直角三角形与勾股定理中考考点分析
2025年湖南中考数学一轮复习考点研析 第四章 三角形第19讲 直角三角形与勾股定理
么它所对的直角边等于___斜__边__的__一__半_____
图示
类别
内容
判定
(1)有一个角是___直__角___的三角形是直角三角形; (2)有两个角___互__余___的三角形是直角三角形
图示
面积 S=12ab=12ch(a,b为两条直角边长,c为斜边长,h为斜边上的高)
1.已知三角形为直角三角形,题目未明确直角顶点时,需要进行分类讨论. 2.若有一条直角边等于斜边的一半,则这条直角边所对的锐角等于30°(运 用时需要先证明). 3.一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形(运用时需要 先证明).
A. 3
B.2 3
C.2
D.4
变式1－3 [分类讨论]在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,点D在BC边上,连 接AD.若△ABD为直角三角形,则∠ADB的度数是______9_0_°__或__5_0_°____.
答案
考点2 勾股定理
类别
内容
勾股定理
直角三角形两直角边a,b的平方和,等于斜边c 的平方,即______a_2＋__b_2_=_c_2_____
答案
变 式 2 － 1 如 图 ,∠ C= ∠ ABD=90°,AD=13,BD=12,BC=3, 则 AC 的 长 等 于 A( )
A.4
B.3
C.2
D.1
变式2－2 下列能作为直角三角形三边长的是( D )
A.2, 2, 3
B.13,11,5
C.9,8,6
D. 2,1,1
答案
1.满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是( B )
2025年湖南中考数学一轮复习考点研析 第一部分 考点研析 第四章 三角形
初三数学直角三角形性质、相关定理和推论
第2次课：直角三角形性质、相关定理和推论一、考点、热点回顾1、基本知识点：勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。
应用：由边的关系判定三角形是直角三角形定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（HL ） 应用：判定直角三角形全等的方法 2、互逆定理如果两个角是对顶角，那么它们相等。
如果两个角相等，那么它们是对顶角。
如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧。
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。
全等三角形中相等的边所对的角相等。
全等三角形中相等的角所对的边相等。
逆命题： 互逆命题： 逆定理： 互逆定理：三角形三边长与三角形形状之间的关系设三角形的三边长分别为a 、b 、c ，其中c 为最大边的长（1）若222+=a b c ，则三角形为直角三角形； （2）若222+<a b c ，则三角形为钝角三角形； （3）若222+>a b c ，则三角形为锐角三角形；二、典型例题例如图，在△ABC 中，∠ACB=900，AB=5，BC=3，CD ⊥AB 于点D ，求CD 的长。
DABC例如图,在△ABC 中,D 是BC 上的一点,已知AB=13,AD=12,AC=15,BD=5,求CD 的长.例右图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC 、DE 垂直于横梁AC ，AB=7.4m,∠A ＝30 °, 立柱BC 、DE 要多长？例将下面的空补充完整。
如图所示，已知△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，∠A=30°.求证：AB=4BD解：∵△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°∴ BC= AB ∠B=又∵△BCD 中,CD ⊥AB ∴∠BCD= ∴BD= BC ∴BD= AB 即例：说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假;(1)四边形是多边形；(2)两直线平行，内旁内角互补； (3)如果ab ＝0，那么a ＝0， b ＝0AB CD1.如图,CD ⊥AD,CB ⊥AB,AB=AD. 求证:CD=CB.2.如图，一架2.5m 长的梯子AB ，斜靠在一坚直的墙上AC 上，这时梯足B 到墙底端C 的距离为0.7m ，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m ，那么梯足将向外移动多少米？3.如图，AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交高AD 于点F ，且BF=AC ，FD=CD 。
第三讲 中考中的勾股定理应用
第三讲中考中的勾股定理应用【典型例题A】类型一、勾股定理及逆定理的简单应用1、已知直角三角形的两边长分别为6和8，求第三边的长．【变式】在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12．求△ABC的周长．2、如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，M为AB上一点．求证：．【变式】已知，△ABC中，AB＝AC，D为BC上任一点，求证：.类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、已知如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝20，BC＝32，D是BC上的一点，且AD⊥AC，求BD的长．【变式】如图所示，已知△ABC中，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线交BC于D，BD＝，AE⊥BC于E，求AE的长.4、如图①所示，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用表示，则不难证明．(1)如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用表示，那么之间有什么关系?(不必证明)(2)如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用表示，请你确定之间的关系并加以证明．5、如果ΔABC的三边分别为，且满足，判断ΔABC的形状.类型三、勾股定理的实际应用6、如图①，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A处爬到B处的最短路线长为多少?【变式】如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面B点，则蚂蚁爬的最短路线长约为______.(π取3)【典型例题B】类型一、勾股定理及逆定理的应用1、如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝，AB＝，BC，E是AB上一点，且AE＝，求点E到CD的距离EF．【变式】如图所示，在△ABC中，D是BC边上的点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求DC的长．类型二、勾股定理与其他知识结合应用2、如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，CD＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？【变式】如图所示，正方形ABCD的AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一点P，使EP＋BP最短．求EP＋BP的最小值．3、如图所示，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，E、F为AB上两点(E左F右)，且∠ECF＝45°，求证：．4、已知：如图，△ABC中，∠CAB＝120°，AB＝4，AC＝2，AD⊥BC，D是垂足，求AD的长．类型三、本章中的数学思想方法1.转化的思想方法：我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决．5、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE＝12，CF＝5．求线段EF的长.【变式】已知凸四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝DC，求证：2.方程的思想方法6、如图所示，已知△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，，求、、的值.【变式】直角三角形周长为12，斜边长为5，求直角三角形的面积.【巩固练习A】一、选择题1．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3处折断，树顶端落在离树底部4处，则树折断之前高( )（1）（2）（4）A.5B.7C.8D.102．如图，从台阶的下端点B到上端点A的直线距离为( )A. B.C. D.3. 下列命题中是假命题的是（）A.三个内角的度数之比为：3：4的三角形是直角三角形；B.三个内角的度数之比为：：2的三角形是直角三角形；C.三边长度之比：：2的三角形是直角三角形；D.三边长度之比：：2的三角形是直角三角形；4. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点E、F是中线AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（）．A．6 B．12 C．24 D．305．下列三角形中，是直角三角形的是( )A.三角形的三边满足关系B.三角形的三边比为1∶2∶3C.三角形的一边等于另一边的一半D.三角形的三边为9，40，416．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价元，则购买这种草皮至少需要( )（6）（7）（8）A.450元B.225元C.150元D.300元7. 如图所示，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对8. 已知，如图长方形ABCD中，AB＝3，AD＝9，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A.3B.4C.6D.12二、填空题9．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为______．10．若等边三角形的边长为2，则它的面积为______．11．如图，B，C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝60米，则点A到岸边BC的距离是______米．（12）（13）（15）12. 下列命题中，其逆命题成立的是______________．（只填写序号）①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形．13. 长为4 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了______．14．在直角三角形中，一条直角边为11，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．15. 如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面积的和是10，则其中最大的正方形的边长为______．16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与△ABC的BC边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为__________．三.解答题17. 若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此三角形的面积.18．如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1千米，BD＝3 千米，CD＝3千米．现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W．19．如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝20，AB＝10，延长AB到D，使CD＋DB＝AC＋AB，求BD的长．20. 如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，为CD边上的点，＝3．将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点处，点A的对应点为，折痕分别与AD，BC边交于点M，N．求BN的长.【巩固练习B】一、选择题1. 在△中，若，则△ABC是（）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形2. