【精品】2018全国中学生数理化创新能力大赛(预赛)高三数学试题★
2018年全国高中数学联赛四川赛区预赛试题+答案
评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.
2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参
考本评分标准适当划分档次评分，5 分一个档次，不要再增加其它中间档次.
一、选择题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分）
1、A
2、B
3、B
4、D
………………………………………………………密……………………封……………………线………………………………………………………
2018 年全国高中数学联合竞赛（四川预赛）
（5 月 20 日下午 14：30——16：30）
题目
一
二
13
得分
评卷人
复核人
三
14
15
总成绩 16
考生注意：1．本试卷共有三大题（16 个小题），全卷满分 140 分. 2．用黑（蓝）色圆珠笔或钢笔作答. 3．计算器、通讯工具不准带入考场. 4．解题书写不要超过密封线.
k 1
……5 分
若 m 2 ，注意到 n 时， (m 2)(n 1) ，
因此，存在充分大的 n ，使得1 (m 2)(n 1) 4 ，即 an 4 ，矛盾！
参考答案及评分标准 （第 3 页 共 5 页） 第7页
所以， m 2 . 又当 m 2 时，可证：对任意的正整数 n ，都有 0 an 4 .
……5 分
参考答案及评分标准 （第 4 页 共 5 页） 第8页
当 0＜p＜1 时，由 x[1,e]，得 x 1 ≥0， x
故 f(x)p(x 1 )2lnx＜x 1 2lnx＜2，不合题意.
学校：
5. 已知方程1 x x2 x3 x4 x2018 0 的所有实数根都在区间[a, b] 内
2018年全国高中数学联赛山西省预赛试题及参考答案
2018年全国高中数学联赛山西省预赛试题解答 一、填空题（每小题8分，共64分）1.集合{}1,2,,2018M =L 中，末尾数字为8的元素之和是________.答案：204626解：若将所有的这种数划去其尾数8，剩下的数就是0，1，2，…，201，共计划去202个8，因此所求的和值为()100122018202204626S =⨯+++++⨯=L .2.将全体正整数按自小到大的顺序排列，然后这样分段，使得第一段有1个数，第二段有3个数，……，第n 段有21n -个数；那么，第20段中的第18个数是________. 答案：379解：显然，前n 段共有()213521n n ++++-=L 个数，即第n 段中最大数为2n ；于是第19段中的最大数为219361=，则第20段中第18个数为36118379+=.3.函数y =的值域是________.答案：⎡⎢⎣⎦解：因[]1,1x ∈-，0y ≥；又据()22212x y x -=+，令2t x =+，则()22212t y t --=，即()221430yt t +-+=，视为t 的二次方程，其判别式()2161210y ∆=-+≥，得213y ≤，y ≤，因0y ≥，所以y ⎡∈⎢⎣⎦.另解：[]1,1x ∈-，令cos x α=，[]0,απ∈，则sin 2cos y αα=+，0y ≥，2sin cos y y αα=-=()sin αθ+，所以2214y y +≥，即213y ≤，因0y ≥，则y ⎡∈⎢⎣⎦.4.若正整数n 31n+与311n ++之间，则n =________.答案：4解：当n 为正整数时，易知331n n <+，31n <，得n <=311n >+，得n >n ∈⎝⎭，此区间长度为1，其中只有唯一的整数4，所以4n =.5.若双曲线1L 的两个焦点分别是椭圆22222:154x y L +=的两个顶点，而双曲线1L 的两条准线分别通过椭圆2L 的两个焦点，则双曲线1L 的方程是________.答案：2211510x y -=解：椭圆的长轴顶点为()5,0A -，()5,0B ，则其焦点在X 轴上，用1c ，2c 分别表示1L ，2L 的半焦距，则15c =，而2222549c =-=，23c =；所以椭圆焦点为()13,0F -，()23,0F ，所以双曲线的实轴为X 轴，设其方程为22221x y a b-=，由213a c =，所以215a =，2222151510b c a =-=-=，因此双曲线1L 的方程是2211510x y -=.6.计算276cos cos cos777πππ的值为________. 答案：18解：记246coscos cos 777S πππ=，则24cos cos cos777S πππ=-， 24224448sin 8sincos cos cos 4sin cos cos 2sin cos 7777777777S ππππππππππ-⋅=⋅=⋅=8sinsin 77ππ==-，所以，18S =. 7.四面体ABCD 中，有一条棱长为3，其余五条棱长皆为2，则其外接球的半径为________.