五年级奥数培优必考知识点——组合
奥数五年级-第十二章 数论与组合
辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就 是所求的最大公约数．（开始用较大数除以较小数）
如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的
约数个数
1数的个数：对其分解质因数，将每个质因数的指数（次数）加1 后所得的乘积。
12-10 完全平方数（三）
例5、记S = (1×2×3×······n)＋(4k+3) ，这里n≥3. 当k在1至100之间 取正整数值时，有 几个不同的k，使得S是一个正整数的平方。
例6、一个房间中有100盏灯, 用自然数1, 2, …, 100编号, 每盏灯各有一个开关. 开始所有灯都不亮. 100 个人依次进入房间, 第1 个人进房间后 ,将编号为1的倍 数的灯的开关按一下, 然后离开；第2个人进入房间后, 将编号为2的倍数的灯 的开关按一下, 然后离开. 如此操作下去，问：第100个人离开房间后房间里哪 些灯还亮着？
12-13 带余除法（三）
例6、 1234567891011121314······20082009除以9，商的个位数字是 。
例7、用一个数除200余5，除300余1，除400余10，这个数是多少?
12-14 余数定理（一）
余数三大定理 （1）和的余数=余数的和
a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例6、一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数之和为10，那 么此数为几？
解：最小的三个约数中必然包括约数1，除去1以外另外两个约数之和为9，由于9是 奇数，所以这两个约数的奇偶性一定是相反的，其中一定有一个是偶数，如果一个 数包含偶约数，那么它一定是2的倍数，即2是它的约数。于是2是这个数第二小的 约数，而第三小的约数是7，所以这个两位数是14的倍数，由于这个两位数的约数 中不含3、4、5、6，所以这个数只能是14或98，其中有6个约数的是98．
五年级上册数学培优奥数讲义-第12讲 平面组合图形1
第12讲平面组合图形1知识与方法1、熟记基本几何图形的特征及有关计算公式：（1）长方形面积公式S＝ab；（2）正方形面积公式S＝a2；（3）三角形面积公式 S＝ah÷2；（4）平行四边形面积公式S＝ah；（5）梯形面积公式S＝（a＋b）h÷2。
2、求平面组合图形面积时，一般是通过分割、拼接、平移或旋转等方法把它分解为若干个基本平面图形。
要注意交叉、重叠图形的情况，做到不重复、不遗漏。
3、计算时还常用到等量代换的知识。
初级挑战1如图，利用房屋的一面墙，用37.5米长的篱笆围成一个梯形菜地，这块菜地的面积是多少平方米？思路引领：根据篱笆的长，可以求出：上底与下底的和是（）米，又知梯形的高是（）米，则可以求出梯形菜地的面积。
答案：上底＋下底：37.5－7.5＝30（米），面积＝30×6÷2＝90（平方米）。
能力探索1求下面图形的面积。
（单位：厘米）答案：上底加下底的和为6厘米，面积为6×6÷2＝18（平方厘米）。
初级挑战2如图，两个正方形边长分别为9厘米、6厘米，求图中阴影部分面积。
思路引领：图中阴影部分是一个不规则图形，要求它的面积可用2个正方形的面积减去空白部分的面积。
答案：正方形的面积和：6×6＋9×9＝117（平方厘米）空白部分的面积：6×（6＋9）÷2＝45(平方厘米)9×9÷2＝40.5（平方厘米）阴影部分面积：117－45－40.5＝31.5（平方厘米）能力探索21、求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。
答案：整个图形面积4×4＋3×3＝25（平方厘米）；空白三角形面积4×(4＋3)÷2＝14（平方厘米）；阴影面积25－14＝11（平方厘米）2、图中的四边形AGBE和CDEF分别是边长6厘米和4厘米的正方形，求阴影部分的面积。
答案：整个图形的面积：6×6＋（4＋6）×4÷2＝56（平方厘米）；三角形ABG 面积：6×6÷2＝18（平方厘米）；三角形CBF面积：（6＋4）×4÷2＝20（平方厘米）；阴影面积：56－18－20＝18（平方厘米）。
五年级奥数题排列与组合的重难点
五年级奥数题排列与组合的重难点一、两个根本计数原理：〔排列与组合的根底〕1、分类加法计数原理：做一件事，完成它可以有n 类方法，在第一类方法中有1m 种不同的方法，在第二类方法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类方法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +⋅⋅⋅++=21种不同方法.2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N ⨯⋅⋅⋅⨯⨯=21种不同的方法.二、排列与组合〔1〕排列定义:一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列；排列数用符号m n A 表示 对排列定义的理解：1、定义中包括两个根本容：①取出元素②按照一定顺序。
