高等数学第2章 导数与微分

第二章 导数与微分教学目的：1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。

2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n 阶导数。

4、 会求分段函数的导数。

5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。

教学重点：1、导数和微分的概念与微分的关系；2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；3、基本初等函数的导数公式；4、高阶导数；6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数。

教学难点：1、复合函数的求导法则；2、分段函数的导数；3、反函数的导数4、隐函数和由参数方程确定的导数。

§2. 1 导数概念一、引例1．直线运动的速度设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数:s =f (t ),求动点在时刻t 0的速度.考虑比值000)()(t t t f t f t t s s --=--, 这个比值可认为是动点在时间间隔t -t 0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t 0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令t -t 0→0, 取比值00)()(t t t f t f --的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即 00)()(lim 0t t t f t f v t t --=→, 这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度.2．切线问题设有曲线C 及C 上的一点M , 在点M 外另取C 上一点N , 作割线MN . 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT , 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线.设曲线C 就是函数y =f (x )的图形. 现在要确定曲线在点M (x 0, y 0)(y 0=f (x 0))处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点M 外另取C 上一点N (x , y ), 于是割线MN 的斜率为 0000)()(tan x x x f x f x x y y --=--=ϕ, 其中ϕ为割线MN 的倾角. 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, x →x 0. 如果当x → 0时, 上式的极限存在, 设为k , 即0)()(lim 0x x x f x f k x x --=→ 存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里k =tan α, 其中α是切线MT 的倾角. 于是, 通过点M (x 0, f (x 0))且以k 为斜率的直线MT 便是曲线C 在点M 处的切线.二、导数的定义1. 函数在一点处的导数与导函数从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限:0)()(lim 0x x x f x f x x --→. 令∆x =x -x 0, 则∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)= f (x )-f (x 0), x →x 0相当于∆x →0, 于是00)()(lim0x x x f x f x x --→ 成为x y x ∆∆→∆0lim 或x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000. 定义 设函数y =f (x )在点x 0的某个邻域内有定义, 当自变量x 在x 0处取得增量∆x (点x 0+∆x 仍在该邻域内)时, 相应地函数y 取得增量∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0); 如果∆y 与∆x 之比当∆x →0时的极限存在, 则称函数y =f (x )在点x 0处可导, 并称这个极限为函数y =f (x )在点x 0处的导数, 记为0|x x y =', 即xx f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim )(00000,也可记为0|x x y =', 0 x x dx dy =或0)(x x dx x df =. 函数f (x )在点x 0处可导有时也说成f (x )在点x 0具有导数或导数存在.导数的定义式也可取不同的形式, 常见的有hx f h x f x f h )()(lim )(0000-+='→, 000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→. 在实际中, 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题, 在数学上就是所谓函数的变化率问题. 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述.如果极限xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000不存在, 就说函数y =f (x )在点x 0处不可导. 如果不可导的原因是由于∞=∆-∆+→∆xx f x x f x )()(lim 000, 也往往说函数y =f (x )在点x 0处的导数为无穷大.如果函数y =f (x )在开区间I 内的每点处都可导, 就称函数f (x )在开区间I 内可导, 这时, 对于任一x ∈I , 都对应着f (x )的一个确定的导数值. 这样就构成了一个新的函数, 这个函数叫做原来函数y =f (x )的导函数, 记作 y ',)(x f ',dx dy , 或dxx df )(.导函数的定义式:x x f x x f y x ∆-∆+='→∆)()(lim 0=h x f h x f h )()(lim 0-+→. f '(x 0)与f '(x )之间的关系:函数f (x )在点x 0处的导数f '(x )就是导函数f '(x )在点x =x 0处的函数值, 即0)()(0x x x f x f ='='.导函数f '(x )简称导数, 而f '(x 0)是f (x )在x 0处的导数或导数f '(x )在x 0处的值.左右导数: 所列极限存在, 则定义f (x )在0x 的左导数:hx f h x f x f h )()(lim )(0000-+='-→-; f (x )在0x 的右导数:h x f h x f x f h )()(lim )(0000-+='+→+. 