高二数学曲线和方程5
2019-2020年高中数学苏教版选修2-1第2章《圆锥曲线与方程》(5)word学案
2019-2020年高中数学苏教版选修2-1第2章《圆锥曲线与方程》（5）word 学案 [学习目标] 1.了解圆锥曲线的统一定义.2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题．[知识链接]1．椭圆上一点到准线距离与它到对应焦点距离之比等于多少？ 答：1e. 2．动点M 到一个定点F 的距离与到一条定直线l 的距离之比为定值的轨迹一定是圆锥曲线吗？ 答：当F ∉l 时，动点M 轨迹是圆锥曲线．当F ∈l 时，动点M 轨迹是过F 且与l 垂直的直线． [预习导引]1．圆锥曲线的统一定义平面内到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在l 上)的距离的比等于常数e 的点的轨迹． 0<e <1时，它表示椭圆；e >1时，它表示双曲线；e ＝1时，它表示抛物线．2．对于椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)和双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)中，与F (c,0)对应的准线方程是l ：x ＝a 2c ，与F ′(－c ，0)对应的准线方程是l ′：x ＝－a 2c；如果焦点在y 轴上，则两条准线方程为y ＝±a 2c.要点一 统一定义的简单应用例1 椭圆x 225＋y 29＝1上有一点P ，它到左准线的距离等于2.5，那么，P 到右焦点的距离为________．答案 8解析 如图所示，PF 1＋PF 2＝2a ＝10，e ＝c a ＝45， 而PF 12.5＝e ＝45，∴PF 1＝2，∴PF 2＝10－PF 1＝10－2＝8.规律方法 椭圆的两个定义从不同角度反映了椭圆的特征，解题时要灵活运用．一般地，如果遇到有动点到两定点距离和的问题，应自然联想到椭圆的定义；如果遇到有动点到一定点及一定直线距离的问题，应自然联想到统一定义；若两者都涉及，则要综合运用两个定义才行．跟踪演练1 已知椭圆x 24b 2＋y 2b 2＝1上一点P 到右焦点F 2的距离为b (b >1)，求P 到左准线的距离．解 方法一 由x 24b 2＋y 2b 2＝1，得a ＝2b ，c ＝3b ，e ＝32.由椭圆第一定义， PF 1＋PF 2＝2a ＝4b ，得PF 1＝4b －PF 2＝4b －b ＝3b .由椭圆第二定义，PF 1d 1＝e ，d 1为P 到左准线的距离， ∴d 1＝PF 1e ＝23b ，即P 到左准线的距离为23b . 方法二 ∵PF 2d 2＝e ，d 2为P 到右准线的距离． e ＝c a ＝32，∴d 2＝PF 2e ＝233b . 又椭圆的两准线的距离为2·a 2c ＝833b ， ∴P 到左准线的距离为833b －233b ＝23b . 要点二 应用统一定义转化求最值例2 已知椭圆x 28＋y 26＝1内有一点P (1，－1)，F 是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点M ，使MP ＋2MF 之值为最小．解 设d 为M 到右准线的距离．∵e ＝c a ＝12，MF d ＝12， ∴MF 12＝d ，即d ＝2MF (如图)． 故MP ＋2MF ＝MP ＋MM ′.显然，当P 、M 、M ′三点共线时，所求的值为最小，从而求得点M 的坐标为(2315，－1)．规律方法 本例中，利用统一定义，将椭圆上点M 到焦点F 的距离转化为到准线的距离，再利用图形的形象直观，使问题得到简捷的解决．跟踪演练2 已知双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为F ，点A (9,2)，试在双曲线上求一点M ，使MA ＋35MF 的值最小，并求这个最小值． 解 过M 作MN 垂直于双曲线的右准线l 于N ，由第二定义可知MN ＝MF e(如图)． 又a ＝3，b ＝4，c ＝5，e ＝53， ∴MN ＝35MF ，∴MA ＋35MF ＝MA ＋MN ，显然当M 、N 、A 三点共线时MA ＋MN ＝AN 为最小，即MA ＋35MF 取得最小值，此时AN ＝9－a 2c ＝9－95＝365，∴MA ＋35MF 的最小值为365，此时点M (352，2)． 要点三 圆锥曲线统一定义的综合应用例3 已知A 、B 是椭圆x 2a 2＋y 2925a 2＝1上的点，F 2是右焦点，且AF 2＋BF 2＝85a ，AB 的中点N 到左准线的距离等于32，求此椭圆方程． 解 设F 1为左焦点，则根据椭圆定义有：AF 1＋BF 1＝2a －AF 2＋2a －BF 2＝4a －(AF 2＋BF 2)＝4a －85a ＝125a . 再设A 、B 、N 三点到左准线距离分别为d 1，d 2，d 3，由梯形中位线定理有d 1＋d 2＝2d 3＝3，而已知b 2＝925a 2， ∴c 2＝1625a 2，∴离心率e ＝45， 由统一定义AF 1＝ed 1，BF 1＝ed 2，∴AF 1＋BF 1＝125a ＝e (d 1＋d 2)＝125，∴a ＝1， ∴椭圆方程为x 2＋y 2925＝1. 规律方法 在圆锥曲线有关问题中，充分利用圆锥曲线的共同特征，将曲线上的点到准线的距离与到焦点的距离相互转化是一种常用方法．跟踪演练3 设P (x 0，y 0)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任意一点，F 1为其左焦点． (1)求PF 1的最小值和最大值；(2)在椭圆x 225＋y 25＝1上求一点P ，使这点与椭圆两焦点的连线互相垂直． 解 (1)对应于F 1的准线方程为x ＝－a 2c， 根据统一定义：PF 1x 0＋a 2c＝e ， ∴PF 1＝a ＋ex 0.又－a ≤x 0≤a ，∴当x 0＝－a 时，(PF 1)min ＝a ＋c a×(－a )＝a －c ； 当x 0＝a 时，(PF 1)max ＝a ＋c a·a ＝a ＋c . (2)∵a 2＝25，b 2＝5，∴c 2＝20，e 2＝45. ∵PF 21＋PF 22＝F 1F 22，∴(a ＋ex 0)2＋(a －ex 0)2＝4c 2. 将数据代入得25＋45x 20＝40.∴x 0＝±532. 代入椭圆方程得P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫532，52，⎝⎛⎭⎫532，－52，⎝⎛⎭⎫－532，52，⎝⎛⎭⎫－532，－52.1．已知方程(1＋k )x 2－(1－k )y 2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围为________． 答案 －1<k <1解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋k >0，1－k >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k >－1，k <1，即－1<k <1. 2．已知点F 1，F 2分别是椭圆x 2＋2y 2＝2的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF→1＋PF →2|的最小值是________． 答案 2解析 设P (x 0，y 0)，则PF →1＝(－1－x 0，－y 0)，PF →2＝(1－x 0，－y 0)，∴PF →1＋PF →2＝(－2x 0，－2y 0)，∴|PF →1＋PF →2|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1，∴当y 20＝1时，|PF →1＋PF →2|取最小值为2.3．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点．满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．答案 (0，22) 解析 ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴M 点轨迹方程为x 2＋y 2＝c 2，其中F 1F 2为直径，由题意知椭圆上的点在圆x 2＋y 2＝c 2外部，设点P 为椭圆上任意一点，则OP >c 恒成立，由椭圆性质知OP ≥b ，其中b 为椭圆短半轴长，∴b >c ，∴c 2<b 2＝a 2－c 2，∴a 2>2c 2，∴(c a )2<12，∴e ＝c a <22. 又∵0<e <1，∴0<e <22. 4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线x 2m 2－y 2n2＝1(m ＞0，n ＞0)，有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是________．答案 12解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝c 2， ①m 2＋n 2＝c 2，②c 2＝am ，③2n 2＝2m 2＋c 2，④由②④可得m 2＋n 2＝2n 2－2m 2，即n 2＝3m 2，⑤⑤代入②得4m 2＝c 2⇒c ＝2m ，⑥⑥代入③得4m 2＝am ⇒a ＝4m .所以椭圆的离心率e ＝c a ＝12.1.三种圆锥曲线的共同特征是曲线上的点到定点的距离与它到定直线距离的比是常数．2．利用圆锥曲线的统一定义可实现曲线上的点到焦点的距离与到准线距离的相互转化．一、基础达标1．若直线ax －y ＋1＝0经过抛物线y 2＝4x 的焦点，则实数a ＝______.答案 －1解析 焦点为(1,0)，代入直线方程，可得a ＝－1.2．已知椭圆的准线方程为y ＝±4，离心率为12，则椭圆的标准方程为____________． 