因此，排列要完成的“一件事情〞是“取出m 个元素，再按顺序排列〞2、一样的排列：元素完全一样，并且元素的排列顺序完全一样。
假设只有元素一样或局部一样，而排列顺序不一样，都是不同的排列。
比方abc 与acb 是两个不同的排列描述排列的根本方法：树状图排列数公式：),)(1()2)(1(*∈+-⋅⋅⋅--=N m n m n n n n A m n 我们把正整数由1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用!n 表示，即12)2()1(!⨯⨯⋅⋅⋅⨯-⨯-⨯=n n n n ，并规定1!0=。
全排列数公式可写成!n A n n =.由此，排列数公式可以写成阶乘式：)!(!)1()2)(1(m n n m n n n n A m n -=+-⋅⋅⋅--=〔主要用于化简、证明等〕排列应用题的主要解题方法有：直接法、间接法〔排除法〕、优先法、捆绑法、插空法、定序问题除法处理1、直接法：把符合条件的排列数直接列式计算2、间接法〔排除法〕：先不考虑题目中的限制条件，求出所有的排列数，然后从中减去不符合条件的排列数，从而得到所求的排列数。
五年级奥数讲义第18讲--组合图形面积(一)
第18讲组合图形面积（一）一、知识要点组合图形是由两个或两个以上的简单的几何图形组合而成的。
组合的形式分为两种：一是拼合组合，二是重叠组合。
由于组合图形具有条件相等的特点，往往使得问题的解决无从下手。
要正确解答组合图形的面积，应该注意以下几点：1.切实掌握有关简单图形的概念、公式，牢固建立空间观念；2.仔细观察，认真思考，看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成的；3.适当采用增加辅助线等方法帮助解题；4，采用割、补、分解、代换等方法，可将复杂问题变得简单。
二、精讲精练【例题1】一个等腰直角三角形，最长的边是12厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米？【思路导航】由于此三角形中只知道最长的边是12厘米，所以，不能用三角形的面积公式来计算它的面积。
我们可以假设有4个这样的三角形，且拼成了下图正方形。
显然，这个正方形的面积是12×12.那么，一个三角形的面积就是12×12÷4=36平方厘米。
练习1：1.求四边形ABCD的面积。
（单位：厘米）2.已知正方形ABCD的边长是7厘米，求正方形EFGH的面积。
3.有一个梯形，它的上底是5厘米，下底7厘米。
如果只把上底增加3厘米，那么面积就增加4.5平方厘米。
求原来梯形的面积。
【例题2】正图正方形中套着一个长方形，正方形的边长是12厘米，长方形的四个角的顶点把正方形的四条边各分成两段，其中长的一段是短的2倍。
求中间长方形的面积。
【思路导航】图中的两个小三角形平移后可拼得一个小正方形，两个大三角形平移后可拼得一个大正方形。
这两个正方形的边长分别是12÷（1＋2）=4（厘米）和4×2=8（厘米）。
中间长方形的面积只要用总面积减去这两个拼起来的正方形的面积就可以得到。
即：12×12－（4×4＋8×8）=64（平方厘米）练习2：1.（如下图）已知大正方形的边长是12厘米，求中间最小正方形的面积。
五年级奥数“组合图形” 第十讲
讲
解： 两个小三角形平移后可拼得一个小正方形，两个大三角形平移后可 拼得一个大正方形。
两个正方形的边长分别是12÷（1＋2）=4(厘米)和4×2=8（厘米）
中间长方形的面积：12×12－（4×4＋8×8）=64（平方厘米）
答：中间长方形的面积未64平方厘米
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第8讲 组合图形
练 习
练 习
练习4：如下图，正方形ABCD中，AB=4厘米，EC=10厘米，求阴影 部分的面积。
题
解： 三角形EFC:10×4÷2－4×4÷2=12（平方厘米）
FD:12×2÷10=2.4（厘米）
AF:4－2.4=1.6（厘米)
三角形AFB：1.6×4÷2=3.2（平方厘米）
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第8讲 组合图形
答：三角形CDH的面积是7平方厘米
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第8讲 组合图形
练 练习3：下图中两个完全一样的三角形重叠在一起，求阴影部分的面积。
习 题
（单位：厘米）
解： 12-4=8（厘米） （8＋12）×2÷2=20（平方厘米）
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第8讲 组合图形
例
例4：下图中正方形的边长为8厘米，CE为20厘米，梯形BCDF的面 积是多少平方厘米？
练习2：（如下图）已知大正方形的边长是12厘米，求中间最小正方形 的面积。
题
解： 12×12=144（平方厘米）
第二大正方形：144÷2=72（平方厘米）
最小正方形：72÷2=36（平方厘米）