答案：3解：设3BC =，2AB AC AD BD CD =====，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，D 在面ABC 上的射影H 应是ABC ∆的外心，由于DH 上的任一点到A ，B ，C 等距，则外接球心O 在DH 上，因ABC DBC ∆∆≌，所以AE DE =，于是EF 为AD 的中垂线，所以球心O 是DH ，EF的交点，且是等腰EAD ∆的垂心，记球半径为r ，由DOF EAF ∆∆∽，得AE DFr EF ⋅=，而22237224AE ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，1DF AF ==，22234EF AE AF =-=，所以r .8.在一张印有4月29日的生日贺卡上，某位小朋友在4与29之间添加了两个正整数x ，y ，得到一个五位数429xy ，结果发现它恰好是自己的生日所对应的正整数T 的平方：4292xy TH =；则这位小朋友生日对应的数T =________.答案：223解：由于4000042950625xy <<，而240000200=，250625225=，所以200225T <<，又因2429T xy =的末位数为9，所以T 的末位数是3或7；在200与225之间，这种数共有5个：203，207，213，217，223；验算知，只有222349729=，因此223T =。
2018全国中学生数理化创新能力大赛(预赛)高三数学试卷及解析
2018全国中学生数理化创新能力大赛（预赛）高三数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题）一、解答题1.已知数列{n 1>0,a n+1=2−|a n |,n ∈N ∗。
（1）若a 1,a 2,a 3成等比数列，求a 1的值。
（2）是否存在a 1，使数列{a n }为等差数列？若存在，求出所有这样的a 1；若不存在，说明理由。
2.有一道解三角形的题目因纸张破损而使得有一个条件看不清，具体如下：在ΔABC 中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边。
已知a =√6,且2cos 2A+C 2=(√2−1)cosB ，求角A 。
3.“水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题．近年来，某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费（单位：万元）与管线、主体装置的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0．2．为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费 C （单位：万元）与安装的这种净水设备的占地面积x （单位：平方米）之间的函数关系是()50250kC x x =+（x≥0，k 为常数）．记y 为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．（1） 试解释()0C 的实际意义，请建立y 关于x 的函数关系式并化简; （2） 当x 为多少平方米时，y 取得最小值？最小值是多少万元？ 4.若a,b,c 为实常数，又实数x,y 满足ay−bx =c√(x −a )2+(y −b )2≠0，求a,b,c 之间应满足的关系。
5.我们把由半椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(x ≥0)与半椭圆y 2b2+x 2c 2=1(x ≤0)合成的曲线称作“果圆”，其中a 2=b 2+c 2,a >0,b >c >0。
2018年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛数学试题(含答案解析)
2018年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛数学试题（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习2018年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛数学试题（含答案解析）1 若对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为．【答案解析】 42 设数列{an}满足：，，则．【答案解析】3 设f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数，若对任意的，都有，则不等式的解集为．【答案解析】4 已知点P在离心率为的双曲线上，F1，F2为双曲线的两个焦点，且，则的内切圆半径r与外接圆半径R之比为．【答案解析】5 设G为△ABC的重心，若，，则AB+AC的最大值为．【答案解析】6 一枚骰子连续投掷四次，从第二次起每次出现的点数都不小于前一次出现的点数的概率为．【答案解析】7 设正实数x，y满足，则的最小值为．【答案解析】 68 设数列{an}的通项公式为，，该数列中个位数字为0的项按从小到大的顺序排列构成数列{bn}，则被7除所得的余数为．【答案解析】 49 已知O为坐标原点，，M为直线上的动点，的平分线与直线MN 交于点P，记点P的轨迹为曲线E.（1）求曲线E的方程；（2）过点作斜率为k的直线l，若直线l与曲线E恰好有一个公共点，求k的取值范围.【答案解析】（1）设，，易知.因为平分，所以，所以①②由①，②可得，代入①得，化简即得曲线的方程为.（2）记，，则，.