优化方案2017高中数学第二章平面向量2.3.1平面(精)
优化方案2017高中数学第二章平面向量2.4.2平面(精)
它们对应坐标的乘积的和， 两个向量的数量积等于______________________ x1x2＋y1y2 即 a· b＝___________ x1x2＋y1y2＝0 a⊥b⇔ ______________
2.三个重要公式
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) )
1．向量垂直的坐标表示 (1)记忆口诀和注意问题 注意坐标形式下两向量垂直的条件与两向量平行的条件不要 混淆， “a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0”可简记为“对应相乘和为 0”； “a∥b⇔x1y2－x2y1＝0”可简记为“交叉相乘差为 0”． (2)可以解决的问题 应用公式可解决向量垂直，两条直线互相垂直等问题．
解：(1)a－b＝(4，0)，|a－b|＝ 42＋02＝4. (2)ka＋b＝(k－3，2k＋2)，a－b＝(4，0)， 因为 ka＋b 与 a－b 垂直， 所以(ka＋b)· (a－b)＝4(k－3)＋(2k＋2)· 0＝0， 解得 k＝3.
1.已知向量 a＝(1， 3)， b＝(2， 5)， c＝(2， 1)， 求： (1)2a· (b－a)； (2)(a＋2b)· c； (3)a· (b· c)．
解：(1)因为 2a＝2(1，3)＝(2，6)，b－a＝(2，5)－(1，3)＝(1， 2)，所以 2a· (b－a)＝(2，6)· (1，2)＝2×1＋6×2＝14. (2)a＋2b＝(1， 3)＋2(2， 5)＝(1， 3)＋(4， 10)＝(5， 13)， (a＋2b)· c ＝(5，13)· (2，1)＝5×2＋13×1＝23. (3)因为 b· c＝2×2＋5×1＝9，所以 a· (b· c)＝9a＝9(1，3)＝(9， 27)．
探究点二
向量的模
(1)设平面向量 a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若 a∥b，则 |3a＋b|等于( A． 5 C． 17 ) B． 6 D． 26
优化方案高中数学第二章平面向量2.2.2向量减法运算及其几何意义应用案巩固提升新人教A版必修4
【优化方案】2017高中数学 第二章 平面向量 2.2.2 向量减法运算及其几何意义应用案巩固提升 新人教A 版必修4[A 基础达标]1．在三角形ABC 中，BA →＝a ，CA →＝b ，则CB →＝( ) A ．a －b B ．b －a C ．a ＋bD ．－a －b解析：选B ．CB →＝CA →＋AB →＝CA →＋(－BA →)＝b －a .2．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A.EF →＝OF →＋OE → B ．EF →＝OF →－OE → C.EF →＝－OF →＋OE →D.EF →＝－OF →－OE →解析：选B ．EF →＝EO →＋OF →＝OF →－OE →＝EO →－FO →＝－OE →－FO →.故选B ． 3．下列式子不正确的是( ) A ．a －0＝a B ．a －b ＝－(b －a ) C.AB →＋BA →≠0D .AC →＝DC →＋AB →＋BD →解析：选C.根据向量减法的三角形法则，A 正确；B 正确；因为AB →与BA →是一对相反向量，相反向量的和为零向量，所以C 不正确；根据向量加法的多边形法则，D 正确．4．如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →＝( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c解析：选A.DC →＝DA →＋AB →＋BC →＝a －b ＋c . 5．给出下列各式： ①AB →＋CA →＋BC →； ②AB →－CD →＋BD →－AC →； ③AD →－OD →－AO →；④NQ →－MP →＋QP →＋MN →.对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：选A.①AB →＋CA →＋BC →＝AC →＋CA →＝0；②AB →－CD →＋BD →－AC →＝AB →＋BD →－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →＝0； ③AD →－OD →－AO →＝AD →＋DO →＋OA →＝AO →＋OA →＝0； ④NQ →－MP →＋QP →＋MN →＝NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝0. 6．化简(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →)＝________．解析：(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →)＝(AB →＋BA →)＋(PC →＋CQ →)＝0＋PQ →＝PQ →.答案：PQ →7．在△ABC 中，D 是BC 的中点，设AB →＝c ，AC →＝b ，BD →＝a ，AD →＝d ，则d －a ＝________，d ＋a ＝________．解析：根据题意画出图形，如图，d －a ＝AD →－BD →＝AD →＋DB →＝AB →＝c ； d ＋a ＝AD →＋BD →＝AD →＋DC →＝AC →＝B ．答案：c b 8．给出下列命题：①若OD →＋OE →＝OM →，则OM →－OE →＝OD →； ②若OD →＋OE →＝OM →，则OM →＋DO →＝OE →； ③若OD →＋OE →＝OM →，则OD →－EO →＝OM →； ④若OD →＋OE →＝OM →，则DO →＋EO →＝MO →. 其中正确命题的序号为________． 解析：①因为OD →＋OE →＝OM →， 所以OD →＝OM →－OE →，正确；②OM →－OD →＝OE →，所以OM →＋DO →＝OE →，正确； ③因为OE →＝－EO →，所以OD →－EO →＝OM →，正确； ④－OM →＝－OD →－OE →，所以MO →＝DO →＋EO →，正确． 答案：①②③④ 9．化简：(1)AB →－AC →＋BD →－CD →； (2)OA →＋OC →－OB →＋CO →.解：(1)原式＝CB →＋BD →－CD →＝CD →－CD →＝0.(2)原式＝(OA →－OB →)＋(OC →＋CO →)＝BA →＋0＝BA →.10.如图所示，已知正方形ABCD 的边长等于1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，试作出下列向量，并分别求出其长度：(1)a ＋b ＋c ；(2)a －b ＋c . 解：(1)由已知得a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →＝c ，所以延长AC 到E ，使|CE →|＝|AC →|. 则a ＋b ＋c ＝AE →，且|AE →|＝2 2. 所以|a ＋b ＋c |＝2 2. (2)作BF →＝AC →，连接CF ， 则DB →＋BF →＝DF →， 而DB →＝AB →－AD →＝a －b ， 所以a －b ＋c ＝DB →＋BF →＝DF →且|DF →|＝2，所以|a －b ＋c |＝2.[B 能力提升]1．平面内有三点A ，B ，C ，设m ＝AB →＋BC →，n ＝AB →－BC →，若|m |＝|n |，则有( ) A ．A ，B ，C 三点必在同一直线上 B ．△ABC 必为等腰三角形且∠ABC 为顶角 C ．△ABC 必为直角三角形且∠ABC ＝90° D ．△ABC 必为等腰直角三角形 解析：选C.如图，作AD →＝BC →，则ABCD 为平行四边形，从而m ＝AB →＋BC →＝AC →，n ＝AB →－BC →＝AB →－AD →＝DB →.因为|m |＝|n |， 所以|AC →|＝|DB →|. 所以四边形ABCD 是矩形，所以△ABC 为直角三角形，且∠ABC ＝90°.2．对于非零向量a ，b ，当且仅当________时，有|a －b |＝||a |－|b ||.解析：当a ，b 不同向时，根据向量减法的几何意义，知一定有|a －b |>||a |－|b ||，所以只有两向量共线且同向时，才有|a －b |＝||a |－|b ||.答案：a 与b 同向 3.如图所示，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示：(1)AD →－AB →； (2)AB →＋CF →； (3)EF →－CF →.解：(1)因为OB →＝b ，OD →＝d ， 所以AD →－AB →＝BD →＝OD →－OB →＝d －B ． (2)因为OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OF →＝f ，所以AB →＋CF →＝(OB →－OA →)＋(OF →－OC →)＝b ＋f －a －c . (3)EF →－CF →＝EF →＋FC →＝EC →＝OC →－OE →＝c －e . 4.(选做题)已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，M 是斜边AB 的中点，CM →＝a ，CA →＝B ．求证：(1)|a －b |＝|a |； (2)|a ＋(a －b )|＝|b |.证明：因为△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°， 所以CA ＝CB ．又M 是斜边AB 的中点，所以CM ＝AM ＝BM . (1)因为CM →－CA →＝AM →， 又|AM →|＝|CM →|， 所以|a －b |＝|a |.(2)因为M 是斜边AB 的中点， 所以AM →＝MB →，所以a ＋(a －b )＝CM →＋(CM →－CA →)＝CM →＋AM →＝CM →＋MB →＝CB →， 因为|CA →|＝|CB →|，所以|a ＋(a －b )|＝|b |.。
2017高中同步创新课堂数学优化方案人教A版必修2课件：第二章2.2.1~2.2.2
1．对直线与平面平行的判定定理的理解 (1)线面平行的判定定理具备三个条件：平面外的一条直线、平 面内的一条直线、两直线平行，三个条件缺一不可． (2)定理充分体现了“转化”的思想，它将“线面平行”问题转 化为“线线平行”问题，此定理可简化为：线线平行⇒线面平行．
第二十八页，编辑于星期六：二十点 三十二分。
3．对平面与平面平行的判定定理的理解 (1)利用判定定理证明两个平面平行，必须具备：有两条直线平 行于另一个平面；这两条直线必须相交，否则不成立． (2)由两个平面平行的判定定理可以得出推论：如果一个平面内 有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么 这两个平面平行． (3)该定理体现了转化思想，它将“面面平行”转化为“线面平 行”．
第二十一页，编辑于星期六：二十点 三十二分。
因为 BG∥OE，BG ⊄ 平面 AEC， OE⊂平面 AEC. 所以 BG∥平面 AEC. 同理 GF∥平面 AEC，又 BG∩GF＝G， 所以平面 BGF∥平面 AEC， 又 BF⊂平面 BGF， 所以 BF 与平面 AEC 无交点， 所以 BF∥平面 AEC. 因为 BG∥OE，O 是 BD 的中点， 所以 E 是 GD 的中点． 又因为 PE∶ED＝2∶1，所以 G 是 PE 的中点． 而 GF∥CE，所以 F 为 PC 的中点． 综上，当点 F 是 PC 的中点时，BF∥平面 AEC.
