第五章 平面向量章节测试题
高考数学一轮复习 第5章《平面向量》自测题.doc
第五章 平面向量时间：1 分值：150分 第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．称d (a ，b )＝|a －b |为两个向量a 、b 间的“距离”．若向量a 、b 满足：①|b |＝1；②a ≠b ；③对任意的t ∈R ，恒有d (a ，tb )≥d (a ，b )，则( )A ．a ⊥b B.a ⊥(a －b ) C ．b ⊥(a －b )D.(a ＋b )⊥(a －b )解析：依题意得|a －tb |≥|a －b |，即(a －tb )2≥(a －b )2，亦即t 2－2ta·b ＋(2a ·b －1)≥0对任意的t ∈R 都成立，因此有Δ＝(－2a ·b )2－4(2a ·b －1)≤0，即(a ·b －1)2≤0，故a ·b －1＝0，即a·b －b 2＝b ·(a －b )＝0，故b ⊥(a －b )，选C.答案：C2．在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OD 是AB 边上的高，若AD →＝λAB →，则实数λ等于( ) A.a ·a －b|a －b |B.ab －a|a －b |C.aa －b|a －b |2D.a·b －a|a －b |2解析：依题意得OD →·AB →＝0，λ＝AD →·AB →AB →2＝OD →－OA →·AB →OB →－OA →2＝OD →·AB →－OA →·AB→b －a 2＝－OA→OB →－OA →b －a 2＝－a b －a |a －b |2＝a·a －b|a －b |2，选C. 答案：C3．已知平面向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6，则x 1＋y 1x 2＋y 2的值为( ) A.23 B.－23C.56D.－56解析：记向量a 与b 的夹角为θ.注意到a ·b ＝|a ||b |cos θ＝－|a ||b |，即6cos θ＝－6，∴cos θ＝－1，θ＝π，向量a ，b 反向且共线，∴a ＝－23b ，即(x 1，y 1)＝－23(x 2，y 2)，∴x 1＋y 1x 2＋y 2＝－23，选B.答案：B4．已知向量a 、b 满足|a |＝1，|b |＝2，|2a ＋b |＝2，则向量b 在向量a 方向上的投影是( ) A ．－12B.－1C.12D.1解析：依题意得(2a ＋b )2＝4,4a 2＋b 2＋4a ·b ＝4,4＋4＋4a ·b ＝4，a ·b ＝－1，向量b 在向量a 方向上的投影等于a ·b|a |＝－1，选B. 答案：B5．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，AO →＝12(AB →＋AC →)且|OA →|＝|AB →|，则BA →·BC →为( )A ．1 B. 3 C ．－1D.－ 3解析：由AO →＝12(AB →＋AC →)，知O 是BC 的中点．又|OA →|＝|AB →|＝1＝12|BC →|，∴△ABC 是直角三角形，且B ＝π3，∴BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|·cos π3＝1×2×12＝1.故选A.答案：A6．(理)已知两点M (－1，－6)，N (3,0)，点P (－73，y )分有向线段MN →的比为λ，则λ，y 的值为( )A ．－14，8B.14，－8 C ．－14，－8D.4，18解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－73＝－1＋3λ1＋λ，y ＝－6＋01＋λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－8，λ＝－14.答案：C(文)若点P 分有向线段AB →所成的比为－13，则点B 分有向线段PA →所成的比是( )A ．－32B.－12C.12D.3解析：由已知条件可得点P 在线段AB 的反向延长线上，且|AP →||PB →|＝13，因此向量PB →与BA →方向相反且|PB →||BA →|＝32，故点B 分有向线段PA →所成的比是－32，故选A. 答案：A7．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 为平面ABC 内任一点，动点P 满足等式OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)OC →](λ∈R 且λ≠0)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．内心 B.垂心 C ．外心 D.重心解析：依题意，设△ABC 的三边AB 、BC 、CA 的中点分别为H 、M 、N ，AM 、CH 、BN 的交点为G .OP →＝13[(1－λ)OA→＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)OC →]＝13[(1－λ)(OB →＋BA →)＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)OC →]＝13[2(1－λ)(OC →＋CB →)＋(1－λ)BA →＋(1＋2λ)OC →]＝13[3OC →＋2(1－λ)CB →＋(1－λ)BA →]，所以OP →－OC →＝－λ3(2CB →＋BC →＋CA →)＝－λ3(CB →＋CA →)＝－λ3CH →，即CP →＝－λ3CH →，所以点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心，选择D.答案：D8．平面向量的集合A 到A 的映射f 由f (x )＝x －2(x ·a )a 确定，其中a 为常向量．若映射f 满足f (x )·f (y )＝x ·y 对任意的x ，y ∈A 恒成立，则a 的坐标不可能是( )A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫24，24 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 解析：由题意知，f (x )·f (y )＝[x －2(x ·a )a ]·[y －2(y ·a )a ]＝x·y －4(x ·a )·(y ·a )＋4(x ·a )·(y ·a )·a 2＝x·y ，即4(x ·a )·(y·a )·(a 2－1)＝0对任意的x ，y ∈A 恒成立，则x·a ＝0，或y·a ＝0，或a 2－1＝0即|a |＝1，结合各选项知，选B.答案：B9．在△ABC 中，∠C ＝1tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( )A.14B.13C.12D.53解析：tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝tan(180°－C )＝tan60°＝3，将tan A ＋tan B ＝233代入，得tan A tan B ＝13，故选B.答案：B10．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 所对边的长，若b sin A ＝a sin C ，则△ABC 的形状是( )A ．钝角三角形 B.直角三角形 C ．等腰三角形D.等腰直角三角形解析：由题设及正弦定理得b a ＝sin C sin A ＝ca，化简得b ＝c ，故△ABC 为等腰三角形，故选C.答案：C11．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(cos φ，sin φ)，若θ－φ＝π3，则向量a 与向量a ＋b 的夹角是( )A.π3B.π6C.5π6D.2π3解析：以原点O 为起点分别表示向量a ＝OA →，b ＝OB →，易知相应的终点A ，B 位于以原点O 为圆心的单位圆上，以|OA →|，|OB →|为邻边作平行四边形OACB ，则∠AOB ＝π3，OA ＝OB ＝1，即平行四边形OACB 是菱形，则∠COA ＝π6，而OC →＝a ＋b ，故a ，a ＋b 的夹角等于π6，选B.答案：B12．在△ABC 中，下列结论正确的的个数是( )①A >B ⇔cos A <cos B ；②A >B ⇔sin A >sin B ；③A >B ⇔cos2A <cos2B . A ．0 B.1 C ．2D.3解析：在△ABC 中，因为0<A <π，0<B <π，y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，因此A >B ⇔cos A <cos B ，①正确；因为sin A >0，sin B >0，故由正弦定理可得A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ，②正确；cos2A <cos2B ⇔1－2sin 2A <1－2sin 2B ⇔sin A >sin B ⇔A >B ，③正确．因此选择D.答案：D第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共请把正确答案填在题中横线上．) 13．设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a ⊥b ，|a |＝1，|b |＝2，则|c |＝________. 解析：∵－c ＝a ＋b ，∴|c |2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝1＋4＋0＝5，所以|c |＝ 5. 答案： 514．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，则a ·b ＝________，若ka ＋b 与b 平行，则k ＝________.解析：由已知得a·b ＝1×(－3)＋2×2＝1；ka ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，当ka ＋b 与b 平行时，有－3(2k ＋2)＝2(k －3)，由此解得k ＝0.答案：1 015．已知A 、B 是定直线l 同侧的两个定点，且到l 的距离分别为a 、b ，点P 是直线l 上的一个动点，则|PA →＋3PB →|的最小值是______．解析：以直线l 为x 轴，点B 在l 上的射影O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则B (0，b )，A (n ，a )(n >0)，设P (x,0)，则PA →＋3PB →＝(n －x ，a )＋3(－x ，b )＝(n －4x ，a ＋3b )，|PA →＋3PB →|2＝(n －4x )2＋(a ＋3b )2，当n －4x ＝0时，|PA →＋3PB →|min ＝a ＋3b . 答案：a ＋3b16．△ABC 中，边AB 为最大边，且sin A ·sin B ＝2－34，则cos A ·cos B 的最大值是______．解析：依题意得cos(A －B )＝cos A ·cos B ＋sin A ·sin B ，即有cos(A －B )＝cos A ·cos B ＋2－34，cos A ·cos B ＝cos(A －B )－2－34.由于AB 边是最大边，因此内角C 最大，cos(A －B )的最大值是1(当且仅当A ＝B 时取得等号)，cos A ·cos B 的最大值是1－2－34＝2＋34.答案：2＋34三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分10分)已知向量a ＝(cos x,2)，b ＝(sin x ，－3)． (1)当a ∥b 时，求3cos 2x －sin2x 的值；(2)求函数f (x )＝(a －b )·a 在x ∈[－π2，0]上的值域．解析：(1)∵a ∥b ，∴－3cos x ＝2sin x ， ∴tan x ＝－32.3cos 2x －sin2x ＝3cos 2x －2sin x cos xsin 2x ＋cos 2x＝3－2tan x tan 2x ＋1＝2413. (2)f (x )＝(a －b )·a ＝cos 2x －sin x cos x ＋10 ＝cos2x ＋12－12sin2x ＋10 ＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋212.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0.∴－3π4≤2x ＋π4≤π4，∴－12≤22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤22，∴10≤22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋212≤21＋22，即f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，21＋22.18．(本小题满分12分)已知△ABC 的面积为3，且满足0≤AB →·AC →≤6，设AB →和AC →的夹角为θ. (1)求θ的取值范围；(2)求函数f (θ)＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ－3cos2θ的最大值与最小值．解析：(1)设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . 则由12bc sin θ＝3,0≤bc cos θ≤6，可得0≤cot θ≤1，∴θ∈[π4，π2]．(2)f (θ)＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ－3cos2θ＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2θ－3cos2θ＝(1＋sin2θ)－3cos2θ＝sin2θ－3cos2θ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＋1.∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，2θ－π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3， ∴2≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π3＋1≤3. 即当θ＝5π12时，f (θ)max ＝3；当θ＝π4时，f (θ)min ＝2.19．(本小题满分12分)已知向量a ＝(sin x,23cos x )，b ＝(2sin x ，sin x )，设f (x )＝a ·b －1.(1)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，求f (x )的值域；(2)若函数y ＝f (x )的图象按向量m ＝(t,0)作长度最短的平移后，其图象关于原点对称，求向量m 的坐标．解析：(1)f (x )＝a ·b －1＝2sin 2x ＋23sin x cos x －1 ＝3sin2x －cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2⇒2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1⇒f (x )的值域y ∈[－1,2]． (2)由(1)可设平移后的函数解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋φ－π6， 即y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2φ－π6， ∵其图象关于原点对称，∴2φ－π6＝k π，k ∈Z.即φ＝π12＋k π2，k ∈Z.令k ＝0得所求的φ＝π12.因此所求的m ＝(－π12，0)．本小题满分12分)已知向量a ＝(sin(ωx ＋φ)，2)，b ＝(1，cos(ωx ＋φ))⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π4，函数f (x )＝(a ＋b )·(a －b )，y ＝f (x )图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为1，且过点M ⎝⎛⎭⎪⎫1，72.(1)求函数f (x )的表达式；(2)当－1≤x ≤1时，求函数f (x )的单调区间． 解析：(1)f (x )＝(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝sin 2(ωx ＋φ)＋4－1－cos 2(ωx ＋φ)＝－cos(2ωx ＋2φ)＋3， 由题意得周期T ＝2π2ω＝4，故ω＝π4，又图象过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，72，所以72＝3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2φ， 即sin2φ＝12，而0<φ<π4，所以2φ＝π6，∴f (x )＝3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6.(2)当－1≤x ≤1时，－π3≤π2x ＋π6≤2π3，∴当－π3≤π2x ＋π6≤0时，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13时，f (x )是减函数．当0≤π2x ＋π6≤2π3时，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1时，f (x )是增函数．∴函数f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13，单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1.21．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．解析：(1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)． 所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2. 故所求的两条对角线长分别为42，210.(2)由题设知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )． 由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0， 从而5t ＝－11，所以t ＝－115. 22．(本小题满分12分)已知O 为坐标原点，向量OA →＝(sin α，1)，OB →＝(cos α，0)，OC →＝(－sin α，2)，点P 是直线AB 上的一点，且点B 分有向线段AP →的比为1.(1)记函数f (α)＝PB →·CA →，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，π2，讨论函数f (α)的单调性，并求其值域；(2)若O 、P 、C 三点共线，求|OA →＋OB →|的值．解析：依题意可知，A (sin α，1)，B (cos α，0)，C (－sin α，2)，设点P 的坐标为(x ，y )，则cos α＝sin α＋x 1＋1，0＝1＋y1＋1，所以x ＝2cos α－sin α，y ＝－1，所以点P 的坐标为(2cos α－sin α，－1)． (1)∵PB →＝(sin α－cos α，1)，CA →＝(2sin α，－1)，∴f (α)＝PB →·CA →＝2sin 2α－2sin αcos α－1＝－(sin2α＋cos2α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4.由2α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π4可知，当2α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，5π4即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，π2时，函数f (α)单调递增，当2α＋π4∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2即α∈⎝⎛⎦⎥⎤－π8，π8时，函数f(α)单调递减，又sin⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4∈⎝⎛⎦⎥⎤－22，1，所以函数f(α)的值域为[－2，1)．(2)由O、P、C三点共线可知，－1×(－sinα)＝2×(2cosα－sinα)，∴tanα＝43，∴sin2α＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanα1＋tan2α＝2425，∴|OA→＋OB→|＝α＋cosα2＋1＝sin2α＋2＝745.。
高考数学 复习第五章 平面向量理 试题
∴动点M〔x，y〕是到定点F1〔0，－2〕，F2〔0，2〕的间隔之和8
∴曲线C的轨迹方程为
18、〔本小题总分值是12分〕
在 中， 分别是角A、B、C的对边， ， 且
〔1〕求 的大小；〔2〕假设 ，求 的最大值。
18、〔此题表达了向量与三角知识的交汇，小而巧〕
解：〔1〕 由正弦定理
∴ ∴
∵ ∴ ， ∴
〔2〕 ，
∴ ∴
19．(此题总分值是12分)向量 =〔sinB，1－cosB)，且与向量 〔2，0〕所成角为 ，其中A,B,C是⊿ABC的内角．
13．e1,e2是夹角为60o的两个单位向量，那么向量a=2e1+e2,和b=2e2-3e1的夹角是〔〕
A、30oB、60oC、120oD、150o
13C
14．理C【思路分析】： ,∴ ，应选C.
