勾股定理全章复习公开课
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勾股定理公开课课件
（项明达证明） 项明达:清代数学家
勾股定理的证明
走 进 数 学 史
勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年
来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有
业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，
甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容
易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。
b
即 直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方。
表示为：Rt△ABC中，∠C=90°
则 a2 b2 c2
议一议：判断下列说法是否正确,并说明理由： (1)在△ABC中,若a=3,b=4,则c=5 (2)在Rt△ABC中，如果a=3，b=4,则c=5. (3)在Rt△ABC中，∠C=90° , 如果a=3，b=4,则c=5.
快 方法小结: 可用勾股定理建立方程.
！
１、如图,一个长8 米,宽6 米的草地,需在相对角的
顶点间加一条小路,则小路的长为 ( )
C
A.8 米 B.9 米 C.10米 D.14米
化简得： a2 b2 c2
方法三：
c
b b-a c
a c
c
S正
c2
4
1 2
ab
(b
a)2
，
化简得： a2 b2 c2
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625 576
①
②
③
2.求下列直角三角形中未知边的长:
比
5
一
比8
17
看
x
16
x 12
看
x
谁
20
算
得
勾股定理的证明
走 进 数 学 史
勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年
来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有
业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，
甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容
易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。
b
即 直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方。
表示为：Rt△ABC中，∠C=90°
则 a2 b2 c2
议一议：判断下列说法是否正确,并说明理由： (1)在△ABC中,若a=3,b=4,则c=5 (2)在Rt△ABC中，如果a=3，b=4,则c=5. (3)在Rt△ABC中，∠C=90° , 如果a=3，b=4,则c=5.
快 方法小结: 可用勾股定理建立方程.
！
１、如图,一个长8 米,宽6 米的草地,需在相对角的
顶点间加一条小路,则小路的长为 ( )
C
A.8 米 B.9 米 C.10米 D.14米
化简得： a2 b2 c2
方法三：
c
b b-a c
a c
c
S正
c2
4
1 2
ab
(b
a)2
，
化简得： a2 b2 c2
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625 576
①
②
③
2.求下列直角三角形中未知边的长:
比
5
一
比8
17
看
x
16
x 12
看
x
谁
20
算
得
年人教版八年级数学下册第17章《勾股定理 复习》公开课课件
• ③7,24,25; 14,48,50; 7k, 24k, 25k.
• ④8,15,17; 16,30,34; 8k, 15k, 17k ..
• ⑤柏拉图： n21,2n,n21; n2122n2n212;
• ⑥毕达哥拉斯：2 n 1 ,2 n 2 2 n ,2 n 2 2 n 1 ;
2 n 1 22 n 2 2 n22 n 2 2 n 1 2 ;
• 【变式2】已知:△ABC的三边分别为m2－ n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m＞n),判 断△ABC是否为直角三角形.
• 【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点， F为AB上一点，且BF= AB。 请问FE与 DE是否垂直?请说明。
• ☆类型三：数学思想方法 （一）转化的思想方法
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/7/302021/7/302021/7/302021/7/307/30/2021
• 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年7月30日星期五2021/7/302021/7/302021/7/30
• 【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形 网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角 形，这样的三角形称为单位正三角形。
（1）直接写出单位正三角形的高与面积。 （2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单 位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？ （3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）。
第二部分 学习笔记
• 1.直角三角形的边、角之间分别存在什么关 系？
• 角与角之间的关系：在△ABC中， ∠C=90°，有∠A+∠B=90°；
• ④8,15,17; 16,30,34; 8k, 15k, 17k ..
• ⑤柏拉图： n21,2n,n21; n2122n2n212;
• ⑥毕达哥拉斯：2 n 1 ,2 n 2 2 n ,2 n 2 2 n 1 ;
2 n 1 22 n 2 2 n22 n 2 2 n 1 2 ;
• 【变式2】已知:△ABC的三边分别为m2－ n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m＞n),判 断△ABC是否为直角三角形.
• 【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点， F为AB上一点，且BF= AB。 请问FE与 DE是否垂直?请说明。
• ☆类型三：数学思想方法 （一）转化的思想方法
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/7/302021/7/302021/7/302021/7/307/30/2021
• 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年7月30日星期五2021/7/302021/7/302021/7/30
• 【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形 网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角 形，这样的三角形称为单位正三角形。
（1）直接写出单位正三角形的高与面积。 （2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单 位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？ （3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）。
第二部分 学习笔记
• 1.直角三角形的边、角之间分别存在什么关 系？
• 角与角之间的关系：在△ABC中， ∠C=90°，有∠A+∠B=90°；
(北师大版八年级数学)勾股定理复习省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
Ａ
２０
Ｃ
A
20
3
23
２
3
2
B
3
∵ AB2=AC2+BC2=625,
2
∴ AB=25.