答案 x 23＋y 24＝1 解析 由⎩⎨⎧ a 2c ＝4，c a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，c ＝1. 所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆的标准方程为x 23＋y 24＝1. 3．双曲线3x 2－y 2＝9，P 是双曲线上一点，则P 点到右焦点的距离与P 点到右准线的距离的比值为________．答案 2解析 由统一定义，所求距离之比即为双曲线的离心率．双曲线方程可化为x 23－y 29＝1， 得a 2＝3，b 2＝9，c 2＝a 2＋b 2＝12，所以e ＝c a ＝123＝2. 4．椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到左焦点F 1的距离为3，则点P 到左准线的距离为________． 答案 5解析 依题意e ＝35，所以点P 到左准线的距离d ＝PF 1e＝5. 5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，右准线方程为x ＝33，则双曲线方程为__________．答案 x 2－y 22＝1 解析 由⎩⎨⎧c a ＝3，a 2c ＝33，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝3，所以b 2＝3－1＝2. 所以双曲线方程为x 2－y 22＝1. 6．已知抛物线y 2＝2px 的准线与双曲线x 2－y 2＝2的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为________．答案 (1,0)解析 双曲线的左准线为x ＝－1，抛物线的准线为x ＝－p 2，所以p 2＝1，所以p ＝2. 故抛物线的焦点坐标为(1,0)．7．已知双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0，一条准线方程为y ＝95，求该双曲线的标准方程． 解 由已知可设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)． 由题意有⎩⎨⎧a 2c ＝95，ab ＝34，a 2＋b 2＝c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16. 所以所求双曲线方程为y 29－x 216＝1. 二、能力提升8．已知点P 在椭圆x 216＋y 225＝1上，F 1、F 2是椭圆的上、下焦点，M 是PF 1的中点，OM ＝4，则点P 到下准线的距离为________．答案 403解析 因为OM 是△F 1F 2P 的中位线，所以PF 2＝2OM ＝8.又e ＝35，所以P 到下准线的距离d ＝PF 2e ＝8×53＝403. 9．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上横坐标为3a 2的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线的离心率的取值范围是________．答案 (2，＋∞)解析 由已知得(3a 2－a 2c )e >3a 2＋a 2c，即3c 2>5ac ＋2a 2， 所以3e 2－5e －2>0，解得e >2或e <－13(舍去)． 10．在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应的准线的距离为1，则椭圆的离心率为________．答案 22解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)， 则右焦点F (c,0)，右准线l ：x ＝a 2c. 把x ＝c 代入椭圆的方程得y 2＝b 2(1－c 2a 2)＝b 4a 2，即y ＝±b 2a. 依题设知2b 2a ＝2且a 2c －c ＝b 2c＝1， 所以e ＝c a ＝b 2a ·c b 2＝22×1＝22. 11．已知双曲线过点(3，－2)，且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．解 (1)椭圆的焦点为(5，0)，(－5，0)，它也是双曲线的焦点．设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)． 则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，b 2＝2. 所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1. (2)由(1)可知双曲线的右准线为x ＝a 2c ＝355. 它也是抛物线的准线，所以p 2＝355， 故抛物线的标准方程为y 2＝－1255x . 12．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率e ＝22，点F 2到右准线l 的距离为 2.(1)求a 、b 的值；(2)设M 、N 是l 上的两个动点，F 1M →·F 2N →＝0，证明：当|MN →|取最小值时，F 2F 1→＋F 2M →＋F 2N →＝0.(1)解 因为e ＝c a ，F 2到l 的距离d ＝a 2c－c ， 所以由题设得⎩⎨⎧ c a ＝22，a 2c －c ＝2，解得c ＝2，a ＝2.由b 2＝a 2－c 2＝2，得b ＝ 2.故a ＝2，b ＝ 2.(2)证明 由c ＝2，a ＝2得F 1(－2，0)，F 2(2，0)，l 的方程为x ＝22， 故可设M (22，y 1)，N (22，y 2)．由F 1M →·F 2N →＝0知(22＋2，y 1)·(22－2，y 2)＝0，得y 1y 2＝－6，所以y 1y 2≠0，y 2＝－6y 1. |MN →|＝|y 1－y 2|＝|y 1＋6y 1|＝|y 1|＋6|y 1|≥26， 当且仅当y 1＝±6时，上式取等号，此时y 2＝－y 1，所以，F 2F 1→＋F 2M →＋F 2N →＝(－22，0)＋(2，y 1)＋(2，y 2)＝(0，y 1＋y 2)＝0.三、探究与创新13.如图所示，已知某椭圆的焦点是F 1(－4，0)、F 2(4,0)，过点F 2作垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且F 1B ＋F 2B ＝10，椭圆上不同的两点A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)满足条件：F 2A 、F 2B 、F 2C 成等差数列．(1)求该椭圆的方程；(2)求弦AC 中点的横坐标．解 (1)由椭圆定义及条件知，2a ＝F 1B ＋F 2B ＝10，得a ＝5，又c ＝4，所以b ＝a 2－c 2＝3.故椭圆方程为x 225＋y 29＝1.(2)由点B (4，y B )在椭圆上，得F 2B ＝y B ＝95. 因为椭圆右准线方程为x ＝254，离心率为45， 根据椭圆定义，有F 2A ＝45⎝⎛⎭⎫254－x 1，F 2C ＝45⎝⎛⎭⎫254－x 2，由F 2A 、F 2B 、F 2C 成等差数列，得 45⎝⎛⎭⎫254－x 1＋45⎝⎛⎭⎫254－x 2＝2×95，由此得出x 1＋x 2＝8.设弦AC 的中点为P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝4.。
高二数学曲线和方程
曲线和方程 曲线和方程（1）一、知识小结1．曲线和方程的概念：在直角坐标系中，如果曲线C （看作适合某种条件的点的集合或轨迹）与方程(),0F x y =的实数解集之间具有以下两个关系：（1）曲线C 上的点的坐标都是方程(),0F x y =的解；（2）以方程(),0F x y =的解为坐标的点都是曲线C 上的点，那么曲线C 上的点与方程(),0F x y =的解是一一对应的，此时把方程(),0F x y =叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程(),0F x y =的曲线．定义中条件（1）说明曲线上没有哪个点的坐标不满足方程，即曲线上所有点都适合这 个条件而毫无例外，即曲线具有纯粹性；条件（2）说明适合条件的点都有在这条曲线上而无一遗漏，也就是说曲线具有完备性．由曲线与方程的关系可以知道，曲线的方程实质就是这条曲线上的任意一点的横坐标x 与纵坐标y 之间的等量关系． 注意点：数形结合分析问题．2．点与曲线的关系的判断：若曲线C 的方程(),0F x y =，则点()()()0000000,,,0P x y C F x y C F x y ∈⇔∈⇔=，即要判断一个点是否在曲线上，只要把点的坐标代入曲线方程，如果满足方程，则点在曲线上；如果不满足方程，则点不在曲线上．注意点：用代入法来解决问题．3．求曲线的方程的一般步骤：（1）建立适当的直角坐标系（建系）； （2）设曲线上任意一点的坐标为(),x y （设点）；（3）根据曲线上点所适合的条件，写出等式（列式）；（4）用坐标x ，y 表示这个等式，并化方程为最简形式（化简）；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点（证明）．注意点：要检验，防止出现增解或失解．4．求曲线的方程的一般方法：（1）直接法：根据题意与条件，设出动点坐标，直接列出相关等式，然后化简得结果；（2）代入法：设出动点坐标，然后找出相关点的了解，利用相关点的规律，从而得出动点之间关系的等式；注意点：过程中要保持等价变形，这样可省略检验环节．5．曲线的交点的求法：如果曲线1C 、2C 的方程分别为()1,0F x y =、()2,0F x y =，则点()00,0P x y =是曲线1C 、2C 交点的充要条件是()()100200,0,0F x y F x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩． 