.
15．〔文〕 是平面内不一共线两向量， ，假设 三点一共线，那么 的值是〔〕
A．2 B． C． D．
15．文A【思路分析】： ，又A、B、D三点一共线，那么 .即 ，∴ ，应选 .
A． B． C． D．
6、C
【思路分析】：由得： ＝0，即 ，解得
7、 中，点 在 边上，且 ， ，那么 的值是〔〕
A、 B、 C、 D、
7、〔分析：∵ ∴ 又 ∴ ∴ 选D项〕
8、等差数列 的前 次和为 ，且 ，那么过点 和 〔 〕的直线一个方向向量的坐标可以是〔〕
A、〔 〕B、〔 〕C、〔 〕D、〔 〕
2． ， + 〕⊥ ， 〉= π成立的〔〕条件
A．充分非必要B．必要非充分C．充分且必要D．非充分且非必要
平面向量
第五章 平面向量第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功． 其中不是向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D2．把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是( )A ．一条线段B ．一段圆弧C ．两个孤立点D ．一个圆【答案】D3．下列命题正确的是( )A ．单位向量都相等B ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线C ．若|a ＋b |＝|a －b |，则a ·b ＝0D ．若a 与b 都是单位向量，则a ·b ＝1 【答案】C4．设向量），（34=a ， a 在b 上的投影为522， b 在x 轴上的投影为2，且14||≤b ，则b 为（ ） A ．(214)，B ．227⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．227⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．(28)，【答案】B5． 已知a ＝（3，2），b ＝（－1，0），向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为（ ）A ．12B ．－12C ．17D ．－17【答案】D6．已知平面向量=（1，－3），=（4，－2），与垂直，则是( )A ． －1B ． 1C ． －2D ． 2【答案】A 7．已知向量，，若，则的值为( )A ．B ．C ．D ．【答案】C8．已知,||2,||3,32a b a b a b a b λ⊥==+-且与垂直，则实数λ的值为（ ）A ． 32-B ．32C ．32±D ．1【答案】B9．平面向量a ，b 共线的充要条件是( )A ． a ，b 方向相同B ． a ，b 两向量中至少有一个为零向量C ． R λ∃∈，b a λ=D ． 存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+= 【答案】D10． 下列命中，正确的是（ ）A ．|a |＝|b |⇒a ＝bB ．|a |＞|b |⇒a ＞bC ．a ＝b ⇒a ∥bD ．｜a ｜＝0⇒a ＝0【答案】C11．若向量(1,2)AB =，(3,4)BC =，则AC =( )A ． (4,6)B ． (4,6)--C ． (2,2)--D ． (2,2)【答案】A12． 设(,1)A a ，(2,)B b ，(4,5)C 是坐标平面上三点，O 为坐标原点，若方在与→→→OC OB OA 方向上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为（ ）A ．1445=+b aB ．354=-b aC ．1454=+b aD ．345=-b a【答案】B13．设向量,,a b c 满足0a b c ++=，,||1,||2a b a b ⊥==，则2||c = ( ）A ． 1B ．2C ．4D ．5【答案】D14． 若||1a =，||2b =，且()a a b ⊥-，则向量,a b 的夹角为（ ）A ． 45°B ． 60°C ． 120°D ．135°【答案】A15．平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a =，1b = 则2a b +=( )A ．3B ． 23C ． 4D ．12【答案】B16．平面向量a 与b 的夹角为060，1||,02==b a ），（，则=+|2|b a （ ）A ．3B ．23C ．4D ．12【答案】B17．设向量a b 与的模分别为6和5，夹角为120︒，则||a b +等于( ）A ．23B ．23-C ．91D ．31【答案】D18．已知向量a b 、满足4||,1||==b a ，且2=⋅b a ，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C19．已知在△ABC 中，点D 在BC 边上，且DB CD 2=，AC s AB r CD +=，则s r +的值为（ ）A 0B 43 C 23 D -3【答案】A20．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM=1，点P 在AM 上满足2AP PM =，则()PA PB PC∙+等于（）A.49-B. 43-C. 43D. 49【答案】A21.在三角形ABC 中90C =︒，且CA=CB=3，点M 满足，则CM CB ⋅等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】B22．如图所示，向量c OC b OB a OA === ,A 、B 、C 在一条直线上，且 3 CB AC -=，则()A ．b a c 2321+-= B ． b a c 2123-= C ． b a c 2+-= D ．b a c 2+= 【答案】A23．如图，已知,,3AB a AC b BD DC ===，用,a b 表示AD ，则AD =（）A ．34a b + B ．1344a b + C ．1144a b + D ．3144a b + 【答案】B24．如图，e 1，e 2为互相垂直的单位向量，向量a －b 可表示为()A ．3e 2－e 1B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2【答案】C25．在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E 是DC 的中点，若,AB a AC b ==，则AE =( )A ．46a b +B ．1344a b + C ．1322a b + D ．12a b + 【答案】B 26．已知两点 ,O 为坐标原点，点C 在第二象限，且,则等于（ ）A ． 12-B ． 12[]C ．-1D ． 1【答案】A【解析】作图[由已知5,6231231根据三角函数的定义，可设C （-r,r ）22OC OA OB 31（-r,r ）=(-2,0)+（，）223-r=-22，解方程可得=1r=32AOC πλλλλλλ→→→∠==-+∴⎧⎪⎪∴⎨⎪⎪⎩27．已知平行四边形ABCD ，点P 为四边形内部或者边界上任意一点，向量AP ＝x AB ＋y AD ，则0≤x ≤12，0≤y ≤23的概率是( )A ．13B ．23C ．14D ．12【答案】A第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本把正确答案填在题中横线上)28．若向量a ，b 满足：=，且|a|=2，|b|=4，则a 与b 的夹角等于___________.【答案】29．已知a ＝(1，sin 2x)，b ＝(2，sin2x)，其中x ∈(0，π)．若|a ·b|＝|a||b|，则tanx=_______. 【答案】130．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量p=(a+c,b)，q=(b-a,c-a)，若p ∥q,则角C 的大小为______. 【答案】60°31．已知向量a=(3，1)，b=(-1，12)，若向量a+λb 与向量a 垂直，则实数λ的值为_________. 【答案】 432． 已知向量)2,1(,3==b a，且b a ⊥，则a 的坐标是 ．【答案】35653565,,5555⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或33．已知向量(1,sin ),(1,cos ),a b θθ==则a b -的最大值为______. 【答案】234．O 是平面α上一点，点C B A ,,是平面α上不共线的三点。
平面向量单元测试题及答案
平面向量单元测试题及答案平面向量单元测试题2一、选择题：1.下列说法中错误的是（）A．零向量没有方向B．零向量与任何向量平行C．零向量的长度为零D．零向量的方向是任意的2.下列命题正确的是（）A.若a、b都是单位向量，则a=bB.若AB=DC，则A、B、C、D四点构成平行四边形C.若两向量a、b相等，则它们是始点、终点都相同的向量D.AB与BA是两平行向量3.下列命题正确的是（）A.若a∥b，且b∥c，则a∥c。
B.两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同。
C.向量AB 的长度与向量BA的长度相等,D.若非零向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点共线。
4.已知向量a=(m,1)，若，|a|=2，则m=（）A．1B.3C.±1D.±35.若a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，且a∥b，则有（）A，x1y2+x2y1=0，B，x1y2−x2y1=0，C，x1x2+y1y2=0，D，x1x2−y1y2=0。
6.若a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，且a⊥b，则有（）A，x1y2+x2y1=0，B，x1y2−x2y1=0，C，x1x2+y1y2=0，D，x1x2−y1y2=0。
7.在△ABC中，若BA+BC=AC，则△ABC一定是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不能确定8.已知向量a,b,c满足|a|=1,|b|=2,c=a+b,c⊥a，则a与b的夹角等于（）A．120B60C30D90o二、填空题：（5分×4=20分）9.已知向量a、b满足a=b=1，3a−2b=3，则3a+b=510.已知向量a=(4,2)，向量b=(x,3)，且a∥b，则x=211.三点A(1,0),B(0,1),C(2,5)，求cos∠BAC =12，cos∠BAC=−3512.把函数y=x2+4x+7的图像按向量a经过一次平移以后得到y=x2的图像，则平移向量a是(-2,-4)三、解答题：（10分×6 = 60分）13.设P1(4,−3),P2(−2,6)，且P在P1P2的延长线上，使P1P=3，则求点P的坐标。
平面向量(章节综合测验附有答案).doc
3、设0是正方形ABCD 的中心, 则向量而，无，况,05是（A 、相等的向量 C 、有相同起点的向量4、判断下列各命题的真假：B 、平行的向量D 、模相等的向量（1）向量力3的长度与向量84的长度相等;(2) 向量方与向量片平行, 则方与方的方向相同或相反;5、若；为任一非零向量，方为模为1的向量，下列各式:② a //b③|。
0④|囱=±1,其中正确的是（2. 1平面向量的实际背景及基本概念一、选择题1、 下列说法正确的是（）A 、 数量可以比较大小，向量也可以比较大小.B 、 方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小.C 、 向量的大小与方向有关.D 、 向量的模可以比较大小.2、 给出下列六个命题：%1 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； %1 若\a\=\b\f 则a = b ；%1 若4B = DC,则四边形ABCD 是平行四边形; %1 平行四边形ABCD 中，一定有AB = DC ；%1 若 m = n, n = k ,贝U m = k ； ©aQb , bDc ,则ode. 其中不正确的命题的个数为（）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个（3） 两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同;（4） 两个有共同终点的向量，一定是共线向量；（5）向量布和向量己万是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上; （6）有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为（）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个A、®®B、③6、下列命中，正确的是(A、\a\=\b \^> a=b C、①②③ D、②③)B、|。
|>|方 |=> a>b—• —e—•—eC、 a = b a // bD、I Q I =0=> a =07、下列物理量：①质量②速度③位移④力⑤加速度⑥路程，其中是向量的有()A、2个B、3个C、4个D、5个二、填空题8、平行向量是否一定方向相同？9、不相等的向量是否一定不平行？10、与零向量相等的向量必定是什么向量？11、与任意向量都平行的向量是什么向量？12、若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？13、两个非零向量相等的充要条件是什么？三、解答题14、如图所示，四边形ABCD为正方形，ABCE为等腰直角三角形,(1)找出图中与丽共线的向量;(2)找出图中与AB相等的向量；(3)找出图中与I AB I相等的向量;(4)找出图中与EC相等的向量.15、如图，。
