五年级奥数培优必考知识点——组合

五年级奥数培优必考知识点

组 合

一、排列知识复习

1．排列

指从n 个不同元素中任意取出m 个(m ≤n )元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

注意：排列是有顺序性的。

2．排列数

从n 个不同元素中任意取出m 个(m ≤n )元素的所有排列的个数，叫做排列数，记为A m 。

二、组合

大家一起来思考：

如果从5个小朋友中选出3个小朋友组成一组去观看《喜洋洋与灰太狼之虎虎生威》，那么有多少种不同的选法呢？

A 5÷A 3=10(种)

1．排列是专门解决“排队”问题的，组合是专门解决“分组”的，即排列有顺序性，而组

合没有顺序性。

2．组合

指从n 个不同元素中任意取出m 个(m ≤n )元素组成一组，不计较组内各元素的顺序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

3．组合数

从n 个不同元素中任意取出m 个(m ≤n )元素的所有组合的个数，叫做组合数，记为C m 。 C

m =[n ⨯(n -1)⨯(n -2)⨯(n -3)⨯⨯(n -m +1)]÷[m ⨯(m -1)⨯(m -2)⨯(m -3)⨯⨯ 3⨯2⨯1]

4．组合的特殊公式

⑴思考：从5个小朋友里一个人也不选有多少种方法数？要是从5个人里选5个人呢？

C 5 ＝C 5 ＝1，即C n ＝C n ＝1

⑵计算: C 3 和C 3 ；C 5 和C 5

①C 3＝(3⨯2)÷(2⨯1) ＝3

C 3 ＝3÷1＝3 n n n

0 5 0 2 1 2 3 2 1

3 3 n

②C 5＝(5⨯4)÷(2⨯1) ＝10

C 5＝(5⨯4⨯3)÷(3⨯2⨯1) ＝10

巩固练习：

例：计算C 100 －2C 100

【例 1】某班要在42名同学中选出3名同学去参加夏令营，问共有多少种选法？如果在42

人中选3人站成一排共有多少种站法？

【例 2】10支球队进行足球比赛，实行单循环制(每两队之间比一场)，那么一共要举行多少

场比赛？若进行双循环制(有主客场之分)。则一共要举行多少场比赛？

【例 3】在一个圆周上有10个点，那么以这些点为顶点或端点，可以画出多少条线段？多少

个三角形？多少个四边形？

三、组合的经典方法

插板法：专门解决无差异的元素放在不同位置的问题。

【例 4】把10张积分卡分给3个不同的同学，若要求每个同学至少分得1张积分卡，有多少

种分法？

2 3 3 98

【例 5】把10张积分卡分给3个不同的同学，若要求每个同学至少分得2张积分卡，有多少种分法？

【例 6】把10张积分卡分给3个不同的同学，若要求允许有的同学得不到积分卡，有多少种分法？

【例 7】把30个桃子分给5个小猴子，如果每个小猴子至少得1个桃子，那么有多少种不同的分法？

【例 8】把30个桃子分给5个小猴子，如果每个小猴子至少得3个桃子，那么有多少种不同的分法？

【例 9】把30个桃子分给5个小猴子，允许有的小猴子得不到桃子，那么有多少种不同的分法？

答案：

【例 1】⑴11480种⑵68880种

【例 2】⑴45场⑵90场

【例 3】⑴45条⑵120个⑶210个【例 4】36种

【例 5】15种

【例 6】66种

【例 7】23751种

【例 8】3876种

【例 9】46376种