(完整版)专题函数的周期性
函数周期性公式大总结
函数周期性公式大总结函数是数学中一种非常重要的概念，它描述了数值之间的关系。
而函数的周期性则是函数中一种特殊的性质，它在数学推导和实际应用中具有广泛的应用价值。
本文将对函数周期性公式进行总结，以帮助读者加深对这一概念的理解。
一、正弦函数与余弦函数的周期性公式正弦函数与余弦函数是最常见的周期函数之一，它们在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
它们的周期性公式如下：1. 正弦函数的周期性公式：\[sin(x+2πn)=sin(x)\]其中 \(n\) 为整数。
这个公式意味着正弦函数在 \(2π\) 的整数倍的变换下保持不变。
2. 余弦函数的周期性公式：\[cos(x+2πn)=cos(x)\]同样地，这个公式说明了余弦函数在 \(2π\) 的整数倍的变换下保持不变。
二、指数函数的周期性公式指数函数是另一类常见的函数，其公式如下：\[f(x)=a^x\]其中 \(a\) 为常数，又称为底数。
指数函数不同于正弦函数和余弦函数，它通常不具备周期性。
然而，我们可以通过引入“模”的概念，使指数函数具备周期性。
3. 指数函数的周期性公式：\[a^{x+ln(a)n}=a^x\]其中 \(n\) 为整数，\(ln(x)\) 为自然对数。
这个公式说明了指数函数在 \(ln(a)\) 的整数倍的变换下保持不变。
三、对数函数的周期性公式对数函数是指数函数的逆运算，其公式如下：\[f(x)=log_{a}(x)\]其中 \(a\) 为底数。
对数函数也可以借助模的概念引入周期性。
4. 对数函数的周期性公式：\[log_{a}(x+ln(a)n)=log_{a}(x)\]其中 \(n\) 为整数，\(ln(x)\) 为自然对数。
这个公式说明了对数函数在 \(ln(a)\) 的整数倍的变换下保持不变。
四、三角函数的周期性公式除了正弦函数和余弦函数外，还有其他几种常见的三角函数，如正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。
它们同样具备周期性，并可以通过以下公式进行表示。
函数的周期性
函数的周期性一、正弦函数的周期三角函数，以正弦函数 y = sin x 为代表，是典型的周期函数. 幂函数 y = x α 无周期性，指数函数 y = a x 无周期性，对数函数 y =log a x 无周期，一次函数 y = kx +b 、二次函数 y = ax 2+bx +c 、三次函数 y = ax 3+bx 2 + cx +d 也无周期性.周期性是三角函数独有的特性.1、正弦函数 y =sin x 的最小正周期在单位圆中，设任意角α的正弦线为有向线段MP . 正弦函数的周期性动点P 每旋转一周，正弦线MP 的即时位置和变化方向重现一次. 同时还看到，当P 的旋转量不到一周时，正弦线的即时位置包括变化方向不会重现.因此，正弦函数y =sin x 的最小正周期2π.2、y =sin （ωx ）的最小正周期设ω>0，y =sin （ωx ）的最小正周期设为L .按定义 y = sin ω（x +L ） = sin （ωx + ωL ） = sin ωx . 令ωx = x ' 则有 sin （x ' + ωL ） = sin x ' 因为sin x 最小正周期是2π，所以有ωωπ2π2=⇒=L L例如 sin2x 的最小正周期为π2π2= sin2x 的最小正周期为π421π2=3、正弦函数 y =sin （ωx +φ） 的周期性对正弦函数sin x 的自变量作“一次替代”后，成形式y = sin （ωx +φ）. 它的最小正周期与y = sin ωx 的最小正周期相同，都是ωπ2=L .如⎪⎭⎫⎝⎛+=2π3sin x y 的最小周期与 y = sin （3x ）相同，都是3π2. 于是，余弦函数⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2πsin 2πsin cos x x x y 的最小正周期与sin x 的最小正周期相同，都是2π.二、复合函数的周期性将正弦函数 y = sin x 进行周期变换x →ωx ，sin x →sin ωx后者周期变为)0(π2>ωω而在以下的各种变换中，如（1）初相变换sin ωx → si n （ ωx +φ）；（2）振幅变换sin （ωx +φ）→ A sin （ ωx +φ）；（3）纵移变换 A si n （ ωx +φ） → A si n （ ωx +φ）+m ；后者周期都不变，亦即 A si n （ ωx +φ） +m 与si n （ωx ）的周期相同，都是ωπ2.而对复合函数 f （sin x ）的周期性，由具体问题确定.1、复合函数 f （sin x ） 的周期性 【例题】 研究以下函数的周期性： （1）2 sin x ； （2）x sin（2）x sin 的定义域为［2k π，2k π+π］，值域为［0，1］，作图可知， 它是最小正周期为2π的周期函数.【解答】 （1）2sin x 的定义域为R ，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2 ,21，作图可知，它是最小正周期为2π的周期函数. 【说明】 从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，还可确定，log a x ，sin x ，xsin 1， sin （sin x ）都是最小正周期2π的周期函数.2、y = sin 3 x 的周期性对于y = sin 3x =(sin x )3，L =2π肯定是它的周期，但它是否还有更小的周期呢？ 我们可以通过作图判断，分别列表作图如下.图上看到，y = sin 3x 没有比2π更小的周期，故最小正周期为2π.3、y = sin 2 x 的周期性对于y = sin 2x = (sin x )2，L =2π肯定是它的周期，但它的最小正周期是否为2π？ 可以通过作图判定，分别列表作图如下.图上看到，y = sin 2x 的最小正周期为π，不是2π.4、sin 2n x 和sin 2n -1 x 的周期性y = sin2x 的最小正周期为π，还可通过另外一种复合方式得到. 因为 cos2x 的周期是π，故 sin 2x 的周期也是π.sin 2x 的周期，由cos x 的2π变为sin 2x 的π. 就是因为符号法“负负得正”所致.因此，正弦函数sin x 的幂符合函数sin m x ，当m =2n 时，sin m x 的最小正周期为π；m = 2n –1时，sin m x 的最小正周期是2π.5、幂复合函数举例【例1】 求 y =|sin x |的最小正周期.【解答】 x x y 2sin |sin |==最小正周期为π.【例2】 35)(sin x y =求的最小正周期.【解答】 5335)(sin )(sin x x =最小正周期为2π.【例3】 求52)(sin x y =的最小正周期.【解答】5252)(sin )(sin x x =最小正周期为π.【说明】 正弦函数sin x 的幂复合函数pq x )(sin . 当q 为奇数时，周期为2π；q 为偶数时，周期为π.三、周期函数的和函数两个周期函数，如 sin x 和 cos x ，它们最小正周期相同，都是 2π. 那么它们的和函数，即 si nx + cos x 的最小正周期如何？)4πsin(2cos sin +=+x x x和函数的周期与原有函数的周期保持不变. 这个结论符合一般情况.对于另一种情况，当相加的两个函数的最小正周期不相同，情况将会如何？1、函数 sin x + sin2 x 的周期性sin x 的最小正周期为2π，sin2x 的最小正周期是π，它们之间谁依赖谁，或依赖一个第三者？ 列表如下.表上看到函数sin x +sin2x 的最小正周期是2π.2、函数 sin x + sin2x 的周期性依据上表，作sin x +sin2x 的图像如右.从图上看到，函数的最小正周期为2π. 由si nx ，sin2x 的最小正周期中的大者决定，因为前者是后者的2倍.从图上看到，sin x +sin2x 仍然是个“振动函数”，但振幅已经不是常数了.3、函数sin x +sin32x 的周期性 sin x 的最小正周期为2π，sin 32x 的最小正周期是3π. 它们之间的和sin x + sin 32x 的最小正周期也由“较大的”决定吗？即“和函数”的周期为3π吗？不妨按周期定义进行检验. 设2π0=x 则x 0 +3π=π32π+ 2312π32sin 2πsin 2π)(0+=⎪⎭⎫⎝⎛•+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=f x f )(23127π32sin 27πsin π32ππ)3(00x f f x f ≠+-=⎪⎭⎫⎝⎛•+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+因此3π不是sin x + sin32x 的最小正周期.通过作图、直观看到，sin x +sin32x 的最小正周期为6π，即sin x 和sin 32x 最小正周期的最小倍数.四、周期函数在高考中三角函数是高考命题的重要板块之一，小题考，大题也考，比分约占高考总分的七分之一，与立体几何相当. 与立几不同的是，它还与函数、方程、不等式、数列、向量等内容综合.正弦函数是三角函数的代表，而周期性又是正弦函数的特性. 关系到正弦函数的试题，有2种形式. （1）直接考，求正弦函数的最小正周期.（2）间接考，考周期在正弦函数性质中的应用. 求单调区间，求最值，简单方程的通解等.1、求正弦函数的周期【例1】 函数 y =|sin 2x|的最小正周期为 （A ）2π（B ）π （C ）2π （D ）4π 【解答】 2sin |2sin |2x x y == 最小正周期是2sinx最小正周期的一半，即2π. 答案为（C ） 【说明】 图象法判定最简便，|sin x |的图象是将sin x 的图象在x 轴下方部分折到x 轴上方去. 倍角法定判定最麻烦 x xy cos 212sin2-== 【解答】 （1）y = 2cos2x + 1的最小正周期由cos2x 决定2、求正弦函数的周期【例2】 （1）y =2cos 2x +1的最小正周期为 .（2）y =|sin x + cos x |的最小正周期为 .【解答】 （1）y = 2cos 2x + 1的最小正周期由cos 2x 决定，故答案为π.（2）)(sin 2|)sin(|2|cos sin |2ϕϕ+=+=+x x x x 故答案为π.【说明】 )(sin cos 22ϕ+x x 都可看作sin x 的幂函数的复合函数.3、函数周期性应用于求值【例题】 f (x )是R 上的偶函数，且是最小正周期为π的周期函数.【解答】 ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛3π 3π 32π 35π f f f f 233πsin == 【说明】 周期性应用于区域转化. 将“无解析式”的区域函数转化到“有解析式”的区间上求值.若 时 f (x ) = si nx 试求 的值.4、函数周期性应用于求单调区间【例题】 x ∈R ，求函数 y =sin 2x +3sin x cos x +2cos 2x 的单调增区间.【解答】 )2cos 1(2sin 2322cos 1x x x y +++-=23)6π2sin(232cos 212sin 23++=++=x x x 函数的最小正周期为π. 令 2π6π22π≤+≤-x 得 6π3π≤≤-x 因为函数周期为π，故函数的单调增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6ππ ,3ππk k . 【说明】 先求包含零点的增区间，再用最小正周期求单调增区间的集合.周期函数在高考中5、周期性应用于求函数零点【例题】 已知函数412sin 2cos sin cos sin )(2244--++=x x x x x x f .【解答】 41)cos sin 1(2cos sin 1412sin 2cos sin cos sin )(222244---=--++=x x x x x x x x x x fx x 2sin 4141412sin 4121+=-+=令 02sin 4141=+x 得 4π=x故交点横坐标的值的集合为4π=x .【说明】 先求绝对值最小的解，再利用最小正周期求“通解”.五、高考史上的周期大难题高考史上第一次“周期大难题”出现在恢复高考后的第3年，即1980年的理科数学卷上.本题排在该卷的第六大题上. 在有十个大题的试卷上，这是个中间位置，然而，从当年的得分情况来看，本题的难度超过了包括压轴题和附加题在内的所有题目. 这点为命题人事先未能预料. 后来分析，该题的难点有三 .（1）函数抽象，导致周期中含有参数；（2）求参数范围，与解不等式综合；（3）求最小正整数解，连命题人自拟的“标答”都含糊不清. 20多年来数学界质疑不断.【考题】设三角函数)3π5πsin()(+=k x f ，其中k ≠0.（1）写出 f (x )极大值M 、极小值m 与最小正周期;（2）试求最小的正整数k ，使得当自变量x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数 f (x )至少有一个值是M 与一个值是m .【解答】 （1） M =1，m = -1，k k T π10π25=⨯=.（2）f (x )在它的每一个周期中都恰好有一个值是M 与一个值是m .而任意两个整数间的距离都≥1因此要使任意两个整数间函数f (x )至少有一个值是M 与一个值是m ，必须且只须使 f (x )的周期≤1即：k =32就是这样的最小正整数. .4.31 π10 ,1 π10 =≥≤k k六、高考史上的周期大错题中学教材上的周期函数，一般都是简单和具体的函数. 