（完整版）《平面向量》测试题及答案
（完整版）《平面向量》测试题及答案《平面向量》测试题一、选择题1.若三点P （1，1），A （2，-4），B （x,-9）共线，则（）A.x=-1B.x=3C.x=29D.x=512.与向量a=(-5,4)平行的向量是（）A.（-5k,4k ）B.(-k 5,-k 4)C.(-10,2)D.(5k,4k) 3.若点P 分所成的比为43，则A 分所成的比是（）A.73B. 37C.- 37D.-73 4.已知向量a 、b ，a ·b=-40，|a|=10,|b|=8，则向量a 与b 的夹角为（） A.60° B.-60° C.120° D.-120° 5.若|a-b|=32041-,|a|=4,|b|=5，则向量a ·b=（） A.103B.-103C.102D.106．(浙江)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A.? ????79，73B.? ????－73，－79C.? ????73，79D.? ????－79，－737.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量（a+x ）·b 与b 垂直，则x 的值为（） A.323B.233C.2D.-52 8.设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（） A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,-21) 9.设四边形ABCD 中，有DC =21，且||=|BC |，则这个四边形是（） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形10.将y=x+2的图像C 按a=(6,-2)平移后得C ′的解析式为（）A.y=x+10B.y=x-6C.y=x+6D.y=x-1011.将函数y=x 2+4x+5的图像按向量a 经过一次平移后，得到y=x 2的图像，则a 等于（） A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1)12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D 的坐标是（） A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 二、填空题13.设向量a=(2,-1)，向量b 与a 共线且b 与a 同向，b 的模为25，则b= 。
高考数学总复习 第五章 平面向量配套单元测试(含解析)理 新人教A版
第五章 单元测试一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)1．与向量a ＝(－5,12)方向相反的单位向量是 ( )A ．(5，－12)B ．(－513，1213)C ．(12，－32)D ．(513，－1213)答案 D解析 与a 方向相反的向量只能选A ，D ，其中单位向量只有D. 也可用公式n ＝－a |a |＝－－5，12－52＋122＝(513，－1213)求得． 2．设向量a ，b 均为单位向量，且|a ＋b |＝1，则a 与b 夹角为( ) A.π3 B.π2 C.2π3D.3π4答案 C解析 如图，四边形ABCD 为平行四边形，△ABC 为边长为1的等边三角形，记AB →＝a ，AD →＝b ，则a 与b 的夹角为2π3，故选C.3．已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →等于( )A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB → C.23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB →答案 A解析 OC →＝OB →＋BC →＝OB →＋2AC →＝OB →＋2(OC →－OA →)，∴OC →＝2OA →－OB →.故选A.4．已知复数z ＝1＋2i23－4i ，则1|z |＋z 等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．2答案 A解析 z ＝1＋2i23－4i ＝4i －33＋4i25＝－16－925＝－1，所以1|z |＋z ＝1－1＝0.故选A.5．对于复数z 1，z 2，若(z 1－i)z 2＝1，则称z 1是z 2的“错位共轭”复数，则复数32－12i 的“错位共轭”复数为( )A ．－36－12i B ．－32＋32i C.36＋12i D.32＋32i 答案 D解析 方法一 由(z －i)(32－12i)＝1可得z －i ＝132－12i ＝32＋12i ，所以z ＝32＋32i.方法二 (z －i)(32－12i)＝1且|32－12i|＝1，所以z －i 和32－12i 是共轭复数，即z －i ＝32＋12i ，故z ＝32＋32i. 6．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(1,2)，向量c 满足(c ＋b )⊥a ，(c －a )∥b ，则c 等于 A ．(2,1) B ．(1,0) C ．(32，12)D ．(0，－1)答案 A解析 设c ＝(x ，y )，由(c ＋b )⊥a ，(c －a )∥b可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－y －2＝0，y ＋1＝2x －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，因此c ＝(2,1)．7．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|a ＋b |＝7，〈a ，b 〉＝π3，则|b |＝ ( )A ．2B ．3C. 3 D ．4答案 A解析 由|a ＋b |＝7，可得|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×1×|b |cos π3＋|b |2＝7，所以|b |2＋|b |－6＝0，解得|b |＝2或|b |＝－3(舍去)．故选A.8．若O 为平面内任一点且(OB →＋OC →－2OA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 是( ) A ．直角三角形或等腰三角形 B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形但不一定是直角三角形D ．直角三角形但不一定是等腰三角形 答案 C解析 由(OB →＋OC →－2OA →)(AB →－AC →)＝0，得(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0. ∴AB 2→－AC 2→＝0，即|AB →|＝|AC →|. ∴AB ＝AC .9．设a ＝(4,3)，a 在b 上的投影为522，b 在x 轴上的投影为2，且|b |≤14，则b 为A ．(2,14)B ．(2，－27)C ．(－2，－27)D ．(3,6)答案 B解析 方法一 (验证排除法) ∵b 在x 轴上的投影为2，∴b 的横坐标为2，排除C ，D 项；又|b |≤14，排除A 项；故选B.方法二 设向量b ＝(2，y )，由题意得a ·b |a ||b |＝cos α＝522|a |＝22.将a ＝(4,3)，b ＝(2，y )代入上式计算，得y ＝－27或y ＝14.又|b |≤14，故y ＝14不合题意，舍去．则y ＝－27，即b ＝(2，－27)．故应选B.10．与向量a ＝(72，12)，b ＝(12，－72)的夹角相等，且模为1的向量是( )A ．(45，－35)B ．(45，－35)或(－45，35)C ．(223，－13)D ．(223，－13)或(－223，－13)答案 B解析 方法一 |a |＝|b |，要使所求向量e 与a 、b 夹角相等，只需a ·e ＝b ·e . ∵(72，12)·(45，－35)＝(12，－72)·(45，－35)＝52，排除C 、D. 又∵(72，12)·(－45，35)＝(12，－72)·(45，35)＝－52.∴排除A.方法二 设a ＝OA →，b ＝OB →.由已知得|a |＝|b |，a ⊥b ，则与向量a ，b 的夹角相等的向量在∠AOB 的角平分线上，与a ＋b 共线．∵a ＋b ＝(4，－3)，∴与a ＋b 共线的单位向量为±a ＋b |a ＋b |＝±(45，－35)，即(45，－35)或(－45，35)． 二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上) 11．已知复数z ＝1－3i 3＋i ，z 是z 的共轭复数，则z 的模等于________．答案 1解析 z ＝1－3i 3＋i ＝－i 2－3i 3＋i＝－ii ＋33＋i＝－i ，|z |＝|i|＝1.12．已知A ，B ，C 是圆O ：x 2＋y 2＝1上三点，OA →＋OB →＝OC →，则AB →·OA →＝________. 答案 －32解析 由题意知，OACB 为菱形，且∠OAC ＝60°，AB ＝3，∴AB →·OA →＝3×1×cos150°＝－32.13．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，n )，若|a ＋b |＝a ·b ，则n ＝________. 答案 3解析 易知a ＋b ＝(3，n ＋1)，a ·b ＝2＋n .∵|a ＋b |＝a ·b ，∴32＋n ＋12＝2＋n ，解得n ＝3.14．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝30°.设OC →＝mOA→＋nOB →(m ，n ∈R )，则mn＝________.答案 3解析方法一 如图所示，∵OA →·OB →＝0，∴OB →⊥OA →.不妨设|OC →|＝2，过C 作CD →⊥OA →于D ，CE →⊥OB →于E ，则四边形ODCE 是矩形． OC →＝OD →＋DC →＝OD →＋OE →.∵|OC →|＝2，∠COD ＝30°， ∴|DC →|＝1，|OD →|＝ 3. 又∵|OB →|＝3，|OA →|＝1， 故OD →＝ 3 OA →，OE →＝33OB →.∴OC →＝ 3 OA →＋33OB →，此时m ＝3，n ＝33.∴mn＝333＝3.方法二 由OA →·OB →＝0知△AOB 为直角三角形，以OA ，OB 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则可知OA →＝(1,0)，OB →＝(0，3)，又由OC →＝mOA →＋nOB →，可知OC →＝(m ，3n )，故由tan30°＝3n m ＝33，可知mn＝3. 15．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为________．答案 ±2解析 如图，作平行四边形OADB ，则OA →＋OB →＝OD →，OA →－OB →＝BA →，∴|OD →|＝|BA →|.又|OA →|＝|OB →|，∴四边形OADB 为正方形，易知|OA →|为直线在y 轴上的截距大小，a ＝2.验证a ＝－2时，成立．16．对于向量a ，b ，c ，给出下列四个命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ＝|c |·b ，c ＝|b |·a ，则|a |＝|b |＝|c |＝1； ③若|a |＝|b |＝2，则(a ＋b )⊥(a －b )； ④若|a ·b |＝|b ·c |且b ≠0，则|a |＝|c |. 其中正确的命题序号是________． 答案 ③解析 当b ＝0时，①不正确；当b ＝0时，且c ＝0时，②不正确；③中，∵|a |＝|b |＝2，∴(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝0.∴(a ＋b )⊥(a －b )，故③正确；④中取a ≠0且a ⊥b ，而c ＝0时，则结论不正确，故④不正确．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知向量m ＝(2cos A 2，sin A 2)，n ＝(cos A 2，－2sin A2)，m ·n ＝－1.(1)求cos A 的值；(2)若a ＝23，b ＝2，求c 的值． 答案 (1)－12(2)2解析 (1)∵m ＝(2cos A 2，sin A 2)，n ＝(cos A 2，－2sin A2)，m ·n ＝－1，∴2cos 2A2－2sin 2A2＝－1，∴cos A ＝－12.(2)由(1)知cos A ＝－12，且0<A <π，∴A ＝2π3.∵a ＝23，b ＝2，由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，即23sin2π3＝2sin B.∴sin B ＝12.∵0<B <π，B <A ，∴B ＝π6.∴C ＝π－A －B ＝π6，∴C ＝B .∴c ＝b ＝2.18．(本小题满分12分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(2cos β，2sin β)，若实数k 使|k a ＋b |＝|a －k b |成立，求满足不等式a ·b ≥0的k 的取值范围．解析 由|k a ＋b |＝|a －k b |，得(k a ＋b )2＝(a －k b )2. 即有k 2a 2＋b 2＋2k a ·b ＝a 2－2k a ·b ＋k 2b 2. ∴8k cos(α－β)＝3(k 2－1)． 若k ＝0，则有|a |＝|b |，与已知矛盾． ∴k ≠0，∴cos(α－β)＝3k 2－18k. 