离散数学PPT教学课件 数理逻辑ppt8
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① 思维的形式化 ② 指派法 ③ 公式推理 ④ 公理系统 ⑤ 范式 ⑥ 自动定理证明
本篇由命题逻辑、谓词逻辑、公理化理论及 非经典逻辑等四部分组成，其中命题逻辑以命 题为研究对象而谓词逻辑则以谓词为研究对象， 而公理化理论则是数理逻辑中演绎推理的形式 化思想的介绍，最后非经典逻辑则介绍若干种 计算机科学中常用的一些特殊形式逻辑，以上 四部分有机结合构成完整的整体。
（12）谓词逻辑的蕴含永真公式 xyP（x , y） yx（P（x , y）） xP（x） P（x） P（x）x P（x） xP（x）∨x Q（x）x（P（x）∨Q（x）） xP（x）∧x Q（x）x（P（x）∧Q（x）） x（P（x）x（P（x）） x（P（x）Q（x））x（P（x）x Q（x） x（P（x）Q（x））xP（x）x Q（x）
§1.4 命题逻辑基本等式
（6）命题逻辑42个基本等式。 交换律 P∨Q＝Q∨P； P∧Q＝Q∧P； PQ＝QP． 结合律 （P∨Q）∨R＝P∨（Q∨R）； （P∧Q）∧R＝P∧（Q∧R）； （PQ）R＝P（QR）． 分配律 P∧（∨R）＝（P∧Q）∨（P∧R）； P∨（Q∧R）＝（P∨Q）∧（P∨R）；
（13）特异合取范式：该范式是一个合取 式，每个析取项是所有命题变元式其否定的析取 式。
§1.8 命题联结词的扩充与归约 （13）命题联结词的扩充——异或：、与非： 、或非：、蕴含否定：C （14）命题联结词的归约 命题联结词可归约为如下形式之一： • {, } • {, } • {} • {}
第二章 谓词逻辑
• 自由变元的代入规则——代入在公式的自由变 元出现的每一处进行且该代入变元不允许在式中以任 何约束形式出现。
§2.4 谓词逻辑永真公式 （9）谓词逻辑永真公式定义
本篇由命题逻辑、谓词逻辑、公理化理论及 非经典逻辑等四部分组成，其中命题逻辑以命 题为研究对象而谓词逻辑则以谓词为研究对象， 而公理化理论则是数理逻辑中演绎推理的形式 化思想的介绍，最后非经典逻辑则介绍若干种 计算机科学中常用的一些特殊形式逻辑，以上 四部分有机结合构成完整的整体。
（12）谓词逻辑的蕴含永真公式 xyP（x , y） yx（P（x , y）） xP（x） P（x） P（x）x P（x） xP（x）∨x Q（x）x（P（x）∨Q（x）） xP（x）∧x Q（x）x（P（x）∧Q（x）） x（P（x）x（P（x）） x（P（x）Q（x））x（P（x）x Q（x） x（P（x）Q（x））xP（x）x Q（x）
§1.4 命题逻辑基本等式
（6）命题逻辑42个基本等式。 交换律 P∨Q＝Q∨P； P∧Q＝Q∧P； PQ＝QP． 结合律 （P∨Q）∨R＝P∨（Q∨R）； （P∧Q）∧R＝P∧（Q∧R）； （PQ）R＝P（QR）． 分配律 P∧（∨R）＝（P∧Q）∨（P∧R）； P∨（Q∧R）＝（P∨Q）∧（P∨R）；
（13）特异合取范式：该范式是一个合取 式，每个析取项是所有命题变元式其否定的析取 式。
§1.8 命题联结词的扩充与归约 （13）命题联结词的扩充——异或：、与非： 、或非：、蕴含否定：C （14）命题联结词的归约 命题联结词可归约为如下形式之一： • {, } • {, } • {} • {}
第二章 谓词逻辑
• 自由变元的代入规则——代入在公式的自由变 元出现的每一处进行且该代入变元不允许在式中以任 何约束形式出现。
§2.4 谓词逻辑永真公式 （9）谓词逻辑永真公式定义
离散数学课件_8 图的基本概念
13 2014-9-23
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9 2014-9-23
第六节 哈密尔顿图(2)
(1) 设 G=(V,E) 是哈密尔顿图，则对 V 的任 意非空子集 S均有W(G-S) ≦|S|, 其中GS表示在G中删除S中的点以及以S为端点 的边后所构成的图； W(G-S) 表示 G-S 的 连通分支数; (2)设G=(V,E)是n阶无向简单图，若对G中 任 意 不 相 邻 的 顶 点 u,v 都 有 d(u)+d(v) ≧n-1,则G存在哈密尔顿路，因此G是半 哈密尔顿图； (3) 设 G 是 n 阶简单图，则是哈密尔顿图当 且仅当其闭包是哈密尔顿图.