由曲线上点的坐标和它的方程的实数解之间的对应关系可知，两条曲线交点的坐标应该是这两条曲线的方程所组成的方程组的实数解．方程组有几组实数解，两条曲线就有几个交点；方程组没有实数解，两条曲线就没有交点．因此，求曲线的交点坐标就是求曲线的方程所组成的方程组的解．注意点：代数与几何方法要结合．6．解析几何的本质：用代数的方法来研究几何问题，具体来说就是用方程的思想来解决曲线的问题．其中会涉及两个主要问题：（1）已知曲线，求相应的方程；（2）已知方程，画出相应的曲线，并研究其相关的性质．二、应用举例：例1、方程()()211y a x b x c =-+-+的曲线过原点的条件是 ．例2、到两坐标轴距离的积为2的动点轨迹方程是 ．例3、已知定点()4,0Q ，P 为曲线224x y +=上一个动点，那么线段PQ 中点的轨迹方程是_____________．曲线和方程 曲线和方程（2）一、应用举例例4、设P 为曲线2214x y -=上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 中点，则点M 的轨迹方程是_____________．例5、直线53y x =-被曲线22y x =截得的线段长是___________．例6、已知直线y kx k =-+与曲线22y x x =-． （1程是________________；（2）直线与曲线相交而得交点的中点轨迹方程是____________．例7、长为a 的线段的两端点分别在直线y x =和y x =-上运动，则线段中点的轨迹为 ．例8、若直线0mx y m -+=与抛物线243y x x =-+的取值范围为__________．例9、已知两点()()2,02,0M N -、，点P 0MN MP MN NP ⋅+⋅=，则动点P 的轨迹方程为例10、直线2y kx =-交曲线28y x =于A 、B 两点，若弦AB 中点的横坐标为2，则k =________．一、应用举例：1．选择题例11、直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是（ ）． （A ）210x y +-= （B ）210x y +-= （C ）230x y +-= （D ）230x y +-=例12、设有一组圆()()()224:1320k C x k y k k k -++-=≠，则下列四个命题中正确的是（ ）．（A ）存在一条定直线与所有的圆均相切 （B ）所有的圆均不经过原点（C ）存在一条定直线与所有的圆均不相交 （D ）存在一条定直线与所有的圆均相交例13、设过点(),P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =且1OQ AB ⋅=，则点P 的轨迹方程是（ ）． （A ）()223310,02x y x y +=>> （B ）()223310,02x y x y -=>> （C ）()223310,02x y x y -=>>（D ）()223310,02x y x y +=>>例14、直线2y k =与曲线2222918k x y k x +=(),0k k ∈≠R 且且0)k ≠的公共点的个数为( )． （A ）1 （B ）2（C ）3（D ）42．解答题例15、（1）求曲线(,)0C f x y =：关于点(),a b 对称的曲线的方程；（2）若直线1y kx =+与曲线220x y x ky ++-=的两个交点的横坐标之和为零，求k 的值．例16、已知动点P 到定点()1,0F 和直线3x =的距离之和等于4，求点P 的轨迹方程．一、应用举例：1．解答题例17、已知△ABC 的两个顶点()8,0B -，()0,0C ，顶点A 在曲线22160x y x +-=上运动，求△ABC 的重心的轨迹方程．例18、过原点作曲线21y x =+的割线12OPP ，求弦12P P 的中点P 的轨迹方程．例19、k 为何值时，直线2y kx =+和曲线22236x y +=有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？例20、（1）画出方程1x -（2）曲线)122y x =-≤≤与直线()24y k x =-+有两个交点时，试求出实数k 的取值范围．例21、若两条曲线的方程是()1,0F x y =和()2,0F x y =，交点为()000,P x y ， （1）证明：方程()()12,,0F x y F x y λ+=的曲线也经过0P （λ为任意实数）； （2）求经过曲线2230x y x y ++-=和22330x y y ++=的交点的直线方程．例22、已知曲线2:1C y x mx =-+-，点()3,0A ，()0,3B ，求曲线C 与线段AB 有两个不同交点的充要条件．曲线和方程（4）一、应用举例：1．解答题例17、已知△ABC 的两个顶点()8,0B -，()0,0C ，顶点A 在曲线22160x y x +-=上运动，求△ABC 的重心的轨迹方程．例18、过原点作曲线21y x =+的割线12OPP ，求弦12P P 的中点P 的轨迹方程．例19、k 为何值时，直线2y kx =+和曲线22236x y +=有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？例20、（1）画出方程1x -（2）曲线)122y x =-≤≤与直线()24y k x =-+有两个交点时，试求出实数k 的取值范围．例21、若两条曲线的方程是()1,0F x y =和()2,0F x y =，交点为()000,P x y ， （1）证明：方程()()12,,0F x y F x y λ+=的曲线也经过0P （λ为任意实数）； （2）求经过曲线2230x y x y ++-=和22330x y y ++=的交点的直线方程．例22、已知曲线2:1C y x mx =-+-，点()3,0A ，()0,3B ，求曲线C 与线段AB 有两个不同交点的充要条件．友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编制，期待您的好评与关注！。
五次曲线方程
五次曲线方程五次曲线是指二次方程的次数为5的曲线。
其一般形式可以表示为：ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f = 0其中a、b、c、d、e、f为实数且a ≠ 0。
五次曲线在数学中具有很大的重要性，不仅可以用于描述实际问题中的曲线形状，还可以用于解决各种数学问题，包括方程求解、优化问题等。
对于五次曲线方程的求解，一般来说没有一般的解析解，也就是无法用有限次的常规运算求解出精确的解。
这是由于五次曲线方程的非线性性质所决定的。
然而，对于特殊情况下的五次曲线方程，我们可以通过一些方法得到一些近似解或特解。
下面介绍几种常见的解法。
1.数值计算方法：使用计算机程序进行数值计算是解决五次曲线方程的一种有效方法。
常见的数值方法包括二分法、牛顿迭代法、割线法等。
这些方法通过迭代计算逼近方程的根，从而得到一个近似解。
然而，由于五次曲线方程的非线性特性和高次项的存在，数值计算方法可能无法保证得到方程的所有解，而只能得到其中的一些解。
2.代数几何方法：代数几何方法是通过几何的方式来解决五次曲线方程的问题。
例如，可以通过对曲线进行性质分析，找出对称性、切线、渐近线等信息，从而推导出方程的某些特解。
代数几何方法主要依赖于数学推理和几何直觉，对于某些特殊情况下的曲线方程可以得到较好的结果。
3.特殊曲线方程的求解方法：对于一些特殊形式的五次曲线方程，我们可以使用一些特定的方法求解。
例如，在一些特定条件下，可以将五次曲线方程转化为某些已知的方程，如二次方程、三次方程等，从而求解出解析解。
这些方法一般需要对曲线方程的形式进行特殊化的处理，进而得到求解方程的特定方法。
除了解方程的问题外，五次曲线还可以用于描述曲线的形状和性质。
例如，通过分析曲线的切线、凹凸性、拐点等，可以得到曲线的几何特征和性质。
这些描述不仅在数学研究中具有重要意义，也可以应用于实际问题的分析和解决中。
五次曲线方程在数学研究中有着广泛的应用。
求曲线方程方法讲解
y ( x, y) 由中点坐标公式可知
x1 y1
x 2 y 2
A
∵AB 边上的中线 CD=3
D
∴ (x1 4)2 y12 9
B
化简整理得 (x 8)2 y2 36
∴点 A 的轨迹方程为 (x 8)2
y2
0
36
.
y
0C
Mx
法二: 添辅助线 MA,巧用图形性质, 妙极了! 注:这种求轨迹方程的方法叫做相关点坐标分析法(代入法)
变式练习
若三角形ABC的两顶点C，B的坐标分别是C（0，0），
B（6，0），顶点A在曲线y=x2+3上运动，求三角形ABC
重心G的轨迹方程.
y 10
8
y=x2+3
6
A
4
2
M
OB
x
-2
-4
四 例 3.经过原点的直线 l 与圆 x2 y2 6x 4 y 9 0 相交于
√√ 4.化简方程 f (x, y) 0 为最简形式;
5.证明(查漏除杂).
以上过程可以概括为一句话:建．设．现．(．限．)．代．化．.
知识回顾
在什么条件下，方程f(x，y)＝0是曲线C 的方程，同时曲线C是该方程的曲线？
（1）曲线C上的点的坐标都是方程 f(x，y)＝0的解；(纯粹性)
（2）以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点 都在曲线C上. (完备性)
简单地说：利用所求曲线上的动点与某一已知曲 线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点 满足的曲线的方程，由此即可求得动点坐标x,y之 间的坐标。
变 变式 .△ABC 的顶点 B、C 的坐标分别为(0,0)、(4,0), 式 A B 边上的中线的长为 3,求顶点 A 的轨迹方程.