直线的方程为，与抛物线方程联立，消去得.当直线与抛物线相切于点时，，解得.当时，，切点在曲线上；当时，，切点不在曲线上.若直线与曲线恰好有一个公共点，则有或，故所求的取值范围为.10 对任意正整数m，n，定义函数如下：①；②；③ .（1）求的解析式；（2）设，Sn是数列{an}的前n项和，证明：.【答案解析】（1）由条件②可得：，，……，将上述个等式相加得.而，所以.由条件②可得：，，……，将上述个等式相加得.而，所以. （2）因为，所以，所以，，两式相减得：，故，，所以.11 已知正数a，b满足，求的最小值.【答案解析】由柯西不等式可得，，所以①取等号的条件分别为②③当时，有，结合②，③得.又，所以，整理得，故④记，则，所以在上为增函数，所以，当时，.于是，由④可得，从而.代入②，③求得，.代入①式，整理得，因此的最小值为.。
全国2018年高中数学联赛预赛(吉林赛区)试题(扫描版)
2018年全国高中数学联赛吉林省预赛试题
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2018年全国高中数学联赛天津市预赛高三数学试题(解析版)资料
2018年全国高中数学联赛天津市预赛高三数学试题(解析版)2018年全国高中数学联赛天津市预赛高三数学试题一、单选题1．如果集合，，C是A的子集，且，则这样的子集C有（）个.A．256 B．959 C．960 D．961【答案】C【解析】【详解】满足的子集C有个，所以满足的子集C有个. 故答案为：C2．等差数列中，，则前17项的和等于（）.A．0 B．-34 C．17 D．34【答案】B【解析】【详解】设公差为d，则，结合条件可知，从而前17项的和等于.故答案为：B3．设的最小正周期为6，则的值是（）.A．0 B．1 C．D．【答案】A【解析】【详解】由最小正周期为6可知，即.于是当k为整数时，即每个完整周期内的6个函数值之和为零.注意，所以原式=.故答案为：A4．在以下四个数中，最大的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【详解】考虑函数，则四个选项分别是、、、.由于，可见在（0，e）上单调递增，在（e，+）上单调递减，所以在（0，+）上的最大值为.故答案为：B5．设复数z满足，i是虚数单位，则的值不可能是（）.A．B．C．D．【答案】D【解析】【详解】注意我们有.也就是说，它表示点z到3-4i的距离的倍.由于z在单位圆上，易知上式的取值范围是.故答案为：D6．下面左边的平行四边形ABCD是由6个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可以得到如右图所示的粽子形状的六面体，在这个六面体中，AB与CD夹角的余弦值是（）.A．0 B．1 C．D．【答案】C【解析】【详解】如图所示，取中间的虚线EF，将平行四边形分为两部分，各由三个小正三角形构成.左端的三个小正三角形折起来（B和F重合），恰好是一个无底的正三棱锥，AB、EF是它的两条底边；同理，右端的三个小正三角形折起来（D和E重合）构成粽子的另一半，CD、EF也是边线.因此，折起来后，AB、CD是正三角形的两条边，它们夹角的余弦值为.故答案为：C二、填空题7．已知函数和的定义域都是，它们的图象围成的区域面积是_____________【答案】【解析】【详解】将的图象补充为完整的圆，则由中心对称性易知答案是圆面积的一半，为.故答案为：8．若为正实数，且是奇函数，则不等式的解集是_____________【答案】【解析】【详解】由可得即也即，所以.由于在（0，+）上递增，所以在（0，+）上是增函数，结合是奇函数可知在R上是增函数.解不等式，只需找到的解.方程等价于也即两边平方，解得.因此，不等式的解集是.故答案为：9．对于实数，用表示不超过的最大整数，例如，，，设x为正实数，若为偶数，则称x为幸运数.在区间（0，1）中随机选取一个数，它是幸运数的概率为__________【答案】【解析】【详解】注意当时，；因此为偶数当且仅当，也即这些区间的长度之和为.因此，x是幸运数的概率为.故答案为：10．实数x、y满足，则的最大值是____________【答案】42【解析】【详解】注意，，，这三者相加即得.当，时等号成立，所以的最大值是42.也可以直接用柯西（Cauchy）不等式，得到最大值为42. 故答案为：4211．凸六边形ABCDEF的6条边长相等，内角A、B、C分别为134°、106°、134°.则内角E是___________（用度数作答）.【答案】134°【解析】【详解】不妨设边长为1，设AC、DF的中点分别为M、N，且A在DF上的射影为K，则，，，即，.又设，则，利用，我们有，因此，即等腰△DEF的底角为23°，可见其顶角E为134°.故答案为：134°12．半径分别为6、6、6、7的四个球两两外切.它们都内切于一个大球，则大球的半径是________【答案】14【解析】【详解】设四个球的球心分别为A、B、C、D，则AB=BC=CA=12，DA=DB=DC=13，即A、B、C、D两两连结可构成正三棱锥.设待求的球心为X，半径为r.，则由对称性可知DX平面ABC.也就是说，X在平面ABC上的射影是正三角形ABC的中心O.易知，.设OX=x，则由于球A内切于球X，所以AX=r-6即①又DX=OD-OX=11-x，且由球D内切于球X可知DX=r-7于是②从①②两式可解得，即大球的半径为14.故答案为：14三、解答题13．