正弦定理的四种证明方法

正弦定理的四种证明方法

1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，

有=sin CD a B ,sin CD b A =。 由此，得

sin sin a

b

A

B =

，同理可得

sin sin c

b

C

B

=

，

故有

sin sin a

b

A

B

=

sin c

C =

.从而这个结论在锐角三角形中成立.

（2）当∆ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得

=

∠sin sin a

b

A

ABC ，同理可得

=

∠sin sin c

b

C

ABC

故有

=

∠sin sin a

b

A

ABC

sin c

C =

.

由(1)(2)可知，在∆ABC 中，

sin sin a

b

A

B

=

sin c

C

=

成立.

从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即

sin sin a

b

A

B

=

sin c

C =

.

1’用知识的最近生长点来证明：

实际应用问题中，我们常遇到问题：

已知点A ，点B 之间的距｜AB|，可测量角A 与角B ， 需要定位点C ，即：

在如图△ABC 中，已知角A ，角B ，｜AB ｜＝c ， 求边AC 的长b

解：过C 作CD ⊥AB 交AB 于D ，则

cos AD c A =

sin sin cos sin tan sin cos BD c A c A C

DC C C C C =

==

sin cos (sin cos sin cos )sin cos sin sin sin c A C c C A A C c B

b AC AD DC

c A C C C

+==+=+

==

a

b D

A

B

C

A

B C

D

b

a

推论：

sin sin b c

B C

= 同理可证：

sin sin sin a b c

A B C

==

2.利用三角形面积证明正弦定理

已知△ABC,设BC ＝a, CA ＝b,AB ＝c,作AD ⊥BC,垂足为 D.则Rt △ADB

中,AB

AD B =sin ,∴AD=AB·sinB=csinB. ∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=•.同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21

sin 21=.

∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 2

1

sin 21sin 21==.∴absinc=bcsinA=acsinB, 在等式两端同除以ABC,可得b B a A c C sin sin sin ==.即C

c

B b A a sin sin sin =

=. 3.向量法证明正弦定理

(1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于AC ,则j 与AB 的夹角为

90°-A ,j 与CB 的夹角为90°-C .由向量的加法原则可得AB CB AC =+,

为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量

j 的数量积运算,得到AB j CB AC j •=+•)( 由分配律可得AB j CB j AC •=•+.

B

∴|j |

AC

Co s90°+|j |

CB Co s(90°-C )=|j |AB Co s(90°-A ). j

∴asinC=csinA.

∴

C

c

A a sin sin =

. A

另外,过点C 作与CB 垂直的单位向量j ,则j 与AC 的夹角为90°+C ,j 与AB 的夹角为90°+B ,可得

B

b C

c sin sin =

.

(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j 与AC 的夹角

为90°-C ,j 与AB 的夹角为90°-B )

∴

C

c

B b A a sin sin sin =

=.

D

C B

A C

(2)△ABC 为钝角三角形,不妨设A ＞90°,过点A 作与AC 垂直的单位向量j ,则j

与

AB 的夹角为A -90°,j 与CB 的夹角为90°-C .

由AB CB AC

=+,得j ·AC

+j ·

CB =j ·AB , j 即a·Cos(90°-C)=c·Cos(A-90°),∴asinC=csinA.

∴

C

c

A a sin sin =

另外,过点C 作与CB 垂直的单位向量j ,则j 与AC 的夹角为90°+C ,j 与AB 夹

角为90°+B .同理,可得C

c

B b sin sin =

.∴

C

c

B b simA a sin sin =

= 4.外接圆证明正弦定理

在△ABC 中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC 的外接圆,O 为圆心,

连结BO 并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到

∠BAB′=90°，∠C =∠B′，∴sin C =sin B′=R c B C 2sin sin ='=.∴R C

c

2sin =.

同理,可得R B b R A a 2sin ,2sin ==.∴R C

c

B b A a 2sin sin sin ===.

这就是说,对于任意的三角形,我们得到等式 C

c

B b A a sin sin sin =

=.

A

C

B

A