2021届安徽省六安市毛坦厂中学高三上学期周考数学理(应届)试题

高三数学12月月考试题理应届试题

毛坦厂中学2021届高三数学12月月考试题理〔应届〕创作人：历恰面日期： 2020年1月1日一、选择题(此题一共12小题，每一小题5分，一共60分，每一小题只有一个选项符合题意)1．i 1i =1i i -+- 〔〕 A ．11i 22-+ B ．11i 22- C ．31i 22-- D ．13i 22--2．定义在上的函数满足,且为偶函数，假设在内单调递减，那么下面结论正确的选项是〔〕 A ． B ． C ．D ．3、两个等差数列{}{}n n b a 和的前n 项和分别为n n T S 和，且n n T n S n )237()1+=+（，那么使得nnb a 为整数的正整数n 的个数是〔〕A. 2B. 3C. 4D. 5 4．某几何体的三视图如下图〔单位：〕，那么这个几何体的体积为〔〕第4题图第5题图A ．B ．C ．316cm D ．5．函数()2sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的局部图象如下图，且(,1),(,1)2A B ππ-，那么ϕ的值是〔A ．56πB ．6π C ．6π-D ．56π-6.的内角的对边分别为．假设成等比数列，且，那么(A ．B ．C ．D ．7．不等式2334a a x bx -≤++-〔其中[]0,1b ∈〕对任意实数x 恒成立，那么实数a 的取值范围〔〕A ．](),14,⎡-∞-⋃+∞⎣ B ．[]1,4- C ．[]1,2D ．](),12,⎡-∞-⋃+∞⎣8．函数()()()()24312311x ax x f x a x x ⎧-+<⎪=⎨-+≥⎪⎩在x ∈R 内单调递减，那么的取值范围是( ).A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,13⎛⎤⎥⎝⎦D ．[)1,+∞ 9．0x >，0y >，lg 2lg8lg 2x y+=，那么113x y+的最小值是〔〕 A ．2B ．22C ．3D ．410．平面内有三个向量，其中与夹角为120°，与的夹角为30°，且，假设，〔λ，μ∈R 〕那么〔〕A ．λ=4，μ=2B ．C ．D ．11．中国古代数学经典?九章算术?系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，2AD =，1ED =，假设鳖臑P ADE -的外接球的体积为7143π，那么阳马P ABCD -的外接球的外表积等于第10题图第11题图第12题图A ．18πB ．17π C.16π D.15π12.．如图，在Rt △ABC 中，AC=1，BC=x ，D 是斜边AB 的中点，将△BCD 沿直线CD 翻折，假设在翻折过程中存在某个位置，使得CB ⊥AD ，那么x 的取值范围是〔〕A ．〔0，]B ．〔，2] C ．〔，2] D ．〔2，4]二、填空题 13．函数π()2sin(π)0,0,2f x a x a ωϕωϕ⎛⎫=+≠>≤ ⎪⎝⎭，直线y a =与()f x 的图象的相邻两个交点的横坐标分别是2和4，现有如下命题：①该函数在[2,4]上的值域是[2]a a ； ②在[2,4]上，当且仅当3x =时函数取最大值；③该函数的最小正周期可以是83； ④()f x 的图象可能过原点．其中的真命题有__________．〔写出所有真命题的序号〕 14．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1＝－7，S 3＝－15. 求S n _________15．数列{}n a 中，11a =，以后各项由公式2123...n a a a a n ⋅⋅⋅⋅=给出，那么35a a +等于_____.16．2:2310p x x -+≤，2:(21)(1)0q x a x a a -+++≤．假设p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，那么实a 的取值范围是__．三、解答题17．函数2()3cos cos 1f x x x x b ωωω=⋅+++．〔1〕假设函数()f x 的图象关于直线6x π=对称，且[]0,3ω∈，求函数()f x 的单调递增区间；〔2〕在〔1〕的条件下，当70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 有且只有一个零点，务实数b 的取值范围．18．如图，在直角梯形CD AB 中，//CD AB ，D AB ⊥A ，且1D CD 12AB =A ==．现以D A 为边向梯形外作矩形D F A E ，然后沿边D A 将矩形D F A E 翻折，使平面D F A E 与平面CD AB 垂直．〔1〕求证：C B ⊥平面D B E ；〔2〕假设点D 到平面C BE 的间隔为63，求三棱锥F D -B E 的体积． 19．．x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求：(1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．20．在直角梯形PBCD 中，,4,2,2====∠=∠PD CD BC C D πA 为PD 的中点，如图．将△PAB 沿AB 折到△SAB 的位置，使SB ⊥BC ，点E 在SD 上，且SD SE 31=，如图．〔Ⅰ〕求证：SA ⊥平面ABCD ；〔Ⅱ〕求二面角E ﹣AC ﹣D 的正切值．21．以1a 为首项的数列{}n a 满足：11n n a a +=+〔*n N ∈〕.〔1〕当113a =-时，且10n a -<<，写出2a 、3a ；〔2〕假设数列{}n a 〔110n ≤≤，*n N ∈〕是公差为1-的等差数列，求1a 的取值范围；22函数f (x )＝λln x －e -x(λ∈R)．(1)假设函数f (x )是单调函数，求λ的取值范围；(2)求证：当0<x 1<x 2时，1211112x x e e xx ->---20212021学年度高三年级12月份月考应届数学答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 CBCBDCBCDCBA13．④ 14．n n S n 82-=15．611616．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦17．.试题解析：〔1〕函数()23sin cos cos1f x x x x b ωωω=+++3sin 262x b πω⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，......................2分∵函数()f x 的图象关于直线6x π=对称，∴2662k πππωπ⋅+=+，k Z ∈且[]0,3ω∈，∴1ω=〔k Z ∈〕，.由222262k x k πππππ-≤+≤+解得36k x k ππππ-≤≤+〔k Z ∈〕，.....................4分函数()f x 的单调增区间为,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦〔k Z ∈〕．.....................5分〔2〕由〔1〕知()3sin 262f x x b πω⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭， ∵70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴42,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ∴2,662x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦函数()f x 单调递增； 42,623x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即7,612x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦函数()f x 单调递减．.....................7分又()03f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴当03f π⎛⎫> ⎪⎝⎭ 712f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭或者06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭时，函数()f x 有且只有一个零点，即435sinsin 326b ππ≤--<或者3102b ++=， ∴3352,22b ⎛⎤-⎧⎫∈-⋃- ⎨⎬⎥ ⎩⎭⎝⎦．............................................10分 18.〔1〕见解析；〔2〕61．解析：〔1〕证明：在矩形D F A E 中，D D E ⊥A因为面D F A E ⊥面CD AB ，所以D E ⊥面CD AB ，所以D C E ⊥B又在直角梯形CD AB 中，D 1AB =A =，CD 2=，DC 45∠B =，所以C 2B =，在CD ∆B 中，D C 2B =B =，CD 2=，.........................................4分所以：222D C CD B +B = 所以：C D B ⊥B ，所以：C B ⊥面D B E ...................................................6分〔2〕由〔1〕得：面D BE ⊥面C B E ，作D E ⊥BE 于H ，那么D H ⊥面C B E所以：6D H =分在D ∆B E 中，D D D B ⋅E =BE⋅H即：()262D D 23⋅E =E +，解得D 1E =所以：F D FD111V V 1326-B E B-E ==⨯⨯=........................................12分 19.解 (1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，又x >0，y >0，那么1＝8x ＋2y≥28x ·2y＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝4y ，即x ＝16，y ＝4时等号成立．.........................................6分(2)解法一：由2x ＋8y －xy ＝0，得x ＝8yy －2，因为x >0，所以y >2，那么x ＋y ＝y ＋8y y －2＝(y －2)＋16y －2＋10≥18，当且仅当y －2＝16y －2，即y ＝6，x ＝12时等号成立． (12)分解法二：由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，那么x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x≥10＋22x y ·8yx ＝18，当且仅当y ＝6，x ＝12时等号成立．.........................................12分20.〔Ⅰ〕证明见解析〔Ⅱ〕【解析】试题分析：〔法一〕〔1〕由题意可知，翻折后的图中SA⊥AB①，易证BC⊥SA②，由①②根据直线与平垂直的断定定理可得SA⊥平面ABCD ；.........................................4分〔2〕〔三垂线法〕由考虑在AD 上取一点O ，使得，从而可得EO∥SA ，所以EO⊥面ABCD ，过O 作OH⊥AC 交AC 于H ，连接EH ，∠EHO 为二面角E ﹣AC ﹣D 的平面角，在Rt△AHO 中求即可〔法二：空间向量法〕〔1〕同法一〔2〕以A 为原点建立直角坐标系，易知平面ACD 的法向为，求平面EAC 的法向量代入公式求解即可解法一：〔1〕证明：在题平面图形中，由题意可知，BA⊥PD，ABCD 为正方形，所以在翻折后的图中，SA⊥AB，SA=2，四边形ABCD 是边长为2的正方形，因为SB⊥BC，AB⊥BC，SB∩AB=B 所以BC⊥平面SAB ，又SA ⊂平面SAB ，所以BC⊥SA，又SA⊥AB，BC∩AB=B所以SA⊥平面ABCD ，〔2〕在AD上取一点O ，使，连接EO因为，所以EO∥SA因为SA⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD，过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH，那么AC⊥平面EOH，所以AC⊥EH．所以∠EHO为二面角E﹣AC﹣D 的平面角，．在Rt△AHO 中，∴，即二面角E﹣AC﹣D 的正切值为.........................................12分解法二：〔1〕同方法一〔2〕解：如图，以A为原点建立直角坐标系，A〔0，0，0〕，B〔2，0，0〕，C〔2，2，0〕，D〔0，2，0〕，S〔0，0，2〕，E〔0，〕∴平面ACD 的法向为.........................................6分设平面EAC 的法向量为=〔x，y，z〕，由n ACn AE⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以，可取所以=〔2，﹣2，1〕．.........................................9分所以所以即二面角E﹣AC﹣D 的正切值为.........................................12分21.〔1〕223a =-，313a =-；〔2〕19a ≤- 【解析】(1)因为以1a 为首项的数列{}n a 满足：11n n a a +=+，113a =-，10n a -<<，所以21213a a =+=，所以223a =-；由32113a a =+=得313a =-；...........4分 (2)因为数列{}n a 〔110n ≤≤，*n N ∈〕是公差为1-的等差数列，所以111n n n a a a +=-=+，所以()()2211n n a a-=+，.......................6分所以22n n a a -=，所以0n a ≤，所以n na a =-， .........................................8分故()11n a a n -=---，所以()110n a a n =+-≤，因为110n ≤≤， .........................................10分所以由题意只需：10190a a =+<，故19a ≤-..........................................12分22.解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，∵f (x )＝λln x －e -x，∴f ′(x )＝λx ＋e －x ＝λ＋x e －xx，∵函数f (x )是单调函数，∴f ′(x )≤0或者f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，....2分①当函数f (x )是单调递减函数时，f ′(x )≤0，∴λ＋x e －x x ≤0，即λ＋x e －x ≤0，λ≤－x e －x ＝－x e x ，令φ(x )＝－x e x ，那么φ′(x )＝x －1ex ，当0<x <1时，φ′(x )<0，当x >1时，φ′(x )>0，那么φ(x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴当x >0时，φ(x )min ＝φ(1)＝－1e ，∴λ≤－1e； (4)②当函数f (x )是单调递增函数时，f ′(x )≥0，∴λ＋x e －x x ≥0，即λ＋x e －x ≥0，λ≥－x e －x＝－x ex ，由①得φ(x )＝－xe x 在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0，x →＋∞时，φ(x )∴λ≥0.综上，λ≤－1e或者λ≥0..........................................6分(2)证明：由(1)可知，当λ＝－1e 时，f (x )＝－1e ln x －e －x在(0，＋∞)上单调递减，∵0<x 1<x∴f (x 1)>f (x 2)，即－1e ln x 1－e -x 1>－1eln x 2－e -x2，∴e -x2－e -x1>ln x 1－ln x 2. 要证e1-x 2－e1-x 1>1－x 2x 1.只需证ln x 1－ln x 2>1－x 2x 1，即证ln x 1x 2>1－x 2x 1，令t ＝x 1x 2，t ∈(0,1)，那么只需证ln t >1－1t，.........................................10分令h (t )＝ln t ＋1t －1，那么当0<t <1时，h ′(t )＝t －1t2<0，∴h (t )在(0,1)上单调递减，又h (1)＝0，∴h (t )>0，即ln t >1－1t，得证． (12)。

安徽省六安市示范高中2021-2022学年高三上学期教学质量检测理科数学试题

一、单选题二、多选题1. 已知，，则（）A ．2B．C ．3D．2. 在一次期中考试中某校高三年级学生数学成绩服从正态分布，若，且，则（）A ．0.2B ．0.3C ．0.35D ．0.43. 对某校中学学生的身高进行统计，并将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图），则该校学生身高数据的中位数为（）A ．165B ．165.75C ．166D ．166.254. 已知函数对都有，若函数的图象关于直线对称，且对，当时，都有，给出如下结论：①是偶函数；②;③是最小正周期为4的周期函数；④．其中正确的结论个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．45. 已知函数是奇函数，当时，函数的图象与函数的图象关于对称，则（）A．B．C．D ．16. 已知双曲线的左、右焦点分别为．过点且斜率为的直线交双曲线的左、右支于两点，线段的垂直平分线恰过点，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7. 设函数的最大值为，最小值为，则（）A ．1B ．0C．D ．28. 已知，则（）A．B．C．D．9. 如图，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为圆柱底面圆弧的两个三等分点，为圆柱的母线，点分别为线段上的动点，经过点的平面与线段交于点，以下结论正确的是（）安徽省六安市示范高中2021-2022学年高三上学期教学质量检测理科数学试题安徽省六安市示范高中2021-2022学年高三上学期教学质量检测理科数学试题三、填空题四、解答题A．B ．若点与点重合，则直线过定点C ．若平面与平面所成角为，则的最大值为D ．若分别为线段的中点，则平面与圆柱侧面的公共点到平面距离的最小值为10.已知函数，则（）A ．为偶函数B．是的一个单调递增区间C．D ．当时，11. 已知由样本数据点集合求得的线性回归方程为，.现发现两个数据点和的误差较大，去除这两个数据点后重新求得的回归直线l 的斜率为1.2，则下列说法中正确的有（）A ．去除这两个数据点前，当变量x 每增加1个单位长度时，变量y 减少1.5个单位长度B．去除这两个数据点后的回归直线过点C ．去除这两个数据点后y 的估计值的增长速度变慢D ．去除这两个数据点后，当时，y 的估计值为6.212. 已知复数z 及其共轭复数满足，则下列说法正确的是（）A ．若，则B ．若，则C ．若为纯虚数，则或D ．若为实数，则或13. 已知存在反函数，则的反函数为________；14. 已知集合A ＝，B＝，若A B 中有且只有一个元素，则实数a 的值为_______．15. 某城市一圆形空地的平面图如图所示，为了方便市民休闲健身，政府计划在该空地建设运动公园（图中阴影部分）.若是以B 为直角的等腰直角三角形，，则该公园的面积为________.16. 某种病菌在某地区人群中的带菌率为，目前临床医学研究中已有费用昂贵但能准确检测出个体是否带菌的方法. 现引进操作易、成本低的新型检测方法:每次只需检测两项指标，若指标的值大于 4且指标的值大于 100，则检验结果呈阳性，否则呈阴性. 为考查该检测方法的准确度，随机抽取 50 位带菌者(用 “*” 表示)和 50 位不带菌者(用 “+” 表示)各做 1 次检测，他们检测后的数据，制成如下统计图:阳性阴性总计带菌不带菌总计(1)根据独立性检验，完成列联表，判断是否有以上的把握认为 “带菌” 与 “检测结果呈阳性” 有关?(2)现用新型检测方法，对该地区人群进行全员检测，用频率估计概率，求每个被检者 “带菌” 且 “检测结果呈阳性” 的概率.附：.0.0500.0100.0013.841 6.63510.82817. 已知数列的前n项和为，数列的前n项积为，且满足．(1)求证：为等差数列；(2)记，求数列的前2023项的和M．18. 某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数的监测数据，结果统计如下：记某企业每天由空气污染造成的经济损失（单位：元），空气质量指数为.当时，企业没有造成经济损失；当对企业造成经济损失成直线模型（当时造成的经济损失为，当时，造成的经济损失；当时造成的经济损失为2000元；（1）试写出的表达式：（2）在本年内随机抽取一天，试估计该天经济损失超过350元的概率；（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有12天为重度污染，完成下面列联表，并判断能否有的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，点分别为棱的中点，且平面.(1)证明：平面；(2)求二面角的大小.20. 已知数列的前n项和为，，对任意的正整数，点均在函数图像上．(1)证明：数列是等比数列；(2)证明：中任何不同三项不构成等差数列．21. 如图，在平面直角坐标系中，设点是椭圆C：上一点，从原点O向圆作两条切线，分别与椭圆C交于点，直线的斜率分别记为.(1)若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；(2)若，求证：；(3)在（2）的情况下，求的最大值.。