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11 2014-9-23
第七节 二分图(2)
(2)图G的匹配M是最大匹配当且仅当G不含 M的可扩路; (3)设G=(V,E)为二分图,顶点划分为V= V1 ∪ V2 ,则G存在饱和V1的每个顶点匹配 的充要条件是对任何S V1均有 |N(S)|≧|S|； 3.算法：匈牙利算法，解决了二分图的匹 配问题。
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6 2014-9-23
第五节 欧拉图(1)
欧拉图是一类非常著名的图，之所以如 此，不仅是因为欧拉是图论的创始人， 更主要是欧拉图具有对边（弧）的“遍 历性”. 1.概念有:欧拉路,欧拉图,半欧拉路,半欧 拉图,割边等；
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7 2014-9-23
第五节 欧拉图(2)
2.结论有:(1)无向连通图G是欧拉图的充要 条件是G中每个顶点的度均为偶数； (2)设G是无向连通图，则G是半欧拉图 的充要条件是G恰含有两个奇数度点. 3.算法:在欧拉图中找欧拉路的Fleury算法.
第八章 图的基本概念
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9 2014-9-23
第六节 哈密尔顿图(2)
(1) 设 G=(V,E) 是哈密尔顿图，则对 V 的任 意非空子集 S均有W(G-S) ≦|S|, 其中GS表示在G中删除S中的点以及以S为端点 的边后所构成的图； W(G-S) 表示 G-S 的 连通分支数; (2)设G=(V,E)是n阶无向简单图，若对G中 任 意 不 相 邻 的 顶 点 u,v 都 有 d(u)+d(v) ≧n-1,则G存在哈密尔顿路，因此G是半 哈密尔顿图； (3) 设 G 是 n 阶简单图，则是哈密尔顿图当 且仅当其闭包是哈密尔顿图.
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11 2014-9-23
第七节 二分图(2)
(2)图G的匹配M是最大匹配当且仅当G不含 M的可扩路; (3)设G=(V,E)为二分图,顶点划分为V= V1 ∪ V2 ,则G存在饱和V1的每个顶点匹配 的充要条件是对任何S V1均有 |N(S)|≧|S|； 3.算法：匈牙利算法，解决了二分图的匹 配问题。
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6 2014-9-23
第五节 欧拉图(1)
欧拉图是一类非常著名的图，之所以如 此，不仅是因为欧拉是图论的创始人， 更主要是欧拉图具有对边（弧）的“遍 历性”. 1.概念有:欧拉路,欧拉图,半欧拉路,半欧 拉图,割边等；
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7 2014-9-23
第五节 欧拉图(2)
2.结论有:(1)无向连通图G是欧拉图的充要 条件是G中每个顶点的度均为偶数； (2)设G是无向连通图，则G是半欧拉图 的充要条件是G恰含有两个奇数度点. 3.算法:在欧拉图中找欧拉路的Fleury算法.
第八章 图的基本概念
(完整版)离散数学-数学逻辑(课件模板)
第一篇数理逻辑数理逻辑是应用数学方法引进一套符号系统来研究思维的形式结构和规律的学科，它起源于公元十七世纪。
十九世纪英国的德·摩根和乔治·布尔发展了逻辑代数，二十世纪三十年代数理逻辑进入了成熟时期，基本内容（命题逻辑和谓词逻辑）有了明确的理论基础，成为数学的一个重要分支，同时也是电子元件设计和性质分析的工具。
冯·诺意曼，图灵，克林，…等人研究了逻辑与计算的关系。
基于理论研究和实践，随着1946年第一台通用电子数字计算机的诞生和近代科学的发展，计算技术中提出了大量的逻辑问题，逻辑程序设计语言的研制，更促进了数理逻辑的发展。
除古典二值（真，假）逻辑外，还研究了多值逻辑、模态逻辑、概率逻辑、模糊逻辑、非单调逻辑等。
不仅有演绎逻辑，也还有归纳逻辑。
计算机科学中还专门研究计算逻辑、程序逻辑、时序逻辑等。
现代数理逻辑分为四论：证明论，递归论（它们与形式语言语法有关），模型论，公理化集合论（它们与形式语言的语义有关）。
第1-1章命题逻辑学习要求: 掌握命题，命题公式，重言式，等价式，蕴涵式等基本概念，能利用逻辑联结词或真值表，等价式与蕴涵式进行命题演算和推理；学习范式时与集合的范式进行对比。