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第8讲 组合图形
五年级奥数组合图形面积
挑战练习题
总结词
思维训练与难题攻克
详细描述
挑战练习题旨在培养学生的思维能力和解题 技巧，题目难度较大，需要学生具备一定的 数学思维和创新能力。这类题目通常涉及多 个知识点的综合运用，需要学生通过观察、
分析、推理等手段寻找解题思路。
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五年级奥数组合图形面积
汇报人： 202X-01-03
目录
• 组合图形面积概述 • 常见组合图形及面积计算 • 组合图形面积的解题技巧 • 组合图形面积的实际应用 • 练习与巩固
01
组合图形面积概述
组合图形的定义
01
组合图形是由两个或两个以上的 基本图形通过一定的方式组合而 成的图形。
02
常见的组合图形有平行四边形、 三角形、梯形等。
03
组合图形面积的解题技巧
分割法
总结词
将复杂的组合图形分割成几个简单的规 则图形，分别求出各部分的面积，最后 相加。
VS
详细描述
分割法是解决组合图形面积问题的一种常 用方法。通过合理分割，将复杂的图形拆 分成几个简单的图形，如三角形、长方形 、平行四边形等，这些图形的面积计算相 对简单。在分割后，分别计算各部分的面 积，最后将各部分面积相加即可得到整个 组合图形的面积。
填补法
总结词
将组合图形补全为一个完整的规则图形，然后计算整个图形的面积，再减去填补的部分。
详细描述
填补法是通过将组合图形补全为一个完整的规则图形，如长方形、平行四边形等，然后计算整个图形的面积。再 从总面积中减去填补的部分，即可得到组合图形的面积。这种方法适用于不规则图形，通过填补的方式将其转化 为规则图形，便于计算。
02
常见组合图形及面积计算
五年级奥数.计数综合.排列组合(ABC级).学生版
分列组合常识构造一、分列问题在现实生涯中经常会碰到如许的问题,就是要把一些事物排在一路,构成一列,盘算有若干种排法,就是分列问题．在排的进程中,不但与介入分列的事物有关,并且与各事物地点的先后次序有关．一般地,从个不合的元素中掏出()个元素,按照必定的次序排成一列,叫做从个不合元素中掏出个元素的一个分列．依据分列的界说,两个分列雷同,指的是两个分列的元素完整雷同,并且元素的分列次序也雷同．假如两个分列中,元素不完整雷同,它们是不合的分列;假如两个分列中,固然元素完整雷同,但元素的分列次序不合,它们也是不合的分列．分列的根本问题是盘算分列的总个数．从个不合的元素中掏出()个元素的所有分列的个数,叫做从个不合的元素的分列中掏出个元素的分列数,我们把它记做．依据分列的界说,做一个元素的分列由个步调完成：步调：从个不合的元素中任取一个元素排在第一位,有种办法;步调：从剩下的()个元素中任取一个元素排在第二位,有()种办法;……步调：从剩下的个元素中任取一个元素排在第个地位,有(种)办法;由乘法道理,从个不合元素中掏出个元素的分列数是,即,这里,,且等号右边从开端,后面每个因数比前一个因数小,共有个因数相乘．二、分列数一般地,对于的情形,分列数公式变成．暗示从个不合元素中取个元素排成一列所构成分列的分列数．这种个分列全体掏出的分列,叫做个不合元素的全分列．式子右边是从开端,后面每一个因数比前一个因数小,一向乘到的乘积,记为,读做的阶乘,则还可以写为：,个中．在分列问题中,有时刻会请求某些物体或元素必须相邻;求某些物体必须相邻的办法数量,可以将这些物体当作一个整体绑缚在一路进行盘算．三、组合问题日常生涯中有许多“分组”问题．如在体育比赛中,把参赛队分为几个组,从全班同窗中选出几人介入某项运动等等．这种“分组”问题,就是我们将要评论辩论的组合问题,这里,我们将侧重研讨有若干种分组办法的问题．一般地,从个不合元素中掏出个()元素构成一组不计较组内各元素的次序,叫做从个不合元素中掏出个元素的一个组合．从分列和组合的界说可以知道,分列与元素的次序有关,而组合与次序无关．假如两个组合中的元素完整雷同,那么不管元素的次序若何,都是雷同的组合,只有当两个组合中的元素不完整雷同时,才是不合的组合．从个不合元素中掏出个元素()的所有组合的个数,叫做从个不合元素中掏出个不合元素的组合数．记作．一般地,求从个不合元素中掏出的个元素的分列数可分成以下两步：第一步：从个不合元素中掏出个元素构成一组,共有种办法;第二步：将每一个组合中的个元素进行全分列,共有种排法．依据乘法道理,得到．是以,组合数．这个公式就是组合数公式．四、组合数的主要性质一般地,组合数有下面的主要性质：()这个公式的直不雅意义是：暗示从个元素中掏出个元素构成一组的所有分组办法．暗示从个元素中掏出()个元素构成一组的所有分组办法．显然,从个元素中选出个元素的分组办法恰是从个元素中选个元素剩下的()个元素的分组办法．例如,从人中选人开会的办法和从人中选出人不去开会的办法是一样多的,即．划定,．五、插板法一般用来解决求分化必定命量的无不同物体的办法的总数,应用插板法一般有三个请求：①所要分化的物体一般是雷同的：②所要分化的物体必须全体分完：③介入分物体的组至少都分到1个物体,不克不及有没分到物体的组消失．