不等式学案
学案2：2.2 第2课时 基本不等式的应用
2.2 第2课时 基本不等式的应用不等式与最大(小)值阅读教材，完成下列问题． x ，y 都为正数时，下面的命题成立(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最 值 ； (2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最 值 . 思考：(1) 函数y ＝x ＋1x 的最小值是2吗？(2)设a ＞0,2a ＋3a取得最小值时，a 的值是什么？初试身手1．下列函数中，最小值为4的函数是( )A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x (0＜x ＜π)C ．y ＝e x ＋4e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 812．当x ＞0时，x ＋9x 的最小值为________．3．当x ∈(0,1)时，x (1－x )的最大值为________．4．若点A (－2，－1)在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为________．【例1】 (1)已知x >2，则y ＝x ＋4x －2的最小值为________．(2)若0<x <12，则函数y ＝12x (1－2x )的最大值是________．规律方法在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件．跟踪训练1．(1)已知t>0，则函数y＝t2－4t＋1t的最小值为________．(2)设0<x≤2，则函数ƒ(x)＝x(8－2x)的最大值为________．类型2利用基本不等式解实际应用题【例2】如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(如图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？规律方法在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：(1)先理解题意，设变量时一般把要求最值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；(3)在定义域内，求出函数的最值；(4)写出正确答案．跟踪训练2．(1)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N ＋)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．(2)用一段长为36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？[1．(1)当x ＞0时，x 2＋1x 有最大值，还是最小值？(2)当x ＞0时，xx 2＋1有最大值，还是最小值？2．(1)设a ＞0，b ＞0，(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋2b 的最小值是什么？(2)设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，1a ＋2b 的最小值是什么？【例3】 (1)若对任意的x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求a 的取值范围．(2)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，求1a ＋1b 的最小值．母体探究1．(变条件)(1)在例3(2)中，若3是3a 与3b 的等比中项，求1a ＋1b的最小值．(2)在例3(2)中，把条件换为“2a 和1b 的等差中项是12”，求2a ＋b 的最小值．2．(变条件)把例3(2)的条件换为“a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＋ab ＝1”，求a ＋b 的最小值．规律方法最值法解答恒成立问题将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的处理方法，其一般类型有： (1)f (x )＞a 恒成立⇔a ＜f (x )min . (2)f (x )＜a 恒成立⇔a ＞f (x )max .课堂小结1．利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．2．使用基本不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解．3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用基本不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义． 当堂达标1．若x >0，y >0且2(x ＋y )＝36，则xy 的最大值为( )A ．9B ．18C ．36D ．812．一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫v 202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时．3．求函数f (x )＝x x ＋1的最大值．参考答案新知初探不等式与最大(小)值 阅读教材，完成下列问题．(1)大 s 24；(2)小思考：(1) [提示] 不是，只有当x ＞0时，才有x ＋1x ≥2，当x ＜0时，没有最小值．(2) [提示] 2a ＋3a≥22a ×3a ＝26，当且仅当2a ＝3a ，即a ＝62时，取得最小值．初试身手1．【答案】C【解析】A 中x ＝－1时，y ＝－5＜4，B 中y ＝4时，sin x ＝2，D 中x 与1的关系不确定，选C ． 2．【答案】6【解析】因为x ＞0，所以x ＋9x ≥2x ×9x ＝6，当且仅当x ＝9x，即x ＝3时等号成立． 3．【答案】14【解析】因为x ∈(0,1)，所以1－x ＞0， 故x (1－x )≤⎝⎛⎭⎫x ＋1－x 22＝14，当x ＝1－x ， 即x ＝12时等号成立．4．【答案】8【解析】由已知点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上所以2m ＋n ＝1，所以1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋2(2m ＋n )n＝4＋⎝⎛⎭⎫n m ＋4m n ≥8. 【例1】【答案】(1)6 (2)116【解析】(1)因为x >2，所以x －2>0，所以y ＝x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2(x －2)·4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立．所以y ＝x ＋4x －2的最小值为6.(2)因为0<x <12，所以1－2x >0，所以y ＝12x ·(1－2x )＝14×2x ×(1－2x )≤14⎝⎛⎭⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116，当且仅当2x ＝1－2x ，即当x ＝14时，y max ＝116. 规律方法在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件． 跟踪训练1．【答案】(1)－2 (2)22 【解析】(1)依题意得y ＝t ＋1t －4≥2t ·1t －4＝－2，等号成立时t ＝1，即函数y ＝t 2－4t ＋1t(t >0)的最小值是－2.(2)因为0<x ≤2，所以0<2x ≤4,8－2x ≥4>0，故ƒ(x )＝x (8－2x ) ＝12·2x ·(8－2x ) ＝12·2x ·(8－2x )≤12×82＝22， 当且仅当2x ＝8－2x ，即x ＝2时取等号， 所以当x ＝2时，ƒ(x )＝x (8－2x )的最大值为2 2.【例－20) cm ，⎝⎛⎭⎫y －252cm ，其中x >20，y >25，则两栏面积之和为2(x －20)×y －252＝18 000，由此得y＝18 000x －20＋25， 所以广告牌的面积S ＝xy ＝ x ⎝⎛⎭⎫18 000x －20＋25＝18 000x x －20＋25x ， 整理得S ＝360 000x －20＋25(x －20)＋18 500.因为x －20>0，所以S ≥2360 000x －20×25(x －20)＋18 500＝24 500. 当且仅当360 000x －20＝25(x －20)时等号成立，此时有(x －20)2＝14 400，解得x ＝140， 代入y ＝18 000x －20＋25，得y ＝175.即当x ＝140，y ＝175时，S 取得最小值24 500.故当广告牌的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使矩形广告牌的面积最小． 法二：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝9 000，其中a >0，b >0. 易知广告牌的高为(a ＋20) cm ，宽为(2b ＋25)cm.广告牌的面积S ＝(a ＋20)(2b ＋25)＝2ab ＋40b ＋25a ＋500＝18 500＋25a ＋40b ≥18 500＋225a ·40b ＝24 500，当且仅当25a ＝40b 时等号成立，此时b ＝58a ，代入ab ＝9 000得a ＝120，b ＝75.即当a ＝120，b ＝75时，S 取得最小值24 500.故当广告牌的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使矩形广告牌的面积最小．规律方法在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点： (1)先理解题意，设变量时一般把要求最值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题； (3)在定义域内，求出函数的最值； (4)写出正确答案． 跟踪训练2．【答案】(1)5 8【解析】每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，且x >0，故yx ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．