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）A．90°B．60°C．45°D．30°（2）（6）（8）3．在下列说法中是错误的（）A．在△ABC中，∠C＝∠A一∠B，则△ABC为直角三角形．B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝5：2：3，则△ABC为直角三角形．C．在△ABC中，若，，则△ABC为直角三角形．D．在△ABC中，若a：b：c＝2：2：4，则△ABC为直角三角形．4．若等腰三角形两边长分别为4和6，则底边上的高等于( )A. B. 或 C. D. 或5. 若三角形的三边长分别等于，则此三角形的面积为（）A. B. C. D.6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于点D，AB＝13，CD＝6，则AC＋BC等于( )A. 5B.C. D.7. 已知三角形的三边长为，由下列条件能构成直角三角形的是（）A.B.C.D.8. 如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝DC＝5，点P在BC上移动，则当PA＋PD取最小值时，△APD中边AP上的高为（）A. B. C. D. 3二、填空题9. 如图，平面上A、B两点处有甲、乙两只蚂蚁，它们都发现C处有食物，已知点C在A的东南方向，在B的西南方向.甲、乙两只蚂蚁同时从A、B两地出发爬向C处，速度都是30／min.结果甲蚂蚁用了2 min，乙蚂蚁2分40秒到达C处分享食物，两只蚂蚁原来所处地点相距_______.（9）（10）（11）10．如图，AB＝5，AC＝3，BC边上的中线AD＝2，则△ABC的面积为______．11．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD＝______．12．△ABC中，AB＝AC＝13，若AB边上的高CD＝5，则BC＝______．13．如图，长方体的底面边长分别为1和3，高为6．如果用一根细线从点A开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_____,如果从点A开始经过四个侧面缠绕圈到达点B，那么所用细线最短需要_____.（13）（15）（16）14．已知：△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，BC＝_______．15. 已知，如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为________．16. 如图所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，BC＝________.三.解答题17. 如图所示，已知D、E、F分别是△ABC中BC、AB、AC边上的点，且AE＝AF，BE＝BD，CF＝CD，AB ＝4,AC＝3，，求：△ABC的面积．18．有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6，8．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．19. 有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6，BC ＝8,①如图1，现将纸片沿直线AD折叠，使直角边AC落在斜边AB上，且与AB重合，则CD ＝_________.②如图2，若将直角∠C沿MN折叠，使点C落在AB中点H上，点M、N分别在AC、BC上，则、与之间有怎样的数量关系？并证明你的结论.20. 如图1，四根长度一定的木条，其中AB＝6，CD＝15，将这四根木条用小钉绞合在一起，构成一个四边形ABCD（在A、B、C、D四点处是可以活动的）.现固定AB边不动，转动这个四边形，使它的形状改变，在转动的过程中有以下两个特殊位置.位置一：当点D在BA的延长线上时，点C在线段AD上（如图2）；位置二：当点C在AB的延长线上时，∠C＝90°．（1）在图2中，若设BC的长为，请用的代数式表示AD的长；（2）在图3中画出位置二的准确图形；（各木条长度需符合题目要求）（3）利用图2、图3求图1的四边形ABCD中，BC、AD边的长．。
直角三角形和勾股定理知识点总结
直角三角形和勾股定理知识点总结直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
在直角三角形中，我们常常使用勾股定理来求解其边长关系。
本文将对直角三角形的性质以及勾股定理进行全面总结，帮助读者更好地理解和应用这一知识点。
一、直角三角形的性质1. 直角三角形的定义：直角三角形是指一个角为90度的三角形。
直角三角形的另外两个角则是锐角（小于90度）或钝角（大于90度）。
2. 直角三角形的特点：a) 直角三角形的两条直角边相互垂直，即互为直角的两边垂直。
b) 直角三角形的斜边是直角两边之间最长的一条。
3. 直角三角形的边关系：a) 斜边：直角三角形的斜边是直角两边之间最长的一条边，通常用字母c表示。
b) 直角边：直角三角形的两边中，与直角相邻的边称为直角边，通常用字母a和b表示。
二、勾股定理勾股定理，也称毕达哥拉斯定理，是描述直角三角形边长关系的重要定理。
其数学表达式为：c² = a² + b²。
根据勾股定理，我们可以根据已知条件求解直角三角形的边长，或者判断一个三角形是否为直角三角形。
三、勾股定理的应用1. 求解直角三角形的边长：当我们已知直角三角形的两条直角边的长度时，可以利用勾股定理求解斜边的长度。
根据勾股定理的数学表达式，我们可以列方程并求解未知数。
2. 判断三角形是否为直角三角形：根据勾股定理，如果一个三角形的三条边满足c²= a²+ b²的关系，那么它就是一个直角三角形。
利用这一定理，我们可以快速判断一个三角形是否为直角三角形。
四、勾股定理的证明勾股定理的证明有多种方法，其中最著名的是几何证明和代数证明。
几何证明利用图形的面积关系，代数证明则通过代数运算来证明。
1. 几何证明：几何证明中最著名的方法是利用正方形切割法和相似三角形法，通过将直角三角形和一些几何图形进行拼接和旋转等操作，从而得出勾股定理成立的结论。
2. 代数证明：代数证明主要利用代数运算和数学等式的性质，将勾股定理的数学表达式带入运算，通过推导和化简等步骤，最终得出勾股定理成立的结果。
勾股定理及直角三角形的判定
勾股定理及直角三角形的判定知识要点分析1、勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2、勾股定理的验证勾股定理的证明方法很多，其中大多数是利用面积拼补的方法证明的。
我们也可将勾股定理理解为：以两条直角边分别为边长的两个正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。
因此，证明勾股定理的关键是想办法把以两条直角边分别为边长的两个正方形作等面积变形，使它能拼成以斜边为边长的正方形。
另外，用拼图的方法，并利用两种方法表示同一个图形的面积也常用来验证勾股定理。
3、如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，此结论是勾股定理的逆定理（它与勾股定理的条件和结论正好相反）。
其作用是利用边的数量关系判定直角三角形，运用时必须在已知三角形三条边长的情况下。
我们还可以理解为：如果三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，并且两条短边是直角边，最长边是斜边。
4、勾股数满足条件a2+b2=c2的三个正整数a、b、c称为勾股数。
友情提示：（1）3，4，5是勾股数，又是三个连续正整数，并不是所有三个连续正整数都是勾股数；（2）每组勾股数的相同倍数也是勾股数。
【典型例题】考点一：勾股定理例1：在△ABC中，∠C=90°，（1）若a=3，b=4，则c=__________；（2）若a=6，c=10，则b=__________；（3）若c=34，a：b=8：15，则a=________，b=_________.例2：已知三角形的两边长分别是3、4，如果这个三角形是直角三角形，求第三边的长。
解：考点二：勾股定理的验证例3：如图所示，图（1）是用硬纸板做成的两个直角三角形，两直角边的长分别是a和b，斜边长为c，图（2）是以c为直角边的等腰三角形。
请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。
勾股定理中考章节复习(知识点+经典题型分析总结)
勾股定理中考章节复习(知识点+经典题型分析总结)【知识要点】1. 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。
3. 勾股数：①满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。
）②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）4.命题、定理、证明⑴ 命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。
理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。
⑵ 命题的分类（按正确、错误与否分）真命题（正确的命题）命题假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。
⑶ 公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。
⑷ 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
⑸ 证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
⑹ 证明的一般步骤① 根据题意，画出图形。
② 根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。
③ 经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
AB C a b c 弦股勾A BD 5.判断直角三角形：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
中考解直角三角形知识点整理复习
x tan 21°
8 3
x
；
B
D
第 19 题图
在
Rt△CEG 中， tan
CGE
CE GE
，则 GE
tan
CE CGE
x tan 37°
4 3
x
∵ EF FG EG，∴ 8 x 50 4 x ． x 37.5 ，∴ CD CE ED 37.51.5 39 （米）．
3
3
答：古塔的高度约是 39 米． ························ 6 分
a2 b2
a 由 Sin A＝c，求∠A；∠B＝90°－A，b＝
c2 - a2
∠B＝90°－A，a＝b·Sin A，c＝cosA
A bC 一
和
角 一锐角
锐角，对边 （如∠A，a）
∠B＝90°－A，b＝，c＝
斜边，锐角（如 c，∠A）
∠B＝90°－A，a＝c·Sin A， b＝c·cos A
2、测量物体的高度的常见模型
35º 40
CB
D
面 CD 有多长
º
(结果精确到 0.1m．参考数据：sin40º ≈，cos40º ≈，sin35º ≈，tan35º ≈
（2012）20.（8 分）
附历年真题标准答案：
（2007）19．（本小题满分 6 分）
解：过 C 作 AB 的垂线，交直线 AB 于点 D，得到 Rt△ACD 与 Rt△BCD．
数学模型
所用 应测数据
工具
α β x
h1
h
皮尺
αβ a
h x
侧倾 器
仰角α 俯角β 高度 a
俯角α 俯角β
高度
数量关系
中考数学复习方案第四单元三角形第21课时直角三角形及勾股定理
故答案是:4 5或 10.
第二十五页，共四十页。
基
础
知
识
巩
固
高
频
考
向
探
究
考向二 勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)及其逆定理的应用
例2 [教材(jiàocái)题]一架2.5米长的梯子靠在一座建筑物上,梯子的底部离建筑物0.7米,如果
梯子的顶部滑下0.4米,梯子的底部向外滑出多远?
基
础
知
识
巩
固
高
频
考
向
探
究
题组二
易错题
【失分点】
直角的不确定引起的分类讨论;求最短距离时,将立体(lìtǐ)图形展开成平面图形求解.
6.[2018·东营]如图 21-2 所示的圆柱的高 AB=3,底面直径 BC=3,现在有一只蚂蚁
想从 A 处沿圆柱表面爬到对角 C 处捕食,则它爬行的最短距离是 (
A.3 1 + π
的中点,连接BM,MN,BN, ∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,则BN的长为
.
高
频
考
向
探
究
图21-6
第二十二页，共四十页。
基
础
知
识
巩
固
[答案] 2
1
[解析]在△ CAD 中,∵M,N 分别是 AC,CD 的中点,∴MN∥AD,MN= AD,
2
1
在 Rt△ ABC 中,∵M 是 AC 的中点,∴BM= AC=1.
∵∠ACB=45°,∴AF=CF=1,
∴DF= 2 - 2 = 3,
∴CD=DF-CF= 3-1.