第八页，编辑于星期六：二十点 三十二分。
(2)如图所示的几何体中，△ABC 是任意三角形，AE∥CD，且 AE＝2a，CD＝a，F 为 BE 的中点，求证：DF∥平面 ABC.
[解] (1)由题意可知 OM 是△BPD 的中位线，所以 OM∥PD， ①正确；由线面平行的判定定理可知②③都正确．OM 与平面 PBA 及平面 PCB 都相交，故④⑤不正确．故填①②③.
2017高中同步创新课堂数学优化方案人教A版必修4课件：第二章2.1.3
探究点一 向量的概念 给出下列命题： ①若A→B＝D→C，则 A、B、C、D 四点是平行四边形的四个顶点；
②在▱ABCD 中，一定有A→B＝D→C；
③若 a＝b，b＝c，则 a＝c； ④若 a∥b，b∥c，则 a∥c. 其中所有正确命题的序号为________．
第八页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
2．下列物理量中，不能称为向量的是( )
A．距离
B．加速度
C．力
D．位移
解析：选 A．根据向量的特点，既有大小又有方向，可知 A 项
正确．
第九页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
3.如图，在⊙O 中，向量O→B、O→C、A→O是( ) A．有相同起点的向量 B．共线向量 C．模相等的向量 D．相等的向量 答案：C
若 a，b 是相等向量，记作 a＝b．
第七页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量不能比较大小．( ) (2)向量的模是一个正实数．( ) (3)向量就是有向线段．( ) (4)向量A→B与向量B→A是相等向量．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×
第十三页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
[解析] A→B＝D→C，A、B、C、D 四点可能在同一条直线上，故
①不正确；在▱ABCD 中，|A→B|＝|D→C|，A→B与D→C平行且方向相
同，故A→B＝D→C，故②正确；a＝b，则|a|＝|b|，且 a 与 b 方向 相同；b＝c，则|b|＝|c|，且 b 与 c 方向相同，则 a 与 c 长度相 等且方向相同，故 a＝c，故③正确；对于④，当 b＝0 时，a 与 c 不一定平行，故④不正确． [答案] ②③
优化方案高中数学 第二章 平面向量 3.3.2 平面向量基
【优化方案】2017高中数学 第二章 平面向量 3.3.2 平面向量基本定理应用案巩固提升 北师大版必修4[A 基础达标]1．设e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( ) A ．2e 1＋e 2和2e 1－e 2 B ．3e 1－2e 2和4e 2－6e 1 C ．e 1＋2e 2和e 2＋2e 1 D ．e 2和e 1＋e 2解析：选B.因为B 中4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2)，所以3e 1－2e 2和4e 2－6e 1共线不能作为基底．2．四边形OABC 中，CB →＝12OA →，若OA →＝a ，OC →＝b ，则AB →＝( )A ．a －12bB.a2－bC ．b ＋a2D ．b －12a解析：选D.AB →＝AO →＋OC →＋CB →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a ，故选D.3．已知e 1，e 2不共线，a ＝λ1e 1＋e 2，b ＝4e 1＋2e 2，并且a ，b 共线，则下列各式正确的是( )A ．λ1＝1B ．λ1＝2C ．λ1＝3D ．λ1＝4解析：选B.b ＝4e 1＋2e 2＝2(2e 1＋e 2)，因为a ，b 共线，所以λ1＝2.4．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足PA →＋PB →＋PC →＝0，若实数λ满足AB →＋AC →＝λAP →，则λ的值为( )A ．3 B.23 C ．2D ．8解析：选A.AB →＋AC →＝(AP →＋PB →)＋(AP →＋PC →)＝2AP →＋(PB →＋PC →)＝2AP →－PA →＝3AP →.所以λ＝3.5．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝3PA →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14解析：选D.由已知BP →＝3PA →，得OP →－OB →＝3(OA →－OP →)，整理，得OP →＝34OA →＋14OB →，故x ＝34，y ＝14.6.如图，在正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BD →＝c ，则在以a ，b 为基底时，AC →可表示为________，在以a ，c 为基底时，AC →可表示为________．解析：以a ，c 为基底时，将BD →平移，使B 与A 重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得．答案：a ＋b 2a ＋c7．设a ，b 是两个不共线向量，已知AB →＝2a ＋kb ，CB →＝a ＋b ，CD →＝2a －b ，若A 、B 、D 三点共线，则k ＝________．解析：因为CB →＝a ＋b ，CD →＝2a －b ， 所以BD →＝CD →－CB →＝(2a －b )－(a ＋b )＝a －2b . 因为A 、B 、D 三点共线， 所以AB →＝λBD →，所以2a ＋kb ＝λ(a －2b )＝λa －2λb . 又a ，b 是两个不共线向量，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2k ＝－2λ，所以k ＝－4. 答案：－48．已知平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点，AP →＝yAD →，AQ →＝xAB →，其中x ，y ∈R ，且均不为0.若PQ →∥BE →，则x y＝________．解析：因为PQ →＝AQ →－AP →＝xAB →－yAD →，由PQ →∥BE →，可设PQ →＝λBE →，即xAB →－yAD →＝λ(CE →－CB →)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＋AD →＝－λ2AB →＋λAD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12λ，y ＝－λ，则x y ＝12. 答案：129.如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →，NP →，PM →表示出来．解：NP →＝AP →－AN →＝13AB →－23AC →＝13a －23b ，MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ，PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13(a ＋b )．10．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足AM →＝34AB →＋14AC →.(1)求△ABM 与△ABC 的面积之比；(2)若N 为AB 的中点，AM 与CN 交于点O ，设BO →＝xBM →＋yBN →，求x ，y 的值． 解：(1)由AM →＝34AB →＋14AC →可知M ，B ，C 三点共线，如图，令BM →＝λBC →⇒AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →⇒λ＝14，所以S △ABM S △ABC ＝14，即面积之比为1∶4. (2)由BO →＝xBM →＋yBN →⇒BO →＝xBM →＋y 2BA →，BO →＝x 4BC →＋yBN →，由O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C 三点共线⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y 2＝1，x 4＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝47，y ＝67.[B 能力提升]1．设O ，A ，B ，M 为平面上四点，OM →＝λOA →＋(1－λ)OB →，λ∈(0，1)，则( ) A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上 C ．点A 在线段BM 上D ．O ，A ，B ，M 四点共线解析：选A.因为OM →＝λOA →＋(1－λ)OB →，λ∈(0，1)， 所以OM →－OB →＝λ(OA →－OB →)，所以BM →＝λBA →， 故点M 在线段AB 上．2．设点O 是面积为4的△ABC 内部一点，且有OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△AOC 的面积为________．解析：如图，以OA ，OB 为邻边作▱OADB ，连接OD ， 则OD →＝OA →＋OB →，结合条件OA →＋OB →＋2OC →＝0知， OD →＝－2OC →，设OD 交AB 于M ，则OD →＝2OM →， 所以OM →＝－OC →， 故O 为CM 的中点，所以S △AOC ＝12S △CAM ＝14S △ABC ＝14×4＝1.答案：13．已知梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试以a ，b 为基底表示DC →，BC →，EF →.解：如图所示，连接FD ，因为DC ∥AB ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，所以DC 綊FB ，所以四边形DCBF 为平行四边形．所以DC →＝FB →＝12AB →＝12b ，BC →＝FD →＝AD →－AF →＝AD →－12AB →＝a－12b ，EF →＝DF →－DE →＝－FD →－DE →＝－BC →－12DC →＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b －12×12b ＝14b －a . 4．(选做题)如图所示，已知E ，F 分别是矩形ABCD 的边BC ，CD 的中点，EF 与AC 交于点G ，若AB →＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示AG →.解：易知CF →＝12CD →，CE →＝12CB →，设CG →＝λCA →，则由平行四边形法则， 得CG →＝λ(CB →＋CD →) ＝2λCE →＋2λCF →， 由于E ，G ，F 三点共线， 则2λ＋2λ＝1，故λ＝14.从而CG →＝14CA →，AG →＝34AC →＝34(a ＋b )．。
优化方案高中数学 第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念应用案巩固提升 新人教A版必修4
【优化方案】2017高中数学 第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念应用案巩固提升 新人教A 版必修4[A 基础达标]1．关于零向量，下列说法中错误的是( ) A ．零向量是没有方向的 B ．零向量的长度为0 C ．零向量的模都相等 D ．零向量的方向是任意的解析：选A.零向量是指长度为0的向量，也有方向，只不过方向是任意的． 2．下列命题中，正确的是( ) A ．|a |＝1⇒a ＝±1 B ．|a |＝|b |且a ∥b ⇒a ＝b C ．a ＝b ⇒a ∥b D ．a ∥0⇒|a |＝0解析：选C.两向量共线且模相等，但两向量不一定相等，0与任一向量平行． 3．已知向量AB →与向量BC →共线，下列关于向量AC →的说法中，正确的为( ) A ．向量AC →与向量AB →一定同向 B ．向量AC →，向量AB →，向量BC →一定共线 C ．向量AC →与向量BC →一定相等 D ．以上说法都不正确解析：选B ．根据共线向量定义，可知AB →，BC →，AC →这三个向量一定为共线向量，故选B ． 4．下列说法正确的是( )A ．若a 与b 平行，b 与c 平行，则a 与c 一定平行B ．终点相同的两个向量不共线C ．若|a|>|b|，则a>bD ．单位向量的长度为1解析：选D.A 中，因为零向量与任意向量平行，若b ＝0，则a 与c 不一定平行．B 中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C 中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．5．把平面内所有长度不小于1且不大于2的向量的起点平移到同一点O ，则这些向量的终点所构成的图形的面积为( )A ．4πB ．πC ．2πD ．3π解析：选D.图形是半径为1和2的同心圆对应的圆环，故S 圆环＝π(22－12)＝3π. 6.如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 分别是AD 与BC 的中点，则在以A 、B 、C 、D 四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量EF →方向相反的向量为________．解析：因为AB ∥EF ，CD ∥EF ，所以与EF →平行的向量为DC →，CD →，AB →，BA →，其中方向相反的向量为BA →，CD →.