2018北京市海淀区高二(上)期末数学(理)

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【精品高二数学期末】2018-2019海淀区高二年级第一学期期末数学练习+答案(理)

海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科） 2019.1学校班级姓名成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线210x y +-=在y 轴上的截距为（）A. 2-B. 1-C. 12- D. 12. 在空间直角坐标系中，已知点(1,0,1)A ，(3,2,1)B ，则线段AB 的中点的坐标是（）A. (1,1,1)B. (2,1,1)C. (1,1,2)D. (1,2,3)3. 已知圆22310x y x m +-++=经过原点，则实数m 等于（）A. 32-B. 1-C. 1D. 324. 鲁班锁是曾广泛流传于民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构, 不用钉子和绳子，完全靠自身结构的连接支撑. 它看似简单，却凝结着不平凡的智慧. 下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为（）A. 32B. 34C. 36D. 405. 已知平面,αβ, 直线,m n , 下列命题中假命题是（）A. 若m α⊥, m β⊥, 则αβPB. 若m n P , m α⊥, 则n α⊥C. 若m α⊥, m β⊂, 则αβ⊥D. 若m αP , αβP ，n β⊂, 则m P n6. 椭圆22:11612x y C +=的焦点为1F ，2F ，若点M 在C 上且满足122MF MF -=，则12F MF ∆中最1244俯视图大角为（）A. 90︒B. 105︒C. 120︒D. 150︒ 7. “0m <”是“方程22x my m +=表示双曲线”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 平面α ,β ,γ两两互相垂直, 在平面α内有一点A 到平面β , 平面γ的距离都等于1 . 则在平面α内与点A , 平面β, 平面γ距离都相等的点的个数为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二. 填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9. 直线:10l x y +-=的倾斜角为____, 经过点(1,1)且与直线l 平行的直线方程为_______. 10.10y +-=被圆221x y +=所截得的弦长为_______.11. 请从正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是_________. (只需写出一组)12. 在空间直角坐标系中，已知点(1,2,0)A ，(,3,1)B x -，(4,,2)C y ，若,,A B C 三点共线，则x y +=______.13. 已知椭圆1C 和双曲线2C 的中心均为原点，且焦点均在x 轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于右表中, 则双曲线的离心率为_______.14. 曲线W 的方程为22322()8x y x y +=.(i) 请写出曲线W 的两条对称轴方程______________； (ii) 请写出曲线W 上的两个点的坐标______________； (iii) 曲线W 上的点到原点的距离的取值范围是____________.三. 解答题：本大题共4小题，共44分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的半径为1，其圆心在射线(0)y x x ≥上，且OC （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 过点(1,0)P 且与圆C 相切，求直线l 的方程.16. （本小题满分10分）如图，在三棱锥P ABC -中，PB PC =，AB AC =，且点D ，E 分别是BC ，PB 的中点．（Ⅰ）求证：DE P 平面PAC ；（Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面PAD ．EDCBAP17. （本小题满分12分）如图，平面ABCF ⊥平面FCDE ，四边形ABCF 和FCDE 是全等的等腰梯形，其中AB FC ED P P ，且122AB BC FC ===，点O 为FC 的中点，点G 是AB 的中点.（Ⅰ）请在图中所给的点中找出两个点，使得这两点所在直线与平面EGO 垂直，并给出证明．．；（Ⅱ）求二面角O EG F --的余弦值；（Ⅲ）在线段CD 上是否存在点H ，使得BH P 平面EGO ？如果存在，求出DH 的长度，如果不存在，请说明理由.C18.（本小题满分12分）已知抛物线2:4W y x =，直线4x =与抛物线W 交于,A B 两点. 点00(,)P x y 00(4,0)x y <≥为抛物线上一动点，直线,PA PB 分别与x 轴交于, M N . （Ⅰ）若PAB ∆的面积为4，求点P 的坐标；（Ⅱ）当直线PA PB ⊥时，求线段PA 的长；（Ⅲ）若PMN ∆与PAB ∆面积相等，求PMN ∆的面积.海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）参考答案及评分标准2019.1一. 选择题:本大题共8小题, 每小题4分,共32分.二.填空题：本大题共6小题, 每小题4分, 共24分.9.3π4，20x y +-= 10. 11. 1,,,A A B C （此答案不唯一）12. 12- 13.14. ① 0,0x y ==，,y x y x ==-中的任意两条都对② (0,0),(1,1)此答案不唯一 ③ 说明：9题每空2分，14题中 ① ②空各给1分，③给2分三. 解答题:本大题共4小题,共44分. 15.（本小题满分10分）解: （I ）设圆心(,)C a a ，则 OC = …………………1分解得2a =，2a =-（舍掉） …………………2分所以圆 22:(2)(2)1C x y -+-= …………………4分（Ⅱ）① 若直线l 的斜率不存在，直线l ：1x =，符合题意 …………………5分 ② 若直线l 的斜率存在，设直线l 为(1)y k x =-，即 0kx y k --= …………………6分由题意,圆心到直线的距离 1d == …………………8分解得34k =…………………9分所以直线l 的方程为3430x y --= ………………10分综上所述，所求直线l 的方程为1x =或3430x y --=.16．（本小题满分10分）解: （Ⅰ）证明：在PBC ∆中，因为D ，E 分别是BC ，PB 的中点 ,所以 //DE PC …………………1分因为 DE ⊄平面PAC ，PC ⊂平面PAC …………………3分说明：上面两个必须有，少一个扣1分.所以 //DE 平面PAC ． …………………4分（Ⅱ）证明：因为 PB PC =，AB AC =，D 是BC 的中点,所以 PD BC ⊥，AD BC ⊥ …………………6分因为 PD AD D =I ，,PD AD ⊂平面PAD …………………8分所以 BC ⊥平面PAD …………………9分因为 BC ⊂平面ABC所以平面ABC ⊥平面PAD …………………10分17.（本小题满分12分）解：法一：向量法（Ⅰ）,F D 点为所求的点.证明如下：因为四边形ABCF 是等腰梯形，点O 为FC 的中点，点G 是AB 的中点, 所以OG FC ⊥. 又平面ABCF ⊥平面FCDE ，平面ABCF I 平面FCDE FC =,所以OG ⊥平面FCDE …………………1分同理取DE 的中点H ，则OH ⊥平面ABCF .分别以边,,OG OC OH 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由2AB =,得G，D，(0,E -，(0,2,0)F -，则FD =u u u r，OG =u u u r，(0,OE =-u u u r.所以0 , 0FD OG FD OE ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r…………………3分又EO OG O =I ，所以FD ⊥平面EGO …………………4分（II ）由（Ⅰ）知平面EGO的一个法向量为FD =u u u r. 设平面EFG 的法向量为(,,)m x y z =u r，则0,0,m FE m FG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u ru r u u u r即0,20y y ⎧+=⎪+= …………………5分令y =1z =-，2x =-.所以(1)m =--u r…………………6分所以cos ,FD m <>==u u u r u r …………………7分由题知所求二面角为锐角所以二面角O EG F --的余弦值为…………………8分（Ⅲ）假设存在点H ，使得BH P 平面EOG .设DH DC λ=u u u u r u u u r…………………9分所以BH BD DH BD DC λ=+=+u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ，所以0FD BH ⋅=u u u r u u u r…………………10分而计算可得 3FD BH ⋅=u u u r u u u r…………………11分这与0FD BH ⋅=u u u r u u u r矛盾所以在线段CD 上不存在点H ，使得BH P 平面EOG …………………12分法二：（Ⅰ）证明如下：因为四边形ABCF 是等腰梯形，点O 为FC 的中点，点G 是AB 的中点, 所以OG FC ⊥ …………………1分又平面ABCF ⊥平面FCDE ，平面ABCF I 平面FCDE FC =,所以OG ⊥平面FCDE …………………2分因为FD ⊂平面FCDE ,所以OG ⊥FD . 又ED FO P ，且EF ED =，所以EFOD 为菱形，所以FD EO ⊥ …………………3分因为EO OG O =I ，所以FD ⊥平面EGO . …………………4分（Ⅲ）假设存在点H ，使得BH P 平面EOG …………………9分由ED OC P ，所以EOCD 为平行四边形，所以EO DC P …………………10分因为EO ⊂平面EOG所以 DC P 平面EOG …………………11分又BH DC H =I ，所以平面EOG P 平面BCD , 所以BC P 平面EOG ，所以BC P OG ，所以GBCO 为平行四边形，所以 GB CO = ，矛盾所以不存在点H ，使得BH P 平面EOG …………………12分18．（本小题满分12分）解: （I ）把4x =代入抛物线方程，得到4y =± …………………1分所以不妨设(4,4),(4,4)A B -,所以||8AB =. 因为11||8422PAB S AB d d ∆=⋅=⋅⋅=, 所以点P 到直线 AB 的距离1d = …………………2分所以点P 的横坐标03x = …………………3分代入抛物线方程得P …………………4分（II ）因为PA PB ⊥ ，所以0AP BP ⋅=u u u r u u u r…………………5分所以0000(4)(4)(4)(4)0x x y y --+-+=, 所以22000816160x x y -++-=,把2004y x =代入得到20040x x -= …………………6分所以00x =，04x =（舍） …………………7分所以00y =，||PA =…………………8分（Ⅲ）直线PA 的方程为000444(4)(4)44y y x x x y --=-=--+, 点M 横坐标0004(4)44M x x y y --=+=-- …………………9分同理PB 的方程为 000444(4)(4)44y y x x x y ++=-=---，点N 横坐标0004(4)44N x x y y -=+=+ …………………10分因为 PMN PAB S S ∆∆=，所以0011|||||||4|22MN y AB x ⋅=⋅-所以200=4(4)y x -，解得02x = …………………11分所以 8PMN PAB S S ∆∆== …………………12分说明：解答题有其它正确解法的请酌情给分.11/ 11。

2018北京十一学校高二(上)期末数学(理)

2018北京十一学校高二（上）期末数学（理） 2018.1本试卷共5页,100分,考试时长120分钟,考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题(共8小题,每小题4分,共32分) 1. 函数y x =在1x =处的导数为（A ）0 （B ）12（C ）1 （D ）22. 抛物线28y x =的焦点坐标为（A ）(0,2) （B ）(2,0)（C ）1(,0)32（D ）1(0,)323. 双曲线221916x y -=的渐近线方程为（A ）43y x =±（B ）35y x =±（C ）34y x =±（D ）54y x =±4. 已知方程22121x y m m +=-+表示的曲线是椭圆,则实数m 的取值范围是（A ）(1,2)-（B ）11(1,)(,2)22- （C ）1(1,)2-（D ）1(,2)25. 已知O 为坐标原点,椭圆221169x y +=上的点M 到左焦点1F 的距离为2,N 为1MF 的中点,则ON 的值等于（A ）3（B ）4（C ）5（D ）66.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是3y x =,且它的一个焦点在抛物线28y x =的准线上,则双曲线的方程为（A ）221412x y -=（B ）221124x y -=（C ）2213y x -=（D ）2213x y -=7. 已知椭圆221(0)259x y a b +=>>的两个焦点分别为1F ,2F ,P 是椭圆上一点,且1260F PF ∠=,则12F PF !的面积等于（A ）63（B ）33（C ）6（D ）38. 若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为1F ,2F ,若双曲线上存在一点P ,满足12||3||PF PF =,则该双曲线的离心率的取值范围是（A ）12e <<（B ）12e ≤≤（C ）12e <≤（D ）12e ≤<二、填空题(共6小题,每小题4分,共24分) 9. 函数x y xe =的导数是______.10. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离与椭圆22194x y +=的长轴长相等,则抛物线的标准方程为______.11. 已知定点(3,4)M ,F 为抛物线28y x =的焦点,点P 在该抛物线上移动,当||||PM PF +取最小值时,点P 的坐标为______.12. 已知直线l 的参数方程为23x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）,以平面直角坐标系的坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0(0,02)ρθθρθπ-=≥≤<,则直线l 与曲线C 的位置关系是______.13. 已知函数3()3ln f x x x x =-+,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为______.14. 已知点P 圆22:(4)4C x y -+=上,点Q 在椭圆2214y x +=上移动,则||PA 的最大值为______.三、解答题(共2道大题,共44分,解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程). 15. （本小题9分）设函数21()ln ()2a f x x ax x a -=+-∈R （1）当1a =时,求函数()f x 的极小值; （2）当2a ≥时,讨论函数()f x 的单调性.16. （本小题35分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个顶点为(0,1)B ,半焦距为c ,离心率32e =,又直线:(0)l y kx m k =+≠交椭圆于11(,)M x y ,22(,)N x y 两点,且00(,)P x y 为MN 中点.（5分）（1）求椭圆C 的标准方程; （5分）（2）若1,1k m ==-,求弦MN 的长;（5分）（3）若点1(1,)2Q 恰好平分弦MN ,求实数,k m ;（8分）（4）若满足||||BM BN =,求实数m 的取值范围并求MN OP k k 的值;（6分）（5）设圆222:(2)(0)T x y r r ++=>与椭圆C 相交于点E 与点F ,求TE TF ⋅的最小值,并求此时圆T 的方程;（6分）（6）若直线l 是圆224:5O x y +=的切线,证明MON ∠的大小为定值.数学试题答案一、选择题:本大题共8小题,每小题4分,共32分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BDABACBC二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.11.(1)x x e + 12.212y x = 13.(2,4) 14.相切 15.3y x =-16.7三、解答题（本大题共2道大题,共44分）解:(1)当1a =时,()ln f x x x =-,1()x f x x-'=, 当01x <<时,()0f x '<,()f x 单调递减;当1x >时,()0f x '>,()f x 单调递增, 所以()f x 极小值为(1)1f =.(2)11()(1)()1a f x x x x a -'=---,由2a ≥得1011a <≤- ①当2a =时,2(1)()0x f x x--'=-<,()f x 在(0,)+∞单调递减;②当2a >时,1011a <<-,令()0f x '>,解得101x a <<-或1x >;令()0f x '<,解得111x a <<-. 综上所述:①当2a =时,()f x 在(0,)+∞单调递减; ②当2a >时,()f x 在1(0,)1a -和(1,)+∞单调递增,()f x 在1(,1)1a -单调递减. 16.解:(1)根据题意:222132b cab c a =⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩,解得21a b =⎧⎨=⎩,所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=;（2）联立直线方程和椭圆方程:22141x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,整理得:2580x x -=,解得0x =或85-,所以(0,1)M -,83(,)55N ,则228382||()(1)555MN =++=.（3）1(1,)2Q 恰好平分弦MN ,所以00112x y =⎧⎪⎨=⎪⎩,,M N 在椭圆上,则221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,上下相减得12121212()(+)+()(+)04x x x x y y y y --=, 即120120()2+()204x x x y y y -⨯-⨯=,即1212()+()02x x y y --=,则121212y y x x -=--,即12k =-, 点Q 在直线上,所以直线11:(1)22l y x -=--,整理得112y x =-+,所以1m =, 综上所述:12k =-,1m =.（4）由（3）知120120()2+()204x x x y y y -⨯-⨯=,等号两边同时除以120()2x x x -⨯,得104MN OP k k +=,所以14MN OP k k =-. 联立直线方程和椭圆方程:2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,整理得:222(41)8440k x kmx m +++-=,2222644(41)(44)0k m k m ∆=-+->,解得2214m k ->,则122841km x x k +=-+,所以12024241x x km x k +==-+,则00241my kx m k =+=+,因为||||B M B N =,所以1BP k k =-,则200211141441BPmy k k km x k k --+===--+,化简得23104m k +=->,则13m <-,又2214m k ->,所以231144m m +-->,解得133m -<<-, 综上所述:133m -<<-,14MN OP k k =-.（5）设333(,)(0)E x y y >,33(,)F x y -,则33(2,)TE x y =+33(2,-)TF x y =+,所以2233(2)TE TF x y ⋅=+-,点E 与点F 在椭圆上:223314x y =-,所以2335434TE TF x x ⋅=++,当385x =-时,TE TF ⋅取得最小值15-,此时335y =,13||25r TE ==,综上所述:TE TF ⋅的最小值为15-,此时圆T 的方程2213(2)25x y ++=.（6）由（4）得122841km x x k +=-+且222(41)8440k x kmx m +++-=,所以21224441m x x k -=+,2212121212()()()y y kx m kx m k x x mk x x m =++=+++,所以2222121212122544(1)()41m k OM ON x x y y k x x mk x x m k --⋅=+=++++=+直线l 是圆224:5O x y +=的切线,所以点O 到直线l 距离为25,即2||251m k =+,整理得225440m k --=,所以0OM ON ⋅=,即MON ∠的大小为90.。