中考数学复习之直角三角形的性质、勾股定理,考点过关与基础练习题
23. 直角三角形和勾股定理➢ 知识过关1.直角三角形性质梳理： 1. 从边与角的角度来考虑①直角三角形两锐角_______，且任一直角边长小于_______．②勾股定理：直角三角形两直角边的______等于斜边的____； 勾股定理逆定理：如果三角形两边的______等于__________，那么这个三角形是_______三角形．2. 添加一些特殊的元素（中线或30°角）①直角三角形斜边上的中线等于______________；如果一个三角形____________________________，那么这个三角形是直角三角形．②30°角所对的直角边是_____________________；在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这 条直角边所对的锐角等于_____________．3. 特殊的直角三角形➢ 考点分类考点1直角三角形的性质例117．如图，在△ACD 中，BC ⊥AD 于B ，AC ＝AD ＝3，AB ＝2，则CD ＝（ ）A ．6B ．√6C ．√5D ．4ACB 45°1130°234211BCABCA BCAa 2+b 2=c2CBAC B A A BC ABC C BA2mm AB C 30°考点2勾股定理及其逆定理例2如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝9，AD ⊥BC 于D ，M 为AD 上任一点，则MC 2﹣MB 2等于（ ）A ．29B ．32C ．36D ．45例3等面积法例3若直角三角形两条直角边的长分别为7和24，在这个三角形内有一点P 到各边的距离都相等，则这个距离是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1➢ 真题演练1．如图，在边长为1的正方形网格中，A 、B 、C 均在正方形格点上，则C 点到AB 的距离为（ ）A ．3√1010B ．2√105C ．5√104D ．4√1052．如图，AB ＝AC ＝13，BP ⊥CP ，BP ＝8，CP ＝6，则四边形ABPC 的面积为（ ）A ．48B ．60C ．36D ．723．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝6，若以AC 边和BC 边向外作等腰直角三角形AFC 和等腰直角三角形BEC ．若△BEC 的面积为S 1，△AFC 的面积为S 2，则S 1+S 2＝（ ）A ．36B ．18C ．9D ．44．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 在边AB 上，AD ＝AC ，AE ⊥CD ，垂足为F ，与BC 交于点E ，则BE 的长是（ ）A ．3B ．5C ．163D ．65．如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 在边长为1的正方形网格的格点上，则BC 边长的高为（ ）A ．√302B ．85√5 C ．45√5 D ．√1326．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE ＝5，AB ＝13，则EF 的值是（ ）A ．7B ．2√3C ．√13D ．7√27．如图，∠ABC ＝∠ADB ＝90°，DA ＝DB ，AB 与CD 交于点E ，若BC ＝2，AB ＝4，则点D 到AC 的距离是（ ）A.5√56B ．6√55C ．4√55D ．5√548．如图，将一副直角三角尺重叠摆放，使得60°角的顶点与等腰直角三角形的直角顶点重合，且DE⊥AB于点D，与BC交于点F，则∠FCE的度数为（）A．60°B．65°C．75°D．85°9．如图，AC＝AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝8，则△BCD的面积为（）A．8B．12C．14D．1610．如图，四边形ABCD中，连接BD，O为BD中点，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDA＝30°，∠BDC＝45°，则∠CAO＝（）A．15°B．18°C．22.5°D．30°➢课后练习1.如图，等边△ABD和等边△BCE中，A、B、C三点共线，AE和CD相交于点F，下列结论中正确的个数是（）①△ABE≌△DBC②BF平分∠AFC③AF＝DF+BF④∠AFD＝60°A．1B．2C．3D．42．如图，△ABC中，∠ACB＝60°，AG平分∠BAC交BC于点G，BD平分∠ABC交AC 于点D，AG、BD相交于点F，BE⊥AG交AG的延长线于点E，连接CE，下列结论中正确的有（）①若∠BAD＝70°，则∠EBC＝5°；②BF＝2EF；③BE＝CE；④AB＝BG+AD；⑤S△BFGS△AFD =BFAF．A．5个B．4个C．3个D．2个3．在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于E、F，给出以下四个结论：当∠EPF在△ABC内绕P旋转时（点E不与A、B重合），①AE＝CF；②EF＝AP；③△EPF是等腰直角三角形；④S四边形AEPF= 12S△ABC；⑤EF的最小值为√2；⑥BE2+CF2＝EF2．则正确结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个4．如图，O是正△ABC内一点，OA＝6，OB＝8，OC＝10，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为8；③∠AOB＝150°；④四边形AOBO′的面积是24+16√3；⑤S△AOC+S△AOB＝24+9√3 4．其中正确结论有（）个．A．5B．4C．3D．25．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF ⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②AD＝PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDE=74S△ABP；⑤S△APH＝S△ADE，其中正确的结论是（）A．①②③B．②③④C．①②④⑤D．①②⑤6．如图，O为△ABC内的一点，D为AB边上的一点，OD＝OB，OA＝OC，∠AOC＝∠BOD ＝90°，连接CD．下列结论：①AB＝CD；②AB⊥CD；③∠AOD+∠OCD＝45°；④S △BOC＝S△AOD．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．①②③D．①②③④➢冲击A+如图1，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，连接CB，过C作CD⊥AB于点D，过点C 作∠BCE，使∠BCE＝∠BCD，其中CE交AB的延长线于点E．（1）求证：CE是圆O的切线；（2）如图2，点F在圆O上，且满足∠FCE＝2∠ABC，连接AF并延长交EC的延长线于点G．①求证：CF＝2CD；②若CD＝4，BD＝2，求线段FG的长．。
中考数学总复习知识点专题讲解8---勾股定理在动点直角三角形存在性问题中的应用
中考数学专题08 勾股定理在动动点题是近年来中考的形存在性问题是这类题目考查数学思想方法，尤其对勾股定基本思路是什么，解答的难点直角三角形是一类特殊三角形在求线段的长度等方面有广泛需掌握以下几个基本图形需掌握以下几个基本图形：题1. 如图1-1，在Rt △ABC 射线BC 以1m /s 的速度移动(1)求BC 边的长；(2)当△ABP 为直角三角形时【答案】（1）4m ；（2）见解析1考数学总复习知识点专题讲解理在动点直角三角形存在性问题中考的一个热点问题也是难点问题，而因动点产目考查的重点. 解这类题目要掌握转化、分类讨论勾股定理的运用炉火纯青，才能准确、快速的解答的难点在哪？我们将通过以下几个例题加以说明三角形，有着丰富的性质，角的关系、边的关系有广泛的应用.：BC 中，∠C ＝90°，AB ＝5m ，AC ＝3m ，动点移动，设运动的时间为t s .图1-1形时，求t 的值．见解析【解析】解：（1）∵∠C ＝90°在Rt △ABC 中，由勾股定理得4BC ==∴BC =4m .（2）由题意可知，∠ABP ≠90①当∠APB =90°时，此时P由（1）知BP =4，所以t =4②当∠BAP =90°时，如图1-由题意得：BP =t ，CP =t －4在Rt △ABP 中，由勾股定理得AP 2=BP 2－AB 2在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP 2=AC 2+CP 2所以BP 2－AB 2=AC 2+CP 2即：()2222534t t −=+−解得：254t = 综上所述，当△ABP 为直角三【点睛】直角三角形存在性问和∠BAP 为直角时，进行分类题2. 如图2-1，在四边形ABC 若点P 是线段AD 上一动点【答案】见解析.【解析】解：∵∠D =90°，∴∠A =90°过B 作BE ⊥CD 于E ，如图则四边形ABED 为矩形所以BE =AD =7，DE =AB =3在Rt △BCE 中，由勾股定理得直角三角形时，t =4或254t =. 在性问题，分类讨论的出发角度是直角的位置行分类讨论，准确画出图形，根据勾股定理列方ABCD 中，∠D =90°，AB ∥DC ，AB =3，动点，当AP 为何值时，△BCP 是直角三角形图2-1AB ∥DC ，如图2-2所示.，CE =CD －DE =1图2-2定理得：BA D C E 位置，此题分∠APB 理列方程求解. DC =4，AD =7. 角形？BC2=CE2+BE2=50.因为∠C<90°，P在线段AD两种情况讨论：①当∠BPC=90°时，如图2-设AP=x，则PD=7-x在Rt△ABP中，由勾股定理得BP2=AP2+AB2=x2+9.在Rt△DCP中，由勾股定理得PC2=PD2+CD2= (7-x) 2+16.在Rt△BCP中，由勾股定理得PC2=PB2+BC2=x2+9+50.(7∴-x)2+16= x2+9+50解得：37 x=.即AP=3 7 .②当∠PBC=90°时，如图2-设AP =x ，则PD =7-x在Rt △ABP 中，由勾股定理得BP 2=AP 2+AB 2=x 2+9.在Rt △DCP 中，由勾股定理得PC 2=PD 2+CD 2= (7-x ) 2+16. 在Rt △BCP 中，由勾股定理得PC 2= BC 2-PB 2 = 50-x 2-9.(7∴-x )2+16=50- x 2-9解得：1234x x ==，.即AP =3或4.综上所述，当AP 为37或3【点睛】直角三角形的存在性位置进行讨论，解题方法除了以图2-4为例，是典型的“一线易知△ABP ∽△DPC ，所以即374x x =−，解得13x =因此在日常学习过程中，我们 图2-4定理得：定理得：定理得：或4时，△BCP 是直角三角形. 存在性问题用到的数学方法是分类讨论，针对直法除了利用勾股定理外，也可用相似三角形、一线三直角”模型.所以AB AP DP CD = 24x =，. 我们要针对每一个题多思考，有没有多种求解BA D C P针对直角所在不同的、三角函数等求解. 种求解方法，这样对拓展眼界有很大的好处.题3. 如图3-1，在△ABC 中向B 以1 cm /s 的速度运动，A ，B 同时出发．(1)经过多少秒，△BMN 为等边(2)经过多少秒，△BMN 为直角【答案】见解析.【解析】解：（1）设经过则AM ＝x ，BN ＝2x ，∴BM ＝AB －AM ＝30－x ，根据题意得30－x ＝2x ，解得x ＝10.所以经过10 s ，△BMN 为等边（2）设经过x 秒，△BMN 根据题意分两种情况讨论：中，AB ＝30 cm ，BC ＝35 cm ，∠B ＝60°，，动点N 自B 向C 以2 cm /s 的速度运动. 若点为等边三角形； 为直角三角形．图3-1x 秒，△BMN 为等边三角形，为等边三角形.MN 是直角三角形.：图3-2①当∠NMB =90°时，如图3∵∠B ＝60°，∴∠BNM ＝30°，∴BN ＝2BM ，即2x ＝2 (30－x )，解得x ＝15；②当∠BNM ＝90°时，∵∠B ＝60°，∴∠BMN ＝30°，∴BM ＝2BN ，即30－x ＝解得x ＝6，即经过6秒或15秒，△【点睛】(1)设时间为x ，用解之可得；(2)分①∠BNM 可得；②∠BMN ＝90°时，题4. 已知在Rt △ABC 中，∠(1)如图4-1，点O 是AB 的中点(2)如图4-2，若∠A =30°，AB3-2所示.图3-32×2x ，BMN 是直角三角形．x 表示出AM 、BN 、BM ，根据等边三角形的判＝90°时，即可知∠BMN ＝30°，依据2BN ＝∠BNM ＝30°，依据2BM ＝BNERROR: undefinedOFFENDING COMMAND: F4S63YFF STACK:。
中考数学复习方案(21)直角三角形与勾股定理(19页)
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第21课时┃回归教材
中考预测
如图21－4，已知等腰Rt△ABC的直角 边长为1，以Rt△ABC的斜边AC为直 角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以 Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三 个等腰Rt△ADE，……依此类推直到 第五个等腰Rt△AFG，则由这五个等 腰直角三角形所构成的图形的面积为 31/2 ________．
命题角度： 勾股定理逆定理．
例 3、[2012· 广西] 已知三组数据：①2、3、4；②3、4、5； ③1、 3、2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长， 能构成直角三角形的有( D ) A．② B．①② C．①③ D．②③
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第21课时┃归类探究
解 析 根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三 边的平方即可构成直角三角形．只要判断两个较小的数的平方和 是否等于最大数的平方即可． ①∵22＋32＝13≠42， ∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故不符合题意； ②∵32＋42＝52 ，
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图21－1
第21课时┃归类探究
解 析 过点B作BM⊥AC交AC的延长线于点M，所以四边形 BDCM是矩形，CM＝BD＝2，BM＝CD＝4，AM＝3，从而求得 AB＝5.
