2019年高考理科数学考前必做难题30题(解析版)

2019年高考理科数学 考前必做难题30题一、选择题1.若直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+相切于点P ，与曲线()ln 1y x =+相切于点Q ，则k 为（ ）.A. 3B. 2C. 1/2D.1/32．三棱锥S ABC -及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．32πB ．112π3C ．28π3D ．64π33.点B 是以线段AC 为直径的圆上的一点，其中2AB =，则AC AB ⋅=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 44．已知实数b a ,满足225ln 0a a b --=，c ∈R ，则22)()(c b c a ++-的最小值为（ ） A ．21B ．22 C ．223 D ．29 5.已知函数f (x )=sin (2x +π3)，将其图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为奇函数，则φ的最小值为（ ） A. π12 B. π6 C. π3 D. π26．已知M 是ABC △内的一点，且23AB AC =，30BAC ∠=，若MBC △，MCA △，MAB △的面积分别为12x y ，，，则14x y +的最小值为（ ）A ．20B ．18C ．16D ．9 7．抛物线212x y =在第一象限内图像上的一点2(,2)i i a a 处的切线与x 轴交点的横坐标记为1i a +，其中*i ∈N ，若232a =，则246a a a ++等于（ ）A ．21B ．32C ．42D ．648．若曲线212y x e=与曲线ln y a x =在它们的公共点(),P s t 处具有公共切线，则实数a =（ ）9．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为1F ，2F ．这两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形．若1||10PF =，记椭圆与双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则12e e 的取值范围是（ ） A ．1(,)9+∞B ．1(,)5+∞C ．1(,)3+∞D ．(0,)+∞10.已知双曲线C ： 22221x y a b-= ()0,0a b >>的左右焦点分别为1F ， 2F ， P 为双曲线C 上一点， Q 为双曲线C 渐近线上一点， P ， Q 均位于第一象限，且23QP PF =，120QF QF ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ）A. 8B. 222 11．已知直线l 是曲线xy e =与曲线22xy e=-的一条公切线， l 与曲线22x y e =-切于点(),a b ，且a 是函数()f x 的零点，则()f x 的解析式可能为（ ） A. ()()222ln211xf x e x =+-- B. ()()222ln212x f x e x =+-- C. ()()222ln211xf x ex =--- D. ()()222ln212x f x e x =---12. 已知双曲线C 的中心在原点O ，焦点()F -，点A 为左支上一点，满足|OA |＝|OF |且|AF |＝4，则双曲线C 的方程为（ ）A ．221164x y -=B ．2213616x y -=C ．221416x y -=D ．2211636x y -=13.某产品进入商场销售，商场第一年免收管理费，因此第一年该产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件，从第二年开始，商场对该产品征收销售额的x%的管理费（即销售100元要征收x 元），于是该产品定价每件比第一年增加了70⋅x%1−x%元，预计年销售量减少x 万件，要使第二年商场在该产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x 的最大值是（ ） A. 2 B. 6 C. 8.5 D. 1014.已知函数f (x )=e x +x 2+lnx 与函数g (x )=e −x +2x 2−ax 的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围为（ ）A. (−∞,−e]B. (−∞,−1e ] C. (−∞,−1] D. (−∞,−12]15.已知等腰直角三角形AOB 内接于抛物线22y px =（0p >），O 为抛物线的顶点，OA OB ⊥，△AOB 的面积为16，F 为抛物线的焦点，N (1,0)-，若M 是抛物线上的动点，则||||MN MF 的最大值为 （ ）AD二、填空题16．若变量x ， y 满足不等式组20,{5100, 80,x y x y x y -+≥-+≤+-≤则2yz x =+的最大值为__________． 17.已知函数f(x)=sin(ωx +ϕ)（ω>0,|φ|<π2 ）图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，将函数y =f(x)的图象向左平移π3个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数y =f(x)的图象（ ）A. 