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南京市金陵中学2021届高三上学期学情调研测试10月数学试题含答案

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高三数学上学期10月份调研考试试题含解析 试题

高三数学上学期10月份调研考试试题含解析 试题

卜人入州八九几市潮王学校天一2021届高三数学上学期10月份调研考试试题〔含解析〕一、填空题：本大题一一共14小题，每一小题5分，一共70分．请把答案填写上在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．. 1.设全集{}654321，，，，，=U ,集合{}43，=A ,{}542，，=B ，那么=B A C U )(________. 答案：{1,2,4,5,6}考点：集合的运算解析：因为{}654321，，，，，=U ，{}43，=A ，所有}6,5,2,1{=A C U ，又因为{}542，，=B ，故}65,4,2,1{)(，=B A C U2. 假设复数z 满足条件5)3(=-z i )(为虚数单位其中i ，那么=||z ______. 答案：210 考点：复数的模解析：因为5)3(=-z i ，所以i z 2123+=，所以210)21()23(|z |22=+= 3. 执行如下列图的程序框图，那么输出s 的值是_______.答案：20考点：程序框图750解析：解析：第一次循环完毕时，s=5,第二次循环完毕时，s=5×4=20.退出循环构造输出20.4.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进展分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，那么成绩在[250，400)内的学生一共有_____人.答案：750由样本的频率分布直方图得：〔0.001＋0.001＋0.004＋a ＋0.005＋0.003〕×50＝1，解得a ＝0.006．∴成绩在[250，400〕内的频率为〔0.004＋0.006＋0.005〕×50＝0.75，∴成绩在[250，400〕内的学生一共有1000×0.75＝750．故答案为：750．5.口袋中有形状和大小完全一样的4个球，球的编号分别为1,2,3,4.假设从袋中一次随机摸出2个球，那么摸出的2个球的编号之和大于4的概率为______. 答案：32 考点：古典概型及其概率计算公式解析：口袋中有形状和大小完全一样的4个球，球的编号分别为1,2,3,4,从袋中一次随机摸出2个球，根本领件总数n=24C =6摸出的2个球的编号之和大于4包含的根本领件有:(1,4)，(2,3),(2，4)，(3,4)，一共4个,摸出的2个球的编号之和大于4的概率为3264==p 6.x x a x f 22)(+=为奇函数，121)12(log )(2--+=bx x g x 为偶函数，那么=)(ab f _____. 答案：23-考点：函数奇偶性的性质解析：由)(x f 为奇函数，求出1-=a ,)(x g 为偶函数，求出1=b ，所以23)1()(-=-=f ab f )0)(6sin()(>+=ωπωx x f 图像的两条相邻的对称轴之间的间隔为2π，且该函数图像关于点)0,(0x 成中心对称，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,00πx ，那么=0x ______.答案：125π 考点：函数)sin(ϕω+=x A y 的图像变换 8. 在等差数列{}n a 中，n S 为前n 项和，151075=++a a a ，4515=S ,那么公差d 的值是______. 答案：-3考点：等差数列的性质解析：因为151075=++a a a ，所以15287=+a a .又因为4515=S ,所以45158=a ，所以38=a 67=a ，378-=-=a a d9. 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为21S S ，,体积分别为21V V 、，假设它们的侧面积相等，4921=S S ,那么=21V V _____. 答案：23 考点：旋转体〔圆柱、圆锥、圆台〕10. 向量,均为非零向量，⊥+⊥+)2(,)2(，那么a 与b 的夹角为_____. 答案：32π 考点：数量积表示两个向量的夹角11. 31)3cos(),2,0(=+∈παπα，那么=+)62cos(πα______. 答案：924 考点：三角恒等变换 解析：令t =+3πα，那么3πα-=t ，所以2262,31cos ππα-=+=t t 所以t t 2sin )22cos()62cos(=-=+ππα，因为)65,3()2,0(πππα∈∈t ，所以 所以322)31(1sin ,0sin 2=-=>t t 即，所以924313222)62cos(=⨯⨯=+πα.12. 定义在),0(+∞上的可导函数)(x f 的导函数为)('x f ，满足)(')(x f x x f ⋅<，且0)1(=f ，那么关于x 的不等式0)(<x f 的解集为______. 答案：)1,0(考点：导数研究函数的单调性解析：)0()()(>=x x x f x F 构造，2)()(')('x x f x xf x F -=，因为)(')(x f x x f ⋅<，所以0)('>x F所以上单调递增在),0()(+∞x F ，因为0)1(,0)1(==F f 所以，因为0>x ，0)(,0)(<<x f x F 即求得)1,0(∈x13. 点B 在线段AC 上，121==BC AB ，点P 是A 、B 、C 所在直线外一点，且满足︒=∠90CPB ，34tan =∠APB ，那么=⋅PC PA _____. 答案：1732- 考点：向量的根本运算14. 实数x ,y >0，那么752)1)(12(22++++y x y x 的最大值为______. 答案：21 考点：根本不等式 解析：2122441222)1()4()4(122752)1)(12(222222=++++++≤+++++++++=++++y x xy y x xy y x y x y x xy y x y x (当且仅当“1,2==y x 〞时取“=〞)二、解答题：本大题一一共6小题，一共计90分，请在答题卡指定区域内答题，解答时应写出文字说明、．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．证明或者演算步骤．．．．．．．．.．15.(本小题总分值是14分) 设向量)cos 3,(sin x x a =，)1,1(-=b ，)1,1(=c .(其中[]π,0∈x )(1) 假设∥)(+，务实数x 的值；(2) 假设21=⋅b a ，求)6sin(π+x 的值. 16.(本小题总分值是14分)如图，A 、B 、C 、D 四点一共面，且CD =1，BC =2，AB =4，︒=∠120ABC ，772cos =∠BDC . (1) 求DBC ∠sin ;(2) 求AD.17.(本小题总分值是14分)在如下列图的空间几何体中，四边形ABCD 为正方形，四边形ABEF 为直角梯形，AF ∥BE ，AB ⊥BE ，平面ABEF ⊥平面ABCD ，AB =BE =2AF ，点P 为棱DE 上一点，且DP =2PE .(1) 求证：AC ∥平面DEF ；(2) 求证：BP ⊥平面DEF .(2〕设AF=x,那么AB=BE=2x18.(本小题总分值是16分)政府部门为加快实现塌陷区域整治和资源枯竭城转型开展，对一片半径为1km 的圆形采煤塌陷区进展生态修复和景观建立，将其开发为湿地景区.一期工程对塌陷区水面及周边整治已完毕，二期工程是进展湖面观光曲桥建立，设计方案如下:在圆形水面上建立由线段AB 、AP 、BP 、CD 组成的环湖观光曲桥，其中A 、B 、P 是湖面观光曲桥的出入口，出入口A 建在湖面东西方向的正东的湖边，出入口B 建在湖面南北方向方向的正北的湖边，出入口P 建在圆形湖面南偏西的某处湖边，C 、D 分别在东西和南北方向的轴线上，满足P 、C 、B 一共线，P 、D 、A 一共线.(1)求曲桥AB 、BC 、CD 、DA 围成的水域的面积;(2)试确定P 点的位置，使得曲桥CD 、DP 、PC 围成的水域面积最大.19.(本小题总分值是16分):对于无穷数列{}n a 与{}n b ,记{}*,|N n a x x A n ∈==，{}*,|N n b x x B n ∈==，假设同时满足条件:①{}n a ，{}n b 均单调递增；②φ=B A 且*N B A = ，那么称{}n a 与{}n b 是无穷互补数列.(1)假设24,12-=-=n b n a n n ,判断{}n a 与{}n b 是否为无穷互补数列，并说明理由； (2)假设n na 2=且{}n a 与{}nb 是无穷互补数列，求数列{}n b 的前16项的和; (3)假设{}n a 与{}n b 是无穷互补数列，{}n a 为等差数列且3616=a ，求{}n a 与{}n b 的通项公式.20.(本小题总分值是16分) 函数112)(2-++=x e x x a x f . (1) 假设2=a ，求函数)(x f 的极小值；(2) 假设)(x f 在[)+∞∈,0x 的最小值为0，务实数a 的取值范围；(3) 假设1||2+≤-x e x a e x x对任意的R x ∈恒成立，务实数a 的取值范围.。

江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高三上学期10月检测数学试题

江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高三上学期10月检测数学试题

江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高三上学期10月检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．“天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益，推出的首个太空科普教育品牌.为了解学生对“天宫课堂”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，得到以下数据，则（）三、填空题①当(]x ¥p Î--，时，12a £<Q ，ax p \-³，()e sin 10x f x x p \³++->，无零点．②当()0x p Î-，时，sin 0x <Q ，设()()u x f x ¢=，()e sin 0x u x x ¢=->，()f x ¢\在(),0p -上递增，又()020f a ¢=->Q ，()e 10f a p p -¢-=--<，\存在唯一零点()0,0x p Î-，使得()00f x ¢=．当()0,x x p Î-时，()0f x ¢<，()f x 在()0,x p -上递减；当()0,0x x Î时，()0f x ¢>，()f x 在()0,0x 上递增．又()e 10f a p p p --=+->，()00f =，所以，函数()f x 在(),0p -上有且仅有1个零点．综上，当12a £<时，函数()()()2g x x f x =-有且仅有3个零点．【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。

最新江苏省2022-2021年高三(上)10月月考数学试卷(解析版)

最新江苏省2022-2021年高三(上)10月月考数学试卷(解析版)

高三（上）10月月考数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={0，1，2}，B={x|x2﹣x≤0}，则A∩B=．2．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的条件．（填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要）3．计算：=．4．幂函数f（x）=xα（α∈R）过点，则f（4）=．5．函数f（x）=ln（2x2﹣3）的单调减区间为．6．若命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”假命题，则实数a的取值范围为．7．若方程2x+x=4的解所在区间为[m，m+1]（m∈Z），则m=．8．若直线y=2x+m是曲线y=xlnx的切线，则实数m的值为．9．设函数f（x）=，若f（x）的值域为R，是实数a的取值范围是．10．设周期函数f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）的最小正周期为3，且满足f（1）＞﹣2，f（2）=m2﹣m，则m的取值范围是．11．已知1+2x+4x•a＞0对一切x∈（﹣∞，1]上恒成立，则实数a的取值范围是．12．已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是．13．设方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0的根分别为p和q，函数f （x）=（x+p）（x+q）+2，则f （2），f （0），f （3）的大小关系为．14．设方程|ax﹣1|=x的解集为A，若A⊂≠[0，2]，则实数a的取值范围是．二、解答题15．已知集合A={x|x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）＜0}，B=，（1）当a=2时，求A∩B；（2）求使B⊆A的实数a的取值范围．16．已知命题p：方程x2+mx+1=0有负实数根；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实数根，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．17．设函数．（1）当a=b=2时，证明：函数f（x）不是奇函数；（2）设函数f（x）是奇函数，求a与b的值；（3）在（2）条件下，判断并证明函数f（x）的单调性，并求不等式的解集．18．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=x2+10x（万元）；当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+﹣1450（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部销售完．（1）写出年利润L（x）（万元）最新年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是多少？19．已知函数f（x）=ax3﹣+1（x∈R），其中a＞0．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间[﹣]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．高三（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={0，1，2}，B={x|x2﹣x≤0}，则A∩B={0，1} ．【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：x（x﹣1）≤0，解得：0≤x≤1，即B=[0，1]，∵A={0，1，2}，∴A∩B={0，1}，故答案为：{0，1}2．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件．（填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由|x﹣2|＜1得﹣1＜x﹣2＜1，得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，则（1，3）⊊（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），故“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要3．计算：=11．【考点】对数的运算性质．【分析】利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．【解答】解：=+3+（0.5）﹣2=4+3+4=11．故答案为：11．4．幂函数f（x）=xα（α∈R）过点，则f（4）=2．【考点】幂函数的性质．【分析】把幂函数y=xα的图象经过的点（2，）代入函数的解析式，求得α的值，即可得到函数解析式，从而求得f（4）的值．【解答】解：∵已知幂函数y=xα的图象过点（2，），则2α=，∴α=，故函数的解析式为f（x）=x，∴f（4）=4=2，故答案为：2．5．函数f（x）=ln（2x2﹣3）的单调减区间为（﹣）．【考点】复合函数的单调性．【分析】由真数大于0求出函数的定义域，进一步得到内函数的减区间，然后由复合函数的单调性得答案．【解答】解：由2x2﹣3＞0，得x或x．∵内函数t=2x2﹣3在（﹣）上为减函数，且外函数y=lnt为定义域上的增函数，∴函数f（x）=ln（2x2﹣3）的单调减区间为（﹣）．故答案为：（﹣）．6．若命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”假命题，则实数a的取值范围为（﹣1，3）．【考点】特称命题．【分析】命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”假命题，则命题“∀x∈R，x2+（a ﹣1）x+1＞0”是真命题，可得△＜0，解出即可得出．【解答】解：命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”假命题，则命题“∀x∈R，x2+（a﹣1）x+1＞0”是真命题，则△=（a﹣1）2﹣4＜0，解得﹣1＜a＜3．则实数a的取值范围为（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．7．若方程2x+x=4的解所在区间为[m，m+1]（m∈Z），则m=1．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】方程2x+x=4的解转化为函数f（x）=2x+x﹣4的零点问题，把区间端点函数值代入验证即可．【解答】解：令f（x）=2x+x﹣4，由y=2x和y=x﹣4均为增函数，故f（x）=2x+x﹣4在R上为增函数，故f（x）=2x+x﹣4至多有一个零点，∵f（1）=2+1﹣4＜0f（2）=4+2﹣4＞0∴f（x）=2x+x﹣4在区间[1，2]有一个零点，即方程方程2x+x=4的解所在区间为[1，2]，故m=1，故答案为：18．若直线y=2x+m是曲线y=xlnx的切线，则实数m的值为﹣e．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设切点为（x0，x0lnx0），对y=xlnx求导数得y′=lnx+1，从而得到切线的斜率k=lnx0+1，结合直线方程的点斜式化简得切线方程为y=（lnx0+1）x﹣x0，对照已知直线列出最新x0、m的方程组，解之即可得到实数m的值．【解答】解：设切点为（x0，x0lnx0），对y=xlnx求导数，得∴切线的斜率k=lnx0+1，故切线方程为y﹣x0lnx0=（lnx0+1）（x﹣x0），整理得y=（lnx0+1）x﹣x0，与y=2x+m比较得，解得x0=e，故m=﹣e．故答案为：﹣e9．设函数f（x）=，若f（x）的值域为R，是实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．【考点】函数的值域．【分析】f（x）是分段函数，在每一区间内求f（x）的取值范围，再求它们的并集得出值域；由f（x）的值域为R，得出a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=，当x＞2时，f（x）=2x+a，在（2，+∞）上为增函数，f（x）∈（4+a，+∞）；当x≤2时，f（x）=x+a2，在（﹣∞，2]上为增函数，f（x）∈（﹣∞，2+a2]；若f（x）的值域为R，则（﹣∞，2+a2]∪（4+a，+∞）=R，则2+a2≥4+a，即a2﹣a﹣2≥0解得a≤﹣1，或a≥2，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．10．设周期函数f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）的最小正周期为3，且满足f（1）＞﹣2，f（2）=m2﹣m，则m的取值范围是（﹣1，2）．【考点】函数奇偶性的判断；函数的周期性．【分析】根据f（x）为奇函数且周期为3便可得到f（2）=﹣f（1），这便得到f （1）=﹣m2+m，根据f（1）＞﹣2即可得到﹣m2+m＞﹣2，解该不等式即可得到m的取值范围．【解答】解：根据条件得：f（2）=f（2﹣3）=f（﹣1）=﹣f（1）=m2﹣m；∴f（1）=﹣m2+m；∵f（1）＞﹣2；∴﹣m2+m＞﹣2；解得﹣1＜m＜2；∴m的取值范围为（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．11．已知1+2x+4x•a＞0对一切x∈（﹣∞，1]上恒成立，则实数a的取值范围是（﹣，+∞）．【考点】函数恒成立问题．【分析】分离出参数a后转化为求函数的最值即可，通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值．【解答】解：1+2x+4x•a＞0可化为a＞，令t=2﹣x，由x∈（﹣∞，1]，得t∈[，+∞），则a＞﹣t2﹣t，﹣t2﹣t=﹣在[，+∞）上递减，当t=时﹣t2﹣t取得最大值为﹣，所以a＞﹣．故答案为：（﹣，+∞）．12．已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是（3，+∞）．【考点】对数函数的值域与最值；对数的运算性质．【分析】画出函数f（x）的图象，则数形结合可知0＜a＜1，b＞1，且ab=1，再将所求a+2b化为最新a的一元函数，利用函数单调性求函数的值域即可【解答】解：画出y=|lgx|的图象如图：∵0＜a＜b，且f（a）=f（b），∴|lga|=|lgb|且0＜a＜1，b＞1∴﹣lga=lgb即ab=1∴y=a+2b=a+，a∈（0，1）∵y=a+在（0，1）上为减函数，∴y＞1+=3∴a+2b的取值范围是（3，+∞）故答案为（3，+∞）13．设方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0的根分别为p和q，函数f （x）=（x+p）（x+q）+2，则f （2），f （0），f （3）的大小关系为f（3）＞f（2）=f（0）．【考点】二次函数的性质．【分析】把两个方程分别看作指数函数与直线y=﹣x﹣2的交点B和对数函数与直线y=﹣x﹣2的交点A的横坐标分别为p和q，而指数函数与对数函数互为反函数则最新y=x对称，求出AB的中点坐标得到p+q=﹣2；然后把函数f（x）化简后得到一个二次函数，对称轴为直线x=﹣=1，所以得到f（2）=f（0）且根据二次函数的增减性得到f（2）和f（0）都小于f（3）得到答案．【解答】解：如图所示：，方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0可以分别看作方程方程2x=﹣x﹣2和方程log2x=﹣x﹣2，方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0的根分别为p和q，即分别为函数y=2x与函数y=﹣x﹣2的交点B横坐标为p；y=log2x与y=﹣x﹣2的交点C横坐标为q．由y=2x与y=log2x互为反函数且最新y=x对称，所以BC的中点A一定在直线y=x 上，联立得，解得A点坐标为（﹣1，﹣1），根据中点坐标公式得到=﹣1即p+q=﹣2，则f（x）=（x+p）（x+q）+2=x2+（p+q）x+pq+2为开口向上的抛物线，且对称轴为x=﹣=1，得到f（0）=f（2）且当x＞1时，函数为增函数，所以f（3）＞f（2），综上，f（3）＞f（2）=f（0）故答案为：f（3）＞f（2）=f（0）．14．设方程|ax﹣1|=x的解集为A，若A⊂≠[0，2]，则实数a的取值范围是a=﹣1或﹣≤a≤1或a≥．【考点】其他不等式的解法．【分析】将绝对值不等式转化为不等式组，然后解之．【解答】解：∵A⊂≠[0，2]，方程两边平方得a2x2﹣2ax+1=x2，整理得（a2﹣1）x2﹣2ax+1=0，当a=1时，方程为|x﹣1|=x，解得x=，A={}，满足题意；当a=﹣1时，方程为|x+1|=x，解得x=﹣，A=∅，满足题意；当a2﹣1≠0时，方程等价于[（a+1）x﹣1][（a﹣1）x﹣1]=0，要使A⊂≠[0，2]，①两根为正根时，只要0≤≤2并且0≤≤2，解得a ≥且a≥，所以a≥；②当＞0并且＜0时，只要0≤≤2，解得﹣≤a＜1；所以A⊂≠[0，2]，则实数a的取值范围是﹣≤a≤1或a≥；故答案为：a=﹣1或﹣≤a≤1或a≥．二、解答题15．已知集合A={x|x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）＜0}，B=，（1）当a=2时，求A∩B；（2）求使B⊆A的实数a的取值范围．【考点】交集及其运算；集合的包含关系判断及应用．【分析】（1）把a的值分别代入二次不等式和分式不等式，然后通过求解不等式化简集合A，B，再运用交集运算求解A∩B；（2）把集合B化简后，根据集合A中二次不等式对应二次方程判别式的情况对a进行分类讨论，然后借助于区间端点值之间的关系列不等式组求解a的范围．【解答】解：（1）当a=2时，A={x|x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）＜0}={x|x2﹣9x+14=0}=（2，7），B=={x|}=（4，5），∴A∩B=（4，5）（2）∵B=（2a，a2+1），①当a＜时，A=（3a+1，2）要使B⊆A必须，此时a=﹣1，②当时，A=∅，使B⊆A的a不存在．③a＞时，A=（2，3a+1）要使B⊆A，必须，此时1≤a≤3．综上可知，使B⊆A的实数a的范围为[1，3]∪{﹣1}．16．已知命题p：方程x2+mx+1=0有负实数根；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实数根，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】通过p为真，求出实数m的取值范围；通过q为真，利用判别式小于0，即可求实数m的取值范围，通过p或q为真，p且q为假，分类讨论求出求实数m的取值范围．【解答】解：p：方程有负根m=﹣=﹣（x+）≥2；q：方程无实数根，即△=16（m﹣2）2﹣16＜0，解得1＜m＜3，∵“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，∴p、q一真一假，当p为真q为假时，解得m≥3，当p为假q为真时，，解得1＜m＜2，∴1＜m＜2或m≥3，所以实数m的取值范围为1＜m＜2或m≥3．17．设函数．（1）当a=b=2时，证明：函数f（x）不是奇函数；（2）设函数f（x）是奇函数，求a与b的值；（3）在（2）条件下，判断并证明函数f（x）的单调性，并求不等式的解集．【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的性质．【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行判断函数f（x）不是奇函数；（2）根据奇函数的性质建立方程即可求a与b的值；（3）根据函数单调性的定义或性质证明函数f（x）的单调性，并利用单调性的性质解不等式．【解答】解：（1）当a=b=2时，，∵，f（1）=0，∴f（﹣1）≠﹣f（1），∴函数f（x）不是奇函数．（2）由函数f（x）是奇函数，得f（﹣x）=﹣f（x），即对定义域内任意实数x都成立，整理得（2a﹣b）•22x+（2ab﹣4）•2x+（2a﹣b）=0对定义域内任意实数x都成立，∴，解得或经检验符合题意．（3）由（2）可知易判断f（x）为R上的减函数，证明：∵2x+1在定义域R上单调递增且2x+1＞0，∴在定义域R上单调递减，且＞0，∴在R上单调递减．由，不等式，等价为f（x）＞f（1），由f（x）在R上的减函数可得x＜1．另解：由得，即，解得2x＜2，∴x＜1．即不等式的解集为（﹣∞，1）．18．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=x2+10x（万元）；当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+﹣1450（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部销售完．（1）写出年利润L（x）（万元）最新年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是多少？【考点】函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，投入成本为C（x）=x2+10x （万元），根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，当x≥80时，投入成本为C（x）=51x+﹣1450，根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．【解答】解：（1）∵每件商品售价为0.05万元，∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣﹣10x﹣250=﹣+40x﹣250；②当x≥80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣（x+）．综合①②可得，L（x）=；（2）①当0＜x＜80时，L（x）=﹣+40x﹣250=﹣+950，∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；②当x≥80时，L（x）=1200﹣（x+）≤1200﹣200=1000，当且仅当x=，即x=100时，L（x）取得最大值L已知函数f（x）=ax3﹣+1（x∈R），其中a＞0．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间[﹣]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）把a=1代入到f（x）中得到切点的坐标，利用导数求出直线切线，即可求出切线方程；（Ⅱ）求出f′（x）=0时x的值，分0＜a≤2和a＞2两种情况讨论函数的增减性分别得到f（﹣）和f（）及f（﹣）和f（）都大于0，联立求出a的解集的并集即可．【解答】（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=，∴f（2）=3；∵f′（x）=3x2﹣3x，∴f′（2）=6．所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣3=6（x﹣2），即y=6x﹣9；（Ⅱ）解：f′（x）=3ax2﹣3x=3x（ax﹣1）．令f′（x）=0，解得x=0或x=．以下分两种情况讨论：（1）若0＜a≤2，则；当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣，0）0（0，）f′（x）+0﹣f（x）增极大值减当时，f（x）＞0，等价于即．解不等式组得﹣5＜a＜5．因此0＜a≤2；（2）若a＞2，则当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：0（0，）（，）x（﹣，0）f′（x）+0﹣0+f（x）增极大值减极小值增当时，f（x）＞0等价于即解不等式组得或．因此2＜a＜5．综合（1）和（2），可知a的取值范围为0＜a＜5．。