答案：BA →，CD →7．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________．解析：因为正方形的对角线长为22， 所以|OA →|＝ 2. 答案： 28．给出下列三个条件：①|a |＝|b |；②a 与b 方向相反；③|a |＝0或|b |＝0，其中能使a ∥b 成立的条件是________．解析：由于|a |＝|b |并没有确定a 与b 的方向，即①不能够使a ∥b 成立；因为a 与b 方向相反时，a ∥b ，即②能够使a ∥b 成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a |＝0或|b |＝0时，a ∥b 能够成立．故使a ∥b 成立的条件是②③.答案：②③9．飞机从A 地按北偏西15°的方向飞行1 400 km 到达B 地，再从B 地按东偏南15°的方向飞行1 400 km 到达C 地，那么C 地在A 地什么方向？C 地距A 地多远？解：如图所示，AB →表示飞机从A 地按北偏西15°方向飞行到B 地的位移，则|AB →|＝1 400(km)．BC →表示飞机从B 地按东偏南15°方向飞行到C 地的位移，则|BC →|＝1 400(km) .所以AC →为从A 地到C 地的位移．在△ABC 中，AB ＝BC ＝1 400(km)，且∠ABC ＝(90°－15°)－15°＝60°，故△ABC 为等边三角形，所以AC ＝1 400(km)．所以C 地在A 地北偏东60°－15°＝45°，距离A 地1 400 km 处．10．已知ABCD 是任意四边形，边AD ，BC 的中点分别为E ，F ，延长AF 到G ，使F 恰为AG 的中点，连接BG ，CG ，DG ，AC .(1)试找出与AB →相等的向量； (2)试找出与AC →相等的向量； (3)试找出与EF →共线的向量． 解：(1)F 是AG 和BC 的中点， 所以四边形ABGC 是平行四边形． 故AB →＝CG →.(2)由(1)知四边形ABGC 是平行四边形， 所以AC →＝BG →.(3)因为E 为AD 的中点，F 是AG 的中点， 所以EF 为△ADG 的中位线，EF ∥DG ， 所以与EF →共线的向量有DG →，GD →和FE →.[B 能力提升]1．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝120°，则以下说法错误的是( ) A ．与AB →相等的向量只有一个(不含AB →) B ．与AB →的模相等的向量有9个(不含AB →) C.BD →的模恰为DA →模的3倍D.CB →与DA →不共线解析：选D.两向量相等要求长度(模)相等，方向相同．两向量共线只要求方向相同或相反．D 中CB →，DA →所在直线平行，向量方向相同，故共线．2．若A 地位于B 地正西方向5 km 处，C 地位于A 地正北方向5 km 处，则C 地相对于B 地的位移是________．解析：据题意画出图形如图所示，由图可知|BC →|＝5 2 km ，且∠ABC ＝45°， 故C 地相对于B 地的位移是西北方向5 2 km. 答案：西北方向5 2 km 3.如图，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在图中所示向量中，(1)分别写出与AO →，BO →相等的向量； (2)写出与AO →共线的向量； (3)写出与AO →模相等的向量．解：(1)与AO →相等的向量为BF →，与BO →相等的向量为AE →. (2)与AO →共线的向量有CO →，BF →，DE →.(3)与AO →模相等的向量为AE →，DE →，DO →，CO →，BF →，BO →，CF →.4．(选做题)一辆消防车从A 地去B 地执行任务，先从A 地向北偏东30°方向行驶2千米到D 地，然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C 地，从C 地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B 地．(1)在如图所示的坐标系中画出AD →，DC →，CB →，AB →； (2)求B 地相对于A 地的位移．解：(1)向量AD →，DC →，CB →，AB →如图所示．(2)由题意知AD →＝BC →. 所以AD 綊BC ，则四边形ABCD 为平行四边形．所以AB →＝DC →，则B 地相对于A 地的位移为“北偏东60°，6千米”．。
优化方案高中数学 第二章 平面向量 2.3.4 平面向量共
【优化方案】2017高中数学 第二章 平面向量 2.3.4 平面向量共线的坐标表示应用案巩固提升 新人教A 版必修4[A 基础达标]1．已知A (2，－1)，B (3，1)，则与AB →平行且方向相反的向量a 是( ) A ．(2，1) B ．(－6，－3) C ．(－1，2)D ．(－4，－8)解析：选D.AB →＝(1，2)，向量(2，1)、(－6，－3)、(－1，2)与(1，2)不平行；(－4，－8)与(1，2)平行且方向相反．2．已知a ＝(sin α，1)，b ＝(cos α，2)，若b ∥a ，则tan α＝( ) A.12 B ．2 C ．－12D ．－2解析：选A.因为b ∥a ，所以2sin α＝cos α，所以sin αcos α＝12，所以tan α＝12.3．已知向量a ＝(x ，2)，b ＝(3，－1)，若(a ＋b )∥(a －2b )，则实数x 的值为( ) A ．－3 B ．2 C ．4D ．－6解析：选D.因为(a ＋b )∥(a －2b )，a ＋b ＝(x ＋3，1)，a －2b ＝(x －6，4)，所以4(x ＋3)－(x －6)＝0，解得x ＝－6.4．已知A ，B ，C 三点共线，且A (－3，6)，B (－5，2)，若C 点的纵坐标为6，则C 点的横坐标为( )A ．－3B ．9C ．－9D ．3解析：选A.设C (x ，6)， 因为AB →∥AC →，又AB →＝(－2，－4)，AC →＝(x ＋3，0)， 所以－2×0＋4(x ＋3)＝0. 所以x ＝－3.5．已知平面向量a ＝(x ，1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( ) A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线解析：选C.因为a ＝(x ，1)，b ＝(－x ，x 2)， 所以a ＋b ＝(0，1＋x 2)．因为a ＋b 的横坐标为0，纵坐标为1＋x 2>0， 所以a ＋b 平行于y 轴．6．已知向量a ＝(3x －1，4)与b ＝(1，2)共线，则实数x 的值为________．解析：因为向量a ＝(3x －1，4)与b ＝(1，2)共线，所以2(3x －1)－4×1＝0，解得x ＝1.答案：17．已知点A (1，－2)，若线段AB 的中点坐标为(3，1)，且AB →与向量a ＝(1，λ)共线，则λ＝________．解析：由题意得，点B 的坐标为(3×2－1，1×2＋2)＝(5，4)，则AB →＝(4，6)． 又AB →与a ＝(1，λ)共线，则4λ－6＝0，则λ＝32.答案：328．已知向量a ＝(－2，3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1，2)，终点B 在坐标轴上，则点B 的坐标为________．解析：由b ∥a ，可设b ＝λa ＝(－2λ，3λ)．设B (x ，y )，则AB →＝(x －1，y －2)＝B ．由⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＝x －1，3λ＝y －2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2λ，y ＝3λ＋2. 又B 点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72或⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72或⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0 9．如图所示，在平行四边形ABCD 中，A (0，0)，B (3，1)，C (4，3)，D (1，2)，M ，N 分别为DC ，AB 的中点，求AM →，CN →的坐标，并判断AM →，CN →是否共线．解：由已知可得M (2.5，2.5)，N (1.5，0.5)， 所以AM →＝(2.5，2.5)，CN →＝(－2.5，－2.5)，又2.5×(－2.5)－2.5×(－2.5)＝0，所以AM →，CN →共线．10．设A ，B ，C ，D 为平面内的四点，且A (1，3)，B (2，－2)，C (4，－1)． (1)若AB →＝CD →，求点D 的坐标；(2)设向量a ＝AB →，b ＝BC →，若k a －b 与a ＋3b 平行，求实数k 的值． 解：(1)设D (x ，y )，由AB →＝CD →，得(2，－2)－(1，3)＝(x ，y )－(4，－1)， 即(1，－5)＝(x －4，y ＋1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝1，y ＋1＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－6. 所以点D 的坐标为(5，－6)．(2)因为a ＝AB →＝(2，－2)－(1，3)＝(1，－5)，b ＝BC →＝(4，－1)－(2，－2)＝(2，1)，所以k a －b ＝k (1，－5)－(2，1)＝(k －2，－5k －1)，a ＋3b ＝(1，－5)＋3(2，1)＝(7，－2)．由k a －b 与a ＋3b 平行，得(k －2)×(－2)－(－5k －1)×7＝0. 所以k ＝－13.[B 能力提升]1．已知向量a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向 D ．k ＝－1且c 与d 反向解析：选D.因为a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，若k ＝1，则c ＝a ＋b ＝(1，1)，d ＝a －b ＝(1，－1)，显然，c 与d 不平行，排除A 、B ．若k ＝－1，则c ＝－a ＋b ＝(－1，1)，d ＝a －b ＝－(－1，1)，即c ∥d 且c 与d 反向．2．已知点A (－1，6)，B (3，0)，在直线AB 上有一点P ，且|AP →|＝13|AB →|，则点P 的坐标为________．解析：设P 点坐标为(x ，y )．当AP →＝13AB →时，则(x ＋1，y －6)＝13(4，－6)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝43，y －6＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝4，所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，4.当AP →＝－13AB →时，同理可得，P 点的坐标为(－73，8)，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，4或⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，8.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，4或⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，8 3．已知四点A (x ，0)，B (2x ，1)，C (2，x )，D (6，2x )． (1)求实数x ，使两向量AB →，CD →共线；(2)当两向量AB →∥CD →时，A ，B ，C ，D 四点是否在同一条直线上？ 解：(1)AB →＝(x ，1)，CD →＝(4，x )． 因为AB →，CD →共线，所以x 2－4＝0， 即x ＝±2时，两向量AB →，CD →共线．(2)当x ＝－2时，BC →＝(6，－3)，AB →＝(－2，1)， 则AB →∥BC →，此时A ，B ，C 三点共线， 又AB →∥CD →，从而，当x ＝－2时，A ，B ，C ，D 四点在同一条直线上． 当x ＝2时，A ，B ，C ，D 四点不共线．4．(选做题)平面上有A (－2，1)，B (1，4)，D (4，－3)三点，点C 在直线AB 上，且AC →＝12BC →，连接DC ，点E 在CD 上，且CE →＝14ED →，求E 点的坐标． 解：因为AC →＝12BC →，所以2AC →＝BC →， 所以2AC →＋CA →＝BC →＋CA →，所以AC →＝BA →.设C 点坐标为(x ，y )， 则(x ＋2，y －1)＝(－3，－3)， 所以x ＝－5，y ＝－2，所以C (－5，－2)．因为CE →＝14ED →，所以4CE →＝ED →， 所以4CE →＋4ED →＝5ED →， 所以4CD →＝5ED →.设E 点坐标为(x ′，y ′)，则4(9，－1)＝5(4－x ′，－3－y ′)．所以⎩⎪⎨⎪⎧20－5x ′＝36，－15－5y ′＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－165，y ′＝－115.所以E 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－165，－115.。
2017高中同步创新课堂数学优化方案人教A版必修4课件：第二章2.3.4
所以点 C0，54.同理点 D2，32. (3 分) 设点 M 的坐标为(x，y)，
由向量共线定理求 出 C、D 两点坐标， 是解答本题的关键
则A→M＝(x，y－5)，而A→D＝2，－72.
