数学方法与精神 复习题

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数学思想方法专题试题(含详细答案)

数学思想方法专题试题(含详细答案)

数学思想方法试题一、选择题1.当x ∈(1,2)时,不等式(x -1)2<log a x 恒成立,则a 的范围是 ( )A .(0,1)B .(1,2)C .(1,2] D.⎝⎛⎭⎫0,12 解析:设f 1(x )=(x -1)2,f 2(x )=log a x ,要使当x ∈(1,2)时,不等式(x -1)2<log a x 恒成立,只 需f 1(x )=(x -1)2在(1,2)上的图象在f 2(x )=log a x 的下方即可.当0<a <1时,显然不成立.当a >1时,如图,要使在(1,2)上,f 1(x )=(x -1)2的图象在f 2(x )=log a x 的下方,只需f 1(2)≤f 2(2),即(2-1)2≤log a 2,log a 2≥1,∴1<a ≤2.答案:C2.设函数f (x )=x 3+sin x ,若0≤θ≤π2时,f (m cos θ)+f (1-m )>0恒成立,则实数m 的取 值范围是( )A .(0,1)B .(-∞,0)C .(-∞,1) D.⎝⎛⎭⎫-∞,12 解析:易知f (x )为奇函数、增函数,f (m cos θ)+f (1-m )>0,即f (m cos θ)>f (m -1),∴m cos θ>m -1,而0≤θ≤π2时,cos θ∈[0,1], ∴⎩⎪⎨⎪⎧m >m -1,0>m -1得m <1. 答案:C3.方程x 2-32x -m =0在x ∈[-1,1]上有实根,则m 的取值范围是 ( )A .m ≤-916B .-916<m <52C .m ≥52D .-916≤m ≤52解析:m =x 2-32x =⎝⎛⎭⎫x -342-916≤52, 又当x =34时,m 最小为-916, ∴-916≤m ≤52. 答案:D4.已知函数f (x )=3-2|x |,g (x )=x 2-2x ,构造函数F (x ),定义如下:当f (x )≥g (x )时,F (x )=g (x );当f (x )<g (x )时,F (x )=f (x ).那么F (x ) ( )A .有最大值3,最小值-1B .有最大值7-27,无最小值C .有最大值3,无最小值D .无最大值,也无最小值解析:画图得到F (x )的图象:为射线AC 、抛物线弧AB 及射线BD 三段,联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =2x +3y =x 2-2x 得x A =2-7, 代入得F (x )最大值为7-27,由图可得F (x )无最小值,从而选B.答案:B5.已知函数y =xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数),以下四个图象中,y =f (x )的大致图象是 ( )解析:函数y=xf′(x)是y=f′(x)与y=x的复合函数,当y=0且x∈R时,必有f′(x) =0.因而其图象与x轴交点即为f′(x)=0两根.由图象提供的信息,函数y=f(x)在x=1和x=-1处取得极值.观察图象,只有C项合适.答案:C6.已知x,y∈R,且2x+3y>2-y+3-x,那么() A.x+y<0 B.x+y>0C.xy<0 D.xy>0解析:设f(x)=2x-3-x.因为2x,-3-x均为R上的增函数,所以f(x)=2x-3-x是R上的增函数又由2x-3-x>2-y-3y=2-y-3-(-y),即f(x)>f(-y),∴x>-y,即x+y>0.选B.答案:B二、填空题7.已知:f(x)=x1-x,设f1(x)=f(x),f n(x)=f n-1[f n-1(x)](n>1且n∈N*),则f3(x)的表达式为________,猜想f n(x)(n∈N*)的表达式为________.解析:由f1(x)=f(x)和f n(x)=f n-1[f n-1(x)](n>1且n∈N*),得f2(x)=f1[f1(x)]=x1-x1-x1-x=x1-2x,f3(x)=f2[f2(x)]=x1-2x1-2x1-2x=x1-22x,…,由此猜想f n (x )=x 1-2n 1x(n ∈N *). 答案:x 1-22x x 1-2n -1x8.若方程lg(x -1)+lg(3-x )=lg(a -x )只有一个根,则a 的取值范围是________.解析:原方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x -1>03-x >0a -x >0(x -1)(3-x )=a -x即⎩⎪⎨⎪⎧a =-x 2+5x -31<x <3, 构造函数y =-x 2+5x -3(1<x <3)和y =a ,作出它们的图象,易知平行于x 轴的直线 与抛物线的交点情况为:①当1<a ≤3或a =134时,原方程有一解; ②当3<a <134时,原方程有两解; ③当a ≤1或a >134时,原方程无解. 因此,a 的取值范围是1<a ≤3或a =134. 答案:1<a ≤3或a =1349.若曲线y 2=|x |+1与直线y =kx +b 没有公共点,则k 、b 分别应满足的条件是________.解析:y 2=⎩⎪⎨⎪⎧x +1,x ≥0-x +1,x <0,其图象如图所示,对直线y =kx +b ,k ≠0时,直线与曲线一定相交,只有当k =0,且-1<b <1时无交点.故填k =0;-1<b <1.答案:k =0,-1<b <110.若不等式x 2+px >4x +p -3对一切0≤p ≤4均成立,则实数x 的取值范围为________.解析:∵x 2+px >4x +p -3,∴(x -1)p +x 2-4x +3>0.令g (p )=(x -1)p +x 2-4x +3,则要使它对0≤p ≤4均有g (p )>0,只要⎩⎪⎨⎪⎧g (0)>0g (4)>0, ∴x >3或x <-1.答案:x >3或x <-1三、解答题11.若函数f (x )=a +b cos x +c sin x 的图象经过点(0,1)和⎝⎛⎭⎫π2,1,且当x ∈[0,π2]时, -2≤f (x )≤2恒成立,试求a 的取值范围解:∵f (x )过(0,1)和⎝⎛⎭⎫π2,1,∴f (0)=a +b =1,f ⎝⎛⎭⎫π2=a +c =1,即b =c =1-a .∴f (x )=a +(1-a )(cos x +sin x )=a +2(1-a )sin ⎝⎛⎭⎫x +π4. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2,∴π4≤x +π4≤34π. ∴22≤sin ⎝⎛⎭⎫x +π4≤1. f (x )的取值范围与1-a 的正负有关系,从而讨论如下:①当a ≤1时,1≤f (x )≤a +2(1-a ).∵-2≤f (x )≤2,∴只要a +2(1-a )≤2解得a ≥-2,∴-2≤a ≤1.②当a >1时,a +2(1-a )≤f (x )≤1,∵-2≤f (x )≤2,只要a +2(1-a )≥-2,解得a ≤4+3 2.∴1<a ≤4+3 2.结合①②知,实数a 的取值范围为[-2,4+32].12.已知函数f (x )=ax 4ln x +bx 4-c (x >0)在x =1处取得极值-3-c ,其中a ,b ,c 为常数.(1)试确定a ,b 的值;(2)讨论函数f (x )的单调区间;(3)若对任意x >0,不等式f (x )≥-2c 2恒成立,求c 的取值范围.解:(1)由题意知f (1)=-3-c ,因此b -c =-3-c ,从而b =-3.又对f (x )求导得f ′(x )=4ax 3ln x +ax 4·1x+4bx 3=x 3(4a ln x +a +4b ). 由题意f ′(1)=0,因此a +4b =0,解得a =12.(2)由(1)知f ′(x )=48x 3ln x (x >0),令f ′(x )=0,解得x =1.当0<x <1时,f ′(x )<0,此时f (x )为减函数;当x >1时,f ′(x )>0,此时f (x )为增函数.因此f (x )的单调递减区间为(0,1),而f (x )的单调递增区间为(1,+∞).(3)由(2)知,f (x )在x =1处取得极小值f (1)=-3-c ,此极小值也是最小值要使f (x )≥-2c 2(x >0)恒成立,只需-3-c ≥-2c 2.即2c 2-c -3≥0,从而(2c -3)(c +1)≥0,解得c ≥32或c ≤-1. 所以c 的取值范围为(-∞,-1]∪⎣⎡⎭⎫32,+∞. 13.已知函数f (x )=-x 2+8x ,g (x )=6ln x +m .(1)求f (x )在区间[t ,t +1]上的最大值h (t );(2)是否存在实数m 使得y =f (x )的图象与y =g (x )的图象有且只有三个不同的交点?若存在,求出m 的取值范围;若不存在,说明理由.解:(1)f (x )=-x 2+8x =-(x -4)2+16.当t +1<4,即t <3时,f (x )在[t ,t +1]上单调递增,h (t )=f (t +1)=-(t +1)2+8(t +1)=-t 2+6t +7;当t ≤4≤t +1即3≤t ≤4时,h (t )=f (4)=16;当t >4时,f (x )在[t ,t +1]上单调递减,h (t )=f (t )=-t 2+8t .综上,h (t )=⎩⎪⎨⎪⎧ -t 2+6t +7,t <3,16,3≤t ≤4,-t 2+8t ,t >4.(2)函数y =f (x )的图象与y =g (x )的图象有且只有三个不同的交点,即函数Φ(x )=g (x )-f (x )的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点.∵Φ(x )=x 2-8x +6ln x +m ,∴Φ′(x )=2x -8+6x =2x 2-8x +6x=2(x -1)(x -3)x(x >0) 当x ∈(0,1)时,Φ′(x )>0,Φ(x )是增函数;当x ∈(1,3)时,Φ′(x )<0,Φ(x )是减函数;当x ∈(3,+∞)时,Φ′(x )>0,Φ(x )是增函数;当x =1或x =3时,Φ′(x )=0.∴Φ(x )极大值=Φ(1)=m -7,Φ(x )极小值=Φ(3)=m +6ln 3-15.∵当x 充分接近0时,Φ(x )<0,当x 充分大时,Φ(x )>0∴要使Φ(x )的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点,必须且只须⎩⎪⎨⎪⎧Φ(x )极大值=m -7>0,Φ(x )极小值=m +6ln 3-15<0. 即7<m <15-6ln 3.所以存在实数m ,使得函数y =f (x )与y =g (x )的图象有且只有三个不同的交点,m 的取值范围为(7,15-6ln 3)。

