高等多元统计分析第一章-绪论
多元统计分析讲义
多元统计分析讲义(第一章)(总24页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--《多元统计分析》Multivariate Statistical Analysis主讲：统计学院许启发（）统计学院应用统计学教研室School of Statistics2004年9月第一章绪论【教学目的】1．让学生了解什么是多元统计分析它的发展与现状；2．让学生了解多元统计分析的主要范畴、功能；3．回顾相关的矩阵理论和多元正态分布理论；4．阐述多元数据的表示方法。
【教学重点】1．从一元到多元的过度；2．多元正态理论及其相关命题。
§1 引言一、什么是多元统计分析在实践中，常会碰到需要同时观测若干指标的问题。
例如衡量一个地区的经济发展水平：总产值、利润、效益、劳动生产率等；在医学诊断中，有病还是无病，需做多项检测：血压、体温、心跳、白血球等①。
提出问题：如何同时对多个随机变量的观测数据进行有效的分析和处理有两种做法：分开研究；同时研究。
但前者会损失一定的信息量。
多元统计分析就是研究多个随机变量之间相互依赖关系以及内在统计规律的一门学科，利用其中的不同方法可对研究对象进行分类和简化。
二、多元统计分析的产生和发展1．1928年Wishert发表论文《多元正态总体样本协方差阵的精确分布》，是多元统计分析的开端；2．20世纪30年代，Fisher, Hotelling, 许宝碌等奠定了多元统计分析的理论基础；3．20世纪40年代，在心理学、教育学、生物学等方面有不少应用，但由于计算量大，发展受到限制；4．20世纪50年代中期，随着计算机的出现和发展，使多元分析方法在地质、气象、医学和社会学方面得到广泛应用；5．20世纪60年代，通过应用和实践又完善和发展了理论，使得它的应用范围更广；6．20世纪70年代初期，才在我国受到各个领域的极大关注，近30多年在理论上和应用上都取得了若干新进展。
多元统计分析知识点多元统计分析课件精品
多元统计分析知识点多元统计分析课件精品多元统计分析（1）题目:多元统计分析知识点目录第一章绪论 (1)§1.1什么是多元统计分析 ............................ 1 §1.2多元统计分析能解决哪些实际问题 .... 2 §1.3主要内容安排 ........................................ 2 第二章多元正态分布 .. (2)§2.1基本概念 ................................................ 2 §2.2多元正态分布的定义及基本性质 .. (8)1.（多元正态分布）定义 ..................... 92.多元正态变量的基本性质 ............... 10 §2.3多元正态分布的参数估计12(,,,)p X X X X '= (11)1.多元样本的概念及表示法 ............... 122. 多元样本的数值特征 ..................... 123.μ和 ∑的最大似然估计及基本性质.............................................................. 15 4.Wishart 分布 (17)第五章 聚类分析 (18)§5.1什么是聚类分析 .................................. 18 §5.2距离和相似系数 . (19)1．Q —型聚类分析常用的距离和相似系数 (20)2.R型聚类分析常用的距离和相似系数 (25)§5.3八种系统聚类方法 (26)1.最短距离法 (27)2.最长距离法 (30)3.中间距离法 (32)4.重心法 (35)5.类平均法 (37)6.可变类平均法 (38)7.可变法 (38)8.离差平方和法（Word方法） (38)第六章判别分析 (39)§6.1什么是判别分析 (39)§6.2距离判别法 (40)1、两个总体的距离判别法 (40)2.多总体的距离判别法 (45)§6.3费歇（Fisher）判别法 (46)1.不等协方差矩阵两总体Fisher判别法 (46)2.多总体费歇（Fisher）判别法 (51)§6.4贝叶斯（Bayes）判别法 (58)1.基本思想 (58)2.多元正态总体的Bayes判别法 (59)§6.5逐步判别法 (61)1.基本思想 (61)2.引入和剔除变量所用的检验统计量 (62)3.Bartlett近似公式 (63)第一章绪论§1.1什么是多元统计分析在自然科学、社会科学以及经济领域中，常常需要同时观察多个指标。
应用多元统计课件 (1)
3
本课程的特点与教学方式
教学方式 : 授课与实际例题相结合. 本课程的特点是将常用的多元分析方法的 介绍与在计算机上实现这些方法的软件紧 密地结合起来，不仅介绍每种多元分析方 法 的实际背景、统计思想、统计模型、数 学原理和解题的思路，并结合实例介绍应 用编程软件(Matlab)解决问题的步骤和计算 结果的分析。
的考试成绩，可对学生进行分类，如按文、理 科成绩分类，按总成绩分类等。若准备给优秀 学生发奖，那么一等奖、二等奖的比例应该是 多少？应用多元统计分析的方法可以给出公平 合理地确定。
19
教育学--
主成分分析在学生学习成绩排序中的应用
我在担任学生班主任期间,经常会遇到学 校下达的评选三好生,评选学习奖等任务.另 还有评选各种奖学金的工作;推荐研究生的 工作都要求班主任提出意见.
