瞬时速度与导数
3.1.2-3.1.3 瞬时速度与导数 导数的几何意义全面版
3.“Δx→0”的意义. 剖析:Δx与0的距离要多近有多近,即|Δx-0|可以小于给定的任意 小的正数,但始终有Δx≠0.
题型一
题型二
题型三
题型四
导数的定义
【例1】 已知函数y=f(x)在点x0处可导,试求下列各极限的值.
(1) lim
Δ ������ →0
f(x0-���������x���x)-f(x0);
f(x0+������������xx)-f(x0)=l”.
名师点拨(1)运动的瞬时速度就是路程函数y=s(t)的瞬时变化率.
(2)运动的瞬时加速度就是速度函数y=v(t)的瞬时变化率.
【做一做1】 一质点作直线运动,其位移s与时间t的关系是s=3t-
t2,则质点的初速度为
.
解析:质点的初速度即为s=3t-t2在t=0处的瞬时变化率.
答案:4
1.如何求函数y=f(x)在点x0处的导数? 剖析:(1)求函数值的改变量Δy;
(2)求平均变化率ΔΔ������������; (3)取极限得导数 f'(x0)=Δl���i���m→0 ������������yx.
2.“函数在一点处的导数”“导函数”“导数”三者之间有何区别与联
系?
剖析(1)函数在一点处的导数f'(x0)是一个常数,不是变量. (2)函数的导数是针对某一区间内任意点x而言的.函数f(x)在区间
【做一做4】 曲线y=x2在点(2,4)处的切线的斜率为
.
解析:曲线y=x2在点(2,4)处的切线的斜率就是函数y=x2在x=2处
的导数.
因此其斜率
k= lim
Δ ������ →0
(2+������x)2-22 ������x
第三章 3.1.2瞬时速度与导数
导
数
3.1.2 瞬时速度与导数
学习目标
1.理解从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.
2.了解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数.
3.掌握函数在某一点处的导数的定义.
内容索引
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一
思考1
答案
瞬时变化率
物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2，试求物体在[1,1＋Δt]这
Δs ∴Δ lim ＝ lim (2 t 0＋1＋Δt)＝2t0＋1. → → t 0 Δt Δt 0
则2t0＋1＝9，∴t0＝4. 则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
解答
反思与感悟
(1)不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导
致无从下手解答本题的常见问题. (2)求运动物体瞬时速度的三个步骤 ①求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0). Δs ②求平均速度 v ＝ Δt .
f′(100)＝－0.6表示服药后100 min时，血液中药物的质量浓度下降的
速度为0.6 μg/(mL· min).
解答
达标检测
1.如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那
么其在1.2 s末的瞬时速度为
A.－4.8 m/s √
C.0.88 m/s 解析
B.－0.88 m/s
Δs ③求瞬时速度，当 Δt 无限趋近于 0 时， Δt 无限趋近于的常数 v 即为 瞬时速度，即 v＝s′(t0).
跟踪训练 2
一质点M按运动方程 s(t) ＝at2＋1做直线运动 ( 位移单位： m，
时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值. 解 质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率.
导数运动的瞬时速度
导数运动的瞬时速度
导数运动的瞬时速度
1. 导数是什么？
导数在数学中被定义为函数在某一点上的变化率。
在物理学中，导数
被用来描述某个物体的速度、加速度等物理量。
2. 瞬时速度是什么？
瞬时速度是指物体在某一时刻的瞬间速度。
换句话说，它是物体在某
个瞬间的瞬间位移与时间的比率。
3. 导数运动的瞬时速度是什么？
导数运动的瞬时速度指的是一种运动，它的速度是由导数来计算得出的。
当一个物体在某个时刻的位移变化率等于该点处的导数时，我们
称该时刻的速度为瞬时速度。
4. 导数运动的应用
导数运动的应用非常广泛。
在物理学中，导数运动可以用来描述各种
类型的运动。
例如，我们可以用导数运动来描述自由落体、匀速运动、非匀速运动等。
5. 导数运动的计算
要计算导数运动的瞬时速度，我们需要先求出该点处的导数。
一般来说，导数可以通过微积分的方法来求解。
然后，我们可以将导数代入求解瞬时速度的公式中，从而得出瞬时速度的值。
6. 导数运动的意义
导数运动的意义在于帮助我们更加准确地描述一个物体的运动状态。
通过计算导数，我们可以得到物体在某个时刻的瞬时速度，帮助我们更好地理解和描述物体的运动速度。
7. 总结
导数运动的瞬时速度是一种非常重要的物理量，在物理学中被广泛应用。
通过计算导数，我们可以精确地描述和计算一个物体在某个时刻的瞬时速度，从而更好地理解和描述物体的运动状态。
1.1.2 瞬时速度与导数
当Δ t → 0时， 上式 → -13.1
这与表格中的计算结果一致，即“当△t趋近于0时，
平均速度趋近于常数-13.1”.这也说明运动员在t=2s
时的（瞬时）速度就是-13.1m/s.