数学方法与精神复习题

数学方法与精神复习题

1. 叙述皮亚诺的自然数公理系统。

皮亚诺公理,是数学家皮亚诺提出的关于自然数的五条公理系统。

根据这五条公理可以建立起一阶算术系统,也称皮亚诺算术系统。

皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下:三个基本概念:0,数,后继五条公理:1. 0是一个数。

2. 任何数的后继是一个数。

3. 若两个数不同,则它们的后继也不同。

4. 0不是任何数的后继。

5. 数学归纳法原理。

皮亚诺所谓的“数”是指所有自然数所构成的类,即指包括0在内的自然数全体;他没有假定我们知道这类中的所有分子,仅假定当我们说这个或那个是一个数时,我们知道我们所指的是什么。

皮亚诺以“后继”来代表从数到数的一种对应,这种对应是一对一的,是一部以数造数的机器——给一个合适的起始数,潜在地,就足以造出数的全体。

这个合适的起始数只有一个,那就是“0”。

“0” 、“数” 、“后继”是不加以定义的原始概念,它们的性质全由皮亚诺的五条公理所界定和描述。

从皮亚诺的公理系统出发,可以建立起完整的算术理论——可以定义数的加法、乘法和大小关系,可以证明已有的所有算术结果。

2. 你认为数学可以完全规约为逻辑吗?论述你的观点。

我认为数学并不能完全规约为逻辑。

逻辑主义学派认为,数学可以完全由逻辑得到。

罗素和怀特相当成功的把古典数学纳入了一个统一的公理系统,使之能从几个逻辑概念和公理出发,再加上集合论的无穷公理就能推出康托集合论、一般算术和大部分数学来。

这把逻辑推理发展到前所未有的高度,使人们看到,在数理逻辑演算的基础上能够推演出许多数学内容来,形成了集合论公理系统的逻辑体系。

但后来数理逻辑中的一些深刻结果(如Godel 不完备性定理)则否定了这种观点。

事实上,数学不能完全由逻辑得到,即,如果要求数学是无矛盾的,那么,它就不可能是完备的。

数学确实有逻辑以外的题材,那就是表达式,而且她的最重要的简单真理是直观的——而非逻辑的——产物。

ZFC 系统中存在的非逻辑公理即能说明这一点。

XXX《数学思想与方法》期末复习题参考答案(可下载编辑)

XXX《数学思想与方法》期末复习题参考答案(可下载编辑)

XXX《数学思想与方法》期末复习题参考答案(可下载编辑)XXX《数学思想与方法》期末复题参考答案模拟试卷A卷一、填空题(每题3分,共30分)1.算法的有效性是指(如果使用该算法从它的初始数据出发,能够得到这一问题的正确解)2.数学的研究对象大致可以分成两大类:(数量关系,空间形式)3.所谓数形结合方法,就是在研究数学问题时,(由数思形、见形思数、数形结合考虑问题)的一种思想方法。

4.推动数学发展的原因主要有两个:(实践的需要,理论的需要),数学思想方法的几次突破就是这两种需要的结果。

5.古代数学大体可分为两种不同的类型:一种是崇尚逻辑推理,以《几何原本》为代表;一种是长于计算和实际应用,以(《九章算术》)为典范。

6.匀速直线运动的数学模型是(一次函数)。

7.数学的统一性是客观世界统一性的反映,是数学中各个分支固有的内在联系的体现,它表现为(数学的各个分支相互渗透和相互结合)的趋势。

8.不完全归纳法是根据(对某类事物中的部分对象的分析),作出关于该类事物的一般性结论的推理方法。

9.学生理解或把握数学思想方法的过程一般有三个主要阶段:(潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段)10.在施行数学思想方法教学时,应该注意三条原则:(化隐为显原则、按部就班原则、学生介入原则)二、判断题(每题4分,共20分。

在括号里填上是或否)1.计算机是数学的创造物,又是数学的创造者。

(是)2.抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间一定有种属关系。

(否)3.一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明。

(否)4.贯穿在全部数学发展历史过程中有两个思想,一是正义化思想,一是机械化思想。

(是)5.提出一个问题的猜想是解决这个问题的闭幕。

(否)三、简答题(每题10分,共50分)1.为什么说《几何原本》是一个封闭的演绎体系?参考答案:1)由于在《几何本来》中,除了推导时所需要的逻辑划定规矩外,每个定理的证明所采用的论据均是公设、正义或前面已经证明过的定理,并且引入的观点(除原始观点)也基本上是符合逻辑上对观点下界说的要求,原则上不再依靠其它东西。

