高中必修第一册数学《3.2 函数的基本性质》获奖说课教案教学设计
函数的基本性质教案
函数的基本性质教案一、教学目标1. 让学生理解函数的概念，掌握函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、周期性等。
2. 能够运用函数的基本性质解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
二、教学内容1. 函数的概念及定义2. 函数的单调性3. 函数的奇偶性4. 函数的周期性5. 函数的基本性质在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、周期性。
2. 教学难点：函数性质的证明和应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，系统地讲解函数的基本性质。
2. 利用实例进行分析，帮助学生理解函数性质的应用。
3. 引导学生进行自主学习，培养学生的逻辑思维能力。
4. 利用小组讨论，提高学生的合作能力。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生认识函数，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解：讲解函数的概念，定义，并引入函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质。
3. 分析：分析函数性质的证明方法，并通过实例进行分析，让学生理解函数性质的应用。
4. 练习：布置练习题，让学生巩固所学内容。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调函数基本性质的重要性。
6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
7. 课后辅导：针对学生学习中遇到的问题进行辅导，提高学生的学习能力。
六、教学评价1. 评价方式：采用课堂表现、课后作业和单元测试相结合的方式进行评价。
2. 评价内容：(1) 函数概念的理解和运用；(2) 函数单调性、奇偶性、周期性的理解和证明；(3) 函数性质在实际问题中的应用能力。
七、教学资源1. 教材：《数学分析》；2. 教学课件；3. 实例素材；4. 练习题库；5. 课后辅导资料。
八、教学进度安排1. 第1周：讲解函数的概念及定义；2. 第2周：讲解函数的单调性；3. 第3周：讲解函数的奇偶性；4. 第4周：讲解函数的周期性；5. 第5周：函数性质在实际问题中的应用。
高中数学教案《函数的基本性质》
教学计划高：《函数的基本性质》一、教学目标1.知识与技能：学生能够理解并掌握函数单调性、奇偶性的定义及判断方法;能够运用函数图像理解并阐述这些性质;能够识别并解决与函数基本性质相关的简单问题。
2.过程与方法：通过观察、分析、比较等数学活动，引导学生发现函数的基本性质;通过小组讨论、合作探究等学习方式，培养学生团队协作和问题解决的能力;通过练习和实践，提高学生应用函数性质解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生的数学审美意识和严谨的科学态度;通过探索函数性质的过程，让学生体会数学中的对称美、和谐美，增强对数学美的感受力。
二、教学重点和难点教学重点：函数单调性、奇偶性的定义、性质及判断方法;函数图像在理解函数性质中的应用。
教学难点：理解函数单调性、奇偶性的本质，能够灵活运用这些性质解决问题;通过函数图像准确判断函数的性质。
三、教学过程1. 引入新课（约5分钟）情境导入：通过生活中的实例(如气温变化、股票价格波动等)引出函数的概念，让学生感受到函数在生活中的广泛应用。
提出问题：设问“这些函数有哪些共同的特点或性质?”引导学生思考并引出函数的基本性质——单调性和奇偶性。
明确目标：介绍本节课的学习目标，即掌握函数单调性、奇偶性的定义、性质及判断方法，并能够通过函数图像理解这些性质。
2. 讲授新知（约15分钟）定义讲解：详细讲解函数单调性(增函数、减函数)和奇偶性(奇函数、偶函数)的定义，结合实例帮助学生理解。
性质阐述：阐述函数单调性和奇偶性的基本性质，如单调函数的图像特征、奇偶函数的图像对称性等。
示例分析：通过具体函数示例(如一次函数、二次函数、反比例函数等)，分析它们的单调性和奇偶性，加深学生的理解。
3. 观察探究（约10分钟）图像观察：利用多媒体展示不同函数的图像，引导学生观察图像的特点，尝试从图像中判断函数的单调性和奇偶性。
小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享各自观察到的图像特征和判断结果，相互纠正错误，共同探究函数性质的图像表示方法。
人教版高中数学《函数的基本性质》优质教案
2.1函数的基本性质一、教学目标1．结合具体函数，了解函数单调性的含义；2．会运用函数奇偶性的定义和函数的图象理解研究函数的奇偶性；3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.二、教学重点1．回顾和理解函数的三大性质单调性、奇偶性以及周期性基础知识，掌握其概念的应用，一般是判断单调性、求参数或求值；2．掌握运用基础知识处理函数性质的综合应用题的解题思路. 其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．三、教学难点掌握周期性与抽象函数结合类的题型.高考对函数周期性的考查，常与抽象函数结合，题型主要以选择题或填空的形式出现，常涉及函数求值问题，且与函数的单调性、奇偶性相结合命题.四、教学过程（一）考情解读设计意图：对2016年广东开始高考卷之后的全国卷类型题进行整合，以表格形式呈现，一目了然，分析可得函数的基本性质是高考的常考内容，题型一般为选择填空，占分一般为5-10分.紧接着分析考点内容，明确复习方向.（二）知识梳理设计意图：对函数的单调性、奇偶性、周期性的定义、图像特点等进行梳理，把重点内容标红，并进行相应讲解，为后面的题型讲解奠定知识基础.1.单调函数的定义及几何意义2.函数的最值3.函数的奇偶性4.周期性（三）典例分析题型一：函数的单调性设计意图：精选了两道单调性的题目作为例题，例1为简单地应用单调性定义及函数图像特征判断单调性的题目，通过此题老师可带领学生总结判断函数单调性的方法：定义法、图像法等；例2为已知分段函数单调性求参数范围的题目，通过此题巩固应用单调性求参数、不等式等题型.【例1】（2021·全国甲卷）下列函数中是增函数的为（）A ．()f x x =-B ．()23x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()2f x x =D ．()f x 【例2】已知函数()()2313,11,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨-+≥⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．11,63⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．11,,63⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭ 题型二：函数的奇偶性设计意图：精选了两道奇偶性的题目作为例题，例1为简单地应用奇偶性定义求参数的题目，通过此题老师可带领学生巩固奇偶性的定义及图像特征；例2为奇偶性与分段函数结合的题目，但只要把握奇偶性的定义，可很快解决，通过此题再次强化奇偶性相关知识.【例1】（2021·全国Ⅰ卷）已知函数()()322x x x a f x -=⋅-是偶函数，则a =______.【例2】（2019·全国Ⅰ卷）设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )=A ．e 1x --B ．e 1x -+C ．e 1x ---D ．e 1x --+题型三：函数的周期性设计意图：由于周期性一般与抽象函数及奇偶性相结合，题目比较综合.这里选取了一道直接利用周期性定义进行求值的题目，教师通过此题引导学生回顾求值由内到外的原则及分段函数求值的相关知识，巩固周期性的定义，为下一题型综合题奠定基础.【例1】（2018·江苏卷）函数()f x 满足()()()4f x f x x +=∈R ，且在区间(]2,2-上，()πcos ,02,21,20,2x x f x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩则()()15f f 的值为________． 题型四：函数性质的综合应用设计意图：精选了两道函数性质的综合应用的题型.例1为单调性与奇偶性相结合解不等式 的相关问题，教师可引导学生将此类已知单调性和奇偶性的抽象函数问题具体化画图来思考，紧紧扣住定义解题.例2为奇偶性与周期性相结合求值的题，通过此题再次巩固奇偶性和周期性的定义，将题目已知条件转化为熟悉的定义再去解题.()2017(,)(1)11(2)1A.[2,2] B.[1,1] C.[0,4] D.[1,3]f x f f x x ⋅-∞+∞ =- -- --【例1】（全国Ⅰ卷）函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（）≤≤ ()(,)(1)(1).(1)2(1)(2)(3)(502018A.50 B.0 C.2 D.0)5f x f x f f f f f f x -∞+∞ -=+=++++= ⋅-若，则…（【例2】（全国Ⅱ卷）已知是定义域为的奇函数，满足）（四）巩固练习设计意图：精选了三道题作为练习题.第一题考查单调性的判断和奇偶性定义，再次巩固函数基本性质的概念，为基础题.第二题为单调性与奇偶性相结合解不等式的相关问题，巩固数形结合思想.第三题为奇偶性和周期性相结合求值的题，为自编题，难度系数不高，巩固学生对周期性和奇偶性的概念理解，提高信心.1.（2020·全国Ⅰ卷）设函数()331f x x x =-，则()f x （ ）A ．是奇函数，且在()0,+∞单调递增B ．是奇函数，且在()0,+∞单调递减C ．是偶函数，且在()0,+∞单调递增D ．是偶函数，且在()0,+∞单调递减2．(2014·全国Ⅰ卷)已知偶函数f x ()在[0,)+∞单调递减，f (2)0=．若f x >(-1)0，则x 的取值范围是__________．()()()()()3R ,R,4,22,2022=A.2022 B.2 C.2022 D.2f x x f x f x f f ∈ +=-= --.已知函数是上的奇函数对任意都有若则（）（五）总结提升设计意图：制作了本节课的思维导图，引导同学们再次巩固函数基本性质高考重点考查的题型及其对应方法.五、作业设计设计意图：作业选取了两道单选题，一道多选题，四道填空题.题一考查单调性判断和奇偶性定义；题二考查奇偶性的定义，深化概念；题三考查单调性解不等式，为单调性的应用类题；题四考查奇偶性应用求解析式；题五考查偶函数的定义，跟2021出现的题目非常相像，说明研究高考题的重要性，值得深思；题六考查周期性的定义，为周期性和奇偶性的简单综合题；题七需要将题目所给等式经过化简才能变为周期性的定义的模式，进一步深化周期性与奇偶性的概念及其应用.。
“函数”说课稿—获奖说课稿
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------“函数”说课稿—获奖说课稿函数说课稿《全日制普通高级中学教科书(必修) 数学》第一册(上) 的第二章为函数，是根据《全日制普通高级中学数学教学大纲(供试验用) 》必修课的函数部分编写的。
一、本单元课时安排：共 9 个小节，可分为三个部分：第一部分包括函数、函数的表示法、函数的单调性、反函数；第二部分包括指数、指数函数；第三部分包括对数、对数函数、函数的应用举例。
共约 30课时。
二、本单元课程价值及达成度：（一）课程价值：（1）知识构建功能：函数是数学的重要的基础概念之一。
是进一步学习高等数学的基础课程，而其他学科如物理学等学科也是以函数的基础知识作为研究问题和解决问题的工具。
函数是中学数学的主体内容。
它与中学数学很多内容都密切相关，初中代数中的函数及其图象就属于函数的内容，高中数学中的指数函数、对数函数、三角函数是函数内容的主体，通过这些函数的研究，能够认识函数的性质、图象及其初步的应用。
1/ 8后续内容的极限、微积分初步知识等都是函数的内容。
理科限定选修内容有极限、导数，文科限定选修内容有导数，这些内容是函数及其应用研究的深化和提高，也是进一步学习和参加工农业生产需要具备的基础知识。
故本章的学习起着承上启下的作用。
（2）能力培养功能：通过对函数相关概念的学习，如（函数、反函数、单调性等）加深对函数概念的理解、培养学生的比较能力，理解能力，概括能力。
通过对函数的表示方法的学习，培养学生的理论联系，实际能力。
通过对第二章应用题讲解，可培养学生用数学知识分析问题，解决问题能力，数学建模能力。
通过对指数函数、对数函数教学，可以培养学生数形结合能力，问题转化能力。