方法点析
勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的两边
求第三边；(2)已知直角三角形的一边求另两边的关系；(3)
(1)判断某三角形是否为直角三角形；(2)证明两条 线段垂直；(3)解决生活实际问题
用途
勾股数
能构成直角三角形的三条边长的三个正整数，称为勾股数
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中考数学复习----勾股定理知识点总结与专项练习题(含答案解)
中考数学复习----勾股定理知识点总结与专项练习题（含答案解） 知识点总结1. 勾股民定理的内容：在直角三角形中，两直角边的平方的和等于斜边的平方。
若直角三角形的两直角边是b a ，，斜边是c ，则222b a c +=。
2. 勾股数：满足直角三角形勾股定理的三个正整数是一组勾股数。
3. 勾股定理的逆定理：若三角形的三条边分别是c b a ，，，且满足222b a c +=，则三角形是直角三角形，且∠C 是直角。
4. 特殊三角形三边的比：①含30°的直角三角形三边的比例为（从小打大）：2:3:1。
②45°的等腰直角三角形三边的比例为（从小到大）：2:1:1。
5. 两点间的距离公式：若点()11y x A ，与点()22y x B ，，则线段AB 的长度为：()()221221y y x x AB −+−=。
练习题 1、（2022•攀枝花）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC ．若OC ＝，BC ＝1，∠AOB ＝30°，则OA 的值为（ ）A ．3B ．23C ．2D ．1【分析】根据勾股定理和含30°角的直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵∠OBC＝90°，OC＝，BC＝1，∴OB＝＝＝2，∵∠A＝90°，∠AOB＝30°，∴AB＝OB＝1，∴OA＝＝＝，故选：A．2、（2022•荆门）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为（）A．120m B．603m C．605m D．1203m【分析】根据底部是边长为120m的正方形求出BC的长，再由含30°角的直角三角形的性质求解AB的长，利用勾股定理求出AC的长即可．【解答】解：如图，∵底部是边长为120m的正方形，∴BC＝×120＝60m，∵AC⊥BC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°，∴AB ＝2BC ＝120m ，∴AC ＝＝m ． 故选：B ．3、（2022•百色）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．如已知△ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝3，∠A 所对的边为，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC 是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（ ）A ．23B ．23﹣3C ．23或3D ．23或23﹣3【分析】根据题意知，CD ＝CB ，作CH ⊥AB 于H ，再利用含30°角的直角三角形的性质可得CH ，AH 的长，再利用勾股定理求出BH ，从而得出答案．【解答】解：如图，CD ＝CB ，作CH ⊥AB 于H ，∴DH ＝BH ，∵∠A ＝30°，∴CH ＝AC ＝，AH ＝CH ＝，在Rt △CBH 中，由勾股定理得BH ＝＝，∴AB ＝AH +BH ＝＝2，AD ＝AH ﹣DH ＝＝， 故选：C ． 4、（2022•荆州）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，通过尺规作图得到的直线MN 分别交AB ，AC 于D ，E ，连接CD ．若CE ＝31AE ＝1，则CD ＝ ．【分析】如图，连接BE ，根据作图可知MN 为AB 的垂直平分线，从而得到AE ＝BE ＝3，然后利用勾股定理求出BC ，AB ，最后利用斜边上的中线的性质即可求解．【解答】解：如图，连接BE ，∵CE ＝AE ＝1，∴AE ＝3，AC ＝4，而根据作图可知MN 为AB 的垂直平分线，∴AE ＝BE ＝3，在Rt △ECB 中，BC ＝＝2，∴AB ＝＝2， ∵CD 为直角三角形ABC 斜边上的中线，∴CD ＝AB ＝．故答案为：． 5、（2022•广元）如图，在△ABC 中，BC ＝6，AC ＝8，∠C ＝90°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，与AB 交于点D ，再分别以A 、D 为圆心，大于21AD 的长为半径画弧，两弧交于点M 、N ，作直线MN ，分别交AC 、AB 于点E 、F ，则AE 的长度为（ ）A ．25B ．3C ．22D ．310 【分析】利用勾股定理求出AB ，再利用相似三角形的性质求出AE 即可．【解答】解：在Rt △ABC 中，BC ＝6，AC ＝8，∴AB ＝＝＝10， ∵BD ＝CB ＝6，∴AD ＝AB ﹣BC ＝4，由作图可知EF 垂直平分线段AD ，∴AF ＝DF ＝2，∵∠A ＝∠A ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°，∴△AFE ∽△ACB ，∴＝， ∴＝，∴AE ＝，故选：A ．6、（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD 中，M ，N 分别是AB ，BC 上的格点，BM ＝4，BN ＝2．若点P 是这个网格图形中的格点，连结PM ，PN ，则所有满足∠MPN ＝45°的△PMN 中，边PM 的长的最大值是（ ）A ．42B ．6C ．210D ．35【分析】在网格中，以MN 为直角边构造一个等腰直角三角形，使PM 最长，利用勾股定理求出即可．【解答】解：如图所示：∵BM＝NC＝4，BN＝CP＝2，且∠B＝∠C＝90°，∴△BMN≌△CNP（SAS），∴MN＝NP，∠BMN＝∠CNP，∵∠BMN+∠BNM＝90°，∴∠BNM+∠CNP＝90°，∴∠MNP＝90°，∴△NMP为等腰直角三角形，此时PM最长，在Rt△BMN和Rt△NCP中，根据勾股定理得：MN＝NP＝＝2，则PM＝＝2．故选：C．7、（2022•金华）如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是（3，1），（4，﹣2），下列各地点中，离原点最近的是（）A．超市B．医院C．体育场D．学校【分析】根据题意可以画出相应的平面直角坐标系，然后根据勾股定理，可以得到点O到超市、学校、体育场、医院的距离，再比较大小即可．【解答】解：如右图所示，点O到超市的距离为：＝，点O到学校的距离为：＝，点O到体育场的距离为：＝，点O到医院的距离为：＝，∵＜＝＜，∴点O到超市的距离最近，故选：A．8、（2022•舟山）如图，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC＝∠BDE＝90°，点A在边DE 的中点上，若AB＝BC，DB＝DE＝2，连结CE，则CE的长为（）A．14B．15C．4D．17【分析】方法一：根据题意先作出合适的辅助线，然后根据勾股定理可以得到AB和BC的长，根据等面积法可以求得EG的长，再根据勾股定理求得EF的长，最后计算出CE的长即可．方法二：延长ED到F，使得DE＝DF，连接CF，BF，然后根据全等三角形的判定和性质，以及勾股定理，可以求得CE的长．【解答】解：方法一：作EF⊥CB交CB的延长线于点F，作EG⊥BA交BA的延长线于点G，∵DB＝DE＝2，∠BDE＝90°，点A是DE的中点，∴BE＝＝＝2，DA＝EA＝1，∴AB＝＝＝，∵AB＝BC，∴BC＝，∵＝，∴，解得EG＝，∵EG⊥BG，EF⊥BF，∠ABF＝90°，∴四边形EFBG是矩形，∴EG＝BF＝，∵BE＝2，BF＝，∴EF＝＝＝，CF＝BF+BC＝+＝，∵∠EFC＝90°，∴EC＝＝＝，故选：D．方法二：延长ED到F，使得DE＝DF，连接CF，BF，如图所示，∵BD＝DE＝2，∠BDE＝90°，∴∠BDE＝∠BDF＝90°，EF＝4，∴△BDE≌△BDF（SAS），∴BE＝BF，∠BEA＝∠BF A＝45°，∵∠EBA+∠ABF＝90°，∠ABF+∠FBC＝90°，∴∠EBA＝∠FBC，∵BE＝BF，BA＝BC，∴△EBA≌△FBC（SAS），∴∠BEA＝∠BFC＝45°，AE＝CF，∴∠CFE＝∠BFC+∠AFB＝90°，∵点A为DE的中点，∴AE＝1，∴CF＝1，∴EC＝＝＝，故选：D．9、（2022•成都）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是．【分析】设直角三角形两条直角边分别为a、b，斜边为c，由一元二次方程根与系数的关系可得a+b＝6，ab＝4，再由勾股定理即可求出斜边长．【解答】解：设直角三角形两条直角边分别为a、b，斜边为c，∵直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，∴a+b＝6，ab＝4，∴斜边c＝＝＝＝2，故答案为：2．10、（2022•南充）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE ∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE＝5，DF＝3，则下列结论错误的是（）A．BF＝1B．DC＝3C．AE＝5D．AC＝9【分析】根据角平分线的性质和和勾股定理，可以求得CD和CE的长，再根据平行线的性质，即可得到AE的长，从而可以判断B和C，然后即可得到AC的长，即可判断D；再根据全等三角形的判定和性质即可得到BF的长，从而可以判断A．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DF⊥AB，∴∠1＝∠2，DC＝FD，∠C＝∠DFB＝90°，∵DE∥AB，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝DE，∵DE＝5，DF＝3，∴AE＝5，CD＝3，故选项B、C正确；∴CE＝＝4，∴AC＝AE+EC＝5+4＝9，故选项D正确；∵DE∥AB，∠DFB＝90°，∴∠EDF＝∠DFB＝90°，∴∠CDE+∠FDB＝90°，∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠FDB，∵tan∠DEC＝，tan∠FDB＝，∴，解得BF＝，故选项A错误；故选：A．