S 上 at 的初始值而确定. 如图,设初始扰动限于空间某个区域 T0 , d 为 M 点 到 T0 的最近距离, D为M 点与 T0 的最大距离,则:T0dDM1.当 at < d ,即 t < d / a 时, S at 与 T0 不相交, ϕ ( M ′ ) 和 ψ ( M ′) 之值均为零,因而两个积分之值亦均为零, 即 u( M , t ) = 0 .这表示扰动的前锋尚未到达.M2.当 d < at < D ,即 d / a ≤ t ≤ D / a 时, S at 与 T0 相 交, ϕ ( M ′ ) , ψ ( M ′ ) 之值不为零,因而积分之值亦不为零, 即 u( M , t ) ≠ 0 ,这表明扰动正在经过M点. 3.当 at > D ,即 t > D / a , S at 与 T0 也不相交,因而同 样 u( M , t ) = 0 ,这表明扰动的阵尾已经过去了. 这种现象在物理学中称为惠更斯(Huygens) 原理或无后效现象.MM∂u =0 ∂z20001()|(,)|(,)tt xx yy t t t u a u u u x y u x y ϕϕ==⎧=+⎪=⎨⎪=⎩,x y −∞<<+∞,,0x y t −∞<<+∞>要想从泊松公式得到上述问题解的表达式,就应将泊松公式中两个沿球面的积分转化成沿圆域内的积分,下面以为例说明这个转化方法.先将这个积分拆成两部分:M at S 222()()()x y at ξη−+−≤:M at C 11d 4πM at C S a at ϕ∫∫12111111d d d 4π44πM at S S S S S S a at a at a atϕϕϕπ=+∫∫∫∫∫∫其中分别表示球面的上半球面与下半球面.由于被积函数不依赖于变量z ,所以上式右端两个积分是相等的,即12,S S M atS 11111d d 4π2πM at S S S S a at a atϕϕ=∫∫∫∫把右端的曲面积分化成二重积分可得11222212222(,)11d d d 4π2π()()(,)1d d 2π()()M M at at M at S C C at S a at a at a t x y a a t x y ϕϕξηξηξηϕξηξηξη=−−−−=−−−−∫∫∫∫∫∫同理002222(,)11d d d 4π2π()()M M at at S C S a at a a t x y ϕϕξηξηξη=−−−−∫∫∫∫将这两个等式代入三维波动方程的泊松公式,即得问题的解为022*******(,)1(,,)d d 2π()()(,)d d ()()M at M at C C u x y t a t a t x y a t x y ϕξηξηξηϕξηξηξη⎧∂⎪=⎨∂−−−−⎪⎩⎫⎪+⎬−−−−⎪⎭∫∫∫∫当时, ;表示扰动的前锋尚未到达.当时, ;表明扰动正在经过M 点.当时,由于圆域包含了区域,所以d t a <(,,)0u x y t =d D t a a ≤≤(,,)0u x y t ≠D t a >0T :M at C ,这种现象称为有后效, 即在二维情(,,)0u x y t ≠形,局部范围内的初始扰动,具有长期的连续的后效特性,扰动有清晰的“前锋”,而无“阵尾”,这一点与球面波不同.平面上以点(ξ, η)为中心的圆周的方程在空间坐标系内表示母线平行与z 轴的直圆柱面,所以在过(ξ, η)点平行于z 轴的无限长的直线上的初始扰动,在时间t 后的影响是在以该直线为轴, at 为半径的圆柱面内,因此解称为柱面波.222()()x y r ξη−+−=将给定的初始条件与代入三维波动方程的泊松公式,得到所要求的解为:设已知, ,求方程相应柯西问题的解.(,,)x y z x y z ϕ=++(,,)0x y z ψ=(,,)x y z ϕ(,,)x y z ψ2ππ001(,,,)4πu x y z t a t∂=∂∫∫2(sin cos sin sin cos )()sin d d x y z at at at θϕθϕθθϕθ+++++x y z =++2tt u a u =Δ。
波动方程求解方法
常用的波动方程求解方法主要有以下几种:有限差分法、有限元法和伪谱法、积分方程法等。
1、有限差分方法由于适应性强，计算快速，因此是最先发展起来而且使用范围最广的数值方法，有限差分方法最大的弱点之一就是会产生数值频散。
有限差分法采用差分算式近似逼近偏导数运算，从而使波动方程的偏导数运算问题转化成差分代数问题，最后通过求解差分代数方程组得到近似解结果。