问题4：探讨运动员在t=t0时的（瞬时）速度是多少？
h(t0 +t ) h(t0 ) 解析： 由 t
[10 4.9(t0 +t ) 2 6.5(t0 +t )] (10 4.9t0 2 6.5t0 ) t 2 4.9t0 t 4.9(t )2 6.5t t 9.8t0 6.5 4.9t
的平均速度为
h(2.1) h(2) 2.041 3.4 13.59(m / s). 2.1 2 0.1
问题2：运用计算器可以算出一系列关于时间改变量 △t的平均速度，相应计算结果见下表： 时间区间（s） [2,2.1] [2,2.01] [2,2.001] [2,2.000 1] [2,2.000 01] „„ 时间改变量(s) 0.1 0.01 0.001 0.000 1 0.000 01 „„ 平均速度（m/s) -13.59 -13.149 -13.104 9 -13.100 49 -13.100 049 „„
[( x +x)2 +1] （x 2 1 ） lim x 0 x
lim (2 x +x)
x 0
2x
瞬时速度与导数
火箭垂直向上发射是变速直线运动。
设火箭运动位移与时间 的关系是s f (t ).
问题一： 火箭在t0、t0 t时刻的位移分别怎么表 示？
时间段t0 , t0 t 内平均速度如何计算？
问题二： 上述平均速度能不能近 似的看做火箭在 t0
时刻的速度？
问题三：用平均速度近似 t0时刻速度时，要想得到 更
记作f ' ( x0 )或y' x x0
则l称为函数f ( x)在点x0的瞬时变化率。
f ( x x) f ( x) 当x 0时， 0 l x
当x 0时，函数平均变化率的 极限等于 函数在x0的瞬时变化率 l，记作 f ( x0 x) f ( x) l x
lim
x 0
导数： 函数在x0的瞬时变化率，通常定 义为f ( x)在x x0处的导数。
精确值，可如何改变时 间间隔t来实现？
设在10米跳台上，运动员跳离 跳台时垂直向上的 速度为6.5m / s.运动员在时刻 t距离水面的高度 1 2 h(t ) 10 gt 6.5t 2 其中g为重力加速度， g 9.8m / s 2 .于是
h(t ) 10 4.9t 6.5t
h(2 t ) h(2) 当t趋近于0时， 趋近于 13.1 t
v(2) 13.1(m / s)
运动方程： h(t ) 10 4.9t 6.5t
2
任务3：先不确定t，计算区间 2,2 t
上的平均速度得到含 t表达式
h(2 t ) h(2) t 2 2 10 4.9(2 t ) 6.5(2 t ) 10 4.9 2 6.5 2 t 4.9t 2 13.1t t
瞬时速度与导数
瞬时速度与导数
知识回顾：1.导数的定义
2.定义解题的三步
3.导数的几何意义
练习：
1. 火箭竖直向上发射，熄火后向上的速度达到100m/s ，试问熄火后多长时间火箭向上的速度为0。
2. 质点M 按规律S (t)=at 2+1作直线运动，若质点M 在t=2时的瞬时速度为8m/s ，求常数a 的值。
例题：
例1.一个正方形铁板在00C 时，边长为10cm 时，加热后铁板会膨胀，当温度为t 0C 时，边长为10（1+at ）cm.,a 为常数，试求铁板面积对温度的膨胀率。
例2.（2009湖北高考理科）设球的半径为时间t 的函数R (t)，若球的体积以均匀速度C 增长，则表面积的速度与半径（ ）
A ．成正比，比例系数为C B. 成正比，比例系数为2C
C. 成反比，比例系数为C
D. 成反比，比例系数为2C
例3.设气球以100cm 3/s 的常速注入气体，假设气体压力不变，那么气球半径为10cm 时，气球半径增加的速度为（ ）cm/s. A.π41 B.π
1 C.π21 D.π32。
3.1.2瞬时速度与导数
Δs 1．求瞬时速度应先求平均速度 v ＝ Δt ，再用公式 v Δs ＝ lim Δt ，求得瞬时速度． Δx→0 2．如果物体的运动方程是 s＝s(t)，那么函数 s＝s(t) 在 t＝t0 处的导数，就是物体在 t＝t0 时的瞬时速度． 3．函数在一点处的导数，就是在该点函数值的改变 量与自变量的改变量的比值的极限，它是一个定值，不 是变数.