在有些标题中,已知前提与上面的三个请求其实不必定完整相符,对此应该对已知前提进行恰当的变形,使得它与一般的请求相符,再实用插板法．六、应用插板法一般有如下三种类型：⑴小我分个器械,请求每小我至少有一个．这个时刻我们只须要把所有的器械排成一排,在个中的个闲暇中放上个插板,所以分法的数量为．⑵小我分个器械,请求每小我至少有个．这个时刻,我们先发给每小我个,还剩下个器械,这个时刻,我们把剩下的器械按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数量为．⑶小我分个器械,许可有人没有分到．这个时刻,我们无妨先借来个器械,每小我多发1个,如许就和类型⑴一样了,不过这时刻物品总数变成了个,是以分法的数量为．例题精讲【例 1】4个男生2个女生6人站成一排合影留念,有若干种排法？假如请求2个女生紧挨着排在正中央有若干种不合的排法？【巩固】4男2女6小我站成一排合影留念,请求2个女的紧挨着有若干种不合的排法？【例 2】将A.B.C.D.E.F.G七位同窗在操场排成一列,个中学生B与C必须相邻．请问共有若干种不合的分列办法？【巩固】6名小同伙站成一排,若两人必须相邻,一共有若干种不合的站法？若两人不克不及相邻,一共有若干种不合的站法？【例 3】书架上有4本不合的漫画书,5本不合的童话书,3本不合的故事书,全体竖起排成一排,假如同类型的书不要离开,一共有若干种排法？假如只请求童话书和漫画书不要离开有若干种排法？【巩固】四年级三班举办六一儿童节联欢运动．全部运动由2个跳舞.2个演唱和3个小品构成．请问：假如请求同类型的节目持续表演,那么共有若干种不合的出场次序？【例 4】8人围圆桌会餐,甲.乙两人必须相邻,而乙.丙两人不得相邻,有几种坐法？【巩固】a,b,c,d,e五小我排成一排,a与b不相邻,共有若干种不合的排法？【例 5】一台晚会上有个演唱节目和个跳舞节目．求：⑴当个跳舞节目要排在一路时,有若干不合的安插节目标次序？⑵当请求每个跳舞节目之间至少安插个演唱节目时,一共有若干不合的安插节目标次序？【巩固】由个不合的独唱节目和个不合的合唱节目构成一台晚会,请求随意率性两个合唱节目不相邻,开端和最后一个节目必须是合唱,则这台晚会节目标编排办法共有若干种？【例 6】有10粒糖,分三天吃完,天天至少吃一粒,共有若干种不合的吃法？【巩固】小红有10块糖,天天至少吃1块,7天吃完,她共有若干种不合的吃法？【巩固】有12块糖,小光要6天吃完,天天至少要吃一块,问共有种吃法．【例 7】10只无差此外橘子放到3个不合的盘子里,许可有的盘子空着．请问一共有若干种不合的放法？【巩固】将个雷同的苹果放到个不合的盘子里,许可有盘子空着.一共有种不合的放法.【例 8】把20个苹果分给3个小同伙,每人起码分3个,可以有若干种不合的分法？【巩固】三所黉舍组织一次联欢晚会,共表演14个节目,假如每校至少表演3个节目,那么这三所黉舍表演节目数的不合情形共有若干种？【例 9】(1)小明有10块糖,天天至少吃1块,8天吃完,共有若干种不合吃法?(2)小明有10块糖,天天至少吃1块,8天或8天之内吃完,共有若干种吃法?【巩固】有10粒糖,天天至少吃一粒,吃完为止,共有若干种不合的吃法？【例 10】马路上有编号为,,,…,的十只路灯,为勤俭用电又能看清路面,可以把个中的三只灯关失落,但又不克不及同时关失落相邻的两只,在两头的灯也不克不及关失落的情形下,求知足前提的关灯办法有若干种？【巩固】黉舍新建筑的一条道路上有盏路灯,为了节俭用电而又不影响正常的照明,可以熄灭个中盏灯,但两头的灯不克不及熄灭,也不克不及熄灭相邻的盏灯,那么熄灯的办法共有若干种？【例 11】在四位数中,列位数字之和是4的四位数有若干？【巩固】大于2000小于3000的四位数中数字和等于9的数共有若干个？【例 12】所有三位数中,与456相加产生进位的数有若干个？【巩固】从1到2004这2004个正整数中,共有几个数与四位数8866相加时,至少产生一次进位？教室检测【随练1】某小组有12个同窗,个中男少先队员有3人,女少先队员有人,全组同窗站成一排,请求女少先队员都排一路,而男少先队员不排在一路,如许的排法有若干种？【随练2】把7支完整雷同的铅笔分给甲.乙.丙3小我,每人至少1支,问有若干种办法？【随练3】在三位数中,至少消失一个6的偶数有若干个？家庭功课【作业1】将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆放成一排,请求三盆红花互不相邻,共有种不合的放法.【作业2】黉舍合唱团要从个班中填补名同窗,每个班至少名,共有若干种抽调办法？【作业3】能被3整除且至少有一个数字是6的四位数有个.【作业4】黉舍乒乓球队一共有4名男生和3名女生．某次比赛后他们站成一排拍照,请问：（1）假如请求男生不克不及相邻,一共有若干不合的站法？（2）假如请求女生都站在一路,一共有若干种不合的站法？【作业5】由0,1,2,3,4,5构成的没有反复数字的六位数中,百位不是2的奇数有个．【作业6】泊车站划出一排个泊车地位,今有辆不合的车须要停放,若请求残剩的个空车位连在一路,一共有若干种不合的泊车计划?教授教养反馈学生对本次课的评价○特殊知足○知足○一般家长看法及建议家长签字：。
苏教版五年级上册同步奥数培优 第十二讲 排列与组合