0.1025X 4 0.2852X12
Z1是12个变量的线性组合，且系数都是正数，
数值有大有小。显然数值大的变量对综合指标
（主成分）的贡献大；数值小的变量对综合指
标（主成分）的贡献小。
24
教育学--
主成分分析在学生学习成绩排序中的应用
12个原始变量（课程）提供的信息各为多少？用什
么量来表达？最经典的方法是用变量的方差Var(Xi)为
23
教育学--
主成分分析在学生学习成绩排序中的应用
最简单最直观地综合变量就是12门课的成绩总和
。但这个最简单的综合变量并不是最科学地代表12门
课综合成绩的指标，而用主成分分析得出的第一主成分
（原始变量的线性组合）Z1是最科学地代表12门课综合 成绩的指标。比如
Z1 0.3233X1 0.4525X 2 0.3502X 3
《多元统计分析》课程教学大纲
多元统计分析Mu1tivariateS⅛atisticaIAna1ysis一、课程基本信息学时：40学分：2.5考核方式：闭卷考试，平时成绩占30%,期末考试成绩占70%。
中文简介：随着电子计算机的普及和软件的发展，信息储存手段以及数据信息的成倍增长，多元分析的方法己广泛运用自然科学和社会科学的各个领域。
国内国外实际应用中卓有成效的成果，已证明了多元分析方法是处理多维数据不可缺少的重要工具，并日益显示出无比的魅力。
多元分析是现代统计学中重要而活跃的学科。
二、教学目的与要求《多元统计》为专业必修的技术课程。
通过本课程的学习，使学生系统地了解多元统计分析的基本概念和基本原理，掌握一些常用的多元统计思想和统计方法，学会处理常见的多元统计问题。
三、教学方法与手段1、教学方法（一）课堂讲授本课程是一门应用性较强的专业理论基础课程，每章在讲述理论的同时注意相应典型问题背景，尽量联系生产生活中的实际例子，重视模型的建立，每章内容结束后借助案例分析帮助理解模型的建立和方法的应用，重视培养学生解决实际问题的能力和应用计算机求解的计算能力。
精心设计多媒体电子教案，充分、恰当使用多媒体教学手段，算法步骤呈现出直观、形象、动态的特点，帮助学生更好地理解课程内容，利用课件呈现足够的案例及其建模、分析求解过程，开阔了学生的思路。
（二）课外作业课外作业的内容选择基于对基本理论的理解和熟练相关算法，培养建模能力和分析计算能力，平均每次完成课后2~4道题习题。
（三）考试考试采用闭卷的形式，考试范围应涵盖所有讲授内容，主要考查学生对基本概念,基本理论的理解，相关计算掌握程度，建模能力及综合运用能力。
题型由选择题和填空题计算题构成。
总评成绩：平时成绩（课外作业情况）占30%期末闭卷考试占70%2、教学手段在教学中采用多种教学手段。
（1）多媒体课件：本课程已制作了相应的多媒体演示课件，与传统板书相结合进行讲授。
（2）教学网站：目前校外有很多优秀的程序设计网站，可以指定学生在相关网站注册学习，既增加学生兴趣又可以提高学生在课外自主学习能力。
第一章 多元统计分析 绪论
三、样本相关系数
第i个和第j个变量的样本相关系数为：
其中：i=1,2,3….p,j=1,2,3,…,p 对于所有的i，j，