一、瞬时速度
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
物体运动路程与时间的关系是 s＝f(t)， 函数 f(t)在 t0 到 t0＋Δt 之间的平均变化率 f (t0 t ) f (t0 ) t 当 Δt 趋近于 0 时，趋近于常数 我们把这个常数称为物体在 t0 时刻的瞬时速度
探究二：导数的概念
求函数在某点处的导数
求函数 f(x)＝x2 在 x＝1 处的导数．
解法一：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－1＝2Δx＋(Δx)2， 2Δx＋Δx2 Δy ∴f′(1)＝ lim Δx＝ lim ＝ lim (2＋Δx)＝2， Δ x Δx→0 Δx→0 Δx→0 即 f(x)＝x2 在 x＝1 处的导数 f′(1)＝2.
高中新课程数学选修1-1 第三章 导数及其应用
3.1.2
瞬时速度与导数
探究一：瞬时速度
已知物体作变速直线运动，设物体运 动路程与时间的关系是S=f(t),
问题 1 求从 t0 到 t0＋Δt 这段时间内物体的平均速度。 f (t0 t ) f (t0 ) s v0 t t
问题 2 求物体在 t0 时刻的速度。
【答案】 C
4．一物体运动的方程是 s＝3＋t2，求物体在 t＝2 时的 瞬时速度．
【答案】 4
1 5、求函数 y＝x＋x在 x＝1 处的导数．
中间时刻的瞬时速度的计算公式
中间时刻的瞬时速度的计算公式中间时刻的瞬时速度的计算公式中间时刻的瞬时速度是指某一物体在某一时刻的瞬时速度。
瞬时速度是物体在某一时刻的瞬时速度。
计算中间时刻的瞬时速度可以使用以下公式：1.瞬时速度的定义公式：瞬时速度= lim(△t→0)(△s / △t) 其中，lim 表示极限操作，△t表示时间变化的极小量，△s表示位移变化的极小量。
2.几何法计算瞬时速度：瞬时速度 = ds / dt 其中，ds表示位移的微小变化，dt表示时间的微小变化。
3.导数计算瞬时速度：瞬时速度 = dx / dt 其中，dx表示质点位置的微小变化。
举例说明：假设有一辆汽车沿直线行驶，其位移函数为 s(t) = 2t^2 + 3t - 4，其中t表示时间。
1.使用瞬时速度的定义公式来计算中间时刻的瞬时速度：根据定义公式可知，瞬时速度= lim(△t→0) (△s / △t) 我们选择一个具体的时刻，例如t=2，此时位移为 s(2) = 2(2^2)+ 32 - 4 = 10 然后我们再选取一个极小的时间变化△t，例如△t=，计算在 t=2 附近的位移变化△s：△s = s(2 + △t) - s(2) = [2(2 + △t)^2 + 3(2 + △t) - 4] - 10 最后，带入公式即可计算出中间时刻的瞬时速度。
2.使用几何法计算瞬时速度：几何法的公式是瞬时速度 = ds / dt，我们选择同样的时刻t=2，并计算其相邻的位移微小变化ds和时间微小变化dt。
然后带入公式即可计算出中间时刻的瞬时速度。
3.使用导数计算瞬时速度：导数计算瞬时速度的公式是瞬时速度 = dx / dt，同样选择时刻t=2，计算质点位置微小变化dx和时间微小变化dt。
然后带入公式即可计算出中间时刻的瞬时速度。
以上就是中间时刻的瞬时速度的计算公式及其举例解释。
不同的公式可以根据具体情况选择使用，但都能准确计算物体在中间时刻的瞬时速度。
瞬时速度与导数
练习：(1)求函数y=x2在x=1处的导数; 处的导数; 练习：(1)求函数 求函数 处的导数 1 (2)求函数 处的导数. (2)求函数 y = x + 在x=2处的导数. 处的导数 x
(1) 解： ∆y = (1+ ∆x)2 −12 = 2∆x + (∆x)2 ,
∆y 2∆x + (∆x)2 = = 2 + ∆x, ∆x ∆x ∆y ∴ 当 ∆x → 0时， → 2,∴ y ′ | x =1 = 2. ∆x ∆x
例 :已 知 函 数 y = 求 x0的 值.
