大学物理竞赛选拔试卷及答案

大学物理竞赛选拔试卷1. （本题6分）一长度为l 的轻质细杆，两端各固结一个小球A 、B （见图），它们平放在光滑水平面上。

另有一小球D ，以垂直于杆身的初速度v 0与杆端的Α球作弹性碰撞．设三球质量同为m ，求：碰后（球Α和Β）以及D 球的运动情况．2. （本题6分）质量m =10 kg 、长l =40 cm 的链条，放在光滑的水平桌面上，其一端系一细绳，通过滑轮悬挂着质量为m 1 =10 kg 的物体，如图所示．t = 0时,系统从静止开始运动, 这时l 1 = l 2 =20 cm< l 3．设绳不伸长，轮、绳的质量和轮轴及桌沿的摩擦不计，求当链条刚刚全部滑到桌面上时，物体m 1速度和加速度的大小．3. （本题6分） 长为l 的匀质细杆，可绕过杆的一端O 点的水平光滑固定轴转动，开始时静止于竖直位置．紧挨O 点悬一单摆，轻质摆线的长度也是l ，摆球质量为m ．若单摆从水平位置由静止开始自由摆下，且摆球与细杆作完全弹性碰撞，碰撞后摆球正好静止．求： (1) 细杆的质量．(2) 细杆摆起的最大角度θ．4. （本题6分）质量和材料都相同的两个固态物体，其热容量为C ．开始时两物体的温度分别为T 1和T 2（T 1 > T 2）．今有一热机以这两个物体为高温和低温热源，经若干次循环后，两个物体达到相同的温度，求热机能输出的最大功A max ．5. （本题6分）如图所示，123415641 为某种一定量的理想气体进行的一个循环过程，它是由一个卡诺正循环12341 和一个卡诺逆循环15641 组成．已知等温线温度比T 1 / T 2 = 4，卡诺正逆循环曲线所包围面积大小之比为S 1 / S 2 = 2．求循环123415641的效率η．6. （本题6分）将热机与热泵组合在一起的暖气设备称为动力暖气设备，其中带动热泵的动力由热机燃烧燃料对外界做功来提供.热泵从天然蓄水池或从地下水取出热量，向温度较高的暖气系统的水供热.同时，暖气系统的水又作为热机的冷却水.若燃烧1kg 燃料，锅炉能获得的热量为H ，锅炉、地下水、暖气系统的水的温度分别为210℃，15℃，60℃.设热机及热泵均是可逆卡诺机.试问每燃烧1kg 燃料，暖气系统所获得热量的理想数值（不考虑各种实际损失）是多少？12T 1 6543 VpOT 27. （本题5分） 如图所示，原点O 是波源，振动方向垂直于纸面，波长是λ ．AB 为波的反射平面，反射时无相位突变π．O 点位于A 点的正上方，h AO =．Ox 轴平行于AB ．求Ox 轴上干涉加强点的坐标（限于x ≥ 0）．8. （本题6分）一弦线的左端系于音叉的一臂的A 点上，右端固定在B 点，并用T = 7.20 N 的水平拉力将弦线拉直，音叉在垂直于弦线长度的方向上作每秒50次的简谐振动（如图）．这样，在弦线上产生了入射波和反射波，并形成了驻波．弦的线密度η = 2.0 g/m ， 弦线上的质点离开其平衡位置的最大位移为4 cm ．在t = 0时，O 点处的质点经过其平衡位置向下运动，O 、B 之间的距离为L = 2.1 m ．试求：(1) 入射波和反射波的表达式；(2) 驻波的表达式．9. （本题6分）用每毫米300条刻痕的衍射光栅来检验仅含有属于红和蓝的两种单色成分的光谱．已知红谱线波长λR 在 0.63─0.76μm 范围内，蓝谱线波长λB 在0.43─0.49 μm 范围内．当光垂直入射到光栅时，发现在衍射角为24.46°处，红蓝两谱线同时出现． (1) 在什么角度下红蓝两谱线还会同时出现？(2) 在什么角度下只有红谱线出现？10. （本题6分）如图所示，用波长为λ= 632.8 nm (1 nm = 10-9 m)的单色点光源S 照射厚度为e = 1.00×10-5 m 、折射率为n 2 = 1.50、半径为R = 10.0 cm 的圆形薄膜F ，点光源S 与薄膜F 的垂直距离为d = 10.0 cm ，薄膜放在空气（折射率n 1 = 1.00）中，观察透射光的等倾干涉条纹．问最多能看到几个亮纹？（注：亮斑和亮环都是亮纹）．11. （本题6分）507⨯双筒望远镜的放大倍数为7，物镜直径为50mm .