2021届江苏省南京市金陵中学高三上学期学情调研测试(一)数学试题含答案

2021届江苏省南京市金陵中学高三上学期学情调研测试(一)数学试题含答案

金陵中学2021届高三年级学情调研测试（一）数学试卷命题人：审核：一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上．1. 已知集合A ＝{x |x 2－3x －4＞0}，B ＝{x |ln x ＞0}，则(∁R A )∩B ＝ ( )A ．B ．(0，4]C ．(1，4]D ．(4，＋∞)2. 设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的 ( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3. 下列命题中正确的是 ( )A ．若a ＞b ，则ac ＞bcB ．若a ＞b ，c ＞d ，则a －c ＞b －dC ．若ab ＞0，a ＞b ，则1a ＜1bD ．若a ＞b ，c ＞d ，则a c ＞bd4. 已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18，S 3－a 1＝34，则S 5＝ ( )A ．3132B ．3116C ．318D ．3145. (x －1)(2x ＋1)10的展开式中x 10的系数为 ( )A ．－512B ．1024C ．4096D ．51206. 某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N (105，σ2)(σ＞0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为( ) A ．150B ．200C ．300D ．4007. 如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝6，则此抛物线方程为 ( ) A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝3x8. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线l ：4x －3y ＝0与椭圆C 相交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝6，点P 到直线l 的距离不小于65，则椭圆离心率的取值范围是 ( ) A ．(0，59]B ．(0，32]C ．(0，53]D ．(13，32]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9. 若函数f (x )＝sin(2x －π3)与g (x )＝cos(x ＋π4)都在区间(a ，b )(0＜a ＜b ＜π)上单调递减，则b －a 的可能取值为 ( ) A ．π6B ．π3C ．π2D ．5π1210. 下列说法中正确的是 ( )A ．设随机变量X 服从二项分布B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (X ＝3)＝516B ．已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)且P (X ＜4)＝0.9，则P (0＜X ＜2)＝0.4C ．E (2X ＋3)＝2E (X )＋3；D (2X ＋3)＝2D (X )＋3D ．已知随机变量ξ满足P (ξ＝0)＝x ，P (ξ＝1)＝1－x ，若0＜x ＜12，则E (ξ)随着x 的增大而减小，D (ξ)随着x 的增大而增大11. 下列四个命题中，是真命题的是 ( )A ．∀x ∈R ，且x ≠0，x ＋1x ≥2 B ．若x ＞0，y ＞0，则x 2＋y 22≥2xy x ＋yC ．函数f (x )＝x ＋2－x 2值域为[－2，2]D ．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋9x ＋a －a 在区间[1，9]上的最大值是10，则实数a 的取值范围为[－8，＋∞)12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是 ( ) A ．a 6＝8B ．S 7＝33C ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2019＝a 2022D ．a 21＋a 22＋…＋a 22019a 2019＝a 2020三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知向量→a ＝(2，－6)，→b ＝(3，m )，若|→a ＋→b |＝|→a －→b |，则m ＝▲________．14. 三月份抗疫期间，我校团委安排高一学生2人、高二学生2人、高三学生1人参加A 、B 、C 三个社区志愿点的活动，要求每个活动点至少1人，最多2人参与，同一个年级的学生不去同一个志愿点，高三学生不去A 志愿点，则不同的安排方法有▲________种(用数字作答)．15. 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个与各个面均相切的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，则AA 1的长度为▲________．16. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧k (1－2x)，x ＜0，x 2－2k ，x ≥0，若函数g (x )＝f (－x )＋f (x )有且仅有四个不同的零点，则实数k的取值范围是▲________．四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分．17. 现给出两个条件：①2c －3b ＝2a cos B ，②(2b －3c )cos A ＝3a cos C ，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，________． (1)求A ；(2)若a ＝3－1，求△ABC 周长的最大值．18. 已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S n 2＝a n (S n －12)．(1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ．19. 如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点． (1)证明：MN ∥平面PAB ；(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．20. 成都市现在已是拥有1 400多万人口的城市，机动车保有量已达450多万辆，成年人中约40%拥有机动车驾驶证．为了解本市成年人的交通安全意识情况，某中学的同学利用国庆假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了200名成年人，然后对这200人进行问卷调查．这200人所得的分数都分布在[30，100]范围内，规定分数在80以上(含80)的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如图所示．拥有驾驶证 没有驾驶证 总计具有很强安全意识 不具有很强安全意识58 总计200驾驶证有关?(2)将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取4人，记“具有很强安全意识”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．附表及公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．21. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，点(1，32)在椭圆C上，点A (－3c ，0)满足以AF 2为直径的圆过椭圆的上顶点B ． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线过右焦点F 2且与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在点P (t ，0)使得PM →·PN →为定值?如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由．22. 已知f (x )＝ax 3－3x 2＋1(a ＞0)，定义h (x )＝max{f (x )，g (x )}＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )＜g (x )． (1)求函数f (x )的极小值；(2)若g (x )＝xf '(x )，且存在x ∈[1，2]使h (x )＝f (x )，求实数a 的取值范围； (3)若g (x )＝ln x ，试讨论函数h (x )(x ＞0)的零点个数．金陵中学高三年级学情调研测试（一）数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上．1. 已知集合A ＝{x |x 2－3x －4＞0}，B ＝{x |ln x ＞0}，则(∁R A )∩B ＝( )A ．B ．(0，4]C ．(1，4]D ．(4，＋∞)答案：C2. 设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案：C3. 下列命题中正确的是( )A ．若a ＞b ，则ac ＞bcB ．若a ＞b ，c ＞d ，则a －c ＞b －dC ．若ab ＞0，a ＞b ，则1a ＜1bD ．若a ＞b ，c ＞d ，则a c ＞bd答案：C4. 已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18，S 3－a 1＝34，则S 5＝( )A ．3132B ．3116C ．318D ．314答案：B5. (x －1)(2x ＋1)10的展开式中x 10的系数为( )A ．－512B ．1024C ．4096D ．5120答案：C6. 某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N (105，σ2)(σ＞0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为( ) A ．150B ．200C ．300D ．400答案：C7. 如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝6，则此抛物线方程为( ) A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x答案：B8. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线l ：4x －3y ＝0与椭圆C 相交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝6，点P 到直线l 的距离不小于65，则椭圆离心率的取值范围是( ) A ．(0，59]B ．(0，32]C ．(0，53]D ．(13，32]答案：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9. 若函数f (x )＝sin(2x －π3)与g (x )＝cos(x ＋π4)都在区间(a ，b )(0＜a ＜b ＜π)上单调递减，则b －a 的可能取值为( ) A ．π6B ．π3C ．π2D ．5π12答案：AB10. 下列说法中正确的是( )A ．设随机变量X 服从二项分布B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (X ＝3)＝516B ．已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)且P (X ＜4)＝0.9，则P (0＜X ＜2)＝0.4C ．E (2X ＋3)＝2E (X )＋3；D (2X ＋3)＝2D (X )＋3D ．已知随机变量ξ满足P (ξ＝0)＝x ，P (ξ＝1)＝1－x ，若0＜x ＜12，则E (ξ)随着x 的增大而减小，D (ξ)随着x 的增大而增大 答案：ABD11. 下列四个命题中，是真命题的是( )A ．∀x ∈R ，且x ≠0，x ＋1x ≥2 B ．若x ＞0，y ＞0，则x 2＋y 22≥2xy x ＋yC ．函数f (x )＝x ＋2－x 2值域为[－2，2]D ．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋9x ＋a －a 在区间[1，9]上的最大值是10，则实数a 的取值范围为[－8，＋∞) 答案：BCD12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是( ) A ．a 6＝8B ．S 7＝33C ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2019＝a 2022D ．a 21＋a 22＋…＋a 22019a 2019＝a 2020 答案：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知向量→a ＝(2，－6)，→b ＝(3，m )，若|→a ＋→b |＝|→a －→b |，则m ＝▲________． 答案：114. 三月份抗疫期间，我校团委安排高一学生2人、高二学生2人、高三学生1人参加A 、B 、C 三个社区志愿点的活动，要求每个活动点至少1人，最多2人参与，同一个年级的学生不去同一个志愿点，高三学生不去A 志愿点，则不同的安排方法有▲________种(用数字作答)． 答案：4015. 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个与各个面均相切的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，则AA 1的长度为▲________． 答案：416. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧k (1－2x)，x ＜0，x 2－2k ，x ≥0，若函数g (x )＝f (－x )＋f (x )有且仅有四个不同的零点，则实数k的取值范围是▲________． 答案：(27，＋∞)四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分．17. 现给出两个条件：①2c －3b ＝2a cos B ，②(2b －3c )cos A ＝3a cos C ，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，________． (1)求A ；(2)若a ＝3－1，求△ABC 周长的最大值．解析：若选择条件①2c －3b ＝2a cos B ．(1)由余弦定理可得2c －3b ＝2a cos B ＝2a ·a 2＋c 2－b 22ac ，整理得c 2＋b 2－a 2＝3bc ，………2分可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3bc 2bc ＝32．…………………………………………………3分 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π6． …………………………………………………………5分 (2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得(3－1)2＝b 2＋c 2－2bc ·32，………6分 即4－23＝b 2＋c 2－3bc ＝(b ＋c )2－(2＋3)bc ，亦即(2＋3)bc ＝(b ＋c )2－(4－23)， 因为bc ≤(b ＋c )24，当且仅当b ＝c 时取等号， 所以(b ＋c )2－(4－23)≤(2＋3)×(b ＋c )24，解得b ＋c ≤22，…………………………………………………………8分 当且仅当b ＝c ＝2时取等号． 所以a ＋b ＋c ≤22＋3－1，即△ABC 周长的最大值为22＋3－1．…………………………………………………10分 若选择条件②(2b －3c )cos A ＝3a cos C ． (1)由条件得2b cos A ＝3a cos C ＋3c cos A ，由正弦定理得2sin B cos A ＝3(sin A cos C ＋sin C cos A )＝3sin(A ＋C )＝3sin B ．………2分 因为sin B ≠0，所以cos A ＝32，…………………………………………………3分 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π6． (2)同上18. 已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S n 2＝a n (S n －12)．(1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 解析：(1)因为S n 2＝a n (S n －12)，当n ≥2时，S n 2＝(S n －S n －1)(S n －12)，即2S n －1S n ＝S n －1－S n ．①…………2分 由题意得S n －1·S n ≠0，所以1S n －1S n －1＝2， 即数列{1S n }是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列．…………5分所以1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，得S n ＝12n －1． …………………………………………7分(2)易得b n ＝S n 2n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)……………………………8分 ＝12(12n －1－12n ＋1)，……………………………10分所以T n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12(1－12n ＋1)＝n2n ＋1． …………………………………12分19. 如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点． (1)证明：MN ∥平面PAB ；(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．(1)证明：取BP 的中点T ，连接AT ，TN ．由N 为PC 的中点，知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2．又AD ∥BC ，AM ＝23AD ＝2，所以TN _∥AM ，因此四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT ． …………………………………3分因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB ． …………………………………5分(2)取BC 的中点E ，连接AE ．由AB ＝AC ，得AE ⊥BC ，因为AD ∥BC ，所以AE ⊥AD ，AE ＝AB 2－BE 2＝AB 2－⎝⎛⎭⎫BC 22＝5．以A 为原点，AE ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A －xyz ．由题意知，P (0，0，4)，M (0，2，0)，C (5，2，0)，N ⎝⎛⎭⎫52，1，2，PM →＝(0，2，－4)，PN →＝⎝⎛⎭⎫52，1，－2，AN →＝⎝⎛⎭⎫52，1，2．…………………………………7分设n ＝(x ，y ，z )为平面PMN 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PM →＝0，n ·PN →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －4z ＝0，52x ＋y －2z ＝0，可取n ＝(0，2，1)．……………………………………………………………………9分于是|cos ＜n ，AN →＞|＝|n ·AN →||n |·|AN →|＝8525．…………………………………11分设AN 与平面PMN 所成角为θ，则sin θ＝8525，即直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为8525． …………………………………12分20. 成都市现在已是拥有1 400多万人口的城市，机动车保有量已达450多万辆，成年人中约40%拥有机动车驾驶证．为了解本市成年人的交通安全意识情况，某中学的同学利用国庆假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了200名成年人，然后对这200人进行问卷调查．这200人所得的分数都分布在[30，100]范围内，规定分数在80以上(含80)的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如图所示．拥有驾驶证 没有驾驶证 总计具有很强安全意识 不具有很强安全意识58 总计200(1)补全上面的驾驶证有关?(2)将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取4人，记“具有很强安全意识”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．附表及公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．解：(1)200人中拥有驾驶证的占40%，有80人，没有驾驶证的有120人；具有很强安全意识的占20%，有40人，不具有很强安全意识的有160人．补全的2×2列联表如表所示：计算得K 2＝200×(22×102－18×58)240×80×160×120＝7516＝4.6875＞3.841， 所以有超过95%的把握认为“具有很强安全意识”与拥有驾驶证有关． …………………………………5分(2)由频率分布直方图中数据可知，抽到的每个成年人“具有很强安全意识”的概率为15，所以X ＝0，1，2，3，4，且X ~B ⎝⎛⎭⎫4，15．于是P (X ＝k )＝C k 4·⎝⎛⎭⎫15k ·⎝⎛⎭⎫454－k(k ＝0，1，2，3，4)，X 的分布列为0分 所以E (X )＝4×15＝45．答：X 的数学期望为45． …………………………………12分 21. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，点(1，32)在椭圆C上，点A (－3c ，0)满足以AF 2为直径的圆过椭圆的上顶点B ． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线过右焦点F 2且与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在点P (t ，0)使得PM →·PN →为定值?如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由． 解析：(1)因为点(1，32)在椭圆C 上，所以1a 2＋94b 2＝1．又点A (－3c ，0)满足以AF 2为直径的圆过椭圆的上顶点B ，所以AB ⊥BF 2，即AB →·BF 2→＝(3c ，b )·(c ，－b )＝0，即b 2＝3c 2．又a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝3．所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1． …………………………………4分 (2)易得右焦点F 2(1，0)，假设存在点P (t ，0)满足要求．①当直线MN 的斜率不为0时，设直线MM 的方程为x ＝my ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧x ＝my ＋1，3x 2＋4y 2＝1，整理可得(4＋3m 2)y 2＋6my －9＝0，则y 1＋y 2＝－6m 4＋3m 2，y 1·y 2＝－94＋3m 2，所以x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝84＋3m 2，x 1x 2＝m 2y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＋1＝－9m 24＋3m 2＋－6m 24＋3m 2＋1＝4－12m 24＋3m 2．…………………………………6分因为PM →·PN →＝(x 1－t ，y 1)·(x 2－t ，y 2)＝x 1x 2－t (x 1＋x 2)＋t 2＋y 1y 2＝4－12m 24＋3m 2－8t 4＋3m 2＋t 2－94＋3m 2 ＝t 2(4＋3m 2)－12m 2－8t －54＋3m 2＝3m 2(t 2－4)＋4t 2－8t －54＋3m 2．…………………………………9分 要使PM →·PN →为定值，则t 2－41＝4t 2－8t －54，解得t ＝118，此时PM →·PN →＝－13564为定值． …………………………………11分②当直线MM 的斜率为0时，则M (－2，0)，N (2，0)，P (118，0)，此时PM →·PN →＝(－2－118，0)·(2－118，0)＝－13564． …………………………………12分综上，所以存在P (118，0)，使PM →·PN →为定值．22. 已知f (x )＝ax 3－3x 2＋1(a ＞0)，定义h (x )＝max{f (x )，g (x )}＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )＜g (x )． (1)求函数f (x )的极小值；(2)若g (x )＝xf'(x )，且存在x ∈[1，2]使h (x )＝f (x )，求实数a 的取值范围； (3)若g (x )＝ln x ，试讨论函数h (x )(x ＞0)的零点个数．解析：(1)求导得f'(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，令f'(x )＝0，得x 1＝0或x 2＝2a ．…………………………………1分因为a ＞0，所以x 1＜x 2，列表如下：所以f (x )的极小值为f ⎝⎛⎭⎫2a ＝8a 2－12a 2＋1＝1－4a 2．…………………………………3分(2)g (x )＝xf'(x )＝3ax 3－6x 2．因为存在x ∈[1，2]使h (x )＝f (x )，所以f (x )≥g (x )在x ∈[1，2]上有解，即ax 3－3x 2＋1≥3ax 3－6x 2在x ∈[1，2]上有解，即不等式2a ≤1x 3＋3x 在x ∈[1，2]上有解．………………………5分设y ＝1x 3＋3x ＝3x 2＋1x 3，x ∈[1，2]．因为y'＝－3x 2－3x 4＜0对x ∈[1，2]恒成立，所以y ＝1x 3＋3x 在[1，2]上递减，故当x ＝1时，y max＝4．所以2a ≤4，即a ≤2，故a 的取值范围为(－∞，2]．…………………………………7分(3)由(1)知，f (x )在(0，＋∞)上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫2a ＝1－4a 2．①当1－4a 2＞0，即a ＞2时，f (x )＞0在(0，＋∞)上恒成立，所以h (x )＝max{f (x )，g (x )}≥f (x )＞0，因此h (x )在(0，＋∞)上无零点．…………………………………8分②当1－4a 2＝0，即a ＝2时，f (x )min ＝f (1)＝0，又g (1)＝0，所以h (x )＝max{f (x )，g (x )}在(0，＋∞)上有且仅有一个零点．…………………………………9分③当1－4a 2＜0，即0＜a ＜2时，设φ(x )＝f (x )－g (x )＝ax 3－3x 2＋1－ln x ，0＜x ＜1． 因为φ'(x )＝3ax 2－6x －1x ＜6x (x －1)－1x ＜0，所以φ(x )在(0，1)上单调递减．又φ(1)＝a －2＜0，φ⎝⎛⎭⎫1e ＝a e 3＋2e 2－3e 2＞0，所以存在唯一的x 0∈⎝⎛⎭⎫1e ，1，使得φ(x 0)＝0． (i )当0＜x ≤x 0时，因为φ(x )＝f (x )－g (x )≥φ(x 0)＝0，所以h (x )＝f (x )且h (x )为减函数． 又h (x 0)＝f (x 0)＝g (x 0)＝ln x 0＜ln1＝0，f (0)＝1＞0，所以h (x )在(0，x 0)上有一个零点． (ii )当x 0＜x ＜1时，因为φ(x )＝f (x )－g (x )＜φ(x 0)＝0，所以h (x )＝g (x )且h (x )为增函数．因为g(1)＝0，又h(x)＝max{f(x)，g(x)}≥g(x)＝ln x＞0在x＞1上恒成立，所以h(x)在(x0，＋∞)上有且仅有一个零点．从而h(x)＝max{f(x)，g(x)}在(0，＋∞)上有两个零点．综上，当0＜a＜2时，h(x)有两个零点；当a＝2时，h(x)有一个零点；当a＞2时，h(x)无零点．…………………………………12分。