安徽省六安市示范高中2021届高三上学期教学质量检测数学(理)试题 Word版含答案

2021年六安市省示范高中高三教学质量检测理科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数1z i =+（i 为虚数单位），则1z在复平面内对应的点在（） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D2. 已知集合(){}ln 1A x y x ==-，{}2B y y x ==，则AB =（）A. ()0,1B. (]0,1C. [)0,1D. []0,1【答案】C3. 若平面向量a 与b 的夹角为3π，1a =，2b =，则2a b +=（） A. 32 B. 23C. 18D. 12【答案】B4. 已知函数()y f x =的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（）A. ()1sin 2=-f x x x B. ()1sin 2f x x x =+ C. ()1cos 2f x x x =-D. 1()cos 2f x x x =+【答案】A 5. 设120212020a =，log 2020b =2020log 2021c =，则（）A. c a b >>B. b a c >>C. a c b >>D. a b c >>【答案】C6. “垛积术”是我国古代数学的重要成就之一，宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中记载了“三角形垛”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛（俯视如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，…）.若一“落一形”三角锥垛有6层，则该堆垛第6层的小球个数为（）A. 45B. 36C. 28D. 21【答案】D7. 已知x ，y 都是实数，则“2x y +≤”是“221x y +≤”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B8. 六安市新建的广播电视发射塔计划于2021年3月竣工，它被誉为六安的“东方明珠塔”，是一个集发射和接收信号、应急指挥、旅游休闲于一体的多功能文化景观塔．发射塔总体高度308米，主要由塔座、塔身、塔楼、桅杆四部分组成．其塔身是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（如图1），它的最小口径为2r 米，在最小口径上方h 米处的口径为4r 米，若某同学在平面直角坐标系中绘制出了该双曲线（如图2），则其渐近线的方程为（）A. 3h y x =±B. 3h y x =±C. 3r y x =±D. 3r y x =±【答案】B9. 将函数()2sin 24f x x π=+⎛⎫⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位长度，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y g x 的图象，则下面叙述正确的是（）A. ()g x 的周期为πB. ()g x 图象的一条对称轴是4x π=C. ()g x 图象的一个对称中心为3,04π⎛⎫⎪⎝⎭D. ()g x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】D10. 已知圆22:2O x y +=，过直线:24l x y +=在第一象限内一动点P 作圆O 的两条切线，切点分别是A ，B ，直线AB 与两坐标轴分别交于M ，N 两点，则OMN 面积的最小值为（） A.12B. 1C.2D. 2【答案】B11. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 上的动点（不含端点），过B ，E ，1D 的截面与棱11A B 交于F ，若截面1BED F 在平面1111D C B A 和平面11ABB A 上正投影的周长分别为1C ，2C ，则12C C +（）A. 有最小值225+B. 有最大值422+C. 是定值422+D. 是定值425+【答案】A12. 已知函数()22xxf x x mxe me =+-（其中e 为自然对数的底数）有三个零点，则实数m 的取值范围为（） A. ()11m e e >-B. ()11m e e ≥-C. ()101m e e <<-D. ()101m e e <≤-【答案】C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若实数x ，y 满足1022030x x y y -≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最大值为__________．【答案】11214. 已知()()()ln ,0,0a x bx x f x g x x ⎧-+<⎪=⎨>⎪⎩，为偶函数，若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为10x y ++=，则a b +=__________．【答案】315. 已知抛物线2:3C x =，F 为焦点，直线:1l x =与C 交于A 点，B 为直线l 上另一点（在A 点上方），则BAF∠的角平分线所在直线方程为_____________.【答案】3630x y +-=16. 已知三棱锥P ABC -，底面ABC 是边长为2的正三角形，平面PAB ⊥平面ABC .2PA PB ==M 为棱PC 上一点，且3PC PM =，过M 作三棱锥P ABC -外接球的截面，则截面面积最小值为____________. 【答案】89π三、解答题：本题共6小题，共70分解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤.17. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*112n n a S n N =+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2211log log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 前n 项和n T .【答案】（1）2nn a =；（2）1n nT n=+. 18. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()3cos sin a b C b C -=. （1）求角B 的大小；（2）若2a c += ，3b =，求ABC 的面积.【答案】（1）3π；（2）3. 19. 如图，在平面四边形PABC 中，PA AC ⊥，AB BC ⊥，3PA AB ==，2AC =，现把PAC △沿AC 折起，使P 在平面ABC 上的射影为O ，连接OA 、OB ，且OB//AC .（1）证明：OB ⊥平面PAO ；（2）求二面角O PB C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）77-. 20. 已知函数()ln f x x ax b =-+，()()1xg x x e =-（1）若0b =，()f x 的极大值是1-，求a 的值；（2）若0a =，()()()h x g x f x =-在()0,∞+上存在唯一零点，求b 的值．【答案】（1）1a =；（2）1b =．21. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，短轴长为23（1）求椭圆C 的方程；（2）设不经过点(3P 且斜率存在的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，直线PM 与PN 的斜率之和为2-，证明：直线l 过定点.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析.22. 已知函数()()122ln x e f x a x a R x x -⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭.（1）若1a =，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在()0,2上有两个极值点1x ，2x ()12x x <. （i ）求实数a 的取值范围；（ii ）求证：121x x <.【答案】（1）递减区间()0,2，递增区间为()2,+∞；（2）（i ）12ea <<，（ii ）证明见解析.本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（）专业教师团队编校出品。

安徽省六安市毛坦厂中学高三数学理月考试卷含解析

安徽省六安市毛坦厂中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，实轴长为8，离心率为，则它的渐近线的方程为（）A．B．C．D．参考答案：D2. 如图，从点发出的光线，沿平行于抛物线的对称轴方向射向此抛物线上的点，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点，再经抛物线反射后射向直线上的点，经直线反射后又回到点，则等于A． B． C．D．参考答案：B3. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则是的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：B4. 函数存在零点的区间为( )A .(0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)参考答案：D5. 如图，某几何体的三视图中，正视图和侧视图都是半径为的半圆和相同的正三角形，其中三角形的上顶点是半圆的中点，底边在直径上，则它的表面积是（）A．6πB．8πC．10πD．11π参考答案：C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个半球挖去一个圆锥所得的组合体，进而可得几何体的表面积．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个半球挖去一个圆锥所得的组合体，由正视图和侧视图都是半径为的半圆和相同的正三角形，故半球的半径为，圆锥的底面半径为1，母线长为2，故组合体的表面积S=+（﹣π?12）+π?1?2=10π，故选：C【点评】本题考查的知识点是圆锥的体积和表面积，球的体积和表面积，难度中档．6. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向右平移 B．向右平移 C．向左平移D．向左平移[来源: /]参考答案：D7. 下图是2012年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m为数字0～9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a１、a2，则一定有（）A．a１>a2B． a2>a１C． a１ =a2D．a１，a２大小与m的值有关参考答案：B8. 函数（其中A＞0，）的图象如图所示，为了得到g(x)=sin2x的图象，则只需将的图象（）A.向右平移个长度单位B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位D.向左平移个长度单位参考答案：A9. 已知函数，下列说法正确的是（）A．，在上是增函数B．，在上是减函数C．，是上的常函数D．，是上的单调函数参考答案：D函数的定义域为。

