弹性力学及有限元基础复习权威版(最新)
弹性力学基础及有限单元法
第一章1、弹性力学的任务是什么弹性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度和刚度，并寻求或改进它们的计算方法。
2、弹性力学的基本假设是什么？为什么要采用这些假设？(1) 假设物体是连续的——物体内部由连续介质组成，物体中没有空隙，因此物体中的应力、应变、位移等量是连续的•可以用坐标的连续函数表示。
实际上，所有的物体均由分子构成，但分子的大小及分子间的距离与物体的尺寸相比是很微小的，故可以不考虑物体内的分个构造。
根据这个假设所得的结果与实验结果是符合的。
(2) 假设物体是匀质的和各向同性的一一物体内部各点与各方向上的介质相同，因此，物体各部分的物理性质是相同的。
这样，物体的弹性常数(弹性模量、泊松比)不随位置坐标和方向而变化。
钢材由微小结晶体组成，晶体本身是各向异性的、但由于晶体很微小而排列又不规则，按其材料的平均性质，可以认为钢材是各向同性的。
木材不是各向同性的。
(3) 假设物体是完全弹性的一一物体在外加因家(裁荷、温度变化等)的作用下发生变形，在外加固素去除后，物体完全恢复其原来形状而没有任何剩余变形。
同时还假定材料服从胡克定律，即应力与形变成正比。
(4) 假设物体的变形是很小的——在载荷或温度变化等的作用下，物体变形而产生的位移，与物体的尺寸相比，是很微小的。
在研究物体受力后的平衡状态时，可以不考虑物体尺寸的改变。
在研究物体的应变时，可以赂去应变的乘积，因此，在微小形变的情况下弹性理论中的微分方程将是线性的。
(5) 假设物体内无初应力一一认为物体是处于自然状态，即在载荷或温度变化等作用之前，物体内部没合应力。
也就是说，出弹性理论所求得的应力仅仅是由于载荷或温度变化等所产生的。
物体中初应力的性质及数值与物体形成的历史有关。
若物体中有韧应力存在，则由弹性理论所求得的应力加上初应力才是物体中的实际应力。
上面基本假设中•假设(4)是属于几何假设，其他假设是属于物理假设。
弹性力学总结与复习(全)
M y
O
r
rf ( )
O
x
r
x
q
x
( )
O
q(x)
r
y
r
x
r 2 f ( )
q
a a
O
y
r 3 f ( )
x
利用叠加法求解
r
y
练习：
（1） 试用边界条件确定，当图示变截面杆件受拉伸时， 在靠杆边的外表面处，横截面上的正应力 x , y 与剪应力 xy 间的关系。设杆的横截面形状为狭 长矩形，板厚为一个单位。
2 2
（4－11）
应力分量
r r 0
位移分量
r A B(3 2 ln r ) 2C r2
r A B(1 2 ln r ) 2C 2
（4－12）
ur 1 (1 ) A 2(1 ) Br (ln r 1) (1 3 ) Br E r 2(1 )Cr I cos K sin u 4 Br Hr I sin K cos E
x
O
2
P
y
2
r 2 A cos 2 D Br cos
x
（4） 曲梁问题
M ( ) f1 (r ) q( ) f 2 (r ) r Q( ) f 3 (r )
其中： q 为曲梁圆周边界上的分布载荷。 M， Q分别为梁截面上弯矩与剪力。 结合应力分量与应力函数的关系确定 应力函数：
（2-2）
（2）相容方程（形变协调方程）
2 X Y 2 2 2 ( x y ) (1 ) x y y x
有限元复习提纲
复习提纲1.弹性力学问题的基本假设；a.连续性假设根据这一假设，物体的所有物理量，例如位移、应变和应力等均成为物体所占空间的连续函数。
b.均匀性假设假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的，物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变化而改变。
在处理问题时，可以取出物体的任意一个小部分讨论。
c.各向同性假设假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，物体的弹性常数不随坐标方向变化。
像木材、竹子以及纤维增强材料等，属于各向异性材料，它们是复合材料力学研究的对象。
d.完全弹性假设应力和应变之间存在一一对应关系，与时间及变形历史无关。
满足胡克定理。
e.小变形假设在弹性体的平衡等问题讨论时，不考虑因变形所引起的几何尺寸变化，使用物体变形前的几何尺寸来替代变形后的尺寸。
采用这一假设，在基本方程中，略去位移、应变和应力分量的高阶小量，使基本方程成为线性的偏微分方程组。
2.有限元法的基本思想；有限元法的基本思想是：把连续的几何结构离散成有限个单元，并在每一个单元中设定有限个节点，从而将连续体看作仅在节点处相连接的一组单元的集合体，同时选定场函数的节点值作为基本未知量，并在每一单元中假设一个近似插值函数以表示单元中场函数的分布规律，再建立用于求解节点未知量的有限元方程组，从而将一个连续域中的无限自由度问题转化为离散域中的有限自由度问题，求解得到节点值后就可以通过设定的插值函数确定单元上以至整个集合体上的场函数。