第十七页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
因为 A，M，D 三点共线，所以A→M与A→D共线．
2．向量共线的坐标表示的应用 两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面． (1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、 共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意 区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行的不同． (2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨 迹方程，要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等 的条件等都可作为列方程的依据．
第十页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
探究点二 三点共线问题 (1)已知O→A＝(3，4)，O→B＝(7，12)，O→C＝(9，16)，求 证点 A，B，C 共线． (2)设向量O→A＝(k，12)，O→B＝(4，5)，O→C＝(10，k)，求当 k 为何值时，A，B，C 三点共线． [解] (1)证明：由题意知A→B＝O→B－O→A＝(4，8)， A→C＝O→C－O→A＝(6，12)，所以A→C＝32A→B， 即A→B与A→C共线． 又因为A→B与A→C有公共点 A，所以点 A，B，C 共线．
第八页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
由向 三十五分。
1.已知向量 a＝(1，2)，b＝(x，1)，c＝a＋b，d＝ a－b，若 c∥d，则实数 x＝________． 解析：因为向量 a＝(1，2)，b＝(x，1)， 所以 c＝a＋b＝(1＋x，3)， d＝a－b＝(1－x，1)． 因为 c∥d，所以 1＋x－3(1－x)＝0. 解得 x＝12. 答案：12
2017高中同步创新课堂数学优化方案人教A版必修4课件：第二章2.4.1
(4)cos θ＝|aa|·|bb|. (5)|a·b|____≤_______|a||b|. 4．向量数量积的运算律 (1)a·b＝____b_·_a_____(交换律)． (2)(λa)·b＝___λ_(a_·_b_)____＝___a_·_(λ_b_)____(结合律)． (3)(a＋b)·c＝___a_·c_＋__b_·c___(分配律)．
第二十三页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
(2)①因为(a－b)·(a＋b)＝12，
即 a2－b2＝12，
所以|b|2＝|a|2－12＝1－12＝12，
故|b|＝
2 2.
②因为 cos θ＝|aa|·|bb|＝ 22，
又 0°≤θ≤180°，故 θ＝45°.
第二十四页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
第五页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的数量积仍然是向量．( ) (2)若 a·b＝0，则 a＝0 或 b＝0.( ) (3)若 a，b 共线⇔a·b＝|a||b|.( ) (4)若 a·b＝b·c，则一定有 a＝c.( ) 答案：(1)× ：二十点 三十五分。
(2)几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度__|_a_| __与 b 在 a 的方向 上的投影_____|b_|c_o_s_θ___的乘积． 3．向量的数量积的性质 设 a 与 b 都是非零向量，θ 为 a 与 b 的夹角． (1)a⊥b⇔ ___a_·_b_＝__0___． (2)当 a 与 b 同向时，a·b＝_____|_a_||b_|___， 当 a 与 b 反向时，a·b＝__－__|a_|_|b_|____． (3)a·a＝_____|_a_|2____或|a|＝ a·a＝ a2.
优化方案高中数学_第二章 平面向量章末复习提升课课件 新人教A版必修4
向量的长度(模)与距离的问题 求向量的模主要有以下两种方法：①利用公式|a|2＝a2 将它转化 为向量的数量积问题，再利用数量积的运算律和性质进行展开、 合并，使问题得以解决；②利用公式|a|＝ x21＋y21将其转化为实 数运算，使问题得以解决．
(1)设向量 a＝(0，－1)，向量 b＝(cos x，sin x)，则|a＋ b|的取值范围为________． (2)设|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝3，则|3a＋b|的值为________． [解析] (1)a＝(0，－1)，b＝(cos x，sin x)， 所以 a＋b＝(cos x，sin x－1)． 所 以 |a ＋ b| ＝ cos2x＋（sin x－1）2 ＝ 2－向量O→C＝(2，2)，向量C→A＝( 2cos
α， 2sin α)，则向量O→A与向量O→B的夹角的取值范围为( )
A．0，π4
B．π4，51π2
C．51π2，π2
D．1π2，51π2
[解析] 如图，向量C→A的终点 A 在以点 C(2，2)为圆心、半径 为 2的圆上，
向量本身既有大小，又有方向，可以用几何法表示，而向量又 有良好的运算性质——坐标运算，可把向量与数联系起来，这 样向量具备了“数”与“形”的两方面特征．两条直线平行、 垂直，三点共线等几何问题，可通过向量的坐标运算这种代数 手段实现证明，还可利用向量的数量积处理线段的长度、角度 等问题.
2（1－sin x）. 因为－1≤sin x≤1，所以 0≤|a＋b|≤2.
(2)法一：因为|3a－2b|＝3， 所以 9a2－12a·b＋4b2＝9. 又因为|a|＝|b|＝1，所以 a·b＝13. 所以|3a＋b|2＝(3a＋b)2 ＝9a2＋6a·b＋b2 ＝9＋6×13＋1＝12. 所以|3a＋b|＝2 3.
优化方案高中数学 第二章 平面向量 2.2.2 向量减法运
【优化方案】2017高中数学 第二章 平面向量 2.2.2 向量减法运算及其几何意义应用案巩固提升 新人教A 版必修4[A 基础达标]1．在三角形ABC 中，BA →＝a ，CA →＝b ，则CB →＝( ) A ．a －b B ．b －a C ．a ＋bD ．－a －b解析：选B ．CB →＝CA →＋AB →＝CA →＋(－BA →)＝b －a .2．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A.EF →＝OF →＋OE → B ．EF →＝OF →－OE → C.EF →＝－OF →＋OE →D.EF →＝－OF →－OE →解析：选B ．EF →＝EO →＋OF →＝OF →－OE →＝EO →－FO →＝－OE →－FO →.故选B ． 3．下列式子不正确的是( ) A ．a －0＝a B ．a －b ＝－(b －a ) C.AB →＋BA →≠0D .AC →＝DC →＋AB →＋BD →解析：选C.根据向量减法的三角形法则，A 正确；B 正确；因为AB →与BA →是一对相反向量，相反向量的和为零向量，所以C 不正确；根据向量加法的多边形法则，D 正确．4．如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →＝( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c解析：选A.DC →＝DA →＋AB →＋BC →＝a －b ＋c . 5．给出下列各式： ①AB →＋CA →＋BC →； ②AB →－CD →＋BD →－AC →； ③AD →－OD →－AO →；④NQ →－MP →＋QP →＋MN →.对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：选A.①AB →＋CA →＋BC →＝AC →＋CA →＝0；②AB →－CD →＋BD →－AC →＝AB →＋BD →－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →＝0； ③AD →－OD →－AO →＝AD →＋DO →＋OA →＝AO →＋OA →＝0； ④NQ →－MP →＋QP →＋MN →＝NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝0. 6．化简(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →)＝________．解析：(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →)＝(AB →＋BA →)＋(PC →＋CQ →)＝0＋PQ →＝PQ →.答案：PQ →7．在△ABC 中，D 是BC 的中点，设AB →＝c ，AC →＝b ，BD →＝a ，AD →＝d ，则d －a ＝________，d ＋a ＝________．解析：根据题意画出图形，如图，d －a ＝AD →－BD →＝AD →＋DB →＝AB →＝c ； d ＋a ＝AD →＋BD →＝AD →＋DC →＝AC →＝B ．答案：c b 8．给出下列命题：①若OD →＋OE →＝OM →，则OM →－OE →＝OD →； ②若OD →＋OE →＝OM →，则OM →＋DO →＝OE →； ③若OD →＋OE →＝OM →，则OD →－EO →＝OM →； ④若OD →＋OE →＝OM →，则DO →＋EO →＝MO →. 其中正确命题的序号为________． 解析：①因为OD →＋OE →＝OM →， 所以OD →＝OM →－OE →，正确；②OM →－OD →＝OE →，所以OM →＋DO →＝OE →，正确； ③因为OE →＝－EO →，所以OD →－EO →＝OM →，正确； ④－OM →＝－OD →－OE →，所以MO →＝DO →＋EO →，正确． 答案：①②③④ 9．化简：(1)AB →－AC →＋BD →－CD →； (2)OA →＋OC →－OB →＋CO →.解：(1)原式＝CB →＋BD →－CD →＝CD →－CD →＝0.(2)原式＝(OA →－OB →)＋(OC →＋CO →)＝BA →＋0＝BA →.10.如图所示，已知正方形ABCD 的边长等于1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，试作出下列向量，并分别求出其长度：(1)a ＋b ＋c ；(2)a －b ＋c . 解：(1)由已知得a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →＝c ，所以延长AC 到E ，使|CE →|＝|AC →|. 则a ＋b ＋c ＝AE →，且|AE →|＝2 2. 所以|a ＋b ＋c |＝2 2. (2)作BF →＝AC →，连接CF ， 则DB →＋BF →＝DF →， 而DB →＝AB →－AD →＝a －b ， 所以a －b ＋c ＝DB →＋BF →＝DF →且|DF →|＝2，所以|a －b ＋c |＝2.[B 能力提升]1．平面内有三点A ，B ，C ，设m ＝AB →＋BC →，n ＝AB →－BC →，若|m |＝|n |，则有( ) A ．A ，B ，C 三点必在同一直线上 B ．△ABC 必为等腰三角形且∠ABC 为顶角 C ．△ABC 必为直角三角形且∠ABC ＝90° D ．△ABC 必为等腰直角三角形 解析：选C.如图，作AD →＝BC →，则ABCD 为平行四边形，从而m ＝AB →＋BC →＝AC →，n ＝AB →－BC →＝AB →－AD →＝DB →.因为|m |＝|n |， 所以|AC →|＝|DB →|. 所以四边形ABCD 是矩形，所以△ABC 为直角三角形，且∠ABC ＝90°.2．对于非零向量a ，b ，当且仅当________时，有|a －b |＝||a |－|b ||.解析：当a ，b 不同向时，根据向量减法的几何意义，知一定有|a －b |>||a |－|b ||，所以只有两向量共线且同向时，才有|a －b |＝||a |－|b ||.答案：a 与b 同向 3.如图所示，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示：(1)AD →－AB →； (2)AB →＋CF →； (3)EF →－CF →.解：(1)因为OB →＝b ，OD →＝d ， 所以AD →－AB →＝BD →＝OD →－OB →＝d －B ． (2)因为OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OF →＝f ，所以AB →＋CF →＝(OB →－OA →)＋(OF →－OC →)＝b ＋f －a －c . (3)EF →－CF →＝EF →＋FC →＝EC →＝OC →－OE →＝c －e . 4.(选做题)已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，M 是斜边AB 的中点，CM →＝a ，CA →＝B ．求证：(1)|a －b |＝|a |； (2)|a ＋(a －b )|＝|b |.证明：因为△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°， 所以CA ＝CB ．又M 是斜边AB 的中点，所以CM ＝AM ＝BM . (1)因为CM →－CA →＝AM →， 又|AM →|＝|CM →|， 所以|a －b |＝|a |.(2)因为M 是斜边AB 的中点， 所以AM →＝MB →，所以a ＋(a －b )＝CM →＋(CM →－CA →)＝CM →＋AM →＝CM →＋MB →＝CB →， 因为|CA →|＝|CB →|，所以|a ＋(a －b )|＝|b |.。
