2019 2020高中数学第1章三角函数121任意角的三角函数第2课时三角函数线及其应用教案新人教A版
高中数学 第一章 三角函数 1.1 任意角和弧度制(第2课
1.1 任意角和弧度制 2自我小测1．下列说法中错误的是( )A ．半圆所对的圆心角是π radB ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度2．下列转化结果错误的是( )A ．67°30′化成弧度为38π B ．－74π化成角度为－315° C ．－240°化成弧度为－43π D. 712π化成角度为75° 3．在半径为1的圆中，面积为1的扇形的圆心角的弧度数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 4．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于( )A ．{α|－4≤α≤4}B ．{α|0≤α≤π}C ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}D ．∅ 5．已知角α＝k π－23π，k ∈Z ，则角α的终边在第__________象限． 6．已知扇形AOB 的面积为6π，且圆心角为60°，则该扇形的弧长为__________．7．已知下列各组角： ①32π和2k π－32π，k ∈Z ；②－5π和225π；③－79π和119π；④203π和－103π. 其中终边相同的序号为__________．8．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；(2)求角γ，使γ与角α的终边相同，且γ∈,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 9．一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2 km ，一列火车用每小时30 km 的速度通过，求火车10 s转过的弧度数．参考答案1. 解析：根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A ，B ，C 正确，D 错误． 答案：D2. 解析：712π×180π⎛⎫ ⎪⎝⎭°＝105°，故D 不正确． 答案：D3. 解析：由S ＝12αr 2得1＝12α，∴α＝2. 答案：B4. 解析：当k ＝0时，A ＝{α|0≤α≤π}，此时A ∩B ＝{α|0≤α≤π}；当k ＝－1时，A ＝{α|－2π≤α≤－π}，此时A ∩B ＝{x |－4≤α≤－π}，故所求集合A ∩B ＝{α|0≤α≤π，或－4≤α≤－π}．答案：C5. 解析：当k ＝2n ，n ∈Z 时，α＝2n π－23π， ∴角α的终边与－23π角的终边相同． 又∵－23π角的终边在第三象限， ∴α的终边在第三象限；当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，α＝2n π＋3π， ∴角α的终边与3π角的终边相同． 又∵3π角的终边在第一象限， ∴α的终边在第一象限．综上所述，角α的终边在第一或三象限．答案：一或三6．解析：∵α＝60°＝3π，∴由扇形面积公式可得l ＝2Sα＝123ππ＝36.答案：367. 解析：对①，∵2k π－32π的终边与－32π的终边相同，而32π与－32π的终边不相同，∴①组中角的终边不同； 对②，∵225π＝4π＋25π，－5π和25π终边不同， ∴②组中角的终边不同； 对③，∵－79π＝－2π＋119π， ∴－79π与119π的终边相同； 对④，∵203π＝6π＋23π，－103π＝－4π＋23π， ∴203π和－103π的终边相同． 答案：③④8. 解：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝149π， ∴α＝149π＋(－3)×2π. ∵角α与149π终边相同， ∴角α是第四象限角． (2)∵与角α终边相同的角可写为2k π＋149π，k ∈Z 的形式，而γ与α终边相同， ∴γ＝2k π＋149π，k ∈Z . 又γ∈,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭， ∴－2π<2k π＋149π<2π，k ∈Z ，解得k ＝－1.∴γ＝－2π＋149π＝－49π.9. 分析：先利用速度和时间求出路程，即得圆弧的弧长，再由弧长公式可得圆心角的大小．因为火车前进的方向未知，所以将圆心角的大小加上绝对值．解：∵圆弧半径r为2 km＝2 000 m，火车速度v＝30 km/h＝253m/s，则火车10 s走过的弧长l为2503m，∴火车10 s转过的弧度数|α|＝lr＝25032000⨯＝124，即火车10 s转过的弧度数是1 24.。
2020学年高中数学第1章三角函数章末复习课讲义苏教版必修4(2021-2022学年)
第１章三角函数任意角的三角函数概念(1）已知角α的终边过点P(-4m，3m）(m≠0），则2sｉｎα+ｃoｓα的值是＿_____＿＿．(２）函数y=错误!+错误!未定义书签。
的定义域是___＿＿＿＿_.思路点拨：(1）根据三角函数的定义求解，注意讨论m的正负.(２)利用三角函数线求解.（1）错误!未定义书签。
或－错误!(2)错误![(１)r=|OP|＝错误!未定义书签。
=5｜ｍ|。
当ｍ＞0时,sin α＝错误!未定义书签。
＝＼ｆ（３m,5m）＝＼ｆ(3，5）,cｏs α=错误!未定义书签。
=错误!未定义书签。
=-错误!未定义书签。
,∴2sin α＋cｏｓα＝错误!.当m<０时，sin α=错误!=错误!=-错误!未定义书签。
，cos α＝错误!＝错误!未定义书签。
＝错误!，∴2sin α+cos α＝-错误!.故2sin α＋cｏｓα的值是＼f(２,５）或－错误!未定义书签。
.（2)由错误!得错误!未定义书签。
如图，结合三角函数线知:错误!解得2k π≤ｘ≤２k π+错误!未定义书签。
(k ∈Z ),∴函数的定义域为错误!未定义书签。
]三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面：(１)任意角和弧度制。
理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。
(2)任意角的三角函数.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号,借助三角函数线求三角函数的定义域．1．(1)已知角α的顶点在原点,始边为x 轴的非负半轴.若角α的终边经过点P (－＼r(３）,y ），且ｓin α=错误!y (ｙ≠0）,判断角α所在的象限，并求cos α和ta ｎ α的值；（2)若角α的终边在直线y ＝－3x 上,求１０ｓi ｎ α＋错误!的值．[解］ （１)依题意，点P 到原点Ｏ的距离为|PO ｜=错误!，∴sin α＝错误!未定义书签。
＝错误!＝错误!y .∵ｙ≠0，∴9＋3y 2＝１6,∴ｙ２＝错误!未定义书签。
任意角的三角函数 第2课时教案
第2课时任意角的三角函数（二）【教学目标】1、知识目标（1）理解有向线段。
（2）理解单位圆中三角函数线，会画某角的正弦线、余弦线、正切线。
2．能力目标掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。
3、情感目标通过对三角函数线的学习，进一步理解、体会数形结合的思想在数学中的应用。
【重点难点】1、重点理解单位圆中的三角函数线。
2、难点正切线。
案例（一）教学过程案例（二）教学过程1、观察投影片图1.2-7，角的正弦、余弦值能否用线段来表示？ 学生——探究图 1.2-7中（Ⅰ）~（Ⅳ），不难得到（可能有分情况给出的，形式不同）：.cos ,sin OM x MP y ====αα教师——提问，了解情况，认可上述结论。
2、为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段OM 、MP 规定一个适当的方向，使它们的取值与点P 的坐标一致？教师——请同学们想一下，直角坐标系内的坐标的正负与谁的方向有关？学生——点的坐标与坐标轴的方向有关。
在坐标轴正方向上的为正，负方向上的为负。
教师——根据前面得出的关系如,sin MP y ==α如何规定线段的方向才能将绝对值符号同时拿掉？呈MP y ==αsin 形式？如果实现了这种形式，我们说就给了三角函数的正弦值以几何表示。
学生——观察、思考、回答。
(应该以坐标轴的方向来规定线段的方向。
) 当角α的终边不在坐标轴上时，以O 为始点、M 为终点，规定：当线段OM 与x 轴同向时，OM 的方向为正方向，且有正值x ，当线段OM 与x 轴反向时，OM 的方向为负向，且有负值x 。
其中x 为P 点的横坐标。
这样同，无论哪一种情况都有：αcos ==x OM 。
同理，当角α的终边不在坐标轴上时，以M 为始点、P 为终点，规定：当线段MP 与y 轴同向时，MP 的方向为正方向，且有正值y ；当线段MP 与y 轴反向时，MP 的方向为负方向，且有负值y 。
高中数学 第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式(第2课时)教学课件 新人教A版必修4
【多维探究】 (1)本例条件不变，如何求 cos56π－α的值？
(2)本例条件若变为“已知 sin23π＋α＝12”，其他不变，则 结果又如何？
(3)本例条件若不变，如何求 cos23π＋α的值？ (4)本例条件若不变，如何求 tanπ3－α的值？
解：(1)cos56π－α＝cosπ2＋π3－α＝－sinπ3－α＝－12. (2)cosπ6＋α＝cos23π＋α－π2＝cosπ2－23π＋α ＝sin23π＋α＝12.