解 :Q ∆ y =
∴ ∆y = ∆x =
1 x 在 x = x0处 附 近 有 定 义 , 且 y ' |x = x0 = , 2
x0 + ∆x − x0 ,
x0 + ∆x − x0 ( x0 + ∆x − x0 )( x0 + ∆x + x0 ) = ∆x ∆x ( x 0 + ∆ x + x 0 ) 1 . x 0 + ∆x + x 0
∆y (3) 求导数A ∆X →0时， → A ∆x
例1.求y=x2+2在点 在点x=1处的导数 1.求 在点 处的导数 解：∆y = [(1+ ∆x)2 + 2] − (12 + 2) = (∆x)2 + 2∆x
∆y 2∆x + (∆x)2 = = 2 + ∆x ∆x ∆x ∆y ∴当∆x →0时， →2 ∆x 变题. 在点x=a处的导数 变题.求y=x2+2在点 在点 处的导数 ∴y' |x=1= 2
1 2 物体作自由落体运动,运动方程为s = gt 其中位移单 例1:物体作自由落体运动,运动方程为： ： 2 O 位是m,时间单位是s,g=10m/s m,时间单位是 位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求：
1.1.2瞬时速度与导数
处的导数（derivative）.
3.求导数的步骤 （1）求 y；
y （2）求 x ；
y （3）取极限得 f(2，则
f ( x0 k ) f ( x 0 ) lim _____ . -1 k o 2k
2.
设函数 f(x)可导 ，则 =（B ） A. f (1) C. 不存在
O s(2)
__
解:
Δs 1 v = = 2g + g(Δt) Δt 2
s(2+t)
s
(1)将 Δt=0.1代入上式，得: __
v = 2.05g = 20.5m / s.
s
(2)当Δt 0, 2 + Δt 2
从而平均速度 v 的极限为
s v lim v lim 2 g 20m / s. t 0 t 0 t
课堂小结
1.瞬时速度的定义
物体在某一时刻的速度称为瞬 时速度.
2.导数的定义 一般地，函数 y f x 在 x x0 处的瞬时变化率是
Δf lim = lim Δx 0 Δx 0 Δx Δx 我们称它为函数 y f x 在x x0 f x0 + Δx - f x 0
__
即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等 于20(m/s).当时间间隔Δt 逐渐变小时,平 均速度就越接近t0=2(s) 时的瞬时速度 v=20(m/s).
例题3
还记得上节课讲的关于高台 跳水问题吗？运动员相对于水面 的高度h(单位：米)与起跳后的时 间t（单位：秒）存在函数关系:
h(t) = -4.9t + 6.5t +10
平均速度反映了物体运动时的快 慢程度,但要精确地描述非匀速直线 运动,就要知道物体在每一时刻运动 的快慢程度,也即需要通过瞬时速度 来反映.
02瞬时速度与导数
• 那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?
t 0
lim
h (t0 t ) h (t0 ) t
导数的定义:
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
x 0
lim
y x
s t
t 0
2 g 20 m / s .
例题 2.求函数 y
练习 2.求函数 y 解：∵ △ y
1 1
1
1 x x
在点 x
1 2
1 2
处的导数.
在点 x
2
处的导数.