3.有限元分析的基本步骤；一般完整的有限元程序包含前置处理、解题程序和后置处理。
前置处理：（1）建立有限元素模型；（2）材料特性；（3）元素切割的产生；（4）边界条件；（5）负载条件。
解题程序:（1）元素刚度矩阵计算；（2）系统外力向量的组合；（3）线性代数方程的求解；（4）通过资料反算法求应力、应变、反作用等。
后置处理：将解题部分所得的解答如变位、应力、反力等资料，通过图形接口以各种不同表示方式把等位移图、等应力图等显示出来。
弹性力学及有限单元法复习提纲
位移模式与收敛性条件 形函数及其性质 有限元支配方程的建立 荷载列阵：单元到整体 劲度矩阵：单元到整体
简单问题的有限元具体计算
计算结果的整理与分析 网格剖分的注意事项
3
1、应力、应变、位移等概念； 2、弹性力学的基本假定，在那些地方用到； 3、弹性力学基本方程，平衡方程、几何方程、物理方 程、相容方程，及其推导； 4、应力边界条件、圣维南原理的应用； 5、按位移求解的方法及推演； 6、按应力求解的方法及推演； 7、逆解法和半逆解法的求解思路； 8、常体力情况的解法，应力函数； 9、能用给定应力函数或自行假定应力函数求解具体弹 性力学问题； 10、掌握典型解答并能灵活运用，如简支梁纯弯曲、简 支梁受匀布荷载、半无限体表面受集中力、圆孔应力 集中解答；
弹性力学与有限元完整版
Z面 X面
•②应力符号意义
•正应力： 由法线方向确定
x、 y、 z
•剪应力： xy
作用面
作用方向
•符号规定：
正面上与坐标轴正向一致，为正；
负面上与坐标轴负向一致，为正。
正面 负面
Z面
X面
•③剪应力互等定理
xy yx
相等
yz zy
xz zx
4. 完全弹性假设
应力和应变之间存在一一对应关系，与时间及变形历史无关。满 足胡克定理。
5. 小变形假设
在弹性体的平衡等问题讨论时，不考虑因变形所引起的几何尺寸 变化，使用物体变形前的几何尺寸来替代变形后的尺寸。采用这 一假设，在基本方程中，略去位移、应变和应力分量的高阶小量 ，使基本方程成为线性的偏微分方程组。
大小和方向不同。
体力分量：将体力沿三个坐标轴xyz 分解，用X
、Y、Z表示，称为体力分量。
符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为负
。 应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位
体积的力 。
体力的因次：[力]/[长度]^3
表示：F={X Y Z}
② 面力
与体力相似，在物体表面上任意一点P 所受面力的大小 和方向，在P点区域取微小面积元素△S ，
压力，物体之间的接触力等。
集中力——作用物体一点上的力。（在弹性力学中一
般所受体力的大小和方向，在P点区域取
一微小体积元素△V， 设△V 的体力合力为△F，则
△V 的平均体力为
当△V 趋近于0， 则为P点的体力
体力是矢量：一般情况下，物体每个点体力的
第一篇 弹性力学
第一章 弹性力学基本方程
1.1 绪论 1.2 弹性力学的基本假定 1.3 几个基本概念 1.4 弹性力学基本方程
弹性力学及有限元考试复习简答题
1、简述有限单元法常分析的问题。
答：有限单元法是一种用于连续场分析的数值模拟技术，他不仅可以对机械、建筑结构的位移场和应力场进行分析，还可以对电磁学中的电磁场、传热学中的温度场、流体力学中的流体场进行分析。
2、在有限单元法中，位移模式应满足哪些基本条件。
答：1位移函数在单元节点的值应等于节点位移（即单元内部是连续的）2所选位移函数必须保证有限元的解收敛于真实解3、简述有限单元法结构刚度矩阵的特点。
答：对称矩阵奇异矩阵稀疏矩阵具有相对独立性4、简述有限单元法中单元刚度矩阵的性质。
答：1．单元刚度矩阵是对阵矩阵2．单元刚度矩阵的主对角线元素恒为正值3．单元刚度矩阵是奇异矩阵4．单元刚度矩阵仅与本身有关5、简述有限元法中选取单元位移函数（多项式）的一般原则。
答：必须假定一个函数，所假定的位移函数必须满足两个条件：其一，它在单元节点上的值应等于节点位移；其二，由该函数出发得到的有限元解收敛于真实解。
6、要保证有限单元法计算结果的收敛性，位移函数必须满足那些条件？答：1、完备性条件：要求单元的位移函数必须能够满足刚性位移和常量应变状态2、协调性条件：要求单元的位移函数在单元内部必须是连续函数，且必须保证相邻单元间位移协调9、用有限元法分析实际工程问题有哪些基本步骤？需要注意什么问题？1）建立实际工程问题的计算模型2）选择适当的分析工具侧重考虑以下几个方面1）前处理（Preprocessing）2）求解（Solution）3）后处理（Postprocessing10、在弹性力学中根据什么分别推导出平衡微分方程、几何方程、物理方程，这三个方程分别表示什么关系？答：根据静力学、几何学和物理学三方面条件，分别推导出平衡方程、几何方程和物理方程；三组方程分别表示：应力与载荷关系、应变与位移关系、应力与应变关系。