2021年高三上学期10月综合测试数学试题含答案

2021年高三上学期10月综合测试数学试题含答案

2021年高三上学期10月综合测试数学试题含答案本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟第I卷选择题（共50分）一．选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的,请将正确答案填到答题卡的相应位置）1.设集合},yy=x-A x则<xxB22,]2,0[{},={∈1=(A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4)2.给出下列两个命题，命题“”是“”的充分不必要条件；命题q：函数是奇函数，则下列命题是真命题的是A. B. C. D.3. “，”是“函数的图象过原点”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4.函数的定义域为(A) (B) (C) (D)5.已知函数若方程有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是,.（A）（B）（C）（D）6.定义在R上的奇函数满足，当时，，则在区间内是（）A．减函数且f（x）＞0 B．减函数且f（x）＜0 C．增函数且f（x）＞0 D．增函数且f （x）＜07.若对任意的恒成立，则的最大值是（A）4（B）6（C）8（D）108.已知函数的图象过点，则的图象的一个对称中心是(A) (B) (C) (D)9.已知函数，则函数的大致图象为10.直线与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数m的取值范围是A. B. C. D.二．填空题（每小题5分，共25分。

请把答案填在答题卡上）11.当时，函数的图像恒过点A，若点A在直线上，则的最小值为________12.已知对于任意的x∈R，不等式|x﹣3|+|x﹣a|＞5恒成立，则实数a的取值范围是________13.若，则= ___________．14.已知向量和，，其中，且，则向量和的夹角是．15.已知函数在区间内任取两个实数，不等式恒成立，则实数a的取值范围为___________.三．解答题（满分75分。

高三数学上学期10月学情调研试题含解析 试题

高三数学上学期10月学情调研试题含解析 试题

卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学上学期10月学情调研试题〔含解析〕102x x -≤-的解集是________ 【答案】[1,2) 【解析】 【分析】转化为两个不等式组可解得.【详解】因为102x x -≤-, 所以2010x x -<⎧⎨-≥⎩或者2010x x ->⎧⎨-≤⎩,解得12x ≤<.故答案为:[1,2).【点睛】此题考察了分式不等式的解法,属于根底题.{}n a 为等差数列，假设159a a a π++=，那么28sin()a a +=________【解析】 【分析】利用等差数列的性质,转化为53a π=进展计算可得.【详解】因为159a a a π++=,根据等差数列的性质可得,53a π=,所以53a π=,所以2852sin()sin(2)sin3a a a π+===故答案为【点睛】此题考察了等差数列的性质,属于根底题.12i z a =+，214i z =-，且12z z 为纯虚数，那么实数a =________【答案】8 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简复数12z z ,然后令实部为0,虚部不为0可得.【详解】因为122(2)(14)14(14)(14)z a i a i i z i i i +++==--+8(24)116a a i -++=+为纯虚数,所以80a -=且240a +≠,即8a =.故答案为:8【点睛】此题考察了复数的除法运算,纯虚数的概念,属于根底题.k y x =的图象经过点(14,2)，那么它的单调减区间为________【答案】(0,)+∞ 【解析】 【分析】将点(14,2)代入k y x =,解得12k =-,从而可得幂函数的单调递减区间. 【详解】依题意得,142k=,即1222k -=,所以12k =-,所以的解析式为:12y x-=,所以单调递减区间为(0,)+∞.故答案为:(0,)+∞.【点睛】此题考察了幂函数的单调区间,属于根底题. 5.1tan()62πα+=，tan()36πβ-=，那么tan()αβ+=_____ 【答案】7- 【解析】 【分析】()()66ππαβαβ+=++-,然后由两角和的正切公式可得.【详解】根据两角和的正切公式可得:1321132+=-⨯7=-.故答案为:7-.【点睛】此题考察了两角和的正切公式,属于根底题.解题关键是将αβ+拆成两个角66ππαβ++-之和.x 、y 满足||||1x y +≤，那么2x y +的最大值为________【答案】2 【解析】 【分析】作出可行域后,观察图象利用直线的纵截距最大找到最优解,代入即可求得. 【详解】作出不等式||||1x y +≤所表示的平面区域,如图:令2zx y =+,那么2y x z =-+,要使z 最大,即直线2y x z =-+的纵截距最大,观察图象可知,最优解为(1,0),所以2zx y =+的最大值为2102⨯+=.故答案为:2【点睛】此题考察了利用线性规划求目的函数的最大值. ________ 【答案】1arccos 3【解析】 【分析】转化为侧面与底面所成角,取底面中心O ,连DO ,延长交BC 与E ,连AE ,那么可得AEO ∠为二面角的平面角,然后在直角三角形中计算可得. 【详解】如图:因为正四面体的相邻两个侧面所成的角和侧面与底面所成的角相等, 所以只需求侧面与底面所成角的大小, 设正四面体A BCD -的棱长为1,底面中心为O ,连AO ,那么AO ⊥平面BCD ,,连DO ,并延长交BC 于E ,那么DE BC ⊥,连AE ,那么AE BC ⊥,且E 为BC 的中点,所以AEO ∠就是侧面ABC 与底面BCD 所成二面角的平面角,因为22DE AE BC ===,所以136OE DE ==, 所以在直角三角形AOE中1cos 3OE AEO AE ∠===,所以1arccos3AEO∠=. 故答案为:1arccos3. 【点睛】此题考察了二面角的求法,解题关键是利用三垂线定理作出平面角,属于根底题.8.从8名女生和4名男生中选出6名学生组成课外活动小组，那么按4位女生和2位男生组成课外活动小组的概率为________ 【答案】511【解析】 【分析】根据排列组合知识求出根本领件总数和所求事件的总数后,利用古典概型概率公式可得.【详解】从8名女生和4名男生中选出6名学生组成课外活动小组,总一共有612C 121110987654321⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯924=,按4位女生和2位男生组成课外活动小组一共有4284876543420432121C C ⨯⨯⨯⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯,根据古典概型概率公式得所求概率为:420592411=. 故答案为:511. 【点睛】此题考察了排列组合以及古典概型的概率公式,属于中档题.24y x =的焦点，M 是这条抛物线上的一个动点，P 〔3,1〕是一个定点，那么MP MF+的最小值是．【答案】4 【解析】 试题分析：设点M在准线上的射影为D ，那么根据抛物线定义可得：MF MD=，所以MP MF+的最小值，即为PM MD +的最小值，当,,D M P 三点一共线时PM MD+最小，其值为()314--=，故答案为4．考点：1．抛物线定义；2．抛物线的最值问题．【方法点晴】此题主要考察的是抛物线定义以及最值问题，属于中档题．解题时一定注意点P 的位置，该题点P 在抛物线内，利用抛物线的定义，转化为求PM MD +的最小值，假设点P 在抛物线外，比方为()3,1P ，根据图象可得最小间隔为MF，所以在解此类题时一定注意判断点P 与抛物线的位置关系．()2x f x x =+，数列{}n a 满足201912a =，11()()()2n n f a f a n +=∈N*，那么2019()f a 的值是________ 【答案】6 【解析】 【分析】根据()f x 为递增函数可得112n n a a +=,再根据{}n a 为等比数列,可求得20192a =,最后由()f x 的表达式可求得(2)f .【详解】因为函数()2x f x x =+为递增函数,且11()()()2n n f a f a n +=∈N*,所以112n n a a +=,又201912a =, 所以数列{}n a 是首项为12019a =,公比为12的等比数列, 所以20191201911()2a a -=⋅2019201822-=⋅2=,所以22019()(2)226f a f ==+=.故答案为:6.【点睛】此题考察了函数的单调性,等比数列的通项公式,属于中档题.(0,0)O ，(1,0)A ，(1,1)B ，(0,1)C ，点D 、E 分别在线段OC 、AB 上运动，且OD BE =，设AD 与OE 交于点G ，那么点G 的轨迹方程是________【答案】(1)(01)y x x x =-≤≤【解析】 【分析】 设(0,)(01)D t t≤≤,那么(1,1)E t -,然后写出两条直线,OE AD 的方程,联立解得点G 的坐标,然后消去参数t 可得. 【详解】如图:设(0,)(01)D t t ≤≤,那么(1,1)E t -,所以直线OE 的方程为:(1)y t x =-,直线AD 的方程为:1yx t+=, 联立(1)1y t xyx t =-⎧⎪⎨+=⎪⎩解得(1)x t y t t =⎧⎨=-⎩消去t 得(1)y x x =-(01)x ≤≤, 所以点G 的轨迹方程是(1)y x x =-(01)x ≤≤.故答案为(1)y x x =-(01)x ≤≤.【点睛】此题考察了交轨法求曲线的轨迹方程,易错警示是容易遗漏范围,属于中档题.12.平面直角坐标系中，e 为单位向量，a 向量满足3a e λ⋅=，其中λ为正常数，假设2||||a a te λ≤+对任意实数t 成立，那么||a 的取值范围是________【答案】13||22a λλ≤≤. 【解析】 【分析】 将2||||a a te λ≤+两边平方后,化为关于t 的一元二次不等式恒成立,由判别式小于等于零,再解关于||a 的不等式可得. 【详解】由2||||a a te λ≤+两边平方得4222||(||2)a a ta e t λ≤+⋅+,得223224||||02t t a a λλ++-≥对任意实数t 都成立, 所以322224)4(||||)0a a λλ--≤, 所以6222434(||||)04a a λλλ--≤, 所以42243||||016a a λλ-+≤,所以222213(||)(||)044a a λλ--≤, 因为0λ>,所以22213||44a λλ≤≤, 所以13||22a λλ≤≤, 故答案为:13||22a λλ≤≤. 【点睛】此题考察了平面向量的数量积以及一元二次不等式恒成立问题,属于中档题. 13.2:log (1)1p x -<，2:230q x x --<，那么p 是q 的〔〕条件A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既非充分又非必要 【答案】A 【解析】 【分析】解出两个不等式的解集,根据真子集关系可得. 【详解】因为2log (1)1x -<012x ⇔<-<13x ⇔<<;2230x x --<13x ⇔-<<,又{|13}x x <<{|13}x x -<<,p 是q 的充分非必要条件,应选A .【点睛】此题考察了充分非必要条件,对数不等式和一元二次不等式的解法,属于根底题. 14.2()4f x x =--12()4f x x --()f x 的定义域为〔〕A.(2,0)-B.[2,2]-C.[2,0]-D.[0,2]【答案】D 【解析】 【分析】根据原函数的定义域是反函数值域,只需求反函数的值域即可得到.【详解】因为()f x =的反函数为1()f x -=所以()f x 的定义域为1()f x -=的值域,因为2044x ≤-≤,所以02≤≤,即1()f x -[0,2],所以()f x 的定义域为[0,2]. 应选D .【点睛】此题考察了原函数与其反函数的定义域和值域的关系,属于根底题.120()(1)0x x f x f x x -⎧≤=⎨->⎩，方程()f x x a =+有且只有两个不相等实数根，那么实数a 的取值范围为〔〕 A.[3,4) B.[2,4)C.(1,4)D.(,4)-∞【答案】A 【解析】 【分析】将方程根的问题转化为函数图象的交点问题解决即可. 【详解】因为方程()f x x a =+有且只有两个不相等实数根,所以函数()y f x =与函数y x a =+的图象有且只有两个交点, 函数()y f x =的图象如下:由图可知:34a ≤<. 应选A .【点睛】此题考察了由方程实根的个数求参数取值范围,解题关键是转化为两个函数图象的交点个数问题解决,属于中档题.12{1,,,,}n A x x x =-⋅⋅⋅，其中120n x x x <<⋅⋅⋅<，2n ≥，定义向量集{|(,),s ,}B a a s t A t A ==∈∈，假设对任意1a B ∈，存在2a B ∈，使得120a a ⋅=，假设1n x >，那么〔〕 A.11x >B.11x =C.11<xD.11x ≠【答案】B 【解析】 【分析】 取111(,)a x x =B ∈,设2(,)a s t =B ∈,满足120a a ⋅=,根据向量数量积运算,结合1>0x ,可得,s t 中必有一个1,-另一个为1,再通过反证法假设101k n x x x <<=<,推出矛盾,即可得到11x =.【详解】取111(,)a x x =B∈,,设2(,)a s t =B ∈,满足120a a ⋅=,可得120x s x t +=,即1()0x s t +=,因为1>0x ,所以0s t +=,所以,s t 异号,因为1-是数集A 中的唯一一个负数,所以,s t 中负数必为1-,另一个数为1,假设1k x =,其中1k n <<,那么101n x x <<<,再取11(,)n a x x B =∈,设2(,)a s t B =∈,满足120a a ⋅=,可得10n sx tx +=,所以,s t 异号,其中一个为1-, ①假设1s =-,那么11n x tx t x =>≥,矛盾;②假设1t=-,那么1n n x sx s x =<≤,矛盾;说明假设不成立,由此可得当1n x >时,11x =.应选B .【点睛】此题考察了平面向量的数量积的坐标运算以及反证法,属于中档题.22()x x a f x x++=，a为常数. 〔1〕试判断函数()()2g x f x =-奇偶性；〔2〕假设对于任意[1,)x ∈+∞，()f x 的值域为[0,)+∞，务实数a 的集合. 【答案】〔1〕奇函数；〔2〕{3}-. 【解析】 【分析】(1)利用奇函数的定义判断可得; (2)对a 分两种情况0a ≤和0a >讨论,求出最小值与值域比较可得.【详解】(1)因为()2a f x x x =++,所以()()2ag x f x x x =-=+,定义域为(,0)(0,)-∞+∞, 所以()()()a ag x x x g x x x-=-+=-+=--,所以函数()g x 为奇函数. (2)因为()2af x x x=++, 当0a ≤时,()f x 为[1,)+∞上的递增函数,所以1x =时,min ()(1)30f x f a ==+=,解得3a =-; 当0a>时,()21023af x x x=++>++=,值域不可能为[0,)+∞,所以3a =-. 综上所示:3a =-.【点睛】此题考察了函数的奇偶性的判断,利用单调性求函数的最小值,属于中档题.11(,sin cos )222a x x =+和向量(1,())b f x =，且a ∥b .〔1〕求函数()f x 的最小正周期和最大值；〔2〕△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，假设有(2)16f A π-=，BC =ABC 面积的最大值.【答案】〔1〕最小正周期为2π，最大值为2；〔2. 【解析】 【分析】(1)利用向量平行的坐标表示可得()f x 的表达式,然后可求出最小正周期和最大值;(2)利用(1)中的()f x 以及(2)16f A π-=可解得3A π=,再根据余弦定理可得223b c bc +=+以及重要不等式可得3bc ≤,再利用面积公式可得.【详解】(1)因为向量11(,sin )22ax x =和向量(1,())b f x =，且a ∥b .所以11()(sin )022f x x x -+=, 所以()2sin()3f x x π=+,所以最小正周期221Tππ==,最大值为2.(2)由(1)知()2sin()3f x x π=+,所以(2)2sin(2)1663f A A πππ-=-+=,所以1sin(2)62A π+=, 因为0A π<<,所以132666A πππ<+<,所以5266A ππ+=,所以3A π=,在三角形ABC 中,设三个内角分别为A ，B ，C 所对的边为,,a b c ,由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-,所以2232cos3bc bc π=+-,所以2232bc b c bc +=+≥(当b c =时等号成立),所以3bc ≤,所以△ABC 面积11sin 322S bc A =≤⨯=.所以△ABC 【点睛】此题考察了向量平行的坐标表示,三角函数的最小正周期,最大值,余弦定理,重要不等式,面积公式,属于中档题.19.图〔1〕为体育中心，其设计方案侧面的外轮廓线如图〔2〕所示；曲线AB 是以点E 为圆心的圆的一局部，其中(0,)E t ，曲线BC 是抛物线230(0)y ax a =-+>的一局部；CD AD ⊥且CD 恰好等于圆E 的半径，GF 与圆相切且GF FD ⊥.〔1〕假设要求20CD =米，30)AD =米，求t 与a 的值；〔2〕当010t<≤时，假设要求DF 不超过45米，求a 的取值范围. 【答案】〔1〕10t=，190a =；〔2〕2125a ≥. 【解析】 【分析】(1)根据圆E 的半径30CD t =-,求出t 的值,再利用圆E 的方程求出点C 的坐标,代入抛物线方程可求出a 的值;(2)根据圆E 的半径,利用抛物线方程求出OD 的值,写出DF 的表达式,求DF 在(0,10]t ∈上时,45DF ≤恒成立即可.【详解】(1)依题意得(0,20)B t +,所以2030,t +=所以10t =,此时圆22:(10)400E x y +-=,令0y =,得AO =,所以30OD AD AO =-=,所以(30,20)C ,将点(30,20)C 代入230y ax =-+(0)a >中,解得190a =, 综上:110,90t a ==. (2)因为圆E 的半径为CD ,所以(0,)B t CD +, 将(0,)B t CD +代入230y ax =-+可得30t CD +=,所以30CD t =-,在230y ax =-+中,令30y t =-,解得OD x ==所以30FD CD OD t =+=-+45≤对任意(0,10]t ∈恒成立,≤对任意(0,10]t ∈恒成立,令()g t=((0,10])t ∈,min ()g t ≤,=,1510t =>,所以()(0,10])g t t=∈为单调递减函数,所以10t=时,函数()g t,解得2125a ≥. 所以a 的取值范围是2125a≥. 【点睛】此题考察了圆的方程,抛物线方程,不等式恒成立,利用函数单调性求最值,此题属于中档题.2222:1(0)x y C a b a b+=>>，称圆心在坐标原点O C 的“伴椭圆〞，假设椭圆C 右焦点坐标为F ，且过点. 〔1〕求椭圆C 的“伴椭圆〞方程；〔2〕在椭圆C 的“伴椭圆〞上取一点P ，过该点作椭圆的两条切线1l 、2l ，证明：两线垂直；〔3〕在双曲线2213x y -=上找一点Q 作椭圆C 的两条切线，分别交于切点M 、N 使得0QM QN ⋅=，求满足条件的所有点Q 的坐标.【答案】〔1〕224x y +=；〔2〕证明见解析；〔3〕1)2Q 或者1)2Q -或者1()2Q 或者1()2Q -. 【解析】 【分析】 (1)利用2222a b c -==和22161,9a b+=联立解方程可得;(2)设切线方程为:(1)y k x -=-,代入椭圆C 的方程,利用判别式等于0,可得关于斜率k 的一元二次方程,利用韦达定理可得斜率之积为1-,从而可证两条切线垂直;(3)设经过点00(,)Q x y 与椭圆相切的直线为:00()y k x x y =-+,代入椭圆C 的方程,利用判别式为0,可得关于斜率k 的一元二次方程,然后根据斜率之积为1-可得点00(,)Q x y 的轨迹方程为22004x y +=,最后联立此方程与双曲线方程可解得Q 的坐标即可.【详解】(1)依题意可得,c=所以2222a b c -==,①又椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点,所以22161,9a b +=② 由①②可得223,1ab ==,椭圆C 的“伴椭圆〞方程为:224x y +=.(2)由(1)可得椭圆22:13x C y +=,设切线方程为:(1)y k x -=-,将其代入椭圆22:13x C y +=,消去y 并整理得:222(13)6))30k x k k x k ++-+-=,由222[6)]4(13)3]0k k k k -+-=,得210k +-=,设1l ,2l 的斜率为12,k k ,那么121k k ,所以两条切线垂直.(3)当两条切线,QM QN 的斜率存在时,设经过点00(,)Q x y 与椭圆相切的直线为:00()y k x x y =-+,那么0022()13y kx y kx x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 并整理得,2220000(13)6()3()30k x k y kx x y kx ++-+--=,所以2220000[6()]4(13)[3()3]0k y kx k y kx --+--=,经过化简得到:2220000(3)210x k x y k y -++-=,设两条切线,QM QN 的斜率分别为12,k k ,那么20122013y k k x -⋅=-,因为0QMQN ⋅=,所以QM QN ⊥,所以121k k ,所以202113y x -=--,所以22004x y +=,当两条切线,QM QN 的斜率不存在时,(1)Q ±也满足22004x y +=,所以Q 的轨迹为椭圆的〞伴随圆〞,其方程为:224xy +=,联立2222134x y x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩,解得2215414x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,所以12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或者12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或者12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或者12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩, 所以满足条件的所有点Q 的坐标为:1)2Q或者1)2Q -或者1()2Q或者1()2Q -. 【点睛】此题考察了直线与椭圆相切的位置关系,圆的方程,韦达定理,两条直线垂直关系,运算求解才能,设直线方程时,要注意讨论斜率是否存在,此题属于难题.12,,,n a a a …满足1231n a a a a =≤≤≤⋅⋅⋅≤，定义2222123()n n M a a a a =+++⋅⋅⋅+-13242()n n a a a a a a -++⋅⋅⋅+，3n ≥.〔1〕求证：323M a a ≥+；〔2〕假设{}n a 为等比数列，公比为q ，且34n n T M M M =++⋅⋅⋅+，求n T ；〔3〕假设201999a =，求2019M 的最小值.【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕假设1q =，24n T n =-，假设1q ≠，42221n n q q T n q -=-+-；〔3〕7400.【解析】 【分析】(1)作差、分解因式后利用可证; (2)根据等比数列的性质得2132a a a =,2243a a a =,2354a a a =,⋯,221n n n a a a --=,代入n M 可得21n n M a =+,再用等比数列的前n 项和公式可求得;(3)对20192M 利用完全平方公式变形,再利用221122,a a a a ≥≥,⋯,22()i i a a +-2(1,2,3,2016)i i a a i +≥-=放缩后配方可得.【详解】(1)证明:2223231231323M a a a a a a a a a --=++---22223321a a a a =-+-+2223(1)(1)a a a =-+-,因为231a a ≤≤, 所以3230M a a --≥,故323M a a ≥+.(2)假设{}n a 为等比数列,那么根据等比数列的性质可得:2132a a a =,2243a a a =,2354a a a =,⋯,221n n n a a a --=,所以2222123()n n M a a a a =+++⋅⋅⋅+-13242()n n a a a a a a -++⋅⋅⋅+=222222221232341()()n n a a a a a a a a -++++-++++22211n n a a a =+=+(3)n ≥,所以34n n T M M M =+++222342n n a a a =-++++,①当1q =时,n T 2224n n n =-+-=-, ②当1q≠时,2n T n =-+46822n q q q q-++++4222[1()]21n q q n q --=-+-42221nq q n q -=-+-.(3)因为22222019123201913243520172019()()M a a a a a a a a a a a a =++++-++++,所以22220191324201720192()()()M a a a a a a =-+-++-22221220182019a a a a ++++,因为221122,a a a a ≥≥,⋯,22()i i a a +-2(1,2,3,2016)i i a a i +≥-=,所以222201720182019201720182019()a a a a a a =++-++2222017201720172(99)99a a a ≥+-++,所以220192017(49)74007400M a ≥-+≥,等号成立的条件为:121a a ==,20i i a a +-=或者21i i a a +-=(1,2,,2016)i =,2017201849a a ==(不唯一).所以2019M 的最小值为7400.【点睛】此题考察了等比数列前n 项公式,放缩法,二次函数求最小值,属于难题.。