有限差分法的差分算式本身就是一种局部点运算，不需要考虑原函数中所求点值在邻域范围上的函数的变化情况，而只需要用到所求点值附近点上的值，所以能够很好的适用于复杂情况, 但是难保模拟精度。
有限差分方法有较高的空间域分辨率，而在频率域上分辨率反而会极低，稳定性同时还受到网格间距和时间步长的影响。
同时，虽然有限差分法还伴随有数值频散的问题，但是计算速度较快。
有限差分法目前主要有以下三大类:规则网格方程、弹性方程和交错网格方程。
有限差分法的具体操作可以分为两个部分:(1)用差分代替微分方程中的微分，将连续变化的变量离散化，从而得到差分方程组的数学形式:(2)求解差分方程组。
在第一步中，通过网格剖分法，将函数定义域分成大量相邻而不重合的子区域。
通常采用的是规则的剖分方式，最常用的是正方形网格。
这样可以便于计算机自动实现和减少计算的复杂性。
网格线划分的交点称为节点。
若与某个节点P 相邻的节点都是定义在场域内的节点，则P 点称为正则节点;反之，若节点P 有处在定义域外的相邻节点，则P 点称为非正则节点。
在第二步中，数值求解的关键就是要应用适当的计算方法，求得特定问题在 所有这些节点上的离散近似值。
目前最常用的两种有限差分方法包括:基于位移 波动方程的二阶中心差分法和基于一阶速度-应力波动方程的高阶交错网格法， 前者算法简单，易于实现，但差分精度具有局限性，最后得到的是节点上z x ,分量的位移离散近似值，后者算法稍复杂，但可以提高差分精度，最终得到的是节点上的位移速度离散近似值。
三维波动方程有限差分正演方法
三维波动方程有限差分正演方法摘要：本文主要介绍了三维波动方程有限差分正演方法的基本原理和实现过程，并对其优缺点进行了分析。
通过数值实验验证了该方法的可行性和准确性，为地震勘探、地下水文学等领域的研究提供了参考。
关键词：三维波动方程、有限差分、正演方法、数值实验一、引言三维波动方程是地震勘探、地下水文学等领域的基础理论，其求解方法对于相关领域的研究具有重要意义。
有限差分正演方法是求解三维波动方程常用的数值方法之一，其具有计算速度快、精度高等优点，在实际应用中得到了广泛的应用。
本文将介绍三维波动方程有限差分正演方法的基本原理和实现过程，并对其优缺点进行分析，同时通过数值实验验证该方法的可行性和准确性。
二、三维波动方程有限差分正演方法的基本原理三维波动方程可以表示为：其中，u(x,y,z,t)为波动场，c(x,y,z)为介质速度，ρ(x,y,z)为介质密度，t为时间。
有限差分正演方法通过将空间和时间离散化，将三维波动方程转化为差分方程，进而求解波动场在不同时刻的数值解。
具体而言，有限差分正演方法将空间和时间分别离散化，将空间网格点和时间网格点相结合，构成一个四维网格空间，其中每个网格点对应一个波动场的数值解。
有限差分正演方法的求解过程可以分为以下几个步骤：1. 空间离散化对于三维空间，可以将其分为x、y、z三个方向，分别进行离散化。
假设在x方向上，空间步长为Δx，在y方向上，空间步长为Δy，在z方向上，空间步长为Δz。
则可以将空间网格点表示为(xi,yj,zk)，其中i=1,2,...,nx，j=1,2,...,ny，k=1,2,...,nz，nx、ny、nz分别为x、y、z方向的网格数。
2. 时间离散化假设时间步长为Δt，则在t时刻波动场的数值解可以表示为ui,j,k^n，其中n表示时间步数，i、j、k表示空间网格点的索引。
3. 有限差分近似将三维波动方程中的导数项用有限差分近似表示，例如：其中，ui,j,k^n表示在t时刻，在(xi,yj,zk)处的波动场数值解，c(xi,yj,zk)表示在(xi,yj,zk)处的介质速度，ρ(xi,yj,zk)表示在(xi,yj,zk)处的介质密度，Δx、Δy、Δz、Δt分别为空间和时间步长。
无界域上三维波动方程求解
r 4 SrM
r
*
对于 1
2u dV
4 VrM t 2
15
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
1
4
VrM
2u t 2
dV
2 t 2
1
4
.r
d u(M ,t)dS
.0 S..M
**
于是由*与**得到等式：
2 1
t2 4
.r
d u(M , t)dS
2
将上面两式中r换为(r+at)，再代入通解表达式中得：
u(r,t) (r at)(r at) (r at)(r at)
2r
1
r at
( )d
