统计学原理-第六章 抽样调查(复旦大学第六版)

全体。其单位数用N来表示。
2．样本总体：简称样本，是从全及总体中随机
抽取出来，代表全及总体部分单 位的集合体。单位数用n表示。
5
二．全及指标和抽样指标
（一）全及指标
X 总体平均数： X N 总体成数：P
2
XF 或X F Q＝
2 2
N1 N N
（X－X） 总体方差： ＝ 总体标准差：＝ （X－X）
N N 1 N 2 N n 1 N! c n! n! N n ! 4 3 2 1 2 例如C4 6 2 1 2 1
n N
（四）不考虑顺序的重复抽样数目
n n DN CN n 1
例如D C
2 4
2 4 2 1
表6－5 抽样产品使用寿命资料表
使用时间 （小时） 900以下 900－950 950－1000 1000－1050
抽样检查 灯泡数
2 4 11 71
使用时间 （小时） 1050－1100 1100－1150 1150－1200 1200以上 合计
抽样检查 灯泡数
84 18 7 3 200
25
质量规定，使用寿命在 1000 小时以上者为合格品， 200 (2 4 11) 183 则电灯泡合格率 p 91.5% 200 200 电灯泡平均使用时间 x 1057 小时 , 标准差＝53.63小时 灯泡使用时间抽样平均 误差 : 重复抽样: x
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不重复抽样方法：从总体N个单位中要随机 抽取容量为n的样本，每次从总体中抽取一 个，连续进行n次抽选，构成抽样样本。每 次抽出一个单位记录其有关标志表现后不再 放回总体中，不再进行下一次的抽选。因此， 不重复抽样的样本有如下特别之处： （1）实质上等于一次性抽取n个抽样样本 （2）抽选的结果不是相互独立的，第一次 抽选的结果影响下一次抽样。每一试验的概 率不同。
0.915 0.085 200 (1 ) 1.952% 200 10000
27
第四节 全及指标的推断
一、抽样推断要求
用抽样指标估计总体指标就该有三个要求或标准， 满足了这三个要求，就可以认为是合理的估计或优良 估计。
1、无偏性 即用抽样指标估计总体指标，要求所有可能样本 指标的平均数等于被估计总体指标。
31
2、抽样极限误差
抽样极限误差：是抽样指标与全及指标离差绝对值。
设 x 与 p 分别表示抽样平均数 与抽样成数的抽样极限 误差，则有 x x X X x x X x x x X x x X x x p p P Pp p P p p p P p p P p p
2
n (1 ) n N
2
20
(二)抽样成数的抽样平均误差
N1 p 占全及总体的比重： 具有某一标志的单位数 N N0 q 数占全及总体的比重： 不具有这一标志的单位 N N1 N 0 1 pq N N q 1 p
21
表6－4
交替标志的平均数和标准差计算表
交替 单位数 变量 标志 （成数） ×成 （变 数 量）
x
x E ( x)
2
18
说明：根据数理统计理论，在重复抽样条件下， 抽样平均误差与全及总体的标准差成正比例关系。 与抽样总体单位平方根成反比关系。
19
在不重复抽样情况下，抽样平均误差计算公式如下：
x x

N n 250 4－2 ( )＝ （ ） ＝9.13(件) n N 1 2 4－1
X源自文库
1
2
3
正态分布及其曲线下的面积图
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以上述灯泡使用时间的检验为例，说明抽样推断方法： 已知：
x 1057 小时，合格率 p 91.5％， 灯泡使用时间抽样平均 误差 x 3.7922 小时 合格率的平均误差 p 1.972% 当t 1，概率保证为 68.27％， x 1 3.9722 3.9722 小时 1053 .21小时 X 1060 .79小时 p 1 0.01972 1.972% 则89.53 ％ P 93.47%
35
当t 2时，概率保证为 95.45 ％ x 2 3.7922 7.58小时 则1049 .42小时 X 1064 .58小时 p 2 0.01972 3.944% 则87.55% P 95.44%
（一）抽样调查的目的是由部分来推断总体 （二）抽选部分单位时要遵循随机原则（排除主观性） （三）会产生抽样误差，抽样误差可以计算，并且可 以控制。
3
三．抽样调查的适用范围
（一）有破坏性、有消耗性的调查。
（二）理论上可以进行全面调查，但实际上不可行， 如：职工家庭生活调查等。
（三）能节省人力、费用和时间，而且比较灵活。
Ex X
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2、一致性 当抽样单位数充分大时，抽样指标和未知 的总体指标之间的绝对离差为任意小的可能性 也趋于必然性。
x X 任意小
3、有效性
即用抽样指标估计总体指标，要求作为优良估 计量方差应该比其他估计量的方差小。

2
x X f
2
f

2
x X f
x E ( x)
400 225 25 0
离差平方
2
5 6 7 8
9 10 11 12
50 50 50 50
70 70 70 70
40 50 70 80
40 50 70 80
45 50 60 65
55 60 70 75
-15 -10 0 5
-5 0 10 15
225 100 0 25
25 0 100 225
X 40＋50＋70＋80 240 X＝ ＝ ＝ ＝60 （件） N 4 4
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如果采取重复抽样方法，则所有可能样本以及平均产量 资料如表6－1、表6－2
表6－2 序号 1 2 3 4 合计 全及指标方差计算表 产量离差 X－X －20 －10 10 20 － 离差平方 （X－X）2 400 100 100 400 1000 产量 X 40 50 70 80 240
5 4 3 2 1 C 10 2 1 3 2 1
2 5
11
四、抽样调查的理论依据
1、大数定律 2、中心极限定律