高中数学_3.2 函数的基本性质教学设计学情分析教材分析课后反思
函数的单调性导学案授课教师：【学习目标】1.能根据图像，从形和数两方面说出函数的单调性和单调区间两个概念。
2.能够根据函数单调性的定义证明简单函数在某一区间上的单调性。
3.通过探究活动，体会观察、归纳、抽象的数学过程；经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程；通过对函数单调性定义的探究，体会数形结合数学思想方法。
【观察思考，进入情境】“艾宾浩斯遗忘曲线” 新华制药股票最近一月行情图 设计意图：通过常见的生活中的实例引入，容易激发学生的学习兴趣，从图像上直观的感受曲线的上升与下降，为单调性的引入做好铺垫。
【探究新知，建构定义】首先，我们以一次函数1)(+=x x f 和二次函数以及反比例函数为例，研究一下函数的单调性。
1．借助图象，直观感知思考1.(1)函数x x f =)(+1的图象是如何变化的？(2)你能描述一下函数和的图象的升降规律吗？ tyo 20406081 2 3设计意图：通过常见函数图像的观察，进一步感受图像的升降，初步得出单调性的直观形象，并且初步理解单调性跟区间有关。
2．探究规律，理性认识思考2如何用数学语言描述函数图像的上升特征，即“y 随x 的增大而增大”呢？ 其中，怎样描述“某一段”呢？怎样描述“x 的增大”过程呢？怎样描述“函数值也在增大”呢？21,x x 有范围限制吗？思考3能不能说“因为0<2且改为-1<在单调递增？设计意图：从常见函数图象可以得到单调性的自然语言表示，但怎样转化为数学语言，是学生学习的难点。
故应采取步步逼近的方式，一点点把握概念的内涵与外延，特别要把握好定义中几个关键词的理解。
3．抽象思维，形成概念 对于一般的函数我们应当如何给增函数下定义？ 一般地，设函数如果你能仿照增函数的定义表述出减函数的定义吗?一般地，设函数如果巩固概念讨论1：下列说法是否正确？请说明理由（画图或者证明）（1）设函数的定义域为,若对任意（2）设函数的定义域为R,若对任意，则单调递增.（3）函数设计意图：尽管逐步得出了定义，但学生只是初步理解，并不深刻，通过正误的判定，通过学生自己的亲身体验和教师的纠偏，进一步理解概念。
函数的基本性质(单元教学设计)-高中数学新教材必修第一册
《函数的基本性质》单元教学设计一、内容和及其解析（一）内容函数的单调性；函数的最大值、最小值；函数的奇偶性.（二）内容解析1. 内容本质变化中的不变性是性质，变化中的规律性也是性质．函数是刻画客观世界中运动变化的重要数学模型，因此，我们可以通过研究函数的变化规律来把握客观世界中事物变化的规律．高中阶段研究的函数性质有：单调性、最大（小）值、奇偶性、周期性、函数的零点、增减的快慢等.本节研究函数的单调性、最大（小）值、奇偶性．单调性是函数最重要的性质，刻画了函数值y随自变量x增大而增大或减小的变化趋势，绝大多数函数都具有单调性.函数的最大（小）值与函数的单调性有着密切的联系．通常，知道了函数的单调性，就能较方便地确定函数的最大（小）值，因此，求解函数的最大（小）值一般需要先判断函数的单调性.函数的奇偶性是一种特殊的对称性．如果函数具有奇偶性就能将研究函数的“工作量”减半．函数的单调性是函数的局部性质，函数的奇偶性和最大（小）值都是函数的整体性质．函数的单调性、最大（小）值、奇偶性的定义，都是在分析函数图象特征的基础上，利用代数运算对其进行定量刻画，进而用严格的数学符号语言精确刻画函数的性质．2.蕴含的思想方法在函数性质概念形成的过程中，从图象特征到形式化定义，从形到数，蕴含着数形结合的思想．从几个特殊函数出发，归纳出共同特征，再概括形成函数的一般性质，这是特殊到一般的研究方法．利用定义证明具体函数性质的过程，最后形成标准化的求解步骤，蕴含着算法思想．3.知识的上下位关系函数的“集合——对应说”，并用抽象符号f（x）表示函数，为用严格的数学符号语言精确刻画函数的性质奠定了基础．函数的概念与性质这部分内容，先从一般性角度研究函数概念及其性质，使学生在宏观上了解函数的内容和方法，起到先行组织者的作用．为后续研究基本初等函数、数列、导数及其应用、概率的基本性质、随机变量等内容提供了依据．4. 育人价值在函数性质概念形成的过程中，从特殊到一般，从直观到抽象，有利于发展学生的数学抽象、直观想象的核心素养；在利用定义判断或证明具体函数性质的过程中，有利于发展学生逻辑推理、数学运算的核心素养．5.教学重点用符号语言表示函数的单调性、奇偶性，用定义法证明函数的单调性、用定义法判断函数的奇偶性.二、目标及其解析（一）目标1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义.2.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.（二）目标解析达成上述目标的标志是：1.在从图象直观到自然文字语言描述再到符号语言表达函数单调性的过程中，能感悟引入符号表示“12,x x D ∀∈”的作用和力量，把一个含有“无限”的问题转化为一种“有限”的方式进行表达.2.会用符号语言正确表达函数的单调性、最大（小）值，并能说出“任意”“都有”“存在”等关键词的含义，知道函数单调性和最大（小）值的现实意义.能说出判断函数单调性的基本步骤，会用函数单调性的定义证明函数的单调性.能说出求函数最大、最小值的基本步骤，会用函数最大值、最小值的定义求最值，能说明最值与单调性之间的关系.3.能类比单调性的定义的学习过程，用符号语言表达函数的奇偶性，并说明偶（奇）函数的定义与函数图象关于y 轴（原点）对称之间是等价的.知道判断函数奇偶性的基本步骤，会用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性.三、教学问题诊断分析1.问题诊断及破解方法（1）函数单调性的符号语言描述的构建.学生在初中学习一次函数、反比例函数、二次函数时已经会从图象的角度观察“从左到右图象上升”“从左到右图象下将”的变化趋势，并且会用文字语言“y 随x 的增大而增大或减小”描述这种变化规律，而本单元需要将自然语言转化为符号语言：12,x x D ∀∈，当12x x <，都有()()12f x f x <（或()()12f x f x >），则称函数()f x 在区间D 上的单调递增（或递减），这样的语言学习是学生第一次接触，对学生而言是一个很大的难点.破解方法：从某种意义上来讲，这也属于语言的学习，可以遵循“示范—模仿—熟练运用”的学习规律．在教学中，以初中学习过的具体函数为载体，老师示范如何完成图形语言——自然语言——符号语言的转化，进而用符号语言完整表达函数的单调性，再让学生模仿．在具体函数中熟练掌握符号语言的表达方式的基础上，再给出函数单调性严格的定义．最后，在用定义证明具体函数单调性的过程中，进一步让学生理解符号语言.（2）利用定义证明函数的单调性.学生刚开始证明函数单调性时，会出现不作差，直接写出函数值大小关系或者变形不充分就做判断的情况，这是因为学生对证明的每一步依据的“大前提”模糊导致的，经常出现依据函数单调性证明函数单调性的状况．破解方法：教学中先利用简单的具体函数的单调性证明问题，帮助学生理解代数变形的必要性，然后进一步梳理证明的步骤，总结变形的基本方法，逐步学会函数单调性的代数证明.（3）最大（小）值概念的理解．对于最大（小）值的概念，学生往往对条件“0x I ∃∈，使得()0f x M =”的必要性的理解会存在一些困难.破解方法：在教学中，可以给出丰富而典型的数学情境，给出正例和反例，让学生归纳最值的本质特征，体会“∀”和“∃”这两方面的条件缺一不可.也可以结合基本不等式求最值的问题进行解释．2.教学难点用符号语言表达函数的单调性、最大（小）值；利用定义证明函数的单调性.四、教学支持条件函数的性质指的是在变化过程中的不变性和规律性，所以要借助信息技术绘制函数图象，将静态的图象进行动态演示，展示函数值随自变量变化而变化的情况.五、课时分配本单元分3课时.第1课时，函数的单调性；第2课，函数的最大值、最小值；第3课时，函数的奇偶性.。
3.2函数的基本性质教案-2023-2024学年高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
本节课的教学目标主要从核心素养的角度出发，旨在培养学生的数学思维能力、创新能力和实践能力。具体目标如下：
1. 培养学生对函数基本性质的理解和认识，提高学生的逻辑思维能力。通过讲解函数的单调性、奇偶性、周期性，使学生能够理解这些性质的概念和判断方法，并能运用到实际问题中。
2. 培养学生的自主学习和探索能力。通过实例讲解和图形展示，引导学生自主探索函数性质，培养学生的自主学习能力。
三、教学难点与重点
1. 教学重点
本节课的核心内容是函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、周期性。这些性质是函数学习的基础，也是解决实际问题的关键。
（1）单调性：单调性是函数的一个重要性质，它反映了函数值随自变量变化的趋势。在教学过程中，要重点讲解单调性的定义、判断方法和应用。例如，可以通过图形展示函数的单调性，让学生直观地理解单调性的概念。
3. 判断函数的周期性：给定一个函数，判断其周期性。
4. 应用函数性质解决实际问题：如最大值和最小值问题、对称性问题、周期函数的性质。
5. 绘制不同性质的函数图形：利用函数图形展示软件，绘制单调函数、奇函数、周期函数的图形。
6. 巩固对函数性质的理解和应用：通过练习题，巩固对函数性质的理解和应用。
（2）奇偶性：奇偶性是函数的另一个重要性质，它反映了函数在正负自变量下的对称性。在教学过程中，要重点讲解奇偶性的定义、判断方法和应用。例如，可以通过实例讲解奇偶性的判断方法，让学生能够准确地Байду номын сангаас断一个函数的奇偶性。
（3）周期性：周期性是函数的又一重要性质，它反映了函数值在一定范围内重复出现的规律。在教学过程中，要重点讲解周期性的定义、判断方法和应用。例如，可以通过实例讲解周期性的判断方法，让学生能够准确地判断一个函数的周期性。
《3.2 函数的基本性质》最新教研教案教学设计(统编人教A版高中必修第一册)
第2课时奇偶性的应用学习目标1.掌握用奇偶性求解析式的方法.2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小、求最值和解不等式．(知识点一 用奇偶性求解析式如果已知函数的奇偶性和一个区间 [a ，b ]上的解析式，想求关于原点的对称区间 [－b ，－a ]上的解析式，其解决思路为：(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x 就应在哪个区间上设． (2)要利用已知区间的解析式进行代入．(3)利用 f(x)的奇偶性写出－f(x)或 f(－x)，从而解出 f(x)．知识点二 奇偶性与单调性若函数 f(x)为奇函数，则 f(x)在关于原点对称的两个区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上具有相同的单调性；若函数 f(x)为偶函数，则 f(x)在关于原点对称的两个区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上具有相 反的单调性．预习小测 自我检验1．若 f(x)的定义域为 R ，且 f(x)为奇函数，则 f(0)＝________.答案 02．若 f(x)为 R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递减，则 f(－1)________f(1)．填“>”“＝” 或“<”)答案 >解析 f(x)为 R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递减，∴f(x)在 R 上单调递减，∴f(－1)>f(1)．3．如果奇函数 f(x)在区间[－7，－3]上是减函数，那么函数 f(x)在区间[3,7]上是________函数．答案 减解析 ∵f(x)为奇函数，∴f(x)在[3,7]上的单调性与[－7，－3]上一致，∴f(x)在[3,7]上是减函f f数．4．函数 f(x)为偶函数，若 x >0 时，f(x)＝x ，则 x <0 时，f(x)＝________. 答案 －x解析 方法一 令 x <0，则－x >0，∴f(－x)＝－x ，又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝－x(x<0)．方法二 利用图象(图略)可得 x <0 时，f(x)＝－x.一、利用函数的奇偶性求解析式命题角度 1 求对称区间上的解析式例 1 函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，当 x >0 时，(x)＝－x ＋1，求当 x <0 时，(x)的解析式． 考点 函数奇偶性的应用题点 利用奇偶性求函数的解析式解 设 x <0，则－x >0，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x ＋1，又∵函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，∴当 x <0 时，f(x)＝－f(－x)＝－x －1.