Ｂ
例4:.如图，长方体旳长 为15 cm，宽为 10 cm， 高为20 cm，点B离点C 5 cm,一只蚂蚁假如要沿着 长方体旳表面从点 A爬 到点B，需要爬行旳最短 距离是多少？
5B
C
20
15
A 10
E C5 B
1.直角三角形中，已知两边长是直角边、 斜边不懂得时，应分类讨论。
2.当已知条件中没有给出图形时，应仔细 读句画图，防止漏掉另一种情况。
1.已知:直角三角形旳三边长分别是 3,4,X,则X2= 25 或7
2.三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上 旳高线AD=8,求BC
A
17
8
10
B
C
专题二 方程思想
2.若△ABC中 ,AB=5 ,BC=12 ,AC=13 ,则A
边上旳高长为
61;03
3 ABC中，A, B, C的对边分别是a,b, c,
下列判断错误的是（B ）
A.如果C B A,则ABC是直角三角形 B.如果c2 =b2 -a2,则ABC是直角三角形,且C=90 C.如果(c+a)(c-a)=b2，则ABC是直角三角形 D.如果A：B：C 5：2：3,则ABC是直角三角
直角三角形中，当无法已知两边求第三 边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中 旳等量关系，利用勾股定理列方程。
1.小东拿着一根长竹竿进一种宽为３米旳 城门，他先横拿着进不去，又竖起来拿， 成果竹竿比城门高１米，当他把竹竿斜着 时，两端刚好顶着城门旳对角，问竹竿长 多少？
第十七章勾股定理复习课 课件
方法总结
化折为直：长方体中求两点之间的最短距离，展开 方法有多种，一般沿最长棱展开，距离最短.
针对训练
5.现有一长5米的梯子架靠在建筑物的墙上，它们 的底部在地面的水平距离是3米，则梯子可以到 达建筑物的高度是___4___米．
6.如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方 是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆 卡车装满家具后，高4米，宽2.8米，请问这辆送家 具的卡车能否通过这个通道？
7.在O处的某海防哨所发现在它的北偏东60°方向相
距1000米的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经
过若干小时后快艇到达哨所东南方向的B处.
（1）此时快艇航行了多少米(即AB 的长)？
解：根据题意得∠AOC=30°， ∠COB=45°，AO=1000米. ∴AC=500米，BC=OC.
北 60° A
∵2c-b=12，
∴10k-4k=12，
∴k=2，
∴a=6，b=8，c=10，
∵62+82=102，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC为直角三角形，
∴△ABC的面积为
1 2
×6×8=24．
例5 B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方 向以每小时8 n mile的速度前进，乙船沿南偏东某个 角度以每小时15 n mile的速度前进，2 h后，甲船到 M岛，乙船到P岛，两岛相距34 n mile，你知道乙船 是沿哪个方向航行的吗？
解：甲船航行的距离为BM= 16（n mil#43;302=1156，342=1156, ∴BM2+BP2=MP2, ∴△MBP为直角三角形，∴∠MBP=90° , ∴乙船是沿着南偏东30°方向航行的．
针对训练
8.下列各组数中，是勾股数的为（ C ） A．1，2，3 B．4，5，6
勾股定理复习公开课课件
•下列判断错误的是：（B ）
•A、如果∠C－∠B＝∠A, 则△ABC是直角三角形 •B、如果C2＝b2－a2 ,则△ABC是直角三角形，且∠C＝90° •C、如果∠A：∠B：∠C＝5：2：3，则△ABC是直角三角形、 •D、三边长之比为 1：1： 2 ，则此三角形为直角三角形
勾股数
满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数
观察下列表格：
列举 3、4、5 5、12、13
……
猜想 32=4+5 52=12+13
7、24、25
72=24+25
……
13、b、c
132=b+c
请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值 即b= 84 ，c= 85 .