苏教版五年级上同步奥数培优第十二讲排列与组合知识概述：在日常生活和生产实践中，我们经常运用排列组合的知识解决一些常见的计数问题，计数中常用到这样两个原理:做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种不同的方法，那么，完成这件事共有多少种方法，就要用到“加法原理”:做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法，完成这件事一共有多少种方法，就要用到“乘法原理”。
加法原理:做一件事，完成它可以有几类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有mn种方法，而无论采用这些方法中的哪一种，都能单独地完成这件工作，那么完成这件工作的方法总数等于各类完成这种工作的办法种数的和，即:N＝m1×m2×……×mn。
乘法原理:做一件事，完成它需要几个步骤，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有mn种方法，那么完成这件工作的方法总数等于完成各步的方法数的乘积，即:N＝m1×m2×…×mn。
例1：把12支圆珠笔分给三个人，每个人都得到偶数支，且每人至少得到2支的分法有多少种?练习一：1.学校组织读书活动，要求每个同学读一本书。
小丹到图书室借书时，图书室有不同的科技书150本，不同的故事书200本，不同的外语书75本。
小丹借一本书可以有多少种不同的选法?2.有1角、2角、5角的人民币各一张，可以组成多少种币值的人民币?3.有一个三位数，它的各位上数字的和等于24，这样的三位数共有多少个?例2：用数字1，2，3，4，5这五个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数?练习二：1.书架上层有6本不同的故事书，中层有5本不同的历史书、下层有10本不同的连环画。
如果要从书架的上、中、下层各取一本书，一共有多少种不同的选书方法?2.用数字4，5，6，7可以组成多少个没有重复数字的四位数?多少个没有重复数字的三位数?3.用数字0，1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的四位数?例3：由6支篮球队组成的篮球比赛，采取单循环积分赛制确定比赛名次，即每两支队伍都要比赛一场。
小学数学五年级思维奥数寒假讲义-第6讲 组合问题(学生版)
第6讲 组合问题【知识梳理】一、组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数．记作m n C ．一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数n m P 可分成以下两步：第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法；第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m m P 种排法．根据乘法原理，得到m m m n n m P C P =⋅． 因此，组合数12)112321⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅m mn nm m P n n n n m C P m m m （）（（）（）（）． 这个公式就是组合数公式．二、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：m n m n n C C -=(m n ≤)这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n m n C -表示从n 个元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法．例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255C C =．规定1n n C =，01nC =．三、插板法插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现．在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法．使用插板法一般有如下三种类型：（1） m 个人分n 个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的(1)n -个空隙中放上(1)m -个插板，所以分法的数目为11m n C --．（2） 个人分个东西，要求每个人至少有个．这个时候，我们先发给每个人个，还剩下个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为．（3） m 个人分n 个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来m 个东西，每个人多发1个，这样就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了()n m +个，因此分法的数目为11m n m C -+-．