2019年中国科学技术大学创新班数学试题

zk =
k=1 k与2019互素
10.
设
x
∈
[0, 2]，求函数
f (x)
=
4 5−x2
+
4 1+3x
+
1 3−x
的取值范围。
11. 随机选取 1, 2, · · · , n 的一个排列 x1, x2, · · · , xn。若 xi = i，则 i 成为排列 x1, x2, · · · , xn 的一个不动点。排列 x1, x2, · · · , xn 的不动点个数基座随机变量 Xn。求 X6 的数学 期望。
2019 年中国科技大学创新班数学试题
1. 平面区域 |x + 2y| + |3x + 4y| 5 的面积为
2. 方程 sin 2x + cos 3x = 0 在 x ∈ (0, 2π] 上所有根的和为
3.
平面上的点
A(0, 1)，B(1, 0)，C
( x,
)(
√1
1
x4
x
4)，则 ∆ABC 的面积最小值为
,y
=
4
+
( cos t +
π 6
)，t
是参数，则
x2
+
y2
的最大值为
8.
设
x1, x2, x3, x4
∈
{ N, xi, xj, xk|1
i<j<k
} 4
=
{18,
36,
54}，求
x1
+
x2
+
x3
+
x4 =
∑ 2000
9.
设复数
z
=
cos θ
+ i sin θ，其中
θ
=
2π 2019
，i
是虚数单位，则
12. 设正整数 n 2，并且对于所有与 n 互素的整数 a，都有 an ≡ amodn. 证明：（1）n 无平方因子（2）若 n 的素因子个数不超过 2，则 n 是素数。
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4. 平面与正八面体相交，截口多边形边数的最大值为
5.
设
O
是
∆ABC
的外心，4−O→A
+
−−→ 5OB
+
−→ 6OC
=
Baidu Nhomakorabea
0，则
tan ∠BAC
=
6. 设曲线 (x + 1)3 − (y − 1)3 = 1 关于直线 y = kx + b 对称，则 (k, b) =
7.
设
x
=
3
+
( cos t −
)
π 3