安徽省六安市毛坦厂中学2020-2021学年高三(应届)上学期9月月考数学(理)试题

安徽省六安市毛坦厂中学2020-2021学年高三（应届）上学期9月月考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{|A x y ==，集合{|2,}x B y y x A ==∈，则A B =( )A ．{|22}x x -≤≤B ．{|21}x x -≤≤C ．1{|2}4x x ≤≤ D ．1{|1}4x x ≤≤ 2．下列命题正确的个数为（）①“x R ∀∈都有20x ≥”的否定是“0x R ∃∈使得200x ≤”； ②“3x ≠”是“3x ≠”成立的充分条件；③命题“若12m ≤，则方程2220mx x ++=有实数根”的否命题； ④幂函数的图像可以出现在第四象限. A ．0B ．1C ．2D ．33．在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与x y e =的图象关于直线y x =对称．而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，若()1f m =-，则m 的值是（） A ．e -B ．1e-C ．eD ．1e4．函数2()lg(43)f x x x =-+的单调递增区间为（） A ．(,1)-∞ B ．(,2)-∞ C ．(3,)+∞ D ．(2,)+∞5．函数x y a b =+与函数y ax b =+（0a >且1a ≠）的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．6．已知函数()()()2433,0log 12,0a x a x a x f x x x ⎧+-+<⎪=⎨++≥⎪⎩（a ＞0且a ≠1）是R 上的单调函数，则a 的取值范围是（） A ．（0，34] B ．[314，）C ．[2334，]D ．（2334，]7．已知 1.30.7a =,0.23b =,50.2log c =,则,,a b c 的大小关系( ) A ．a c b <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<8．已知定义域为R 的函数()f x 在[1,)+∞单调递增，且(1)f x +为偶函数，若(3)1f =，则不等式(21)1f x +<的解集为（） A ．(1,1)- B ．(1,)-+∞ C ．(,1)-∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞9．已知函数()f x x =+()f x 有（） A ．最小值12，无最大值 B ．最大值12，无最小值 C ．最小值1，无最大值 D ．最大值1，无最小值10．定义在R 上的奇函数()f x ，满足11()()22f x f x +=-，在区间1[,0]2-上递增，则（）A．(0.3)(2)f f f << B．(2)(0.3)f f f << C．(0.3)(2)f f f <<D．(2)(0.3)f f f <<11．已知定义在R 上函数()f x ，对任意的[)12,2017,x x ∈+∞且12x x ≠，都有()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，若函数()2017y f x =+为奇函数，()()201720170a b --<且4034a b +>，则（）A ．()()0f a f b +>B ．()()0f a f b +<C ．()()0f a f b +=D ．以上都不对 12．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)0f =，当0x >时，有()()f x xf x '>恒成立，则不等式()0xf x >的解集为（）.A ．(,0)(0,1)-∞B ．(,1)(0,1)-∞-C ．(1,0)(1,)D ．(1,0)(0,1)-二、填空题13．已知()2f x ax bx =+是定义在[]1,3a a -上的偶函数，那么a b +=______.14．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为___________． 15．方程()221260x m x m +-++=有两个实根1x ，2x ，且满足12014x x <<<<，则m 的取值范围是______.16．已知函数()e e x x f x -=-，下列命题正确的有_______．（写出所有正确命题的编号）①()f x 是奇函数；②()f x 在R 上是单调递增函数；③方程2()2f x x x =+有且仅有1个实数根；④如果对任意(0)x ∈+∞，，都有()f x kx >，那么k 的最大值为2.三、解答题17．已知集合()(){|2220}A x x m x m =--+≤，其中m R ∈，集合1{|0}2x B x x -=≤+． ()1若1m =，求A B ⋃；()2若A B A ⋂=，求实数m 的取值范围．18．已知二次函数2()f x ax bx c =++，满足(0)2f = ，(1)()21f x f x x +-=-. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x 在区间[1,2]-上的最大值；（3）若函数()f x 在区间[,1]a a +上单调，求实数a 的取值范围.19．已知命题p ：函数32()f x x ax x =++在R 上是增函数；命题：若函数()x g x e x a =-+在区间[0，+∞）没有零点．（1）如果命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）命题“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围． 20．《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算：（1）试建立当月纳税款与当月工资、薪金（总计不超过12500元）所得的函数关系式；（2）已知我市某国有企业一负责人十月份应缴纳税款为295元，那么他当月的工资、薪金所得是多少元？ 21．已知函数()()211ln 2f x x ax a x =-+-. （1）若()f x 在()1,+∞单调递增，求a 的范围；（2）讨论()f x 的单调性.22．已知0x ≠时，函数()0f x >，对任意实数,x y 都有()()()f xy f x f y =，且(1)1,(27)9f f -==，当01x ≤<时，()[0,1)f x ∈（1）判断()f x 的奇偶性；（2）判断()f x 在[0,)+∞上的单调性，并给出证明；（3）若0a ≥且(1)f a +≤，求a 的取值范围.参考答案1．D 【解析】分析：首先根据偶次根式的要求求得集合A ，结合指数函数的单调性求得集合B ，按照交集中元素的特征，求得AB .详解：由220x x --+≥可得220x x +-≤，解得21x -≤≤，所以{}|21A x x =-≤≤，根据指数函数的有关性质，求得1|24B y y ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，从而可以求得1|14A B x x ⎧⎫⋂=≤≤⎨⎬⎩⎭，故选D.点睛：该题考查了函数的定义域，函数的值域以及集合的交集运算，在解题的过程中，一是需要注意函数的定义域的求法，函数的值域的求法，要明白自变量的取值情况，以及集合的交集中元素的特征. 2．B 【分析】根据题意，由全称命题的否定可判断①，根据充分条件的定义可判断②，由四种命题的关系先求出否命题，再根据一元二次不等式的性质，即可判断③，根据幂函数的性质判断④. 【详解】解：对于①，“x R ∀∈都有20x ”的否定是“0x R ∃∈使得200x <”，故①错；对于②，当“3x ≠”时，但可取3x =-时，“||3x =”成立，故②错；对于③，命题“若12m ，则方程2220mx x ++=有实数根”的否命题为： “若12m >，则方程2220mx x ++=无实数根”，当12m >时，480∆=-<m ，方程2220mx x ++=无实数根，故③正确；对于④，根据幂函数得性质可知，幂函数的图象不可以出现在第四象限，故④错；所以，命题正确的个数为1个. 故选：B ．【点睛】本题考查了命题真假性的判断，涉及全称命题的否定、充分条件的判定、否命题以及幂函数的性质． 3．D 【解析】∵函数()y g x =的图象与x y e =的图象关于直线y x =对称，∴函数()y g x =与x y e =互为反函数，则()ln g x x =，又由()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，∴()()ln f x x =-，又∵()1f m =-，∴()ln 1m -=-，1m e=-，故选B.4．C 【解析】试题分析：由题意知，函数()lg 0y x x =>为增函数，函数243y x x =-+在()2,+∞上为增函数，因此23,1430322x x x x x x x ⎧><⎧-+>⇒⇒>⎨⎨>>⎩⎩或.故选C. 考点：复合函数的单调性. 5．D 【分析】由题可知，0a >且1a ≠，一次函数一定为增函数排除选项A ，再由两函数与y 轴的交点大小不同，观察B 、C 、D 的图象可知，0b >，判断后即可得出答案. 【详解】解：由题可知，0a >且1a ≠，y ax b ∴=+一定为R 上的增函数，排除A 选项；x y a b =+过点(0,1)b +，y ax b =+过点(0,)b ，由B 、C 、D 的图象可知，0b >，1b b ∴+>，所以D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查函数图象的识别，运用了一次函数与指数函数的图象性质，利用特殊性质、特殊值法，通过排除法是函数图象选择题常用的方法. 6．C【分析】根据分段函数是在R上单调递减，可得0＜a＜1，故而二次函数在（﹣∞，432a--）单调递减，可得432a--≥0．且[x2+（4a﹣3）x+3a]min≥[log a（x+1）+2]max即可得a的取值范围．【详解】由题意，分段函数是在R上单调递减，可得对数的底数需满足0＜a＜1，根据二次函数开口向上，二次函数在（﹣∞，432a--）单调递减，可得432a--≥0．且[x2+（4a﹣3）x+3a]min≥[log a（x+1）+2]max，故而得：432a--≥，解答a≤34，并且3a≥2，a∈（0，1）解得：1＞a≥23．∴a的取值范围是[23，34]，故选C．【点睛】本题考查了分段函数的单调性的运用求解参数问题，属于基础题．7．D【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【详解】∵0＜a＝0.71.3＜1，b＝30.2＞1，c＝log0.25＜0，∴c＜a＜b．故选：D．【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．A【分析】由函数y＝f（x+1）是定义域为R的偶函数，可知f（x）的对称轴x＝1，再利用函数的单调性，即可求出不等式的解集．【详解】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，且在[1，+∞）上单调递增，所以不等式f （2x+1）＜1=f （3）⇔ |2x+1﹣1|）＜|3﹣1|，即|2x |＜2⇔|x |＜1，解得-11x ＜＜所以所求不等式的解集为：()1,1-. 故选A ．【点睛】本题考查了函数的平移及函数的奇偶性与单调性的应用，考查了含绝对值的不等式的求解，属于综合题． 9．D 【分析】利用换元法，设t =()f x 转化为二次函数()g t 在0t ≥上的值域，利用配方法求值域即可. 【详解】∵函数()f x 的定义域为1(,]2-∞.设t =0t ≥，且x 212t -=，∴2211()()(1)1,022t f x g t t t t -==+=--+≥，∴()(1)1g t g ≤=.∴函数()f x 的最大值1，无最小值. 故选：D. 【点睛】本题考查了换元法求函数的值域，配方法求二次函数的值域，转化化归的思想方法，属于中档题. 10．D 【分析】由函数的单调性、奇偶性、对称性判定各函数值的大小关系【详解】对称轴12x =()00f =，为奇函数 ()20f ∴=，()0.3f f >，()()20.3ff f ∴<<，故选D 【点睛】本题主要考查了函数的单调性，奇偶性，对称性等函数性质的综合应用，要比较式子的大小，关键是先要把所要比较的变量转化到一个单调区间，然后结合该区间的单调性进行比较． 11．B 【分析】根据题意，由于[)12,2017,x x ∈+∞且12x x ≠，()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，利用单调性的定义得出()f x 在区间[)2017,+∞上单调递减，根据函数()2017y f x =+为奇函数，得出()20170f =，且根据奇函数的性质，得出()f x 图象关于点()2017,0对称，从而得出()f x 在R 上单调递减，最后根据()()201720170a b --<且4034a b +>，结合单调性和对称性，即可得出结论. 【详解】解：由题可知，定义在R 上函数()f x ，[)12,2017,x x ∈+∞且12x x ≠，由于()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，则()f x 在区间[)2017,+∞上单调递减，因为函数()2017y f x =+为奇函数，则()()20172017f x f x -+=-+，当0x =时，则()()20172017f f =-，即()20170f =，又因为()2017y f x =+图象关于原点()0,0对称，则()f x 图象关于点()2017,0对称，所以，()f x 在R 上单调递减，因为()()201720170a b --< 设a b <，则2017,2017a b <>，则有()()0,0f a f b ><，又因为4034a b +>，则()()0f a f b +<. 故选：B. 【点睛】本题考查函数的基本性质的综合应用，考查单调性、奇偶性、对称性的定义和性质，考查解题运算能力. 12．D 【分析】由已知当0x >时，有()()f x xf x '>恒成立，可判断函数()f x g x x=（）为减函数，由()f x 是定义在R 上的奇函数，可得g （x ）为（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g （x ）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，结合g （x ）的图象，解不等式即可【详解】设()f x g x x=（）则g （x ）的导数为()()2'xf x f x g x x-=，（） ∵当x ＞0时总有xf′（x ）＜f （x ）成立，即当x ＞0时，g′（x ）＜0，∴当x ＞0时，函数()f xg x x=（）为减函数，又()()f x f x g x g x x x--===-（）（），∴函数g （x ）为定义域上的偶函数又∵()1101f g ==（）∴函数g （x ）的图象如图：数形结合可得∵xf （x ）＞0且，f （x ）=xg （x ）（x≠0）∴x 2•g （x ）＞0∴g （x ）＞0 ∴0＜x ＜1或-1＜x ＜0 故选D ．【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．13．14【分析】根据题意，由定义域关于原点对称求出a 的值，再由偶函数的定义()()f x f x -=求得b 的值，即可求得答案．【详解】解：由2()f x ax bx =+是定义在[1a -，3]a 上的偶函数，则定义域[1a -，3]a 关于原点对称，则13a a -=-，解得：14a =，再由()()f x f x -=，得22()a x bx ax bx --=+，即0bx =，0b ∴=．则11044a b +=+=．故答案为：14．【点睛】本题考查了函数奇偶性的性质的应用，注意：偶函数和奇函数的定义域关于原点对称．14．y x =【分析】首先根据奇函数的定义，得到10a -=，即1a =，从而确定出函数的解析式，之后对函数求导，结合导数的几何意义，求得对应切线的斜率，应用点斜式写出直线的方程，最后整理成一般式，得到结果.【详解】因为函数32()(1)f x x a x ax =+-+是奇函数，所以()()f x f x -=-，从而得到10a -=，即，所以3()f x x x =+，所以(0)0f =，所以切点坐标是(0,0)，因为2()31x f 'x =+，所以'(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为y x =，故答案是y x =.【点睛】该题考查的是有关函数图象在某点处的切线问题，涉及到的知识点有奇函数的定义，导数的几何意义，属于简单题目.15．75,54⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【分析】设2()2(1)26f x x m x m =+-++，将方程转化为函数，由于方程22(1)260x m x m +-++=的两个实根1x 、2x 满足12014x x <<<<，利用一元二次方程根的分布，得出(0)0(1)0(4)0f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩，解不等式即可求出m 的取值范围．【详解】解：设2()2(1)26f x x m x m =+-++，关于实数x 的方程22(1)260x m x m +-++=的两个实根1x 、2x ，且满足12014x x <<<<，∴(0)0(1)0(4)0f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩，即26045010140m m m +>⎧⎪+<⎨⎪+>⎩，解得：7554m -<<-，即m 的取值范围为：75,54⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 故答案为：75,54⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查由不等式求参数的取值范围，利用方程和函数之间的关系转化为函数根的分布，利用二次函数的知识是解决本题的关键．16．①②④【解析】根据题意，依次分析四个命题：对于①中，()x x f x e e -=-，定义域是R ，且()()(),x x f x e e f x f x --=-=-是奇函数，所以是正确的；对于②中，若()x x f x e e -=-，则()0x x f x e e -=+>'，所以()f x 的R 递增，所以是正确的；对于③中，()22f x x x =+，令()22xx g x e e x x -=---，令0x =可得，()00g =，即方程()22f x x x =+有一根0x =，()()3434113130,4200g e g e e e=--=--，则方程()22f x x x =+有一根(3,4)之间，所以是错误的；对于④中，如果对于任意(0,)x ∈+∞，都有()f x kx >，即0x x e e kx --->恒成立，令()x x h x e e kx -=--，且()00h =，若()0h x >恒成立，则必有()0x x h x e ek -'=+->恒成立，若0x x e e k -+->，即1x x x x k e e e e-<+=+恒成立，而12xxe e +≥，若有2k <，所以是正确的，综上可得①②④正确. 17．（1）{|22}x x -<≤；()120.2m ≤≤ 【分析】()1解出二次不等式以及分式不等式得到集合A 和B ，根据并集的定义求并集；()2由集合A 是集合B 的子集，可得A B ⊆，根据包含关系列出不等式，求出m 的取值范围.【详解】集合{|222}A x m x m =-≤≤，由102x x -≤+，则()()12020x x x -+≤⎧+≠⎨⎩，解得21x -<≤，即{|21}B x x =-<≤，()11m =，则[]0,2A =，则{|22}A B x x ⋃=-<≤．()2A B A ⋂=，即A B ⊆，可得{22212m m -≤-≥，解得102m ≤≤，故m 的取值范围是10.2m ≤≤【点睛】本题考查集合的交并运算，以及由集合的包含关系求参数问题，属于基础题．在解有关集合的题的过程中，要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.18．（1）2()22f x x x =-+；（2）5；（3）(,0][1,)-∞⋃+∞. 【分析】（1）根据已知条件，待定系数，即可求得函数解析式；（2）根据（1）中所求函数解析式，根据二次函数的性质，即可求得函数最值；（3）讨论()f x 的对称轴和区间位置关系，列出不等式即可求得参数范围.【详解】（1）由(0)2f =，得2c =，由(1)()21f x f x x +-=-，得221ax a b x ++=-，故221a a b =⎧⎨+=-⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，所以2()22f x x x =-+.（2）由（1）得：22()22(1)1f x x x x =-+=-+，则()f x 的图象的对称轴方程为1x =，又(1)5f -=，(2)2f =，所以当1x =-时()f x 在区间[1,2]-上取最大值为5.（3）由于函数()f x 在区间[,1]a a +上单调，因为()f x 的图象的对称轴方程为1x =，所以1a ≥或11a +≤，解得：0a ≤或1a ≥，因此a 的取值范围为：(,0][1,)-∞⋃+∞.【点睛】本题考查二次函数解析式的求解，在区间上最值得求解，以及根据其单调性情况求参数范围的问题，属综合基础题.19．(1) ⎡⎣;(2))1∞⎡⎤-⋃+⎣⎦【解析】试题分析：本题主要考查逻辑联结词、导数与函数的性质、零点，考查了逻辑推理能力与计算能力.(1)由题意()23210f x x ax =++≥'对(),x ∞∞∈-+恒成立,则0∆≤，结论易得；(2)()e 1x g x '=-，判断单调性并求出()g x 的最小值，即可求出命题q ，易得,p q 一真一假，再分p 真q 假与p 假q 真两种情况计算求解即可.试题解析：(1)()23210f x x ax =++≥'对(),x ∞∞∈-+恒成立∴24120a a ⎡∆=-≤⇒∈⎣ (2)()e 10x g x ='-≥对任意的[)0,x ∞∈+恒成立,∴()g x 在区间[)0,∞+递增命题q 为真命题()0101g a a =+>⇒>-由命题“p q ∨”为真命题,“p q ∧”为假命题知,p q 一真一假若p 真q 假,则11a a a ⎧≤⎪⎡⎤⇒∈-⎨⎣⎦≤-⎪⎩若p 假q 真,则)1a a a ∞⎧⎪⇒∈+⎨>-⎪⎩综上所述,)1a ∞⎡⎤∈-⋃+⎣⎦ 20．（1）()()()()0035000.03105350050000.1455500080000.21255800012500x x x y x x x x ⎧≤≤⎪-<≤⎪=⎨-<≤⎪⎪-<≤⎩；（2）该负责人当月工资、薪金所得是7500元.【分析】（1）根据公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按表分段累计计算，从而得到当月纳税款与当月工资、薪金所得的函数关系式；（2）根据（1）可得当月的工资、薪金介于5000元8000-元，然后代入第三段解析式进行求解即可．【详解】解：（1）根据题意，设当月工资、薪金为x 元，纳税款为y 元，则()()()()()()()0,0350035003%,3500500045500010%,50008000345800020%,800012500x x x y x x x x ⎧≤≤⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩，即()()()()0,035000.03105,350050000.1455,500080000.21255,800012500x x x y x x x x ⎧≤≤⎪-<≤⎪=⎨-<≤⎪⎪-<≤⎩.（2）当月的工资、薪金所得是5000元时应纳税0.0350*******⨯-=元，当月的工资、薪金所得是8000元时应纳税0.180********⨯-=元，可知当月的工资、薪金介于5000元8000-元，由（1）知：2950.1455x =-，解得：7500x =（元），所以该负责人当月工资、薪金所得是7500元.【点睛】本题考查分段函数的解析式以及分段函数模型的实际应用，考查函数与方程思想． 21．（1）2a ≤；（2）见解析.【分析】（1）求导得()()()11'x x a f x x---⎡⎤⎣⎦=，由于()f x 在()1,+∞上递增，转化为()'0f x ≥在()1,+∞上恒成立，即()()110x x a ---≥⎡⎤⎣⎦在()1,+∞上恒成立，根据一元二次不等式的性质，即可求出a 的范围；（2）由（1）得，()()()11'x x a f x x---⎡⎤⎣⎦=，令()0f x '=，得1x =或1x a =-，分类讨论，比较极值点1x =，1x a =-和0x =，讨论参数范围，确定导数的正负，即可讨论函数()f x 的单调性；【详解】解：已知()()211ln 2f x x ax a x =-+-，可知()f x 的定义域为()0,∞+，则()()()11'x x a f x x ---⎡⎤⎣⎦=，（1）因为()f x 在()1,+∞上递增，所以()'0f x ≥在()1,+∞上恒成立，即：()()110x x a ---≥⎡⎤⎣⎦在()1,+∞上恒成立，只需：11a -≤即可，解得：2a ≤，所以()f x 在()1,+∞单调递增，则a 的范围为：2a ≤.（2）由（1）得，()()()11'x x a f x x---⎡⎤⎣⎦=，令()0f x '=，得1x =或1x a =-，当10a -≤时，即：1a ≤时，令()0f x '>，解得：1x >，令()0f x '<，解得：01x <<，则()f x 在区间()1,+∞上单调递增，在区间()0,1上单调递减，当011a <-<时，即：12a <<时，令()0f x '>，解得：01x a <<-或1x >，令()0f x '<，解得：11a x -<<，则()f x 在区间()0,1a -，()1,+∞上单调递增，在区间()1,1a -上单调递减，当11a -=时，即：2a =时，()0f x '≥恒成立，则()f x 在区间()0,∞+上单调递增，当11a ->时，即：2a >时，令()0f x '>，解得：01x <<或1x a >-，令()0f x '<，解得：11x a <<-，则()f x 在区间()0,1，()1,a -+∞上单调递增，在区间()1,1-a 上单调递减.综上得：当1a ≤时，()f x 的增区间为()1,+∞，减区间为()0,1，当12a <<时，()f x 的增区间为()0,1a -，()1,+∞，减区间为()1,1a -，当2a =时，()f x 的增区间为()0,∞+，无减区间，当2a >时，()f x 的增区间为()0,1，()1,a -+∞，减区间为()1,1-a .【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及利用导数解决恒成立问题求参数范围，考查分类讨论的数学思想和计算能力．22．（1）()f x 为偶函数；（2）证明见解析；（3）02a ≤≤.【解析】试题分析：（1）利用赋值法，先求出()11f -=，令1y =-，代入抽象函数表达式即可证明函数的奇偶性；（2）设120x x ≤<，1201x x ∴≤<，()()1112222x x f x f x f f x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵01x ≤<时，()[)0,1f x ∈，∴121x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴()()12f x f x <，故()f x 在()0,+∞上是增函数.；（3）先利用赋值法求得()3f =. 试题解析：（1）令1y =-，则()()()()1,11f x f x f f -=--=，()()f x f x -=，()f x 为偶函数.（2）设120x x ≤<，1201x x ∴≤<，()()1112222x x f x f x f f x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵01x ≤<时，()[)0,1f x ∈，∴121x f x ⎛⎫<⎪⎝⎭，∴()()12f x f x <，故()f x 在()0,+∞上是增函数. （3）∵()279f =,又()()()()()()()339393333f f f f f f f ⎡⎤⨯===⎣⎦∴()()()()()393,3113f f f a f a f ⎡⎤==+≤∴+≤⎣⎦∵[)0,1,30,a a ≥+∈+∞，∴13a +≤，即2a ≤，又0,a ≥故02a ≤≤.。

安徽省六安市毛坦厂中学2021届高三11月月考数学(理)试题(历届) 含答案

历届理科高三年级11月月考数学试卷一、单选题（每题5分，共12题）1．设{}|13A x x =≤≤，(){}|lg 321B x x =−<，则A B =（）A ．3,2⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭B ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,32⎛⎤ ⎥⎝⎦2．已知()f x 是R 上的偶函数，则“120x x +=”是“()()120f x f x −=”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知1−和2是函数2y x bx c =++的两个零点，则不等式20x bx c ++<的解集为（） A ．(1,2)−B ．(2,1)−C ．(,1)−∞−D ．(2,)+∞4．函数()f x 定义域为R ，对任意的[)()1212,1,x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x −<−，且函数()1f x +为偶函数，则（）A ．()()()123f f f <−<B ．()()()321f f f <−<C ．()()()231f f f −<<D ．()()()213f f f −<<5．曲线2ln y x x =−在1x =处的切线的倾斜角为α，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．45 B ．45−C ．35D ．35-6．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论中正确的是（） A ．若a b <，则sin sin A B >B ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 是等腰三角形 C ．若cos cos a B b A c −=，则ABC 是直角三角形D ．若2220a b c +−>，则ABC 是锐角三角形7．已知向量(cos ,2)a α=−， ()sin ,1b α=，且//a b ，则 2sin cos αα等于（）A ．45− B ．-3 C ．3 D ．458．已知数列{}n a ，2sin2n na n π=，则数列{}n a 的前100项和为（） A ．5000 B ．5000−C ．5050D ．5050−9．若曲线ln 1y x =+的一条切线是y ax b =+，则4b a e +的最小值是（） A ．2B ．22C ．4D ．4210．已知函数()ln ,011,1x x f x x x−<≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若0a b <<且满足()()f a f b =，则()()af b bf a +的取值范围是（） A ．(11,1)e+B ．1(,1]e−∞+ C ．1(1,1]e+ D ．1(0,1)e+ 11．已知函数()2ln f x x x =−和()22g x x m x=−−的图象上存在关于原点对称的点，则实数m 的取值范围是( ) A ．(],1ln 2−∞−B ．[)0,1ln 2−C ．(]1ln1,1ln 2−+D ．[)1ln 2,++∞12．若函数()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,π上有且仅有3个零点和2个最小值点，则ω的取值范围为（） A ．1710,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1023,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1710,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1023,36⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题（每题5分，共4题）13.2230x x x ∃∈++≤R ,的命题的否定是___________. 14．函数tan 42y x ππ⎛⎫=−⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则OA AB ⋅=______.15．设函数()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象关于直线23x π=对称，它的周期为π，则下列说法正确是________（填写序号）①()f x 的图象过点30,2⎛⎫⎪⎝⎭；②()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；③()f x 的一个对称中心是5,012π⎛⎫⎪⎝⎭； ④将()f x 的图象向右平移ϕ个单位长度得到函数2sin 2y x =的图象.16．在数列{}n a 中，2231n S n n =−+，则通项公式n a =________.三、解答题（共70分）17.（10分）已知|a |=2，|b |=3，a 与b 的夹角为120°．（1）求(2a －b )·(a +3b )的值；（2）当实数x 为何值时，x a －b 与a +3b 垂直.18．（12分）已知p ：函数f (x )=lg(ax 2-2ax +1)的定义域为R ；q ：关于x 的不等式31sin cos 044x x a +−≥的解集为φ.（1）若¬p 为假命题，求实数a 的取值范围；（2）若p 与q 至少有一个为假命题，求实数a 的取值范围.19．（12分）已知函数2()23sin cos 2sin 1f x x x x =+−. （1）求不等式()1f x ≥的解集；（2）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()2,C ,24f A c π===，求ABC 的面积.20．（12分）设数列满足123232n a a a na n +++=。