C
在△ACD中 ∵AC2+CD2=52+122=169=AD2 ∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°。 S四边形ABCD=S△ACD-S△ABC 1 1 = 2 ×5×12- 2 =30-6 =24
E
4 8－x
C
x
D
第8题图
Ｄ
8
B
折叠
折叠和轴对称密不可分，利用折叠前后 图形全等，找到对应边、对应角相等,利用 勾股定理列出方程，便可顺利解决折叠问 题
3: 如图 , 一圆柱高 8cm, 底面半径 2cm, 一只蚂蚁从点 A 爬到点B处吃食,要爬行的最短路程( 取3）是( ) B A.20cm B.10cm C.14cm D.无法确定 2
八年级数学
勾股定理回顾与思考
胶州六中 刘香莲
一、知识要点
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c， 那么
2 a +
ห้องสมุดไป่ตู้
•A、如果∠C－∠B＝∠A, 则△ABC是直角三角形 •B、如果C2＝b2－a2 ,则△ABC是直角三角形，且∠C＝90° •C、如果∠A：∠B：∠C＝5：2：3，则△ABC是直角三角形、 •D、三边长之比为 1：1： 2 ，则此三角形为直角三角形
勾股数
满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数
观察下列表格：
列举 3、4、5 5、12、13
……
猜想 32=4+5 52=12+13
7、24、25
72=24+25
……
13、b、c
132=b+c
请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值 即b= 84 ，c= 85 .
C
在△ACD中 ∵AC2+CD2=52+122=169=AD2 ∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°。 S四边形ABCD=S△ACD-S△ABC 1 1 = 2 ×5×12- 2 =30-6 =24
E
4 8－x
C
x
D
第8题图
Ｄ
8
B
折叠
折叠和轴对称密不可分，利用折叠前后 图形全等，找到对应边、对应角相等,利用 勾股定理列出方程，便可顺利解决折叠问 题
3: 如图 , 一圆柱高 8cm, 底面半径 2cm, 一只蚂蚁从点 A 爬到点B处吃食,要爬行的最短路程( 取3）是( ) B A.20cm B.10cm C.14cm D.无法确定 2
八年级数学
勾股定理回顾与思考
胶州六中 刘香莲
一、知识要点
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c， 那么
2 a +
ห้องสมุดไป่ตู้
《勾股定理》复习课教案 (公开课)2022年
第一章 勾股定理 回忆与思考教学目标〔一〕知识点掌握直角三角形的边、角之间分别存在着的关系，熟练地运用直角三角形的勾股定理和其他性质解决实际问题。
〔二〕能力训练要求正确使用勾股定理的逆定理，准确地判断三角形的形状。
〔三〕情感态度价值观熟悉勾股定理的历史，进一步了解我国古代数学的伟大成就，激发学生的爱国热情，培养探索知识的良好习惯。
教学重点掌握勾股定理及其逆定理。
教学难点准确应用勾股定理及其逆定理。
教学方法启发式教育教学过程一、回忆与思考1．直角三角形的边存在着什么关系？边与边之间的关系：在△ABC 中，∠C ＝90º，222ca b =+2．直角三角形的角存在着什么关系？角与角之间的关系：在△ABC 中，∠C ＝90º，有∠A ＋∠B ＝90º3．直角三角形还有哪些性质？性质有：①有一个角为直角；②两个锐角互余；③两条直角边的平方和等于斜边的平方④在含有30°角的直角三角形中，30°的角所对的边是斜边的一半.4．如何判断一个三角形是直角三角形？在△ABC 中，①如果∠A ＋∠B ＝90º或∠C=90º，那么△ABC 是直角三角形；②如果 ，那么△ABC 是直角三角形5．你知道勾股定理的历史吗？二、课堂练习1.在△ABC 中，∠C ＝90°，〔1〕 a ＝2.4，b ＝3.2，那么c ＝ ，〔2〕C ＝17，b ＝15，那么△ABC 面积等于 ．〔3〕己知∠A ＝45°，c ＝18，那么a 2＝2.直角三角形三边是连续偶数，那么这三角形的各边分别为3.直角三角形的两直角边分别为5cm ，12cm ，其中斜边上的高为4.直角三角形的斜边中线为5，两直角边之比为3：4.那么它的面积5.在△ABC 中，AB=13，AC=20，高AD=12，那么BC 的长为6.课本P16 复习题 知识技能 1、2数学理解 6、7、8三、课堂小结1、勾股定理：2、直角三角形的判别条件。
勾股定理复习课市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
12
ＢＣ２＝１６９
∴ＤＢ２＋ＤＣ２＝ＢＣ２ ∴∠ＢＤＣ＝９００ Ｓ＝Ｓ△ＡＢＤ+Ｓ△ＢＣＤ
D
4 5 13
＝ 1 ×３×４+ 1 ×１２×５＝３６
2
2
答：这个零件旳面积为３６cm2
A3 B
2、有一块菜地,形状如下, 试求它旳面
积.(单位:米)
B
12
C 3 D 13
4
A
6、如图，在正方形ABDC中，E是CD旳中点，