2018北京市海淀区高二(上)期末数学(文)

2018北京市海淀区高二（上）期末数学（文） 2018.1第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题4分，共32分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）直线210x y +-=在轴上的截距为 A. 2- B. 1- C. 12-D. 1 （2）双曲线22:1169x y C -=的渐近线方程为A. 34y x =±B. 43y x =±C. 916y x =±D. 169y x =± （3）已知圆22310x y x m +-++=经过原点，则实数m 等于 A. 32-B. 1-C. 1D. 32（4）鲁班锁是曾广泛流传于民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身结构的连接支撑.它看似简单，却凝结着不平凡的智慧.下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为A.32B.34C.36D.40（5）椭圆22:11612x y C +=的焦点为12,F F ，若点M 在C 上且满足122MF MF -=，则12F MF ∆中最大角为A. 090B. 0105C. 0120D. 0150 （6）“0m”是“方程22x my m +=表示双曲线”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件（7）已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，下面说法正确的是A.m m n n αβαβ⊥⎫⎪⊂⇒⊥⎬⎪⊂⎭B. ////m m n n αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊂⎭C.m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭ D. ////m m αββα⎫⇒⎬⊂⎭122244俯视图左视图主视图（8）在正方体的1111ABCD A B C D -中，点P 是BC 的中点，点Q 为线段1AD （与1AD 不重合）上一动点.给出如下四个推断：①对任意的点Q ，1//AQ 平面11B BCC ； ②存在点Q ，使得1//AQ 1B P ； ③对任意的点Q ，11B Q A C ⊥则上面推断中所有正确．．的为zzA. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。

2017_2018学年北京海淀区中国人民大学附属中学高二上学期理科期末数学试卷解析

18 2017~2018学年北京海淀区高二上学期期末理科第18题12分共2个
已知抛物线
，直线与抛物线交于，两点．点
（
，
）为抛物线上一动点，直线，分别与轴交于，．
（1）若
的面积为，求点的坐标．
（2）当直线
时，求线段的长．
（3）若
与
面积相等，求
的面积．
．
综上所述，所求直线的方程为或
．
考点
解析几何直线与方程直线的方程
圆与方程圆的方程
直线与圆的位置关系
16 2017~2018学年北京海淀区高二上学期期末理科第16题10分共2个
如图，在三棱锥
中，
，
，且点，分别是，的中点．
（1）求证：
平面．
（2）求证：平面
平面．
A.
B.
C.
D.
答案 C 解析大致还原如下图所示，易知一个长方体切去一块小长方体形成，
∴体积
．
考点
立体几何与空间向量立体几何初步空间几何体体积和表面积的计算
三视图
5 2017~2018学年北京海淀区高二上学期期末理科第5题4分共2个
已知平面，，直线，，下列命题中假命题是（）．
答案（1）
．
（2）．
（3）．
解析（1）把代入抛物线方程，得到
．
因为
的横坐标
，
代入抛物线方程得
．
（2）因为
，所以
所以
把
代入得到
所以
，
（舍）．
所以
，
．

2018北京市海淀区高二(上)期末数学(文)

2018北京市海淀区高二（上）期末数学（文） 2018.1第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题4分，共32分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）直线210x y +-=在轴上的截距为 A. 2- B. 1- C. 12-D. 1 （2）双曲线22:1169x y C -=的渐近线方程为A. 34y x =±B. 43y x =±C. 916y x =±D. 169y x =± （3）已知圆22310x y x m +-++=经过原点，则实数m 等于 A. 32-B. 1-C. 1D. 32（4）鲁班锁是曾广泛流传于民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身结构的连接支撑.它看似简单，却凝结着不平凡的智慧.下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为A.32B.34C.36D.40（5）椭圆22:11612x y C +=的焦点为12,F F ，若点M 在C 上且满足122MF MF -=，则12F MF ∆中最大角为A. 090B. 0105C. 0120D. 0150 （6）“0m”是“方程22x my m +=表示双曲线”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件（7）已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，下面说法正确的是A.m m n n αβαβ⊥⎫⎪⊂⇒⊥⎬⎪⊂⎭B. ////m m n n αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊂⎭122244俯视图左视图主视图C.m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭ D. ////m m αββα⎫⇒⎬⊂⎭（8）在正方体的1111ABCD A B C D -中，点P 是BC 的中点，点Q 为线段1AD （与1AD 不重合）上一动点.给出如下四个推断：①对任意的点Q ，1//AQ 平面11B BCC ； ②存在点Q ，使得1//AQ 1B P ； ③对任意的点Q ，11B Q A C ⊥则上面推断中所有正确．．的为zzA. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。

2017_2018学年北京海淀区清华大学附属中学高二上学期理科期末数学试卷解析

∴ 在内有唯一零点．故选：．
考点
函数与导数对数函数对数的概念及其运算性质
函数与方程函数的零点
7 2017~2018学年10月北京海淀区北京市海淀外国语实验学校高三上学期月考理科第4题5分共5个

“ ”是“
”的（）．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件
四种命题的相互关系
2 2015年北京东城区高三下学期高三一模文科第2题共2个
双曲线
的渐近线方程为（）．
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析由双曲线标准方程可知，双曲线焦点在轴上，，．
∴渐进线的方程为
．
故选：．
考点
解析几何双曲线双曲线的渐近线
3 2017~2018学年北京海淀区清华大学附属中学高二上学期期末理科第3题5分
命题“若，则
”的逆否命题为
．
答案若，则
解析原命题为若则，逆否命题为，则．故答案为：若，则．
考点
集合与常用逻辑用语常用逻辑用语命题的概念
四种命题的相互关系
11 2017~2018学年北京海淀区清华大学附属中学高二上学期期末理科第11题5分
抛物线
上的点到其焦点的最短距离为
∵
为正三角形，∴
．
∵平面
平面
．
平面
平面
．
∴ 平面
，作
．
建立如图空间直角坐标系．
设
，
．
设平面
的一个法向量为，则可取
．
，，坐标分别为
，
，
．
，
．

2018.1北京清华附中高二上期末数学理试卷

2018北京市清华附中高二（上）期末数学一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分. 1. 抛物线24y x =的焦点坐标为（A ）（1,0）（B ）（1,0-）（C ）（0,1）（D ）（0,1-）2. 已知()xe f x x=,则'()f x =（A ）()1x e x +（B ）()1xe x -（C ）()21x e x x+ （D ）()21x e x x-3. 双曲线2214x y -=的渐近线方程为（A ）12y x =±（B ）32y x =±（C ）2y x =± （D ）52y x =±4. 若过原点的直线l 与圆()2244x y +-=切于第二象限,则直线l 的方程是（A ）3y x = （B ）3y x =- （C ）2y x = （D ）2y x =-5. 椭圆22143x y +=的两个焦点为1F ,2F ,点P 是椭圆上任意一点（非左右顶点）,则12PF F !的周长为（A ）8 （B ）6 （C ）4 （D ）36. 一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图为正方形,则该几何体最大的侧面的面积为（A ）1 （B ）2（C ）3（D ）27. 如果函数323y x x ax =-+存在极值,则实数a 的取值范围是（A ）（3,+∞）（B ）[3,+∞）（C ）（,3-∞）（D ）（,3-∞]8. 如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,点E 、F 是棱BC 、1CC 的中点, P 是底面ABCD 上（含边界）一动点,满足1A P EF ⊥,则线段1A P 长度的取值范围是（A ）[51,2] （B ）[53,22]（C ）[1,3] （D ）[2,3]二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9. 已知21()f x x x=+,则'(1)______f =. 10. 已知双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为34y x =±,则它的离心率为______.11. 已知圆锥的底面半径为3,母线长为4,则该圆锥的体积等于______.12. 若函数2()f x x aInx =-在1x =处取极值,则______a =.13. 已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数,直线2y kx =+与函数()f x 的图象相切,如图所示,则函数()()g x xf x =的图象在点（3,(3)g ）处的切线方程为______.14. 某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出20种商品,第二天售出14种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有5种, 后两天都售出的商品有4种.则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有______种; ②这三天售出的商品最少有______种. 三、解答题:15. 已知｛n a ｝是等比数列, 13a =,424a =.数列｛n b ｝满足11b =,48b =-,且｛n n a b +｝是等差数列. （Ⅰ）求数列｛n a ｝和｛n b ｝的通项公式; （Ⅱ）求数列｛n b ｝的前n 项和. 16. 已知函数()sin f x =（3x π+）, x ∈R（Ⅰ）如果点P （34,55）是角α终边上一点,求()f α的值;（Ⅱ）设()()sin g x f x x =+,求()g x 的单调增区间. 17. 已知函数321()3f x x ax x =+-为奇函数.（Ⅰ）求a 的值;（Ⅱ）求函数()f x 在[2,2-]的最小值; （III ）若函数()f x 在区间[1,2t t +]上单调递减,求实数t 的取值范围. 18. 如图,在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形, AD BD ⊥且AD BD =,AC BD O =,PO ⊥平面ABCD .（Ⅰ）E 为棱PC 的中点,求证: //OE 平面PAB ; （Ⅱ）求证: 平面PAD ⊥平面PBD ;（III ）若PD PB ⊥,2AD =,求四棱锥P ABCD -的体积.19. 已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b ＞＞）的右焦点为F （1,0）,离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程;（Ⅱ）过F 且斜率为1的直线交椭圆于M ,N 两点, P 是直线4x =上任意一点.求证:直线PM ,PF ,PN 的斜率成等差数列.20. 已知函数()sin x f x e x ax =-,（Ⅰ）若1a =,求曲线()y f x =在（0,(0)f ）处的切线方程; （Ⅱ）若()f x 在[0,4π]上单调递增,求实数a 的取值范围;（III ）当1a ≤时,求证:对于任意的x ∈[30,4π],均有()0f x ≥.数学试题答案一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ADABBDCD二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.1-10.5411.37π 12.2 13.3y = 14.15;29三、解答题:15. 解: （Ⅰ）因为｛n a ｝是等比数列, 13a =,424a =, 所以公比2q =,通项公式为132n n a -=⨯（*n ∈N ）. 因为｛n n a b +｝是等差数列, 114a b +=,4416a b +=,所以公差4d =,通项公式为4n n a b n +=（*n ∈N ）. 故14432n n n b n a n -=-=-⨯（*n ∈N ）.（Ⅱ）设数列｛n b ｝的前n 项和为n S ,则 12n n S b b b =++1121141324232432n n ---=⨯-⨯+⨯-⨯++⨯-⨯()4123n =⨯+++-⨯（11211222n ---+++）()1432n n +=⨯-⨯（21n -）=222332n n n ++-⨯（*n ∈N ）16. 解:（Ⅰ）因为点P （34,55）是角α终边上一点,所以4sin 5α=,3cos 5α=,则 ()sin f α=（3πα+）sin coscos sin33ππαα=+41335252=⨯+⨯43310+=（Ⅱ）()()sin g x f x x =+sin coscos sinsin 33x x x ππ=++33sin cos 22x x =+ 3sin =（6x π+）令6x π+∈[2,222k k ππππ-++]（k ∈Z ）,得x ∈[22,233k k ππππ-++]（k ∈Z ）.故()g x 的单调增区间为[22,233k k ππππ-++]（k ∈Z ）. 17. 解:（Ⅰ）因为函数()f x 为奇函数,所以321()3f x x ax x -=-++321()3f x x ax x =-=--+解得0a =（Ⅱ）因为31()3f x x x =-,所以'2()1f x x =-.令'()0f x =,得1x =±.则在[2,2-]上,随着x 的变化，'()f x 的变化情况如下表：因为2(2)3f -=-,2(1)3f =-. 所以函数()f x 在[2,2-]的最小值为23-.（Ⅲ）由（Ⅱ）可知,()f x 在[1,1-]上单调递减, 故[1,2t t +]⊆[1,1-],解得t ∈[11,2-]. 18. 解:（Ⅰ）证明:因为点E 为棱PC 的中点,点O 为AC 的中点, 所以//OE PA ,又因为PA ⊆平面PAB , 所以//OE 平面PAB .（Ⅱ）证明:因为PO ⊥平面ABCD ,又AD ⊆平面ABCD所以PO AD ⊥,又因为AD BD ⊥,x（2,1--）1-（1,1-） 1（1,2） '()f x0＞0=0＜0=0＞()f x递增极大值递减极小值递增所以AD ⊥平面PBD ,又因为AD ⊆平面PAD . 所以平面PAD ⊥平面PBD .（Ⅲ）因为2AD BD ==,又AD BD ⊥, 所以四边形ABCD 的面积为4 因为PD PB ⊥,点O 为BD 的中点, 所以112PO BD ==. 所以四棱锥P ABCD -的体积为:144133⨯⨯=.19. 解:（Ⅰ）因为1c =,12c e a ==,所以2a =,则3b =. 故椭圆C 的方程为:22143x y +=. （Ⅱ）证明:因为直线MN 方程为:1y x =-,联立椭圆C 的方程解得M （462623,77+-）,N （462362,77---）. 设P （04,y ）,则0062376237462246247PMy y k ---+==+--,0062376237462246247PNy y k ---++==-+-,03PF y k =有0007623762322324622462PM PN PF y y y k k k -++++=+==-+ 所以直线PM ,PF ,PN 的斜率成等差数列.20. 解:（Ⅰ）因为函数()sin x f x e x x =-,则'()sin cos 1x x f x e x e x =+-.又因为(0)0f =,'(0)0f =.所以曲线()y f x =在（0,(0)f ）处的切线方程为:0y =.（Ⅱ）因为()sin x f x e x ax =-,所以'()2sin x f x e =（4x π+）a -.函数()f x 在[0,4π]上单调递增⇔'()f x 在[0,4π]上恒有'()0f x ≥.即2sin x e （4x π+）a ≥恒成立.令()2sin x g x e =（4x π+）,则min ()g x a ≥.又因为()g x 在[0,4π]上单调递增,所以min ()(0)1g x g ==,所以1a ≤.（Ⅲ）证明: 因为()sin x f x e x ax =-,所以'()2sin x f x e =（4x π+）a -.令()2sin x g x e =（4x π+）,则'()2cos x g x e x =.①当x ∈[0,2π]时,'()0g x ≥,()g x 递增,有min ()()(0)1g x g x g ≥==,因为1a ≤,此时,'()()0f x g x a =-≥,()f x 递增,有min ()()(0)0f x f x f ≥==成立. ②当x ∈（3,24ππ]时,'()0g x ≤,()g x 递减,有min 3()()()04g x g x g π≥==, 若0a ≤,此时'()()0f x g x a =-≥,()f x 递增, ()0f x ≥显然成立. 若a ∈（0,1],此时记'0()0f x =,则()f x 在（0,2x π]上递增,在（03,4x π]上递减.此时有()(0)02f f π≥=,334432323()42424f e a e πππππ=-≥-, 构造2()2x t x e x =-,则'2()12xt x e =-, 令'()0t x =,求得2x In =.故()t x 在（,2In -∞]上递减,在（2,In+∞）上递增,所以3242322120 242Ine e In Inππ-≥-=-＞所以3()04fπ＞,此时满足()0f x≥综上所述,当1a≤时,对于任意的x∈[30,4π],均有()0f x≥.。