数学思想与方法试题总卷

数学思想与方法试题总卷

数学思想与方法试题总卷1. 选择题(每小题4分,共40分)1. 在直角三角形ABC中,∠B = 90°,AB = 3,BC = 4,则AC =A. 5B. 7C. 8D. 92. 若函数f(x) = 2x^2 + bx + c的图象经过点(1,4),则f(2)的值为A. 8B. 12C. 16D. 203. 设log2(x+1) - log2(x-1) = 3,则x的值为A. 1B. 2C. 3D. 44. 设两个向量A = (2, -3)、B = (5, 1),则A·B的值为A. -13B. -7C. 7D. 135. 在平面直角坐标系中,点A(3, -4)关于y轴的对称点为A. (-3, -4)B. (3, 4)C. (-3, 4)D. (4, 3)6. 在数列{an}中,若a1 = 2,an = 2an-1 - 1(n ≥ 2),则a5的值为A. 5B. 11C. 19D. 317. 已知反比例函数y = k/x中,当x = 2时,y = 1/3,求k的值。

A. 3/2B. 2/3C. 3/4D. 4/38. 若sinx = 1/2,且x ∈(π,2π),则cosx的值为A. 1/2B. -1/2C. -√3/2D. √3/29. 若二项式展开式(x + a)^8的展开式中,包含x^3的项的系数为84,求a的值。

A. 3B. -3C. 7D. -710. 若a^2 = 3b,b^2 = 2c,c^2 = 4a,则a + b + c的值为A. 0B. 1C. 2D. 32. 填空题(每小题4分,共40分)1. 在等差数列{an}中,已知a1 = 2,d = 3,an = 38,求n的值。

2. 已知等差数列{an}的前n项和Sn = 5n^2 + 3n,求a10的值。

3. 设函数f(x) = ax^2 + bx + c,当x = 1时,f(x) = 1,当x = 2时,f(x) = 4,求a、b、c的值。

数学方法论考试题型及答案

数学方法论考试题型及答案

数学方法论考试题型及答案数学办法论考试题型,及答案1、解题策略:解题策略是指解答数知识题时,总体上所实行的方针、原则和计划。

解题策略不同于详细的解题办法,它是指导办法的原则,是对解题途径的概括性熟悉和宏观掌握,体现了挑选的机灵和组合的艺术,因而是最高层次的解题办法。

(346页)2、欧几里得几何公理,其主要内容有:23条定义,5条公设,9条公理,465条定理。

3、问题解决的要素:问题表征,问题解决的程序、模式在认。

(276页)4差异分析策略:通过分析条件与结论之间的差异,并不断缩小目标差来完成的策略。

普通来说,学问综合跨度较小、注意形式变换的题目,应用差异分析策略常能奏效,比如某些恒等式、条件等式或不等式的证实题、平面几何和立体几何证实题。

在使用差异分析策略时,寻觅差异是基础,消退差异是目标,转化是差异是关键。

(376页)5因果关系归纳法:因果关系归纳法是指以某类事物的部分对象的因果关系作为前提,而得出普通性结论的推理办法。

(54页)6公理化办法:公理化办法就是选取尽可能少得一组原始概念和不加证实的一组公理,以此为动身点,应用规律推理规章,把一门科学建立成为一门演绎系统的一种办法。

(172页)7发生性思维:发生性思维是所给的信息中产生信息,从同一来源产生各种各样为数众多的信息。

即从问题的多种可能方向蔓延出去,探究问题的多种解法。

它的特点是:1.多端:可使思维广大;2.伸缩:对一个问题能按照客观状况的变化而变化,可使思维灵便;3.新颖:可使思维具有独创性。

(232页)8化归转化策略:化,就是变化原问题,转化原问题,变换原问题;归,说的是变化、转化、变换原问题是有目的,有方向的,其目的就是变化出一个已知数学模型,就是通过变化使面临的问题转化为自己会解决的问题。

化归转化策略涉及三个基本要素,即化归的对象、目标和办法。

化归的对象就是我们所面临的数知识题,化归的目标就是某一已知的数学模型,化归的办法就是数学思想办法。

数学思想与方法综合复习资料

数学思想与方法综合复习资料

一、填空题(每题3分,共30分)1.在数学中建立公理体系最早的是几何学,而这方面的代表著作是古希腊欧几里得的(《几何原本》)。

2.随机现象的特点是(在一定条件下,可能发生某种结果,也可能不发生某种结果)。

3.演绎法与(归纳法)被认为是理性思维中两种最重要的推理方法。

4.在化归过程中应遵循的原则是(简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则)。

5.(数学思想方法)是联系数学知识与数学能力的纽带,是数学科学的灵魂,它对发展学生的数学能力,提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。

6.三段论是演绎推理的主要形式,它由(大前提、小前提、结论)三部分组成。

7.传统数学教学只注重(形式化数学知识)的传授,而忽略对知识发生过程中(数学思想方法)的挖掘。

8.特殊化方法是指在研究问题中,(从对象的一个给定集合出发,进而考虑某个包含于该集合的较小集合)的思想方法。

9.分类方法的原则是(不重复、无遗漏、标准同一、按层次逐步划分)。

10.数学模型可以分为三类:(概念型、方法型、结构型)。

二、判断题(每题2分,共10分。

在括号里填上是或否)1.数学模型方法在生物学、经济学、军事学等领域没应用。

(否)2.在解决数学问题时,往往需要综合运用多种数学思想方法才能取得效果。

(是)3.如果某一类问题存在算法,并且构造出这个算法,就一定能求出该问题的精确解。

(否)4.分类可使知识条理化、系统化。

(是)5.在建立数学模型的过程中,不必经过数学抽象这一环节。

(否)三、简答题(每题6分,共30分)1.我国数学教育存在哪些问题?答:①数学教学重结果,轻过程;重解题训练,轻智力、情感开发;不重视创新能力培养,虽然学生考试分数高,但是学习能力低下;②重模仿,轻探索,学习缺少主动性,缺乏判断力和独立思考能力;③学生学业负担过重。

原因是课堂教学效益不高,教学围绕升学考试指挥棒转,不断重复训练各种题型和模拟考试,不少教师心存以量求质的想法,造成学生学业负担过重。

数学思想与方法复习资料

数学思想与方法复习资料

《数学思想与方法》复习资料一,填空题(每题3分,本题共30分)1. 化归方法包含的三个要素是:化归对象、化归目标、化归途径。

2. 算法的有效性是指,如果使用该算法从它的初始化数据出发,能够得到这一问题的正确解。

3. 数学的研究对象大致可以分成两类:①研究数量关系;②研究空间形式。

4. 一个科学的分类标准必须能够将需要分类的数学对象,进行不重复、无遗漏的划分。

5. 根据学生掌握数学思想方法的过程有潜意识阶段、明朗化阶段和深刻理解阶段等三个阶段,可相应地将小学数学思想方法数学设计成多次孕育、初步理解、简单应用三个阶段。

@6. 《九章算术》思想方法的特点是开放的归纳体系算法化的内容模型化的方法。

7. 抽象的含义:抽象是对同类事物抽取其共同的本质属性或特征,舍去其非本质的属性或特征的思维过程。

8. 在反例反驳中,构造一个反例必须满足条件(1)反例满足构成猜想的所有条件(2)反例与构成猜想的结论矛盾。

9. 化归方法的三个要素是化归对象,化归目标,化归途径。

10. 算法可分为多项式算法,指数型算法两大类.11. 任何分类都必须遵循下列原则: 不重复,无遗漏,标准同一,按层次逐步划分12. 数学的研究对象大致可以分成如下两类确定性现象和随机性现象】13. 所谓特殊化是指在研究问题时,从对象的一个给定集合出发,进而考虑某个包含于该集合的较小集合的思想方法的思想方法。