(2)[解] 设矩形菜园的长为x m 、宽为y m ，则2(x ＋y )＝36，x ＋y ＝18，矩形菜园的面积为xy m 2.由xy ≤x ＋y 2＝182＝9，可得xy ≤81，当且仅当x ＝y ，即x ＝y ＝9时，等号成立．因此，这个矩形的长、宽都为9 m 时，菜园的面积最大，最大面积为81 m 2.[1．[提示] (1)当x ＞0时，x 2＋1x ＝x ＋1x ≥2x ×1x＝2， 当x ＝1时等号成立，即x 2＋1x有最小值2.(2)当x ＞0时，x x 2＋1＝1x ＋1x ，因为x ＋1x ≥2，所以x x 2＋1≤12，故x x 2＋1有最大值12.2．[提示] (1)(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2ab ≥3＋22，当b ＝2a 时等号成立； (2)由于a ＋b ＝1，所以1a ＋2b＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ≥22＋3， 当b ＝2a ，即a ＝2－1，b ＝2－2时，1a ＋2b 的最小值为3＋2 2.【例3】[解] (1)设f (x )＝xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3，∵x ＞0，∴x ＋1x ≥2，∴f (x )≤15，即f (x )max ＝15，∴a ≥15.(2)由题意得，3a ·3b ＝(3)2，即a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，等号成立．母体探究1．[解] (1)由3是3a 与3b 的等比中项，得3a ＋b ＝32，即a ＋b ＝2，故12(a ＋b )＝1，所以1a ＋1b ＝12(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫2＋b a ＋a b ≥12⎝⎛⎭⎫2＋2b a ×a b ＝2， 当a ＝b ＝1时等号成立．(2)由于2a 和1b 的等差中项是12，则2a ＋1b＝1，故2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝5＋2b a ＋2ab ≥5＋22b a ×2ab＝9. 当a ＝b ＝3时等号成立．2．[解] a ＋b ＋ab ＝1，得b ＝1－aa ＋1＞0，故0＜a ＜1，故a ＋b ＝a ＋1－a a ＋1＝a ＋－1－a ＋2a ＋1＝a ＋2a ＋1－1＝a ＋1＋2a ＋1－2≥2(a ＋1)×2a ＋1－2＝22－2，当a ＋1＝2a ＋1，即a ＝2－1时等号成立．当堂达标 1．【答案】A【解析】由2(x ＋y )＝36得x ＋y ＝18.所以xy ≤x ＋y2＝9，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立． 2．【答案】8【解析】设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则t ＝400＋16⎝⎛⎭⎫v 202v＝400v ＋16v400≥2400v ×16v 400＝8(小时)，当且仅当400v ＝16v400，即v ＝100时，等号成立，此时t ＝8小时． 3．[解] f (x )＝xx ＋1＝1x ＋1x ，因为x ＋1x≥2x ×1x ＝2，当x ＝1时等号成立，所以f (x )≤12.。
基本不等式答案
基本不等式学案(含答案)一 :基础演练1.若x>0，则x ＋2x 的最小值为________．答案：22解析：∵ x>0，∴ x ＋2x≥2x·2x＝22，当且仅当x ＝2时等号成立． 2. 设x<0，则y ＝3－3x －4x 的最小值为________．答案：3＋43解析：∵ x<0，∴ y ＝3－3x －4x ＝3＋(－3x)＋⎝⎛⎭⎫－4x ≥3＋2（－3x ）·⎝⎛⎭⎫－4x ＝3＋43，当且仅当x ＝－233时等号成立，故所求最小值为3＋4 3.3. 若x>－3，则x ＋2x ＋3的最小值为________．答案：22－3解析：∵ x ＋3>0，∴ x ＋2x ＋3＝(x ＋3)＋2x ＋3－3≥2（x ＋3）×2x ＋3－3＝22－3.4. 设x ，y ∈R ，且x ＋y ＝5，则3x ＋3y 的最小值是________．答案：183解析：3x ＋3y ≥23x ·3y ＝23x ＋y ＝235＝183，当且仅当x ＝y ＝52时等号成立．5. (必修5P 88例2改编)已知函数f(x)＝x ＋ax －2(x>2)的图象过点A(3，7)，则此函数的最小值是________．答案：6解析：∵ 函数f(x)＝x ＋ax －2(x>2)的图象过点A(3，7)，即7＝3＋a ，∴ a ＝4.∵ x －2>0，∴ f(x)＝(x －2)＋4x －2＋2≥2（x －2）·4x －2＋2＝6，当且仅当x ＝4时等号成立，故此函数的最小值是6. 二:典型例题例1 (1) 已知x<54，求函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值；(2) 已知x>0，y>0且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．解：(1) x<54，∴ 4x －5<0.∴ y ＝4x －5＋14x －5＋3＝－[(5－4x)＋1（5－4x ）]＋3≤－2（5－4x ）1（5－4x ）＋3＝1，y max ＝1.(2) ∵ x>0，y>0且1x ＋9y ＝1，∴ x ＋y ＝(x ＋y)⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝10＋9x y ＋yx ≥10＋29x y ·yx＝16，即x ＋y 的最小值为16.例2已知函数f(x)＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)．(1) 当a ＝4时，求函数f(x)的最小值；(2) 若对任意x ∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a 的取值范围．解：(1) 由a ＝4，∴f(x)＝x 2＋2x ＋4x ＝x ＋4x ＋2≥6，当x ＝2时，取得等号．即当x ＝2时，f(x)min ＝6.(2) x ∈[1，＋∞)，x 2＋2x ＋ax >0恒成立，即x ∈[1，＋∞)，x 2＋2x ＋a>0恒成立．等价于a>－x 2－2x ，当x ∈[1，＋∞)时恒成立，令g(x)＝－x 2－2x ，x ∈[1，＋∞)， ∴a>g(x)max ＝－1－2×1＝－3，即a>－3.∴a 的取值范围是()－3，＋∞. 例3 已知x>0，y>0，求证：1x ＋1y ≥4x ＋y.证明：原不等式等价于(x ＋y)2≥4xy ，即(x －y)2≥0，显然成立．故原不等式得证．变式训练(1) 若a>b>c ，求证：1a －b ＋1b －c ≥4a －c；(2) 若a>b>c ，求使得1a －b ＋1b －c ≥ka －c恒成立的k 的最大值．证明：(1) 令a －b ＝x ，b －c ＝y ，则a －c ＝x ＋y.原不等式等价于1x ＋1y ≥4x ＋y ，由作差法可证该不等式成立，故原不等式成立．(2) 由(1)可知，1a －b ＋1b －c ≥4a －c 恒成立，而1a －b ＋1b －c ≥ka －c ，k 的最大值为4.例4 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间．一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1) 现有可围成36m 长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？(2) 若使每间虎笼的面积为24m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成的四间虎笼的钢筋网总长最小？解：(1) 设每间虎笼长为xm ，宽为ym ，则⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋6y ＝36，x>0，y>0，面积S ＝xy.由于2x ＋3y ≥22x·3y ＝26xy ，所以26xy ≤18，得xy ≤272，即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时取等号．则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y 2x ＋3y ＝18⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3，所以每间虎笼长、宽分别为4.5m 、3m 时，可使面积最大．(2) 设围成四间虎笼的钢筋网总长为lm ，则l ＝4x ＋6y ，且xy ＝24，所以l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y)≥2×22x·3y ＝46xy ＝4×6×24＝48(m)，当且仅当2x ＝3y 时取等号．⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝242x ＝3y⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.故每间虎笼长、宽分别为6m 、4m 时，可使钢筋网的总长最小为48m.例5某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162 m 2的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/m 2，中间两道隔墙建造单价为248元/m 2，池底建造单价为80元/m 2，水池所有墙的厚度忽略不计．(1) 试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2) 若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16 m ，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．解：(1) 设污水处理池的宽为x m ，则长为162xm.