江苏省南京市金陵中学2021-2022学年高三上学期学情检测热身数学试卷(解析版)

江苏省南京市金陵中学2021-2022学年高三上学期学情检测热身数学试卷(解析版)

攒尖．也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．辽宁省实验中学校园内的 明心亭，为一个八角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱锥，设正八棱锥 的侧面等腰三角形的顶角为 2θ，它的侧棱与底面内切圆半径的长度之比为（ ）
A．
B．
C．
Байду номын сангаасD．
7．已知定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（x）＝f（2﹣x），当 x∈[﹣1，1]时，f（x）＝3x，
辽宁省实验中学校园内的明心亭为一个八角攒尖它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱锥设正八棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2它的侧棱与底面内切圆半径的长度之比为为正八棱锥sabcdefgh底面内切圆的圆心连接oaob取ab的中点m连接smom则om是底面内切圆半径r如图所示
2021-2022 学年江苏省南京市金陵中学高三（上）学情检测热身
若函数 g（x）＝f（x）﹣k（x﹣2）的所有零点为 xi（i＝1，2，3，…，n），当
时，
＝（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
8．已知实数 m，n 满足（m+5）2+n2＝1，则对于任意实数 a，（a2﹣m）2+（a﹣n）2 的最小
值为（ ）
A．4
B．16
C．17
D．25
二、多项选择题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.每题全选对的得 5 分，部分选对的
21．已知点 B（﹣2，0），C（2，0），△ABC 的周长等于 4+4 ，点 M 满足 ＝2 ． （1）求点 M 的轨迹 E 的方程； （2）是否存在过原点的直线 l 与曲线 E 交于 P，Q 两点，与圆 F：（x﹣ ）2+y2＝ 交 于 R，S 两点（其中点 R 在线段 PQ 上），且|PR|＝|QS|，若存在，求出直线 l 的方程；若 不存在，请说明理由．

高三数学10月调研考试试题 理含解析 试题

高三数学10月调研考试试题 理含解析 试题

卜人入州八九几市潮王学校HY2021届高三数学10月调研考试试题理〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共12小题〕1.i是虚数单位，A. B. C. D.2.设，那么“〞是“〞的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.圆截直线所得弦长为2，那么实数A.2B.C.4D.4.，那么等于A. B.8 C.18 D.5.求函数零点的个数为A.1B.2C.3D.46.假设直线与曲线有两个交点，那么k的取值范围是A. B. C. D.7.函数，那么A.在单调递增B.的最小值为4C.的图象关于直线对称D.的图象关于点对称8.己知椭圆的右焦点为F，过点F作圆的切线，假设两条切线互相垂直，那么椭圆C的离心率为A. B. C. D.9.P是边长为2的正三角形ABC边BC上的动点，那么的值A.是定值6B.最大值为8C.最小值为2D.与P点位置有关10.函数，假设方程有五个不同的实数根，那么a的取值范围是A. B. C. D.11.假设点A的坐标为，F是抛物线的焦点，点M在抛物线上挪动时，使获得最小值的M的坐标为A. B. C. D.A.在单调递减B.在单调递增C.在上有极小值D.在上有极大值二、填空题〔本大题一一共4小题〕13.向量，且，那么______．14.函数是常数，，，的局部图象如下列图，那么______．15.数列满足，，且，那么等于______．16.等差数列的前n项和满足，，那么数列的前n项和为______．三、解答题〔本大题一一共6小题〕17.函数．求的定义域与最小正周期；讨论在区间上的单调性．18.等差数列中，，，，顺次成等比数列．求数列的通项公式；记，的前n项和，求．19.a，b，c分别是内角A，B，C的对边，．Ⅰ假设，求cos B；Ⅱ设，且，求的面积．20.数列满足证明：是等比数列；求21.函数．假设是函数的极值点，求a的值及函数的极值；讨论函数的单调性．22.函数，曲线在点处的切线为．求a，b的值；假设对任意的，恒成立，求正整数m的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：，应选：C．两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的一共轭复数，运算求得结果．此题主要考察两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的一共轭复数，属于根底题．2.【答案】A【解析】解：，，，那么，，可得“〞是“〞的充分不必要条件．应选：A．运用绝对值不等式的解法和正弦函数的图象和性质，化简两不等式，结合充分必要条件的定义，即可得到结论．此题考察充分必要条件的判断，同时考察正弦函数的图象和性质，运用定义法和正确解不等式是解题的关键，属于根底题．3.【答案】D【解析】解：圆的HY方程为，可得圆心坐标为，半径满足，那么圆心到直线的间隔为，由，得，应选：D．由圆的方程求出圆心和半径，再求出圆心到直线的间隔，利用垂径定理列式求解．此题考察直线和圆相交以及弦长公式的应用，求出圆心和半径是解决此题的关键，是根底题．4.【答案】D【解析】【分析】此题考察函数的含义，是根底题；此题也可以先求函数的解析式，代入求值即可．考察的形式，把化为的形式，即可．【解答】解：，应选D．5.【答案】C【解析】解：，，在上单调递增，在上单调递减，在上上单调递增，所以当时，取到极大值，所以当时，取到极小值，所以函数零点的个数为3应选C通过求导研究函数的单调性和极值与0的大小即可得到答案．此题考察函数零点个数的判断，注意利用导数判断函数的单调性、极值在判断函数零点个数中的应用．6.【答案】C【解析】解：直线，当时，，可得此直线恒过，曲线为圆心在坐标原点，半径为2的半圆，根据题意作出相应的图形，如下列图：当直线与半圆相切切点在第二象限时，圆心到直线的间隔，，即，解得：，当直线过点C时，将，代入直线方程得：，那么直线与曲线有2个交点时k的范围为．应选C．由直线方程的特点得到此直线恒过，由曲线方程的特点得到曲线为一个半圆，在平面直角坐标系中画出相应的图形，根据直线与半圆有2个交点，取两个特殊情况：当直线与半圆相切，且切点在第二象限时，可得出圆心到直线的间隔等于圆的半径，即，利用点到直线的间隔公式列出关于k的方程，求出方程的解得到此时k的值；当直线过点C时，将C的坐标代入直线方程，得到关于k的方程，求出方程的解得到此时k的值，由图象可得出满足题意k的取值范围．此题考察了直线与圆的位置关系，利用了数形结合的数学思想，直线与圆的位置关系由d与r的大小来判断为圆心到直线的间隔，r为圆的半径，当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交．7.【答案】D【解析】解：；在单调递减，关于对称；在上单调递减，关于点对称；应选：D．可将原函数变成，从而看出是由沿x轴向右平移1个单位，沿y轴向上平移2个单位得出，显然，关于原点对称，从而得出关于对称，从而选D．考察图象的平移，奇函数的对称性，以及的奇偶性和单调性．8.【答案】D【解析】【分析】此题考察椭圆的简单性质，考察数形结合的解题思想方法，属于根底题．由题意画出图形，可得，两边平方后结合a，b，c之间的关系得答案．【解答】解：如图，由题意可得，，那么，即，那么，，即．应选：D．9.【答案】A【解析】解：设那么，应选：A．先设，，，然后用和表示出，再由将、代入可用和表示出，最后根据向量的线性运算和数量积运算可求得的值，从而可得到答案．此题主要考察向量的数量积运算和向量的线性运算．高考对向量的考察一般不会太难，以根底题为主，而且经常和三角函数练习起来考察综合题，平时要多注意这方面的练习．10.【答案】B【解析】【分析】此题考察了方程的解与函数图象的交点个数问题及利用导数求切线方程，属中档题．由方程的解与函数图象的交点问题得：方程有五个不同的实数根等价于的图象与的图象有5个交点，作图可知，只需与曲线在第一象限由两个交点即可，利用导数求切线方程得：设过原点的直线与切于点，得，即，即过原点的直线与相切的直线方程为，即所求a的取值范围为，得解．【解答】解：设，那么的图象与的图象关于原点对称，方程有五个不同的实数根等价于函数的图象与的图象有5个交点，由图可知，只需与曲线在第一象限有两个交点即可，设过原点的直线与切于点，由，那么切线方程为，又此直线过点，所以，所以，即，即过原点的直线与相切的直线方程为，即所求a的取值范围为．应选B．11.【答案】D【解析】解：由题意得，准线方程为，设点M到准线的间隔为，那么由抛物线的定义得，故当P、A、M三点一共线时，获得最小值为．把代入抛物线得，故点M的坐标是，应选：D．求出焦点坐标和准线方程，把转化为，利用当P、A、M三点一共线时，获得最小值，把代入抛物线解得x值，即得M的坐标．此题考察抛物线的定义和性质得应用，解答的关键利用是抛物线定义，表达了转化的数学思想．12.【答案】D【解析】解：，，设，那么，时，函数获得最大值，应选：D．设，得到，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到函数的极大值，从而求出答案．此题考察了函数的单调性、极值问题，考察导数的应用，构造函数是解题的关键，此题是一道中档题．13.【答案】【解析】解：且，，解得，故答案为：由向量一共线可得m值，进而可得的坐标，由模长公式可得答案．此题考察向量的模，涉及向量的一共线的条件，属根底题．14.【答案】【解析】【分析】此题主要考察由函数的局部图象求解析式，考察了正弦函数的图象和性质，考察了数形结合思想，属于根底题．由函数的最值求出A，由周期求出，由点在函数图象上可得，，结合范围，可得：，得函数的解析式，即可计算得解的值．【解答】解：由函数的局部图象，可得，，解得：，解得：．由点在函数图象上，可得：，，可得，，又可得：，可得函数解析式为，可得．故答案为．15.【答案】【解析】解：，，即数列为等差数列，又，，首项，公差，，，故答案为：．通过可知数列为等差数列，进而计算可得结论．此题考察数列的通项，考察运算求解才能，注意解题方法的积累，属于中档题．16.【答案】【解析】解：等差数列的公差设为d，前n项和为，，，可得，，解得，，即，那么，前n项和，，相减可得，化简可得．故答案为：．等差数列的公差设为d，运用等差数列的求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到通项公式，以及，运用数列的错位相减法求和，可得所求和．此题考察等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的求和公式，考察数列的错位相减法求和，考察化简运算才能，属于根底题．17.【答案】解：．，即函数的定义域为，那么，那么函数的周期；得，，即函数的增区间为，，当时，增区间为，，此时，由，，得，，即函数的减区间为，，当时，减区间为，，此时，即在区间上，函数的减区间为，增区间为【解析】此题主要考察三角函数的图象和性质，利用三角函数的诱导公式，两角和差的余弦公式以及辅助角公式将函数进展化简是解决此题的关键．利用三角函数的诱导公式以及两角和差的余弦公式，结合三角函数的辅助角公式进展化简求解即可．利用三角函数的单调性进展求解即可．18.【答案】解：设等差数列的公差为d，因为，，，顺次成等比数列，所以，所以，化简得，解得．所以，所以．由得，所以．【解析】利用等比数列的通项公式列出方程求出数列的公差，然后求解通项公式．化简通项公式，利用并项求和求解数列的和即可．此题考察等差数列以及等比数列的通项公式以及数列求和的方法，考察计算才能．19.【答案】解：，由正弦定理可得：，代入可得，，，，由余弦定理可得：．由可得：，，且，．【解析】，由正弦定理可得：，再利用余弦定理即可得出．利用及勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出．此题考察了正弦定理余弦定理、勾股定理、三角形面积计算公式，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．20.【答案】解：证明：由得：，因为，所以，从而由，得，所以是以2为首项，2为公比的等比数列；由得，所以．【解析】运用数列的递推式和等比数列的定义，即可得证；由等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的分组求和，计算可得所求和．此题考察数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考察等比数列的通项公式和求和公式，以及数列的分组求和，考察运算才能，属于中档题．21.【答案】解：，由，此时，，当和时，0'/>，是增函数，当时，，是减函数，所以函数在和处分别获得极大值和极小值．故函数的极大值为，极小值为，当，即时，时，，时，0'/>，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增；当，即时，和时，0'/>，时，，所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增；当，即时，和时，0'/>，时，，所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增；当，即时，，所以在定义域上单调递增；综上：当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；当时，在定义域上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．【解析】此题考察函数的极值以及函数的单调性的判断，考察分类讨论思想的应用，是难题．求出导函数，通过时导函数为0，求出a，然后求解极值点判断导函数的符号，求解函数的极值．求出导函数，通过a的范围的讨论，判断导函数的符号，然后求解函数的单调性即可．22.【答案】解：由，得．曲线在点处的切线为，所以，，解得，．由知，那么时，恒成立，等价于时，恒成立．令，，那么．令，那么，所以，0'/>，单调递增．因为，，所以存在使．且时，；时，0'/>，所以，因为，所以，所以，所以，即正整数m的最大值为3．【解析】通过曲线在点处的切线为，转化求解a，b即可．通过恒成立．令，，那么令，那么，所以，0'/>，单调递增．转化求解函数的最值推出结果即可．此题考察函数的导数的应用，构造法的应用，考察转化思想以及计算才能．。