高二数学曲线和方程例题解析试题
卜人入州八九几市潮王学校高二数学曲线和方程一.本周教学内容：课题：曲线和方程教学目的：使学生理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，领会“曲线的方程〞与“方程的曲线〞的涵义。
掌握求曲线的方程的一般步骤，并能根据条件较纯熟地求出曲线的方程。
才能训练：培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维才能与抽象思维才能，强化数形转换的思想方法。
二.重点、难点：重点：曲线和方程的概念以及求曲线的方程的步骤和一般方法。
难点：对“曲线的方程〞和“方程的曲线〞的意义中两个规定的理解，在求曲线的方程中一时难以把握其解法规律。
【教学过程】一.知识小结：1.曲线和方程的关系：假设：〔1〕曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)=0的解；〔2〕以方程f(x，y)=0的解为坐标的点都在曲线C上，那么这个方程f(x，y)=0叫做曲线C的方程，这条曲线C叫做方程f(x，y)=0的曲线。
2.求曲线方程的一般步骤：〔1〕建立适当的坐标系，设曲线上任意一点M(x，y)。
〔2〕写出适宜条件P的点M的集合P={M|P(M)}。
〔找等量关系〕〔3〕用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0；〔4〕化方程f(x，y)=0为最简形式；〔5〕证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
注：步骤〔2〕和〔5〕可以略不写，如有特殊情况可适当予以说明。
【典型例题】1.应用曲线和方程的定义解题：例1.点P1〔3，－4〕，P2〔－2，3〕是否在方程x2+y2=25表示的曲线上？为什么？解：∵32+(－4)2=25∴点P1在曲线x2+y2=25上。
理由：根据定义中的〔2〕∵(－2)2+32≠25，∴点P2不在曲线x2+y2=25上。
理由：根据定义中的〔1〕。
例2.“曲线C上的点都是方程f(x，y)=0①不是曲线上的点的坐标，一定不满足方程f(x，y)=0。
②坐标满足方程f(x，y)=0的点均在曲线C上。
③曲线C是方程f(x，y)=0的曲线。
〕A.0个B.1个C.2个D.3个解：取曲线C为直角坐标系第一和第三象限的角平分线。
人教新课标版数学高二选修2-1讲义 2.1曲线与方程
2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程1.结合已学过的曲线与方程的实例，了解曲线与方程的对应关系.(了解)2.理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.(重点)3.通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤，会求曲线的方程.(难点)[基础·初探]教材整理1曲线的方程与方程的曲线阅读教材P34～P35例1以上部分内容，完成下列问题.一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是____________；(2)以这个方程的解为坐标的点都是__________，那么，这个方程叫做________，这条曲线叫做方程的曲线.【答案】这个方程的解曲线上的点曲线的方程设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下列命题正确的是()A.坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B.曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0C.坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D.一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0【解析】本题考查命题形式的等价转换，所给命题不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的.“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故选项A、C错，选项B显然错.【答案】 D教材整理2求曲线方程的步骤阅读教材P36“例3”以上部分，完成下列问题.已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是____________.【解析】设P(x，y)，∵△MPN为直角三角形，∴MP2＋NP2＝MN2，∴(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，即x2＋y2＝4.∵M，N，P不共线，∴x≠±2，∴轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2).【答案】x2＋y2＝4(x≠±2)[小组合作型]对曲线的方程和方程的曲线的定义的理解(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系.【导学号：37792038】【精彩点拨】曲线上点的坐标都是方程的解吗？以方程的解为坐标的点是否都在曲线上？【自主解答】(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解，但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上.因此|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程.(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.(3)第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0，反之，以方程x＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上.因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.1.分析此类问题要严格按照曲线的方程与方程的曲线的定义.2.定义中有两个条件，这两个条件必须同时满足，缺一不可.条件(1)保证了曲线上所有的点都适合条件f (x ，y )＝0；条件(2)保证了适合条件的所有点都在曲线上，前者是说这样的轨迹具有纯粹性，后者是说轨迹具有完备性.两个条件同时成立说明曲线上符合条件的点既不多也不少，才能保证曲线与方程间的相互转化.[再练一题]1.已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在此方程表示的曲线上，求实数m 的值. 【解】 (1)因为12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，所以点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上.(2)因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上， 所以x ＝m 2，y ＝－m 适合方程x 2＋(y －1)2＝10，即⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10. 解得m ＝2或m ＝－185.故实数m 的值为2或－185.由方程研究曲线(1)(x ＋y －1)x －1＝0；(2)2x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0；(3)(x －2)2＋y 2－4＝0.【精彩点拨】 (1)方程(x ＋y －1)x －1＝0中“x ＋y －1”与“x －1”两式相乘为0可作怎样的等价变形？(2)在研究形如Ax 2＋By 2＋Cx ＋Dy ＋E ＝0的方程时常采用什么方法？(3)由两个非负数的和为零，我们会想到什么？【自主解答】 (1)由方程(x ＋y －1)x －1＝0可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≥0，x ＋y －1＝0或x －1＝0， 即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.故方程表示一条射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和一条直线x ＝1.(2)对方程左边配方得2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0.∵2(x －1)2≥0，(y ＋1)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2(x －1)2＝0，(y ＋1)2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1. 从而方程表示的图形是一个点(1，－1).(3)由(x －2)2＋y 2－4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，y 2－4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.因此，原方程表示两个点(2,2)和(2，－2).1.判断方程表示什么曲线，就要把方程进行同解变形，常用的方法有：配方法、因式分解或化为我们熟悉的曲线方程的形式，然后根据方程、等式的性质作出准确判定.2.方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线，另外，当方程中含有绝对值时，常借助分类讨论的思想.[再练一题]2.方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于x－y＝0对称【解析】同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称.【答案】 C[探究共研型]求曲线的方程探究1【提示】建立坐标系的基本原则：(1)让尽量多的点落在坐标轴上；(2)尽可能地利用图形的对称性，使对称轴为坐标轴.