总造价为f(x)＝400×⎝⎛⎭⎫2x ＋2·162x ＋248×2x ＋80×162＝1 296x ＋1 296×100x ＋12 960＝1 296⎝⎛⎭⎫x ＋100x ＋1 2960≥1 296×2x·100x ＋12 960＝38 880元．当且仅当x ＝100x(x>0)，即x ＝10时取等号．∴ 当长为16.2 m ，宽为10 m 时总造价最低，最低总造价为38 880元．(2) 由限制条件知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤16，0<162x ≤16，∴ 1018≤x ≤16.设g(x)＋x ＋100x ⎝⎛⎭⎫∴ 1018≤x ≤16，由函数性质易知g(x)在⎣⎡⎦⎤1018，16上是增函数，∴ 当x ＝1018时(此时162x ＝16)，g(x)有最小值，即f(x)有最小值1 296×⎝⎛⎭⎫1018＋80081＋12 960＝38 882(元)．∴ 当长为16 m ，宽为1018 m 时，总造价最低，为38 882元．三:能力提僧升1. (2013·上海)设常数a>0，若9x ＋a 2x ≥a ＋1对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为________．答案：⎣⎡⎭⎫15，＋∞解析：9x ＋a 2x≥29x·a 2x ＝6a ，所以6a ≥a ＋1，即a ≥15. 2. 已知正实数x 、y 、z 满足2x(x ＋1y ＋1z )＝yz ，则⎝⎛⎭⎫x ＋1y ⎝⎛⎭⎫x ＋1z 的最小值为________． 答案：2解析：∵ 2x ⎝⎛⎭⎫x ＋1y ＋1z ＝yz ，∴ 1y ＋1z ＝yz2x －x ， ∴ ⎝⎛⎭⎫x ＋1y ⎝⎛⎭⎫x ＋1z ＝x 2＋x ⎝⎛⎭⎫1y ＋1z ＋1yz ＝yz 2＋1yz≥ 2.3. 已知P 是△ABC 的边BC 上的任一点，且满足AP →＝xAB →＋yAC →，x 、y ∈R ，则1x ＋4y 的最小值是________．答案：9解析：因为B 、C 、P 三点共线且AP →＝xAB →＋yAC →，故x ＞0，y ＞0且x ＋y ＝1，所以1x ＋4y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋4y (x ＋y)＝5＋y x ＋4x y≥9. 4. 若不等式4x 2＋9y 2≥2k xy 对一切正数x 、y 恒成立，则整数k 的最大值为________．答案：3解析：原不等式可化为4x y ＋9y x ≥2k 而4x y ＋9yx ≥12，∴ 2k ≤12，则整数k 的最大值为3.5. 设正项等差数列{a n }的前2 011项和等于2 011，则1a 2＋1a 2 010的最小值为________．答案：2解析：由题意得S 2 011＝2 011（a 1＋a 2 011）2＝2 011，∴ a 1＋a 2 011＝2.又a 2＋a 2 010＝a 1＋a 2 011＝2，∴ 1a 2＋1a 2 010＝12⎝⎛⎭⎫1a 2＋1a 2 010(a 2＋a 2 010)＝12(a 2 010a 2＋a 2a 2 010)＋1≥2.。
高中数学《不等式》教案
高中数学《不等式》教案教学内容：不等式
教学目标：
1. 理解不等式的概念和性质。
2. 掌握不等式的解法和解集表示法。
3. 能够根据不等式的性质解决实际问题。
教学重点：
1. 掌握不等式的基本概念和性质。
2. 能够利用不等式解决实际问题。
教学难点：
1. 熟练掌握各种不等式的解法。
2. 能够根据实际问题建立并解决不等式。
教学过程：
一、导入（5分钟）
1. 引入不等式的概念，并和等式做比较，引发学生思考。
二、讲解不等式的性质和解法（15分钟）
1. 讲解不等式的符号表示及性质。
2. 讲解不等式的解法，包括加减法、乘法、除法等。
三、练习与讨论（20分钟）
1. 练习不等式的基本运算和解法。
2. 让学生在小组讨论中解决不等式问题。
四、实际问题应用（10分钟）
1. 列举一些实际问题，让学生通过建立不等式解决。
五、总结与展望（5分钟）
1. 总结不等式的性质和解法。
2. 展望下节课内容，讲解高级不等式的解法。
六、作业布置（5分钟）
1. 布置练习题，巩固不等式的知识。
教学板书：
不等式
1. 定义：比较两个数的大小关系的代数式。
2. 符号表示：大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）。
3. 特性：加减法、乘除法性质。
教学反思：
通过本节课的教学，学生对不等式的概念和性质有了初步了解，并能够熟练解决基本的不等式问题。
下一步可以引入更复杂的不等式，挑战学生的解题能力。
7.1不等式及其基本性质教案+学案
7.1不等式及其基本性质(1)一、教学目标：1.通过实际问题中数量关系的分析,体会到现实世界中有各种各样的数量关系存在,不等关系是其中的一种。
2.了解不等式及其概念;会用不等式表示数量之间的不等关系。
二、教学重、难点：1.本节课的重点是不等式的概念。
2.本节课的难点是正确分析实际问题中的不等关系并用不等式表示。
三、教具准备:多媒体课件四、学情分析：对于等量关系是学生比较熟悉的,会用等式(方程)进行.表达不等关系虽然大量存在,但用数学方法表达学生还比较陌生.需要引导学生通过对实际问题的认真观察,仔细分析,抓住反映不等关系的关键词语(如多于、少于、不高于、不低于、最多、最少等)，结合已有的数的大小比较、方程等知识，用不等式正确反映实际问题中的不等关系。
五、教学过程：1.回顾与提问:什么是等式？你能举个表示等式关系的例子吗？等式用什么符号连接？2.情境引入：[问题1]用适当的符号表示下列关系：（1）2x与3的和不大于-6；（2）x 的5倍与1的差小于x 的3倍；（3）a与b的差是负数。
[问题2]雷电的温度大约是28000℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高。
设太阳表面温度为t℃，那么t应该满足怎样的关系式？[问题3]一种药品每片为0.25g，说明书上写着：“每日用量0.75~2.25g，分3次服用”。
设某人一次服用 x 片，那么 x 应满足怎样的关系？通过两个实际问题：太阳表面温度和药品问题让学生体会到实际生活中广泛存在的不等关系。
3.新课讲解:（1）不等式的定义：用不等号（＞、≥、＜、≤或≠）表示不等关系的式子叫做不等式注意：不大于，即小于或等于，用“≤”表示（“≤” 也可以说成“至多”“不多于”；不小于，即大于或等于，用“≥”表示(“≥”也可以说成“至少”“不少于”）。
（2）知识巩固:判断下列式子是不是不等式：（1）3>0；（2）4x+3y=0；（3）x=3；（4） x-1；（5）x+2 ≤3；（6）a≠54.深化提高例1：列不等式(1)x的5倍与y的一半的差不大于1(2)x的4倍不大于x的3倍与7的差(3)代数式2y-3的值至少比y-2大3例2：爆破施工时导火索的燃烧速度是0.06米/秒，人离开的速度是4.8米/秒。
不等式的基本性质 学案
2.2 不等式的基本性质导学案课题 2.2 不等式的基本性质课型新授课学习目标1.通过探索发现并掌握不等式的三条基本性质;2.会熟练运用不等式的基本性质进行不等式的变形．重点难点会熟练运用不等式的基本性质进行不等式的变形感知探究一、自自主学习阅读课本40、41页，回答下列问题：已知x>y，则x-1________y-1 3x________3y -x________-y二、自自学检测1、下列四个不等式：；；；，一定能推出错误!未找到引用源。
的有错误!未找到引用源。
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2、若错误!未找到引用源。
，则下列各式中一定成立的是错误!未找到引用源。
A. 错误!未找到引用源。
B. 错误!未找到引用源。
C. 错误!未找到引用源。
D. 错误!未找到引用源。
3、若错误!未找到引用源。
，则下列结论：错误!未找到引用源。
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其中一定成立的个数是错误!未找到引用源。
A. 1B. 2C. 3D. 4三、合合作探究探究一：如果在不等式的两边都加或都减同一个整式，那么结果会怎样？请举几例试一试，并与同伴交流.完成下列填空：2 < 3；2 × 5 __________3 × 5；2 × __________3 ×；2 × (- 1) _______3 × (- 1)；2 × (- 5) _______3 × (- 5)；2 × ( -) _______3 ×( -)你发现了什么？请再举几例试一试，还有类似的结论吗？与同伴交流．不等式的基本性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向______．不等式的基本性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向______．探究二：你相信这个结论吗？你能利用不等式的基本性质解释这一结论吗？将下列不等式化成“x > a”或“x < a”的形式：（1）x - 5 > - 1；（2）-2 x > 3．四、当堂检测1、已知a，b，c均为实数，错误!未找到引用源。
高中数学5个不等式教案
高中数学5个不等式教案
课题：高中数学不等式
目标：学生能够理解和解决各种不等式问题，掌握不等式的基本性质和解法方法。
一、引入：
通过一个简单的问题引入不等式的概念，让学生明白不等式的意义和作用。
二、基本性质：
1. 不等式的基本性质：大小关系、加减乘除，等不等式的性质。
2. 不等式的转化：加减法转化、乘除法转化等。
3. 不等式的表示：解集表示法、图示法等。
三、解不等式：
1. 一元一次不等式：解一元不等式常用的方法和技巧。
2. 一元二次不等式：解一元二次不等式的方法和步骤。
3. 复合不等式：解复合不等式的方法和技巧。
四、不等式的应用：
1. 不等式在几何中的应用：三角形不等式等。
2. 不等式在实际问题中的应用：最大最小值问题、优化问题等。
五、综合练习：
安排一些综合性的练习题，让学生运用所学知识解决问题。
六、总结：
对本节课所学的内容进行总结，强化学生对不等式知识的理解和掌握。
七、作业：
布置适量的作业，巩固所学内容。
以上是一份高中数学不等式教案范本，教师可根据实际情况和教学需要进行具体调整和安排。
不等式学案