S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形
即：c
2 =4
1 • 2 ab+
(b-a)
2
C 2 =2ab+ a 2 -2ab+ b 2
a2 + b2= c2
2、分别以直角三角形三边为半径作正方形 则这三个正方形旳面积S1, S2, S3之间旳关 系（S3）= S1 + S2
S3
S1 c a b
S2
AS3 S2
(2) a=13 b=14 c=15 _不__是_ _____ ;
(3) a=1 b=2 c= 3 _是___ ∠__B_=_9_0;0
(4) a:b: c=3:4:5
__是___ ∠__C_=_9_0;0
(5)a=2m b=m2-1 c=m2+1是 ∠ C=900
2、小明向东走80m后,又走了60m,再走100m回到
4、特殊三角形旳三边关系：
A
A
c
b
b
c
Ba C
若∠A=30°，则
a :b:c 1: 3 :2
C
a
B
若∠A=45°，则
a :b :c 1:1: 2
考点一
勾股定理专题复习课
勾股定理可以用于计算直角三角形的面积。
详细描述
根据勾股定理，直角三角形的面积可以通过两条直角边的长度和斜边的高来计算。面积 = (1/2) × 直角边1 × 直角边2 = (1/2) × 斜边 × 高。
示例
在直角三角形ABC中，已知直角边a=3和b=4，斜边c=5，斜边上的高h可以通过面积公式计 算为h=12/5。
等。
05 勾股定理的易错点解析
勾股定理适用条件的误解
总结词
理解不准确
01
总结词
应用范围限制
03
总结词
忽视前提条件
05
02
详细描述
勾股定理适用于直角三角形，但学生常常误 以为它适用于所有三角形，导致在解题时出 现错误。
04
详细描述
勾股定理只适用于直角三角形，对于 非直角三角形，需要使用其他定理和 公式进行计算。
06
详细描述
勾股定理的前提是三角形必须是直角三角形， 如果忽视这个前提，会导致计算结果不准确。
勾股定理计算中的常见错误
在此添加您的文本17字
总结词：计算错误
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详细描述：学生在使用勾股定理进行计算时，常常因为粗 心或对公式理解不准确而出现计算错误。
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总结词：单位不统一
勾股定理与三角函数的关系
总结词
勾股定理与三角函数之间存在密 切关系，可以通过三角函数来求 解相关问题。
详细描述
在解决与直角三角形相关的三角 函数问题时，勾股定理常常被用 来计算边长或角度。例如，在求 解三角函数的实际应用问题时， 可以使用勾股定理来计算相关物 体的长度或距离。
示例
在解决与航海、测量和几何学相 关的实际问题时，常常需要使用 勾股定理和三角函数来求解角度 和距离。
详细描述
根据勾股定理，直角三角形的面积可以通过两条直角边的长度和斜边的高来计算。面积 = (1/2) × 直角边1 × 直角边2 = (1/2) × 斜边 × 高。
示例
在直角三角形ABC中，已知直角边a=3和b=4，斜边c=5，斜边上的高h可以通过面积公式计 算为h=12/5。
等。
05 勾股定理的易错点解析
勾股定理适用条件的误解
总结词
理解不准确
01
总结词
应用范围限制
03
总结词
忽视前提条件
05
02
详细描述
勾股定理适用于直角三角形，但学生常常误 以为它适用于所有三角形，导致在解题时出 现错误。
04
详细描述
勾股定理只适用于直角三角形，对于 非直角三角形，需要使用其他定理和 公式进行计算。
06
详细描述
勾股定理的前提是三角形必须是直角三角形， 如果忽视这个前提，会导致计算结果不准确。
勾股定理计算中的常见错误
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总结词：计算错误
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详细描述：学生在使用勾股定理进行计算时，常常因为粗 心或对公式理解不准确而出现计算错误。
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总结词：单位不统一
勾股定理与三角函数的关系
总结词
勾股定理与三角函数之间存在密 切关系，可以通过三角函数来求 解相关问题。
详细描述
在解决与直角三角形相关的三角 函数问题时，勾股定理常常被用 来计算边长或角度。例如，在求 解三角函数的实际应用问题时， 可以使用勾股定理来计算相关物 体的长度或距离。
示例
在解决与航海、测量和几何学相 关的实际问题时，常常需要使用 勾股定理和三角函数来求解角度 和距离。
勾股定理的复习课件1市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
A
6
6E x
4
x 8-x C
Ｄ D
第8题图
B
例2、如图，小颍同学折叠一种直角三角形 旳纸片，使A与B重叠，折痕为DE，若已知 AB=10cm，BC=6cm,你能求出CE旳长吗？
D
B
A
C
E
练习:三角形ABC是等腰三角形
AB=AC=13，BC=10，将AB向AC方向
对折，再将CD折叠到CA边上，折痕CE，
C
802 402 8000
图①
.