11、什么是平面应力问题？什么是平面应变问题？分别写出平面应力问题和平面应变问题的物理方程。
答：平面应力问题是指很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。
第2章_弹性力学基础及有限元法的基本原理1
W U
当外力的形式是多样的时，外力的虚功等于：
W f Pc f Pv dV f Ps dS
T T T v s
• 1.4 平面问题定义
严格地讲，任何结构都是空间的。对于某些特殊情 况，空间问题可以转化为平面问题。
（1）平面应力问题 满足条件： 1）几何条件 厚度尺寸远远小于截面尺寸； 2）载荷条件 载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀 分布，而板平面不受任何外力作用。
1）位移函数 分片插值→ 假设一种函数来表示单元位移分布 一般选取多项式（简单而且易求导）
可用于离散的单元： • 三角形单元； • 矩形单元； • 不规则四边形单元。 DOF 节点的自由度：节点所具有的位移分量的数量。 一个单元所有节点的自由度总和称为单元自由度。 （1）单元参数只能通过节点传递到相邻单元 （2）单元和节点必须统一编号
2.2 单元分析（位移、应力、应变） 任务：形成单元刚度矩阵，建立单元特性方程 因此必须建立坐标系，如下图：
1D问题的弹性模量
E杨氏弹性模量
泊松比是指材料在单向受拉或受压时，横向正应变与轴向 正应变的绝对值的比值，也叫横向变形系数，它是反映材 料横向变形的弹性常数。 若在弹性范围内加载，横向应变εx与纵向应变εy之间存 在下列关系： εx=- νεy 式中ν为材料的一个弹性常数，称为泊松比。泊松比是 量纲为一的量。 可以这样记忆：空气的泊松比为0，45#钢0.3，水的泊松 比为0.5，中间的可以推出。
• 未知数 应力 6个+应变 6个+位移 3个=15个 • 方程个数 平衡方程 3个+几何方程6个+物理方程6个=15个 原则上可以根据15个方程求出15个未知物理量 但实际求解时先求出一部分再通过方程求解剩下的。 目前有限元法主要采用的是位移法，以三个位移 分量为基本未知量。位移-应变-应力，应力和外力平衡
弹性力学与有限元分析复习题(含答案)
分析计算题1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。
（1）By Ax x +=σ，Dy Cx y +=σ，Fy Ex xy +=τ； （2）)(22y x A x +=σ，)(22y x B y +=σ，Cxy xy =τ； 其中，A ，B ，C ，D ，E ，F 为常数。
解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂00x yy x xy y yxx τστσ；（2）在区域内的相容方程()02222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂y x y x σσ；（3）在边界上的应力边界条件()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+=+s fl m s f m l y s xy y xs yx x τστσ；（4）对于多连体的位移单值条件。
（1）此组应力分量满足相容方程。
为了满足平衡微分方程，必须A =-F ，D =-E 。
此外还应满足应力边界条件。
（2）为了满足相容方程，其系数必须满足A +B =0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A =B =-C /2。
上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。
2、已知应力分量312x C Qxy x +-=σ，2223xyC y -=σ，y x C y C xy 2332--=τ，体力不计，Q 为常数。
试利用平衡微分方程求系数C 1，C 2，C 3。
解：将所给应力分量代入平衡微分方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂00x yy xxy y yxx τστσ 得⎩⎨⎧=--=--+-023033322322212xy C xy C x C y C x C Qy 即()()()⎩⎨⎧=+=+--0230333222231xy C C y C Q x C C 由x ，y 的任意性，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-023030332231C C C Q C C 由此解得，61Q C =，32Q C -=，23QC = 3、已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。
