52.3.2离散型随机变量的方差导学案(选修2-3)

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高二数学选修2-3离散型随机变量的方差导学案

2.32离散型随机变量的方差学习目标1、理解各种分布的方差2、会应用均值（期望）和方差来解决实际问题自主学习：课本1.一般地,设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是n x x x x ⋅⋅⋅321,,这些值对应的概率是n p p p p ⋅⋅⋅,,,321则________________________________________________________叫做这个离散型随机变量X 的方差;______________________________叫作离散型随机变量X 的标准差2. 离散型随机变量的方差刻画了这个离散型随机变量的_____________________________.3. 离散型随机变量X 分布列为二点分布时, ()___________D X =.4.离散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布时，()___________D X =.5. 离散型随机变量X 服从参数为,N M ，n 的超几何分布时, ()___________D X = 自学检测1.已知X ～(),B n p ，()8,() 1.6E X D X ==，则,n p 的值分别是（）A ．100和0.08B ．20和0.4C ．10和0.2D ．10和0.82.设掷1颗骰子的点数为X ,则( )A. 2() 3.5,() 3.5E X D X ==B. 35() 3.5,()12E X D X == C. () 3.5,() 3.5E X D X == D. 35() 3.5,()16E X D X ==3.一牧场的10头牛,因误食疯牛病病毒污染的饲料被感染，已知疯牛病发病的概率是0.02,若发病的牛数为X 头,则()D X 等于( )A. 0.2B. 0.196C.0.8D.0.8124. 已知随机变量X 的分布列为则X 的标准差()X σ= A. 3.56 B. C. 3.2 D. 5.王非从家乘车到学校,途中有3个交通岗,设在个交通岗遇红灯的事件是相互独立的,并且概率都是25,则王非上学路上遇红灯的数学期望是___________,方差是_______________. 6.已知随机变量X 的分布列为且() 1.1E X =,设,则()____________D X =7.甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为21,ξξ，它们的分布列如下：试对这两名工人的技术水平进行比较。

【B版】人教课标版高中数学选修2-3《离散型随机变量的方差》导学案

2.3.2离散型随机变量的方差【学习要求】1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念。

2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题。

3．掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差。

【学法指导】1．通过实例理解离散型随机变量的方差的意义，通过例题体会方差在解决实际问题中的应用。

2．要善于将实际问题转化为数学问题来解决，通过模仿建立起数学建模的思维常识。

【知识要点】1．离散型随机变量的方差、标准差设离散型随机变量X的分布列为则(x i－E(X))2描述了x i(i＝1，2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度。

我们称D(X)为随机变量X的，并称其算术平方根随机变量X的。

2．离散型随机变量方差的性质（1）设a，b为常数，则D(aX＋b)＝，（2）D(c)＝0(其中c为常数)。

3．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差（1）若X服从两点分布，则D(X)＝(其中p为成功概率)；（2）若X～B(n，p)，则D(X)＝。

【问题探究】探究点一方差、标准差的概念及性质问题1某省运会即将举行，在最后一次射击选拔比赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下：甲运动员：7，8，6，8，6，5，8，10，7，5；乙运动员：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7。

观察上述数据，两个人射击的平均成绩是一样的。

那么，是否两个人就没有水平差距呢？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？问题2类比样本方差、标准差的概念，能否得出离散型随机变量的方差、标准差？问题3随机变量的方差与样本的方差有何不同？问题4方差、标准差的单位与随机变量的单位有什么关系？问题5我们知道若一组数据x i(i＝1，2，…，n)的方差为s2，那么另一组数据ax i＋b(a、b是常数且i＝1，2，…，n)的方差为a2s2。

高中数学 2.3.2 离散型随机变量的方差学案新人教A版选修2-3-新人教A版高中选修2-3数学学

2.3.2 离散型随机变量的方差1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念． 2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．(重点)3．掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．(难点)[基础·初探]教材整理1 离散型随机变量的方差的概念阅读教材P 64～P 66上面第四自然段，完成下列问题． 1．离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义：设离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n则(x i －E (X ))2描述了x i (i ＝1,2，…，n )相对于均值E (X )的偏离程度，而D (X )＝i ＝1nx i －E X2p i 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度．称D (X )为随机变量X 的方差，其算术平方根DX 为随机变量X 的标准差．(2)意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．2．随机变量的方差与样本方差的关系随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差．1．下列说法正确的有________(填序号)．①离散型随机变量ξ的期望E (ξ)反映了ξ取值的概率的平均值； ②离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ取值的平均水平；③离散型随机变量ξ的期望E (ξ)反映了ξ取值的波动水平； ④离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ取值的波动水平．【解析】 ①错误．因为离散型随机变量ξ的期望E (ξ)反映了ξ取值的平均水平． ②错误．因为离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了随机变量偏离于期望的平均程度． ③错误．因为离散型随机变量的方差D (ξ)反映了ξ取值的波动水平，而随机变量的期望E (ξ)反映了ξ取值的平均水平．④正确．由方差的意义可知．【答案】 ④2．已知随机变量ξ，D (ξ)＝19，则ξ的标准差为________．【解析】 ξ的标准差D ξ＝19＝13. 【答案】 133．已知随机变量ξ的分布列如下表：ξ －1 0 1 P121316则ξ的均值为________，方差为________．【解析】均值E (ξ)＝x 1p 1＋x 2p 2＋x 3p 3＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13；方差D (ξ)＝(x 1－E (ξ))2·p 1＋(x 2－E (ξ))2·p 2＋(x 3－E (ξ))2·p 3＝59.【答案】－13 59教材整理2 离散型随机变量的方差的性质阅读教材P 66第5自然段～P 66探究，完成下列问题． 1．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差 (1)若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )； (2)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )． 2．离散型随机变量方差的线性运算性质设a ，b 为常数，则D (aX ＋b )＝a 2D (X )．1．若随机变量X 服从两点分布，且成功概率P ＝0.5，则D (X )＝________，E (X )＝________.【解析】 E (X )＝0.5，D (X )＝0.5(1－0.5)＝0.25. 【答案】 0.25 0.52．一批产品中，次品率为13，现连续抽取4次，其次品数记为X ，则D (X )的值为________.【导学号：97270050】【解析】由题意知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，所以D (X )＝4×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝89. 【答案】 89[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]离散型随机变量的方差的性质及应用(1)已知随机变量X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )，且E (X )＝7，D (X )＝6，则p 等于( )A.17B.16C.15D.14(2)已知η的分布列为：η 0 10 20 50 60 P1325115215115②设Y ＝2η－E (η)，求D (Y )．【精彩点拨】 (1)利用二项分布的方差计算公式求解． (2)①利用方差、标准差定义求解； ②利用方差的线性运算性质求解．【自主解答】 (1)np ＝7且np (1－p )＝6，解得1－p ＝67，∴p ＝17.【答案】 A(2)①∵E (η)＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，D (η)＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384，∴Dη＝8 6.②∵Y ＝2η－E (η)， ∴D (Y )＝D (2η－E (η)) ＝22D (η)＝4×384＝1 536.1．对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b 的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程．2．若ξ～B (n ，p )，则D (ξ)＝np (1－p )，若ξ服从两点分布，则D (ξ)＝p (1－p )，其中p 为成功概率，应用上述性质可大大简化解题过程．[再练一题]1．为防止风沙危害，某地政府决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n 株沙柳，已知各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p ，设X 为成活沙柳的株数，已知E (X )＝3，D (X )＝32，求n ，p 的值．【解】由题意知，X 服从二项分布B (n ，p )，由E (X )＝np ＝3，D (X )＝np (1－p )＝32，得1－p ＝12，∴p ＝12，n ＝6.求离散型随机变量的方差、标准差编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E (ξ)和D (ξ)．【精彩点拨】首先确定ξ的取值，然后求出ξ的分布列，进而求出E (ξ)和D (ξ)的值．【自主解答】 ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，则P (ξ＝0)＝2A 33＝13；ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了．则P (ξ＝1)＝C 13A 33＝12；ξ＝3表示三位学生全坐对了，即对号入座，则P (ξ＝3)＝1A 33＝16.所以，ξ的分布列为ξ 0 1 3 P131216E (ξ)＝0×13＋1×12＋3×16＝1；D (ξ)＝13×(0－1)2＋12×(1－1)2＋16×(3－1)2＝1.求离散型随机变量的方差的类型及解决方法1．已知分布列型(非两点分布或二项分布)：直接利用定义求解，具体如下， (1)求均值；(2)求方差．2．已知分布列是两点分布或二项分布型：直接套用公式求解，具体如下， (1)若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )． (2)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )．3．未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后转化成(1)中的情况．4．对于已知D (X )求D (aX ＋b )型，利用方差的性质求解，即利用D (aX ＋b )＝a 2D (X )求解．[再练一题]2．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求E (ξ)和D (ξ)．【解】这3张卡片上的数字之和为ξ，这一变量的可能取值为6,9,12.ξ＝6表示取出的3张卡片上均标有2，则P (ξ＝6)＝C 38C 310＝715.ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，则P (ξ＝9)＝C 28C 12C 310＝715.ξ＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5，则P (ξ＝12)＝C 18C 22C 310＝115.∴ξ的分布列为ξ 6 9 12 P715715115∴E (ξ)＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.D (ξ)＝(6－7.8)2×715＋(9－7.8)2×715＋(12－7.8)2×115＝3.36.[探究共研型]均值、方差的综合应用探究1 A ，B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：A 机床次品数X 10 1 2 3 P0.70.20.060.04B 机床次品数X2012 3P 0.80.060.040.10试求E(X1)，E(X2)．【提示】E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.探究2 在探究1中，由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？为什么？【提示】不能．因为E(X1)＝E(X2)．探究3 在探究1中，试想利用什么指标可以比较A、B两台机床加工质量？【提示】利用样本的方差．方差越小，加工的质量越稳定．甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．【精彩点拨】(1)由分布列的性质先求出a和乙射中7环的概率，再列出ξ，η的分布列．(2)要比较甲、乙两射手的射击水平，需先比较两射手击中环数的数学期望，然后再看其方差值．【自主解答】(1)由题意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以ξ，η的分布列分别为ξ10987P 0.50.30.10.1η10987P 0.30.30.20.2(2)由(1)得：E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.由于E(ξ)>E(η)，D(ξ)<D(η)，说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好．利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤1．比较均值．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．2．在均值相等的情况下计算方差．方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．3．下结论．依据方差的几何意义做出结论．[再练一题]3．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：甲保护区：X 012 3P 0.30.30.20.2乙保护区：Y 01 2P 0.10.50.4【解】甲保护区的违规次数X的数学期望和方差分别为：E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差分别为：E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；D(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因为E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，所以两个保护区内每季度发生的平均违规次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散，故乙保护区的管理水平较高．[构建·体系]1．设一随机试验的结果只有A 和A ，且P (A )＝m ，令随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生，0，A 不发生，则ξ的方差D (ξ)等于( )A ．mB ．2m (1－m )C ．m (m －1)D ．m (1－m )【解析】随机变量ξ的分布列为：ξ 0 1P1－mm∴E (ξ)＝0×(1－m )＋1×m ∴D (ξ)＝(0－m )2×(1－m )＋(1－m )2×m ＝m (1－m )．【答案】 D 2．已知X 的分布列为X －1 0 1 P0.50.30.2则D (X )等于( ) A ．0.7 B ．0.61 C ．－0.3 D ．0【解析】 E (X )＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，D (X )＝0.5×(－1＋0.3)2＋0.3×(0＋0.3)2＋0.2×(1＋0.3)2＝0.61.【答案】 B3．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X 1，X 2，已知E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)>D (X 2)，则自动包装机________的质量较好．【解析】因为E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)>D (X 2)，故乙包装机的质量稳定．【答案】乙4．如果X 是离散型随机变量，E (X )＝6，D (X )＝0.5，X 1＝2X －5，那么E (X 1)和D (X 1)分别是________，________.【解析】因为E (X 1)＝E (2X －5)＝2E (X )－5＝2×6－5＝7，D (X 1)＝D (2X －5)＝4D (X )＝4×0.5＝2.【答案】 7 25．已知离散型随机变量X 的分布列如下表：X －1 0 1 2 Pa b c112若E (X )＝0，D (X )＝1，求a ，b 的值. 【导学号：97270051】【解】由题意，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＋112＝1，－1×a ＋0×b ＋1×c ＋2×112＝0，－1－02×a ＋0－02×b ＋1－02×c ＋2－02×112＝1，解得a ＝512，b ＝c ＝14.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案(1) (2)学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D (X甲)＝11，D (X 乙)＝3.4.由此可以估计( ) A ．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B ．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C ．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D ．甲、乙两种水稻分蘖整齐不能比较【解析】 ∵D (X 甲)>D (X 乙)， ∴乙种水稻比甲种水稻整齐．【答案】 B2．设二项分布B (n ，p )的随机变量X 的均值与方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为( )A ．n ＝4，p ＝0.6B ．n ＝6，p ＝0.4C ．n ＝8，p ＝0.3D ．n ＝24，p ＝0.1【解析】由题意得，np ＝2.4，np (1－p )＝1.44， ∴1－p ＝0.6，∴p ＝0.4，n ＝6. 【答案】 B3．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13，k ＝3,6,9.则D (X )等于( )A ．6B ．9C ．3D ．4 【解析】E (X )＝3×13＋6×13＋9×13＝6.D (X )＝(3－6)2×13＋(6－6)2×13＋(9－6)2×13＝6.【答案】 A4．同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D (ξ)＝( )A.158B.154 C.52D ．5 【解析】两枚硬币同时出现反面的概率为12×12＝14，故ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫10，14，因此D (ξ)＝10×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝158.故选A.【答案】 A5．已知X 的分布列为( )则①E (X )＝－13，②D (X )＝2327，③P (X ＝0)＝13.其中正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【解析】 E (X )＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13，故①正确；D (X )＝⎝⎛⎭⎪⎫－1＋132×12＋⎝⎛⎭⎪⎫0＋132×13＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋132×16＝59，故②不正确；③P (X ＝0)＝13显然正确．【答案】 C 二、填空题6．(2014·浙江高考)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.【解析】设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ，则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35，b ＝15，所以D (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.【答案】 257．(2016·扬州高二检测)设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p ＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．【解析】由独立重复试验的方差公式可以得到D (ξ)＝np (1－p )≤n ⎝⎛⎭⎪⎫p ＋1－p 22＝n 4，等号在p ＝1－p ＝12时成立，所以D (ξ)max＝100×12×12＝25，D ξmax＝25＝5.【答案】 1258．一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为________．【解析】设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X ，所得的分数(成绩)为Y ，则Y ＝4X .由题知X ～B (25,0.6)，所以E (X )＝25×0.6＝15，D (X )＝25×0.6×0.4＝6，E (Y )＝E (4X )＝4E (X )＝60，D (Y )＝D (4X )＝42× D (X )＝16×6＝96，所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96. 【答案】 60,96 三、解答题9．海关大楼顶端镶有A 、B 两面大钟，它们的日走时误差分别为X 1，X 2(单位：s)，其分布列如下：【解】 ∵E (X 1)＝0，E (X 2)＝0，∴E (X 1)＝E (X 2)．∵D (X 1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5；D (X 2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2.∴D (X 1)<D (X 2)．由上可知，A 面大钟的质量较好．10．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．(1)求X 的分布列、期望和方差；(2)若Y ＝aX ＋b ，E (Y )＝1，D (Y )＝11，试求a ，b 的值．【解】 (1)X 的分布列为：∴E (X )＝0×12＋1×20＋2×10＋3×20＋4×5＝1.5.D (X )＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (Y )＝a 2D (X )，得a 2×2.75＝11，得a ＝±2.又∵E (Y )＝aE (X )＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2；当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4即为所求．[能力提升]1．若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1＜x 2，又已知E (X )＝43，D (X )＝29，则x 1＋x 2的值为( )A.53B.73 C ．3 D.113【解析】 ∵E (X )＝23x 1＋13x 2＝43.∴x 2＝4－2x 1，D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43－x 12×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫43－x 22×13＝29.∵x 1＜x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2，∴x 1＋x 2＝3.【答案】 C2．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23k·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －k ，k ＝0,1,2，…，n ，且E (ξ)＝24，则D (ξ)的值为( ) 【导学号：97270052】A ．8B ．12 C.29D ．16【解析】由题意可知ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，23， ∴23n ＝E (ξ)＝24，∴n ＝36. 又D (ξ)＝n ×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝29×36＝8.【答案】 A3．变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝3，则D (ξ)的值是________．【解析】由a ，b ，c 成等差数列可知2b ＝a ＋c ，又a ＋b ＋c ＝3b ＝1，∴b ＝13，a ＋c ＝23.又E (ξ)＝－a ＋c ＝13，∴a ＝16，c ＝12，故分布列为ξ －1 0 1 P161312∴D (ξ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－132×16＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×12＝59. 【答案】 594．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图233所示．图233将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E (X )及方差D (X )．【解】 (1)设A 1表示事件“日销售量不低于100个”，A 2表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个．”因此P (A 1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6， P (A 2)＝0.003×50＝0.15， P (B )＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X 可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P (X ＝0)＝C 03(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝C13·0.6(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝C23·0.62(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝C33·0.63＝0.216，则X的分布列为因为X～B(3,0.6)方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.。