据瑞利判据，这种望远镜的角分辨率多大？设入射光波长为nm 550.眼睛瞳孔的最大直径为7.0mm .求出眼睛对上述入射光的分辨率.用得数除以7，和望远镜的角分辨率对比，然后判断用这种望远镜观察时实际起分辨作用的是眼睛还是望远镜.12. （本题6分）一种利用电容器控制绝缘油液面的装置示意如图. 平行板电容器的极板插入油中，极板与电源以及测量用电子仪器相连，当液面高度变化时，电容器的电容值发生改变，使电容器产生充放电，从而控制电路工作. 已知极板的高度为a ，油的相对电容率为εr ，试求此电容器等效相对电容率与液面高度h 的关系.A13. （本题6分）在平面螺旋线中，流过一强度为I 的电流，求在螺旋线中点的磁感强度的大小．螺旋线被限制在半径为R 1和R 2的两圆之间，共n 圈． [提示：螺旋线的极坐标方程为b a r +=θ，其中a ，b 为待定系数]14. （本题6分）一边长为a 的正方形线圈，在t = 0 时正好从如图所示的均匀磁场的区域上方由静止开始下落，设磁场的磁感强度为B ϖ(如图)，线圈的自感为L ，质量为m ，电阻可忽略．求线圈的上边进入磁场前，线圈的速度与时间的关系．15. （本题6分）如图所示，有一圆形平行板空气电容器，板间距为b ，极板间放一与板绝缘的矩形线圈．线圈高为h ，长为l ，线圈平面与极板垂直，一边与极板中心轴重合，另一边沿极板半径放置．若电容器极板电压为U 12 = U m cos ω t ，求线圈电压U 的大小．16. （本题6分）在实验室中测得电子的速度是0.8c ，c 为真空中的光速．假设一观察者相对实验室以0.6c 的速率运动，其方向与电子运动方向相同，试求该观察者测出的电子的动能和动量是多少？（电子的静止质量m e ＝9.11×10-31kg ）17. （本题6分）已知垂直射到地球表面每单位面积的日光功率（称太阳常数）等于1.37×103 W/m 2．(1) 求太阳辐射的总功率． (2) 把太阳看作黑体，试计算太阳表面的温度．（地球与太阳的平均距离为1.5×108 km ，太阳的半径为6.76×105 km ，σ = 5.67×10-8 W/(m 2·K 4)）18. （本题6分））已知氢原子的核外电子在1s 态时其定态波函数为 a r a /3100e π1-=ψ，式中 220em h a e π=ε ．试求沿径向找到电子的概率为最大时的位置坐标值．( ε0 = 8.85×10-12 C 2·N -1·m -2 ，h = 6.626×10-34 J ·s ， m e = 9.11×10-31 kg ， e = 1.6 ×10-19 C )参考答案1. （本题6分）解：设碰后刚体质心的速度为v C ，刚体绕通过质心的轴的转动的角速度为ω，球D 碰后的速度为v '，设它们的方向如图所示．因水平无外力，系统动量守恒：C m m m v v v )2(0+'= 得：(1)20C v v v ='- 1分 弹性碰撞，没有能量损耗，系统动能不变；r O R 1R 2B =0BϖbhlU222220])2(2[21)2(212121ωl m m m m C ++'=v v v ，得 (2)22222220l C ω+='-v v v 2分 系统对任一定点的角动量守恒,选择与A 球位置重合的定点计算．A 和D 碰撞前后角动量均为零，B 球只有碰后有角动量，有])2([0C B l ml ml v v -==ω，得(3)2lC ω=v 2分(1)、(2)、(3)各式联立解出 lC 00;2;0vv v v ==='ω。