反思感悟 求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为 x ，然后把 x 转化为－x ，此时2x －1例 2 设 f(x)是偶函数，g (x)是奇函数，且 f(x)＋g (x)＝ ，求函数 f(x)，g (x)的解析式．∴f(x)－g (x)＝ ，②－x 成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．跟踪训练 1 已知 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x ∈(0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x)，求 f(x)的解析式．解 因为 x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，所以 f(－x)＝－x [1＋(－x)]＝x(x －1)．因为 f(x)是 R 上的奇函数，所以 f(x)＝－f(－x)＝－x(x －1)，x ∈(－∞，0)． f(0)＝0.⎧⎪x (1＋x )，x ≥0，所以 f(x)＝⎨⎪⎩－x (x －1)，x<0.命题角度 2 构造方程组求解析式1x －1考点 函数奇偶性的应用题点 利用奇偶性求函数的解析式解 ∵f(x)是偶函数，g (x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g (－x)＝－g (x)，由 f(x)＋g (x)＝ 1.①x －1用－x 代替 x ，得 f(－x)＋g (－x)＝ 1，－x －11 －x －1(①＋②)÷2，得 f(x)＝ 1；x 2－1x(①－②)÷2，得 g (x)＝ .反思感悟f(x)＋g (x)＝ 1对定义域内任意 x 都成立，所以可以对 x 任意赋值，如 x ＝－x.x －1利用f(x)，g(x)一奇一偶，把－x的负号或提或消，最终得到关于f(x)，g(x)的二元方程组，从中解出f(x)和g(x)．跟踪训练2设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式．考点函数奇偶性的应用题点利用奇偶性求函数的解析式解∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.①用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②(①＋②)÷2，得f(x)＝x2；(①－②)÷2，得g(x)＝2x.二、利用函数的奇偶性与单调性比较大小例3设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A．f(π)>f(－3)>f(－2)B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)<f(－3)<f(－2)D．f(π)<f(－2)<f(－3)答案A解析因为函数f(x)为R上的偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．又当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，且π>3>2，所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(－3)>f(－2)．反思感悟利用函数的奇偶性与单调性比较大小(1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；(2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后<0 的解集为________．利用单调性比较大小．跟踪训练 3 (1)已知偶函数 f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则 f(1)和 f(－10)的大小关系为()A ．f(1)>f(－10)C ．f(1)＝f(－10) B ．f(1)<f(－10)D ．f(1)和 f(－10)关系不定答案 A解析 ∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，∴f(－10)＝f(10)<f(1)．(2)定义在 R 上的奇函数 f(x)为增函数，偶函数 g (x)在区间[0，＋∞)上的图象与 f(x)的图象重合，设 a >b >0，下列不等式中成立的有________．(填序号)①f(a)>f(－b )；③g (a)>g (－b )；②f(－a)>f(b )；④g (－a)<g (b )；⑤g (－a)>f(－a)．答案 ①③⑤解析 f(x)为 R 上奇函数，增函数，且 a >b >0，∴f(a)>f(b )>f(0)＝0，又－a <－b <0，∴f(－a)<f(－b )<f(0)＝0，∴f(a)>f(b )>0>f(－b )>f(－a)，∴①正确，②错误．x ∈[0，＋∞)时，g (x)＝f(x)，∴g (x)在[0，＋∞)上单调递增，∴g (－a)＝g (a)>g (b )＝g (－b )，∴③正确，④错误．又 g (－a)＝g (a)＝f(a)>f(－a)，∴⑤正确．三、利用函数的奇偶性与单调性解不等式例 4 (1)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数．若 f(－3)＝0，则f (x )x答案 {x|－3<x <0 或 x>3}解析 ∵f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，∴f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数．∴f(3)＝f(－3)＝0.(2)已知偶函数 f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足 f(2x －1)<f ⎝3⎭的 x 的取值范围为( )A.⎝3，3⎭B.⎣3，3⎭C.⎝2，3⎭D.⎣2，3⎭解析 由于 f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则不等式 f(2x －1)<f ⎝3⎭， 即－1<2x －1<1，解得1<x <2. 解得－1≤m<1.所以实数 m 的取值范围为⎡－1， ⎫.当 x >0 时，由 f(x)<0，解得 x >3；当 x <0 时，由 f(x)>0，解得－3<x<0.故所求解集为{x|－3<x <0 或 x>3}．⎛1⎫⎛1 2⎫⎛1 2⎫⎡1 2⎫⎡1 2⎫答案 A⎛1⎫3 33 3反思感悟 利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类(1)利用图象解不等式；(2)转化为简单不等式求解．①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为 f(x 1)<f(x 2)或 f(x 1)>f(x 2)的形式；②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f ”转化为简单不等式(组)求解．跟踪训练 4 设定义在[－2,2]上的奇函数 f(x)在区间[0,2]上是减函数，若 f(1－m )<f(m )，求实数 m 的取值范围．解 因为 f(x)是奇函数且 f(x)在[0,2]上是减函数，所以 f(x)在[－2,2]上是减函数．⎧⎪1－m>m ，所以不等式 f(1－m )<f(m )等价于⎨－2≤m ≤2，⎪⎩－2≤1－m ≤2，21 ⎣ 2⎭) 1．若函数f(x)是R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则下列关系成立的是( A．f(－3)>f(0)>f(1)B．f(－3)>f(1)>f(0)C．f(1)>f(0)>f(－3)D．f(1)>f(－3)>f(0)考点抽象函数单调性与奇偶性题点抽象函数单调性与不等式结合问题答案B解析∵f(－3)＝f(3)，且f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，∴f(－3)>f(1)>f(0)．2．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)<f(b)，则一定可得() A．a<b B．a>bC．|a|<|b|D．0≤a<b或a>b≥0考点抽象函数单调性与奇偶性题点抽象函数单调性与不等式结合问题答案C3．已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝________.答案－x＋1解析当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－x＋1，又f(x)为偶函数，∴f(x)＝－x＋1.4.奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上的图象如图，则函数f(x)的增区间为________．f答案(－∞，－1]，[1，＋∞)解析奇函数的图象关于原点对称，可知函数f(x)的增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞)．5．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．答案(－1,3)解析因为f(x)是偶函数，所以f(x－1)＝f(|x－1|)．又因为f(2)＝0，所以f(x－1)>0可化为f(|x－1|)>f(2)．又因为f(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以|x－1|<2，解得－2<x－1<2，所以－1<x<3.1．知识清单：(1)利用奇偶性，求函数的解析式．(2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式．2．方法归纳：利用函数的奇偶性、单调性画出函数的简图，利用图象解不等式和比较大小，体现了数形结合思想和直观想象数学素养．3．常见误区：解不等式易忽视函数的定义域．⎩⎧⎪x 2＋x ，x ≥0，1．设函数 f(x)＝⎨且 f(x)为偶函数，则 g (－2)等于( )⎪g (x )，x <0，A ．6B ．－6C ．2D ．－2考点 函数奇偶性的应用题点 利用奇偶性求函数的解析式答案 A解析 g (－2)＝f(－2)＝f(2)＝22＋2＝6.2．如果奇函数 f(x)在区间[－3，－1]上是增函数且有最大值 5，那么函数 f(x)在区间[1,3]上是( )A ．增函数且最小值为－5B ．增函数且最大值为－5C ．减函数且最小值为－5D ．减函数且最大值为－5答案 A解析 f(x)为奇函数，∴f(x)在[1,3]上的单调性与[－3，－1]上一致且 f(1)为最小值，又已知 f(－1)＝5，∴f(－1)＝－f(1)＝5，∴f(1)＝－5，故选 A.3．已知函数 y ＝f(x)是 R 上的偶函数，且 f(x)在[0，＋∞)上是减函数，若 f(a)≥f(－2)，则 a的取值范围是()A ．a ≤－2C ．a ≤－2 或 a ≥2 B ．a ≥2D ．－2≤a ≤2答案 D解析 由 f(a)≥f(－2)得 f(|a|)≥f(2)，∴|a|≤2，∴－2≤a ≤2.4．已知函数 y ＝f(x)是偶函数，其图象与 x 轴有 4 个交点，则方程 f(x)＝0 的所有实根之和是( )A ．4B ．2C ．1D ．0答案 D解析 y ＝f(x)是偶函数，所以 y ＝f(x)的图象关于 y 轴对称，所以 f(x)＝0 的所有实根之和为 0.5．设 f(x)是 R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若 x 1<0 且 x 1＋x 2>0，则() A ．f(－x 1)>f(－x 2)B ．f(－x 1)＝f(－x 2)C ．f(－x 1)<f(－x 2)D ．f(－x 1)与 f(－x 2)的大小不确定考点 抽象函数单调性与奇偶性题点 抽象函数单调性与不等式结合问题答案 A解析 ∵x 1<0，x 1＋x 2>0，∴x 2>－x 1>0，又 f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴f(x 2)<f(－x 1)，∵f(x)是偶函数，∴f(－x 2)＝f(x 2)<f(－x 1)．6．设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x >0 时，f(x)＝x 2＋1，则 f(－2)＋f(0)＝________.答案 －5解析 由题意知 f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，∴f(－2)＋f(0)＝－5.7．