高中数学选修2-3导学案

高中数学选修2-3导学案§2、1、1离散型随机变量学习目标1、理解随机变量得定义；2、掌握离散型随机变量得定义、课前预习导学案一、课前准备(预习教材，找出疑惑之处)复习1:掷一枚骰子，出现得点数可能就就是,出现偶数点得可能性就就是、复习2:掷硬币这一最简单得随机试验,其可能得结果就就是, 两个事件、课内探究导学案二、新课导学※学习探究探究任务一:在掷硬币得随机试验中，其结果可以用数来表示吗？我们确定一种关系,使得每一个试验结果都用一个表示,在这种关系下，数字随着试验结果得变化而变化新知1:随机变量得定义:像这种随着试验结果变化而变化得变量称为,常用字母、、、…表示、思考：随机变量与函数有类似得地方吗？新知2:随机变量与函数得关系:随机变量与函数都就就是一种,试验结果得范围相当于函数得,随机变量得范围相当于函数得、试试:在含有1０件次品得100件产品中,任意抽取４件，可能含有得次品件数将随着抽取结果得变化而变化,就就是一个，其值域就就是、随机变量表示；表示;表示;“抽出３件以上次品”可用随机变量表示、新知3:所有取值可以得随机变量，称为离散型随机变量、思考:①电灯泡得寿命就就是离散型随机变量吗?②随机变量就就是一个离散型随机变量吗?※典型例题例１、某林场树木最高可达３６,林场树木得高度就就是一个随机变量吗？若就就是随机变量,得取值范围就就是什么？例2 写出下列随机变量可能取得值,并说明随机变量所取得值表示得随机试验得结果(1)一袋中装有5只同样大小得白球,编号为1,２,3,4,5,现从该袋内随机取出3只球，被取出得球得最大号码数; (２）某单位得某部电话在单位时间内收到得呼叫次数、※动手试试练1、下列随机试验得结果能否用离散型号随机变量表示：若能，请写出各随机变量可能得取值并说明这些值所表示得随机试验得结果（1）抛掷两枚骰子,所得点数之与;（2)某足球队在5次点球中射进得球数;(3)任意抽取一瓶某种标有25００得饮料,其实际量与规定量之差、练2、盒中９个正品与3个次品零件，每次取一个零件,如果取出得次品不再放回，且取得正品前已取出得次品数为、(1）写出可能取得值;（2)写出所表示得事件三、总结提升※学习小结1、随机变量;２、离散型随机变量、课后练习与提高※当堂检测(时量：5分钟满分:１0分)计分:1、下列先项中不能作为随机变量得就就是( )、A、投掷一枚硬币次,正面向上得次数B、某家庭每月得电话费C、在n次独立重复试验中，事件发生得次数Ｄ、一个口袋中装有3个号码都为1得小球,从中取出2个球得号码得与2、抛掷两枚骰子,所得点数之与记为,那么，表示随机实验结果就就是( ）、A、一颗就就是3点,一颗就就是1点B、两颗都就就是2点Ｃ、两颗都就就是4点D、一颗就就是３点,一颗就就是１点或两颗都就就是2点3、某人射击命中率为0、6，她向一目标射击，当第一次射击队中目标则停止射击,则射击次数得取值就就是( ）、A、1,2,３,…，B、1,2,３,…，,…C、0,1,2,…,D、0,１,2,…,,…４、已知为离散型随机变量,得取值为１,２，…,10,则得取值为、5、一袋中装有6个同样大小得黑球,编号为1,2，３,４,５,6,现从中随机取出３个球,以表示取出得球得最大号码,则表示得试验结果就就是、课后作业1在某项体能测试中，跑1kｍ成绩在4mｉn之内为优秀，某同学跑1km所花费得时间就就是离散型随机变量吗？如果我们只关心该同学就就是否能够取得优秀成绩,应该如何定义随机变量？2下列随机试验得结果能否用离散型随机变量表示：若能,请写出各随机变量可能得取值并说明这些值所表示得随机试验得结果、(1)从学校回家要经过5个红绿灯口,可能遇到红灯得次数;(2)在优、良、中、及格、不及格５个等级得测试中,某同学可能取得得成绩、§2、1、2离散型随机变量得分布列学习目标1、理解离散型随机变量得分布列得两种形式;2、理解并运用两点分布与超几何分布、课前预习导学案一、课前准备（预习教材,找出疑惑之处)复习１:设某项试验得成功率就就是失败率得2倍,用随机变量描述１次试验得成功次数,则得值可以就就是( )、A、2 Ｂ、2或1C、1或0 D、2或1或0复习2:将一颗骰子掷两次,第一次掷出得点数减去第二次掷出得点数得差就就是2得概率就就是、课内探究导学案二、新课导学※学习探究探究任务一:抛掷一枚骰子，向上一面得点数就就是一个随机变量、其可能取得值就就是;它取各个不同值得概率都等于问题:能否用表格得形式来表示呢？若离散型随机变量可能取得不同值为,取每一个值得概率、则①分布列表示::③图象表示:新知２：离散型随机变量得分布列具有得性质：(1) ;(２)试试:某同学求得一离散型随机变量得分布列如下：※典型例题例1在掷一枚图钉得随机试验中,令如果针尖向上得概率为,试写出随机变量得分布列、变式:篮球比赛中每次罚球命中得1分,不中得0分，已知某运动员罚球命中得概率为0、7,求她一次罚球得分得分布列新知3:两点分布列:称服从;为例2在含有5件次品得100件产品中，任取3件,试求:(1)取到得次品数得分布列;(2)至少取到１件次品得概率、变式:抛掷一枚质地均匀得硬币２次,写出正面向上次数得分布列?新知4:超几何分布列:练１、在某年级得联欢会上设计了一个摸奖游戏,在一个口袋中装有１0个红球与2０个白球,这些球除颜色外完全相同、一次从中摸出5个球,至少摸到３个红球就中奖、求中奖得概率、练2、从一副不含大小王得５2张扑克牌中任意抽出５张，求至少有３张A得概率、三、总结提升※学习小结1、离散型随机变量得分布列;２、离散型随机变量得分布得性质；3、两点分布与超几何分布、课后练习与提高※当堂检测(时量：5分钟满分:10分）计分:1、若随机变量得概率分布如下表所示，则表中得值为()、/６2、某12人得兴趣小组中,有５名“三好生”,现从中任意选6人参加竞赛,用表示这6人中“三好生”得人数，则概率等于得就就是()、Ａ、B、C、D、3、若,,其中，则等于( ）、Ａ、Ｂ、C、Ｄ、4、已知随机变量得分布列为则为奇数得概率为、5、在第4题得条件下,若,则得分布列为、课后作业1、学校要从3０名候选人中选10名同学组成学生会,其中某班有４名候选人,假设每名候选人都有相同得机会被选到,求该班恰有2名同学被选到得概率、2、老师要从１0篇课文中随机抽３篇让学生背诵,规定至少要背出其中2篇才能及格、某同学只能背诵其中得6篇,试求:(1)抽到她能背诵得课文得数量得分布列;(2)她能及格得概率、§２、2、1条件概率学习目标1、在具体情境中，了解条件概率得意义;2、学会应用条件概率解决实际问题、课前预习导学案一、课前准备(预习教材,找出疑惑之处)复习1:下面列出得表达式就就是否就就是离散型随机变量得分布列()、Ａ、,B、,C、,Ｄ、,复习2:设随机变量得分布如下:课内探究导学案二、新课导学※学习探究探究:3张奖券中只有１张能中奖,现分别由3名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券得概率就就是否比其她同学小？若抽到中奖奖券用“”表示，没有抽到用“”表示,则所有可能得抽取情况为,用表示最后一名同学抽到中奖奖券得事件，则，故最后一名同学抽到中奖奖券得概率为:思考:如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券得概率又就就是？因为已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券,故所有可能得抽取情况变为最后一名同学抽到中奖奖券得概率为记作:新知1:在事件发生得情况下事件发生得条件概率为:==新知2：条件概率具有概率得性质:如果与就就是两个互斥事件,则=※典型例题例１在5道题中有３道理科题与２道文科题、如果不放回地依次抽取２道题,求:(1)第1次抽到理科题得概率；(2)第1次与第2次都抽到理科题得概率;(3）在第1次抽到理科题得条件下,第2次抽到理科题得概率、变式:在第1次抽到理科题得条件下,第2次抽到文科题得概率?例2一张储蓄卡得密码共有位数字，每位数字都可从~中任选一个、某人在银行自动提款机上取钱时,忘记了密码得最后一位数字、求：（1)任意按最后一位数字,不超过次就按对得概率;(2）如果她记得密码得最后一位就就是偶数,不超过2次就按对得概率、变式:任意按最后一位数字，第次就按对得概率？※动手试试练1、从一副不含大小王得张扑克牌中不放回地抽取次,每次抽张、已知第次抽到,求第次也抽到得概率、练2、某地区气象台统计，该地区下雨得概率就就是,刮三级以上风得概率为,既刮风又下雨得概率为,设为下雨,为刮风,求:(1) ；(2)、三、总结提升※学习小结1、理解条件概率得存在;2、求条件概率;３、条件概率中得“条件”就就就是“前提”得意思、课后练习与提高※当堂检测(时量：5分钟满分:10分)计分:1、下列正确得就就是( )、A、=B、＝Ｃ、D、=２、盒中有２5个球，其中10个白得,5个黄得,1０个黑得，从盒子中任意取出一个球,已知它不就就是黑球,则它就就是黄球得概率为（) 、A、１／３Ｂ、1/4 C、1／５D、1／63、某种动物由出生算起活到2０岁得概率为0、8，活到25岁得概率为0、4,现有一个20岁得动物,问它能活到２5岁得概率就就是（)、A、0、4B、0、8C、0、32D、0、5４、,,,则＝,＝、5、一个家庭中有两个小孩,已知这个家庭中有一个就就是女孩,问这时另一个小孩就就是男孩得概率就就是、课后作业1、设某种灯管使用了５０0h能继续使用得概率为0、94,使用到70０h后还能继续使用得概率为0、87,问已经使用了5０0h得灯管还能继续使用到700h得概率就就是多少?2、100件产品中有5件次品,不入回地抽取次,每次抽件、已知第次抽出得就就是次品,求第次抽出正品得概率、§２、2、2事件得相互独立性学习目标1、了解相互独立事件得意义,求一些事件得概率;2、理解独立事件概念以及其与互斥，对立事件得区别与联系、课前预习导学案一、课前准备(预习教材,找出疑惑之处)复习1:把一枚硬币任意掷两次,事件“第一次出现正面”,事件Ｂ＝“第二次出现正面”,则等于？复习2：已知,,则成立、A、B、+Ｃ、D、课内探究导学案二、新课导学※学习探究探究:3张奖券中只有１张能中奖,现分别由３名同学有放回地抽取，事件为“第一名同学没有抽到奖券”,事件为“最后一名同学抽到奖券”,事件得发生会影响事件发生得概率吗？新知1:事件与事件得相互独立：设为两个事件,如果,则称事件与事件得相互独立、注意:①在事件与相互独立得定义中,与得地位就就是对称得;②不能用作为事件与事件相互独立得定义,因为这个等式得适用范围就就是;③如果事件与相互独立,那么与,与，与也都相互独立、试试:分别抛掷2枚质地均匀得硬币，设就就是事件“第1枚为正面”,就就是事件“第2枚为正面”,就就是事件“２枚结果相同”，问:中哪两个相互独立？小结:判定相互独立事件得方法: ①由定义,若,则独立;②根据实际情况直接判定其独立性、※典型例题例１某商场推出二次开奖活动,凡购买一定价值得商品可以获得一张奖券、奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同得兑奖活动、如果两次兑奖活动得中奖概率都就就是,求两次抽奖中以下事件得概率：(1)都抽到某一指定号码;(2)恰有一次抽到某一指定号码;(3）至少有一次抽到某一指定号码、变式:两次都没有抽到指定号码得概率就就是多少?