11、（2022•通辽）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝6，若点P在直线AB上（不与点A，B重合），且∠PCB＝30°，则AP的长为．【分析】题中60°的锐角，可能是∠A也可能是∠B；∠PCB＝30°可以分为点P在在线段AB上和P在线段AB的延长线上两种情况；直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，同时借助勾股定理求得AP的长度．【解答】解：当∠A＝30°时，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠CBA＝60°，BC＝AB＝×6＝3，由勾股定理得，AC＝3，①点P在线段AB上，∵∠PCB＝30°，∠CBA＝60°∴∠CPB＝90°，∴∠CP A＝90°，在Rt△ACP中，∠A＝30°，∴PC＝AC＝×3＝．∴在Rt△APC中，由勾股定理得AP＝．②点P在线段AB的延长线上，∵∠PCB＝30°，∴∠ACP＝90°+30°＝120°，∵∠A＝30°，∴∠CP A＝30°．∵∠PCB＝30°，∴∠PCB＝∠CP A，∴BP＝BC＝3，∴AP＝AB+BP＝6+3＝9．当∠ABC＝30°时，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝60°，AC＝AB＝×6＝3，由勾股定理得，BC＝3，①点P在线段AB上，∵∠PCB＝30°，∴∠ACP＝60°，∴△ACP是等边三角形∴AP＝AC＝3．②点P在线段AB的延长线上，∵∠PCB＝30°，∠ABC＝30°，∴CP∥AP这与CP与AP交于点P矛盾，舍去．综上所得，AP的长为，9或3．故答案为：，9或3．12、（2022•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF．过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K．若CI＝5，CJ＝4，则四边形AJKL的面积是．【分析】过点D作DM⊥CI于点M，过点F作FN⊥CI于点N，由正方形的性质可证得△ACJ≌△CDM，△BCJ≌△CFN，可得DM＝CJ，FN＝CJ，可证得△DMI≌△FNI，由直角三角形斜边上的中线的性质可得DI＝FI＝CI，由勾股定理可得MI，NI，从而可得CN，可得BJ与AJ，即可求解．【解答】解：过点D作DM⊥CI，交CI的延长线于点M，过点F作FN⊥CI于点N，∵△ABC为直角三角形，四边形ACDE，BCFG为正方形，过点C作AB的垂线CJ，CJ＝4，∴AC＝CD，∠ACD＝90°，∠AJC＝∠CMD＝90°，∠CAJ+∠ACJ＝90°，BC＝CF，∠BCF＝90°，∠CNF＝∠BJC＝90°，∠FCN+∠CFN＝90°，∴∠ACJ+∠DCM＝90°，∠FCN+∠BCJ＝90°，∴∠CAJ＝∠DCM，∠BCJ＝∠CFN，∴△ACJ≌△CDM（AAS），△BCJ≌△CFN（AAS），∴AJ＝CM，DM＝CJ＝4，BJ＝CN，NF＝CJ＝4，∴DM＝NF，∴△DMI≌△FNI（AAS），∴DI＝FI，MI＝NI，∵∠DCF＝90°，∴DI＝FI＝CI＝5，在Rt△DMI中，由勾股定理可得：MI＝＝＝3，∴NI＝MI＝3，∴AJ＝CM＝CI+MI＝5+3＝8，BJ＝CN＝CI﹣NI＝5﹣3＝2，∴AB＝AJ+BJ＝8+2＝10，∵四边形ABHL为正方形，∴AL＝AB＝10，∵四边形AJKL为矩形，∴四边形AJKL的面积为：AL•AJ＝10×8＝80，故答案为：80．13、（2022•内江）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝．【分析】由勾股定理和乘法公式完成计算即可．【解答】解：设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则：S1＝（a+b）2，S2＝42＝16，S3＝（a﹣b）2，且：a2+b2＝EF2＝16，∴S1+S2+S3＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16＝2×16+16＝48．故答案为：48．14、（2022•永州）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则AE＝．【分析】根据题意得出AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，设AF＝DE＝CH ＝BG＝x，结合图形得出AE＝x﹣1，利用勾股定理列方程求解．【解答】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，∴AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，根据题意，设AF＝DE＝CH＝BG＝x，则AE＝x﹣1，在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，∴（x﹣1）2+x2＝52，解得：x1＝4，x2＝﹣3（舍去），∴x﹣1＝3，故答案为：3．15、（2022•湖北）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是（结果用含m的式子表示）．【分析】根据题意得2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：∵m为正整数，∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理得，（2m）2+a2＝（a+2）2，解得a＝m2﹣1，∴弦是a+2＝m2﹣1+2＝m2+1，故答案为：m2+1．16、（2022•常州）如图，将一个边长为20cm的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形ABCD，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm时才会断裂．若∠BAD＝60°，则橡皮筋AC断裂（填“会”或“不会”，参考数据：3≈1.732）．【分析】设AC与BD相交于点O，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD，AD＝AB＝20cm，从而可得△ABD是等边三角形，进而可得BD＝20cm，然后再在Rt△ADO中，利用勾股定理求出AO，从而求出AC的长，即可解答．【解答】解：设AC与BD相交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD，AD＝AB＝20cm，∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝20cm，∴DO＝BD＝10（cm），在Rt△ADO中，AO＝＝＝10（cm），∴AC＝2AO＝20≈34.64（cm），∵34.64cm＜36cm，∴橡皮筋AC不会断裂，故答案为：不会．17、（2022•常州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12．在Rt△DEF中，∠F＝90°，DF＝3，EF＝4．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF，Rt△DEF从起始位置（点D与点B重合）平移至终止位置（点E与点A重合），且斜边DE始终在线段AB上，则Rt△ABC的外部被染色的区域面积是．【分析】如图，连接CF交AB于点M，连接CF′交AB于点N，过点F作FG⊥AB于点H，过点F′作F′H⊥AB于点H，连接FF′，则四边形FGHF′是矩形，Rt△ABC的外部被染色的区域是梯形MFF′N．求出梯形的上下底以及高，可得结论．【解答】解：如图，连接CF交AB于点M，连接CF′交AB于点N，过点F作FG⊥AB于点H，过点F′作F′H⊥AB于点H，连接FF′，则四边形FGHF′是矩形，Rt△ABC的外部被染色的区域是梯形MFF′N．在Rt△DEF中，DF＝3，EF＝4，∴DE＝＝＝5，在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，∴AB＝＝＝15，∵•DF•EF＝•DE•GF，∴FG＝，∴BG＝＝＝，∴GE＝BE﹣BG＝，AH＝GE＝，∴F′H＝FG＝，∴FF′＝GH＝AB﹣BG﹣AH＝15﹣5＝10，∵BF∥AC，∴＝＝，∴BM＝AB＝，同法可证AN＝AB＝，∴MN＝15﹣﹣＝，∴Rt△ABC的外部被染色的区域的面积＝×（10+）×＝21，故答案为：21．18、（2022•泰州）如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为．【分析】根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：如图，第一步到①，第二步到②，故走两步后的落点与出发点间的最短距离为＝，故答案为：．。
中考复习第20课时直角三角形与勾股定理课件
若 AB＝1考点聚焦
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第20课时┃ 直角三角形与勾股定理
方法点析 直角三角形有两个重要的性质： 1．在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所 对的直角边等于斜边的一半； 2．在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 .
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在运动过程中，关注两个特殊位置：D 为 AB 中 点和 DE⊥BC，利用“在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”、“在直角三角 形中，斜边上的中线等于斜边的一半”解决问题．
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解 析
第20课时┃ 直角三角形与勾股定理
变式题
将一副三角尺如图 20－2 所示叠放在一起，
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第20课时┃ 直角三角形与勾股定理
【归纳总结】 1．勾股定理：如果直角三角形两条直角边长分别为 a，b，斜边长 为 c，那么 a2＋b2＝
c2
. 三角形.
2．勾股定理的逆定理：如果三角形三边长 a，b，c 满足 a2＋b2＝c2， 那么这个三角形是 直角 3．勾股数：能构成直角三角形三条边长的三个 正整数 .
3
.