而a ·b ＝cos α·2cos β＋sin α·2sin β＝2cos(α－β)＝3k 2－14k，且a ·b ≥0. ∴0≤3k 2－14k ≤2.解得－1≤k ≤－13或1≤k ≤3.19．(本小题满分12分)已知向量a ＝(1sin x ，－1sin x )，b ＝(2，cos2x )．(1)若x ∈(0，π2]，试判断a 与b 能否平行？(2)若x ∈(0，π3]，求函数f (x )＝a ·b 的最小值．解析 (1)若a 与b 平行，则有1sin x ·cos2x ＝－1sin x ·2，因为x ∈(0，π2]，sin x ≠0，所以得cos2x ＝－2.这与|cos2x |<1相矛盾，故a 与b 不能平行．(2)由于f (x )＝a ·b ＝2sin x －cos2x sin x ＝2－cos2x sin x ＝1＋2sin 2x sin x ＝2sin x ＋1sin x .又因为x ∈(0，π3]，所以sin x ∈(0，32]．于是2sin x ＋1sin x ≥22sin x ·1sin x ＝22，当2sin x ＝1sin x，即sin x ＝22时取等号．故函数f (x )的最小值等于2 2. 20．(本小题满分12分)设△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足(2a ＋c )·BC →·BA →＋c ·CA →·CB →＝0.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝2 3.试求AB →·CB →的最小值． 答案 (1)23π (2)－2解析 (1)因为(2a ＋c )BC →·BA →＋cCA →·CB →＝0， 所以(2a ＋c )ac cos B ＋cab cos C ＝0. 即(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0.则(2sin A ＋sin C )cos B ＋sin B cos C ＝0. 所以2sin A cos B ＋sin(C ＋B )＝0. 即cos B ＝－12，所以B ＝2π3.(2)因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos2π3， 所以12＝a 2＋c 2＋ac ≥3ac ，即ac ≤4. 当且仅当a ＝c 时取等号，此时ac 最大值为4. 所以AB →·CB →＝ac cos 2π3＝－12ac ≥－2.即AB →·CB →的最小值为－2.21．(本小题满分12分)若a ，b 是两个不共线的非零向量，t ∈R .(1)若a ，b 起点相同，t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在一直线上？(2)若|a |＝|b |且a 与b 夹角为60°，t 为何值时，|a －t b |的值最小？ 解析 (1)设a －t b ＝m [a －13(a ＋b )]，m ∈R ，化简得(23m －1)a ＝(m3－t )b .∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 23m －1＝0，m3－t ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，t ＝12.∴t ＝12时，a ，t b ，13(a ＋b )的终点在一直线上．(2)|a －t b |2＝(a －t b )2＝|a |2＋t 2|b |2－2t |a ||b |cos60°＝(1＋t 2－t )|a |2. ∴当t ＝12时，|a －t b |有最小值32|a |.22．(本小题满分12分)已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝(3A cos x ，A2cos2x )(A >0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6.(1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )在[0，5π24]上的值域．解析 (1)f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A 2cos2x ＝A (32sin2x ＋12cos2x )＝A sin(2x ＋π6)． 因为A >0，由题意知A ＝6. (2)由(1)知f (x )＝6sin(2x ＋π6)．将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位后得到y ＝6sin[2(x ＋π12)＋π6]＝6sin(2x ＋π3)的图像；再将得到图像上的各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin(4x ＋π3)的图像．因此g (x )＝6sin(4x ＋π3)．因为x ∈[0，5π24]，所以4x ＋π3∈[π3，7π6]．故g (x )在[0，5π24]上的值域为[－3,6]．。
平面向量 单元测试(含答案)
《平面向量》一、选择题1．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若OC e DC e BC 则213,5===（ ）A ．)35(2121e e +B ．)35(2121e e -C ．)53(2112e e - D ．)35(2112e e - 2．化简)]24()82(21[31b a b a --+的结果是（ ）A ．b a -2B ．a b -2C ．a b -D ．b a -3．对于菱形ABCD ，给出下列各式： ①BC AB =②||||BC AB =③||||BC AD CD AB +=- ④||4||||22AB BD AC =+ 2其中正确的个数为 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4 ABCD 中，设d BD c AC b AD a AB ====,,,，则下列等式中不正确的是（ ）A ．c b a =+B ．d b a =-C ．d a b =-D ．b a c =-5．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是（ ）A ．||||||b a b a -=-B ．||||b a b a -=+C ．||||||b a b a -=+D ．||||||b a b a +=+6．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个点的坐标为 （ ） A ．（1，5）或（5，－5） B ．（1，5）或（－3，－5） C ．（5，－5）或（－3，－5） D ．（1，5）或（－3，－5）或（5，－5） 7．下列各组向量中：①)2,1(1-=e )7,5(2=e ②)5,3(1=e )10,6(2=e ③)3,2(1-=e )43,21(2-=e 其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ）A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③ 8．与向量)5,12(=d 平行的单位向量为（ ）A ．)5,1312(B ．)135,1312(--C ．)135,1312(或)135,1312(--D ．)135,1312(±±9．若32041||-=-b a ，5||,4||==b a ，则b a 与的数量积为（ ）A ．103B ．－103C ．102D ．1010．若将向量)1,2(=a 围绕原点按逆时针旋转4π得到向量b ,则b 的坐标为( ）A ．)223,22(--B ．)223,22(C ．)22,223(-D ．)22,223(-11．设k ∈R ，下列向量中，与向量)1,1(-=Q 一定不平行的向量是 （ ）A ．),(k k b =B ．),(k k c --=C ．)1,1(22++=k k dD ．)1,1(22--=k k e12．已知12||,10||==b a ，且36)51)(3(-=b a ，则b a 与的夹角为（ ）A ．60°B ．120°C ．135°D ．150°二、填空题13．非零向量||||||,b a b a b a +==满足，则b a ,的夹角为 .14．在四边形ABCD 中，若||||,,b a b a b AD a AB -=+==且,则四边形ABCD 的形状是 15．已知)2,3(=a ，)1,2(-=b ，若b a b a λλ++与平行，则λ= .16．已知e 为单位向量，||a =4，e a 与的夹角为π32，则e a 在方向上的投影为 . 三、解答题17．已知非零向量b a ,满足||||b a b a -=+,求证: b a ⊥18．已知在△ABC 中，)3,2(=AB ，),,1(k AC =且△ABC 中∠C 为直角，求k 的值.19、设21,e e 是两个不共线的向量，2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.20．已知2||=a 3||=b ,b a 与的夹角为60o,b a c 35+=,b k a d +=3,当当实数k 为何值时，⑴c ∥dc⑵d21．如图，ABCD为正方形，P是对角线DB上一点，PECF为矩形，求证：①PA=EF；②PA⊥EF.22．如图，矩形ABCD内接于半径为r的圆O，点P是圆周上任意一点，求证：PA2+PB2+PC2+PD2=8r2.参考答案一．选择题：二、填空题：13． 120°； 14． 矩形 15、 1± 16． 2- 三、解答题： 17．证：()()22ba b a -=+⇒+=+⇒-=+0222222=⇒+-=++⇒b a b b a a b b a a为非零向量又b a ,b a ⊥∴18．解：)3,1()3,2(),1(--=-=-=k k AB AC BC0)3,1(),1(0=--⋅⇒=⋅⇒⊥⇒∠∠k k BC AC BC AC RT C 为 21330312±=⇒=-+-⇒k k k19．()212121432e e e e e e CB CD BD-=+--=-=若A ，B ，D 三点共线，则BD AB 与共线，BD AB λ=∴设即212142e e e k e λλ-=+由于不共线与21e e 可得：221142e e k e e λλ-==故8,2-==k λ20.⑴若c ∥d 得59=k ⑵若d c ⊥得1429-=k21.解以D 为原点DC 为x 轴正方向建立直角坐标系 则A(0,1), C:(1,0) B:(1,1))22,22(,r r P r DP 则设= )221,22(r r PA --=∴)0,22(:),22,1(r F r E 点为 )22,122(r r EF --=∴ 22)221()22(||r r PA -+-=∴ 22)22()221(||r r EF -+-=∴故EF PA =EF PA EF PA ⊥⇒=⋅0而22.证:PA PC AC PB PD BD-=-=,22222222||2||)(||||2||)(||PA PA PC PC PA PC AC PB PD PB PD PB PD BD +-=-=+-=-=∴0,,,=⋅=⋅⇒⊥⊥PC PA PB PD PC PA PB PD AC BD 故为直径 222222||||||||||||PD PC PB PA AC BD +++=+∴即2222222844r PD PC PB PA r r =+++=+。
平面向量单元测试题(含答案)
平面向量单元测试题(含答案) 平面向量单元检测题学校：______ 姓名：______ 学号：______ 成绩：______一、选择题（每小题5分，共60分）1.若ABCD是正方形，E是CD的中点，且AB=a，AD=b，则BE的长度为（）A。
b-1/2a。
B。
a-1/2b。
C。
b+1/2a。
D。
a+1/2b2.下列命题中，假命题是（）A。
若a-b=0，则a=bB。
若ab=0，则a=0或b=0C。
若k∈R，ka=0，则k=0或a=0D。
若a，b都是单位向量，则XXX成立3.设i，j是互相垂直的单位向量，向量a=(m+1)i-3j，b=i+(m-1)j，(a+b)⊥(a-b)，则实数m为（）A。
-2.B。
2.C。
-1/2.D。
不存在4.已知非零向量a⊥b，则下列各式正确的是（）A。
a+b=a-b。
B。
a+b=a+b。
C。
a-b=a-b。
D。
a+b=a-b5.在边长为1的等边三角形ABC中，设BC=a，CA=b，AB=c，则a·b+b·c+c·a的值为（）A。
3/2.B。
-3/2.C。
1/2.D。
06.在△OAB中，OA=(2cosα，2sinα)，O B=(5cosβ，5sinβ)，若OA·OB=-5，则△OAB的面积为（）A。
3.B。
3/2.C。
53.D。
53/27.在四边形ABCD中，AB=a+2b，BC=-4a-b，CD=-5a-3b，则四边形ABCD的形状是（）A。
长方形。
B。
平行四边形。
C。
菱形。
D。
梯形8.把函数y=cos2x+3的图象沿向量a平移后得到函数y=sin(2x-π/6)，则向量a的坐标是（）A。
(π/3，-3)。
B。
(π/6，3)。
C。
(π/12，-3)。
D。
(-π/12，3)9.若点F1、F2为椭圆x^2/4+y^2/9=1的两个焦点，P为椭圆上的点，当△F1PF2的面积为1时，PF·PF的值为（）A。
4.B。
1.C。
3.D。
2025年高考数学一轮复习课件第五章平面向量与复数-单元检测
)
= 13
B.若 ⊥ ，则 = 2
1
2
C.“ < − ”是“与的夹角为锐角”的充要条件
√
1
2
1
2
D.若 = −1，则在上的投影向量的坐标为(− ,− )
√
解：对于A，由 = 1，得 − = 3, −2 ，所以 − =
32 + −2
2
= 13，故A
正确.