思考：二次开奖至少中一次奖得概率就就是一次开奖中奖概率得两倍吗？例２、下列事件中,哪些就就是互斥事件,哪些就就是相互独立事件?(1)“掷一枚硬币，得到正面向上”与“掷一枚骰子,向上得点就就是点”;(2）“在一次考试中,张三得成绩及格”与“在这次考试中李四得成绩不及格”；(3）在一个口袋内有白球、黑球,则“从中任意取个球得到白球”与“从中任意取个得到黑球”※动手试试练1、天气预报，在元旦假期甲地得降雨概率就就是，乙地得降雨概率就就是，假定在这段时间内两地就就是否降雨相互之间没有影响,计算在这段时间内：(1)甲、乙两地都降雨得概率;(2）甲、乙两地都不降雨得概率;(3)其中至少一个地方降雨得概率、练2、某同学参加科普知识竞赛,需回答个问题、竞赛规则规定：答对第一、二、三问题分别得分、分、分,答错得零分、假设这名同学答对第一、二、三个问题得概率分别为,且各题答对与否相互之间没有影响、(1)求这名同学得分得概率;(2）求这名同学至少得分得概率、三、总结提升※学习小结１、相互独立事件得定义；2、相互独立事件与互斥事件、对立事件得区别、课后练习与提高※当堂检测(时量:5分钟满分：10分)计分:1、甲打靶得命中率为，乙得命中率为,若两人同时射击一个目标，则都未中得概率为()、A、B、Ｃ、D、2、有一道题,三人独自解决得概率分别为,三人同时独自解这题,则只有一人解出得概率为( ）、Ａ、Ｂ、C、D、3、同上题,这道题被解出得概率就就是( )、Ａ、Ｂ、C、D、4、已知与就就是相互独立事件,且,,则、5、有件产品,其中件次品,从中选项取两次:(１)取后不放回,(2)取后放回,则两次都取得合格品得概率分别为、、课后作业1、一个口袋内装有个白球与个黑球,那么先摸出个白球放回,再摸出1个白球得概率就就是多少？２、甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工得零件就就是一等品而乙机床加工得零件不就就是一等品得概率为,乙机床加工得零件就就是一等品而丙机床加工得零件不就就是一等品得概率为,甲、丙两台机床加工得零件都就就是一等品得概率为(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工得零件就就是一等品得概率；(2)从甲、乙、丙加工得零件中各取一个检验，求至少有一个一等品得概率、§2、2、3独立重复试验与二项分布学习目标1、了解独立重复试验；２、理解二项分布得含义、课前预习导学案一、课前准备(预习教材,找出疑惑之处)复习1：生产一种产品共需道工序,其中1～5道工序得生产合格率分别为96%,9９％,98%，97%,９6%,现从成品中任意抽取件,抽到合格品得概率就就是多少？复习2：掷一枚硬币3次,则只有一次正面向上得概率为、课内探究导学案二、新课导学※学习探究探究１：在次重复掷硬币得过程中，各次掷硬币试验得结果就就是否会受其她掷硬币试验得影响？新知1:独立重复试验：在得条件下做得次试验称为次独立重复试验、探究２:投掷一枚图钉，设针尖向上得概率为,则针尖向下得概率为,连续掷一枚图钉次,仅出现次针尖向上得概率就就是多少？新知2：二项分布:一般地,在次独立重复试验中,设事件发生得次数为,在每次试验中事件发生得概率为,那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次得概率为: =,则称随机变量服从、记作:~( )，并称为、试试：某同学投篮命中率为,她在次投篮中命中得次数就就是一个随机变量,~（)故她投中次得概率就就是、※典型例题例1某射手每次射击击中目标得概率就就是,求这名射击手在次射击中（１）恰有次击中目标得概率；（２)至少有次击中目标得概率、变式:击中次数少于次得概率就就是多少?例２、将一枚硬币连续抛掷次,求正面向上得次数得分布列？变式：抛掷一颗骰子次,向上得点数就就是2得次数有3次得概率就就是多少？※动手试试练１、若某射击手每次射击击中目标得概率就就是,每次射击得结果相互独立,那么在她连续次得射击中，第次未击中目标，但后次都击中目标得概率就就是多少？练２、如果生男孩与生女孩得概率相等,求有个小孩得家庭中至少有个女孩得概率、三、总结提升※学习小结1、独立重复事件得定义;2、二项分布与二项式定理得公式、课后练习与提高※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分:１、某学生通过计算初级水平测试得概率为,她连续测试两次,则恰有次获得通过得概率为( ）、A、B、Ｃ、D、2、某气象站天气预报得准确率为80%,则５次预报中至少有4次准确得概率为( ) 、A、Ｂ、C、Ｄ、3、每次试验得成功率为,则在次重复试验中至少失败次得概率为( )、A、B、Ｃ、Ｄ、4、在３次独立重复试验中,随机事件恰好发生1次得概率不大于其恰好发生两次得概率,则事件在一次试验中发生得概率得范围就就是、5、某种植物种子发芽得概率为,则颗种子中恰好有颗发芽得概率为、课后作业1、某盏吊灯上并联着个灯泡,如果在某段时间内每个灯泡能正常照明得概率都就就是,那么在这段时间内吊灯能照明得概率就就是多少？2、甲、乙两选手比赛,假设每局比赛甲胜得概率为,乙胜得概率为,那么采用局胜制还就就是采用局胜制对甲更有利?§2、3、1离散型随机变量得均值(１）学习目标１、理解并应用数学期望来解决实际问题;2、各种分布得期望、课前预习导学案一、课前准备(预习教材,找出疑惑之处)复习1:甲箱子里装个白球，个黑球,乙箱子里装个白球，个黑球,从这两个箱子里分别摸出个球,则它们都就就是白球得概率?复习２:某企业正常用水得概率为,则天内至少有天用水正常得概率为、课内探究导学案二、新课导学※学习探究探究:某商场要将单价分别为元/ｋg,24元/kｇ,36元／kg得3种糖果按得比例混合销售,如何对混合糖果定价才合理？新知１：均值或数学期望：若离散型随机变量得分布列为:则称、为随机变量得均值或数学期望、它反映离散型随机变量取值得、新知2:离散型随机变量期望得性质：若，其中为常数,则也就就是随机变量,且、注意:随机变量得均值与样本得平均值得：区别：随机变量得均值就就是,而样本得平均值就就是;联系：对于简单随机样本,随着样本容量得增加,样本平均值越来越接近于总体均值、※典型例题例1在篮球比赛中,罚球命中次得分,不中得分、如果某运动员罚球命中得概率为，那么她罚球次得得分得均值就就是多少?变式:、如果罚球命中得概率为,那么罚球次得得分均值就就是多少?新知3:①若服从两点分布,则;②若～,则、例2、一次单元测验由个选择题构成,每个选择题有个选项,其中仅有一个选项正确、每题选对得分,不选或选错不得分,满分分、学生甲选对任意一题得概率为,学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个、分别求甲学生与乙学生在这次测验中得成绩得均值、思考:学生甲在这次单元测试中得成绩一定会就就是分吗?她得均值为分得含义就就是什么?※动手试试练１、已知随机变量得分布列为:求、练2、同时抛掷枚质地均匀得硬币，求出现正面向上得硬币数得均值、三、总结提升※学习小结1、随机变量得均值;2、各种分布得期望、课后练习与提高※当堂检测(时量:5分钟满分:10分）计分：1、随机变量得分布列为则其期望等于( )、Ａ、B、C、D、2、已知，且，则( ) 、A、Ｂ、C、D、３、若随机变量满足，其中为常数,则（）、Ａ、Ｂ、C、Ｄ、不确定４、一大批进口表得次品率,任取只,其中次品数得期望、5、抛掷两枚骰子,当至少有一枚出现点时,就说这次试验成功，则在次试验中成功次数得期望、课后作业1、抛掷1枚硬币，规定正面向上得１分,反面向上得分,求得分得均值、2、产量相同得台机床生产同一种零件,它们在一小时内生产出得次品数得分布列分别如下:§2、3、1离散型随机变量得均值(2）学习目标1、进一步理解数学期望；2、应用数学期望来解决实际问题、课前预习导学案一、课前准备（预习教材P７2~ P7４,找出疑惑之处)复习1：设一位足球运动员，在有人防守得情况下,射门命中得概率为,求她一次射门时命中次数得期望复习２:一名射手击中靶心得概率就就是,如果她在同样得条件下连续射击次，求她击中靶心得次数得均值？课内探究导学案二、新课导学探究:某公司有万元资金用于投资开发项目,如果成功,一年后可获利１2%;一旦失败，一年后将丧失全部资金得50%，下表就就是过去200例类拟项目开发得实施结果:则该公司一年后估计可获收益得期望就就是元、※典型例题例１已知随机变量取所有可能得值就就是等到可能得,且得均值为,求得值例２、根据气象预报,某地区近期有小洪水得概率为,有大洪水得概率为、该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时要损失元,遇到小洪水时要损失元、为保护设备,有以下种方案:方案1:运走设备,搬运费为元方案2：建保护围墙，建设费为元，但围墙只能防小洪水、方案３:不采取措施，希望不发生洪水、试比较哪一种方案好、思考:根据上述结论，人们一定采取方案2吗？※动手试试练１、现要发行张彩票，其中中奖金额为元得彩票张, 元得彩票张，元得彩票张，元得彩票张，元得彩票张,问一张彩票可能中奖金额得均值就就是多少元？练2、抛掷两枚骰子，当至少有一枚点或点出现时，就说这次试验成功,求在次试验中成功次数得期望、三、总结提升※学习小结１、随机变量得均值;2、各种分布得期望、课后练习与提高※当堂检测(时量:5分钟满分:10分)计分:１、若就就是一个随机变量,则得值为( ）、Ａ、无法求Ｂ、C、D、2设随机变量得分布列为,,则得值为( ) 、A、Ｂ、C、D、3、若随机变量~，且，则得值就就是（)、Ａ、B、C、D、4、已知随机变量得分布列为:= ; ;＝、5、一盒内装有个球,其中2个旧得,3个新得，从中任意取2个，则取到新球个数得期望值为、课后作业1、已知随机变量得分布列:求2、一台机器在一天内发生故障得概率为,若这台机器一周个工作日不发生故障,可获利万元;发生次故障仍可获利万元;发生次故障得利润为元;发生次或次以上故障要亏损万元,问这台机器一周内可能获利得均值就就是多少？§2、3、2离散型随机变量得方差（1)学习目标1、理解随机变量方差得概念;２、各种分布得方差、课前预习导学案一、课前准备(预习教材,找出疑惑之处）复习1:若随机变量～,则;又若,则复习2:已知随机变量得分布列为:且，则;课内探究导学案二、新课导学※学习探究探究:要从两名同学中挑出一名,代表班级参加射击比赛,根据以往得成绩纪录,第一名同学击中目标靶得环数～,第二名同学击中目标靶得环数,其中～,请问应该派哪名同学参赛?新知1:离散型随机变量得方差:当已知随机变量得分布列为时,则称为得方差，为得标准差随机变量得方差与标准差都反映了随机变量取值得、越小,稳定性越,波动越、新知2:方差得性质:当均为常数时，随机变量得方差、特别就就是:①当时, ,即常数得方差等于;②当时, ，即随机变量与常数之与得方差就等于这个随机变量得方差;③当时，，即随机变量与常之积得方差,等于常数得与这个随机变量方差得积新知2:常见得一些离散型随机变量得方差：（1）单点分布: ;。