四、排除法对于某些有特殊要求的计数，当限制条件较多时，可以先计算所有可能的情况，再从中排除掉那些不符合要求的情况．【典例精讲】计算：（1）26C ； （2） 46C计算：（1）27C ； （2）57C ．m n a (1)a -[(1)]n m a --1(1)1m n m a C ----某校举行排球单循环赛，有12个队参加．问：共需要进行多少场比赛？芳草地小学举行足球单循环赛，有24个队参加．问：共需要进行多少场比赛？从分别写有1、3、5、7、9的五张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的乘法题，问：⑴有多少个不同的乘积？（2）有多少个不同的乘法算式？9、8、7、6、5、4、3、2、1、0这10个数字中划去7个数字，一共有多少种方法？有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少种不同的吃法？小红有10块糖，每天至少吃1块，7天吃完，她共有多少种不同的吃法？【能力提升】三所学校组织一次联欢晚会，共演出14个节目，如果每校至少演出3个节目，那么这三所学校演出节目数的不同情况共有多少种？【课后巩固】1.计算 ：（1）198200C ⑵ 5556C2.计算：⑴ 312C ； ⑵ 9981000C3.在一个圆周上有10个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的直线段？4.在一个圆周上有10个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的三角形？5.在一个圆周上有10个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的四边形？6.从分别写有1、2、3、4、5、6、7、8的八张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的加法题，有多少种不同的和？7.如图，问：图中，共有多少条线段？8.有12块糖，小光要6天吃完，每天至少要吃一块，问共有 种吃法。
小学五年级上学期数学培优奥数讲义(全国通用)-第25讲 组合图形的面积(含答案)
第25讲组合图形的面积知识装备平面组合图形是由两个或两个以上简单的几何图形组合而成，与平面组合图形相关的计算应看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成，还要找出图中的隐蔽条件与已知条件和要求的问题间的关系。
在实际问题中，常采用数据推导、割补、平移、巧添辅助线、旋转、组合等方法，将复杂问题简单化。
初级挑战1如下图，空白部分是两个平行四边形，求图中阴影部分的面积。
思路引领：图中空白部分是两个（），可将它们转化成与之等底等高的（），再平移到图形的一侧，那么阴影部分的面积就变成了规则的（）。
答案：28×20＝560（平方米）能力探索1下图是一块长10米，宽8米的长方形草坪，中间有两条走道，求草地的面积。
答案：（10－1）×（8－1）＝63（平方米）初级挑战2求四边形ABCD的面积。
（单位：厘米）思路引领：如下图延长BA、CD交于E，△BEC中，S四边形ABCD ＝S△EBC－S△ADE。
根据∠C＝45°可知，BE＝BC＝7，因此S△BEC＝（）。
∠E＝（），那么△ADE中，DE＝AD＝3，S△ADE＝（）。
答案：S△BCE ：7×7÷2＝24.5（平方厘米）；S△ADE：3×3÷2＝4.5（平方厘米）；S四边形ABCD：24.5－4.5＝20（平方厘米）。
能力探索2计算下面图形的面积（单位：厘米）答案：将图形分割成一个三角形和长方形，再计算面积。
三角形面积：（12－8）×（10－5）÷2＝4×5÷2＝10（平方厘米）；长方形面积：8×10＝80（平方厘米）；图形面积：10＋80＝90（平方厘米）。
中级挑战1下面一个长方形被分成六个小长方形，其中四个长方形的面积如图所示（单位：平方厘米），求A和B的面积。
思路引领：长方形的面积＝（）×（）①两个长方形的长相等，它们面积的倍数等于对应宽的倍数②两个长方形的宽相等，它们面积的倍数等于对应长的倍数。
五年级上册数学培优奥数讲义-第13讲平面组合图形2
第13讲平面组合图形2知识与方法1、三角形的等积变换指的是使三角形面积相等的变换。
通过三角形的等积变换，可以解决许多与三角形相关的面积计算。
2、三角形的等积变形中常用的几个重要结论：（1）平行线间的距离处处相等。
（2）等底等高的两个三角形面积相等。
（3）底在同一条直线上并且相等，底所对的顶点是同一个，这样的两个三角形的面积相等。
如下图，△ABD与△ACD底在同一直线上，且BD＝DC，S△ABD ＝S△ADC。
（4）若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形的面积的几倍。
如下图，△ABD与△ACD的高相等，DC＝2BD，S△ADC ＝2S△ABD。
（5）若几个三角形的底边相等，并在两条平行线中的同一条直线上，而且相等的底边所对的顶点在两条平行线中的另一条边上，则这几个三角形的面积相等。