由p个变量的n组观测值计算出的统计量，可用矩阵来记： 样本均值阵：
样本方差和协方差阵：
样本相关系数矩阵：
例1．根据表1资料计算样本均值阵、样本方差和协方差矩阵、样本相 关系数矩阵。
15639.45
9001.81 11480.39 95295.78
892.91
4241.09 7222.46 40315.52
1842.92
4175.64 7168.26 42493.99
1417.61
3549.03 4723.31 26368.5
竹林众生 焦作万方
思达高科 郑州煤电 合计
8379.92 34086.94
12769.17 27296.36 707584.51
921.84 20451.51
3820.98 13007.43 443130.65
1661.32 22562.66
4308.77 12863.37 438521.86
1477.24 14290.03
3195.9 8512.59 3资料
营业利润(万元)
41614.75 69453.22 128972.69 23968.02 22463.69 39903.35 25881.19
主营业务利润(万元)
中原高速 中原油气 安阳钢铁 神火股份 新乡化纤 安彩高科 许继电气 48457.83 84061.07 175514.79 31436.57 31121.23 69994.75 53048.45
第一章 绪论
第一节
多元统计分析的作用
第1章 绪论[多元统计]
![第1章 绪论[多元统计]](https://img.taocdn.com/s3/m/bc3b31a1b0717fd5360cdcc3.png)
5. 射影矩阵
A: n×n, A: 幂等的 A2 = A A: 射影 A′ = A 且 A2 = A
射影矩阵的性质: A 是一个射影矩阵 In-A是一个射影矩阵 ; A的特征值为 0或 1, 且 1的个数为A的秩; tr(A) = rank(A). 设X是 n×p阶矩阵 (n ≥ p), 且rank(X) = p. 记H = X(X′X)-1X′. 则 1) H 是一个射影矩阵; 2) tr(H) = rank(H) = p; 3) I - H是一个射影矩阵
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4. 正定矩阵
对于n×n阶对称矩阵 A A ≥ 0 x′A x ≥ 0, x ∈ Rn , A: 非负定的 A > 0 x′A x > 0, x ∈ Rn , A: 正定的 主要结论: A > 0 A11 > 0, A22 > 0, A112 > 0, A221 > 0 A > 0 A-1 > 0 某些定义: A>B A-B>0 A≥B A-B≥0
2
多元分析是数理统计学30多年来迅速发展起 来的一个分支,已广泛地应用到社会科学和自然 科学的许多领域.本课程介绍一些实用的多元分 析方法的理论及应用,包括有关多元正态分布的 统计推断,判别分析,聚类分析,主成分分析, 因子分析,典型相关分析.