不等式认识不等式：1、不等式的定义：表示不等关系的式子,叫做不等式.不等式用符号＞,＜,≥,≤.2、不等式的解：能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解.例1、用不等式表示： ⑴ a 是正数；⑵ b 不 是负数；⑶ c 是非负数； ⑷ x 的平方是非负数；⑸ x 的一半小于-1；⑹ y 与4的和不小于３.例2、用不等式表示： ⑴ a 与1的和是正数；⑵ x 的2倍与y 的3倍的差是非负数；⑶ x 的2倍与1的和大于—1；⑷a 的一半与4的差的绝对值不小于a.例3、当x=2时，不等式x-1＜2成立吗？当x=3呢？当x=4呢？注：检验字母的值能否使不等式成立，只要代入不等式的左右两边，如果符合不等号所表示的关系，就成立，否则就不成立.练习：1．下列各式：(1)5(2)0.0010(3)9(4)320(5)1(6)5x y x y a x +>=->≠≤.其中,不等式有( )个A 3B 4C 5D 62.下列各数,是不等式32x -<的解的有( )个23,2,2,5,0,1,6,1003---A 5B 6C 7D 83.y 与3的和的一半是负数，用不等式表示为（ ）Ａ．1302y +> Ｂ．1302y +< Ｃ．1(3)02y +< Ｄ．1(3)02y +> 4．不等式23x +>-的非正整数解是（ ） Ａ．1-，2- Ｂ．0，1-，2-，3-，4- Ｄ．1-，2-，3- Ｄ．1-，2-，3-，4-5.下列说法正确的是( )A 1x =是不等式21x <的解B 不等式21x <的解是0x =C 12x =是不等式21x <的解 D 所有负数都是不等式21x <的解 6．用不等式表示：①“3a -是不大于3-的数”为________；②“x 的21与y 的2倍的和是非负数”为________. ③ “长为a +b ，宽为a 的长方形面积小于边长为3a -1的正方形的面积”为________.7．下列各数12,2,3,2,43--中,______________是不等式370x -≥的解,___________不是不等式30x +<的解.8.用“<”或“>”填空 103___53,104___54,10___5x x ++--++ 9.用不等式表示数量关系 (1)x 的相反数与13的和是正数 (2)a 不是一个负数 (3)y 的2倍加3小于5(4)y 的绝对值与2的差不大于9 (5)x 大于2-且不小于2 (6)一个数x 的平方不大于这个数的相反数不等式的解集如图：请你在数轴上表示：(1)小于3的正整数；(2)不大于3的正整数；(3)绝对值小于3大于1的整数；(4)绝对值不小于--3的非正整数； 概括：（1）、一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集. （2）、求不等式的解集的过程，叫做解不等式.（3）、不等式的解集在数轴上可直观地表示出来，但应注意不等号的类型，小于在左边，大于在右边.当不等号为“>”“<”时用空心圆圈，当不等号为“≤”“≥”时用实心圆圈.例1、将下列不等式的解集在数轴上表示出来.（1）x<221 （2）x 2-≥ （3）-121<x 3≤练习：写出如图所示的不等式的解集．解一元一次不等式1.只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是 1.像这样的不等式叫做 一元一次不等式2．不等式性质1，如果a>b ，那么a ±b______b ±c ，如果a<b ，那么a ±c_____b ±c ． 这就是说：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向 b________．3．不等式性质2，如果a>b ，并且c____0，那么ac>bc ． 4．不等式性质3，如果a>b ，并且c_____0，那么ac<bc ．这就是说：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向______；•不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向________． 基础训练1.设a<b,用“〈”或“〉”号填空:(1)a+1 b+1; (2)a-3 b-3; (3)3a 3b; (4)-a _-b; (5)a+2 a+3; (6)-4a-5 -4a-3 （7）则a-2 b-1 2.(1)若m+2<n+2,则有m-1 n-1,-5m -5n ；（2）若ac 2>bc 2,则a b,-a-1 -b-1. （3）若a>b,则ac bc(c ≤0),ac 2bc 2(c ≠0). 3．不等式2x ≥4的解集是________． 4．当x_______时，不等式x+3>6成立． 5．x<1是_______的解集？A ．2x-1>0B ．x+3<4C ．x+3<-4D ．-x+2<06．不等式x-1>2的解集为x>3，如图，用数轴上表示这个解集正确的是（ ）7.能使不等式x-7≥1成立的x 的取值范围是（ ） A ．x>8 B ．x ≤8 C ．x ≥8 D ．x ≤7 拓展练习：1、不等式（m-2）x>1的解集为x<21m ，则（ ）A ．m<2 B. m>2 C. m>3 D.m<3.2、写出不等式x+3<6的正整数解.课堂检测1．（1）若x>3，那么x-m_____3-m；（2）若a<b，那么a+6_______b+6；（3）a<-b，那么a+b______0；（4）若7a-2m<7b-2m，那么7a____7b．2．不等式3+x≥6的解集是（）A．x=3 B．x≥3 C．所有大于3的数 D．大于或等于3的整数3．若代数式x-3的值为负数，则（）A．x<3 B．x<0 C．x>3 D．x>04．下列说法正确的是（）A．方程4+x=8和不等式4+x>8的解是一样的; B．x=2是不等式4x>5的唯一解C．x=2是不等式4x>15的一个解;D．不等式x-2<6的两边都加上1，则此不等式成立5．若a>b，且c不为0，则（）A．ac>bc B．ac<bc C．ac2>bc2 D．ac2≥bc26．若a<0，关于a的不等式ax+1>0的解集是（）A．x<1aB．x>1aC．x<-1aD．x>-1a7．若代数式3x+4的值不大于0，则x的取值范围是（）A．x>-43B．x≥-43C．x<-43D．x≤-438．解不等式:（1）12x>-3 （2）-2x<6 （3）3x-6≤0 （4）-12x-6>0课堂检测2：1．若a<b，用“>”或“<”号填空：（1）a+4_______b+4；（2）a-2______b-2；（3）25a_____25b；（4）-2a______-2b．2．在下列各题的“____”中填写不等号并写出理由：（1）因为x>5，所以-x____-5，理由是_______________．（2）因为4x>12，所以x_____3，理由是_____________．（3）-17x<-2，所以x_______14，理由是________________．3．若8+3a<8+3b，那么a，b的大小关系是（）A．a=b B．a<b C．a>b D．以上都不对4．由x<y，得ax>ay，则a应满足的条件是（）A．a≥0 B．a≤0 C．a>0 D．a<05．求不等式x+4≥3x-2的非负整数解．6．利用不等式的性质，求下列不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来．（1）x-3≥1 （2）4x-15>3x-2 （3）2x-3x<0 （4）-13x≥17．（1）若（m+1）x< m+1的解集是x>1，求m的取值范围．（2）若关于x的方程x-3k+2=0的解是正数，求k的取值范围．一元一次不等式综合练习1．若x|a-1|>a+1，则a=_______．2．下列不等式中是一元一次不等式的是（）A．x+y<2 B．x2>3 C．-2x<1 D．2x>-3①2a-1=4a+9；②3x-6>3x+7；③1x<5；④x2>1；⑤2x+6>x．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．在解不等式22135x x+->的下列过程中，错误的一步是（）A．去分母得5（2+x）>3（2x-1） B．去括号得10+5x>6x-3 C．移项得5x-6x>-3-10 D．系数化为1得x>13 5．使不等式x-5>4x-1成立的值中最大整数是（）A．2 B．-1 C．-2 D．06．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来．（1）3x+1≤2x+4 （2）5（x-1）>4（x+2）8．解不等式532123x x++-<，小兵的解答过程是这样的．解：去分母，得x+5-1<3x+2 ①移项得x-3x<2-5+1 ②合并同类项，得-2x<-2 ③系数化为1，得x<1 ④请问：小兵同学的解答是否正确？如果错误，请指出错在哪里？并给出正确的解答．1．当x_______时，代数式312x+的值是负数．2．不等式12123x x+-≥的正整数解为________．3．下列说法中，正确的是（）A．如果a>1，那么0<1a<1 B．若a<1，则1a>1C．若a2>0，则a>0 D．若-1<a<0，则a2>1A ．2（1-y ）+y<4y+2B ．x 2-2x-1<0 C ．12+13>16D ．x+3<x+4 5．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． （1）4（x-1）<5（x-1）+1 1(2)132x x --≤5335212567(3)(4)123234x xx x x ---+-<-≥-7．（1）当x 取何值时，代数式43132x x +-与的值的差大于1？（2）当x 取哪些正整数时，代数式3-3543286x x --的值不小于的值？一元一次不等式组知识点：1．将_____个（或几个）一元一次不等式合在一起，就得到一个一元一次不等式组． 2．几个一元一次不等式的解集的________叫做由几个不等式所组成的一元一次不等式组的解集．例1、解不等式组()()31211282x x x ⎧->+⎨>⎩ 例2、解不等式组()()2111312x x ⎧+<-⎨-≤⎩练习1： 练习2：课堂检测 1．不等式组30,20x x +>⎧⎨-<⎩的解集是_________．2．下列各组合中，是一元一次不等式组的是（ ）．A ．22313513 (3425)72025x x y x x B C D y x y x x +<+=-<⎧+≤⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨-<-=+>-<⎩⎩⎩⎩⎩⎨⎧-<++>-148112x x x x ()⎪⎩⎪⎨⎧->+≤--1321423x x x x3．不等式组102050xxx+<⎧⎪+<⎨⎪+>⎩的解集是（）A．x>-5 B．-5<x<-1 C．x<-2 D．-5<x<-24．如图8-3-1，不等式5234xx-<-⎧⎨-≤⎩的解集表示在数轴上为（）5．不等式组204060xxx+>⎧⎪->⎨⎪-<⎩的整数解有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．解下列不等式组（1）2102552310(2)46715320xa axa ax-≥⎧-<-⎧⎪+>⎨⎨-≥-⎩⎪-<⎩7．（注重书写过程）求同时满足不等式6x+3>4x+7和8x-3≤5x+12的整数x．课堂检测21．不等式2≤x-5<6的解集为________． 2．不等式31047x x ->⎧⎨<⎩的解集是_______，其中整数解是________．3．在方程组2122x y mx y +=-⎧⎨+=⎩中，若未知数x ，y 满足x+y>0，则m 的取值范围在数轴上表示，应是（ ）4．不等式组841,x x x m+<-⎧⎨>⎩的解集为x>3，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≥3B ．m=3C ．m<3D ．m ≤3 5．解下列不等式组．2110236(1)(2)31324122x x x x x -+<-⎧+>⎧⎪⎨⎨+-≤->⎩⎪⎩ 13103(3)2(1)(3)20(4)1212513x x x x x x x +>⎧--≥+⎧⎪⎪+>-⎨⎨-<⎪⎪-≤⎩⎩6．解不等式组523483x x x x -<+⎧⎪+⎨≥-⎪⎩，并求出它的非负整数解．。