1
2
对于B，因为 ⊥ ，所以−2 − 1 = 0，解得 = − ，故B错误.
A.
1
2
3
4
5
6
7
16
17
18
10
19
11
12
13
14
15
7.如图，在平行四边形中，是的中点，是的中点，
则 =(
1
A.
2
3
4
−
)
3
4
1
B.−
2
1
2
3
4
3
−
4
1
2
D.− −
√
C. −
1
解：因为是的中点，是的中点，所以 = − ，
8
的值为___.
13
解：由题意，得2 + = 3, −4 .又// 2 + ，所以9 = −4 − 2 ，解得 =
8
13
故填 .
1
2
3
4
5
6
7
16
8
17
9
18
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19
11
12
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(完整版)平面向量单元测试题及答案
平面向量单元测试题2一，选择题：1，以下说法中错误的选项是（）A ．零向量没有方向B．零向量与任何向量平行C．零向量的长度为零D．零向量的方向是随意的2 ，以下命题正确的选项是（）A. 若a、b都是单位向量，则 a ＝ bB.若 AB = DC ,则A、B、C、D四点组成平行四边形C.若两向量 a 、b相等，则它们是始点、终点都同样的向量D.AB 与 BA 是两平行向量3，以下命题正确的选项是（）A 、若a∥b，且b∥c，则a∥c。
B、两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不一样。
C、向量AB的长度与向量BA 的长度相等,D 、若非零向量AB 与 CD 是共线向量，则 A 、 B、 C、 D 四点共线。
4，已知向量a m,1，若， a =2，则m（）A ．1 B.3 C. 1 D.35，若a =（x1，y1）， b=（ x2， y2）， a ∥ b，则有（），且A ，x1y2+x2y1=0，B ，x1y2― x2 y1=0，C，x1x2+y1y2=0，D，x1x2―y1y2=0，6，若a =（x1，y1），b =（x2，y2），，且 a ⊥ b ，则有（）A ，x1y2+x2y1=0，B ，x1y2― x2 y1=0，C，x1x2+y1y2=0，D，x1x2―y1y2=0，7，在ABC 中，若BA BC AC ，则ABC 必定是（）1A ．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形 D ．不可以确立r r r uur r r r r r r r r8，已知向量a, b, c知足| a |1,| b |2, c a b, c a ，则 a与b 的夹角等于（）A ．1200B600C300D90o二，填空题：（ 5 分× 4=20 分）r rb =1， 3a2b =3，则3a b9。
已知向量a、b知足a ==r r r r10，已知向量a＝（ 4， 2），向量b＝（ x ，3），且a//b ,则x＝11， . 已知三点 A(1,0),B(0,1),C(2,5),求 cos ∠ BAC =12， .把函数y x24x7 的图像按向量 a 经过一次平移此后获得y x2的图像，则平移向量 a 是（用坐标表示）三，解答题：（ 10 分×6 = 60分）13，设P1(4,3), P2 (2,6), 且P在 P1 P2的延伸线上，使P1P 2 PP 2 ,，则求点P 的坐标14，已知两向量a (1r3,,1 3), ,b ( 1, 1), 求a与 b 所成角的大小，15，已知向量 a =（6，2），b=（－3，k），当k为什么值时，有1），a ∥b?2），a ⊥b?3a与 b 所成角θ是钝角？（（（），216，设点 A （ 2， 2）， B（ 5， 4），O 为原点，点P知足OP = OA + t AB，（ t 为实数）；（ 1），当点 P 在 x 轴上时，务实数t 的值；（ 2），四边形 OABP 可否是平行四边形？假如，务实数t 的值；若否，说明原因，17，已知向量OA =（3,－4）, OB =（6,－3）, OC =（5－m,－3－m）,（ 1）若点 A 、 B 、C 能组成三角形，务实数 m 应知足的条件；（ 2）若△ ABC 为直角三角形，且∠ A 为直角，务实数 m 的值．318，已知向量m(1,1), 向量 n 与向量m 的夹角为3, 且 m n1 . 4（ 1）求向量n；（2）设向量a(1,0),向量 b(cos x,, sin x) ，此中x R ，若 n a0 ，试求| n b |的取值范围.平面向量单元测试题2答案：一，选择题：ADCD BCCA二，填空题：9 ， 23；10，6；11，21312 ，(2, 3) 13三，解答题：13，解法一：设分点P（x,y），∵P1P =―2 PP2，=―2∴(x ―4,y+3)= ―2( ―2― x,6 ― y),x― 4=2x+4, y+3=2y ―12, ∴ x=―8,y=15, ∴ P(―8,15 )4解法二：设分点 P （x,y ）， ∵ P 1P =―2 PP 2 ， =―2∴ x=4 2( 2)=―8, 1 2y=3 2 6 =15,∴ P(―8,15 )1 2解法三：设分点 P （x,y ）， ∵ P 1 P2 PP 2 ,∴ ―2=4x , x= ― 8,26= 3y , y=15,∴ P(―8,15 )214，解：a=2 2 ,b= 2＜a ,b ＞=― 1, ∴＜ a , b ＞ = 1200，, cos215 ，解：（ 1）， k= － 1;(2), k=9;(3),k ＜ 9, k ≠ －116 ，解：（ 1），设点 P （ x ， 0），AB =(3,2),∵ OP = OA + t AB ， ∴ (x,0)=(2,2)+t(3,2),则由 , x 2 3t∴ 即x10 2 2t, t1,(2),设点 P （ x,y ），假定四边形 OABP 是平行四边形，则有 OA ∥BP ,OP ∥ABy=x2y=3x―1,∴ 即x2 ①,y3又由 OP =OA + t AB ，(x,y)=(2,2)+ t(3,2),得 ∴ 即x3 2t ②,y2 2tt 43， 矛盾，∴假定是错误的，由①代入②得：t52∴四边形 OABP 不是平行四边形。
第5章 平面向量(单元测试)(解析版)
第五章 平面向量单元测试【满分：100分 时间：90分钟】一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，共54分)1．（北京市昌平区2019届二模）设,a b r r 是非零向量，则“存在实数λ，使得a b λ=v v ”是“a b a b+=+r r r r”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】存在实数λ，使得a b λ=v v ，说明向量,a b r r 共线，当,a b r r 同向时，a b a b +=+r r r r 成立，当,a b r r 反向时，a b a b +=+r r r r 不成立，所以，充分性不成立.当a b a b +=+r r r r 成立时，有,a b r r同向，存在实数λ，使得a b λ=v v 成立，必要性成立，即“存在实数λ，使得a b λ=v v ”是“a b a b +=+r r r r ”的必要而不充分条件，故选B 。
2．（湖北省武汉市2019届调研）已知向量a r ，b r 满足4a =r ，b r 在ar 上投影为2-，则3a b -r r 的最小值为( )A ．12B ．10CD ．2 【答案】B【解析】b r 在a r 上投影为2-，即cos ,2b a b <>=-r r rb >rQcos ,0a b ∴<><rr 又[)cos ,1,0a b <>∈-rr min2b∴=r2222223696cos ,9964a b a a b b a a b a b b b -=-⋅+=-<>+=+r r r r rr r r r r r r rmin310a b∴-==r r，故选B 。
3．（河北省唐山市2019届模拟）已知是两个单位向量，时，的最小值为，则（ ） A ．1 B ． C ．1或 D ．2 【答案】C【解析】，，即当有最小值，此时，而，，即为，，即为1，故选C 。
最新第五章平面向量解三角形单元测验(含答案)教学内容
平面向量单元测试（含答案）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列说法中正确的是 （ ） A ．共面向量就是向量所在的直线在同一平面内； B ．长度相等的向量叫做相等向量； C ．零向量的长度为零； D ．共线向量的夹角为00．2．已知a )1,(x =，b )2,3(-=x ，则a·b 0<的解集是 （ ） A ．1(,)2-∞-B ．1(,)2-+∞C ．1(,)2-∞D ．1(,)2+∞3．如果a=(1,x )，b=(-1,3)，且（2a+b ）∥（a -2b ），则x = （ ） A ．－3B ．3C ．13-D ．134．已知a )1,2(=，b ),3(x =，若（2a -b ）⊥b ，则x 的值为 （ ） A ．1-B ．3C ．1或3D ．1-或35．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222（ ） A ．030B ．060C ．0120D ．01506．e 1、e 2是平面内不共线的两向量，已知=AB e 1-ke 2，=CB 2e 1+e 2，=CD 3e 1-e 2，若D B A ,,三点共线，则k 的值是 （ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．在ABC ∆中,︒===60,8,5C b a ,则⋅的值为 （ ） A ．10 B ．20 C ．－10 D ．20 8．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A = （ ） A ．030 B ．060 C ．0015030或 D ．0060120或 9．在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是 （ ）A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形10．下列说法中错误的是 （ ）①0=⋅b a ，则0a =或0b =；②c)a(b b)c (a ⋅=⋅；③222q)(p q p ⋅=⋅. A ．①、②B ．①、③C ．②、③D ．①、②、③11．在△ABC 中，若∠C =60°，则ca bc b a +++= （ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成060角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为 （ ） A. 6B ．2C．D．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在横线上． 13．向量),(43-=a ,则与a 平行的单位向量的坐标为 ．14．设p = (2,7)，q = (x ,-3)，若p 与q 的夹角)2,0[πθ∈，则x 的取值范围是 .15．以原点O 及点A （5，2）为顶点作等腰直角三角形OAB ，使ο90=∠A ，则的坐标为 .16．地面上画了一个60︒的角∠BDA ，某人从角的顶点D 出发，沿角的一边DA 行走10米后，拐弯往另一方向行走14米，正好到达∠BDA 的另一边BD 上的一点，我们将该点就记为点B ，则B 与D 之间的距离为 米.三、解答题：本大题共6小题，共74分． 17．（本小题满分12分）设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===-r r r（1）若a r 与2b c -r r垂直，求tan()αβ+的值；（2）求||b c +r r的最大值;（3）若tan tan 16αβ=，求证：a r ∥b r.18．（本小题满分12分）在△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，6A π=，(12c b +=．（1）求C ；（2）若1CB CA ⋅=+u u u r u u u ra ,b ，c ．19．（本小题满分12分）已知等腰直角三角形AOB 中，AC 、BD 为中线，求AC u u u r 与BD u u u r夹角θ的余弦值．20．（本小题满分12分）已知A 、B 、C 是直线l 上的不同三点，O 是l 外一点，向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r满足23(1)(ln )2OA x OB x y OC =++-u u u r u u u r u u u r ，记()y f x =；求函数()y f x =的解析式；21．（本小题满分12分）已知△ABC中，（a－c）（sin A+sin C）=（a－b）sin B，（1）求∠C；（2）若△ABC的外接圆半径为2，试求该三角形面积的最大值．22．（本小题满分14分）已知向量m＝（sin4x，cos4x），n＝4x，cos4x)，记f(x)=m•n；（1）若f(x)=1,求cos()3xπ+的值；（2）若△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f(A)的取值范围．参考答案一、选择题1．C ；解析：共面向量就是平行向量，故A 是错的；相等向量是指长度相等且方向相同的向量，故B 是错的； 根据共线向量的概念知共线向量的夹角为0°或180°，故D 是错的； ∴正确的只有C ． 2．C ；解析：∵a·b 02423<-=-+=x x x ， ∴a·b 0<的解集是}21|{<x x . 3．A ；解析：∵2a+b=(1,2x+3)，a -2b=(3,x -6)；又2a+b ∥a -2b ，∴1×(x -6)-(2x+3)×3=0，解得x= -3． 4．D ；解析：由a )1,2(=，b ),3(x =，得2a -b )2,1(x -=；∵2a -b ⊥b ， ∴（2a -b ）·b=0，即0)2(31=⋅-+⨯x x ，解得=x 13-或．5. C ；解析：22201cos ,12022b c a A A bc +-==-=． 6． B ；解析：∵D B A ,,三点共线， ∴与共线， ∴存在实数λ，使得AB BD λ=；∵=-=3e 1 -e 2 -（2e 1+e 2）= e 1 -2e 2， ∴e 1-ke 2(λ=e 1 -2e 2)，∵e 1、e 2是平面内不共线的两向量， ∴⎩⎨⎧-=-=,2,1λλk 解得2=k .7． D ；解析：由题意可知CA BC 与的夹角为︒=-=-12060180180000C ,∴CA BC ⋅202185120cos 0-=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯=⋅. 8．C ；解析：012sin ,sin 2sin sin ,sin ,302b a B B A B A A ====或0150． 9．B ；解析：cos cos cos ,sin cos sin cos sin cos a A b B c C A A B B C C +=∴+=Q ；∴sin 2sin 2sin 2,2sin()cos()2sin cos A B C A B A B C C +=+-=； ∴cos()cos(),2cos cos 0A B A B A B -=-+=； ∴cos 0A =或cos 0B =，得2A π=或2B π=；∴△ABC 是直角三角形．10．D ；解析：∵b a ⊥时, 0=⋅b a ,∴当0=⋅b a 时不能得出0a =或0b =；∴①是错误的.∵b a ⋅是数量,所以b)c (a ⋅为一个向量,并且此向量与c 共线；虽然c)a(b ⋅也是一个向量,但它与a 共线；∴b)c (a ⋅不一定与c)a(b ⋅相等；∴②是错误的.∵22q p q p ||||22⋅=⋅，θ22cos ||||)(22q p q p =⋅（θ为p 与q 的夹角）； ∴当且仅当p//q 时, 222q)(p q p ⋅=⋅才成立；∴③是错误的.∴本题三种说法均不正确.11．