提示：因为
tanπ2＋α
＝
csoinsπ2π2＋＋αα＝－cossinαα＝－cs1oins
α α
＝
－
1 tan
α，所以
tanπ2＋α＝－tan1
α，即它们互为负倒数．
1．对诱导公式五、六的理解 (1)公式五、六中的角 α 是任意角． (2)公式五、六可以概括如下：π2±α 的正弦(余弦)函数值， 分别等于 α 的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把 α 看成锐角 时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名改变，符号看象 限”．
高中数学 第一章 三角函数 三角 的诱导公式（第 课时）教学课件
教 版必修
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休
睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对
哦~
1．sin 95°＋cos 175°的值为( )
A．sin 5°
B．cos 5°
C．0
D．2sin 5°
解析：sin 95°＋cos 175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°
证明：∵左边＝－2sin321π－－2θsin－2 θsin θ－1
＝－2sinπ＋1－π2－2sθin2－θ sin θ－1＝2sinπ2－1－θ2s－ins2inθ θ－1
苏教版必修4高中数学第1章《三角函数》任意角的三角函数(2)教学案
高中数学 第1章《三角函数》任意角的三角函数(2)教学案
苏教版必修4
教学目标：了解如何运用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来，并能作出三角函数线。
促进学生对数形结合
思想的理解与感悟。
教学重点：三角函数线的探究与作法 教学难点：三角函数线的探究与作法
教学过程：
一、问题情境：
设点P(x,y)是α终边上的任意一点(r=22x y +)，
sin α=_____,cos α=_____,tan α=_____.
问题：三角函数的几何表示又如何呢？
二、学生活动：
探究：1、为简化上式可令r=____,则sin α=_____,cos α=_____,tan α=_____.此时，点P 的位置在哪？可如何取得？
2、在上述条件下，若α是锐角，sin α=____=_____,cos α=____=______,
tan α=____=_____.若α是任意角，结论还成立吗？
3、如何解决这个问题？
三、知识建构：
1、有向线段：
有向线段的数量：
2、正弦线：
3、余弦线：
4、正切线：
x y O M P
四、知识运用：
例1、比较大小：（1）sin1______sin60°（2）c os 4
7
π______cos
5
7
π
练习：书 P15 7、 8
五、回顾反思：
知识：思想方法：
六、作业布置：
书P22 习题1.2 2（2）（4）、 3。
人教版高中数学必修四第一章三角函数1.2任意角的三角函数(教师版)【个性化辅导含答案】
任意角的三角函数__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系； 2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。
3.牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题. （一）任意角的三角函数： 任意点到原点的距离公式：22y x r +=1.三角函数定义：在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么（1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos xr α=；（3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan yxα=；（4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x yα=； 2.说明：（1）α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；（2）根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； （3）当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan yxα=无意义；同理当()k k Z απ=∈时，y x =αcot 无意义；（4）除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、yx、x y 分别是一个确定的实数。
正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。
2019_2020学年高中数学第一章三角函数1.2.4同角三角函数的基本关系(2)练习(含解析)新人教A版必修4
第6课时 同角三角函数的基本关系(2)对应学生用书P11知识点一 化简问题1．当2k π－π4≤α≤2k π＋π4(k ∈Z )时，化简1－2sin αcos α＋1＋2sin αcos α的结果是( )A ．2sin αB ．－2sin αC ．2cos αD ．－2cos α 答案 C解析 当2k π－π4≤α≤2k π＋π4(k ∈Z )时，sin α＋cos α>0，cos α－sin α>0， ∴1－2sin αcos α＋1＋2sin αcos α＝sin α－cos α2＋sin α＋cos α2＝|sin α－cos α|＋|sin α＋cos α|＝cos α－sin α＋sin α＋cos α＝2cos α．2．化简：1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α． 解 原式＝1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α ＝1－cos 2α1＋cos 2α－sin 4α1－cos 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 6α＝sin 2α1＋cos 2α－sin 4αsin 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 6α ＝1＋cos 2α－sin 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α ＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α＋sin 2αcos 2α－sin 2α＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝23．3．已知－2<x <0，sin x ＋cos x ＝5，求下列各式的值．(1)sin x －cos x ； (2)1cos 2x －sin 2x ． 解 (1)∵sin x ＋cos x ＝15，∴(sin x ＋cos x )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，即1＋2sin x cos x ＝125，∴2sin x cos x ＝－2425．∵(sin x －cos x )2＝sin 2x －2sin x cos x ＋cos 2x ＝1－2sin x cos x ＝1＋2425＝4925，又－π2<x <0，∴sin x <0，cos x >0，∴sin x －cos x <0， ∴sin x －cos x ＝－75．(2)解法一：由已知条件及(1)，可知⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ＝15，sin x －cos x ＝－75，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＝－35，cos x ＝45，∴1cos 2x －sin 2x ＝11625－925＝257．解法二：由已知条件及(1)，可知⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ＝15，sin x －cos x ＝－75，∴1cos 2x －sin 2x ＝1cos x ＋sin x cos x －sin x＝115×75＝257． 4．已知tan α＝3，求下列各式的值： (1)sin 2α－2sin αcos α－cos 2α4cos 2α－3sin 2α； (2)34sin 2α＋12cos 2α． 解 (1)原式的分子、分母同除以cos 2α，得 原式＝tan 2α－2tan α－14－3tan 2α＝9－2×3－14－3×32＝－223． (2)原式＝34sin 2α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝34tan 2α＋12tan 2α＋1 ＝34×9＋129＋1＝2940．知识点三 证明问题5．求证：sin α(1＋tan α)＋cos α⎝⎛⎭⎪⎫1＋tan α＝sin α＋cos α． 