关于最小正周期的求法，也是一些感性的结果；没有系统和完整“最小正周期”的系统研究.然而，随着“抽象函数”的不断升温，对周期函数周期的考点要求越来越高. 2006年福建理数卷出现的“周期大错题”正是这种盲目拔高的必然结果.【例题】 f （x ）是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f （2）=0，则方程f （x ）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是A.2B.3C.4D.5【说明】 这是2005年福建卷（理）第12题，命题组提供的答案是D ，即答案为5. 答案D 从何而来？以下，就是“D”的一种解法.【解答】 f (x )周期为3，由 f (2)=0，得 f (5) = f (2)=0，得 f (-1)= f (2-3) = f (2)=0，得 f (-4) = f (2-6) = f (2)=0f (x )为奇函数，得 f (1) = - f (-1) =0 f (4)= - f (-4)=0，得 f (-0)= - f (0)，得 f (0)=0 f (3)= f (3+0)= f (0)=0于是，求得 f (x )=0的解为：1、2、3、4、5. 共5个解，答案为D. 【讨论】 除了上述解法得 f (x )=0的5个解外，还有如下的解.根据方程 f (x )=0的定义， x = 1.5 和 x =4.5 也是方程的解，证明如下： 由 f (x )的周期性，知 f (-1.5)= f (1.5) （1） 由 f (x )的奇偶性，知 f (-1.5) = - f (1.5) （2） 从而有 f (1.5)=0，f (4.5) = f (1.5)=0.所以，1.5和4.5也是方程 f (x )=0的解.于是，方程的解共有7个：即是1、1.5、2、3、4、4.5、5. 【思考】 按上面讨论的结果，方程 f (x ) = 0的解至少有7个. 而原题的四个选项支中均没有这个答案. 命题人给定的答案D 是错的. 高考史上的周期大错题【实验检验】 f (x )同时满足4个条件：（1）定义在R 上；（2）奇函数；（3）周期为3；（4）f (2) =0. 据此，我们找到 f (x )的一个具体例子：x x x f 3π4sin 3π2sin)(+= 并在区间（0，6）上找到 f (x )=0的7个解，列表如下：这7个解即是1，1.5，2，3，4，4.5，5.函数x x x f 3π4sin 3π2sin)(+=在一个周期［0，3］上的图像如右. 图像与 x 轴有5个交点，故在［0，6］有9个交点，从而在（0，6）上有7个交点.【反思】 命题人的错误自然出在疏忽二字上. 实在地，本题较难，首先难倒了命题人自己.严格地讲，试题“超纲”. 对两个周期函数的和函数，其最小正周期是它们的“最小公倍数”——这本身就没有进行过证明，对某些具体函数可以具体分析，但对抽象函数来讲，却没有理论依据. 而本题，又恰恰是个抽象函数，而且是个综合问题. 命题出错似乎是必然的.。
专题函数的周期性.docx
专题函数的周期性一知识点精讲1. 周期函数的定义：对于/（兀）定义域内的每一个兀，都存在非零常数使得 /（X4- T ）= f （x 恒成立，则称函数/（兀）具有周期性，丁叫做/（兀）的一个周期，则灯（R W ZK H O ）也是/（兀）的周期，所有周期中的最小正数叫/⑴ 的最小正周期.周期函 数的定义域一定是无限集2性质①若/U ）的周期中，存在一个最小的正数，则称它为夬兀）的最小正周期； ②若周期函数心）的周期为T,则/（亦）（0^0）是周期函数，且周期为丄丨力|（9） 函数y = f （x ） （XG ^）的图象关于直线x = a ^x = b （a<b ）都对称，则函数/（兀）是 以2（h-a ）为周期的周期函数.（10） 函数y = f （x ） （x G 7?）的图象关于两点A 仏％）、（° </?）都对称,则函数 /（兀）是2（b —a ）为周期的周期函数.（11） 函数y = fM （XG /?）的图象关于4（仏％）和直线x = b （a<h ）都对称，则函数 /（X ）是以4 （h-a ）为周期的周期函数.（⑵ f （x + a ） = f （x ）-f （x-a ）t 则/（兀）的周期T = 6a.二典例解析1. 设 f （x ）是（一8,+8）上的奇函数，f （x+2）二-f （x ）,当 OWxWl 时,f （x ）二X,则 f （7.5）=（）A.0.5B. -0.5 C 」.5 D. -1.5a h2. 若y=fi2x ）的图像关于直线x =—和兀=刁（/?>。
）对称，则/（兀）的一个周期为（ ）3.几种特殊的具有周期性的抽象函数：函数歹=/（兀）满足对定义域内任一实数兀（其中。
>0为常数） /（无）=/（兀 +。
），则 y = f^x ）的周期 T = a ./（x+a ） = -/（%）,则/⑴的周期 T = 2a./（x + a ） = ±y^-j,则/G ）的周期 T = 2a./（x + d ） = /（x-d ）,则/（兀）的周期 T = 2a ・+ 则/（x ）的周期 T = 2a. 1 + /（兀） f （兀+ G ） =」7（X ）,则/（兀）的周期T = 4a 数. 1 + /O ）f （兀 + G ） = I + 心）,则 /（x ）的周期:T = 4a . 1-/（兀）函数y = 满足/（^ + .v ） = f （a-x ） （Q >0）,若/（x ）为奇函数，则其周期为 (1) (2) (3) (4) (5)(6)(7) (8)3. _________________________________________________________________ 已知/⑴在R 上是奇函数满足/(x + 3) = -/(x),/(l) = 2,则/(5)= ____________________________4.已知定义在R 上的奇函数/(劝满足/(兀+2) = —/(“)，则/(200^|= _________________ 例5.已知函数)u /(劝是定义在/?上的周期函数，周期7 = 5,函数y = /(x)(-l<x<l)是奇函数，又知y = /(x)在［0,1］上是一次函数，在［1,4］上是二次函数，且在x = 2时函数取 得最小值-5。
第十讲 函数的性质(3)周期性
1 (3) f ( x + 3) = ± , 周期T = ___; f ( x) (4) f ( x + 1) + f ( x ) = 1, 周期T = ___;
(5) f ( x − 1) = f ( x − 3), 周期T = ___; (6) f ( x − m ) = f ( x − n), 周期T = ___; (7) f ( x ) = f ( x − 1) + f ( x + 1), 周期T = ___;
第十讲 函数的基本性质（3） 函数的基本性质（ 函数的周期性： 三、函数的周期性： y=f(x)， 1.周期函数 对于函数y=f(x) 如果存在一个不为零的常 周期函数： 1.周期函数：对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常 使得当x取定义域内每一个值时 f(x+T)=f(x)都成 数T，使得当x取定义域内每一个值时，f(x+T)=f(x)都成 就把f(x)叫做周期函数 f(x)叫做周期函数. 立，就把f(x)叫做周期函数. 中不为零的常数T. 2.周期 f(x+T)＝f(x)中不为零的常数 周期： 2.周期：f(x+T)＝f(x)中不为零的常数T. 3.最小正周期 如果在函数的周期中，存在一个最小的正 最小正周期： 如果在函数的周期中， 3.最小正周期： 就把这个正数叫做最小正周期. 数，就把这个正数叫做最小正周期. 4.证明函数为周期函数的步骤 证明函数为周期函数的步骤： 4.证明函数为周期函数的步骤： 在定义域中任取一个自变量x; ①在定义域中任取一个自变量x; 找到一个常数T≠0,证明： T≠0,证明 ②找到一个常数T≠0,证明：f(x+T)=f(x). 5.证明常数 为最小正周期的方法： 证明常数T 5.证明常数T为最小正周期的方法： 验证： ①验证：f(x+T)=f(x); 用反证法证明：不可能有比T还小的正周期. ②用反证法证明：不可能有比T还小的正周期. 6.重要结论 已知常数T≠0，当x取定义域内每一个值时， 重要结论： 已知常数T≠0 T≠0， 取定义域内每一个值时， 6.重要结论：
【高中数学函数专题】函数的周期性(解析版)
函数的周期专题六性1．周期函数的定义对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．如果T 是函数y ＝f (x )的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是y ＝f (x )的周期，即f (x ＋kT )＝f (x )；如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．2．函数周期性常用的结论结论1：若f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )的一个周期为2a ；结论2：若f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )的一个周期为2a ；结论3：若f (x ＋a )＋f (x )＝c (a ≠0)，则f (x )的一个周期为2a ；结论4：若f (x )＝f (x ＋a )＋f (x －a )(a ≠0)，则f (x )的一个周期为6a ；结论5：若f (x ＋a )＝1f (x )，则f (x )的一个周期为2a ；结论6：若f (x ＋a )＝－1f (x )，则f (x )的一个周期为2a ；结论7：若函数f (x )关于直线x ＝a 与x ＝b 对称，则f (x )的一个周期为2|b －a |．结论8：若函数f (x )关于点(a ，0)对称，又关于点(b ，0)对称，则f (x )的一个周期为2|b －a |．结论9：若函数f (x )关于直线x ＝a 对称，又关于点(b ，0)对称，则f (x )的一个周期为4|b －a |．结论7—结论9的记忆：两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差．总规律：在函数的奇偶性、对称性、周期性中，知二断一．即这三条性质中，只要已知两条，则第三条一定成立．考点一已知函数的周期性(显性的)，求函数值【方法总结】利用函数的周期性，可将其他区间上的求值等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．【例题选讲】[例1](1)若f (x )是R 上周期为2的函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝__________．答案－1解析由f (x ＋2)＝f (x )可得f (3)－f (4)＝f (1)－f (2)＝1－2＝－1．(2)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2，1)时，f (x )x 2－2，－2≤x ≤0，，0<x <1，则＝________．答案14解析由题意可得－2＝14，＝14．(3)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＋a ，－1≤x <0，|25－x|，0≤x <1，其中a ∈R ．若5(2f -＝9(2f ，则f (5a )的值是________．答案－25解析：由题意可得5()2f -＝＝－12＋a，9()2f ＝|25－12|＝110，则－12＋a ＝110，a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25．【高中数学函数专题】(4)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)cosπx2，0<x≤2，x＋12|，－2<x≤0，则f(f(15))的值为________．答案22解析由函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，可知函数f(x)的周期是4，所以f(15)＝f(－1)＝|－1＋12|＝12，所以f(f(15))＝cosπ4＝22．(5)定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，当x∈(－3，0]时，f(x)＝－x－1，当x∈(0，2]时，f(x)＝log2x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)的值等于()A．403B．405C．806D．809答案B解析定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，即函数f(x)的周期为5.又当x∈(0，2]时，f(x)＝log2x，所以f(1)＝log21＝0，f(2)＝log22＝1.当x∈(－3,0]时，f(x)＝－x－1，所以f(3)＝f(－2)＝1，f(4)＝f(－1)＝0，f(5)＝f(0)＝－1．故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝403×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(2016)＋f(2017)＋f(2018)＋f(2019)＝403×1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝403＋0＋1＋1＋0＝405．