优化方案2017高中数学 第二章 平面向量 2.2.1 向量汇总
→ ＋CA → ＋BC → 等于( 2．在△ABC 中，必有AB A．0 C．任一向量
答案：B
)
B．0 D．与三角形形状有关
3．在四边形 ABCD 中，若AC＝AB＋AD，则四边形是( A．矩形 C．正方形
答案：D
→
→
→
)
B．菱形 D．平行四边形
三角形 法则
图形 前提 已知不共线的两个向量 a，b 在平面内任取一点 O，以同 一点 O 为起点的两个已知向 量 a，b 为邻边作▱OACB → 就是 a 与 b 的和 对角线OC
法 则
平行四 边形法 则
作法 结论 图形
零向量与任一向量 a 的和都有 a＋0＝ 规定 0＋a a ___________ ＝______
应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤 (1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问 题． (2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将相 关向量进行运算，解答向量问题． (3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回 答原问题.
两个向量和 的运算，叫做向量的加法 定义 求___________
三 法 则 角 形 法 则 前提 已知非零向量 a，b 作法 → ＝a， → ＝b， 在平面内任取一点 A， 作AB BC → 再作向量AC
→ 叫做 a 与 b 的和，记作 a＋b，即 向量AC 结论 → → ＋BC → AC AB a＋b＝___________＝____
2.如图，E，F，G，H 分别是梯 形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 的中点，化 简下列各式： → → → (1)DG＋EA＋CB； → ＋CG → ＋DA → ＋EB →. (2)EG
2017高中同步创新课堂数学优化方案人教A版必修4课件：第二章2.5.2
第二十二页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
2．已知 A，B，C，D 四点的坐标分别为(1，0)，(4，3)，(2，
4)，(0，2)，则此四边形为( )
A．梯形
B．菱形
C．矩形
D．正方形
解析：选 A．A→B＝(3，3)，C→D＝(－2，－2)，所以A→B＝－32C→D，
A→B与C→D共线，但|A→B|≠|C→D|，故此四边形为梯形．
第十二页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
所以 5－2a·b＝4，所以 a·b＝12，又|A→C|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b ＋b2＝1＋4＋2a·b＝6， 所以|A→C|＝ 6， 即 AC＝ 6.
第十三页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
探究点二 向量在物理中的应用 两个力 F1＝i＋j，F2＝4i－5j 作用于同一质点，使该质 点从点 A(20，15)移动到点 B(7，0)(其中 i，j 分别是与 x 轴、y 轴同方向的单位向量)．求： (1)F1，F2 分别对该质点做的功； (2)F1，F2 的合力 F 对该质点做的功.
则 a·b＝|a||b|cos 60°＝1，B→D＝a＋b． 设B→E＝λB→C＝λb，则A→E＝B→E－B→A＝λb－a．
由 AE⊥BD，得A→E·B→D＝0，即(λb－a)·(a＋b)＝0， 解得 λ＝25，所以 BE∶EC＝25∶35＝2∶3.
第八页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
法二：以 B 为坐标原点，BC 所在直线为 x
第二页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
1．用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”
第三页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
2．向量在物理学中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合 成与向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解决． (2)物理学中的功是一个标量，即为力 F 与位移 s 的数量积，即 W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ 为 F 与 s 的夹角)．
优化方案高中数学 第二章 平面向量 3.3.2 平面向量基
【优化方案】2017高中数学 第二章 平面向量 3.3.2 平面向量基本定理应用案巩固提升 北师大版必修4[A 基础达标]1．设e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( ) A ．2e 1＋e 2和2e 1－e 2 B ．3e 1－2e 2和4e 2－6e 1 C ．e 1＋2e 2和e 2＋2e 1 D ．e 2和e 1＋e 2解析：选B.因为B 中4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2)，所以3e 1－2e 2和4e 2－6e 1共线不能作为基底．2．四边形OABC 中，CB →＝12OA →，若OA →＝a ，OC →＝b ，则AB →＝( )A ．a －12bB.a2－bC ．b ＋a2D ．b －12a解析：选D.AB →＝AO →＋OC →＋CB →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a ，故选D.3．已知e 1，e 2不共线，a ＝λ1e 1＋e 2，b ＝4e 1＋2e 2，并且a ，b 共线，则下列各式正确的是( )A ．λ1＝1B ．λ1＝2C ．λ1＝3D ．λ1＝4解析：选B.b ＝4e 1＋2e 2＝2(2e 1＋e 2)，因为a ，b 共线，所以λ1＝2.4．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足PA →＋PB →＋PC →＝0，若实数λ满足AB →＋AC →＝λAP →，则λ的值为( )A ．3 B.23 C ．2D ．8解析：选A.AB →＋AC →＝(AP →＋PB →)＋(AP →＋PC →)＝2AP →＋(PB →＋PC →)＝2AP →－PA →＝3AP →.所以λ＝3.5．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝3PA →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14解析：选D.由已知BP →＝3PA →，得OP →－OB →＝3(OA →－OP →)，整理，得OP →＝34OA →＋14OB →，故x ＝34，y ＝14.6.如图，在正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BD →＝c ，则在以a ，b 为基底时，AC →可表示为________，在以a ，c 为基底时，AC →可表示为________．解析：以a ，c 为基底时，将BD →平移，使B 与A 重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得．答案：a ＋b 2a ＋c7．设a ，b 是两个不共线向量，已知AB →＝2a ＋kb ，CB →＝a ＋b ，CD →＝2a －b ，若A 、B 、D 三点共线，则k ＝________．解析：因为CB →＝a ＋b ，CD →＝2a －b ， 所以BD →＝CD →－CB →＝(2a －b )－(a ＋b )＝a －2b . 因为A 、B 、D 三点共线， 所以AB →＝λBD →，所以2a ＋kb ＝λ(a －2b )＝λa －2λb . 又a ，b 是两个不共线向量，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2k ＝－2λ，所以k ＝－4. 答案：－48．已知平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点，AP →＝yAD →，AQ →＝xAB →，其中x ，y ∈R ，且均不为0.若PQ →∥BE →，则x y＝________．解析：因为PQ →＝AQ →－AP →＝xAB →－yAD →，由PQ →∥BE →，可设PQ →＝λBE →，即xAB →－yAD →＝λ(CE →－CB →)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＋AD →＝－λ2AB →＋λAD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12λ，y ＝－λ，则x y ＝12. 答案：129.如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →，NP →，PM →表示出来．解：NP →＝AP →－AN →＝13AB →－23AC →＝13a －23b ，MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ，PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13(a ＋b )．10．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足AM →＝34AB →＋14AC →.(1)求△ABM 与△ABC 的面积之比；(2)若N 为AB 的中点，AM 与CN 交于点O ，设BO →＝xBM →＋yBN →，求x ，y 的值． 解：(1)由AM →＝34AB →＋14AC →可知M ，B ，C 三点共线，如图，令BM →＝λBC →⇒AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →⇒λ＝14，所以S △ABM S △ABC ＝14，即面积之比为1∶4. (2)由BO →＝xBM →＋yBN →⇒BO →＝xBM →＋y 2BA →，BO →＝x 4BC →＋yBN →，由O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C 三点共线⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y 2＝1，x 4＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝47，y ＝67.[B 能力提升]1．设O ，A ，B ，M 为平面上四点，OM →＝λOA →＋(1－λ)OB →，λ∈(0，1)，则( ) A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上 C ．点A 在线段BM 上D ．O ，A ，B ，M 四点共线解析：选A.因为OM →＝λOA →＋(1－λ)OB →，λ∈(0，1)， 所以OM →－OB →＝λ(OA →－OB →)，所以BM →＝λBA →， 故点M 在线段AB 上．2．设点O 是面积为4的△ABC 内部一点，且有OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△AOC 的面积为________．解析：如图，以OA ，OB 为邻边作▱OADB ，连接OD ， 则OD →＝OA →＋OB →，结合条件OA →＋OB →＋2OC →＝0知， OD →＝－2OC →，设OD 交AB 于M ，则OD →＝2OM →， 所以OM →＝－OC →， 故O 为CM 的中点，所以S △AOC ＝12S △CAM ＝14S △ABC ＝14×4＝1.答案：13．已知梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试以a ，b 为基底表示DC →，BC →，EF →.解：如图所示，连接FD ，因为DC ∥AB ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，所以DC 綊FB ，所以四边形DCBF 为平行四边形．所以DC →＝FB →＝12AB →＝12b ，BC →＝FD →＝AD →－AF →＝AD →－12AB →＝a－12b ，EF →＝DF →－DE →＝－FD →－DE →＝－BC →－12DC →＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b －12×12b ＝14b －a . 4．(选做题)如图所示，已知E ，F 分别是矩形ABCD 的边BC ，CD 的中点，EF 与AC 交于点G ，若AB →＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示AG →.解：易知CF →＝12CD →，CE →＝12CB →，设CG →＝λCA →，则由平行四边形法则， 得CG →＝λ(CB →＋CD →) ＝2λCE →＋2λCF →， 由于E ，G ，F 三点共线， 则2λ＋2λ＝1，故λ＝14.从而CG →＝14CA →，AG →＝34AC →＝34(a ＋b )．。