南京金陵中学2021届高三数学上学期第一次学情调研试卷附答案解析

南京金陵中学2021届高三数学上学期第一次学情调研试卷附答案解析

南京金陵中学2021届高三数学上学期第一次学情调研试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上．1. 已知集合A ＝{x |x 2－3x －4＞0}，B ＝{x |ln x ＞0}，则(∁R A )∩B ＝ ( )A ．∅B ．(0，4]C ．(1，4]D ．(4，＋∞)2. 设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的 ( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3. 下列命题中正确的是 ( )A ．若a ＞b ，则ac ＞bcB ．若a ＞b ，c ＞d ，则a －c ＞b －dC ．若ab ＞0，a ＞b ，则1a ＜1bD ．若a ＞b ，c ＞d ，则a c ＞bd4. 已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18，S 3－a 1＝34，则S 5＝ ( )A ．3132B ．3116C ．318D ．3145. (x －1)(2x ＋1)10的展开式中x 10的系数为 ( )A ．－512B ．1024C ．4096D ．51206. 某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N (105，σ2)(σ＞0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为( ) A ．150 B ．200 C ．300 D ．4007. 如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝6，则此抛物线方程为 ( ) A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝3x8. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线l ：4x －3y ＝0与椭圆C 相交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝6，点P 到直线l 的距离不小于65，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0，59]B ．(0，32]C ．(0，53]D ．(13，32]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9. 若函数f (x )＝sin(2x －π3)与g (x )＝cos(x ＋π4)都在区间(a ，b )(0＜a ＜b ＜π)上单调递减，则b －a 的可能取值为( )A ．π6B ．π3C ．π2D ．5π1210. 下列说法中正确的是 ( )A ．设随机变量X 服从二项分布B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (X ＝3)＝516B ．已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)且P (X ＜4)＝0.9，则P (0＜X ＜2)＝0.4C ．E (2X ＋3)＝2E (X )＋3；D (2X ＋3)＝2D (X )＋3D ．已知随机变量ξ满足P (ξ＝0)＝x ，P (ξ＝1)＝1－x ，若0＜x ＜12，则E (ξ)随着x 的增大而减小，D (ξ)随着x 的增大而增大11. 下列四个命题中，是真命题的是 ( )A ．∀x ∈R ，且x ≠0，x ＋1x ≥2B ．若x ＞0，y ＞0，则x 2＋y 22≥2xy x ＋yC ．函数f (x )＝x ＋2－x 2值域为[－2，2]D ．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋9x ＋a －a 在区间[1，9]上的最大值是10，则实数a 的取值范围为[－8，＋∞)12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是 ( ) A ．a 6＝8 B ．S 7＝33C ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2019＝a 2022D ．a 21＋a 22＋…＋a 22019a 2019＝a 2020三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知向量→a ＝(2，－6)，→b ＝(3，m )，若|→a ＋→b |＝|→a －→b |，则m ＝▲________．14. 三月份抗疫期间，我校团委安排高一学生2人、高二学生2人、高三学生1人参加A 、B 、C 三个社区志愿点的活动，要求每个活动点至少1人，最多2人参与，同一个年级的学生不去同一个志愿点，高三学生不去A 志愿点，则不同的安排方法有▲________种(用数字作答)．15. 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个与各个面均相切的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，则AA 1的长度为▲________．16. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧k (1－2x)，x ＜0，x 2－2k ，x ≥0，若函数g (x )＝f (－x )＋f (x )有且仅有四个不同的零点，则实数k 的取值范围是▲________．四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分．17. 现给出两个条件：①2c －3b ＝2a cos B ，②(2b －3c )cos A ＝3a cos C ，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，________． (1)求A ；(2)若a ＝3－1，求△ABC 周长的最大值．18. 已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S n 2＝a n (S n －12)．(1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ．19. 如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点． (1)证明：MN ∥平面PAB ；(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．20. 成都市现在已是拥有1 400多万人口的城市，机动车保有量已达450多万辆，成年人中约40%拥有机动车驾驶证．为了解本市成年人的交通安全意识情况，某中学的同学利用国庆假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了200名成年人，然后对这200人进行问卷调查．这200人所得的分数都分布在[30，100]范围内，规定分数在80以上(含80)的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如图所示．拥有驾驶证 没有驾驶证 总计 具有很强安全意识 不具有很强安全意识 58总计 200(1)补全上面的2×2列联表，并判断能否有超过95%的把握认为“具有很强安全意识”与拥有驾驶证有关?(2)将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取4人，记“具有很强安全意识”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．附表及公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．P (K 2≥k 0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82821. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，点(1，32)在椭圆C 上，点A (－3c ，0)满足以AF 2为直径的圆过椭圆的上顶点B ． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线过右焦点F 2且与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在点P (t ，0)使得PM →·PN →为定值?如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由．22. 已知f (x )＝ax 3－3x 2＋1(a ＞0)，定义h (x )＝max{f (x )，g (x )}＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )＜g (x )．(1)求函数f (x )的极小值；(2)若g (x )＝xf '(x )，且存在x ∈[1，2]使h (x )＝f (x )，求实数a 的取值范围； (3)若g (x )＝ln x ，试讨论函数h (x )(x ＞0)的零点个数．数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上．1. 已知集合A ＝{x |x 2－3x －4＞0}，B ＝{x |ln x ＞0}，则(∁R A )∩B ＝( )A ．∅B ．(0，4]C ．(1，4]D ．(4，＋∞) 答案：C2. 设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案：C3. 下列命题中正确的是( )A ．若a ＞b ，则ac ＞bcB ．若a ＞b ，c ＞d ，则a －c ＞b －dC ．若ab ＞0，a ＞b ，则1a ＜1bD ．若a ＞b ，c ＞d ，则a c ＞bd 答案：C4. 已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18，S 3－a 1＝34，则S 5＝( )A ．3132B ．3116C ．318D ．314答案：B5. (x －1)(2x ＋1)10的展开式中x 10的系数为( )A ．－512B ．1024C ．4096D ．5120 答案：C6. 某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N (105，σ2)(σ＞0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为( ) A ．150 B ．200 C ．300 D ．400 答案：C 7. 如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝6，则此抛物线方程为( ) A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝3x 答案：B8. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线l ：4x －3y＝0与椭圆C 相交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝6，点P 到直线l 的距离不小于65，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0，59]B ．(0，32]C ．(0，53]D ．(13，32]答案：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9. 若函数f (x )＝sin(2x －π3)与g (x )＝cos(x ＋π4)都在区间(a ，b )(0＜a ＜b ＜π)上单调递减，则b －a 的可能取值为( )A ．π6B ．π3C ．π2D ．5π12 答案：AB10. 下列说法中正确的是( )A ．设随机变量X 服从二项分布B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (X ＝3)＝516B ．已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)且P (X ＜4)＝0.9，则P (0＜X ＜2)＝0.4C ．E (2X ＋3)＝2E (X )＋3；D (2X ＋3)＝2D (X )＋3D ．已知随机变量ξ满足P (ξ＝0)＝x ，P (ξ＝1)＝1－x ，若0＜x ＜12，则E (ξ)随着x 的增大而减小，D (ξ)随着x 的增大而增大 答案：ABD11. 下列四个命题中，是真命题的是( )A ．∀x ∈R ，且x ≠0，x ＋1x ≥2B ．若x ＞0，y ＞0，则x 2＋y 22≥2xyx ＋y C ．函数f (x )＝x ＋2－x 2值域为[－2，2]D ．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋9x ＋a －a 在区间[1，9]上的最大值是10，则实数a 的取值范围为[－8，＋∞) 答案：BCD12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是( )A ．a 6＝8B ．S 7＝33C ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2019＝a 2022D ．a 21＋a 22＋…＋a 22019a 2019＝a 2020答案：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知向量→a ＝(2，－6)，→b ＝(3，m )，若|→a ＋→b |＝|→a －→b |，则m ＝▲________． 答案：114. 三月份抗疫期间，我校团委安排高一学生2人、高二学生2人、高三学生1人参加A 、B 、C 三个社区志愿点的活动，要求每个活动点至少1人，最多2人参与，同一个年级的学生不去同一个志愿点，高三学生不去A 志愿点，则不同的安排方法有▲________种(用数字作答)． 答案：4015. 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个与各个面均相切的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，则AA 1的长度为▲________． 答案：416. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧k (1－2x)，x ＜0，x 2－2k ，x ≥0，若函数g (x )＝f (－x )＋f (x )有且仅有四个不同的零点，则实数k 的取值范围是▲________． 答案：(27，＋∞)四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分．17. 现给出两个条件：①2c －3b ＝2a cos B ，②(2b －3c )cos A ＝3a cos C ，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，________． (1)求A ；(2)若a ＝3－1，求△ABC 周长的最大值． 解析：若选择条件①2c －3b ＝2a cos B ．(1)由余弦定理可得2c －3b ＝2a cos B ＝2a ·a 2＋c 2－b 22ac ，整理得c 2＋b 2－a 2＝3bc ，………2分可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3bc 2bc ＝32．…………………………………………………3分因为A ∈(0，π)，所以A ＝π6． …………………………………………………………5分 (2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得(3－1)2＝b 2＋c 2－2bc ·32，………6分即4－23＝b 2＋c 2－3bc ＝(b ＋c )2－(2＋3)bc ，亦即(2＋3)bc ＝(b ＋c )2－(4－23)，因为bc ≤(b ＋c )24，当且仅当b ＝c 时取等号，所以(b ＋c )2－(4－23)≤(2＋3)×(b ＋c )24，解得b ＋c ≤22，…………………………………………………………8分 当且仅当b ＝c ＝2时取等号．所以a ＋b ＋c ≤22＋3－1，即△ABC 周长的最大值为22＋3－1．…………………………………………………10分 若选择条件②(2b －3c )cos A ＝3a cos C ． (1)由条件得2b cos A ＝3a cos C ＋3c cos A ，由正弦定理得2sin B cos A ＝3(sin A cos C ＋sin C cos A )＝3sin(A ＋C )＝3sin B ．………2分因为sin B ≠0，所以cos A ＝32，…………………………………………………3分因为A ∈(0，π)，所以A ＝π6． (2)同上18. 已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S n 2＝a n (S n －12)．(1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ．解析：(1)因为S n 2＝a n (S n －12)，当n ≥2时，S n 2＝(S n －S n －1)(S n －12)，即2S n －1S n ＝S n －1－S n ．①…………2分由题意得S n －1·S n ≠0，所以1S n －1S n －1＝2， 即数列{1S n }是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列．…………5分所以1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，得S n ＝12n －1． …………………………………………7分(2)易得b n ＝S n 2n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)……………………………8分 ＝12(12n －1－12n ＋1)，……………………………10分所以T n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12(1－12n ＋1) ＝n2n ＋1． …………………………………12分19. 如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点． (1)证明：MN ∥平面PAB ；(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．(1)证明：取BP 的中点T ，连接AT ，TN ．由N 为PC 的中点，知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2．又AD ∥BC ，AM ＝23AD ＝2，所以TN __∥AM ，因此四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT ．…………………………………3分因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB ． …………………………………5分(2)取BC 的中点E ，连接AE ．由AB ＝AC ，得AE ⊥BC ，因为AD ∥BC ，所以AE ⊥AD ，AE ＝AB 2－BE 2＝AB 2－⎝⎛⎭⎫BC 22＝5．以A 为原点，AE ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A －xyz ．由题意知，P (0，0，4)，M (0，2，0)，C (5，2，0)，N ⎝⎛⎭⎫52，1，2，PM →＝(0，2，－4)，PN →＝⎝⎛⎭⎫52，1，－2，AN →＝⎝⎛⎭⎫52，1，2．…………………………………7分设n ＝(x ，y ，z )为平面PMN 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PM →＝0，n ·PN →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －4z ＝0，52x ＋y －2z ＝0，可取n ＝(0，2，1)．……………………………………………………………………9分于是|cos ＜n ，AN →＞|＝|n ·AN →||n |·|AN →|＝8525．…………………………………11分设AN 与平面PMN 所成角为θ，则sin θ＝8525，即直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为8525． …………………………………12分20. 成都市现在已是拥有1 400多万人口的城市，机动车保有量已达450多万辆，成年人中约40%拥有机动车驾驶证．为了解本市成年人的交通安全意识情况，某中学的同学利用国庆假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了200名成年人，然后对这200人进行问卷调查．这200人所得的分数都分布在[30，100]范围内，规定分数在80以上(含80)的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如图所示．拥有驾驶证 没有驾驶证 总计 具有很强安全意识 不具有很强安全意识 58总计 200(1)补全上面的2×2列联表，并判断能否有超过95%的把握认为“具有很强安全意识”与拥有驾驶证有关? (2)将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取4人，记“具有很强安全意识”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．附表及公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．P (K 2≥k 0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828解：(1)200人中拥有驾驶证的占40%，有80人，没有驾驶证的有120人；具有很强安全意识的占20%，有40人，不具有很强安全意识的有160人．补全的2×2列联表如表所示：拥有驾驶证 没有驾驶证 总计 具有很强安全意识 22 18 40 不具有很强安全意识 58 102 160总计 80 120 200…………………………………2分计算得K 2＝200×(22×102－18×58)240×80×160×120＝7516＝4.6875＞3.841， 所以有超过95%的把握认为“具有很强安全意识”与拥有驾驶证有关． …………………………………5分(2)由频率分布直方图中数据可知，抽到的每个成年人“具有很强安全意识”的概率为15，所以X ＝0，1，2，3，4，且X ~B ⎝⎛⎭⎫4，15．于是P (X ＝k )＝C k 4·⎝⎛⎭⎫15k ·⎝⎛⎭⎫454－k(k ＝0，1，2，3，4)，X 的分布列为X 0 1 2 3 4P256625 256625 96625 16625 1625…………………………………10分所以E (X )＝4×15＝45．答：X 的数学期望为45． …………………………………12分21. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，点(1，32)在椭圆C 上，点A (－3c ，0)满足以AF 2为直径的圆过椭圆的上顶点B ． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线过右焦点F 2且与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在点P (t ，0)使得PM →·PN →为定值?如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由．解析：(1)因为点(1，32)在椭圆C 上，所以1a 2＋94b 2＝1．又点A (－3c ，0)满足以AF 2为直径的圆过椭圆的上顶点B ，所以AB ⊥BF 2，即AB →·BF 2→＝(3c ，b )·(c ，－b )＝0，即b 2＝3c 2．又a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝3．所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1． …………………………………4分 (2)易得右焦点F 2(1，0)，假设存在点P (t ，0)满足要求．①当直线MN 的斜率不为0时，设直线MM 的方程为x ＝my ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧x ＝my ＋1，3x 2＋4y 2＝1，整理可得(4＋3m 2)y 2＋6my －9＝0，则y 1＋y 2＝－6m 4＋3m 2，y 1·y 2＝－94＋3m 2，所以x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝84＋3m 2，x 1x 2＝m 2y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＋1＝－9m 24＋3m 2＋－6m 24＋3m 2＋1＝4－12m 24＋3m 2．…………………………………6分 因为PM →·PN →＝(x 1－t ，y 1)·(x 2－t ，y 2)＝x 1x 2－t (x 1＋x 2)＋t 2＋y 1y 2＝4－12m 24＋3m 2－8t 4＋3m 2＋t 2－94＋3m 2 ＝t 2(4＋3m 2)－12m 2－8t －54＋3m 2＝3m 2(t 2－4)＋4t 2－8t －54＋3m 2．…………………………………9分要使PM →·PN →为定值，则t 2－41＝4t 2－8t －54，解得t ＝118，此时PM →·PN →＝－13564为定值． …………………………………11分②当直线MM的斜率为0时，则M (－2，0)，N (2，0)，P (118，0)，此时PM →·PN →＝(－2－118，0)·(2－118，0)＝－13564． …………………………………12分综上，所以存在P (118，0)，使PM →·PN →为定值．22. 已知f (x )＝ax 3－3x 2＋1(a ＞0)，定义h (x )＝max{f (x )，g (x )}＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )＜g (x )．(1)求函数f (x )的极小值；(2)若g (x )＝xf'(x )，且存在x ∈[1，2]使h (x )＝f (x )，求实数a 的取值范围； (3)若g (x )＝ln x ，试讨论函数h (x )(x ＞0)的零点个数．解析：(1)求导得f'(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，令f'(x )＝0，得x 1＝0或x 2＝2a ．…………………………………1分因为a ＞0，所以x 1＜x 2，列表如下：x(－∞，0)⎝⎛⎭⎫0，2a2a ⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞f'(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )极大值 极小值所以f (x )的极小值为f ⎝⎛⎭⎫2a ＝8a 2－12a 2＋1＝1－4a 2．…………………………………3分(2)g (x )＝xf'(x )＝3ax 3－6x 2．因为存在x ∈[1，2]使h (x )＝f (x )，所以f (x )≥g (x )在x ∈[1，2]上有解，即ax 3－3x 2＋1≥3ax 3－6x 2在x ∈[1，2]上有解，即不等式2a ≤1x 3＋3x 在x ∈[1，2]上有解．………………………5分设y ＝1x 3＋3x ＝3x 2＋1x 3，x ∈[1，2]．因为y'＝－3x 2－3x4＜0对x ∈[1，2]恒成立，所以y ＝1x 3＋3x 在[1，2]上递减，故当x ＝1时，y max ＝4． 所以2a ≤4，即a ≤2，故a 的取值范围为(－∞，2]．…………………………………7分(3)由(1)知，f (x )在(0，＋∞)上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫2a ＝1－4a 2．①当1－4a 2＞0，即a ＞2时，f (x )＞0在(0，＋∞)上恒成立，所以h (x )＝max{f (x )，g (x )}≥f (x )＞0，因此h (x )在(0，＋∞)上无零点．…………………………………8分②当1－4a 2＝0，即a ＝2时，f (x )min ＝f (1)＝0，又g (1)＝0，所以h (x )＝max{f (x )，g (x )}在(0，＋∞)上有且仅有一个零点．…………………………………9分③当1－4a 2＜0，即0＜a ＜2时，设φ(x )＝f (x )－g (x )＝ax 3－3x 2＋1－ln x ，0＜x ＜1．因为φ'(x )＝3ax 2－6x －1x ＜6x (x －1)－1x ＜0，所以φ(x )在(0，1)上单调递减．又φ(1)＝a －2＜0，φ⎝⎛⎭⎫1e ＝a e 3＋2e 2－3e 2＞0，所以存在唯一的x 0∈⎝⎛⎭⎫1e ，1，使得φ(x 0)＝0． (i )当0＜x ≤x 0时，因为φ(x )＝f (x )－g (x )≥φ(x 0)＝0，所以h (x )＝f (x )且h (x )为减函数． 又h (x 0)＝f (x 0)＝g (x 0)＝ln x 0＜ln1＝0，f (0)＝1＞0，所以h (x )在(0，x 0)上有一个零点． (ii )当x 0＜x ＜1时，因为φ(x )＝f (x )－g (x )＜φ(x 0)＝0，所以h (x )＝g (x )且h (x )为增函数．因为g (1)＝0，又h (x )＝max{f (x )，g (x )}≥g (x )＝ln x ＞0在x ＞1上恒成立，所以h (x )在(x 0，＋∞)上有且仅有一个零点．从而h (x )＝max{f (x )，g (x )}在(0，＋∞)上有两个零点．综上，当0＜a ＜2时，h (x )有两个零点；当a ＝2时，h (x )有一个零点；当a ＞2时，h (x )无零点．…………………………………12分。