证明 1sin α＋1cos α＝sin 2α＋cos 2αsin α＋sin 2α＋cos 2αcos α＝sin α＋cos α·cos αsin α＋sin α·sin αcos α＋cos α＝sin α＋cos α·1tan α＋sin αtan α＋cos α＝sin α(1＋tan α)＋cos α⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan α． 6．求证：1－2sin2x cos2x cos 22x －sin 22x ＝1－tan2x1＋tan2x ． 证明 左边＝cos 22x ＋sin 22x －2sin2x cos2xcos 22x －sin 22x ＝cos2x －sin2x2cos2x －sin2x cos2x ＋sin2x＝cos2x －sin2x cos2x ＋sin2x ＝1－tan2x1＋tan2x＝右边． ∴原等式成立．对应学生用书P12一、选择题1．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为( )A ．23 B ．－23 C ．13 D ．－13答案 B解析 由sin θ＋cos θ＝43，得1＋2sin θcos θ＝169，∴2sin θcos θ＝79，又θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴sin θ－cos θ＝－1－2sin θcos θ＝－23． 2．已知sin α－cos α＝2，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22 C ．22D ．1 答案 A解析 将等式sin α－cos α＝2的两边平方，整理得1＋2sin αcos α＝0，即sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝0，∴(sin α＋cos α)2＝0，∴sin α＋cos α＝0，∴sin α＝－cos α．由已知得cos α≠0，∴tan α＝sin αcos α＝－1．故选A ．3．下列结论能成立的是( ) A ．sin α＝12且cos α＝12B ．tan α＝2且cos αsin α＝13C ．tan α＝1且cos α＝22D ．sin α＝1且tan α·cos α＝12答案 C解析 同角三角函数的基本关系式是指同一个角的不同三角函数值之间的关系，这个角可以是任意角，利用同角三角函数的基本关系即得C 成立．4．若π<α<3π2，1－cos α1＋cos α＋1＋cos α1－cos α的化简结果为( )A ．2tan αB ．－2tan αC ．2sin αD ．－2sin α 答案 D解析 ∵π<α<3π2，∴sin α<0．原式＝1－cos α21－cos 2α＋1＋cos α21－cos 2α＝1－cos α|sin α|＋1＋cos α|sin α|＝－2sin α，故选D ．5．化简1－sin 2160°的结果是( ) A ．cos160° B．－cos160° C ．±cos160° D．±|cos160°| 答案 B解析 ∵cos160°<0，∴原式＝|cos160°|＝－cos160°． 二、填空题6．若2cos α＋sin α＝5，则1tan α＝________． 答案 2解析 将已知等式两边平方，得4cos 2α＋sin 2α＋4sin αcos α＝5(cos 2α＋sin 2α)，化简得4sin 2α－4sin αcos α＋cos 2α＝0，即(2sin α－cos α)2＝0，则2sin α＝cos α，故1tan α＝2． 7．若cos 2x ＋cos x ＝1，则sin 4x ＋sin 2x 的值等于________． 答案 1解析 ∵cos 2x ＋cos x ＝1，∴cos x ＝1－cos 2x ＝sin 2x ， ∴sin 4x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋cos x ＝1．8．若tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2α＝________．答案165解析 原式＝sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan α＋1tan α－1＋1tan 2α＋1＝2＋12－1＋14＋1＝165． 三、解答题9．已知0<α<π2，若cos α－sin α＝－55，求2sin αcos α－cos α＋11－tan α的值．解 由cos α－sin α＝－55，得1－2sin αcos α＝15， ∴2sin αcos α＝45，∴(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcosα＝1＋45＝95．又0<α<π2，∴sin α＋cos α＝355，与cos α－sin α＝－55联立， 解得sin α＝255，cos α＝55，∴2sin αcos α－cos α＋11－tan α＝2sin αcos α－cos α＋11－sin αcos α＝cos α2sin αcos α－cos α＋1cos α－sin α＝55×45－55＋1－55＝5－95． 10．已知关于x 的方程4x 2－2(m ＋1)x ＋m ＝0的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正、余弦，求实数m 的值．解 设直角三角形的一个锐角为β，因为方程4x 2－2(m ＋1)x ＋m ＝0中，Δ＝4(m ＋1)2－4×4m ＝4(m －1)2≥0，所以当m ∈R 时，方程恒有两实根． 又因为sin β＋cos β＝m ＋12，sin βcos β＝m4， 所以由以上两式及sin 2β＋cos 2β＝1，得1＋2×m 4＝m ＋122，解得m ＝±3．当m ＝3时，sin β＋cos β＝3＋12>0， sin β·cos β＝34>0，满足题意， 当m ＝－3时，sin β＋cos β＝1－32<0，这与β是锐角矛盾，舍去．综上，m ＝3．周周回馈练对应学生用书P13一、选择题 1．给出下列说法：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，角的大小与角所在扇形的半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确说法的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 对于①，150°是第二象限角，390°是第一象限角，但150°<390°，错误；对于②，三角形的内角还可能为90°，是y 轴非负半轴上的角，错误；显然③正确；对于④，α与β的终边还可以关于y 轴对称，错误；对于⑤，θ还可以是x 轴非正半轴上的角，错误．2．下列各式正确的是( )A ．π2＝90B ．π18＝10° C．3°＝60π D ．38°＝38π答案 B解析 A 中，π2＝90°，故错误；B 中，π18＝10°，故正确；C 中，3°＝3×π180＝π60，故错误；D 中，38°＝38×π180＝19π90，故错误．3．若角α的终边经过点P (sin780°，cos(－330°))，则sin α＝( ) A ．32 B ．12 C ．22D ．1 答案 C解析 因为sin780°＝sin(2×360°＋60°)＝sin60°＝32，cos(－330°)＝cos(－360°＋30°)＝cos30°＝32，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，sin α＝22． 4．扇形的圆心角为150°，半径为3，则此扇形的面积为( ) A ．5π4 B ．π C．3π3 D ．23π29答案 A解析 ∵150°＝5π6，∴S ＝12×5π6×(3)2＝5π4，故选A ．5．若角α与β的终边互相垂直，则α与β的关系是( ) A ．β＝α＋90° B ．β＝α±90°C ．β＝α＋k ·360°＋90°(k ∈Z )D ．β＝k ·360°＋α±90°(k ∈Z ) 答案 D解析 如图1，角α与β终边互相垂直，β＝α＋90°． 如图2，角α与β终边互相垂直，α＝β＋90°．由终边相同角的表示方法知：角α与β终边互相垂直，则有β＝k ·360°＋α±90°(k ∈Z )．6．已知α是锐角，且tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根，则sin α＝( ) A ．45 B ．35 C ．25 D ．15 答案 B解析 因为方程4x 2＋x －3＝0的根为x ＝34或x ＝－1．又因为tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根且α为锐角，所以tan α＝34，所以sin α＝34cos α，即cos α＝43sin α．又sin 2α＋cos 2α＝1， 所以sin 2α＋169sin 2α＝1，所以sin 2α＝925(α为锐角)，所以sin α＝35．二、填空题7．将90°角的终边按顺时针方向旋转30°所得的角等于________． 答案 60°解析 按顺时针方向旋转，角度减少，即90°－30°＝60°．8．已知|cos θ|＝－cos θ且tan θ<0，则代数式lg (sin θ－cos θ)________0．(填“>”“<”)答案 >解析 由|cos θ|＝－cos θ，得cos θ≤0．又∵tan θ<0，∴角θ的终边在第二象限．∴sin θ>0，cos θ<0．由三角函数线可知sin θ－cos θ>1．∴lg (sin θ－cos θ)>0．9．