2021年高三上学期周考(12.4)理数试题含答案

2021年高三上学期周考（12.4）理数试题含答案一、选择题.1.设，若直线与圆相切，则的取值范围是（）A． B．C． D．2.已知圆的方程为，直线与圆交于两点，直线与圆交于两点，则（为坐标原点）等于（）A．4 B．8 C．9 D．183.设两圆都和两坐标轴相切，且都过点，则两圆心的距离等于（）A．4 B． C．8 D．4.已知直线和曲线，点在直线上，若直线与曲线至少有一个公共点，且，则点的横坐标的取值范围是（）A． B． C． D．5. 若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（）A． B． C． D．6. 过点且垂直于直线的直线方程为（）A． B． C． D．7. “”是“直线与直线平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8. 直线与圆相交于两点，则“”是“的面积为12”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件9. 过圆上一点作圆的切线与轴、轴的正半轴交于两点，则的最小值为（）A． B． C．2 D．310. 若直线与圆有公共点，则实数的取值范围（）A． B． C． D．11. 设两圆都和两坐标轴相切，且都过点，则两圆心的距离（）A．4 B． C．8 D．12.直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题13.一条直线经过点，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为____________．14. 若过点可作圆的两条切线，则实数的取值范围为____________．15. 若过定点且斜率为的直线与圆在第一象限内的部分有交点，则的取值范围是____________．16.过点的直线与圆交于两点，为圆心，当最小时，直线的方程为 ____________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知直线，直线，若直线关于直线的对称直线为，求直线的方程．18.求过点且与圆切于点的圆的方程.19.已知点，圆．（1）若过点的圆的切线只有一条，求的值及切线方程；（2）若过点且在两坐标轴上截距相等的直线与圆相切，求的值及切线方程．20.如图，已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点，是的中点．（1）求圆的方程；（2）当时，求直线的方程．21.已知圆过两点，且圆心在上．（1）求圆的方程；（2）设是直线上的动点，是圆的两条切线，为切点，求四边形面积的最小值.22.已知圆的圆心在轴上，半径为1，直线被圆所截的弦长为，且圆心在直线的下方．（1）求圆的方程；（2）设，若圆是的内切圆，求的面积的最大值和最小值．参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D D C B B A C C C C B C二、填空题13. 或 14. 15. 16.三、解答题17.解：法一：因为，所以，解得或（舍去），所以直线的方程为.法二：由题意知，设直线，在直线上取点，设点关于直线的对称点为，于是有，解得，即．把点代入的方程，得，所以直线的方程为．18.解：设所求圆的圆心为，半径为，则三点共线，且有，因为圆的圆心为，则()()()()22222231111241n m m n m n r--⎧=⎪-+⎨⎪-+-=-++=⎩，解得，所以所求圆的方程为．19.解：（1）由于过点的圆的切线只有一条，则点在圆上，故，∴. 当时，，切线方程为；当时，，切线方程为， ∴时，切线方程为，时，切线方程为.（2）设直线方程为，由于直线过点，∴， ∴直线方程为，即．又直线与圆相切，∴，∴， ∴切线方程为或．20.解：（1）设圆的半径为，由于圆与直线相切， ∴，∴圆的方程为．（2）①当直线与轴垂直时，易知符合题意； ②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即．即.连接，则，∵， ∴，则由，得，∴直线，故直线的方程为或． 21.（1）设圆的方程为，根据题意得：，解得，故所求圆的方程为．（2）因为四边形的面积，1122PAM PBM S S S AM PA BM PB ∆∆=+=+，又，所以，而，即，因此要求的最小值，只需求的最小值即可，即在直线上找一点，使得的值最小，所以，所以四边形面积的最小值为.22.解：（1）设圆心，由已知得到的距离为， ∴，又∵在的下方，∴，∴．故圆的方程为．（2）由题设的斜率为的斜率为，则直线的方程为，直线的方程为．由方程组，得点的横坐标为． ∵， ∴，由于圆与相切，所以，∴；同理，，∴， ∴，∵， ∴，∴， ∴max min 11512761,614284S S ⎛⎫⎛⎫=⨯+==⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴的面积的最大值为，最小值．33158 8186 膆 q21633 5481 咁38516 9674 陴;40664 9ED8 默~22973 59BD 妽qDZ28331 6EAB 溫20740 5104 億0。

2021届安徽省六安市毛坦厂中学高三上学期11月月考数学(理)试卷及答案

2021届安徽省六安市毛坦厂中学高三上学期11月月考数学（理）试卷★祝考试顺利★ （含答案）一、单选题（每题5分,共12题）1．设{}|13A x x =≤≤,(){}|lg 321B x x =-<,则A B =（）A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,32⎛⎤⎥⎝⎦2．已知()f x 是R 上的偶函数,则“120x x +=”是“()()120f x f x -=”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知1-和2是函数2y x bx c =++的两个零点,则不等式20x bx c ++<的解集为（） A ．(1,2)-B ．(2,1)-C ．(,1)-∞-D ．(2,)+∞4．函数()f x 定义域为R ,对任意的[)()1212,1,x x x x ∈+∞≠,有()()21210f x f x x x -<-,且函数()1f x +为偶函数,则（） A ．()()()123f f f <-< B ．()()()321f f f <-< C ．()()()231f f f -<< D ．()()()213f f f -<<5．曲线2ln y x x =-在1x =处的切线的倾斜角为α,则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．45B ．45-C ．35D ．356．在ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,则下列结论中正确的是（） A ．若a b <,则sin sin A B >B ．若sin 2sin 2A B =,则ABC 是等腰三角形 C ．若cos cos a B b A c -=,则ABC 是直角三角形D ．若2220a b c +->,则ABC 是锐角三角形7．已知向量(cos ,2)a α=-, ()sin ,1b α=,且//a b ,则 2sin cos αα等于（）A ．45-B ．-3C ．3D ．458．已知数列{}n a ,2sin 2n n a n π=,则数列{}n a 的前100项和为（）A ．5000B ．5000-C ．5050D ．5050-9．若曲线ln 1y x =+的一条切线是y ax b =+,则4b a e +的最小值是（） A ．2B．C ．4D．10．已知函数()ln ,011,1x x f x x x-<≤⎧⎪=⎨>⎪⎩,若0a b <<且满足()()f a f b =,则()()af b bf a +的取值范围是（）A ．(11,1)e+B ．1(,1]e-∞+C ．1(1,1]e +D ．1(0,1)e +11．已知函数()2ln f x x x =-和()22g x x m x=--的图象上存在关于原点对称的点,则实数m 的取值范围是( ) A ．(],1ln 2-∞-B ．[)0,1ln 2-C ．(]1ln1,1ln 2-+D ．[)1ln 2,++∞12．若函数()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,π上有且仅有3个零点和2个最小值点,则ω的取值范围为（）A ．1710,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1023,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1710,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1023,36⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题（每题5分,共4题）13.2230x x x ∃∈++≤R ,的命题的否定是___________. 14．函数tan 42y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的部分图像如图所示,则OA AB ⋅=______.。

2021年高三上学期周考(11.20)数学理试题含答案

2021年高三上学期周考（11.20）数学理试题含答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，集合，则阴影部分所示集合为（）A． B． C． D．2.已知是虚数单位，复数的共轭复数与复平面内的点对应，则复数对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3.设等比数列的前项和为，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4.当时，函数取得最小值，则函数是（）A．奇函数且图象关于直线对称 B．偶函数且图象关于点对称C.奇函数且图象关于点对称 D．偶函数且图象关于点对称5.已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为（）A． B． C. D．6.若正实数，，满足，则的最大值为（）A．2 B．3 C. 4 D．57.方程，的根存在的大致区间是（）A． B． C. D．8.若，满足且仅在点处取得最小值，则的取值范围是（）A． B． C. D．9.已知点，，在圆上，满足（其中为坐标原点），又，则向量在向量方向上的投影为（）A． B．1 C. D．10.如图，在正三棱锥中，、分别是棱、的中点，且，若，则此正三棱锥外接球的体积是（）A． B． C. D．11.利若直角坐标平面内的两不同点、满足条件：①、都在函数的图象上；②、关于原点对称。

则称点对是函数的一对“友好点对”（注：点对与看作同一对“友好点对”）。

已知函数，则此函数的“友好点对”有（）对A．0 B．1 C.2 D．312.定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则（）A．B．C. D．第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数，则的解集为．14.已知向量，的夹角为，且，，则．15.在直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，以轴为非负半轴为始边，若其终边经过点，且，定义：，称“”为“的正余弦函数”，若，则．16.若数列满足，且数列的前项和为，若实数满足对于任意都有，则的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）在中，三个内角分别为，已知，．⑴求的值；⑵若，为的中点，求的长．18. （本小题满分12分）在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，．⑴求与；⑵设数列满足，求的前项和．19. （本小题满分12分）已知斜三棱柱的底面是直角三角形，，侧棱与底面所成角为，点在底面上身影落在上．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若点恰为中点，且，求的大小；（Ⅲ）若，且当时，求二面角的大小．20. （本小题满分12分）如图，海上有、两个小岛相距，船将保持观望岛和岛所成的视角为，现从船上派下一只小艇沿方向驶至处进行作业，且．设．⑴用分别表示和，并求出的取值范围；⑵晚上小艇在处发出一道强烈的光线照射岛，岛至光线的距离为，求的最大值．21. （本小题满分12分）已知数列中，，且点在直线上．⑴求数列的通项公式；⑵若函数（，且），求函数的最小值；⑶设，表示数列的前项和，试问：是否存在关于的整式，使得对于一切不小于2的自然数恒成立？若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．22. （本小题满分12分）已知．⑴曲线在处的切线恰与直线垂直，求的值；⑵若，求的最大值；⑶若，求证：．数学试题（理科）答案一、选择题1-5:BDCAC 6-10:CBDAB 11、12：BD二、填空题13. 14. 15. 16.三、解答题17.解：⑴因为，且，，则()33324232cos cos cos cos cos sin sin 444252510C A B B B B ππππ⎛⎫=--=-=+=-⨯+⨯=- ⎪⎝⎭．2222242cos 7102710375CD BC BD BC BD B =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，所以．18.解：⑴因为，所以，得，（舍），，，…………………………6分⑵因为，所以得……………… 12分19.解：⑴∵，平面，∴，又∵，，∴………………4分⑵1111111111AB BC BC AB C AC BC BC B C B C AB C AB AC ⊥⎫⊥⎫⎪⎪⊥⇒⇒⊥⎬⎬⊂⎪⎭⎪⎭平面平面与相交， ∴四边形为菱形，又∵为中点，，∴为侧棱和底面所成的角，∴，∴，即侧棱与底面所成角………………8分⑶以为原点，为轴，为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，则()()1000003a A a B a C ⎛- ⎝，，，，，，，，平面的法向量，设平面的法向量为，由，得，，，∵二面角大小是锐二面角，∴二面角的大小是．……12分20.解：⑴在中，，，由余弦定理得，，又，所以①…………1分在中，，由余弦定理得，②………………………………3分得，得，即，……4分又，所以，即，又，即，所以…………6分⑵易知，故122sin 602ABC OABS S OA OB ==⋅⋅⋅︒=△△………………8分又，设，所以，，……………………9分又，………………………………………… 10分则在上是增函数，所以的最大值为，即的最大值为10．………………12分（利用单调性定义证明在上是增函数，同样给满分；如果直接说出在上是增函数，但未给出证明，扣2分．21.解：⑴∵点在直线上，即，且，∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列，∴，也满足，∴．⑵∵，()12311123422122n n n f n n n n n n n -++=+++++++++++…， ∴，∴是单调递增的，故的最小值是．⑶∵，∴，即，∴()()122211121,,1n n n n S n S S S S S ------=+-=+…，∴，∴()()12112n n n S S S nS n S n n -+++=-=-⋅≥…，∴．故存在关于的整式，使等式对于一切不小于2的自然数恒成立．法二：先由的情况，猜想出，再用数学归纳法证明．22. ⑴解：由，得：，则，所以，得．⑵解：令，得，即，由，得，由，得：．∴在上为增函数，在上为减函数．∴当，即时，，当，即时，，当，即时，．⑶证明：由⑵知，∵，∴，∴，得：，∴，且，得，又，，∴．j34632 8748 蝈|V37203 9153 酓33908 8474 葴28104 6DC8 淈535417 8A59 詙33184 81A0 膠24616 6028 怨33631 835F 荟38011 947B 鑻24532 5FD4 忔。

安徽省六安市毛坦厂中学2021届高三上学期周考数学理(应届)试题 Word版含答案

第1页共4页 ◎ 第2页共4页1|4x x <<3>(1,0)-(0,1)(1,)⋃+∞．已知函数()f x ==第3页共4页 ◎ 第4页共4页15．1221sin 41x x dx x -⎛⎫+-= ⎪+⎝⎭⎰__________. 16．若函数()21ln 2f x ax x x x =+-存在单调递增区间，则a 的取值范围是___.三、解答题17．设命题p ：实数x 满足22230(0)x ax a a --<>，命题q ：实数x 满足204xx -≥-．（I ）若1a =，p q ∧为真命题，求x 的取值范围；（II ）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18．如图，设()2,4A 是抛物线2:C y x =上的一点．（（）求该抛物线在点A 处的切线l 的方程；（（）求曲线C 、直线l 和x 轴所围成的图形的面积．19．已知函数y=f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )=-x 2+ax. （1）若a=-2，求函数f (x )的解析式；（2）若函数f (x )为R 上的单调减函数，①求a 的取值范围;②若对任意实数m ,f (m -1)+f (m 2+t )<0恒成立，求实数t 的取值范围.20．（13分）已知函数3211()132f x x x =-+，x ∈R . （1）求函数()f x 的极大值和极小值;（2）求函数图象经过点3(,1)2的切线的方程；（3）求函数3211()132f x x x =-+的图象与直线1y =所围成的封闭图形的面积.21．已知()()ln 1f x x a x =+-. (1)讨论()f x 的单调性；(2)当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围.22．已知函数()()221ln f x ax a x x =-+-，()22ln g x a x x=--，其中a R ∈. （1）当0a >时，求()f x 的单调区间；（2）若存在21,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式()()f x g x ≥成立，求a 的取值范围.参考答案1．C 2．B 3．B 4．D 5．B 6．B 7．B 8．D 9．C 10．B 11．A 12．B.13．2 14．3 1523π+． 16．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭17．（1）当1a =时，由2230x x --<得13x（由204xx -≥-得24x ≤<（ ∵p q ∧为真命题，∴命题,p q 均为真命题，∴13,24,x x -<<⎧⎨≤<⎩解得23x ≤<（ ∴实数x 的取值范围是[)2,3（（2）由条件得不等式22230x ax a --<的解集为(),3a a -（ ∵p ⌝是q ⌝的充分不必要条件， ∴q 是p 的充分不必要条件， ∴[)()2,4,3a a -，∴2,34,a a -<⎧⎨≥⎩解得43a ≥，∴实数a 的取值范围是4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（ 18．（Ⅰ）因为2yx ，所以2y x '=所以直线l 在A 处的斜率2|4x k y ='==则切线l 的方程为()442y x -=-即44y x =- （Ⅱ）由（Ⅰ）可知14yx =+，所以由定积分可得面积342203224121221|44404838330y S dy y y y ⎛⎫⎛=+=+-⨯=⨯+-⨯ ⎪ ⎝⎝-⎭=⎰所以曲线C 、直线l 和x 轴所围成的图形的面为23． 19．（1）当0x <时，0x ->，又因为()f x 为奇函数，所以22()()(2)2f x f x x x x x =--=---=-所以222 0(){2 0x x x f x x x x -<=--≥ （2）（当0a ≤时，对称轴02ax =≤，所以2()f x x ax =-+在[0,)+∞上单调递减，由于奇函数关于原点对称的区间上单调性相同，所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，又在(,0)-∞上()0f x >，在(0,)+∞上()0f x <，所以当a ≤0时，()f x 为R 上的单调递减函数当a>0时，()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递减，不合题意所以函数()f x 为单调函数时，a 的范围为a 0≤…（因为2(1)()0f m f m t -++<，（2(1)()f m f m t -<-+所以()f x 是奇函数，（2(1)()f m f t m -<--又因为()f x 为R 上的单调递减函数，所以21m t m ->--恒成立，所以22151()24t m m m >--+=-++恒成立，所以54t > 20．解：（1）()2f x x x '=- ，令()0f x '= ，解得x=0或x=1，令()0f x '> ，得x<0或x>1，()0f x '< ，解得0<x<1，∴函数f(x)在(),0-∞ 上单调递增，在(0,1)上单调递减，在()1,+∞ 上单调递增 ∴x=0是其极大值点，x=1是极小值点，所以f(x)的极大值为f （0）=1； f(x)的极小值为()516f = （2）设切点为P 3200011,132x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，切线斜率()2000k f x x x '==-∴曲线在P 点处的切线方程为()()3220000011132y x x x x x x ⎛⎫--+=--⎪⎝⎭ ，把点3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭代入，得()20000034129002x x x x x -+=⇒==或，所以切线方程为y=1或3148y x =-；（3）由3211301322111x y x x x y y y ⎧⎧==-+=⎧⎪⎪⇒⎨⎨⎨=⎩⎪⎪==⎩⎩或，所以所求的面积为()333243220311119(1)232126640f x dx x x dx x x ⎛⎫⎛⎫-=-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰. 21．（（）()f x 的定义域为()0,∞+,()1f x a x'=-,若0a ≤,则()0f x '>,()f x 在()0,∞+是单调递增；若0a >,则当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '>,当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时()0f x '<,所以()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增,在1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.（（）由（（）知当0a ≤时()f x 在()0,∞+无最大值,当0a >时()f x 在1x a=取得最大值,最大值为111ln 1ln 1.f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此122ln 10f a a a a ⎛⎫>-⇔+-< ⎪⎝⎭.令()ln 1g a a a =+-,则()g a 在()0,∞+是增函数,()10g =,于是,当01a <<时,()0g a <,当1a >时()0g a >,因此a 的取值范围是()0,1.22．（1）函数()y f x =的定义域为()0,∞+，()()()()222221212212ax a x ax x a f x a x x x x-++--+'=-+==. 当0a >时，令()0f x '=，可得10x a=>或2x =. ①当12a =时，即当12a =时，对任意的0x >，()0f x '≥，此时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,∞+； ②当102a <<时，即当12a >时，令()0f x '>，得10x a<<或2x >；令()0f x '<，得12x a <<.此时，函数()y f x =的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()2,+∞，单调递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； ③当12a>时，即当102a <<时，令()0f x '>，得02x <<或1x a>；令()0f x '<，得12x a <<.此时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,2和1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递减区间为12,a ⎛⎫⎪⎝⎭；（2）由题意()()f x g x ≥，可得ln 0ax x -≥，可得ln x a x ≥，其中21,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 构造函数()ln x h x x =，21,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()min a h x ≥. ()21ln x h x x -'=，令()0h x '=，得21,x e e e ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦. 当1x e e≤<时，()0h x '>；当2e x e <≤时，()0h x '<. 所以，函数()y h x =在1x e=或2x e =处取得最小值，1h e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()222h e e =，则()1h h e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()min 1h x h e e ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭，a e ∴≥-.因此，实数a 的取值范围是[),e -+∞.。