优化方案2017高中数学第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义应用案巩固提升新人教A版必修4
【优化方案】2017高中数学 第二章 平面向量 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义应用案巩固提升 新人教A 版必修4[A 基础达标]1．下列各式计算正确的个数是( )①(－7)·6a ＝－42a ；②a －2b ＋2(a ＋b )＝3a ；③a ＋b －(a ＋b )＝0. A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C.根据向量数乘的运算律可验证①②正确；③错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数．2．若AB →＝3e 1，CD →＝－5e 1，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．菱形 C ．等腰梯形D ．不等腰的梯形解析：选C.因为AB →＝－35CD →，所以AB ∥CD ，且|AB →|≠|CD →|，而|AD →|＝|BC →|， 所以四边形ABCD 为等腰梯形．3．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，则( ) A.AO →＝2OD →B ．AO →＝OD →C .AO →＝3OD →D ．2AO →＝OD →解析：选B ．因为D 为BC 的中点，所以OB →＋OC →＝2OD →， 所以2OA →＋2OD →＝0，所以OA →＝－OD →，所以AO →＝OD →.4．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为( )A ．－1或3B ． 3C ．－1或4D ．3或4解析：选A.因为向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线，且向量a ，b 是两个不共线的向量，所以m ＝－32－m，解得m ＝－1或m ＝3，选A.5．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线交DC 于点F ，若AB →＝a ，AD →＝b ，则AF →＝( )A ．13a ＋b B ．12a ＋b C ．a ＋13bD ．a ＋12b解析：选A.由已知条件可知BE ＝3DE ，所以DF ＝13AB ，所以AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋13AB →＝13a＋B ．6．若3(x ＋a )＋2(x －2a )－4(x －a ＋b )＝0，则x ＝________． 解析：由已知得3x ＋3a ＋2x －4a －4x ＋4a －4b ＝0， 所以x ＋3a －4b ＝0所以x ＝4b －3a . 答案：4b －3a7．已知点C 在线段AB 上，且AC CB ＝12，则AC →＝________AB →.解析：如图，因为AC CB ＝12，且点C 在线段AB 上，则AC →与CB →同向，且|AC →|＝12|CB →|，故AC →＝13AB →.答案：138．设a ，b 是两个不共线的向量．若向量k a ＋2b 与8a ＋k b 的方向相反，则k ＝________． 解析：因为向量k a ＋2b 与8a ＋k b 的方向相反，所以k a ＋2b ＝λ(8a ＋k b )⇒k ＝8λ，2＝λk ⇒k ＝－4(因为方向相反，所以λ＜0⇒k ＜0)．答案：－49．已知a 与b ，且5x ＋2y ＝a ，3x －y ＝b ，求x ，y . 解：将3x －y ＝b 的两边同乘以2，得6x －2y ＝2b ， 与5x ＋2y ＝a 相加得11x ＝a ＋2b ，即x ＝111a ＋211B ．所以y ＝3x －b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫111a ＋211b －b ＝311a －511B ．10．设e 1，e 2是两个不共线的向量，如果AB →＝3e 1－2e 2，BC →＝4e 1＋e 2，CD →＝8e 1－9e 2. (1)求证A ，B ，D 三点共线；(2)试确定λ的值，使2λe 1＋e 2和e 1＋λe 2共线； (3)若e 1＋λe 2与λe 1＋e 2不共线，试求λ的取值范围． 解：(1)证明：因为BD →＝BC →＋CD →＝4e 1＋e 2＋8e 1－9e 2＝12e 1－8e 2＝4(3e 1－2e 2)＝4AB →， 所以AB →与BD →共线．因为AB →与BD →有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线． (2)因为2λe 1＋e 2与e 1＋λe 2共线，所以存在实数μ，使2λe 1＋e 2＝μ(e 1＋λe 2)．因为e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ＝μ，1＝λμ.所以λ＝±22. (3)假设e 1＋λe 2与λe 1＋e 2共线，则存在实数μ，使e 1＋λe 2＝μ(λe 1＋e 2)．因为e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝λμ，λ＝μ所以λ＝±1.所以当λ≠±1时，e 1＋λe 2与λe 1＋e 2不共线．[B 能力提升]1．已知a ，b 是两个不共线的向量，AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，若A ，B ，C 三点共线，则( )A ．λ1＝λ2＝－1B ．λ1＝λ2＝1C ．λ1λ2＋1＝0D ．λ1λ2－1＝0解析：选D.若A ，B ，C 三点共线，则AB →，AC →共线，所以存在实数λ，使得AC →＝λAB →，即a ＋λ2b ＝λ(λ1a ＋b )，即(1－λλ1)a ＋(λ2－λ)b ＝0，由于a ，b 不共线，所以1＝λλ1且λ2＝λ，消去λ得λ1λ2＝1.2.如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，且BD ＝2DC ，若AC →＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )，则m －n ＝________．解析：直接利用向量共线定理，得BC →＝3DC →，则AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋3DC →＝AB →＋3(AC →－AD →)＝AB →＋3AC →－3AD →，AC →＝－12AB →＋32AD →，则m ＝－12，n ＝32，那么m －n ＝－12－32＝－2.答案：－23．已知在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，求证：这个四边形为梯形．证明：如图，因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b ) ＝－8a －2b ＝2(－4a －b )， 所以AD →＝2BC →.所以AD →与BC →共线，且|AD →|＝2|BC →|. 又因为这两个向量所在的直线不重合， 所以AD ∥BC ，且AD ＝2BC .所以四边形ABCD 是以AD ，BC 为两条底边的梯形． 4．(选做题)如图，已知△OCB 中，点A 是BC 的中点，D 是将OB 分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝B ．(1)用a ，b 表示向量OC →，DC →；(2)若OE →＝λOA →，求λ的值．解：(1)由A 是BC 的中点，则有OA →＝12(OB →＋OC →)，从而OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ；由D 是将OB 分成2∶1的一个内分点，得OD →＝23OB →，从而DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53B ．(2)由于C ，E ，D 三点共线，则EC →＝μDC →， 又EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ， DC →＝2a －53b ，从而(2－λ)a －b ＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －53b ，又a ，b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝2μ，1＝53μ，解得λ＝45.。
优化方案高中数学_第二章 平面向量 3.3.2 平面向量基本定理课件 北师大版必修4
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所 有向量的基底．( × ) (2)若 e1，e2 是同一平面内两个不共线向量，则 λ1e1＋λ2e2(λ1，λ 2 为实数)可以表示该平面内所有向量．( √ ) (3)若 ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，则 a＝c，b＝d.( × )
1.设 a，b 不共线，c＝2a－b，d＝3a－2b，试判
断 c，d 能否作为基底．
解：假设存在唯一实数 λ，使得 c＝λd，
则 2a－b＝λ(3a－2b)，即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0.
因为 a，b 不共线，
所以22－ λ 3－λ＝1＝0，0 ⇒λλ
＝23， ＝12.
第二章 平面向量
3．2 平面向量基本定理
1．问题导航 (1)平面向量基本定理与向量的线性运算有何关系？ (2)在平面向量基本定理中为何要求向量 e1，e2 不共线？ (3)对于同一向量 a，若基底不同，则表示这一向量 a 的实数 λ1， λ 2 的值是否相同？
2．例题导读 P86 例 4.通过本例学习，学会应用平面向量基本定理解决实际 问题．
1．定理的实质 平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任意向量都 可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式． 2．分解的唯一性 平面向量基本定理中，平面内任意两个不共线的向量都可以作 为基底，一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯 一的．
3．体现的数学思想 平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决 几何问题时，我们可以选择恰当的基底，将问题涉及的向量用 基底化归，使问题得以解决．
对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共 线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底若确定，那么平面上任意一个向量都可以由 这组基底唯一线性表示出来，设向量 a 与 b 是平面内两个不共 线的向量，若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则xy11＝＝yx22.，
2017高中同步创新课堂数学优化方案人教A版必修1课件：第二章2.3
探究点一 幂函数的概念 已知函数 f(x)＝(m2＋2m－2)xm2－m－1 是幂函数， 则 m＝__1_或__－__3_． [解析] 由题意知，若 f(x)为幂函数， 则 m2＋2m－2＝1. 即 m2＋2m－3＝0，解得 m＝1 或 m＝－3.
第九页，编辑于星期六：二十点 三十一分。
判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 y＝ xα(α 为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式， 且需 满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为 1.