表述客观世界的各种现象，表述人们的思想，表述各门学科的规则、理论等，除使用自然语言（这常常是上有歧异性的）外，还要使用一些特定的术语、符号、规律等“对象语言”，这些是所研究学科的一种特殊的形式化语言，研究思维结构与规律的逻辑学也有其对象语言。
本章就是讨论逻辑学中的对象语言—命题及其演算，它相当于自然语言中的语句。
§1-1-1 命题逻辑联结词与真值表一、命题的基本概念首先我们从下面的例子加以分析。
例1-1-1.1人总是要死的。
例1-1-1.2苏格拉底是人。
例1-1-1.3苏格拉底是要死的。
例1-1-1.4中国人民是勤劳和勇敢的。
例1-1-1.5鸵鸟是鸟。
例1-1-1.6 1是质（素）数。
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A＝B C或A＝B C或A＝B C，则公式A是n＋1层公式， n max( i, j)。
例（1）p q r (2)r q p q p
第23页/共292页
1.2 命题公式及其赋值
( p q) r
p：2是素数，q：3是偶数，r：2是有理数 p：2是素数，q：3是偶数，r：2是无理数
例2.等值等价式p q p q q p
等值演算的应用： 1.验证等值式 ( p q) ( p r) p (q r) 2.判定公式的类型 ( p q) p q,( p ( p q)) r, p ((( p q) p) q) 3.解决工作生活中的判断问题
甲、已、丙3人根据口音对王教授是哪人进行了判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人 已说：王教授不是上海人，是苏州人 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人
例：1.如果3＋3＝6，那么雪是白的。 2.除非我能工作完成了，我才去看电影。 3.只要天下雨，我就回家。 4.我回家仅当天下雨。 p→q的逻辑关系为q是p的必要条件或p是q的充分条件。
第15页/共292页
1.1 命题和命题联结词
5).等价词 由命题p、q和 组成的复合命题记作p q,读作“p当且仅当q”。 是自然语言中的“充要条件”，“当且仅当”的逻辑抽象。
1.3 命题公式的等值式
定义1.设A和B是两个命题公式，若A B为重言式， 则称公式A, B是等值的公式，记作A B。
例1.证明（p q) (q p); p p p.
注意： 和 的区别 是公式间的关系符号，如：p q 是命题联结词.p q
第28页/共292页
1.3 命题公式的等值式
1.1 命题和命题联结词
例：1）海洋的面积比陆地的面积大。 例 q2:）： 22p6:6海 9洋 9。 。的面积比陆地的面积大。 r3:）火火星星上上有有生生命命。。 s4:）三三角角形形的的内内角角和和等等于 于118800。 。 55））你你喜 喜欢 欢数学吗吗？？ 66））我我们 们要 要努 努力力学学习习。。 77））啊啊， ，我 我的 的天天哪哪！！ 88））我我正 正在 在说 说谎 谎。。
例（1）p q r (2)r q p q p
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1.2 命题公式及其赋值
( p q) r
p：2是素数，q：3是偶数，r：2是有理数 p：2是素数，q：3是偶数，r：2是无理数
例2.等值等价式p q p q q p
等值演算的应用： 1.验证等值式 ( p q) ( p r) p (q r) 2.判定公式的类型 ( p q) p q,( p ( p q)) r, p ((( p q) p) q) 3.解决工作生活中的判断问题
甲、已、丙3人根据口音对王教授是哪人进行了判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人 已说：王教授不是上海人，是苏州人 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人
例：1.如果3＋3＝6，那么雪是白的。 2.除非我能工作完成了，我才去看电影。 3.只要天下雨，我就回家。 4.我回家仅当天下雨。 p→q的逻辑关系为q是p的必要条件或p是q的充分条件。
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1.1 命题和命题联结词
5).等价词 由命题p、q和 组成的复合命题记作p q,读作“p当且仅当q”。 是自然语言中的“充要条件”，“当且仅当”的逻辑抽象。
1.3 命题公式的等值式
定义1.设A和B是两个命题公式，若A B为重言式， 则称公式A, B是等值的公式，记作A B。
例1.证明（p q) (q p); p p p.