20181高二理科数学上册期末试卷海淀区有答案

在一
原
3
点.
，-
且.
焦.
点.
均.
在.
□
轴.
丄
，-
从・
每.
条.
曲.
线.
丄
取.
两.
点
，-
将
其
坐
标
记-
录
丄
丄
表
±
，-
则-
双
曲
线
的
离
心-
率一
为.
□
□
□
□
n
n
n
□
口
n
□
n
□
□
□
丄
2-
曲一
线一
——
的一
方.
程一
为一
①一
请一
写一
出-
曲一
线一
I
的-
两-
条.
对
称
轴
方
程
n
②
请
写
出
曲
线
丄
的
两
丄
点
的
坐
标一
□
亠
③
曲
线
n
丄
的
点
到
原一
点.
的
距
离
的-
取
值
范一
围一
是一
U
U
U
U
U
U
U
U
n
n
U
U
U
U
U
U
三
解
答
题
共
丄
小-
题
，-
共
分
解

北京市海淀区2017-2018学年高二上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析 (2)

北京市海淀区2017-2018学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）直线x+y=2的倾斜角是（）A．B．C．D．2．（4分）焦点在x轴上的椭圆的离心率是，则实数m的值是（）A．4B．C．1D．3．（4分）一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．8B．C．D．64．（4分）已知圆O：x2+y2=1，直线l：3x+4y﹣3=0，则直线l被圆O所截的弦长为（）A．B．1C．D．25．（4分）已知向量=（1，1，0，），=（0，1，1），=（1，0，1），=（1，0，﹣1），则其中共面的三个向量是（）A．，，B．，，C．，，D．，，6．（4分）已知等差数列{a n}，则“a2＞a1”是“数列{a n}为单调递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（4分）已知正四面体A﹣BCD的棱长为2，点E是AD的中点，则下面四个中正确的是（）A．∀F∈BC，EF⊥AD B．∃F∈BC，EF⊥AC C．∀F∈BC，EF≥D．∃F∈BC，EF∥AC8．（4分）已知曲线W：+|y|=1，则曲线W上的点到原点距离的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.9．（4分）已知直线x﹣ay﹣1=0与直线y=ax平行，则实数a=．10．（4分）双曲线的两条渐近线方程为．11．（4分）已知空间向量=（0，1，1），=（x，0，1），若，的夹角为，则实数x的值为．12．（4分）已知椭圆C=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若等边△F1F2P 的一个顶点P在椭圆C上，则椭圆C的离心率为．13．（4分）已知点，抛物线y2=2x的焦点为F，点P在抛物线上，且|AP|=|PF|，则|OP|=．14．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，α为其六个面中的一个．点P∈α且P不在棱上，若P到异面直线AA1，CD的距离相等，则点P的轨迹可能是．（填上所有正确的序号）①圆的一部分②椭圆的一部分③双曲线的一部分④抛物线的一部分．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（10分）已知点A（0，2），圆O：x2+y2=1．（Ⅰ）求经过点A与圆O相切的直线方程；（Ⅱ）若点P是圆O上的动点，求的取值范围．16．（12分）已知抛物线W：y2=4x的焦点为F，直线y=2x+t与抛物线W相交于A，B两点．（Ⅰ）将|AB|表示为t的函数；（Ⅱ）若|AB|=3，求△AFB的周长．17．（12分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），D（0，0，2），E（0，2，1）．（Ⅰ）求证：直线BE∥平面ADO；（Ⅱ）求直线OB和平面ABD所成的角；（Ⅲ）在直线BE上是否存在点P，使得直线AP与直线BD垂直？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．18．（10分）如图，已知y=kx（k≠0）与椭圆：+y2=1交于P，Q两点，过点P的直线PA与PQ垂直，且与椭圆C的另一个交点为4．（1）求直线PA与AQ的斜率之积；（2）若直线AQ与x轴交于点B，求证：PB与x轴垂直．北京市海淀区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）直线x+y=2的倾斜角是（）A．B．C．D．考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：直线的倾斜角与斜率之间的关系解答：解：设倾斜角为θ，θ∈专题：等差数列与等比数列；简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：在等差数列{a n}中，若a2＞a1，则d＞0，即数列{a n}为单调递增数列，若数列{a n}为单调递增数列，则a2＞a1，成立，即“a2＞a1”是“数列{a n}为单调递增数列”充分必要条件，故选：C．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，等差数列的性质是解决本题的关键．7．（4分）已知正四面体A﹣BCD的棱长为2，点E是AD的中点，则下面四个中正确的是（）A．∀F∈BC，EF⊥AD B．∃F∈BC，EF⊥AC C．∀F∈BC，EF≥D．∃F∈BC，EF∥AC考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意画出图形，利用线面垂直的判定判定AD⊥面BCE，由此说明A正确；由三垂线定理结合∠BEC为锐角三角形说明B错误；举例说明C错误；由平面的斜线与平面内直线的位置关系说明D错误．解答：解：如图，∵四面体A﹣BCD为正四面体，且E为AD的中点，∴BE⊥AD，CE⊥AD，又BE∩CE=E，∴AD⊥面BCE，则∀F∈BC，EF⊥AD，选项A正确；由AE⊥面BCE，∴AE⊥EF，若AC⊥EF，则CE⊥EF，∵∠BEC为锐角三角形，∴不存在F∈BC，使EF⊥AC，选项B错误；取BC中点F，可求得DF=，又DE=1，得EF=，选项C错误；AC是平面BCE的一条斜线，∴AC与平面BCE内直线的位置关系是相交或异面，选项D错误．故选：A．点评：本题考查了的真假判断与应用，考查了空间中直线与平面的位置关系，考查了线线垂直与线面平行的判定，考查了空间想象能力，是中档题．8．（4分）已知曲线W：+|y|=1，则曲线W上的点到原点距离的取值范围是（）A．B．C．D．考点：两点间距离公式的应用．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：化简方程+|y|=1，得到x2=1﹣2|y|，作出曲线W的图形，通过图象观察，即可得到到原点距离的最值，进而得到范围．解答：解：+|y|=1即为=1﹣|y|，两边平方，可得x2+y2=1+y2﹣2|y|，即有x2=1﹣2|y|，作出曲线W的图形，如右：则由图象可得，O与点（﹣1，0）或（1，0）的距离最大，且为1；O与点（0，）或（0，﹣）的距离最小，且为．故曲线W上的点到原点距离的取值范围是．故选A．点评：本题考查曲线方程的化简，考查两点的距离公式的运用，考查数形结合的思想方法，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.9．（4分）已知直线x﹣ay﹣1=0与直线y=ax平行，则实数a=1或﹣1．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：由平行关系可得向量相等，排除截距相等即可．解答：解：当a=0时，第二个方程无意义，故a≠0，故直线x﹣ay﹣1=0可化为x﹣，由直线平行可得a=，解得a=±1故答案为：1或﹣1点评：本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．10．（4分）双曲线的两条渐近线方程为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．解答：解：∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：点评：本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想11．（4分）已知空间向量=（0，1，1），=（x，0，1），若，的夹角为，则实数x的值为1或﹣1．考点：空间向量的夹角与距离求解公式．专题：空间向量及应用．分析：首先根据向量的坐标求出向量的模，进一步利用向量的夹角求出x的值．解答：解：已知，则：，由于，则：解得：x=1或﹣1故答案为：1或﹣1点评：本题考查的知识要点：空间向量的夹角，空间向量的数量积和模的运算，属于基础题型．12．（4分）已知椭圆C=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若等边△F1F2P 的一个顶点P在椭圆C上，则椭圆C的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意和椭圆的对称性可得：点P是椭圆短轴上的顶点，由椭圆的性质即可求出椭圆C的离心率．解答：解：因为等边△F1F2P的一个顶点P在椭圆C上，如图：所以由椭圆的对称性可得：点P是椭圆短轴上的顶点，因为△F1F2P是等边三角形，所以a=2c，则=，即e=，故答案为：．点评：本题考查椭圆的简单几何性质的应用，解题的关键确定点P的位置，属于中档题．13．（4分）已知点，抛物线y2=2x的焦点为F，点P在抛物线上，且|AP|=|PF|，则|OP|=．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求得抛物线的焦点F，设P（m2，m），运用两点的距离公式，结合条件|AP|=|PF|，计算可得m，再由两点的距离公式计算即可得到结论．解答：解：抛物线y2=2x的焦点为F（，0），设P（m2，m），由|AP|=|PF|，可得|AP|2=2|PF|2，即有（m2+）2+m2=2，化简得m4﹣2m2+1=0，解得m2=1，即有|OP|===．故答案为：．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的焦点坐标，同时考查两点的距离公式的运用，属于中档题．14．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，α为其六个面中的一个．点P∈α且P不在棱上，若P到异面直线AA1，CD的距离相等，则点P的轨迹可能是④．（填上所有正确的序号）①圆的一部分②椭圆的一部分③双曲线的一部分④抛物线的一部分．考点：棱柱的结构特征．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：先判断PA表示P到直线AA1的距离，从而可得点P到A的距离等于点P到直线CD 的距离，利用抛物线的定义，可得结论．解答：解：设α为平面ABCD，则由题意，AA1⊥平面ABCD，PA⊂平面ABCD∴AA1⊥PA∴PA表示P到直线AA1的距离∵点P到直线CD的距离等于它到直线AA1的距离∴点P到A的距离等于点P到直线CD的距离∴P点的轨迹为抛物线的一部分，故答案为：④．点评：本题以正方体为载体，考查抛物线的定义，判断PA表示P到直线AA1的距离是解题的关键．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（10分）已知点A（0，2），圆O：x2+y2=1．（Ⅰ）求经过点A与圆O相切的直线方程；（Ⅱ）若点P是圆O上的动点，求的取值范围．考点：直线和圆的方程的应用．专题：平面向量及应用；直线与圆．分析：（1）由已知中直线过点A我们可以设出直线的点斜式方程，然后化为一般式方程，代入点到直线距离公式，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，可以求出k值，进而得到直线的方程；（2）设出P点的坐标，借助坐标来表示两个向量的数量积，再根据P在圆上的条件，进而得到结论．解答：（本小题满分10分）解：（I）由题意，所求直线的斜率存在．设切线方程为y=kx+2，即kx﹣y+2=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）所以圆心O到直线的距离为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以，解得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）所求直线方程为或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（II）设点P（x，y），所以，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）因为点P在圆上，所以x2+y2=1，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又因为x2+y2=1，所以﹣1≤y≤1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）点评：本题考查的知识是直线和圆的方程的应用，其中熟练掌握直线与圆不同位置关系时，点到直线的距离与半径的关系是关键，还考查了向量数量积的坐标表示．16．（12分）已知抛物线W：y2=4x的焦点为F，直线y=2x+t与抛物线W相交于A，B两点．（Ⅰ）将|AB|表示为t的函数；（Ⅱ）若|AB|=3，求△AFB的周长．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）设点A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，化简计算即可得到所求函数；（II）运用抛物线的定义和（I）的结论，可得|AF|+|BF|，进而得到△AFB的周长．解答：解：（I）设点A（x1，y1），B（x2，y2），由，消元化简得4x2+（4t﹣4）x+t2=0，则，所以，其中；（II）由，则=3，解得t=﹣4，经检验，此时△=16﹣32t＞0，所以x1+x2=1﹣t=5，由抛物线的定义，有，又，所以△AFB的周长为．点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法的运用，同时考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，具有一定的运算量，属于中档题．17．（12分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），D（0，0，2），E（0，2，1）．（Ⅰ）求证：直线BE∥平面ADO；（Ⅱ）求直线OB和平面ABD所成的角；（Ⅲ）在直线BE上是否存在点P，使得直线AP与直线BD垂直？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）根据向量关系利用线面平行的判定定理即可证明直线BE∥平面ADO；（Ⅱ）求出平面ABD的法向量，利用向量法即可求直线OB和平面ABD所成的角；（Ⅲ）根据空间直线垂直的坐标关系即可得到结论．解答：解：（I）法一：取点C（0，2，0）则，所以，所以OA∥CB﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）又，所以，所以OD∥CE﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）又OA∩OD=D，CE∩CB=C所以平面OAD∥CBE﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以BE∥平面ADO﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）法二：由题意，点A，D，O所在的平面就是xOz平面，取其法向量为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）而，所以，即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）又显然点B，E不在平面ADO上，所以BE∥平面ADO．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（II）设平面ABD的法向量为，因为，所以，所以可取．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）又，设OB与平面ABD所成的角为θ．所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）所以直线OB和平面ABD所成的角为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（Ⅲ）假设存在点P（x，y，z），使得直线AP与直线BD垂直．设，即（x﹣2，y﹣2，z）=（﹣2λ，0，λ）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）所以，所以．又，所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）解得，所以在直线BE上存在点P，使得直线AP与直线BD垂直，点P的坐标为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题主要考查空间直线和平面平行的判断，以及空间直线和平面所成角的求解以及空间直线垂直的判断，利用坐标法是解决本题的关键．18．（10分）如图，已知y=kx（k≠0）与椭圆：+y2=1交于P，Q两点，过点P的直线PA与PQ垂直，且与椭圆C的另一个交点为4．（1）求直线PA与AQ的斜率之积；（2）若直线AQ与x轴交于点B，求证：PB与x轴垂直．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设P（x1，y1），A（x2y2），联立，得（2k2+1）x2=2，，设Q（﹣x1，﹣y1），由此能求出直线PA与AQ的斜率之积为﹣．（2）由，得k AQ=，从而直线AQ的方程为y﹣（﹣y1）=，由此能证明直线PB与x轴垂直．解答：（1）解：设P（x1，y1），A（x2y2），联立，得（2k2+1）x2=2，∴，∴P，Q的横坐标互为相反数，∴设Q（﹣x1，﹣y1），∵直线PQ的斜率为k，且k≠0，而，，∴，∵P，A都在椭圆上，∴，，∴===﹣，∴直线PA与AQ的斜率之积为﹣．（2）证明：∵，而PQ，PA垂直，∴，∴k AQ=，∴直线AQ的方程为y﹣（﹣y1）=，令y=0，得y1=），∵点P（x1，y1）直线y=kx上，∴y1=kx1，代入得到B点的横坐标为x0=x1，∴直线PB与x轴垂直．点评：本题考查直线PA与AQ的斜率之积的求法，考查PB与x轴垂直的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．。