【对点训练】1．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________．1．答案7解析因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x．又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0．又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个．2．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)1≤x<0，0≤x≤1，其中a，b∈R．若＝a＋3b的值为________．2．答案－10解析因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f f(－1)＝f(1)，故＝，从而12b＋212＋1＝－12a＋1，即3a＋2b＝－2，①．由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝b＋22，即b＝－2a，②．由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10．3．已知函数f(x)(1－x)，0≤x≤1，－1，1<x≤2，如果对任意的n∈N*，定义f n(x)＝{[()]}n ff f f x⋅⋅⋅个，那么f2019(2)的值为()A．0B．1C．2D．33．答案C解析∵f1(2)＝f(2)＝1，f2(2)＝f(1)＝0，f3(2)＝f(0)＝2，f4(2)＝f(2)＝1，∴f n(2)的值具有周期性，且周期为3，∴f2019(2)＝f3×673(2)＝f3(2)＝2，故选C．4．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2022)＝__________．4．答案337解析由f(x＋6)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为6，由已知条件可得f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以在一个周期内有f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2022)＝337×1＝337．5．已知函数f(x)的定义域为R．当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>12时，f(6)＝()A．－2B．－1C．0D．25．答案D解析当x>12时，由可得当x>0时，f(x)＝f(x＋1)，所以f(6)＝f(1)，而f(1)＝－f(－1)，f(－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f(6)＝f(1)＝2，故选D．6．对任意的实数x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，且f(0)＝2，则f(2019)＋f(2020)＝()A．0B．2C．3D．46．答案B解析∵y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，则函数y＝f(x)的图象关于x＝0对称，即函数f(x)是偶函数．令x＝－1，则f(－1＋2)－f(－1)＝2f(1)，即f(1)－f(1)＝2f(1)＝0，即f(1)＝0．则f(x＋2)－f(x)＝2f(1)＝0，即f(x＋2)＝f(x)，即函数的周期是2，又f(0)＝2，则f(2019)＋f(2020)＝f(1)＋f(0)＝0＋2＝2，故选B．考点二已知函数的周期性(隐性1)，求函数值【方法总结】已知函数的周期性(隐性1)，可利用周期性的性质结论1到结论6，先明确了周期再将其他区间上的求值转化到已知区间上，进而解决问题．【例题选讲】[例2](1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)，－1＜x≤0，1，0＜x≤1，则下列函数值为1的是()A．f(2.5)B．f(f(2.5))C．f(f(1.5))D．f(2)答案D解析由f(x＋1)＝－f(x)知f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，于是f(x)是以2为周期的周期函数，从而f(2.5)＝f(0.5)＝－1，f(f(2.5))＝f(－1)＝f(1)＝－1，f(f(1.5))＝f(f(－0.5))＝f(1)＝－1，f(2)＝f(0)＝1，故选D．(2)已知定义在R上的函数f(x)，对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立，若函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，则f(2018)的值为()A．2018B．－2018C．0D．4答案C解析依题意得，函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0对称，因此函数y＝f(x)是偶函数，且f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，即f(2)＝f(2)＋f(2)，所以f(2)＝0，所以f(x＋4)＝f(x)，即函数y＝f(x)是以4为周期的函数，f(2018)＝f(4×504＋2)＝f(2)＝0．(3)已知f(x)是定义在R上的函数，并且f(x＋2)＝1f(x)，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(2022)＝__________．答案2解析由f(x＋2)＝1f(x)得f(x＋4)＝1f(x＋2)＝f(x)，所以T＝4，f(2022)＝f(4×505＋2)＝f(2)＝2．(4)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝2－3，且对任意的x都有f(x＋2)＝1－f(x)，则f(2020)＝________．答案－2－3解析由f(x＋2)＝1－f(x)，得f(x＋4)＝1－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f (2020)＝f (4)．因为f (2＋2)＝1－f (2)，所以f (4)＝－1f (2)＝－12－3＝－2－ 3.故f (2020)＝－2－3．(5)已知定义在R 上的函数满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x －1．则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)的值为________．答案1348解析∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴函数y ＝f (x )的周期T ＝4．又x ∈(0，2]时，f (x )＝2x －1，∴f (1)＝1，f (2)＝3，f (3)＝－1f (1)＝－1，f (4)＝－1f (2)＝－13．∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)＝504[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (504×4＋1)＋f (504×4＋2)＝＋3－11＋3＝1348．【对点训练】7．函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则5(2f 的值为()A ．12B ．14C ．－14D ．－127．答案A解析由f (x ＋1)＝－f (x )得f (x ＋2)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2，则5()2f ＝2×12×＝12，故选A ．8．已知f (x )是定义在R 上的函数，且f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈(0，2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝()A ．－2B ．2C ．－98D ．988．答案A解析由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (7)＝－f (5)＝f (3)＝－f (1)＝－2．故选A ．9．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (2019)＝()A ．5B ．12C ．2D ．－29．答案D解析由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2．10．已知函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＋f (x )＝0，y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，且f (2)＝4，则f (2014)＝()A ．0B ．－4C ．－8D ．－1610．答案B解析由题意可知，函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝－f (x )，∴f (x ＋12)＝f [(x ＋6)＋6]＝－f (x ＋6)＝f (x )，∴函数f (x )的周期T ＝12．把y ＝f (x －1)的图象向左平移1个单位得y ＝f (x －1＋1)＝f (x )的图象，关于点(0，0)对称，因此函数f (x )为奇函数，∴f (2014)＝f (167×12＋10)＝f (10)＝f (10－12)＝f (－2)＝－f (2)＝－4．故选B ．11．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (4)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋2)＝1－f (x )，则f (2018)＝()A ．－2－3B ．－2＋3C ．2－3D ．2＋311．答案A解析由f (x ＋2)＝1－f (x )得f (x ＋4)＝f (x )．所以函数f (x )的周期为4，所以f (2018)＝f (2)．又f (4)＝f (2＋2)＝1－f (2)＝2－3，所以－f (2)＝12－3＝2＋3，即f (2)＝－2－3，故选A ．12．已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则________．12．答案52解析∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，∴2≤x ≤3时，f (x )＝x ，∴＝52，∴＝52．考点三已知函数的周期性(隐性2)，求函数值【方法总结】已知函数的周期性(隐性2)，可利用周期性的性质结论7到结论9，先明确了周期再将其他区间上的求值转化到已知区间上，进而解决问题．【例题选讲】[例3](1)已知函数y ＝f (x )满足y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数，且f (1)＝π3，设F (x )＝f (x )＋f (－x )，则F (3)＝()A ．π3B ．2π3C ．πD ．4π3答案B解析由y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数知f (－x )＝f (x )，且f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，则f (x ＋2)＝f (x －2)．∴f (x ＋4)＝f (x )，则y ＝f (x )的周期为4．所以F (3)＝f (3)＋f (－3)＝2f (3)＝2f (－1)＝2f (1)＝2π3．(2)函数f (x )的定义域为R ，且满足：f (x )是偶函数，f (x －1)是奇函数，若f (0.5)＝9，则f (8.5)等于()A ．－9B ．9C ．－3D ．0答案B解析因为f (x －1)是奇函数，所以f (－x －1)＝－f (x －1)，即f (－x )＝－f (x －2)．又因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝－f (x －2)＝f (x －4)，故f (x )的周期为4，所以f (0.5)＝f (8.5)＝9．故选B ．(3)奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为()A ．2B ．1C ．－1D ．－2解析：设g (x )＝f (x ＋1)，∵f (x ＋1)为偶函数，则g (－x )＝g (x )，即f (－x ＋1)＝f (x ＋1)．∵f (x )是奇函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)＝－f (x －1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (4)＝f (0)＝0，f (5)＝f (1)＝2，∴f (4)＋f (5)＝0＋2＝2，故选A ．