【金版新学案】-高二数学人教a版选修2-2课时作业：2.1.1 word版含解析培训讲学

第二章 2.1 2.1.1

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨

辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是()

A．2 B．4

C．6 D．8

解析：由杨辉三角形可以发现：每一行除1外，每个数都是它肩膀上的两数之和．故a＝3＋3＝6.

答案： C

2．根据给出的数塔猜测1 234 567×9＋8＝()

1×9＋2＝11

12×9＋3＝111

123×9＋4＝1 111

1 234×9＋5＝11 111

12 345×9＋6＝111 111

A．11 111 110 B．11 111 111

C．11 111 112 D．11 111 113

解析：根据数塔的规律，后面加几结果就是几个1，

∴1 234 567×9＋8＝11 111 111.

答案： B

3．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为()

A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29

C．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9

解析：由等差数列性质，有a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5.易知D成立．

答案： D

4．对于命题“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”推广到空间是“正四面体内任意一点到各面的距离之和为”()

A．定值

B．变数

C ．有时为定值、有时为变数

D ．与正四面体无关的常数

解析： 设正四面体S －ABC 的棱长为a ，正四面体内任意一点O 到各面的距离分别为h 1，h 2，h 3，h 4，由体积关系得V S －ABC ＝13·34a 2·(h 1＋h 2＋h 3＋h 4)＝13·34a 2·63

a

∴h 1＋h 2＋h 3＋h 4＝6

3

a (此为正四面体的高)． 答案： A

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．已知Rt △ABC 的两条直角边长分别为a ，b ，则其面积S ＝1

2ab .若三棱锥P －ABC 的

三条侧棱两两互相垂直，且P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，类比上述结论可得此三棱锥的体积V P

－ABC

等于__________ . 解析： V ＝13Sc ＝1

6abc .

答案： 1

6abc

6．给出下列推理：

(1)三角形的内角和为(3－2)·180°， 四边形的内角和为(4－2)·180°， 五边形的内角和为(5－2)·180°， …

所以凸n 边形的内角和为(n －2)·180°；

(2)三角函数都是周期函数，y ＝tan x 是三角函数，所以y ＝tan x 是周期函数； (3)狗是有骨骼的；鸟是有骨骼的；鱼是有骨骼的；蛇是有骨骼的；青蛙是有骨骼的；

狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物，所以，所有的动物都是有骨骼的；

(4)在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行，那么在空间中如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行．

其中属于合情推理的是________．(填序号)

解析： 根据合情推理的定义来判断．因为(1)(3)都是归纳推理，(4)是类比推理，而(2)不符合合情推理的定义，所以(1)(3)(4)都是合情推理．

答案： (1)(3)(4)

三、解答题(每小题10分，共20分)

7．在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线；…，由此猜想凸n 边形有几条对角线？

解析：因为凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条；…，于是猜想凸n边形的对角线条数比凸(n－1)边形多(n－2)条对角线，由此凸n边形的对角线条数为2＋3＋4＋5＋…＋(n－2)，由等差数列求和公式可得1

2n(n－3)(n≥4，n∈N

*)．

所以凸n边形的对角线条数为1

2n(n－3)(n≥4，n∈N

*)．

8．从大、小正方形的数量关系上，观察如图所示的几何图形，试归纳得出的结论．

解析：从大、小正方形的数量关系上容易发现：

1＝12，

1＋3＝2×2＝22，

1＋3＋5＝3×3＝32，

1＋3＋5＋7＝4×4＝42，

1＋3＋5＋7＋9＝5×5＝52，

1＋3＋5＋7＋9＋11＝6×6＝62.

观察上述算式的结构特征，我们可以猜想：

1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2.

尖子生题库☆☆☆

(10分)已知在Rt △ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，有1

AD2＝

1

AB2＋

1

AC2成立．那么在

四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明猜想是否正确及理由．

解析： 猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，可以猜想四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD .则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1

AD

2.猜想正确．

如图所示，连接BE ，并延长交CD 于F ，连接AF .

∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，

∴AB ⊥平面ACD .而AF ⊂平面ACD ，

∴AB ⊥AF .

在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ，

∴1AE 2＝1AB 2＋1AF 2.

在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ， ∴1AF 2＝1AC 2＋1AD 2.

∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1

AD

2，故猜想正确．