2018届北京市海淀区高三上学期期末考试理科数学试题及答案

海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理）参考答案及评分标准2018．1阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DDABACBD二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由sin cos 0x x +≠得ππ,4x k k ≠-∈Z .因为,cos2()2sin sin cos xf x x x x =++22cos sin 2sin sin cos x x x x x-=++-----------------------------------2分9． 2 10．4511. (0,1)；4 12．2313．214．43；①②③cos sin x x =+π2sin()4x =+，-------------------------------------4分因为在ABC ∆中，3cos 05A =-<，所以ππ2A <<，-------------------------------------5分所以24sin 1cos 5A A =-=,------------------------------------7分所以431()sin cos 555f A A A =+=-=.-----------------------------------8分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得π()2sin()4f x x =+,所以()f x 的最小正周期2πT =.-----------------------------------10分因为函数sin y x=的对称轴为ππ+,2x k k =∈Z,-----------------------------------11分又由πππ+,42x k k +=∈Z ,得ππ+,4x k k =∈Z , 所以()f x 的对称轴的方程为ππ+,4x k k =∈Z .----------------------------------13分16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由上图可得0.010.190.290.451a ++++=,所以0.06a =.--------------------------------3分（Ⅱ）由图可得队员甲击中目标靶的环数不低于8环的概率为0.450.290.010.75++=----------------------------------4分由题意可知随机变量X的取值为：0,1,2,3.----------------------------------5分事件“Xk=”的含义是在3次射击中，恰有k 次击中目标靶的环数不低于8环.3333()1(0,1,2,3)44kkk P X k C k -⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭----------------------------------8分即X 的分布列为X123P16496427642764所以X的期望是1927279()0123646464644E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.------------------------10分（Ⅲ）甲队员的射击成绩更稳定.---------------------------------13分17．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为底面ABCD 是菱形，AC BD O = ,所以O为,AC BD中点.-------------------------------------1分又因为,PA PC PB PD ==,所以,PO AC PO BD⊥⊥,---------------------------------------3分所以PO ⊥底面ABCD.----------------------------------------4分（Ⅱ）由底面ABCD 是菱形可得AC BD ⊥,又由（Ⅰ）可知,PO AC PO BD ⊥⊥. 如图，以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -.由PAC ∆是边长为2的等边三角形，6PB PD ==，可得3,3PO OB OD ===.所以(1,0,0),(1,0,0),(0,3,0),(0,0,3)A C B P -.---------------------------------------5分所以(1,0,3)CP = ,(1,0,3)AP =-.由已知可得133(,0,)444OF OA AP =+=-----------------------------------------6分设平面BDF 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,OB OF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 即30,330.44y x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 令1x =，则3z =-，所以(1,0,3)=-n .----------------------------------------8分因为1cos 2||||CP CP CP ⋅<⋅>==-⋅n n n ，----------------------------------------9分PAFB CDOx yz所以直线CP 与平面BDF 所成角的正弦值为12，所以直线CP 与平面BDF 所成角的大小为30 . -----------------------------------------10分（Ⅲ）设BM BPλ=(01)λ≤≤，则(1,3(1),3)CM CB BM CB BP λλλ=+=+=-.---------------------------------11分若使CM ∥平面BDF ，需且仅需0CM ⋅=n 且CM ⊄平面BDF ，---------------------12分解得1[0,1]3λ=∈,----------------------------------------13分所以在线段PB 上存在一点M ，使得CM ∥平面BDF .此时BM BP=13.-----------------------------------14分 18.（本小题共13分）解：（Ⅰ）2e (2)(2)'()(e )e x x xa x a x f x ----==，x ∈R.------------------------------------------2分当1a =-时，()f x ,'()f x 的情况如下表：x(,2)-∞ 2 (2,)+∞'()f x -0 +()f x↘ 极小值↗所以，当1a =-时，函数()f x 的极小值为2e --.-----------------------------------------6分（Ⅱ）(2)'()'()e xa x F x f x --==. ①当0a <时，(),'()F x F x 的情况如下表：--------------------------------7分因为(1)10F =>,------------------------------8分若使函数()F x 没有零点，需且仅需2(2)10e aF =+>，解得2e a >-,-------------------9分所以此时2e 0a -<<；-----------------------------------------------10分 ②当0a >时，(),'()F x F x 的情况如下表：--------11分因为(2)(1)0F F >>,且10110101110e 10e 10(1)0eea aaF a------=<<,---------------------------12分x(,2)-∞ 2 (2,)+∞'()f x -0 +()f x↘ 极小值↗x(,2)-∞2 (2,)+∞ '()f x+0 -()f x↗ 极大值↘所以此时函数()F x 总存在零点. --------------------------------------------13分综上所述，所求实数a 的取值范围是2e 0a -<<.19.（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意得1c =, ---------------------------------------1分由12c a =可得2a =, ------------------------------------------2分所以2223b a c =-=, -------------------------------------------3分所以椭圆的方程为22143x y +=.---------------------------------------------4分（Ⅱ）由题意可得点3(2,0),(1,)2A M -,------------------------------------------6分所以由题意可设直线1:2l y x n =+,1n ≠.------------------------------------------7分设1122(,),(,)B x y C x y ，由221,4312x y y x n ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得2230x nx n ++-=.由题意可得2224(3)1230n n n ∆=--=->,即(2,2)n ∈-且1n ≠.-------------------------8分21212,3x x n x x n +=-=-.-------------------------------------9分因为1212332211MB MCy y k k x x --+=+-------------------------------------10分 121212121212131311222211111(1)(2)1()1x n x n n n x x x x n x x x x x x +-+---=+=++-----+-=+-++2(1)(2)102n n n n -+=-=+-， ---------------------------------13分所以直线,MB MC 关于直线m 对称. ---------------------------------14分20.（本小题共13分）解：（Ⅰ）①②③都是等比源函数. -----------------------------------3分（Ⅱ）函数()21x f x =+不是等比源函数. ------------------------------------4分证明如下：假设存在正整数,,m n k 且m n k <<，使得(),(),()f m f n f k 成等比数列，2(21)(21)(21)n m k +=++，整理得2122222n n m k m k +++=++，-------------------------5分等式两边同除以2,m 得2122221n m n m k k m --+-+=++.因为1,2n m k m -≥-≥，所以等式左边为偶数，等式右边为奇数，所以等式2122221n m n m k k m --+-+=++不可能成立，所以假设不成立，说明函数()21x f x =+不是等比源函数.-----------------------------8分（Ⅲ）法1：因为*,b n ∀∈N ，都有(1)()g n g n d +-=，所以*,d b ∀∈N ，数列{()}g n 都是以(1)g 为首项公差为d 的等差数列.*,d b ∀∈N ，2(1),(1)(1),(1)(1)g g d g d ++成等比数列，因为(1)(1)(1)((1)11)[(1)1]g d g g d g g +=++-=+，2(1)(1)(1)(2(1)(1)11)[2(1)(1)1]g d g g g d d g g g d +=+++-=++，所以(1),[(1)1],[2(1)(1)1]g g g g g g d +++*{()|}g n n ∈∈N ，所以*,d b ∀∈N ，函数()g x dx b =+都是等比源函数.-------------------------------------------13分（Ⅲ）法2：因为*,b n ∀∈N ，都有(1)()g n g n d +-=，所以*,d b ∀∈N ，数列{()}g n 都是以(1)g 为首项公差为d 的等差数列.由2()(1)()g m g g k =⋅，（其中1m k <<）可得2[(1)(1)](1)[(1)(1)]g m d g g k d +-=⋅+-，整理得(1)[2(1)(1)](1)(1)m g m d g k -+-=-，令(1)1m g =+，则(1)[2(1)(1)](1)(1)g g g d g k +=-，所以2(1)(1)1=++，k g g d所以*,d b∀∈N，数列{()}+++成g g g g g g dg n中总存在三项(1),[(1)1],[2(1)(1)1]等比数列.所以*∀∈N，函数(),d bg x dx b=+都是等比源函数.-------------------------------------------13分。

2017-2018年北京市海淀区高三(上)期末数学试卷和参考答案(理科)