已知tan α，1tan α是关于x 的方程x 2－kx ＋k 2－3＝0的两个实根，且3π<α<7π2，则cos α＋sin α＝________．答案 － 2解析 ∵tan α·1tan α＝k 2－3＝1，∴k ＝±2，而3π<α<7π2，则tan α＋1tan α＝k ＝2，得tan α＝1，则sin α＝cos α＝－22，∴cos α＋sin α＝－2． 三、解答题10．如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．解 (1)将阴影部分看成是由OA 逆时针转到OB 所形成．故满足条件的角的集合为α3π4＋2k π<α<4π3＋2k π，k ∈Z ． (2)若将终边为OA 的一个角改写为－π6，此时阴影部分可以看成是OA 逆时针旋转到OB 所形成，故满足条件的角的集合为α－π6＋2k π<α≤5π12＋2k π，k ∈Z ． (3)将图中x 轴下方的阴影部分看成是由x 轴上方的阴影部分旋转π rad 而得到，所以满足条件的角的集合为αk π≤α≤π2＋k π，k ∈Z ．(4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转π rad 后可得到第四象限的阴影部分．所以满足条件的角的集合为α2π3＋k π<α<5π6＋k π，k ∈Z ． 11．若0<α<β<π2，试比较β－sin β与α－sin α的大小． 解 如图，在单位圆中，sin α＝MP ，sin β＝NQ ，弧AP 的长为α，弧AQ 的长为β，则弧PQ 的长为β－α．过P 作PR ⊥QN 于R ，连接PQ ，则MP ＝NR ．所以RQ ＝sin β－sin α<PQ <PQ ＝β－α．所以β－sin β>α－sin α．12．(1)已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，求 cos α＋2πcos 4π＋αtan 22π＋αtan 6π＋αsin 2π＋αsin 8π＋α的值；(2)已知sin(4π＋α)＝2sin β，3cos(6π＋α)＝2cos(2π＋β)，且0<α<π，0<β<π，求α和β的值．解 (1)由于方程5x 2－7x －6＝0的两根为2和－35，所以sin α＝－35． 由sin 2α＋cos 2α＝1，得cos α＝±1－sin 2α＝±45． 当cos α＝45时，tan α＝－34； 当cos α＝－45时，tan α＝34． 所以原式＝cos α·cos α·tan 2α·tan αsin α·sin α＝tan α＝±34． (2)因为sin(4π＋α)＝2sin β，所以sin α＝2sin β．①因为3cos(6π＋α)＝2cos(2π＋β)， 所以3cos α＝2cos β．②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2(sin 2β＋cos 2β)＝2， 所以cos 2α＝12，即cos α＝±22．又0<α<π，所以α＝π4或α＝3π4．又0<β<π，当α＝π4时，由②得β＝π6；当α＝3π4时，由②得β＝5π6．所以α＝π4，β＝π6或α＝3π4，β＝5π6．。
新人教版必修4第1章第1节任意角的三角函数(第二课时)
sin y cos x y tan x 0
x
问题 2:角的概念推广以后，我们应该如何推广到 任意角呢？ 新知：任意角三角函数的定义
设α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y), 那么：
（1）y叫做的正弦，记作sinα
（2）x叫做的余弦，记作cosα y （3） 叫做的正切，记作tanα x
思考：对于确定的角α ，上述三个比值是否随 点P在角α 的终边上的位置的改变而改变呢？为 什么？
二、新课导学 探究任务一：任意角的三角函数的定义.
问题1 能否通过取适当点而将表达式简化?
新知：在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度 为半径的圆叫做单位圆.
y r
O
P (x,y)
M 1x
变式练习
(其中r x y )
2 2
已知角的终边过点 P(12,5), 求角的三角函数值。
如果角的终边落在坐标轴呢？请完成下表。
角Байду номын сангаас 角的弧度数
sin cos tan
0。
90。
π 2
180。 270。
3π 2
360。
2
0 0 1 0
1
0
1
0
不存在
1 0
不存在
0
1 0
0
三、总结提升
§1.2.1任意角的三角函数（第一课时）
y
o
x
一、复习引入 锐角的三角函数如何定义？ A
P (x,y)
y r
O
y 对边 MP sin r 斜边 OP
M
B
x
邻边 OM x cos 斜边 OP r 对边 MP y x 0 tan 邻边 OM x
人教A版高中数学必修4《第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 阅读与思考 三角学与天文学》_0
“任意角的三角函数”教学设计•数学（4）》（人教A版）。
三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型，有非常广泛的应用.直角三角形简单朴素的边角关系，以直角坐标系为工具进行自然地推广而得到简明的任意角的三角函数定义，紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，自然地导出三角函数线、定义域、符号判断、同角三角函数关系、多组诱导公式、图象和性质。
三角函数定义必然是学好全章内容的关键，如果学生掌握不好，将直接影响到后续内容的学习，由三角函数定义的基础性和应用的广泛性决定了本节教材的重点就是定义本身.二、学情分析在初中学生学习过锐角三角函数。
因此本课的内容对于学生来说，有比较厚实的基础，新课的引入会比较容易和顺畅。
学生要面对的新的学习问题是，角的概念推广了，原先学生所熟悉的锐角三角函数的定义是否也可以推广到任意角呢？通过这个问题，让学生体会到新知识的发生是可能的，自然的。
三、教学方法与手段教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程.根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学.四、教学目标1．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；2、理解任意角的三角函数不同的定义方法；掌握并能初步运用公式一；树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.3、通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.借助有向线段进一步认识三角函数.4、通过任意三角函数的定义，认识锐角三角函数是任意三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解。
5、通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，拓展思维空间。
高中数学 第1章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.2 同角三角函数关系学案 苏教版必修4
1．2.2 同角三角函数关系1.理解同角三角函数的两种基本关系．2.了解同角三角函数的基本关系的常见变形形式．3．学会应用同角三角函数的基本关系化简、求值与证明．同角三角函数的基本关系式1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意角α，sin 24α＋cos 24α＝1都成立．( ) (2)对任意角α，sinα2cosα2＝tan α2都成立．( )(3)对任意的角α，β有sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (4)sin 2α与sin α2所表达的意义相同．( )解析：(1)正确．当角α∈R 时，sin 24α＋cos 24α＝1都成立，所以正确．(2)错误．当α2＝k π＋π2，k ∈Z ，即α＝2k π＋π，k ∈Z 时，tan α2没意义，故sinα2cosα2＝tanα2不成立，所以错误．(3)错误．当α＝π2，β＝0时，sin 2α＋cos 2β≠1，故此说法是错误的．(4)错误．sin 2α是(sin α)2的缩写，表示角α的正弦的平方，sin α2表示角α2的正弦，故两者意义不同，此说法是错误的．答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×2．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则cos α等于( )A ．45B ．－45C ．－17D ．35答案：B3．化简：(1＋tan 2 α)·cos 2α等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2答案：C4．已知tan α＝1，则2sin α－cos αsin α＋cos α＝________．解析：原式＝2tan α－1tan α＋1＝2－11＋1＝12.答案：12已知一个三角函数值求其他三角函数值已知cos α＝－35，求sin α，tan α的值．【解】 因为cos α<0且cos α≠－1， 所以α是第二或第三象限角． 所以当α为第二象限角时， sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45， tan α＝sin αcos α＝－43.