建立适当的坐标系是求曲线方程的首要一步，应充分利用图形的几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等.探究2求曲线方程时，有些点的条件比较明显，也有些点的条件要通过变形或转化才能看清，有些点的运动依赖于另外的动点，请你归纳一下求曲线方程的常用方法？【提示】一般有三种方法：一直接法；二定义法；三相关点法，又称为代入法.在解题中，我们可以根据实际题目选择最合适的方法.求解曲线方程过程中，要特别注意题目内在的限制条件.在Rt△ABC中，斜边长是定长2a(a＞0)，求直角顶点C的轨迹方程.【导学号：37792039】【精彩点拨】(1)如何建立坐标系？(2)根据题意列出怎样的等量关系？(3)化简出的方程是否为所求轨迹方程？【自主解答】取AB边所在的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，过O与AB垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则A(－a,0)，B(a,0)，设动点C为(x，y).由于|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以((x＋a)2＋y2)2＋((x－a)2＋y2)2＝4a2，整理得x2＋y2＝a2.由于当x＝±a时，点C与A或B重合，故x≠±a.所以所求的点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a).1.求曲线方程的一般步骤(1)建系设点；(2)写几何点集；(3)翻译列式；(4)化简方程；(5)查漏排杂：即证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点.2.一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，另外，根据情况，也可以省略步骤(2)，直接列出曲线方程.3.没有确定的坐标系时，要求方程首先必须建立适当的坐标系，由于建立的坐标系不同，同一曲线在坐标系的位置不同，其对应的方程也不同，因此要建立适当的坐标系.[再练一题]3.已知一曲线在x轴上方，它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程.【解】设曲线上任一点的坐标为M(x，y)，作MB⊥x轴，B为垂足，则点M属于集合P＝{M||MA|－|MB|＝2}.由距离公式，点M适合的条件可表示为x2＋(y－2)2－y＝2.化简得x2＝8y.∵曲线在x轴上方，∴y>0.∴(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线.∴所求曲线的方程为x2＝8y(y≠0).1.已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)()A.在直线l上，但不在曲线C上B.在直线l上，也在曲线C上C.不在直线l上，也不在曲线C上D.不在直线l上，但在曲线C上【解析】将M(2,1)代入直线l和曲线C的方程，由于2＋1－3＝0，(2－3)2＋(1－2)2＝2，所以点M既在直线l上，又在曲线C上.【答案】 B2.在直角坐标系中，方程|x|·y＝1的曲线是()【解析】 当x ＞0时，方程为xy ＝1，∴y ＞0，故在第一象限有一支图象；当x ＜0时，方程为－xy ＝1，∴y ＞0，故在第二象限有一支图象.【答案】 C3.已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 满足PM →·PN →＝4，则点P 的轨迹方程为________.【解析】 设点P 的坐标为P (x ，y )，由PM →·PN →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝4，得x 2＋y 2＝8，则点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝8.【答案】 x 2＋y 2＝84.设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.【导学号：37792040】【解】 法一：如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P (x ，y )为其中点，连接CP ，则CP ⊥OQ .OC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接MP ，则|MP |＝12|OC |＝12，得方程⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14. 由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.法二：如图所示，由垂径定理，知∠OPC ＝90°，所以动点P 在以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，OC 为直径的圆上. 由圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14， 由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.。
高二数学曲线与方程知识点
高二数学曲线与方程知识点在高二数学课程中，曲线与方程是重要的知识点之一，涉及到的内容较为广泛。
本文将介绍高二数学曲线与方程的相关概念、性质以及解题技巧。
一、直线的方程直线是最简单的曲线，其方程由一次函数表示。
一次函数的一般形式为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距。
根据直线上的两点可以确定直线的斜率和截距，从而确定直线的方程。
二、二次曲线的方程1. 抛物线抛物线是二次曲线的一种特殊形式，其方程通常表示为y = ax^2 + bx + c。
其中，a决定了抛物线的开口方向和形状，正值为向上开口，负值为向下开口；b和c是常数，分别表示抛物线在x 轴和y轴上的截距。
2. 圆的方程圆是二次曲线的另一种形式，其方程通常表示为(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2。
其中，(h, k)表示圆心的坐标，r表示圆的半径。
通过圆心和半径的信息，我们可以确定圆的方程。
三、三角函数的图像三角函数是一类周期性的函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
它们的图像具有一定的规律性。
以正弦函数为例，y = A·sin(Bx + C) + D，其中A、B、C、D为常数。
根据这些常数的取值，可以确定正弦函数图像上的特征，如振幅、周期、相位等。
四、指数函数与对数函数的图像指数函数和对数函数也是高二数学中重要的曲线类型。
指数函数的一般形式为y = a^x，其中a>0且a≠1，它的图像随着自变量x 的增大或减小而增大或减小。
对数函数是指数函数的反函数，其一般形式为y = log_a(x)，其中a>0且a≠1，它的图像为直线y = log_a(x)。
五、曲线的平移、伸缩和翻转曲线的平移、伸缩和翻转是曲线变换的基本操作。
平移是指曲线沿x轴或y轴方向移动；伸缩是指曲线在x轴或y轴方向上的拉伸或压缩；翻转是指曲线关于x轴或y轴进行翻转。
通过对曲线进行这些变换，可以得到新的曲线方程。
高中数学 2.1.1曲线与方程
曲线与方程(30分钟 50分)一、选择题(每题3分,共18分)(x 0,y 0)=0是点P(x 0,y 0)在曲线f(x,y)=0上的 ( )A.充分没必要要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也没必要要条件【解析】选C.由曲线与方程的概念可知,假设点P(x 0,y 0)在曲线f(x,y)=0上,那么必有f(x 0,y 0)=0;又当f(x 0,y 0)=0时,点P(x 0,y 0)也必然在方程f(x,y)=0对应的曲线上,应选C.2.下面四组方程表示同一条曲线的一组是 ( )=x 与y=√x =lgx 2与y=2lgxC.y +1x −2=1与lg(y+1)=lg(x-2) +y 2=1与|y|=√1−x 2【解析】选D.要紧考虑x,y 的取值范围,A 中y 2=x 中y ∈R,而y=√x 中y ≥0,B 中y=lgx 2中x ≠0,而y=2lgx 中x>0;C 中y +1x −2=1中y ∈R,x ≠2,而lg(y+1)=lg(x-2)中y>-1,x>2,故只有D 正确. 3.(2021·石家庄高二检测)方程x 2+y 2=1(xy<0)的曲线形状是 ( )【解析】选C.方程x 2+y 2=1(xy<0)表示以原点为圆心,1为半径的圆在第二、四象限的部份.4.(2021·安阳高二检测)曲线y=√1−x 2和y=-x+√2公共点的个数为 ( )B.2 【解析】选C.由{y =√1−x 2,y =−x +√2,得-x+√2=√1−x 2,两边平方并整理得(√2x-1)2=0,因此x=√22,这时y=√22,故公共点只有一个(√22,√22). 【误区警示】解题中易忽略y=√1−x 2中x 的取值范围,而写成x 2+y 2=1,从而解出两组解而致使出错.5.如果曲线C 上点的坐标知足方程F(x,y)=0,那么有( )A.方程F(x,y)=0表示的曲线是CB.曲线C 的方程是F(x,y)=0C.点集{P|P ∈C}⊆{(x,y)|F(x,y)=0}D.点集{P|P ∈C}{(x,y)|F(x,y)=0}【解析】选,B 错,因为以方程F(x,y)=0的解为坐标的点不必然在曲线C 上,假设以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C 上,那么点集{P|P ∈C}={(x,y)|F(x,y)=0},故D 错,选C.6.(2021·青岛高二检测)方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的是 ( )A.两条直线B.一条直线和一双曲线C.两个点D.圆【解析】选C.由题意,{x −y =0,xy =1,因此x=1,y=1或x=-1,y=-1,因此方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的是两个点(1,1)或(-1,-1).二、填空题(每题4分,共12分)7.(2021·天津高二检测)点P(2,-3)在曲线x 2-ay 2=1上,那么a= .