(4)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(2，4)时，f (x )＝|x －3|，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2020)＝________．答案解析因为f (x )为奇函数，f (x ＋1)为偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，所以f (x＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，所以f (4)＝f (0)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)．在f (x ＋1)＝f (－x ＋1)中，令x ＝1，可得f (2)＝f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2020)＝0．(5)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有33()()22f x f x +=--成立．若f (1)＝2，则f (2)＋f (3)＝________．答案－2解析由33()()22f x f x +=--，且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f 32＋－f 32－＝－f (－x )＝f (x )，所以y ＝f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期．因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又T ＝3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2．(6)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f(50)等于()A．－50B．0C．2D．50答案C解析∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴－f(x －1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)＝0，又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0．又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2，故选C．【对点训练】13．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)是偶函数，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x(3－2x)，则()A．12B．－12C．－1D．113．答案C解析∵y＝f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∵函数y＝f(x＋1)是定义在R上的偶函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)＝－f(x－1)，f(x＋2)＝－f(x)，可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的周期是4，∴f－12＝－＝－12·(3－1)＝－1，故选C．14．已知偶函数f(x)的定义域为R，若f(x－1)为奇函数，且f(2)＝3，则f(5)＋f(6)的值为() A．－3B．－2C．2D．314．答案D解析因为f(x－1)是奇函数，所以f(－x－1)＝－f(x－1)，即f(－x)＝－f(x－2)．又因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝－f(x－2)＝f(x－4)，故f(x)的周期为4，所以f(5)＋f(6)＝f(1)＋f(2)＝0＋3＝3．选D．15．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________．15．答案3解析解析：因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)．又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，则f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3．16．已知奇函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，当x∈[0，3]时，f(x)＝－x，则f(－16)＝________．16．答案2解析根据题意，函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，则有f(x)＝f(6－x)，又由函数为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，则有f(x)＝－f(6－x)＝f(x－12)，则f(x)的最小正周期是12，故f(－16)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(2)＝－(－2)＝2．17．已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(1)＝a，则f(2)＋f(3)＋f(4)＝() A．0B．－a C．a D．3a17．答案B解析因为函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(x)关于直线x＝1对称，所以f(2)＝f(0)，f(3)＝f(－1)，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，又由f(1＋x)＝f(1－x)可得f(x＋1)＝f(1－x)＝－f(x－1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，故f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，因此，函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(4)＝f(0)，又f(1)＝a，因此f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(0)＋f(－1)＋f(0)＝－f(1)＝－a．故选B．18．函数y＝f(x)满足对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2016)＋f(2017)＋f(2018)的值为________．18．答案4解析∵函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，∴f(x)是R上的奇函数，又f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4，∴f(2017)＝f(504×4＋1)＝f(1)＝4，∴f(2016)＋f(2018)＝f(2016)＋f(2016＋2)＝f(2016)－f(2016)＝0，∴f(2016)＋f(2017)＋f(2018)＝4．。
函数的周期性(基础+复习+习题+练习).docx
基本知识方法1.周期函数的定义：对于 f (X)定义域内的每一个X ,都存在非零常数T ,使得f(x TH f (X)恒成立，则称函数f (X)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期，则kT( k∙ Z,k=O)也是f (X)的周期，所有周期中的最小正数叫 f (X)的最小正周期2. 几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数y = f X满足对定义域内任一实数X (其中a为常数)，①fx=fχ∙a ,贝U y=fx是以T = a为周期的周期函数；②f X ∙ a = -f X ,则f X是以T ≡2a为周期的周期函数；1③f X ∙ a,贝U f X是以T =2a为周期的周期函数；f(X)④f X a = f X -a ,则f X是以T =2a为周期的周期函数;⑤f (X a) J - f (X),贝U f X是以T =2a为周期的周期函数1+ f(x)⑥f(Xa^-Fff，则fx是以T s为周期的周期函数⑦f(X ∙ a) = 1 f (X),贝y f X是以T =4a为周期的周期函数.1-f(χ)1 .已知定义在R上的奇函数f (X)满足f(X • 2) = -f (X),贝U f⑹的值为A. -1B. 0C. 1D. 2 22(1)设f(x)的最小正周期T =2且f (X)为偶函数，它在区间1.0, 1上的图象如右图所示的线段AB,则在区间∣1,2 ］上,f (X)=-----------函数的周期性2已知函数f(χ)是周期为2的函数，当-1：：：x：：：1时，f(x) = χ2∙1 , 当19 ：：：X ：：： 21时，f (X)的解析式是___________________3 f X是定义在R上的以2为周期的函数，对k∙ Z ,用I k表示区间2k-1,2k∙11, 已知当X I0时，f X = X2,求f X在I k上的解析式。
3. 1定义在R上的函数f X满足f X A f X 2 ,当X 3,5】时，fπλ(πλf (x )= 2 - X -4 ,贝U A. f sin —JC f cos—; B- f (Sin1 )> f (COSI)；I 6丿V 6 JC2兀、f2兀、C. f . cos一< f . Sin 一: D- f (COS2)A f (sιn2 )I 3 丿I 3 J2 设f (X)是定义在R上以6为周期的函数，f (X)在(0,3)内单调递减，且y = f (X)的图像关于直线X = 3对称，则下面正确的结论是A. f (1.5) ：：f(3.5) ：：f (6.5)B. f (3.5) ：：f(1.5) ：：f(6.5)C. f (6.5) ：： f(3.5) ：：： f (1.5)D. f(3.5) ：：： f (6.5) ：： f (1.5)4.已知函数f(x)是定义在(-∞,+ ∞)上的奇函数，若对于任意的实数X≥0,都有f(x+2)=f(x), 且当x∈［0,2)时，•'；•二’‘工,'— 1 ',贝U f(-2013)+f(2014) 的值为5. 已知是'上最小正周期为2的周期函数，且当' -时，' ,则函数的图象在区间［0,6］上与轴的交点的个数为________________则"沁=6. 已知f(X)为偶函数，且f(2+X)=f(2-X) ,当-2≤X≤ 0 时，一 -；若•「，… 一,7. 已知定义在R 上的奇函数f 迥，满足/(j →) = -ΛJ ),且在区间上是增函数，则()o A: B ： C ：' ■D ：；：廷:密:Y 曲氏A. B.2 + M C. 2 - 2√2D. 29定义在R 上的函数f X ，对任意χ. R ，有f χ . y . f x _y =2f χ f y ，且fOF ,1求证：fO=1 ；2判断f X 的奇偶性；3若存在非零常数c ,使 2,①证明对任意x∙ R 都有f χ ∙ c = -f χ成立;②函数f X 是不是周期函数，为什么？8.已知函数定义在R 上，对任意实数X 有f{τ) I 2v2,若函数 "=1'的图象关于直线对称,,则」(则"沁=8.已知f (X)是定义在R 上的奇函数，满足f (X • 2) = - f (X),且χ∙ [0, 2时， f(x)= 2x- X . 1求证：f (X)是周期函数；2当χ∙ [2, 4]时，求f(x)的表达式；3 计算 f (1) +f (2) +f ( 3) +……+f (2013)9. ( 05朝阳模拟)已知函数f (X)的图象关于点-3,0对称，且满足f(x)--f(χP), I 4丿2课后作业：1. ( 2013榆林质检)若已知f(x)是R 上的奇函数，且满足f(χ∙4)=f(x),当X 0时，f(x)=2χ2 ,贝U f(7)等于 A -2B. 2C.-98D. 982. 设函数f X ( X ∙ R )是以3为周期的奇函数，且 f 11, f 2 = a ,则A. a 2B. a —2C. a 1D. a -13.函数f(x)既是定义域为 R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若f (X)在∣-1,0 1上是减函数，那么 f (X)在∣2,3 1上是A.增函数B.减函数C.先增后减函数D.先减后增函数,记 f n (X )= f{ f [ f f (X )]},则 f 2007 (X) X 1 n 个 fI 3 I5.已知定义在R 上的函数f (X)满足f(X ^-f x - ,且 f -2=3，则 f (2014)=6.设偶函数 f (x)对任意X R , 1,且当X t 3,-2]时, f(x)f (X )=2x , A.--7则 f (113.5)= B. - C.-7D.- 57.设函数 f (X)是定义在R 上的奇函数，对于任意的1 - f(X ) χ∙ R ,都有 f(x T)= 1 f(X),当 O ：： X ≤ 1 时，f (X) =2x ,则 f(11∙5A.1 -1B. 1C.-2又f (-1) =1 , f(0) 一2 ,求f (1) f(2) f (3)…f (2006)的值高考真题：1. f (x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且 f(2)=0在区间0,6内解的个数的最小值是A. 2B. 3C. 4D. 52.定义在R 上的函数f(x)满足f (x ∙6) = f(x),当-3 ≤ X ” T 时，2f(x) =p x 2 ,当-1 ≤ X ：：3时，f (X) =X ,则 f(1) f(2) f(3) —f (2012)=A. 335B. 338C. 1678D. 20123•已知函数f (x)为R 上的奇函数，且满足 f(χ∙2)=-f(x)， 当 0 ≤ X <1 时，f(x) X ,贝U f (7.5)等于 A 0.5B. -0.5C. 1.5D. -1.514.函数f X 对于任意实数X 满足条件f X • 2,若f 1 - -5 ,f(X )则 f f 5= ___________7.设f(x)是定义在R 上的奇函数，且 目=f (X)的图象关于直线对称，则 f (1) f (2)f(3) f(4) f(5)=8.设函数 f (x)在上满足 f (2 -x) = f (2 ∙ x), f (7 -x) = f (7 ∙ x),且在闭区 间 0,7 1 上，只有 f(1)= f(3) =0 .(I )试判断函数 y = f (X)的奇偶性；(∏)试求方程f(X) =0在闭区间∣-2005,20051上的根的个数，并证明你的结论.5.已知 f (x)是周期为2的奇函数，当0：：：x”：1时，f(x) 3 5=f( ), c= f(),则2 2 设 a = f (6),b5 A. a ：：： ：：：C. C ：：： b ：：： a =Ig X.D. c ：： a b 6.定义在R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若f (X)的最小正周期是二，且当 χ∙ [0, 2] ^, f (X H SinX ,则 f5T 的值为A. -12B.丄2C. 一 3D. 23。
