高中必修第一册数学《3.2 函数的基本性质》获奖说课教案教学设计

【新教材】3.2.2 奇偶性（人教A 版）

《奇偶性》内容选自人教版A 版第一册第三章第三节第二课时;函数奇偶性是研究函数的一个重要策略,因此奇偶性成为函数的重要性质之一,它的研究也为今后指对函数、幂函数、三角函数的性质等后续内容的深入起着铺垫的作用.

课程目标

1、理解函数的奇偶性及其几何意义；

2、学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

3、学会判断函数的奇偶性．

数学学科素养

1.数学抽象：用数学语言表示函数奇偶性；

2.逻辑推理：证明函数奇偶性；

3.数学运算：运用函数奇偶性求参数；

4.数据分析：利用图像求奇偶函数；

5.数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，利用奇偶性解决实际问题。

重点：函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断；

难点：函数奇偶性概念的探究与理解．

教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、 情景导入

前面我们用符号语言准确地描述了函数图象在定义域的某个区间上“上升”（或“下降”）的性质.下面继续研究函数的其他性质. 画出并观察函数21()()2||()()=

f x x

g x x f x x g x x

==-=和、和的图像，你能发现这两个函数图像

()()()()0f x f x f x f x -=⇔--=()()()()0

f x f x f x f x -=-⇔+-=

有什么共同特征码？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、 预习课本，引入新课

阅读课本82-84页，思考并完成以下问题

1.偶函数、奇函数的概念是什么？

2.奇偶函数各自的特点是？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、 新知探究

1．奇函数、偶函数

（1）偶函数（even function ）

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

（2）奇函数（odd function ）

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

2、奇偶函数的特点

（1）具有奇偶性的函数的定义域具有对称性，即关于坐标原点对称，如果一个函数的定义域关于坐标原点

不对称，就不具有奇偶性．因此定义域关于原点对称是函数存在奇偶性的一个必要条件。

（2）具有奇偶性的函数的图象具有对称性．偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于坐标原点对称；反之，如果一个函数的图象关于轴对称，那么，这个函数是偶函数，如果一个函数的图象关于坐标原点对

称，那么，这个函数是奇函数．

（3）由于奇函数和偶函数的对称性质，我们在研究函数时，只要知道一半定义域上的图象和性质，就可以

得到另一半定义域上的图象和性质． （4）偶函数：

,

44

()()(),f x x x f x -=-==奇函数： ；

（5）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。

（6）已知函数f(x)是奇函数，且f(0)有定义，则f(0)=0。

四、典例分析、举一反三

题型一 判断函数奇偶性

例1 （课本P84例6）：判断下列函数的奇偶性

（1） 4()f x x = （2） 5()f x x = （3） 1()f x x x =+

（4）21()f x x =

【答案】(1)f(x)为偶函数 (2)f(x)为偶函数

(3)f(x)为奇函数 (4)f(x)为偶函数

【解析】

(1) 4()f x x = 的定义域为R ，关于原点对称。且 所以

4()f x x = 为偶函数. (2) 5()f x x = 的定义域为R ，关于原点对称。且 55()()(),f x x x f x -=-=-=-

所以 5()f x x = 为偶函数.

（3） 1

()f x x x =+ 的定义域为

{}|0x x ≠ ，关于原点对称. 且 11()()(),f x x x f x x x -=-+=-+=-- 所以 1()f x x x

=+ 为奇函数. （4） 21()f x x

= 的定义域为 {}|0x x ≠ ，关于原点对称.且 2211()(),()f x f x x x -===- 所以 2

1()f x x =为偶函数. 解题技巧：（利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：）

1.定义法

（1）. 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

（2）. 确定f(－x)与f(x)的关系；

（3）.作出相应结论：

若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；

若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

2.图像法

跟踪训练一

1.判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝2－|x|；

(2)f(x)＝ x 2－1＋ 1－x 2；

(3)f(x)＝x x －1

； (4)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x ＞0，－x ＋1，x ＜0.

【答案】(1)f(x)为偶函数 (2)f(x)既是奇函数又是偶函数

(3)f(x)是非奇非偶函数 (4)f(x)为偶函数

【解析】 (1)∵函数f(x)的定义域为R ，关于原点对称，

又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，

∴f(x)为偶函数．

(2)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，

又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，

∴f(x)既是奇函数又是偶函数．

(3)∵函数f(x)的定义域为{x|x ≠1}，不关于原点对称，

∴f(x)是非奇非偶函数．

(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．

当x ＞0时，－x ＜0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x ＝f(x)；

当x ＜0时，－x ＞0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x ＝f(x)．

综上可知，对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．

题型二 利用函数的奇偶性求解析式

例2 已知f(x)为R 上的奇函数,当x>0时,f(x)=-22

x +3x+1,

(1)求f(-1);