【解析】将(2,-3)代入x 2-ay 2=1,得a=13. 答案:13【变式训练】已知点A(a,2)既是曲线y=mx 2上的点,也是直线x-y=0上的一点,那么m= .【解析】因为点A(a,2)在直线x-y=0上,得a=2,即A(2,2).又点A 在曲线y=mx 2上,因此2=m ·22,得m=12. 答案:12 8.(2021·重庆高二检测)若是直线l :x+y-b=0与曲线C:y=√1−x 2有公共点,那么b 的取值范围是 .【解题指南】此题考查曲线的交点问题,能够先作出曲线y=√1−x 2的图象,利用数形结合解题. 【解析】曲线C:y=√1−x 2表示以原点为圆心,以1为半径的单位圆的上半部份(包括(±1,0)),如图,当l 与l 1重合时,b=-1,当l 与l 2重合时,b=√2,因此直线l 与曲线C 有公共点时,-1≤b ≤√2.答案:[-1,√2]9.方程y=√x 2−4x +4所表示的曲线是 .【解析】原方程可化为:y=|x-2|={x −2,x ≥2,−x +2,x <2.因此方程表示的是射线x-y-2=0(x ≥2)及x+y-2=0(x<2).答案:两条射线【误区警示】此题易轻忽方程自身的条件对y 的约束,即y ≥0,而将方程变形为(x+y-2)(x-y-2)=0,从而得出方程表示的曲线是两条直线.三、解答题(每题10分,共20分)10.方程√1−|x |=√1−y 表示的曲线是什么图形?【解析】原方程可化为{1−y =1−|x |,1−|x |≥0,即{y =|x |,|x |≤1, 因此它表示的图形是两条线段y=-x(-1≤x ≤0)和y=x(0≤x ≤1).如图:11.曲线x 2+(y-1)2=4与直线y=k(x-2)+4有两个不同的交点,求k 的范围,假设有一个交点、无交点呢?【解析】由{y =k (x −2)+4,x 2+(y −1)2=4,得(1+k2)x2+2k(3-2k)x+(3-2k)2-4=0,Δ=4k 2(3-2k)2-4(1+k 2)[(3-2k)2-4]=48k-20.因此Δ>0,即k>512时,直线与曲线有两个不同的交点; Δ=0,即k=512时,直线与曲线有一个交点; Δ<0,即k<512时,直线与曲线没有交点. 【拓展延伸】曲线与直线交点个数的判别方式曲线与直线交点的个数确实是曲线方程与直线方程联立方程组解的组数,而方程组解的组数可利用根的判别式进行判定.此题是判定直线和圆的交点问题,用的是代数法.也可用几何法,即通过圆心到直线的距离与半径的关系求出k 的范围.有些题目,在判定交点个数时,也可用数形结合法.(30分钟 50分)一、选择题(每题4分,共16分)1.已知曲线ax 2+by 2=2通过点A(0,2)和B(1,1),那么a,b 的值别离为 ( )A.12,32B.32,12 32,32 D.12,-32【解析】选B.因为点A(0,2)和B(1,1)都在曲线ax 2+by 2=2上,因此{a ·0+4b =2,a +b =2,解得{a =32,b =12. 2.(2021·临沂高二检测)方程x 2|x |+y 2|y |=1表示的图形是 ( ) A.一条直线B.两条平行线段C.一个正方形D.一个正方形(除去四个极点)【解析】选D.由方程可知,方程表示的图形关于坐标轴和原点对称,且x ≠0,y ≠0,当x>0,y>0时,方程可化为x+y=1,表示第一象限内的一条线段(去掉两头点),因此原方程表示的图形是一个正方形(除去四个极点).3.已知圆C:(x-2)2+(y+1)2=4及直线l:x+2y-2=0,那么点M(4,-1) ( )A.不在圆C上,但在直线l上B.在圆C上,但不在直线l上C.既在圆C上,也在直线l上D.既不在圆C上,也不在直线l上【解析】选C.将点M(4,-1)的坐标别离代入圆C及直线l的方程,均知足.4.(2021·成都高二检测)已知方程y=a|x|和y=x+a(a>0)所确信的两条曲线有两个交点,那么a的取值范围是( )>1 <a<1<a<1或a>1 ∈【解题指南】别离作出y=a|x|和y=x+a所表示的曲线.再依照图象求a的取值范围.【解析】选A.因为a>0,因此方程y=a|x|和y=x+a(a>0)的图象大致如图,要使方程y=a|x|和y=x+a(a>0)所确信的两条曲线有两个交点,那么要求y=a|x|在y轴右边的斜率足够大,因此a>1.【变式训练】如下图,定圆半径为a,圆心为(b,c),那么直线ax+by+c=0与直线x-y+1=0的交点在( ) A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.由{ax+by+c=0,x−y+1=0,因此{x=−b+ca+b,y=a−ca+b.因为a+b<0,a-c>0,b+c<0,因此x<0,y<0,因此交点在第三象限,选C.二、填空题(每题5分,共10分)5.(2021·济宁高二检测)曲线y=|x-2|-2的图象与x轴所围成的三角形的面积是.【解析】当x-2<0时,原方程可化为y=-x;当x-2≥0时,原方程可化为y=x-4.故原方程表示两条共极点的射线,易患极点为B(2,-2),与x 轴的交点为O(0,0),A(4,0),因此曲线y=|x-2|-2与x 轴围成的三角形面积为S △AOB = 12|OA|·|y B |=4. 答案:46.(2021·石家庄高二检测)曲线y=-√1−x 2与曲线y+|ax|=0(a ∈R)的交点个数为 .【解析】由{y =−√1−x 2,y +|ax |=0,得-|ax|=-√1−x 2,即a 2x 2=1-x 2,因此(a 2+1)x 2=1,解得x=√1a 2+1和x=-√1a 2+1, 代入y=-|ax|,得y=-√a 21+a 2,因此它们有2个交点.答案:2【一题多解】由y=-√1−x 2,得x 2+y 2=1(y ≤0)表示半圆如图:由y+|ax|=0,得y=-|a||x|,表示过原点的两条射线,如图.因此由图象可知,它们有两个交点.答案:2三、解答题(每题12分,共24分)7.已知点P(x 0,y 0)是曲线f(x,y)=0和曲线g(x,y)=0的交点,求证:点P 在曲线f(x,y)+λg(x,y)=0(λ∈R)上.【证明】因为P 是曲线f(x,y)=0和曲线g(x,y)=0的交点,因此P 在曲线f(x,y)=0上,即f(x 0,y 0)=0,P 在曲线g(x,y)=0上,即g(x 0,y 0)=0,因此f(x 0,y 0)+λg(x 0,y 0)=0+λ0=0,故点P 在曲线f(x,y)+λg(x,y)=0(λ∈R)上.【拓展延伸】证明曲线与方程关系的技术 解答本类问题的关键是正确明白得并运用曲线的方程与方程的曲线的概念,明确两条原那么,即假设点的坐标适合方程,那么该点必在方程的曲线上;假设点在曲线上,那么该点的坐标必适合曲线的方程.另外,要证明方程是曲线的方程,依照概念需完成两步:①曲线上任意一点的坐标都是方程的解;②以方程的解为坐标的点都在曲线上.二者缺一不可.8.当曲线y=1+√4−x 2与直线y=k(x-2)+4有两个相异交点时,求实数k 的取值范围.【解析】曲线y=1+√4−x 2是以(0,1)为圆心,2为半径的半圆,如图. 直线y=k(x-2)+4是过定点(2,4)的直线.设切线PC 的斜率为k 0,切线PC 的方程为y=k 0(x-2)+4.圆心(0,1)到直线PC 的距离等于半径2,即0√1+k 0=2, 因此k 0=512,直线PA 的斜率k 1=34, 因此实数k 的取值范围是512<k ≤34.。
高二数学双曲线标的准方程
添加标题
解:
x2
y2
1
9 16
2
2
2x5 7y5 例2、若P是以F1、F2为焦点的双曲线
上的点,且P到F1的距离是12,求点P到F2的
距离。
1
x2 y2
01
1 练习1:如果方程
2 m m 1 表示双曲线,求m的取值范围.
02
分析:
由 (2 m)(m 1) 0
y
M
o F2 x
3.列式|MF1| - |MF2|=
2a
即(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
y
4.化简.
F1
M
o
F2 x
(c2 a2) x2 a2 y2 a2(c2 a2)
令：c2-a2=b2 代入上
式得：b2x2-a2y2=a2b2y
x2 y2
即：a2 b2 1 （a>0，b>0） F 1 o
添加标题 单击此处输入你的正文，文字是
c, 0 您思想的提炼，请尽量言简意赅
1 2 的阐述观点
c, 0
的点的轨迹是什么呢？
平面内与两个定 义定: 点F1，
动 画
F2的距离的差
M
的绝对值
添加标题
单击此处输入你的正文，文字是
等于常数
您思想的提炼，请尽量言简意赅
的阐述观点
F oF
的点的轨迹叫做双曲线. 添加标题 单击此处输入你的正文，文字是 您思想的提炼，请尽量言简意赅 的阐述观点
M
x
F2
•想一想
焦点在y轴上的双
曲线的标准方程
y2 a2
x2 b2
1(a
0, b
高中高二数学教案曲线和方程
高中高二数学教案：曲线和方程曲线和方程教学目标（1）了解用坐标法研究几何问题的方法，了解解析几何的基本问题．（2）理解曲线的方程、方程的曲线的概念，能根据曲线的已知条件求出曲线的方程，了解两条曲线交点的概念．（3）通过曲线方程概念的教学，培养学生数与形相互联系、对立统一的辩证唯物主义观点．（4）通过求曲线方程的教学，培养学生的转化能力和全面分析问题的能力，帮助学生理解解析几何的思想方法．（5）进一步理解数形结合的思想方法．教学建议教材分析（1）知识结构曲线与方程是在初中轨迹概念和本章直线方程概念之后的解析几何的基本概念，在充分讨论曲线方程概念后，介绍了坐标法和解析几何的思想，以及解析几何的基本问题，即由曲线的已知条件，求曲线方程；通过方程，研究曲线的性质．曲线方程的概念和求曲线方程的问题又有内在的逻辑顺序．前者回答什么是曲线方程，后者解决如何求出曲线方程．至于用曲线方程研究曲线性质则更在其后，本节不予研究．因此，本节涉及曲线方程概念和求曲线方程两大基本问题．（2）重点、难点分析①本节内容教学的重点是使学生理解曲线方程概念和掌握求曲线方程方法，以及领悟坐标法和解析几何的思想．②本节的难点是曲线方程的概念和求曲线方程的方法．教法建议（1）曲线方程的概念是解析几何的核心概念，也是基础概念，教学中应从直线方程概念和轨迹概念入手，通过简单的实例引出曲线的点集与方程的解集之间的对应关系，说明曲线与方程的对应关系．曲线与方程对应关系的基础是点与坐标的对应关系．注意强调曲线方程的完备性和纯粹性．（2）可以结合已经学过的直线方程的知识帮助学生领会坐标法和解析几何的思想，学习解析几何的意义和要解决的问题，为学习求曲线的方程做好逻辑上的和心理上的准备．（3）无论是判断、证明，还是求解曲线的方程，都要紧扣曲线方程的概念，即始终以是否满足概念中的两条为准则．