2弹性力学及有限元法-弹性力学基础知识
2、内力与应力
第 1.内力？2.应力矢量？3.应力矢量的特点？ 二 章 符号规定： 弹 正面：单元体面的外法线与坐标轴 性 力 同向 学 基 负面：单元体面的外法线与坐标轴 础 z 反向 知 识 o
x
y
τyz
在正面上，应力分量与坐标轴同向为 正，反向为负。在负面上相反。 应力符号第一下标表示所在的平面， 第二下标表示沿坐标轴的方向。
x a 2
b
fx p fx p
a o
y
xa 2
x
y b 2 y b 2
fy p fy p
22
2、内力与应力
力的概念－举例 第 二 章 例3 已知单元体各面上的应力分量，试在单元上标出方向与数值。 弹 性 5 10 13 力 x yx zx 100 40 80 5 学 40 50 60 20 8 y zy xy 基 yz z 60 120 xz 80 10 8 50 础 知 o 识 50 x
是宏观假设，微观上这个假设不可能成立。
固体材料都是由微粒组成
工程材料内部的缺陷
4
2.1 弹性力学基本假设
第 二 章 弹 性 力 学 基 础 知 识
2. 均匀性假设
——假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。因此， 物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变化 而改变。 —— 物体的弹性性质处处都是相同的。
x y z xy yz zx
T
点的应变状态也是坐标的单值连续函数
25
5.主应力与主平面
第 二 章 弹 性 力 学 基 础 知 识
1）任意斜截面上的应力
最新弹性力学与有限元分析试题答案DOC
最新弹性力学与有限元分析复习题及其答案填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、—形变和位移。
2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。
3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。
4、物体受外力以后，其内部将发生内力^的集度称为应力。
与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应 _______________ 和切应力。
应力及其分量的量纲是L-1MT-2。
5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。
6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
7、已知一点处的应力分量匚x=100MPa，匚y=50MPa，“=10*50 MPa，则主应力"十=150MPa. '2 =QMPa，二》= 35 16。
&已知一点处的应力分量，匚x=200MPa，二y=0MPa，• x<-400 MPa，则主应力匚一512 MPa，二2二-312 MPa, ：r =-37° 57'。
9、已知一点处的应力分量，二x"2000MPa，二y =1000MPa，x^-400 MPa，则主应力G =1052MPa,二-2052 MPa,：严82° 32'。
10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。
11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。
分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。
13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。
14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。
其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。
15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。
有限元法理论基础弹力变分原理教学内容
ij
Dijkl kl
W
ij
ij
Cijkl kl
➢ 对于线弹性材料，有：
其中：
Cijkl
D1 ijkl