如果极限h x f h x f h )()(lim000-+-→存在, 则称此极限值为函数在x 0的左导数. 如果极限h x f h x f h )()(lim 000-++→存在, 则称此极限值为函数在x 0的右导数.导数与左右导数的关系2．求导数举例例1．求函数f (x )=C （C 为常数）的导数.解: hx f h x f x f h )()(lim)(0-+='→0lim 0=-=→h C C h . 即 (C ) '=0.例2. 求x x f 1)(=的导数. 解: h x h x h x f h x f x f h h 11lim )()(lim )(00-+=-+='→→ 2001)(1lim )(lim x xh x x h x h h h h -=+-=+-=→→. 例3. 求x x f =)(的导数.解: h x h x h x f h x f x f h h -+=-+='→→00lim )()(lim )( xx h x x h x h h h h 211lim )(lim 00=++=++=→→. 例2．求函数f (x )=x n (n 为正整数)在x =a 处的导数. 解: f '(a )a x a f x f ax --=→)()(lim a x a x n n a x --=→lim a x →=lim (x n -1+ax n -2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1)=na n -1. 把以上结果中的a 换成x 得 f '(x )=nx n -1, 即 (x n )'=nx n -1.(C )'=0, 21)1(x x -=', xx 21)(=', 1)(-⋅='μμμx x . 更一般地, 有(x μ)'=μx μ-1 , 其中μ为常数.例3．求函数f (x )=sin x 的导数.解: f '(x )h x f h x f h )()(lim0-+=→h x h x h sin )sin(lim 0-+=→ 2sin )2cos(21lim 0h h x h h +⋅=→ x h hh x h cos 22sin )2cos(lim 0=⋅+=→. 即 (sin x )'=cos x .用类似的方法, 可求得 (cos x )'=-sin x .例4．求函数f (x )= a x (a >0, a ≠1) 的导数.解: f '(x )h x f h x f h )()(lim 0-+=→ha a x h x h -=+→0limh a a h h x 1lim0-=→t a h =-1令)1(log lim 0t t a a t x +→ a a ea x a x ln log 1==. 特别地有(e x )=e x .例5．求函数f (x )=log a x (a >0, a ≠1) 的导数.解: hx h x h x f h x f x f a a h h log )(log lim )()(lim )(00-+=-+='→→ h x a h a h a h xh x x h h x x x h x h )1(log lim 1)1(log lim 1)(log 1lim 000+=+=+=→→→ ax e x a ln 1log 1==. 解:h x h x x f a a h log )(log lim )(0-+='→)1(log 1lim 0xh h a h +=→ h x a h x h x )1(log lim 10+=→ax e x a ln 1log 1==.即 ax x a ln 1)(log =' . : 特殊地 xx 1)(ln ='. a x x a ln 1)(log =', xx 1)(ln ='. 3．单侧导数:极限h x f h x f h )()(lim0-+→存在的充分必要条件是 hx f h x f h )()(lim 0-+-→及h x f h x f h )()(lim 0-++→ 都存在且相等. f (x )在0x 处的左导数:hx f h x f x f h )()(lim )(00-+='-→-, f (x )在0x 处的右导数:h x f h x f x f h )()(lim )(00-+='+→+.如果函数f (x )在开区间(a , b )内可导, 且右导数f '+(a ) 和左导数f '-(b )都存在, 就说f (x )有闭区间[a , b ]上可导.例6．求函数f (x )=|x |在x =0处的导数.解: 1||lim )0()0(lim )0(00-==-+='--→→-h h hf h f f h h , 1||lim )0()0(lim )0(00==-+='++→→+h h h f h f f h h , 因为f '-(0)≠ f '+(0), 所以函数f (x )=|x |在x =0处不可导.四、导数的几何意义函数y =f (x )在点x 0处的导数f '(x 0)在几何上表示曲线y =f (x )在点M (x 0, f (x 0))处的切线的斜率, 即其中α是切线的倾角.如果y =f (x )在点x 0处的导数为无穷大, 这时曲线y =f (x )的割线以垂直于x 轴的直线x =x 0为极限位置, 即曲线y =f (x )在点M (x 0, f (x 0))处具有垂直于x 轴的切线x =x 0. :由直线的点斜式方程, 可知曲线y =f (x )在点M (x 0, y 0)处的切线方程为过切点M (x 0, y 0)且与切线垂直的直线叫做曲线y =f (x )在点M 处的法线如果f '(x 0)≠0, 法线的斜率为)(10x f '-, 从而法线方程为 )()(1000x x x f y y -'-=-. 例8. 求等边双曲线x y 1=在点)2 ,21(处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程. 解: 21xy -=', 所求切线及法线的斜率分别为 4)1(2121-=-==x x k , 41112=-=k k . 所求切线方程为)21(42--=-x y , 即4x +y -4=0. 所求法线方程为)21(412-=-x y , 即2x -8y +15=0. 例9 求曲线x x y =的通过点(0, -4)的切线方程.解 设切点的横坐标为x 0, 则切线的斜率为0212302323)()(0x x x x f x x =='='=.于是所求切线的方程可设为)(230000x x x x x y -=-. 根据题目要求, 点(0, -4)在切线上, 因此)0(2340000x x x x -=--, 解之得x 0=4. 于是所求切线的方程为)4(42344-=-x y , 即3x -y -4=0. 四、函数的可导性与连续性的关系设函数y =f (x )在点x 0 处可导, 即)(lim00x f x y x '=∆∆→∆存在. 则 00)(lim lim lim lim 00000=⋅'=∆⋅∆∆=∆⋅∆∆=∆→∆→∆→∆→∆x f x x y x x y y x x x x . 这就是说, 函数y =f (x )在点x 0 处是连续的. 