2ar rat
8
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
例2、均匀气体的初始振动区域是一个半径为R的 球，所有气体质点的初始速度为零，而初始浓聚 度在球内是常数u0,在球外是零，求任意位置M点 处的浓聚度。
三维空间的自由振动的波动方程定解问题为：
2u
t
2
a2
2u x2
2 y2
2u z 2
,
x,
y,
z
, t
0
u t0 (x, y, z)
u
t
t0
(x, y, z)
求解方法：行波法
2
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
求解三维泊松问题的方法
~ ~ ~ ~ utt a 2 ( uxx u yy uzz ) 0 ~ u t 0 ( x , y ) u ~ t t 0 ( x , y )
由Possion公式
~ ( x , y , z , t ) lim u 1 M dS M dS u Sat r 0 4a t Sat r r 球面 S rM 在平面 上投影 为 at 0 M 2 2 2 又上、下两球面的投影有对称关系，故2 ( x ) ( y ) a t
x r sin cos , y r sin sin , z r cos
S1M 表示以 M 为中心的单位球面，
d 表示单位球面上的面积元素，d sin d d
M 2 dS 表示 Sr 上的面积元素， dS r d
u( r , t ) 1 S1M u( x r sin cos , y r sin sin , z r cos , t ) d 4
(at r ) ( r at ) at[ (at r ) (at r )] lim [ r 0 2 2r
1 ( at ) at ' ( at ) [at ( at )] at
1 at r lim J 2 at r ( )d r 0 2ar 1 (at r ) (at r ) lim 2a r 0 r 1 1 2' (at ) [at (at )] 2a a
在 ,
上的球平均值 S rM
r 满足如下定解问题： u
2 ( r u) 2 ( r u) a2 0 2 2 r t ( r u) |t 0 r ( r u) | r t 0 t ( r u) |r 0 0 0 r , t 0 0r 0r t0
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a2
2 (ru ) r 2
于是得到：
ru r,t f1 r at f2 r at ***
(3)、u (0, t) 的表达式
由***式得：
f1 at f2 at 0
17
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
将上式两端对t求导数得：
f1 at f2 at (1)
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
本次课主要内容
无界域上三维波动方程求解
(一)、三维波动方程定解问题的泊松公式
(二)、泊松公式的物理意义
1
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(一)、三维波动方程定解问题的泊松公式
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
情形2、r+at≥R,即at≥R-r时，
(r at) 0
而当|r-at|<R时， (r at ) u0
由此得到：当R-r≦at≦R+r时有：
u(r, t ) (r at )u0 2r
情形3、|r-at|≥R,即at≥R-r时，即当at>R+r时有：
2ar rat
6
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
分析：从初始条件看出，问题是球对称的，因 此，可将其化为一维问题来处理。
证明：在球对称情况下有：
2 (ru) 1 2 ru
r 2
a2 t 2
其通解为：u(r,t) f1(r at) f2 (r at) r
u(r,t) 0
11
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
对于不具有球对称解的波动方程定解问题，如何求 其定解？
方法是通过讨论波函数的球面平均值具有的性质， 得到自由振动的三维波动方程的定解公式—泊松公式.