不等式学案2恒成立问题(学生版)
不等式学案2恒成立问题(学生版)第课时一、课题不等式中恒成立问题的解法研究二、高考要求不等式中的恒成立问题，它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。
因此也成为历年高考的一个热点。
恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象。
三、目的与要求：四、不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题的操作程序用函数思想作指导,解不等式的恒成立、能成立、恰成立问题的操作程序是这样的:（1）恒成立问题若不等式f x A在区间D上恒成立,则等价于函数f x 在区间D上的最小值大于A,若不等式f x B在区间D上恒成立,则等价于函数f x 在区间D上的最大值小于B.（2）能成立问题若在区间D上存在实数x使不等式f x A成立,即f x A在区间D上能成立, ,则等价于函数f x 在区间D上的最大值大于A, 若在区间D上存在实数x使不等式f x B成立,即f x B在区间D上能成立, ,则等价于函数f x 在区间D上的最小值小于B.（3）恰成立问题若不等式f x A在区间D上恰成立, 则等价于不等式f x A的解集为D,若不等式f x B在区间D上恰成立, 则等价于不等式f x B的解集为D,如果从解题模式看,好象问题很简单,但是,由于试题的结构千变万化,试题的设问方式各不相同,就使得题目变得十分灵活,如何对这类题目进行思辨和模式识别,把问题化归到常见的基本的题型,是高考复习的一个课题.1、一次函数型：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于a 0 a 0 f(m) 0。
高中数学的几个不等式教案
高中数学的几个不等式教案
教学目标：
1. 了解不等式的基本概念与性质
2. 掌握解不等式的方法与技巧
3. 能够独立解决不等式问题
教学内容：
1. 不等式的定义及表示方法
2. 不等式的性质
3. 解不等式的方法
4. 不等式的应用
教学步骤：
1. 热身：利用简单的不等式练习引出不等式的概念
2. 导入：介绍不等式的定义及表示方法
3. 讲解：讲解不等式的性质，如加减乘除不等式、绝对值不等式等
4. 演示：演示解不等式的方法，如化简、整理、分析不等式中的关系等
5. 练习：让学生进行一些不等式练习，巩固所学知识
6. 拓展：引导学生探讨不等式的应用领域，如最值问题、应用题等
7. 总结：总结本节课的重点内容并布置作业
教学反馈：
1. 学生完成作业后，进行批改并给予反馈
2. 收集学生对不等式学习过程中的疑问，进行解答与指导
教学资源：
1. 教材：高中数学教材中的相关章节
2. 教具：黑板、彩色粉笔、教学PPT等
3. 练习册：针对不等式的练习题
教学评估：
1. 课堂学习表现评定
2. 作业完成情况评定
3. 学生解决不等式问题的能力评定
教学总结：
通过本节课的教学，学生应该能够掌握不等式的基本概念与性质，掌握解不等式的方法与技巧，提高解决数学问题的能力。
同时，也对不等式的应用有一定的了解与认识。
初中不等式全部解法教案
初中不等式全部解法教案教学目标：1. 理解不等式的概念，掌握不等式的基本性质。
2. 学会解一元一次不等式，并能运用不等式解决实际问题。
3. 能够运用图像法、符号法等多种方法解不等式组。
教学重点：1. 不等式的概念与基本性质。
2. 一元一次不等式的解法。
3. 不等式组的解法。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入不等式的概念，让学生举例说明不等式的含义。
2. 引导学生理解不等式的基本性质，如对称性、传递性等。
二、一元一次不等式的解法（15分钟）1. 讲解一元一次不等式的定义，让学生明确解的概念。
2. 引导学生运用代数方法解一元一次不等式，如加减乘除等。
3. 举例讲解如何将实际问题转化为不等式，并求解。
三、不等式组的解法（15分钟）1. 讲解不等式组的概念，让学生理解不等式组的组成。
2. 引导学生运用图像法、符号法等多种方法解不等式组。
3. 举例讲解如何将实际问题转化为不等式组，并求解。
四、巩固练习（15分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
2. 讲解练习题的解法，引导学生运用不等式的性质和解法。
五、总结与拓展（10分钟）1. 总结不等式的概念、基本性质、解法等。
2. 引导学生思考如何将不等式应用于实际生活中，解决实际问题。
教学反思：本节课通过讲解不等式的概念、基本性质和解法，使学生掌握了不等式的基本知识。
在教学过程中，注意引导学生运用不等式解决实际问题，提高了学生的应用能力。
同时，通过练习题的训练，使学生巩固了所学知识。
但在教学中也存在一些不足，如对学生自主学习能力的培养不够，个别学生对不等式的理解仍有一定困难。
在今后的教学中，应加强对学生的引导，提高学生的学习兴趣和自主学习能力。
不等式复习学案
◆重点难点聚焦1．理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；2.能用一元二次不等式组表示平面区域，并尝试解决简单的二元线性规划问题，认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的关系。
◆本章应着重注意的问题1.不等式的性质是不等式理论的基础，在应用不等式的性质进行论证时，要注意每一个性质的条件。
2.一元二次不等式的解法是根据一元二次方程根与二次函数图像求解的，在求解含参数的一元二次不等式时，要注意相应方程根的情况的讨论。
3.应用基本不等式求函数最值时，有三个条件：一是a 、b 为正；二是a+b 与ab 有一个为正值；三是等号要取到。
这三个条件缺一不可，为了达到使用基本不等式的目的，常常需要对函数式（代数式）进行通分、分解等变形，构造和为定值或积为定值的模型。
◆知识梳理及针对性练习： （Ⅰ）不等式的性质： 1．（对称性）a b b a >⇔< 2．（传递性）,a b b c a c >>⇒> 3．（加法法则）c b c a b a ++⇔ 4．（移向法则）c b a b c a -⇔+5.（同向不等式相加）,a b c d a c b d >>⇒+>+6.（乘法法则）,0a b c ac bc >>⇒>，,0a b c ac bc ><⇒<7.（都大于零的同向不等式相乘）0,0a b c d ac bd >>>>⇒>8.（乘方法则）0,,2n na b n N n a b >>∈≥⇒>9.（开方法则）0,,2a b n N n >>∈≥⇒>比较两个实数（代数式）的大小——做差法：第一步：作差并化简，其目标应是化成几个因式之积或几个完全平方式的和或常数的形式； 第二步：判断差值与零的大小关系，必要时进行讨论； 第三步：得出结论。
《基本不等式》同步学案(教师版)
《基本不等式》同步学案情境导入我校第二教学楼在建造过程中,需建一座长方体形的净水处理池,该处理池的底面积为200m2,深度为5m,如图,该处理池由左右两部分组成,中间是一条间隔的墙壁,池的外围周壁建造单价为400元/m2,中间的墙壁(不需考虑该墙壁的左右两面)建造单价为100元/m2,池底建造单价为60元/m2,池壁厚度忽略不计.请帮忙决策,如何设计才能使总造价最低呢?自主学习自学导引1.重要不等式.当a,b是任意实数时,有a2+b2⩾_________,当且仅当_________时,等号成立. 2.基本不等式.(1)有关概念:当a,b均为_________时,把_______叫做正数a,b的算术平均数,把_________叫做正数a,b的几何平均数.(2)不等式:当a,b是任意正实数时,a,b的几何平均数不大于它们的算术平均数,即_________,当且仅当________时,等号成立.(3)变形:ab⩽________,a+b⩾________(其中a>0,b>0,当且仅当a=b时,等号成立).3.已知x,y都是正数,则(1)如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值_________;(2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值__________.答案1.2ab a=b2.(1)正数a+b2√ab(2)√ab⩽a+b2a=b(3)(a+b2)22√ab3.(1)2√P (2)14S2预习测评1.已知x≠0,则y=x2+1x2有( )A.最小值2B.最大值2C.最小值1D.最大值12.已知x,y都是正数,如果xy=15,则x+y的最小值是___________.3.已知x,y都是正数,如果x+y=15,则xy的最大值是___________.4.学校要建一个面积为392m2的长方形游泳池,并且在四周要修建出宽为2m和4m的小路(如图所示),则当游泳池的长为_______m、宽为_______m时,占地面积最小.