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第20课时┃ 直角三角形与勾股定理
【归纳总结】 1．性质： (1)直角三角形的两个锐角 互余 直角边等于斜边的 一半 2．判定： (1)有一个角是 ； . ； (2)在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的 (3)在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的 一半
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第20课时┃ 直角三角形与勾股定理
► 检测考点3 直角三角形中的重要线段
中考数学专题知识点29 直角三角形、勾股定理2021
一、选择题 8．（2021·山西8题）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ）A ．统计思想B ．分类思想C ．数形结合思想D ．函数思想 C9．（2021•杭州）已知线段AB ，按如下步骤作图：①作射线AC ，使AC ⊥AB ；②作∠BAC 的平分线AD ；③以点A 为圆心，AB 长为半径作弧，交AD 于点E ；④过点E 作EP ⊥AB 于点P ，则AP ：AB ＝（ ）A ．1：√5B ．1：2C ．1：√3D ．1：√2D 【解析】∵AC ⊥AB ，∴∠CAB ＝90°.∵AD 平分∠BAC ,∴∠EAB =12×90°＝45°. ∵EP ⊥AB ,∴∠APE ＝90°,∴∠EAP ＝∠AEP ＝45°,∴AP ＝PE ,∴设AP ＝PE ＝x , 故AE ＝AB =√2x ,∴AP ：AB ＝x :√2x ＝1:√2．7．（2021•宁波）如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，AD ⊥BC 于点D ，BD =√3．若E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则EF 的长为（ ）A ．√33B ．√32C ．1D ．√62C 【解析】∵AD ⊥BC ,∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°.∵∠B ＝45°,BD =√3,∴AD ＝BD =√3. ∵∠C ＝60°,∴DC =ADtan60°=√3√3=1,∴AC ＝DC ＝2.∵E ，F 分别为AB ，BC 的中点，∴EF =12AC ＝1．10．（2021•金华）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点E ，F ，G ，H ，M ，N 都在同一个圆上．记该圆面积为S 1，△ABC 面积为S 2，则S 1S 2的值是（ ）A ．5π2B ．3πC ．5πD ．11π2C 【解析】如图，设AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，则a 2+b 2＝c 2，①取AB 的中点为O ，∵△ABC 是直角三角形，∴OA ＝OB ＝OC. ∵圆心在MN 和HG 的垂直平分线上，∴O 为圆心. 连接OG ，OE ，则OG ，OE 为半径，由勾股定理得：r 2=(a +b 2)2+(a 2)2=c 2+(c2)2，②由①②得a ＝b ，∴a 2=c 22，∴S 1=54πc 2，∴S 2=12ab =c 24，∴S 1S 2=54πc 2÷c 24=5π.9．（2021•嘉兴）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝5，点D 在AC 上，且AD ＝2，点E 是AB 上的动点，连结DE ，点F ，G 分别是BC 和DE 的中点，连结AG ，FG ，当AG ＝FG 时，线段DE 长为（ ）A ．√13B ．5√22C ．√412D ．4A 【解析】如图，分别过点G ，F 作AB 的垂线，垂足为M ，N ，过点G 作GP ⊥FN 于点P ，∴四边形GMNP 是矩形，∴GM ＝PN ，GP ＝MN ，∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝5，∴CA ⊥AB ，又∵点G 和点F 分别是线段DE 和BC 的中点， ∴GM 和FN 分别是△ADE 和△ABC 的中位线，∴GM =12AD =1，AM =12AE ，FN =12AC =52，AN =12AB =52， ∴MN ＝AN ﹣AM =52−12AE ，∴PN ＝1，FP =32，设AE ＝m ，∴AM =12m ，GP ＝MN =52−12m ， 在Rt △AGM 中，AG 2＝（12m ）2+12， 在Rt △GPF 中，GF 2＝（52−12m ）2+（32）2， ∵AG ＝GF ，∴（12m ）2+12＝（52−12m ）2+（32）2，解得m ＝3，即DE ＝3，在Rt △ADE 中，DE =√AD 2+AE 2=√13．10．（2021•安徽10题）在△ABC 中，∠ACB ＝90°，分别过点B ，C 作∠BAC 平分线的垂线，垂足分别为点D ，E ，BC 的中点是M ，连接CD ，MD ，ME ．则下列结论错误的是（ ） A ．CD ＝2ME B ．ME ∥AB C ．BD ＝CD D ．ME ＝MDA 【解析】根据题意可作出图形，如图所示，并延长EM 交BD 于点F ，延长DM 交AB 于点N ，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，分别过点B ，C 作∠BAC 平分线的垂线，垂足分别为点D ，E ，由此可得点A ，C ，D ，B 四点共圆，∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝∠BAD ，∴CD ＝DB ，（故选项C 正确） ∵点M 是BC 的中点，∴DM ⊥BC ， 又∵∠ACB ＝90°，∴AC ∥DN ，∴点N 是线段AB 的中点，∴AN ＝DN ，∴∠DAB ＝∠ADN ， ∵CE ⊥AD ，BD ⊥AD ，∴CE ∥BD ，∴∠ECM ＝∠FBM ，∠CEM ＝∠BFM ， ∵点M 是BC 的中点，∴CM ＝BM ，∴△CEM ≌△BFM （AAS ），∴EM ＝FM ， ∴EM ＝FM ＝DM （故选项D 正确），∴∠FEM ＝∠MDE ＝∠DAB ，∴EM ∥AB （故选项B 正确）， 综上，可知选项A 的结论不正确．故选：A ． 9．（2021•重庆B 卷）如图，把含30°的直角三角板PMN 放置在正方形ABCD 中，∠PMN ＝30°，直角顶点P 在正方形ABCD 的对角线BD 上，点M ，N 分别在AB 和CD 边上，MN 与BD 交于点O ，且点O 为MN 的中点，则∠AMP 的度数为（ ）A ．60°B ．65°C ．75°D ．80°C 【解析】在Rt △PMN 中，∠MPN ＝90°，∵O 为MN 的中点，∴OP =12MN =OM ， ∵∠PMN ＝30°，∴∠MPO ＝30°，∴∠DPM ＝150°， 在四边形ADPM 中，∵∠A ＝90°，∠ADB ＝45°，∠DPM ＝150°，∴∠AMP ＝360°﹣∠A ﹣∠ADB ﹣∠DPM ＝360°﹣90°﹣45°﹣150°＝75°． 故选：C ．9．（2021•临沂）如图，点A ，B 都在格点上，若BC =2√133，则AC 的长为（ ）A ．√13B ．4√133C ．2√13D ．3√13B 【解析】由图可得，AB =√62+42=√36+16=√52=2√13， ∵BC =2√133，∴AC ＝AB ﹣BC ＝2√13−2√133=4√133． 12．（2021•成都）如图，数字代表所在正方形的面积，则A 所代表的正方形的面积为 ．1007．（2021•新疆）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝4，CD ⊥AB 于点D ，E 是AB 的中点，则DE 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4A 【解析】∵∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，∴∠B ＝60°. ∵E 是AB 的中点,AB ＝4，∴CE ＝BE =12AB =12×4=2,∴△BCE 为等边三角形. ∵CD ⊥AB ,∴DE ＝BD =12BE =12×2=1.8．（2021•资阳）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH 组成，恰好拼成一个大正方形ABCD ．连结EG 并延长交BC 于点M ．若AB =√13，EF ＝1，则GM 的长为（ ）A ．2√25B ．2√23C ．3√24D ．4√25D 【解析】由图可知∠AEB ＝90°，EF ＝1，AB =√13，∵大正方形ABCD 是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH 组成，故AE ＝BF ＝GC ＝DH ，设AE ＝x ， 则在Rt △AEB 中，有AB 2＝AE 2+BE 2，即13＝x 2+（1+x ）2，解得：x 1＝2，x 2＝﹣3（舍去）． 过点M 作MN ⊥FC 于点N ，如图所示．∵四边形EFGH 为正方形，EG 为对角线，∴△EFG 为等腰直角三角形， ∴∠EGF ＝∠NGM ＝45°，故△GNM 为等腰直角三角形． 设GN ＝NM ＝a ，则NC ＝GC ﹣GN ＝2﹣a ，∵tan ∠FCB =BFCF =23=NMCN =a2−a ，解得：a =45．∴GM =√GN 2+NM 2=√(45)2+(45)2=4√25．7．（2021•荆州）如图，矩形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点D 在OA 的延长线上，若A （2，0），D （4，0），以O 为圆心、OD 长为半径的弧经过点B ，交y 轴正半轴于点E ，连接DE ，BE ，则∠BED 的度数是（ ）A ．15°B ．22.5°C ．30°D ．45°C 【解析】如图，连接OB .∵A （2，0），D （4，0），矩形OABC ，∴OA ＝2，OD ＝4＝OB ，∴∠OBA ＝30°， ∴∠BOD ＝90°﹣30°＝60°，∴∠BED =12∠BOD =12×60°＝30°.10．(2021·鄂州) 如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC =3BC =．点P 为ABC ∆内一点，且满足22PA PC +2AC =．当PB 的长度最小时，ACP ∆的面积是（ ）A ．3 B． CDD{解析}由22PA PC +2AC =，根据勾股定理的逆定理得∠APC=90°，则根据圆周角定理可判断点P 在以AC 为直径的圆上，如图，取AC 的中点O ，点P 为BO 于⊙O 的交点时，PB 最小，，BC=3，∴∠BOC=60°∴，AP=3，ACP ∆的面积为132⨯=．9．（2021·襄阳）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭(jia)生其中，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈＝10尺）其大意为：有一水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的口点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度是多少，则水的深度是（ ）A ．10尺B ．11尺C ．12尺D ．13尺BC【解析】设水深x 尺，则芦苇高为(x ＋1)尺，于是5、x 、(x ＋1)三条线段组成了直角三角形，由勾股定理，得52＋x 2＝(x ＋1)2，解得x ＝12．12．（2021·贵港）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，8AB =，12BC =，D 为AC 边上的一个动点，连接BD ，E 为BD 上的一个动点，连接AE ，CE ，当ABD BCE ∠=∠时，线段AE 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6B [解析】如图，取BC 的中点T ，连接AT ，ET ．90ABC ∠=︒，90ABD CBD ∴∠+∠=︒.ABD BCE ∠=∠，90CBD BCE ∴∠+∠=︒，90CEB ∴∠=︒.6CT TB ==，162ET BC ∴==，10AT ===. AE AT ET -，4AE ∴，AE ∴的最小值为4.二、填空题15．（2021•杭州）如图，在直角坐标系中，以点A （3，1）为端点的四条射线AB ，AC ，AD ，AE 分别过点B （1，1），点C （1，3），点D （4，4），点E （5，2），则∠BAC ∠DAE （填“＞”、“＝”、“＜”中的一个）．=【解析】连接DE，由上图可知AB═2，BC═2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC═45°.又∵AE═√AF2+EF2═√22+12═√5，同理可得DE═√22+12═√5，AD═√12+32═√10.在△ADE中，有AE2+DE2═AD2，∴△ADE是等腰直角三角形，∴∠DAE═45°，∴∠BAC═∠DAE. 15．（2021•宿迁）《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C 恰好碰到岸边的C'处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是尺．12【解答】依题意画出图形，设芦苇长AC ＝AC ′＝x 尺， 则水深AB ＝（x ﹣1）尺， ∵C ′E ＝10尺， ∴C ′B ＝5尺， 在Rt △AC ′B 中， 52+（x ﹣1）2＝x 2， 解得x ＝13，即芦苇长13尺，水深为12尺.