2017-2018学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）复数=（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2﹣i D．﹣2+i2．（5分）在极坐标系中Ox，方程ρ=2sinθ表示的圆为（）A．B．C．D．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．4 B．5 C．6 D．74．（5分）设m是不为零的实数，则“m＞0”是“方程表示的曲线为双曲线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知直线x﹣y+m=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且△AOB为正三角形，则实数m的值为（）A．B．C．或D．或6．（5分）从编号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：①三棱锥的体积为②三棱锥的四个面全是直角三角形③三棱锥的四个面的面积最大的是所有正确的说法是（）A．①B．①②C．②③D．①③8．（5分）已知点F为抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，点K为点F关于原点的对称点，点M在抛物线C上，则下列说法错误的是（）A．使得△MFK为等腰三角形的点M有且仅有4个B．使得△MFK为直角三角形的点M有且仅有4个C．使得的点M有且仅有4个D．使得的点M有且仅有4个二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）点（2，0）到双曲线的渐近线的距离是．10．（5分）已知公差为1的等差数列{a n}中，a1，a2，a4成等比数列，则{a n}的前100项和为．11．（5分）设抛物线C：y2=4x的顶点为O，经过抛物线C的焦点且垂直于x轴的直线和抛物线C交于A，B两点，则=．12．（5分）已知（5x﹣1）n的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64：1，则n=．13．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，点M是棱BC的中点，点P在底面ABCD内，点Q在线段A1C1上，若PM=1，则PQ长度的最小值为．14．（5分）对任意实数k，定义集合．①若集合D k表示的平面区域是一个三角形，则实数k的取值范围是；②当k=0时，若对任意的（x，y）∈D k，有y≥a（x+3）﹣1恒成立，且存在（x，y）∈D k，使得x﹣y≤a成立，则实数a的取值范围为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）如图，在△ABC中，点D在AC边上，且AD=3BC，AB=．（Ⅰ）求DC的值；（Ⅱ）求tan∠ABC的值．16．（13分）据中国日报网报道：2017年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器．为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下（数值越小，速度越快，单位是MIPS）（Ⅰ）从品牌A的12次测试中，随机抽取一次，求测试结果小于7的概率；（Ⅱ）从12次测试中，随机抽取三次，记X为品牌A的测试结果大于品牌B的测试结果的次数，求X的分布列和数学期望E（X）；（Ⅲ）经过了解，前6次测试是打开含有文字和表格的文件，后6次测试是打开含有文字和图片的文件．请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价．17．（14分）如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，BC=CD=1，AD=2，E为AD中点．△A1ED为正三角形，将△ABE沿BE翻折到△A1BE的位置，如图2，△A1ED为正三角形．（Ⅰ）求证：平面△A1DE⊥平面BCDE；（Ⅱ）求直线A1B与平面A1CD所成角的正弦值；（Ⅲ）设M，N分别为A1E和BC的中点，试比较三棱锥M﹣A1CD和三棱锥N﹣A1CD（图中未画出）的体积大小，并说明理由．18．（13分）已知椭圆C：x2+2y2=9，点P（2，0）（Ⅰ）求椭圆C的短轴长和离心率；（Ⅱ）过（1，0）的直线l与椭圆C相交于两点M，N，设MN的中点为T，判断|TP|与|TM|的大小，并证明你的结论．19．（14分）已知函数f（x）=2e x﹣ax2﹣2x﹣2．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）当a≤0时，求证：函数f（x）有且仅有一个零点；（Ⅲ）当a＞0时，写出函数f（x）的零点的个数．（只需写出结论）20．（13分）无穷数列{a n}满足：a1为正整数，且对任意正整数n，a n+1为前n项a1，a2，…，a n中等于a n的项的个数．（Ⅰ）若a1=2，请写出数列{a n}的前7项；（Ⅱ）求证：对于任意正整数M，必存在k∈N*，使得a k＞M；（Ⅲ）求证：“a1=1”是“存在m∈N*，当n≥m时，恒有a n+2≥a n成立”的充要条件．2017-2018学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）复数=（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2﹣i D．﹣2+i【解答】解：=．故选：A．2．（5分）在极坐标系中Ox，方程ρ=2sinθ表示的圆为（）A．B．C．D．【解答】解：方程ρ=2sinθ，整理得：ρ2=2ρsinθ，转化为：x2+y2﹣2y=0，即：x2+（y﹣1）2=1．根据圆在极坐标系中的位置，只有D符合．故选：D．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：模拟程序的运行，可得a=1，k=1不满足条件a＞10，执行循环体，a=2，k=2不满足条件a＞10，执行循环体，a=4，k=3不满足条件a＞10，执行循环体，a=8，k=4不满足条件a＞10，执行循环体，a=16，k=5满足条件a＞10，退出循环，输出k的值为5．故选：B．4．（5分）设m是不为零的实数，则“m＞0”是“方程表示的曲线为双曲线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：方程表示的曲线为双曲线⇔m≠0．∴“m＞0”是“方程表示的曲线为双曲线”的充分不必要条件．故选：A．5．（5分）已知直线x﹣y+m=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且△AOB为正三角形，则实数m的值为（）A．B．C．或D．或【解答】解：直线x﹣y+m=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且△AOB为正三角形，则：△AOB的边长为1，则：圆心（0，0）到直线x﹣y+m=0的距离d=，解得：m=±．故选：D．6．（5分）从编号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：从编号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，基本事件总数n==20，恰有两个小球编号相邻包含的基本事件个数m=12个，∴恰有两个小球编号相邻的概率为p==．故选：C．7．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：①三棱锥的体积为②三棱锥的四个面全是直角三角形③三棱锥的四个面的面积最大的是所有正确的说法是（）A．①B．①②C．②③D．①③【解答】解：依据三视图，可得该几何体，如图三棱锥P﹣ABC，AC=BC=1，AB=．PA=PB，面PC⊥面ABC，P到面ABC的距离为1．①三棱锥的体积为=，正确；②三棱锥的面PAB不是直角三角形，错；③三棱锥的四个面的面积最大的是△PAB，PA=BP═AB=，其面积S=，故错．故选：A8．（5分）已知点F为抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，点K为点F关于原点的对称点，点M在抛物线C上，则下列说法错误的是（）A．使得△MFK为等腰三角形的点M有且仅有4个B．使得△MFK为直角三角形的点M有且仅有4个C．使得的点M有且仅有4个D．使得的点M有且仅有4个【解答】解：由△MFK为等腰三角形，若KF=MF，则M有两个点；若MK=MF，则不存在，若MK=FK，则M有两个点，则使得△MFK为等腰三角形的点M有且仅有4个；由△MFK中∠MFK为直角的点M有两个；∠MKF为直角的点M不存在；∠FMK为直角的点M有两个，则使得△MFK为直角三角形的点M有且仅有4个；若的M在第一象限，可得直线MK：y=x+，代入抛物线的方程可得x2﹣px+=0，解得x=，由对称性可得M在第四象限只有一个，则满足的M有且只有2个；使得的点M在第一象限，可得直线MK：y=（x+），代入抛物线的方程，可得x2﹣5px+=0，△=25p2﹣p2=24p2＞0，可得点M有2个；若M在第四象限，由对称性可得也有2个，则使得的点M有且只有4个．故选：C．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）点（2，0）到双曲线的渐近线的距离是．【解答】解：双曲线的渐近线为：y=，点（2，0）到双曲线的渐近线的距离是：=．故答案为：．10．（5分）已知公差为1的等差数列{a n}中，a1，a2，a4成等比数列，则{a n}的前100项和为5050．【解答】解：在公差为1的等差数列{a n}中，由a1，a2，a4成等比数列，得：（a1+1）2=a1（a1+3），即a1=1．∴S100=100×=5050．故答案为：5050．11．（5分）设抛物线C：y2=4x的顶点为O，经过抛物线C的焦点且垂直于x轴的直线和抛物线C交于A，B两点，则=2．【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点坐标（1，0），经过抛物线C的焦点且垂直于x轴的直线和抛物线C交于A，B两点，则A（1，2），B（1，﹣2）；=（2，0）；则=2．故答案为：2．12．（5分）已知（5x﹣1）n的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64：1，则n=6．【解答】解：由题意可得=2n=64，∴n=6，故答案为：6．13．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，点M是棱BC的中点，点P在底面ABCD内，点Q在线段A1C1上，若PM=1，则PQ长度的最小值为．【解答】解：如图，点P在以M为圆心，1以半径的位于平面ABCD内的半圆上，连结A1C1、B1D1，交于点O，取B1C1中点N，OC1中点Q，连结QN，取QN中点E，连结PE，PQ，此时PQ长度取最小值，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，点M是棱BC的中点，点P在底面ABCD 内，点Q在线段A1C1上，PM=1，∴PM=EN=1，∵ON=OB1=B1D1==2，∴QE=2﹣1=1，又PE=CC1=4，∴PQ长度的最小值为：==．故答案为：．14．（5分）对任意实数k，定义集合．①若集合D k表示的平面区域是一个三角形，则实数k的取值范围是（﹣1，1）；②当k=0时，若对任意的（x，y）∈D k，有y≥a（x+3）﹣1恒成立，且存在（x，y）∈D k，使得x﹣y≤a成立，则实数a的取值范围为[﹣2，] ．【解答】解：①作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，若不等式组表示的平面区域是一个三角形，观察图形可得只要满足﹣1＜k＜1时满足条件，②对任意的（x，y）∈D k，有y≥a（x+3）﹣1恒成立，则a≤恒成立，因为表示与定点（﹣3，﹣1）的斜率，当过点B（2，0）时，此时有最小值，最小值为，即a≤，存在（x，y）∈D k，使得x﹣y≤a成立，则a≥（x﹣y）min，平移目标函数y=x﹣a，当直线和y=x+2重合时，此时x﹣y最小，最小值为﹣2，则a≥﹣2，综上所述a的取值范围为[﹣2，]故答案为：①（﹣1，1）②三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）如图，在△ABC中，点D在AC边上，且AD=3BC，AB=．（Ⅰ）求DC的值；（Ⅱ）求tan∠ABC的值．【解答】（本小题13分）解：（Ⅰ）如图所示，，…．（1分）故∠DBC=∠C，DB=DC…．（2分）设DC=x，则DB=x，DA=3x．在△ADB中，由余弦定理AB2=DA2+DB2﹣2DA•DB•cos∠ADB…．（3分）即，…．（4分）解得x=1，即DC=1．…．（5分）（Ⅱ）方法一．在△ADB中，由AD＞AB，得∠ABD＞∠ADB=60°，故…．（6分）在△ABC中，由正弦定理…．（7分）即，故，…．（9分）由，得，…．（11分）…（13分）方法二．在△ADB中，由余弦定理…．（7分）由∠ABD∈（0，π），故…．（9分）故…．（11分）故…（13分）16．（13分）据中国日报网报道：2017年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器．为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下（数值越小，速度越快，单位是MIPS ）（Ⅰ）从品牌A 的12次测试中，随机抽取一次，求测试结果小于7的概率；（Ⅱ）从12次测试中，随机抽取三次，记X 为品牌A 的测试结果大于品牌B 的测试结果的次数，求X 的分布列和数学期望E （X ）；（Ⅲ）经过了解，前6次测试是打开含有文字和表格的文件，后6次测试是打开含有文字和图片的文件．请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价．【解答】（本小题13分）解：（Ⅰ）从品牌A 的12次测试中，测试结果打开速度小于7的文件有：测试1、2、5、6、9、10、11，共7次设该测试结果打开速度小于7为事件A ，因此…．（3分）（Ⅱ）12次测试中，品牌A 的测试结果大于品牌B 的测试结果的次数有：测试1、3、4、5、7、8，共6次随机变量X 所有可能的取值为：0，1，2，3…．（7分）随机变量X 的分布列为…．（8分）…．（10分）（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分．给出明确结论，（1分）；结合已有数据，能够运用以下8个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，（2分）．…（13分）．标准1：会用前6次测试品牌A、品牌B的测试结果的平均值与后6次测试品牌A、品牌B的测试结果的平均值进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的平均值均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果平均值；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的平均速度均快于打开含有文字和图片的文件的平均速度）标准2：会用前6次测试品牌A、品牌B的测试结果的方差与后6次测试品牌A、品牌B的测试结果的方差进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的方差均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果的方差；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件速度的波动均小于打开含有文字和图片的文件速度的波动）标准3：会用品牌A前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值与品牌B前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值进行阐述（品牌A前6次测试结果的平均值大于品牌B前6次测试结果的平均值，品牌A后6次测试结果的平均值小于品牌B后6次测试结果的平均值，品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于品牌B，品牌A打开含有文字和图形的文件的速度快于品牌B）标准4：会用品牌A前6次测试结果的方差、后6次测试结果的方差与品牌B前6次测试结果的方差、后6次测试结果的方差进行阐述（品牌A前6次测试结果的方差大于品牌B前6次测试结果的方差，品牌A后6次测试结果的方差小于品牌B后6次测试结果的方差，品牌A打开含有文字和表格的文件的速度波动大于品牌B，品牌A打开含有文字和图形的文件的速度波动小于品牌B）标准5：会用品牌A这12次测试结果的平均值与品牌B这12次测试结果的平均值进行阐述（品牌A这12次测试结果的平均值小于品牌B这12次测试结果的平均值，品牌A打开文件的平均速度快于B）标准6：会用品牌A这12次测试结果的方差与品牌B这12次测试结果的方差进行阐述（品牌A这12次测试结果的方差小于品牌B这12次测试结果的方差，品牌A打开文件速度的波动小于B）标准7：会用前6次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数、后6次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数进行阐述（前6次测试结果中，品牌A小于品牌B的有2次，占1/3．后6次测试中，品牌A小于品牌B的有4次，占2/3．故品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于B，品牌A打开含有文字和图片的文件的速度快于B）标准8：会用这12次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数进行阐述（这12次测试结果中，品牌A小于品牌B的有6次，占1/2．故品牌A和品牌B打开文件的速度相当）参考数据17．（14分）如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，BC=CD=1，AD=2，E为AD中点．△A1ED为正三角形，将△ABE沿BE翻折到△A1BE的位置，如图2，△A1ED为正三角形．（Ⅰ）求证：平面△A1DE⊥平面BCDE；（Ⅱ）求直线A1B与平面A1CD所成角的正弦值；（Ⅲ）设M，N分别为A1E和BC的中点，试比较三棱锥M﹣A1CD和三棱锥N﹣A1CD（图中未画出）的体积大小，并说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：∵BE⊥A1E，BE⊥DE，且A1E∩DE=E，A1E，DE⊂平面A1DE，∴BE⊥平面A1DE，∵BE⊂平面BCDE，∴平面A1DE⊥平面BCDE；（Ⅱ）解：在平面A1DE内过E作ED的垂线，由BE⊥平面A1DE，建系如图．则，B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，0）．，，，设平面A 1CD的法向量为，则，即，令z=1，得，∴．∴A1B与平面A1CD所成角的正弦值为；（Ⅲ）解：三棱锥M﹣A1CD和三棱锥N﹣A1CD的体积相等．理由如：方法一、由，，知，则．∵MN⊄平面A1CD，∴MN∥平面A1CD．故点M、N到平面A1CD的距离相等，有三棱锥M﹣A1CD和N﹣A1CD同底等高，则体积相等．方法二、如图，取DE中点P，连接MP，NP，MN．∵在△A1DE中，M，P分别是A1E，DE的中点，∴MP∥A1D，在正方形BCDE中，∵N，P分别是BC，DE的中点，∴NP∥CD，∵MP∩NP=P，MP，NP⊂平面MNP，A1D，CD⊂平面A1CD，∴平面MNP∥平面A1CD．∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面A1CD．故点M、N到平面A1CD的距离相等，有三棱锥M﹣A1CD和N﹣A1CD同底等高，则体积相等．18．（13分）已知椭圆C：x2+2y2=9，点P（2，0）（Ⅰ）求椭圆C的短轴长和离心率；（Ⅱ）过（1，0）的直线l与椭圆C相交于两点M，N，设MN的中点为T，判断|TP|与|TM|的大小，并证明你的结论．【解答】（本小题13分）解：（Ⅰ）椭圆C：x2+2y2=9，化为：，故a2=9，，，有a=3，．…..（3分）椭圆C的短轴长为，离心率为．…..（5分）（Ⅱ）结论是：|TP|＜|TM|．…..（6分）设直线l：x=my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），，整理得：（m2+2）y2+2my﹣8=0…..（8分）△=（2m）2+32（m2+2）=36m2+64＞0故，…..（10分）=（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2…..（11分）=（my1﹣1）（my2﹣1）+y1y2=（m2+1）y1y2﹣m（y1+y2）+1==＜0…..（12分）故∠MPN＞90°，即点P在以MN为直径的圆内，故|TP|＜|TM|…..（13分）19．（14分）已知函数f（x）=2e x﹣ax2﹣2x﹣2．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）当a≤0时，求证：函数f（x）有且仅有一个零点；（Ⅲ）当a＞0时，写出函数f（x）的零点的个数．（只需写出结论）【解答】解：（Ⅰ）因为函数f（x）=2e x﹣ax2﹣2x﹣2，所以f′（x）=2e x﹣2ax﹣2，故f（0）=0，f'（0）=0，曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为y=0；（Ⅱ）证明：当a≤0时，令g（x）=f′（x）=2e x﹣2ax﹣2，则g′（x）=2e x﹣2a＞0，故g（x）是R上的增函数．由g（0）=0，故当x＜0时，g（x）＜0，当x＞0时，g（x）＞0．即当x＜0时，f′（x）＜0，当x＞0时，f′（x）＞0．故f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．函数f（x）的最小值为f（0）．由f（0）=0，故f（x）有且仅有一个零点．（Ⅲ）当a=1时，f（x）有一个零点；当a＞0且a≠1时，f（x）有两个零点．20．（13分）无穷数列{a n}满足：a1为正整数，且对任意正整数n，a n+1为前n项a1，a2，…，a n中等于a n的项的个数．（Ⅰ）若a1=2，请写出数列{a n}的前7项；（Ⅱ）求证：对于任意正整数M，必存在k∈N*，使得a k＞M；（Ⅲ）求证：“a1=1”是“存在m∈N*，当n≥m时，恒有a n+2≥a n成立”的充要条件．【解答】解：（Ⅰ）2，1，1，2，2，3，1 …，证明（Ⅱ）假设存在正整数M，使得对任意的k∈N*，a k≤M．由题意，a k∈{1，2，3，…，M}考虑数列{a n}的前M2+1项：a1，a2，a3，…，其中至少有M+1项的取值相同，不妨设此时有：，矛盾．故对于任意的正整数M，必存在k∈N*，使得a k＞M．证明（Ⅲ）充分性：当a1=1时，数列{a n}为1，1，2，1，3，1，4，…，1，k﹣1，1，k，…特别地，a2k﹣1=k，a2k=1故对任意的n∈N*（1）若n为偶数，则a n+2=a n=1（2）若n为奇数，则综上，a n+2≥a n恒成立，特别地，取m=1有当n≥m时，恒有a n+2≥a n成立必要性：方法一：假设存在a1=k（k＞1），使得“存在m∈N*，当n≥m时，恒有a n+2≥a n 成立”则数列{a n}的前k2+1项为k，1，1，2，1，3，1，4，…，1，k﹣1，1，k2，2，3，2，4，…，2，k﹣1，2，k3，3，4，…，3，k﹣1，3，k…k﹣2，k﹣2，k﹣1，k﹣2，kk﹣1，k﹣1，kk后面的项顺次为k+1，1，k+1，2，…，k+1，kk+2，1，k+2，2，…，k+2，kk+3，1，k+3，2，…，k+3，k…对任意的m，总存在n≥m，使得a n=k，a n+2=1，这与a n≤a n+2矛盾，故若存在m∈N*，当n≥m时，恒有a n≥a n成立，必有a1=1+2≥a n恒成立，记max{a1，a2，…，a m}=s．方法二：若存在m∈N*，当n≥m时，a n+2由第（2）问的结论可知：存在k∈N*，使得a k＞s（由s的定义知k≥m+1）不妨设a k是数列{a n}中第一个大于等于s+1的项，即a1，a2，…，a k均小于等﹣1于s．=1．因为k﹣1≥m，所以a k+1≥a k﹣1，即1≥a k﹣1且a k﹣1为正整数，所以a k 则a k+1=1．﹣1记a k=t≥s+1，由数列{a n}的定义可知，在a1，a2，…，a k﹣1中恰有t项等于1．假设a 1≠1，则可设，其中1＜i1＜i2＜…＜i t=k﹣1，考虑这t个1的前一项，即，因为它们均为不超过s的正整数，且t≥s+1，所以中一定存在两项相等，将其记为a，则数列{a n}中相邻两项恰好为（a，1）的情况至少出现2次，但根据数列{a n}的定义可知：第二个a的后一项应该至少为2，不能为1，所以矛盾，故假设a1≠1不成立，所以a1=1，即必要性得证综上，“a1=1”是“存在m∈N*，当n≥m时，恒有a n+2≥a n成立”的充要条件．。