A ；解析：c a bc b a +++=））（（c a c b bc b ac a +++++22=222c bc ac ab bc ac b a ++++++（*）， ∵∠C =60°，∴a 2+b 2－c 2=2ab cos C =ab ，∴a 2+b 2=ab +c 2，代入（*）式得222c bc ac ab bc ac b a ++++++=112．D ；解析：28)60180cos(20021222123=--+=F F F F F ，所以723=F .二、填空题13．)54,53(),54,53(--；解析：因为|a |=54322=+-)(,故所求的单位向量为),(),(54534351-±=-±=±|a |a ．14．(221,+∞)； 解析： p 与q 的夹角)2,0[πθ∈⇔ p•q>0⇔2x -21>0⇔221>x ， 即x ∈(221,+∞).15．（-2，5）或（2，-5）；解析：设),(y x AB =，则由222225||||y x +=+⇒=…………①，而又由⊥得025=+y x …………②， 由①②联立得5,25,2=-=-==y x y x 或. ），（－或52)5,2(-=∴AB . 16．16；解析：记拐弯处为点A ，则已知即为△ABD 中，AD=10, AB=14, ∠BDA=60︒；设BD=x ，则BDA AD BD AD BD BA ∠⋅⋅-+=cos 2222， 即ο60cos 1021014222⋅⋅-+=x x ，整理得096102=--x x ， 解得161=x ，62-=x （舍去）；∴BD=16．三、解答题17．解：（1）∵b －2c (sin 2cos ,4cos 8sin )ββββ=-+，且a 与b －2c 垂直， ∴4cos (sin 2cos )sin (4cos 8sin )0αββαββ-++=，即sin cos cos sin 2(cos cos sin sin )αβαβαβαβ+=-，∴sin()2cos()αβαβ+=+， ∴tan()2αβ+=. （…………4分） （2）∵b+c (sin cos ,4cos 4sin )ββββ=+-， ∴︱b+c︱==∴当sin 21β=-时，︱b+c=. （ (8)分）（3）∵tan tan 16αβ=，∴sin sin 16cos cos αβαβ⋅=，即sin sin 16cos cos αβαβ=，∴(4cos )(4cos )sin sin αβαβ⋅=，即a(4cos ,sin )αα=与b (sin ,4cos )ββ=共 线，∴a ∥b.（…………12分）18．解：（1）由(12c b = 得1sin 22sin b Bc C=+=， 则有55sin()sincos cos sin 666sin sin C C CCCππππ---==112tan 222C +=+， 解得tan 1C =， 即4C π=. （…………6分）（2）由1CB CA ⋅=u u u v u u u v推出cos 1ab C =+；而4C π=,∴12=+, 则有1(12sin sin c b a cA C=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩， 解得12a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩.（……12分）19．解：如图，分别以等腰直角三角形AOB 的两直角边为x 轴、y 轴建立直角坐标系，设()()a B a A 2,0,0,2，则()()a C a D ,0,0,，（0a >）；（……3分） ∴()()a a a a 2,,,2-=-=, （…………6分）∵AC u u u r 与BD u u u r的夹角为θ，∴()()aa a a a a BDAC 552,,2cos ⋅-⋅-==θ=545422-=-a a，即AC u u u r 与BD 夹角θ的余弦值为45-． （ (12)分）20．解:（1）∵23(1)(ln )2OA x OB x y OC =+--u u u r u u u r u u u r ，且A 、B 、C 是直线l 上的不同三点，∴23(1)(ln )12x x y ++-=， ∴23ln 2y x x =+； （…………6分） （2）∵23()ln 2f x x x =+，∴2131()3x f x x x x +'=+=，（…………8分）∵23()ln 2f x x x =+的定义域为(0,)+∞，而231()x f x x +'=在(0,)+∞上恒正，∴()y f x =在(0,)+∞上为增函数，即()y f x =的单调增区间为(0,)+∞．（……12分）21．解：（1）由（a －c ）（sin A +sin C ）=（a －b ）sin B ，得（a －c ）（a +c ）=（a －b ）b ，∴a 2－c 2=ab －b 2，∴a 2+b 2－c 2=ab ，∴cos C =ab c b a 2222-+=21（ (4)分）又∵0°＜C ＜180°，∴C =60° （…………6分）（2）S =21ab sin C =21×23ab =43sin A sin B =43sin A sin （120°－A ） =43sin A （sin120°cos A －cos120°sin A ）=6sin A cos A +23sin 2A=3sin2A －3cos2A +3=23sin （2A －30°）+3 （…………10分） ∴当2A =120°，即A =60°时，S max =33 （…………12分） 22．解：（1）f(x)=m 23cos cos 444x x x +=311cos 22222x x ++=1sin()262x π++， ∵f(x)=1， ∴1sin()262x π+=， （…………4分） ∴2cos()12sin ()326x x ππ+=-+=12． （…………6分） （2）∵（2a-c ）cosB=bcosC ，∴由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=，∴2sin sin cos sin cos AcosB C B B C -=，∴2sin cos sin()A B B C =+，∵A B C π++=，∴sin()sin B C A +=，且sin 0A ≠，∴1cos ,23B B π== ∴1cos ,23B B π==； （…………10分）∴203A π<<， ∴1,sin()16262226A A ππππ<+<<+< ∴ 1,sin()16262226A A ππππ<+<<+<； 又∵f(x)＝1sin()262x π++，∴f(A)=1sin()262A π++，（…………12分）故函数f(A)的取值范围是（1,32）． （…………14分）。
高考数学总复习 第五章 平面向量配套单元测试（含解析）理 新人教A版
第五章单元测试一、选择题本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求1．与向量a＝－5,12方向相反的单位向量是A．5，－12 B．－错误!，错误!C．错误!，－错误!D．错误!，－错误!答案 D解析与a方向相反的向量只能选A，D，其中单位向量只有D也可用公式n＝－错误!＝－错误!＝错误!，－错误!求得．2．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b夹角为答案 C解析如图，四边形ABCD为平行四边形，△ABC为边长为1的等边三角形，记错误!错误!错误!，n∈R，则错误!＝________答案 3解析方法一如图所示，∵错误!＝错误!，n＝错误!∴错误!＝错误!＝3方法二由错误!错误!，错误!n，故由tan30°＝错误!＝错误!，可知错误!＝315．已知直线＋＝a与圆2＋2＝4交于A、B两点，且|错误!错误!·n＝－11求co A的值；2若a＝2错误!，b＝2，求c的值．答案1－错误!22解析1∵m＝2co错误!，in错误!，n＝co错误!，－2in错误!，m·n＝－1，∴2co2错误!－2in2错误!＝－1，∴co A＝－错误!2由1知co A＝－错误!，且02a0，函数f＝m·n的最大值为61求A；2将函数＝f的图像向左平移错误!个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的错误!倍，纵坐标不变，得到函数＝g的图像，求g在[0，错误!]上的值域．解析1f＝m·n＝错误!A inco＋错误!co2＝A错误!in2＋错误!co2＝A in2＋错误!．因为A>0，由题意知A＝62由1知f＝6in2＋错误!．将函数＝f的图像向左平移错误!个单位后得到＝6in[2＋错误!＋错误!]＝6in2＋错误!的图像；再将得到图像上的各点横坐标缩短为原来的错误!倍，纵坐标不变，得到＝6in4＋错误!的图像．因此g＝6in4＋错误!．因为∈[0，错误!]，所以4＋错误!∈[错误!，错误!]．故g在[0，错误!]上的值域为[－3,6]．。
平面向量 章检测 含答案
平面向量 章检测一、选择题(每小题4分,共40分)1.若向量a =(1,1),b =(2,5),c =(3,x)满足条件(8a -b )·c =30,则x 等于( )A.6B.5C.4D.32.若非零向量a ,b 满足|a |=|b |,(2a +b )·b =0,则a 与b 的夹角为( )A.30°B.60°C.120°D.150°3.向量a =(n,1)与b =(4,n)共线且方向相同,则n 等于( ) A. 12 B.±12C.2D.±24.已知a +b =2i-8j,a -b =-8i +16j (设i 、j 是两个互相垂直的单位向量),那么a ·b 等于（）A.63B.-63C.62D.-625.已知|a |=3,|b |=5,且a +λb 与a -λb 垂直,则λ等于( ) A. 35 B.±35 C. 45 D.±456.在△ABC 中,| AC |=5,| BC |=3,| AB |=6,则AB ·CA 等于( )A.13B.26C.-13D.-267.已知A(1,3),B(-2,-3),C(x,7),设AB =a , BC =b ,且a ∥b ,则x 的值是( )A.0B.3C.15D.188.已知|a |=|b |=2,a ,b 的夹角为60°,则a +b 在a 上的投影为( )9.已知向量OA =(2,0), OC =(2,2), CA =(-1,-3),则OA 和OB 的夹角为( ) A. 4π B. 512πC. 3πD. 12π10.若向量a ≠0 ,b =aa ,c =(cos θ,sin θ),则b 与c 一定满足( )A.b =cB.b ·c =0C.(b+c )⊥(b-c)D.以上均不对二、填空题(每小题4分,共16分)11.(2010陕西高考,理11)已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,则m= .12.设向量OA=(3,1), OB=(-1,2),向量OC⊥OB,且向量BC∥OA,当OD+OA= OC时, OD的坐标是 .13.如图,正六边形ABCDEF中,有下列四个命题:A. AC+AF=2BC;B. AD=2AB+2AF;C. AC·AD=AD·AB;D. (AD·AF)EF=AD (AF·EF).其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号).14.若a=(1,m),b=(n,2),a⊥b,且|a|2+|b|2=6,则m2= .三、解答题(共4小题,共44分)15.(10分)(2010江苏高考,15)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;(2)设实数t满足(AB-t OC)·OC=0,求t的值.16.(10分)设作用于同一点O的三个力F1、F2、F3处于平衡状态,若|F1|=1,|F2|=2,F1与F2的夹角为23π,如图所示,求:(1)F3的大小;(2)∠F3OF2的大小.17.(12分)(1)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61,求a与b的夹角θ.(2)设OA=(2,5), OB=(3,1), OC=(6,3),在OC上是否存在点M,使MA⊥MB?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.章检测一、选择题(每小题4分,共40分)1. C2. C3. C4.B5. B6. D7. B8. D9.A 10. C二、填空题(每小题4分,共16分)11. -1 12 (11,6) 13. AB 14. 1 5三、解答题15.解:(1)由题设知AB=(3,5), AC=(-1,1),则AB+AC=(2,6), AB-AC=(4,4).所以|AB+AC AB AC.故所求的两条对角线长分别为(2)由题设知OC=(-2,-1), AB-t OC=(3+2t,5+t).由(AB-t OC)·OC=0,得(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0,从而5t=-11,所以t=-11 5.16.解:(1)F1、F2、F3三个力处于平衡状态,故F1+F2+F3=0 .即F3=-(F1+F2).∴|F3|=|F1+F2==(2)如图,以F2所在直线为x轴,合力作用点为坐标原点,建立直角坐标系,将向量F1,F3正交分解,设∠MOF3=θ,由受力平衡知1312312cos +cos -,32sin =-cos .32F F F F F πθθπππθ-⎧⎛⎫•-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪•- ⎪⎪⎝⎭⎩即32131cos =--cos ,3sin =-cos .6F F F F F πθπθ⎧••⎪⎪⎨⎪⎪⎩将数值代入得3=,2=.6θπθθ∴于是得∠F 3OF 2=π-6π=56π. 17. (1)θ=120°.(2)存在M(2,1)或M(225,115)满足题意. 18. (1)S △ABC =352.(2)∴D(-9,2).。
高中数学第五章平面向量练习含答案 2套 精校打印版 名校使用