答案:1.A解析:y=x2+1x2⩾2√x2⋅1x2=2,当且仅当x2=1x2即x=±1时取等号.2.2√15解析:x +y ⩾2√xy =2√15,即x +y 的最小值是2√15,当且仅当x =y =√15时x +y 取最小值.3.2254解析:xy ⩽(x+y 2)2=(152)2=2254,即xy 的最大值是2254,当且仅当x =y =152时xy 取最大值. 4.2814解析:设游泳池的长为xm ,则游泳池的宽为392xm ,又设占地面积为ym 2,依题意,得y =(x +8)⋅(392x+4)=424+4(x +784x)⩾424+224=648,当且仅当x =784x,即x =28时,取“=”,此时392x=14.新知探究探究点1基本不等式 知识详解如果a >0,b >0,那么√ab ⩽a+b 2,当且仅当a =b 时,等号成立.其中,a+b 2叫做正数a,b 的算术平均数,√ab 叫做正数a,b 的几何平均数.因此,基本不等式可以叙述为:当a,b 是任意正实数时,a,b 的几何平均数不大于它们的算术平均数. 特别提示(1)基本不等式成立的条件:a >0,b >0.①若a <0,b <0,如a =−2,b =−4,会出现√(−2)×(−4)⩽(−2)+(−4)2的错误结论;②若a,b 中有一个小于0,如a =−2,b =4,则 √(−2)×4无意义;③若a 或b 等于0,虽然该不等式成立,但没有研究的意义和必要. (2)基本不等式的常见变形式:a +b ⩾2√ab ,ab ⩽(a+b 2)2.(3)事实上,当a>0,b>0时,我们分别用√a,√b代替重要不等式a2+b2⩾2ab中的a,b,可得a+b⩾2√ab,变形可得√ab⩽a+b2.典例探究例1已知a,b∈R,且ab>0,则下列结论恒成立的是( )A.a2+b2>2abB.a+b⩾2√abC.1a +1b>2√abD.ba +ab⩾2解析:对于A,当a=b时,a2+b2=2ab,所以A错误;对于B ,C ,ab>0只能说明a,b同号,当a,b都小于0时,B,C错误;对于D,因为ab>0,所以ba >0,ab>0,所以ba+ab⩾2√ba⋅ab=2,即ba+ab⩾2成立.答案:D友情提示由基本不等式,可以得到一个常用结论:ba +ab⩾2(ab>0),当且仅当a=b时,等号成立.变式训练1已知0<a<b,则下列不等式正确的是( )A.a<b<√ab<a+b2B.a<√ab<a+b2<bC.a<√ab<b<a+b2D.√ab<a<a+b2<b答案:B解析:0<a<b⇒a2<ab<b2⇒a<√ab<b,0<a<b⇒2a<a+b<2b⇒a<a+b2<b,又√ab<a+b2,所以a<√ab<a+b2<b.探究点2最值定理知识详解已知x,y都是正数,则:(1)如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2√P;S2.(2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值14最值定理简记:和定积最大,积定和最小.特别提示(1)最值定理是求最值时应用极广的定理之一.(2)利用基本不等式求最值要牢记三个关键词:一正、二定、三相等.①一正:各项必须为正;②二定:各项之和或各项之积为定值;③三相等:必须验证取等号时条件是否具备.(3)应用基本不等式求最值的关键:依定值去探求最值,探求的过程中常需依具体的问题进行合理的拆、凑、配等变换.典例探究例2下列结论正确的是( )⩾2A.当x>0且x≠1时,x+1x⩾2B.当x>0时,√x+√xC.当x≠0时,x+1的最小值为2xD.当x>0时,x+1的最小值为2x2解析:选项A不满足“取等号时条件”,故不正确;选项C不满足“各项必须为正”,故不正确;选项D不满足“积为定值”,故不正确.答案:B思路点拨:利用基本不等式求最值,要注意使用的条件“一正、二定、三相等”,三个条件缺一不可,此类题型能提升逻辑推理素养.变式训练2给出下面三个推导过程:(1)∵ab>0,∴ab +ba⩾2√ab⋅ba=2;(2)∵a∈R,a≠0,∴4a +a⩾2√4a⋅a=4;(3)∵x,y∈R,xy<0,∴xy +yx=−[(−xy)+(−yx)]⩽−2√(−xy)(−yx)=−2.其中正确的推导为________.答案:①③解析:①∵ab>0,∴ab >0,ba>0,符合基本不等式的条件,故①推导正确;②由a∈R,不符合基本不等式的“各项必须为正”条件,∴4a +a⩾2√4a⋅a=4是错误的;③由xy<0,得yx ,xy均为负数,但在推导过程中,将整体xy+yx提出负号后,(−xy ),(−yx)均变为正数,符合基本不等式的条件,故③正确.探究点3利用基本不等式解应用题知识详解在应用基本不等式解决实际问题时,应注意如下的思路和方法:(1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数;(2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题;(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值;(4)根据实际背景写出答案.典例探究例3如图所示,动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成.现有可围36m长的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最大?解析:问题转化为:每间虎笼的长的4倍与宽的6倍之间满足和为定值,长和宽多大时面积最大?答案:设每间虎笼长为xm ,宽为ym ,则由条件得4x +6y =36,即2x +3y =18. 设每间虎笼面积为Sm 2,则S =xy . 由于2x +3y ⩾2√2x ⋅3y =2√6xy , ∴2√6xy ⩽18,得xy ⩽272,即S ⩽272,当且仅当2x =3y 时,等号成立.由{2x +3y =18,2x =3y,解得{x =4.5,y =3.故每间虎笼长为4.5m,宽为3m 时,可使面积最大.变式训练3例3中其他条件不变,若使每间虎符面积为24m 2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小? 答案:法一:由条件知S =xy =24,设钢筋网总长为l ,则l =4x +6y∵2x +3y ⩾2√2x ⋅3y =2√6xy =24,∴l =4x +6y =2(2x +3y )⩾48, 当且仅当2x =3y 时,等号成立. 由{2x =3y,xy =24,解得{x =6,y =4.故每间虎笼长为6m,宽为4m 时,可使钢筋网总长最小. 法二:由xy =24,得x =24y.∴l =4x +6y =96y+6y =6(16y +y)⩾6×2√16y ⋅y =48,当且仅当16y =y ,即y =4时,等号成立.此时x =6.故每间虎笼长为6m,宽为4m 时,可使钢筋网总长最小.解析:问题转化为:每间虎符的长和宽之积为定值,长和宽多大时,长的4倍与宽的6倍和最小？易错易混解读例 若x >0,y >0,且x +2y =1,求1x +1y 的最小值.错解:因为x >0,y >0,所以1=x +2y ⩾2√2xy ,即8xy ⩽1,即xy ⩽18,故1xy ⩾8.因为1x +1y⩾2√1xy,所以1x+1y⩾2√8=4√2.故1x+1y的最小值为4√2.错因分析:在求解过程中两次使用了基本不等式:x+2y⩾2√2xy,1x +1y⩾2√1xy,但这两次取等号分别需满足x=2y与x=y,互相矛盾,所以“=”不能同时取到,从而导致错误.正解:因为x+2y=1,x>0,y>0,所以1x +1y=(1x+1y)(x+2y)=3+xy+2yx⩾3+2√2,当且仅当xy =2yx即x=√2y,即x=√2−1,y=1−√22时取等号,从而1x+1y的最小值为3+2√2.纠错心得:连续应用基本不等式求最值时,要注意各不等式取等号时的条件是否一致,若不能同时取等号,则连续用基本不等式是求不出最值的,此时要对原式进行适当的拆分或合并,直到取等号的条件成立.课堂检测1.函数y=4x+25x(x>0)的最小值为( )A.20B.30C.40D.502.下列不等式中正确的是( )A.a+4a⩾4B.a2+b2⩾4abC.√ab⩾a+b2D.x2+3x2⩾2√33.已知x,y为正实数,且满足4x+3y=12,则xy的最大值为_______.4.周长为√2+1的直角三角形面积的最大值为_________.答案:1.A解析:因为x >0,所以y =4x +25x⩾2√4x ⋅25x=20,当且仅当4x =25x,即x =52时取等号. 2.D解析:若a <0,则a +4a ⩾4不成立,故选项A 错;如:a =1,b =1,a 2+b 2<4ab ,故选项B 错;如:a =4,b =16,则√ab <a+b 2,故选项C 错;由基本不等式可知选项D正确. 3.3解析:因为x,y 为正实数,所以4x +3y =12⩾2√4x ⋅3y =2√12xy ,所以xy ⩽3,当且仅当4x =3y ,即x =32,y =2时取等号. 4.14解析:设直角三角形的两条直角边的长分别为a,b ,则a +b +√a 2+b 2=√2+1.又a +b ⩾2√ab,a 2+b 2⩾2ab ,所以√2+1⩾2√ab +√2ab =(2+√2)√ab ,解得ab ⩽12,当且仅当a =b =√22时取“=”,所以直角三角形的面积S =12ab ⩽14,即S的最大值为14.课堂小结。
不等式的基本性质学案
