(完整版)专题函数的周期性

专题函数的周期性

一知识点精讲

1 .周期函数的定义：对于f (x)定义域内的每一个x ,都存在非零常数T ,使得f(x T) f (x)恒成立，则称函数f (x)具有周期性，T叫做f (x)的一个周期，则kT (k Z,k 0 )也是f (x)的周期，所有周期中的最小正数叫 f (x)的最小正周期.周期函数的定义域一定是无限集

2性质

①若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；

3•几种特殊的具有周期性的抽象函数:

函数y f x满足对定义域内任一实数x (其中a0为常数)

(1) f x f:X a，则y f x的周期T a .

(2) f x a f x，贝U f x的周期T2a .

(3) f x a的周期T2a .

，贝U T x

f x

(4) f x a f x a，贝U f x的周期T2a .

(5) f(x a)1 f (x)，则f x

1 f(x)的周期

T2a .

(6) f(x a) 1 f(x)，则f

1 f (x)

x的周期T4a数.

(7) f(x a) 1 f (x)，则f x

1 f(x)

的周期T4a .

(8)函数y f (x)满足f (a x) f (a x)(a 0), 若f (x)为奇函数，则其周期为

T 4a，若f (x)为偶函数，则其周期为T 2a .

(9)函数y f (x) x R的图象关于直线x a和x b a b都对称，则函数f (x)是

以2 b a为周期的周期函数.

(10) 函数y f (x) x R的图象关于两点A a, y o > B b, y o a b都对称，则函数

f (x)是2 b a为周期的周期函数.

(11) 函数y f (x) x R的图象关于A a, y0和直线x b a b都对称，则函数

f (x)是以4 b a为周期的周期函数.

(12) f(x a) f(x) f (x-a)，则f (x)的周期T 6a.

二典例解析

1. 设f(x)是(—a , +s)上的奇函数，f(x+2)= —f(x),当0W x w 1 时，f(x)=x ,则f(7.5)=( )

A.0.5

B. —0.5

C.1.5

D. —1.5

2. 若y=f(2x)的图像关于直线x a和x b(b a)对称，则f(x)的一个周期为( )

②若周期函数f(x)的周期为T,则f( x)(0)是周期函数，且周期为

2 2

的解析式。

6.数列｛a n ｝中印 1卫2 5,a n 2 a n 1 a n ,则 a 2006 ___________________

7已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x (0,1)时，f(x 1) x 1.求f (x)在(1,2)上 的解析式。

2. f(x)是定义在R 上的以3为周期的偶函数， 且 f(1)

0,则方程f(x)

0在区间(0,6)内

解的个数的最小值是

(

)

A . 5

B

. 4

C

.3 D . 2

4. f (x)是偶函数，且 f (0) 993,又 g(x)

f (x 1)为奇函数，则f(1992)= ___________

B . 2(b a)

C .二

D . 4(b a)

3.已知

f(x)

在R 上是奇函数满足 f(x 3)

f(x), f(1) 2 , 则 f (5)

4.已知定义在

R 上的奇函数f (x)满足f(x

2) f (x)，则

f (2008) =

例5.已知函数 y f (x)是定义在R 上的周期函数，周期T 5，函数y f (x)( 1 x 1)

是奇函数又知 y f(x)在［0,1］ 上是一 -次函数, 在［1,4］上是二次函数, 且在x 2时函数取 得最小值 5。 ①证明：f(1) f (4) 0 ;

②求 y f (x),x

［1,4］的解析式；③求 y f(x)在［4,9］上

9、函数y f (x)定义域为 2 x 6 时，f(x) 2

R ,且恒满足f(x 1 x ，

2

2) f (2 x)和 f(6 x) f (6 x)，当

求f (x)解析式。 10、已知偶函数y f(x)定义域为

0,4上只有三个实根，且一个根是 附参考答案：

T 1 : 1 T 2: (1,0) T 3 :

1

1 T 6 :①x ②x

4

2

1 —(x 8k)

2 1 (x 8k) 2

T 10 :方程的根为

6 4

T 9: f(x)

T 7 :

R ， 4, 且恒满足f (x

求方程在区间

T 4: y 轴即x

T s :②④ (8k 2 x 8k 2)

f(2 x)，若方程 f (x)

0在

8,10中的根。

0 T 5 :①y 轴②

(8k 2 x 8k

2、02、46810共 9 个根。

2,k Z) 6,k Z)

x 1 x 2 x 3 x 4 12 4 8

8 f(x)的定义域是 R ,且 f(x 2)[1

f(x)] 1 f(x),若 f(0) 2008,求

f(2008)的值

(

2009 山东理)10. 定义在R 上的函数

f(x)满足 f(x)=

log 2(1 x),x

f (x 1) f (x

山 ，则f

2),x 0

(2009) 的值为( )

A.-1

B. 0

C.1

D. 2

【解析】

:由已知得 f( 1) log 2 2 1, f(0) 0, f(1) f(0) f( 1) 1,

f(2) f(1) f(0) 1, f(3)

f(2)

f(1)

1 (

1) 0,

f(4)

f(3)

f(2)

0 ( 1) 1, f (5) f (4) f (3) 1，f(6)

f(5)

f(4) 0,

所以函

数 f(x)的值以 6为周期重复性出现 •，所以 f ( 2009) =f ( 5)=1,故选 C.

(2009山东理)16.已知定义在 R 上的奇函数f (x)，满足f (x 4) f (x),且在区间［0,2］

上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间 8,8上有四个不同的根x-i , x 2, x 3, x 4 ,则

x-i x 2 x 3 x 4

________

【解析】：因为定义在

R 上的奇函数，满足 f (x

4)

f(x 8) f (x)所以函数是以

8为周期的周期函数，又因为f (x)在区间［0,2］上是增函数,所 以f(x)在区间［-2,0］上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间 8,8上有四个 不同的根x 1,

x 2, x 3, x 4,不妨设x-i x 2 x 3 x 4由对称性知 x , x 2 12 x 3 x 4

4所以

9•已知函数f (x)满足f (x 1)

1

一空，若 f (0)

1 f(x)

2004，试求 f (2005)。

由f (x)为奇函数，所以函数图象关于直线

x 2对称且 f(0) 0,由 f(x 4) f (x)知

f(x)，所以 f(x 4) f( x),所以,