线性变换的定义

特别地，σ(V)是V的子空间，称为σ的象，可用 Im(σ)表示.
6）设σ是V的一个线性变换，W′是V的一个 子空间，则W′在σ之下的原象集合 {ξ∈V｜σ（ξ）∈W′} 是V的一个子空间．
特别地，零子空间{0}在σ之下的原象集是 V的一个子空间，称为σ的核，用ker(σ) 表示.即 ker(σ)＝ξ∈V｜σ(ξ)＝0｝
8）把复数域C看成它自己的线性空间,令
σ(ξ)= , 是ξ的共轭复数 , ξ∈C,
2. 设σ是数域F上的线性空间V的一个变换， 证明：σ是线性变换的充要条件是，对任意 的a、b∈F 和任意ξ,η∈V都有 σ(aξ+bη)=aσ(ξ)+bσ(η). 3. 证明：线性空间V的子空间W在V的线性变 换σ下 的原象仍是V的子空间.
一个线性变换.
x1 b1
线性方程组
A
x2
b2
M M
xn
bn
的求解问题，用线性变换的话来说，就是
求向量 (b1,b2 ,L ,bn ) 的原象的问题.
而解齐次线性方程组就相当于求线性变换 的核.
容易看出 Im(φ)=L(Aε1, Aε2,…, Aεn)
=L(α1, α2, …, αn) 其中 1 = (1,0,...,0), 2 = (0,1,...,0),..., n = (0,0,...,1).
如果在F3中规定 σ(α)＝(x12, 3 x1- x2，x2+ x3）
那么σ就不是F3的线性变换. α=(1,0,0), β=(2,0,0), α+β= (3,0，,0)
σ(α)= (1,3,0,)σ(β)= (4,6,,0) σ(α)+σ(β)= (5,1,而0,0σ)(α+β)=
, (9,9,0)
特别地，当β＝0时，有 K1σ(α1)+ k2σ(α2)+…+ knσ(αn)＝0. 若k1 ，k2，…，kn 不全为0，则得性质： 4) 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关 的向量组.
5) 设σ是V的一个线性变换, V′是V的子空间. V′在σ下的象集合,记作σ(V′), 即σ(V′) = {σ(ξ)｜ξ∈V′}. 则σ(V′)是V的一个子空间.
例6 在F[x]中，令D(f(x))=f '(x)． 容易验证，D是F[x]的一个线性变换，称为
F [x]的微商变换（或微分变换）.
例7 设C[a, b]是定义在[a, b]上的一切连续
函数作成的R上的线性空间. 对任意的
f(x)∈C[a,
b],
规定J(f(x))＝
x
a
f
(t )dt.
J(f(x))仍是[a, b]上的连续函数．J是C[a, b]的一个
=( x1, 3 x1- x2, x2+ x3)+( y1, 3 y1- y2, y2+ y3) = σ(α)+ σ(β) 2)对任意数 k∈F，则有 σ(kα)=σ(kx1, kx2, kx3）
=( kx1, 3kx1- kx2, kx2+ kx3) = k(x1, 3x1-x2, x2+x3) = kσ(α) 因此，σ是F3的一个线性变换．
我们用 图6.3和 图6.4分 别表示 子空间 Im(σ)和 ker(σ).
V
V
Im(σ) O
图6.3
V
V
ker(σ)
O
图6.4
性质5）和性质6）可总括为： 在线性变换σ之下，向量空间V的 子空间的象集和原象集都是V的子 子空间.
例8 在 F n 中，令 (ξ)＝Aξ,ξ是 中F任n 意的
向量，A是确定的F上的n阶方阵. 则 是 F n的
第六章 线性变换
6.1 线性变换的定义
授课题目： 6.1 线性变换的定义 授课时数：4学时 教学目标：理解线性变换的概念，掌
握线性变换的基本性质
教学重点：线性变换的基本性质
教学难点：线性变换的象与核的求法
一. 定义及例子
1.两个实例 例1 在二维几何空
间 V2中，令σ是将每 个向量旋转角φ的一
个旋转变换（见图
2) 定义1中的条件(1), (2)与以下条件等价： (3) 对任意的a, b∈F, α, β∈V，有 σ(aα+bβ)＝aσ(α)+bσ(β).