高考数学复习考点知识与结论专题讲解8 函数的周期性
高考数学复习考点知识与结论专题讲解第8讲 函数的周期性通关一、周期概念理解1.定义:设()f x 的定义城为D ,若对x D ∀∈,存在一个非零常数T ,有()f x T +()f x =,则称函数()f x 是一个周期函数,称T 为()f x 的一个周期.2.若()f x 是一个周期函数,则()()f x T f x +=,那么(2)()f x T f x T +=+()f x =,即2T 也是()f x 的一个周期,进而可得(,0)kT k k ∈≠Z 也是()f x 的一个周期.3.最小正周期:若T 为()f x 的一个周期,(,0)kT k k ∈≠Z 也是()f x 的一个周期,则在某些周期函数中,往往存在周期中最小的正数,称为最小正周期.然而并非所有的周期函数都有最小正周期,比如常值函数()f x C =就没有最小正周期.通关二、常见周期性结论结论一、()()(0)f x a f x a ±=≠型()()(0)()f x T f x T y f x ±=≠⇔=的周期为T .(,0)kT k k ∈≠Z 也是函数的周期.【例1】定义在R 上的函数()f x 满足:(6)()f x f x +=,当31x -<-…时,()f x =2(2)x -+;当13x -<…时,()f x x =,则(1)(2)(3)(2019)f f f f ++++=（）A ．336B ．337C ．338D ．339【答案】C【解析】因为(6)()f x f x +=,当31x -<-…时,2()(2)f x x =-+;当13x -<…时,()f x x =, 所以(1)1,(2)2,(3)(3)1,(4)(2)0,(5)(1)f f f f f f f f ===-=-=-==-1,(6)(0)0f f =-==, 所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)1f f f f f f +++++=,因为(6)f x +()f x =,所以()f x 的周期为6, 所以(1)(2)(3)(2019)336(1)(2)(3)338f f f f f f f ++++=+++=.故选C .【变式】函数()f x 的定义域为R ,且()(3)f x f x =-,当20x -<…时,2()(1)f x x =+;当01x <…时,()21f x x =-+,则(1)(2)(3)(2018)f f f f ++++=（）A ．671B ．673C ．1343D ．1345【答案】D【解析】因为()(3)f x f x =-,所以(3)()f x f x +=,所以函数()f x 是周期为3的周期函数. 又当20x -<…时,2()(1)f x x =+;当01x <…时,()21f x x =-+, 所以(1)(2)(3)(2)(1)(0)1012f f f f f f ++=-+-+=++=,所以(f +(202)f ffff fff =⨯++++=⨯++134411345=+=.故选D .结论二、()()f x a f x +=-型()()()f x a f x y f x +=-⇔=的周期为2T a =.【例2】已知()f x 在R 上是奇函数,且满足(5)()f x f x +=-,当(0,5)x ∈时, 2()f x x x =-,则(2016)f =（）A ．12-B ．16-C ．20-D ．0【答案】A【解析】因为(5)()f x f x +=-,所以(10)(5)(),()f x f x f x f x +=-+=的周期为10, 因此(2016)(4)(4)(164)12f f f =-=-=--=-.故选A .【变式】设函数()f x 是定义在R 上的周期函数,且3()2f x f x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,若(1)2f >-,3(2017)f m m =-,则实数m 的取值范围是（）A ．(1,3)B ．(,1)(0,3)-∞C ．(,1)(3,)-∞-+∞D ．(0,3)【答案】B【解析】因为3()2f x f x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,所以3(3)()2f x fx f x ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭,即()(3)f x f x =+, 所以f (x )是周期为3的函数，所以f (2017)=f (1)=3m m -，又f (1)>-2，所以3m m -+>-2,所以223m m m--＜0,所以m (m +1)(m -3)<0,所以m <-1或0<m <3.故选B. 结论三、f (x +a )=f (x ±b )型f (x +a )=f (x -b ) ⇔y =f (x )的周期为T =a +b . f (x +a )=f (x +b ) ⇔y =f (x )的周期为T =b -a .【例3】已知函数f (x )的定义域为R ,当x <0时f (x )=x 3-1,当-1≤x ≤1时，f (-x )＝-f (x ),当x >12时，f (x -12)=f (x +12)，则f (6)=（）.A. 2B. 0C. -1D. -2【答案】A 【解析】因为当x >12时，f (x -12)=f (x +12) ⇒T =1，所以f (6)=f (1)=-f (-1)＝-(-1-1)=2.故选A. 【变式】已知f (x )是定义在R 上的函数，满足f (x )+f (-x )=0，f (x -1)=f (x +1)，当x ∈(0, 1)时，f (x )=-x 2+x ，则函数f (x )的最小值为（）A .14B. 14-C. 12-D.12【答案】B【解析】由f (x −1)=f (x +1)可得f (x )是周期为2的周期函数，所以只需要求出一个周期内的最值即可。
高一数学必修一函数专题：周期性
高一数学必修一函数专题：周期性【知识点一】：周期函数与周期（Ⅰ）周期函数的定义：函数的图像由一段图像重复出现组成，该函数为周期函数。
（Ⅱ）周期的定义：这一段重复图像在x 轴上的长度为周期。
（Ⅲ）最小正周期的定义：这一段重复图像内部无重复，在x 轴上的长度为最小正周期。
例题：根据下列图像判断函数的周期和最小正周期。
第一题第二题解答：第一题：周期：k T ⋅=2π，Z k ∈；最小正周期：2π=T 。
第二题：周期：k T ⋅=2，Z k ∈；最小正周期：2=T 。
【知识点二】：周期定义式（Ⅰ）定义式描述：周期函数的自变量x 加上或者减去一个周期或者周期的倍数，函数值不变。
（Ⅱ）定义式：)()(T k x f x f ⋅+=，Z k ∈。
例题一：已知：函数)(x f 的周期为2，当)1,1(-∈x 时：1)(-+=x e x f x。
计算：)12(f 的值。
解答：函数)(x f 的最小正周期为2)0()620()12(f f f =⨯+=⇒，0)12(01110)0(0=⇒=-=-+=f e f 。
例题二：已知：周期为2的函数)(x f 在R x ∈上是奇函数，当)1,0(∈x 时：12log )(2-+=x x x f 。
计算：)211(f 的值。
解答：函数)(x f 的周期为2)21()2321()211(-=⨯+-=⇒f f f 。
函数)(x f 在R x ∈上是奇函数)21()21(f f -=-⇒，1111121221log )21(2-=-+-=-⨯+=f 1)21()211(1)1()21()21(=-=⇒=--=-=-⇒f f f f 。
例题三：已知：周期为3的函数)(x f 在R x ∈上是偶函数，当)0,1[-∈x 时：22)(x x f x-=。
计算：)13(f 的值。
解答：函数)(x f 的周期为3)1()341()13(f f f =⨯+=⇒。
函数)(x f 在R x ∈上是偶函数)1()1(-=⇒f f ，21)1(21121)1(2)1(21-=⇒-=-=--=--f f ， 21)1()13(-==⇒f f 。
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函数的周期性1．周期函数的定义对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有()f x T x ，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。
()()f x T f x +=()f x T 说明：（1）必须是常数，且不为零；T （2）对周期函数来说必须对定义域内的任意都成立。
()()f x T f x +=x 问题1 ①若常数T （≠0）为f (x)周期，问nT( n∈ N)为f (x)周期吗？为什么？ ②周期函数的周期有多少个？（是有限个还是无限个）？2 常见函数的最小正周期正弦函数 y =sin （ωx +φ）（w>0）最小正周期为T=ωπ2y=cos （ωx+φ）（w>0）最小正周期为T= ωπ2y =tan （ωx +φ）（w>0）最小正周期为T= ωπy =|sin （ωx +φ）|（w>0）最小正周期为T=ωπ f(x)=C(C 为常数)是周期函数吗？有最小正周期吗？y=Asinw1 x+Bcosw2x 的最小正周期问题结论：有的周期函数没有有最小正周期3抽象函数的周期总结1、 的周期为)()(x f T x f =+⇔)(x f y =T2、 的周期为)()(x b f a x f +=+)(b a <⇔)(x f y =a b T -=3、 的周期为)()(x f a x f -=+⇔)(x f y =a T 2=4、 (C 为常数) 的周期为)()(x f c a x f =+⇔)(x f y =a T 2=5 的周期为)(1)(1)(x f x f a x f +-=+⇔)(x f y =a T 2= 7、 的周期为1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =aT 4= 8、 的周期为)(1)(1)(x f x f a x f -+=+⇔)(x f y =a T 4=9、 的周期为)()()2(x f a x f a x f -+=+⇔)(x f y =aT 6=10、；（它是周期函数，一个周期为6）)1()()2(++=++++n x f n x f n x f 11、有两条对称轴和（ 周期)(x f y =a x =b x =)b a <⇔)(x f y =)(2a b T -=12、有两个对称中心和 周期)(x f y =)0,(a )0,(b ⇔)(x f y =)(2a b T -=13、有一条对称轴和一个对称中心 周期)(x f y =a x =)0,(b ⇔)(x f y =)(4a b T -=14、奇函数满足周期。
专题06 函数的周期性
专题五 函数的周期性一．定义 对于函数)(x f y =，如果存在一个非零实数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，)()(x f T x f =+都成立，那么)(x f y =就是周期函数，T 是它的一个周期。
注 1．周期函数的周期有无数个，若T 是它的一个周期，那么nT 也是它的周期，其中（0,≠∈n Z n ），其中大于0中最小的那一个称为最小正周期。