C 50 B
B
40
50
.C
C
A 30 D
40
302 902 9000 A 30 D 图②
. C 30 B
B
40
.D 5C0
30
C
A
40
502 702 7400 D 50
A
图③
展开思想
1. 几何体旳表面途径最短旳问题，一般展 开表面成平面。
2.利用两点之间线段最短，及勾股定理 求解。
两个命题中, 假如第一种命题旳题设是第二个 命题旳结论, 而第一种命题旳结论又是第二个 命题旳题设,那么这两个命题叫做互逆命题. 假如把其中一种叫做原命题, 那么另一种叫做 它旳逆命题.
互逆定理:
假如一种定理旳逆命题经过证明是真命题, 那么它也是一种定理, 这两个定理叫做互逆 定理, 其中一种叫做另一种旳逆定理.
2.如图,铁路上A、B两点相距25km, C、 D为两村庄,DA•垂直AB于A，CB垂直 AB于B，已知AD=15km，BC=10km，目 前要在铁路AB上建一种土特产品收 购站E，使得C、D两村到E站旳距离 相等，则E站建 在距A站多少千米处？
勾股定理期末复习课件(公开课)
勾股定理
1：勾股定理的验证 2：求第三边 3：求斜边上的高 4：求面积 1：勾股数 2：逆定理(给出三边长度判断直角三角形）
第 一 章 股 股 定 理
勾股定理 逆定理
勾股定理 应用
1：折叠问题 2：最短路径问题
勾股定理： 如果用a,b,c表示直角三角形的两个直角边和斜 边，那么a2+b2=c2 B 变形： 2 2
例1：如图，已知圆柱体底面直径为2cm，高为4cm （1）求一只蚂蚁从A点到F点的距离。 （2）如果蚂蚁从A点到CG边中点H，求蚂蚁爬行的距 离。
F
●
H
A
例2、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到
对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长 为多少？
D1 A1 D A 4
．
C S3 A S1
S2 B
图3
变式1．如图1-1-3所示的图形中，所有的四边形都 是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最 大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面 积的和是_______
变式2：如图4，分别以Rt
ABC三边为边向外作三个 半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、
例1：在△ABC中， a : b : c 1:1: 确切形状是_____________。
2
，那么△ABC的
例2：如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12， AD=13， 求四边形ABCD的面积.
例1：如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm，• 长BC为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处 （折痕为AE） D A (1)求BF的长； (2)求EC的长。
第十七章勾股定理复习完整ppt课件
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7
想一想
（多选）下列哪个选项能判断△ABC为直角三角形（ ）
A、∠A+∠B=∠C
B、∠A=∠C-∠B
C、∠A：∠B：∠C=1：1：2
D、∠A：∠B：∠C=1：2：3 E、∠A= 12∠B= 13∠C F、∠A=2∠B=3∠C
G、a2+b2=c2
H、a2=c2-b2
I、a2：b2：c2 =1：2：3
1.直角三角形中，已知两边长是直角边、 斜边不知道时，应分类讨论。
2.当已知条件中没有给出图形时，应认真 读句画图，避免遗漏另一种情况。
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12
1.已知:直角三角形的三边长分别是 3,4,X,则X2= 25 或7
2.三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的 高线AD=8,求BC
J、a2：b2：c2 =1：1：2
K、a：b：c =1：1：2
L、a：b：c=3：4：5 完整版PPT课件
8
勾股数 满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数
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9
例3．请完成以下未完成的勾股数： （1）8、15、__1_7____； （2）10、26、__2_4__． （3） 7、 __2_4__ 、25
求线段CF 和线段EC的长.
A
10
D
8-X
8 10
E
X 8-X
B
6
F4 C
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19
专题四 截面中的勾股定理
1. 几何体的内部路径最值的问题，一般画 出几何体截面
2.利用两点之间线段最短，及勾股定理 求解。
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20
小明家住在18层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿。
优秀公开课教案：八年级数学《勾股定理》复习课
求 AB
C
解：
在Rt△ACD与Rt△BCD中由勾股定理得：
AD = AC 2 -CD 2 = 42 - 22 = 2 3
A
BD = BC 2 -CD 2 = 32 - 22 = 5
①、若∠ABC是锐角时，如图1
AB=AD+BD= 2 3 + 5
分类讨 论思想
②、若∠ABC是钝角时，如图2
A
AB=AD-BD= 2 3 - 5
第十七章 勾股定理 素养提升
相关练习
在Rt△ABC中, AC=12, AB=20, 求BC的长.