14. 小学数学思想方法教学的主要阶段是:形象抽象思维,即由具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段.15.三段论是演绎推理的主要形式,三段论由大前提,小前提,结论组成。

16. 学生理解或掌握数学思想方法的过程有如下三个主要阶段对同一数学对象,若选取不同的标准,可以得到不同的分类。

17.面对一个问题,经过认真的观察和思考,通过归纳或类比提出猜想,然后从两个方面人手:演绎证明此猜想为真;或者寻找反例说明此猜想为假,并且进一步修正或否定此猜想。

18.变量数学产生的数学基础是解析几何,标志是微积分。

数学思想与方法考试题目

数学思想与方法考试题目

数学思想与方法课程综合辅导资料一、单项选择题1.算法的有效性是指( C ) 。

P.122A.如果使用该算法从它的初始数据出发,能够估计问题的解答范围B.如果使用该算法从它的初始数据出发,能够引出该问题的另一种求解方案C.如果使用该算法从它的初始数据出发,能够得到这一问题的正确解D.如果使用该算法从它的初始数据出发,能够大致猜想出问题的答案2 .所谓数形结合方法,就是在研究数学问题时, (A )的一种思想方法。

P156 A.由数思形、见形思数、数形结合考虑问题B.由数学公式解决图形问题C.由已知图形联想数学公式解决数学问题D.运用代数与几何解决问题3.古代数学大体可分为两种不同的类型:一种是崇尚逻辑推理,以《几何原本》为代表;一种是长于计算和实际应用,以( D )为典范。

P1A.阿拉伯的《论圆周》B.印度的《太阳的知识》C.希腊的《理想国》D.中国的《九章算术》4.数学的统一性是客观世界统一性的反映,是数学中各个分支固有的内在联系的体现,它表现为( B )的趋势。

P46A.数学的各个分支相互独立并行发展B.数学的各个分支相互渗透和相互结合C.数学的各个分支呈现包容D.数学的各个分支呈现互斥5 .学生理解或掌握数学思想方法的过程一般有三个主要阶段: ( B ) 。

P197 A.了解阶段、掌握阶段、运用阶段B.潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段 C.感觉阶段、体会阶段、领悟阶段D.同化阶段、迁移阶段、掌握阶段6.在数学中建立公理体系最早的是几何学,而这方面的代表著作是( B ) 。

P1 A.阿拉伯的《论圆周》B.古希腊欧几里得的《几何原本》C.希腊的《理想国》D.中国的《九章算术》7.随机现象的特点是(A ) 。

P23A.在一定条件下,可能发生某种结果,也可能不发生某种结果B.在一定条件下,发生必然结果C.在一定条件下,不可能发生某种特定的结果D.在一定条件下,发生某种结果的概率微乎其微8.演绎法与( D )被认为是理性思维中两种最重要的推理方法。

数学与精神 方法考题

数学与精神 方法考题

《数学的精神、思想和方法》考试题学号姓名一、下面是甘肃日报对08年高考情况的一个简要报道,请你结合本门课程的学习,对这则报道发表你的看法。

报道:华网甘肃频道6月23日消息,2008年甘肃省普通高校招生考试非延考区文理科成绩前100名名单今天新鲜出炉。

庄浪一中的陈振睿以698分成为理科状元,嘉峪关市一中的阚梅以658分摘得文科桂冠。

甘谷县往届生王波和白银市一中的李虹江以相同的697分,并列理科榜眼;西北师大附中的周显明以694分成为理科探花。

西北师大附中的雷蕾以657分成为文科榜眼,嘉峪关市往届生许小雯以655分成为文科探花。

一个有趣的现象是,理科前12名全部是男生,文科前11名全部是女生。

在理科前100名考生中,西北师大附中和兰州一中各有11名考生入榜,远远高于其他学校,显示出这两所老牌中学的强大实力。

在文科前100名考生中,西北师大附中以入选12人的骄人成绩一枝独秀。

一个值得重视的现象是,往届生在前100名名单中占据了相当大的比重,理科前100名中往届生占28名,而文科前100名中往届生占44名,接近一半。

二、结合下面案例和自己的专业实际,请谈谈你对大学究竟应该学什么的认识。

案例:大学生究竞凭什么区别于大专、技校等毕业生并进而区别于一切没有读过大学的人呢?要回答这个问题,我们不妨先来看一位张小姐写的关于自己毕业求职经历的文章。

大学临近毕业,就业形势相当严峻。

毕业前夕,正好有一家英国公司到我们学校招聘,这让所有的人都提起了兴趣,大家都决定去尝试一下。

因为这个机会很难得。

当时所有面试的人都集中在一个大房间里,考官给每个人发了一张试卷,上面只写了一道看起来很简单的题目:英国每年买几个高尔夫球。

没有其他数据,要求在45分钟内完成。

一看到这个无厘头似的题目,我几乎傻眼了。

后来仔细一想,发现这道题不是要我答出一个确定的数字,而是要考查一个思考的过程。

这样的题目对于我这个经济系的高才生来说并不难。

所谓的“英国买”,其实就是英国进口。

高中数学--数学思想与方法识点汇总与练习6(含答案)

高中数学--数学思想与方法识点汇总与练习6(含答案)

高中数学--数学思想与方法识点汇总与练习一 、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分) 1.函数2sin sin 1y x x =+-的值域为A .[1,1]-B .5[,1]4--C .5[,1]4- D .5[1,]4-2.(09年东城区示范校质检一理)若不等式对于任意正整数n 成立,则实数a 的取值范围是( )A .B .C .D .3.若)(x f 是R 上的减函数,且)(x f 的图像过点A (0,4)和点B (3,—2),则不等式3|1)(|<-+a x f 的解集为(—1,2)时,a 的值为( )A .0B .—1C .1D .—24.已知集合}2|{a x x M ≤≤-=,},32|{M x x y y P ∈+==,},|{2M x x z z T ∈== 且P T ⊆,则实数a 的取值范围是( )A.321≤≤aB.32≤<-aC.32≤≤aD .221≤≤a5.( ) A. B. 1 C . 不存在 D. 26.如果log a 23<1,那么a 的取值范围是A .(0,23)∪(1,+∞)B .(23, +∞)C .(23,1)D .(0,23)∪(23,+∞)7.当0 < x < 1时,记 a = x x ,b = ( arcsin x ) x ,c = x arcsin x ,下列不等式中成立的是( )(A )a < b < c (B )a < c < b (C )c < a < b (D )c < b < a8.若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分,则k 的值是(A )73 (B ) 37 (C )43 (D ) 349.若偶函数()x f ()R x ∈满足()()x f x f =+2且[]1,0∈x 时,(),x x f =则方程()x x f 3log =的根的个数是 A 4个 B 5个 6个 D 多于6个10.将一个三位数的三个数字顺序颠倒,将所得到的数与原数相加,若和中没有一个数字是偶数,则称这个数为“奇和数”。