2．注意x 的任意性 二．周期函数规律1．若)()(x f T x f =+，则T 为)(x f 的一个周期；2．若)()(x f a x f -=+，即0)()(=++x f a x f ，则a T 2=；（0≠a ） 推广：若b x f a x f =++)()(（b R∈），则a T 2=；3．若)(1)(x f a x f =+，即1)()(=⋅+x f a x f ，则a T 2=；4．若)(1)(x f a x f -=+，即1)()(-=⋅+x f a x f ，则a T 2=；推广：若b x f a x f =⋅+)()(（b 0≠），则a T 2=； 5．若)()(b x f a x f +=+，则b a T -=（其中b a ≠）三．周期函数的应用（解答时请写出必要的文字叙述及过程）1．已知定义在R 上的函数满足)()23(x f x f -=+且2)1(=f ，求)2011(f ；2．设定义在R 上的函数满足13)()2(=⋅+x f x f ，若2)1(=f ，求)99(f ；3．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足)()4(x f x f =+，若)2,0(∈x 时，22)(xx f =，求)2011(f ；4．已知定义在R 上的函数)(x f 满足)(2)5(x f x f -=+，且当)5,0(∈x 时，x x f =)(，求)2011(f ；5．设)(x f 是周期为2的奇函数，当]1,0[∈x 时，)1(2)(x x x f -=，求)25(-f ；6．已知)(x f 是定义在R 上的函数，且满足21)1(-=f ，41)2(-=f ，1)()()2()2(=-+-+x f x f x f x f ，求)2010(f ；7．已知)(x f 满足)(1)(1)1(x f x f x f -+=+，若2010)1(=f ，求)2011(f变式训练：（1）若函数)(x f 满足)(1)(1)(x f x f a x f -+=+，求此函数的周期；（2）若函数)(x f 满足)(1)(1)(x f x f a x f +-=+，求此函数的周期；（3）若函数)(x f 满足1)(1)()(+-=+x f x f a x f ，求此函数的周期；（4）若函数)(x f 满足1)(1)()(-+=+x f x f a x f ，求此函数的周期；（5）若函数⎩⎨⎧>---≤-=0),2()1(0),1(log )(2x x f x f x x x f ，求)2012(f9．定义在R 上的偶函数)(x f ，对任意实数x 都有)()23(x f x f -=+，且1)1(=-f ，2)0(-=f ，求)2010(...)3()2()1(f f f f ++++10．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x 恒有)()2(x f x f -=+，当]2,0[∈x 时，)2()(x x x f -=（1）求证：)(x f 是周期函数； （2）当]4,2[∈x 时，求)(x f 的解析式；（3）求)2011()2010(...)3()2()1()0(f f f f f f ++++++四．函数图像对称问题1.轴对称：①已知函数)(x f y =对定义域内任意x 都有)()(x a f x a f +=-，则函数)(x f y =的对称轴为a x =；②已知函数)(x f y =对定义域内任意x 都有)()(x b f x a f +=-，则函数)(x f y =的对称轴为2b a x +=2.点对称：若函数)(x f y =的图像关于点)0,(a 对称，则对定义域内任意x 都有)()2(x f x a f -=-，或)()(x a f x a f +-=-成立；反之也成立。
(完整版)必修一函数的周期性
【高中数学专题训练之___】函数的周期性与对称性一、基础知识1、 对称性：（1）函数关于原点对称即奇函数：()()f x f x -=-（2）函数关于y 对称即偶函数：()()f x f x -=（3）函数关于直线 x a =对称：()()f x a f a x +=-或()(2)f x f a x =-或 (2)()f x a f x +=- 偶函数是轴对称的特例关于0x a ==对称。
（4）函数关于点（a,b ）对称：f(x+a)+f(a-x)=2b 或f(x)+f(2a-x)=2b 或f(x+2a)+f(-x)=2b 奇函数是中心对称的特例关于点（0,0）对称2、周期性：（1）定义：对任意的x R ∈,都有()()f x T f x +=成立，则函数()f x 是周期函数，T 是()f x 的周期（2）性质：若T 是f(x)的周期，则kT 也是f(x)的周期,所有周期中最小的叫最小正周期，简称周期。
（3） 常见函数的周期:①y=sinx ，最小正周期T ＝2π； ②y=cosx ，最小正周期T ＝2π； ③y=tanx ，最小正周期T ＝π； ④周期函数f(x) 最小正周期为T,则()()f x A x b ωϕ=++的最小正周期为T ω （4）关于周期的几个常用结论：1>若对任意对任意的x R ∈,都有：()()f x m f x +=-+b 成立，则T=2m证明：由已知得：()()(())()f x m m f x m b f x b b f x ++=-++=--++=，故，T=2m2>若对任意对任意的x R ∈,都有：()()b f x m f x +=成立 (0b ≠)，则T=2m 证明：由已知得：()()()()b b f x m m f x bf x m f x ++===+，故T=2m 3>1()()1()f x f x m f x -+=+，则()x f 是以2T m =为周期的周期函数. 4>1()()1()f x f x m f x -+=-+，则()x f 是以4T m =为周期的周期函数. 5>1()()1()f x f x m f x ++=-，则()x f 是以4T m =为周期的周期函数.6>若()f x 是R 上的奇函数，且关于直线x m =对称，则T=4m （仿正弦函数抽象而得）证明：该函数关于直线x m =对称 (2)()f x m f x ∴+=- 该函数是奇函数 ()()f x f x ∴-=-，则(2)()()f x m f x f x ∴+=-=-由1>得，T=4m7>若()f x 是R 上的偶函数，且关于直线x m =对称，则T=2m （仿余弦函数抽象而得）证明：该函数关于直线x m =对称 (2)()f x m f x ∴+=- 该函数是偶函数 ()()f x f x ∴-=，则(2)()()f x m f x f x ∴+=-=故：T=2m8>若()f x 定义在R 上，且关于直线x m =和x n =对称（m n ≠），则2()T m n =- （仿正余弦而得）证明：该函数关于直线x m =对称，(2)()f m x f x ∴-= 该函数关于直线x n =对称，(2)()f n x f x ∴-=则，(2())(2(2))(2)()f m n x f m n x f n x f x -+=--=-=故，2()T m n =-9>若()f x 定义在R 上，且既关于点(,)a b 对称，又关于直线x m =对称，则4()T m a =- （仿正余弦） 证明：该函数关于点(,)a b 对称，()(2)2f x f a x b ∴+-= （1） 该函数关于直线x m =对称，()(2)f x f m x ∴=-，代入（1）式得：(2)(2)2f m x f a x b -+-=，（2）记2a x t -=，则2x a t =-代入（2）得：(22)()2f m a t f t b -++=，即：(22)()2f m a t f t b -+=-+由结论1>得：2(22)4()T m a m a =-=-10>若()f x 定义在R 上，且既关于点(,)m n 对称，又关于点(,)k n ，则2()T k m =- （仿正余弦而得） 证明：该函数关于点(,)m n 对称，()(2)2f x f m x n ∴+-= （1） 该函数关于点(,)k n 对称，()(2)2f x f k x n ∴+-= （2）由（1）－（2）得， (2)(2)0f m x f k x ---=记2m x t -=，则2x m t =- 代入上式得:()(22)0f t f k m t --+=,即：()(22)f t f k m t =-+故：2()T k m =-二、习题精练1、f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0，则在区间（0，6）内()0f x =的解的个数的最小值是 （ ）A ．2；B ．3C ．4D ．52、已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+2)=—f(x)，则f(6)的值为 ( )A ．—1B ．0C ．1D ．23、设f （x ）定义域为R ，且对任意实数x,2(3)()f x f x +=-恒成立，f （x ）在(0,3)内单调递减，且该函数的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是 （ ）A 、()()()1.5 3.5 6.5f f f <<；B ．()()()3.5 1.5 6.5f f f <<；C ．()()()6.5 3.5 1.5f f f <<；D ．()()()3.5 6.5 1.5f f f <<4、设函数()f x （x R ∈）是以3为周期的奇函数，且()()11,2f f a >=，则 （ ）.A 2a > .B 2a <- .C 1a > .D 1a <-5、定义域在R 的函数()f x 既是的偶函数，又关于1x =对称，若()f x 在[]1,0-上是减函数，那么()f x 在[]2,3上是 （ ）.A 增函数 .B 减函数 .C 先增后减函数 .D 先减后增函数6、已知函数()f x 是以2为周期的偶函数，且当()0,1x ∈时，()21x f x =-，则2(log 10)f 的值为.A 35 .B 85 .C 38- .D 537、函数()f x 的定义域为R ，且对任意实数x,都有(1)(1)2,f x f x -++=，()(4)f x f x =-则在[]0,10内，方程()1f x =的解至少有几个( )A ．2；B ．4C ．5D ．68、()f x 定义域为R ，且对任意x R ∈都有()1(1)1()f x f x f x ++=-成立，若()21f =f(2009)=__________9、()f x 是定义域在R 上的奇函数，且其图像关于直线12x =对称，求值(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++10、设()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线ｘ＝１对称，对任意x ，ｘ２∈［０21］，都有 1212()()()f x x f x f x +=⋅且(1)0f a =>(Ⅰ)求11(),()24f f ； (Ⅱ)证明()f x 是周期函数；11、（05广东）设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间[]0,7上，只有(1)(3)0f f ==．（Ⅰ）试判断函数()y f x =的奇偶性；（Ⅱ）试求方程()0f x =在闭区间[]2005,2005-上的根的个数，并证明你的结论11、已知函数f （x ）的定义域为{x | x ≠ kπ，k ∈ Z }，且对于定义域内的任何x 、y ，有f （x -y ）=f (x )·f (y )＋1f (y )－f (x )成立，且f （a ） = 1（a 为正常数），当0 < x < 2a 时，f （x ） > 0．（I ）判断f （x ）奇偶性；（II ）证明f （x ）为周期函数；（III ）求f （x ）在[2a ，3a ] 上的最小值和最大值．。
(完整版)函数的周期性练习题兼答案
函数周期性分类解析x，使 f (x T) f (x) 恒成立一．定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任则f(x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。
二．重要结论1、f x f x a ，则y f x 是以T a为周期的周期函数；2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期3、若函数f x a f x a ，则 f x 是以T 2a 为周期的周期函数14、y=f(x)满足f(x+a)= (a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期fx15、若函数y=f(x)满足f(x+a)= 1(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周fx 期。
6、f(x a) 1 f (x)，则 f x 是以T 2a为周期的周期函数.1 f (x)7、f(x a) 11 f f((x x))，则 f x 是以T 4a为周期的周期函数8、若函数y=f(x)满足f(x+a)= 1 f (x)(x∈R，a>0),则f(x)为周期函数且4a是它的1 f (x)一个周期9、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2( b-a) 是它的一个周期。
10、函数y f (x) x R 的图象关于两点 A a,y0 、B b,y0 a b 都对称，则函数f(x)是以2 b a 为周期的周期函数；11、函数y f (x) x R 的图象关于A a, y0和直线x b a b 都对称，则函数 f (x) 是以4 b a 为周期的周期函数；12、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期13、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。
14、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数,6a 是它的一个周期。