关于点(π12,0)对称B. 关于点(−π12,0)对称 C. 关于直线x =π12对称 D. 关于直线x =−π12对称18．已知正项等比数列{}n a 的公比为2，若224m n a a a =，则212m n+的最小值等于__________． 19.过抛物线214y x =的焦点F 作一条倾斜角为30︒的直线交抛物线于A 、B 两点，则AB =__________．20.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()xf x f x x '+>式()()()2444442x x f x f x ---<-的解集为 ．21．已知m ∈R ，命题p ：对任意实数x ，不等式22213x x m m ---≥恒成立，若p ⌝为真命题，则m 的取值范围是 ．22．已知各项都为正数的数列{}n a ，对任意的*,m n N ∈， m n m n a a a +⋅=恒成立，且35472a a a ⋅+=，则212227log log log a a a +++=__________．23. 已知12A A ，为椭圆E ： 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点， 12A A =E 的两个焦点与E 的短轴两个端点所构成的四边形是正方形．（1）求椭圆E 的方程；（2）设动点()P t （0t ≠），记直线12PA PA ，与E 的交点（不同于12A A ，）到x 轴的距离分别为12d d ，，求12d d 的最大值．24．（本小题满分12分）设椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，E 上一点P 到右焦点距离的最小值为1．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点(0,2)且倾斜角为60︒的直线交椭圆E 于A ，B 两点，求AOB △的面积．25．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，且点1,A ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知不经过A 点的直线:l y x t =+与椭圆C 交于,P Q 两点， P 关于原点的对称点为R （与点A 不重合），直线,AQ AR 与y 轴分别交于两点,M N ，证明： AM AN =．26．（本小题满分12分）如图，点()2,0A -，()2,0B 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点，,,P M N 为椭圆C 上非顶点的三点，直线,AP BP 的斜率分别为12,k k ，且1214k k =-，AP OM ∥，BP ON ∥．（1）求椭圆C 的方程；（2）判断OMN △的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．27．已知函数()()()2ln 1xf x x e a x x =-+-+.（1）讨论()f x 的导函数()'f x 零点的个数； （2）若函数()f x 的最小值为e -，求a 的取值范围.28．（本小题满分12分）已知函数f(x)=lnx −ax +xa ，其中a >0.（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性； （Ⅱ）证明：(1+122)(1+132) (1+142)⋯ (1+1n 2)<e34（n ∈N ∗，n ≥2）.29．已知函数f(x)=1nxx 2+x (I)求函数f(x)的导函数f′(x)；(Ⅱ)证明:f(x)<2e+√e (e 为自然对数的底数)30.（本小题满分12分）已知()ln f x x x =-，若1212()()()f x f x x x =≠， 证明：（1）122x x +> ，（2）121x x < .2019年高考理科数学 考前必做难题30题答案及解析1.若直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+相切于点P ，与曲线()ln 1y x =+相切于点Q ，则k 为（ ）.A. 3B. 2C. 1/2D.1/3【答案】选B2．三棱锥S ABC -及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．32πB ．112π3C ．28π3D ．64π3【答案】B【解析】如图，取AC 中点F ，连接BF ，则在Rt BCF △中2BF CF ==，4BC =，在Rt BCS △中，4CS =，所以BS =，则该三棱锥的外接球的表面积是112π3，故选A ．3.点B 是以线段AC 为直径的圆上的一点，其中2AB =，则AC AB ⋅=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D【解析】2cos 4AB AC AB ACAB BAC AC ABAB AC=∠===故选D4．已知实数b a ,满足225ln 0a a b --=，c ∈R ，则22)()(c b c a ++-的最小值为（ ） A ．