已知奇函数 f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足 f(x)<f(1)的 x 的取值范围是________．考点 抽象函数单调性与奇偶性题点 抽象函数单调性与不等式结合问题答案 (－∞，1)解析 由于 f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且是奇函数，所以 f(x)在 R 上单调递增，f(x)<f(1)等价于 x<1.8．若 f(x)＝(m －1)x 2＋6mx ＋2 是偶函数，则 f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是________．答案 f(－2)<f(1)<f(0)解析 ∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立，即(m －1)x 2－6mx ＋2＝(m －1)x 2＋6mx ＋2 恒成立，∴m ＝0，即 f(x)＝－x 2＋2.∵f(x)的图象开口向下，对称轴为 y 轴，在[0，＋∞)上单调递减，∴f(2)<f(1)<f(0)，即 f(－2)<f(1)<f(0)．9．已知函数 y ＝f(x)的图象关于原点对称，且当 x >0 时，f(x)＝x 2－2x ＋3.(1)试求 f(x)在 R 上的解析式；(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间．考点 单调性与奇偶性的综合应用题点 求奇偶函数的单调区间解 (1)因为函数 f(x)的图象关于原点对称，所以 f(x)为奇函数，则 f(0)＝0.设 x <0，则－x >0，⎧⎪x －2x ＋3，x >0，10．已知函数 f(x)＝ax ＋ ＋c(a ，b ，c 是常数)是奇函数，且满足 f(1)＝ ，f(2)＝ . (2)试判断函数 f(x)在区间⎝0，2⎭上的单调性并证明． ∴－ax － ＋c ＝－ax － －c ， ∴c ＝0，∴f(x)＝ax ＋ . 因为当 x >0 时，f(x)＝x 2－2x ＋3.所以当 x <0 时，f(x)＝－f(－x)＝－(x 2＋2x ＋3)＝－x 2－2x －3.2 于是有 f(x)＝⎨0，x ＝0，⎪⎩－x 2－2x －3，x<0.(2)先画出函数在 y 轴右侧的图象，再根据对称性画出 y 轴左侧的图象，如图．由图象可知函数 f(x)的单调递增区间是(－∞，－1]，[1，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)，(0,1)． b 5 17 x 24(1)求 a ，b ，c 的值；⎛ 1⎫考点 单调性与奇偶性的综合应用题点 判断或证明奇偶函数在某区间上的单调性解 (1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，b b x xb x又∵f(1)＝5，f(2)＝17， 2 4⎧ 5a ＋b ＝ ，∴a ＝2，b ＝ . (2)由(1)可知 f(x)＝2x ＋ .0， ⎫上为减函数．函数 f(x)在区间⎛1任取 0<x <x < ， 1 1则 f(x )－f(x )＝2x ＋ －2x － 2－＝(x －x )⎛2x1x 2 1 2＝(x －x ) . 0， 上为减函数．∴f(x)在⎝ 2⎭∴⎨2x 1 2x 21 2 ⎝ 2x x ⎭ ∵0<x 1<x 2< ，2 2 42 ⎩2a ＋b ＝17. 1 2综上，a ＝2，b ＝1，c ＝0. 21 2x1 ⎝ 2⎭证明如下：1 2 21 21 2 1 ⎫ 1 24x x －1 1 21∴x 1－x 2<0,2x 1x 2>0,4x 1x 2－1<0.∴f(x 1)－f(x 2)>0，即 f(x 1)>f(x 2)．⎛ 1⎫即f (x )<0， 综上使f (x )<0 的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．11．设奇函数 f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且 f(1)＝0，则不等式f (x )－f (－x)解析 ∵f(x)为奇函数，f (x )－f (－x )x <0 的解集为(A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)答案 Cx <0，x∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数且 f(1)＝0，∴当 x >1 时，f(x)<0.∵奇函数图象关于原点对称，∴在(－∞，0)上 f(x)为减函数且 f(－1)＝0，即 x <－1 时，f(x)>0.x12．已知 f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)对任意实数 x ，y 都成立，则函数 f(x)是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数，也是偶函数 )f D ．既不是奇函数，也不是偶函数答案 A解析 令 x ＝y ＝0，所以 f(0)＝f(0)＋f(0)，所以 f(0)＝0.又因为 f(x －x)＝f(x)＋f(－x)＝0，所以 f(－x)＝－f(x)，所以 f(x)是奇函数，故选 A.13．已知 y ＝f(x)＋x 2 是奇函数且 f(1)＝1，若 g (x)＝f(x)＋2，则 g (－1)＝________.考点 函数奇偶性的应用题点 利用奇偶性求函数值答案 －1解析 ∵y ＝f(x)＋x 2 是奇函数，∴f(－x)＋(－x)2＝－[f(x)＋x 2]，∴f(x)＋f(－x)＋2x 2＝0，∴f(1)＋f(－1)＋2＝0.∵f(1)＝1，∴f(－1)＝－3.∵g (x)＝f(x)＋2，∴g (－1)＝f(－1)＋2＝－3＋2＝－1.14．已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(1－x)＝f(1＋x)，且 f(x)在[1，＋∞)上为单调减函数，则当 x ＝________时，(x)取得最大值；若不等式 f(0)<f(m )成立，则 m 的取值范围是________．答案 1 (0,2)解析 由 f(1－x)＝f(1＋x)知，f(x)的图象关于直线 x ＝1 对称，又 f(x)在(1，＋∞)上单调递减，则 f(x)在(－∞，1]上单调递增，所以当 x ＝1 时 f(x)取到最大值．由对称性可知 f(0)＝f(2)，所 以 f(0)<f(m )，得 0<m <2，即 m 的取值范围为(0,2)．a ＋b15．已知 f(x)，g (x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且 f(x)－g (x)＝x 3＋x 2＋1，则 f(1)＋g (1)等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3考点 函数奇偶性的应用题点 利用奇偶性求函数的解析式答案 C解析 ∵f(x)－g (x)＝x 3＋x 2＋1，∴f(－x)－g (－x)＝－x 3＋x 2＋1.∵f(x)是偶函数，g (x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g (－x)＝－g (x)．∴f(x)＋g (x)＝－x 3＋x 2＋1.∴f(1)＋g (1)＝－1＋1＋1＝1.f (a )＋f (b ) 16．设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意 a ，b ∈R ，当 a ＋b ≠0 时，都有 >0.(1)若 a >b ，试比较 f(a)与 f(b )的大小关系；(2)若 f(1＋m )＋f(3－2m )≥0，求实数 m 的取值范围．解 (1)因为 a >b ，所以 a －b >0，f (a )＋f (－b ) 由题意得 >0， a －b所以 f(a)＋f(－b )>0.又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－b)＝－f(b)，所以f(a)－f(b)>0，即f(a)>f(b)．(2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数，因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，所以f(1＋m)≥－f(3－2m)，即f(1＋m)≥f(2m－3)，所以1＋m≥2m－3，所以m≤4.所以实数m的取值范围为(－∞，4]．。
高一数学上册《函数的基本性质》教案、教学设计
3.学生在小组合作学习中的参与度有待提高。教师应关注学生的个体差异，调动每个学生的积极性，使他们在合作交流中发挥自己的优势，共同进步。
4.学生对于数学知识在实际生活中的应用认识不足，教师可通过引入实际问题，让学生体会数学知识的价值，激发学生学习数学的兴趣。
6.教学评价，关注成长
在教学过程中，教师应关注学生的成长和发展，采用多元化的评价方式，如课堂表现、作业完成情况、小组合作交流等，全面评估学生的学习效果。
7.创设互动氛围，激发学生学习兴趣
8.融入信息技术，提高教学质量
利用多媒体、网络等信息技术手段，丰富教学资源，提高教学质量。如通过数学软件绘制函数图像，让学生更直观地感受函数性质。
3.结合所学函数性质，尝试解决以下拓展性问题：
（1）已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1，判断其奇偶性，并求单调区间。
（2）已知函数g(x) = 3cos(2x) + 4sin(x)，求最小正周期及一个周期内的单调区间。
4.请同学们预习下一节课内容，了解函数的极值及其在实际问题中的应用。
3.鼓励学生积极参与课堂讨论，勇于表达自己的观点，培养学生自信、勇敢的品质。
4.通过解决实际问题，让学生认识到数学知识在生活中的重要作用，增强学生应用数学知识解决实际问题的意识，提高学生的社会责任感。
在本章节的教学过程中，教师应以学生为主体，关注学生的个体差异，充分调动学生的积极性、主动性和创造性。通过讲解、示范、讨论等多种教学手段，使学生在掌握函数基本性质的基础上，提高自身的数学素养和综合素质。同时，注重培养学生的团队合作精神，使其在合作交流中相互学习、共同成长。
高中必修第一册《3.2 函数的基本性质》优质课教案教学设计
3.2.1 单调性与最大（小）值《函数的单调性与最大（小）值}》系人教A版高中数学必修第一册第三章第二节的内容,本节包括函数的单调性的定义与判断及其证明、函数最大（小）值的求法。
在初中学习函数时,借助图像的直观性研究了一些函数的增减性,这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一,函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续,它和后面的函数奇偶性,合称为函数的简单性质,是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础;在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问需用到函数的单调性;同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的救开结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。
A.理解增函数、减函数、单调区间、单调性概念；B.掌握增（减）函数的证明与判断；C.能利用单调性求函数的最大（小）值；D.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；1.教学重点：函数单调性的概念，函数的最值；2.教学难点：证明函数的单调性，求函数的最值。
多媒体教学过程教学设计意图 核心素养目标 一、情景引入1. 观察这些函数图像，你能说说他们分别反映了相应函数的哪些特征吗？2、它们分别反映了相应函数有什么变化规律？二、探索新知 探究一 单调性1、思考：如何利用函数解析式2)(x x f =描述“随着x 的增大，相应的f(x)随着增大？”【答案】图象在区间 ）+∞,0(上 逐渐上升， 在）+∞,0(内随着x 的增大，y 也增大。
对于区间）+∞,0(内任意21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <。
这是，就说函数2)(x x f =在区间 ）+∞,0(上是增函数.2、你能类似地描述2)(x x f =在区间)0,(-∞上是减函数吗？ 【答案】在区间)0,(-∞内任取21,x x ，得到211)(x x f =，222)(x x f =，当21x x <时，都有)()(21x f x f >。
2020高一数学新教材必修1教案学案 专题3.2 函数的基本性质(第一课时)(解析版)