当α为第三象限角时， sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝ －45，tan α＝sin αcos α＝43.已知角α的某一三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择；若角所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角所在的象限不确定，应分类讨论．1.(1)已知α是第二象限角，且tan α＝－724，则cos α＝________．(2)已知sin θ＝a (a ≠0)，且tan θ>0，求cos θ、tan θ. 解：(1)因为α是第二象限角， 故sin α＞0，cos α＜0， 又tan α＝－724，所以sin αcos α＝－724，又sin 2α＋cos 2α＝1，解得cos α＝－2425.故填－2425.(2)因为tan θ＞0，则θ在第一、三象限，所以a ≠±1. ①若θ在第一象限，sin θ＝a ＞0，且a ≠1时， cos θ＝1－sin 2θ＝1－a 2. 所以tan θ＝sin θcos θ＝a1－a2. ②若θ在第三象限，sin θ＝a ＜0，且a ≠－1时， cos θ＝－1－sin 2θ＝－1－a 2. 所以tan θ＝sin θcos θ＝－a1－a2. 利用同角三角函数关系化简化简下列各式： (1)1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°； (2)1－sin α1＋sin α＋1＋sin α1－sin α，其中sin αtan α＜0.【解】 (1)1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210° ＝（cos 10°－sin 10°）2sin 10°－cos 210°＝|cos 10°－sin 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°sin 10°－cos 10°＝－1. (2)由于sin αtan α＜0，则sin α，tan α异号， 所以α是第二、三象限角，所以cos α＜0.所以1－sin α1＋sin α＋1＋sin α1－sin α＝（1－sin α）21－sin 2α＋ （1＋sin α）21－sin 2α＝|1－sin α||cos α|＋|1＋sin α||cos α|＝1－sin α＋1＋sin α－cos α＝－2cos α.(1)三角函数式的化简过程中常用的方法①化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．②对于含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的． ③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．(2)对三角函数式化简的原则 ①使三角函数式的次数尽量低． ②使式中的项数尽量少． ③使三角函数的种类尽量少． ④使式中的分母尽量不含有三角函数． ⑤使式中尽量不含有根号和绝对值符号．⑥能求值的要求出具体的值，否则就用三角函数式来表示.2.化简：1－sin 4x －cos 4x1－sin 6x －cos 6x.解：原式＝1－[（sin 2x ＋cos 2x ）2－2sin 2x cos 2x ]1－（sin 2x ＋cos 2x ）（sin 4x ＋cos 4x －sin 2x cos 2x ） ＝1－1＋2sin 2x cos 2x1－[（sin 2x ＋cos 2x ）2－3sin 2x cos 2x ] ＝2sin 2x cos 2x 3sin 2x cos 2x ＝23. 利用同角三角函数关系式证明求证：(1)1＋tan 2α＝1cos 2α；(2)sin α1－cos α＝1＋cos αsin α. 【证明】 证明：(1)因为1＋tan 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝ cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1cos 2α， 所以原式成立．(2)法一：由sin α≠0知，cos α≠－1， 所以1＋cos α≠0.于是左边＝sin α（1＋cos α）（1－cos α）（1＋cos α）＝sin α（1＋cos α）1－cos 2α＝sin α（1＋cos α）sin 2α＝1＋cos αsin α＝右边． 所以原式成立．法二：因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＝1－cos 2α， 即sin 2α＝(1－cos α)(1＋cos α)． 因为1－cos α≠0，sin α≠0， 所以sin α1－cos α＝1＋cos αsin α.证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则． (2)证明左右两边等于同一个式子．(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．3.(1)求证：1－2sin x cos x cos 2x －sin 2x ＝1－tan x1＋tan x. (2)求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.证明：(1)左边＝sin 2x －2sin x cos x ＋cos 2xcos 2x －sin 2x＝tan 2x －2tan x ＋11－tan 2x＝（tan x －1）2（1－tan x ）（1＋tan x ）＝1－tan x1＋tan x ＝右边． 所以原式成立．(2)因为右边＝tan 2α－sin 2α（tan α－sin α）tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α（tan α－sin α）tan αsin α ＝tan 2α（1－cos 2α）（tan α－sin α）tan αsin α ＝tan 2αsin 2α（tan α－sin α）tan αsin α ＝tan αsin αtan α－sin α ＝左边， 所以原等式成立．1．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如sin 23α＋cos 23α＝1.2．在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意义，如式子tan 90°＝sin 90°cos 90°不成立．3．注意公式的变形，如sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α，sin α＝cos αtan α，cosα＝sin αtan α等． 4．在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定的，不可凭空想象．已知sin α＋cos α＝13，其中0＜α＜π，求sin α－cos α的值．【解】 因为sin α＋cos α＝13，所以(sin α＋cos α)2＝19，可得：sin α·cos α＝－49.因为0＜α＜π，且sin α·cos α＜0，所以sin α＞0，cos α＜0.所以sin α－cos α＞0， 又(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝179，所以sin α－cos α＝173.(1)在处得到sin α·cos α＜0，为判断sin α，cos α的具体符号提供了条件，是解答本题的关键；若没有判断出处的关系式，则下一步利用平方关系求解sin α－cos α的值时，可能会出现两个，是解答本题的易失分点；若前边的符号问题都正确，但在处书写不正确，没有考虑前面的符号而出现sin α－cos α＝±173，则是解答本题的又一易失分点． (2)在解题过程中要充分利用题中的条件，判断出所求的三角函数式的符号．1．已知sin α＝23，tan α＝255，则cos α＝( )A ．13 B ．53 C ．73D ．55解析：选B ．因为tan α＝sin αcos α，所以cos α＝sin αtan α＝23255＝53.2．化简：⎝⎛⎭⎪⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)＝( )A ．sin αB ．cos αC ．1＋sin αD ．1＋cos α解析：选A ．⎝⎛⎭⎪⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin α＋cos αsin α(1－cos α)＝1－cos 2αsin α＝sin α. 3．已知cos θ＝35，且3π2＜θ＜2π，那么tan θ的值为________．解析：因为θ为第四象限角， 所以tan θ＜0，sin θ＜0，sin θ＝－1－cos 2θ＝－45，所以tan θ＝sin θcos θ＝－43.答案：－434．已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．解：由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α，①又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925.