13.2 不等式的基本性质学习目标1.掌握不等式的三个基本性质2.会运用不等式的基本特征将不等式转化成X＞a或X＜a的形式3.能说出每一步变形的依据﹙哪一条﹚预习导学1.不等式的基本性质1:不等式两边都加上（或减去）____________或_____________，不等号的方向_______.如果a>b,那么a+7___b+7如果a>b,那么a-3 __b-3 2.不等式的基本性质2:不等式两边都乘（或除以）_________,不等号的方向________.如果a>b,那么2a___2b如果a>b,那么5/3a___5/3b3.不等式的基本性质3:不等式两边都乘（或除以）_________,不等号的方向________.如果a>b,那么-6a___-6b如果a>b,那么-0.34a_____-0.34b4.如果a>b,那么①a+7____b+7②5a___5b③-1/6a___-1/6b合作研讨探究点1 不等式的基本性质例1 用不等号填空（1）若a＞b,则2a___a+b（2）若- 1/2 a＜2，则a_____-4（3）若a＜b，则-1+2a_____-1+2b（4）若a＞b，则-ac²______-bc²(考虑C的条件)分析解答此类问题，先要看不等式的两边发生了怎样的变化，然后依据不等式的三条基本性质决定不等号的变化情况，（1）因为a＞b，所以a+a＞b+a，即2a＞a+b (2)因为-1/2a＜2，不等式左右两边同时乘-2，得a＞-4 (3)因为a＜b，则2a＜2b，所以-1+2a＜-1+2b (4)因为c²≥0，所以-c²≤0，而a＞b，所以-ac²≤-bc²跟踪训练1.已知x＞y，ax＜ay，则（）A a＞0B a＜0C a≤0D 不能确定2.下列不等式的变形正确的是（）A 由m＜n，得am＜anB 由x＞y，且z≠0，得-X/Z＜-Y/ZC 由x＞y，得X+3＞Y+3D 由x-a＜y-a，得x＞y3.若a＞b，用＞或＜填空(1)a-2____b-2 (2)2a____2b (3)-a/2____-b/24.用不等式填空(1)若5x＜2x+3 ,则x_____（2）若2/3x＞-5，则x________变式训练（指出下列各题中不等式变形的依据）①由3a>2得a>2/3②由a+7>0，得a>-7③由-5a<1，得a>-1/5探究点2 将不等式化成x＞a或x＜a的形式例2 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式（1）X+3＞5 （2）5X＞2+3X （3）-2/3X＞-5 （4）2X-3＜5X-6 分析为了将不等式化成x＞a或x＜a的形式，首先利用不等式的基本性质1，使得不等式的左边只有含有未知数的项，右边只有常数，然后利用不等式的基本性质2,3将未知数的系数化为1，特别要注意性质3的应用跟踪训练5.若不等式（a-2）x>a-2可以变形为x<1，则a的取值范围为______6.根据不等式的基本性质，把下列不等式化成X＞A或X＜A的形式（1）-6X＜18 （2）2X≤3X+6 （3）X＞1/3X-2变式训练若a-b>a，a+b>b,则有( )A ab<0B a/b>0C a+b>0D a-b<0当堂检测1.若a＜b,则下列各式中一定成立的是（）A a-1＜b-1B a/3＞b/3C -a＜-bD ac＜bc2.若a＞b,则下列不等式：①a+8>b=8②a-5>b-5③10a>0b④10a>-10b.其中，正确的有（）A1个B2个C3个D4个3.若a>b，则下列不等式一定成立的是（）A ma>mbB m²a>m²bC |m|a>|m|bD (m²+2)a>(m²+2)b4.若a+b＞2b+1，则a_______b（用＞、＜、＝填空）5.若a＜b，则不等式的（a-b）X＞a-b化为X＞a或X＜a的形式为_______6.把（-m²-1）X＞n化为X＞a或X＜a的形式为______7.将下列不等式化为X＞a或X＜a的形式(1)X-5＜1 （2）3X＞X-4 (3)1/2X＞-3 (4)-5X＜-2 8.回答下列问题，并举例说明（1）若a＞b，是否一定得出ac＞bc？（2）若ac＞bc是否一定得出a＞b？( 3) 若a＞b是否一定得出ac²＞bc²？（5）若ac²＞bc²是否一定得出a＞b？。
均值不等式 学案 能力维度
均值不等式学案能力维度标题：均值不等式学案学案目标：通过学习均值不等式，提升学生的问题解决能力和数学思维能力。
学案步骤：1. 引入：通过一个简单的例子引入均值不等式的概念。
例如：小明考试中有5门科目的成绩，分别为70、75、80、85、90。
我们想知道这5门科目的平均成绩和总成绩之间的关系。
2. 学习均值不等式：解释什么是均值不等式，以及其数学表达式。
均值不等式指出，对于任意一组正数，算术平均数大于等于几何平均数，而几何平均数又大于等于调和平均数。
写出均值不等式的数学表达式为：(a+b)/2 ≥ √(ab) ≥ 2ab/(a+b)，其中a和b为任意正数。
3. 探索应用：让学生通过对不同数值的比较和运算，探索均值不等式在实际问题中的应用。
例如，比较4和9的平方根与它们的平均数，验证均值不等式的成立。
4. 阐述证明思路：讲解均值不等式的证明思路，如何通过数学推理和逻辑来证明均值不等式的有效性。
鼓励学生思考并尝试自己推导证明均值不等式。
5. 拓展应用：给出更复杂的实际问题，让学生运用均值不等式解决。
例如，小明和小红一起打篮球，小明每次投篮命中率为70%，小红每次投篮命中率为80%，他们两人一起投篮的命中率是否一定高于80%？6. 总结与归纳：总结学习内容，让学生用自己的话归纳均值不等式的概念和应用方法，并反思学习过程中遇到的困难和收获。
7. 练习与巩固：布置一些均值不等式相关的练习题，让学生巩固所学知识。
学案评价方式：通过学生在探索应用和拓展应用环节的表现来评价学生的问题解决能力和数学思维能力。
同时，对学生在总结与归纳环节的归纳总结和思考能力进行评价。
3.4基本不等式(学案)
§3.4基本不等式：2b a ab +≤(学案) 教学目标：（1）学会推导基本不等式2a b ab +≤； （2）知道算术平均数、几何平均数的概念；（3）会用不等式求一些简单的最值问题。
教学重点：基本不等式2a b ab +≤的推导及应用。
教学难点：理解“当且仅当a b =时取等号” 的意义。
教学过程：一、知识回顾：填空：1.;0____2a2. ;0____)(2b a -3. ._________)(2=-b a 问：通过2与3可以得到什么结论？二、新课讲解：一般的,对于任意的实数a,b ,我们有 ，当且仅当 时,等号成立. 思考：如果00a ,b >> ,我们用、a b 分别代替a,b ,可得 。
我们通常把上式写成）（0,02>>+≤b a b a ab （当且仅当_____时，等号成立。
） 概念扩展：若两个数a,b , 且00a ,b >>,_________叫做a,b 的算术平均数，叫做a,b 的几何平均数，思考：如何证明？证明：重要不等式：____________(当且仅当_____时，等号成立)。
基本不等式：_____________(当且仅当_____时，等号成立)。
对于基本不等式：）（0,02>>+≤b a b a ab 进行公式的变形: ）（0,02>>+≤b a b a ab ab b a 2≥+ 2)2(b a ab +≤( ) ( ) 三、例题讲解：例 1 （1）已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各位多少时，两条直角边的和最小，最小值是多少？（2）用20cm 长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎么折？ 解：（1） （2）31;3 (2) 1;01 2 的最值；求已知的最值；求）已知（例-+>+>x x x x x x四． 巩固练习：._________,__111,x .1=-+>x x x 此时值为的最则已知 ._________,__20,x .22=+>x xx 此时值为的最则已知 ._________,__1221,x .32=-+->x x x x 此时值为的最则已知五．课堂小结。
不等式及其解集学案
9.1.1不等式及其解集（学案）[学习目标]1、了解不等式、一元一次不等式的概念，会用不等式表示不等关系。
2、理解不等式的解和解集的意义，会把不等式的解集在数轴上表示出来。
学习重点：不等式解集的概念及在数轴上表示不等式解集的方法。
学习难点：不等式解集的确定。
[学习过程]一、课前复习：复习等式、方程、方程的解、一元一次方程等有关概念。
等式：方程：方程的解：二、自主学习：活动一学习不等式及不等式解的概念。
1、什么叫不等式，它与等式有什么区别?常见的不等号有__、__、__、__、__.2、下列式子哪些是不等式?为什么?(1) ①－8＜0 ②2x－4＞0 ③x－2≠0 ④5a+1=0 ⑤7m+13、用不等式表示：①x与3的差是正数；②x与2的积小于8；③x 与2的差不小于5.4、什么叫不等式的解？不等式的解有多少个？下列数值哪些是不等式x+3＞6的解？哪些不是？-4，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8活动二学习不等式的解集及表示方法。
1．问题：不等式x－3＞0有多少个解？为什么？如何表示它的解集？2．直接想出不等式的解集。
(1) x+3＞6 (2) 2 x ＜8 (3) x－2≥03. 不等式的解集有其它表示方法吗?阅读书本122页，把你学到的方法在组内和同伴交流。
4．把2中不等式的解集用数轴分别表示出来。
说出用数轴表示不等式解集的步骤及注意点。
活动三学习一元一次不等式的概念。
1．观察不等式(1) x+3＞6 (2) 2 x ＜8 (3) x－2≥0说出它们有什么共同特征，类比一元一次方程，说出一元一次不等式的定义。
2．找出下列不等式中的一元一次不等式。
(1)－8＜0 (2) 2x－4＞0 (3)3x+y＞0 (4) x2－2≠0 (5) (6)活动四自测与反馈1、判断下列式子中哪些是不等式？哪些式子还是一元一次不等式？①a+1≥0②3x－1③6≠－6 ④2x＜y ⑤－5x+1＞3x ⑥6a－1=5 ⑦x+3≤6不等式有：一元一次不等式有：（填序号）。
高中数学第六章不等式教案
高中数学第六章不等式教案教学目标：学习并掌握不等式的基本概念，学会解决一元一次不等式和一元二次不等式；通过练习和应用，提高学生解题的能力和思维逻辑。
教学内容：1. 不等式的基本概念2. 一元一次不等式的解法3. 一元二次不等式的解法4. 不等式的综合运用教学重点和难点：一元一次不等式和一元二次不等式的解法，以及不等式的综合运用。
教学方法：讲授相结合，引导学生主动思考和解题练习。
教学过程：一、导入（5分钟）教师引导学生回顾上节课所学的不等式相关知识，激发学生对不等式的兴趣和好奇心。
二、讲解不等式的基本概念（10分钟）1. 引导学生理解不等式的定义和符号表示。
2. 介绍不等式的性质和基本性质。
三、讲解一元一次不等式的解法（15分钟）1. 讲解一元一次不等式的基本求解方法。
2. 通过例题解析，让学生掌握解题技巧和步骤。
四、讲解一元二次不等式的解法（15分钟）1. 引导学生理解一元二次不等式的定义和性质。
2. 通过例题讲解，让学生掌握一元二次不等式的解法方法。
五、综合训练（15分钟）1. 给学生提供一些练习题，让他们通过练习加深对不等式的理解。
2. 引导学生探讨不等式在生活和实际问题中的应用。
六、作业布置（5分钟）布置相应的作业，加强学生对不等式知识的巩固和提高。
七、课堂小结（5分钟）教师对今天的教学内容进行总结，并鼓励学生多多练习，提高解题的能力和思维逻辑。
教学反思：通过本节课的教学，学生应该能够掌握不等式的基本概念和解法方法，培养其解题思维和逻辑推理能力，进一步提高数学学习的兴趣和能力。
基本不等式学案
变式4；已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝ ＋ 的最值.
变式5；已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝ 的最小值.