W W ijij2
7
有限元法理论基础
应变能和应变余能
➢ 互余关系：
W W ijij
全功
➢ 对线弹性体应变能密度和应变余能密度可分 别表示为应变和应力的二次齐函数： W 12Dijkl ijkl
W 12Cijkl ijkl
8
有限元法理论基础
虚功原理
➢ 变形体虚功原理：变形体中，任意平衡力系 在任意满足协调条件的变形状态上作的虚功 等于零。即体系外力的虚功等于内力的虚功。
➢ 虚功原理：
➢ 虚位移原理、虚应力原理
9
有限元法理论基础
虚位移原理
➢ 虚位移：变形体几何约束所允许的位移称为可 能位移，取其任意微小的变化量即是虚位移。
15
有限元法理论基础
虚应力原理
➢ 虚应力：满足平衡方程和力边界条件的应力的变分 （微小的变化）。
➢ 虚应力原理：位移边界处给定位移在虚反力上所做的 余虚功等于应变在虚应力上的余虚功：
uipidS ijijdV
➢ 按力法建立有限元方Su 程的基V本方程。
➢ 几何方程和位ij移12边(u界i,j 条u件j,i)
有限元法理论基础
虚位移原理
➢ 几何方程：
ij 12(ui,j uj,i)
➢ 将应变的变分及上述分部积分结果代入等效积 分形式，得到等效积分形式：
V ijid j VS u iT id SVu ifidV
➢ 上式右边是变形体内的应力在虚应变上所作的虚功，即 内力虚功；上式左边是外力（体力+面力）在虚位移上 所做功，即外力虚功。即内力虚功等于外力虚功。
《弹性力学与有限元》第1章弹性力学的基础知识
（五）小应变位移假设 物体在外加因素作用下，物体变形产生的位移与物体尺寸相比极其微小，因 而应变分量和转角均远小于 1。这样，在建立物体变形后的平衡方程时，可以不 考虑由于变形引起的物体尺寸和位置的变化；在建立几何方程和物理方程时，可 以略去应变、转角的二次幂或二次乘积以上的项，使得到的基本方程是线性偏微 分方程组。这个假设又称为几何线性的假设。
物体的弹性性质是客观存在的，人类很早就可以利用物体的弹性性质了，比 如在树枝上荡漾，古代的弓箭等等。
了解掌握弹性物体的客观规律，并形成弹性力学这样一门学科，则经过了三 个发展时期：
弹性力学的发展初期。17 世纪开始，主要是通过实践，尤其是通过实验来 探索弹性力学的基本规律。英国的胡克和法国的马略特于 1680 年分别独立地提 出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律，后被称为胡克定律。牛顿于 1687 年确立了力学三定律，奠定了力学的发展基础。
《弹性力学与有限元》
第 1 章 弹性力学的基础知识
第 1 章 弹性力学的基础知识
弹性力学(Elastic Mechanics)是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力 和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。它是材料力学、结 构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天 等工程领域。
材料力学的研究对象主要是杆状构件（一维弹性杆件），而且常采用一些关 于变形的近似假设，如“平面截面”的假设等等，使得计算简化。
而弹性力学的分析方法在一开始并不考虑平面截面的假设，而是从变形连续 性的观念出发列出几何方程，所谓变形连续性是指在变形前的连续物体在变形后 仍保持连续，物体的任一部分及单元体均保持连续。在保持变形连续的情况下， 平面界面变形以后可能不再保持平面，
弹性力学及有限元复习题及参考答案
《弹性力学》复习题
1. 用最小势能原理求解图示结构的结点转角，已知各杆抗弯刚度均为EI = 5.4×104 kN·m2。
2．用最小势能原理求解图示结构在均布荷载作用下的结点转角，已知抗弯刚度为EI = 5.6×104 kN·m2。
3．图示为水库大坝示意图，设其长度远大于截面尺寸，求其在静水压力作用下的应力分布。
请采用合适的弹性力学模型对其进行简化，并写出其基本方程。
4．求图示结构在所给坐标系下的整体原始刚度矩阵（各杆件抗压刚度均为EA）。
5．计算抗压刚度为EA的图示结构在引入边界条件之前的原始刚度矩阵。
6. 求图示结构引入边界条件之前的原始整体刚度矩阵和综合结点荷载列阵，设各杆抗弯刚度为EI，不考虑轴向变形和剪切影响。
7. 计算图示常应变三角形单元的单元刚度矩阵。
已知弹性模量E，厚度t，泊松比υ＝0。
弹性力学及有限单元法则复习提纲备考复习
弹性力学及有限单元法复习提纲采矿09级1.材料力学和弹性力学在所研究的内容上有哪些共同点和哪些不同点？求解问题的方法上有何主要区别？研究对象的不同：材料力学，基本上只研究杆状构件，也就是长度远远大于高度和宽度的构件。