1分即碰后，D 球静止，刚体（球A 、B 及细杆）以速度v C 平移并绕通过质心的轴以角速度ω 转动．2. （本题6分）解：分别取m 1和链条m 为研究对象，坐标如图． 设链条在桌边悬挂部分为x ， a m T g m 11=-， ma l xgm T =-/， 解出)/1(21l x g a -= 2分当链条刚刚全部滑到桌面时x = 0，a ==g 21 4.9 m/s 2xt x x t a d d d d d d d d vvv v -=⋅== x l x g x a d )/1(21d d --=-=v v 2分两边积分 ⎰⎰--=002d )1(d 2l x l xg v v v22222)4/3(/21gl l gl gl =-=v==2321gl v 1.21 m/s 2分3.（本题6分）解：(1) 设摆球与细杆碰撞时速度为v 0，碰后细杆角速度为ω，系统角动量守恒 得： J ω = m v 0l 1分 由于是弹性碰撞，所以单摆的动能变为细杆的转动动能2202121ωJ m =v 1分 代入J ＝231Ml ，由上述两式可得 M ＝3m 1分 (2) 由机械能守恒式mgl m =2021v 及 ()θωcos 121212-=Mgl J 2分 并利用(1) 中所求得的关系可得 31arccos =θ 1分4. （本题6分）解：设两物体达到的相同温度为T ，由热力学第一定律知 )()(||2121T T C T T C Q Q A ---=-=CT T T C 2)(21-+= 1分由熵的计算有 21221lnln ln T T T C T T C T T C S =+=∆ 2分 由熵增加原理知 ∆S ≥ 0 1分 ∴ T ≥21T T 1分将上式代入A 的式子中得 A ≤21212)(T T C T T C -+∴2121max 2)(T T C T T C A -+= 1分5. （本题6分）解： 21211Q Q Q Q '++'-=η 1分 Q 1与Q 2分别为12341 循环中系统吸的热与放的热（绝对值），1Q ' 与 2Q '分别为15641 循环中系统放的热与吸的热（绝对值）．又知4//2121==Q Q T T 1分 21212S S Q Q ==- 1分4//2121=''=Q Q T T 1分 221S Q Q ='-' 1分 于是得 21)3/8(S Q = 22)3/2(S Q =21)3/4(S Q =' 22)3/1(S Q =' ∴ 3/1=η 1分6. （本题6分）解：设锅炉、地下水以及暖气系统的温度分别以T 1，T 2，T 3，表示.显然工作于锅炉和暖气系统之间的可逆卡诺热机的效率为311T T η=-热 （1） 1分 按照热机效率的定义1W W Q Hη''==热 （2） 1分 联立（1）式与（2）式，可以得到()131T T HW H T η-'==热 （3）设可逆卡诺热机对暖气系统输送的热量为Q 3，由热机效率公式可知331Q T H T = （4） 1分 工作于地下水和暖气系统之间的热泵也是可逆卡诺机，同样有223232Q T Q Q T T '=''-- 即 3332Q T W T T '=- （5） 1分上式中的W 为外界对热泵输入的功，它全部由（3）式表示的可逆卡诺热机做的功提供，即W W ='，将（3）式代入（5）式，可得3313332132T T T TQ W H T T T T T -'==⋅-- （6） 1分暖气系统从热机与热泵组合在一超的暖气设备得到的总热量为（4）式与（6）式之和3313331132333333150348348345T T T T Q Q Q H H H T T T T ⎛⎫-⎛⎫'=+=+⋅=+⨯≈ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1分可见这一将热机与热泵组合在一起的暖气设备称为动力暖气设备的供热是由锅炉直接供热的3倍.7.（本题6分）解：沿Ox 轴传播的波与从AB 面上P 点反射来的波在坐标x 处相遇，两波的波程差为x h x -+=22)2/(2δ 2分代入干涉加强的条件，有：λk x h x =-+22)2/(2， k = 1，2，… 1分λλxk k x h x 2422222++=+22242λλkh xk -=λλk k h x 24222-= ． 2分k = 1，2，3，…，< 2 h /λ． （当 x = 0时，由2224λk h -可得k = 2 h /λ．）1分8.（本题6分）解：按题意，弦线上行波的频率ν = 50 Hz ，波速u = (T/η)1/2 = 60 m/s ，波长λ = u /ν = 1.2m. 取O 点为x 轴和y 轴的原点．