高三数学选修2-3_《离散型随机变量的方差》参考学案1

§2.3.2 离散型随机变量的方差（1）1．理解随机变量方差的概念； 2．各种分布的方差．一、课前准备（预习教材P 74~ P 77，找出疑惑之处）复习1：若随机变量 Y ～)8.0,5(B ，则=EY ；又若42+=Y X ，则=2EX 复习2：已知随机变量ξ的分布列为：且1.1=ξE ，则=p ；=x 二、新课导学 ※ 学习探究探究：要从两名同学中挑出一名，代表班级参加射击比赛，根据以往的成绩纪录，第一名同学击中目标靶的环数1X ～)8.0,10(B ，第二名同学击中目标靶的环数42+=Y X ，其中Y ～)8.0,5(B ，请问应该派哪名同学参赛？新知1：离散型随机变量的方差：当已知随机变量ξ的分布列为()k k p x P ==ξ ),2,1( =k 时，则称=ξD为ξ的方差，=σξ 为ξ的标准差随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的．ξD 越小，稳定性越，波动越．新知2：方差的性质：当b a ,均为常数时，随机变量b a +=ξη的方差=+=)()(b a D D ξη ．特别是：①当0=a 时，()=b D ，即常数的方差等于；②当1=a 时，=+)(b D ξ ，即随机变量与常数之和的方差就等于这个随机变量的方差；③当0=b 时，()=ξa D ，即随机变量与常之积的方差，等于常数的与这个随机变量方差的积新知2：常见的一些离散型随机变量的方差：（1）单点分布：=ξD ；（2）两点分布：=ξD ；（3）二项分布：=ξD ． ※ 典型例题例1已知随机变量X 的分布列为：变式：已知随机变量X 的分布列：求)12(,+X D DX小结：求随机变量的方差的两种方法：一是列出分布列，求出期望，再利用方差定义求解；另一种方法是借助方差的性质求解例2．随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数X 的均值、方差和标准差．※ 动手试试练1．已知X 是一个随机变量，随机变量5+X 的分布列如下：试求DX ．练2．设ξ～),(p n B ，且12=EX ，4=DX ，则n 与p 的值分别为多少？三、总结提升 ※ 学习小结1．离散型随机变量的方差、标准差；2．方差的性质，几个常见的随机变量的方差．※ 知识拓展随机变量ξ期望与方差的关系：22)()(ξξξE E D -=．※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1.已知离散型随机变量的分布列为A ．125 B ．1210 C ．1211D ．12．已知813+=ξη，且13=ξD ，那么ηD 的值为 ( ) ．A ．39B ．117C ． 8139 D ． 811173．已知随机变量ξ服从二项分布)31,4(B ，则ξD 的值为（）．A ．34 B ．38 C ． 98 D ．91 4．已知随机变量ξ，91)(=ξD ，则ξ的标准差为． 5．设随机变量ξ可能取值为0，1，且满足p P ==)1(ξ，p P -==1)0(ξ，则ξD = ．1．已知100件产品中有10件次品，从中任取3件，求任意取出的3件产品中次品数的数学期望、方差和标准差？2．已知随机变量X 的分布列为：。

高中数学选修2-3优质学案10：2.3.2 离散型随机变量的方差

2.3.2 离散型随机变量的方差新知初探1．离散型随机变量的方差 (1)设离散型随机变量X 的分布列为则称D (X )＝ i ＝1n(x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，其算术平方根D (X )为随机变量X 的．(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的，方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的越小． 2．几个常见的结论 (1)D (aX ＋b )＝．(2)若X 服从两点分布，则D (X )＝． (3)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝．小试身手1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．( ) (2)若a 是常数，则D (a )＝0．( )(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度．( )2．若随机变量X 服从两点分布，且成功的概率p ＝0．5, 则E (X )和D (X )分别为( ) A ．0．5和0．25 B ．0．5和0．75 C ．1和0．25D ．1和0．753．D (ξ－D (ξ))的值为( ) A ．无法求 B ．0C ．D (ξ)D ．2D (ξ) 4．牧场的10头牛，因误食疯牛病毒污染的饲料被感染，已知该病的发病率为0．02，设发病牛的头数为X ，则D (X )等于________．课堂讲练题型一求离散型随机变量的方差题点一：用定义求离散型随机变量的方差1．已知随机变量X 的分布列为：则D (X )＝________．题点二：两点分布的方差2．某运动员投篮命中率p ＝0．8，则该运动员在一次投篮中命中次数ξ的方差为________．题点三：二项分布的方差3．一出租车司机从某饭店到火车站途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是13．(1)求这位司机遇到红灯数ξ的期望与方差；(2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间η的期望与方差．类题通法求离散型随机变量X 的方差的步骤(1)理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； (2)求X 取各个值的概率，写出分布列； (3)根据分布列，由期望的定义求出E (X )； (4)根据公式计算方差．题型二离散型随机变量方差的性质典例已知随机变量X 的分布列是试求D (X )和D (2X －1) 类题通法求随机变量函数Y ＝aX ＋b 方差的方法求随机变量函数Y ＝aX ＋b 的方差，一是先求Y 的分布列，再求其均值，最后求方差；二是应用公式D (aX ＋b )＝a 2D (X )求解．活学活用已知随机变量ξ的分布列为：若E (ξ)＝23．(1)求D (ξ)的值；(2)若η＝3ξ－2，求D (η)的值．题型三方差的实际问题典例为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中的10,9,8,7环的概率分别为0．5,3a ，a,0．1，乙射中10,9,8环的概率分别为0．3,0．3,0．2． (1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人．类题通法利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤(1)比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．(2)在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．(3)下结论：依据均值和方差的几何意义做出结论．活学活用甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：甲保护区：乙保护区：试评定这两个保护区的管理水平．——★参考答案★——新知初探1．(1)标准差(2)平均程度平均程度2．(1)a 2D (X ) (2)p (1－p ) (3)np (1－p ) 小试身手1．[[答案]](1)× (2)√ (3)√ 2．[[答案]]A 3．[[答案]]C 4．[[答案]]0．196 课堂讲练题型一求离散型随机变量的方差题点一：用定义求离散型随机变量的方差 1．[[答案]]2．05[[解析]]因为E (X )＝0．1×0＋0．15×1＋0．25×2＋0．25×3＋0．15×4＋0．1×5＝2．5，所以D (X )＝(0－2．5)2×0．1＋(1－2．5)2×0．15＋(2－2．5)2×0．25＋(3－2．5)2×0．25＋(4－2．5)2×0．15＋(5－2．5)2×0．1＝2．05．题点二：两点分布的方差 2．[[答案]]0．16[[解析]]依题意知：ξ服从两点分布，所以D (ξ)＝0．8×(1－0．8)＝0．16．题点三：二项分布的方差3．解：(1)易知司机遇上红灯次数ξ服从二项分布，且ξ～B ⎝⎛⎭⎫6， 13， ∴E (ξ)＝6×13＝2，D (ξ)＝6×13×⎝⎛⎭⎫1－13＝43． (2)由已知η＝30ξ，∴E (η)＝30E (ξ)＝60，D (η)＝900D (ξ)＝1 200．题型二离散型随机变量方差的性质典例解：E (X )＝0×0．2＋1×0．2＋2×0．3＋3×0．2＋4×0．1＝1．8．∴D (X )＝(0－1．8)2×0．2＋(1－1．8)2×0．2＋(2－1．8)2×0．3＋(3－1．8)2×0．2＋(4－1．8)2×0．1＝1．56．利用方差的性质D (aX ＋b )＝a 2D (X )．∵D (X )＝1．56, ∴D (2X －1)＝4D (X )＝4×1．56＝6．24．活学活用解：由分布列的性质，得12＋13＋p ＝1，解得p ＝16，∵E (ξ)＝0×12＋1×13＋16x ＝23，∴x ＝2．(1)D (ξ)＝⎝⎛⎭⎫0－232×12＋⎝⎛⎭⎫1－232×13＋⎝⎛⎭⎫2－232×16＝1527＝59． (2)∵η＝3ξ－2，∴D (η)＝D (3ξ－2)＝9D (ξ)＝5，∴D η＝5．题型三方差的实际问题典例解：(1)依题意，0．5＋3a ＋a ＋0．1＝1，解得a ＝0．1． ∵乙射中10,9,8环的概率分别为0．3,0．3,0．2， ∴乙射中7环的概率为1－(0．3＋0．3＋0．2)＝0．2． ∴ξ，η的分布列分别为ξ 10987P0．5 0．3 0．1 0．1η 10987P0．3 0．3 0．2 0．2(2)由(1)可得E (ξ)＝10×0．5＋9×0．3＋8×0．1＋7×0．1＝9．2(环)； E (η)＝10×0．3＋9×0．3＋8×0．2＋7×0．2＝8．7(环)；D (ξ)＝(10－9．2)2×0．5＋(9－9．2)2×0．3＋(8－9．2)2×0．1＋(7－9．2)2×0．1＝0．96； D (η)＝(10－8．7)2×0．3＋(9－8．7)2×0．3＋(8－8．7)2×0．2＋(7－8．7)2×0．2＝1．21．由于E (ξ)>E (η)，说明甲平均射中的环数比乙高；又因为D (ξ)<D (η)，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定．所以，甲比乙的技术好，故应选拔甲射手参加奥运会．活学活用解：甲保护区违规次数X 的数学期望和方差为 E (X )＝0×0．3＋1×0．3＋2×0．2＋3×0．2＝1．3，D (X )＝(0－1．3)2×0．3＋(1－1．3)2×0．3＋(2－1．3)2×0．2＋(3－1．3)2×0．2＝1．21．乙保护区的违规次数Y 的数学期望和方差为：E (Y )＝0×0．1＋1×0．5＋2×0．4＝1．3，D (Y )＝(0－1．3)2×0．1＋(1－1．3)2×0．5＋(2－1．3)2×0．4＝0．41．因为E (X )＝E (Y )，D (X )＞D (Y )，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更加集中和稳定．。

2.3.2离散型随机变量的方差与标准差(新)

二、探究引入
要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数 X1 的分布列为
X1
P
X2
5 0.03
5 0.01
6 7 0.09 0.20
6 0.05 7 0.20
8 0.31
9 0.27
10 0.10
9 0.33
第二名同学击中目标靶的环数
X 2的分布列为
2、已知X～B(n, p)，E(X) 8, D(X) 1.6, 则n 10 , p 0.8
3、有一批数量很大的商品，其中次品占 1％，现从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为X，求E(X)和D(X)。 2，1.98
4.编号1，2，3的三位学生随意入座编号1，2，3的三
个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的
2 2 2
(3 2) 0.2 (4 2) 0.1 1.2
2 2
( X ) D( X ) 1.2 1.095
2、若随机变量X满足P（X＝c）＝1，其中c为常数，求E（X）和D（X）。
解：离散型随机变量X的分布列为：
X P c 1
E（X）＝c×1＝c D（X）＝（c－c）2×1＝0
对方差的几点说明（1）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小.
说明:随机变量集中的位置是随机变量的均值；方差或标准差这种度量指标是一种加权平均的度量指标. （2）随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？
随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量. 对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近总体方差，因此常用样本方差来估计总体方差.