【高二数学试题精选】2018年北京市海淀区高二数学上期末试卷(理有答案和解释)

2018年北京市海淀区高二数学上期末试卷(理有答案和解
释）
5
2018学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知圆（x+1）2+2=2，则其圆心和半径分别为（）
A．（1，0），2B．（﹣1，0），2c． D．
【考点】圆的标准方程．
【分析】利用圆的标准方程的性质求解．
【解答】解圆（x+1）2+2=2的圆心为（﹣1，0），
半径为．
故选D．
2．抛物线x2=4的焦点到准线的距离为（）
A． B．1c．2D．4
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】直接利用抛物线方程求解即可．
【解答】解抛物线x2=4的焦点到准线的距离为P=2．
故选c．
3．双曲线4x2﹣2=1的一条渐近线的方程为（）
A．2x+=0B．2x+=1c．x+2=0D．x+2=1
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，由双曲线。

2018-2019学年北京市海淀区高二(上)期末数学试卷(理科)

2018-2019学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．双曲线的一个焦点坐标为（）A．B．C．（2，0）D．（0，2）2．已知椭圆的短轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为（）A．B． C．D．3．已知向量=（2，3，1），=（1，2，0），则|﹣|等于（）A．1 B．C．3 D．94．将一根长为3米的绳子在任意位置剪断，则剪得两段的长度都不小于1米的概率是（）A．B．C．D．5．执行如图的程序框图，若输入t=﹣1，则输出t的值等于（）A．3 B．5 C．7 D．156．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则与事件恰有两个红球既不对立也不互斥的事件是（）A．至少有一个黑球B．恰好一个黑球C．至多有一个红球D．至少有一个红球7．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若α∥β，l∥α，则l⊂β B．若α∥β，l⊥α，则l⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊂β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β8．设m∈R，命题“若m≥0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2=m有实根，则m≥0 B．若方程x2=m有实根，则m＜0 C．若方程x2=m没有实根，则m≥0 D．若方程x2=m没有实根，则m ＜09．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，则双曲线的标准方程为（）A．﹣y2=1 B．x2﹣=1C．﹣=1 D．﹣=111．已知两点A（3，0），B（0，4），动点P（x，y）在线段AB上运动，则xy的最大值为（）A． B．C．3 D．412．用一个平面截正方体和正四面体，给出下列结论：①正方体的截面不可能是直角三角形；②正四面体的截面不可能是直角三角形；③正方体的截面可能是直角梯形；④若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形．其中，所有正确结论的序号是（）A．②③B．①②④C．①③D．①④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．某校高一年级三个班共有学生120名，这三个班的男、女生人数如下表．已知在全年级学生中随机抽取1人，抽到二班女生的概率是0.2．则x=；现用分层抽样的方法在全年级抽取30名学生，则应在三班抽取的学生人数为．14．双曲线的离心率等于；渐近线方程为．15．在某次摸底考试中，随机抽取100个人的成绩频率分布直方图如图，若参加考试的共有4000人，那么分数在90分以上的人数约为人，根据频率分布直方图估计此次考试成绩的中位数为．16．抛物线y2=4x的焦点为F，经过F的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，与准线l交于点B，且AK⊥l于K，如果|AF|=|BF|，那么△AKF的面积是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．一次考试结束后，随机抽查了某校高三（1）班5名同学的数学与物理成绩如下表：（Ⅰ）分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定；（Ⅱ）从以上5名同学中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率．18．某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）．（1）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”，已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一全校中“体育良好”的学生人数；（2）为分析学生平时的体育活动情况，现从体积成绩在[60，70）和[80，90）的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在[60，70）的概率；（3）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且分别在[70，80），[80，90），[90，100]三组中，其中a，b，c∈N，当数据a，b，c的方差s2最小时，写出a，b，c的值．（结论不要求证明）（注：s2= [（x）2+（x2﹣）2+…+（x）2]，其中为数据x1，x2，…，x n的平均数）19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=CB=CC1=2，E 是AB中点．（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1CE；（Ⅱ）求直线A1C1与平面A1CE所成角的正弦值．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，点E是PB的中点，点F在边BC上移动．（Ⅰ）若F为BC中点，求证：EF∥平面PAC；（Ⅱ）求证：AE⊥PF；（Ⅲ）若二面角E﹣AF﹣B的余弦值等于，求的值．21．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设直线y=k（x﹣2）（k≠0）与抛物线相交于M，N两点，O为坐标原点，证明：OM⊥ON．22．已知A，B，C为椭圆W：x2+2y2=2上的三个点，O为坐标原点．（Ⅰ）若A，C所在的直线方程为y=x+1，求AC的长；（Ⅱ）设P为线段OB上一点，且|OB|=3|OP|，当AC中点恰为点P时，判断△OAC的面积是否为常数，并说明理由．2018-2019学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．双曲线的一个焦点坐标为（）A．B．C．（2，0）D．（0，2）【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的方程和性质即可得到结论．【解答】解：由双曲线得a2=3，b2=1，则c2=a2+b2=4，则c=2，故双曲线的一个焦点坐标为（2，0），故选：C【点评】本题主要考查双曲线的性质和方程，根据a，b，c之间的关系是解决本题的关键．2．已知椭圆的短轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为（）A．B． C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：2b=2×2c，即b=2c，a2=b2+c2=4c2+c2=5c2，则a=c，椭圆的离心率e==．【解答】解：由题意可知：设椭圆的方程为：（a＞b＞0），由2b=2×2c，即b=2c，a2=b2+c2=4c2+c2=5c2，则a=c，∴椭圆的离心率e==，椭圆的离心率，故选D．【点评】本题考查椭圆的离心率公式，考查计算能力，属于基础题．3．已知向量=（2，3，1），=（1，2，0），则|﹣|等于（）A．1 B．C．3 D．9【考点】向量的模．【分析】先根据空间向量的减法运算法则求出﹣，然后利用向量模的公式求出所求即可．【解答】解：∵=（2，3，1），=（1，2，0），∴﹣=（1，1，1）∴|﹣|==4．将一根长为3米的绳子在任意位置剪断，则剪得两段的长度都不小于1米的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据题意确定为几何概型中的长度类型，将长度为3m的绳子分成相等的三段，在中间一段任意位置剪断符合要求，从而找出中间1m处的两个界点，再求出其比值．【解答】解：记“两段的长都不小于1m”为事件A，则只能在中间1m的绳子上剪断，才使得剪得两段的长都不小于1m，所以由几何概型的公式得到事件A发生的概率P（A）=．故选：A．5．执行如图的程序框图，若输入t=﹣1，则输出t的值等于（）A．3 B．5 C．7 D．15【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的t的值，当t的值不满足条件（t+2）（t﹣5）＜0时退出循环，输出即可得解．【解答】解：模拟执行程序，可得t=﹣1，不满足条件t＞0，t=0，满足条件（t+2）（t﹣5）＜0，不满足条件t＞0，t=1，满足条件（t+2）（t﹣5）＜0，满足条件t＞0，t=3，满足条件（t+2）（t﹣5）＜0，满足条件t＞0，t=7，不满足条件（t+2）（t﹣5）＜0，退出循环，输出t的值为7．故选：C．6．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则与事件恰有两个红球既不对立也不互斥的事件是（）A．至少有一个黑球B．恰好一个黑球C．至多有一个红球D．至少有一个红球【考点】互斥事件与对立事件．【分析】利用对立事件、互斥事件定义直接求解．【解答】解：从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，在A中，至少有一个黑球与事件恰有两个红球是对立事件，故A不成立；在B中，恰好一个黑球与事件恰有两个红球是互的事件，故B不成立；在C中，至多一个红球与事件恰有两个红球是对立事件，故C不成立；在D中，至少一个红球与事件恰有两个红球既不对立也不互斥的事件，故D成立．故选：D．7．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若α∥β，l∥α，则l⊂β B．若α∥β，l⊥α，则l⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊂β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，l⊂β或l∥β；在B中，由线面垂直的判定定理得l ⊥β；在C中，l与β相交、平行或l⊂β；在D中，l与β相交、平行或l⊂β．【解答】解：由α，β是两个不同的平面，l是一条直线，知：在A中，若α∥β，l∥α，则l⊂β或l∥β，故A错误；在B中，若α∥β，l⊥α，则由线面垂直的判定定理得l⊥β，故B正确；在C中，若α⊥β，l⊥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故C错误；在D中，若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故D错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．8．设m∈R，命题“若m≥0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2=m有实根，则m≥0 B．若方程x2=m有实根，则m＜0 C．若方程x2=m没有实根，则m≥0 D．若方程x2=m没有实根，则m ＜0【考点】四种命题．【分析】根据已知中的原命题，结合逆否命题的定义，可得答案．【解答】解：命题“若m≥0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是命题“若方程x2=m没有实根，则m＜0”，故选：D【点评】本题考查的知识点是四种命题，难度不大，属于基础题．9．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】判充要条件就是看谁能推出谁．由m⊥β，m为平面α内的一条直线，可得α⊥β；反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β．【解答】解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，且m⊥β，则α⊥β，反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β，所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．故选B．【点评】本题考查线面垂直、面面垂直问题以及充要条件问题，属基本题．10．已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，则双曲线的标准方程为（）A．﹣y2=1 B．x2﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】设双曲线的标准方程为（a＞0，b＞0），由2c=2，则c=，由双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，即=，c2=a2+b2，即可求得a和b的值，即可求得双曲线的标准方程．【解答】解：由题意可知：设双曲线的标准方程为（a＞0，b ＞0），由2c=2，则c=，双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，即=，由c2=a2+b2，解得：a=2，b=1，∴双曲线的标准方程为：，故选A．【点评】本题考查双曲线的标准方程及简单几何性质，考查计算能力，属于基础题．11．已知两点A（3，0），B（0，4），动点P（x，y）在线段AB上运动，则xy的最大值为（）A． B．C．3 D．4【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】由题意易得线段AB的方程为，（x≥0，y≥0），由基本不等式可得．【解答】解：由题意可得直线AB的方程为，∴线段AB的方程为，（x≥0，y≥0）∴1=≥2，∴xy≤3，当且仅当即x=且y=2时取等号，xy有最大值3，故选：C．【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及直线的截距式方程，属基础题．12．用一个平面截正方体和正四面体，给出下列结论：①正方体的截面不可能是直角三角形；②正四面体的截面不可能是直角三角形；③正方体的截面可能是直角梯形；④若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形．其中，所有正确结论的序号是（）A．②③B．①②④C．①③D．①④【考点】平行投影及平行投影作图法；棱锥的结构特征．【分析】利用正方体和正四面体的性质，分析4个选项，即可得出结论．【解答】解：①正方体的截面是三角形时，为锐角三角形，正确；②正四面体的截面不可能是直角三角形，不正确；③正方体的截面与一组平行的对面相交，截面是等腰梯形，不正确；④若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形，正确．故选D．【点评】本题考查空间线面位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．某校高一年级三个班共有学生120名，这三个班的男、女生人数如下表．已知在全年级学生中随机抽取1人，抽到二班女生的概率是0.2．则x= 24；现用分层抽样的方法在全年级抽取30名学生，则应在三班抽取的学生人数为9．【考点】分层抽样方法．【分析】由于每个个体被抽到的概率都相等，由=0.2，可得得x 的值．先求出三班总人数为36，用分层抽样的方法在全年级抽取30名学生，求出每个学生被抽到的概率为，用三班总人数乘以此概率，即得所求．【解答】解：由题意可得=0.2，解得x=24．三班总人数为120﹣20﹣20﹣24﹣20=36，用分层抽样的方法在全年级抽取30名学生，每个学生被抽到的概率为=，故应从三班抽取的人数为36×=9，故答案为24；9．14．双曲线的离心率等于2；渐近线方程为y=x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】在双曲线的标准方程中，分别求出a，b，c，再由离心率和渐近线的定义进行求解．