高中数学-函数的周期性
高中数学——函数的周期性一、知识回顾1．周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．2．最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．3．关于函数周期性常用的结论(1)若满足()()f x a f x ＋＝－，则()(2)[()]()f x a f x a a f x a f x ＋＝＋＋＝－＋＝，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)；(2)若满足1()()f x a f x ＋＝，则(2)[()]f x a f x a a ＋＝＋＋＝ 1()f x a +＝()f x ，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)；(3)若函数满足1()()f x a f x +＝-，同理可得2a 是函数的一个周期(0a ≠). （4）如果)(x f y =是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么))(()(Z n x f nT x f ∈=±．（5）函数图像关于b x a x ==,轴对称)(2b a T -=⇒．（6）函数图像关于()()0,,0,b a 中心对称)(2b a T -=⇒．（7）函数图像关于a x =轴对称，关于()0,b 中心对称)(4b a T -=⇒．二、方法规律技巧1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y ＝Asin(ωx ＋φ)，用公式T ＝2π|ω|计算．递推法：若f(x ＋a)＝－f(x)，则f(x ＋2a)＝f[(x ＋a)＋a]＝－f(x ＋a)＝f(x)，所以周期T ＝2a.换元法：若f(x ＋a)＝f(x －a)，令x －a ＝t ，x ＝t ＋a ，则f(t)＝f(t ＋2a)，所以周期T ＝2a ．2．判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．4.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想．三、例题讲解：1、设定义在R 上的函数()f x 满足()()22012f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99________f =．2、已知f （x ）是R 上的奇函数，对x ∈R 都有f （x+4）=f （x ）+f （2）成立，若f （﹣1）=﹣2，则f （2013）等于（ ）A ．2B ．﹣2C ．﹣1D ．20133、定义在R 上的函数的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称，且对任意的实数x 都有f(x)＝－f 32x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，f(－1)＝1，f(0)＝－2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)＝( ) A ．0 B ．－2C ．1D ．－44、已知周期函数f(x)的定义域为R ，周期为2，且当－1<x≤1时，f(x)＝1－x 2.若直线y ＝－x ＋a 与曲线y ＝f(x)恰有2个交点，则实数a 的所有可能取值构成的集合为( )A ．{a|a ＝2k ＋34或2k ＋54，k ∈Z} B ．{a|a ＝2k －14或2k ＋34，k ∈Z} C ．{a|a ＝2k ＋1或2k ＋54，k ∈Z} D ．{a|a ＝2k ＋1，k ∈Z}5、设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝1,102,01ax x bx x x a+-≤<⎧⎪+⎨≤≤⎪+⎩，其中a ，b ∈R.若f 12⎛⎫⎪⎝⎭＝f 32⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ＋3b 的值为________．四、新题变式探究【变式一】已知定义在R 上的函数()f x 满足条件；①对任意的x R ∈，都有()()4f x f x +=；②对任意的[]()()121212,0,2x x x x x f x ∈<<且，都有f ；③函数()2f x +的图象关于y 轴对称.则下列结论正确的是( )A.()()()7 6.5 4.5f f f <<B.()()()7 4.5 6.5f f f <<C.()()()4.5 6.57f f f <<D.()()()4.57 6.5f f f <<【变式二】设g(x)是定义在R 上,以1为周期的函数,若函数f(x)=x+g(x)在区间[0,1]上的值域为[-2,5],则f(x)在区间[0,3]上的值域为 .【综合点评】充分利用周期函数的定义将所求函数值的问题转化为已知区间的求值问题是解题关键．五、易错试题常警惕易错典例1：若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x在定义域上为奇函数，则实数k ＝________. 易错典例2：定义在R 上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方程f(x)＝0在闭区间[－T ，T]上的根的个数记为n ，则n 可能为( )A ．0B ．1C ．3D ．5 【变式】设()f x 是连续的偶函数，且当0x >时，()f x 是单调函数，则满足3()()4x f x f x +=+的所有x 之和为 ( )A ．－3B ．3C ．－8D ．8练习：A 基础测试1.【江苏省南京市2014届高三9月学情调研】设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()21xf x =+.若()3f a =，则实数a 的值为 . 2.【2014届吉林市普通高中高中毕业班复习检测】给出下列函数①cos y x x =②2sin y x =③2y x x =-④x x y e e -=-，其中是奇函数的是（ ）A. ①②B. ①④C. ②④D. ③④3.【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知)(x f y =是定义在R 上的偶函数，且在),0[∞+上单调递增，则满足)1()(f m f < 的实数m 的范围是 ．4.【吉林市普通中学2013-2014学年度高中毕业班摸底测试理】()tan sin 1f x x x =++，若2)(=b f ，则=-)(b f （ ）A. 0B. 3C. -1D. -25. 【安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考数学（理）】已知偶函数()f x 对任意x R ∈均满足(2)(2)f x f x +=-，且当20x -≤≤时，3()log (1)f x x =-，则(2014)f 的值是 .B 能力提升训练1. 【江西省2014届高三新课程适应性考试理科数学】已知函数()y f x =是周期为2的周期函数，且当[1,1]x ∈-时，||()21x f x =-，则函数()()|lg |F x f x x =-的零点个数是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．122. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2014届高三第二次联考】定义在R 上的奇函数)(x f y =满足0)3(=f ，且不等式)()(x f x x f '->在),0(+∞上恒成立，则函数)(x g =1lg )(++x x xf 的零点的个数为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 13. 【广东省中山市一中2014届高三第二次统测】奇函数()f x 满足对任意x R ∈都有()()2f x f x +=-成立，且()18f =，则(2012)(2013)(2014)f f f ++的值为（ ）A ． 2B ． 4C ． 6D ． 8 4. 【广东省广州市海珠区2014届高三入学摸底考试数学理试题】已知函数)(x f 是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，若对于任意的实数0≥x ，都有)()2(x f x f =+，且当[)2,0∈x 时，)1(log )(2+=x x f ，则)2012()2011(f f +-的值为 （ ） A .1- B. 2- C. 2 D.15．【2014届山东省日照市高三校际联考】已函数()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数,在[0,1]上时()()2ln 11xf x x =++- （Ⅰ）求函数()f x 的解析式;（Ⅱ）解不等式2(21)(1)0f x f x -+-≥．C 思维扩展训练1. 【湖北孝感高中2014届高三年级九月调研考试】已知()y f x =是定义在R 上周期为4的奇函数，且02x ≤≤时，2()2f x x x =-则1012x ≤≤时，()f x =_________________2. 【2014届新余一中宜春中学高三年级联考数学（理）】已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (x )．当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2.若直线y ＝x ＋a 与函数y ＝f (x )的图像在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是( )A ．0B ．0或－12C ．－14或－12D ．0或－14 3. 定义在R 上的奇函数()f x ，满足(3)()f x f x +=，(2)0f =，则函数()y f x =在区间()0,6内零点个数的情况为（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．至少6个4. 已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(1)()f x f x +=-，当11x -≤＜ 时，3()f x x =，若函数()()log a g x f x x =-至少6个零点，则a 的取值范围是 ．5. 【2014届上海市青浦区高三上学期末】定义在R 上的奇函数()f x 有最小正周期4，且()0,2x ∈时，142)(+=x xx f （1）判断并证明()f x 在()0,2上的单调性，并求()f x 在[]2,2-上的解析式；（2）当λ为何值时，关于x 的方程()f x λ=在[]6,2上有实数解？.。
函数周期性规律及公式
函数周期性规律及公式函数是数学中的一个重要概念，它描述了一种输入输出的关系。
在实际问题中，很多现象具有一定的周期性规律，而函数周期性规律及公式恰好可以描述这种周期性。
本文将介绍函数的周期性规律以及常见的周期性函数的公式。
一、函数的周期性规律函数的周期性是指函数图像在一定区间内重复出现相同的模式。
具体来说，对于一个周期为T的函数，当自变量x从一个周期的起点变化到终点时，函数的取值会出现一个循环，然后再从起点开始重新循环。
周期性是一种重复性，可以将函数图像想象成一个周期性图像，不断重复。
函数的周期性规律可以由函数的公式来确定。
实际上，函数的周期性规律与函数的周期相关。
周期是函数重复性的基本特征，同时也决定了函数的重复间隔。
对于周期性函数来说，周期性规律可以表达成数学公式，这些公式可以用来描述函数图像的重复性。
二、常见的周期性函数公式1. 正弦函数（Sine Function）正弦函数是最常见的周期性函数之一。
它的图像可以描述成一条连续的曲线，沿着x轴周期性地上下振动。
正弦函数的周期是2π，公式为：y = A * sin(B * x + C) + D其中，A代表振幅（即最大纵向距离），B代表频率（即单位区间内的周期数），C代表相位偏移（即图像的水平位移），D代表垂直位移（即图像在y轴上的位置）。
2. 余弦函数（Cosine Function）余弦函数与正弦函数非常相似，只是相位偏移不同。
余弦函数的周期也是2π，公式为：y = A * cos(B * x + C) + D其中，A、B、C和D的含义与正弦函数相同。
3. 正切函数（Tangent Function）正切函数是另一种常见的周期性函数。
它的图像具有一系列无限多个垂直渐近线，周期为π，公式为：y = A * tan(B * x + C) + D同样，A、B、C和D分别代表振幅、频率、相位偏移和垂直位移。
除了上述三个函数以外，还有很多其他的周期性函数，如指数函数、对数函数等等。
(完整版)函数的周期性练习题兼答案
函数周期性分类解析x，使 f (x T) f (x) 恒成立一．定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任则f(x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。