3
1. 应用多元统计分析 2. 多元统计分析 3. 多元统计分析
对称矩阵
a = (a1, …, ap): 1×p
a1 a = M : n ×1 a n
A = A′
上三角阵
对角矩阵
a1 A= O = diag (a1 ,L, an ) an
A = (aij), aij=0 if i > j
第1章 多元统计分析概述
多元统计分析起源于20世纪初，1928年Wishart发 表论文《多元正态总体样本协差阵的精确分析》，可 以说是多元统计分析的开端。随后多元统计分析得到 了迅速发展，40年代多元统计分析在心理、教育、生 物等方面有不少应用，但由于计算量大，使其发展受 到一定的影响。50年代中期，随着电子计算机的出现 和发展，多元统计分析在地质、气象、医学、社会学 等方面得到应用。60年代通过应用和实践，完善和发 展了理论，新的理论和方法不断涌现，使他的应用范 围更加扩大。70年代初期多元统计分析在我国才得到 各个领域的关注，并在理论研究和应用上取得了显著 成绩，有些研究工作已达到了国际水平，并形成了一 支科技队伍，活跃在各条战线上。进入21世纪，人们 获得的数据正以前所未有的速度急剧增加，产生了许 多超大型数据库，其遍及各个行业，这就为多元统计 分析与其它学科融合提供了重要的平台。
二、工业
（1）如对我国31个省市自治区独立核算工业企业经济效益 进行分析时，选取能反映企业经济效益的代表性指标，如 百元固定资产实现利税、资金利税、产值利税率等，根据 这些指标对全国各省市自治区进行分类，然后根据分类结 果对企业经济效益进行综合评价，就易于得出科学的分析。 （2）考察某产品质量指标（多个）与影响产品质量的因素 （多个）之间的关系。在商品需求研究中，考察商品销售 量与商品价格、消费者收入等之间的关系，可以利用回归 分析方法建立数学模型进行分析。 （3）研究某产品使用不同原料进行生产时，原料对产品质 量有无显著影响；研究某商场今年与以前年份经营状况在 经营指标方面有没有显著性的差异？可以利用多元正态总 体均值向量和协差阵的假设检验进行分析。
1）统计学和计算机科学相互促进。 2）统计理论与分析方法不断发展。 3）统计调查方法的创新。
多元统计分析1-3章
第一章绪论§1.1 什么是多元统计分析在工业、农业、医学、气象、环境以及经济、管理等诸多领域中，常常需要同时观测多个指标。
例如，要衡量一个地区的经济发展，需要观测的指标有：总产值、利润、效益、劳动生产率、万元生产值能耗、固定资产、流动资金周转率、物价、信贷、税收等等；要了解一种岩石，需观测或化验的指标也很多，如：颜色、硬度、含碳量、含硫量等等；要了解一个国家经济发展的类型也需观测很多指标，如：人均国民收入，人均工农业产值、人均消费水平等等。
在医学诊断中，要判断某人是有病还是无病，也需要做多项指标的体检，如：血压、心脏脉搏跳动的次数、白血球、体温等等。
总之，在科研、生产和日常生活中，受多种指标共同作用和影响的现象是大量存在的，举不胜举。
上述指标，在数学上通常称为变量，由于每次观测的指标值是不能预先确定的，因此每个指标可用随机变量来表示。
如何同时对多个随机变量的观测数据进行有效的统计分析和研究呢？一种做法是把多个随机变量分开分析，一次处理一个去分析研究；另一种做法是同时进行分析研究。
显然前者做法有时是有效的，但一般来说，由于变量多，避免不了变量之间有相关性，如果分开处理不仅会丢失很多信息，往往也不容易取得好的研究结果。
而后一种做法通常可以用多元统计分析方法来解决，通过对多个随机变量观测数据的分析，来研究变量之间的相互关系以及揭示这些变量内在的变化规律，如果说一元统计分析是研究一个随机变量统计规律的学科，那么多元统计分析则是研究多个随机变量之间相互依赖关系以及内在统计规律性的一门统计学科，同时，利用多元分析中不同的方法还可以对研究对象进行分类（如指标分类或样品分类）和简化（如把相互依赖的变量变成独立的或降低复杂集合的维数等等）。
在当前科技和经济迅速发展的今天，在国民经济许多领域中特别对社会经济现象的分析，只停留在定性分析上往往是不够的。
为提高科学性、可靠性，通常需要定性与定量分析相结合。
实践证明，多元分析是实现做定量分析的有效工具。
应用多元统计分析版第一章