2021年高三上学期周考试题数学理word版含答案

2021年高三上学期周考试题数学理word版含答案注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间120分钟.2.请用0.5mm黑色签字笔将答案直接写在答题纸上.第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．已知集合A={x|1＜x＜3}，B={x|1＜logx＜2}，则A∩B等于（）2A．{x|0＜x＜3} B．{x|2＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|1＜x＜4} 2．设，向量且，则（）（A）（B）（C）（D）3．在中，设命题，命题是等边三角形，那么命题是命题的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件4．设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a5．已知函数f（x）=ax﹣x3在区间[1，+∞）上单调递减，则a的最大值是（）A．0B．1C．2D．36．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时f（x）的图象如图所示，则f（﹣2）=（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．27．函数y=sin（x﹣）的一条对称轴可以是直线（）．．C．D．8．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知bcosC+ccosB=2b，则=（）A．2B．C．D．19．函数y=2x﹣x2的图象大致是（）A．B．C．D．10．若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x﹣2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，6]内的零点的个数为（）A．13 B．8C．9D．10第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11．在数列{a n}中，a1＝15,3a n＋1＝3a n－2(n∈N＋)，则该数列中相邻两项的乘积是负数的为．12．设向量，，若，则______.13．已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是_________．14．设f1（x）=cosx，定义f n+1（x）为f n（x）的导数，即f n+1（x）=f′n（x）n∈N*，若△ABC 的内角A满足f1（A）+f2（A）+…+f xx（A）=，则sin2A的值是_________．15．给出下列命题：①函数y=cos（2x﹣）图象的一条对称轴是x=②在同一坐标系中，函数y=sinx与y=lgx的交点个数为3个；③将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度可得到函数y=sin2x的图象；④存在实数x，使得等式sinx+cosx=成立；其中正确的命题为_________（写出所有正确命题的序号）．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 16．（本小题满分12分）设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：曲线y=x2+（2k ﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．17．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，角α，β的始边为x轴的非负半轴，点在角α的终边上，点在角β的终边上，且(1)求(2)求P，Q的坐标并求的值18.（本小题满分12分）已知公比为q的等比数列{a n}是递减数列，且满足（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{（2n﹣1）•a n}的前n项和T n．19．在中，分别是角的对边，已知．（Ⅰ）若，求的大小；（Ⅱ）若，的面积，且，求．20．（本小题满分13分）定义在实数集上的函数f（x）=x2+x，g（x）=x3﹣2x+m．（1）求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程；（2）若f（x）≥g（x）对任意的x∈[﹣4，4]恒成立，求实数m的取值范围．21．（本小题满分14分）已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数f（x）=2sin（ωx+φ）图象上的任意两点，且角φ的终边经过点，若|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f （x ）的单调递增区间；（3）当时，不等式mf （x ）+2m ≥f （x ）恒成立，求实数m 的取值范围．高三周考数学试卷（理科）数学答案一、选择题 1-5：BBCAD 6-10：BBAAC二、填空题11. a23·a 24 12. 13. （﹣，0） 14.15．①② 三、解答题三、解答题（第16-19题，每题12分，第20题13分，第21题14分）16．析：易得p ：k ＞0，q ：或，由p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，可得p ，q 一真一假，分别可得k 的不等式组，解之可得．解答：解：∵函数y=kx+1在R 上是增函数，∴k ＞0，又∵曲线y=x 2+（2k ﹣3）x+1与x 轴交于不同的两点， ∴△=（2k ﹣3）2﹣4＞0，解得或，∵p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，∴命题p ，q 一真一假，①若p 真q 假，则，∴；②若p 假q 真，则，解得k ≤0，综上可得k 的取值范围为：（﹣∞，0]∪[，]17．解：（1）∵ ， ∴ ……………2分∴ ，∴ . ……………5分（2）由（1）得：， ∴， ∴ ……………7分∴ ，， ……………9分∴ ，，，， ……………11分sin()sin cos cos sin 10αβαβαβ∴+=+=- ……………12分 18．解：由a1a2a3=，及等比数列性质得=，解得a2=，由a1+a2+a3=得a1+a3=由以上得，∴=，即3q2﹣10q+3=0，解得q=3，或q=．∵{an}是递减数列，故q=3舍去，∴q=，由a2=，得a1=1．故数列{an}的通项公式为an=（n ∈N*）．（II ）由（I ）知（2n ﹣1）•an=，∴Tn=1+++…+①，Tn=+++…++②．①﹣②得：Tn=1++++…+﹣=1+2（+++…+）﹣=1+2•﹣=2﹣﹣， ∴Tn=3﹣．19.即化简得：……② …………………………………………………10分又因为并联立①②解得:, …………………………………………………12分20．分析：（1）求切线方程，就是求k=f ′（1），f （1），然后利用点斜式求直线方程，问题得以解决；（2）令h （x ）=g （x ）﹣f （x ），要使f （x ）≥g （x ）恒成立，即h （x ）max ≤0，转化为求最值问题．解答：解：（1）∵f （x ）=x 2+x∴f ′（x ）=2x+1，f （1）=2，∴f ′（1）=3，∴所求切线方程为y ﹣2=3（x ﹣1），即3x ﹣y ﹣1=0；（2）令h （x ）=g （x ）﹣f （x ）=x 3﹣2x+m ﹣x 2﹣x=x 3﹣3x+m ﹣x 2∴h ′（x ）=x 2﹣2x ﹣3，当﹣4＜x ＜﹣1时，h ′（x ）＞0，当﹣1＜x ＜3时，h ′（x ）＜0，当3＜x ＜4时，h ′（x ）＞0，要使f （x ）≥g （x ）恒成立，即h （x ）max ≤0，由上知h （x ）的最大值在x=﹣1或x=4取得，而h （﹣1）=，h （4）=m ﹣，∵m+，∴，即m．21．解：（1）角φ的终边经过点，∴，…（2分）∵，∴．…（3分）由|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为，得，即，∴ω=3…..（5分）∴…（6分）（2）由，可得，…（8分）∴函数f（x）的单调递增区间为k∈z…（9分）（3 ）当时，，…（11分）于是，2+f（x）＞0，∴mf（x）+2m≥f（x）等价于…（12分）由，得的最大值为…（13分）∴实数m的取值范围是．…（14分）25051 61DB 懛) \37554 92B2 銲24605 601D 思22372 5764 坤23181 5A8D 媍29155 71E3 燣PQ3 21033 5229 利26476 676C 杬。

安徽省六安市毛坦厂中学理科2021届数学周考试题及答案

第1页共4页 ◎ 第2页共4页1|4x x <<3>(1,0)-(0,1)(1,)⋃+∞．已知函数()f x ==第3页共4页◎第4页共4页参考答案1．C 2．B 3．B 4．D 5．B 6．B 7．B 8．D 9．C 10．B 11．A 12．B.13．2 14．3 1523π+． 16．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭17．（1）当1a =时，由2230x x --<得13x（由204xx -≥-得24x ≤<（ ∵p q ∧为真命题，∴命题,p q 均为真命题，∴13,24,x x -<<⎧⎨≤<⎩解得23x ≤<（ ∴实数x 的取值范围是[)2,3（（2）由条件得不等式22230x ax a --<的解集为(),3a a -（ ∵p ⌝是q ⌝的充分不必要条件， ∴q 是p 的充分不必要条件， ∴[)()2,4,3a a -，∴2,34,a a -<⎧⎨≥⎩解得43a ≥，∴实数a 的取值范围是4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（ 18．（Ⅰ）因为2yx ，所以2y x '=所以直线l 在A 处的斜率2|4x k y ='==则切线l 的方程为()442y x -=-即44y x =- （Ⅱ）由（Ⅰ）可知14yx =+，所以由定积分可得面积342203224121221|44404838330y S dy y y y ⎛⎫⎛=+=+-⨯=⨯+-⨯ ⎪ ⎝⎝-⎭=⎰所以曲线C 、直线l 和x 轴所围成的图形的面为23． 19．（1）当0x <时，0x ->，又因为()f x 为奇函数，所以22()()(2)2f x f x x x x x =--=---=-所以222 0(){2 0x x x f x x x x -<=--≥ （2）（当0a ≤时，对称轴02ax =≤，所以2()f x x ax =-+在[0,)+∞上单调递减，由于奇函数关于原点对称的区间上单调性相同，所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，又在(,0)-∞上()0f x >，在(0,)+∞上()0f x <，所以当a ≤0时，()f x 为R 上的单调递减函数当a>0时，()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递减，不合题意所以函数()f x 为单调函数时，a 的范围为a 0≤…（因为2(1)()0f m f m t -++<，（2(1)()f m f m t -<-+所以()f x 是奇函数，（2(1)()f m f t m -<--又因为()f x 为R 上的单调递减函数，所以21m t m ->--恒成立，所以22151()24t m m m >--+=-++恒成立，所以54t > 20．解：（1）()2f x x x '=- ，令()0f x '= ，解得x=0或x=1，令()0f x '> ，得x<0或x>1，()0f x '< ，解得0<x<1，∴函数f(x)在(),0-∞ 上单调递增，在(0,1)上单调递减，在()1,+∞ 上单调递增 ∴x=0是其极大值点，x=1是极小值点，所以f(x)的极大值为f （0）=1； f(x)的极小值为()516f = （2）设切点为P 3200011,132x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，切线斜率()2000k f x x x '==-∴曲线在P 点处的切线方程为()()3220000011132y x x x x x x ⎛⎫--+=--⎪⎝⎭ ，把点3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭代入，得()20000034129002x x x x x -+=⇒==或，所以切线方程为y=1或3148y x =-；（3）由3211301322111x y x x x y y y ⎧⎧==-+=⎧⎪⎪⇒⎨⎨⎨=⎩⎪⎪==⎩⎩或，所以所求的面积为()333243220311119(1)232126640f x dx x x dx x x ⎛⎫⎛⎫-=-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰. 21．（（）()f x 的定义域为()0,∞+,()1f x a x'=-,若0a ≤,则()0f x '>,()f x 在()0,∞+是单调递增；若0a >,则当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '>,当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时()0f x '<,所以()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增,在1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.（（）由（（）知当0a ≤时()f x 在()0,∞+无最大值,当0a >时()f x 在1x a=取得最大值,最大值为111ln 1ln 1.f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此122ln 10f a a a a ⎛⎫>-⇔+-< ⎪⎝⎭.令()ln 1g a a a =+-,则()g a 在()0,∞+是增函数,()10g =,于是,当01a <<时,()0g a <,当1a >时()0g a >,因此a 的取值范围是()0,1.22．（1）函数()y f x =的定义域为()0,∞+，()()()()222221212212ax a x ax x a f x a x x x x-++--+'=-+==. 当0a >时，令()0f x '=，可得10x a=>或2x =. ①当12a =时，即当12a =时，对任意的0x >，()0f x '≥，此时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,∞+； ②当102a <<时，即当12a >时，令()0f x '>，得10x a<<或2x >；令()0f x '<，得12x a <<.此时，函数()y f x =的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()2,+∞，单调递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； ③当12a>时，即当102a <<时，令()0f x '>，得02x <<或1x a>；令()0f x '<，得12x a <<.此时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,2和1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递减区间为12,a ⎛⎫⎪⎝⎭；（2）由题意()()f x g x ≥，可得ln 0ax x -≥，可得ln x a x ≥，其中21,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 构造函数()ln x h x x =，21,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()min a h x ≥. ()21ln x h x x -'=，令()0h x '=，得21,x e e e ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦. 当1x e e≤<时，()0h x '>；当2e x e <≤时，()0h x '<. 所以，函数()y h x =在1x e=或2x e =处取得最小值，1h e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()222h e e =，则()1h h e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()min 1h x h e e ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭，a e ∴≥-.因此，实数a 的取值范围是[),e -+∞.。

2021年高三上学期第一次周考数学理

2021年高三上学期第一次周考数学理一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,把正确答案填入答题卡上的相应空格内） 1．已知集合{}{}N M x x g y x N x y y M x ⋂-==>== ,)2(1,0,22为（） A ．（1，2） B ． C ． D ． 2．函数的定义域是( )A. (-)B.C. (2,+)D. [1,+) 3．函数的定义域为，则它的值域为（）A. B. C. D. 4．函数的零点个数为（）.A. 0B. 1C. 2D. 3 5．设函数，若时，有，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.6. 已知，则下列函数的图象错误．．的是（）7. 设函数是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(-∞，2)B ．(-∞，]C ．(0,2)D ．[,2) 8. 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“f (x )为[0,1]上的增函数”是“f (x )为[3,4]上的减函数”的( )A ．既不充分也不必要的条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．充要条件9．已知以为周期的函数，其中，若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（）A ． B. C. D.10．若函数在区间上恒有，则的单调递增区间是（）A. B. C. D.二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把正确答案填入答题卡上)。

11．设，则大小关系是_______________12．若是上的奇函数，则函数的图象必过定点 . 13．若函数对任意实数都有，且，则14．若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数k 的取值范围 .15．给出定义：若(其中为整数)，则叫做离实数x 最近的整数，记作，即. 在此基础上给出下列关于函数的四个命题：①函数的定义域是R ，值域是[0，]； ②函数的图像关于直线对称；③函数是周期函数，最小正周期是1； ④ 函数在上是增函数.则其中真命题是__ ．（请填写序号）D .的图象 A .的图象 B .的图象 C .的图象吉安县二中高三上第一次周考数学试卷答题卡(理)xx.9.15111. 12. 13. 14. 15. 三、解答题（本大题6小题，共75分。

2021届安徽省六安中学高三上学期开学考试数学(理)试题(解析版)