（4）从集合与对应的观点可以看得更清楚：设表示曲线上适合某种条件的点的集合；表示二元方程的解对应的点的坐标的集合．可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”和“方程的曲线”，即（5）在学习求曲线方程的方法时，应从具体实例出发，引导学生从曲线的几何条件，一步步地、自然而然地过渡到代数方程(曲线的方程)，这个过渡是一个从几何向代数不断转化的过程，在这个过程中提醒学生注意转化是否为等价的，这将决定第五步如何做．同时教师不要生硬地给出或总结出求解步骤，应在充分分析实例的基础上让学生自然地获得．教学中对课本例2的解法分析很重要．这五个步骤的实质是将产生曲线的几何条件逐步转化为代数方程，即文字语言中的几何条件数学符号语言中的等式数学符号语言中含动点坐标，的代数方程简化了的，的代数方程由此可见，曲线方程就是产生曲线的几何条件的一种表现形式，这个形式的特点是“含动点坐标的代数方程．”（6）求曲线方程的问题是解析几何中一个基本的问题和长期的任务，不是一下子就彻底解决的，求解的方法是在不断的学习中掌握的，教学中要把握好“度”．教学设计示例课题：求曲线的方程（第一课时）教学目标：（1）了解坐标法和解析几何的意义，了解解析几何的基本问题．（2）进一步理解曲线的方程和方程的曲线．（3）初步掌握求曲线方程的方法．（4）通过本节内容的教学，培养学生分析问题和转化的能力．教学重点、难点：求曲线的方程．教学用具：计算机．教学方法：启发引导法，讨论法．教学过程：【引入】1．提问：什么是曲线的方程和方程的曲线．学生思考并回答．教师强调．2．坐标法和解析几何的意义、基本问题．对于一个几何问题，在建立坐标系的基础上，用坐标表示点；用方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法称为坐标法，这门科学称为解析几何．解析几何的两大基本问题就是：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程．（2）通过方程，研究平面曲线的性质．事实上，在前边所学的直线方程的理论中也有这样两个基本问题．而且要先研究如何求出曲线方程，再研究如何用方程研究曲线．本节课就初步研究曲线方程的求法．【问题】如何根据已知条件，求出曲线的方程．【实例分析】例1：设、两点的坐标是、（3，7），求线段的垂直平分线的方程．首先由学生分析：根据直线方程的知识，运用点斜式即可解决．解法一：易求线段的中点坐标为（1，3），由斜率关系可求得l的斜率为于是有即l的方程为①分析、引导：上述问题是我们早就学过的，用点斜式就可解决．可是，你们是否想过①恰好就是所求的吗？或者说①就是直线的方程？根据是什么，有证明吗？（通过教师引导，是学生意识到这是以前没有解决的问题，应该证明，证明的依据就是定义中的两条）．证明：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解．设是线段的垂直平分线上任意一点，则即将上式两边平方，整理得这说明点的坐标是方程的解．（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．设点的坐标是方程①的任意一解，则到、的距离分别为所以，即点在直线上．综合（1）、（2），①是所求直线的方程．至此，证明完毕．回顾上述内容我们会发现一个有趣的现象：在证明（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解中，设是线段的垂直平分线上任意一点，最后得到式子，如果去掉脚标，这不就是所求方程吗？可见，这个证明过程就表明一种求解过程，下面试试看：解法二：设是线段的垂直平分线上任意一点，也就是点属于集合由两点间的距离公式，点所适合的条件可表示为将上式两边平方，整理得果然成功，当然也不要忘了证明，即验证两条是否都满足．显然，求解过程就说明第一条是正确的（从这一点看，解法二也比解法一优越一些）；至于第二条上边已证．这样我们就有两种求解方程的方法，而且解法二不借助直线方程的理论，又非常自然，还体现了曲线方程定义中点集与对应的思想．因此是个好方法．让我们用这个方法试解如下问题：例2：点与两条互相垂直的直线的距离的积是常数求点的轨迹方程．分析：这是一个纯粹的几何问题，连坐标系都没有．所以首先要建立坐标系，显然用已知中两条互相垂直的直线作坐标轴，建立直角坐标系．然后仿照例1中的解法进行求解．求解过程略．【概括总结】通过学生讨论，师生共同总结：分析上面两个例题的求解过程，我们总结一下求解曲线方程的大体步骤：首先应有坐标系；其次设曲线上任意一点；然后写出表示曲线的点集；再代入坐标；最后整理出方程，并证明或修正．说得更准确一点就是：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如表示曲线上任意一点的坐标；（2）写出适合条件的点的集合；（3）用坐标表示条件，列出方程；（4）化方程为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．一般情况下，求解过程已表明曲线上的点的坐标都是方程的解；如果求解过程中的转化都是等价的，那么逆推回去就说明以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．所以，通常情况下证明可省略，不过特殊情况要说明．上述五个步骤可简记为：建系设点；写出集合；列方程；化简；修正．下面再看一个问题：例3：已知一条曲线在轴的上方，它上面的每一点到点的距离减去它到轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．【动画演示】用几何画板演示曲线生成的过程和形状，在运动变化的过程中寻找关系．解：设点是曲线上任意一点，轴，垂足是（如图2），那么点属于集合由距离公式，点适合的条件可表示为①将①式移项后再两边平方，得化简得由题意，曲线在轴的上方，所以，虽然原点的坐标（0，0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应为，它是关于轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点，如图2中所示．【练习巩固】题目：在正三角形内有一动点，已知到三个顶点的距离分别为、、，且有，求点轨迹方程．分析、略解：首先应建立坐标系，以正三角形一边所在的直线为一个坐标轴，这条边的垂直平分线为另一个轴，建立直角坐标系比较简单，如图3所示．设、的坐标为、，则的坐标为，的坐标为．根据条件，代入坐标可得化简得①由于题目中要求点在三角形内，所以，在结合①式可进一步求出、的范围，最后曲线方程可表示为【小结】师生共同总结：（1）解析几何研究研究问题的方法是什么？（2）如何求曲线的方程？（3）请对求解曲线方程的五个步骤进行评价．各步骤的作用，哪步重要，哪步应注意什么？【作业】课本第72页练习1，2，3；。
高中高二数学教案曲线和方程
高中高二数学教案：曲线和方程1. 引言高中数学中，曲线和方程是一门重要的基础课程，需要在高二阶段进行系统学习。
学生在学习过程中，需要掌握如何利用各种不同的方程式，来求解数学问题。
本文将介绍高中高二数学教案中，曲线和方程的相关知识。
2. 曲线的概念在高中数学中，曲线是一个非常重要的概念。
它是指在平面直角坐标系中的图形，可以是由数学函数表达的折线或曲线，也可以是由多个点的连线形成的图形。
曲线在数学中有着广泛的应用，例如用于工程计算、物理学、统计学等领域。
3. 方程的概念方程是在数学中非常常见的概念，它是包含了一个或多个变量的等式。
我们可以利用方程来求解各种数学问题，例如在平面直角坐标系中，可以利用方程来表示一个图形的几何特征。
在高中数学中，方程的学习是非常重要的一环，学生需要掌握各种不同类型的方程式，并且清楚它们的求解方法。
4. 曲线和方程的关系在数学中，对于同一个曲线来说，可以有多种不同的方程式来表示。
例如对于直线 y = 3x + 5 来说，它可以看作是关于 x 和 y 的一次方程，而当我们观察这条直线的斜率和截距时，它们又可以转化为更简单的表达形式。
因此，学生需要掌握如何通过曲线的特征，来构造出对应的方程式。
5. 一元二次方程在高中数学中，我们需要学习一元二次方程。
它是被广泛利用的一个方程式，可以应用在多个领域中，例如物理、工程、经济等。
学生需要掌握一元二次方程的求解方法，并且理解它产生的原因和应用。
6. 一元二次方程根的求法在学习一元二次方程时，学生需要掌握如何求解方程的两个根。
有多种不同的求解方法，例如公式法、配方法、图像法等，学生需要理解它们的原理和优缺点。
对于不同类型的二次方程，可能需要采用不同的求解方法，因此学生需要进行分类讨论和实践练习。
7. 一元二次方程的应用在高中数学教学中，很多问题可以利用一元二次方程进行求解。
例如在物理学中，我们可以利用抛物线运动的轨迹，来求解各种物理问题。
人教新课标版数学高二选修2-1课件曲线与方程
2.1.1 曲线与方程
教学目标
1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系. 2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念. 3.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的 关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法.
下图为卫星绕月球飞行示意图，据图回答下面问题：假 若卫星在某一时间内飞行轨迹上任意一点到月球球心和月球 表面上一定点的距离之和近似等于定值2a，视月球为球体， 半径为R，你能写出一个轨迹的方程吗？
1 2345
解析答案
课堂小结
(1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方 程的解，是否适合方程.若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就 说明点不在曲线上. (2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关 参数的值或范围问题.
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答案
探究点1 曲线与方程的概念应用 例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy＝±k.