所以, 如果函数y =f (x )在点x 处可导, 则函数在该点必连续.另一方面, 一个函数在某点连续却不一定在该点处可导.例7． 函数3)(x x f =在区间(-∞, +∞)内连续, 但在点x =0处不可导. 这是因为函数在点x =0处导数为无穷大hf h f h )0()0(lim 0-+→+∞=-=→h h h 0lim 30.§2. 2 函数的求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则定理1 如果函数u =u (x )及v =v (x )在点x 具有导数, 那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x 具有导数, 并且[u (x ) ±v (x )]'=u '(x ) ±v '(x ) ;[u (x )⋅v (x )]'=u '(x )v (x )+u (x )v '(x );)()()()()()()(2x v x v x u x v x u x v x u '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡. 证明 (1)hx v x u h x v h x u x v x u h )]()([)]()([lim ])()([0±-+±+='±→⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+±-+=→h x v h x v h x u h x u h )()()()(lim 0=u '(x )±v '(x ). 法则(1)可简单地表示为(u ±v )'=u '±v ' .(2)hx v x u h x v h x u x v x u h )()()()(lim ])()([0-++='⋅→ )]()()()()()()()([1lim 0x v x u h x v x u h x v x u h x v h x u hh -+++-++=→ ⎥⎦⎤-+++⎢⎣⎡-+=→h x v h x v x u h x v h x u h x u h )()()()()()(lim 0 hx v h x v x u h x v h x u h x u h h h )()(lim )()(lim )()(lim 000-+⋅++⋅-+=→→→ =u '(x )v (x )+u (x )v '(x ),其中0lim →h v (x +h )=v (x )是由于v '(x )存在, 故v (x )在点x 连续. 法则(2)可简单地表示为(uv )'=u 'v +uv '.(3) h x v h x v h x v x u x v h x u h x v x u h x v h x u x v x u h h )()()()()()(lim )()()()(lim )()(00++-+=-++='⎥⎦⎤⎢⎣⎡→→ hx v h x v x v h x v x u x v x u h x u h )()()]()()[()()]()([lim 0+-+--+=→ )()()()()()()()(lim 0x v h x v h x v h x v x u x v h x u h x u h +-+--+=→ )()()()()(2x v x v x u x v x u '-'=. 法则(3)可简单地表示为2)(v v u v u v u '-'='. (u ±v )'=u '±v ', (uv )'=u 'v +uv ', 2)(v v u v u v u '-'='. 定理1中的法则(1)、(2)可推广到任意有限个可导函数的情形. 例如, 设u =u (x )、v =v (x )、w =w (x )均可导, 则有(u +v -w )'=u '+v '-w '.(uvw )'=[(uv )w]'=(uv )'w +(uv )w '=(u 'v +uv ')w +uvw '=u 'vw +uv 'w +uvw '.即 (uvw )' =u 'vw +uv 'w +uvw '.在法则(2)中, 如果v =C (C 为常数), 则有(Cu )'=Cu '.例1．y =2x 3-5x 2+3x -7, 求y '解: y '=(2x 3-5x 2+3x -7)'= (2x 3)'-(5x 2)'+(3x )'-(7)'= 2 (x 3)'- 5( x 2)'+ 3( x )'=2⋅3x 2-5⋅2x +3=6x 2-10x +3.例2. 2 sin cos 4)(3π-+=x x x f , 求f '(x )及)2(πf '. 解: x x x x x f sin 43)2(sin )cos 4()()(23-='-'+'='π, 443)2 (2-='ππf . 例3．y =e x (sin x +cos x ), 求y '.解: y '=(e x )'(sin x +cos x )+ e x (sin x +cos x )'= e x (sin x +cos x )+ e x (cos x -sin x )=2e x cos x .例4．y =tan x , 求y '.解: xx x x x x x x y 2cos )(cos sin cos )(sin )cos sin ()(tan '-'='='=' x x x x x 22222sec cos 1cos sin cos ==+=. 即 (tan x )'=sec 2x .例5．y =sec x , 求y '.解: x x x x x y 2cos )(cos 1cos )1()cos 1()(sec '⋅-'='='='xx 2cos sin ==sec x tan x . 即 (sec x )'=sec x tan x .用类似方法, 还可求得余切函数及余割函数的导数公式:(cot x )'=-csc 2x ,(csc x )'=-csc x cot x .二、反函数的求导法则定理2 如果函数x =f (y )在某区间I y 内单调、可导且f '(y )≠0, 那么它的反函数y =f -1(x )在对应区间I x ={x |x =f (y ), y ∈I y }内也可导, 并且)(1])([1y f x f '='-. 或dydx dx dy 1=. 简要证明: 由于x =f (y )在I y 内单调、可导(从而连续), 所以x =f (y )的反函数y =f -1(x )存在, 且f -1(x )在I x 内也单调、连续.任取x ∈I x , 给x 以增量∆x (∆x ≠0, x +∆x ∈I x ), 由y =f -1(x )的单调性可知∆y =f -1(x +∆x )-f -1(x )≠0,于是yxx y ∆∆=∆∆1. 因为y =f -1(x )连续, 故0lim 0=∆→y x 从而)(11lim lim ])([001y f yx x y x f y x '=∆∆=∆∆='→∆→∆-. 上述结论可简单地说成: 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.例6．设x =sin y , ]2,2 [ππ-∈y 为直接函数, 则y =arcsin x 是它的反函数. 函数x =sin y 在开区间)2,2 (ππ-内单调、可导, 且 (sin y )'=cos y >0.