又α是第三象限角，所以cos α＝－35，sin α＝－45.[学生用书P83(单独成册)])[A 基础达标]1．若cos α＝13，则(1＋sin α)(1－sin α)等于( )A ．13B ．19C ．223D ．89解析：选B ．原式＝1－sin 2α＝cos 2α＝19，故选B ．2．若α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝( )A ．15B ．－14C ．513D ．－513解析：选D ．因为tan α＝sin αcos α＝－512，sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝±513.因为α是第四象限角，所以sin α＝－513.3．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin θcos θ的值为( )A ．23B ．－23C ．13D ．－13解析：选A ．由sin 4θ＋cos 4θ＝59，得(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59，所以sin 2θcos 2θ＝29.因为θ是第三象限角，所以sin θ<0，cos θ<0，所以sin θcos θ＝23. 4．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ＝( ) A ．73 B ．75 C ．54D ．53解析：选B ．法一：1＋sin θcos θ＝1＋sin θcos θ1＝sin 2θ＋cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ ＝tan 2θ＋tan θ＋1tan 2θ＋1， 又tan θ＝2，所以1＋sin θcos θ＝22＋2＋122＋1＝75.法二：tan θ＝2，即sin θ＝2cos θ， 又sin 2θ＋cos 2θ＝1， 所以(2cos θ)2＋cos 2θ＝1， 所以cos 2θ＝15.又tan θ＝2>0，所以θ为第一或第三象限角． 当θ为第一象限角时，cos θ＝55，此时sin θ＝1－cos 2θ＝255，则1＋sin θcos θ＝1＋255×55＝75；当θ为第三象限角时，cos θ＝－55， 此时sin θ＝－1－cos 2θ＝－255，则1＋sin θcos θ＝1＋(－255)×(－55)＝75.5．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝( ) A ．12 B ．2C ．－12D ．－2解析：选B ．由⎩⎨⎧cos α＋2sin α＝－5，sin 2α＋cos 2α＝1得(5sin α＋2)2＝0. 所以sin α＝－255，cos α＝－55.所以tan α＝2.6．已知tan α＝m ⎝⎛⎭⎪⎫π＜α＜3π2，则sin α＝________．解析：因为tan α＝m ，所以sin 2αcos 2α＝m 2，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝1m 2＋1，sin 2α＝m 2m 2＋1.又因为π＜α＜3π2，所以tan α＞0，即m ＞0.因而sin α＝－mm 2＋1. 答案：－m1＋m27．已知sin α－cos αsin α＋cos α＝2，则sin αcos α的值为________．解析：由sin α－cos αsin α＋cos α＝2，等式左边的分子分母同除以cos α，得tan α－1tan α＋1＝2，所以tanα＝－3，所以sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－310. 答案：－310 8．已知α是第二象限角，则sin α1－cos 2 α＋21－sin 2 αcos α＝________． 解析：因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以sin α1－cos 2α＋21－sin 2αcos α＝sin αsin α＋－2cos αcos α＝－1. 答案：－19．化简：sin 2x sin x －cos x －sin x ＋cos x tan 2x －1. 解：原式＝sin 2x sin x －cos x －sin x ＋cos x sin 2xcos 2x－1 ＝sin 2x sin x －cos x －cos 2x （sin x ＋cos x ）sin 2x －cos 2x＝sin 2x －cos 2x sin x －cos x＝sin x ＋cos x . 10．已知tan α＝2，求下列各式的值：(1)2sin 2α－3cos 2α4sin 2α－9cos 2α； (2)sin 2α－3sin αcos α＋1.解：(1)因为tan α＝2，所以cos α≠0.所以2sin 2α－3cos 2α4sin 2α－9cos 2α＝2tan 2α－34tan 2α－9 ＝2×22－34×22－9＝57. (2)因为tan α＝2，所以cos α≠0.所以sin 2α－3sin αcos α＋1＝sin 2α－3sin αcos α＋(sin 2α＋cos 2α)＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2α＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan α＋1tan 2α＋1＝2×22－3×2＋122＋1＝35. [B 能力提升]1．若△ABC 的内角A 满足sin A cos A ＝13，则sin A ＋cos A 的值为( ) A ．153 B ．－153 C ．53 D ．－53解析：选A ．因为A 为△ABC 的内角，且sin A cos A ＝13＞0，所以A 为锐角，所以sin A ＋cos A ＞0.又1＋2sin A cos A ＝1＋23，即(sin A ＋cos A )2＝53，所以sin A ＋cos A ＝153. 2．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________．解析：因为tan θ＝2，所以cos θ≠0，则原式可化为sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝sin 2θcos 2θ＋sin θcos θcos 2θ－2cos 2θcos 2θsin 2θcos 2θ＋cos 2θcos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45. 答案：453．已知2sin θ－cos θ＝1，3cos θ－2sin θ＝a ，记数a 形成的集合为A ，若x ∈A ，y ∈A ，则以点P (x ，y )为顶点的平面图形是什么图形？解：联立⎩⎪⎨⎪⎧2sin θ－cos θ＝1，sin 2θ＋cos 2θ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝0，cos θ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝45，cos θ＝35.所以a ＝3cos θ－2sin θ＝－3或15，即A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，15.因此，点P (x ，y )可以是P 1(－3，－3)，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，15，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫15，15，P 4⎝ ⎛⎭⎪⎫15，－3.经分析知，这四个点构成一个正方形．4．(选做题)已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根分别为sin θ和cos θ，θ∈(0，2π)，求：(1)sin θ1－1tan θ＋cosθ1－tan θ的值；(2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解：由根与系数的关系，可得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，①sin θ·cos θ＝m2，②Δ＝4＋23－8m ≥0.③(1)sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12.(2)由①平方，得1＋2sin θcos θ＝2＋32，所以sin θcos θ＝34.又由②，得m 2＝34，所以m ＝32，由③，得m ≤2＋34， 所以m ＝32符合题意； (3)当m ＝32时，原方程变为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12. 所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝32，sin θ＝12. 又因为θ∈(0，2π)，所以θ＝π3或π6.。
高中数学 第一章 三角函数 1.2.三角函数的定义课件
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(2)因为角 α 的终边过点(a,2a)(a≠0)， 所以 r＝ 5|a|，x＝a，y＝2a.