数学思想与方法考试题及答案

数学思想与方法考试题及答案

模拟题一一、填空题(每题5分.共25分)1.算法的有效性是指(如果使用该算法从它的初始数据出发.能够得到这一问题的正确解)。

3.所谓数形结合方法.就是在研究数学问题时.(由数思形、见形思数、数形结合考虑问题)的一种思想方法。

5.古代数学大体可分为两种不同的类型:一种是崇尚逻辑推理.以《几何原本》为代表;一种是长于计算和实际应用.以(《九章算术》)为典范。

7.数学的统一性是客观世界统一性的反映.是数学中各个分支固有的内在联系的体现.它表现为(数学的各个分支相互渗透和相互结合)的趋势。

9.学生理解或掌握数学思想方法的过程一般有三个主要阶段:(潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段)。

二、判断题(每题5分.共25分。

在括号里填上是或否)1.计算机是数学的创造物.又是数学的创造者。

(是)2.抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间一定有种属关系。

(否)3.一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明。

(否)4.贯穿在整个数学发展历史过程中有两个思想.一是公理化思想.一是机械化思想。

(是)5.提出一个问题的猜想是解决这个问题的终结。

(否)三、简答题(每题10分.共50分)1.为什么说《几何原本》是一个封闭的演绎体系答:①因为在《几何原本》中.除了推导时所需要的逻辑规则外.每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理.并且引入的概念(除原始概念)也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求.原则上不再依赖其它东西。

因此《几何原本》是一个封闭的演绎体系。

②另外.《几何原本》的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题.因此对于社会生活的各个领域来说.它也是封闭的。

③所以.《几何原本》是一个封闭的演绎体系。

2.为什么说最早使用数学模型方法的是中国人答:①因为在中国汉代的古算书《九章算术》中就已经系统地使用了数学模型。

《九章算术》将246个题目归结为九类.即九种不同的数学模型.分列为九章。

②它在每一章中所设置的问题.都是从大量的实际问题中选择具有典型意义的现实原型.然后再通过“术”(即算法)转化成数学模型。

数学思想与方法期末复习资料

数学思想与方法期末复习资料

数学思想与方法期末复习一、填空题1、古代数学大体可分为两种不同的类型:一种是崇尚逻辑推理,以《几何原本》为代表;一种是长于计算和实际应用,以《九章算术》为典范。

2、在数学中建立公理体系最早的是几何学,而这方面的代表著作是古希腊欧几里得的《几何原本》3、《几何原本》所开创的公理化方法不仅成为一种数学陈述模式,而且还被移植到其它学科,并且促进他们的发展。

4、推动数学发展的原因主要有两个:①实践的需要,②理论的需要;数学思想方法的几次突破就是这两种需要的结果。

5、变量数学产生的数学基础是解析几何,标志是微积分。

6、数学基础知识和数学思想方法是数学教学的两条主线。

7、随机现象的特点是在一定条件下,可能发生某种结果,也可能不发生某种结果。

8、等腰三角形的抽象过程,就是把一个新的特征:两边相等,加入到三角形概念中去,使三角形概念得到强化。

9、学生理解或掌握数学思想方法的过程有如下三个主要阶段①潜意识阶段,②明朗化阶段,③深刻理解阶段。

10、数学的统一性是客观世界统一性的反映,是数学中各个分支固有的内在联系的体现,它表现为数学的各个分支相互渗透和相互结合的趋势。

11、强抽象就是指,通过把一些新特征加入到某一概念中去而形成新概念的抽象过程。

12、菱形概念的抽象过程就是把一个新的特征:一组邻边相等,加入到平行四边形概念中去,使平行四边形概念得到了强化。

13、演绎法与归纳法被认为是理性思维中两种最重要的推理方法。

14、所谓类比,是指由一类事物所具有的某种属性,可以推测与其类似的事物也具有该属性的一种推理方法;常称这种方法为类比法,也称类比推理。

15、反例反驳的理论依据是形式逻辑的矛盾律。

16、猜想具有两个显著特点:①具有一定的科学性,②具有一定的推测性。

17、三段论是演绎推理的主要形式。

三段论由大前提、小前提、结论三部分组成。

18、化归方法是指,把待解决的问题,通过某种转化过程,归结到一类已经能解决或较易解决的问题中,最终获得原问题解答的一种方法。

数学思想方法复习题

数学思想方法复习题

数学思想方法复习题2数学思想方法一在总结基础知识的复习时,应注意显示、总结其中蕴含的数学思想方法。

如:在复习指数函数和对数函数的性质时,应注意显示底数a分为a1和0专题讲座,激发提升对数学思想方法的熟悉,提升对数学思想方法的驾驭能力。

数学知识本身具有系统性,数学思想方法也具有系统性,对它的学习和渗透是一个按部就班、螺旋上升的过程。

在进行高考第二轮复习时,可以有目的地开设数学思想方法的专题复习讲座,以高中数学中常用的数学思想方法(如:数形结合、分类讨论、函数与方程、转化与化归)为主线,把中学数学中的基础知识有机地串连起来,让同学深入体会数学思想方法在数学学科中的支撑和统帅作用,进一步完善同学的认知结构,提升同学的数学能力。

在解题教学中渗透数学思想方法,提升同学的数学素养和能力。

解题的过程实质上是在化归思想的指导下,合理联想提取相关知识,调用一定数学思想方法加工、处理题设条件和知识,逐步缩小题设与题断间的差异过程。

运用数学思想方法分析、解决问题,可开拓同学的思维空间,优化解题策略。

三角可以看作一类特别的函数(三角函数);解几的曲线方程可以看作隐函数,曲线可视为函数的图形;微积分中的导数可作为研究函数性质的主要工具。

在化归思想的指导下,能使我们更深入地理解化归变幻的策略:比如指数、对数的高级运算转化为代数的低级运算;在方程中,三元、二元化为一元,分式方程化为整式方程;在立几中常将空间图形化为平面图形,复杂图形化为简单图形;解几中常将几何问题化归为代数问题研究。

通过思想方法的专题复习,实现了知识、方法和数学思想的大整合,提升了同学分析问题、解决问题的综合能力。

3数学思想方法二我们知道,数学是一个在高考中比较能拉开分数差距的科目,关于部分同学来说,也是在日常的学习与复习中因掌握不到技巧而感到颇难的科目。

因此,准高三生们有必要在这个被称之为"学习黄金期'的暑假,将数学作为一个重点科目,系统地进行一次查缺补漏。

数学思想方法练习题答案

数学思想方法练习题答案

数学思想方法练习题答案一、选择题1. 已知函数\( f(x) \)在区间\( [a, b] \)上连续,且\( f(a) = f(b) \),根据介值定理,下列哪个选项是正确的?A. \( f(x) \) 在\( [a, b] \)上必有零点B. \( f(x) \) 在\( [a, b] \)上至少有一个实数根C. \( f(x) \) 在\( [a, b] \)上至少有一个极值点D. \( f(x) \) 在\( [a, b] \)上单调递增或递减2. 极限\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)的值是多少?A. 0B. 1C. \( \frac{\pi}{2} \)D. \( \infty \)3. 函数\( g(x) = x^3 - 3x \)的导数\( g'(x) \)是:A. \( 3x^2 - 3 \)B. \( x^2 - 3 \)C. \( 3x^2 - 6x \)D. \( x^2 - 3x \)4. 以下哪个选项不是数学归纳法的应用?A. 证明等差数列的求和公式B. 证明自然数的平方和公式C. 证明\( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots \)的和是发散的D. 证明\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)5. 以下哪个命题是假命题?A. 存在唯一的实数\( x \),使得\( x^2 = 4 \)B. 任何实数\( x \),都有\( x^2 \geq 0 \)C. 对于任意实数\( x \),\( \sqrt{x^2} = |x| \)D. 所有实数\( x \),\( x^2 + 1 \) 都是正数二、填空题6. 如果\( a \)和\( b \)是方程\( x^2 + px + q = 0 \)的根,那么\( p \)和\( q \)可以表示为\( a \)和\( b \)的函数:\( p =________ \),\( q = ________ \)。