注意： 和 的区别 是公式间的关系符号，如：p q 是命题联结词.p q
第28页/共292页
1.3 命题公式的等值式
1.1 命题和命题联结词
例：1）海洋的面积比陆地的面积大。 例 q2:）： 22p6:6海 9洋 9。 。的面积比陆地的面积大。 r3:）火火星星上上有有生生命命。。 s4:）三三角角形形的的内内角角和和等等于 于118800。 。 55））你你喜 喜欢 欢数学吗吗？？ 66））我我们 们要 要努 努力力学学习习。。 77））啊啊， ，我 我的 的天天哪哪！！ 88））我我正 正在 在说 说谎 谎。。
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定义2.1设A,B是两个命题公式，若A，B构成的等价 式AB为重言式，则称A与B等值，记为AB。
20
例2.1判断下面两个公式是否等值： (pq), pq 例2.2判断下面各组公式是否等值： （1）p(qr) 与 (pq)r （2） ( pq)r与 (pq)r
21
置换规则 ： 设（A）是含公式A的命题公式， （B） 是用公式B置换了（A）中所有的A以后得到的命题公式， 若BA，则（B） （A）。
定义1.2 设p，q为两命题，复合命题“p并且q”称为p与 q的合取式，记作“pq”。 pq为真当且仅当 p， q同 时为真。
定义1.3 设p，q为两命题，复合命题“p或q”称为p与q的 析取式，记作“pq”。 p q为假当且仅当 p， q同时为 假。
7
例1.3将下列命题符号化 （1）吴影既用功又聪明。 （2）吴影不仅用功而且聪明。 （3）吴影虽然聪明，但不用功。 （4）张辉与王丽都是三好学生。 （5）张辉与王丽是同学
16
例1.8求下列公式的真值表，并求成真赋值。 (1) (pq)r (2) (pp)(qq) (3) (p q) q r
定义1.10设A为一命题公式 （1）若A在它的各种赋值下取值均为真，则称A是重 言式或永真式。 （2）若A在它的各种赋值下取值均为假，则称A是矛 盾式或永假式。 （3）若A不是矛盾式，则称A是可满足式。
离散数学
1
离散数学课件
离散数学是计算机科学的核心理论课程， 是计算机专业的专业基础课。
第一部分 数理逻辑 第二部分 集合与关系代数 第三部分 图论
2
第一部分数理逻辑
第一章 命题逻辑基本概念 第二章 命题逻辑等值演算 第三章 命题逻辑推理理论 第四章 一阶逻辑基本概念 第五章 一阶逻辑等值演算与推理
20
例2.1判断下面两个公式是否等值： (pq), pq 例2.2判断下面各组公式是否等值： （1）p(qr) 与 (pq)r （2） ( pq)r与 (pq)r
21
置换规则 ： 设（A）是含公式A的命题公式， （B） 是用公式B置换了（A）中所有的A以后得到的命题公式， 若BA，则（B） （A）。
定义1.2 设p，q为两命题，复合命题“p并且q”称为p与 q的合取式，记作“pq”。 pq为真当且仅当 p， q同 时为真。
定义1.3 设p，q为两命题，复合命题“p或q”称为p与q的 析取式，记作“pq”。 p q为假当且仅当 p， q同时为 假。
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例1.3将下列命题符号化 （1）吴影既用功又聪明。 （2）吴影不仅用功而且聪明。 （3）吴影虽然聪明，但不用功。 （4）张辉与王丽都是三好学生。 （5）张辉与王丽是同学
16
例1.8求下列公式的真值表，并求成真赋值。 (1) (pq)r (2) (pp)(qq) (3) (p q) q r
定义1.10设A为一命题公式 （1）若A在它的各种赋值下取值均为真，则称A是重 言式或永真式。 （2）若A在它的各种赋值下取值均为假，则称A是矛 盾式或永假式。 （3）若A不是矛盾式，则称A是可满足式。
离散数学
1
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离散数学是计算机科学的核心理论课程， 是计算机专业的专业基础课。
第一部分 数理逻辑 第二部分 集合与关系代数 第三部分 图论
2
第一部分数理逻辑
第一章 命题逻辑基本概念 第二章 命题逻辑等值演算 第三章 命题逻辑推理理论 第四章 一阶逻辑基本概念 第五章 一阶逻辑等值演算与推理
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联结词可以嵌套使用，在嵌套使用时，规定如下优先顺序： ( )，┐，∧，∨，→， ，对于同一优先级的联结词，先出现 者先运算。
例1.7 令 P : 北京比天津人口多 Q:22 4 R : 乌鸦是白色的
求下列复合命题的真值：
1P Q P Q R 2Q R P R 3P R P R
解 P，Q，R的真值分别为1，1，0。容易算出 (1)、(2)、(3)的真值分别为1，1，0。
2．在自然语言中，“如果P，则Q”中的前件P与后件Q往 往具有某种内在联系。而在数理逻辑中，P与Q可以无任何内 在联系。
3．在数学或其它自然科学中，“如果P，则Q”往往表达 的是前件P为真，后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中， 作为一种规定，当P为假时，无论Q是真是假，P→Q均为真。 也就是说，只有P为真Q为假这一种情况使得复合命题P→Q为 假。
PQ 的真值定义为 PQ为真当且仅当P, Q同真值 因此, P, Q一真一假时, P Q为假。
复合命题P Q的真值表： P
0 0 1 1
Q
P Q
0
1
1
0
0
0
1
1
例1.6 将下列命题符号化，并指出它们的真值：
3如 两 圆O1 , O2的面积相等，则它们的半径相等；反之亦然. 4当王小红心情愉快时，她就唱歌；反之当她唱歌时，
真值为真的命题称为真命题；真值为假的命题为假命题。
说明：
1. 命题必须是陈述性语句，而不能是疑问句、命令句、 感叹句等；
2. 命题语句或者为真或者为假，二者必取其一，即命 题的真值是唯一的
判断句子是否为命题的标准： (1)陈述句 (2)有唯一的真值
例1 判断下列句子是不是命题: (1) 4是素数。
第一部分 数理逻辑
例1.7 令 P : 北京比天津人口多 Q:22 4 R : 乌鸦是白色的