2021届安徽省六安中学高三上学期开学考试数学（理）试题一、单选题1．设集合{}|1P x x =≤，集合1|1Q x x ⎧≤=⎫⎨⎬⎩⎭，则P Q =（） A ．∅ B ．{0x x <或}1=x C ．{}|0x x <D ．{}1【答案】B 【解析】解不等式11x≤，可求出集合Q ，进而与集合P 取交集即可. 【详解】由11x ≤，可得110x -≤，即10x x -≤，所以()010x x x ≠⎧⎪⎨-≤⎪⎩，解得1≥x 或0x <，所以集合Q ={1x x ≥或}0x <，则PQ ={}|1x x ≤{1x x ≥或}0x <{0x x =<或}1=x .故选：B. 【点睛】本题考查集合的交集，考查分式不等式的解法，考查学生的计算能力，属于基础题.2．已知复数z 满足1z =-+（其中i 为虚数单位），则zz=（）A ．122-+ B ．122-- C ．122i + D ．122- 【答案】B【解析】求出z ，结合共轭复数的概念可求出zz的值. 【详解】1z =-+，2z ∴==，因此，12z z ==-. 故选：B. 【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了共轭复数，考查计算能力，属于基础题.3．设变量,x y满足约束条件220240,10x yx yx+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩则目标函数32z x y=+的最大值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】作出可行域，当目标函数32z x y=+过点5(1,)2A时，z取最大值，求出即可. 【详解】作出不等式组所对应的可行域，如下图所示，联立24010x yx-+=⎧⎨-=⎩，解得152xy=⎧⎪⎨=⎪⎩，当目标函数32z x y=+过点5(1,)2A时，z取最大值为531282⨯+⨯=.故选：D.【点睛】本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域，以及线性目标函数的最值，属于基础题. 4．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S，圆面中剩余部分的面积为2S，当1S与2S的比值为51-时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（）A．(3π- B．1)π C．1)π D．2)π【答案】A【解析】根据扇形与圆面积公式，可知面积比即为圆心角之比，再根据圆心角和的关系，求解出扇形的圆心角．【详解】1S 与2S 所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设1S 与2S 所在扇形圆心角分别为,αβ，则αβ=，又2αβπ+=，解得(3απ=- 故选:A 【点睛】本题考查圆与扇形的面积计算，难度较易．扇形的面积公式：21122S r lr α==，其中α是扇形圆心角的弧度数，l 是扇形的弧长．5．若2,a ln =125b -=，201cos 2c xdx π=⎰，则,,a b c 的大小关系（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】D【解析】利用对数函数的性质，以及微积分定理与12比较即可. 【详解】12ln ,2a ln =>=121,25b -=<== ()02111cos sin 22220c xdx x ππ=⎰=⨯=，故选：D 【点睛】本题考查实数大小的比较，考查对数函数的性质，微积分定理，考查利用中间量比较大小，属于常考题型.6．下列函数中，其图象与函数lg y x =的图象关于点()1,0对称的是（） A ．()lg 1y x =-B ．()lg 2y x =-C ．()0.1log 1y x =-D ．()0.1log 2y x =-【答案】D【解析】设(),M x y 为所求函数图象上任意一点，求得点M 关于点()1.0的对称点()2,N x y --必在函数y lgx =的图象上，代入可得选项.【详解】设(),M x y 为所求函数图象上任意一点，则由已知可得点M 关于点()1.0的对称点()2,N x y --必在函数y lgx =的图象上，所以()2y lg x -=-,即()()0.1log 22y lg x x ==---, 故选:D. 【点睛】本题考查函数关于某点对称的函数,关键在于设所求函数上的点,根据对称,可得所设关于已知点的对称点的坐标,再代入原函数的解析式中,属于基础题. 7．若a 、b 为实数，则“0＜ab ＜1”是“a ＜”或“b ＞”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】∵a 、b 为实数，0＜ab ＜1， ∴“0＜a ＜”或“0＞b ＞” ∴“0＜ab ＜1”⇒“a ＜”或“b ＞”． “a ＜”或“b ＞”不能推出“0＜ab ＜1”，所以“0＜ab ＜1”是“a ＜”或“b ＞”的充分而不必要条件．故选A ．8．函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】先判断奇偶性，可排除A 选项，计算可得()()47,8f ∈，可排除BC. 【详解】因为()3222x xx y f x -==+，[]6,6x ∈-，所以()()()33222222x x x xx x f x f x ----==-=-++，所以()f x 在[]6,6x ∈-上是奇函数，可排除选项A ，当4x =时，()()3442412847,81221616f -⨯==∈++，根据图象，可排除BC ，只有D 符合题意. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了根据函数的解析式识别函数的图象，其中解答中合理应用函数的基本性质，以及特殊点的函数值，结合选项求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 9．某市为了提高整体教学质量，在高中率先实施了市区共建“1+2”合作体，现某市直属高中学校选定了6名教师和2名中层干部去2所共建学校交流学习，若每所共建学校需要派3名教师和1名中层干部，则该市直属高中学校共有（）种选派方法 A ．160 B ．80 C ．40 D ．20【答案】C【解析】先给一所学校派3名教师和1名中层干部，则有3162C C 种选派方法，剩余的3名教师和1名中层干部直接去另一所学校，即可得到结果.【详解】先给一所学校派3名教师和1名中层干部，则有3162C C 种选派方法，剩余的3名教师和1名中层干部直接去另一所学校，只有1种方法，∴共有316240C C =种选派方法，故选：C . 【点睛】本题考查了分步计数原理与组合的应用，属于基础题.10．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()0f x f x ++=，当[2,0]x ∈-时，2()2f x x x =--，则当[4,6]x ∈时，()y f x =的最小值为（）A ．8-B ．1-C ．0D ．1【答案】B【解析】根据题意，求得函数()f x 是以4为周期的周期函数，进而利用[2,0]x ∈-时，函数()f x 的解析式和函数的奇偶性，即可求解[4,6]上的最小值，得到答案．【详解】由题意知(2)()0f x f x ++=，即(2)()f x f x +=-，则()()4[(2)2](2)f x f x f x f x +=++=-+=，所以函数()f x 是以4为周期的周期函数，又当[2,0]x ∈-时，2()2f x x x =--，且()f x 是定义在R 上的奇函数， ∴[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，∴当[4,6]x ∈时，222()(4)(4)2(4)1024(5)1f x f x x x x x x =-=---=-+=--，所以当5x =时，函数()f x 的最小值为(5)1f =-. 故选B ．【点睛】本题主要考查了函数周期性的判定及应用，以及函数的奇偶性的应用，其中解答中熟练应用函数周期性的判定方法，得出函数的周期是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()e 1xf x x =+，下列结论中：①当0x >时，()()e1xf x x -=--；②函数()f x 有3个零点； ③2x =是函数()f x 的极小值点； ④()0f x <的解集为()(),10,1-∞-；⑤12,R x x ∀∈，都有()()122f x f x -<.其中正确结论的个数为（） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个【答案】B【解析】结合函数的性质，对5个结论逐个分析，可得出答案. 【详解】对于①，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()e 1xf x x =+，则当0x >时，0x -<，则()()()[e 1]xf x f x x -=--=--+()e 1x x -=-，即①错误；对于②，当0x <时，令()()e 10xf x x =+=，得1x =-；当0x >时，令()()e10xf x x -=-=，得1x =；又()f x 是定义在R 上的奇函数，可知()00=f ，即函数()f x 有3个零点，即②正确；对于③，当0x >时，()()e 1xf x x -=-，求导得()()e 2x f x x -'=-，当()0,2x ∈时，0f x ，此时函数()f x 单调递增；当()2,x ∈+∞时，0fx，此时函数()f x 单调递减，故2x =是函数()f x 的极大值点，即③错误；对于④，当0x <时，()()e 1xf x x =+，令()0f x <，解得1x <-；当0x >时，()f x ()e1xx -=-，令()0f x <，解得01x <<，综上可得()0f x <的解集为()(),10,1-∞-，即④正确；对于⑤，当0x >时，()()e 1xf x x -=-，由③知()f x 在()0,2上单调递增，此时()()()02e01e 21f x -<<--，即()21e f x -<-<；()f x 在2,上单调递减，此时()()20e21f x -<<-，即()20e f x -<<，故0x>时，()f x的值域为(21,e-⎤-⎦，根据奇函数的性质，可知0x<时，()f x的值域为)2e,1-⎡-⎣，又()00=f，所以函数()f x的值域为()1,1-，所以1x∀，2Rx∈，都有()()122f x f x-<，即⑤正确，即真命题的个数为3.故选：B.【点睛】本题考查了函数的奇偶性、对称性、零点、极值点，考查函数单调性的应用，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.12．设定义域为R的函数()lg1,10,1x xf xx⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩，则关于x的方程()()20f x bf x c++=有7个不同实数解的充要条件是（）A．0b<且0c>B．0b>且0c<C．0b<且0c D．0b≥且0c【答案】C【解析】设()u f x=，作出函数()u f x=的图象，结合题意可知，关于u的二次方程20u bu c++=的一根为10u=，另一根为2u b=->，由此可得结果.【详解】令()u f x=，作出函数()u f x=的图象如下图所示：由于方程20u bu c++=至多两个实根，设为1u u=和2u u=，由图象可知，直线1u u=与函数()u f x=图象的交点个数可能为0、3、4，由于关于x的方程()()20f x bf x c++=有7个不同实数解，则关于u的二次方程20u bu c++=的一根为10u=，则2000b c+⨯+=，可得0c，则方程20u bu+=的另一根为2u b=-，直线2u u =与函数()u f x =图象的交点个数必为4，则0b ->，解得0b <. 因此，0b <且0c .故选：C. 【点睛】本题考查利用复合函数方程根的个数求参数的取值范围，考查数形结合思想的应用，考查计算能力，属于难题.二、填空题13．函数2()3f x ax bx b =+++是偶函数，且定义域为[1,2]a a -，则a b +=________.【答案】13【解析】由()f x 是[1,2]a a -上的偶函数，可知120a a -+=，且()()f x f x -=，进而可求出,a b ，从而可求出答案. 【详解】由题意，可知120a a -+=，解得13a =，所以21()33f x x bxb =+++是22,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的偶函数，则()()f x f x -=恒成立，即22113333x bx b x bx b ++=+++-，即20bx =恒成立，所以0b =.故11033a b +=+=. 故答案为：13.【点睛】本题考查偶函数的性质，注意奇偶函数的定义域关于原点对称，考查学生的计算求解能力，属于中档题.14．设{}n a 是等比数列，公比q 不为1.已知113a =，且123,2,3a a a 成等差数列，则数列{}n a 前5项和5S =___________. 【答案】121243【解析】由123,2,3a a a 成等差数列，可得13234a a a +=，即211134q a q a a =+，可求出13q =，进而利用等比数列的求和公式，求出5S 即可. 【详解】由题意，13234a a a +=，即211134q a q a a =+，因为10a ≠，所以2134q q +=，解得13q =或1q =（舍去），所以1113nn n a a q-⎛⎫== ⎪⎝⎭，则5511112133124313S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-.故答案为：121243. 【点睛】本题考查等差中项、等比数列的性质、等比数列前n 项和公式的运用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 15．在6(x +的展开式中，含3x 项的系数为___________. 【答案】60 【解析】先求出6(x +的展开式的通项，令x 的指数为3，进而可求出含3x 项的系数. 【详解】由题意，6(x +的展开式的通项为3662166C 2C r r r r r rr T x x --+==⋅，令3632r-=，解得2r ，所以3x 的系数为2262C 60⋅=. 故答案为：60. 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查二项展开式中指定项的系数的求法，属于基础题.16．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与圆222x y c +=在第二象限的交点是P 点，()1,0F c -是椭圆的左焦点，O 为坐标原点，O 到直线1PF 的距离是3c ，则椭圆的离心率是___________. 【答案】31-【解析】画出图形，可分别求出12,PF PF 的表达式，结合122PF PF a +=，可求出离心率. 【详解】由题意知，12PF PF ⊥，过O 作2//ON PF ，交1PF 于点N ，因为O 为12F F 的中点，所以ON 为△12PF F 的中位线，又O 到直线1PF 3，所以223PF ON c ==，所以2222112243PF F F PF c c c =-=-=，根据椭圆的定义可得，1232PF PF c c a +==，即3131c a .31. 【点睛】本题考查椭圆离心率的求法，考查椭圆及圆的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.三、解答题17．已知定义域为R 的函数，12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）2a =；1b =（2）13k <-【解析】（1）先由()00=f 求出1b =，然后由11f f求出2a =（2）由12111()22221x x xf x +-+==-+++得()f x 在R 上为减函数，然后将不等式()()22220f t t f t k -+-<化为2320t t k -->即可.【详解】（1）因为()f x 是R 上的奇函数，所以()00=f ，即102ba-+=+，解得1b =. 从而有121()2x x f x a+-+=+.又由11f f知1121241a a-+-+=-++，解得2a =. 经检验，当121()22x x f x +-+=+时，()()f x f x -=-，满足题意（2）由（1）知12111()22221x x xf x +-+==-+++，由上式易知()f x 在R 上为减函数，又因为()f x 是奇函数，从而不等式()()22220f t t f t k -+-<等价于()()()222222f t t f t k f t k -<--=-+.因为()f x 是R 上的减函数，由上式推得2222t t t k ->-+.即对一切t R ∈有2320t t k -->，从而4120k ∆=+<，解得13k <-. 【点睛】本题主要考查的是利用函数的奇偶性和单调性解不等式，较为典型. 18．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且369,60a S ==. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()1n n n b b a n ++-=∈N 且13b =，求1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】（1）23n a n =+；（2）()()31121242n T n n =--++ 【解析】（1）根据等差数列的求和公式及通项公式，列出方程组，求出首项与公差，再代入等差数列通项公式可得出结果；（2）根据累加法得()2n b n n =+，进而利用裂项相消求和法可得出答案. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得，316129656602a a d dS a =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得152a d =⎧⎨=⎩，所以()21253n n n a +-=+=.（2）由（1）知123n n n b b a n +-==+，则2n ≥时，()()()121321n n n b b b b b b b b -=+-+-+⋅⋅⋅+-()135721(24)(2)2n n n n n =+++⋅⋅⋅++=+=+，又13b =符合上式，∴()2n b n n =+()n +∈N ，故()11111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，则前n 项和11111111111...232435112n T n n n n ⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪-++⎝⎭()()31142122n n =--++. 【点睛】本题考查等差数列求和公式与通项公式，考查利用裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.19．定义在R 上的函数()y f x =，对于任意实数,m n ，恒有()()()f m n f m f n +=⋅，且当0x >时，0()1<<f x . （1）求(0)f 的值；（2）求当0x <时，()f x 的取值范围；（3）判断()f x 在R 上的单调性，并证明你的结论. 【答案】（1）1；（2）()1,+∞；（3）单调递减，证明见解析【解析】（1）令0m =，0n >，可得出()(0)()f n f f n =⋅，结合0n >时，0()1f n <<，可求出(0)f ；（2）由()0()()()f f x x f x f x =-+=-⋅，当0x <时，0x ->，从而可得出()()1f x f x -=，结合题中条件：当0x >时，0()1<<f x ，可求出答案；（3）()f x 在R 上单调递减，利用定义法证明，任取12,R x x ∈，且12x x <，可得出()1212221()()()x x x f x f f x x f x ==-⋅-+，即()1122()()f x f x x f x =-，结合（2）中结论，可推出()121()f x f x >，进而可得出()12()f x f x >，即可证明结论成立. 【详解】（1）令0m =，0n >，则()(0)(0)()f n f n f f n =+=⋅，因为0n >时，0()1f n <<，所以(0)1f =.（2）设0x <，则0x ->，则()0()()()1f f x x f x f x =-+=-⋅=，即()()1f x f x -=，因为0x ->时，()01f x <-<，所以()101f x <<，所以()()1,f x ∈+∞.（3）()f x 在R 上单调递减. 证明：任取12,R x x ∈，且12x x <，由1122x x x x =-+，可得()1212221()()()x x x f x f f x x f x ==-⋅-+，即()1122()()f x f x x f x =-，因为12x x <，即120x x -<，所以()12()1,f x x -∈+∞，即()121()f x f x >，由（2）知，()0f x >，所以()12()f x f x >，所以()f x 在R 上单调递减. 【点睛】本题考查函数的单调性，考查抽象函数的性质，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题.20．如图，在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin cos a c B B =+.（1）求ACB ∠的大小；（2）若∠=∠ACB ABC ，点A 、D 在BC 的异侧，2DB =，1DC =，求平面四边形ABDC 面积的最大值. 【答案】（1）4π；（2）524【解析】（1）由正弦定理将()sin cos a c B B =+化为()sin sin sin cos A C B B =+，再由两角和的正弦公式化简，即可求出结果；（2）先由余弦定理求出BC 的长，将平面四边形ABDC 的面积转化为两三角形ABC ∆与BCD ∆面积之和，即可求解. 【详解】（1）因为()sin cos a c B B =+，且sin sin a cA C=，所以()sin sin sin cos A C B B =+，在ABC ∆中，()sin sin A B C =+,所以()()sin sin sin cos B C C B B +=+,所以sin cos cos sin sin sin sin cos B C B C C B C B +=+，所以sin cos sin sin B C C B = 因为在ABC ∆中，sin 0B ≠，所以cos sin C C = 因为C 是ABC ∆的内角所以4Cπ.（2）在BCD ∆中，2222cos BC BD CD BD CD D =+-⋅⋅54cos D =-，因为ABC ∆是等腰直角三角形，所以22115cos 244ABC S AB BC D ∆===-， 1sin sin 2BCD S BD CD D D ∆=⋅⋅=，所以平面四边形ABDC 的面积5cos sin 4BC BC D A S S D D S ∆∆=+=-+544D π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 因为0D π<<，所以3444D πππ-<-<所以当34D π=时，sin 14D π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，此时平面四边形ABDC的面积有最大值54+【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的综合应用，三角形面积公式的应用及面积范围的求法，属于中档题.21．已知函数2()(21)ln f x x a x a x =-++．（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调增区间；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[1,]e 上的最小值．【答案】（Ⅰ）(0，12)，(1，＋∞) （Ⅱ）min 221[()]{(ln 1)1(21)a a f x a a a a e e a e a a e-≤=--<<-++≥ 【解析】（Ⅰ）利用导数，列表分析即可确定()f x 的单调增区间；（Ⅱ）()0f x x a =⇒='或12x =，所以分成1a ≤、1a e <<、a e ≥三种情况，利用导数，列表分析每一种情况下()f x 的最小值即可. 【详解】（Ⅰ）当1a =时，2()3ln f x x x a x =-+，定义域为(0,)+∞．21231(21)(1)()23-+--'=-+==x x x x f x x x x x．令()0f x '=，得1x =或12x =．列表如下所以函数()f x 的单调增区间为1(0,)2和(1,)+∞．（Ⅱ）22(21)(21)()()2(21)a x a x a x x a f x x a x x x-++--=-++=='．令()0f x '=，得x a =或12x =．当1a ≤时，不论12a <还是112a <≤，在区间[1,]e 上，()f x 均为增函数．所以min [()](1)2f x f a ==-；当1a e <<时，所以min [()]()(ln 1)f x f a a a a ==--；当a e ≥时，所以min[()]()f x f e ==2(21)e a e a -++．综上，min221[()]{(ln 1)1(21)a a f x a a a a e e a e a a e-≤=--<<-++≥．. 22．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过点(2P ，. （1）求椭圆E 的方程；（2）过点P 斜率为12,k k 的两条直线分别交椭圆E 于,A B 两点，且满足12+=0k k .证明：直线AB 的斜率为定值.【答案】（1）22184x y +=；（2）见解析【解析】（1）由离心率c e a ==2212b a =，结合点(P 在椭圆上，可得222212241b a a b ⎧+=⎪⎪⎨=⎪⎪⎩，进而求出22,a b ，可得到椭圆方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，可得AP 的方程为()12y k x =-立，得到关于x的一元二次方程，结合韦达定理，可得2111218221k x k -+=+，从而得到2111214221k x k --=+，同理并结合12+=0k k，可得到2112214221k x k +-=+，进而由()()221121212122AB k x k x y y k x x x x ----==--，代入计算，可求出定值. 【详解】（1）由题意，离心率2c e a ===，解得2212b a =，又点(P 在椭圆上，所以22421a b +=，由222212241b a a b ⎧+=⎪⎪⎨=⎪⎪⎩，解得228,4a b ==，所以椭圆E 的方程为22184x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，AP 的方程为()12y k x =-联立()2121824y k x x y +=⎧=-+⎪⎨⎪⎩，消去y 得()()222211111218840kx k x k +--+--=，则2111218221k x k -+=+，即2211111221184222121k k x k k ---=-=++，同理可得22x =，因为12+=0k k，所以2112214221k x k +-=+，则()()221121212122ABk x k x y y k x x x x ----==--()()()121111212121224k x k x k x x k x x x x -----++==--221111112211424242121k k k k k k ⎛⎫--+--++ ⎪++==21221121218448442121k k k k k k k k --⋅+-⋅-++==+2==.所以直线AB 的斜率为定值2. 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的综合应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于难题.。