第十六页，编辑于星期六：二十点 三十一分。
2.已知幂函数 f(x)＝xm－3(m∈N*)为偶函数， 且在区间(0，＋∞)上是减函数，求函数 f(x)的解析式．
第十七页，编辑于星期六：二十点 三十一分。
解：因为 f(x)＝xm－3 在(0，＋∞)上是减函数， 所以 m－3＜0. 所以 m＜3. 又因为 m∈N*， 所以 m＝1，2. 又因为 f(x)＝xm－3 是偶函数， 所以 m－3 是偶数， 所以 m＝1. 所以 f(x)＝x－2.
＋2n－3 是定义域为 R
解：由题意得 mm2n22－＋－321＝m>0－0，，2＝1，解得mn＝＝32－，3， 所以 m＝－3，n＝32.
第三十页，编辑于星期六：二十点 三十一分。
第三十一页，编辑于星期六：二十点 三十一分。
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第三十二页，编辑于星期六：二十点 三十一分。
第十一页，编辑于星期六：二十点 三十一分。
解析：(1)符合幂函数解析式特征的函数只有①⑥，其余
都不是幂函数．
(2)设 f(x)＝xα，
则 2α＝2 2，
所以 α＝32，
2017高中同步创新课堂数学优化方案人教A版必修3课件：第二章2.3 2.3.1 2.3.2
[解] (1)作散点图如图所示． (4 分)
第三十页，编辑于星期六：二十点 三十四分。
(2) 由散点图可知 y 与 x 线性相关 故可设回归直线方程为^y ＝^bx＋^a.
4
4
依题意，用计算器可算得：x ＝12.5，y ＝8.25，x2i ＝660，x
i＝1
i＝1
iyi＝438.
第三十一页，编辑于星期六：二十点 三十四分。
第二十页，编辑于星期六：二十点 三十四分。
如果把例题中的 y 的值 2.5 及 4.5 分别改为 2 和 5，如何求回归直线方程？ 解：散点坐标分别为(3，2)，(4，3)，(5，4)，(6，5)． 可验证这四点共线，斜率 k＝34－ －23＝1， 所以直线方程为 y－2＝x－3， 即回归直线方程为^y＝x－1.
第八页，编辑于星期六：二十点 三十四分。
探究点一 相关关系的判断 (1)下列关系中，属于相关关系的是__③______． ①人的身高与视力的关系； ②做自由落体运动的物体的质量与落地时间的关系； ③降雪量与交通事故的发生率之间的关系．
第九页，编辑于星期六：二十点 三十四分。
(2)下表是某地的年降雨量与年平均气温，判断两者是相关关系 吗？求回归直线方程有意义吗？
第二章 统 计
2．3 变量间的相关关系
2．3.1 变量之间的相关关系
2．3.2 两个变量的线性相关
第一页，编辑于星期六：二十点 三十四分。
第二章 统 计
1.理解两个变量的相关关系的概念． 2.会作散点图，并 利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系． 3．会求回 归直线方程．
第二页，编辑于星期六：二十点 三十四分。
第二十五页，编辑于星期六：二十点 三十四分。
优化方案高中数学 第二章 平面向量 2.2.1 向量加法运
【优化方案】2017高中数学 第二章 平面向量 2.2.1 向量加法运算及其几何意义应用案巩固提升 新人教A 版必修4[A 基础达标]1．下列等式错误的是( )A ．a ＋0＝0＋a ＝aB ．AB →＋BC →＋AC →＝0 C .AB →＋BA →＝0D .CA →＋AC →＝MN →＋NP →＋PM →解析：选B ．由向量加法可知AB →＋BC →＋AC →＝AC →＋AC →≠0. 2．已知向量a ∥b ，且|a |＞|b |＞0，则向量a ＋b 的方向( ) A ．与向量a 方向相同 B ．与向量a 方向相反 C ．与向量b 方向相同 D ．与向量b 方向相反解析：选A.因为a ∥b 且|a |＞|b |＞0，所以当a ，b 同向时，a ＋b 的方向与a 相同，当a ，b 反向时，因为|a |＞|b |，所以a ＋b 的方向仍与a 相同．3．在矩形ABCD 中，|AB →|＝4，|BC →|＝2，则向量AB →＋AD →＋AC →的长度等于( ) A ．2 5 B ．4 5 C ．12D ．6解析：选B ．因为AB →＋AD →＝AC →，所以AB →＋AD →＋AC →的长度为AC →的模的2倍，故选B ． 4．已知平行四边形ABCD ，设AB →＋CD →＋BC →＋DA →＝a ，且b 是一非零向量，则下列结论：①a∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |<|a|＋|b|.其中正确的是( )A ．①③B ．②③C ．②④D ．①②解析：选A.因为在平行四边形ABCD 中，AB →＋CD →＝0，BC →＋DA →＝0，所以a 为零向量，因为零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，所以①③正确，②④错误．5.如图所示，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，则OA →＋BC →＋AB →＝( ) A.CD → B ．OC → C.DA →D.CO →解析：选B ．OA →＋BC →＋AB →＝OA →＋AB →＋BC →＝OC →. 6．化简(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝________．解析：原式＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＋BC →＝AO →＋OB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →. 答案：AC →7．在平行四边形ABCD 中，若|BC →＋BA →|＝|BC →＋AB →|，则四边形ABCD 是________． 解析：由图知|BC →＋BA →|＝|BD →|. |BC →＋AB →|＝|AD →＋AB →|＝|AC →|， 所以|BD →|＝|AC →|. 所以四边形ABCD 为矩形． 答案：矩形8．小船以10 3 km/h 的速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h ，则小船实际航行速度的大小为________ km/h.解析：如图，设船在静水中的速度为|v 1|＝10 3 km/h ，河水的流速为|v 2|＝10 km/h ，小船实际航行速度为v 0，则由|v 1|2＋|v 2|2＝|v 0|2，得(103)2＋102＝|v 0|2，所以|v 0|＝20 km/h ，即小船实际航行速度的大小为20 km/h.答案：20 9.如图所示，设O 为正六边形ABCDEF 的中心，作出下列向量： (1)OA →＋OC →； (2)BC →＋FE →.解：(1)由图可知，四边形OABC 为平行四边形，所以由向量加法的平行四边形法则，得OA →＋OC →＝OB →.(2)由图可知，BC →＝FE →＝OD →＝AO →， 所以BC →＋FE →＝AO →＋OD →＝AD →.10．如图所示，P ，Q 是三角形ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC .求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.证明：AB →＝AP →＋PB →，AC →＝AQ →＋QC →， 所以AB →＋AC →＝AP →＋PB →＋AQ →＋QC →. 因为PB →与QC →大小相等，方向相反， 所以PB →＋QC →＝0，故AB →＋AC →＝AP →＋AQ →＋0＝AP →＋AQ →.[B 能力提升]1．如图所示的方格中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A .OH →B ．OG →C .FO →D.EO →解析：选C .设a ＝OP →＋OQ →，以OP ，OQ 为邻边作平行四边形，则夹在OP ，OQ 之间的对角线对应的向量即为向量a ＝OP →＋OQ →，则a 与FO →长度相等，方向相同，所以a ＝FO →.2．如图，已知△ABC 是直角三角形且∠A ＝90°，则在下列结论中正确的是________．①|AB →＋AC →|＝|BC →|； ②|AB →＋CA →|＝|BC →|； ③|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2. 解析：①正确．以AB ，AC 为邻边作▱ABDC ，又∠A ＝90°， 所以▱ABDC 为矩形，所以AD ＝BC ， 所以|AB →＋AC →|＝|AD →|＝|BC →|. ②正确．|AB →＋CA →|＝|CB →|＝|BC →|.③正确．由勾股定理知|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2. 答案：①②③3．非零向量a ，b 处于什么位置时， (1)|a ＋b |＝|a|＋|b|；(2)|a ＋b |＝|a |－|b |(或|b |－|a |)． 解：(1)当a ，b 同向时，a ＋b ，a ，b 同向， 则|a ＋b |＝|a|＋|b|. (2)当a ，b 反向时， 若|a|>|b|，a ＋b 与a 同向， 则|a ＋b|＝|a |－|b|； 若|a|<|b|，a ＋b 与b 同向， 则|a ＋b|＝|b|－|a|. 4.(选做题)如图，已知向量a ，b ，c ，d . (1)求作a ＋b ＋c ＋d ；(2)设|a|＝2，e 为单位向量，求|a ＋e|的最大值．解：(1)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，CD →＝d ，则OD →＝a ＋b ＋c ＋d .(2)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝e ，则a ＋e ＝OA →＋AB →＝OB →，因为e 为单位向量， 所以点B 在以A 为圆心的单位圆上(如图所示)，由图可知当点B 在点B 1时，O ，A ，B 1三点共线， |OB →|即|a ＋e |最大，最大值是3.。
2017高中同步创新课堂数学优化方案人教A版必修5课件：第二章2.3
n 项和为 Sn，则数列Snn的前 10 项和为________．
第十九页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
解析：(1)设{an}的公差为 d，则 a5＋a6＋a7＋a8＝S8－S4 ＝12，(a5＋a6＋a7＋a8)－S4＝16d，解得 d＝14，a11＋a12 ＋a13＋a14＝S4＋40d＝18. (2)因为 an＝2n＋1，所以 a1＝3， 所以 Sn＝n（3＋22n＋1）＝n2＋2n， 所以Snn＝n＋2， 所以Snn是公差为 1，首项为 3 的等差数列， 所以数列Snn的前 10 项和为 3×10＋102×9×1＝75. 答案：(1)A (2)75
第二十五页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
法二：设等差数列{an}的公差为 d.由 S17＝S9，得 25×17＋127×(17－1)d＝25×9＋92×(9－1)d， 解得 d＝－2.因为 a1＝25>0， 由aann＝＋1＝252－5－2（2nn≤－01，）≥0，得nn≤ ≥222275， ，所以225≤n≤227， 所以当 n＝13 时，Sn 有最大值， S13＝25×13＋13×12×2（－2）＝169.