因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(-1, 1)内有2211sin 11cos 1)(sin 1)(arcsin x y y y x -=-=='='. 类似地有: 211)(arccos x x --='. 例7．设x =tan y , )2,2 (ππ-∈y 为直接函数, 则y =arctan x 是它的反函数. 函数x =tan y 在区间)2,2 (ππ-内单调、可导, 且 (tan y )'=sec 2 y ≠0.因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(-∞, +∞)内有22211tan 11sec 1)(tan 1)(arctan xy y y x +=+=='='. 类似地有: 211)cot arc (x x +-='. 例8设x =a y (a >0, a ≠1)为直接函数, 则y =log a x 是它的反函数. 函数x =a y 在区间I y =(-∞, +∞)内单调、可导, 且(a y )'=a y ln a ≠0.因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(0, +∞)内有ax a a a x y y a ln 1ln 1)(1)(log =='='. 到目前为止, 所基本初等函数的导数我们都求出来了, 那么由基本初等函数构成的较复杂的初等函数的导数如可求呢？如函数lntan x 、3x e 、的导数怎样求？三、复合函数的求导法则定理3 如果u =g (x )在点x 可导, 函数y =f (u )在点u =g (x )可导, 则复合函数y =f [g (x )]在点x 可导, 且其导数为)()(x g u f dxdy '⋅'=或dx du du dy dx dy ⋅=. 证明: 当u =g (x )在x 的某邻域内为常数时, y =f [ϕ(x )]也是常数, 此时导数为零, 结论自然成立.当u =g (x )在x 的某邻域内不等于常数时, ∆u ≠0, 此时有xx g x x g x g x x g x g f x x g f x x g f x x g f x y ∆-∆+⋅-∆+-∆+=∆-∆+=∆∆)()()()()]([)]([)]([)]([ x x g x x g u u f u u f ∆-∆+⋅∆-∆+=)()()()(, xx g x x g u u f u u f x y dx dy x u x ∆-∆+⋅∆-∆+=∆∆=→∆→∆→∆)()(lim )()(lim lim 000= f '(u )⋅g '(x ). 简要证明:x u u y x y dx dy x x ∆∆⋅∆∆=∆∆=→∆→∆00lim lim )()(lim lim 00x g u f xu u y x u ''=∆∆⋅∆∆=→∆→∆. 例9 3x e y =, 求dx dy . 解 函数3x e y =可看作是由y =e u , u =x 3复合而成的, 因此32233x u e x x e dxdu du dy dx dy =⋅=⋅=. 例10 212sin xxy +=, 求dx dy . 解 函数212sin x xy +=是由y =sin u , 212xxu +=复合而成的, 因此 2222222212cos )1()1(2)1()2()1(2cos x x x x x x x u dx du du dy dx dy +⋅+-=+-+⋅=⋅=. 对复合函数的导数比较熟练后, 就不必再写出中间变量, 例11．lnsin x , 求dx dy . 解: )(sin sin 1)sin (ln '⋅='=x x x dx dy x x xcot cos sin 1=⋅=. 例12．3221x y -=, 求dx dy .解: )21()21(31])21[(2322312'-⋅-='-=-x x x dx dy 322)21(34x x --=. 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y =f (u ), u =ϕ(v ), v =ψ(x ), 则dxdv dv du du dy dx du du dy dx dy ⋅⋅=⋅=. 例13．y =lncos(e x ), 求dx dy . 解: ])[cos()cos(1])cos([ln '⋅='=x x x e e e dx dy )tan()()]sin([)cos(1x x x x x e e e e e -='⋅-⋅=. 例14．x ey 1sin =, 求dx dy . 解: )1(1cos )1(sin )(1sin 1sin 1sin '⋅⋅='⋅='=xx e x e e dx dy x x x xe x x 1cos 11sin 2⋅⋅-=. 例15设x >0, 证明幂函数的导数公式(x μ)'=μ x μ-1.解 因为x μ=(e ln x )μ=e μ ln x , 所以(x μ)'=(e μ ln x )'= e μ ln x ⋅(μ ln x )'= e μ ln x ⋅μ x -1=μ x μ-1.四、基本求导法则与导数公式1．基本初等函数的导数:(1)(C )'=0,(2)(x μ)'=μ x μ-1,(3)(sin x )'=cos x ,(4)(cos x )'=-sin x ,(5)(tan x )'=sec 2x ,(6)(cot x )'=-csc 2x ,(7)(sec x )'=sec x ⋅tan x ,(8)(csc x )'=-csc x ⋅cot x ,(9)(a x )'=a x ln a ,(10)(e x )'=e x , (11) ax x a ln 1)(log =', (12) xx 1)(ln =',(13) 211)(arcsin x x -=', (14) 211)(arccos x x --='. (15) 211)(arctan xx +=', (16) 211)cot arc (xx +-='. 2．函数的和、差、积、商的求导法则设u =u (x ), v =v (x )都可导, 则(1)(u ±v )'=u '±v ',(2)(C u )'=C u ',(3)(u v )'=u '⋅v +u ⋅v ', (4)2)(v v u v u v u '-'='. 3．反函数的求导法则设x =f (y )在区间I y 内单调、可导且f '(y )≠0, 则它的反函数y =f -1(x )在I x =f (I y )内也可导, 并且)(1])([1y f x f '='-. 或dydx dx dy 1=. 4．复合函数的求导法则设y =f (x ), 而u =g (x )且f (u )及g (x )都可导, 则复合函数y =f [g (x )]的导数为dxdu du dy dx dy ⋅=或y '(x )=f '(u )⋅g '(x ). 例16. 求双曲正弦sh x 的导数.解: 因为)(21sh x x e e x --=, 所以 x e e e e x x x x x ch )(21)(21)sh (=+='-='--, 即 (sh x )'=ch x .