求下列复合命题的真值：
1P Q P Q R 2Q R P R 3P R P R
解 P，Q，R的真值分别为1，1，0。容易算出 (1)、(2)、(3)的真值分别为1，1，0。
2．在自然语言中，“如果P，则Q”中的前件P与后件Q往 往具有某种内在联系。而在数理逻辑中，P与Q可以无任何内 在联系。
3．在数学或其它自然科学中，“如果P，则Q”往往表达 的是前件P为真，后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中， 作为一种规定，当P为假时，无论Q是真是假，P→Q均为真。 也就是说，只有P为真Q为假这一种情况使得复合命题P→Q为 假。
PQ 的真值定义为 PQ为真当且仅当P, Q同真值 因此, P, Q一真一假时, P Q为假。
复合命题P Q的真值表： P
0 0 1 1
Q
P Q
0
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1
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0
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1
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例1.6 将下列命题符号化，并指出它们的真值：
3如 两 圆O1 , O2的面积相等，则它们的半径相等；反之亦然. 4当王小红心情愉快时，她就唱歌；反之当她唱歌时，
真值为真的命题称为真命题；真值为假的命题为假命题。
说明：
1. 命题必须是陈述性语句，而不能是疑问句、命令句、 感叹句等；
2. 命题语句或者为真或者为假，二者必取其一，即命 题的真值是唯一的
判断句子是否为命题的标准： (1)陈述句 (2)有唯一的真值
例1 判断下列句子是不是命题: (1) 4是素数。
第一部分 数理逻辑
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一个简单命题.
13
联结词与复合命题(续)
3.析取式与析取联结词“∨” 定义 设 p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q 的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规 定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.
例 将下列命题符号化 (1) 2或4是素数. (2) 2或3是素数. (3) 4或6是素数. (4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨. (5) 王晓红生于1975年或1976年.
15
联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“” 定义 设 p,q为二命题，复合命题 “如果p,则q” 称 作p与q的蕴涵式，记作pq，并称p是蕴涵式的 前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并 规定，pq为假当且仅当 p 为真 q 为假.
16
联结词与复合命题(续)
pq 的逻辑关系：q 为 p 的必要条件 “如果 p，则 q ” 的不同表述法很多：
19
例 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6. (2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数. (3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲. (5) 函数 f (x) 在x0 可导的充要条件是它在 x0
解 令 p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q.
12
例 (续)
令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令 t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .
说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是
若 p，就 q 只要 p，就 q p 仅当 q 只有 q 才 p 除非 q, 才 p 或 除非 q, 否则非 p. 当 p 为假时，pq 为真 常出现的错误：不分充分与必要条件
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联结词与复合命题(续)
3.析取式与析取联结词“∨” 定义 设 p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q 的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规 定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.
例 将下列命题符号化 (1) 2或4是素数. (2) 2或3是素数. (3) 4或6是素数. (4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨. (5) 王晓红生于1975年或1976年.
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联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“” 定义 设 p,q为二命题，复合命题 “如果p,则q” 称 作p与q的蕴涵式，记作pq，并称p是蕴涵式的 前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并 规定，pq为假当且仅当 p 为真 q 为假.
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联结词与复合命题(续)