3）线性变换σ保持线性关系式，即对于β∈V， 若有k1, k2,…, kn∈F,及α1,α2,…,αn ∈V使得 β＝k1α1+ k2α2+…+ knαn 则 σ(β)＝k1σ(α1)+ k2σ(α2)+…+knσ(αn),
4) 在线性空间V中,σ(α)＝α+ξ,ξ是V中 固定的一个向量；
5）在Mn(F)中，σ(X)＝XA+AX,其中A是Mn(F) 中固定的一个方阵； 6）在F[x], σ(f (x))=f(x+1)-f(x); 7) 在由实数域R上的所有次数不超过n的多项式及 零多项式构成的线性空间Rn[x]中，σ(f(x))=xf(x)；
6.1）
图 6.1
容易看出：对任意向量α,β及实数 k 均有
σ(α+β)＝σ(α)+σ(β)
σ(kα)＝kσ(α)
例2 在 V3 中，H是过原
点的一个平面.
令σ是对平面H
的正投影变换
（图6.2）
图6.2
容易看出：对任意向量α,β及实数 k 均有 σ(α+β)＝σ(α)+σ(β) σ(kα)＝kσ(α)
2.定义 定义Fra Baidu bibliotek 设V是数域F上的一个线性空间，σ是 V的一个变换，如果它满足以下两个条件： （1）对任意的α,β∈V，有
σ(α+β)＝σ(α)+σ (β)； （2）对任意的k∈F，有
σ(kα)=kσ(α). 则称σ是向量空间V的一个线性变换．
3.一些例子
例3 对F 3 的每个向量 = ( x1, x2 , x3 ) ，规定 ( ) = ( x1, 3 x1 - x2 , x2 + x3．)
证 对任意的 ， ∈σ(V′) 总有α, β∈V′使σ(α)
＝ ,σ(β)＝ .
由于σ是线性变换，所以，对任意的a, b∈F,
有 a +b ＝aσ(α)+ bσ(β )＝σ(aα+bβ).
但V ′是 V 的子空间，aα+ bβ∈V′, 因而
a +b ∈σ(V′), 故σ(V′)是V 的一个子空间.
而α1, α2, …, αn是A的列向量.
习题6.1 1. 判断以下的变换是否是线性变换，说出理由 1) 在R3中,σ(x1, x2, x3)=(0,x1+ x2-3 x3,2x1-x2-2x3); 2)在Q3中,σ(x1, x2, x3)= ( x12, x2- x3, x32 );
3) 在线性空间V中，σ(α)＝ξ,ξ是V中固定 的一个向量；
σ(α+β) ____≠σ(α)+σ(β).
例4 在Mn(F)中, 对任意的n阶方阵X, 规定 σ(X)=AXB，其中A和B为F上两个固定的 方阵. 由于：
1）对任意的X、Y∈Mn(F)，则有σ(X+Y) = A(X+Y)B =AXB+AYB =σ(X)+ σ(Y) ; 2)对任意的k∈F，有σ(kX)= A(kX)B = k(AXB) = kσ(X) ． 所以,σ是 Mn(F )的一个线性变换.
特别地， 若A=B', 则σ(X)=B'XB, σ是Mn(F)的一个线性变换； 若B可逆，且A=B-1, 则σ(X)=B-1XB, σ也是Mn(F)的一个线性变换.
例5 设V是数域F上的一个线性空间，取定F中的 一个数k，对任意的ξ∈V，规定σ(ξ)＝kξ. σ是V的一个线性变换，叫做V的一个数乘（或 位似）变换. 当k＝1时，σ是V的恒等变换ι； 当k＝0时，σ是V的零变换θ. 因此，恒等变换及零变换都是线性变换.
线性变换，叫做C[a, b]的积分变换.
二. 线性变换的基本性质 1) 线性变换σ把零向量变成零向量；
把任一向量α的负向量-α变成α的象 σ(α)的负向量-σ(α).
证 任取一向量α，有 σ(0)＝σ(0α)＝0σ(α)＝0．
σ(α)+σ(-α)＝σ(α-α)＝σ(0)＝0， 所以σ(-α)＝-σ(α)
σ是 F 3的一个变换，我们证明它是一个线性变换．
1）对于F 3 的任意两个向量 = ( x1, x2 , x3 )， 与 = ( y1, y2 , y3 )，有
σ(α+β) = σ(x1+ y1, x2+ y2, x3+ y3)
=( x1+ y1, 3(x1+ y1)-( x2+ y2), ( x2+ y2)+( x3+ y3))