2021年高三上学期第三次周考(理)数学试题含答案

2021年高三上学期第三次周考（理）数学试题含答案一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合，集合，则等于（）A． B． C． D．2.已知复数（为虚数单位），则等于（）A． B． C． D．3.设是等差数列，若，则等于（）A．6 B．8 C．9 D．164.某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编辑为（）A．2 B．3 C．3 D．55．已知向量，且与共线，那么的值为（）A．1 B．2 C．3 D．47．执行如图所示的程序框图，输出的值为( )A．3 B．-6 C．10 D．128．已知为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，的最大值是（）A．6 B．0 C．2 D．9．函数的图象大致是（）A．B．C．D．10．如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球，这两个球相外切，且球与正方体共顶点的三个面相切，球与正方体共顶点的三个面相切，则两球在正方体的面上的正投影是（）A． B．C．D．11．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，直线分别与抛物线交于点，设直线的斜率分别为，则等于（）A． B． C．1 D．212．设函数在上存在导数，，有，在上，若，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4 小题，每小题5分）13.设常数，若的二项展开式中项的系数为-10，则________．14.某次测量发现一组数据具有较强的相关性，并计算得，其中数据，因书写不清，只记得是内的任意一个值，则该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率为________．（残差=真实值-预测值）．15.数列的通项为，前项和为，则________．16.设为的导函数，是的导函数，如果同时满足下列条件：①存在，使；②存在，使在区间单调递增，在区间单调递减，则称为的“上趋拐点”；如果同时满足下列条件：①存在，使；②存在，使在区间单调递减，在区间单调递增．则称为的“下趋拐点”．给出以下命题，其中正确的是_______．（只写出正确结论的序号）①0为的“下趋拐点”；②在定义域内存在“上趋拐点”；③在上存在“下趋拐点”，则的取值范围为；④是的“下趋拐点”，则的必要条件是．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.分）17.（本小题满分12分）已知向量,若函数，（1）求时，函数的值域；（2）在中，分别是角的对边，若，且，求边上中线长的最大值．18.在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分，现从这个盒子中，有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为，设为坐标原点，点的坐标为，记．（1）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；（2）求随机变量的分布列和数学期望．19.如图，在直角梯形中，平面，．（1）求证：平面；（2）在直线上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．20.已知两点,动点与两点连线的斜率满足．（1）求动点的轨迹的方程；（2）是曲线与轴正半轴的交点，曲线上是否存在两点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．21.已知函数，；（取为2.8，取为0.7，取），（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）若直线是函数图象的切线，求的最小值；（3）当时，若与的图象有两个交点，求证：．22.已知曲线的参数方程为，曲线的极坐标方程为，（1）将曲线的参数方程化为普通方程；（2）曲线与曲线有无公共点？试说明理由．23.（本小题满分10分）已知，（1）关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）设，且，求证：．参考答案1～12． BAAB DCCA ABBA13． 14． 15．200 16．①③④17．试题解析：（1），值域；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分18．试题分析：（1）∵可能的取值为1、2、3，∴，（2）的所有取值为0，1，2，5．∵时，只有这一种情况，时，有1,12,12,33,3x y x y x y x y ========或或或四种情况，时，有两种情况．∴142(0),(1),(2),999P P P ξξξ====== ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分则随机变量的分布列为：1 12 5因此，数学期望，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：1、古典概型；2、随机变量的分布列及期望．19．解：（1）如图，作，连接交于，连接，∵且，∴，即点在平面内．由平面，知．∴四边形为正方形，四边形为平行四边形，∴为的中点，为的中点．∴，∵平面，平面，∴平面．（2）法一：如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系．则，设，∴，设平面的一个法向量为，则，令，得，∴．又∵平面，∴为平面的一个法向量， ∴2023cos ,cos 621(2)14n AE y π===⨯-++，解得， ∴在直线上存在点，且，即二面角的余弦值是．考点：线面垂直、二面角20.试题解析：（1）设点的坐标为，则，依题意，所以，化简得，所以动点的轨迹的方程为．注：如果未说明（或注），扣1分．（2）设能构成等腰直角，其中为，由题意可知，直角边不可能垂直或平行于轴，故可设所在直线的方程为，（不妨设），则所在直线的方程为联立方程，消去整理得，解得，将代入可得，故点的坐标为．所以2814HM k==+，同理可得，由，得，所以，整理得，解得或，当斜率时，斜率-1；当斜率时，斜率；当斜率时，斜率，综上所述，符合条件的三角形有3个．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：圆锥曲线的综合应用．21．解析：（1）由，得；∵在上递增，∴对，都有，（求出导数给1分）即对，都有，∵，∴；故实数的取值范围是．（2）设切点，则切线方程为：，即00220000011111()()(ln )y x x x x x x x x =+-++-，亦即，令，由题意得202000112,ln 1ln 21a t t b x t t x x x =+=+=--=---；令，则．当时，在上递减；当时在上递增，∴，故的最小值为-1．（3）由题意知：，，两式相加得：，两式相减得：，即， ∴21211212122112ln1ln ()()x x x x x x x x x x x x x x +-=++-，即，不妨令，记，令，则．∴在上递增，则，∴，则，∴，又1212121212122()ln ln lnx xx x x x x xx x+-<-==∴，即，令，则时，，∴在上单调递增，又1ln210.8512e=+-=<，∴1lnG=>>∴，即．22．试题解析：解：（1），，（2）消得，，所以无公共点考点：参数方程化为普通方程，直线与抛物线位置关系23．（1），（2）∵，∴只需证明：，成立即可；，333422m n m n≤---=--=，∴，故要证明的不等式成立．32676 7FA4 群K32845 804D 聍G24277 5ED5 廕33291 820B 舋 39542 9A76 驶31505 7B11 笑930081 7581 疁._H。

2021届安徽省六安中学高三上学期开学考试数学(理)试题(解析版)