pq 的逻辑关系：q 为 p 的必要条件 “如果 p，则 q ” 的不同表述法很多：
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例 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6. (2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数. (3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲. (5) 函数 f (x) 在x0 可导的充要条件是它在 x0
解 令 p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q.
12
例 (续)
令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令 t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .
说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是
若 p，就 q 只要 p，就 q p 仅当 q 只有 q 才 p 除非 q, 才 p 或 除非 q, 否则非 p. 当 p 为假时，pq 为真 常出现的错误：不分充分与必要条件
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二、命题的表示法
1、命题标识符：表示命题的符号称为命题标识符。在数理逻辑中，使 用大写字母，或带下标的大写字母，或用方括号括起的数字表示命题。
例：P： 今天下雨。 “今天下雨”是一个命题，P是命题标识符。
它形成于七十年代初期，是一门新兴的工具性学科。
离散数学的应用
◆关系型数据库的设计（关系代数） ◆表达式解析（树） ◆编译技术、程序设计语言（代数结构） ◆人工智能、自动推理、机器证明（数理逻辑） ◆网络路由算法（图论） ◆游戏中的人工智能算法（图论、树、博弈论） ◆专家系统（集合论、数理逻辑—知识和推理规则的计算机表达） ◆软件工程—团队开发—时间和分工的优化（图论—网络、划分） ◆(各种)算法的构造、正确性的证明和效率的评估（离散数学的
第一章 命题逻辑
目标语言：就是表达判断的一些语言的汇集。 目标语言和一些符号公式构成了数理逻辑的形式 符号体系。
1-1 命题及其表示法
一、命题
1、定义 能表达判断的陈述句，称作命题（Proposition）。 例：判断下列语句是否为命题: (陈1)述地句球：外述存说在一智件事慧情生的物句。子，句末用句号。 (祈2)使1＋句1：=要10求。或者希望别人做什么事或者不做什么事时用的 (句3)子今，天句下末雨用。句号或感叹号。 (疑4)问你句今：年提暑出假问去题的旅句行子吗，？句（末疑用问问号句。） (感5)叹克句里：特带岛有人浓说厚感：情“的克句里子特，岛句末人用是感说叹谎号话。者”。 悖（：相悖反论。）悖论：自相矛盾的陈述。
各分支）
教材
左孝凌，李为鉴，刘永才编著．离散数学．上海： 上海科学技术文献出版社,1982 主要参考教材: 孙吉贵，杨凤杰，欧阳丹彤，李占山编著．离散数 学．高等教育出版社，2002
离散数学的ppt课件
科学中的许多问题。
03
例如，利用图论中的最短路径算法和最小生成树算法
等，可以优化网络通信和数据存储等问题。
运筹学中的应用
01
运筹学是一门应用数学学科， 主要研究如何在有限资源下做 出最优决策，离散数学在运筹 学中有着广泛的应用。
02
利用离散数学中的线性规划、 整数规划和非线性规划等理论 ，可以解决运筹学中的许多问 题。
并集是将两个集合中的所有元素合 并在一起，形成一个新的集合。
详细描述
例如，{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是 {1, 2, 3, 4}。
总结词
补集是取一个集合中除了某个子集 以外的所有元素组成的集合。
详细描述
例如，对于集合{1, 2, 3}，{1, 2}的 补集是{3}。
集合的基数
总结词
）的数学分支。
离散数学的学科特点
03
离散数学主要研究对象的结构、性质和关系，强调推
理和证明的方法。
离散数学的应用领域
计算机科学
01
离散数学是计重要的工具和方法。
通信工程
02
离散数学在通信工程中广泛应用于编码理论、密码学、信道容
量估计等领域。
集合的基数是指集合中元素的数量。
详细描述
例如，集合{1, 2, 3}的基数是3，即它包含三个元素。
03 图论
图的基本概念
顶点
图中的点称为顶点或节点。
边
连接两个顶点的线段称为边。
无向图
边没有方向，即连接两个顶点的线段可以是双向 的。
有向图
边有方向，即连接两个顶点的线段只能是从一个顶 点指向另一个顶点。
研究模态算子（如necessity、possibility）的语义和语法。
《离散数学讲义》课件
离散概率分布的定义
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
离散数学离散数学第8章 一些特殊的图 PPT课件
在23岁时，他发表了他还是一个17岁的孩子时作出的“奇怪的发 现”，…即《光线系统理论》第一部分，这是一篇伟大的杰作，它对于 光学，就象拉格朗日的《分析力学》之于力学。
哈密尔顿最深刻的悲剧既不是酒精，也不是他的婚姻，而是他顽固地
相信，四元数是解决物质宇宙的数学关键。…从来没有一个伟大的数学
家这样毫无希望地错误过。
2
1
3
4
(2) 有限面与无限面：面积有限的区域称为有 限面(或内部面)，否则为无限面(或外部面) 。 上图中，面4是无限面。
7/1/2020 9:05 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
24
(3) 面的次数等于面边界的边数(注意：悬挂边算2 次)，记为deg(R).
(4) 平面图中面的次数之和等于边数m的两倍，即
d(u)+d(v)≥n-1 则G是半哈密尔顿图。
注意:
此定理条件显然不是必要条件，如n≥6的n边形，对于 任意不相邻的顶点u, v, d(u)+d(v)=4，4<n-1，而n边形显 然有哈密尔顿通路。
