弹性力学及有限元基础复习权威版(最新)

《弹性力学及有限元基础》复习思考题

★1．对弹性体所做的基本假设?

答：连续性假设；均匀性假设；各向同性假设；弹性假设；小变形假设； ★2．用D'Alember 原理由平衡方程推导运动微分方程?

答：微元体的平衡微分方程的表达式为：

31

112111

2332

122221

23

132333

31

23000f x x x f x x x f x x x σσσσσσσσσ⎧∂∂∂+++=⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂+++=⎨

∂∂∂⎪⎪∂∂∂+++=⎪∂∂∂⎩ 根据D'Alember 原理，将运动物体看成是静止的，将惯性力22()u

t

ρ∂-∂当作体力加到微元体上，由上式

可以直接写出弹性动力学问题的运动微分方程：

23111211

12123232

12222221

2321323333321

23()()()

u f x x x t u f x x x t u

f x x x t σσσρσσσρσσσρ⎧∂∂∂∂+++=⎪∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂⎪+++=⎨

∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂⎪+++=∂∂∂∂⎪⎩ ☆3．什么是应力张量? 我们说一点的应力状态是什么涵义?

答：应力张量是一点应力状态的完整描述，它有面元方向和分解方向两个方向性，共有九个分量，由于存在对称性，其独立分量只有六个。应力张量是与坐标选择无关的不变量，但其分量与坐标有关，当已知某坐标系中的九个分量时，其他坐标系中的分量均可由应力转换公式确定。

一点的应力状态是一个具有双重方向性的物理量，其中第一个是面元的方向，用其法矢量ν表示，第二个是作用在该面元上的应力矢量方向，一般用其三个分量来表示。

4．在引出 Cauchy 应力公式时， 我们假设四面体处于平衡状态， 如不处在平衡状态则如何? 答：如果不处在平衡状态，Cauchy 应力公式仍然满足，关系式的成立与是否平衡无关。 5．在什么情况下剪应力互等定律不成立?

答：无论在变形体的内部或者表面上，若存在体力偶时，剪应力互等定律不成立。 6．任意斜截面上的正应变和剪应变的意义是什么?

答：应变张量的三个对角分量x ε、y ε、z ε称为正应变，分别等于坐标轴方向三个线元的单位伸长率，伸长为正，缩短为负。应变张量的三个非对角分量xy ε、yz ε、zx ε称为剪应变，分别等于变形前沿该分量下标所示两坐标方向的、相互正交的线元在变形后的夹角减小量之半。 7．刚性位移，刚性转动，刚体位移，刚体转动有何区别?

答：（1）刚性位移：物体内任意两点间无相对位移；（2）刚性转动：应变张量为0，转动张量不为0；（3）刚体位移：运动分为变形运动和刚体运动，每点都发生相同的位移就叫作刚体位移；（4）刚体转动：用刚性

转动描述刚体转动。

8．协调条件的物理意义是什么?

答：不开裂、不相互侵入、连续且不脱离、不重叠。 ☆9．变形体和刚体本质区别是什么? 变形分析的核心是什么?

答：本质区别在于刚体在运动时其上任意两点的相对距离不发生变化，仅考虑其整体位置的改变，变形体在运动时不仅要考虑其位置的改变，还要考虑物体大小及形状的改变，发生变形。

核心：分析物体任意两点距离之间的变化。

10．请说明“正应力引起正应变，剪应力引起剪应变”结论是否正确？为什么？

答：不正确。对于各向同性材料，逆弹性关系表明，正应力只引起正应变，剪应力只引起剪应变，它们是互不耦合的。对于各向异性材料的一般情况，任何一个应力分量都可能引起任何一个应变分量的变化。 11．各向同性弹性材料和各向异性材料本质差别？

答：物理差别：各向异性表示物体的全部或部分物理、化学等性质因方向的不同而不同的特性。各向同性是指物体的物理、化学等方面的性质不会因方向的不同而不同的特性。

数学差别：弹性模量张量在坐标旋转时，各分量不发生变化时为各向同性材料，反之则为各向异性材料。

（不考）12．各向同性材料的弹性常数应有几个？如何从广义 Hooke 定律的 81个弹性常数推导各向同性材料的常数？

☆13．请写出弹性力学的全部方程，并用张量指标符号表示？

答：平衡方程：,0ij j i F σ+=，几何方程：,,1

()2

ij j i i j e u u =

+ 协调方程：

,,,,0ij kl kl ij ik jl jl ik e e e e +--=，Hooke

定律：

2ij ij ij

e e σλδμ=+，

1

[(1)]ij ij ij e v v E

σδ=

+-Θ 式中e =e ii ，应力边界S σ上的条件：

以及位移边界上Su 上的条件为：

以上为弹性力学的全部方程，共21个，这些方程含有的未知数是u i ，e ij 和σij 共15个。 ★14．请写出应用位移法求解弹性力学问题的步骤？

答：选择ui 作为基本未知数，由Cauchy 几何方程,,1

()2

ij

j i i j e u u =+可解得ij e ，再由Hooke 定律

2ij ij ij e e σλδμ=+得到ij σ，再由平衡方程,0ij j i F σ+=在一定的边界条件下求解，得出位移i u 。Cauchy

几何方程有6个，Hooke 定律有6个，平衡方程有3个，即15个方程可求得15个未知数，i u ，ij e ，ij σ。 15．请写出应用应力法求解弹性力学问题的步骤？

答：选择ij σ作为基本未知数，由Hooke 定律2ij

ij ij

e e σλδμ=+可得

ij

e ，应满足协调方程

,,,,0ij kl kl ij ik jl jl ik e e e e +--=，再加上平衡方程,0ij j i F σ+=联力求解，可得ij σ，然后再由相应求得ij

e 利用Cauchy 几何方程,,1

()2

ij

j i i j e u u =+积分得到i u 。