类似地, 有(ch x )'=sh x .例17. 求双曲正切th x 的导数.解: 因为xx x ch sh th =, 所以 xx x x 222ch sh ch )(th -='x 2ch 1=. 例18. 求反双曲正弦arsh x 的导数.解: 因为)1ln(arsh 2x x x ++=, 所以22211)11(11)arsh (x x x x x x +=++⋅++='. 由)1ln(arch 2-+=x x x , 可得11)arch (2-='x x . 由x x x -+=11ln 21arth , 可得211)arth (xx -='. 类似地可得11)arch (2-='x x , 211)arth (x x -='. 例19．y =sin nx ⋅sin n x (n 为常数), 求y '.解: y '=(sin nx )' sin n x + sin nx ⋅ (sin n x )'= n cos nx ⋅sin n x +sin nx ⋅ n ⋅ sin n -1 x ⋅(sin x )'= n cos nx ⋅sin n x +n sin n -1 x ⋅ cos x =n sin n -1 x ⋅ sin(n +1)x .§2. 3 高阶导数一般地, 函数y =f (x )的导数y '=f '(x )仍然是x 的函数. 我们把y '=f '(x )的导数叫做函数y =f (x )的二阶导数, 记作 y ''、f ''(x )或22dx y d , 即 y ''=(y ')', f ''(x )=[f '(x )]' , )(22dxdy dx d dx y d =. 相应地, 把y =f (x )的导数f '(x )叫做函数y =f (x )的一阶导数.类似地, 二阶导数的导数, 叫做三阶导数, 三阶导数的导数叫做四阶导数, ⋅ ⋅ ⋅, 一般地, (n -1)阶导数的导数叫做n 阶导数, 分别记作y ''', y (4), ⋅ ⋅ ⋅ , y (n ) 或33dx y d , 44dx y d , ⋅ ⋅ ⋅ , nn dx y d . 函数f (x )具有n 阶导数, 也常说成函数f (x )为n 阶可导. 如果函数f (x )在点x 处具有n 阶导数, 那么函数f (x )在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数. 二阶及二阶以上的导数统称高阶导数.y '称为一阶导数, y '', y ''', y (4), ⋅ ⋅ ⋅, y (n )都称为高阶导数.例1．y =ax +b , 求y ''.解: y '=a , y ''=0.例2．s =sin ω t , 求s ''.解: s '=ω cos ω t , s ''=-ω 2sin ω t .例3．证明: 函数22x x y -=满足关系式y 3y ''+1=0.证明: 因为22212222x x x x x x y --=--=', 22222222)1(2x x x x x x x x y -------='')2()2()1(22222x x x x x x x ----+-=32321)2(1y x x -=--=, 所以y 3y ''+1=0.例4．求函数y =e x 的n 阶导数.解; y '=e x , y ''=e x , y '''=e x , y ( 4)=e x ,一般地, 可得y ( n )=e x ,即 (e x )(n )=e x .例5．求正弦函数与余弦函数的n 阶导数.解: y =sin x ,)2sin(cos π+=='x x y , )22sin()2 2 sin()2 cos(ππππ⋅+=++=+=''x x x y , )23sin()2 2 2sin()2 2cos(ππππ⋅+=+⋅+=⋅+='''x x x y , )24sin()2 3cos()4(ππ⋅+=⋅+=x x y , 一般地, 可得)2sin()(π⋅+=n x y n , 即)2 sin()(sin )(π⋅+=n x x n . 用类似方法, 可得)2cos()(cos )(π⋅+=n x x n .例6．求对函数ln(1+x )的n 阶导数解: y =ln(1+x ), y '=(1+x )-1, y ''=-(1+x )-2,y '''=(-1)(-2)(1+x )-3, y (4)=(-1)(-2)(-3)(1+x )-4,一般地, 可得y (n )=(-1)(-2)⋅ ⋅ ⋅(-n +1)(1+x )-n n n x n )1()!1()1(1+--=-, 即 nn n x n x )1()!1()1()]1[ln(1)(+--=+-. 例6．求幂函数y =x μ (μ是任意常数)的n 阶导数公式.解: y '=μx μ-1,y ''=μ(μ-1)x μ-2,y '''=μ(μ-1)(μ-2)x μ-3,y ( 4)=μ(μ-1)(μ-2)(μ-3)x μ-4,一般地, 可得y (n )=μ(μ-1)(μ-2) ⋅ ⋅ ⋅ (μ-n +1)x μ-n ,即 (x μ )(n ) =μ(μ-1)(μ-2) ⋅ ⋅ ⋅ (μ-n +1)x μ-n .当μ=n 时, 得到(x n )(n ) = μ(μ-1)(μ-2) ⋅ ⋅ ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1=n ! .而 (x n )( n +1)=0 .如果函数u =u (x )及v =v (x )都在点x 处具有n 阶导数, 那么显然函数u (x )±v (x )也在点x 处具有n 阶导数, 且(u ±v )(n )=u (n )+v (n ) .(uv )'=u 'v +uv '(uv )''=u ''v +2u 'v '+uv '',(uv )'''=u '''v +3u ''v '+3u 'v ''+uv ''' ,用数学归纳法可以证明∑=-=nk k k n k nn v u C uv 0)()()()(, 这一公式称为莱布尼茨公式.例8．y =x 2e 2x , 求y (20).解: 设u =e 2x , v =x 2, 则(u )(k )=2k e 2x (k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , 20),v '=2x , v ''=2, (v )(k ) =0 (k =3, 4, ⋅ ⋅ ⋅ , 20),代入莱布尼茨公式, 得y (20)=(u v )(20)=u (20)⋅v +C 201u (19)⋅v '+C 202u (18)⋅v ''=220e 2x ⋅ x 2+20 ⋅ 219e 2x ⋅ 2x !21920⋅+218e 2x ⋅ 2 =220e 2x (x 2+20x +95).§2. 4 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率一、隐函数的导数显函数: 形如y =f (x )的函数称为显函数. 例如y =sin x , y =ln x ++e x .隐函数: 由方程F (x , y )=0所确定的函数称为隐函数.例如, 方程x +y 3 -1=0确定的隐函数为y 31x y -=.