2△ x 1 2 △ x
△ x
2 2△ x
1
∴
△ y △x
△ x △x
=
2
=
2 1 2 △ x
6
f x
6 x
问题: •求函数y=3x2在x=1处的导数. 分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１) =6Δx+3(Δx)2 y f 再求 再求 lim 6 6 3 x
x
x 0
x
例1 物体作自由落体运动,运动方程为：s 1 gt 2 其中位移单位是 2 m,时间单位是s,g=10m/s2.求： (1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度； (2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度； (3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.
x 0
t
x 0
t
• 由导数的定义可得求导数的一般步骤： （1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)
(2)求平均变化率 x （3）求极限 f ( x ) lim y
1.1.2瞬时速度与导数
函数的瞬时变化率
设函数 y f ( x) 在 当自变量在
x0附近有定义，
x x0 附近改变 Dx 时，
函数值相应的发生改变
如果当 Dx 趋近于０时， Dy
f ( x0 Dx) f ( x0 ) f ( x0 Dx) f ( x0 ) 平均变化率 Dx
趋近于一个常数 l ， 则数
瞬时速度
要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物 体在每一时刻运动的快慢程度．如果物体的运动规 律是 s =s(t )，那么物体在时刻t 的瞬时速度v，就 是物体在t 到 t+Dt 这段时间内，当 Dt0 时平均速 度 v 的极限．即
Ds s ( t Dt ) s ( t ) v lim D t D t 0 Dt
f ( x0 Dx) f ( x0 ) Df （2）求平均变化率: ； Dx Dx Df lim ． （3）取极限，得导数: f ( x0 ) D x 0 Dx
例:
高台跳水运动中，
t
秒 ( s ) 时运动员相
对于水面的高度是 h(t ) 4.9t 2 6.5t 10
Dy Dy 有极限．如果 不存在极限，就说函数在 Dx Dx
点 x0 处不可导，或说无导数．
（2）Dx 是自变量x在 x0 处的改变量， Dx 0 ，而
Dy 是函数值的改变量，可以是零．
由导数的定义可知，求函数 y f ( x) 在 x0 处的 导数的步骤: （1）求函数的增量: Df f ( x0 Dx) f ( x0 ) ；
（单位： m ），求运动员在 t 1s 时的瞬时
速度，并解释此时的运动状态;在t 0.5s 呢?
Dh h(1 Dt ) h(1) Dt Dt 4.9(Dt 1) 2 6.5(Dt 1) 10 4.9 12 6.5 1 10 Dt 4.9Dt 3.3 Dh / lim h 1 D t 0 lim ( 4.9Dt 3.3 ) 3.3 Dt Dt 0 / h / 1 3.3 同理，h (0.5) 1.6
瞬时速度与导数的关系
瞬时速度与导数的关系瞬时速度与导数之间存在密切的关系。
首先，我们来解释一下瞬时速度和导数的概念。
1. 瞬时速度：瞬时速度是指物体在某一时刻的即时速度，也可以理解为物体通过一小段时间内所移动的距离与该时间段的长度的比值。
瞬时速度可以用以下公式表示：v = lim Δt→0 (Δx/Δt)，其中v表示瞬时速度，Δx表示物体在时间段Δt内移动的距离。
2. 导数：导数是函数在某一点处的变化率，表示函数在该点的切线的斜率。
在物理学中，瞬时速度与时间的关系可以用函数表示，这个函数就是速度函数。
速度函数的导数就是瞬时速度的导数，也叫作加速度。
加速度表示单位时间内速度的变化量。
接下来，我们来说明瞬时速度与导数之间的关系。
3. 瞬时速度与导数的关系：根据导数的定义，导数表示函数在某一点的变化率。
在物理学中，瞬时速度就是速度函数在某一时刻的值，而速度函数的导数就是加速度，表示单位时间内速度的变化率。
通过速度函数的导数，我们可以得到在某一时刻物体的加速度。
如果物体在某一时刻的加速度为正值，那么物体的速度在这一时刻是增加的；如果加速度为负值，那么速度在这一时刻是减小的。
当加速度为零时，速度保持不变。