解：（1）当BC为斜边时 由勾股定理得：BC = AB 2 + AC 2 = 4 34
（2）当BC为直角边时 由勾股定理得：BC = AB 2 - AC 2 = 16 综上所述：BC的长度为4 34或16
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：
3; 32 = 5
S ABC
= 1 AC
2
• BC
= 1 AB •CD
2
∴
AC • BC = AB • CD
4 ×3 = 5CD
∴ CD=2.4
答：CD为2.4
第十七章 勾股定理 素养提升
变式 1 在△ABC 中，其中两边 AC、BC 分别为 4 和 3，CD⊥AB，CD=2，
C
答：滑竿顶端A下滑0.5米。
BD
转 化
B
D
第十七章 勾股定理 归纳整合
找直角
利用勾股 定理求解 线段长度 问题的一
般思路
定关系 计算 求值
找出图中的直角三角形或作 辅助线构造直角三角形
找出所求线段与直角三 角形三边之间的关系
根据勾股定理计算 相关线段的平方
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a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
符号语言：∵a2+b2=c2
∴∠C=90° A 或△ABC 为Rt△ABC
c
B a
b
C
1.如图，字母A，B，C分别代表正方形的面积
(1)若B=225个单位面积,C=400个单位面积, 625 个单位面积. 则A=______ (2)若A=225个单位面积,B=81个单位面积, 144 个单位面积. 则C=______ 2.已知直角三角形ABC中, ACB 90 (1)若AC=12,BC=9,则AB=______ 15 (2)若AB=13,BC=5,则AC=_______ 12
拓展延伸：
如图,四边形ABCD 中,∠B=∠ADC=90°, ∠C=45°,AD=1,BC=2,求CD的长.
E
（1） ∠B=90°, ∠C=45°, BC=2 则BE=BC=2
450
1
EC 22 22 8 2 2
D 2
1 2
（2） ∠B=90°, ∠C=45°, 则∠E=45°A ∵∠ADE=90°, ∠C=45°, AD=1 ∴DE=AD=1 B
4 B 8-x 5 F A′
x 3
C
折叠出对称， 勾股建方程！
问题二：已知Rt△ABC中,∠C=90°,若 a+b=14cm,c=10cm，则Rt△ABC的面积 是（ A ） A.24cm2 B.36cm2 C.48cm2 D.60cm2 B c a
A
b
C
测评反馈
1、如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，
第14章 勾股定理 （复习课）
偃师市伊洛中学 潘素萍
教学目标：
1.熟记勾股定理及其逆定理 2.能综合应用勾股定理及其 逆定理解决问题.
设疑导学
1.自主复习课本108页———125页； 2.思考:你学到了哪些知识？
本章你学到了些什么?
勾股定理 • 拼图验证法 • 勾股定理的应用 • 勾股数
c a b
450 C
DC EC ED 2 2 1
合作探究
已知：如图，△ABC的周长是
解： ∵周长是24，且b=6 ∴a+c=24-6=18 设a=x,则c=18-x ∵ ∠C=90°, ∴a2+b2=c2 解得：x=8 ∴x2+62=(18-x)2
S ABC
A
24,∠C=90°,且 b=6,则三角形的 面积是多少?
勾股定理与逆定理的 综合运用 7.如图：AD⊥CD ， AC⊥BC ,AB=13， CD=3 ， AD=4 。求：(1)求AC长 C B 3 (2)求BC长 D 4 13 A 8.如图, AD⊥CD ，AB=13， BC=12 ，CD=3 ， AD=4 。求：(1)求AC长 12 C (2)∠ACB的度数。 B 3 D 4 13 A
5.下列不是一组勾股数的是（B ） A、5、12、13 C、12、16、20 B、1.5、2、2.5 D、 7、24、25
6.若有两条线段分别为3，4，第三
5 或 7 时，才能组成一 条线段为________ 个直角三角形
问题一：如图，在矩形ABCD中，BC=8， CD=4，将矩形沿BD折叠，点A落在A′处， 求重叠部分△BFD的面积。 8 D A
BC=3cm，AC=4cm，折叠∠CBA，使BC边 落在AB边上,点C落在点E处，求CD 的长。 B
E A
C
D
2、如图，∠B=∠C=∠D=∠E=90°，且AB=CD=3 BC=4，DE=EF=2，则求AF的长。 A 3 B 3 2 4 C 3 D
10 E 2 2 F
G
4
2
小结
1.本节课你的收获？ 2.解决本章的数学问题时， 常用到哪些数学思想？
A C
第1题
B
勾股数的妙用:你能速算吗? 3.已知直角三角形中,c是斜边. 5 (1)a=3,b=4,c=_____ 8 (2)a=6,b=____c=10 (3)a=____,b=40,c=50 30 2.5 (4)a=1.5,b=2,c=________ 17 (5)a=8,b=15,c=________ 12 (6)a=5,b=_______,c=13 9 24 (7)a=_____,b=40,c=41 （8）a=7,b=____c=25