高中数学2.3.2离散型随机变量的方差学案新人教B版选修2_3

2.3.2 离散型随机变量的方差1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.(重点)3.掌握方差的性质以及二点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方)差.(难点[基础·初探]教材整理1 离散型随机变量的方差的概念阅读教材P62例1以上部分，完成下列问题.离散型随机变量的方差与标准差1.下列说法正确的有________(填序号).①离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的概率的平均值；②离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平；③离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的波动水平；④离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的波动水平.【解析】①错误.因为离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的平均水平.②错误.因为离散型随机变量X的方差D(X)反映了随机变量偏离于期望的平均程度.③错误.因为离散型随机变量的方差D(X)反映了X取值的波动水平，而随机变量的期望E(X)反映了X取值的平均水平.④正确.由方差的意义可知.【答案】④2.已知随机变量X，D(X)＝19，则ξ的标准差为________.【解析】X的标准差D X ＝19＝13.【答案】1 3教材整理2 二点分布、二项分布的方差阅读教材P63例2以下部分，完成下列问题.服从二点分布与二项分布的随机变量的方差(1)若X服从二点分布，则D(X)＝p(1－p)；(2)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p).若随机变量X服从二点分布，且成功概率P＝0.5，则D(X)＝________，E(X)＝________.【导学号：62980055】【解析】E(X)＝0.5，D(X)＝0.5(1－0.5)＝0.25.【答案】0.25 0.5[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]离散型随机变量的方差的性质及应用设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽到一个，并且取出后不再放回，若以X和Y分别表示取出次品和正品的个数.(1)求X的分布列、期望及方差；(2)求Y的分布列、期望及方差.【精彩点拨】 (1)可先求出X 分布列，然后利用期望和方差公式求解；(2)可由Y 分布列及其期望、方差、公式求解，也可由期望、方差性质求解.【自主解答】 (1)X 的可能取值为0,1,2.若X ＝0，表示没有取出次品，其概率为P (X ＝0)＝C 310C 312＝611，同理，有P (X ＝1)＝C 12C 210C 312＝922， P (X ＝2)＝C 22C 110C 312＝122.∴X 的分布列为∴E (X )＝0×611＋1×922＋2×22＝2，D (X )＝⎝⎛⎭⎪⎫0－122×611＋⎝⎛⎭⎪⎫1－122×922＋⎝⎛⎭⎪⎫2－122×122＝322＋988＋988＝1544. (2)Y 的可能取值为1,2,3，显然X ＋Y ＝3. 法一：P (Y ＝1)＝P (X ＝2)＝122， P (Y ＝2)＝P (X ＝1)＝922， P (Y ＝3)＝P (X ＝0)＝611，∴Y 的分布列为E (Y )＝1×122＋2×922＋3×11＝2，D (Y )＝⎝⎛⎭⎪⎫1－522×122＋⎝⎛⎭⎪⎫2－522×922＋⎝⎛⎭⎪⎫3－522×611＝1544.法二：E (Y )＝E (3－X )＝3－E (X )＝52，D (Y )＝D (3－X )＝(－1)2D (X )＝1544.1.由本例可知，利用公式D (aX ＋b )＝a 2D (X )及E (aX ＋b )＝aE (X )＋b 来求E (Y )及D (Y )，既避免了求随机变量Y ＝aX ＋b 的分布列，又避免了涉及大数的计算，从而简化了计算过程.2.若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )，若X 服从二点分布，则D (X )＝p (1－p )，其中p 为成功概率，应用上述性质可大大简化解题过程.[再练一题]1.为防止风沙危害，某地政府决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n 株沙柳，已知各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p ，设X 为成活沙柳的株数，已知E (X )＝3，D (X )＝32，求n ，p 的值.【解】由题意知，X 服从二项分布B (n ，p )，由E (X )＝np ＝3，D (X )＝np (1－p )＝32，得1－p ＝12，∴p ＝12，n ＝6.求离散型随机变量的方差、标准差编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E (ξ)和D (ξ).【精彩点拨】首先确定ξ的取值，然后求出ξ的分布列，进而求出E (ξ)和D (ξ)的值.【自主解答】 ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，则P (ξ＝0)＝2A 33＝13；ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了. 则P (ξ＝1)＝C 13A 33＝12；ξ＝3表示三位学生全坐对了，即对号入座，则P (ξ＝3)＝1A 33＝16.所以，ξ的分布列为E (ξ)＝0×13＋1×12＋3×16＝1；D (ξ)＝13×(0－1)2＋12×(1－1)2＋16×(3－1)2＝1.求离散型随机变量的方差的类型及解决方法1.已知分布列型(非二点分布或二项分布)：直接利用定义求解，具体如下， (1)求均值；(2)求方差.2.已知分布列是二点分布或二项分布型：直接套用公式求解，具体如下， (1)若X 服从二点分布，则D (X )＝p (1－p ). (2)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p ).3.未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后转化成(1)中的情况.4.对于已知D (X )求D (aX ＋b )型，利用方差的性质求解，即利用D (aX ＋b )＝a 2D (X )求解.[再练一题]2.有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求E (ξ)和D (ξ).【解】这3张卡片上的数字之和为ξ，这一变量的可能取值为6,9,12.ξ＝6表示取出的3张卡片上均标有2，则P (ξ＝6)＝C 38C 310＝715.ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，则P (ξ＝9)＝C 28C 12C 310＝715.ξ＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5，则P (ξ＝12)＝C 18C 22C 310＝115.∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝6×715＋9×715＋12×15＝7.8.D(ξ)＝(6－7.8)2×715＋(9－7.8)2×715＋(12－7.8)2×115＝3.36.[探究共研型]期望、方差的综合应用探究1 A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：A机床试求E(X1)，E(X2【提示】E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.探究2 在探究1中，由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？为什么？【提示】不能.因为E(X1)＝E(X2).探究3 在探究1中，试想利用什么指标可以比较A、B两台机床加工质量？【提示】利用样本的方差.方差越小，加工的质量越稳定.甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术.【精彩点拨】(1)由分布列的性质先求出a和乙射中7环的概率，再列出ξ，η的分布列.(2)要比较甲、乙两射手的射击水平，需先比较两射手击中环数的数学期望，然后再看其方差值.【自主解答】(1)由题意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以ξ，η的分布列分别为(2)由(1)得：E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.由于E(ξ)>E(η)，D(ξ)<D(η)，说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好.利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤1.比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高.2.在均值相等的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定.3.下结论.依据方差的几何意义做出结论.[再练一题]3.甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等.两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：甲保护区：乙保护区：【解】甲保护区的违规次数X的数学期望和方差分别为：E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差分别为：E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；D (Y )＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因为E (X )＝E (Y )，D (X )>D (Y )，所以两个保护区内每季度发生的平均违规次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散，故乙保护区的管理水平较高.[构建·体系]1.设一随机试验的结果只有A 和A ，且P (A )＝m ，令随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生，0，A 不发生，则ξ的方差D (ξ)等于( )A.mB.2m (1－m )C.m (m －1)D.m (1－m )【解析】随机变量ξ的分布列为：∴E (ξ)＝0×(1－m )＋1×m ∴D (ξ)＝(0－m )2×(1－m )＋(1－m )2×m ＝m (1－m ). 【答案】 D 2.已知X 的分布列为则D (X )等于( ) A.0.7 B.0.61 C.－0.3D.0【解析】 E (X )＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，D (X )＝0.5×(－1＋0.3)2＋0.3×(0＋0.3)2＋0.2×(1＋0.3)2＝0.61.【答案】 B3.有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X 1，X 2，已知E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)>D (X 2)，则自动包装机________的质量较好.【导学号：62980056】【解析】因为E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)>D (X 2)，故乙包装机的质量稳定. 【答案】乙4.一批产品中，次品率为13，现连续抽取4次，其次品数记为X ，则D (X )的值为________.【解析】由题意知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，所以D (X )＝4×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝89. 【答案】 895.已知离散型随机变量X 的分布列如下表：若E (X )＝0，D (X )＝1【解】由题意，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＋112＝1，－1 ×a ＋0×b ＋1×c ＋2×112＝0，－1－0 2×a ＋ 0－0 2×b ＋ 1－0 2×c ＋ 2－0 2×112＝1，解得a ＝512，b ＝c ＝14.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D (X甲)＝11，D (X 乙)＝3.4.由此可以估计( ) A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D.甲、乙两种水稻分蘖整齐不能比较【解析】 ∵D (X 甲)>D (X 乙)， ∴乙种水稻比甲种水稻整齐. 【答案】 B2.设二项分布B (n ，p )的随机变量X 的均值与方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为( )A.n ＝4，p ＝0.6B.n ＝6，p ＝0.4C.n ＝8，p ＝0.3D.n ＝24，p ＝0.1【解析】由题意得，np ＝2.4，np (1－p )＝1.44， ∴1－p ＝0.6，∴p ＝0.4，n ＝6. 【答案】 B3.已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13，k ＝3,6,9.则D (X )等于( )【导学号：62980057】A.6B.9C.3D.4【解析】 E (X )＝3×13＋6×13＋9×13＝6.D (X )＝(3－6)2×13＋(6－6)2×13＋(9－6)2×13＝6.【答案】 A4.同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D (ξ)＝( )A.158B.154C.52D.5【解析】两枚硬币同时出现反面的概率为12×12＝14，故ξ～B ⎝⎛⎭⎪⎫10，14，因此D (ξ)＝10×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝158.故选A.【答案】 A 5.已知X 的分布列为则①E (X )＝－13，②D (X )＝27，③P (X ＝0)＝3，其中正确的个数为( )A.0B.1C.2D.3【解析】 E (X )＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13，故①正确；D (X )＝⎝⎛⎭⎪⎫－1＋132×12＋⎝⎛⎭⎪⎫0＋132×13＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋132×16＝59，故②不正确；③P (X ＝0)＝13显然正确.【答案】 C 二、填空题6.(2014·浙江高考)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.【解析】设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ，则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35，b ＝15，所以D (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.【答案】 257.(2016·扬州高二检测)设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p ＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________.【解析】由独立重复试验的方差公式可以得到D (ξ)＝np (1－p )≤n ⎝⎛⎭⎪⎫p ＋1－p 22＝n 4，等号在p ＝1－p ＝12时成立，所以D (ξ)max＝100×12×12＝25，D ξ max ＝25＝5.【答案】1258.一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为________.【解析】设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X，所得的分数(成绩)为Y，则Y＝4X.由题知X～B(25,0.6)，所以E(X)＝25×0.6＝15，D(X)＝25×0.6×0.4＝6，E(Y)＝E(4X)＝4E(X)＝60，D(Y)＝D(4X)＝42×D(X)＝16×6＝96，所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96.【答案】60,96三、解答题9.海关大楼顶端镶有A、B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位：s)，其分布列如下：.【解】∵E(X1)＝0，E(X2)＝0，∴E(X1)＝E(X2).∵D(X1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5；D(X2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2.∴D(X1)<D(X2).由上可知，A面大钟的质量较好.10.袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4).现从袋中任取一球，X表示所取球的标号.(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值.【解】(1)X的分布列为：∴E (X )＝0×12＋1×120＋2×10＋3×20＋4×5＝1.5.D (X )＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (Y )＝a 2D (X )，得a 2×2.75＝11，得a ＝±2.又∵E (Y )＝aE (X )＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2；当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4即为所求.[能力提升]1.若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1＜x 2，又已知E (X )＝43，D (X )＝29，则x 1＋x 2的值为( ) A.53 B.73 C.3D.113【解析】 ∵E (X )＝23x 1＋13x 2＝43.∴x 2＝4－2x 1，D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43－x 12×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫43－x 22×13＝29.∵x 1＜x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2，∴x 1＋x 2＝3.【答案】 C2.设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23k·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －k ，k ＝0,1,2，…，n ，且E (ξ)＝24，则D (ξ)的值为( )A.8B.12C.29D.16【解析】由题意可知ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，23，∴23n ＝E (ξ)＝24，∴n ＝36. 又D (ξ)＝n ×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝29×36＝8.【答案】 A3.变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝3，则D (ξ)的值是________.【解析】由a ，b ，c 成等差数列可知2b ＝a ＋c ，又a ＋b ＋c ＝3b ＝1，∴b ＝13，a ＋c ＝23.又E (ξ)＝－a ＋c ＝13，∴a ＝16，c ＝12，故分布列为∴D (ξ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－132×16＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－32×3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32×2＝9. 【答案】 594.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图233所示.图233将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E (X )及方差D (X ).【解】(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个.”因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P(X＝0)＝C03(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝C13·0.6(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝C23·0.62(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝C33·0.63＝0.216，则X的分布列为因为X～B(3,0.6)方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.。

高中数学 2.3.2离散型随机变量的方差教案新人教版选修2-3

§2．3．2离散型随机变量的方差教学目标：知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。

过程与方法：了解方差公式“D (a ξ+b )=a 2D ξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则D ξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差。

情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。

教学重点：离散型随机变量的方差、标准差教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题授课类型：新授课课时安排：1课时教学过程：一、复习引入：1. 期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)(2.若ξ B （n,p ），则E ξ=np二、讲解新课： 1. 方差:对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望．2. 标准差:ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．3.方差的性质：（1）ξξD a b a D 2)(=+；（2）22)(ξξξE E D -=；（3）若ξ～B (n ，p )，则=ξD np (1-p )三、讲解范例：例1．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.解：抛掷散子所得点数X 的分布列为从而111111123456 3.5666666EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=;2222221111(1 3.5)(2 3.5)(3 3.5)(4 3.5)666611(5 3.5)(6 3.5) 2.9266DX =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯≈1.71X σ=.例2根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得EX 1 = 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1 = 1400 ,DX 1 = (1200-1400) 2 ×0. 4 + (1400-1400 ) 2×0.3+ (1600 -1400 )2×0.2+(1800-1400) 2×0. 1 = 40 000 ;EX 2＝1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 ,DX 2 = (1000-1400)2×0. 4+(1 400-1400)×0.3 + (1800-1400)2×0.2 + (2200-1400 )2×0.l = 160000 .因为EX 1 =EX 2, DX 1<DX 2，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．例3．设随机变量ξ的分布列为求D ξ解：（略）12n E ξ+=, 2D 12ξ=例4．已知离散型随机变量1ξ的概率分布为离散型随机变量2ξ的概率分布为求这两个随机变量期望、均方差与标准差解：47177127111=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ； 471)47(71)42(71)41(2221=⨯-+⋅⋅⋅+⨯-+⨯-=ξD ；11==ξσξD4713.4718.3717.32=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ；2ξD =0.04, 2.022==ξσξD .四、课堂练习：1 .已知()~,,8, 1.6B n p E D ξξξ==，则,n p 的值分别是（）A ．1000.08和；B ．200.4和；C ．100.2和；D ．100.8和答案：1.D2. 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．五、小结：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：⑵对于两个随机变量1ξ和2ξ，在1ξE 和2ξE 相等或很接近时，比较1ξD 和2ξD ，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要六、课后作业：同步试卷七、板书设计（略）八、教学反思：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤⑵对于两个随机变量1ξ和2ξ，在1ξE 和2ξE 相等或很接近时，比较1ξD 和2ξD ，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要。