非杆状结构则在弹性力学里研究研究方法的不同：材料力学大都引用一些关于构件的形变状态或应力分布的假定，得到的解答往往是近似的，弹性力学研究杆状结构一般不必引用那些假定，得到的结果比较精确。
2.什么是弹性，什么是塑性？弹性力学有哪几条基本假设？弹性：指物体在外力作用下发生变形，当外力撤出后变形能够恢复的性质。
塑性：指物体在外力作用下发生变形，当外力撤出后变形不能够完全恢复的性质。
基本假设：（1）连续性，（2）完全弹性，（3）均匀性，(4)各向同性，(5)假定位移和形变是微小的3.弹性力学的平衡微分方程是根据什么条件推导出来的？其物理意义是什么？由材料连续性和各向同性的假定，根据平衡条件可导出；表示区域内任一点的微分体的平衡条件。
4.为什么要引入弹性力学的几何方程？几何方程是如何推导出来的？其物理意义是什么？因为平衡微分方程有两个方程，三个未知量，这就确定了应力分量问题是超静定的，要考虑几何学和物理学的条件（边界条件）来解答；它是假定弹性体受力后，弹性体的点发生移动而推导出来的；表示弹性体受力后的线应变和切应变。
5.什么是物理方程？其表达式如何？物理意义是什么？平面应力问题的物理方程：（ (在平面应力问题中的物理方程中（将E换为，换为就得到平面应变问题的物理方程)表示理想弹性体中形变分量与应力，应变分量之间的关系6.什么是平面应力？平面应变？平面应力和平面应变的差别在哪些地方？所需要求解的问题，差别又在何处？如何推导出相应的物理方程？平面应力问题：设所研究的物体为等厚度的薄板，在z方向不受力，外力沿z方向无变化，可以认为在整个薄板里任何一点都有：σ=0 ,=0,=0,注意到剪应力互等关系，可知=0,=0,这样只剩下平行于xy面的三个应力分量，即σ，σ，，它们是x和y的函数，不随z而变化平面应变问题：设有很长的柱形体，以任一横截面为xy面，任一纵线为z轴，所受的荷载都垂直于z轴且沿z方向没有变化，则所有一切应力分量，变形分量和位移分量都不沿z方向变化，而只是x和y的函数，如果近似的认为柱形体的两端受到平面的约束，使之在z方向无位移，则任何一个横截面在z方向都没有位移，所有变形都发生在xy面里。
弹性力学及有限元法 复习题
3、如图3所示平面问题的四边形单元，材料参数为 ， ，试通过编制程序确定单元的刚度矩阵，写出Matlab程序代码。
图3四边形单元
第一章
1、已知某材料为理想弹性体，弹性体内一点的应力状态为 MPa,假设某表面的外法线方向余弦为 ，求该表面的法向和切向应力；该点的应力不变量、主应力、最大剪应力，并绘制摩尔圆。
2、以y轴或z轴为例，推导平衡微分方程（要求写清详细的推导过程）
3、从理想弹性体中取出一微元体，见下图，试以向yOz面投影为例，推导几何方程。
（a）一端固支，一端简支（b）两端固支
4、如图4所示的一个平面梁系统，梁的材料为 Pa，梁的截面见图4，作用力 ，总长度为1.5m，等分为15个轴段。试有限元法求解各节点的挠度，并绘制平面梁变形曲线。
图4一端固支，一端简支的平面梁系统
5、如图4所示，平面应力问题， cm，单元厚度 mm，弹性模量 MPa，泊松比 。 ，且各节点位移、单元应力、单元应变，约束处的支反力。列出Matlab和ANSYS分析程序
7、如下图所示处于平面应力状态的薄板结构，在P点区域作用有面力F，请标示出该结构的应力及位移边界条件
第二章
1、一点处的应力状态由应力矩阵给出，如下
MPa
如果 GPa， ，求单位体积的应变能密度。
2、对于平面应变状态 MPa， MPa， MPa，画出与三个主应力相对应的三个摩尔圆；求最大剪应力的位置和数值；计算等效的von Mises应力值，并与最大剪应力的二倍进行比较。
（要求写出程序代码）
图2平面梁单元受均布力作用
clear
symsx;
symsL;
symsP;
Nvi=1-3*(x/L)^2+2*(x/L)^3;
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《弹性力学及有限元基础》复习思考题★1．对弹性体所做的基本假设?答：连续性假设；均匀性假设；各向同性假设；弹性假设；小变形假设； ★2．用D'Alember 原理由平衡方程推导运动微分方程?答：微元体的平衡微分方程的表达式为：311121112332122221231323333123000f x x x f x x x f x x x σσσσσσσσσ⎧∂∂∂+++=⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂+++=⎨∂∂∂⎪⎪∂∂∂+++=⎪∂∂∂⎩ 根据D'Alember 原理，将运动物体看成是静止的，将惯性力22()utρ∂-∂当作体力加到微元体上，由上式可以直接写出弹性动力学问题的运动微分方程：231112111212323212222221232132333332123()()()u f x x x t u f x x x t uf x x x t σσσρσσσρσσσρ⎧∂∂∂∂+++=⎪∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂⎪+++=⎨∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂⎪+++=∂∂∂∂⎪⎩ ☆3．什么是应力张量? 我们说一点的应力状态是什么涵义?答：应力张量是一点应力状态的完整描述，它有面元方向和分解方向两个方向性，共有九个分量，由于存在对称性，其独立分量只有六个。