7/1/2020 9:05 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
18
哈密尔顿图的充分条件
❖ 设G是n(n≥3)阶无向简单图，若G中 任意不相邻的顶点对u,v均满足： d(u)+d(v)≥n 则G是哈密尔顿图。
a
bc
d
e
f g
h
i j
k
l
ba
d
g
e j
f
l
b
a
c
d
g
j
i
e
h
f
k
7/1/2020 9:05 PM
数理逻辑重要公式离散数学PPT课件
3、否定等值式
x(x)= x(x)
x(x)= x第(x5页)/共9页
5
量词辖域收缩与扩张等值式
设A(x)是含x自由出现的公式，B中不含x的出现
关于存在量词的:
关于全称量词的：
x(A(x)B)xA(x)B
x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B
x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B x(BA(x))BxA(x)
闭式
8
第8页/共9页
(AB)(CD)( BD) (AC)
破坏性二难
说明： A, B, C为元语言符号 若某推理符合某条推理定律，则它自然是正确的 AB产生两条推理定律: A B, B A
4
第4页/共9页
基本等值式
1、基本等值式:
命题逻辑中基本等值式的代换实例
2、消去量词等值式 设D={a1,a2,…,an} xA(x)A(a1)A(a2)…A(an) xA(x)A(a1)A(a2)…A(an)
x(A(x)B)xA(x)B
量词x分(B配等A(值x))式BxA(x) x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
注意：对无分配律，对无分配律
6
第6页/共9页
推理规则
(1)前提引入规则
(2)结论引入规则
(3)置换规则
(4)假言推理规则
(5)附加规则
(6)化简规则
2
第2页/共9页
推理定律——重言蕴涵式
重要的推理定律 A (AB) (AB) A (AB)A B
理 (AB)B A (AB)B A
段论 (AB)(BC) (AC)
第3页/共9页
x(x)= x(x)
x(x)= x第(x5页)/共9页
5
量词辖域收缩与扩张等值式
设A(x)是含x自由出现的公式，B中不含x的出现
关于存在量词的:
关于全称量词的：
x(A(x)B)xA(x)B
x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B
x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B x(BA(x))BxA(x)
闭式
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(AB)(CD)( BD) (AC)
破坏性二难
说明： A, B, C为元语言符号 若某推理符合某条推理定律，则它自然是正确的 AB产生两条推理定律: A B, B A
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基本等值式
1、基本等值式:
命题逻辑中基本等值式的代换实例
2、消去量词等值式 设D={a1,a2,…,an} xA(x)A(a1)A(a2)…A(an) xA(x)A(a1)A(a2)…A(an)
x(A(x)B)xA(x)B
量词x分(B配等A(值x))式BxA(x) x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
注意：对无分配律，对无分配律
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推理规则
(1)前提引入规则
(2)结论引入规则
(3)置换规则
(4)假言推理规则
(5)附加规则
(6)化简规则
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推理定律——重言蕴涵式
重要的推理定律 A (AB) (AB) A (AB)A B
理 (AB)B A (AB)B A
段论 (AB)(BC) (AC)
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离散数学PPT教学课件 数理逻辑ppt8
2018/7/1
84-16
电子科技大学离散数学课程组——国家级精品课程
例4.3.3（续）
（2）构造解释I2为
P(a) = 0，P(b) = 1，Q(a) = 0，Q(b) = 1，
则(P(a)→Q(a))∧(P(b)→Q(b))在此解释I2 下真值为1，(P(a)∨P(b))→(Q(a)∧Q(b))在此解 释I2下真值为0，即I2使得等价联结词前面的 (x)(P(x)→Q(x))为真，而使得等价联结词后面的 ((x)P(x)→(x)Q(x))为假，因此，这样的解释使 得公式(x)(P(x)→Q(x))((x)P(x)→(x)Q(x)) 的真值为假。
2018/7/1 84-8
电子科技大学离散数学课程组——国家级精品课定义4.3.4 给定一个合适公式G，若变元x出现在使 用变元的量词的辖域之内，则称变元x的出现为约束 出现(Bound Occurrence)，此时的变元x称为约束 变元(Bound Variable)。若x的出现不是约束出现， 则称它为自由出现 (Free Occurrence) ，此时的变 量词辖域的确定方法： 元x 称为自由变元(Free Variable)。 （1）若量词后有括号，则括号内的子公式就是 该量词的辖域； （2）若量词后无括号，则与量词邻接的子公式 为该量词的辖域。
规则2(自由变元的代入规则)：
（1）将公式中出现该自由变元的每一处都用新的个 体变元替换； （2）新变元不允许在原公式中以任何约束形式出现
2018/7/1 84-12
电子科技大学离散数学课程组——国家级精品课程
例4.3.2
（1）将公式(x)(P(x)→Q(x, y))∧R(x, y)中的 约束变元x进行改名； （2）将公式(x)(P(x)→Q(x, y))∧R(x, y)中的 自由变元y进行代入。