当
a>0
时，sinα＝yr＝
2a ＝2 5a
5 5，cosα＝xr＝
a＝ 5a
55，tanα
＝yx＝2aa＝2；
当
a<0
时，sinα＝yr＝－2a5a＝－2 5
5，cosα＝xr＝－ a
原点的距离为 r，则 sinα＝
y r ，cosα＝
x r ，tanα＝
y x.
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[答一答] 1．三角函数值的大小与点 P 在终边上的位置是否有关？
提示：三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与 点 P(x，y)在终边上的位置无关，只与角 α 的终边位置有关，即 三角函数值的大小只与角有关．
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知识点一 三角函数的定义
[填一填] (1)单位圆：圆心是 原点 ，半径长为
单位长度 ．
(2)定义：设任意角 α 的终边与单位圆交于点 P(x，y)，则 sinα
＝
y ，cosα＝
x ，tanα＝ yx(x≠0) ．
(3)一般地，设角 α 终边上任意一点 P 的坐标为(x，y)，它与
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[变式训练 1] (1)如果角 α 的终边经过点 P－ 23，12，则 sinα
＝
1 2
，cosα＝
－
3 2
，tanα＝
－
3 3
高中数学第一章三角函数1.1.2任意角的三角函数全国公开课一等奖百校联赛微课赛课特等奖PPT课件
P
α
O
M
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任意角三角函数的定义
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问题探究3 我们能定义任意角三角函数吗?假如能,应该是怎样
定义呢?
y P(x,y)
r α 0x
y P(x,y)
r
α 0x
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பைடு நூலகம்
任意角三角函数的定义
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在角α终边上任取一点P(不与坐标原点重合),
设P(x,y),OP=r(r>0),要求:
tan00,tan450,tan1800,tan1350,tan2250.
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任意角三角函数的定义
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问题探究5
y
从任意角三角函数
P(x,y) r
定义能否推断三角函
α
数值符号?
0x
y P(x,y)
r
α 0x
y
y
y
＋＋ — ＋ — ＋
0x
——
— 0＋ x ＋
0
—
x
y sinα= —
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练习
1 .已知角α终边经过点P(-3,4),求α正弦,余
弦和正切值.
2 .已知角α终边经过点P(-x,-65),且cosα=－—,
求x值.
13
3 .设α是三角形一个内角,在sinα,cosα,tanα
4
α
5 和tan—中哪些有可能取负值?
6
２
4 .确定以下各角正弦,余弦,正切值符号:
4
①8850
19π
;②-3950
25π
;③——
;④-——.
5
高中数学第1章三角函数1.2.3三角函数的诱导公式(第2课时)三角函数的诱导公式(五～六)课件苏教版必修4
∴cos α＝－13，
∴sinπ2＋α＝cos α＝－13.]
3．已知 sin α＝23，则 cosπ2－α＝ ________.
2 3
[cosπ2－α＝sin α＝23.]
4．若 sin α＝ 55，求sinπ2＋cαossi3nπ－72πα＋ α－1＋ cos3π＋αssinin525π2π＋－αα－ sin72π＋α的值．
诱导公式在三角形中的应用 【例 3】 在△ABC 中，sinA＋B2－C＝sinA－B2＋C，试判断△ABC 的形状． 思路点拨： sinA＋B2－C＝sinA－B2＋C ―A―＋―B―＋―C＝―π→ 得B，C关系 ―→ △ABC的形状
[解] ∵A＋B＋C＝π， ∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B. 又∵sinA＋B2－C＝sinA－B2＋C， ∴sinπ－22C＝sinπ－22B，
教师独具 1．本节课的重点是诱导公式五、六及其应用，难点是利用诱导公式 解决条件求值问题． 2．要掌握诱导公式的三个应用 (1)利用诱导公式解决化简求值问题． (2)利用诱导公式解决条件求值问题． (3)利用诱导公式解决三角恒等式的证明问题．
3．本节课要掌握一些常见角的变换技巧 π6＋α＝π2－π3－α⇔π6＋α＋π3－α＝π2，π4＋α＝π2－π4－α⇔π4＋α＋ π4－α＝π2，56π＋α－π3＋α＝π2等.
第1章 三角函数
1.2 任意角的三角函数 1.2.3 三角函数的诱导公式 第2课时 三角函数的诱导公式(五～六)
学习目标
核 心 素 养(教师独具)
1.能借助单位圆中的三角函数定义
推导诱导公式五、六．(难点) 通过学习本节内容提升学生的
2.掌握六组诱导公式，能灵活运用诱 数学运算核心素养.
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三角函数线及其应用课时第21．有向线段(1)定义：带有方向的线段．OMMP. (2)表示：用大写字母表示，如有向线段，2．三角函数线PPPMxM. ，过垂直于作轴，垂足为作图：①(1)α的终边与单位圆交于AxT. α0)作的终边或其反向延长线于点轴的垂线，交②过(1，(2)图示：MPOMAT，分别叫做角α、结论：有向线段(3)的正弦线、余弦线、正切线，统称为三、角函数线．思考：当角的终边落在坐标轴上时，正弦线、余弦线、正切线变得怎样？xy轴上当角的终边落在轴上时，正弦线、正切线分别变成了一个点；终边落在提示：时，余弦线变成了一个点，正切线不存在．π8π1．角和角有相同的( )77A．正弦线 B．余弦线．不能确定D ．正切线C．π8πC [角和角的终边互为反向线，所以正切线相同．]772．如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )OMAT′．正弦线′，正切线 A OMAT′．正弦线′，正切线 B MPAT，正切线C．正弦线MPAT′，正切线′D．正弦线MPAT，C，正切线为正确．C [α为第三象限角，故正弦线为]3．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为．y轴上，正弦线与单位圆的交点为(0，0的余弦线长度为时，α的终边落在1 [若角α1)或(0，－1)，所以正弦线长度为1.]】作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．【例1ππ10π17.(3)－；(2)；(1)364 [解]如图．MPOMAT为正切线．其中为正弦线，为余弦线，三角函数线的画法x轴的垂(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．xA)的终边(α作正切线时，应从(1，0)点引为第一或第四象限角轴的垂线，交α(2)ATT.于点，即可得到正切线或α终边的反向延长线(α为第二或第三象限角)π5 1．作出－的正弦线、余弦线和正切线．8 ]如图：[解π5????MP－＝，sin??8π5????OM－，cos＝??8π5????AT－. ＝tan??8) ＞cos β，那么下列结论成立的是( 【例2】 (1)已知cos αβsin α＞sin ．