如果在方程F (x , y )=0中, 当x 取某区间内的任一值时, 相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在, 那么就说方程F (x , y )=0在该区间内确定了一个隐函数.把一个隐函数化成显函数, 叫做隐函数的显化. 隐函数的显化有时是有困难的, 甚至是不可能的. 但在实际问题中, 有时需要计算隐函数的导数, 因此, 我们希望有一种方法, 不管隐函数能否显化, 都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来.例1．求由方程e y +xy -e =0 所确定的隐函数y 的导数.解: 把方程两边的每一项对x 求导数得(e y )'+(xy )'-(e )'=(0)',即 e y ⋅ y '+y +xy '=0,从而 y ex y y +-='(x +e y ≠0). 例2．求由方程y 5+2y -x -3x 7=0 所确定的隐函数y =f (x )在x =0处的导数y '|x =0.解: 把方程两边分别对x 求导数得5y ⋅y '+2y '-1-21x 6=0,由此得 2521146++='y x y . 因为当x =0时, 从原方程得y =0, 所以 21|25211|0460=++='==x x y x y . 例3. 求椭圆191622=+y x 在)323 ,2(处的切线方程. 解: 把椭圆方程的两边分别对x 求导, 得 0928='⋅+y y x . 从而 yx y 169-='. 当x =2时, 323=y , 代入上式得所求切线的斜率 43|2-='==x y k . 所求的切线方程为 )2(43323--=-x y , 即03843=-+y x . 解: 把椭圆方程的两边分别对x 求导, 得 0928='⋅+y y x . 将x =2, 323=y , 代入上式得 03141='⋅+y ,于是 k =y '|x =243-=. 所求的切线方程为 )2(43323--=-x y , 即03843=-+y x . 例4．求由方程0sin 21=+-y y x 所确定的隐函数y 的二阶导数.解: 方程两边对x 求导, 得 0cos 211=⋅+-dx dy y dx dy , 于是 ydx dy cos 22-=. 上式两边再对x 求导, 得 3222)cos 2(sin 4)cos 2(sin 2y y y dx dyy dx y d --=-⋅-=. 对数求导法: 这种方法是先在y =f (x )的两边取对数, 然后再求出y 的导数.设y =f (x ), 两边取对数, 得ln y = ln f (x ),两边对x 求导, 得 ])([ln 1'='x f y y, y '= f (x )⋅[ln f (x )]'.对数求导法适用于求幂指函数y =[u (x )]v (x )的导数及多因子之积和商的导数.例5．求y =x sin x (x >0)的导数.解法一: 两边取对数, 得ln y =sin x ⋅ ln x ,上式两边对x 求导, 得 xx x x y y 1sin ln cos 1⋅+⋅=', 于是 )1sin ln (cos xx x x y y ⋅+⋅=' )sin ln (cos sin xx x x x x +⋅=. 解法二: 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求:y =x sin x =e sin x ·ln x ,)sin ln (cos )ln (sin sin ln sin xx x x x x x e y x x x +⋅='⋅='⋅. 例6. 求函数)4)(3()2)(1(----=x x x x y 的导数. 解: 先在两边取对数(假定x >4), 得ln y 21=[ln(x -1)+ln(x -2)-ln(x -3)-ln(x -4)], 上式两边对x 求导, 得 )41312111(211-----+-='x x x x y y , 于是 )41312111(2-----+-='x x x x y y . 当x <1时, )4)(3()2)(1(x x x x y ----=; 当2<x <3时, )4)(3()2)(1(x x x x y ----=; 用同样方法可得与上面相同的结果.注: 严格来说, 本题应分x >4, x <1, 2<x <3三种情况讨论, 但结果都是一样的.二、由参数方程所确定的函数的导数设y 与x 的函数关系是由参数方程⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ确定的. 则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数.在实际问题中, 需要计算由参数方程所确定的函数的导数. 但从参数方程中消去参数t 有时会有困难. 因此, 我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数. 设x =ϕ(t )具有单调连续反函数t =ϕ-1(x ), 且此反函数能与函数y =ψ(t )构成复合函数y =ψ[ϕ-1(x ) ], 若x =ϕ(t )和y =ψ(t )都可导, 则 )()(1t t dtdx dt dy dx dt dt dy dx dy ϕψ''=⋅=⋅=, 即 )()(t t dx dy ϕψ''=或dtdx dt dy dx dy =. 若x =ϕ(t )和y =ψ(t )都可导, 则)()(t t dx dy ϕψ''=. 例7. 求椭圆⎩⎨⎧==t b y t a x sin cos 在相应于4 π=t 点处的切线方程. 解: t ab t a t b t a t b dx dy cot sin cos )cos ()sin (-=-=''=.所求切线的斜率为ab dx dyt -==4π. 切点的坐标为224 cos 0a a x ==π, 224sin 0b b y ==π. 切线方程为)22(22a x a b b y --=-, 即 bx +ay 2-ab =0.例8．抛射体运动轨迹的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-==22121gt t v y t v x , 求抛射体在时刻t 的运动速度的大小和方向. y =v 2t -g t 2解: 先求速度的大小.速度的水平分量与铅直分量分别为x '(t )=v 1, y '(t )=v 2-gt ,所以抛射体在时刻t 的运动速度的大小为 22)]([)]([t y t x v '+'=2221)(gt v v -+=. 再求速度的方向,设α是切线的倾角, 则轨道的切线方向为 12)()(tan v gt v t x t y dx dy -=''==α. 已知x =ϕ(t ), y =ψ(t ), 如何求二阶导数y ''?由x =ϕ(t ), )()(t t dx dy ϕψ''=, dxdt t t dt d dx dy dx d dx y d ))()(()(22ϕψ''== )(1)()()()()(2t t t t t t ϕϕϕψϕψ'⋅''''-'''=)()()()()(3t t t t t ϕϕψϕψ''''-'''=. 