2、泊松公式的推导 (1)、波函数的球面平均值 定义：称
解；定解问题为：
utt a2u, t 0, r 0
u
t 0
u0,0
,r R rR
ut t 0 0
这里，r是扰动区域中心到球外任意一点的距离。 这是球对称问题。由例1可以求解。
9
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(1)、若M点在球外，因r≥ R,有 r+at≥R,但r-at就不一 定大于、小于或等于0了。由例1的公式得：
在(6)中令t=0 得：
2
f1
(r)
ru (r,0)
r
1 a
rut (r, 0)
r
r
r
4
r
2
SrM
u(r,0)dS
4 ar2
SrM
ut (r, 0)dS
由初始条件得：
2 f1 (r)
1 (M ) 1 (M )
dS
dS
r 4 SrM r
4 a SrM r
20
1
14
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
a2
对于
u dS
4
SrM
a2
u dS a2
u dS
4
SrM
4 SrM n
a2
u dS a2r 2
u d
4 SrM r
4 SrM r
a2r 2
1
ud
a2r 2 u (r, t)
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
于是得到球对称通解为：
ru f1(r at) f2 (r at)
即： u(r,t) f1(r at) f2 (r at)
r
这说明，对于具有球对称解的三维无界域上波
动方程定解问题，可以采用先求通解，再求定解的 方法求解。
将初始条件代入得：
f1(r) r
f2 (r)
(r)
af1(r
)
r
af 2(r )
(r)
7
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
求出其解：
r(r) 1
f1(r)
2
2a
r ( )d C
0
2
f2
(r)
r(r)
2
1 2a
r
( )d
C
0
r 4 SrM
r
*
对于 1
2u dV
4 VrM t 2
15
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
1
4
VrM
2u t 2
dV
2 t 2
1
4
.r
d u(M ,t)dS
.0 S..M
**
于是由*与**得到等式：
2 1
t2 4
.r
d u(M , t)dS
1 (M )
(M )
u(M ,t)
dS
dS
4 a2 t S..aMt t
S..aMt
t
球坐标变换为：
x x (at) sin cos
y
y
(at)
sin
sin
z z (at) cos
(0 2 , 0 )
dS (at)2 sin d d
23
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
解：由泊松公式
u(x, y, z,t) 1
4 a
.2 . x y z at sin cos sin sin cos at 2 sin dd
t .0 .0
at
1
[at(x y z)
.2
d
.
sind
4a t
t
ru r,t
f1
r at
f2
r at
(4)
将***两端对r求导得：
r
ru r,t
f1
r at
f2
r at
(5)
由(4)+(5)得：
r
ru (r,t)
1 a
rut
(r,
t
)
2
f1
(r
at)
(6)
19
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
在上式中令r=at 得：
2 f1 (r)
1 (M ) 1 (M )
dS
dS
4 a2 t SaMt t
4 a2 SaMt
t
所以得到：
u(M ,t) u (0,t) 2)
dS
u (r,t) 1 u(M ,t)dS 1 u(M ,t)d
4 r 2 SrM
4 SrM
为以M (x, y, z)为心，r为半径的球面上的平均值。
12
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
M´ (x´, y´, z´)是球面上的点。在球坐标下有：
三维空间的自由振动的波动方程定解问题为：
2u
t
2
a2
2u x2
2 y2
2u z 2
,
x,
y,
z
, t
0
u t0 (x, y, z)
u
t
t0
(x, y, z)
求解方法：行波法
2
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
1、球对称解的求法
又对***两端对r求导并令r=0得：
u 0,t f1 (at) f2 at (2)
由(1)与(2)得：
u (0,t) 2 f1 (at) (3)
(4)、泊松公式
18
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
将***两端对t求导并除以a 得：
1 a
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
例3、求定解问题：
uutt
x,
a2u
y, z,0
f
(x, y, z,t),t (x, y, z),
0,
x, x, y, z