反过来，如果我们已知物体在某一时刻的速度函数，我们可以通过求导数得到该时刻的加速度。
这个加速度可以告诉我们物体在这一时刻的速度是增加还是减小，以及速度的变化有多快。
综上所述，瞬时速度与导数之间存在紧密的关系。
瞬时速度就是速度函数在某一时刻的值，而速度函数的导数就是加速度，表示单位时间内速度的变化率。
通过导数，我们可以确定物体在某一时刻的加速度，从而了解物体速度的变化情况。
平均速度和瞬时速度的区别导数
平均速度和瞬时速度的区别导数在物理学和数学领域，速度是一个描述物体运动状态的关键概念。
平均速度和瞬时速度作为描述物体运动速度的两种不同方式，常常引起人们的混淆。
本文将详细阐述平均速度和瞬时速度的区别及其导数的相关概念。
一、平均速度和瞬时速度的定义1.平均速度：平均速度是指在一段时间内物体运动的总路程与该段时间的比值。
用数学公式表示为：v = Δx / Δt，其中v表示平均速度，Δx表示物体运动的总路程，Δt表示物体运动的总时间。
2.瞬时速度：瞬时速度是指物体在某一瞬间的速度，即物体在某一瞬间经过的极短路程与该瞬间时间的比值。
用数学公式表示为：v = lim(Δx / Δt) ，当Δt趋近于0时，这个极限值就是瞬时速度。
二、平均速度和瞬时速度的区别1.含义不同：平均速度描述的是物体在一段时间内的平均运动状态，而瞬时速度描述的是物体在某一瞬间的运动状态。
2.计算方式不同：平均速度的计算需要知道物体在一段时间内的总路程和总时间，而瞬时速度的计算需要考虑物体在某一瞬间的极短路程和时间。
3.性质不同：平均速度是一个时间段内的平均概念，具有连续性和稳定性；而瞬时速度是一个瞬间的概念，具有瞬时性和变化性。
三、瞬时速度的导数瞬时速度的导数表示物体速度随时间的变化率，即加速度。
在物理学中，加速度是描述物体速度变化快慢的物理量。
用数学公式表示为：a = dv / dt，其中a表示加速度，dv表示速度的变化量，dt表示时间的变化量。
总结：平均速度和瞬时速度是描述物体运动速度的两种不同方式，它们之间的区别主要在于含义、计算方式和性质。
瞬时速度的导数表示物体速度随时间的变化率，即加速度。
瞬时速度与导数2.18
所以
当△t→0时，s′=2at， 由题意知t=2时，s′=8，即4a=8，解得a=2.
练习题 1．一物体的运动方程是s=3+t2，则在一 小段时间[2, 2.1]内相应的平均速度为 （ D ） A．0.41 B． 3
C． 4
D．4.1
2．设y=f(x)函数可导，则
lim
x 0
f (1 x) f (， A x
例2.求y=x2+2在点x=1处的导数 解：y [(1 x) 2 2] (12 2) (x) 2 2x
y 2x (x) 2 2 x x x y 当x 0时， 2 x 变题.求y=x2+2在点x=a处的导数 y ' | x 1 2
(2)将 Δ t=0.01代入上式，得:
__
s (3)当t 0时, 20 m / s. t
v 2.005g 20.05m / s.
s
s
即 : 物体在时刻t0 2s 的瞬时速度等于20 m
导数的概念
（a , b ) 函数 y f ( x )在区间（ a, b)有定义， x0
练习：求函数y=x2在点x=3处的导数。 解：因为△y=(3+△x)2－32=6△x+(△x)2.
y 所以 =6+△x， x y 令△x→0， x →6
所以函数y=x2在点x=3处的导数为6.
例5．已知y=ax2+bx+c，求y′及y′|x=2。
解：△y=a(x+△x)2+b(x+△x)+c－(ax2+bx+c) =(2ax+b)△x+a(△x)2，
y =(2 ax + b )+ a △ x ， x
《瞬时速度与导数》 知识清单
《瞬时速度与导数》知识清单一、速度的概念在我们的日常生活中，经常会提到速度这个词。
比如，汽车行驶的速度、跑步的速度等等。
那到底什么是速度呢？简单来说，速度是描述物体运动快慢的物理量。
如果一个物体在一段时间内移动了一段距离，那么这段距离与所用时间的比值就是平均速度。
例如，一辆汽车在 1 小时内行驶了 60 千米，那么它的平均速度就是 60 千米/小时。
但平均速度并不能完全准确地描述物体在某一时刻的运动情况。
比如，汽车在行驶过程中可能会加速、减速，某一时刻的真实速度可能与平均速度有很大的差别。
这就引出了瞬时速度的概念。
二、瞬时速度瞬时速度指的是物体在某一时刻的速度。
想象一下，你正在观看一场跑步比赛。
在比赛过程中，你想知道运动员在某一瞬间的速度，这就是瞬时速度。
为了更直观地理解瞬时速度，我们来做一个小实验。
假设一个小球从高处自由下落，我们每隔 01 秒记录一次它下落的位置。