【解答】解：双曲线中，a=2，b=2，c==4，∴e===2．渐近线方程为：y=±=x．故答案为：2，y=x．15．在某次摸底考试中，随机抽取100个人的成绩频率分布直方图如图，若参加考试的共有4000人，那么分数在90分以上的人数约为2600人，根据频率分布直方图估计此次考试成绩的中位数为97.5．【考点】频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图的性质求出分数在90分以上的频率，由此能求出分数在90分以上的人数，根据频率分布直方图能估计此次考试成绩的中位数．【解答】解：由频率分布直方图的性质得：分数在90分以上的频率为：1﹣（0.005+0.0125）×20=0.65，∴分数在90分以上的人数约为：0.65×4000=2600．由频率分布直方图知分数在90分以下的频率为（0.005+0.0125）×20=0.35，分数在[90，110）的频率为：0.02×20=0.4，∴根据频率分布直方图估计此次考试成绩的中位数为：90+=97.5．故答案为：2600，97.5．16．抛物线y2=4x的焦点为F，经过F的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，与准线l交于点B，且AK⊥l于K，如果|AF|=|BF|，那么△AKF的面积是4．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，运用抛物线的定义和条件可得△AKF为正三角形，F到l的距离为d=2，结合中位线定理，可得|AK|=4，根据正三角形的面积公式可得到答案．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线为l：x=﹣1，由抛物线的定义可得|AF|=|AK|，由直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，可得|FK|=|AF|，即有△AKF为正三角形，由F到l的距离为d=2，则|AK|=4，△AKF的面积是×16=4．故答案为：4．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．一次考试结束后，随机抽查了某校高三（1）班5名同学的数学与物理成绩如下表：（Ⅰ）分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定；（Ⅱ）从以上5名同学中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；极差、方差与标准差．【分析】（Ⅰ）结合图表，由平均值和方差的定义可得答案；（Ⅱ）列举可得5名学生中选2人包含基本事件有共10个，事件A包含基本事件有7个，由古典概型的公式可得答案．【解答】解：（Ⅰ）5名学生数学成绩的平均分为：5名学生数学成绩的方差为：5名学生物理成绩的平均分为：5名学生物理成绩的方差为：因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大，所以，估计高三（1）班总体物理成绩比数学成绩稳定．（Ⅱ）设选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分为事件A，5名学生中选2人包含基本事件有：A1A2，A1A3，A1A4，A1A5，A2A3，A2A4，A2A5，A3A4，A3A5，A4A5，共10个．事件A包含基本事件有：A1A4，A1A5，A2A4，A2A5，A3A4，A3A5，A4A5，共7个.所以，5名学生中选2人，选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率为．18．某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）．（1）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”，已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一全校中“体育良好”的学生人数；（2）为分析学生平时的体育活动情况，现从体积成绩在[60，70）和[80，90）的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在[60，70）的概率；（3）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且分别在[70，80），[80，90），[90，100]三组中，其中a，b，c∈N，当数据a，b，c的方差s2最小时，写出a，b，c的值．（结论不要求证明）（注：s2= [（x）2+（x2﹣）2+…+（x）2]，其中为数据x1，x2，…，x n的平均数）【考点】极差、方差与标准差；频率分布折线图、密度曲线；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）由折线图求出样本中体育成绩大于或等于70分的学生人数，由此能求出该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数．（2）设“至少有1人体育成绩在[60，70）”为事件A，由对立事件概率计算公式能求出至少有1人体育成绩在[60，70）的概率．（3）当数据a，b，c的方差s2最小时，a，b，c的值分别是79，84，90或79，85，90．【解答】解：（1）由折线图得样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人，∴该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约有：1000×=750人．（2）设“至少有1人体育成绩在[60，70）”为事件A，由题意，得P（A）=1﹣=1﹣，∴至少有1人体育成绩在[60，70）的概率是．（3）∵甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且分别在[70，80），[80，90），[90，100]三组中，其中a，b，c∈N，∴当数据a，b，c的方差s2最小时，a，b，c的值分别是79，84，90或79，85，90．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=CB=CC1=2，E 是AB中点．（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1CE；（Ⅱ）求直线A1C1与平面A1CE所成角的正弦值．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，可知CC1⊥AC，CC1⊥BC，∠ACB=90°，AC⊥BC．建立空间直角坐标系C﹣xyz．则A，B1，E，A1，可得，，，可知，根据，，推断出AB1⊥CE，AB1⊥CA1，根据线面垂直的判定定理可知AB1⊥平面A1CE．（Ⅱ）由（Ⅰ）知是平面A1CE的法向量，，进而利用向量数量积求得直线A1C1与平面A1CE所成角的正弦值【解答】（Ⅰ）证明：∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥AC，CC1⊥BC，又∠ACB=90°，即AC⊥BC．如图所示，建立空间直角坐标系C﹣xyz．A（2，0，0），B1（0，2，2），E（1，1，0），A1（2，0，2），∴，，．又因为，，∴AB1⊥CE，AB1⊥CA1，AB1⊥平面A1CE．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，是平面A1CE的法向量，，∴|cos＜，＞|==．设直线A1C1与平面A1CE所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=．所以直线A1C1与平面A1CE所成角的正弦值为．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，点E是PB的中点，点F在边BC上移动．（Ⅰ）若F为BC中点，求证：EF∥平面PAC；（Ⅱ）求证：AE⊥PF；（Ⅲ）若二面角E﹣AF﹣B的余弦值等于，求的值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）证明EF∥PC即可得EF∥平面PAC．（Ⅱ）证明AE⊥平面PBC 即可得AE⊥PF．（Ⅲ）如图以A为原点建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F（m，2，0），求出平面AEF的一个法向量为，由二面角E﹣AF﹣B的余弦值等于，求出m，即可【解答】解：（Ⅰ）证明：在△PBC中，因为点E是PB中点，点F是BC中点，所以EF∥PC．…..又因为EF⊄平面PAC，PC⊂平面PAC，…．所以EF∥平面PAC．…..（Ⅱ）证明：因为底面ABCD是正方形，所以BC⊥AB．因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BC．PA∩AB=A所以BC⊥平面PAB．…..由于AE⊂平面PAB，所以BC⊥AE．由已知PA=AB，点E是PB的中点，所以AE⊥PB．…..又因为PB∩BC=B，所以AE⊥平面PBC．…..因为PF⊂平面PBC，所以AE⊥PF．…..（Ⅲ）如图以A为原点建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F（m，2，0）．于是，．设平面AEF的一个法向量为=（p，q，r），由得取p=2，则q=﹣m，r=m，…．得=（2，﹣m，m）．…..由于AP⊥AB，AP⊥AD，AB∩AD=A，所以AP⊥平面ABCD．即平面ABF的一个法向量为．…..根据题意，，解得．…..由于BC=AB=2，所以．…..21．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设直线y=k（x﹣2）（k≠0）与抛物线相交于M，N两点，O为坐标原点，证明：OM⊥ON．【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程．【分析】（Ⅰ）利用排趋性的准线方程求出p，即可求解抛物线的方程；（Ⅱ）直线y=k（x﹣2）（k≠0）与抛物线联立，通过韦达定理求解直线的斜率关系即可证明OM⊥ON．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为，所以，解得p=1，所以抛物线的方程为y2=2x．（Ⅱ）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2）．将y=k（x﹣2）代入y2=2x，消去y整理得k2x2﹣2（2k2+1）x+4k2=0．所以x1x2=4．由，，两式相乘，得，注意到y1，y2异号，所以y1y2=﹣4．所以直线OM与直线ON的斜率之积为，即OM⊥ON．22．已知A，B，C为椭圆W：x2+2y2=2上的三个点，O为坐标原点．（Ⅰ）若A，C所在的直线方程为y=x+1，求AC的长；（Ⅱ）设P为线段OB上一点，且|OB|=3|OP|，当AC中点恰为点P时，判断△OAC的面积是否为常数，并说明理由．【考点】椭圆的应用．【分析】（Ⅰ）根据直线和椭圆的位置关系即可求出AC的长；（Ⅱ）联立直线与椭圆的方程，利用根与系数之间的关系即可求出三角形的面积．【解答】解：（Ⅰ）由，得3x2+4x=0，解得x=0或，∴A，C两点的坐标为（0，1）和，∴．（Ⅱ）①若B是椭圆的右顶点（左顶点一样），则，∵|OB|=3|OP|，P在线段OB上，∴，求得，∴△OAC的面积等于．②若B不是椭圆的左、右顶点，设AC：y=kx+m（m≠0），A（x1，y1），C（x2，y2），由得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0，则，，∴AC的中点P的坐标为，∴，代入椭圆方程，化简得2k2+1=9m2．计算|AC|===．∵点O到AC的距离d O﹣AC=．∴△OAC的面积=．综上，△OAC面积为常数．。

2018北京市海淀区高二(上)期末数学(理)

2018北京市海淀区高二(上)期末数学(理)2018北京市海淀区高二（上）期末数学（理）2018.1本试卷共100分.考试时间90分钟.一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线210x y +-=在y 轴上的截距为（）A. 2-B. 1-C. 12-D. 12. 在空间直角坐标系中，已知点(1,0,1)A ，(3,2,1)B ，则线段AB 的中点的坐标是（） A.(1,1,1)B.(2,1,1)C.(1,1,2)D.(1,2,3)3. 已知圆22310x y x m +-++=经过原点，则实数m 等于（）A. 32-B. 1-C. 1D. 324. 鲁班锁是曾广泛流传于民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构, 不用钉子和绳子，完全靠自身结构的连接支撑. 它看似简单，却凝结着不平凡的智慧.下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为（）A. 32B. 34C. 36D.40122244俯视图左视图5. 已知平面,αβ, 直线,m n , 下列命题中假命题是（） A. 若m α⊥,m β⊥, 则αβP B. 若m n P ,m α⊥, 则n α⊥C. 若m α⊥, m β⊂, 则αβ⊥D. 若m αP , αβP ，n β⊂, 则m P n6. 椭圆22:11612x yC +=的焦点为1F ，2F ，若点M 在C 上且满足122MF MF -=，则12F MF ∆中最大角为（） A. 90︒B. 105︒C. 120︒D. 150︒7. “0m <”是“方程22xmy m+=表示双曲线”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 平面α,β,γ两两互相垂直, 在平面α内有一点A 到平面β, 平面γ的距离都等于1. 则在平面α内与点A , 平面β, 平面γ距离都相等的点的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二. 填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 9. 直线:10l x y +-=的倾斜角为____, 经过点(1,1)且与直线l 平行的直线方程为_______. 10. 310x y +-=被圆221xy +=所截得的弦长为_______.11. 请从正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是_________. (只需写出一组)12. 在空间直角坐标系中，已知点(1,2,0)A ，(,3,1)B x -，(4,,2)C y ，若,,A B C三点共线，则x y +=______.13. 已知椭圆1C 和双曲线2C 的中心均为原点，且焦点均在x 轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于右表中, 则双曲线的离心率为_______. 14. 曲线W 的方程为22322()8x y x y +=.(i) 请写出曲线W 的两条对称轴方程______________；(ii)请写出曲线W 上的两个点的坐标______________； (iii)曲线W 上的点到原点的距离的取值范围是____________.三. 解答题：本大题共4小题，共44分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的半径为1，其圆心在射线(0)y x x =≥上，且=22OC （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 过点(1,0)P 且与圆C 相切，求直线l 的方程.x0 426 y 22 2-22如图，在三棱锥P ABC -中，PB PC =，AB AC =，且点D ，E 分别是BC ，PB 的中点．（Ⅰ）求证：DE P 平面PAC ；（Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面PAD ．EDCBAPOCDEF如图，平面ABCF ⊥平面FCDE ，四边形ABCF 和FCDE 是全等的等腰梯形，其中AB FC ED P P ，且122AB BC FC ===，点O 为FC 的中点，点G 是AB 的中点.（Ⅰ）请在图中所给的点中找出两个点，使得这两点所在直线与平面EGO 垂直，并给出证明．．；（Ⅱ）求二面角O EG F --的余弦值；（Ⅲ）在线段CD 上是否存在点H ，使得BH P 平面EGO ？如果存在，求出DH 的长度，如果不存在，请说明理由.已知抛物线2:4W yx=，直线4x =与抛物线W 交于,A B 两点. 点00(,)P x y 00(4,0)x y <≥为抛物线上一动点，直线,PA PB 分别与x 轴交于, M N.（Ⅰ）若PAB ∆的面积为4，求点P 的坐标；（Ⅱ）当直线PA PB ⊥时，求线段PA 的长；（Ⅲ）若PMN ∆与PAB ∆面积相等，求PMN ∆的面积.数学试题答案。