x 轴向右，y 轴向上．令入射波在B 点的初相为π-21B φ， 则其表达式为 ]2)(22cos[1π-+-π-π=B L x t A y φλν ① B 点为固定点，则反射波的表达式为]2)(22cos[2π++-π+π=B L x t A y φλν ② 2分弦线上驻波表式为 21y y y +=]2cos[]2)(2cos[2B t L x A φνλ+ππ+-π= ③据此，O 点振动方程为 ]2cos[]22cos[20B t L A y φνλ+ππ+π-=由4/7/=λL 有 )2cos(20B vt A y φ+π-=)2cos(2π-+π=B vt A φ ④ 1分由③式可知弦线上质点的最大位移为2A ，即 2A = 4 cm再由题给条件可得④式中 π=π-21B φ， 即π=23B φ 1分由此可得： (1) 入射波 ]26.0100cos[100.221π+π-π⨯=-x t y (SI)反射波 ]26.0100cos[100.222π+π+π⨯=-x t y (SI) 1分驻波 )2100cos(6.0cos 100.42π+ππ⨯=-t x y (SI) 1分9.（本题6分）解： ∵ a +b = (1 / 300) mm = 3.33 μm (1) (a + b ) sin ψ =k λ ∴ k λ= (a + b ) sin24.46°= 1.38 μm ∵ λR =0.63─0.76 μm ； λB ＝0.43─0.49 μm对于红光，取k =2 , 则 λR =0.69 μm 1分 对于蓝光，取k =3, 则 λB =0.46 μm 1分 红光最大级次 k max = (a + b ) / λR =4.8, 1分 取k max =4则红光的第4级与蓝光的第6级还会重合．设重合处的衍射角为ψ' , 则()828.0/4sin =+='b a R λψ∴ ψ'=55.9° 1分(2) 红光的第二、四级与蓝光重合，且最多只能看到四级，所以纯红光谱的第一、三级将出现． ()207.0/sin 1=+=b a R λψ ψ1 = 11.9° 1分 ()621.0/3sin 3=+=b a R λψ ψ3 = 38.4° 1分10. （本题6分）解：对于透射光等倾条纹的第k 级明纹有：λk r e n =cos 22 2分 中心亮斑的干涉级最高，为k max ，其r = 0，有： =⨯⨯⨯⨯==--752max 10328.61000.150.122λen k 47.4应取较小的整数，k max = 47（能看到的最高干涉级为第47级亮斑）． 2分 最外面的亮纹干涉级最低，为k min ，相应的入射角为 i m = 45︒(因R =d ),相应的折射 角为r m ，据折射定律有 m m r n i n sin sin 21=∴ 50.145sin 00.1sin )sin (sin 1211︒==--m m i n n r = 28.13° 由 λmin 2cos 2k r e n m = 得：752min 10328.613.28cos 1000.150.12cos 2--⨯︒⨯⨯⨯==λmr e n k = 41.8 应取较大的整数，k min = 42（能看到的最低干涉级为第42级亮斑）． 2分 ∴最多能看到6个亮斑（第42，43，44，45，46，47级亮斑）．11. （本题6分）解： 通过此题可以对望远镜的分辨本领和人眼的分辨本领有一比较.望远镜的角分辨率为 95c 31.22 1.2255010rad 1.34105010D λθ---⨯⨯===⨯⨯ rad 2分 瞳孔的角分辨率为 95c 31.22 1.2255010rad 9.610710D λθ---⨯⨯'===⨯'⨯ rad 2分 得 5c 1.37107θ-'=⨯rad由于c c 7θθ'>，所以用此望远镜时，角分辨率实际为人眼所限制，实际起分辨作用的还是眼睛. 2分12. （本题6分）解：设极板面积为S ，间距为d ，浸入油的 下部分的电容为 S ahdC r εε01=；露在上面的部分的电容为 S aha dC -=02ε. 