函数 f(x)的单调递减区间为(－∞，0]，单调递增区间为[0，＋∞)． (2)令 g(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4．先作出函数 g(x)的图象，保留其在 x 轴及 x 轴上方部分，把它在 x 轴下 方的图象翻到 x 轴上方就得到函数 f(x)＝|x2＋2x－3|的图象，如图所示．
当 x≤2 时，f（x）＝﹣x2+2x，
故函数
f（x）
x2 2x，x＞2 x2 2x，x
2
．
f（x）＝x2﹣2x 的对称轴为：x＝1，开口向上，x＞2 时是增函数；
f（x）＝﹣x2+2x，开口向下，对称轴为 x＝1，
则 x＜1 时函数是增函数，1＜x＜2 时函数是减函数．
即有函数的单调减区间是[1，2]．故答案为：[1，2]．
如图所示，函数的单调递增区间是
1,
3 2
和
2,
.故选
B.
2．（2019·邗江区赤岸中学高二月考（文））函数 y x x 3 的单调减区间为______.
5
【答案】
3 2
,
3
【解析】当 x 3 时， y x 3 x x 2 3x
由二次函数图象可知，此时函数在
3 2
,
3
上单调递减
1
t t
t
1
t t
x（
t ）[1 t t 1 t ]＝（
1 t1
t ）=1 t +=1 t +，
∵ ＜x1＜x2，
∴x1﹣x2＜0，x1t ＞ ，x2t ＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即 f（x1）＜f（x2），
2021-2022年高中数学《函数的基本性质》说课稿 新人教A版必修1
2021-2022年高中数学《函数的基本性质》说课稿新人教A版必修1我说课的题目是《函数的单调性》，我将从四个方面来阐述我对这节课的设计．一、教材分析函数的单调性是函数的重要性质．从知识的网络结构上看，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在研究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用．函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用．根据函数单调性在整个教材内容中的地位与作用，本节课教学应实现如下教学目标：知识与技能使学生理解函数单调性的概念，初步掌握判别函数单调性的方法；过程与方法引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构单调增函数、单调减函数等概念；能运用函数单调性概念解决简单的问题；使学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．情感态度与价值观在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度．根据上述教学目标，本节课的教学重点是函数单调性的概念形成和初步运用．虽然高一学生已经有一定的抽象思维能力，但函数单调性概念对他们来说还是比较抽象的．因此，本节课的学习难点是函数单调性的概念形成．二、教法学法为了实现本节课的教学目标，在教法上我采取了：1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性．2、在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念．3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达．在学法上我重视了：1、让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的质的飞跃．2、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力．三、教学过程函数单调性的概念产生和形成是本节课的难点，为了突破这一难点，在教学设计上采用了下列四个环节．（一）创设情境，提出问题（问题情境）（播放中央电视台天气预报的音乐）．如图为某地区xx年元旦这一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图：[教师活动]引导学生观察图象，提出问题：问题1：说出气温在哪些时段内是逐步升高的或下降的？问题2：怎样用数学语言刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？[设计意图]问题是数学的心脏，问题是学生思维的开始，问题是学生兴趣的开始．这里，通过两个问题，引发学生的进一步学习的好奇心．（二）探究发现建构概念[学生活动]对于问题1，学生容易给出答案．问题2对学生来说较为抽象，不易回答．[教师活动]为了引导学生解决问题2，先让学生观察图象，通过具体情形，例如，“t1=8时，f(t1)=1，t2=10时，f(t2)= 4”这一情形进行描述．引导学生回答：对于自变量8<10，对应的函数值有1<4.举几个例子表述一下.然后给出一个铺垫性的问题：结合图象，请你用自己的语言，描述“在区间［4，14］上，气温随时间增大而升高”这一特征．在学生对于单调增函数的特征有一定直观认识时，进一步提出：问题3:对于任意的t1、t2∈[4，16]时，当t1< t2时，是否都有f(t1)<f(t2)呢?[学生活动]通过观察图象、进行实验（计算机）、正反对比，发现数量关系，由具体到抽象，由模糊到清晰逐步归纳、概括、抽象出单调增函数概念的本质属性，并尝试用符号语言进行初步的表述．[教师活动]为了获得单调增函数概念，对于不同学生的表述进行分析、归类，引导学生得出关键词“区间内”、“任意”、“当时，都有”．告诉他们“把满足这些条件的函数称之为单调增函数”，之后由他们集体给出单调增函数概念的数学表述．提出：问题4：类比单调增函数概念，你能给出单调减函数的概念吗？最后完成单调性和单调区间概念的整体表述．[设计意图]数学概念的形成来自解决实际问题和数学自身发展的需要．但概念的高度抽象，造成了难懂、难教和难学，这就需要让学生置身于符合自身实际的学习活动中去，从自己的经验和已有的知识基础出发，经历“数学化”、“再创造”的活动过程．刚升入高一的学生已经具备了一定的几何形象思维能力，但抽象思维能力不强．从日常的描述性语言概念升华到用数学符号语言精确刻画概念是本节课的难点．（三）自我尝试运用概念1．为了理解函数单调性的概念，及时地进行运用是十分必要的．[教师活动]问题5：（1）你能找出气温图中的单调区间吗？（2）你能说出你学过的函数的单调区间吗？请举例说明．[学生活动]对于（1），学生容易看出：气温图中分别有两个单调减区间和一个单调增区间．对于（2），学生容易举出具体函数如：并画出函数的草图，根据函数的图象说出函数的单调区间．[教师活动]利用实物投影仪，投影出学生画出的草图和标出的单调区间，并指出学生回答问题时可能出现的错误，如：在叙述函数的单调区间时写成并集．[设计意图]在学生已有认知结构的基础上提出新问题，使学生明了，过去所研究的函数的相关特征，就是现在所学的函数的单调性，从而加深对函数单调性概念的理解．2．对于给定图象的函数，借助于图象，我们可以直观地判定函数的单调性，也能找到单调区间．而对于一般的函数，我们怎样去判定函数的单调性呢？[教师活动]问题6：证明在区间（0，+ ∞）上是单调减函数．[学生活动]学生相互讨论，尝试自主进行函数单调性的证明，可能会出现不知如何比较与的大小、不会正确表述、变形不到位或根本不会变形等困难．[教师活动]教师深入学生中，与学生交流，了解学生思考问题的进展过程，投影学生的证明过程，纠正出现的错误，规范书写的格式．[学生活动]学生自我归纳证明函数单调性的一般方法和操作流程：取值作差变形定号判断．[设计意图]有效的数学学习过程，不能单纯的模仿与记忆，数学思想的领悟和学习过程更是如此．利用学生自己提出的问题，让学生在解题过程中亲身经历和实践体验，师生互动学习，生生合作交流，共同探究．（四）回顾反思深化概念[教师活动]给出一组题：1、定义在R上的单调函数满足，那么函数是R上的单调增函数还是单调减函数？2、若定义在R上的单调减函数满足，你能确定实数的取值范围吗？[学生活动]学生互相讨论，探求问题的解答和问题的解决过程，并通过问题，归纳总结本节课的内容和方法.[设计意图]通过学生的主体参与，使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法，从而实现对函数单调性认识的再次深化.[教师活动]作业布置：（1）阅读课本P34－35例2 （2）书面作业：必做：教材P43 1、7、11选做：二次函数在［0，＋∞）是增函数，满足条件的实数的值唯一吗？探究：函数在定义域内是增函数，函数有两个单调减区间，由这两个基本函数构成的函数的单调性如何？请证明你得到的结论．[设计意图]通过两方面的作业，使学生养成先看书，后做作业的习惯．基于函数单调性内容的特点及学生实际，对课后书面作业实施分层设置，安排基本练习题、巩固理解题和深化探究题三层．学生完成作业的形式为必做、选做和探究三种，使学生在完成必修教材基本学习任务的同时，拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣，促进学生自主发展、合作探究的学习氛围的形成．四、教学评价学生学习的结果评价当然重要，但是更重要的是学生学习的过程评价．教师应当高度重视学生学习过程中的参与度、自信心、团队精神、合作意识、独立思考习惯的养成、数学发现的能力，以及学习的兴趣和成就感．学生熟悉的问题情境可以激发学生的学习兴趣，问题串的设计可以让更多的学生主动参与，师生对话可以实现师生合作，适度的研讨可以促进生生交流以及团队精神，知识的生成和问题的解决可以让学生感受到成功的喜悦，缜密的思考可以培养学生独立思考的习惯．让学生在教师评价、学生评价以及自我评价的过程中体验知识的积累、探索能力的长进和思维品质的提高，为学生的可持续发展打下基础．函数的奇偶性（说课稿）尊敬的各位专家评委、老师们：上午好！我是12号说课教师。
人教统编部编版高中数学必修一A版第三章《函数概念与性质》全章节教案教学设计(含章末综合复习)
【新教材】人教统编版高中数学必修一A版第三章教案教学设计3.1《函数的概念及其表示》教材分析：课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：解析法，图象法，列表法．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，要充分发挥图象的直观作用．在研究图象时，又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性．课本将映射作为函数的一种推广，这与传统的处理方式有了逻辑顺序上的变化．这样处理，主要是想较好地衔接初中的学习，让学生将更多的精力集中理解函数的概念，同时，也体现了从特殊到一般的思维过程．教学目标与核心素养：课程目标1、明确函数的三种表示方法；2、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；3、通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.数学学科素养1.数学抽象：函数解析法及能由条件求出解析式；2.逻辑推理：由条件求函数解析式；3.数学运算：由函数解析式求值及函数解析式的计算；4.数据分析：利用图像表示函数；5.数学建模：由实际问题构建合理的函数模型。
教学重难点：重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念.难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
教学过程：一、情景导入初中已经学过函数的三种表示法：列表法、图像法、解析法，那么这三种表示法定义是？优缺点是？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课阅读课本67-68页，思考并完成以下问题1.表示两个变量之间函数关系的方法有几种？分别是什么？2.函数的各种表示法各有什么特点？3.什么是分段函数？分段函数是一个还是几个函数？4.怎样求分段函数的值？如何画分段函数的图象？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
《3.2 函数的基本性质》课堂教学教案教学设计(统编人教A版)
3.2.2 奇偶性本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修一》（人教A版）第三章第三节;函数奇偶性是研究函数的一个重要策略,因此成为函数的重要性质之一,它的研究也为今后幂函数、三角函数的性质等后续内容的深入起着铺垫的作用;奇偶性的教学无论是在知识还是在能力方面对学生的教育起着非常重要的作用,因此本节课充满着数学方法论的渗透教育,同时又是数学美的集中体现。
A.使学生了解奇函数、偶函数的定义；[XB、使学生了解奇函数、偶函数图象的对称性；C、使学生会用定义判断函数的奇偶性。
D.培养学生判断、推理的能力，加强化归转化能力的训练。
1.教学重点：奇函数、偶函数的定义，判断函数的奇偶性；2.教学难点：用定义判断函数的奇偶性。