通过这些位置数据，我们可以计算出小球在不同时间段内的平均速度。
随着时间间隔越来越小，这些平均速度会逐渐接近一个固定的值，这个值就是小球在该时刻的瞬时速度。
但在实际情况中，要通过这样不断缩小时间间隔来精确地测量瞬时速度是非常困难的。
那么，有没有一种数学方法可以帮助我们更方便地求出瞬时速度呢？这就要引入导数的概念了。
三、导数的定义导数是微积分中的一个重要概念。
对于一个函数＼（y ＝ f(x)＼），在点＼（x ＝ a\）处的导数，记作＼（f'（a)＼），它的定义是：＼f'（a) ＝＼lim_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{f(a ＋＼Delta x) f(a)｝｛＼Delta x}＼这个式子看起来可能有点复杂，但其实它表达的就是函数在某一点处的变化率。
比如，对于一个位移函数＼（s(t)＼），它表示物体在时刻＼（t\）的位置。
那么＼（s'（t)＼）就表示物体在时刻＼（t\）的瞬时速度。
四、导数的几何意义导数不仅有代数上的定义，还有着明确的几何意义。
高二数学瞬时速度与导数
例1 将原油精炼为汽油、
柴油、塑胶等各种不同产
品 ,需要 对原油进 行冷却
和加热.如果在 xh时, 原油
的温度 单位 :0 C为 f x
x2 7x 15(0 x 8).计算第2h和第6h时, 原油温度
x0
x
x0 x
y f x在x x0处的导 数derivative,
记作 f
'x或 y'
|x
x0
即
lim
x0
f x0
x
x
f x0 .
y' |xx0 表 示 函 数 y关 于 自 变 量x在x0处 的 导 数.
17世纪,力学、航海、天文等方面取得了突飞猛 进 的 发 展, 这 些 发 展 对 数 学 提 出 了新 的 要 求, 它 们 突 出 地 表现 为 本 章 引 言 中 提到 的 四 类 问 题, 其 中 的两类问题直接导致了导数的产生: 一是根据物 体 的 路 程 关 于 时 间 的 函数 求 速 度 和 加 速 度; 二 是 求已知曲线的切线. 由导数的定义, 我们知道,高度h关于时间t的导数 就 是 运 动 员 的 瞬 时 速 度; 气 球 半 径r关 于 体 积V的 导 数 就 是 气 球 的 瞬 时 膨胀 率. 实际上, 导数可以描述任何事物的瞬时变化率,如
t 0时,在2,2 2tth22
4.9t2 13.1t t
4.9t
13.1
当t 0.01时, v 13.149;
当t 0.001时, v 13.1049;
当t 0.0001时, v 13.10049;
1.1.2瞬时速度与导数
x
x
常数称在x
的瞬时变化率
0
导数定义
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率
当x 0时，f (x0 x) f (x0 ) l
x
通常记作： lim f (x0 Δx) f (x0 ) l
x0
x
称为函数 y = f (x) 在 点 x0 处的导数, 记作 f (x0 )
率（数形结合）
k切线
f
'(x0 )
lim
x0
f
(x0
x) x
f
( x0 )
3.体会“数形结合”，“逼近思想”“以 直代曲”的数学思想方法。
' x
).
注意：f '(x)(或y')是函数f (x)的导函数，简称导数；
f '(x0)(或y' xx0 )是函数f (x)在点x x0处的导数。
前者是一个函数，后者是一个数值。
例2．火箭竖直向上发射，熄火时向上的
速度达到100m/s，试问熄火后多长时间火
箭向上的速度为0？
解：火箭的运动方程为h(t)=100t－12 gt2，
t
2.运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 –13.1
体现了什么数学思想？ 逼近思想
新课探 究
1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?
2.函数f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示?
1.当t 0时
h(t0
t) t
h(t0
)
常数
l
常数称在t0的瞬时速度
2.当x 0时
y f (x0 x) f (x0 ) 常数l
y
A B C
圆的切线定义并不适 l1 用于一般的曲线。
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s(2)
s
v 2.05g 20.5m / s.
