瞬时速度与导数
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s(2)
s
v 2.05g 20.5m / s.
(2)将 Δ t=0.01代入上式，得:
__
即 : 物体在时刻t0 2s 的瞬时速度等于 20 m
s (3)当t 0时, 20m / s. t
v 2.005g 20.05m / s.
s
s
二.导数的概念
（a, b) 函数 y f ( x )在区间（ a, b)有定义，x0
1 2 s gt 其中位移单 例1:物体作自由落体运动,运动方程为： 2 O 位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求：
(1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度； (2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度； (3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度. s(2+t) __ s 1 解: v 2 g g (t ) t 2 (1)将 Δ t=0.1代入上式，得:
y (3) 求导数A X 0时， A x
例1.求y=x2+2在点x=1处的导数 解：y [(1 x) 2 2] (12 2) (x) 2 2x
y 2x (x) 2 2 x x x y 当x 0时， 2 x 变题.求y=x2+2在点x=a处的导数 y ' | x 1 2
一.瞬时速度
已知物体作变速直线运动 ,其运动方程为 s＝s(t )(ｓ表示位 移,t表示时间),求物体在t0时刻的速度．
如图设该物体在时刻t0的位移是ｓ(t0)＝OA0,在时刻t0 +Δ t 的位移是s(t0+ Δ t)=OA1,则从t0 到 t0 +Δ t 这段时间内,物 体的位移是:
s OA1 OA0 s(t 0 t ) s(t 0 ) 在时间段(t0 t ) t0 t 内，物体的平均速度为: __ s( t 0 t ) s( t 0 ) s v ( t 0 t ) t 0 t
s(t t ) s(t ) v. t 也就是位移对于时间的瞬时变化率
2、导数的概念
（a, b) 函数 y f ( x )在区间（ a, b)有定义，x0
y f ( x0 x) f ( x0 ) X 0,比值 A x x
我们称f(x)在x=x0可导,并称该常数A为函数f(x) 在x=x0处的导数，记为f/(x)．
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3、导函数与导数（值）的关系
如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导，就说 f(x)在开区间 (a,b)内可导．这时，对于开区间 (a,b)内每 一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数 f '(x0)，这 样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一 新函数叫做 f(x) 在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数， 记作
y 当x 0时, x
1 1 , x0 x x0 2 x0
1 1 1 由y'| x x0 , 得 , x0 1. 2 2 x0 2
三、函数在一区间上的导数：
如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导，就说 f(x)在开区间 (a,b)内可导．这时，对于开区间 (a,b)内每 一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数 f '(x0)，这 样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一 新函数叫做 f(x) 在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数， 记作
练习：(1)求函数y=x2在x=1处的导数; 1 (2)求函数 y x 在x=2处的导数. x
解： (1)y Hale Waihona Puke Baidu(1 x)2 12 2x (x)2 ,
y 2 x ( x ) 2 2 x , x x y 当x 0时， 2, y | x 1 2. x
1 例 :已知函数y x在x x0处附近有定义, 且y ' |x x0 , 2 求x0的值.
解 : y x0 x x0 ,
y x x0 x x0 ( x0 x x0 )( x0 x x0 ) x x ( x 0 x x 0 ) 1 . x 0 x x 0
f (x0)与f (x)之间的关系：
当x0∈(a,b)时,函数y=f(x)在点x0处的导数f ’(x0)等于 函数f(x)在开区间(a,b)内的导数f ’(x)在点x0处的函数值
f (x 0)f (x)
． x x0 ．
课堂小结：
1、瞬时速度
如果物体的运动规律是 s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v， 就是物体在t到 t+Δ t这段时间内，当 Δ t0 时平均速度:
平均速度： 反映了物体运动时的快慢程度,但要精确地描述非匀速直 线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度,也既需要 通过瞬时速度来反映. 如果物体的运动规律是 s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v， 就是物体在t到 t+Δ t这段时间内，当 Δ t0 时平均速度:
s(t t ) s(t ) v. t 也就是位移对于时间的瞬时变化率
y f ( x0 x) f ( x0 ) X 0,比值 A x x
我们称f(x)在x=x0可导,并称该常数A 为函数f(x)在x=x0处的导数，记为f/(X0)．
由定义求导数（三步法）
步骤:
(1)算增量y f ( x0 x) f ( x0 ) y f ( x0 x) f ( x0 ) (2) 算比值 ; x x
f (x0)与f (x)之间的关系：
当x0∈(a,b)时,函数y=f(x)在点x0处的导数f ’(x0)等于 函数f(x)在开区间(a,b)内的导数f ’(x)在点x0处的函数值
f (x 0)f (x)
． x x0 ．
1 1 x (2)y (2 x) (2 ) x , 2 x 2 2(2 x)
x y 1 2( 2 x ) 1 , x x 2( 2 x ) y 3 3 当x 0时, , y | x 2 . x 4 4 x
s(2)
s
v 2.05g 20.5m / s.