，21．(2021·绥化)在边长为4的正方形ABCD 中，连接对角线AC 、BD ，点P 是正方形边上或对角线上的一点，若PB ＝3PC ，则PC ＝ ．{答案}1或{解析}如图1，∵四边形ABCD 是正方形，AB ＝4，图1∴AC ⊥BD ，AC ＝BD ，OB ＝OD ，AB ＝BC ＝AD ＝CD ＝4，∠ABC ＝∠BCD ＝90°， 在Rt △ABC 中，由勾股定理得: AC＝，∴OB ＝∵PB ＝3PC ，∴设PC ＝x ，则PB ＝3x ， 有三种情况: .①点P 在BC 上时，如图2，图2∵AD ＝4，PB ＝3PC ，∴PC ＝1; ②点P 在AC 上时，如图3，图3在Rt △BPO 中，由勾股定理得: BP 2＝BO 2＋OP 2， (3x ) 2＝2＋x ) 2 解得: x(负数舍去) ，即PC． ③点P 在CD 上时，如图4，图4在Rt △BPC 中，由勾股定理得: BC 2＋PC 2＝BP 2，42＋x 2＝ (3x ) 2，解得: x(负数舍去) ， 即PC综上，PC 的长是113．（2021•盐城）如图，在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的中线，若CD ＝2，则AB ＝ ．【解答】4．16．（2021•湖州）由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中AB 的长应是 ．√2−1【解析】如图，设DE ＝x ．P由题意3DE 2＝1，∴DE =√33，在Rt △CDE 中，∠CED ＝90°，CD ＝1，∴EC =√CD 2−DE 2=1−(√33)=√63，∴tan ∠ECD =DT CD=DE EC，∴DT =√22，∴AT ＝1−√22， ∵∠ABT ＝∠TCD ，∴tan ∠ABT ＝tan ∠TCD ，∴ATAB=DT CD，∴1−√22AB =√221，∴AB =√2−1．故答案为：√2−1．14．（2021•云南）已知△ABC 的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC 的平分线与线段AC 交于点D ．若△ABC 的一条边长为6，则点D 到直线AB 的距离为 ．3√22或3或6√2−6或6﹣3√2【解析】①当B 为直角顶点时，过D 作DH ⊥AB 于H ,如图：∵△ABC 的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC 的平分线与线段AC 交于点D , ∴△ABC 是等腰直角三角形，∠ABD ＝∠ADH ＝45°，AD ＝CD =12AC ,∴△AHD 和△BHD 是等腰直角三角形， ∴AH ＝DH ＝BH ,∴DH =12BC ,若AC ＝6，则BC ＝AC •cos45°＝3√2，此时DH =3√22，即点D 到直线AB 的距离为3√22；若AB ＝BC ＝6，则DH =12BC ＝3，即点D 到直线AB 的距离为3； ②当B 不是直角顶点时，过D 作DH ⊥BC 于H ，如图：∵△ABC 的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC 的平分线与线段AC 交于点D , ∴△CDH 是等腰直角三角，AD ＝DH ＝CH , 在△ABD 和△HBD 中，{∠ABD =∠HBD∠A =∠DHB BD =BD ,∴△ABD ≌△HBD (AAS ),∴AB ＝BH ,若AB ＝AC ＝6时，BH ＝6，BC =√AB 2+AC 2=6√2， ∴CH ＝BC ﹣BH ＝6√2−6，∴AD ＝6√2−6，即此时点D 到直线AB 的距离为6√2−6； 若BC ＝6，则AB ＝BC •cos45°＝3√2， ∴BH ＝3√2，∴CH ＝6﹣3√2，∴AD ＝6﹣3√2，即此时点D 到直线AB 的距离为6﹣3√2； 综上所述，点D 到直线AB 的距离为3√22或3或6√2−6或6﹣3√2．17．(2021·常州)如图，在△ABC 中，AC=3，BC=4，点D 、E 分别在CA 、CB 上，点F 在△ABC 内，若四边形CDFE 是边长为1的正方形，则FBA ∠sin = ．{答案}1010{解析}法一法二连结AF ，CF ，过点F 作FG ⊥AB ，∵四边形CDFE 是边长为1的正方形，∴∠C ＝90°，CE=EF=1，∵AC=3，BC=4，∴BE=4-1=3，AB=54322=+，BF=101322=+， ∵BCFABF ACF ABC S S S S ∆∆∆∆++=，∴BC EF FG AB DF AC BC AC ⋅+⋅+⋅=⋅21212121，412152113214321⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯FG ，∴1=FG ，∴FBA ∠sin =1010101==BF FG ． 15．（2021•扬州）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为点E ，连接CD ，若CD ＝5，BC ＝8，则DE ＝ ．3【解析】∵∠ACB＝90°,DE⊥BC,∴DE∥AC,∵点D是AB的中点，∴E是BC的中点,AB＝2CD＝10,∴AC＝2DE,∵BC＝8,∴AC=√AB2−BC2=√102−82=6,∴DE＝3．15．（2021•岳阳）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图，设门高AB为x尺，根据题意，可列方程为．（x﹣6.8）2+x2＝102【解析】设门高AB为x尺，则门的宽为（x﹣6.8）尺，AC＝1丈＝10尺，依题意得：AB2+BC2＝AC2,即（x﹣6.8）2+x2＝102．16．（2021•随州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点，OD平分∠AOC交AC于点G，OD＝OA，BD分别与AC，OC交于点E，F，连接AD，CD，则OGBC的值为；若CE＝CF，则CFOF的值为．12√2【解析】①在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点，∴OA＝OC＝OB，∵OD平分∠AOC，∴OG⊥AC，且点G为AC的中点，∴OG∥BC，且OG=12BC，即OGBC=12.②∵OD＝OA，∴OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.∵OG⊥AC，∴∠DGE＝90°，∴∠GDE+∠DEG＝90°. ∵CE＝CF，∴∠CEF＝∠CFE.∵∠CEF ＝∠DEG ，∠CFE ＝∠OFB ，∠ODB ＝∠OBD ， ∴∠OFB +∠OBD ＝90°，∴∠FOB ＝90°，即CO ⊥AB ， ∴△OBA 是等腰直角三角形，∴BC ：OB =√2：1. 由（1）知，OG ∥BC ，∴△BCF ∽△DOF ，∴CF OF=BC OD=BC OB=√2．故答案为12；√2．15．(2021·齐齐哈尔) 直角三角形的两条边长分别为3和4，则这个直角三角形斜边上的高为 ．125{解析}分类讨论，a)当3、4都是直角边时AB ＝5，由1122AC BC AB CD ⋅=⋅，从而得到125CD =， b)若4为斜边，BC =1122AC BC AB CD ⋅=⋅,得到CD ． 13．(2021·长春) 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形AOB 的斜边OA 在y 轴上，OA ＝2，点B 在第一象限．标记点B 的位置后，将△AOB 沿x 轴正方向平移至△A 1O 1B 1的位置，使A 1O 1经过点B ，再标记点B 1的位置，继续平移至△A 2O 2B 2的位置，使A 2O 2经过点B 1，此时点B 2的坐标为 ．（3，1）{解析}如图所示，过点B 作BP ⊥y 轴于点P ，3B3B∵△ABO是等腰直角三角形，OA＝2，∴AP＝OP＝1，∠AOB＝45°，∴△BPO是等腰直角三角形，∴BP＝PO＝1，由题意知点B2的坐标为（3，1）．三、解答题21.（2021·上海）如图，已知在△ABD中，AC⊥BD，BC=8，CD=4，4cos ABC5，BF 为AD边上的中线.(1)求AC的长;(2)求tan∠FBD的值.解：（1）BC4cos ABCAB5，BC=8，∴AB=8×54=10，由勾股定理得：AC=6.（2）过F作FG⊥CD于G点，AC=6,CD=4，由勾股定理得：AD=213，∵BF为AD边上的中线，∴F为AD中点，∵FG⊥BD，AC⊥BD，∴FG∥AC，FG为△ACD的中位线，∴G为CD中点，∴BG=BC+CG=8-2=10,FG=1AC2=3，∴tan∠FBD=FGBG=310.27．（2021•成都）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，其中点A，C的对应点分别为点A′，C′．（1）如图1，当点A′落在AC的延长线上时，求AA′的长；（2）如图2，当点C′落在AB的延长线上时，连接CC′，交A′B于点M，求BM的长；（3）如图3，连接AA′，CC′，直线CC′交AA′于点D，点E为AC的中点，连接DE．在旋转过程中，DE是否存在最小值？若存在，求出DE的最小值；若不存在，请说明理由．G解：（1）∵∠ACB ＝90°,AB ＝5，BC ＝3， ∴AC =√AB 2−BC 2=4，∵∠ACB ＝90°，△ABC 绕点B 顺时针旋转得到△A ′BC ′，点A ′落在AC 的延长线上, ∴∠A 'CB ＝90°，A 'B ＝AB ＝5， Rt △A 'BC 中，A 'C =√A′B 2−BC 2=4，∴AA '＝AC +A 'C ＝8．（2）过C 作CE //A 'B 交AB 于E ,过C 作CD ⊥AB 于D ,如图：∵△ABC 绕点B 顺时针旋转得到△A ′BC ′， ∴∠A 'BC ＝∠ABC ,BC '＝BC ＝3， ∵CE //A 'B ,∴∠A 'BC ＝∠CEB ,∴∠CEB ＝∠ABC ,∴CE ＝BC ＝3，Rt △ABC 中，S △ABC =12AC •BC =12AB •CD ,AC ＝4，BC ＝3，AB ＝5， ∴CD =AC⋅BC AB=125，Rt △CED 中，DE =√CE 2−CD 2=√32−(125)2=95，同理BD =95，∴BE ＝DE +BD =185，C 'E ＝BC '+BE ＝3+185=335，∵CE //A 'B ,∴BM CE=BC′C′E,∴BM 3=3335，∴BM =1511．（3）DE 存在最小值1，理由如下：过A 作AP //A 'C '交C 'D 延长线于P ,连接A 'C ，如图：∵△ABC 绕点B 顺时针旋转得到△A ′BC ′， ∴BC ＝BC ',∠ACB ＝∠A 'C 'B ＝90°，AC ＝A 'C ', ∴∠BCC '＝∠BC 'C , 而∠ACP ＝180°﹣∠ACB ﹣∠BCC '＝90°﹣∠BCC ', ∠A 'C 'D ＝∠A 'C 'B ﹣∠BC 'C ＝90°﹣∠BC 'C , ∴∠ACP ＝∠A 'C 'D ,∵AP //A 'C '，∴∠P ＝∠A 'C 'D ,∴∠P ＝∠ACP , ∴AP ＝AC ,∴AP ＝A 'C ',在△APD 和△A 'C 'D 中，{∠P =∠A′C′D∠PDA =∠A ′DC ′AP =A ′C ′,∴△APD ≌△A 'C 'D (AAS ),∴AD ＝A 'D ,即D 是AA '中点，∵点E 为AC 的中点，∴DE 是△AA 'C 的中位线，∴DE =12A 'C ,要使DE 最小，只需A 'C 最小，此时A '、C 、B 共线，A 'C 的最小值为A 'B ﹣BC ＝AB ﹣BC ＝2， ∴DE 最小为12A 'C ＝1．25．（2021•广元）如图1，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点D 是AB 边上一点（含端点A 、B ），过点B 作BE 垂直于射线CD ，垂足为E ，点F 在射线CD 上，且EF ＝BE ，连接AF 、BF ．（1）求证：△ABF ∽△CBE ；（2）如图2，连接AE ，点P 、M 、N 分别为线段AC 、AE 、EF 的中点，连接PM 、MN 、PN ．求∠PMN 的度数及MN PM的值；（3）在（2）的条件下，若BC =√2，直接写出△PMN 面积的最大值． 解：（1）证明：如图1中，∵CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，EF ＝EB ，∠BEF ＝90°， ∴∠CBA ＝∠EBF ＝45°，AB =√2BC ，BF =√2BE ， ∴∠CBE ＝∠ABF ，AB BC=BF BE=√2，∴△ABF ∽△CBE ．（2）如图2中，延长PM 交AF 于T ．∵BE ⊥CF ，∴∠CEB ＝90°.∵△ABF ∽△CBE ，∴∠CEB ＝∠AFB ＝90°，AF EC=AB BC=√2，∴AF =√2EC .∵∠EFB ＝45°，∴∠AFC ＝45°.∵AP ＝PC ，AM ＝ME ，∴PT ∥CF ，PM =12EC . ∵AM ＝ME ，EN ＝NF ，∴MN ∥AF ，MN =12AF ， ∴四边形MNFT 是平行四边形，MN =√2PM ， ∴∠TMN ＝∠AFC ＝45°，∴∠PMN ＝135°， ∴MN PM=√2．（3）∵MN =√2PM ，∠PMN ＝135°，PM =12EC ，∴当EC 的值最大时，PM 的值最大，此时△PMN 的面积最大， ∵当点E 与B 重合时，EC 的值最大，EC 的最大值为√2， 此时PM =√22，MN =√2PM ＝1， ∴△PMN 的面积的最大值为12×√22×1×√22=14．25．(2021·娄底)如图①，E ，F 是等腰Rt △ABC 的斜边BC 上的两动点，∠EAF ＝45°，CD ⊥BC 且CD ＝BE ． （1）求证：△ABE ≌△ACD ； （2）求证：EF 2＝BE 2+CF 2；（3）如图②，作AH ⊥BC ，垂足为H ，设∠EAH ＝α，∠F AH ＝β，不妨设AB ＝，请利用（2）的结论证明：当α+β＝45°时，tan （α+β）＝成立．图① 图② 解：（1）∵等腰Rt △ABC ， ∴AB=AC ，∠B ＝∠1=45°， ∵CD ⊥BC ， ∴∠2=45°， ∴∠B ＝∠2， 又∵CD ＝BE ， ∴△ABE ≌△ACD.（2）∵△ABE ≌△ACD ，∴AD ＝AE, ∠3=∠6, ∵∠EAF ＝45°，∴∠3+∠5=45°，∴∠6+∠5=45°，∴∠EAF ＝∠DAF , ∵AF= AF ，∴△AEF ≌△ADF , ∴EF=DF ， Rt △DFC 中，DF 2＝FC 2+CD 2，，∴EF 2＝BE 2+CF 2.（3）∵AB ＝，∴AH=BH=CH=1.不妨设EH=x ，FH=y,则EF=x+y, BE=1-x,CF=1-y由（2）得EF 2＝BE 2+CF 2，∴（x +y ）2=(1-x ) 2+(1-y) 2,整理得x +y=1-xy. ∵tan α=EH AH =x , tan β=FHAH=y ， ∴当α+β＝45°时,等式左边tan （α+β）＝1，等式右边=1x yxy+-=1， ∴当α+β＝45°时，tan （α+β）＝成立.。