21B ．22 C ．223 D ．29 【答案】C5.已知函数f (x )=sin (2x +π3)，将其图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为奇函数，则φ的最小值为（ ） A. π12 B. π6 C. π3 D. π2【答案】B 【解析】将函数f (x )图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后，得到的图象对应的解析式为g(x) =sin[2(x −φ)+π3]=sin(2x −2φ+π3)．由g(x)为奇函数可得−2φ+π3=kπ(k ∈Z)，故φ=π6−kπ2(k ∈Z)，又φ>0，所以φ的最小值为π6．选B ．6．已知M 是ABC △内的一点，且23AB AC =，30BAC ∠=，若MBC △，MCA △，MAB △的面积分别为12x y ，，，则14x y +的最小值为（ ）A ．20B ．18C ．16D ．9【答案】B 【解析】11sin cos tan 22ABC S AB AC A AB AC A A =⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯∠⨯∠△11tan 122AB AC A =∠=⨯=，即11122x y x y ++=⇒+=，那么()141442252518y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=+⨯+=+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝≥，故选B ．7．抛物线212x y =在第一象限内图像上的一点2(,2)i i a a 处的切线与x 轴交点的横坐标记为1i a +，其中*i ∈N ，若232a =，则246a a a ++等于（ ）A ．21B ．32C ．42D ．64【答案】C8．若曲线212y x e=与曲线ln y a x =在它们的公共点(),P s t 处具有公共切线，则实数a =（ ） A. 1 B. 12C. 1-D. 2 【答案】A【解析】曲线212y x e =的导数为：y ′=x e ，在P （s ，t ）处的斜率为：k=s e． 曲线y=alnx 的导数为：y ′=a x ，在P （s ，t ）处的斜率为：k=as．曲线212y x e =与曲线y=alnx 在它们的公共点P （s ，t ）处具有公共切线，可得s a e s =，并且t=212s e，t=alns ，即221{,ln ,.122s ae s s s e s alns e=∴=∴==可得a=2 1.s e e e ==故选A ．9．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为1F ，2F ．这两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形．若1||10PF =，记椭圆与双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则12e e 的取值范围是（ ） A ．1(,)9+∞ B ．1(,)5+∞C ．1(,)3+∞D ．(0,)+∞【答案】C10.已知双曲线C ： 22221x y a b-= ()0,0a b >>的左右焦点分别为1F ， 2F ， P 为双曲线C 上一点， Q 为双曲线C 渐近线上一点， P ， Q 均位于第一象限，且23QP PF =，120QF QF ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ）A. 8B. 222 【答案】B【解析】由题意得，双曲线在第一、三象限的渐近线为by x a=，设点Q 坐标为,(0)bm m m a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则12,,,bm bm QF c m QF c m a a ⎛⎫⎛⎫=---=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵120QF QF ⋅=，∴222222222,,0bm bm b m c m c m c m m c c a a a a ⎛⎫⎛⎫---⋅--=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴m a =．设()00,P x y ，由23QP PF =得，∴()00003,,bm x m y c x y a ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，∴003344{ 3344c m c ax bm b y a ++====，∵点()00,P x y 在双曲线上，∴222233441c a b a b+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=， ∴226160c ac a +-=，∴26160e e +-=，解得2e =或8e =-， ∴双曲线C 的离心率为2．选B ． 11．