南京市金陵中学2021届高三上学期学情调研测试10月数学试题含答案

A． -π6
B． π6
C． -π3
D． π3
6．已知 △ABC 的面积为 S，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2S = (a + b)2 - c2，则 tanC 的值是
A． 43
B． -43
C． 43
D． -43
7．若过抛物线 y2 = 4x 的焦点作两条互相垂直的弦 AB，CD，则四边形 ACBD 的面积的最小值为
．
14．已知二项式
(x2
+
xa )6
的展开式中含
x3
项的系数是
160，则实数
a
的值是
．
15．已知正三棱锥 S — ABC 的侧棱长为 4 3 ，底面边长为 6，则该正三棱锥外接球的表面积是
．
16．已知函数 f(x) =
lnx , 2 - lnx,
0 x
< >
x e
≤
e
，若
a，b，c 互不相等，且
11．已知集合 M = (x,y)y = f(x) ，若对于任意 (x1，y1) ∈ M，存在 (x2，y2) ∈ M，使得 x1x2 + y1y2 =
0 成立，则称集合 M 是 “ 完美对点集 ”．给出下列四个集合：
① M = (x,y)y = x1 ；② M = (x,y)y = sinx + 1 ；
工作，人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如 2P - 1( 其中 p 是素数 ) 的素数，称为梅森素数．
在不超过 40 的素数中，随机选取两个不同的数，至少有一个为梅森素数的概率是
A．
5 11
B．
1 6
C．
9 22
D．
1 22
5．若函数 f(x) = sin(21 x + θ) - 3 cos(21 x + θ) (θ < π2 )的图像关于原点对称，则 θ 的值为
江苏省金陵中学 2021 届高三年级学情调研测试
数学试题
2020．10
Baidu Nhomakorabea
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合
题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上)
1．若集合 A = {0，1，2}，B = xx2 - 3x ≤ 0 ，则 A ∩ B =
B． AC1 ⊥ 平面 BDA 1
C．三棱锥 D — BA1C1 的体积为 65
D．直线 EF 与 BC1 所成的角为 30°
第 12 题
三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．请把答案填写在答题卡相应位置上)
13．若等比数列 an 的前 n 项的和为 Sn，且满足 S2 = 3，S3 - S1 = 6，则 a6 =
A． {1，2}
B． {0，1，2}
C． {0，1，2，3} D． x0 ≤ x ≤ 3
2．已知复数 z 满足 (2 - i)z = 1 + 2i(i 为虚数单位 )，那么 z 的虚部为
A．1
B．-1
C．0
D． i
3．若两个正数
a ，b
的等差中项为
25 ，等比中项为
6 ，且
a
>
b ，则双曲线
x2 a2
A．8
B．16
C．32
D．64
8．已知点 P 为函数 f(x) = 21 x2 + 2ax 与 g(x) = 3a2lnx + b(a > 0) 的图象的公共点，若以点 P 为切
点可作直线与两个函数的图象都相切，则实数 b 的最大值为
A． 23 e23
B． 23 e23
C． 23 e23
D． 23 e23
二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是
符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上)
9．已知圆 C：x2 + y2 - 2x = 0，点 A 是直线 y = kx - 3 上任意一点，若以点 A 为圆心，半径为 1 的圆 A 与
圆 C 没有公共点，则整数 k 的值可能为
③ M = (x,y)y = log2x ；④ M = (x,y)y = ex - 2 ．
其中是“完美对点集”的序号为
A．①
B．②
C．③
D．④
12．如图，已知在棱长为 1 的正方体 ABCD — A1B1C1D1 中，点 E，F，H 分别是 AB，DD1，BC1 的中点，下
列结论中正确的是
A． C1D1 ∥ 平面 CHD
sinC)．
(1) 求 A 的大小；
(2) 再在① a = 2，② B = π4 ，③ c = 3 b，这三个条件中，选出两个使 △ABC 唯一确定的条件补充在
下面的问题中，并解答问题．若
，
，求 △ABC 的面积．
·2·
18． ( 本小题满分 12 分 )
设 n ∈ N∗，数列 an 的前 n 项和为 Sn，已知 Sn + 1 = Sn + an + 2，a1，a2，a5 成等比数列．
-
y2 b2
=
1
的的离心率
e
等于
A．
1 3
B．
5 3
C． 35
D． 313
4．马林 · 梅森 (Marin Mersenne，1588 — 1648) 是 17 世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科
学界一位独特的中心人物．梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对 2P - 1 作了大量的计算、验证
(1) 求数列 an (2) 若数列 bn
的通项公式；
满足 bn = ( -1)nan + (2 )1 + an，求数列 bn
的前 2n 项的和 T2n．
19． ( 本小题满分 12 分 )
如图，四棱锥 S — ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 2 倍，P 为侧棱 SD 上
的点． (1) 求证：AC ⊥ SD； (2) 若 SD ⊥ 平面 PAC，求二面角 P — AC — S 的大小．
f(a)
=
f(b)
=
f(c)，则
a+b+c
的取
值范围是
．
四、解答题(本大题共 6 小题，共计 70 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过
程或演算步骤)
17．(本小题满分 10 分)
在 △ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且满足 (b - a) (sinB + sinA) = c(3 sinB -
A． -2
B． -1
C．0
D．1
·1·
10．下列说法正确的是
A．若 x，y > 0，x + y = 2，则 2x + 2y 的最大值为 4 B．若 x < 21 ，则函数 y = 2x + 2x1-1 的最大值为 -1
C．若 x，y > 0，x + y + xy = 3，则 xy 的最小值为 1
D．函数 y = sin12x + co4s2x 的最小值为 9