高中数学 2.3.2离散型随机变量的方差教案新人教B版选修2-3

2．3．2离散型随机变量的方差一、教学目标：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。

二、课前预习：1 方差的概念：设在一组数据1x ，2x ，…，n x 中，各数据与它们的平均值x 得差的平方分别是21)(x x -，22)(x x -，…，2)(x x n -，那么=2S _____________________________________叫做这组数据的方差 2 对于离散型随机变量X ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,_______________________________________称为离散型随机变量X 的方差，式中的__________是随机变量X 的期望． 3 标准差:)(X D 的算术平方根)(X D 叫做随机变量X 的___________. 4 假设离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，那么___________________________。

三、例题分析例1 甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下：例2 某离散型随机变量X 服从下面的二项分布：k k kC k X P -==449.01.0)((4,3,2,1,0=k )，求E(X)和 D(X).例3离散型随机变量1ξ的概率分布为离散型随机变量2ξ的概率分布为X服从的分布列为,且0<p<1,q=1-p,求D(X).四、课堂练习1有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ2 设离散型随机变量X的分布列为,求D(X).3从装有3个白球和2个黑球的布袋中摸取一球，有放回的摸取5次，求摸得的白球数X的数学期望与方差。

4五、课堂小结。

[推荐学习]高中数学 2.3.2 离散型随机变量的方差教案理新人教B版选修2-3

[k12]最新K122.3.2 离散型随机变量的方差【教学目标】①理解取有限值的离散型随机变量的方差、标准差的概念和意义，会求离散型随机变量的方差、标准差；②会用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题.【教学重点】应用离散型随机变量的方差、标准差解决实际问题【教学难点】对离散型随机变量的方差、标准差的理解一、课前预习 1.离散型随机变量的方差：设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，⋅⋅⋅，n p ，则_________________________________)(=X D 叫做这个离散型随机变量X 的方差.离散型随机变量的方差反映了：______________________________________________________ 2.离散型随机变量的标准差：_____________________________离散型随机变量的标准差反映了_______________________________________________________. 3.若随机变量X 服从参数为p 的二点分布，则___________)(=X D4.若随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，___________)(=X D二、课上学习[k12]最新K12例1、甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布如下：射手甲：射手乙：谁的射击水平比较稳定？例2、若X 的分布列为另一随机变量32-=X Y ，求).(),(Y D X D三、课后练习1.如果随机变量X服从二项分布),2.0,100(~B X 那么.______)34(_____,)(=+=X D X D2.甲、乙两个野生的动物保护区有相同的自然环境，且野生动物种类和数量也大致相同.两个保护区每个季度发现违反保护条例的时间事件次数的分布列分别为：甲保护区：乙保护区：试评定这两个保护区的管理水平.。

高中数学 2.3.2 离散型随机变量的方差教案理新人教B版选修2 3 教案

2.3.2 离散型随机变量的方差【教学目标】①理解取有限值的离散型随机变量的方差、标准差的概念和意义，会求离散型随机变量的方差、标准差；②会用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题.【教学重点】应用离散型随机变量的方差、标准差解决实际问题【教学难点】对离散型随机变量的方差、标准差的理解一、课前预习1.离散型随机变量的方差：设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，⋅⋅⋅，n p ，则_________________________________)(=X D 叫做这个离散型随机变量X 的方差. 离散型随机变量的方差反映了：______________________________________________________2.离散型随机变量的标准差：_____________________________离散型随机变量的标准差反映了_______________________________________________________.3.若随机变量X 服从参数为p 的二点分布，则___________)(=X D4.若随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，___________)(=X D 二、课上学习例1、甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布如下：射手甲：射手乙：谁的射击水平比较稳定？例2、若X 的分布列为另一随机变量32-=X Y，求).(),(Y D X D 三、课后练习1.如果随机变量X 服从二项分布),2.0,100(~B X 那么.______)34(_____,)(=+=X D X D2.甲、乙两个野生的动物保护区有相同的自然环境，且野生动物种类和数量也大致相同.两个保护区每个季度发现违反保护条例的时间事件次数的分布列分别为：甲保护区：乙保护区：试评定这两个保护区的管理水平.。