2021届安徽省六安中学高三上学期开学考试数学（理）试题一、单选题1．设集合{}|1P x x =≤，集合1|1Q x x ⎧≤=⎫⎨⎬⎩⎭，则P Q =（） A ．∅ B ．{0x x <或}1=x C ．{}|0x x <D ．{}1【答案】B 【解析】解不等式11x≤，可求出集合Q ，进而与集合P 取交集即可. 【详解】由11x ≤，可得110x -≤，即10x x -≤，所以()010x x x ≠⎧⎪⎨-≤⎪⎩，解得1≥x 或0x <，所以集合Q ={1x x ≥或}0x <，则PQ ={}|1x x ≤{1x x ≥或}0x <{0x x =<或}1=x .故选：B. 【点睛】本题考查集合的交集，考查分式不等式的解法，考查学生的计算能力，属于基础题.2．已知复数z 满足1z =-+（其中i 为虚数单位），则zz=（）A ．122-+ B ．122-- C ．122i + D ．122- 【答案】B【解析】求出z ，结合共轭复数的概念可求出zz的值. 【详解】1z =-+，2z ∴==，因此，12z z ==-. 故选：B. 【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了共轭复数，考查计算能力，属于基础题.3．设变量,x y满足约束条件220240,10x yx yx+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩则目标函数32z x y=+的最大值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】作出可行域，当目标函数32z x y=+过点5(1,)2A时，z取最大值，求出即可. 【详解】作出不等式组所对应的可行域，如下图所示，联立24010x yx-+=⎧⎨-=⎩，解得152xy=⎧⎪⎨=⎪⎩，当目标函数32z x y=+过点5(1,)2A时，z取最大值为531282⨯+⨯=.故选：D.【点睛】本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域，以及线性目标函数的最值，属于基础题. 4．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S，圆面中剩余部分的面积为2S，当1S与2S的比值为51-时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（）A．(3π- B．1)π C．1)π D．2)π【答案】A【解析】根据扇形与圆面积公式，可知面积比即为圆心角之比，再根据圆心角和的关系，求解出扇形的圆心角．【详解】1S 与2S 所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设1S 与2S 所在扇形圆心角分别为,αβ，则αβ=，又2αβπ+=，解得(3απ=- 故选:A 【点睛】本题考查圆与扇形的面积计算，难度较易．扇形的面积公式：21122S r lr α==，其中α是扇形圆心角的弧度数，l 是扇形的弧长．5．若2,a ln =125b -=，201cos 2c xdx π=⎰，则,,a b c 的大小关系（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】D【解析】利用对数函数的性质，以及微积分定理与12比较即可. 【详解】12ln ,2a ln =>=121,25b -=<== ()02111cos sin 22220c xdx x ππ=⎰=⨯=，故选：D 【点睛】本题考查实数大小的比较，考查对数函数的性质，微积分定理，考查利用中间量比较大小，属于常考题型.6．下列函数中，其图象与函数lg y x =的图象关于点()1,0对称的是（） A ．()lg 1y x =-B ．()lg 2y x =-C ．()0.1log 1y x =-D ．()0.1log 2y x =-【答案】D【解析】设(),M x y 为所求函数图象上任意一点，求得点M 关于点()1.0的对称点()2,N x y --必在函数y lgx =的图象上，代入可得选项.【详解】设(),M x y 为所求函数图象上任意一点，则由已知可得点M 关于点()1.0的对称点()2,N x y --必在函数y lgx =的图象上，所以()2y lg x -=-,即()()0.1log 22y lg x x ==---, 故选:D. 【点睛】本题考查函数关于某点对称的函数,关键在于设所求函数上的点,根据对称,可得所设关于已知点的对称点的坐标,再代入原函数的解析式中,属于基础题. 7．若a 、b 为实数，则“0＜ab ＜1”是“a ＜”或“b ＞”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】∵a 、b 为实数，0＜ab ＜1， ∴“0＜a ＜”或“0＞b ＞” ∴“0＜ab ＜1”⇒“a ＜”或“b ＞”． “a ＜”或“b ＞”不能推出“0＜ab ＜1”，所以“0＜ab ＜1”是“a ＜”或“b ＞”的充分而不必要条件．故选A ．8．函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】先判断奇偶性，可排除A 选项，计算可得()()47,8f ∈，可排除BC. 【详解】因为()3222x xx y f x -==+，[]6,6x ∈-，所以()()()33222222x x x xx x f x f x ----==-=-++，所以()f x 在[]6,6x ∈-上是奇函数，可排除选项A ，当4x =时，()()3442412847,81221616f -⨯==∈++，根据图象，可排除BC ，只有D 符合题意. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了根据函数的解析式识别函数的图象，其中解答中合理应用函数的基本性质，以及特殊点的函数值，结合选项求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 9．某市为了提高整体教学质量，在高中率先实施了市区共建“1+2”合作体，现某市直属高中学校选定了6名教师和2名中层干部去2所共建学校交流学习，若每所共建学校需要派3名教师和1名中层干部，则该市直属高中学校共有（）种选派方法 A ．160 B ．80 C ．40 D ．20【答案】C【解析】先给一所学校派3名教师和1名中层干部，则有3162C C 种选派方法，剩余的3名教师和1名中层干部直接去另一所学校，即可得到结果.【详解】先给一所学校派3名教师和1名中层干部，则有3162C C 种选派方法，剩余的3名教师和1名中层干部直接去另一所学校，只有1种方法，∴共有316240C C =种选派方法，故选：C . 【点睛】本题考查了分步计数原理与组合的应用，属于基础题.10．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()0f x f x ++=，当[2,0]x ∈-时，2()2f x x x =--，则当[4,6]x ∈时，()y f x =的最小值为（）A ．8-B ．1-C ．0D ．1【答案】B【解析】根据题意，求得函数()f x 是以4为周期的周期函数，进而利用[2,0]x ∈-时，函数()f x 的解析式和函数的奇偶性，即可求解[4,6]上的最小值，得到答案．【详解】由题意知(2)()0f x f x ++=，即(2)()f x f x +=-，则()()4[(2)2](2)f x f x f x f x +=++=-+=，所以函数()f x 是以4为周期的周期函数，又当[2,0]x ∈-时，2()2f x x x =--，且()f x 是定义在R 上的奇函数， ∴[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，∴当[4,6]x ∈时，222()(4)(4)2(4)1024(5)1f x f x x x x x x =-=---=-+=--，所以当5x =时，函数()f x 的最小值为(5)1f =-. 故选B ．【点睛】本题主要考查了函数周期性的判定及应用，以及函数的奇偶性的应用，其中解答中熟练应用函数周期性的判定方法，得出函数的周期是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()e 1xf x x =+，下列结论中：①当0x >时，()()e1xf x x -=--；②函数()f x 有3个零点； ③2x =是函数()f x 的极小值点； ④()0f x <的解集为()(),10,1-∞-；⑤12,R x x ∀∈，都有()()122f x f x -<.其中正确结论的个数为（） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个【答案】B【解析】结合函数的性质，对5个结论逐个分析，可得出答案. 【详解】对于①，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()e 1xf x x =+，则当0x >时，0x -<，则()()()[e 1]xf x f x x -=--=--+()e 1x x -=-，即①错误；对于②，当0x <时，令()()e 10xf x x =+=，得1x =-；当0x >时，令()()e10xf x x -=-=，得1x =；又()f x 是定义在R 上的奇函数，可知()00=f ，即函数()f x 有3个零点，即②正确；对于③，当0x >时，()()e 1xf x x -=-，求导得()()e 2x f x x -'=-，当()0,2x ∈时，0f x ，此时函数()f x 单调递增；当()2,x ∈+∞时，0fx，此时函数()f x 单调递减，故2x =是函数()f x 的极大值点，即③错误；对于④，当0x <时，()()e 1xf x x =+，令()0f x <，解得1x <-；当0x >时，()f x ()e1xx -=-，令()0f x <，解得01x <<，综上可得()0f x <的解集为()(),10,1-∞-，即④正确；对于⑤，当0x >时，()()e 1xf x x -=-，由③知()f x 在()0,2上单调递增，此时()()()02e01e 21f x -<<--，即()21e f x -<-<；()f x 在2,上单调递减，此时()()20e21f x -<<-，即()20e f x -<<，故0x>时，()f x的值域为(21,e-⎤-⎦，根据奇函数的性质，可知0x<时，()f x的值域为)2e,1-⎡-⎣，又()00=f，所以函数()f x的值域为()1,1-，所以1x∀，2Rx∈，都有()()122f x f x-<，即⑤正确，即真命题的个数为3.故选：B.【点睛】本题考查了函数的奇偶性、对称性、零点、极值点，考查函数单调性的应用，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.12．设定义域为R的函数()lg1,10,1x xf xx⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩，则关于x的方程()()20f x bf x c++=有7个不同实数解的充要条件是（）A．0b<且0c>B．0b>且0c<C．0b<且0c D．0b≥且0c【答案】C【解析】设()u f x=，作出函数()u f x=的图象，结合题意可知，关于u的二次方程20u bu c++=的一根为10u=，另一根为2u b=->，由此可得结果.【详解】令()u f x=，作出函数()u f x=的图象如下图所示：由于方程20u bu c++=至多两个实根，设为1u u=和2u u=，由图象可知，直线1u u=与函数()u f x=图象的交点个数可能为0、3、4，由于关于x的方程()()20f x bf x c++=有7个不同实数解，则关于u的二次方程20u bu c++=的一根为10u=，则2000b c+⨯+=，可得0c，则方程20u bu+=的另一根为2u b=-，直线2u u =与函数()u f x =图象的交点个数必为4，则0b ->，解得0b <. 因此，0b <且0c .故选：C. 【点睛】本题考查利用复合函数方程根的个数求参数的取值范围，考查数形结合思想的应用，考查计算能力，属于难题.二、填空题13．函数2()3f x ax bx b =+++是偶函数，且定义域为[1,2]a a -，则a b +=________.【答案】13【解析】由()f x 是[1,2]a a -上的偶函数，可知120a a -+=，且()()f x f x -=，进而可求出,a b ，从而可求出答案. 【详解】由题意，可知120a a -+=，解得13a =，所以21()33f x x bxb =+++是22,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的偶函数，则()()f x f x -=恒成立，即22113333x bx b x bx b ++=+++-，即20bx =恒成立，所以0b =.故11033a b +=+=. 故答案为：13.【点睛】本题考查偶函数的性质，注意奇偶函数的定义域关于原点对称，考查学生的计算求解能力，属于中档题.14．设{}n a 是等比数列，公比q 不为1.已知113a =，且123,2,3a a a 成等差数列，则数列{}n a 前5项和5S =___________. 【答案】121243【解析】由123,2,3a a a 成等差数列，可得13234a a a +=，即211134q a q a a =+，可求出13q =，进而利用等比数列的求和公式，求出5S 即可. 【详解】由题意，13234a a a +=，即211134q a q a a =+，因为10a ≠，所以2134q q +=，解得13q =或1q =（舍去），所以1113nn n a a q-⎛⎫== ⎪⎝⎭，则5511112133124313S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-.故答案为：121243. 【点睛】本题考查等差中项、等比数列的性质、等比数列前n 项和公式的运用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 15．在6(x +的展开式中，含3x 项的系数为___________. 【答案】60 【解析】先求出6(x +的展开式的通项，令x 的指数为3，进而可求出含3x 项的系数. 【详解】由题意，6(x +的展开式的通项为3662166C 2C r r r r r rr T x x --+==⋅，令3632r-=，解得2r ，所以3x 的系数为2262C 60⋅=. 故答案为：60. 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查二项展开式中指定项的系数的求法，属于基础题.16．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与圆222x y c +=在第二象限的交点是P 点，()1,0F c -是椭圆的左焦点，O 为坐标原点，O 到直线1PF 的距离是3c ，则椭圆的离心率是___________. 【答案】31-【解析】画出图形，可分别求出12,PF PF 的表达式，结合122PF PF a +=，可求出离心率. 【详解】由题意知，12PF PF ⊥，过O 作2//ON PF ，交1PF 于点N ，因为O 为12F F 的中点，所以ON 为△12PF F 的中位线，又O 到直线1PF 3，所以223PF ON c ==，所以2222112243PF F F PF c c c =-=-=，根据椭圆的定义可得，1232PF PF c c a +==，即3131c a .31. 【点睛】本题考查椭圆离心率的求法，考查椭圆及圆的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.三、解答题17．已知定义域为R 的函数，12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）2a =；1b =（2）13k <-【解析】（1）先由()00=f 求出1b =，然后由11f f求出2a =（2）由12111()22221x x xf x +-+==-+++得()f x 在R 上为减函数，然后将不等式()()22220f t t f t k -+-<化为2320t t k -->即可.【详解】（1）因为()f x 是R 上的奇函数，所以()00=f ，即102ba-+=+，解得1b =. 从而有121()2x x f x a+-+=+.又由11f f知1121241a a-+-+=-++，解得2a =. 经检验，当121()22x x f x +-+=+时，()()f x f x -=-，满足题意（2）由（1）知12111()22221x x xf x +-+==-+++，由上式易知()f x 在R 上为减函数，又因为()f x 是奇函数，从而不等式()()22220f t t f t k -+-<等价于()()()222222f t t f t k f t k -<--=-+.因为()f x 是R 上的减函数，由上式推得2222t t t k ->-+.即对一切t R ∈有2320t t k -->，从而4120k ∆=+<，解得13k <-. 【点睛】本题主要考查的是利用函数的奇偶性和单调性解不等式，较为典型. 18．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且369,60a S ==. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()1n n n b b a n ++-=∈N 且13b =，求1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】（1）23n a n =+；（2）()()31121242n T n n =--++ 【解析】（1）根据等差数列的求和公式及通项公式，列出方程组，求出首项与公差，再代入等差数列通项公式可得出结果；（2）根据累加法得()2n b n n =+，进而利用裂项相消求和法可得出答案. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得，316129656602a a d dS a =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得152a d =⎧⎨=⎩，所以()21253n n n a +-=+=.（2）由（1）知123n n n b b a n +-==+，则2n ≥时，()()()121321n n n b b b b b b b b -=+-+-+⋅⋅⋅+-()135721(24)(2)2n n n n n =+++⋅⋅⋅++=+=+，又13b =符合上式，∴()2n b n n =+()n +∈N ，故()11111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，则前n 项和11111111111...232435112n T n n n n ⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪-++⎝⎭()()31142122n n =--++. 【点睛】本题考查等差数列求和公式与通项公式，考查利用裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.19．定义在R 上的函数()y f x =，对于任意实数,m n ，恒有()()()f m n f m f n +=⋅，且当0x >时，0()1<<f x . （1）求(0)f 的值；（2）求当0x <时，()f x 的取值范围；（3）判断()f x 在R 上的单调性，并证明你的结论. 【答案】（1）1；（2）()1,+∞；（3）单调递减，证明见解析【解析】（1）令0m =，0n >，可得出()(0)()f n f f n =⋅，结合0n >时，0()1f n <<，可求出(0)f ；（2）由()0()()()f f x x f x f x =-+=-⋅，当0x <时，0x ->，从而可得出()()1f x f x -=，结合题中条件：当0x >时，0()1<<f x ，可求出答案；（3）()f x 在R 上单调递减，利用定义法证明，任取12,R x x ∈，且12x x <，可得出()1212221()()()x x x f x f f x x f x ==-⋅-+，即()1122()()f x f x x f x =-，结合（2）中结论，可推出()121()f x f x >，进而可得出()12()f x f x >，即可证明结论成立. 【详解】（1）令0m =，0n >，则()(0)(0)()f n f n f f n =+=⋅，因为0n >时，0()1f n <<，所以(0)1f =.（2）设0x <，则0x ->，则()0()()()1f f x x f x f x =-+=-⋅=，即()()1f x f x -=，因为0x ->时，()01f x <-<，所以()101f x <<，所以()()1,f x ∈+∞.（3）()f x 在R 上单调递减. 证明：任取12,R x x ∈，且12x x <，由1122x x x x =-+，可得()1212221()()()x x x f x f f x x f x ==-⋅-+，即()1122()()f x f x x f x =-，因为12x x <，即120x x -<，所以()12()1,f x x -∈+∞，即()121()f x f x >，由（2）知，()0f x >，所以()12()f x f x >，所以()f x 在R 上单调递减. 【点睛】本题考查函数的单调性，考查抽象函数的性质，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题.20．如图，在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin cos a c B B =+.（1）求ACB ∠的大小；（2）若∠=∠ACB ABC ，点A 、D 在BC 的异侧，2DB =，1DC =，求平面四边形ABDC 面积的最大值. 【答案】（1）4π；（2）524【解析】（1）由正弦定理将()sin cos a c B B =+化为()sin sin sin cos A C B B =+，再由两角和的正弦公式化简，即可求出结果；（2）先由余弦定理求出BC 的长，将平面四边形ABDC 的面积转化为两三角形ABC ∆与BCD ∆面积之和，即可求解. 【详解】（1）因为()sin cos a c B B =+，且sin sin a cA C=，所以()sin sin sin cos A C B B =+，在ABC ∆中，()sin sin A B C =+,所以()()sin sin sin cos B C C B B +=+,所以sin cos cos sin sin sin sin cos B C B C C B C B +=+，所以sin cos sin sin B C C B = 因为在ABC ∆中，sin 0B ≠，所以cos sin C C = 因为C 是ABC ∆的内角所以4Cπ.（2）在BCD ∆中，2222cos BC BD CD BD CD D =+-⋅⋅54cos D =-，因为ABC ∆是等腰直角三角形，所以22115cos 244ABC S AB BC D ∆===-， 1sin sin 2BCD S BD CD D D ∆=⋅⋅=，所以平面四边形ABDC 的面积5cos sin 4BC BC D A S S D D S ∆∆=+=-+544D π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 因为0D π<<，所以3444D πππ-<-<所以当34D π=时，sin 14D π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，此时平面四边形ABDC的面积有最大值54+【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的综合应用，三角形面积公式的应用及面积范围的求法，属于中档题.21．已知函数2()(21)ln f x x a x a x =-++．（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调增区间；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[1,]e 上的最小值．【答案】（Ⅰ）(0，12)，(1，＋∞) （Ⅱ）min 221[()]{(ln 1)1(21)a a f x a a a a e e a e a a e-≤=--<<-++≥ 【解析】（Ⅰ）利用导数，列表分析即可确定()f x 的单调增区间；（Ⅱ）()0f x x a =⇒='或12x =，所以分成1a ≤、1a e <<、a e ≥三种情况，利用导数，列表分析每一种情况下()f x 的最小值即可. 【详解】（Ⅰ）当1a =时，2()3ln f x x x a x =-+，定义域为(0,)+∞．21231(21)(1)()23-+--'=-+==x x x x f x x x x x．令()0f x '=，得1x =或12x =．列表如下所以函数()f x 的单调增区间为1(0,)2和(1,)+∞．（Ⅱ）22(21)(21)()()2(21)a x a x a x x a f x x a x x x-++--=-++=='．令()0f x '=，得x a =或12x =．当1a ≤时，不论12a <还是112a <≤，在区间[1,]e 上，()f x 均为增函数．所以min [()](1)2f x f a ==-；当1a e <<时，所以min [()]()(ln 1)f x f a a a a ==--；当a e ≥时，所以min[()]()f x f e ==2(21)e a e a -++．综上，min221[()]{(ln 1)1(21)a a f x a a a a e e a e a a e-≤=--<<-++≥．. 22．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过点(2P ，. （1）求椭圆E 的方程；（2）过点P 斜率为12,k k 的两条直线分别交椭圆E 于,A B 两点，且满足12+=0k k .证明：直线AB 的斜率为定值.【答案】（1）22184x y +=；（2）见解析【解析】（1）由离心率c e a ==2212b a =，结合点(P 在椭圆上，可得222212241b a a b ⎧+=⎪⎪⎨=⎪⎪⎩，进而求出22,a b ，可得到椭圆方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，可得AP 的方程为()12y k x =-立，得到关于x的一元二次方程，结合韦达定理，可得2111218221k x k -+=+，从而得到2111214221k x k --=+，同理并结合12+=0k k，可得到2112214221k x k +-=+，进而由()()221121212122AB k x k x y y k x x x x ----==--，代入计算，可求出定值. 【详解】（1）由题意，离心率2c e a ===，解得2212b a =，又点(P 在椭圆上，所以22421a b +=，由222212241b a a b ⎧+=⎪⎪⎨=⎪⎪⎩，解得228,4a b ==，所以椭圆E 的方程为22184x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，AP 的方程为()12y k x =-联立()2121824y k x x y +=⎧=-+⎪⎨⎪⎩，消去y 得()()222211111218840kx k x k +--+--=，则2111218221k x k -+=+，即2211111221184222121k k x k k ---=-=++，同理可得22x =，因为12+=0k k，所以2112214221k x k +-=+，则()()221121212122ABk x k x y y k x x x x ----==--()()()121111212121224k x k x k x x k x x x x -----++==--221111112211424242121k k k k k k ⎛⎫--+--++ ⎪++==21221121218448442121k k k k k k k k --⋅+-⋅-++==+2==.所以直线AB 的斜率为定值2. 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的综合应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于难题.。

安徽省六安市示范高中2021-2022学年高三上学期教学质量检测理科数学试题(1)

一、单选题二、多选题 1. （）A．B ．1C．D．2.在平行四边形中，，，，为平行四边形内一点，，若（），则的最大值为A ．1B．C．D．3. 已知，，，则的大小关系为（）A．B．C．D．4.在等比数列中，，，则（）A ．9或B ．9C ．18或D ．185.若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．6. 长方体，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 A．B．C．D．7. 下列命题为真命题的是（）A ．且B ．或C ．，D ．，8.已知数列满足，，则（）A．B．C．D．9.已知，，，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．10. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，过点作轴于点，则（）A．B．抛物线的准线为直线C．D ．的面积为11. 下列说法正确的是（）A ．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；B ．同一平面的两条垂线一定共面；C ．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.12.已知函数及其导函数的定义域均为R ，若为奇函数，的图象关于y 轴对称，则下列结论中一定正确的是（）A．B ．C．D．安徽省六安市示范高中2021-2022学年高三上学期教学质量检测理科数学试题(1)安徽省六安市示范高中2021-2022学年高三上学期教学质量检测理科数学试题(1)三、填空题四、解答题13. 已知平面向量，，，，，则___________.14. 已知袋子内有7个球，其中4个红球，3个白球，从中不放回地依次抽取2个球，那么在已知第一次抽到红球的条件下，第二次也抽到红球的概率是______.15. 已知，，、的夹角为，如图，若，，D 为BC的中点，则______．16. 已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数有两个不同的极值点，，求实数k 的取值范围，并证明.17. 已知集合M 是满足下列性质的函数的全体；在定义域内存在实数t ，使得．（1）判断是否属于集合M ，并说明理由；（2）若属于集合M ，求实数a 的取值范围；（3）若，求证：对任意实数b ，都有．18. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，，.(1)证明：平面；(2)若M 为棱PD 上的点，，且二面角的余弦值为，求直线PC 与平面ACM 所成角的正弦值.19. 已知椭圆的离心率为，右焦点为F ，点A （a ，0），且|AF |＝1．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 的直线l （不与x 轴重合）交椭圆C 于点M ，N ，直线MA ，NA 分别与直线x ＝4交于点P ，Q ，求∠PFQ 的大小．20. 数学建模是高中数学核心素养的一个组成部分数学建模能力是应用意识和创新意识的重要表现．为全面推动数学建模活动的开展，某学校举行了一次数学建模竞赛活动已知该竞赛共有60名学生参加，他们成绩的频率分布直方图如下．（1）为了对数据进行分析，将60分以下的成绩定为不合格，60分以上（含60分）的成绩定为合格．为科学评估该校学生数学建模水平决定利用分层抽样的方法从这60名学生中选取10人，然后从这10人中抽取4人参加座谈会．记为抽取的4人中，成绩不合格的人数，求的分布列和数学期望；（2）已知这60名学生的数学建模竞赛成绩服从正态分布，其中可用样本平均数近似代替，可用样本方差近似代替（用一组数据的中点值作代表），若成绩在46分以上的学生均能得到奖励，本次数学建模竞赛满分为100分，试估计此次竞赛受到奖励的人数．（结果根据四舍五入保留到整数位）解题中可参考使用下列数据：，，．21. 2017年10月，举世瞩目的中国共产党第十九次全国代表大会在北京顺利召开．某高中为此组织全校2000名学生进行了一次“十九大知识知多少”的问卷测试（满分：100分），并从中抽取了40名学生的测试成绩，得到了如图所示的频率分布直方图．(1)求图中实数的值及样本中40名学生测试成绩的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)（i）利用分层抽样的方法从成绩低于70分的三组学生中抽取7人，再从这7人中随机抽取2人分析成绩不理想的原因，求前2组中至少有1人被抽到的概率；（ii）以频率估计概率，试估计该校这次测试成绩不低于80分的学生人数．。

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