第五章 平面向量小题训练A1设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．32在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c3在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，13 C.⎝⎛⎭⎫－12，0 D.⎝⎛⎭⎫－13，0 4在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ等于( )A.15B.25C.35D.455已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫1，83 B.⎝⎛⎭⎫－133，83 C.⎝⎛⎭⎫133，43 D.⎝⎛⎭⎫－133，－43 6．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ等于( )A.14B.12C ．1D ．2 7.设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于( )A ．20 B.15 C ．9 D ．68已知向量a ，b 均为单位向量，它们的夹角为π3，则|a ＋b |等于( )A ．1B. 2C. 3D ．29在△ABC 中，若A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是( )A. 2B ．2 C. 6D ．610已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m 等于( )A ．2 3B. 3 C ．0 D ．－ 311.如图，在△ABC 中，若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 边的三等分点，则AE →·AF →等于( )A.89B.109C.259D.26912 已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心13．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|， 则|AM →|＝________.14.给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的AB 上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值为______．15．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为________．16设点O 是△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，则BC →·AO →＝________.答案A 卷：D A D D DBC C C B B C 13、2 14、2 15 y 2=8x(x ≠0) 16、-252第五章 平面向量小题训练B1已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线2．已知a ，b 是不共线的两个向量，AB →＝x a ＋b ，AC →＝a ＋y b (x ，y ∈R )，若A ，B ，C 三点共线，则点P (x ，y )的轨迹是( )A ．直线B ．双曲线C ．圆D ．椭圆3．已知平面内一点P 及△ABC ，若P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P 与△ABC 的位置关系是( ) A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段BC 上 C ．点P 在线段AC 上D ．点P 在△ABC 外部4．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( )A ．－12a ＋32b B.12a －32b C ．－32a －12b D ．－32a ＋12b5在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于( )A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21)6．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n的值为( )A ．2B.52C ．3D ． 7．设e 1，e 2，e 3为单位向量，且e 3＝12e 1＋k e 2(k ＞0)，若以向量e 1，e 2为邻边的三角形的面积为12，则k 的值为( ) A.32B.22 C.52 D.728若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4B.π2C.3π4D ．π9已知O 为坐标原点，向量OA →＝(3sin α，cos α)，OB →＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且OA →⊥OB →，则tan α的值为( )A ．－43B ．－45 C.45D.3410．若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形11平面四边形ABCD 中，AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则四边形ABCD 是( )A ．矩形B ．梯形C ．正方形D ．菱形12已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，圆M ：(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点分别为E ，F ，则PE →·PF →的最小值是( )A ．5B ．6C ．10D ．1213．如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m 的值为________．14已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的射影为________．15已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，若OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，且OA →·OB →的最大值是最小值的8倍，则实数a 的值是____16．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若∠ABC 为锐角，则实数m 的取值范围是________．B 卷：B BC B B C A A A CD B 13、3 14、-2 15、18 16、m ≥−34且m ≠12。
高考数学第五章平面向量真题练习含答案
高考数学第五章平面向量真题练习含答案1．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=( ) A. 21+- B. 21-- C. BA BC 21- D. BA BC 21+ ．21+-=+=，故选A. 2．（2006年安徽卷）在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN =_______。
（用a b 、表示）解：343A =3()AN NC AN C a b ==+由得，12AM a b =+，所以3111()()4244MN a b a b a b =+-+=-+。
3．（2006年四川卷）如图，已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量积中最大的是（A ）（A ）1213,PP PP（B ）1214,PP PP（C ）1215,PP PP（D ）1216,PP PP练.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心4．（全国卷Ⅱ）点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量v =（4，－3）（即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位.设开始时点P 的坐标为（－10，10），则5秒后点P 的坐标为 （ C ）A ．（－2，4）B ．（－30，25）C ．（10，－5）D ．（5，－10）5.（2006年湖北卷）已知向量()1,3=a ，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3=⋅b a ，则b = （B ） A. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛21,23 B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛433,41 D. ()0,16. （全国卷III ）已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k=23- 练.（广东卷）已知向量(2,3)a =，(,6)b x =，且a b ，则x 为____4_________．7.（福建卷）在△ABC 中，∠C=90°，),3,2(),1,(==k 则k 的值是（ D ） A ．5 B ．－5 C ．23 D ．23- 练．（2006年福建卷）已知1,3,.0,OA OB OAOB===点C 在AOC ∠30o =。
高考数学总复习 第五章 平面向量配套章末综合检测(含
第五章章末综合检测(学生用书为活页试卷 解析为教师用书独有)(检测范围：第五章) (时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知{a n }为等差数列，若a 3＋a 4＋a 8＝9，则S 9＝ ( )A ．24 B.27 C ．15D.54解析 B 由a 3＋a 4＋a 8＝9，得3(a 1＋4d )＝9，即a 5＝3.则S 9＝9a 1＋a 92＝9a 5＝27.2．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为( )A ．14 B.15 C ．16D.17解析 C ∵a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，∴5a 8＝120，a 8＝24，∴a 9－13a 11＝(a 8＋d )－13(a 8＋3d )＝23a 8＝16.3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n n 为正奇数，a n ＋1n 为正偶数，则其前6项之和是A ．16 B.20 C ．33D.120解析 C a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，所以S 6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33，故选C.4．在数列1,2，7，10，13，4，…中，219是这个数列的第几项 ( ) A ．16 B.24 C ．26D.28解析 C 因为a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，a 6＝4＝16，…，所以a n ＝3n －2.令a n ＝3n －2＝219＝76，得n ＝26.故选C.5．已知等差数列的前n 项和为S n ，若S 13<0，S 12>0，则在数列中绝对值最小的项为 A ．第5项 B.第6项 C ．第7项D.第8项解析 C ∵S 13<0，∴a 1＋a 13＝2a 7<0，又S 12>0， ∴a 1＋a 12＝a 6＋a 7>0， ∴a 6>0，且|a 6|>|a 7|.故选C. 6.122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n ＋12－1的值为( )A.n ＋12n ＋2B.34－n ＋12n ＋2C.34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2D.32－1n ＋1＋1n ＋2解析 C ∵1n ＋12－1＝1n 2＋2n ＝1n n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， ∴S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2.7．(2013·杭州月考)正项等比数列{a n }中，若log 2(a 2a 98)＝4，则a 40a 60等于 ( )A ．－16 B.10 C ．16D.256解析 C 由log 2(a 2a 98)＝4，得a 2a 98＝24＝16， 则a 40a 60＝a 2a 98＝16.8．设f (n )＝2＋24＋27＋210＋…＋23n ＋10(n ∈N )，则f (n )＝ ( ) A.27(8n－1) B.27(8n ＋1－1) C.27(8n ＋3－1) D.27(8n ＋4－1) 解析 D ∵数列1,4,7,10，…，3n ＋10共有n ＋4项，∴f (n )＝2[1－23n ＋4]1－23＝27(8n ＋4－1)．9．△ABC 中，tan A 是以－4为第三项，－1为第七项的等差数列的公差，tan B 是以12为第三项，4为第六项的等比数列的公比，则该三角形的形状是 ( )A ．钝角三角形 B.锐角三角形 C ．等腰直角三角形 D.以上均错解析 B 由题意知，tan A ＝－1－－47－3＝34＞0.又∵tan 3B ＝412＝8，∴tan B ＝2＞0，∴A 、B 均为锐角．又∵tan(A ＋B )＝34＋21－34×2＝－112＜0，∴A ＋B 为钝角，即C 为锐角， ∴△ABC 为锐角三角形．10．已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m 、a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m＋4n的最小值为 ( )A.32B.53C.256D ．不存在解析 A 由题意可知，a 5q 2＝a 5q ＋2a 5(q >0)，化简得q 2－q －2＝0，解得q ＝－1(舍去)或q ＝2.又由已知条件a m a n ＝4a 1，得a 1q m －1·a 1qn －1＝16a 21，∴q m ＋n －2＝16＝24，∴m ＋n ＝6，∴1m ＋4n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ·m ＋n 6＝16⎝⎛⎭⎪⎫5＋4m n ＋n m ≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋24m n·n m ＝32， 当且仅当4m n ＝nm，即m ＝2，n ＝4时，取“＝”．11．(2013·银川一中模拟)等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ＝1，2,3，…)，若当首项a 1和公差d 变化时，a 5＋a 8＋a 11是一个定值，则下列选项中为定值的是( )A ．S 17 B.S 18 C ．S 15D.S 14解析 C 由a 5＋a 8＋a 11＝3a 1＋21d ＝3(a 1＋7d )＝3a 8是定值，可知a 8是定值．所以S 15＝15a 1＋a 152＝15a 8是定值．12．数列{a n }的通项公式a n ＝1nn ＋1，其前n 项和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( )A ．－10 B.－9 C ．10D.9解析 B ∵a n ＝1n －1n ＋1，∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝n n ＋1， 由nn ＋1＝910，得n ＝9， ∴直线方程为10x ＋y ＋9＝0，其在y 轴上的截距为－9.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上) 13．已知数列{}a n 中a 1＝1，a 2＝2，当整数n >1时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，则S 15＝________.解析 由S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)，得(S n ＋1－S n )－(S n －S n －1)＝2S 1＝2，即a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)，数列{a n }从第二项起构成等差数列，S 15＝1＋2＋4＋6＋8＋…＋28＝211.【答案】 21114．若数列{a n }满足关系a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1，则该数列的通项公式为________． 解析 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)， ∴数列{a n ＋1}是首项为4，公比为2的等比数列， ∴a n ＋1＝4·2n －1，∴a n ＝2n ＋1－1.【答案】 a n ＝2n ＋1－115．等比数列{a n }的前n 项和S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝3x＋r 的图象上，则实数r ＝________.解析 ∵{a n }是等比数列，且{n ，S n }在函数y ＝3x＋r 上，即S n ＝3n＋r ， ∴公比q ＝3，且a 1＝S 1＝3＋r ，a 2＝S 2－S 1＝6，∴a 2a 1＝63＋r＝q ＝3，∴r ＝－1. 【答案】 －116．给定：a n ＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，定义使a 1·a 2·…·a k 为整数的数k (k ∈N *)叫做数列{a n }的“企盼数”，则区间[1,2 013]内所有“企盼数”的和M ＝________.解析 设a 1·a 2·…·a k ＝log 23·log 34·…·log k (k ＋1)·log k ＋1(k ＋2)＝log 2(k ＋2)为整数m ，则k ＋2＝2m， ∴k ＝2m－2.