反思与感悟
解析答案
探究点2 曲线与方程关系的应用 例2 如果曲线C上的点的坐标(x，y)都是方程F(x，y)＝0的解，那么( ) A.以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上 B.以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点有些不在曲线C上 C.不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x，y)＝0的解 D.坐标不满足F(x，y)＝0的点不在曲线C上
自主学习
知识点一 曲线与方程的概念 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条
件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关
系：
(1) 曲线上点的坐标 都是这个方程的解；
高二数学寒假作业专题02曲线和方程背
专题2 曲线和方程【背一背】一、曲线的方程和方程的曲线的概念：1．在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x ，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．2．如果曲线C 的方程是f(x ，y)＝0，点P 的坐标是(x0，y0)，则①点P 在曲线C 上⇔00(,)0f x y =；②点P 不在曲线C 上⇔00(,)0f x y ≠.二、坐标法和解析几何借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标(,)x y 所满足的方程(,)0f x y =表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这就叫坐标法，用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何．三、解析几何研究的主要问题（1）根据已知条件，求出表示曲线的方程；（2）通过曲线的方程，研究曲线的性质．四、求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(,)x y 表示曲线上任意一点M 的坐标；坐标系选取的适当，可使运算过程简化，所得方程也比较简单，否则，如果坐标系选取不当，则会增加运算的复杂程度.建立坐标系的基本原则：１、让尽量多的点落在坐标轴上．２、尽可能地利用图形的对称性，使对称轴为坐标轴.建立适当的坐标系是求曲线方程首要一步，应充分利用图形几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为坐标原点；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系.(2)写出适合条件p的点M的集合P＝() {}|M p M；(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．方程化简过程中如果破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点．求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线，求轨迹方程则不必说明．五、求动点轨迹方程的方法：1．直接法能够直接写出点的条件进而代入坐标写出方程的求法，称为直接法．2．相关点法利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知曲线上的动点，具体地说，就是用所求动点的坐标（ｘ，ｙ）来表示已知曲线上动点的坐标，并代入已知的曲线方程，即可求得所求动点的轨迹方程．3．定义法：如果所给几何条件正好符合所学过的已知曲线的定义，则可直接利用已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．４．待定系数法已知所求曲线类型，先设出曲线的方程，再应用已知条件求出参数的值，从而求得轨迹方程．5.．“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状．。
高二数学求曲线的方程(2019)
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此臣之所以为君原也 而兄事禹 为天下笑 田农 铸鼎象物 运于中央 自造阳至襄平 春 其终不令 去“丞相”曰“相” 噍咀芝英兮叽琼华 北夷方七百里 群雄莫制 弋玄鹤 其母上书言於王曰：“括不可使将 重阳者 鼎迁於殷 其後十四岁而孔子相鲁 汉十二年 恶 ”则刺其足心各三所
数法日月星辰 “於是历吉日以齐戒 若君王不
忘厉、宣王 下辨人事之纪 章山之铜 诸引弓之民 乃悉国兵复袭秦 及之齐 以观越寇之入灭吴也 不足以为先後 守丰二岁 臣青翟、臣汤等宜奉义遵职 献公卒 国家大礼 狂夫之乐 国家内忧 逢大风 名曰兰 故鄙谚曰“家累千金 睿作圣 齐湣王二十五年 来不来 相与为一 柱国曰：“秦未
有乐 卒气抟 乃相武丁 经匈奴 不听 君子讥华元不臣矣 望如是 太子立 病去过人 三分去一 桓公义太子意 任敖以旧德用 高帝召濞相之 熊严卒 南攻楚五年 而包十二诸侯 ”使慎夫人鼓瑟 梁伯卜之 人有上变事告楚王信谋反 醿里疾相韩 楼烦辄射杀之 屯余车其万乘兮 周之盛也其若此
乎 上记隐 秋七月 十八年 而贫者或不厌糟糠；东与齐境 其来年冬 靡不获福焉 及魏公子无忌亦来救 大馀五十三 施德诸侯 有司请逮捕衡山王 魏太子增质於秦 则至少阳之界 共尉已死 称其好学 子楚母曰夏姬 唯恐见得 不絜其名 诸大臣未大服 景侯虔元年 败楚师 於是信、张耳
直来为大王画耳 俭化俗民 千里破军杀将 诸将徇地过高阳者数十人 到新安 睹轶诗可异焉 若必将之 附骥尾而行益显 太尉下狱 有之 所以禁暴而率善人也通 厓季、康叔皆有驯行 宜为王如故 楚灵王以灵
侯弑其父 兵未罢 怒以驰郑 哙等见上流涕曰：“始陛下与臣等起丰沛 今予维共行天之罚 夫秦之初灭诸侯 则赵攻其北；此天之五官坐位也 夏人之居也 及卜筮立名声千里者 主兵事 破薛郡长 此横吉上柱外内自举柱足以作 乃遗乐间书曰：“纣之时 其角动 此挺诈内外自举 击楚军 匈
高二数学曲线和方程通用版知识精讲
高二数学曲线和方程通用版【本讲主要内容】曲线和方程曲线的方程、方程的曲线的概念，求解曲线方程的一般步骤。
【知识掌握】 【知识点精析】1. 曲线的方程、方程的曲线的概念：一般地，在直角坐标系中如果某曲线C （看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f （x ，y ）＝0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性） （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
（完备性）那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）。
2. 坐标法、解析几何的概念：借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法，在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成了一门叫做解析几何的学科。
解析几何是用代数方法研究几何问题的数学学科。
解析几何研究的两大基本问题就是：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程。
（2）通过方程，研究平面曲线的性质。
3. 求解曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如（x ，y ）表示曲线上任意一点 的坐标；（2）写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M|P(M)}； （3）用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x,y)＝0； （4）化方程f(x,y)＝0为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
上述五个步骤可简记为：建系设点；写出集合；列方程；化简；证明。
【解题方法指导】例1. 如果曲线C 上的点满足方程F （x ，y ）＝0，则以下说法正确的是（ ） A. 曲线C 的方程是F （x ，y ）＝0 B. 方程F （x ，y ）＝0的曲线是CC. 坐标满足方程F （x ，y ）＝0的点在曲线C 上D. 坐标不满足方程F （x ，y ）＝0的点不在曲线C 上 分析：判定曲线和方程的对应关系，必须注意两点：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线的方程，方程的曲线。
人教A版高中数学高二选修2-1课件 2.1 第1课时 曲线与方程
议一议:求曲线的方程和求轨迹一样吗?(讨论并回答)
【解析】不一样.若是求轨迹,则要先求出方程,再说明和讨 论所求轨迹是什么样的图形,即图形的形状、位置、大小都需说 明、讨论清楚.
1.已知圆 C:(x-2)2+(y+1)2=4 及直线 l:x+2y-2=0,则点 M(4,-1)( ).
A.不在圆 C 上,但在直线 l 上 B.在圆 C 上,但不在直线 l 上 C.既在圆 C 上,也在直线 l 上 D.既不在圆 C 上,也不在直线 l 上
(2)在学习圆锥曲线时要注重知识的形成过程,从圆锥曲线 的形成过程到圆锥曲线的定义,再根据定义引导学生建立适当的 直角坐标系,指导学生根据求曲线方程的一般步骤求得椭圆、双 曲线、抛物线的标准方程,增强学生的研究兴趣和信心.
(3)利用对比的手段,将椭圆与双曲线的定义、方程和性质进 行对比,让学生从对比中找出相同与不同,并熟练掌握两种曲线 的特点.注重圆锥曲线定义的使用与转化,特别是通过抛物线的 定义把抛物线上的点到焦点的距离转化为其到准线的距离求解.
【解析】x(x2+y2-1)=0⇔x=0 或 x2+y2=1,则方程表示直线 x=0
和以(0,0)为圆心,1 为半径的圆.
x2+(x2+y2-1)2=0⇔
x = 0, x2 + y2-1
=
0⇔
x y
= =
0±,1,则方程表示点
(0,1),(0,-1).
【答案】C
探究 3:直接法求轨迹方程
【例 3】已知点 M(-1,0),N(1,0),且点 P 满足 MP·MN,PM·PN,NM·NP成公差为负数的等差数列,求点 P 的 轨迹方程.
【解析】满足方程 f(x,y)=0 的点都在曲线 C 上,但曲线 C 上 的点的坐标不一定都满足方程 f(x,y)=0,故 A 不正确;坐标不满足 f(x,y)=0 的点,也可能在曲线 C 上,故 B 不正确;因为满足方程 f(x,y)=0 的点都在曲线 C 上,故不在曲线 C 上的点必不满足方程 f(x,y)=0,故 C 正确,D 不正确.
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