多媒体1.观察函数()f x x =和1()f x x=的图象，并完成下面的两个函数值对应表，你能发现这两个函数有什么共同特征吗？【答案】图象关于x 轴对称。
2、奇函数定义： 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称，反之，一个函数的图象关于原点对称，那么它是奇函数．注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．③具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．例1：判断下列函数的奇偶性： （1）4()f x x = （2）5()f x x = （3）1()f x x x =+ （4）21()f x x =应用函数奇偶性定义说明四个函数的奇偶性．（本例由学生讨论，师生共同总结具体方法步骤）【解析】解析步骤见教材总结：利用定义判断函数奇偶性的步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ②确定f(－x)与f(x)的关系；③作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数． 3.思考：（1）判断函数3()f x x x =+的奇偶性。
高一数学必修一 教案 3.2 函数的基本性质
3．2 函数的基本性质3．2.1 单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性学习目标 1.了解函数的单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性．知识点一增函数与减函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：(1)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数．(2)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数．思考(1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗？(2)在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈D”改为“存在x1，x2∈D”？答案(1)不是；(2)不能．知识点二函数的单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．(2)单调区间D⊆定义域I.(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．1．如果f (x )在区间[a ，b ]和(b ，c ]上都是增函数，则f (x )在区间[a ，c ]上是增函数．( × ) 2．函数f (x )为R 上的减函数，则f (－3)>f (3)．( √ )3．若函数y ＝f (x )在定义域上有f (1)<f (2)，则函数y ＝f (x )是增函数．( × )4．若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数，则函数y ＝－f (x )在区间D 上是减函数．( √ )一、函数单调性的判定与证明 例1 根据定义，研究函数f (x )＝axx －1在x ∈(－1,1)上的单调性． 解 当a ＝0时，f (x )＝0，在(－1,1)上不具有单调性， 当a ≠0时，设x 1，x 2为(－1,1)上的任意两个数，且x 1<x 2， 所以f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 1－1－ax 2x 2－1＝ax 1x 2－1－ax 2x 1－1x 1－1x 2－1＝a x 2－x 1x 1－1x 2－1因为x 1，x 2∈(－1,1)且x 1<x 2， 所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0， 所以x 2－x 1x 1－1x 2－1>0，当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以f (x )在(－1,1)上单调递减， 当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－1,1)上单调递增．综上，当a＝0时，f(x)在(－1,1)上不具有单调性；当a>0时，f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f(x)在(－1,1)上单调递增．反思感悟利用定义判断或证明函数单调性的步骤跟踪训练1 求证：函数f(x)＝1x2在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．证明对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，有f(x1)－f(x2)＝1x21－1x22＝x22－x21x21x22＝x2－x1x2＋x1x21x22.∵x1<x2<0，∴x2－x1>0，x1＋x2<0，x21x22>0.∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．∴函数f(x)＝1x2在(－∞，0)上是增函数．对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，有f(x1)－f(x2)＝x2－x1x2＋x1x21x22.∵0<x1<x2，∴x2－x1>0，x2＋x1>0，x21x22>0. ∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．∴函数f(x)＝1x2在(0，＋∞)上是减函数．二、求单调区间并判断单调性例2 (1)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？考点 求函数的单调区间 题点 求函数的单调区间解 y ＝f (x )的单调区间有[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]，其中y ＝f (x )在区间[－5，－2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]上是增函数．(2)作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，x －22＋3，x >1的图象，并指出函数f (x )的单调区间．解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，x －22＋3，x >1的图象如图所示，由图可知，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，x －22＋3，x >1的单调递减区间为(－∞，1]和(1,2)，单调递增区间为[2，＋∞)．反思感悟 (1)函数单调区间的两种求法①图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间． ②定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．(2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D 上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有． 跟踪训练2 (1)函数y ＝1x －1的单调递减区间是________． 答案 (－∞，1)，(1，＋∞)解析 方法一 y ＝1x －1的图象可由y ＝1x的图象向右平移一个单位得到，如图，所以单调减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)． 方法二 函数f (x )＝1x －1的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)， 设x 1，x 2∈(－∞，1)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1x 1－1－1x 2－1＝x 2－x 1x 1－1x 2－1.因为x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．所以函数f (x )在(－∞，1)上单调递减，同理函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减． 综上，函数f (x )的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．(2)函数y ＝|x 2－2x －3|的图象如图所示，试写出它的单调区间，并指出单调性．考点 求函数的单调区间 题点 求函数的单调区间解 y ＝|x 2－2x －3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，其中单调递减区间是(－∞，－1]，[1,3]；单调递增区间是[－1,1]，[3，＋∞)． 三、单调性的应用例3 (1)已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围为________． 答案 (－∞，－3]解析 f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2的开口方向向上，对称轴为x ＝1－a ， ∵f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数， ∴4≤1－a ， ∴a ≤－3，∴a 的取值范围是(－∞，－3]．(2)若函数y ＝f (x )的定义域为R ，且为增函数，f (1－a )<f (2a －1)，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ 解析 因为y ＝f (x )的定义域为R ，且为增函数，f (1－a )<f (2a －1)，所以1－a <2a －1，即a >23，所以所求a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞. 延伸探究在本例(2)中，若将定义域R 改为(－1,1)，其他条件不变，则a 的范围又是什么？解 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1.解得0<a <1.①因为f (x )在(－1,1)上是增函数， 且f (1－a )<f (2a －1)， 所以1－a <2a －1， 即a >23.②由①②可知，23<a <1，即所求a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1.反思感悟 函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．(2)若一个函数在区间[a ，b ]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的． 跟踪训练3 已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，求实数a 的取值范围． 解 函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上， 对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示．由图象可知函数在(－∞，a ]和[a ，＋∞)上都具有单调性， 因此要使函数f (x )在区间[1,2]上具有单调性，只需a ≤1或a ≥2， 从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．1．函数y ＝6x的减区间是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．(－∞，0)，(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)答案 C2．函数f (x )在R 上是减函数，则有( ) A ．f (3)<f (5) B ．f (3)≤f (5) C ．f (3)>f (5) D ．f (3)≥f (5)答案 C解析 因为函数f (x )在R 上是减函数，3<5，所以f (3)>f (5)． 3．函数y ＝|x ＋2|在区间[－3,0]上( )A ．递减B ．递增C ．先减后增D ．先增后减答案 C解析 因为y ＝|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥－2，－x －2，x <－2.作出y ＝|x ＋2|的图象，如图所示，易知函数在[－3，－2)上为减函数，在[－2，0]上为增函数．4．