2018北京市清华附中高二(上)期末数学

2018北京市清华附中高二（上）期末数学一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分. 1. 抛物线24y x =的焦点坐标为（A ）（1,0）（B ）（1,0-）（C ）（0,1）（D ）（0,1-）2. 已知()xe f x x=,则'()f x = （A ）()1x e x +（B ）()1xe x -（C ）()21x e x x + （D ）()21x e x x -3. 双曲线2214x y -=的渐近线方程为（A ）12y x =±（B ）32y x =±（C ）2y x =± （D ）52y x =±4. 若过原点的直线l 与圆()2244x y +-=切于第二象限,则直线l 的方程是（A ）3y x = （B ）3y x =- （C ）2y x = （D ）2y x =-5. 椭圆22143x y +=的两个焦点为1F ,2F ,点P 是椭圆上任意一点（非左右顶点）,则12PF F !的周长为（A ）8 （B ）6 （C ）4 （D ）36. 一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图为正方形,则该几何体最大的侧面的面积为（A ）1 （B ）2（C ）3（D ）27. 如果函数323y x x ax =-+存在极值,则实数a 的取值范围是（A ）（3,+∞）（B ）[3,+∞）（C ）（,3-∞）（D ）（,3-∞]8. 如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,点E 、F 是棱BC 、1CC 的中点,P 是底面ABCD 上（含边界）一动点,满足1A P EF ⊥,则线段1A P 长度的取值范围是（A ）[51,2] （B ）[53,22]（C ）[1,3] （D ）[2,3]二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9. 已知21()f x x x=+,则'(1)______f =. 10. 已知双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为34y x =±,则它的离心率为______.11. 已知圆锥的底面半径为3,母线长为4,则该圆锥的体积等于______.12. 若函数2()f x x aInx =-在1x =处取极值,则______a =.13. 已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数,直线2y kx =+与函数()f x 的图象相切,如图所示,则函数()()g x xf x =的图象在点（3,(3)g ）处的切线方程为______.14. 某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出20种商品,第二天售出14种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有5种, 后两天都售出的商品有4种.则该网店 ①第一天售出但第二天未售出的商品有______种; ②这三天售出的商品最少有______种. 三、解答题:15. 已知｛n a ｝是等比数列, 13a =,424a =.数列｛n b ｝满足11b =,48b =-,且｛n n a b +｝是等差数列. （Ⅰ）求数列｛n a ｝和｛n b ｝的通项公式; （Ⅱ）求数列｛n b ｝的前n 项和. 16. 已知函数()sin f x =（3x π+）, x ∈R（Ⅰ）如果点P （34,55）是角α终边上一点,求()f α的值;（Ⅱ）设()()sin g x f x x =+,求()g x 的单调增区间. 17. 已知函数321()3f x x ax x =+-为奇函数.（Ⅰ）求a 的值;（Ⅱ）求函数()f x 在[2,2-]的最小值; （III ）若函数()f x 在区间[1,2t t +]上单调递减,求实数t 的取值范围. 18. 如图,在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形, AD BD ⊥且AD BD =,ACBD O =,PO ⊥平面ABCD .（Ⅰ）E 为棱PC 的中点,求证: //OE 平面PAB ; （Ⅱ）求证: 平面PAD ⊥平面PBD ;（III ）若PD PB ⊥,2AD =,求四棱锥P ABCD -的体积.19. 已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b ＞＞）的右焦点为F （1,0）,离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程;（Ⅱ）过F 且斜率为1的直线交椭圆于M ,N 两点, P 是直线4x =上任意一点.求证:直线PM ,PF ,PN 的斜率成等差数列.20. 已知函数()sin x f x e x ax =-,（Ⅰ）若1a =,求曲线()y f x =在（0,(0)f ）处的切线方程; （Ⅱ）若()f x 在[0,4π]上单调递增,求实数a 的取值范围;（III ）当1a ≤时,求证:对于任意的x ∈[30,4π],均有()0f x ≥.数学试题答案一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ADABBDCD二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.1-10.5411.37π 12.2 13.3y = 14.15;29三、解答题:15. 解: （Ⅰ）因为｛n a ｝是等比数列, 13a =,424a =, 所以公比2q =,通项公式为132n n a -=⨯（*n ∈N ）. 因为｛n n a b +｝是等差数列, 114a b +=,4416a b +=,所以公差4d =,通项公式为4n n a b n +=（*n ∈N ）. 故14432n n n b n a n -=-=-⨯（*n ∈N ）. （Ⅱ）设数列｛n b ｝的前n 项和为n S ,则 12n n S b b b =++1121141324232432n n ---=⨯-⨯+⨯-⨯++⨯-⨯()4123n =⨯+++-⨯（11211222n ---+++）()1432n n +=⨯-⨯（21n -）=222332n n n ++-⨯（*n ∈N ）16. 解:（Ⅰ）因为点P （34,55）是角α终边上一点,所以4sin 5α=,3cos 5α=,则 ()sin f α=（3πα+）sin coscos sin33ππαα=+41335252=⨯+⨯43310+=（Ⅱ）()()sin g x f x x =+sin coscos sinsin 33x x x ππ=++33sin cos 22x x =+ 3sin =（6x π+）令6x π+∈[2,222k k ππππ-++]（k ∈Z ）,得x ∈[22,233k k ππππ-++]（k ∈Z ）. 故()g x 的单调增区间为[22,233k k ππππ-++]（k ∈Z ）. 17. 解:（Ⅰ）因为函数()f x 为奇函数,所以321()3f x x ax x -=-++321()3f x x ax x =-=--+解得0a =（Ⅱ）因为31()3f x x x =-,所以'2()1f x x =-.令'()0f x =,得1x =±.则在[2,2-]上,随着x 的变化，'()f x 的变化情况如下表：x（2,1--） 1- （1,1-） 1 （1,2）因为2(2)3f -=-,2(1)3f =-.所以函数()f x 在[2,2-]的最小值为23-.（Ⅲ）由（Ⅱ）可知,()f x 在[1,1-]上单调递减, 故[1,2t t +]⊆[1,1-],解得t ∈[11,2-]. 18. 解:（Ⅰ）证明:因为点E 为棱PC 的中点,点O 为AC 的中点, 所以//OE PA ,又因为PA ⊆平面PAB , 所以//OE 平面PAB .（Ⅱ）证明:因为PO ⊥平面ABCD ,又AD ⊆平面ABCD所以PO AD ⊥,又因为AD BD ⊥,所以AD ⊥平面PBD ,又因为AD ⊆平面PAD . 所以平面PAD ⊥平面PBD .（Ⅲ）因为2AD BD ==,又AD BD ⊥, 所以四边形ABCD 的面积为4 因为PD PB ⊥,点O 为BD 的中点, 所以112PO BD ==. 所以四棱锥P ABCD -的体积为:144133⨯⨯=.19. 解:（Ⅰ）因为1c =,12c e a ==,所以2a =,则3b =. 故椭圆C 的方程为:22143x y +=. （Ⅱ）证明:因为直线MN 方程为:1y x =-,联立椭圆C 的方程解得'()f x 0＞ 0= 0＜ 0= 0＞()f x递增极大值递减极小值递增M （462623,77+-）,N （462362,77---）. 设P （04,y ）,则0062376237462246247PMy y k ---+==+--,0062376237462246247PNy y k ---++==-+-,03PF y k =有0007623762322324622462PM PN PF y y y k k k -++++=+==-+ 所以直线PM ,PF ,PN 的斜率成等差数列.20. 解:（Ⅰ）因为函数()sin x f x e x x =-,则'()sin cos 1x x f x e x e x =+-.又因为(0)0f =,'(0)0f =.所以曲线()y f x =在（0,(0)f ）处的切线方程为:0y =.（Ⅱ）因为()sin x f x e x ax =-,所以'()2sin x f x e =（4x π+）a -.函数()f x 在[0,4π]上单调递增⇔'()f x 在[0,4π]上恒有'()0f x ≥.即2sin x e （4x π+）a ≥恒成立.令()2sin x g x e =（4x π+）,则min ()g x a ≥.又因为()g x 在[0,4π]上单调递增,所以min ()(0)1g x g ==,所以1a ≤.（Ⅲ）证明: 因为()sin x f x e x ax =-,所以'()2sin x f x e =（4x π+）a -.令()2sin x g x e =（4x π+）,则'()2cos x g x e x =.①当x ∈[0,2π]时,'()0g x ≥,()g x 递增,有min ()()(0)1g x g x g ≥==,因为1a ≤,此时,'()()0f x g x a =-≥,()f x 递增,有min ()()(0)0f x f x f ≥==成立.②当x ∈（3,24ππ]时,'()0g x ≤,()g x 递减,有min 3()()()04g x g x g π≥==, 若0a ≤,此时'()()0f x g x a =-≥,()f x 递增, ()0f x ≥显然成立. 若a ∈（0,1],此时记'0()0f x =,则()f x 在（0,2x π]上递增,在（03,4x π]上递减.此时有()(0)02f f π≥=,334432323()42424f e a e πππππ=-≥-, 构造2()2x t x e x =-,则'2()12xt x e =-, 令'()0t x =,求得2x In =.故()t x 在（,2In -∞]上递减,在（2,In +∞）上递增,所以3242322120242Ine eIn In ππ-≥-=-＞所以3()04f π＞,此时满足()0f x ≥ 综上所述,当1a ≤时,对于任意的x ∈[30,4π],均有()0f x ≥.。

2018北京市海淀区高二(上)期末数学(文)【名校真题.北京】

2018北京市海淀区高二（上）期末数学（文） 2018.1第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题4分，共32分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）直线210x y +-=在轴上的截距为A. 2-B. 1-C. 12-D. 1 （2）双曲线22:1169x y C -=的渐近线方程为 A. 34y x =± B. 43y x =± C. 916y x =± D. 169y x =± （3）已知圆22310x y x m +-++=经过原点，则实数m 等于A. 32-B. 1-C. 1D. 32（4）鲁班锁是曾广泛流传于民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身结构的连接支撑.它看似简单，却凝结着不平凡的智慧.下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为A.32B.34C.36D.40（5）椭圆22:11612x y C +=的焦点为12,F F ，若点M 在C 上且满足122MF MF -=，则12F MF ∆中最大角为 A. 090 B. 0105 C. 0120 D. 0150（6）“0m p ”是“方程22x my m +=表示双曲线”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件（7）已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，下面说法正确的是 A.m m n n αβαβ⊥⎫⎪⊂⇒⊥⎬⎪⊂⎭ B. ////m m n n αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊂⎭C. m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭D. ////m m αββα⎫⇒⎬⊂⎭122244俯视图左视图主视图（8）在正方体的1111ABCD A B C D -中，点P 是BC 的中点，点Q 为线段1AD （与1AD 不重合）上一动点.给出如下四个推断：①对任意的点Q ，1//AQ 平面11B BCC ； ②存在点Q ，使得1//AQ 1B P ； ③对任意的点Q ，11B Q A C ⊥则上面推断中所有正确．．的为zz A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。

2017-2018学年北京市海淀区高三上学期期末考试理科数学试卷答案

………………7分
………………8分
（III）存在实数μ满足题设条件
………………10分
………………11分
故存在实数μ，满足题设条件………………13分
（20）证明：
………………1分
………………2分
………………4分
………………5分
………………6分
（分析：
）
………………9分
∴当0≤x≤2时，有
………………13分
∴第一个空填①②③，第二个空填②
（14）；
三.解答题。
（15）解： ………………2分
………………4分
∴在△ABC中，C＝60°………………6分
………………8分
………………10分
………………13分
（16）（I）证：
………………2分
………………4分
（II）解：连AC1交A1C于E点，取AD中点F
连EF、CF，则EF∥C1D
∴∠CEF是异面直线A1C与C1D所成的角（或补角）………………5分
………………8分
………………9分
（III）解：延长A1D与AB延长线交于点G，连结CG
∵A1A⊥底面ACG，过A作AH⊥CG于H，连A1H
由三垂线定理，A1H⊥CG
………………10分
………………11分
………………13分
………………14分
（18）（I）证明：
………………2分
………………4分（II）解： …… Nhomakorabea………6分
………………8分
（III）解：
………………10分
………………11分
………………12分
用数学归纳法证明如下：
………………14分
（19）解：