例9．计算由摆线的参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x 所确定 的函数y =f (x )的二阶导数.解: )()(t x t y dx dy ''=)cos 1(sin ])sin ([])cos 1([t a t a t t a t a -='-'-= 2cot cos 1sin t t t =-=(t ≠2n π, n 为整数). dxdt t dt d dx dy dx d dx y d ⋅==)2(cot )(2222)cos 1(1)cos 1(12sin 21t a t a t --=-⋅-= (t ≠2n π, n 为整数).三、相关变化率设x =x (t )及y =y (t )都是可导函数, 而变量x 与y 间存在某种关系, 从而变化率dtdx 与dt dy 间也存在一定关系. 这两个相互依赖的变化率称为相关变化率. 相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系, 以便从其中一个变化率求出另一个变化率.例10一气球从离开观察员500f 处离地面铅直上升, 其速度为140m/min(分). 当气球高度为500m 时, 观察员视线的仰角增加率是多少？解 设气球上升t (秒)后, 其高度为h , 观察员视线的仰角为α, 则500tan h =α. 其中α及h 都是时间t 的函数. 上式两边对t 求导, 得dtdh dt d ⋅=⋅5001sec 2αα. 已知140=dtdh (米/秒). 又当h =500(米)时, tan α=1, sec 2 α=2. 代入上式得 14050012⋅=dt d α, 所以 14.050070==dt d α(弧度/秒). 即观察员视线的仰角增加率是每秒0. 14弧度.§2. 5 函数的微分一、微分的定义引例 函数增量的计算及增量的构成.一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其边长由x 0变到x 0+∆x , 问此薄片的面积改变了多少？设此正方形的边长为x , 面积为A , 则A 是x 的函数: A =x 2. 金属薄片的面积改变量为 ∆A =(x 0+∆x )2-(x 0)2 =2x 0∆x +(∆x )2.几何意义: 2x 0∆x 表示两个长为x 0宽为∆x 的长方形面积; (∆x )2表示边长为∆x 的正方形的面积.数学意义: 当∆x →0时, (∆x )2是比∆x 高阶的无穷小, 即(∆x )2=o (∆x ); 2x 0∆x 是∆x 的线性函数, 是∆A 的主要部分, 可以近似地代替∆A .定义 设函数y =f (x )在某区间内有定义, x 0及x 0+∆x 在这区间内, 如果函数的增量 ∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)可表示为∆y =A ∆x +o (∆x ),其中A 是不依赖于∆x 的常数, 那么称函数y =f (x )在点x 0是可微的, 而A ∆x 叫做函数y =f (x )在点x 0相应于自变量增量∆x 的微分, 记作 dy , 即dy =A ∆x .函数可微的条件: 函数f (x )在点x 0可微的充分必要条件是函数f (x )在点x 0可导, 且当函数f (x )在点x 0可微时, 其微分一定是dy =f '(x 0)∆x .证明: 设函数f (x )在点x 0可微, 则按定义有∆y =A ∆x +o (∆x ),上式两边除以∆x , 得xx o A x y ∆∆+=∆∆)(. 于是, 当∆x →0时, 由上式就得到 )(lim00x f x y A x '=∆∆=→∆. 因此, 如果函数f (x )在点x 0可微, 则f (x )在点x 0也一定可导, 且A =f '(x 0).反之, 如果f (x )在点x 0可导, 即)(lim 00x f xy x '=∆∆→∆ 存在, 根据极限与无穷小的关系, 上式可写成α+'=∆∆)(0x f xy , 其中α→0(当∆x →0), 且A =f (x 0)是常数, α∆x =o (∆x ). 由此又有∆y =f '(x 0)∆x +α∆x .因且f '(x 0)不依赖于∆x , 故上式相当于∆y =A ∆x +o (∆x ),所以f (x )在点x 0 也是可导的.简要证明: 一方面A x f x y xx o A x y x o x A y x ='=∆∆⇒∆∆+=∆∆⇒∆+∆=∆→∆)(lim )()(00. 别一方面x x x f y x f x y x f x y x ∆+∆'=∆⇒+'=∆∆⇒'=∆∆→∆αα)()()(lim 0000. 以微分dy 近似代替函数增量 ∆y 的合理性:当f '(x 0)≠0时, 有1lim )(1)(lim lim00000=∆'=∆'∆=∆→∆→∆→∆dx y x f x x f y dy y x x x . ∆y =dy +o (d y ).结论: 在f '(x 0)≠0的条件下, 以微分dy =f '(x 0)∆x 近似代替增量∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)时, 其误差为o (dy ). 因此, 在|∆x |很小时, 有近似等式∆y ≈dy .函数y =f (x )在任意点x 的微分, 称为函数的微分, 记作dy 或 d f (x ), 即dy =f '(x )∆x ,例如 d cos x =(cos x )'∆x =-sin x ∆x ; de x =(e x )'∆x =e x ∆x .例1 求函数y =x 2在x =1和x =3处的微分.解 函数y =x 2在x =1处的微分为dy =(x 2)'|x =1∆x =2∆x ;函数y =x 2在x =3处的微分为dy =(x 2)'|x =3∆x =6∆x .例2．求函数 y =x 3当x =2, ∆x =0. 02时的微分.解: 先求函数在任意点x 的微分dy =(x 3)'∆x =3x 2∆x .再求函数当x =2, ∆x =0. 02时的微分dy |x =2, ∆x =0.02 =3x 2| x =2, ∆x =0.02 =3⨯22⨯0.02=0.24.自变量的微分:因为当y =x 时, dy =dx =(x )'∆x =∆x , 所以通常把自变量x 的增量∆x 称为自变量的微分, 记作dx , 即dx =∆x . 于是函数y =f (x )的微分又可记作dy =f '(x )dx .从而有 )(x f dxdy '=. 这就是说, 函数的微分dy 与自变量的微分dx 之商等于该函数的导数. 因此, 导数也叫做“微商”.二、微分的几何意义当∆y 是曲线y =f (x )上的点的纵坐标的增量时, dy 就是曲线的切线上点纵坐标的相应增量. 当|∆x |很小时, |∆y -dy |比|∆x |小得多. 因此在点M 的邻近, 我们可以用切线段来近似代替曲线段.三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则从函数的微分的表达式dy =f '(x )dx可以看出, 要计算函数的微分, 只要计算函数的导数, 再乘以自变量的微分. 