江苏省南京市金陵中学2021-2022高一数学上学期10月月考试题（含解析）.doc

江苏省南京市金陵中学2021-2022高一数学上学期10月月考试题（含解析）.doc

江苏省南京市⾦陵中学2021-2022⾼⼀数学上学期10⽉⽉考试题（含解析）.doc江苏省南京市⾦陵中学2021-2022⾼⼀数学上学期10⽉⽉考试题（含解析）⼀、单选题：本⼤题共 12⼩题，每题 4 分，共 48 分． 1.集合A ={1,2,3},B ={2,3,4},则A B =()A. {1,2,3,4}B. {2,3}C. {2,3,4}D. {1,3,4}【答案】B 【解析】【分析】先观察两集合中的公共元素，再求交集即可得解. 【详解】解：因为集合{}1,2,3A =,{}2,3,4B =, 所以{}2,3A B ?=，故选B.【点睛】本题考查了集合交集的运算，属基础题.2.⼀元⼆次不等式2201920200x x --<的解集为（）. A. (1,2020)- B. (2020,1)- C. (,1)(2020,)-∞-+∞ D.(,2020)(1,)-∞-+∞【答案】A 【解析】【分析】根据⼀元⼆次不等式的解法，直接求解，即可得出结果.【详解】由2201920200x x --<得(1)(2020)0+-【点睛】本题主要考查解不含参数的⼀元⼆次不等式，熟记⼀元⼆次不等式的解法即可，属于基础题型.3. 下列各函数在其定义域中，既是奇函数，⼜是增函数的是（） A. y ＝x ＋1 B. y ＝－x 3 C. 1y x=-D. y ＝x|x|【答案】D 【解析】试题分析：A 中函数是增函数但不是奇函数；B 中函数是奇函数但不是增函数；C 中函数是奇函数但不是增函数；D 中函数既是奇函数⼜是增函数考点：函数奇偶性单调性4.若集合A ＝｛x ｜mx 2＋2x ＋m ＝0，m ∈R ｝中有且只有⼀个元素，则m 的取值集合是 A. ｛1｝ B. ｛1-｝ C. ｛0，1｝ D.｛1-，0，1｝【答案】D 【解析】【分析】分类讨论0m =及0m ≠时0?=．【详解】当0m =时，{}{|20}0A x x ===，满⾜题意；当0m ≠时，2440m ?=-=，解得1m =±．综上m 的取值集合是{1,0,1}-．点睛：集合的元素具有互异性，当⼆次⽅程的两根相等时，⽅程的解集只有⼀个元素，另外⼀元⼀次⽅程有解也最多只能有⼀个解．5.函数1()2f x x =+的定义域是（） A. [3,)-+∞ B. [3,2)--C. [3,2)(2,)--?-+∞D. (2,)-+∞【答案】C 【解析】分析：根据定义域求法即可. 详解：由题可得：30{320x x x +≥?≥-+≠且2x ≠-，故选C.点睛：考查函数的定义域，属于基础题.6.已知函数23,0(),0x x f x x x ≥?=?，则((2))f f -的值为（）.A. 4B. 12C. 16D. 36【答案】B 【解析】【分析】根据函数解析式，由内到外逐步代⼊，即可得出结果.【详解】因为23,0(),0x x f x x x ≥?=?故选：B【点睛】本题主要考查求分段函数值，由内到外逐步代⼊即可求解，属于基础题型. 7.若对任意的[1,3]x ∈，不等式230x x m --<都成⽴，则实数m 的取值范围为（）. A. (2,)-+∞ B. 9(,)4-+∞C. 9(,0)4-D. (0,)+∞【答案】D 【解析】【分析】先由题意得到23m x x >-在[1,3]x ∈恒成⽴，记2()3g x x x =-，根据⼆次函数求出2()3g x x x =-的最⼤值，即可得出结果.【详解】由题知，23m x x >-在[1,3]x ∈恒成⽴，记2()3g x x x =-，则函数()g x 开⼝向上，对称轴为32x =；⼜[1,3]x ∈，所以函数()g x 在31,2??上单调递减，在3,32上单调递增；因为(1)132=-=-g ，(3)990=-=g ，所以max ()(3)0g x g ==；所以0m >. 故选：D【点睛】本题主要考查由不等式恒成⽴求参数的问题，熟记⼆次函数的性质即可求解，属于常考题型.8.已知{2A x x =<-或}3x >，{}21B x a x a =≤≤-，若A B A ?=，则实数a 的取值范围为（）.A. 1(,)(3,)2-∞-+∞B. (,1)(3,)-∞+∞C. 1(,)(1,)2-∞-?+∞ D. (,1][3,)-∞+∞【答案】B 【解析】【分析】根据A B A ?=得B A ?，分别讨论B =?和B ≠?两种情况，即可求出结果. 【详解】因为A B A ?=，所以B A ?. 若B =?，则21a a >-，解得1a <；若B ≠?，则1212a a ≥??-<-?或13a a ≥??>?，解得3a >；综上，实数a 的取值范围是(,1)(3,)-∞+∞.故选：B【点睛】本题主要考查由集合的并集结果求参数的问题，熟记集合间的基本关系即可，属于常考题型.9.若2()(3)1f x ax a x =++-在区间(1,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围为（）. A. [1,)-+∞ B. [1,0]-C. [0,1]D. [0,)+∞【答案】D 【解析】【分析】当0a =时，得到()31f x x =-满⾜题意；当0a ≠时，根据⼆次函数性质，得到0312a a a>??+?-≤??，求解，即可得出结果.【详解】若0a =，则()31f x x =-，符合题意；若0a ≠，由2()(3)1f x ax a x =++-在区间(1,)+∞上是增函数，可得：0312a a a>??+?-≤??，解得0a >.综上，a 的取值范围为[0,)+∞. 故选：D【点睛】本题主要考查由函数在给定区间的单调性求参数的问题，熟记⼆次函数性质，灵活运⽤分类讨论的思想即可，属于常考题型. 10.已知函数()y f x =是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，且当0x <时，函数的图像如图所⽰，则不等式()0xf x >的解集为（）.A. (2,1)(1,2)--?B. (2,1)(0,1)(2,)--??+∞C. (,2)(1,0)(1,2)-∞--D. (,2)(1,0)(0,1)(2,)-∞--+∞【答案】A 【解析】【分析】先由题意，以及函数图像，得到0x <时，不等式的解集；再由函数奇偶性，即可求出结果. 【详解】当0x <时，由()0xf x >得()0f x <；由函数图像可知，(2,1)x ∈--；由函数()y f x =是定义在(,0)(0,)-∞+∞上奇函数，所以当(1,2)x ∈时，()0f x >，此时也满⾜()0xf x >；综上，不等式()0xf x >的解集为(2,1)(1,2)--?. 故选：A【点睛】本题主要考查由函数奇偶性解不等式，熟记奇函数的性质即可，属于常考题型.11.设3()2kf x x x=++，其中k 为参数，k ∈R .若函数()y f x =在区间[2,1]--上的最⼤值为4，则函数()y f x =在区间[1,2]上有（）.A. 最⼩值2-B. 最⼩值0C. 最⼩值4D. 最⼤值2【答案】B 【解析】【分析】先设3()kg x x x=+，则()()2g x f x =-，根据题意得到()g x 在区间[2,1]--上的最⼤值为2，再判断函数()g x 是奇函数，求出()g x 在区间[1,2]上的最⼩值为2-，即可得出结果.【详解】设3()kg x x x=+，则()()2g x f x =-，因为函数()y f x =在区间[2,1]--上的最⼤值为4，所以()g x 在区间[2,1]--上的最⼤值为2.⼜3()()-=--=-kg x x g x x，所以()g x 是奇函数，所以()g x 在区间[1,2]上的最⼩值为2-，此时()()2f x g x =+有最⼩值0. 故选：B【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求函数最值，熟记奇函数的性质即可，属于常考题型.12.已知266,0()34,0x x x f x x x ?-+≥=?+，若互不相等的实数123,,x x x 满⾜123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围为（）.A. 11(,6)3B. 18(,)33-C. 11(,6]3D. 18(,]33-【答案】A 【解析】【分析】先作出函数图像，由题意得互不相等的实数123,,x x x 满⾜123()()()===f x f x f x k ，根据函数图像确定34-<(,0)3x ∈-，进⽽可求出结果.【详解】作出函数266,0()34,0x x x f x x x ?-+≥=?+若互不相等的实数123,,x x x 满⾜123()()()===f x f x f x k ，由图像可得：34-<不妨设123x x x <<，则236x x +=，由13344-<+(,0)3x ∈-；所以123x x x ++的取值范围为11(,6)3. 故选：A【点睛】本题主要考查函数与⽅程的综合应⽤，根据转化与化归的思想，将问题转化为函数交点问题，利⽤数形结合的⽅法即可求解，属于常考题型. ⼆、填空题：本⼤题共 4⼩题，每题 4 分，共 16 分． 13.若21{2,}x x ∈+，则实数x 的值为________.【答案】1 【解析】【分析】分别讨论21x +=和21x =两种情况，即可得出结果.【详解】若21x +=，则1x =-，所以21x =，此时22x x =+，不符合集合中元素的互异性；若21x =，则1x =±，当1x =时，223+=≠x x ，满⾜题意；综上，1x =. 故答案为：1【点睛】本题主要考查由元素与集合间的关系求参数的问题，熟记元素的特征即可，属于基础题型.14.若定义运算2,,a a b a b b a b≥??=?值域为________.【答案】[1,)+∞ 【解析】【分析】先由题意得到2,1()(2),1x x f x x x ≥?=?-【详解】因为2,,a a b a b b a b ≥??=?，所以22,2,1()(2)=(2),2(2),1x x x x x f x x x x x x x x ≥-≥??=?-=?-<--，当1x ≥时，()1=≥f x x ；当1x <时，2()(2)=-f x x 单调递减，所以()(1)1f x f >=；综上，所求函数值域为[1,)+∞. 故答案为：[1,)+∞【点睛】本题主要考查求分段函数的值域，熟记⼀次函数以及⼆次函数的性质即可，属于常考题型.15.若函数2()()1f x a a x =++在区间[,1]a a +上的最⼤值与最⼩值的差为2，则实数a 的值为________. 【答案】1或2- 【解析】【分析】先由题意得到20a a +≠，推出()f x 为⼀次函数，所以有()(1)2f a f a -+=，求解，即可得出结果.【详解】因为函数2()()1f x a a x =++在区间[,1]a a +上的最⼤值与最⼩值的差为2，所以20a a +≠，因此()f x 为⼀次函数，则()(1)2f a f a -+=，即()()()221112++-++-=a a a a a a ，即22+=a a ，所以22+=±a a ，解得1a =或2-. 故答案为：1或2-【点睛】本主要考查由函数最值的差求参数的问题，熟记函数单调性即可，属于常考题型.16.已知函数21()21f x x x =--+，若(2)(2)f a f a ≤-，则实数a 的取值范围为________. 【答案】2[2,]3-【解析】【分析】先由奇偶性的定义，判断函数()f x 为偶函数，再由0x >时，21()21f x x x =--+，根据⼆次函数与反⽐例函数的单调性，得出21()21f x x x =--+单调递增，进⽽原不等式可化为：22a a ≤-，求解即可得出结果.【详解】因为21()21f x x x =--+，所以21()2()1-=--=+f x x f x x ，因此函数21()21f x x x =--+为偶函数，⼜当0x >时，21()21f x x x =--+，显然单调递增；所以(2)(2)f a f a ≤-等价于22a a ≤-，解得2[2,]3a ∈-.故答案：2[2,]3-【点睛】本题主要考查由函数奇偶性与单调性解不等式，熟记函数奇偶性，以及基本初等函数的单调性即可，属于常考题型.三、解答题：本题共 6⼩题，共 56 分． 17.在实数范围内解下列不等式或⽅程.（1）2340x x -->；（2）3210x x -+=【答案】（1）4(,1)(,)3-∞-?+∞ （2）1231,x x x ===. 【解析】【分析】（1）根据⼀元⼆次不等式的解法，直接求解，即可得出结果；（2）先由3210x x -+=得到2(1)(1)0x x x -+-=，推出1x =或210x x +-=，进⽽可求出结果.【详解】（1）由2340x x -->得(1)(34)0x x +->，解得43x >或1x <-；所以不等式的解集为：4(,1)(,)3-∞-?+∞. （2）由3210x x -+=，得2(1)(1)0x x x -+-=，所以1x =或210x x +-=，解得1x =或12x -=或12x -+=；因此原⽅程的解为：1231,x x x ==. 【点睛】本题主要考查解不含参数的⼀元⼆次不等式，以及三次⽅程，熟记不等式的解法，以及因式分解的⽅法即可，属于常考题型.18.已知集合{}2870A x x x =-+<，{}22220B x x x a a =---<. （1）当4a =时，求AB ；（2）若A B B ?=，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}16x x <<；（2）(,5][7,)a ∈-∞-+∞ 【解析】【分析】（1）先化简集合A ，根据4a =，化简集合B ，再由交集的概念，即可求出结果；（2）先由A B B ?=，则A B ?，将原问题化为对任意(1,7)x ∈，2222a a x x ->-恒成⽴，令2()2g x x x =-，根据⼆次函数性质，求出2()2g x x x =-在(1,7)x ∈上的最⼤值，解不等式，即可得出结果.【详解】（1）因为{}{}287017A x x x x x =-+<=<<，当4a =时，{}{}{22240(6)(4)046}B x x x x x x x x =--<=-+<=-<<，所以{}16A B x x ?=<<；（2）若A B B ?=，则A B ?.所以对任意(1,7)x ∈，2222a a x x ->-恒成⽴.令2()2g x x x =-，则函数2()2g x x x =-开⼝向上，对称轴为1x =，⼜因为(1,7)x ∈，所以2()2g x x x =-单调递增，因此2()2(1,35)=-∈-g x x x ，所以只需2235a a -≥，解得(,5][7,)a ∈-∞-+∞.【点睛】本题主要考查集合交集的运算，以及由集合的包含关系求参数的问题，熟记集合交集的概念，以及集合间的基本关系即可，属于常考题型.19.如图，OAB ?是边长为2的正三⾓形，记OAB ?位于直线()0x t t =>左侧的图形的⾯积为()f t ，试求函数()f x 的解析式，并画出函数()y f t =的图象.【答案】2()23f t =,图象见解析. 【解析】【分析】分三种情况讨论，在求()f t 的解析式时,关键是要根据图象,对t 的取值进⾏恰当的分类,然后分类讨论,给出分段函数的解析式后,再根据解析式画出函数的图象.【详解】当01t <≤时,如图,设直线x t =与OAB 分别交于C 、D 两点,则|Ot|=t , ⼜3,||3CD BCCD t OC OE==∴= 2113()||||322f t OC CD t t ∴=== (2)当12t <≤时,如图,设直线x t =与OAB 分别交于M 、N 两点,则||=2AN t -,⼜|||33,||3(2)||||MN BE MN t AN AE ==∴=- 221133()23||||3)23322f t AN MN t t ∴==-=+(3)当2t >时,()3f t =综上所述223,0123()233,123,2t f t t t t <≤=+<≤??>,图象如图，【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数的图象，意在考查综合运⽤所学知识解答问题的能⼒，属于中档题. 20.设函数()af x x x=+，其中0a >. （1）证明：函数()y f x =在a 上是单调减函数，在,)a +∞上是单调增函数；（2）若函数()y f x =在区间(0,]a 上的最⼩值为4，求实数a 的值. 【答案】（1）证明见解析（2）4a = 【解析】【分析】（1）先设120x x <<，作差法得到12121212()()()--=-x x af x f x x x x x ，分别讨论120x x a <<≤12a x x ≤<两种情况，根据函数单调性的定义，即可得出结论；（2）分别讨论01a <≤，1a >两种情况，根据（1）的结论，结合函数最⼩值，即可得出结果.【详解】（1）设120x x <<，则211212121212121212()()()()()a x x x x a a af x f x x x x x x x x x x x x x ---=+-+=-+=-，若120x x <<≤120x x -<，且12所以12())0(f x f x ->，因此函数()y f x =在上是单调减函数，12x x ≤<，则120x x -<，且1212,0x x a x x a >->，所以12())0(f x f x -<，因此函数()y f x =在上是单调增函数；综上，函数()y f x =在上是单调减函数，在)+∞上是单调增函数；（2）若01a <≤，则a ≤1）可得：()f x 在(0,]a 上单调减，所以min ()()14f x f a a ==+=，解得3a =，不合题意，舍去；若1a >，则a 1）得()f x 在上单调减，)+∞上单调增，所以min ()4f x f ===，解得4a =，经检验，符合题意. 综上，4a =.【点睛】本题主要考查由单调性的定义判断函数单调性，以及由函数最值求参数，熟记函数单调性的定义，灵活运⽤分类讨论的思想即可，属于常考题型.21.已知函数()()22,*f x ax x c a c N =++∈，满⾜①()15f =；②()6211f <<．（1）求a ，c 的值．（2）设()()231g x f x x x =--+-，求()g x 的最⼩值．【答案】（1）1，2；（2）14-．【解析】【分析】（1）根据条件列不等式与⽅程，根据正整数的限制条件求a ，c 的值．（2）先根据绝对值定义将函数化为分段函数，再根据各段单调性求各段最⼩值，最后⽐较两个最⼩值得函数最⼩值.【详解】（1）()125f a c =++=，()()2446,11f a c =++∈，⼜523c a a =--=-，∴443a a ++-()376,11a =+∈，∴1433a -<<，⼜*a N ∈，∴1a =，2c =．（2）()222f x x x =++，∴()()231g x f x x x =--+-222231x x x x =++--+- 211x x =+--，1x ≥时，()22g x x x =+-，此时()g x 在[]1,+∞上单调递增，∴()()min 11120g x g ==+-=，1x <时，()2g x x x =-，()g x 在1,2-∞ ??上单调递减，在1,12上单调递增，∴()min 11112424g x g ??==-=-，⼜104-<，∴()min 1124g x g ??==-．【点睛】本题考查⼀元⼆次函数解析式以及单调性应⽤，考查基本分析求解能⼒. 22.函数2()4ax bf x x -=-是定义在(2,2)-上的奇函数，且1(1)3f =.（1）确定()f x 的解析式；（2）判断并证明()f x 在(2,2)-上的单调性；（3）解不等式(1)()0f t f t -+<. 【答案】(1)2()4xf x x =-，(2,2)x ∈-；(2) ()f x 是(2,2)-上增函数，证明见解析；(3)1(1,)2-. 【解析】试题分析：（1）若奇函数在x=0处有定义，则f （0）=0，代⼊即可得b ，再由1(1)3f =代⼊即可得a 值；（2）因为函数为奇函数，故只需判断x ＞0时函数的单调性即可，利⽤单调性定义即可证明；（3）利⽤函数的单调性和奇偶性将不等式中的f 脱去，等价转化为关于t 的不等式组，解之即可. 试题解析：(1)由函数2()4ax bf x x -=-是定义在(2,2)-上的奇函数知(0)04b f -==，所以0b =，经检验，0b =时2()4axf x x=-是(2,2)-上的奇函数，满⾜题意. ⼜21(1)413a f ==-，解得1a =，故2()4xf x x =-，(2,2)x ∈-. (2) ()f x 是(2,2)-上增函数.证明如下：在(2,2)-任取12,x x 且12x x <，则210x x ->，1240x x +>，2140x ->，2240x ->，所以2121122122222121()(4)()()44(4)(4)x x x x x x f x f x x x x x -+-=-=----0>，即21()()f x f x >，所以()f x 是(2,2)-上增函数.(3) 因为()f x 是(2,2)-上的奇函数，所以由(1)()0f t f t -+<得，(1)()()f t f t f t -<-<-，⼜()f x 是(2,2)-上增函数，所以1,212,22,t t t t -<-??-<-解得112t -<<，从⽽原不等式的解集为1(1,)2-.试题点睛：本题综合考查了函数的奇偶性和函数的单调性，奇函数的性质，函数单调性的判断⽅法，利⽤函数性质解不等式.。

2024-2025学年江苏省南京市金陵中学高一(上)学情调研数学试卷(10月份)(含答案)

2024-2025学年江苏省南京市金陵中学高一(上)学情调研数学试卷(10月份)(含答案)

2024-2025学年江苏省南京市金陵中学高一（上）学情调研数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设a，b∈R，集合A={0,a}，集合B={−1,b}，若A=B，则a+b的值为( )A. 1B. 0C. −1D. −22.命题“∀x>1，x2+x−2>0”的否定为( )A. ∃x>1，x2+x−2≤0B. ∃x≤1，x2+x−2≤0C. ∀x≤1，x2+x−2≤0D. ∀x>1，x2+x−2≤03.设x>0，y>0且x+y=2，则4x +1y的最小值为( )A. 9B. 52C. 4 D. 924.满足{a1,a2}⊆A⊆{a1,a2,a3,a4,a5}的集合A的个数为( )A. 5B. 4C. 8D. 75.设全集U=A∪B={1,2,3,5,8}，A∩(∁U B)={1,5}，B∩(∁U A)={2}，则集合A为( )A. {1,2,5}B. {1,3,5,8}C. {3,8}D. {1,5}6.若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )A. a2+b2>2abB. a+b≥2abC. 1a +1b>2abD. ba+ab≥27.已知关于x的不等式(a−2)x2+2(a−2)x+1≤0的解集是⌀，则实数a的取值范围是( )A. [2,3)B. (−∞,2)∪(3,+∞)C. (2,3)D. (−∞,2]∪(3，+∞)8.设集合A={x|(x−2)(x−a)≤0}，B={x|3<x<7}，若A∩B中恰含有3个整数，则实数a的取值范围是( )A. (5,6]B. [6,+∞)C. [6,7)D. (6,7]二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知a>b>c>0，下列不等式一定成立的是( )A. b<a+b2<a B. ca>cbC. ba−b>cb−cD. ab>a+cb+c10.下列叙述正确的是( )A. 已知a，b，c是实数，则“ac2>bc2”成立的充分不必要条件是“a>b”B. “x∈A∩B”是“x∈A∪B”的充分不必要条件C. “x>0且y>0”是“xy>0”的充分不必要条件D. “a2>1”是“a>1”的必要不充分条件11.关于x的不等式|x−a|≤2成立的必要不充分条件是−3<x≤316，则下列叙述正确的是( )A. 4−a+94−a的最小值为6B. 关于x的不等式x2−2ax+a2+a+1≤0的解集为⌀C. 关于x的不等式(x−a)(x−8)<0的解集中整数解最少3个D. {x|x≤a+1}∪{x|x≥2a−136}=R三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