(2)将 Δ t=0.01代入上式，得:
__
即 : 物体在时刻t0 2s 的瞬时速度等于 20 m
s (3)当t 0时, 20m / s. t
v 2.005g 20.05m / s.
s
s
二.导数的概念
（a, b) 函数 y f ( x )在区间（ a, b)有定义，x0
1 1 x (2)y (2 x) (2 ) x , 2 x 2 2(2 x)
x y 1 2( 2 x ) 1 , x x 2( 2 x ) y 3 3 当x 0时, , y | x 2 . x 4 4 x
f (x0)与f (x)之间的关系：
当x0∈(a,b)时,函数y=f(x)在点x0处的导数f ’(x0)等于 函数f(x)在开区间(a,b)内的导数f ’(x)在点x0处的函数值
f (x 0)f (x)
． x x0 ．
课堂小结：
1、瞬时速度
如果物体的运动规律是 s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v， 就是物体在t到 t+Δ t这段时间内，当 Δ t0 时平均速度:
精品课件！
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3、导函数与导数（值）的关系
如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导，就说 f(x)在开区间 (a,b)内可导．这时，对于开区间 (a,b)内每 一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数 f '(x0)，这 样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一 新函数叫做 f(x) 在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数， 记作
y f ( x0 x) f ( x0 ) X 0,比值 A x x
我们称f(x)在x=x0可导,并称该常数A 为函数f(x)在x=x0处的导数，记为f/(X0)．
由定义求导数（三步法）
步骤:
(1)算增量y f ( x0 x) f ( x0 ) y f ( x0 x) f ( x0 ) (2) 算比值 ; x x
1 2 s gt 其中位移单 例1:物体作自由落体运动,运动方程为： 2 O 位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求：
(1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度； (2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度； (3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度. s(2+t) __ s 1 解: v 2 g g (t ) t 2 (1)将 Δ t=0.1.求y=x2+2在点x=1处的导数 解：y [(1 x) 2 2] (12 2) (x) 2 2x
y 2x (x) 2 2 x x x y 当x 0时， 2 x 变题.求y=x2+2在点x=a处的导数 y ' | x 1 2
y 当x 0时, x
1 1 , x0 x x0 2 x0
1 1 1 由y'| x x0 , 得 , x0 1. 2 2 x0 2
三、函数在一区间上的导数：
如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导，就说 f(x)在开区间 (a,b)内可导．这时，对于开区间 (a,b)内每 一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数 f '(x0)，这 样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一 新函数叫做 f(x) 在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数， 记作
s(t t ) s(t ) v. t 也就是位移对于时间的瞬时变化率
2、导数的概念
（a, b) 函数 y f ( x )在区间（ a, b)有定义，x0
y f ( x0 x) f ( x0 ) X 0,比值 A x x
我们称f(x)在x=x0可导,并称该常数A为函数f(x) 在x=x0处的导数，记为f/(x)．
1 例 :已知函数y x在x x0处附近有定义, 且y ' |x x0 , 2 求x0的值.
解 : y x0 x x0 ,
y x x0 x x0 ( x0 x x0 )( x0 x x0 ) x x ( x 0 x x 0 ) 1 . x 0 x x 0
练习：(1)求函数y=x2在x=1处的导数; 1 (2)求函数 y x 在x=2处的导数. x
解： (1)y (1 x)2 12 2x (x)2 ,
y 2 x ( x ) 2 2 x , x x y 当x 0时， 2, y | x 1 2. x
平均速度： 反映了物体运动时的快慢程度,但要精确地描述非匀速直 线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度,也既需要 通过瞬时速度来反映. 如果物体的运动规律是 s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v， 就是物体在t到 t+Δ t这段时间内，当 Δ t0 时平均速度:
s(t t ) s(t ) v. t 也就是位移对于时间的瞬时变化率
一.瞬时速度
已知物体作变速直线运动 ,其运动方程为 s＝s(t )(ｓ表示位 移,t表示时间),求物体在t0时刻的速度．
如图设该物体在时刻t0的位移是ｓ(t0)＝OA0,在时刻t0 +Δ t 的位移是s(t0+ Δ t)=OA1,则从t0 到 t0 +Δ t 这段时间内,物 体的位移是:
s OA1 OA0 s(t 0 t ) s(t 0 ) 在时间段(t0 t ) t0 t 内，物体的平均速度为: __ s( t 0 t ) s( t 0 ) s v ( t 0 t ) t 0 t
f (x0)与f (x)之间的关系：
当x0∈(a,b)时,函数y=f(x)在点x0处的导数f ’(x0)等于 函数f(x)在开区间(a,b)内的导数f ’(x)在点x0处的函数值
f (x 0)f (x)
． x x0 ．