高等数学第2章 导数与微分

第二章 导数与微分

教学目的：

1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。

2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n 阶导数。

4、 会求分段函数的导数。

5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。

教学重点：

1、导数和微分的概念与微分的关系；

2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；

3、基本初等函数的导数公式；

4、高阶导数；

6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数。

教学难点：

1、复合函数的求导法则；

2、分段函数的导数；

3、反函数的导数

4、隐函数和由参数方程确定的导数。

§2. 1 导数概念

一、引例

1．直线运动的速度

设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数:

s =f (t ),

求动点在时刻t 0的速度.

考虑比值

000)()(t t t f t f t t s s --=--, 这个比值可认为是动点在时间间隔t -t 0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t 0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令t -t 0→0, 取

比值0

0)()(t t t f t f --的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即 0

0)()(lim 0t t t f t f v t t --=→, 这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度.

2．切线问题

设有曲线C 及C 上的一点M , 在点M 外另取C 上一点N , 作割线MN . 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT , 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线.

设曲线C 就是函数y =f (x )的图形. 现在要确定曲线在点M (x 0, y 0)(y 0=f (x 0))处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点M 外另取C 上一点N (x , y ), 于是割线MN 的斜率为 0

000)()(tan x x x f x f x x y y --=--=ϕ, 其中ϕ为割线MN 的倾角. 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, x →x 0. 如果当x → 0时, 上式的极限存在, 设为k , 即

0)()(lim 0x x x f x f k x x --=→ 存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里k =tan α, 其中α是切线MT 的倾角. 于是, 通过点M (x 0, f (x 0))且以k 为斜率的直线MT 便是曲线C 在点M 处的切线.

二、导数的定义

1. 函数在一点处的导数与导函数

从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限:

0)()(lim 0x x x f x f x x --→. 令∆x =x -x 0, 则∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)= f (x )-f (x 0), x →x 0相当于∆x →0, 于是0

0)()(lim

0x x x f x f x x --→ 成为

x y x ∆∆→∆0lim 或x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000. 定义 设函数y =f (x )在点x 0的某个邻域内有定义, 当自变量x 在x 0处取得增量∆x (点x 0+∆x 仍在该邻域内)时, 相应地函数y 取得增量∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0); 如果∆y 与∆x 之比当∆x →0时的极限存在, 则称函数y =f (x )在点x 0处可导, 并称这个极限为函数y =f (x )在点x 0处的导数, 记为0|x x y =', 即

x

x f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim )(00000,

也可记为0|x x y =', 0 x x dx dy =或0

)(x x dx x df =. 函数f (x )在点x 0处可导有时也说成f (x )在点x 0具有导数或导数存在.

导数的定义式也可取不同的形式, 常见的有

h

x f h x f x f h )()(lim )(0000-+='→, 0

00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→. 在实际中, 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题, 在数学上就是所谓函数的变化率问题. 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述.

如果极限x

x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000不存在, 就说函数y =f (x )在点x 0处不可导. 如果不可导的原因是由于∞=∆-∆+→∆x

x f x x f x )()(lim 000, 也往往说函数y =f (x )在点x 0处的导数为无穷大.

如果函数y =f (x )在开区间I 内的每点处都可导, 就称函数f (x )在开区间I 内可导, 这时, 对于任一x ∈I , 都对应着f (x )的一个确定的导数值. 这样就构成了一个新的函数, 这个函数叫做原来函数y =f (x )的导函数, 记作 y ',)(x f ',

dx dy , 或dx

x df )(.

导函数的定义式:

x x f x x f y x ∆-∆+='→∆)()(lim 0=h x f h x f h )()(lim 0-+→. f '(x 0)与f '(x )之间的关系:

函数f (x )在点x 0处的导数f '(x )就是导函数f '(x )在点x =x 0处的函数值, 即

0)()(0x x x f x f ='='.

导函数f '(x )简称导数, 而f '(x 0)是f (x )在x 0处的导数或导数f '(x )在x 0处的值.

左右导数: 所列极限存在, 则定义

f (x )在0x 的左导数:h

x f h x f x f h )()(lim )(0000-+='-→-; f (x )在0x 的右导数:h x f h x f x f h )()(lim )(000

0-+='+→+. 如果极限h x f h x f h )()(lim

000-+-→存在, 则称此极限值为函数在x 0的左导数. 如果极限h x f h x f h )()(lim 000

-++→存在, 则称此极限值为函数在x 0的右导数.

导数与左右导数的关系