人教A版选修2-3 2.3.2 离散型随机变量的方差学案

2．3.2离散型随机变量的方差问题导学预习教材P64～P67的内容，并思考下列问题： 1．离散型随机变量的方差、标准差的定义是什么？ 2．方差有哪些性质？3．两点分布与二项分布的方差分别是什么？1．方差、标准差的定义及方差的性质 (1)方差及标准差的定义：设离散型随机变量X 的分布列为①方差D (X )＝∑ni ＝1(x i －E (X ))2p i ．(2)方差的性质：D (aX ＋b )＝a 2D (X )．■名师点拨(1)对随机变量X 的方差、标准差的五点说明①随机变量X 的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的．②随机变量X 的方差和标准差都反映了随机变量X 的取值的稳定性和波动、集中与离散程度．③标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更为广泛． ④D (X )越小，随机变量X 的取值越稳定，波动越小．⑤方差也可以用公式D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2计算(可由D (X )＝∑ni ＝1 (x i －E (X ))2p i 展开得到)． (2)对方差性质的四点说明①当a ＝0时，D (b )＝0，即常数的方差等于0.②当a ＝1时，D (X ＋b )＝D (X )，即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身．③当b ＝0时，D (aX )＝a 2D (X )，即随机变量与常数之积的方差，等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积．④当a ，b 均为非零常数时，随机变量η＝aX ＋b 的方差D (η)＝D (aX ＋b )＝a 2D (X )． 2．两个常见分布的方差(1)若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )． (2)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．( ) (2)若a 是常数，则D (a )＝0.( )(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√已知X 的分布列为则D (X )的值为( ) A ．2912B ．121144C ．179144D ．1712答案：C设随机变量X ～B (n ，p )，且E (X )＝1.6，D (X )＝1.28，则( )A ．n ＝8，p ＝0.2B ．n ＝4，p ＝0.4C ．n ＝5，p ＝0.32D ．n ＝7，p ＝0.45解析：选A ．由已知有⎩⎪⎨⎪⎧np ＝1.6，np （1－p ）＝1.28，解得n ＝8，p ＝0.2.已知X 的分布列为设Y ＝2X ＋3，则D (Y )＝答案：83求离散型随机变量的方差已知X的分布列如下：(1)求X 2的分布列； (2)计算X 的方差；(3)若Y ＝4X ＋3，求Y 的均值和方差.【解】 (1)由分布列的性质，知12＋14＋a ＝1，故a ＝14，从而X 2的分布列为(2)法一：由(1)知a ＝14，所以X 的均值E (X )＝(－1)×12＋0×14＋1×14＝－14.故X 的方差D (X )＝(－1＋14)2×12＋(0＋14)2×14＋(1＋14)2×14＝1116.法二：由(1)知a ＝14，所以X 的均值E (X )＝(－1)×12＋0×14＋1×14＝－14，X 2的均值E (X 2)＝0×14＋1×34＝34，所以X 的方差D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2＝1116.(3)因为Y ＝4X ＋3，所以E (Y )＝4E (X )＋3＝2，D (Y )＝42D (X )＝11.求离散型随机变量的方差的步骤(1)明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果． (2)求出随机变量取各个值的概率． (3)列出分布列．(4)利用公式E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 求出随机变量的期望E (X )． (5)代入公式D (X )＝(x 1－E (X ))2p 1＋(x 2－E (X ))2p 2＋…＋(x i －E (X ))2·p i ＋…＋(x n －E (X ))2p n求出方差D (X )．(6)代入公式σ(X )＝D （X ）求出随机变量的标准差σ.1．已知随机变量ξ的分布列为若E (ξ)＝158，则D (ξ)等于( )A ．3364B ．5564C ．732D ．932解析：选B ．由分布列的性质得x ＋y ＝0.5，又E (ξ)＝158，所以2x ＋3y ＝118，解得x ＝18，y ＝38.所以D (ξ)＝(1－158)2×12＋(2－158)2×18＋(3－158)2×38＝5564. 2．(2018·高考浙江卷)设0<p <1，随机变量ξ的分布列是则当p 在(0，1)内增大时，A ．D (ξ)减小 B ．D (ξ)增大C ．D (ξ)先减小后增大D ．D (ξ)先增大后减小解析：选D ．由题可得E (ξ)＝12＋p ，所以D (ξ)＝－p 2＋p ＋14＝－⎝⎛⎭⎫p －122＋12，所以当p在(0，1)内增大时，D (ξ)先增大后减小．故选D ．两点分布与二项分布的方差一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是13.(1)求这位司机遇到红灯数ξ的期望与方差；(2)若遇上红灯，则需等待30 s ，求司机总共等待时间η的期望与方差．【解】 (1)易知司机遇上红灯次数ξ服从二项分布，且ξ～B (6，13)，故E (ξ)＝6×13＝2，D (ξ)＝6×13×(1－13)＝43.(2)由已知η＝30ξ，故E (η)＝30E (ξ)＝60，D (η)＝900D (ξ)＝1 200.正确认识二项分布及其在解题中的应用(1)在解决有关均值和方差问题时，要认真审题，如果题目中离散型随机变量符合二项分布，就应直接利用二项分布求期望和方差，以简化问题的解答过程．(2)对于二项分布公式E(X)＝np和D(X)＝np(1－p)要熟练掌握．1．(2018·高考全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p, 各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX＝2.4，P(X＝4)＜P(X ＝6)，则p＝()A．0.7 B．0.6C．0.4 D．0.3解析：选B．由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所以DX＝10p(1－p)＝2.4，所以p＝0.6或p＝0.4.由P(X＝4)＜P(X＝6)，得C410p4(1－p)6＜C610p6(1－p)4，即(1－p)2＜p2，所以p＞0.5，所以p＝0.6.2．抛掷一枚质地均匀的骰子，用X 表示掷出偶数点的次数． (1)若抛掷1次，求E (X )和D (X )； (2)若抛掷10次，求E (X )和D (X )．解：(1)X 服从两点分布所以E (X )＝p ＝12，D (X )＝p (1－p )＝12×⎝⎛⎭⎫1－12＝14. (2)由题意知X ～B ⎝⎛⎭⎫10，12，所以E (X )＝np ＝10×12＝5，D (X )＝np (1－p )＝10×12×⎝⎛⎭⎫1－12＝52.方差的实际应用甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X与Y，且X，Y的分布列如下：(1)求a，b的值；(2)计算X，Y的期望与方差，并以此分析甲、乙的技术状况．【解】(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a＋0.1＋0.6＝1，得a＝0.3.同理0.3＋b＋0.3＝1，得b＝0.4.(2)E(X)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E(Y)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，D(X)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，D(Y)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.由于E(X)＞E(Y)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D(X)＞D(Y)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势．利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤(1)比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．(2)在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．(3)下结论：依据均值和方差的几何意义做出结论．最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万元钱进行投资理财，提出了三种方案．第一种方案：李师傅的儿子认为：根据股市收益大的特点，应该将10万元全部用来买股票．据分析预测：投资股市一年后可以获利40%，也可能亏损20%(只有这两种可能)，且获利的概率为12；第二种方案：李师傅认为：现在股市风险大，基金风险较小，应将10万元全部用来买基金．据分析预测：投资基金一年后可能获利20%，可能损失10%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，15，15；第三种方案：李师傅的妻子认为：投资股市、基金均有风险，应该将10万元全部存入银行一年，现在存款年利率为3%.针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方案，并说明理由．解：若按方案一执行，设收益为ξ万元，则其分布列为ξ的数学期望E (ξ)＝4×12＋(－2)×12＝1.若按方案二执行，设收益为η万元，则其分布列为：η的数学期望E (η)＝2×35＋0×15＋(－1)×15＝1.若按方案三执行，收益y ＝10×3%＝0.3，因此E (ξ)＝E (η)＞y . 又D (ξ)＝(4－1)2×12＋(－2－1)2×12＝9，D (η)＝(2－1)2×35＋(0－1)2×15＋(－1－1)2×15＝85.由以上可知D (ξ)＞D (η)．这说明虽然方案一、二收益均相等，但方案二更稳妥．所以建议李师傅家选择方案二投资较为合理．1．已知随机变量ξ满足P (ξ＝1)＝0.3，P (ξ＝2)＝0.7，则E (ξ)和D (ξ)的值分别为( ) A ．0.6和0.7B ．1.7和0.09C ．0.3和0.7D ．1.7和0.21解析：选D ．E (ξ)＝1×0.3＋2×0.7＝1.7，D (ξ)＝(1－1.7)2×0.3＋(2－1.7)2×0.7＝0.21. 2．已知某离散型随机变量X 服从的分布列如下表所示，则随机变量X 的方差D (X )等于( )A ．19B ．29C ．13D ．23解析：选B ．由题意可知m ＋2m ＝1，所以m ＝13，所以E (X )＝0×13＋1×23＝23，所以D (X )＝⎝⎛⎭⎫0－232×13＋⎝⎛⎭⎫1－232×23＝29. 3．已知A 1，A 2为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为12，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同学通过高校的个数为随机变量X ，则D (X )＝________.解析：因为X 的取值为0，1， P (X ＝0)＝12×12＝14，P (X ＝1)＝12＋12×12＝34，所以E (X )＝0×14＋1×34＝34，D (X )＝916×14＋116×34＝316.答案：3164．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．求ξ的分布列、均值和方差．解：由题意得，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4， P (ξ＝0)＝1020＝12，P (ξ＝1)＝120，P (ξ＝2)＝220＝110，P (ξ＝3)＝320，P (ξ＝4)＝420＝15.故ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5，D (ξ)＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75. [A 基础达标]1．设一随机试验的结果只有A 和A —，且P (A )＝m ，令随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生，0，A 不发生，则ξ的方差D (ξ)等于( )A ．mB ．2m (1－m )C ．m (m －1)D ．m (1－m )解析：选D ．随机变量ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×(1－m )＋1×m 所以D (ξ)＝(0－m )2×(1－m )＋(1－m )2×m ＝m (1－m )． 2．随机变量ξ的分布列如表，且E (ξ)＝1.1，则D (ξ)＝( )A ．0.36 C ．0.49D ．0.68解析：选C ．先由随机变量分布列的性质求得p ＝12.由E (ξ)＝0×15＋1×12＋310x ＝1.1，得x ＝2，所以D (ξ)＝(0－1.1)2×15＋(1－1.1)2×12＋(2－1.1)2×310＝0.49.3．设ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k 5(13)k (23)5－k(k ＝0，1，2，3，4，5)，则D (3ξ)＝( ) A ．10 B ．30 C ．15D ．5解析：选A ．由ξ的分布列知ξ～B (5，13)，所以D (ξ)＝5×13×(1－13)＝109，所以D (3ξ)＝9D (ξ)＝10.4．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X 的均值与方差分别为( )A ．E (X )＝0，D (X )＝1B ．E (X )＝12，D (X )＝12C ．E (X )＝0，D (X )＝12D ．E (X )＝12，D (X )＝1解析：选A ．由题意知，随机变量X 的分布列为所以E (X )＝(－1)×12＋1×12＝0，D (X )＝12×(－1－0)2＋12×(1－0)2＝1.5．已知随机变量ξi 满足P (ξi ＝1)＝p i ，P (ξi ＝0)＝1－p i ，i ＝1，2.若0<p 1<p 2<12，则( )A ．E (ξ1)<E (ξ2)，D (ξ1)<D (ξ2)B ．E (ξ1)<E (ξ2)，D (ξ1)>D (ξ2)C ．E (ξ1)>E (ξ2)，D (ξ1)<D (ξ2) D ．E (ξ1)>E (ξ2)，D (ξ1)>D (ξ2)解析：选A ．根据已知得ξi (i ＝1，2)服从两点分布，由两点分布的均值和方差知E (ξi )＝p i ，D (ξi )＝p i (1－p i )，因为0<p 1<p 2<12，所以E (ξ1)＝p 1<p 2＝E (ξ2)，D (ξ1)－D (ξ2)＝p 1－p 21－(p 2－p 22)＝(p 1－p 2)[1－(p 1＋p 2)]，已知p 1<p 2，p 1＋p 2<1，所以D (ξ1)－D (ξ2)<0，即D (ξ1)<D (ξ2)． 6．牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病的牛的头数为ξ，则D (ξ)等于________．解析：因为ξ～B (10，0.02)，所以D (ξ)＝10×0.02×(1－0.02)＝0.196. 答案：0.1967．已知离散型随机变量X 的分布列如下表，若E (X )＝0，D (X )＝1，则a ＝________，b ＝________.解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1112，－a ＋c ＋16＝0，a ＋c ＋13＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝512，b ＝14，c ＝14，答案：512 148．抛掷一枚均匀硬币n (3≤n ≤8)次，正面向上的次数ξ服从二项分布B ⎝⎛⎭⎫n ，12，若P (ξ＝1)＝332，则方差D (ξ)＝________.解析：因为3≤n ≤8，ξ服从二项分布B (n ，12)，且P (ξ＝1)＝332，所以C 1n ·(12)n ＝332，即n (12)n ＝664，解得n ＝6.所以方差D (ξ)＝np (1－p )＝6×12×(1－12)＝32.答案：329．数字1，2，3，4，5任意排成一列，如果数字k 恰好在第k 个位置上，则称有一个巧合．(1)求巧合数ξ的分布列； (2)求巧合数ξ的期望与方差．解：(1)ξ可能取值为0，1，2，3，5，P (ξ＝0)＝44A 55＝44100，P (ξ＝1)＝C 15×9A 55＝45120，P (ξ＝2)＝C 25×2A 55＝20120，P (ξ＝3)＝C 35A 55＝10120，P (ξ＝5)＝1120.巧合数ξ的分布列为(2)E (ξ)＝0×44120＋1×45120＋2×20120＋3×10120＋5×1120＝1，D (ξ)＝1×44120＋0＋1×20120＋4×10120＋16×1120＝1.10．甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为13，34.在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求ξ的分布列、期望和方差．解：乙投篮的次数ξ的取值为0，1，2. P (ξ＝0)＝13×13＝19；P (ξ＝1)＝13×23＋23×14＝718.P (ξ＝2)＝23×34＝12.故ξ的分布列为E (ξ)＝0×19＋1×718＋2×12＝2518，D (ξ)＝(0－2518)2×19＋(1－2518)2×718＋(2－2518)2×12＝149324.[B 能力提升]11．甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a ，a ，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．解：(1)依题意0.5＋3a ＋a ＋0.1＝1，解得a ＝0.1，因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2. 所以ξ，η的分布列分别为(2)结合第一问中ξ，ηE (ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2， E (η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7，D (ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96， D (η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21，由于E (ξ)>E (η)，说明甲平均射中的环数比乙高；又D (ξ)<D (η)，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定，所以甲的技术比乙好． 12．某学校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生开展背诵古诗词比赛，随机抽取题目，背诵正确加10分，背诵错误减10分，只有“正确”和“错误”两种结果，其中某班级背诵正确的概率为p ＝23，背诵错误的概率为q ＝13，现记“该班级完成n 首背诵后总得分为S n ”．(1)求S 6＝20且S i ≥0(i ＝1，2，3)的概率；(2)记X ＝|S 5|，求X 的数学期望及方差(保留小数点后两位有效数字)．解：(1)当S 6＝20时，即背诵6首后，4首正确，2首错误，若第1首和第2首背诵正确，则其余4首可任意背诵2首正确；若第1首背诵正确，第2首背诵错误，第3首背诵正确，其余3首可任意背诵2首正确，故所求的概率P ＝(23)2×C 24×(23)2×(13)2＋23×13×23×C 23×(23)2×13＝1681. (2)因为X ＝|S 5|的取值为10，30，50.又p ＝23，q ＝12，所以P (X ＝10)＝C 35×(23)3×(13)2＋C 25×(23)2×(13)3＝4081， P (X ＝30)＝C 45×(23)4×13＋C 15×23×(13)4＝3081， P (X ＝50)＝C 55(23)5＋C 05(13)5＝1181. 所以X 的分布列为所以E (X )＝10×4081＋30×3081＋50×1181＝1 85081≈22.84，D (X )＝4081×(10－1 85081)2＋3081×(30－1 85081)2＋1181×(50－1 85081)2≈200.58.13．(选做题)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如下表：0.3，0.7，0.9，求：(1)工期延误天数Y 的均值与方差；(2)在降水量至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．解：(1)由已知条件有P (X <300)＝0.3，P (300≤X <700)＝P (X <700)－P (X <300)＝0.7－0.3＝0.4， P (700≤X <900)＝P (X <900)－P (X <700)＝0.9－0.7＝0.2. P (X ≥900)＝1－P (X <900)＝1－0.9＝0.1. 所以Y 的分布列为于是，E (Y )＝0×0.3＋D (Y )＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8. 故工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，得P (X ≥300)＝1－P (X <300)＝0.7，又P (300≤X <900)＝P (X <900)－P (X <300)＝0.9－0.3＝0.6. 由条件概率，得P (Y ≤6|X ≥300)＝P (X <900|X ≥300)＝P （300≤X <900）P （X ≥300）＝0.60.7＝67. 故在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.离散型随机变量的均值与方差(强化练)1．某中学选派40名学生参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训，他们参加培训的次数统计如表所示：(1)从这40的概率；(2)从这40名学生中任选2名，用X 表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列及数学期望E (X )．解：(1)这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率P ＝1－C 15C 115C 120C 340＝419494. (2)由题意知X ＝0，1，2，P (X ＝0)＝C 25＋C 215＋C 220C 240＝61156， P (X ＝1)＝C 15C 115＋C 115C 120C 240＝2552， P (X ＝2)＝C 15C 120C 240＝539，则随机变量X 的分布列为所以X 的数学期望E (X )＝0×61156＋1×2552＋2×539＝115156.2．为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n 株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E (ξ)＝3，标准差D （ξ）＝62. (1)求n ，p 的值并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．解：因为每一株沙柳成活率均为p ，种植了n 株沙柳，相当于做n 次独立重复试验，因此ξ服从二项分布ξ～B (n ，p )．(1)由E (ξ)＝np ＝3，D (ξ)＝np (1－p )＝32，得1－p ＝12，从而n ＝6，p ＝12.ξ的分布列为：(2)记“得P (A )＝1＋6＋15＋2064＝2132.3．某公司春节联欢会中设一抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样，号码分别为1，2，3，…，10的十个小球．活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖，奖金30元；三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金．求：(1)员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与期望；(2)员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？解：(1)由题意知，甲抽一次奖，基本事件总数是C 310＝120，设甲抽奖一次所得奖金为ξ，则奖金ξ的可能取值是0，30，60，240，所以P (ξ＝240)＝1120，P (ξ＝60)＝8120＝115，P (ξ＝30)＝7×2＋6×7120＝715，P (ξ＝0)＝1－1120－115－715＝1124.所以ξ的分布列是所以E (ξ)＝30×715＋60×115＋240×1120＝20.(2)由(1)可得，乙一次抽奖中奖的概率是1－1124＝1324，四次抽奖是相互独立的，所以中奖次数服从二项分布η～B ⎝⎛⎭⎫4，1324，所以D (η)＝4×1324×1124＝143144.4．为了丰富学生的课余生活，促进校园文化建设，我校高二年级通过预赛选出了6个班(含甲、乙)进行经典美文诵读比赛决赛．决赛通过随机抽签方式决定出场顺序．求：(1)甲、乙两班恰好在前两位出场的概率；(2)决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X ，求X 的均值和方差．解：(1)设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件A ，则P (A )＝A 22×A 44A 66＝115.所以甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为115.(2)随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4.P (X ＝0)＝A 22×A 55A 66＝13，P (X ＝1)＝4×A 22×A 44A 66＝415， P (X ＝2)＝A 24×A 22×A 33A 66＝15，P (X ＝3)＝A 34×A 22×A 22A 66＝215， P (X ＝4)＝A 44×A 22A 66＝115.随机变量X 的分布列为因此，E (X )＝0×13＋1×415＋2×15＋3×215＋4×115＝43.D (X )＝13⎝⎛⎭⎫0－432＋415⎝⎛⎭⎫1－432＋15⎝⎛⎭⎫2－432＋215⎝⎛⎭⎫3－432＋115⎝⎛⎭⎫4－432＝149.5．现有如下投资方案，一年后投资盈亏的情况如下；投资股市(1)们中至少有一人获利的概率大于45，求p 的取值范围；(2)丙要将家中闲置的20万元钱进行投资，决定在“投资股市”“购买基金”这两种方案中选择一种，已知p ＝12，那么丙选择哪种投资方案，才能使一年后投资收益的均值较大？给出结果并说明理由．解：(1)记事件A 为“甲投资股市且获利”，事件B 为“乙购买基金且获利”，事件C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，则C ＝A B —∪A —B ∪AB ，且A ，B 相互独立．由题表可知，P (A )＝12，P (B )＝p .所以P (C )＝P (A B —)＋P (A —B )＋P (AB )＝12×(1－p )＋12p ＋12p ＝12＋12p >45，解得p >35.又因为p ＋13＋q ＝1，q ≥0，所以p ≤23.所以p 的取值范围是⎝⎛⎦⎤35，23.(2)假设丙选择“投资股市”方案进行投资，且记X 为丙投资股市的获利金额(单位：万元)，所以随机变量X 的分布列为则E (X )＝8×12＋0×18＋(－4)×38＝52.假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y 为丙购买基金的获利金额(单位：万元)，所以随机变量Y 的分布列为则E (Y )＝4×12＋0×13＋(－2)×16＝53.因为E (X )>E (Y )，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的均值较大． 6．某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费．(1)求某户居民用电费用y (单位：元)关于月用电量x (单位：度)的函数解析式； (2)为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，求a ，b 的值；(3)在满足(2)的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记Y 为该居民用户1月份的用电费用，求Y 的分布列和数学期望．解：(1)当0≤x ≤200时，y ＝0.5x ；当200<x ≤400时，y ＝0.5×200＋0.8×(x －200)＝0.8x －60，当x >400时，y ＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x －400)＝x －140，所以y 与x 之间的函数解析式为： y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0≤x ≤200，0.8x －60，200<x ≤400，x －140，x >400.(2)由(1)可知，当y ＝260时，x ＝400，则P (x ≤400)＝0.80，结合频率分布直方图可知⎩⎪⎨⎪⎧0.1＋2×100b ＋0.3＝0.8，100a ＋0.05＝0.2，所以a ＝0.001 5，b ＝0.002 0.(3)由题意可知x 可取50，150，250，350，450，550. 当x ＝50时，Y ＝0.5×50＝25，所以P (Y ＝25)＝0.1，当x ＝150时，Y ＝0.5×150＝75，所以P (Y ＝75)＝0.2，当x ＝250时，Y ＝0.5×200＋0.8×50＝140，所以P (Y ＝140)＝0.3，当x ＝350时，Y ＝0.5×200＋0.8×150＝220，所以P (Y ＝220)＝0.2，当x ＝450时，Y ＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×50＝310，所以P (Y ＝310)＝0.15，当x ＝550时，Y ＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×150＝410，所以P (Y ＝410)＝0.05，故Y 的概率分布列为：所以随机变量E (Y )＝25×0.1＋75×0.2＋140×0.3＋220×0.2＋310×0.15＋410×0.05＝170.5.。