《数学思想方法》复习题二

《数学思想方法》复习题二

《数学思想方法》复习题二
1.计算机是数学的创造物,又是数学的创造者。


2.抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间一定有种属关系。


3.一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明。


4.贯穿在整个数学发展历史过程中有两个思想,一是公理化思想,一是机械化思想。


5.提出一个问题的猜想是解决这个问题的终结。


1.数学抽象摆脱了客观事物的物质性质,从中抽取其数与形,因而数学抽象具有无物质性。


2.数学公理化方法在其他学科也能起到作用,所以它是万能的。


3.数学模型具有预测性、准确性和演绎性,但不包括抽象性。


4.猜想具有两个显著的特点:一定的科学性和一定的推测性。


5.表层类比和深层类比其涵义是一样的。


1.数学史上著名的“哥尼斯堡七桥问题”最后由欧拉用一笔画方法解决了其无解。


2.分类方法具有两要素:母项与子项。


3.算法具有无限性、不确定性与有效性。


4.理论方法、实验方法和计算方法并列为三种科学方法。


5.最早使用数学模型方法的当数中国古人。


1.数学模型方法在生物学、经济学、军事学等领域没应用。


2.在解决数学问题时,往往需要综合运用多种数学思想方法才能取得效果。

对3.如果某一类问题存在算法,并且构造出这个算法,就一定能求出该问题的精确解。


4.分类可使知识条理化、系统化。


5.在建立数学模型的过程中,不必经过数学抽象这一环节。

错。

备考专训卷(11)数学思想方法

备考专训卷(11)数学思想方法

备考专训卷(11)数学思想方法一、我会填。

(每空2分,共24分)1.用若干个长是10厘米,宽是6厘米,高是4厘米的小长方体木块拼成一个大正方体,这个正方体的棱长最短是()厘米,这时要用()个这样的小长方体木块。

2.某人的身份证号是320421************,那么此人的出生日期是(),性别()。

3.今天(第1天)是星期三,第47天是星期()。

4.你今年()岁,属相是(),属相和你一样的人可以是()岁(填一个与你不一样的岁数)。

5.鞋的尺码指鞋底的长度,通常用“码”或“厘米”作单位,它们的关系可以用y=2x-10来表示(y表示码数,x表示厘米数)。

小红新买了一双37码的鞋子,鞋底长()厘米;爸爸的鞋底长26厘米,是()码。

6.王爷爷种了63行果树,每行47棵,估计果树总棵数的最佳算法是()。

7.1+2+3+4+……+49+50的和是()数。

(填“奇”或“偶”)二、我会选。

(每题4分,共20分)1.东东乘汽车到外婆家,上午8时出发,10小时后到达。

到达时他看到的景象可能是()。

A.旭日东升B.残阳如血C.星光灿烂D.骄阳似火2.小明给爷爷沏茶。

洗水壶用1分钟,烧开水要用8分钟,洗茶壶要用1分钟,洗茶杯要用1分钟,拿茶叶要用2分钟,为了让爷爷早点喝上茶,你认为最快用()分钟就可以沏茶了。

A.13 B.9 C.10 D.12 3.小军有一些邮票,他将邮票张数的一半还少3张送给了小丽,自己还剩下15张。

小军原来有()张邮票。

A.15 B.36 C.24 D.21 4.每两段绳子打1个结(如图),像这样用10段绳子连起来围成一个圈,一共要打()个结。

A.9 B.10C.11 D.125.工人们在一个正方形草坪的四周栽树,要求四个顶点各栽一棵,并且每边各栽4棵,一共栽了()棵树。

A.10 B.12C.14 D.16三、操作题。

(10分)园林工人在长方形草坪上(如下图)设计一个最大的半圆形花圃。

请在图中画出这个花圃,并计算这个花圃的面积。

高中数学--数学思想与方法识点汇总与练习7(含答案)

高中数学--数学思想与方法识点汇总与练习7(含答案)

高中数学--数学思想与方法识点汇总与练习题号 一 二 三 总分 得分一 、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1.设偶函数()f x 满足()()380f x x x =-≥,则(){}20x f x -=>(A ){}2x x x <-或>4 (B ){}0x x x <或>4 (C ){}0x x x <或>6 (D ){}2x x x <-或>22.当曲线241x y -+=与直线4)2(+-=x k y 有两个不同交点时,实数k 的取值范围是A.),125(+∞ B.]43,125( C.)125,0( D.]43,31(3.如图,有一矩形钢板ABCD 缺损了一角(图中阴影部分),边缘线OM 上每一点到点D 的距离都等于它到边AB 的距离。

工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形,若1AB =米,0.5AD =米,当沿切割线EF 切割使剩余部分五边形ABCEF 的面积最大时,AF 的长度为( )米。

A112 B 16 C512D 333-4.若实数x,y 满足不等式组合 2x-y-3≤0,则x+y 的最大值为x-y+1≥0,(A )9 (B )157(C )1 (D )7155.若不等式f (x )=2ax x c -->0的解集{}|21x x -<<,则函数y =f (-x )的图象为( )6.四边形的各顶点位于一个边长为1的正方形各边上,若四条边长的平方和为t ,则t 的取值区间是( )A .[1,2]B .[2,4]C .[1,3]D .[3,6]7.有九条直线,其中每一条都将一平行四边形分割成面积比为2:3的两个四边形,那么这九条直线( ) A .存在这样的九条直线;没有两条过同一个点; B .至少有两条过同一个点; C .至少有三条过同一个点; D .至少有四条过同一个点;8.已知函数f(x)=lg ,01016,102x x x x <≤-+>⎧⎨⎩ 若a ,b ,c 均不相等,且f(a)= f(b)= f(c),则abc 的取值范围是(A )(1,10) (B )(5,6) (C )(10,12) (D )(20,24)9. (09年湖北黄冈联考文)若曲线241:x y C -+=与直线4)2(:+-=x k y l 有两个不同交点,实数k 的取值范围是A.]43125,( B .),(∞+125 C .]4331[, D .),(1250姓名:__________班级:__________考号:__________ ●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●BCD OMF E10.函数()cos lg f x x x =-的零点个数是( )A .6B .8C .4D .2二 、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)11.设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>≤--0012x xx x ,若f(x 0)>1,则x 0的取值范围是___________。