9.如图, AC⊥BC ，AB=13， BC=12 ， CD=3 ， AD=4 。求：(1)求AC长 (2)求 的面积。
C
12 B
ADC
3 D 4 13 A
勾股定理的应用四:构建直角三角形 1.在一棵树的20米的B处有两只猴子,其中一
只猴子爬下树走到离树40米的A处,另一只爬
到树顶D后直接约向A处,且测得AD为50米,求
勾 股 定 理
勾股定理的 逆定理
• 勾股定理的逆定理的应用
直角三角形有哪些特殊的性质
角
直角三角形的两锐角互余。
边 直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方。 符号语言： 在Rt△ABC中∠C=90° B
∴ a2+b2=c2 A c a C
b
如何判定一个三角形是直角三角形呢？ (1) 有一个内角为直角的三角形是直角三角形 (2) 两个内角互余的三角形是直角三角形 (3) 如果三角形的三边长为a、b、c满足
你发 现什 么规 律了？
24
30
测评反馈
1..已知直角三角形ABC中,
A
C
24 S ABC (1)若AC=8,AB=10,则 周长 = ____. 24 ，斜边上的高=______ 4.8 =______
B
2.一个直角三角形的面积54,且其中一条直角边 15 的长为9,则这个直角三角形的斜边长为_____ 3.如上图,直角三角形的面积为24,AC=6,则它 24 的周长为________
c b C a
B
1 1 ab 8 6 24 2 2
1、如图，在△ABC中，AB=AC=17， BC=16，(1)求△ABC的面积。
(2)求腰AC上的高。 17 B
A
15 8 D 16 17 8
C
如图，盒内长，宽，高分别是30米，24米和18米， 盒内可放的棍子最长是多少米？
18BD的长.D B NhomakorabeaC
A
2.如图,小明和小方分别在C处同时出发,小明 以每小时40千米的速度向南走,小方以每小时
30千米的速度向西走,2小时后,小明在A处,小
方在B处,请求出AB的距离.
B C
A
6观察下列图形，正方形1的边长为7，则 正方形2、3、4、5的面积之和为多少？ 规律：
2 3 4 5
S2+S3+S4+S5= S1
你 发 现 了 什 么
?
记一记:（同桌互背）
常见的勾股数： 3、4、5； 5、12、13； 6、8、10； 8、15、17； 9、40、41； 7、24、25.
4.有四个三角形，分别满足下列条件： ①一个内角等于另两个内角之和； ②三个角之比为３:４:５; ③三边长分别为７、２４、２５ ④三边之比为5:12:13 其中直角三角形有（ C ） A 、 1个 B 、 2个 C 、 3个 D 、 4 个
1
符号语言：∵a2+b2=c2
∴∠C=90° A 或△ABC 为Rt△ABC
c
B a
b
C
1.如图，字母A，B，C分别代表正方形的面积
(1)若B=225个单位面积,C=400个单位面积, 625 个单位面积. 则A=______ (2)若A=225个单位面积,B=81个单位面积, 144 个单位面积. 则C=______ 2.已知直角三角形ABC中, ACB 90 (1)若AC=12,BC=9,则AB=______ 15 (2)若AB=13,BC=5,则AC=_______ 12
拓展延伸：
如图,四边形ABCD 中,∠B=∠ADC=90°, ∠C=45°,AD=1,BC=2,求CD的长.
E
（1） ∠B=90°, ∠C=45°, BC=2 则BE=BC=2
450
1
EC 22 22 8 2 2
D 2
1 2
（2） ∠B=90°, ∠C=45°, 则∠E=45°A ∵∠ADE=90°, ∠C=45°, AD=1 ∴DE=AD=1 B
4 B 8-x 5 F A′
x 3
C
折叠出对称， 勾股建方程！
问题二：已知Rt△ABC中,∠C=90°,若 a+b=14cm,c=10cm，则Rt△ABC的面积 是（ A ） A.24cm2 B.36cm2 C.48cm2 D.60cm2 B c a
A
b
C
测评反馈
1、如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，
第14章 勾股定理 （复习课）
偃师市伊洛中学 潘素萍
教学目标：
1.熟记勾股定理及其逆定理 2.能综合应用勾股定理及其 逆定理解决问题.
设疑导学
1.自主复习课本108页———125页； 2.思考:你学到了哪些知识？
本章你学到了些什么?
勾股定理 • 拼图验证法 • 勾股定理的应用 • 勾股数
c a b
450 C
DC EC ED 2 2 1
合作探究
已知：如图，△ABC的周长是
解： ∵周长是24，且b=6 ∴a+c=24-6=18 设a=x,则c=18-x ∵ ∠C=90°, ∴a2+b2=c2 解得：x=8 ∴x2+62=(18-x)2
S ABC
A
24,∠C=90°,且 b=6,则三角形的 面积是多少?