因此, 可得如果下的微分公式和微分运算法则.1. 基本初等函数的微分公式导数公式: 微分公式:(x μ)'=μ x μ-1 d (x μ)=μ x μ-1d x(sin x )'=cos x d (sin x )=cos x d x(cos x )'=-sin x d (cos x )=-sin x d x(tan x )'=sec 2 x d (tan x )=sec 2x d x(cot x )'=-csc 2x d (cot x )=-csc 2x d x(sec x )'=sec x tan x d (sec x )=sec x tan x d x(csc x )'=-csc x cot x d (csc x )=-csc x cot x d x(a x )'=a x ln a d (a x )=a x ln a d x(e x )=e x d (e x )=e x d xax x a ln 1)(log =' dx a x x d a ln 1)(log = x x 1)(ln =' dx xx d 1)(ln = 211)(arcsin x x -=' dx x x d 211)(arcsin -= 211)(arccos x x --=' dx x x d 211)(arccos --= 211)(arctan xx +=' dx x x d 211)(arctan += 211)cot arc (xx +-=' dx x x d 211)cot arc (+-=2. 函数和、差、积、商的微分法则求导法则: 微分法则:(u ±v )'=u '± v ' d (u ±v )=du ±dv(Cu )'=Cu ' d (Cu )=Cdu(u ⋅v )'= u 'v +uv ' d (u ⋅v )=vdu +udv)0()(2≠'-'='v v v u v u v u )0()(2≠-=v dx v udv vdu v u d 证明乘积的微分法则:根据函数微分的表达式, 有d (uv )=(uv )'dx .再根据乘积的求导法则, 有(uv )'=u 'v +uv '.于是 d (uv )=(u 'v +uv ')dx =u 'vdx +uv 'dx .由于u 'dx =du , v 'dx =dv ,所以d (uv )=vdu +udv .3. 复合函数的微分法则设y =f (u )及u =ϕ(x )都可导, 则复合函数y =f [ϕ(x )]的微分为dy =y 'x dx =f '(u )ϕ'(x )dx .于由ϕ'(x )dx =du , 所以, 复合函数y =f [ϕ(x )]的微分公式也可以写成dy =f '(u )du 或 dy =y 'u du .由此可见, 无论u 是自变量还是另一个变量的可微函数, 微分形式dy =f '(u )du 保持不变. 这一性质称为微分形式不变性. 这性质表示, 当变换自变量时, 微分形式dy =f '(u )du 并不改变. 例3．y =sin(2x +1), 求dy .解: 把2x +1看成中间变量u , 则dy =d (sin u )=cos udu =cos(2x +1)d (2x +1)=cos(2x +1)⋅2dx =2cos(2x +1)dx .在求复合函数的导数时, 可以不写出中间变量.例4.)1ln(2x e y +=, 求dy .解:)1(11)1ln(222x x x e d e e d dy ++=+= xdx e e x d e e x x x x 211)(1122222⋅⋅+=⋅+=dx e xe x x 2212+=. 例5．y =e 1-3x cos x , 求dy .解: 应用积的微分法则, 得dy =d (e 1-3x cos x )=cos xd (e 1-3x )+e 1-3x d (cos x )=(cos x )e 1-3x (-3dx )+e 1-3x (-sin xdx )=-e 1-3x (3cos x +sin x )dx .例6．在括号中填入适当的函数, 使等式成立.(1) d ( )=xdx ;(2) d ( )=cos ω t dt .解: (1)因为d (x 2)=2xdx , 所以 )21()(2122x d x d xdx ==, 即xdx x d =)21(2. 一般地, 有xdx C x d =+)21(2(C 为任意常数). (2)因为d (sin ω t )=ω cos ω tdt , 所以 ) sin 1() (sin 1 cos t d t d tdt ωωωωω==. 因此 tdt C t d cos ) sin 1(ωωω=+(C 为任意常数). 四、微分在近似计算中的应用1．函数的近似计算在工程问题中, 经常会遇到一些复杂的计算公式. 如果直接用这些公式进行计算, 那是很费力的. 利用微分往往可以把一些复杂的计算公式改用简单的近似公式来代替.如果函数y =f (x )在点x 0处的导数f '(x )≠0, 且|∆x |很小时, 我们有∆y ≈dy =f '(x 0)∆x ,∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)≈dy =f '(x 0)∆x ,f (x 0+∆x )≈f (x 0)+f '(x 0)∆x .若令x =x 0+∆x , 即∆x =x -x 0, 那么又有f (x )≈ f (x 0)+f '(x 0)(x -x 0).特别当x 0=0时, 有f (x )≈ f (0)+f '(0)x .这些都是近似计算公式.例1．有一批半径为1cm 的球, 为了提高球面的光洁度, 要镀上一层铜, 厚度定为0. 01cm . 估计一了每只球需用铜多少g (铜的密度是8. 9g/cm 3)?解: 已知球体体积为334R V π=, R 0=1cm , ∆R =0. 01cm . 镀层的体积为∆V =V (R 0+∆R )-V (R 0)≈V '(R 0)∆R =4πR 02∆R =4⨯3. 14⨯12 ⨯0. 01=0. 13(cm 3).于是镀每只球需用的铜约为0. 13 ⨯8. 9 =1. 16(g ).例2．利用微分计算sin 30︒30'的近似值.解: 已知30︒30'3606 ππ+=, 6 0π=x , 360π=∆x . sin 30︒30'=sin(x 0+∆x )≈sin x 0+∆x cos x 03606 cos 6 sin πππ⋅+= 5076.03602321=⋅+=π. 即 sin 30︒30'≈0. 5076.常用的近似公式（假定|x |是较小的数值）: (1)x nx n 111+≈+; (2)sin x ≈x ( x 用弧度作单位来表达);(3)tan x ≈x ( x 用弧度作单位来表达);(4)e x ≈1+x ;(5)ln(1+x )≈x .证明 (1)取n x x f +=1)(, 那么f (0)=1, nx nf x n 1)1(1)0(011=+='=-, 代入f (x )≈f (0)+f '(0) x 便得 x nx n 111+≈+. 证明(2)取f (x )=sin x , 那么f (0)=0, f '(0)=cos x |x =0=1, 代入f (x )≈f (0)+f '(0) x 便得。