4．等差数列{an}中，a1＝6，a12＝－16，则 S12＝________． 答案：－60 5．等差数列{an}中，a1＝2，公差 d＝2，则 S10＝________． 答案：110
第六页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
探究点一 与等差数列前 n 项和 Sn 有关的基本运算 在等差数列{an}中．
第十五页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
探究点三 等差数列前 n 项和的性质
(1)等差数列前 m 项的和为 30，前 2m 项的和为 100，
则它的前 3m 项的和为( )
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解：(1)因为△ABC 为等边三角形， 所以∠ABC＝60° . 如图，延长 AB 至点 D， → → 使 AB＝BD，则AB＝BD，
→ 与向量BC → 的夹角． 所以∠DBC 为向量AB 因为∠DBC＝120° ， → 与向量BC → 的夹角为 120° 所以向量AB . (2)因为 E 为 BC 的中点， 所以 AE⊥BC， → 与向量EC → 的夹角为 90° 所以向量AE .
1．基底的性质 (1)不共线性：平面内两个不共线的向量才可以作为一组基底， 基底不同，表示也不同．由于零向量与任何向量共线，所以零 向量不可以作为基底． (2)不唯一性：对基底的选取不唯一，平面内任一向量 a 都可被 这个平面的一组基底 e1，e2 线性表示，且在基底确定后，这样 的表示是唯一的．
[解 ]
→ ＝a， → ＝ b， 如图， 作OA OB ∠AOB＝120° ，
→ ，OB → 为邻边作平行四边形 OACB， 以OA → ＝a＋b，BA → ＝a－b． 则OC
因为|a|＝|b|，所以平行四边形 OACB 为菱形． → 与OA → 的夹角∠AOC＝60° 所以OC ， → → → → BA与OA的夹角即为BA与BC的夹角∠ABC＝30° . 所以 a＋b 与 a 的夹角为 60° ，a－b 与 a 的夹角为 30° .
→ ＝a， → ＝b， → ＝a－b． 解析： 如图， 作向量OA OB 则BA 由 已知，得 OA＝1，OB＝ 2，OA⊥AB， 所以△OAB 为等腰直角三角形， 所以∠AOB＝45° ，所以 a 与 b 的夹角为 45° .
答案：45°
4.如图所示， 设 M， N， P 是△ABC 三边上的点， 1→ → 1→ → 1→ → → ＝a， 且BM＝ BC， CN＝ CA， AP＝ AB， 若AB 3 3 3 → ＝b，试用 a，b 将MN → 、NP → 、PM → 表示出来． AC
(3)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所 有向量的基底．(
答案：(1)√ (2)×
)
(3)×
2．设 e1，e2 是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中 不能作为基底的是( A．e1，e2 B．e1＋e2，3e1＋3e2 C．e1，5e2 D．e1，e1＋e2
答案：B
)
3． 在锐角三角形 ABC 中， 关于向量夹角的说法正确的是( → 与BC → 的夹角是锐角 A．AB → → B．AC与AB的夹角是锐角 → 与BC → 的夹角是钝角 C．AC → 与CB → 的夹角是锐角 D．AC
2.如图， 在平行四边形 ABCD 中， → ＝ c， → M， N 分别为 DC， BC 的中点， 已知AM AN → → ＝d，试用 c，d 表示AB和AD.
→ ＝a，AD → ＝b，则由 M，N 分别为 DC，BC 的中点， 解：设AB → 1 → 1 可得BN＝ b，DM＝ a． 2 2 1 a＋2b＝d， 在△ABN 与△ADM 中，可得 b＋1a＝c， 2
)
解析：选 C.由已知，a 与 b 不共线，根据平行四边形法则，可 知 A，B，D 选项中的两个向量都可以作为基底，而 a＋b 与－ a－b 共线，不能作为基底．
→＝ 2．(2015· 高考全国卷Ⅰ)设 D 为△ABC 所在平面内一点，BC → ，则( 3CD )
1→ 4→ → A．AD＝－ AB＋ AC 3 3 → 1→ 4→ B．AD＝ AB－ AC 3 3 → 4→ 1→ C．AD＝ AB＋ AC 3 3 → 4→ 1→ D．AD＝ AB－ AC 3 3
两个向量夹角的实质及求解的关键 (1)实质：两个向量的夹角，实质上是从同一起点出发的两个非 零向量构成的角． (2)关键：求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向 量的起点重合，然后按照“一作二证三算”的步骤，并结合平 面几何知识求出两个向量的夹角.
3.如图， 已知△ABC 是等边三角形． → → (1)求向量AB与向量BC的夹角； → 与向量EC → 的夹 (2)若 E 为 BC 的中点，求向量AE 角．
2 → → → 1→ 2→ 1 解：NP＝AP－AN＝ AB－ AC＝ a－ b， 3 3 3 3 1→ 2→ → → → MN＝CN－CM＝－ AC－ CB 3 3 1 2 2 1 ＝－ b－ (a－b)＝－ a＋ b， 3 3 3 3 1 → → → → PM＝－MP＝－(MN＋NP)＝ (a＋b)． 3
→ ＝DC → ＋CE → ＝2FC → ＋CE → ＝－2CF → ＋CE → ＝－2b＋a． 解：DE → ＝BC → ＋CF → ＝2EC → ＋CF → BF → ＋CF → ＝－2a＋b． ＝－2CE
用基底表示向量的两种方法 (1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化， 直至用 基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式， 利用基底表示向量的唯一 性求解.
[解析]
→ → → → → → ①AD与AB不共线；②DA＝－BC，则DA与BC共线；
→ 与DC → 不共线；④OD → ＝－OB → ，则OD → 与OB → 共线． ③CA 由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一 组基底，故①③满足题意．
[答案] B
对基底的理解 (1) 两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共 线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底若确定， 那么平面上任意一个向量都可以由 这组基底唯一线性表示出来，设向量 a 与 b 是平面内两个不共 线的向量，若
探究点二
用基底表示平面向量
如图所示，在▱ABCD 中，点 E，F 分别为 BC，DC 边上的中点，DE 与 BF 交 → ＝a，AD → ＝b，试用 a，b 表 于点 G，若AB → ，BF →. 示向量DE
[解 ]
→ → → → DE＝DA＋AB＋BE
1→ → → ＝－AD＋AB＋ BC 2 1→ 1 → → ＝－AD＋AB＋ AD＝a－ b． 2 2 → ＝BA → ＋AD → ＋DF → BF 1→ 1 → → ＝－AB＋AD＋ AB＝b－ a． 2 2
同向 (2)特例：①θ＝0° ，向量 a，b ___________ ． 垂直 ②θ＝90° ，向量 a，b ___________ ，记作 a⊥b． 反向 ③θ＝180° ，向量 a，b ___________ ．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)基底中的向量不能为零向量．( (2)任意两个向量都可以作为基底．( ) )
用向量 c，d 表示 a，b， 2 a＝3（2d－c）， 得 b＝2（2c－d）， 3 → 2 → 2 故AB＝ (2d－c)，AD＝ (2c－d)． 3 3
Hale Waihona Puke 探究点三向量的夹角已知|a|＝|b|，且 a 与 b 的夹角为 120° ，求 a＋b 与 a 的 夹角及 a－b 与 a 的夹角．
不共线向量 e1，e2 是同一平面内的两个________________
对于这一平面内的任意向量 a， 有且只有一对实
结论
a＝λ1e1＋λ2e2 数 λ1，λ2，使_____________
不共线 ___________ 的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内
所有向量的一组基底
基底
2.两向量的夹角 → ＝a，OB → ＝b，则∠AOB 叫 (1)定义：作向量OA 做向量 a 与 b 的夹角．
x1＝x2， x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则 y1 ＝ y2 .
1.若向量 a， b 不共线， 则 c＝2a－b， d＝3a－2b， 试判断 c，d 能否作为基底．
解：设存在实数 λ，使 c＝λd， 则 2a－b＝λ(3a－2b)， 即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0， 由于向量 a，b 不共线， 所以 2－3λ＝2λ－1＝0，这样的 λ 是不存在的， 从而 c，d 不共线，c，d 能作为基底．
2．两个向量的夹角 (1)向量的夹角是针对非零向量定义的． (2)向量的夹角和直线的夹角范围是不同的， 它们的范围分别是
π [0，π]和0， 2 .
1．如果 a 与 b 是一组基底，则下列不能作为基底的是( A．a＋b 与 a－b C．a＋b 与－a－b B．a＋2b 与 2a＋b D．a 与－b
→. 1．本例条件不变，试用基底 a，b 表示AG
2 解：由平面几何知识知 BG＝ BF， 3 2→ 2 1 → → → → 故AG＝AB＋BG＝AB＋ BF＝a＋ b－2a 3 3 2 1 2 2 ＝a＋ b－ a＝ a＋ b． 3 3 3 3
→ → → → → 2．若本例中的基向量“AB，AD”换为“CE，CF”即若CE＝ → → → a，CF＝b，试用 a，b 表示向量DE，BF.
第二章
平面向量
2． 3
平面向量的基本定理及坐标表示
2．3.1 平面向量基本定理
第二章
平面向量
1.了解平面向量基本定理及其意义． 2.了解向量基 底的含义．在平面内，当一组基底确定后，会用这组基底来 表示其他向量． 3.了解两个非零向量夹角的概念，了解向
量夹角的范围及夹角的几种特殊情况．
1．平面向量基本定理 条件
1→ → 1 → → 4→ → → → → 解析： 选 A． AD＝AC＋CD＝AC＋ BC＝AC＋ (AC－AB)＝ AC 3 3 3 1→ 1→ 4→ － AB＝－ AB＋ AC.故选 A． 3 3 3
3．已知|a|＝1，|b|＝ 2，且 a－b 与 a 垂直，则 a 与 b 的夹角为 ________．
)
答案：B
4．若 a，b 不共线，且 la＋mb＝0(l，m∈R)，则 l＝________， m＝________．
答案：0
0
→ → → 5.若AD是△ABC 的中线，已知AB＝a，AC＝b，若 → a，b 为基底，则AD＝________．
1 答案： (a＋b) 2