南京市2021届高三年级学情调研(数学)参考答案

南京市2021届高三年级学情调研(数学)参考答案

南京市2021届高三年级学情调研 数学参考答案 2020.09一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．C 2．B 3．D 4．A 5．A 6．C 7．C 8．B 二、多项选择题：本大题共4小题，每题5分，共20分． 9．ABD 10．ACD 11．ABC 12．AC 三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．13．2 14．643 15．4；220 16．(－∞，－1]四、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．（本小题满分10分）解：因为 m ＝(2cos x ，－1)，n ＝(3sin x ，2cos 2x )，所以f (x )＝m ·n ＋1＝23sin x cos x －2cos 2x ＋1＝3sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π6)． ……………………… 4分（1）T ＝2π2＝π． ……………………… 5分（2）由f (α)＝85，得sin(2α－π6)＝45．由α∈[π3，7π12]，得π2≤2α－π6≤π，所以cos(2α－π6)＝－1－sin 2(2α－π6)＝－1－(45)2＝－35，……………… 7分从而 cos2α＝cos[(2α－π6)＋π6]＝cos(2α－π6)cos π6－sin(2α－π6)sin π6＝－35×32－45×12＝－4－3310． …………………… 10分18．（本小题满分12分） 解：（1）选①，因为S 1＋S 3＝2S 2＋2，所以S 3－S 2＝S 2－S 1＋2，即a 3＝a 2＋2， 又数列{a n }是公比为2的等比数列，所以4a 1＝2a 1＋2，解得a 1＝1，因此a n ＝1×2n －1＝2n －1． …………………………………… 4分此时任意m ，n ∈N *，a m a n ＝2m －1·2n －1＝2m＋n －2，由于m ＋n －1∈N *，所以a m a n 是数列{a n }的第m ＋n －1项，因此数列{a n }满足条件P ． ……………………………………7分 选②，因为S 3＝73，即a 1＋a 2＋a 3＝73，又数列{a n }是公比为2的等比数列， 所以a 1＋2a 1＋4a 1＝73，解得a 1＝13，因此a n ＝13×2n －1． ………………………………… 4分此时a 1a 2＝29＜a 1≤a n ，即a 1a 2不为数列{a n }中的项，因此数列{a n }不满足条件P ． ………………………………… 7分 选③，因为a 2a 3＝4a 4，又数列{a n }是公比为2的等比数列，所以2a 1×4a 1＝4×8a 1，又a 1≠0，故a 1＝4，因此a n ＝4×2n －1＝2n ＋1． …………………………………4分 此时任意m ，n ∈N *，a m a n ＝2m ＋1·2n ＋1＝2m＋n ＋2，由于m ＋n ＋1∈N *，所以a m a n 是为数列{a n }的第m ＋n ＋1项，因此数列{a n }满足条件P ． ……………………………………7分 （2）因为数列{a n }是公比为2的等比数列，所以a n ＋1a n＝2，因此b n ＝n ×2n －1．所以T n ＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1，则2T n ＝ 1×21＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n ，两式相减得－T n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ×2n ………………………10分 ＝1－2n1－2－n ×2n＝(1－n )2n －1，所以T n ＝(n －1)2n ＋1． ……………………………………12分19．（本小题满分12分）解：（1）假设H 0：课外阅读达标与性别无关，根据列联表，求得χ2＝100×(36×30－24×10)2(36＋24)×(10＋30)×(36＋10)×(24＋30)＝2450207≈11.836＞6.635，因为当H 0成立时，χ2≥6.635的概率约为0.01，所以有99%以上的把握认为课外阅读达标与性别有关． …………………… 4分 （2）记事件A 为：从该校男生中随机抽取1人，课外阅读达标；事件B 为：从该校女生中随机抽取1人，课外阅读达标．由题意知：P (A )＝2460＝25，P (B )＝3040＝34． ……………………… 6分随机变量X 的取值可能为0，1，2，3． P (X ＝0)＝(1－25)2×(1－34)＝9100，P (X ＝1)＝C 12×25×(1－25)×(1－34)＋34×(1－25)2＝39100， P (X ＝2)＝(25)2×(1－34)＋C 12×25×(1－25)×34＝25， P (X ＝3)＝(25)2×34＝325．所以随机变量X 的分布列为：………………………… 10分 期望E (X )＝0×9100＋1×39100＋2×25＋3×325＝1.55． ………………………… 12分20．（本小题满分12分）（1）证明：因为∠P AD ＝90°，所以P A ⊥AD ．因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，P A ⊂平面P AD ， 所以P A ⊥平面ABCD ． ………………………… 2分 又CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥P A ．在四边形ABCD 中，AD //BC ，∠DAB ＝90°，所以∠ABC ＝90°，又AB ＝BC ＝1，所以△ABC 是等腰直角三角形，即∠BAC ＝∠CAD ＝45°，AC ＝2．在△CAD 中，∠CAD ＝45°，AC ＝2，AD ＝2，所以CD ＝ AC 2＋AD 2－2×AC ×AD ×cos ∠CAD ＝2，从而AC 2＋CD 2＝4＝AD 2．所以CD ⊥AC ． ………………………… 4分 又AC ∩P A ＝A ，AC ，P A ⊂平面P AC ，所以CD ⊥平面P AC ．又AE ⊂平面P AC ，所以CD ⊥AE ． ………………………… 6分 （2）解：因为P A ⊥平面ABCD ，BA ⊥AD ，故以{→AB ，→AD ，→AP }为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．因为AB ＝BC ＝P A ＝1，AD ＝2， 所以 A (0，0，0)，P (0，0，1)，C (1，1，0)，D (0，2，0)， 则→CD ＝(－1，1，0)，→AD ＝(0，2，0)．因为点E 在棱PC 上，且CE ＝λCP ， 所以→CE ＝λ→CP ，设E (x ，y ，z )，则(x －1，y －1，z )＝λ(－1，－1，1)，故E (1－λ，1－λ，λ)，所以→AE ＝(1－λ，1－λ，λ)．由（1）知，CD ⊥平面P AC ，所以平面ACE 的一个法向量为n ＝→CD ＝(－1，1，0)． 设平面AED 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·→AE ＝0，m ·→AD ＝0，得⎩⎨⎧(1－λ)x 1＋(1－λ)y 1＋λz 1＝0，y 1＝0，令z 1＝1－λ，所以平面AED 的一个法向量为m ＝(－λ，0，1－λ)．………………………… 9分因此 |cos θ|＝|cos<m ，n >|＝|m ·n|m ||n ||＝|λ2·λ2＋(1－λ)2|＝105，化简得3λ2－8λ＋4＝0，解得λ＝23或2．因为E 在棱PC 上，所以λ∈[0，1]，所以λ＝23．所以当|cos θ|＝105时，实数λ的值为23． ………………………… 12分 21．（本小题满分12分）解：（1）因为椭圆C ：x 24＋y 2＝1，所以F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设T (x 0，y 0)，则 TF 1→·TF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 02＋y 02－3．因为点T (x 0，y 0)在椭圆C 上，即x 024＋y 02＝1，所以TF 1→·TF 2→＝34x 02－2，且x 02∈[0，4]，所以TF 1→·TF 2→的取值范围是[－2，1]． ………………………… 4分 （2）因为直线l 与坐标轴不垂直，故设直线l 方程y ＝kx ＋m (m ≠－1，k ≠0)．设B (x 1，y 1)，Ｄ(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1．得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1) 1＋4k 2． ………………………… 6分因为△ABD 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，所以AB ⊥AD ，即 AB →·AD →＝0， 因此 (y 1＋1)( y 2＋1)＋x 1x 2＝0，即(kx 1＋m ＋1)( kx 2＋m ＋1)＋x 1x 2＝0， 从而 (1＋k 2) x 1x 2＋k (m ＋1)( x 1＋x 2)＋(m ＋1)2＝0， 即(1＋k 2)×4(m 2－1)1＋4k 2－k (m ＋1)×8km1＋4k2＋(m ＋1)2＝0， 也即 4(1＋k 2)( m －1)－8k 2m ＋(1＋4k 2) (m ＋1)＝0，解得m ＝35． ………………………… 9分又线段BD 的中点M (－4km 1＋4k 2，m1＋4k 2)，且AM ⊥BD ，所以m1＋4k 2＋1－4km 1＋4k 2＝－1k ，即3m ＝1＋4k 2，解得k ＝± 5 5．又当k ＝±5 5，m ＝35时，△＝64k 2m 2－4(1＋4k 2)( 4m 2－4)＝57625＞0， 所以满足条件的直线l 的方程为y ＝± 5 5x ＋35. ……………………… 12分 22．（本小题满分12分）解：（1）当k ＝2时，f (x )＝2x －x ln x ，f ′(x )＝1－ln x ， 由f ′(x )＞0，解得0＜x ＜e ；由f ′(x )＜0，解得x ＞e ，因此函数f (x )单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)．……… 2分 （2）f (x )＝kx －x ln x ，故f ′(x )＝k －1－ln x ．当k ≥1时，因为0＜x ≤1，所以k －1≥0≥ln x ， 因此f ′(x )≥0恒成立，即f (x )在(0，1]上单调递增，所以f (x )≤f (1)＝k 恒成立． …………………………… 4分 当k ＜1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝e k －1∈(0，1)．当x ∈(0，e k －1)，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(e k －1，1)，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 于是f (e k －1)＞f (1)＝k ，与f (x )≤k 恒成立相矛盾．综上，k 的取值范围为[1，＋∞)． …………………………… 7分 （3）由（2）知，当0＜x ≤1时，x －x ln x ≤1．令x ＝1n 2(n ∈N *)，则 1n 2＋2n 2ln n ≤1，即2ln n ≤n 2－1，因此ln n n ＋1≤n －12． ……………………………………10分所以ln12＋ln23＋…＋ln n n ＋1≤02＋12＋…＋n －12＝n (n －1)4． …………………12分。

2021-2022学年江苏省南京市鼓楼区金陵中学高三(上)期初调研数学试卷(附答案详解)

2021-2022学年江苏省南京市鼓楼区金陵中学高三(上)期初调研数学试卷(附答案详解)