如下图，三个三角形的底相等，那么S①＝S②＝S③。
把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形，可以怎样分？思维点拨：根据“等底等高的两个三角形面积相等”，对三角形进行分割，即可保证分割的小三角形面积相等。
答案：提供几种分法如下（答案不唯一）。
……能力探索1在△ABC中，E、D、G分别是AB、BC、AD的中点，图中与△AGC面积相等的三角形有哪些？答案：共3个，分别是△CDG、△BDE、△ADE。
如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。
（单位：厘米）思路引领：比较阴影部分两个三角形，高相等，底在同一直线上。
根据“等底等高的两个三角形面积相等”，你能将阴影部分两个三角形转化在一起吗？答案：如下图，△ACE的面积等于原△CDE的面积，所求阴影部分的面积和就是△ABC的＝3×6÷2＝9（平方厘米）。
面积，S阴影能力探索2求下图中阴影部分的面积和。
答案：S阴影＝25×10÷2＝125（平方厘米）中级挑战1如图，长方形ABCD的面积为80平方厘米，E、F、G分别为AB、BC、CD的中点，H 为AD上的任意一点，求阴影部分的面积和。
小学五年级奥数《排列组合》
排列组合知识要点例1：用红绿黄蓝白五种颜色小旗，任取两种颜色组成一组，共可以组成多少种不同的情况？例2、在一个圆周上共有10个点，以这些点为顶点，可以围成多少个四边形？例3、某小学实验班有30明学生，其中正副中队长各一名，现在要选派5明学生参加课外活动，其中，正副中队长必须参加，一共有多少种选派方法？例4、学校举行一场篮球友谊赛，五年三班要从8名后先运动员中挑选5名上场比赛，共有多少种选法？例题5、从1~30这30个数中选取两个不同的数，使其和是偶数的选法共有多少种？同步练习：1、计算C24C35C110C12122、扑克牌中的红桃、方片、黑桃、草花四种花色，任取两张不同的花色组成一组，可以组成多少个不同的花色组？3、在一个圆周上共有8个点，以这些点为端点，可以；连出多少条线段？4、在同一平面内有15个点，任何3个点不在同一直线上，以每3点为顶点画三角形，一共可以画多少个三角形？5、某生产小组有技术工人15人，要从中选出3名工人进行技术培训，共有多少中不同的选法？6、在产品检验时，常从产品中抽出一部分进行检查，现在从50件产品中任意抽出2件，一共有多少种不同的抽法？7、某学校要从5名选手中选派4名参加市里组织的演讲比赛。
共有多少种选法？8、产品验收小组从20件成品中任意抽取5件产品检验，一共有多少种不同的抽取法？9、从1，3，5，…，49这些奇数中，任意选取两个不同的数，使其和是偶数的选法共有多少种？10、从4到17这些数中，选取两个不相同的数，使其和是偶数的选法共有多少种？课外练习：1、从6名同学中任意选取3名学生参加学校的植树活动。
有多少种不同的选法？2、右图中一共有多少个线段？3、在一个圆周上共有14个点，以这些点为端点，可以连出多少条线段？4、从8道不同的算式中任取两道，共有多少中不同的选法？5、某小学实验班有学生20人，现在要派5名学生参加宣传活动，共有多少种选派方法？6从26个英文字母中任选4个，共有多少种不同的选法？7、在同一平面内有10个点，任何3个点不在同一直线上，以每3点为顶点画三角形，一共可以画多少个三角形？8、从2、3、5、7、11、13这六个质数中任取两个相乘，可以得到多少个不同的乘积？9、从13到56中，选取两个不同的数使其和是偶数的选法共有多少中？10、在一个圆周上共有12个点，以这些点为顶点，可以画出多少个五边形？11、某小学实验班有24名学生，其中正副中队长各一名，现在要选派4名学生参加知识竞赛，其中，正副中队长必须参加，一共有多少种选派方法？。
奥数讲座五年级组合图形面积
五年级组合图形面积专题简析：组合图形是由两个或两个以上的简单的几何图形组合而成的。
组合的形式分为两种：一是拼合组合，二是重叠组合。
由于组合图形具有条件相等的特点，往往使得问题的解决无从下手。
要正确解答组合图形的面积，应该注意以下几点：1．切实掌握有关简单图形的概念、公式，牢固建立空间观念；2．仔细观察，认真思考，看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成的；3．适当采用增加辅助线等方法帮助解题；4．采用割、补、分解、代换等方法，可将复杂问题变得简单。
例1 一个等腰直角三角形，最长的边是12厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米？分析与解答由于此三角形中只知道最长的边是12厘米，所以，不能用三角形的面积公式来计算它的面积。
我们可以假设有4个这样的三角形，且拼成了下图正方形。
显然，这个正方形的面积是12×12，那么，一个三角形的面积就是12×12÷4=36平方厘米。
练习一1．求四边形ABCD的面积。
（单位：厘米）2．已知正方形ABCD的边长是7厘米，求正方形EFGH的面积。
3．有一个梯形，它的上底是5厘米，下底7厘米。
如果只把上底增加3厘米，那么面积就增加4.5平方厘米。
求原来梯形的面积。