应力张量是与坐标选择无关的不变量，但其分量与坐标有关，当已知某坐标系中的九个分量时，其他坐标系中的分量均可由应力转换公式确定。
一点的应力状态是一个具有双重方向性的物理量，其中第一个是面元的方向，用其法矢量ν表示，第二个是作用在该面元上的应力矢量方向，一般用其三个分量来表示。
4．在引出 Cauchy 应力公式时， 我们假设四面体处于平衡状态， 如不处在平衡状态则如何? 答：如果不处在平衡状态，Cauchy 应力公式仍然满足，关系式的成立与是否平衡无关。
5．在什么情况下剪应力互等定律不成立?答：无论在变形体的内部或者表面上，若存在体力偶时，剪应力互等定律不成立。
6．任意斜截面上的正应变和剪应变的意义是什么?答：应变张量的三个对角分量x ε、y ε、z ε称为正应变，分别等于坐标轴方向三个线元的单位伸长率，伸长为正，缩短为负。
应变张量的三个非对角分量xy ε、yz ε、zx ε称为剪应变，分别等于变形前沿该分量下标所示两坐标方向的、相互正交的线元在变形后的夹角减小量之半。
7．刚性位移，刚性转动，刚体位移，刚体转动有何区别?答：（1）刚性位移：物体内任意两点间无相对位移；（2）刚性转动：应变张量为0，转动张量不为0；（3）刚体位移：运动分为变形运动和刚体运动，每点都发生相同的位移就叫作刚体位移；（4）刚体转动：用刚性转动描述刚体转动。
8．协调条件的物理意义是什么?答：不开裂、不相互侵入、连续且不脱离、不重叠。
☆9．变形体和刚体本质区别是什么? 变形分析的核心是什么?答：本质区别在于刚体在运动时其上任意两点的相对距离不发生变化，仅考虑其整体位置的改变，变形体在运动时不仅要考虑其位置的改变，还要考虑物体大小及形状的改变，发生变形。
核心：分析物体任意两点距离之间的变化。
10．请说明“正应力引起正应变，剪应力引起剪应变”结论是否正确？为什么？答：不正确。
对于各向同性材料，逆弹性关系表明，正应力只引起正应变，剪应力只引起剪应变，它们是互不耦合的。
对于各向异性材料的一般情况，任何一个应力分量都可能引起任何一个应变分量的变化。
11．各向同性弹性材料和各向异性材料本质差别？答：物理差别：各向异性表示物体的全部或部分物理、化学等性质因方向的不同而不同的特性。
各向同性是指物体的物理、化学等方面的性质不会因方向的不同而不同的特性。
数学差别：弹性模量张量在坐标旋转时，各分量不发生变化时为各向同性材料，反之则为各向异性材料。
（不考）12．各向同性材料的弹性常数应有几个？如何从广义 Hooke 定律的 81个弹性常数推导各向同性材料的常数？☆13．请写出弹性力学的全部方程，并用张量指标符号表示？答：平衡方程：,0ij j i F σ+=，几何方程：,,1()2ij j i i j e u u =+ 协调方程：,,,,0ij kl kl ij ik jl jl ik e e e e +--=，Hooke定律：2ij ij ije e σλδμ=+，1[(1)]ij ij ij e v v Eσδ=+-Θ 式中e =e ii ，应力边界S σ上的条件：以及位移边界上Su 上的条件为：以上为弹性力学的全部方程，共21个，这些方程含有的未知数是u i ，e ij 和σij 共15个。
★14．请写出应用位移法求解弹性力学问题的步骤？答：选择ui 作为基本未知数，由Cauchy 几何方程,,1()2ijj i i j e u u =+可解得ij e ，再由Hooke 定律2ij ij ij e e σλδμ=+得到ij σ，再由平衡方程,0ij j i F σ+=在一定的边界条件下求解，得出位移i u 。
Cauchy几何方程有6个，Hooke 定律有6个，平衡方程有3个，即15个方程可求得15个未知数，i u ，ij e ，ij σ。
15．请写出应用应力法求解弹性力学问题的步骤？答：选择ij σ作为基本未知数，由Hooke 定律2ijij ije e σλδμ=+可得ije ，应满足协调方程,,,,0ij kl kl ij ik jl jl ik e e e e +--=，再加上平衡方程,0ij j i F σ+=联力求解，可得ij σ，然后再由相应求得ije 利用Cauchy 几何方程,,1()2ijj i i j e u u =+积分得到i u 。