二．重要结论1、f x f x a ，则y f x 是以T a为周期的周期函数；2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期3、若函数f x a f x a ，则 f x 是以T 2a 为周期的周期函数14、y=f(x)满足f(x+a)= (a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期fx15、若函数y=f(x)满足f(x+a)= 1(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周fx 期。
6、f(x a) 1 f (x)，则 f x 是以T 2a为周期的周期函数.1 f (x)7、f(x a) 11 f f((x x))，则 f x 是以T 4a为周期的周期函数8、若函数y=f(x)满足f(x+a)= 1 f (x)(x∈R，a>0),则f(x)为周期函数且4a是它的1 f (x)一个周期9、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2( b-a) 是它的一个周期。
10、函数y f (x) x R 的图象关于两点 A a,y0 、B b,y0 a b 都对称，则函数f(x)是以2 b a 为周期的周期函数；11、函数y f (x) x R 的图象关于A a, y0和直线x b a b 都对称，则函数 f (x) 是以4 b a 为周期的周期函数；12、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期13、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。
14、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数,6a 是它的一个周期。
函数的周期性有哪些公式呢？
函数的周期性有哪些公式呢？
一、函数的周期性：
设函数 f（x）在区间 X 上有定义，若存在一个与 x 无关的正数 T , 使对于任一x∈X,恒有 f（x+T）= f（x）
则称f（x）是以T 为周期的周期函数，把满足上式的最小正数T 称为函数 f（x）的周期。
二、周期函数的运算性质：
①若T为f（x）的周期，则f（ax+b）的周期为 T/|a| 。
②若f(x)，g(x)均是以T为周期的函数，则f(x)±g(x)也是以T为周期的函数。
③若f(x)，g(x)分别是以T1，T2，T1≠T2为周期的函数，则f(x)±g(x)是以T1，T2的最小公倍数为周期的函数。
三、常见的周期函数有：
sinx，cosx，其周期T=2π；
tanx，cotx,|sinx|,|cosx|，其周期T=π。
解题提示：判别给定函数f（x）是否为周期函数，主要是根据周期的定义，有时也用其运算性质。
四、例题：
设对一切实数x，有f（1/2 + x）= 1/2 + √【f(x)- f^2(x)】,则f （x）是周期为多少的周期函数？
解：f【1/2 +（1/2 + x）】= 1/2 + √【f(1/2 + x)- f^2(1/2 + x)】
=1/2 + √【1/4 - f(x) + f^2(x)】= 1/2 + 【 f(x) - 1/2】
= f(x),(由题设f(x)≥1/2)
即 f(1+x) = f(x) ,故可知f(x)的周期为1 。
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专题函数的周期性一知识点精讲1 .周期函数的定义：对于f (x)定义域内的每一个x ,都存在非零常数T ,使得f(x T) f (x)恒成立，则称函数f (x)具有周期性，T叫做f (x)的一个周期，则kT (k Z,k 0 )也是f (x)的周期，所有周期中的最小正数叫 f (x)的最小正周期.周期函数的定义域一定是无限集2性质①若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；3•几种特殊的具有周期性的抽象函数:函数y f x满足对定义域内任一实数x (其中a0为常数)(1) f x f:X a，则y f x的周期T a .(2) f x a f x，贝U f x的周期T2a .(3) f x a的周期T2a .，贝U T xf x(4) f x a f x a，贝U f x的周期T2a .(5) f(x a)1 f (x)，则f x1 f(x)的周期T2a .(6) f(x a) 1 f(x)，则f1 f (x)x的周期T4a数.(7) f(x a) 1 f (x)，则f x1 f(x)的周期T4a .(8)函数y f (x)满足f (a x) f (a x)(a 0), 若f (x)为奇函数，则其周期为T 4a，若f (x)为偶函数，则其周期为T 2a .(9)函数y f (x) x R的图象关于直线x a和x b a b都对称，则函数f (x)是以2 b a为周期的周期函数.(10) 函数y f (x) x R的图象关于两点A a, y o > B b, y o a b都对称，则函数f (x)是2 b a为周期的周期函数.(11) 函数y f (x) x R的图象关于A a, y0和直线x b a b都对称，则函数f (x)是以4 b a为周期的周期函数.(12) f(x a) f(x) f (x-a)，则f (x)的周期T 6a.二典例解析1. 设f(x)是(—a , +s)上的奇函数，f(x+2)= —f(x),当0W x w 1 时，f(x)=x ,则f(7.5)=( )A.0.5B. —0.5C.1.5D. —1.52. 若y=f(2x)的图像关于直线x a和x b(b a)对称，则f(x)的一个周期为( )②若周期函数f(x)的周期为T,则f( x)(0)是周期函数，且周期为2 2的解析式。
6.数列｛a n ｝中印 1卫2 5,a n 2 a n 1 a n ,则 a 2006 ___________________7已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x (0,1)时，f(x 1) x 1.求f (x)在(1,2)上 的解析式。
2. f(x)是定义在R 上的以3为周期的偶函数， 且 f(1)0,则方程f(x)0在区间(0,6)内解的个数的最小值是()A . 5B. 4C.3 D . 24. f (x)是偶函数，且 f (0) 993,又 g(x)f (x 1)为奇函数，则f(1992)= ___________B . 2(b a)C .二D . 4(b a)3.已知f(x)在R 上是奇函数满足 f(x 3)f(x), f(1) 2 , 则 f (5)4.已知定义在R 上的奇函数f (x)满足f(x2) f (x)，则f (2008) =例5.已知函数 y f (x)是定义在R 上的周期函数，周期T 5，函数y f (x)( 1 x 1)是奇函数又知 y f(x)在［0,1］ 上是一 -次函数, 在［1,4］上是二次函数, 且在x 2时函数取 得最小值 5。
①证明：f(1) f (4) 0 ;②求 y f (x),x［1,4］的解析式；③求 y f(x)在［4,9］上9、函数y f (x)定义域为 2 x 6 时，f(x) 2R ,且恒满足f(x 1 x ，22) f (2 x)和 f(6 x) f (6 x)，当求f (x)解析式。
10、已知偶函数y f(x)定义域为0,4上只有三个实根，且一个根是 附参考答案：T 1 : 1 T 2: (1,0) T 3 :11 T 6 :①x ②x421 —(x 8k)2 1 (x 8k) 2T 10 :方程的根为6 4T 9: f(x)T 7 :R ， 4, 且恒满足f (x求方程在区间T 4: y 轴即xT s :②④ (8k 2 x 8k 2)f(2 x)，若方程 f (x)0在8,10中的根。
0 T 5 :①y 轴②(8k 2 x 8k2、02、46810共 9 个根。
2,k Z) 6,k Z)x 1 x 2 x 3 x 4 12 4 88 f(x)的定义域是 R ,且 f(x 2)[1f(x)] 1 f(x),若 f(0) 2008,求f(2008)的值(2009 山东理)10. 定义在R 上的函数f(x)满足 f(x)=log 2(1 x),xf (x 1) f (x山 ，则f2),x 0(2009) 的值为( )A.-1B. 0C.1D. 2【解析】:由已知得 f( 1) log 2 2 1, f(0) 0, f(1) f(0) f( 1) 1,f(2) f(1) f(0) 1, f(3)f(2)f(1)1 (1) 0,f(4)f(3)f(2)0 ( 1) 1, f (5) f (4) f (3) 1，f(6)f(5)f(4) 0,所以函数 f(x)的值以 6为周期重复性出现 •，所以 f ( 2009) =f ( 5)=1,故选 C.(2009山东理)16.已知定义在 R 上的奇函数f (x)，满足f (x 4) f (x),且在区间［0,2］上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间 8,8上有四个不同的根x-i , x 2, x 3, x 4 ,则x-i x 2 x 3 x 4________【解析】：因为定义在R 上的奇函数，满足 f (x4)f(x 8) f (x)所以函数是以8为周期的周期函数，又因为f (x)在区间［0,2］上是增函数,所 以f(x)在区间［-2,0］上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间 8,8上有四个 不同的根x 1,x 2, x 3, x 4,不妨设x-i x 2 x 3 x 4由对称性知 x , x 2 12 x 3 x 44所以9•已知函数f (x)满足f (x 1)1一空，若 f (0)1 f(x)2004，试求 f (2005)。
由f (x)为奇函数，所以函数图象关于直线x 2对称且 f(0) 0,由 f(x 4) f (x)知f(x)，所以 f(x 4) f( x),所以,答案：-8(2009全国一)(11)函数f (x)的定义域为R,若f(x1)与f(x 1)都是奇涵则( D )数，(A) f (x)是偶函数(B) f (x)是奇函数(C) f(x) f(x 2) (D)f(x3)是奇函数解：Q f (x 1)与f(x 1)都是奇函数，f( x 1)f(x 1), f( x1)f(x1), 函数f(x)关于点(1,0)，及点(1,0)对称，函数f(x)是周期T 2[1 ( 1)] 4的周期函数.f( x 1 4) f (x 1 4) , f ( x 3) f (x 3)，即f(x 3)是奇函数。
故选D专题函数对称性一知识点精讲：I函数y f (x)图象本身的对称性(自身对称)若f (x a) f (x b)，贝U f (x)具有周期性；若f(a x) f (b x)，贝U f (x)具有对称性："内同表示周期性，内反表示对称性”。
1、f (a x) f (b x) y f (x)图象关于直线x (a x) (b x)^_b 对称2 2推论1: f (a x) f (a x)y f (x)的图象关于直线x a对称推论2、f(x) f (2a x)y f (x)的图象关于直线x a对称推论3、f( x)f(2a x)y f (x)的图象关于直线x a对称2、f (a x) f (b x) 2c y f (x)的图象关于点(a b c)对称2，推论1、 f (a x) f (a x)2b y f(x)的图象关于点(a,b)对称推论2、f(x) f (2a x)2b y f (x)的图象关于点(a,b)对称推论3、f( x) f (2a x)2b y f (x)的图象关于点(a,b)对称II 两个函数的图象对称性( 相互对称)(利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)1、y f(x)与y f ( x)图象关于Y轴对称2、y f(x)与y f( x)图象关于原点对称函数3、函数y f(x)与y f(x)图象关于X 轴对称们的和为12，还有一个根就是 3。
故这5个实根之和为15,正确答案为 C4、函数y f (x)与其反函数y f tx)图象关于直线y X 对称f(x) 2x 丄,则 f (log 2 20)______5解析：y f (x)关于直线x 1对称，f( x)f (2 x)，又 是f(x)奇函数，f( x)f (x),故有f(2 x) f (x),55 4 log 21 T 4,f (log2 20) f (log 2 20 4) f (log 2 才 f (log 2 匚)2 5 4— 15 2、已知函数y f (x)满足f (x) f(2 x)0，则 y f (x)图象关于 对称。
解析：这是一个函数的对称性，由上述结论知 y f (x )图象关于(1,0)对称 3、 函数y f(x 1)与函数y f(1 x)的图象关于关于 ______________________ 对称。
解析：这是两个函数的对称性，两函数的图象关于x 1对称4、 设函数y f (x)的定义域为 R ，且满足f(x 1) f (1 x)，则y f (x)的图象关于 对称。
解析：这是一个函数的对称性, y f (x)的图象关于y 轴即x 0对称5、 设函数y f (x)的定义域为R ，且满足f(x 1) f (1 x)，贝y y f (x 1)的图象关 于 对称。
解析：y f (x)关于直线x 1对称，y f (x 1)是由y f (x)向左平移一个单位得到 的，故y f(x 1)的图象关y 轴对称6、设y f (x)的定义域为R ，且对任意xR ，有f(1 2x) f (2x)，贝U y f (x)关于__________ 对称，y f (2x)图象关于 ________________ 对称，。
1 解析：令t 2x ,则有f(1 t) f (t) y f (t)关于直线t 即y f (x)关于 2111 x 对称，y f(2x)是由纵坐标不变，横坐标变为原来的，y f(2x)关于x -224对称。