若f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋2的单调增区间为[3，＋∞)，则a 的值是________． 答案 －1解析 ∵f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋2的单调增区间为[2－a ，＋∞)， ∴2－a ＝3，∴a ＝－1.5．已知函数f (x )为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 的取值范围为________． 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 解析 由题设得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x <12，解得－1≤x <12.1．知识清单：(1)增函数、减函数的定义． (2)函数的单调区间． 2．方法归纳：数形结合法．3．常见误区：函数的单调区间不能用并集．1．如图是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )，则下列关于函数f (x )的说法错误的是( )A ．函数在区间[－5，－3]上单调递增B ．函数在区间[1,4]上单调递增C ．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D ．函数在区间[－5,5]上没有单调性 答案 C解析 单调区间不能用“∪”连接．2．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( ) A ．y ＝3－x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝1xD ．y ＝－|x ＋1|答案 B解析 y ＝x 2＋1在(0,2)上是增函数．3．若y ＝(2k －1)x ＋b 是R 上的减函数，则有( ) A ．k >12B ．k >－12C ．k <12D ．k <－12答案 C4．若函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是( ) A ．f (a )>f (2a )B ．f (a 2)<f (a )C ．f (a 2＋a )<f (a ) D ．f (a 2＋1)<f (a 2)答案 D解析 因为f (x )是区间(－∞，＋∞)上的减函数， 且a 2＋1>a 2，所以f (a 2＋1)<f (a 2)．故选D.5．已知函数y ＝ax 和y ＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f (x )＝bx ＋a 在R 上是( ) A ．减函数且f (0)<0 B ．增函数且f (0)<0 C ．减函数且f (0)>0 D ．增函数且f (0)>0答案 A解析 因为y ＝ax 和y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数， 所以a <0，b <0，f (x )＝bx ＋a 为减函数且f (0)＝a <0，故选A.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，5－x ，x <1，则f (x )的单调递减区间是________．答案 (－∞，1)解析 当x ≥1时，f (x )是增函数，当x <1时，f (x )是减函数， 所以f (x )的单调递减区间为(－∞，1)．7．如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，则实数a 的取值范围为________．答案 (－∞，2]解析 因为二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5的图象的对称轴为直线x ＝a －12，又函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，所以a －12≤12，解得a ≤2. 8．已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，则x 的取值范围是________． 考点 函数单调性的应用题点 利用单调性解抽象函数不等式答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，x －2<1－x ，解得1≤x <32， 故满足条件的x 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32. 9．已知函数f (x )＝2－x x ＋1，证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为减函数． 证明 任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2－x 1x 1＋1－2－x 2x 2＋1＝3x 2－x 1x 1＋1x 2＋1. 因为x 2>x 1>－1，所以x 2－x 1>0，(x 1＋1)(x 2＋1)>0，因此f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(－1，＋∞)上为减函数．10．画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋1的图象并写出函数的单调区间．解 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0， 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －12＋2，x ≥0，－x ＋12＋2，x <0的图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间为(－1,0)和(1，＋∞)．11．若函数f (x )在区间(a ，b )上是增函数，在区间(b ，c )上也是增函数，则函数f (x )在区间(a ，b )∪(b ，c )上( )A ．必是增函数B ．必是减函数C ．是增函数或减函数D ．无法确定单调性 答案 D解析 函数在区间(a ，b )∪(b ，c )上无法确定单调性．如y ＝－1x在(0，＋∞)上是增函数， 在(－∞，0)上也是增函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上并不具有单调性．12．定义在R 上的函数f (x )，对任意x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1<0，则( ) A ．f (3)<f (2)<f (1)B ．f (1)<f (2)<f (3)C ．f (2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (2) 答案 A解析 对任意x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1<0， 则x 2－x 1与f (x 2)－f (x 1)异号，则f (x )在R 上是减函数．又3>2>1，则f (3)<f (2)<f (1)．故选A.13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x －1，x ≤1.若f (x )是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为________．答案 [4,8) 解 因为f (x )是R 上的增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 4－a 2>0，4－a 2－1≤1，解得4≤a <8. 14．函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在(－1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．答案 [－3,0]解析 ①a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在R 上单调递减，∴a ＝0满足条件；②a ≠0时，f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1， 对称轴为x ＝－a －32a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，－a －32a ≤－1，解得－3≤a <0.由①②得－3≤a ≤0，故a 的取值范围是[－3,0]．15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0，若f (4－a )>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－2，＋∞)答案 A 解析 画出f (x )的图象(图略)可判断f (x )在R 上单调递增，故f (4－a )>f (a )⇔4－a >a ，解得a <2.16．已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围． 解 设1<x 1<x 2，所以x 1x 2>1.因为函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数， 所以f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a 2－⎝⎛⎭⎪⎫x 2－a x 2＋a 2 ＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a x 1x 2<0. 因为x 1－x 2<0，所以1＋a x 1x 2>0，即a >－x 1x 2. 因为1<x 1<x 2，x 1x 2>1，所以－x 1x 2<－1，所以a ≥－1.所以a 的取值范围是[－1，＋∞)．。
函数的基本性质教案设计
函数的基本性质教案设计这是函数的基本性质教案设计，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。
函数的基本性质教案设计第1篇各位老师,大家好!今天我说课的课题是高中数学人教A版必修一第一章第三节”函数的基本性质”中的“函数的奇偶性”，下面我将从教材分析，教法、学法分析，教学过程,教辅手段,板书设计等方面对本课时的教学设计进行说明。
一、教材分析（一）教材特点、教材的地位与作用本节课的主要学习内容是理解函数的奇偶性的概念，掌握利用定义和图象判断函数的奇偶性，以及函数奇偶性的几个性质。
函数的奇偶性是函数中的一个重要内容，它不仅与现实生活中的对称性密切相关，而且为后面学习幂函数、指数函数、对数函数的性质打下了坚实的基础。
因此本节课的内容是至关重要的，它对知识起到了承上启下的作用。
（二）重点、难点1、本课时的教学重点是：函数的奇偶性及其几何意义。
2、本课时的教学难点是：判断函数的奇偶性的方法与格式。
（三）教学目标1、知识与技能：使学生理解函数奇偶性的概念，初步掌握判断函数奇偶性的方法；2、方法与过程：引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构奇函数、偶函数等概念；能运用函数奇偶性概念解决简单的问题；使学生领会数形结合思想方法，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。
3、情感态度与价值观：在奇偶性概念形成过程中,使学生体会数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。
二、教法、学法分析1．教学方法：启发引导式结合本章实际，教材简单易懂，重在应用、解决实际问题，本节课准备采用＂引导发现法＂进行教学，引导发现法可激发学生学习的积极性和创造性，分享到探索知识的方法和乐趣，在解决问题的过程中，体验成功与失败，从而逐步建立完善的认知结构．使用多媒体辅助教学，突出了知识的产生过程，又增加了课堂的趣味性．2．学法指导：引导学生采用自主探索与互相协作相结合的学习方式。
让每一位学生都能参与研究，并最终学会学习．三、教辅手段以学生独立思考、自主探究、合作交流，教师启发引导为主，以多媒体演示为辅的教学方式进行教学四、教学过程为了达到预期的教学目标，我对整个教学过程进行了系统地规划，设计了五个主要的教学程序：设疑导入，观图激趣。
函数的基本性质(教案)
函数的基本性质教学目标：1. 了解函数的定义和基本概念。
2. 掌握函数的域和值域的概念。
3. 理解函数的单调性、连续性和可导性的概念。
4. 学会运用函数的基本性质解决实际问题。
教学内容：第一章：函数的定义与域1.1 函数的定义1.2 函数的域第二章：值域2.1 值域的概念2.2 确定函数的值域第三章：函数的单调性3.1 单调性的定义3.2 单调性的判定第四章：函数的连续性4.1 连续性的定义4.2 连续性的判定第五章：函数的可导性5.1 可导性的定义5.2 可导性的判定教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过实例来理解函数的基本性质。