例2 正图正方形中套着一个长方形，正方形的边长是12厘米，长方形的四个角的顶点把正方形的四条边各分成两段，其中长的一段是短的2倍。
求中间长方形的面积。
分析与解答图中的两个小三角形平移后可拼得一个小正方形，两个大三角形平移后可拼得一个大正方形。
这两个正方形的边长分别是12÷（1＋2）=4（厘米）和4×2=8（厘米）。
中间长方形的面积只要用总面积减去这两个拼起来的正方形的面积就可以得到。
即：12×12－（4×4＋8×8）=64（平方厘米）练习二1．（如下图）已知大正方形的边长是12厘米，求中间最小正方形的面积。
2．正图长方形ABCD的面积是16平方厘米，E、F都是所在边的中点，求三角形AEF的面积。
五年级奥数思维排列组合
五年级奥数思维排列组合
排列组合是一种思维方式，它可以帮助孩子们更好地理解数学知识，提高学习效率。
五年级的孩子们正处在学习数学的关键时期，掌握排列组合的技能对他们来说至关重要。
首先，孩子们要学会排列组合的基本概念，比如排列和组合的定义，以及它们之间的区别。
其次，孩子们要学会如何计算排列组合的结果，比如从一组数字中挑选出三个数字的排列组合有多少种可能。
此外，孩子们还要学会如何利用排列组合来解决实际问题。
比如，如果有三个人要排队，那么他们可以有多少种排列方式？孩子们可以利用排列组合的思维方式来解决这个问题。
最后，孩子们要学会如何利用排列组合来解决更复杂的问题，比如从一组数字中挑选出三个数字，使它们的和等于某个特定的数字，这就是一个更复杂的问题，孩子们可以利用排列组合的思维方式来解决这个问题。
总之，排列组合是一种重要的思维方式，五年级的孩子们要学会掌握排列组合的技能，以便更好地理解数学知识，提高学习效率。
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五年级奥数培优必考知识点
组 合
一、排列知识复习
1．排列
指从n 个不同元素中任意取出m 个(m ≤n )元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
注意：排列是有顺序性的。
2．排列数
从n 个不同元素中任意取出m 个(m ≤n )元素的所有排列的个数，叫做排列数，记为A m 。
二、组合
大家一起来思考：
如果从5个小朋友中选出3个小朋友组成一组去观看《喜洋洋与灰太狼之虎虎生威》，那么有多少种不同的选法呢？
A 5÷A 3=10(种)
1．排列是专门解决“排队”问题的，组合是专门解决“分组”的，即排列有顺序性，而组
合没有顺序性。
2．组合
指从n 个不同元素中任意取出m 个(m ≤n )元素组成一组，不计较组内各元素的顺序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
3．组合数
从n 个不同元素中任意取出m 个(m ≤n )元素的所有组合的个数，叫做组合数，记为C m 。
C
m =[n ⨯(n -1)⨯(n -2)⨯(n -3)⨯⨯(n -m +1)]÷[m ⨯(m -1)⨯(m -2)⨯(m -3)⨯⨯ 3⨯2⨯1]
4．组合的特殊公式
⑴思考：从5个小朋友里一个人也不选有多少种方法数？要是从5个人里选5个人呢？
C 5 ＝C 5 ＝1，即C n ＝C n ＝1
⑵计算: C 3 和C 3 ；C 5 和C 5
①C 3＝(3⨯2)÷(2⨯1) ＝3
C 3 ＝3÷1＝3 n n n
0 5 0 2 1 2 3 2 1
3 3 n
②C 5＝(5⨯4)÷(2⨯1) ＝10
C 5＝(5⨯4⨯3)÷(3⨯2⨯1) ＝10
巩固练习：
例：计算C 100 －2C 100
【例 1】某班要在42名同学中选出3名同学去参加夏令营，问共有多少种选法？如果在42
人中选3人站成一排共有多少种站法？
【例 2】10支球队进行足球比赛，实行单循环制(每两队之间比一场)，那么一共要举行多少
场比赛？若进行双循环制(有主客场之分)。
则一共要举行多少场比赛？
【例 3】在一个圆周上有10个点，那么以这些点为顶点或端点，可以画出多少条线段？多少
个三角形？多少个四边形？
三、组合的经典方法
插板法：专门解决无差异的元素放在不同位置的问题。
【例 4】把10张积分卡分给3个不同的同学，若要求每个同学至少分得1张积分卡，有多少
种分法？
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【例 5】把10张积分卡分给3个不同的同学，若要求每个同学至少分得2张积分卡，有多少种分法？
【例 6】把10张积分卡分给3个不同的同学，若要求允许有的同学得不到积分卡，有多少种分法？
【例 7】把30个桃子分给5个小猴子，如果每个小猴子至少得1个桃子，那么有多少种不同的分法？
【例 8】把30个桃子分给5个小猴子，如果每个小猴子至少得3个桃子，那么有多少种不同的分法？
【例 9】把30个桃子分给5个小猴子，允许有的小猴子得不到桃子，那么有多少种不同的分法？
答案：
【例 1】⑴11480种⑵68880种
【例 2】⑴45场⑵90场
【例 3】⑴45条⑵120个⑶210个【例 4】36种
【例 5】15种
【例 6】66种
【例 7】23751种
【例 8】3876种
【例 9】46376种。