2021-2022学年江苏省南京市鼓楼区金陵中学高三（上）期初调研数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|x 2−x −2≤0}，B ={x|2−x >0}，则A ∩B =( )A. [−1,2)B. (−1,2)C. (−1,2]D. (−∞,−1)2. 已知z =2+i ，则z(z −−i)=( )A. 6+2iB. 4−2iC. 6−2iD. 4+2i3. 已知某圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则它的体积为( )A. 2√33π B. 4√33π C. 8√33π D. 2√3π4. 已知α∈(−π2,π2)，且3cos2α−8sinα=5，则cosα=( )A. 13B. 2√23C. 23D. 2√295. 2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》(简称“强基计划”)，明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为45，34，34，那么三人中恰有两人通过的概率为( )A. 2180B. 2780C. 3380D. 27406. 已知O 为椭圆C 的中心，F 为C 的一个焦点，点M 在C 外，MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，经过M 的直线l 与C 的一个交点为N ，△MNF 是有一个内角为120°的等腰三角形，则C 的离心率为( )A. √34B. √33C. √3−1D. √3+147. 设函数f(x)的定义域为R ，f(x)为奇函数，f(x +1)为偶函数，当x ∈[1,2]时，f(x)=ax 2+b.若f(3)=3，则f(172)=( )A. 94B. −74C. 32D. −1548. 若函数f(x)=1−ax 2(a >0)与g(x)=1−lnx 的图象存在公切线，则实数a 的最小值为( )A. 12eB. 1e 2C. 2eD. 1二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 为了解目前全市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩X ～N(70,100)，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀，则下列说法正确的是( )附：若X ～N(μ,σ2)，则P(μ−σ≤X <μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ≤X <μ+2σ)=0.9544．A. 该校学生体育成绩的方差为10B. 该校学生体育成绩的期望为70C. 该校学生体育成绩的及格率不到85%D. 该校学生体育成绩的优秀率超过4%10. 已知向量a ⃗ =(1,3),b ⃗ =(2,−4)，则下列结论正确的是( )A. (a ⃗ +b ⃗ )⊥a ⃗B. |2a ⃗ +b ⃗ |=√10C. 向量a ⃗ ,b ⃗ 的夹角为3π4D. b ⃗ 在a⃗ 方向上的投影是√10 11. 已知点P(2,4)，若过点Q(4,0)的直线l 交圆C ：(x −6)2+y 2=9于A ，B 两点，R 是圆C 上动点，则( )A. |AB|的最小值为2√5B. P 到l 的距离的最大值为2√5C. PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PR⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为12−2√5 D. |PR|的最大值为4√2+312. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AA 1=3，点M ，N 分别在棱AB 和BB 1上运动(不含顶点)，若D 1M ⊥MN ，下列命题正确的是( )A. MN ⊥A 1MB. MN ⊥平面D 1MCC. 线段BN 长度的最大值为34D. 三棱锥C 1−A 1D 1M 体积不变三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)=log 2(x +1)，若f(m 2+2)<f(3m)，则实数m 的取值范围是______． 14. 在平面直角坐标系xOy 中，若圆(x −2)2+(y −2)2=1上存在点M ，使得点M 关于x 轴的对称点N 在直线kx +y +3=0上，则实数k 的最大值为______． 15. 在△ABC 中，B =60°，AB =1，M 是BC 的中点，AM =√3，则AC =______，cos∠MAC =______．16.已知函数f(x)={3x 2,x≤0−4|x−1|+4,x>0.若存在唯一的整数x，使得x(f(x)−a)>0成立，则实数a的取值范围为______．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.设函数f(x)=sinx+cosx(x∈R)．(1)求函数y=[f(x+π4)]2的最小正周期；(2)求函数y=f(x)f(x−π4)在区间[0,π4]上的最大值．18.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2，且S n=a n+1−2．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{(2n+1)⋅a n}的前n项和T n．19.2021年2月1日教育部办公厅《关于加强中小学生手机管理工作的通知》中明确“中小学生原则上不得将个人手机带入校园”，为此某学校开展了一项“你能否有效管控手机”调查，并从调查表中随机抽取200名学生(其中男、女生各占一半)的样本数据，其2×2列联表如下：性别能管控不能管控总计男30女总计90200(1)完成上述2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为能否管控手机与性别有关？(2)若学生确因需要带手机进入校园需向学校有关部门报告，该校为做好这部分学生的手机管理工作，学校团委从能管控的学生中按样本中的比例抽取了6名学生组成一个团队．(ⅰ)从该团队中选取2名同学作个人经验介绍，求选取的2人中恰有一名女生的概率．(ⅱ)从这6人中随机抽取4人，设抽到的女生的人数为X，求X的分布列与数学期望．，其中n=a+b+c+d．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.0500.0100.001k0 3.841 6.63510.82820.如图，在四棱锥A−BCDE中，△BCE为等边三角形，平面ACD⊥平面CDE，AC⊥CD，二面角D−AC−E的大小为60°．(1)求证：CD//平面ABE；(2)若AC=BC=2，点G为线段AB上的点，若直线CB与平面CEG所成角的正弦值为√21，求线段AG的长度．721.已知F1是椭圆C：x2a2+y23=1(a>√3)的左焦点，经过点P(0,−2)作两条互相垂直的直线l1和l2，直线l1与C交于点A，B.当直线l1经过点F1时，直线l2与C有且只有一个公共点．(1)求C的标准方程；(2)若直线l2与椭圆C有两个公共点，求线段AB的取值范围．22.已知函数f(x)=xe x+12ax2+ax，g(x)=12ax2−alnx(a∈R)．(1)讨论f(x)在区间(0,+∞)上的单调性；(2)若关于x的不等式f(x)>g(x)在区间(0,+∞)上恒成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合A={x|x2−x−2≤0}={x|−1≤x≤2}，B={x|2−x>0}={x|x<2}，∴A∩B={x|−1≤x<2}=[−1,2)．故选：A．求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵z=2+i，∴z(z−−i)=(2+i)(2−2i)=4−4i+2i+2=6−2i，故选：C．直接利用复数代数形式的四则运算即可求解．本题考查复数代数形式的四则运算，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：∵圆锥的轴截面是正三角形ABC，边长等于4，如图：∴圆锥的高AO=√32×4=2√3，圆锥的底面半径r=12×4=2，因此，该圆锥的体积V=13πr2⋅AO=13π×22×2√3=8√3π3．故选：C．根据圆角轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的体积公式，则不难得到本题的答案．本题给出圆锥轴截面的形状，求圆锥的体积，着重考查了等边三角形的性质和圆锥的轴截面等知识，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：α∈(−π2,π2)，且3cos2α−8sinα=5，即3(1−2sin 2α)−8sinα=5，求得sinα=−1(舍去)，或sinα=−13， ∴cosα=√1−sin 2α=2√23， 故选：B ．由题意利用二倍角的余弦公式求得sinα的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得cosα的值．本题主要考查二倍角的余弦公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为45，34，34， 则三人中恰有两人通过的概率为：P =45×34×(1−34)+45×(1−34)×34+(1−45)×34×34=3380． 故选：C ．利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出三人中恰有两人通过的概率．本题考查概率的运算，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．6.【答案】B【解析】解：不妨设F(c,0)，MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则M(−3c,0)， 易知△MNF 中只能∠MNF =120°，△MNF 是有一个内角为120°的等腰三角形，则N(−c,±2√33c)， 将N 代入椭圆方程得到c 2a 2+43c 2b 2=1，即e 2+4e 23(1−e 2)=1，解得e 2=13或e 2=3(舍去)， 故e =√33，故选：B ．不妨设F(c,0)，计算M 的坐标，根据等腰三角形得到N 点坐标，代入椭圆方程化简即可求出离心率．本题主要考查了椭圆的离心率，考查了学生的计算能力和转化能力，是中档题．7.【答案】B【解析】解：因为f(x)为奇函数，所以f(−x)=−f(x)， 因为f(x +1)为偶函数，所以f(−x +1)=f(x +1)，所以f(x +2)=f[(x +1)+1]=f[−(x +1)+1]=f(−x)=−f(x)， 所以f(x +4)=−f(x +2)=f(x)， 所以f(x)是周期为4的周期函数， 因为f(0)=0，所以f(2)=f(0)=0， 所以f(2)=4a +b =0①，又f(3)=f(−1)=−f(1)=−a −b =3②， 所以①②联立可解得a =1，b =−4， 所以当x ∈[1,2]时，f(x)=x 2−4， 所以f(172)=f(12)=f(32)=94−4=−74． 故选：B ．由奇函数与偶函数的定义，求出函数f(x)的周期，由f(2)=f(0)=4a +b =0，f(3)=f(−1)=−f(1)=−a −b =3联立可求得a ，b ，从而可得当x ∈[1,2]时，f(x)的解析式，然后由周期性进行求解即可．本题考查了函数性质的综合应用，主要考查了函数奇偶性与周期性的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．8.【答案】A【解析】解法一、设公切线与f(x)，g(x)图象分别切于点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， f(x)=1−ax 2(a >0)的导数为f′(x)=−2ax ，g(x)=1−lnx 的导数为g′(x)=−1x ，则f(x)图象在A 处的切线方程为：y −(1−ax 12)=−2ax 1(x −x 1)，即y =−2ax 1x +ax 12+1；同理可得g(x)图象在B 处的切线方程为：y −(1−lnx 2)=−1x 2(x −x 2),y =−1x2x +2−lnx 2．由上述两直线重合，可得{2ax 1=1x 2ax 12+1=2−lnx 2，消元x 1可得，14a =x 22(1−lnx 2)， 令ℎ(x)=x 2(1−lnx)(x >0)，则ℎ′(x)=(1−2lnx)， 得ℎ(x)在(0,√e)单调递增，在(√e,+∞)单调递减， 即有14a ≤ℎmax (x)=ℎ(√e)=e2，得a ≥12e ， 即a 的最小值为12e ． 故选A ．解法二、由图象易知：f(x)，g(x)分别为上凸和下凸函数，要使f(x)，g(x)存在公切线，只须f(x)≤g(x)在(0,+∞)上恒成立即可， 即a ≥lnx x 2恒成立，设ℎ(x)=lnx x 2，ℎ′(x)=1−2lnx x 3，当x >√e 时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)递减；当0<x <√e 时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)递增． 所以ℎ(x)的最大值为12e ． 则a ≥(lnxx 2)max =12e ． 即a 的最小值为12e ． 故选：A ．方法一、设出切点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，，求得导数和切线的斜率和方程，由两直线重合的条件，消元x 1可得，14a =x 22(1−lnx 2)，构造函数，求得导数和单调性、最值，可得所求范围；方法二、根据f(x)，g(x)的图象，要使f(x)，g(x)存在公切线，只须f(x)≤g(x)在(0,+∞)上恒成立即可，即a ≥lnx x 2恒成立，运用构造函数，求得导数和单调性、最值，可得所求范围．本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性、最值，考查方程思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．9.【答案】BC【解析】解：由题意知，X ～N(70,100)，所以期望值为μ=70，标准差为σ=10，方差为100，选项A 错误，选项B 正确； 因为P(X >70)=0.5，P(60≤X ≤80)=P(μ−σ<μ+σ)=0.6826， 所以P(60≤X ≤70)=12×0.6826=0.3413，所以P(X ≥60)=P(60≤X ≤70)+P(X >70)=0.3413+0.5=0.8413<85%，选项C 正确；因为优秀的概率为：P(X ≥90)=P(X ≥70)−P(70≤X ≤90)=0.5−12×0.9544=0.0228<0.4，选项D 错误． 故选：BC ．由已知可得即可求出期望与标准差，方差，再根据公式即可求解本题考查了正态分布的性质与应用问题，与考查了分析与判断能力，是基础题．10.【答案】AC【解析】解：∵a ⃗ =(1,3),b ⃗ =(2,−4)，∴a ⃗ +b ⃗ =(3,−1)、2a ⃗ +b ⃗ =(4,2)， ∴(a ⃗ +b ⃗ )⋅a ⃗ =1×3+3×(−1)=0，∴∴(a ⃗ +b ⃗ )⊥a ⃗ ． |2a ⃗ +b⃗ |=√42+22=2√5.∴A 对B 错． 设向量a ⃗ ,b ⃗ 的夹角为θ，则cosθ=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b ⃗ |=√12+32×√22+(−4)2=−√22，∴θ=3π4，∴C 对；b ⃗ 在a ⃗ 方向上的投影为a ⃗ ⋅b ⃗|a ⃗ |=√12+32=−√10.∴D 错． 故选：AC ．由a ⃗ =(1,3),b ⃗ =(2,−4)，得a ⃗ +b ⃗ 、2a ⃗ +b ⃗ 坐标可判断AB ； 根据cosθ=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b⃗ |可判断C ；根据投影公式计算可判断D ． 本题考查平面向量数量积性质及运算、投影求法、垂直判定，考查数学运算能力，属于中档题．11.【答案】ABD【解析】解：如图，当直线l 与x 轴垂直时，|AB|有最小值，且最小值为2√5，故A 正确； 当直线l 与PQ 垂直时，P 到l 的距离有最大值，且最大值为|PQ|=2√5，故B 正确；设R(6+3cosθ,3sinθ)，则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PR ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−4)⋅(4+3cosθ,3sinθ−4)=6cosθ−12sinθ+24，∴PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PR ⃗⃗⃗⃗⃗ =6√5cos(θ+φ)+24，则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PR ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为24−6√5，故C 错误； 当P ，C ，R 三点共线时，|PR|最大，且最大值为|PC|+r =4√2+3，所以D 正确． 故选：ABD ．由题意画出图形，分别求出|AB|的最小值及P 到l 的距离的最大值判断A 与B ；设R(6+3cosθ,3sinθ)，写出数量积，利用三角函数求最值判断C ；求出P 到圆心的距离，加上半径判断D ．本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查数形结合思想及运算求解能力，是中档题．12.【答案】ACD【解析】解：对于A ，∵A 1D 1⊥平面ABCD ，∴A 1D 1⊥MN ，又MN ⊥D 1M ，D 1M ∩A 1D 1=D 1，∴MN ⊥平面A 1D 1M ，∴MN ⊥A 1M ，所以A 正确；对于B ，∵MN ⊥A 1M ，∴MN 不与A 1B 垂直，∴MN 不与D 1C 垂直，∴MN ⊥平面D 1MC 不成立，所以B 错误；对于C ，∵MN ⊥A 1M ，∴△A 1AM∽△MBN ，∴A 1A ⋅BN =AM ⋅MB ≤(AM+MB 2)2=94，∴BN ≤34，所以C 正确；对于D ，显然M 到平面A 1C 1D 1的距离为3，∵V C 1−A 1D 1M =V M−A 1C 1D 1=13⋅S △A 1C 1D 1⋅3=92，所以D 正确． 故选：ACD ．对于A ，证明MN ⊥平面A 1D 1M 即可；对于B ，证明MN 不与D 1C 垂直；对于C ，利用△A 1AM∽△MBN 得到A 1A ⋅BN =AM ⋅MB 即可判断；对于D ，利用V C 1−A 1D 1M =V M−A 1C 1D 1即可判断．本题考查了空间中的垂直位置关系的判断和空间长度的最值问题，其中结合了等体积法进行考查，属于中档题．13.【答案】(1,2)【解析】解：由题意可得函数的定义域为(−1,+∞)， 又因为函数f(x)=log 2(x +1)在(−1,+∞)单调递增， ∴有{m 2+2>−13m >−1m 2+2<3m ，解得，1<m <2，所以实数m 的取值范围为(1,2)． 故答案为：(1,2)．根据对数函数的定义域和单调性列出不等式组{m 2+2>−13m >−1m 2+2<3m ，解出不等式即可．本题主要考查了对数函数的图象和性质，涉及函数的单调性和一元二次不等式的解法，属于基础题．14.【答案】0【解析】解：M 在圆上，故设M(2+cosθ,2+sinθ)， 可得N(2+cosθ,−2−sinθ)，将N 的坐标代入kx +y +3=0，可得sinθ−kcosθ=2k +1，|2k +1|≤√k 2+1，化为得3k 2+4k ≤0,−43≤k ≤0， k 的最大值为0． 故答案为：0．首先设出点M 的坐标，然后结合题意得到关于k 的不等式，求解不等式即可确定k 的最大值．本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的方程中的参数问题等知识，属于基础题．15.【答案】√13 2√3913【解析】解：在△ABM 中，由余弦定理得AM 2=AB 2+BM 2−2BM ⋅BA ⋅cosB ， 所以3=1+BM 2−2BM ⋅cos60°，即BM 2−BM −2=0， 解得BM =2或−1(舍负)， 所以BC =2BM =2CM =4，在△ABC 中，由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cosB =1+16−2×1×4×12=13，所以AC=√13，在△AMC中，由余弦定理得cos∠MAC=AC2+AM2−MC22AM⋅AC =2√3913．故答案为：√13；2√3913．先在△ABM中，利用余弦定理求出BM的长，再△ABC中，由余弦定理求得AC的长，最后在△AMC中，由余弦定理，得解．本题考查解三角形，熟练掌握余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．16.【答案】[0,3]∪[4,12]【解析】解：作出f(x)的函数图象如图所示：①当x>0时，f(x)≤f(1)=4，存在唯一的整数x，使得x[f(x)−a]>0成立，则a<f(x)只有1个整数解，又f(2)=0，故0≤a<4；②当x<0时，则f(x)≥f(0)=0，存在唯一的整数x，使得x[f(x)−a]>0成立，则a>f(x)只有1个整数解，又f(−1)=3，f(−2)=12，∴3<a≤12，当0≤a≤3或4≤a≤12时，x[f(x)−a]>0只有1个整数解．故答案为：[0,3]∪[4,12]．作出f(x)的函数图象，对x的符号进行讨论，根据不等式只有唯一整数解得出a的范围．本题主要考查分段函数及其应用，由不等式求解参数取值范围的方法等知识，属于中等题．17.【答案】解：(1)由辅助角公式得f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π4)，则y=[f(x+π4)]2=[√2sin(x+π2)]2=2cos2x−1+1=cos2x+1，所以该函数的最小正周期T=2π2=π；(2)由题意，y=f(x)f(x−π4)=√2sin(x+π4)⋅√2sinx=2sin(x+π4)sinx=2sinx⋅(√2 2sinx+√22cosx)=√2sin2x+√2sinxcosx，=√2⋅1−cos2x2+√22sin2x=√22sin2x−√22cos2x+√22=sin(2x−π4)+√22，由x∈[0,π4]可得2x−π4∈[−π4,π4]，所以当2x−π4=π4即x=π4时，函数取最大值√2．【解析】(1)由辅助角公式可得f(x)的解析式，进而求出函数y的解析式，可得函数的周期；(2)求出函数y的解析式，由函数的单调性求出函数的最大值．本题考查函数的辅助角公式的应用及函数的单调性求最值，属于中档题．18.【答案】解：(1)依题意，当n≥2时，由S n=a n+1−2，可得S n+1=a n+2−2，两式相减，得a n+1=2a n(n≥2)，又∵a2=a1+2=4=2a1≠0，∴a n+1a n=2，∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n=2⋅2n−1=2n，n∈N∗．(2)由(1)，可得(2n+1)⋅a n=(2n+1)⋅2n，则T n=3×21+5×22+7×23+⋯+(2n+1)⋅2n，2T n=3×22+5×23+⋯+(2n−1)⋅2n+(2n+1)⋅2n+1，两式相减，得−T n=6+2×(22+23+⋯+2n)−(2n+1)⋅2n+1=6+2×22×(1−2n−1)1−2−(2n+1)⋅2n+1，∴T n=2+(2n−1)⋅2n+1．【解析】(1)根据题干并结合公式a n=S n−S n−1(n≥2)进行推导即可发现数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，从而可计算出数列{a n}的通项公式；(2)先根据第(1)题的结果计算出数列{(2n+1)⋅a n}的通项公式，然后运用错位相减法即可计算出前n项和T n．本题主要考查数列求通项公式，以及运用错位相减法求前n项和．考查了转化与化归思想，整体思想，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．19.【答案】解：(1)完成2×2列联表如下：∴K2的观测值k=200(30×40−70×60)2100×100×90×110=20011≈18.18>10.828，∴有99.9%的把握认为能否管控手机与性别有关．(2)(i)从样本中的数据可知能管控手机的男、女生的比例为1：2，∴6人中有2名男生，4名女生，从这6人中选2人的所有情况为C62=15，恰有1名女生的情况为C21C41=8种，∴恰有一名女生的概率P=815．(ii)由题可知X的所有可能取值为2，3，4，P(X=2)=C22C42C64=615，P(X=3)=C21C43C64=815，P(X =4)=C 44C 64=115，∴X 的分布列为： X 2 3 4 P 615815115∴E(X)=2×615+3×815+4×115=83．【解析】(1)完成2×2列联表，求出K 2的观测值k =20011≈18.18>10.828，从而有99.9%的把握认为能否管控手机与性别有关．(2)(i)从样本中的数据可知能管控手机的男、女生的比例为1：2，从而6人中有2名男生，4名女生，从这6人中选2人，由古典概型、排列组合能求出恰有一名女生的概率． (ii)由题可知X 的所有可能取值为2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和E(X)．本题考查独立检验的应用，考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查统计与概率思想，导向对发展逻辑推理、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养的关注，是中档题．20.【答案】(1)证明：在四棱锥A −BCDE 中，因为平面ACD ⊥平面CDE ，平面ACD ∩平面CDE =CD ，AC ⊥CD ，AC ⊂平面ACD ， 所以AC ⊥平面CDE ．又CE ，CD ⊂平面CDE ，所以AC ⊥CE ，AC ⊥CD ．所以∠ECD 为二面角D −AC −E 的平面角，所以∠ECD =60°， 又∠BEC =60°，所以CD//BE ． 又BE ⊂平面ABE ，CD ⊄平面ABE ， 所以CD//平面ABE ．(2)解：取BE 的中点F ，连结CF.则CF ⊥BE ，又BE//CD ，所以CF ⊥CD ． 又AC ⊥平面CDE ，CF ⊂平面CDE ，所以AC ⊥CF ，所以AC ，CF ，CD 两两垂直． 以C 为坐标原点，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系C −xyz ，则A(0,0,2)，B(√3,−1,0)，C(0,0,0)，E(√3,1,0)， 则CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,−1,−2)，CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,−1,0)，设AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得G(√3λ,−λ,2−2λ)，所以CG⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3λ,−λ,2−2λ)， 设平面CEG 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则{CG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，即{√3λx −λy +(2−2λ)z =0√3x +y =0，不妨令x =√3，可得n ⃗ =(√3,−3,3λλ−1)为平面CEG 的一个法向量， 设直线CB 与平面CEG 所成的角为α，则sinα=|cos〈n ⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|=|n ⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |⋅|CB⃗⃗⃗⃗⃗ ||=2√3+9+(3λλ−1)2=√217，解得λ=12， 所以AG 的长为√2．【解析】(1)证明AC ⊥CD ，推出AC ⊥平面CDE.说明∠ECD 为二面角D −AC −E 的平面角，推出CD//BE.然后证明CD//平面ABE ．(2)取BE 的中点F ，连结CF.说明AC ，CF ，CD 两两垂直．以C 为坐标原点，CF⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系C −xyz ，求出平面CEG 的法向量，利用空间向量的数量积求解直线CB 与平面CEG 所成的角为，解得λ=12，然后求解AG 的长． 本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】解：(1)设F 1(−c,0)，其中c =√a 2−3①当直线l 1经过点F 1时，直线l 1的斜率k PF 1=−2c，所以直线l 2的斜率为c2，方程为y =c2x −2，与椭圆C 的方程联立，消去y 得：3x 2+a 2(c2x −2)2=3a 2， 整理得：(a 2c 2+12)x 2−8a 2cx +4a 2=0．因为直线l 2与椭圆C 有且只有一个公共点，所以Δ=64a 4c 2−16a 2(a 2c 2+12)=0， 即ac =2，②由①②得：a 2=4，解得：a =2，c =1，所以b =√a 2−c 2=√3， 所以C 的标准方程为x 24+y 23=1．(2)由题意知：直线l 1的斜率存在且不为零，设其方程为y =kx −2(k ≠0)， 与椭圆C 的方程联立，消去y 得：(3+4k 2)x 2−16kx +4=0， 则Δ=256k 2−16(3+4k 2)>0，解得：k 2>14．同理：当直线l 2与椭圆C 有两个交点时，k 2<4，所以14<k 2<4．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=16k3+4k2，x1x2=43+4k2，所以|AB|=√1+k2⋅|x1−x2|=√1+k2⋅4√3(4k2−1)3+4k2=2√3⋅√(4k2+4)(4k2−1)(3+4k2)2．设t=3+4k2，则t∈(4,19)，所以(4k 2+4)(4k2−1)(3+4k2)2=(t+1)(t−4)t2=t2−3t−4t2=−4(1t+38)2+2516，因为f(t)=−4(1t +38)2+2516在(4,19)上单调递增，所以f(t)∈(0,300192)，所以AB的取值范围是(0,6019)．【解析】(1)设F1(−c,0)，其中c=√a2−3①求解直线的斜率，结合椭圆方程，转化求解a，c，得到椭圆方程．(2)由题意知：直线l1的斜率存在且不为零，设其方程为y=kx−2(k≠0)，与椭圆C的方程联立，消去y得：(3+4k2)x2−16kx+4=0，推出k的范围，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，利用韦达定理弦长公式，转化求解即可．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．22.【答案】解：(1)由f(x)=xe x+12ax2+ax，得f′(x)=(x+1)e x+a(x+1)=(x+1)(e x+a)，因为x∈(0,+∞)，所以当a≥−1时，e x+a≥e x−1>0，所以f′(x)>0，f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，当a<−1时，x=ln(−a)>0，所以在(0,ln(−a))上，f′(x)<0，f(x)单调递减，在(ln(−a),+∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增．综上所述，a≥−1时，f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，当a<−1时，f(x)在(0,ln(−a))上单调递减，f(x)在(ln(−a),+∞)上，f(x)单调递增．(2)由题意知f(x)>g(x)等价于xe x+alnx+ax>0，记ℎ(x)=xe x+alnx+ax，所以函数ℎ(x)的定义域为(0,+∞)，且ℎ′(x)=(x+1)e x+ax +a=(x+1)(xe x+a)x，当a>0时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，且当x趋近于0时，存在x1，使得ℎ(x1)<0，所以不满足题意，当a=0时，ℎ(x)=xe x>0恒成立，当a<0时，令φ(x)=xe x+a，则φ′(x)=(x+1)e x>0在区间(0,+∞)上恒成立，所以φ(x)单调递增，又φ(0)=a<0，当x趋近于+∞时，φ(x)趋近于+∞，所以关于x的方程xe x+a=0有唯一的根，该根记为x0，即由x0e x0+a=0，所以当x∈(0,x0)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，当x∈(x0,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，从而ℎ(x)的最小值为ℎ(x0)，所以ℎ(x0)=x0e x0+alnx0+ax0=x0e x0+aln(x0e x0)=−a+aln(−a)=−a[1−ln(−a)]，要使得ℎ(x)≥0恒成立，只需1−ln(−a)>0恒成立，即a>−e，综上所述，a的取值范围为(−e,0]．【解析】(1)求导得f′(x)=(x+1)(e x+a)，分两种情况：当a≥−1时，当a<−1时，f′(x)的正负，f(x)的单调区间．(2)由题意知f(x)>g(x)等价于xe x+alnx+ax>0，记ℎ(x)=xe x+alnx+ax，只需ℎ(x)min>0，进而可得a的取值范围．本题考查导数的综合应用，解题中需要注意分类讨论，转化思想的应用，属于中档题．。

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-
y2 b2
=
1
的的离心率
e
等于
A．
1 3
B．
5 3
C． 35
D． 313
4．马林 · 梅森 (Marin Mersenne，1588 — 1648) 是 17 世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科
学界一位独特的中心人物．梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对 2P - 1 作了大量的计算、验证
(1) 求数列 an (2) 若数列 bn
的通项公式；
满足 bn = ( -1)nan + (2 )1 + an，求数列 bn
的前 2n 项的和 T2n．
19． ( 本小题满分 12 分 )
如图，四棱锥 S — ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 2 倍，P 为侧棱 SD 上
的点． (1) 求证：AC ⊥ SD； (2) 若 SD ⊥ 平面 PAC，求二面角 P — AC — S 的大小．
A．8
B．16
C．32
D．64
8．已知点 P 为函数 f(x) = 21 x2 + 2ax 与 g(x) = 3a2lnx + b(a > 0) 的图象的公共点，若以点 P 为切
点可作直线与两个函数的图象都相切，则实数 b 的最大值为
A． 23 e23
B． 23 e23
C． 23 e23
D． 23 e23
A． {1，2}
B． {0，1，2}
C． {0，1，2，3} D． x0 ≤ x ≤ 3
2．已知复数 z 满足 (2 - i)z = 1 + 2i(i 为虚数单位 )，那么 z 的虚部为
A．1
B．-1
C．0
D． i
3．若两个正数
a ，b
的等差中项为
25 ，等比中项为
6 ，且
a
>
b ，则双曲线
x2 a2
江苏省金陵中学 2021 届高三年级学情调研测试
数学试题
2020．10
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合
题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上)
1．若集合 A = {0，1，2}，B = xx2 - 3x ≤ 0 ，则 A ∩ B =
二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是
符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上)
9．已知圆 C：x2 + y2 - 2x = 0，点 A 是直线 y = kx - 3 上任意一点，若以点 A 为圆心，半径为 1 的圆 A 与
圆 C 没有公共点，则整数 k 的值可能为
③ M = (x,y)y = log2x ；④ M = (x,y)y = ex - 2 ．
其中是“完美对点集”的序号为
A．①
B．②
C．③
D．④
12．如图，已知在棱长为 1 的正方体 ABCD — A1B1C1D1 中，点 E，F，H 分别是 AB，DD1，BC1 的中点，下
列结论中正确的是
A． C1D1 ∥ 平面 CHD
11．已知集合 M = (x,y)y = f(x) ，若对于任意 (x1，y1) ∈ M，存在 (x2，y2) ∈ M，使得 x1x2 + y1y2 =
0 成立，则称集合 M 是 “ 完美对点集 ”．给出下列四个集合：
① M = (x,y)y = x1 ；② M = (x,y)y = sinx + 1 ；
f(a)
=
f(b)
=
f(c)，则
a+b+c
的取
值范围是
．
四、解答题(本大题共 6 小题，共计 70 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过
程或演算步骤)
17．(本小题满分 10 分)
在 △ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且满足 (b - a) (sinB + sinA) = c(3 sinB -
．
14．已知二项式
(x2
+
xa )6
的展开式中含
x3
项的系数是
160，则实数
a
的值是
．
15．已知正三棱锥 S — ABC 的侧棱长为 4 3 ，底面边长为 6，则该正三棱锥外接球的表面积是
．
16．已知函数 f(x) =
lnx , 2 - lnx,
0 x
< >
x e
≤
e
，若
a，b，c 互不相等，且
sinC)．
(1) 求 A 的大小；
(2) 再在① a = 2，② B = π4 ，③ c = 3 b，这三个条件中，选出两个使 △ABC 唯一确定的条件补充在
下面的问题中，并解答问题．若
，
，求 △ABC 的面积．
·2·
18． ( 本小题满分 12 分 )
设 n ∈ N∗，数列 an 的前 n 项和为 Sn，已知 Sn + 1 = Sn + an + 2，a1，a2，a5 成等比数列．
A． -π6
B． π6
C． -π3
D． π3
6．已知 △ABC 的面积为 S，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2S = (a + b)2 - c2，则 tanC 的值是
A． 43
B． -43
C． 43
D． -43
7．若过抛物线 y2 = 4x 的焦点作两条互相垂直的弦 AB，CD，则四边形 ACBD 的面积的最小值为
B． AC1 ⊥ 平面 BDA 1
C．三棱锥 D — BA1C1 的体积为 65
D．直线 EF 与 BC1 所成的角为 30°
第 12 题
三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．请把答案填写在答题卡相应位置上)
13．若等比数列 an 的前 n 项的和为 Sn，且满足 S2 = 3，S3 - S1 = 6，则 a6 =
工作，人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如 2P - 1( 其中 p 是素数 ) 的素数，称为梅森素数．
在不超过 40 的素数中，随机选取两个不同的数，至少有一个为梅森素数的概率是
A．
5 11
B．
1 6
C．若函数 f(x) = sin(21 x + θ) - 3 cos(21 x + θ) (θ < π2 )的图像关于原点对称，则 θ 的值为
A． -2
B． -1
C．0
D．1
·1·
10．下列说法正确的是
A．若 x，y > 0，x + y = 2，则 2x + 2y 的最大值为 4 B．若 x < 21 ，则函数 y = 2x + 2x1-1 的最大值为 -1
C．若 x，y > 0，x + y + xy = 3，则 xy 的最小值为 1
D．函数 y = sin12x + co4s2x 的最小值为 9
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