高中数学--数学思想与方法识点汇总与练习4(含答案)

高中数学--数学思想与方法识点汇总与练习4(含答案)

高中数学--数学思想与方法识点汇总与练习一 、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1.已知函数f (x )=log a x 在[2,π]上的最大值比最小值大1,则a 等于A .2πB .π2C .2π或π2D .不同于A 、B 、C 答案 2.已知均为正数,且都不等于1,若实数满足,则的值等于( )A 、1B 、2C 、3D 、43.在正2006边形中,与所有边均不平行的对角线的条数为( ).A .2006B .21003C .100310032-D .100210032-4.在平面直角坐标系内,方程x 2 + y 2 + x | x | + y | y | – 2 = 0表示的曲线是( )5.如果log a 23<1,那么a 的取值范围是A .(0,23)∪(1,+∞)B .(23, +∞)C .(23,1)D .(0,23)∪(23,+∞)6.设0< x <1,0<a ≠1,则A .|log a (1-x )|<| log a (1+x )|B .|log a (1-x )|=| log a (1+x )|C .|log a (1-x )|>| log a (1+x )|D .|log a (1-x )|与| log a (1+x )|的大小与a 值有关7.设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).A. B. C. D.8.某大楼共有20层,有19人在第1层上了电梯,他们分别要到第2层至第20层,每层1人.电梯只在中间某一层停1次,可知电梯在第3层停的话,则第3层下的人最 满意,其中有1人要下到第2层,有17人要从第3层上楼,就不太满意了.假设乘客 每向下走一层的不满意度为1,向上走一层的不满意度为2,所有的不满意度之和为S , 为使S 最小,则电梯应当停在( ).A .第12层B .第13层C .第14层D .第15层第Ⅱ卷 非选择题(共100分)9.已知函数25,0()1,0x x x x f x e x ⎧+≥=⎨-+<⎩,若()f x kx ≥,则k 的取值范围是( ).(,0]A -∞ .(,5]B -∞ .(0,5]C .[0,5]D10.记集合T={0,1,2,3,4,5,6},M=}4,3,2,1,|7777{4433221=∈+++i T a a a a a i ,将M 中的元素按从大到小的顺序排列,则第2005个数是( )A .43273767575+++B .43272767575+++ C .43274707171+++D .43273707171+++二 、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)11.已知实数x ,y 满足y x yx-=,则x 的取值范围是 .12.已知函数⎩⎨⎧---=x x e x f x 21)(20<≥x x ,若关于x 的方程a x x f -=)(有三个不同的实根,则实数a 的取值范围是 ▲ _ .13.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=0,220,452xx xxx x f 若函数x a x f y -=)(恰有4个零点,则实数a 的取值范围为_______(D)(C)(B)l 2(0)y ax a =≠y 24y x =±28y x =±24y x =28y x =姓名:__________班级:__________考号:__________ ●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●14.)6,0(解析:线段1PF 的垂直平分线过点2F ,等价于212F F P F =. 设椭圆的右准线cx 9=交x 轴于点K , 则在椭圆的右准线上存在一点P ,使得212F F P F =,等价于212F F K F ≤. 所以c c c29≤-,32≥c . 因此692222≤-=-=c c a b 故b 的取值范围是]6,0(.15.方程sin 2cos θθ=在[0,2)π上根的个数是_________16.方程的不同非零整数解的个数为 。

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1. 叙述皮亚诺的自然数公理系统。

皮亚诺公理,是数学家皮亚诺提出的关于自然数的五条公理系统。

根据这五条公理可以建立起一阶算术系统,也称皮亚诺算术系统。

皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下:三个基本概念:0,数,后继五条公理:1. 0是一个数。

2. 任何数的后继是一个数。

3. 若两个数不同,则它们的后继也不同。

4. 0不是任何数的后继。

5. 数学归纳法原理。

皮亚诺所谓的“数”是指所有自然数所构成的类,即指包括0在内的自然数全体;他没有假定我们知道这类中的所有分子,仅假定当我们说这个或那个是一个数时,我们知道我们所指的是什么。

皮亚诺以“后继”来代表从数到数的一种对应,这种对应是一对一的,是一部以数造数的机器——给一个合适的起始数,潜在地,就足以造出数的全体。

这个合适的起始数只有一个,那就是“0”。

“0” 、“数” 、“后继”是不加以定义的原始概念,它们的性质全由皮亚诺的五条公理所界定和描述。

从皮亚诺的公理系统出发,可以建立起完整的算术理论——可以定义数的加法、乘法和大小关系,可以证明已有的所有算术结果。

2. 你认为数学可以完全规约为逻辑吗?论述你的观点。

我认为数学并不能完全规约为逻辑。

逻辑主义学派认为,数学可以完全由逻辑得到。

罗素和怀特相当成功的把古典数学纳入了一个统一的公理系统,使之能从几个逻辑概念和公理出发,再加上集合论的无穷公理就能推出康托集合论、一般算术和大部分数学来。

这把逻辑推理发展到前所未有的高度,使人们看到,在数理逻辑演算的基础上能够推演出许多数学内容来,形成了集合论公理系统的逻辑体系。

但后来数理逻辑中的一些深刻结果(如Godel 不完备性定理)则否定了这种观点。

事实上,数学不能完全由逻辑得到,即,如果要求数学是无矛盾的,那么,它就不可能是完备的。

数学确实有逻辑以外的题材,那就是表达式,而且她的最重要的简单真理是直观的——而非逻辑的——产物。

ZFC 系统中存在的非逻辑公理即能说明这一点。

3. 试述ZF 系统的MP 规则和GEN 规则。

()()()()tion generalisa .是任一变元是任一公式,而,其中可以推演出规则):从GEN 概括规则()2(ponens modus .是任意两个公式和,其中可推演出和规则):从MP 分离规则()1(这两条规则是:。

的直接后承而演绎出来,,,作为某有限个公式式把一个公;这些规则使我们可以的逻辑演绎规则有两条ZF 21x A A x A B A B B A A A A A A m ∀→注释:()()()()()()。

成可以判断真假的陈述—它不能构—定赋值含有的自由变元没有确说来不能谈论,因为它题时,它的真假值一般含义而定;当它是开命的真假值依赖于谓词的的情况下,该命题闭命题时,在论域确定对于谓词公式,当它是了变元的作用。

受到量化的变元就失去,对变元加以约束和限制们看到,量词的作用是变成了一个闭命题。

我,,,变元,那么的所有自由表示,,,,其中,,,,记作对一个开命题是一个闭命题。

出现时,称是开命题,而后种情形形出现时,称前种情,或者不含自由变元;总是或者含有自由变元一个公式性质的推理是必要的。

概括规则对于涉及量词2式。

正是三段论式推理的形因此,分离规则反映的“乙”为结论。

,“甲”为小前提,而“甲蕴含乙”为大前提“乙”。

通常称分离(即推演)出命题“甲蕴含乙”和“甲”式之一:从命题言中进行论证的标准方分离规则对应于日常语1z y x A x y z A z y x z y x A A A A A ∀∀∀4. ZFC 系统的非逻辑公理有哪些条款?其中哪几条最能体现数学价值而又不能归约为逻辑?(ZF1)两个集合相等,当且仅当它们有相同的元素。