变式6正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc
题型二：利用基本不等式求最值
变式1：设变量x,y满足 + 1，则x+2y的最大值和最小值分别是？
变式1；在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组 给定，若M(x,y)为D上的动点，点A得坐标（ ，1）则 的最大值
题型二：已知最值求参数
例1：设m>1，在约束条件 下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围
变式1：若变量x,y满足约束条件 目标函数z=ax+2y仅在点（1,0）处取得最小值，则a的取值范围
例2：甲，已两地相距500千米，一辆货车从甲地匀速行驶到已地，规定速度不超过100千米每小时。已知货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为0.01，固定部分为a元。（a>0）
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度的函数，并指出定义域
题型三：恒成立问题
例3：若对任意x>0， 恒成立，则a的取值范围
变式：已知a,b为正实数且ab=1，若不等式 对任意正实数x,y恒成立，则m的取值范围
题型四：应用
例1：某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m2的三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。
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初一升二数学不等式学案第一课时不等式及其解集[教学目标]1.了解不等式概念，理解不等式的解集，能正确表示不等式的解集2.培养学生的数感，渗透数形结合的思想.[教学重点与难点]重点:不等式的解集的表示.难点:不等式解集的确定.[教学设计]一.【自主预习】某班同学去植树，原计划每位同学植树4棵，但由于某组的10名同学另有任务，未能参加植树，其余同学每位植树6棵，结果仍未能完成计划任务，若以该班同学的人数为x,此时的x应满足怎样的关系式？依题意得4x>6(x-10)1.不等式：用“>”或“<”号表示大小关系的式子,叫不等式.解析:(1)用≠表示不等关系的式子也叫不等式(2)不等式中含有未知数,也可以不含有未知数;(3)注意不大于和不小于的说法2.含有一个未知数,未知数的次数是1的不等式,叫做一元一次不等式.例1 用不等式表示(1)a与1的和是正数; (2)y的2倍与1的和大于3;(3)x的一半与x的2倍的和是非正数; (4)c与4的和的30%不大于-2;(5)x除以2的商加上2,至多为5; (6)a与b两数的和的平方不可能大于3.二.【合作解疑】1、不等式的解:能使不等式成立的未知数的值,叫不等式的解.解析:不等式的解可能不止一个.例2 下列各数中,哪些是不等式x+1<3的解?哪些不是?-3,-1,0,1,1.5,2.5,3,3.5解:略.练习:1.判断数:-3,-2,-1,0,1,2,3,是不是不等式2x+3<5 的解?再找出另外的小于0的解两个.2.下列各数:-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5中,同时适合x+5<7和2x+2>0的有哪几个数?2、不等式的解集:一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集.例3 下列说法中正确的是( )A.x=3是不是不等式2x>1的解B.x=3是不是不等式2x>1的唯一解;C.x=3不是不等式2x>1的解;D.x=3是不等式2x>1的解集3、不等式解集的表示方法例4 在数轴上表示下列不等式的解集(1)x>-1;(2)x≥-1;(3)x<-1;(4)x≤-1分析:按画数轴,定界点,走方向的步骤答注意:1.实心点表示包括这个点,空心点表示不包括这个点三【限时检测】:1.在数轴上表示下列不等式的解集(1)x>3 (2)x<2 (3)y≥-1 (4)y≤0(5)x≠42.用不等式表示下列数量关系：①a比1大；②x与一3的差是正数；③x的4倍与5的和是负数3.在－4，－2，－1，0，1，3中，找出使不等式成立的x值：（1）x+5 > 3，（2） 3x < 54.不等式x < 5有多少个解？有多少个正整数解？第二课时不等式的性质教学目标1、经历通过类比、猜测、验证发现不等式性质的探索过程，掌握不等式的性质；2、初步体会不等式与等式的异同；教学难点：正确运用不等式的性质。
知识重点：理解并掌握不等式的性质。
[教学设计]一. 知识要点复习： 不等式性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变．不等式性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 不等式性质3：不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 练习：1、下列哪些是不等式x ＋3 > 6的解？哪些不是？－4，－2. 5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，122、直接想出不等式的解集，并在数轴上表示出来：（1）x ＋3 > 6（2）2x < 8（3）x －2 > 0二、【限时检测】1、 判断（1）∵a < b ∴ a －b < b －b（2）∵a < b ∴ 33b a < （3）∵a < b ∴ －2a < －2b（4）∵－2a > 0 ∴ a > 0（5）∵－a < 0 ∴ a < 32、 填空（1）∵ 2a > 3a ∴ a 是 数（2）∵ 23a a < ∴ a 是 数 （3）∵ax < a 且 x > 1 ∴ a 是 数 3、 根据下列已知条件，说出a 与b 的不等关系，并说明是根据不等式哪一条性质。
（1）a －3 > b －3 （2）33b a < （3）－4a > －4b三 不等式的解法的复习（1）x 应满足的关系是：51 x ≤8 （2）根据“不等式性质1”,在不等式的两边减去51，得：x ＋51－51≤8－51，即x ≤547 （3） 这个不等式的解集在数轴上表示如下：我们在表示547的点上画实心圆点，意思是取值范围包括这个数。
1、 例题解下列不等式，并在数轴上表示解集：（1）3x < 2x ＋1 （2）3－5x ≥ 4－6x师生共同探讨后得出：上述求解过程相当于由3x<2x+1，得3x-2x < 1；由3－5x ≥4－6x ，得－5x+6x ≥4-3.这类似于解方程中的“移项”．可见，解不等式也可以“移项”，即把不等式一边的某项变号后移到另一边，而不改变不等号的方向．.【限时检测】1、解下列不等式，并在数轴上表示解集：（1）x ＋5＞－1（2）4x < 3x-5（3）8x-2 < 7x ＋32、用不等式表示下列语句并写出解集：（1）x 与3的和不小于6；（2）y 与1的差不大于0.3、某容器呈长方体形状，长5 cm ，宽3 cm ，高10 cm.容器内原有水的高度为3 cm 。
现准备继续向它注水．用V cm,示新注入水的体积，写出V的取值范围。
4、三角形任意两边之差与第三边有着怎样的大小关系？第四课时实际问题与一元一次不等式（1）教学目标1、会从实际问题中抽象出数学模型，会用一元一次不等式解决实际问题；2、通过观察、实践、讨论等活动，经历从实际中抽象出数学模型的过程，积累利用一元一次不等式解决实际问题的经验，渗透分类讨论思想，感知方程与不等式的内在联系；教学难点：弄清列不等式解决实际问题的思想方法，用去括号法解一元一次不等式。
知识重点:寻找实际问题中的不等关系，建立数学模型。
[教学设计]一【自主预习】某学校计划购实若干台电脑，现从两家商店了解到同一型号的电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一台按原报价收款，其余每台优惠25％；乙商场的优惠条件是：每台优惠20％．如果你是校长，你该怎么考虑，如何选择？1.以下三种采购方案：(1)什么情况下，到甲商场购买更优惠？(2)什么情况下，到乙商场购买更优惠？(3)什么情况下，两个商场收费相同？2.我们先来考虑方案（1）：设购买x台电脑，如果到甲商场购买更优惠．问题1：如何列不等式？问题2：如何解这个不等式？解：设购买x台电脑，如果到甲商场购买更优惠，则6000＋6000（1－25％）（x－1）＜6000（1－20％）x去括号，得去括号，得：6000＋4500x－45004＜4800x移项且合并，得：－300x＜1500不等式两边同除以－300，得：x<5答：购买5台以上电脑时，甲商场更优惠．4、让学生自己完成方案(2)与方案(3)，并汇报完成情况．二【合作解疑】甲、乙两个商场以同样的价格出售同样的商品，同时又各自推出不同的优惠措施．甲商场的优惠措施是：累计购买100元商品后，再买的商品按原价的90％收费；乙商场则是：累计购买50元商品后，再买的商品按原价的95％收费．顾客选择哪个商店购物能获得更多的优惠？问题1：这个问题比较复杂．你该从何入手考虑它呢？问题2：由于甲商场优惠措施的起点为购物100元，乙商场优惠措施的起点为购物50元，起点数额不同，因此必须分别考虑．你认为应分哪几种情况考虑？分组活动．先独立思考，再组内交流，然后各组汇报讨论结果．最后教师总结分析：1、如果累计购物不超过50元，则在两家商场购物花费是一样的；2、如果累计购物超过50元但不超过100元，则在乙商场购物花费小。
3、如果累计购物超过100元，又有三种情况：(1)什么情况下，在甲商场购物花费小？(2)什么情况下，在乙商场购物花费小？(3)什么情况下，在两家商场购物花费相同？上述问题，在讨论、交流的基础上，由学生自己解决，教师可适当点评。
三【限时检测】1.某校两名教师拟带若干名学生去旅游，联系了两家标价相同的旅游公司．经洽谈，甲公司的优惠条件是一名教师全额收费，其余师生按7. 5折收费；乙公司的优惠条件则是全体师生都按8折收费．①当学生人数超过多少时，甲公司的价格比乙公司优惠？②经核算，甲公司的优惠价比乙公司要便宜金，问参加旅游的学生有多少人？2.某单位要制作一批宣传资料．甲公司提出：每份材料收费20元，另收设计费3 000元；乙公司提出：每份材料收费30元，不收设计费．①什么情况下，选择甲公司比较合算？②什么情况下，选择乙公司比较合算？③什么情况下，两公司收费相同？3.某移动通讯公司开设两种业务：“全球通”月租费30元，每分钟通话费o.2元；“神州行”没有月租费，每分钟通话费0.4元（两种通话均指市内通话）．如果一个月内通话x分钟，选择哪种通讯业务比较合算？4.某商场画夹每个定价20元，水彩每盒定价5元．为了促销，商场制定了两种优惠办法：一是买一个画夹送一盒水彩；一是画夹和水彩均按九折付款．章老师要买画夹4个，水彩若干盒（不少于4盒）．问：哪种方法更优惠？5.某次知识竞赛共有20道题．每道题答对加10分，答错或不答均扣5分：小跃要想得分超过90分，他至少要答对多少道题？6.某班为了从甲、乙两同学中选出班长，进行了一次演讲答辩与民主测评活动．聘请A,B,C,D,E五位老师为评委，对演讲答辩进行评分；全班50位同学参与了民主测评．两项结果见下表：规定：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分，再算平均分”的方法确定；民主测评得分一“好”票数×2分十“较好”票数×l 分＋“一般”票数×．综合得分一演讲答辩得分× (1－a)＋民主测评得分×a(0≤a ≤0.8(1)当a=0.6时，甲的综合得分是多少？(2 )a 在什么范围时，甲的综合得分高？a 在什么范围时，乙的综合得分高？第五课时： 一元一次不等式组（1）教学目标1.了解一元一次不等式组的概念，理解一元一次不等式组的解集的意义，掌握求一元一次不等式组的解集的常规方法；2.经历知识的拓展过程，感受学习一元一次不等式组的必要性；3.逐步熟悉数形结合的思想方法，感受类比与化归的思想。
知识重点难点：一元一次不等式组解集的理解及一元一次不等式组的解集和解法。
[教学设计]一【自主预习】1.小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板，爸爸体重为72千克，体重只有妈妈一半的小宝和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时爸爸的一端仍然着地。