2. 使用多媒体辅助教学，通过动画和图形来直观展示函数的单调性、连续性和可导性。
3. 组织小组讨论和实践活动，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
教学评估：1. 课堂讨论和提问，评估学生对函数基本性质的理解程度。
2. 布置课后习题和作业，巩固学生对函数基本性质的掌握。
3. 进行定期的测验和考试，检验学生对函数基本性质的掌握情况。
教学资源：1. 教科书和参考书籍，提供详细的知识点和实例。
2. 多媒体课件和教学软件，提供直观的图形和动画展示。
3. 在线学习平台和论坛，提供额外的学习资源和交流平台。
教学计划：1. 第一章：2课时2. 第二章：2课时3. 第三章：2课时4. 第四章：2课时5. 第五章：2课时教学总结：通过本章的教学，学生应该能够理解函数的定义和基本概念，掌握函数的域和值域的概念，理解函数的单调性、连续性和可导性的概念，并能够运用函数的基本性质解决实际问题。
函数的基本性质（续）教学内容：第六章：函数的极值与最值6.1 极值的概念6.2 函数的最值第七章：函数的周期性7.1 周期性的定义7.2 周期函数的性质第八章：函数的奇偶性8.1 奇偶性的定义8.2 奇偶函数的性质第九章：函数的图像9.1 图像的性质9.2 图像的变换第十章：函数的极限10.1 极限的概念10.2 极限的计算教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过实例来理解函数的极值、周期性、奇偶性、图像和极限的基本性质。
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【新教材】3.2.2 奇偶性（人教A 版）《奇偶性》内容选自人教版A 版第一册第三章第三节第二课时;函数奇偶性是研究函数的一个重要策略,因此奇偶性成为函数的重要性质之一,它的研究也为今后指对函数、幂函数、三角函数的性质等后续内容的深入起着铺垫的作用.课程目标1、理解函数的奇偶性及其几何意义；2、学会运用函数图象理解和研究函数的性质；3、学会判断函数的奇偶性．数学学科素养1.数学抽象：用数学语言表示函数奇偶性；2.逻辑推理：证明函数奇偶性；3.数学运算：运用函数奇偶性求参数；4.数据分析：利用图像求奇偶函数；5.数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，利用奇偶性解决实际问题。
重点：函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断；难点：函数奇偶性概念的探究与理解．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、 情景导入前面我们用符号语言准确地描述了函数图象在定义域的某个区间上“上升”（或“下降”）的性质.下面继续研究函数的其他性质. 画出并观察函数21()()2||()()=f x xg x x f x x g x x==-=和、和的图像，你能发现这两个函数图像()()()()0f x f x f x f x -=⇔--=()()()()0f x f x f x f x -=-⇔+-=有什么共同特征码？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、 预习课本，引入新课阅读课本82-84页，思考并完成以下问题1.偶函数、奇函数的概念是什么？2.奇偶函数各自的特点是？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、 新知探究1．奇函数、偶函数（1）偶函数（even function ）一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．（2）奇函数（odd function ）一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．2、奇偶函数的特点（1）具有奇偶性的函数的定义域具有对称性，即关于坐标原点对称，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，就不具有奇偶性．因此定义域关于原点对称是函数存在奇偶性的一个必要条件。
（2）具有奇偶性的函数的图象具有对称性．偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于坐标原点对称；反之，如果一个函数的图象关于轴对称，那么，这个函数是偶函数，如果一个函数的图象关于坐标原点对称，那么，这个函数是奇函数．（3）由于奇函数和偶函数的对称性质，我们在研究函数时，只要知道一半定义域上的图象和性质，就可以得到另一半定义域上的图象和性质． （4）偶函数：,44()()(),f x x x f x -=-==奇函数： ；（5）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
（6）已知函数f(x)是奇函数，且f(0)有定义，则f(0)=0。
四、典例分析、举一反三题型一 判断函数奇偶性例1 （课本P84例6）：判断下列函数的奇偶性（1） 4()f x x = （2） 5()f x x = （3） 1()f x x x =+（4）21()f x x =【答案】(1)f(x)为偶函数 (2)f(x)为偶函数(3)f(x)为奇函数 (4)f(x)为偶函数【解析】(1) 4()f x x = 的定义域为R ，关于原点对称。
且 所以4()f x x = 为偶函数. (2) 5()f x x = 的定义域为R ，关于原点对称。
且 55()()(),f x x x f x -=-=-=-所以 5()f x x = 为偶函数.（3） 1()f x x x =+ 的定义域为{}|0x x ≠ ，关于原点对称. 且 11()()(),f x x x f x x x -=-+=-+=-- 所以 1()f x x x=+ 为奇函数. （4） 21()f x x= 的定义域为 {}|0x x ≠ ，关于原点对称.且 2211()(),()f x f x x x -===- 所以 21()f x x =为偶函数. 解题技巧：（利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：）1.定义法（1）. 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；（2）. 确定f(－x)与f(x)的关系；（3）.作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．2.图像法跟踪训练一1.判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝2－|x|；(2)f(x)＝ x 2－1＋ 1－x 2；(3)f(x)＝x x －1； (4)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x ＞0，－x ＋1，x ＜0.【答案】(1)f(x)为偶函数 (2)f(x)既是奇函数又是偶函数(3)f(x)是非奇非偶函数 (4)f(x)为偶函数【解析】 (1)∵函数f(x)的定义域为R ，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(2)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)∵函数f(x)的定义域为{x|x ≠1}，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x ＞0时，－x ＜0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x ＝f(x)；当x ＜0时，－x ＞0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x ＝f(x)．综上可知，对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．题型二 利用函数的奇偶性求解析式例2 已知f(x)为R 上的奇函数,当x>0时,f(x)=-22x +3x+1,(1)求f(-1);(2)求f(x)的解析式.【答案】(1)-2 (2)f(x)={-2x 2+3x +1,x >0,0,x =0,2x 2+3x -1,x <0.【解析】(1)因为函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-(-2×12+3×1+1)=-2.(2)当x<0时,-x>0,则f(-x)=-22()x -+3(-x)+1=-22x -3x+1.由于f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x),所以f(x)=22x +3x-1.当x=0时,f(-0)=-f(0),则f(0)=-f(0),即f(0)=0.所以f(x)的解析式为f(x)={-2x 2+3x +1,x >0,0,x =0,2x 2+3x -1,x <0.解题技巧：(求函数解析式的注意事项）)1.已知当x ∈(a,b)时,f(x)=φ(x),求当x ∈(-b,-a)时f(x)的解析式.若f(x)为奇函数,则当x ∈(-b,-a)时,f(x)=-f(-x)=-φ(-x);若f(x)为偶函数,则当x ∈(-b,-a)时,f(x)=f(-x)=φ(-x).2.若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,不能漏掉.跟踪训练二1.若f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f(x)＝x 2－2x ＋3，求f(x)的解析式．【答案】f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ＋3，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－2x －3，x ＜0.【解析】当x ＜0时，－x ＞0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x 2＋2x ＋3，由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝－x 2－2x －3.即当x ＜0时，f(x)＝－x 2－2x －3.故f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ＋3，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－2x －3，x ＜0.题型三 利用函数的奇偶性求参例3 (1)若函数f(x)＝a 2x ＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a]，则a ＝________，b ＝________；(2)已知函数f(x)＝a 2x ＋2x 是奇函数，则实数a ＝________.【答案】(1)130 (2)0 【解析】(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a －1＝－2a ，解得a ＝13. 又函数f(x)＝13x 2＋bx ＋b ＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b ＝0.(2)由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝0，得a(－x)2＋2(－x)＋ax 2＋2x ＝2ax 2＝0，故a ＝0.解题技巧：（利用奇偶性求参数）1.定义域含参数：奇偶函数的定义域为[a,b],则根据定义域关于原点对称，即a+b=0求参；2.奇偶函数求参可利用特殊值法，若是奇函数则利用f(0)=0,或f(1)+f(-1)=0等，若是偶函数则利用f(1)-f(-1)=0等求参.跟踪训练三1.设函数()()1x x a x++为奇函数，则a ＝________ 【答案】-1【解析】 ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即－x ＋1－x ＋a －x＝－x ＋1x ＋a x . 显然x ≠0，整理得x 2－(a ＋1)x ＋a ＝x 2＋(a ＋1)x ＋a ，故a ＋1＝0，得a ＝－1.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计3.2.2奇偶性 1. 奇偶性概念 例1 例2 例3 2. 奇偶函数的特点七、作业课本85页习题3.2本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．。