为Yj1, Yj2 ,…, Yj7 。又每个考生在高中学习期间，m门主要课程 成绩为Xj1, Xj2,…, Xjm( j=1,2,…, n )。经对这大量的资料
作统计分析，我们能够得应出用：多元统计分析版第一章
中译本：实用多元统计分析 （陆璇译 2001 ,见[5] ）
(3) Linear Statistical Inference and Its Applications (C.R.Rao 1973)
中 译 本：线性统计推断及其应用 (C.R. 劳 1987 ,见[25])
应用多元统计分析版第一章
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北大数学学院
5
北大数学学院
参考书（二）
(1) An Introduction to Multivariate Statistical Analysis (Anderson 1984 ,见[22])
(2) Applied Multivariate Statistical Analysis( Richard A.Johnson and Dean W.Wichern 4th ed 1998)
应用多元统计分析版第一章
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第一章
绪 论 北大数学学院
§1.1 引言--多元分析的研究 对象和内容
由于大量实际问题都涉及到多个变量，这些 变量又是随机变化，如学生的学习成绩随着被 抽取学生的不同成绩也有变化（我们往往需要 依据它们来推断全年级的学习情况）。所以要 讨论多维随机向量的统计规律性。
多元统计分析就是讨论多维随机向
应用多元统计分析版第一章
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第一章 绪
§1.1 引 言
多元统计分析序言
引论一、地球化学数据统计分析的作用与地位勘查地球化学数据的统计分析，简称为地球化学数据的统计分析，它是勘查地球化学的一个重要组成部分。
更广义的说，它是地质与统计数学相结合的产物。
在下面的论述中，其作用与地位是显而易见的。
“勘查地球化学是随着地球化学、地质学、数学、现代分析技术、计算机技术等学科的发展而逐步创建和完善起来的一门新兴的边缘学科”(吴锡生，1984)。
“地球化学图上显著的变化易被直观辨认。
但是地球化学数据中蕴藏的信息…并不见得都能够以一种易于被辨认的形式显示出来。
…总之数学方法既能够加强直观研究所做的判断，也能得出直观方法未能觉察的新情报”(谢学锦，1979)。
“勘查地球化学…用统计方法评价异常。
这项工作为地质中运用统计方法起到了积极的引路作用。
从某种意义上说，它为数学地质的创立起到了推动作用”(王世称等，1989)。
“地质数学(也称为数学地质)是运用数学理论和方法研究各种地质现象的数量关系和空间形式的科学。
数学地质通过以数学模型模拟地质现象和用于快速电子计算机实现复杂、大量的运算，正在引起地质科学的重大变革…”(于崇文，1980)。
但是，“使用电子计算机这一因素本身，并不能保证查明数据中隐藏的有地质意义的关系；不加思索的套用任何一种数学方法，而对该方法解决地质问题的能力和应用条件缺乏清晰的概念，反而回导致处理结果丧失地质意义。
”，因而“地球化学数据的处理和解释，是成功地应用勘查地球化学的最困难(也是最重要)的环节之一”(R．J．豪沃恩，1990)。
二、地球化学数据统计分析的对象和任务与其它地质学分支一样，地球化学数据统计分析的对象是各种不同层次的地质体，其任务是根据来自地质体的各种信息，采用一定的手段对这些信息作出分析归纳，从而对地质体作出一系列解释推断，最终为矿产资源开发、工农牧业生产和改善人类生存环境服务。
各地质学分支的差别在于所获取的信息种类不同，处理的方法也不同。
宏观地质工作者主要关心宏观地质信息，如岩石、矿床、矿石、矿物、蚀变等各种宏观现象，并利用定性描述手段对此作出分析归纳，达到预定的地质目的。
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数据分析在各个领域、各个行业都起着重要的作用(例如红楼梦作者验证)。
三、多元统计分析中数据的组织方式
❖ 问题： 当你进行一项社会数据调查或者实验数据记