勾股定理与逆定理的 综合运用 7.如图：AD⊥CD ， AC⊥BC ,AB=13， CD=3 ， AD=4 。求：(1)求AC长 C B 3 (2)求BC长 D 4 13 A 8.如图, AD⊥CD ，AB=13， BC=12 ，CD=3 ， AD=4 。求：(1)求AC长 12 C (2)∠ACB的度数。 B 3 D 4 13 A
5.下列不是一组勾股数的是（B ） A、5、12、13 C、12、16、20 B、1.5、2、2.5 D、 7、24、25
6.若有两条线段分别为3，4，第三
5 或 7 时，才能组成一 条线段为________ 个直角三角形
问题一：如图，在矩形ABCD中，BC=8， CD=4，将矩形沿BD折叠，点A落在A′处， 求重叠部分△BFD的面积。 8 D A
BC=3cm，AC=4cm，折叠∠CBA，使BC边 落在AB边上,点C落在点E处，求CD 的长。 B
E A
C
D
2、如图，∠B=∠C=∠D=∠E=90°，且AB=CD=3 BC=4，DE=EF=2，则求AF的长。 A 3 B 3 2 4 C 3 D
10 E 2 2 F
G
4
2
小结
1.本节课你的收获？ 2.解决本章的数学问题时， 常用到哪些数学思想？
A C
第1题
B
勾股数的妙用:你能速算吗? 3.已知直角三角形中,c是斜边. 5 (1)a=3,b=4,c=_____ 8 (2)a=6,b=____c=10 (3)a=____,b=40,c=50 30 2.5 (4)a=1.5,b=2,c=________ 17 (5)a=8,b=15,c=________ 12 (6)a=5,b=_______,c=13 9 24 (7)a=_____,b=40,c=41 （8）a=7,b=____c=25
9.如图, AC⊥BC ，AB=13， BC=12 ， CD=3 ， AD=4 。求：(1)求AC长 (2)求 的面积。
C
12 B
ADC
3 D 4 13 A
勾股定理的应用四:构建直角三角形 1.在一棵树的20米的B处有两只猴子,其中一
只猴子爬下树走到离树40米的A处,另一只爬
到树顶D后直接约向A处,且测得AD为50米,求
勾 股 定 理
勾股定理的 逆定理
• 勾股定理的逆定理的应用
直角三角形有哪些特殊的性质
角
直角三角形的两锐角互余。
边 直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方。 符号语言： 在Rt△ABC中∠C=90° B
∴ a2+b2=c2 A c a C
b
如何判定一个三角形是直角三角形呢？ (1) 有一个内角为直角的三角形是直角三角形 (2) 两个内角互余的三角形是直角三角形 (3) 如果三角形的三边长为a、b、c满足
你发 现什 么规 律了？
24
30
测评反馈
1..已知直角三角形ABC中,
A
C
24 S ABC (1)若AC=8,AB=10,则 周长 = ____. 24 ，斜边上的高=______ 4.8 =______
B
2.一个直角三角形的面积54,且其中一条直角边 15 的长为9,则这个直角三角形的斜边长为_____ 3.如上图,直角三角形的面积为24,AC=6,则它 24 的周长为________
c b C a
B
1 1 ab 8 6 24 2 2
1、如图，在△ABC中，AB=AC=17， BC=16，(1)求△ABC的面积。
(2)求腰AC上的高。 17 B
A
15 8 D 16 17 8
C
如图，盒内长，宽，高分别是30米，24米和18米， 盒内可放的棍子最长是多少米？
18BD的长.D B NhomakorabeaC
A
2.如图,小明和小方分别在C处同时出发,小明 以每小时40千米的速度向南走,小方以每小时
30千米的速度向西走,2小时后,小明在A处,小
方在B处,请求出AB的距离.
B C
A
6观察下列图形，正方形1的边长为7，则 正方形2、3、4、5的面积之和为多少？ 规律：
2 3 4 5
S2+S3+S4+S5= S1
你 发 现 了 什 么
?
记一记:（同桌互背）
常见的勾股数： 3、4、5； 5、12、13； 6、8、10； 8、15、17； 9、40、41； 7、24、25.
4.有四个三角形，分别满足下列条件： ①一个内角等于另两个内角之和； ②三个角之比为３:４:５; ③三边长分别为７、２４、２５ ④三边之比为5:12:13 其中直角三角形有（ C ） A 、 1个 B 、 2个 C 、 3个 D 、 4 个
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