又1≤k ≤2 013， ∴1≤2m－2≤2 013， ∴2≤m ≤10.∴区间[1,2 013]内所有“企盼数”的和为M ＝(22－2)＋(23－2)＋…＋(210－2)＝(22＋23＋…＋210)－18 ＝22×1－291－2－18＝2 026. 【答案】 2 026三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)已知等差数列{a n }满足：a 4＝6，a 6＝10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }的各项均为正数，T n 为其前n 项和，若b 3＝a 3，T 2＝3，求T n . 解析 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，∵a 4＝6，a 6＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝6，a 1＋5d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝2，∴数列{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －2. (2)设各项均为正数的等比数列{b n }的公比为q (q >0)．∵a n ＝2n －2，∴a 3＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧b 1q 2＝4，b 11＋q ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，b 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－23，b 1＝9(舍去)，∴T n ＝b 11－q n 1－q ＝1－2n1－2＝2n－1.18．(12分)已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，且对任意的n ∈N *，有S n＝32a n －32. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1log 3a n ·log 3a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解析 (1)由已知得S n ＝32a n －32，∴当n ≥2时，S n －1＝32a n －1－32，∴S n －S n －1＝32a n －32a n －1，即a n ＝32a n －32a n －1，∴当n ≥2时，a n ＝3a n －1，∴数列{a n }为等比数列，且公比q ＝3； 又当n ＝1时，S 1＝32a 1－32，即a 1＝32a 1－32，∴a 1＝3.∴a n ＝3n.(2)由(1)知a n ＝3n， 故b n ＝1log 33n·log 33n ＋1＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1. 19．(12分)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项；(2)设b n ＝n a n，求数列{b n }的前n 项和S n . 解析 (1)∵a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，①∴a 1＝13，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13(n ≥2)， ②①－②得3n －1a n ＝n 3－n －13＝13(n ≥2)，化简得a n ＝13n (n ≥2)．显然a 1＝13也满足上式，故a n ＝13n (n ∈N *)．(2)由①得b n ＝n ·3n.于是S n ＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n ·3n，③ 3S n ＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋n ·3n ＋1，④③－④得－2S n ＝3＋32＋33＋…＋3n －n ·3n ＋1，即－2S n ＝3－3n ＋11－3－n ·3n ＋1，S n ＝n 2·3n ＋1－14·3n ＋1＋34.20．(12分)(2013·长沙模拟)已知{a n }为递减的等比数列，且{a 1，a 2，a 3}{－4，－3，－2,0,1,2,3,4}．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)当b n ＝1－－1n2a n 时，求证：b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n －1<163.解析 (1)∵{a n }是递减数列， ∴数列{a n }的公比q 是正数，又∵{a 1，a 2，a 3}{－4，－3，－2,0,1,2,3,4}， ∴a 1＝4，a 2＝2，a 3＝1.∴q ＝a 2a 1＝24＝12，∴a n ＝a 1q n －1＝82n .(2)b n ＝8[1－－1n]2n ＋1，当n ＝2k (k ∈N *)时，b n ＝0， 当n ＝2k －1(k ∈N *)时，b n ＝a n ，即b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0n ＝2k ，k ∈N *a nn ＝2k －1，k ∈N *∴b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n －2＋b 2n －1 ＝a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14＝163⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n <163. 21．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1. (1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)设3nb n ＝n (3n－a n )，求|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |. 解析 (1)∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1，∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)．又a 1＝5，a 2＝5， ∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋a n ＋1≠0， ∴a n ＋1＋2a na n ＋2a n －1＝3，∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n，即a n ＋1＝－2a n ＋5×3n， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n)．又∵a 1－3＝2， ∴a n －3n≠0，∴{a n －3n }是以2为首项，－2为公比的等比数列． ∴a n －3n＝2×(－2)n －1，即a n ＝2×(－2)n －1＋3n(n ∈N *)．(3)由(2)及3nb n ＝n (3n－a n )，可得 3nb n ＝－n (a n －3n)＝－n [2×(－2)n －1]＝n (－2)n，∴b n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23n，∴|b n |＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n.∴T n ＝|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n | ＝23＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋…＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n，①①×23，得23T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1， ②①－②得13T n ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1 ＝2－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1＝2－(n ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1，∴T n ＝6－2(n ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫23n.22．(14分)已知函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )且f (1)＝12.(1)当n ∈N *时，求f (n )的表达式；(2)设a n ＝n ·f (n )，n ∈N *，求证：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n <2； (3)设b n ＝(9－n )f n ＋1f n，n ∈N *，S n 为{b n }的前n 项和，当S n 最大时，求n 的值．解析 (1)令x ＝n ，y ＝1， 得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)＝12f (n )，∴{f (n )}是首项为12，公比为12的等比数列，即f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.(2)设T n 为{a n }的前n 项和，∵a n ＝n ·f (n )＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，∴T n ＝12＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，12T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1， 两式相减得12T n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1， 整理，得T n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n<2.(3)∵f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，∴b n ＝(9－n )f n ＋1f n＝(9－n )⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝9－n 2，∴当n ≤8时，b n >0；当n ＝9时，b n ＝0； 当n >9时，b n <0.∴当n ＝8或9时，S n 取到最大值．。
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第五章 平面向量章节测试题
一．选择题：
1.下列命题中正确的是 （ ）
A.a b a b ⋅=⋅
B.a b b a ⋅≠⋅
C.()()a b a b λλ⋅≠⋅
D.非零向量a b 、的夹角arccos
a b a b
θ⋅=⋅
2.在ABC 中，A>B 是22
cos cos A B <的（ ）
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 3.已知AD 、BE 分别为ABC 的边BC 、AC 上的中线，且,AD BE a b ==，则BC =（ ）
A.
4233a b + B. 2433a b + C. 2233a b - D. 22
33
a b -+ 4.已知向量(1,2)(2,4),5a b c ==--=、
，若()
5
2
a b c +⋅=，则a c 与的夹角为（ ） A.030 B. 060 C. 0120 D. 0
150
5.把函数3
sin()2y x π
=--的图象按向量a 平移后得到的是函数sin y x =的图象，则向量a =（ ）
A.(
,2)3π
- B.(,2)3π C. (,2)3π-- D. (,2)3
π
-
6.设D E F 、、分别是ABC 的三边BC CA AB 、、上的点，且222DC BD CE EA AF FB ===、、,则
AD BE CF ++与BC （ ）
A.反向平行
B.同向平行
C.互相垂直
D.既不垂直也不平行
7. 在ABC 中，0
,4575AB A C BC ====,则（ ）
A.3 C.2 D. 38.已知向量(2,2)(4,1)OA OB ==、,在x 轴上一点,P 使AP BP ⋅有最小值，则点P 得坐标为（ ） A.(3,0)-
B.(2,0)
C. (3,0)
D. (4,0)
9.已知a b 、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量a 满足()()
0a c b c -⋅-=，则c 的最大值是（ ）
A.1
B.2 D.
2
10.若O 为ABC 的内心，且满足2()()0OB OC OB OC OA -+-⋅=,则ABC 的形状为（ ） A.等腰三角形 B.正三角形 C 直角三角形 D.以上都不对
11. 将函数3
sin(2)y x π
=+的图象按向量a 平移后所得到的图象关于点12
(,0)π
-
中心对称，则向量
a 的坐标可能为（ ）
A.(,0)12
π
-
B. (,0)6
π
-
C. (
,0)12π D. (,0)6
π 12.ABC 中，,3
3A BC ABC π
==,则的周长为（ ）
A.3
)3B π
++ B.6
)3B π++ C.3
6sin()3B π++ D.6
6sin()3B π
++
二．填空题：
13.在ABC 中，若2
AB AB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅,则ABC 的形状为 。
14. 已知向量(2,3),(,6),a b x ==且已知向量//a b ，则x = 。
15. 在ABC 中，0
,57,120A B BC ABC A ===,则的面积S = 。
16. 在ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若2AM =，则()OA OB OC ⋅+的最小值是 。
三．解答题：
17.已知a b 、满足3
31<,>=a b a b π
==，
，，求cos<2,>a b a b +-的值。
18. 在ABC 中，0
45,5
B A
C C ∠===
, (1)求BC 的边长； （2）记AB 的中点为D ,求中线CD 的长。
19.设ABC 的内角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、且35
cos cos a B b A c -=。
（1）求tan cot A B 的值； （2）求tan()A B -的最大值。
20. 在ABC 中，内角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、，已知3
2,c C π
==。
（1）若ABC a b 、；
（2）若sin sin()2sin C B A A +-=，求ABC 的面积。
21. 在ABC 中，内角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、，6
,(12A c b π
=
+=。
（1）求C ； （2）若1CB CA ⋅=求a b c 、、。
22. 在
ABC 中，内角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、。
已知222a b b -=，
sin 4cos sin B A C =且，求B 。