录时，你通常会怎么去做呢？用什么工具或软件， 以什么格式存放数据呢？ 例如： （1）测量全班同学的身高 （2）测量全班同学的身高、体重和年龄
四、一元统计分析基础知识回顾
数据是统计分析的生命。 ❖1、数据类型：离散型 和 连续型 ❖2、数据分布类型：离散型 和 连续型 ❖3、研究对象：随机变量 X （注：多元统计中研究对象为随机向量） ❖4、分布：频率 和 概率密度
四、一元统计分析基础知识回顾
❖5 累计分布：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
离散型：
sum
连续型：
1 n 1
n i 1
(Xi
X )2
一些重要的软件SAS，Matlab，R均使用无偏估计
四、一元统计分析基础知识回顾
实战： 9、假设检验 基础：小概率事件是非随机发生的。 ❖ 其基本思想和步骤均可归纳为：
第一，提出待检验的假设H0和H1； 第二，给出检验的统计量及其服从的分布； 第三，给定检验水平，查统计量的分布表，确定相应的临 界值，从而得到否定域； 第四，根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否 定域中，以便对待判假设做出决策（拒绝或接受）。
三、多元统计分析中数据的组织方式
（1）
（2）
三、多元统计分析中数据的组织方式
三、多元统计分析中数据的组织方式
三、多元统计分析中数据的组织方式
❖ 实例：下图为一套基因表达谱数据，来自于GEO
三、多元统计分析中数据的组织方式
基因（特征）
样本（个体）
样本（个体）
特征
三、多元统计分析中数据的组织方式
例如均值的检验和方差的检验、如何变得杰出等等。
四、一元统计分析基础知识回顾
❖ 10.比较参数检验和参数检验
3Q
象，如主成分分析、因子分析等 ❖ 2、分类与分组
将具有某些相同属性的特征或样本分组。如基因芯 片聚类分析等 ❖ 3、变量间的依赖性研究
研究变量之间的相互关系，如共表达等
二、多元统计分析在生物信息学中的作用
❖ 4、预测 根据已知一些变量的观测值，对另一些变量的值进行
预测。如根据已知marker预测疾病状态。 ❖ 5、假设检验与验证
哈尔滨医科大学
生物信息科学与技术学院
—统计遗传学教研室
主讲教师：姜永帅 分子生物学馆 130办公室
高等多元统计分析
❖ 参考教材： 《多元统计分析》于秀林 任雪松 中国统计出版社
1 2
※△ 3
4
第一章 绪论
什么是多元统计分析 多元统计分析在生物信息学中的作用 多元统计分析中数据的组织方式
一元统计学分析基础知识回顾
样本（个体）
特征
X (1) x11 x12 x1p X (2) x21 x22 x2 p
X (n) xn1 xn2 xnp
X (1)
X (2)
X (n)
其中，n个样本，每个样本有p个特征 即：P维向量
x11
X
(1)
x12
x1p
注：当p=1的时候，为X一元随机变量，多元随机变量为一元随机变量的扩展。
6
一、什么是多元统计分析
❖ 1、什么是多元统计分析
多元统计分析是研究多个随机变量之间相互 依赖关系以及内在规律性的一门科学
例如：
一、什么是多元统计分析
一、什么是多元统计分析
二、多元统计分析在生物信息学中的作用
多元统计分析在生物信息学的研究中使用非常广泛，是生物信息 学研究的必备工具。
❖ 1、数据简化和结构简化 在不损失信息的情况下，如何简单的描述被研究对
曲线下面积 （从左侧累计）
切线 斜率 变化
四、一元统计分析基础知识回顾
❖ 常见概率密度函数：
四、一元统计分析基础知识回顾
四、一元统计分析基础知识回顾
❖ 6、参数估计 为什么要进行参数估计： （1）从理想到现实 （2）用少数的几个参数控制一整批数据
参数估计分为：点估计和区间估计
四、一元统计分析基础知识回顾
❖ 7、参数估计好坏的评判标准 ❖ （1）一致估计（样本量无限大时候的性质）
❖ （2）无偏估计：
注：无偏估计就是系统误差为零的估计。
四、一元统计分析基础知识回顾
❖ 8、几个重要的参数估计
E(X )
X
1 n
n i1
Xi
X1
X2 n
Xn
var( X
)
1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2
var(X )