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或者 ( x)( R(x, 或者 ( y)(P(x)∧Q(y)∧┐ y)(P(x)∧P(y)→ ┐ T(x,y)) y)) （ 1）兔子比乌龟跑得快；
( ( x)(P(x)∧( x) (y)(P(x)∧Q(y)→R(x, y)(Q(y)→R(x, y))) y)) （ 4 ）不存在跑得同样快的两只兔子。
2018/7/1 84-1
电子科技大学离散数学课程组——国家级精品课程
例4.2.4 将下列命题符号化 ┐( ( x)( x) ( y)(P(x)∧Q(y)→R(x, y)) ┐ y)(P(x)∧P(y)∧T(x, y)) （2）有的兔子比所有乌龟跑得快； （3）并不是所有的兔子都比乌龟跑得快；
2018/7/1 84-8
电子科技大学离散数学课程组——国家级精品课程
4.3.2
自由变元和约束变元
定义4.3.4 给定一个合适公式G，若变元x出现在使 用变元的量词的辖域之内，则称变元x的出现为约束 出现(Bound Occurrence)，此时的变元x称为约束 变元(Bound Variable)。若x的出现不是约束出现， 则称它为自由出现 (Free Occurrence) ，此时的变 量词辖域的确定方法： 元x 称为自由变元(Free Variable)。 （1）若量词后有括号，则括号内的子公式就是 该量词的辖域； （2）若量词后无括号，则与量词邻接的子公式 为该量词的辖域。
2018/7/1 84-7
电子科技大学离散数学课程组——国家级精品课程
例子
(x)(y)(P(x, y)→(Q(x, y)∨R(x, a, f(z))))，
(x)(P(x)∨(y)R(x, y))，
(x)(P(x) →R(x))。
等都是公式。 而 (x)P(x)→R(x)(y)， (y)(x)(∨P(x,y))。 等则不是公式。
电子科技大学离散数学课程组——国家级精品课程
4.2.3
谓词的语言翻译
例：设P(x)：x是素数；I(x)：x是整数；Q(x, y)： x+y=0。用语句描述下述句子，并判断其真假值。 （1）(x)(I(x)→P(x))； （2）(x) (I(x)∧P(x))； （3）(x) (y)(I(x)∧I(y)→Q(x, y))； （4）(x)(I(x)→(y)(I(y)∧Q(x, y)))； （5）(x)(y)(I(x)∧(I(y)→Q(x, y)))。 “对任意的整数 “存在着整数 “对任意的整数 x，使得对任意的整数 x，都存在着整数 x， y一定是素数”， ，都有 y，使得 y，都有 x+y=0 x+y=0 ” x+y=0 ， ” ”， “存在一些整数 x， x x是素数”， 真值为“假”。 真值为“真”； 真值为“真”； 真值为“假”；
C(x)：表示x是海关人员； P(x)：表示x是走私者；
B(x, y)：表示y检查x。
2018/7/1 84-3
电子科技大学离散数学课程组——国家级精品课程
4.3
谓词合式公式与解释
谓词公式涉及如下四种符号：
（1）常量符号：用带或不带下标的小写英文字母a, b, c, …, a1, b1, c1, …来表示。当个体域名称集 合D给出时，它可以是D中的某个元素；
（2）变量符号：用带或不带下标的小写英文字母x, y, z, ..., x1, y1, z1,...来表示。当个体域名称 集合D给出时，它可以是D中的任意元素；
2018/7/1
84-4
电子科技大学离散数学课程组——国家级精品课程
符号定义
（3）函数符号：用带或不带下标的小写英文字母f, g, h, ..., f1, g1, h1, ...来表示。当个体域名称 集合D给出时，n元函数符号f(x1, x2, …, xn)可以 是Dn→D的任意一个函数； （4）谓词符号：用带或不带下标的大写英文字母P, Q, R,..., P1, Q1, R1...来表示。当个体域名称集 合D给出时，n元谓词符号P(x1, x2, …, xn)可以是 Dn→{0，1}的任意一个谓词。
谓词设定：P(x)：x是兔子；Q(x)：x是乌龟； R(x, y)：x比y跑得快； T(x, y)：x与y跑得同样快。
2018/7/1 84-2
电子科技大学离散数学课程组——国家级精品课程
例 4.2.6 ( x)((E(x)∧┐V(x))→(y)(C(y)∧B(x,
y)))
(x)(P(x)∧E(x)∧(y)(B(x,y)→P(y))) 符号化下述一组语句：
定义 4.3.2
若 P(x1,x2,…,xn) 是 n 元谓词，
t1，t2，…，tn是项，则称P(t1,t2,…,tn)为原子谓 词 公 式 (Atomic Propositional Formulae) ， 简 称 原子公式(Atomic Formulae)。
2018/7/1 84-6
电子科技大学离散数学课程组——国家级精品课程
定义4.3.3
满足下列条件的表达式，称为合式公式(Well-Formed Formulae/Wff)，简称公式(Formulae)。Biblioteka （1）原子公式是合式公式；
（2）若G，H是合式公式，则
(┐G)、(┐H)、(G∨H)、(G∧H)、(G→H)、(GH)
也是合式公式； （3）若G是合式公式，x是个体变量，则 (x)G、(x)G 也是合式公式； （4）仅仅由(1)-(3)产生的表达式才是合式公式。
(x)((P(x)→┐ V(x))或┐(x)(P(x)∧V(x)) 海关人员检查每一个进入本国的不重要人物；某
些走私者进入该国时仅仅被走私者所检查；没有一个 走私者是重要人物；海关人员中的某些人是走私者。 解：设 E(x)：表示x进入国境；
(x)(P(x)∧C(x)) V(x)：表示x是重要人物；
2018/7/1
84-5
电子科技大学离散数学课程组——国家级精品课程
项与原子公式
定义4.3.1 谓词逻辑中的项(Term)，被递归地定义为： （1）任意的常量符号或任意的变量符号是项； （ 2 ）若 f(x 1 , x 2 , … , x n ) 是 n 元函数符号， t 1 ,t 2 , …,tn是项，则f(t1, t2, …, tn)是项； （3）仅由有限次使用(1)，(2)产生的符号串才是项。