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第三节 抽样平均误差
一．抽样误差的概念 抽样误差：是指样本指标和总体指标之间数量上的差别。 二．影响抽样平均误差的因素 1．全及总体标志的变动程度 2．抽样单位数的多少 3．抽样组织的方式
样本标准差：＝
( x x)
n
2
x x f 或 f x x f 或 f
2 2 2
7
三．抽样方法和样本可能数目
抽样方法分：重复抽样和不重复抽样。 重复抽样方法：从总体N个单位中随机抽取 容量为n的样本，每次从总体中抽取一个， 把他看做是一次试验，连续进行n次试验构 成抽样样本。每次抽出一个单位记录其有关 标志表现后又放回总体中，重新进行下一次 的抽选。因此，重复抽样的样本是由n次相 互独立的连续试验所组成。每次试验是在完 全相同的条件下进行的。每个单位中选或不 中选的机会在每次都完全一样。
2 （ X － X ） 1000 标准差＝ ＝ ＝15.81(件) N 4
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表6—1 序 号
1 2 3 4
全及指标方差计算表 平均数离差
样本变量 X (1) (2)
40 40 40 40 40 50 70 80
样本平均 数 x
40 45 55 60
x E(x)
-20 -15 -5 0
2
53.632 3.7922 (小时) n 200
不重复抽样: x
2
n (1 ) n N
53.632 200 (1 ) 3.7541 (小时) 200 10000
26
灯泡合格率的抽样平均 误差 : 重复抽样: p 不重复抽样: p p (1 P ) 0.915 0.085 1.972% n 200 p (1 P ) n (1 ) n N
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四．抽样平均误差的计算
抽样平均误差：是抽样平均数的标准差或成数标准差。 (一)抽样平均数的抽样平均误差
x
x E ( x)
2
样本可能数目 K
样本平均数的平均数 E（x)
＝X 样本可能数目
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x
例如，有4个工人，各人每月产量分别是40，50， 70，80件，现在随机从中抽取2人，并求平均加工 零件数，用以代表4人总体的平均产量水平。
1
本章主要内容：
1．抽样调查的意义 2．抽样调查的基本概念及理论依据 3．抽样平均误差 4．全及指标的推断
5．抽样方案设计
6．必要抽样单位数的确定 7．假设检验
2
第一节 抽样调查的意义
一．抽样调查的概念
抽样调查：按照随机的原则从总体中抽取一部分单位 进行观察，并对总体进行推断。
二．抽样调查的特点
2
N
X X F 或 F X X F 或 F
2 2
N 0 N－N1 ＝ ＝1－P N N
6
（二）抽样指标
x 样本平均数： x n n1 样本成数：p , n （x x) 样本方差： ＝
2 2
xf 或x f n0 n n1 q 1 p n n n
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序号
13 14 15 16
合计
样本变量 X (1) (2) 80 40 80 50 80 70 80 80 ---
样本平 均数 x
平均数离差
x E(x)
0 5 15 20 --
x E ( x)
0 25 225 400 2000
离差平方
2
60 65 75 80
960
960 样本平均数的平均数 E ( x) 60(件) 样本可能数目 16 2000 抽样平均误差 x 11.18(件) 样本可能数目 16 15.81 抽样平均误差 x 11.18(件) n 2
（四）在有些情况下，抽样调查的结果比全面调查要准确
（五）用抽样调查的资料修正和补充全面调查资料
（六）抽样调查方法可以用于工业生产过程中的质量控制
（七）利用抽样推断的方法，可以对于某种假设进行检验
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第二节 抽样调查的基本 概念及理论依据
一．全及总体和抽样总体
1．全及总体：简称总体，是指所要认识对象的
32
3．可信程度（教材333页，正态概率表）
x x X t x p p P t p t x x X
x
p


n pP P1 P n
t
p

P F (t ) 概率P与概率度是一对函数关 系。
33
3
2
1
68．27％ 95．45％ 99．73％
2 2 p
2
q
q p p q qp(q p) qp 1 1 2 p(1 p)
2 2
p(1 p)
23
重复抽样成数的平均误 差： p 不重复抽样成数的平均 误差： p
p(1 p) n p(1 P) n (1 ) n N
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例，某灯泡厂对10000个产品进行使用寿命检验，随机抽 取2％样本进行测试，所得资料见表6－5所示
（一）考虑顺序的不重复抽样数目
N! A N ( N 1)(N 2) ( N n 1) ( N n)! 4 3 2 1 2 例如A4 12 2 1
n N
（二）考虑顺序的重复抽样数目
B N
n N 2 4
n 2
例如 B 4 16
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（三）不考虑顺序的不重复抽样数目
离差
离差 平方
离差平方 乘权数
x 合格品 不合格 合计 1 0 －
f P q P+q=1
xf p 0 P
x－x (x-x)2 1-p 0-p － (1-p)2 (0-p)2 －
(x-x)2f (1-p)2p (0-p)2q q2p+p2q=qp
22
xf 1 p 0 q p x＝ p pq 1 f ( x x) f (1 p) p (0 p) pq f
/
/ 2
f
29
二、抽样推断的方法
（一）点估计
点估计也叫定值估计（直接估计），就是把样本平 均数或样本或成数直接作为总体平均数或总体成数 的估计值。
XX

P P

30
（二）区间估计
1.区间估计的意义
在一定概率的保证下，用样本指标去推 断总体指标，在考虑抽样误差的前提下，使 得总体指标落到某一范围之内，即根据抽样 指标定出置信区间和置信度。