中考数学点对点-解直角三角形问题(解析版)
∴AD＝AB×sin30°＝20 10（海里），
BD＝AB×cos30°＝20 10 10×1.73＝17.3，
∵BD⊥AC，BF⊥CE，CE⊥AC，
∴∠BDC＝∠DCF＝∠BFC＝90°，
∴四边形BDCF为矩形，
∴DC＝BF﹣9.7，FC＝BD＝17.3，
如图，连接BC．
∵∠ADC和∠ABC所对的弧长都是 ，
∴根据圆周角定理知，∠ADC＝∠ABC．
在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义知，
sin∠ABC ，
∵AC＝2，BC＝3，
∴AB ，
∴sin∠ABC ，
∴sin∠ADC ．
【例题3】（2020•荆门）如图，海岛B在海岛A的北偏东30方向，且与海岛A相距20海里，一艘渔船从海岛B出发，以5海里/时的速度沿北偏东75°方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行．2小时后，快艇到达C处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处．
（2）在Rt△BEF中，解直角三角形求出EF，BF，在Rt△ABD中，解直角三角形求出AD，BD，证明四边形BDCF为矩形，得出DC，FC，求出CE的长，则可得出答案．
【解析】（1）过点B作BD⊥AC于点D，作BF⊥CE于点E，
由题意得，∠NAB＝30°，∠GBE＝75°，
∵AN∥BD，
∴∠ABD＝∠NAB＝30°，
∠B=90°-∠A，a=c·sinA， b=c·cosA
五、特殊值的三角函数
三角函数
0°
30°
45°
60°
90°
sinα
0
1
cosα
1
0
tanα
0
1
中考数学-勾股定理知识点与常见题型总结
勾股定理复习一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． c ba HG FEDCB A方法二：b ac b a cca b c a b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a b ccb a E DCB A３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b =，a②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：A B C 30°D CB A AD B CCB D A题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c +=解：⑴10AB⑵8BC ==题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解解：⑴4AC ， 2.4AC BC CD AB⋅== DB A C⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm 例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21E DCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作DE AB ⊥于E ，12∠=∠，90C ∠=︒∴ 1.5DE CD ==在BDE ∆中90,2BED BE ∠=︒=Rt ACD Rt AED ∆≅∆AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mAB CD E分析：根据题意建立数学模型，如图8AB =m ，2CD =m ，8BC =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则6AE =m ，8DE =m在Rt ADE ∆中，由勾股定理得10AD ==答案：10m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c = 解：①22221.52 6.25a b +=+=，222.5 6.25c ==∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒ ②22139b c +=，22516a =，222bc a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？ 解：此三角形是直角三角形 理由：222()264a b a b ab +=+-=，且264c =222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形。
专题21 勾股定理-2023年中考数学一轮复习热点题型与方法精准突破(解析版)
专题21 勾股定理【考查题型】【知识要点】知识点一勾股定理勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么。
变式：，，,,.适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。
用拼图的方法验证勾股定理的思路是：1）图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变2）根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理勾股定理的证明方法：方法一（图一）：，，化简可证．方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为大正方形面积为，所以方法三（图三）：，，化简得证图一图二图三知识点二勾股数勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数常见的勾股数：如；；；等扩展：用含字母的代数式表示组勾股数：1）（为正整数）；2）（为正整数）3）（，为正整数）注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数。
知识点三勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边【注意】1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是锐角三角形；2)定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边3)勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形知识点四直角三角形的性质与判定性质：1）直角三角形的两个锐角互余。
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直角三角形与勾股定理
1.如图1是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m 和8m.按照输油中心O 到三条支路的距离相等来连接管道，则O 到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O 为点）是（ ）
A2m B.3m C.6m
D.9m
图1 图2 图3 2.已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160公尺，再向东直走80公尺后，可到神仙百货，则阿虎向西直走多少公尺后，他与神仙百货的距离为340公尺？( )
A ． 100
B ． 180
C ． 220
D ． 260
3.将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm 的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图2，则三角板的最大边的长为( )
A. 3cm
B. 6cm
C. 32cm
D. 62cm
4.如图3，△ABC 中，∠C =90°，AC =3，∠B =30°，点P 是BC 边上的动点，则AP 长不可能是( )
（A ）3.5 （B ）4.2 （C ）5.8 （D ）7
5.如图4，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6,D,E 分别在AB,AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A ′处，若A ′为CE 的中点，则折痕DE 的长为（ ）
A ．21
B ．2
C ．3
D ．4
图3
'
图4 图5 图6 图7
6.下列命题中，其逆．
命题成立的是______________．（只填写序号）
①同旁内角互补，两直线平行；
②如果两个角是直角，那么它们相等；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
④如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形．
7.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图5）．图6由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1,S 2，S 3．若S 1，S 2，S 3＝10，则S 2的值是 ．
8.一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图7所示.正方形DEFH 的边长为2米，坡角∠A ＝30°,∠B ＝90°,BC ＝6米. 当正方形DEFH 运动到什么位置,即当AE ＝ 米时,有DC 2＝AE 2＋BC 2
.
9.把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么222a b c +=”的逆命题改写成“如果……，那么……”的形式： 。
10.如图8，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，若CD = 5cm ，则EF = _______cm ．
图8 图9 图10
11.在直角三角形ABC 中，∠C ＝ 90°，BC ＝ 12，AC ＝ 9，则AB ＝ ．
12.如图9，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =6cm ，AC =8cm ，按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的C ′点，那么△ADC ′的面积是 ．
13.如图10,将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB =14cm ，则阴影部分的面积是________cm 2.
14.某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直角边长为6m 、8m.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m 为直角边的直角三角形．．．．．．．．．．
．求扩建后的等腰三角形花圃的周长． 15.王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔.已知第一条边长为a 米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米.
(1)请用a 表示第三条边长；
(2)问第一条边长可以为7米吗？为什么?请说明理由，并求出a 的取值范围；
(3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法;若不能，请说明理由.
A
C E
B
A
C E
F
16.如图,在直角△ABC 中, ∠ACB=90,CD ⊥AB,垂足为D,点E 在AC 上,BE 交CD 于点G,EF ⊥BE 交AB 于点F,若AC=mBC,CE=nEA(m,n 为实数).试探究线段EF 与EG 的数量关系.
(1) 如图(14.2),当m=1,n=1时,EF 与EG 的数量关系是
(2) 如图(14.3),当m=1,n 为任意实数时,EF 与EG 的数量关系是
(3) 如图(14.1),当m,n 均为任意实数时,EF 与EG 的数量关系是
17.如图，在直角△ABC 中，∠C=90，∠CAB 的平分线AD 交BC 于D ，若DE 垂直平分AB ，求∠B 的度数。
18.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）画线段AD ∥BC 且使AD =BC ，连接CD ；
（2）线段AC 的长为 ，CD 的长为 ，AD 的长为 ；
（3）△ACD 为 三角形，四边形ABCD 的面积为 ；
（4）若E 为BC 中点，则tan ∠CAE 的值是 ．
A
B
C
E。