【数学】2.3.2《离散型随机变量的方差》教案(新人教A版选修2-3)

知识改变命运，学习成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚邮箱：zxjkw@第 1 页共 8 页2．3．2离散型随机变量的方差教学目标：知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。

过程与方法：了解方差公式“D (a ξ+b )=a 2D ξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则D ξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差。

情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美,体现数学的文化功能与人文价值。

教学重点：离散型随机变量的方差、标准差教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题教具准备：多媒体、实物投影仪。

教学设想：了解方差公式“D (a ξ+b )=a 2D ξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则D ξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差。

授课类型：新授课课时安排：2课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值．今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究．其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据1x ，2x ，,，n x 中，各数据与它们的平均值x得差的平方分别是21)(x x ，22)(x x ，,，2)(x x n，那么[12nS21)(x x ＋22)(x x ＋,＋])(2x x n叫做这组数据的方差教学过程：一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出5.分布列:ξx 1x 2,x i ,PP 1P 2,P i,6. 分布列的两个性质：⑴P i ≥0，i ＝1，2，,；⑵P 1+P 2+,=1．。

高中数学选修2-3学案：2.3.2离散型随机变量的方差

2．3．2离散型随机变量的方差【学习目标】 1了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差；2.了解方差公式“2()()D aX b a D X +=”， “若X ~(,)B n p ，则()(1)DX n p p =-”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差.【自主学习】1.什么是离散型随机变量的方差、标准差？2.求离散型随机变量X 的方差、标准差的步骤是什么？3.如何比较两个随机变量的期望与方差的大小？4.离散型随机变量方差的性质是什么？5. 怎样定量刻画随机变量的稳定性呢?6.能否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量的稳定性呢?【自主检测】 1.若随机变量X 满足随机变量()1,=P X c ==其中c 为常数，则D(X) 2.随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数X 的均值、方差和标准差抛掷骰子所得点数X 的分布列为()E X = ()D X = ()X σ=3．甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4,0.2,0.4用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平____________.【典型例题】例1.有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息: 甲单位不同职位月工资X 1/元 1200 1400 1600 1800获得相应职位的概率P 10.4 0.3 0.2 0.1乙单位不同职位月工资X 2/元 1000 1400 1800 2000获得相应职位的概率P 2 0.4 0.3 0.2 0.1根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位?例2.设事件A 发生的概率为p ，证明事件A 在一次试验中发生次数ξ的方差不超过1/4【课堂检测】1 .已知()~,,()8,()1.6B n p E D ξξξ==，则,n p 的值分别是（）A ．100；0. 08B ．20；0.4C ．100；0. 2D ．10；0. 82. 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．则在取得正品之前已取出次品数的期望为3．若随机变量X 满足随机变量()1,P X c ==其中c 为常数，则D(X)=______.【总结提升】1、了解离散型随机变量的方差、标准差的意义；2、离散型随机变量方差的性质3．利用随机变量的期望与方差的意义大小解决实际问题ξ 1 2 3 p a 0.1 0.6。

高中数学2.3.2离散型随机变量的方差学案新人教A版选修2_3

【金版学案】2015-2016学年高中数学 2.3.2离散型随机变量的方差学案新人教A 版选修2-3基础梳理1．方差及标准差的定义设离散型随机变量X 的分布列为：X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2… p i… p n(1)方差D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2·p 2．(2)标准差为D （X ）．☞想一想：已知ξ的分布列为：ξ－1 0 1 P0.50.30.2则D (ξ)＝________．解析：E (ξ)＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，D (ξ)＝(－1＋0.3)2×0.5＋(0＋0.3)2×0.3＋(1＋0.3)2×0.2＝0.61. 答案：0.61 2．方差的性质D (aX ＋b )＝a 2D (X )． 3．两个常见分布的方差(1)若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )． (2)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )．☞想一想：若随机变量ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，则D (ξ)＝______．解析：因为随机变量ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，所以D (ξ)＝5×12×12＝54.答案：54自测自评1．下面关于离散型随机变量的数学期望与方差的叙述不正确的是(C )A ．数学期望反映随机变量取值的平均水平，方差反映随机变量取值的集中与离散的程度B ．离散型随机变量的数学期望与方差都是一个数值，它们不随试验结果而变化C ．离散型随机变量的数学期望是区间[0，1]上的一个数D ．离散型随机变量的方差是非负的2．( 2013·长春高二检测)已知X ～B (n ，p )，E (X )＝2，D (X )＝1.6，则n ，p 的值分别为(C )A ．100，0.8B ．20，0.4C ．10，0.2D ．10，0.8解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧np ＝2，np （1－p ）＝1.6，解得p ＝0.2，n ＝10，故选C.3．设掷一枚骰子的点数为X ，则(B )A ．E (X )＝3.5，D (X )＝3.52B ．E (X )＝3.5，D (X )＝3512C ．E (X )＝3.5，D (X )＝3.5 D ．E (X )＝3.5，D (X )＝3516用错方差公式或性质致错【典例】已知随机变量X 满足D (X )＝2，则D (3X ＋2)＝( ) A ．6 B ．8 C ．18 D ．20解析：由方差的性质得D (3X ＋2)＝9D (X )＝18.【易错剖析】易将方差性质记成D (a ξ＋b )＝aD (ξ)，错用性质，得D (3x ＋2)＝3D (x )导致选A.基础巩固1．已知随机变量ξ的分布列为：P (ξ＝k )＝13，k ＝1，2，3，则D (3ξ＋5)＝(A)A ．6B ．9C ．3D ．42．设随机变量X ～B (n ，p )，且E (X )＝1.6，D (X )＝1.28，则 (A) A ．n ＝8，p ＝0.2 B ．n ＝4，p ＝0.4 C ．n ＝5，p ＝0.32 D ．n ＝7，p ＝0.45解析：因为X ～B (n ，p )，所以E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )，从而有⎩⎪⎨⎪⎧np ＝1.6，np （1－p ）＝1.28，解之得n ＝8，p ＝0.2.3.随机变量X ～B (100，0.2)，那么D (4X ＋3)的值为(B)A ．64B ．256C ．259D ．320解析：由X ～B (100，0.2)知随机变量X 服从二项分布，且n ＝100，p ＝0.2，由公式得D (X )＝np (1－p )＝100×0.2×0.8＝16，因此D (4X ＋3)＝42D (X )＝16×16＝256，故选B.4．设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p ＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．解析：成功次数ξ～B (100，p )，所以D (ξ)＝100p (1－p )≤100×⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋1－p 22＝25，当且仅当p ＝1－p ，即p ＝12时，成功次数的标准差最大，其最大值为5.答案：12 5能力提升5．如果X 是离散型随机变量，E (X )＝6，D (X )＝0.5，X 1＝2X －5，那么E (X 1)和D (X 1)分别是(D )A ．E (X 1)＝12，D (X 1)＝1B ．E (X 1)＝7，D (X 1)＝1C ．E (X 1)＝12，D (X 1)＝2 D ．E (X 1)＝7，D (X 1)＝2解析：E (X 1)＝2E (X )－5＝12－5＝7， D (X 1)＝4D (X )＝4×0.5＝2.6．若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1<x 2.又已知E (X )＝43，D (X )＝29，则x 1＋x 2的值为(C ) A.53 B.73 C ．3 D.113解析：因为E (X )＝23x 1＋13x 2＝43，所以x 2＝4－2x 1，D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43－x 12×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫43－x 22×13＝29.因为x 1<x 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2，所以x 1＋x 2＝3.7．(2014·浙江卷)随机变量ξ的取值为0、1、2，若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________．解析：设ξ＝1的概率为P .则E (ξ)＝0×15＋1×P ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－P －15＝1，∴P ＝35. 故D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.答案：258．随机变量X 的分布列如下表：X 0 1 2Px y z其中x 、y 、z 成等差数列，若E (X )＝13，则D (X )的值是________．解析：E (X )＝0×x ＋1×y ＋2×z ＝y ＋2z ＝13，又x ＋y ＋z ＝1，且2y ＝x ＋z ，∴ x ＝23，y ＝13，z ＝0，∴ D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－132×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－132×0＝29. 答案：13 299．有A ，B 两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下：ξA110 120 125 130 135 P0.1 0.2 0.4 0.1 0.2ξB100 115 125 130 145 P0.10.20.40.10.2其中ξA ，ξB 分别表示A ，B 两种钢筋的抗拉强度，在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A ，B 两种钢筋哪一种质量较好．解析：先比较ξA 与ξB 的均值，因为E (ξA )＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125. E (ξB )＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125. 所以，它们的均值相同，再比较它们的方差．因为D (ξA )＝(110－125)2×0.1＋(120－125)2×0.2＋(125－125)2×0.4＋(130－125)2×0.1＋(135－125)2×0.2＝50，D (ξB )＝(100－125)2×0.1＋(115－125)2×0.2＋(130－125)2×0.1＋(145－125)2×0.2＝165.所以，D (ξA )<D (ξB )．因此，A 种钢筋质量较好． 10．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量/件0 1 2 3 频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商品不进货的概率；(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望．解析：(1)P (“当天商店不进货”)＝P (“当天商品销售量为0件”)＋P (“当天商品销售量为1件”)＝120＋520＝310.(2)由题意知，X 的可能取值为2，3.P (X ＝2)＝P (“当天商品销售量为1件”)＝520＝14；P (X ＝3)＝P (“当天商品销售量为0件”)＋P (“当天商品销售量为2件”)＋P (“当天商品销售量为3件”)＝120＋920＋520＝34.故X 的分布列为：X 2 3 P1434X 的数学期望为 E (X )＝2×14＋3×34＝114.。

2.3.2离散型随机变量的方差(教学设计)

2.3.2离散型随机变量的方差(教学设计)2．3．2离散型随机变量的方差（教学设计）教学目标：知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。

过程与方法：了解方差公式“D (a ξ+b )=a 2Dξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则Dξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差。

情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。

教学重点：离散型随机变量的方差、标准差.教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题.教学过程：一、复习回顾：1、.数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 ξx 1 x 2 … x n … Pp 1 p 2 … p n … 则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望．2、数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平3、平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p=2p …n p =，则有=1p =2p …n p n 1==，=ξE +1(x +2x …nx n 1)⨯+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值4、期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)(5、若ξB （n,p ）（二项分布），则E ξ=np 。

6、若X 服从两点分布，则E(X) =p二、师生互动，新课讲解：问题：要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数X 1的分布列为第二名同学击中目标靶的环数X 2的分布列为应派哪位同学参赛？画出分布列，求出它们的期望值相等。

1、方差：设离散型随机变量X 的概率分布为则：2(())i x E X -描述职x i ( i=1,2,3，……)相对于均值E(X)EX2＝1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 ,DX2= (1000-1400)2×0. 4+(1 400-1400)×0.3 + (1800-1400)2×0.2 + (2200-1400 )2×0.l= 160000 .因为EX1 =EX2, DX1<DX2，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．变式训练2（1）：有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即ξB（200，1%），从而可用公式：Eξ=np，Dξ=npq(这里q=1-p)直接进行计算解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以ξB（200，1%）Eξ=np，Dξ=npq ，这里n=200，p=1%，q=99%，所以，E ξ=200×1%=2,Dξ=200×1%×99%=1.98变式训练2（2）：设ξ～B(n 、p)且E ξ=12 D ξ=4，求n 、p解：由二次分布的期望与方差性质可知E ξ=np D ξ= np （1－p ）∴⎩⎨⎧=-=4)1(12p np np ∴⎪⎩⎪⎨⎧==3218p n课堂练习（课本P68练习NO ：1；2）三、课堂小结，巩固反思：（1）求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤： ①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出E ξ；④根据方差、标准差的定义求出ξD 、σξ.若ξ～B (n ，p )，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．（2）对于两个随机变量1ξ和2ξ，在1ξE 和2ξE 相等或很接近时，比较1ξD 和2ξD ，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要四、课时必记：1、离散型随机变量X 的方差： ()D X X 的标准差。