代入并联电容公式，有 ]1)1[(021+-=+=ahd SC C C r εε. 2分 令等效相对电容率为*r ε， 有]1)1[(0*0+-=ah d S d S r r εεεε， 2分 因此等效相对电容率为 1)1(*+-=ah r r εε.由上式看出，等效相对电容率随着液面的升高而线性增大，亦即电容器的电容将随液面的升高而线性增大；油本身的相对电容率εr 愈大，对液面高度变化的反应愈为灵敏. 2分13.（本题6分）解：螺旋线上电流元l I ϖd 在中心O 处产生的磁场为30d 4d r rl I B ϖϖϖ⨯π=μ其数值为 20sin d 4d r l I B αμπ=2分由图可见 θαd sin d r l = 由螺线方程 b a r +=θ θd d a r =∴ ar rI B d 4d 0π=μ ⎰π=21d 40R R ar r I B μ120ln 4R R a I π=μ 2分 螺线共n 匝 当 0=θ 时， b b a R r =+===01][θθ当 π=n 2θ 时， b a n b a R r n +π=+==π=2][22θθ ∴ π-=n R R a 212 12120ln 2R R R R nIB -=μ 2分14.（本题6分）解：电动势v Ba =E 且 IR tIL=-d d E ∵ R =0 ， ∴ =tILd d v Ba =E 1分 在重力与磁力作用下线圈的运动BaI mg tm -=d d v1分两边同时对t 微分： =22d d t m v tIBa d d -0d d 222=+v v ωt, mL a B 222=ω 1分 )sin(ϕω+=t A v 1分∵ t = 0 时，v = 0 g t=d d v∴ ω/g A = 0=ϕ 1分∴ t mL Bagωsin =v 1分15.（本题6分）解：由关于H ϖ的全电流定律 ⎰⋅⎰⋅∂∂=SL S t D l H ϖϖϖϖd d 1分在板间半径为r ，圆心在轴线上与板面平行的圆周上有t D r r H d /d 22π=π 1分)cos (d d 2)(d d 201202t U t b r b U t r r H m ωεε=ππ=t U br m ωωεsin 20-= 1分 穿过矩形线圈的磁通量为⎰⋅=SS B ϖϖd Φ⎰=l r Bh 0d ⎰-=lm r h U b r000d )(sin 2ωωεμt b hl U m ωωμεsin 4200-= 1分 矩形线圈中的感生电动势 td d Φ-=E t b hl U m ωωμεcos 42200= 1分 线圈电压为 t bhl U U mωωμεcos 42200==E （∵开路 ∴ = U ） 1分d lαOd θ r16.（本题6分）解：设实验室为K 系，观察者在K ′系中，电子为运动物体．则K ′对K 系的速度为u = 0.6c ，电子对K 系速度为v x = 0.8c ．电子对K ′系的速度 c c u ux x x 385.0)/(12=--='v v v 2分 观察者测得电子动能为 J 1085.6)1)/(11(15220-⨯=-'-=c c m E x K v 2分动量 x m p v '=2)/(1c m x xv v '-'=＝1.14×10-22 kg ·m/s 2分17.（本题5分）解： (1) 太阳在单位时间内辐射的总能量E = 1.37×103×4π(R SE )2 = 3.87×1026 W 2分 (2) 太阳的辐射出射度 =π=204Sr EE 0.674×108 W/m 2 1分 由斯特藩－玻尔兹曼定律 40T E σ=可得 5872/40==σE T K 2分18.（本题5分）解：氢原子1s 态的定态波函数为球对称的，在径向r →r + d r 区间找到电子的概率为r r w d 422100π=ψ即 a r r w /22e -∝ 2分沿径向对w 求极大， )e (d d d d /22ar r rr w -=0e )22(/22=-=-a r a r r 得 ===220eπe m h a r ε0.529×10-10m 3分。