(外延公理)(ZF2)没有元素的集合存在。

(空集公理)(ZF3)给出任何集合x 和y ,总存在着集合z ,它的元素是x 和y 。

(配对公理) (ZF4)给出任何集合x ,总存在着集合y ,它以x 的元素的元素为元素。

(并集公理) (ZF5)给出任何集合x ,总存在着集合y ,它以x 的一切子集为元素。

(幂集公理)(ZF6)若对于任意的x ,恰好存在唯一的y ,使得公式A(x,y)成立,那么对于任意的集合z ,存在集合u ,使得u = { v | 存在w ∈z ,使得A(w,v)成立 }。

(替换公理模式)(ZF7)存在一个集合x ,它含有无穷多个元素。

(无穷公理)(ZF8)每个非空集合x 含有一个元素y ,y 作为集合与x 无公共元素。

(基础公理) (AC ) 对任何由两两不交的非空集合组成的集合x ,总存在一个集合y ,它与x 的每个成员恰有一个公共元素。

(选择公理)(ZF2)空集公理和(ZF7)无穷公理(AC )选择公理(ZF2)和(ZF7)是分别断言集合存在和无限集合存在的公理;实质上,它们断言的正是空集ø和自然数集N 存在。

这两条公理实难作为逻辑公理看待,它们是干脆的数学公理。

因此,将集合论完全划归逻辑范畴不可能得到数学界的认可。

一般认为:逻辑主义自定的目标——数学化为逻辑,成为逻辑的一部分——不可能实现。

除此之外,选择公理也被证明是一条数学原理,不能归约为逻辑。

5. 自然数系有哪些基本原理?详细叙述之。

()()()()看清。

这点我们将在下一讲中基于上面的递归定理。

本质上运算的定义的合理性在归方式定义的;这两种是用递法和乘法两种运算,都例如,自然数系中的加。

出递归定义的理论依据上述定理是我们可以做 ., 0 Ν:: Ν∈∀='=→→n n f n f a f S f S S a S S S ϕϕ且,满足的唯一的映射存在Ν到素。

那么,的任一个事先给定的元是一个映射,为是一个集合,设(递归原理) 定理2()()()()()()()()()()()()()()()()“进”。

然后再用归纳法飞跃地的情形,题“退”到最简单易解法上,它教会我们把问而在方了有限,达到了无限;论意义在于帮我们超越的理而基本的数学原理。

它数学归纳原理是最重要 真。

”也真。

真,则证明:命题“若 2真;0证明:命题 1:意有两个步骤缺一不可必须注理去证明数学命题时,注:在使用数学归纳原.Ν0 谓词公式,那么的是一个含有自由变元设 n P n P P n P n n P n P n P x x P 'N ∈∀⇒'→∈∀∧ )定理3(数学归纳原理()()()()递归原理所保证。

这一表示法的合理性由 ,910 ,89 , ,23 ,12 ,01 拉伯数字表示系统:阿象记号系统就是它们的的。

自然数最常用的抽素的抽象记号就是自然,引入其元N 然数系的统一性,那么对于自既然自然数系具有上述 法存在性。

合了肯定它在集宇宙中的公理的引入无非就是为系是存在的集合,无限:自然数义。

在此我们强调一点作为自然数系的标准定3我们就将定义家们的习惯,常不予区分。

尊重数学与Ν基于上述定理,数学上 .,0 ,:, )( '='='='='='+='=→ωφωωωn h n h h h 且适合Ν存在唯一的双射对于N 与的统一性与 Ν定理46. 什么是有限集、无限集和可数集?设S 是一个集合,我们规定(1)如果存在n ∈N 使得S 与{0,1,…,n }相似,或S 与ø相似,则称S 是有限集;否则,称S 是无限集。

(2)如果S 与N 相似,则称它是可列集。

(3)如果S是有限集或可列集,则称S是可数集或至多可列集。

7.谈谈你对零的看法。

数学表述着事物复杂的本质,而把庞大的数学体系连成了一个整体的是零。

从简单的计数到复杂的运算,从估计事物发生的几率到精确知道与我们相关的事件何时达到最大值,这些有力的数学工具都让我们使用这样的思考方法:一个事件的发生与其他的事件相关,并且所有这些都离不开零这个中心。

如:eiπ+1=0(数学中最重要的常数都集中于此)8.谈谈你对无限的看法。

?无限即无穷,在数学上,从哲学上讲,从公元前400多年前开始对无穷的观念就产生了分歧,潜无穷与实无穷的无穷观一直争论至今.潜无穷的无穷观认为无穷是一个永无终止的过程;实无穷的无穷观认为无穷是实际存在的,无穷是一个可以完成的过程或一个已经生成的对象.现代数学的主流是以经典数学为基础的,经典数学以ZFC公理集合论系统为基础,承认无穷集合的存在,故经典数学接受实无穷观,同时也不排斥无穷作为一个过程存在,可以认为经典数学中的无穷观是潜无穷与实无穷辩证统一的无穷观。

大学数学学习的是经典数学,故而大学数学中的无穷观应是潜无穷与实无穷辩证统一的无穷观。

9.谈谈你对算术运算的看法(将同一运算在不同数系中的功能作一比较)。

你觉得算术运算的威力表现在哪里??算术运算就是数的加、减、乘、除以及乘方开方等数学运算,区别于几何运算。

对于算术来说,它是数学中最古老,最基础和最初等的部分.它研究数的性质及其运算.把数和数的性质,数和数之间的四则运算在应用过程中的经验积累起来,并加以整理,就形成了最古老的一门数学—算术。

其威力表现在无穷、逻辑、结构、迭代和心灵信条。

通过算术运算,数系从自然数系逐步拓展到实数系,而这整个过程的推导是内在统一的,算术运算的威力就体现在这个地方。

10.从自然数到整数,再到有理数,这样,数系被扩充得与直线几近一样。

这在毕达哥拉斯看来,数与形达成了统一。

你认为有理数系与直线达成统一了吗?为什么?并未完全统一。

通过引入无理数系,与有理数系共同构成的完备有序数系——实数系,才真正与直线达成统一。

因为:毕达哥拉斯学派后来发现,并不是任意两条线段都是可共度的。

例如,正方形的对角线与其一边就构成了不可公度的一对线段,从而引发了数学史上第一次数学危机。

11.谈谈你对实数的认识?实数是数学中最基本的概念之一。

实数与数轴上的点可以一一对应。

实数包括有理数与无理数,而从欧几里得以来,人们都把它们理解为单位长线段可公度与不可公度的线段的长度。

从实数发展得历史来看,虽然从毕达哥拉斯学派那时起就有人意识到了无理数得存在,到17世纪,人们对实数的使用已经习以为常,并开始脱离其几何原型抽象地认识实数。

但到19世纪中叶,在分析严格化的进程中,由于一些事实无法证明(例如,柯西无法证明自己提出的收敛准则的充分性),一些证明出了错(如波尔查诺对连续函数介值性的证明),人们才发现对实数特别是无理数的认识任然模糊不清,这才促使一批数学家关注于处理无理数的问题。

通过他们的努力,终于在将近半个世纪的时间里,建立了多种形式上不同,而实质上等价的严格的实数理论。

各种形式的构造性实数理论,都是首先从有理数出发去定义无理数,也就是说,数轴上有理点之间的所有空隙(无理点),都可以由有理数经过一定的方式来确定。

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