若Aα、β是第一象限角，则α＞tan β是第二象限角，则B．若α、βtanα＞sin βC．若α、β是第三象限角，则sin＞tan β．若α、β是第四象限角，则tan αDππ4π2π4π22π4 的大小．，tan和tan和(2)利用三角函数线比较sin和sin，coscos553533在规定象限内画观察正弦线或正、β的余弦线出α→思路点拨：(1) 切线判断大小满足cos α＞cos β2π4π观察图形，(2)作出和的正弦线、余弦线和正切线→比较大小35 错误；A，故βsin ＜αsin 时，βcos ＞αcos 可知，(1)由图[ D)1(图(1)由图(2)可知，cos α＞cos β时，tan α＜tan β，故B错误；图(2)由图(3)可知，cos α＞cos β时，sin α＜sin β，C错误；图(3)由图(4)可知，cos α＞cos β时，tan α＞tan β，D正确．]图(4)2π2π2π4π4πMPOMATMPOM′，＝′，tan＝，＝′cos＝＝解：如图，(2)sin，cos，333554πAT′.＝tan 5．MPMP′|，符号皆正，| 显然|′|＞2π4π∴sin＞sin；352π4πOMOM′|，符号皆负，∴cos＞cos；|＜| |352π4πATAT′|，符号皆负，∴tan＜tan|＞||.35(1)利用三角函数线比较大小的步骤：①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度；③确定有向线段的正负．(2)利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点：①关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线．②注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向．2π2π2πabc＝tan，则( ＝cos， 2．已知sin＝，)777abcacb＜．．＜B＜＜A babcac＜．D＜．C＜＜D[由如图的三角函数线知：2π2ππATMP＞，因为＝＜，784MPOM，＞所以．2π2π2π所以cos＜sin＜tan，777bac.]所以＜＜πππ3π3．设＜α＜，试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度．如果＜α＜，4224上述长度关系又如何？ππMPOMAT，，余弦线为，正切线为α＜时，角α的正弦线为[解] 如图所示，当＜42π3πATMPOMMPOM′，′时，角α显然在长度上，的正弦线为＞′，余弦线为＞＜；当＜α24ATATMPOM′.′＞′＞′正切线为′，显然在长度上，]探究问题[aaa (|α≥|≤1)的不等式？，sin α≤1．利用三角函数线如何解答形如sinaaa(|，sin α≤|≤1)的不等式：提示：对形如sin α≥图①yOMaay轴的垂线交单位圆于两作)，过点(0画出如图①所示的单位圆；在，轴上截取＝PPOPOPOPOP′上的角的集合；图中阴影部分即为和点和和′；写出终边在′，并作射线aa的角α的范围．α的角α的范围，其余部分即为满足不等式sin ≥sin 满足不等式α≤aaa|≤1)的不等式？≤α(|．利用三角函数线如何解答形如2cos α≥，cosaaa|≤1)的不等式：≤cos α对形如提示：cos ≥，α(|图②．xaaxOM轴的垂线交单位圆于两，0)＝，过点画出如图②所示的单位圆；在(轴上截取作OPOPPPOPOP′上的角的集合；图中阴影部分即为满′，作射线′；写出终边在点和和和aa cos α的角α≥足不等式cos α≤的范围．的角α的范围，其余部分即为满足不等式3】利用三角函数线确定满足下列条件的角α的取值范围．【例132. αα|≤(1)cos α＞－≤；(3)|sin ；(2)tan 223的写出角α确定对应确定角α的终→思路点拨：→――方程的解边所在区域取值范围[解] (1)如图，由余弦线知角α的取值范围是3π3π???kkk?Z，＜α＜2π2＋π－∈. α???44??(2)如图，由正切线知角α的取值范围是ππ???kkk?Zπ＋∈π，α≤. α???62??111(3)由|sin α|≤，得－≤sin α≤.222如图，由正弦线知角α的取值范围是ππ???kkk?∈，π＋Zπ－α≤≤.α???66??2”，求α的取值范围．的不等式改为“cos α＜ 1．将本例(1)2[解]如图，由余弦线知角α的取值范围是π7π???kkk?Z＜2，π2＋π＋∈＜α. α???44??132．将本例(3)的不等式改为“－≤sin θ＜”，求α的取值范围． 22π117π3π2π????－＝－，sin且－≤sin θ＝]由三角函数线可知sin＝sin，sin＝[解??62633223，故θ的取值集合是＜ 2ππ2π7π????kkkk????k＋22π2，＋π＋π，2π－ (．∈Z)∪????6633yx－1的定义域．．利用本例的方法，求函数＝2sin 3x－1≥0，2sin ]要使函数有意义，只需解[1x≥.即sin 2π5π??kk??k＋＋，2π2π∈Z)． (由正弦线可知定义域为??66利用单位圆中的三角函数线解不等式的方法(1)首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件，利用三角函数线画出角α满足条件的终边的位置．(2)角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值，与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值．写角的范围时，抓住边界值，然后再注意角的范围的写法要求．(3)在一定范围内先找出符合条件的角，再用终边相同的角的表达式写出符合条件的提醒：所有角的集合．．本节课的重点是三角函数线的画法，以及利用三角函数线解简单的不等式及比较大小1 问题，难点是对三角函数线概念的理解． ．本节课应重点掌握三角函数线的以下三个问题2 ；三角函数线的画法，见类型1(1) ；利用三角函数线比较大小，见类型2(2)3.利用三角函数线解简单不等式，见类型(3)．三角函数线是三角函数的几何表示，它们都是有向线段，线段的方向表示三角函数值3的正负，与坐标轴同向为正，异向为负，线段的长度是三角函数的绝对值，这是本节重中之 重． ．利用三角函数线解三角不等式的方法41．下列判断中错误的是( )A ．α一定时，单位圆中的正弦线一定B ．在单位圆中，有相同正弦线的角相等C ．α和α＋π有相同的正切线D ．具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上π5πB [A正确；B 错误，如与有相同正弦线；C 正确，因为α与π＋α的终边互为反66向延长线；D 正确．]πOMMP 分别是角α＝的余弦线和正弦线，那么下列结论正确的是( 2．如果， )5MPOMMPOM ＜0＜．B0＜＜．A ．MPOMMPOM 0＞＞＞＞0 DC ．．ππOM 的余弦线和正弦线满足α＝[角β＝的余弦线与正弦线相等，结合图象可知角D 54MP 0.]＞＞baba，则cos 4 ，3．若．＝sin 4，的大小关系为＝ππ35ba＜，＜＜ [因为424 ，如图4弧度角的正弦线和余弦线()画出ba.]＜cos 4，即观察可知sin 4＜的集合．α的终边范围，并由此写出角α．在单位圆中画出适合下列条件的角413. α≤－(1)sin α；≥(2)cos 223yOBABOA＝(1)作直线[α的终边在如图①所交单位圆于解，两点，连接]，，则角2π2???kkk?∈Zπ，≤π≤απ＋2＋2.α)含边界，角的取值集合为α(示的阴影区域内???33??图①图②1xCDOCOD，则角α＝－(2)作直线交单位圆于，两点，连接，的终边在如图②所示的2．24???kkk?∈，Zπ≤α≤＋2π2π＋π.阴影区域内(α的取值集合为，角含边界)α???33??。