设、、是方程的三个根，且.⑴求的整数部分；⑵求的值.【答案】（1）-2（2）【解析】【详解】由于、、是方程的根，我们有.比较两端的系数可得：，，.⑴由和可知.注意满足，，.所以在区间上有一个根，即.因此的整数部分为-2.⑵设，i=1，2，3.由⑴知，且 .因此.注意从而.这表明，即.14．如图，、是双曲线的两个焦点，一条直线与双曲线的右支相切，且分别交两条渐近线于A、B.又设O为坐标原点，求证：（1）；⑵、、A、B四点在同一个圆上.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【详解】⑴若直线AB的斜率不存在，即切点位于实轴的顶点，则A、B的坐标分别为（1，2）、（1，-2）.这时，结论成立.若直线AB的斜率存在，可设直线AB的方程为.由于AB与双曲线相切，所以关于x的方程有两个相等的实根，即.整理得.由于A、B的横坐标、是方程的两个实根，我们有.注意A、B的坐标分别为（），（）.可知，，因此.⑵在与中，，且，所以.同理.这样，我们有.即四边形中的一组对角之和等于另一组对角之和，从而对角之和为180°，该四边形内接于圆.15．设，，正实数数列满足，且当时.求证：⑴当时，；⑵.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【详解】⑴我们证明，当x＞0时，.令，则有，，.由知单调递增，从而.由可知单调递增，.最后，由可知单调递增，这样我们就证明了.利用这一点，立即得到.⑵我们先对n用数学归纳法证明.当n=1时，，结论成立.假设当n=m-1时有（其中）.如果，则.注意.可知，与归纳假设矛盾.因此.这样，当时有，令k从1到n求和，就得到.。
2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
2,
4,
6,,
48
，
故 B C 的元素个数为 24 ． 2. 设点 P 到平面 的距离为 3 ，点 Q 在平面 上，使得直线 PQ 与 所成
角不小于 30 且不大于 60 ，则这样的点 Q 所构成的区域的面积为
．
答案：8 ．
解：设点 P 在平面 上的射影为 O ．由条件知，OP OQ
tan
OQP
3, 3求的区域面积为 32 12 8 ．
3. 将1, 2, 3, 4, 5, 6 随机排成一行，记为 a, b, c, d , e, f ，则 abc + def 是偶数的
概率为
．
答案： 9 ． 10
在[9,) 上严格递减，且 f (3) 0, f (9) 1，故结合图像可知
a (0, 3) ， b (3, 9) ， c (9, ) ，
并且 f (a) f (b) f (c) (0, 1) ．
…………………4 分
由 f (a) f (b) 得 1 log3 a log3 b 1，
注意到 f ( 2) f () 1, f (8 2) f (2) f (2) 2 ，
所以 1 f (x) 2 f ( 2) f (x) f (8 2) ，
而1 2 8 2 2 ，故原不等式组成立当且仅当 x [ 2, 8 2] ． 6. 设复数 z 满足 z 1，使得关于 x 的方程 zx2 2zx 2 0 有实根，则这样
证明： (1) 约定 S0 0 ．由条件知，对任意正整数 n ，有
1
an
(2Sn
高三数学-2018年全国高中数学联赛广西赛区预赛试卷(含
2018年全国高中数学联赛广西赛区预赛试卷(9月23日上午8:30~10：30)一、选择题（每题6分，共36分）1、若点P （x ，y ）在直线x+3y=3上移动，则函数f （x ，y ）=yx93+的最小值等于（ ）（A ）51)427(5 （B ）71)927(7 （C ）71)916(7 （D ）31)25(32、满足20073+++=x x y 的正整数数对（x ，y ）（ ） （A ）只有一对 （B ）恰有有两对 （C ）至少有三对 （D ）不存在3、设集合M={-2，0，1}，N={1，2，3，4，5}，映射f ：M →N 使对任意的x ∈M ，都有)()(x xf x f x ++是奇数，则这样的映射f 的个数是（ ）（A ）45 （B ）27 （C ）15 （D ）114、设方程1)19cos()19sin(2007220072=+y x 所表示的曲线是（ ） （A ）双曲线 （B ）焦点在x 轴上的椭圆（C ）焦点在y 轴上的椭圆 （D ）以上答案都不正确5、将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”。
那么，所有的三位数中，奇和数有（ ）个。
（A ）100 （B ）120 （C ）160 （D ）2006、设61=a ，)](24345[21++∈-+=N n a a a n n n ，其中[x]表示不超过x 的最大整数。
则200721a a a +⋅⋅⋅++的个位数字为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 二、填空题（每小题9分，共54分）1、已知三个正整数x ，y ，z 的最小公倍数是300，并且⎩⎨⎧=+-=-+032023222z y x z y x ，则方程组的解（x ，y ，z ）= 。
2、已知关于x 的实系数方程0222=+-x x 和0122=++mx x 的四个不同的根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是 。