★16．请说明工程应变与理性（理论）应变的根本区别？答：理论应变的计算公式为1()2j i ij i j i ju u u u E a a a a αα∂∂∂∂=++∂∂∂∂；工程剪应变计算公式为1()2j iij i ju u e x x ∂∂=+∂∂；工程剪应变无法精确的表示应变非线性部分，而当小变形时，二者却可以近似相等。
★17．从Cauchy 应力公式推导最大剪应力：max max min 1()2τσσ=-解：从Cauchy 应力公式得到ν方向上的应力矢量T ν，将其投影到ν方向和与ν垂直的平面上，将分解成正应力()νσ和剪应力()ντ，此时将坐标轴取成应力主轴方向，应该无剪应力分量，Cauchy 应力公式简化为i i Tνσν--= （i=1，2，3）其中加上_表示不求和，故：可得到24222221111123(1)()v v v v v v v -=-=+2222222222()121223233131()()()v v v v v v v τσσσσσσ=-+-+-当适当选取v的值，如12302ννν===，可得到()121()2ντσσ=±-，从而推求得到max max min 1()2τσσ=-。
★18．请说明应用伽辽金法求解微分方程的一般步骤？答：（1）建立问题的控制微分方程L 和边界条件G ，其表达式为：0Lu f -=；0Gu g -=（2）选取试函数，其表达式为：~1Ni ii uC v ==∑，v i 为试函数；（3）将试函数代入控制微分方程中，将会出现内部残值R v 和边界残值R s ，表达式为：~0vR Lu f =-≠，~0s R G u g =-≠。
（4）消除残值，选取内部权函数W v 和边界权函数W s ，伽辽金法中的权函数就是试函数中的基函数，即：W i = v i ，（i =1，2，…N ），使得0,(1,2,3,)ivRv dv i N ==⋅⋅⋅⎰；（5）据此得到C i 后，就确定了近似解1Ni ii uC v ==∑。
19．有限元方法的实质和基本思想？答：实质：将复杂的连续体划分为有限多个简单的单元体，化无限自由度问题为有限自由度问题，将连续场函数的微分方程的求解问题转化为有限个参数的代数方程组的求解问题。
基本思想：先化整为零，后集零为整。
即把一个结构看成由若干通过节点相连的单元组成的整体，先进行单元分析，后将这些单元组合起来代表原来的结构进行整体分析。
★20．请论述有限元法的分析过程？答：（1）结构物的离散将待分析的结构物从几何上用线或面划分为有限个单元，其中单元的大小和数目根据计算精度的要求和计算机容量来决定。
步骤为：①建立单元，②对单元和结点编号，③准备必需的数据信息，④建立坐标系。
（2）确定单元的位移模式将单元中任意一点的位移近似地表示成单元结点位移的函数，即位移模式或位移函数，用d 表示，写成 d=N •δe（3）单元特性分析①几何方程：应变与位移之间的关系 ε=B ·δe ②物理方程：应力与应变之间的关系 σ=DB δe =S δe ③利用虚位移或最小势能原理建立单元刚度方程e e e E K F F eδ=+（4）建立表示整个结构结点平衡的方程组 K Δ=P d +P e =P ★21．请详述先处理法与后处理法的实施过程？答：（一）先处理法：（1）划分单元，整理数据，对单元和结点进行编号，确定每个单元的局部坐标系以及整个结构的整体坐标系。
（2）计算局部坐标系中的单元刚度矩阵。
（3）确定每个单元的坐标转换矩阵，计算整体坐标系下的单元刚度矩阵。
（4）根据各单元的位移分量编号，形成单元定位数组，按照“对号入座，同号叠加”的方法，集成结构的整体刚度矩阵。
（5）计算总的结点荷载矩阵。
先将非结点荷载转换成等效结点荷载，再与对应的结点荷载叠加，形成总的结点荷载矩阵。
（6）求解结构的整体刚度方程，计算结点位移矩阵。
（7）计算各单元的杆端力。
（8）对计算结果进行整理，如果需要可计算内力图。
（二）后处理法（1）划分单元，整理数据，对单元和结点进行编号，确定每个单元的局部坐标系整个结构的整体坐标系；（2）计算局部坐标系中的单元刚度矩阵。
后根据单元坐标转换矩阵计算得出整体坐标系下的单元刚度矩阵，同时集成整体刚度矩阵；（3）计算单元的等效节点力，集成整体节点力向量；（4）处理约束条件，修改整体刚度矩阵和节点力向量；（5）求解方程组，得到整体节点位移矩阵；（6）计算各单元的杆端力；（7）对计算结果进行整理，如果需要可计算内力图。
22．请简述三节点三角形单元形函数的特点？答：（1）在单元结点上形函数的值为1或为0。
（2）在单元中的任意一点上，三个形函数之和等于1。
（不考）23．请详述虚功原理与伽辽金法的关系？24．请简述等参单元的概念及优点？答：概念：几何形状变换形函数与位移插值的形函数相同的单元。
优点：可模拟较复杂的边界条件（可能不考）25．请推导平面桁架单元（拉压杆单元）的单元刚度矩阵（局部坐标系）？答：。