已知直线l 是曲线xy e =与曲线22xy e=-的一条公切线， l 与曲线22x y e =-切于点(),a b ，且a 是函数()f x 的零点，则()f x 的解析式可能为（ ） A. ()()222ln211xf x e x =+-- B. ()()222ln212x f x e x =+-- C. ()()222ln211xf x e x =--- D. ()()222ln212x f x e x =---【答案】B【解析】：设直线l 与曲线xy e =切点为(),m n ， xy e =的导数为'xy e =， 22xy e=-的导数为2'2xy e =，曲线xy e =在(),m n 的切线的方程为()m my e ex m -=-，即()1m y e x m =-+，曲线22x y e =-在点(),a b 处的切线方程为()()2222a a y e e x a --=-，即()222122a a y e x e a =+--，可得()()222{ 1122m amae e e m e a =-+=--，则2ln2m a =+，即()222ln2120a e a +--=，即有()()222ln212xf x ex =+--，故选B ．12. 已知双曲线C 的中心在原点O ，焦点()F -，点A 为左支上一点，满足|OA |＝|OF |且|AF |＝4，则双曲线C 的方程为（ ）A ．221164x y -=B ．2213616x y -=C ．221416x y -=D ．2211636x y -=【答案】C【解析】如下图，由题意可得c =，设右焦点为F ′，由|OA |＝|OF |＝|OF′|知，∠AFF ′＝∠FAO ，∠OF ′A ＝∠OAF ′，所以∠AFF ′+∠OF ′A ＝∠FAO +∠OAF ′，由∠AFF ′+∠OF ′A +∠FAO +∠OAF ′＝180°知，∠FAO +∠OAF ′＝90°，即AF ⊥AF ′．在Rt △AFF ′中，由勾股定理，得'8AF ==，由双曲线的定义，得|AF ′|－|AF |＝2a ＝8－4＝4，从而a ＝2，得a 2＝4，于是b 2＝c 2－a 2＝16，所以双曲线的方程为221416x y -=．故选C ．13.某产品进入商场销售，商场第一年免收管理费，因此第一年该产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件，从第二年开始，商场对该产品征收销售额的x%的管理费（即销售100元要征收x 元），于是该产品定价每件比第一年增加了70⋅x%1−x%元，预计年销售量减少x 万件，要使第二年商场在该产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x 的最大值是（ ）A. 2B. 6C. 8.5D. 10 【答案】D14.已知函数f (x )=e x +x 2+lnx 与函数g (x )=e −x +2x 2−ax 的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围为（ ）A. (−∞,−e]B. (−∞,−1e ] C. (−∞,−1] D. (−∞,−12]【答案】C【解析】由题意得方程f (x )=g (−x )在(0,+∞)上有解， 即ax =−x 2+lnx 在(0,+∞)上有解．设y =ax,ℎ(x)=−x 2+ln x ，则由题意得两函数的图象在在(0,+∞)上有公共点． 由ℎ(x)=−x 2+ln x ，得ℎ′(x)=−2x +1x=−2x2+1x，故函数ℎ(x)在(0,√22)上单调递增，在(√22,+∞)上单调递减，∴ℎ(x)max =ℎ(√22)=−12+ln √22． 设直线y =ax 与函数ℎ(x)=−x 2+ln x 的图象切于点M(x 0,−x 02+lnx 0) ，如图所示，由题意得{−x 02+lnx 0=ax 0−2x 0+1x 0=a ，解得{x 0=1a =−1，结合图象可得当两函数的图象有公共点时，则有a ≤−1，故实数a 的取值范围为(−∞,−1]．选C ．15.已知等腰直角三角形AOB 内接于抛物线22y px =（0p >），O 为抛物线的顶点，OA OB ⊥，△AOB 的面积为16，F 为抛物线的焦点，N (1,0)-，若M 是抛物线上的动点，则||||MN MF 的最大值为 （ ）AD【答案】C【解析】设点A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方，因为抛物线的对称轴为x 轴，内接AOB ∆为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称轴性知，直线AB 与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA 与x 轴的夹角为45.由方程组22y x y px =⎧⎨=⎩得02x y p =⎧⎨=⎩，所以,A B 两点的坐标分别为()2,2p p 和()2,2p p -，所以4AB p =,21424162AOB S p p p ∆=⨯⨯==,所以2p =,所以抛物线的方程为24y x =，所以()1,0F ,设(),M x y ，则MNMF====12x x≤=+1x x =，即1x =时等号成立，故选C. 16．若变量x ， y 满足不等式组20,{5100, 80,x y x y x y -+≥-+≤+-≤则2yz x =+的最大值为__________． 【答案】1【解析】2yz x =+表示(),x y 到()2,0-的斜率， 由可行域可知，过点()0,2或()3,5时，斜率最大，即max 1z =。