(2)将 Δ t=0.01代入上式，得:
__
即 : 物体在时刻t0 2s 的瞬时速度等于 20 m
s (3)当t 0时, 20m / s. t
v 2.005g 20.05m / s.
s
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二.导数的概念
（a, b) 函数 y f ( x )在区间（ a, b)有定义，x0
1 2 s gt 其中位移单 例1:物体作自由落体运动,运动方程为： 2 O 位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求：
(1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度； (2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度； (3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度. s(2+t) __ s 1 解: v 2 g g (t ) t 2 (1)将 Δ t=0.1代入上式，得:
y (3) 求导数A X 0时， A x
例1.求y=x2+2在点x=1处的导数 解：y [(1 x) 2 2] (12 2) (x) 2 2x
y 2x (x) 2 2 x x x y 当x 0时， 2 x 变题.求y=x2+2在点x=a处的导数 y ' | x 1 2
一.瞬时速度
已知物体作变速直线运动 ,其运动方程为 s＝s(t )(ｓ表示位 移,t表示时间),求物体在t0时刻的速度．
如图设该物体在时刻t0的位移是ｓ(t0)＝OA0,在时刻t0 +Δ t 的位移是s(t0+ Δ t)=OA1,则从t0 到 t0 +Δ t 这段时间内,物 体的位移是:
s OA1 OA0 s(t 0 t ) s(t 0 ) 在时间段(t0 t ) t0 t 内，物体的平均速度为: __ s( t 0 t ) s( t 0 ) s v ( t 0 t ) t 0 t
s(t t ) s(t ) v. t 也就是位移对于时间的瞬时变化率
2、导数的概念
（a, b) 函数 y f ( x )在区间（ a, b)有定义，x0
y f ( x0 x) f ( x0 ) X 0,比值 A x x
我们称f(x)在x=x0可导,并称该常数A为函数f(x) 在x=x0处的导数，记为f/(x)．
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3、导函数与导数（值）的关系
如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导，就说 f(x)在开区间 (a,b)内可导．这时，对于开区间 (a,b)内每 一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数 f '(x0)，这 样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一 新函数叫做 f(x) 在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数， 记作
y 当x 0时, x
1 1 , x0 x x0 2 x0
1 1 1 由y'| x x0 , 得 , x0 1. 2 2 x0 2
三、函数在一区间上的导数：
如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导，就说 f(x)在开区间 (a,b)内可导．这时，对于开区间 (a,b)内每 一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数 f '(x0)，这 样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一 新函数叫做 f(x) 在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数， 记作
练习：(1)求函数y=x2在x=1处的导数; 1 (2)求函数 y x 在x=2处的导数. x
解： (1)y Hale Waihona Puke Baidu(1 x)2 12 2x (x)2 ,
y 2 x ( x ) 2 2 x , x x y 当x 0时， 2, y | x 1 2. x
1 例 :已知函数y x在x x0处附近有定义, 且y ' |x x0 , 2 求x0的值.
解 : y x0 x x0 ,
y x x0 x x0 ( x0 x x0 )( x0 x x0 ) x x ( x 0 x x 0 ) 1 . x 0 x x 0
f (x0)与f (x)之间的关系：
当x0∈(a,b)时,函数y=f(x)在点x0处的导数f ’(x0)等于 函数f(x)在开区间(a,b)内的导数f ’(x)在点x0处的函数值
f (x 0)f (x)
． x x0 ．
课堂小结：
1、瞬时速度
如果物体的运动规律是 s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v， 就是物体在t到 t+Δ t这段时间内，当 Δ t0 时平均速度:
平均速度： 反映了物体运动时的快慢程度,但要精确地描述非匀速直 线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度,也既需要 通过瞬时速度来反映. 如果物体的运动规律是 s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v， 就是物体在t到 t+Δ t这段时间内，当 Δ t0 时平均速度:
s(t t ) s(t ) v. t 也就是位移对于时间的瞬时变化率
y f ( x0 x) f ( x0 ) X 0,比值 A x x
我们称f(x)在x=x0可导,并称该常数A 为函数f(x)在x=x0处的导数，记为f/(X0)．
由定义求导数（三步法）
步骤:
(1)算增量y f ( x0 x) f ( x0 ) y f ( x0 x) f ( x0 ) (2) 算比值 ; x x
f (x0)与f (x)之间的关系：
当x0∈(a,b)时,函数y=f(x)在点x0处的导数f ’(x0)等于 函数f(x)在开区间(a,b)内的导数f ’(x)在点x0处的函数值
f (x 0)f (x)
． x x0 ．
1 1 x (2)y (2 x) (2 ) x , 2 x 2 2(2 x)
x y 1 2( 2 x ) 1 , x x 2( 2 x ) y 3 3 当x 0时, , y | x 2 . x 4 4 x