正弦定理的四种证明方法
正弦定理的5种证明方法
正弦定理的5种证明方法在⊿ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为，则这就是正弦定a b c 、、,sin sin sin a b c A B C==理．在这个定理的证明过程中蕴涵着丰富的几何意义．为了简单,仅以锐角三角形为例作简要说明．直角三角形的情形非常简单, 钝角三角形的情形与锐角三角形类似．证法一 三角形高法是⊿ABC 的边上的高；sin ,sin a B b A c 是⊿ABC 的边上的高；sin ,sin a C c A b 是⊿ABC 的边上的高．sin ,sin b C c B a 根据这个几何意义，定理证明如下：作锐角三角形ABC 的高CD ，则CD=．sin sin a B b A =所以，同理．sin sin a b A B =sin sin b c B C=因此.sin sin sin a b c A B C == 证法二 三角形外接圆法是⊿ABC 的外接圆直径． 根据这个几何意义，定理证明如下：,,sin sin sin a b c A B C作锐角三角形ABC 的外接圆直径CD ，连结DB ．根据同弧所对的圆周角相等及直径所对的圆周角是直角得，∠A=∠D, ∠DBC=90°,（为⊿ABC 的外接圆半2CD R =R 径）．所以，所以．sin sin 2CB a A D CD R ===2sin a R A=同理．2,sin b R B =2sin c R C=因此．2sin sin sin a b c R A B C ===证法三 三角形面积法是三角形ABC 的面积．1sin ,2ab C 1sin ,2bc A 1sin 2ac B 根据这个几何意义,定理证明如下：作锐角三角形ABC 的高CD ，则CD=．sin a B 所以三角形ABC 的面积．11sin 22S AB CD ac B == 同理 所以 1sin ,2S ab C =1sin ,2S bc A =1sin 2bc A =1sin 2ac B 1sin ,2ab C =同除以,再取倒数有．12abc sin sin sin a b c A B C ==证法四 向量的数量积法把变形为．sin ,sin a B b A cos(),cos()22a B b A ππ--则在锐角三角形ABC 中,作高CD,则分别是向量cos(),cos()22a CD B b CD A ππ-- 与向量的数量积．,CB CA CD 利用这个几何意义，定理证明如下：作锐角三角形ABC 的高CD ．因为=,所以0==(),AB CB CA - AB ∙CD CB CA - ∙CD 所以，所以,CB CD CA CD ∙=∙ cos()cos()22a CD Bb CD A ππ-=- 即sin sin .a Bb A =所以，同理．sin sin a b A B =sin sin b c B C=因此．sin sin sin a b c A B C ==证法五 如果想避开分类讨论,可以把三角形放在平面直角坐标系中,利用坐标法． 证明如下： 以C 为原点,以射线CA 为轴的正半轴建立平面直角坐标系,x ）且使点B 落在轴的上方,则AC 边上的高即为B 点的纵坐标.x 根据三角函数的定义, B 点的纵坐标．sin h a C =所以三角形ABC 的面积．11sin 22S bh ab C ==同理 ．1sin ,2S ac B =1sin 2S bc A =所以111sin sin sin ,222bc A ac B ab C == 同除以,再取倒数有．12abc sin sin sin a b c A B C==这种证法之所以避开分类讨论,是因为利用了一般三角函数的定义,前面的四种几何证法都需要分类讨论,因为它们的证明中仅仅利用了锐角三角函数的定义．这个方法是证明正弦定理最简单的方法,体现了坐标法的优越性.。
正弦定理
解三角形正弦定理一、正弦定理及其证明 1、正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b cA B C== 正弦定理揭示的是一般三角形中的重要边角关系，它们是解三角形的两个重要定理之一。
2、正弦定理的证明方法法一：（等积法）在任意斜△ABC 当中， S △ABC =A bc B ac C ab sin 21sin 21sin 21==.两边同除以abc 21即得：A a sin =B b sin =Ccsin .法二：（外接圆法）如图所示，D A ∠=∠,∴DaA a R CD sin sin 2===. 同理R CcR B b 2sin ,2sin ==. 可将正弦定理推广为：A a sin =B b sin =Ccsin =2R （R 为△ABC 外接圆半径）. 法三：（向量法）过A 作单位向量j垂直于AC ， 由 AB =AC +CB.两边同乘以单位向量j 得j •(AC +CB)=j •AB .则•+•=•.∴|j |•|AC |cos90︒+|j |•|CB |cos(90︒-C)=| j|•|AB |cos(90︒-A) .∴A c C a sin sin =.∴A a sin =Ccsin . 同理，若过C 作j 垂直于CB 得：Cc sin =Bb sin ∴Aa sin =Bb sin =Ccsin .例1、（1）已知在（2）【变式练习】（1）已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,10︒︒===∆.（2）C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆；二、正弦定理的变形及应用： 1、（1）sinA:sinB:sinC=c b a ::； （2）A a sin =B b sin =C c sin =CB A c b a sin sin sin ++++=R 2; （3）A R a sin 2=；B R b sin 2=；C R c sin 2=；（4）R a A 2sin =;R b B 2sin =;R c C 2sin =； （5）B ac A bc C ab S sin 21sin 21sin 21===.2、三角形解的个数一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形（已知a, b 和A ），用正弦定理求B 时的各种情况：⑴若A 为锐角时:B b aC A c ABC 和求中，,,30,45,100===∆C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆sin sin ()sin (, )³()a b A a b A b A a b a b <=<<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩无解一解直角二解一锐一钝一解锐角，如下图所示：⑵若A 为直角或钝角时: a b ()a b ≤>⎧⎨⎩无解一解锐角3、正弦定理可以解决的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和两角． 例2、已知△ABC 的面积为1，tanB=21,tanC=-2,求△ABC 的边长以及△ABC 外接圆的面积.例3、不解三角形，判断下列三角形解的个数． （1）︒===120,4,5A b a ； （2）︒===120,4,9A b a ; （3）︒===135,72,50C b c ;已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA课时训练：1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是 ( ) ． （A ）acos C=ccos A （B ）bsinC=csin A （C ）absin C=bcsin B （D ）aslnC=csin A ．2．在△ABC 中，已知a=18，b=20，A=150，则这个三角形解的情况是 ( ) ． （A ）有一个解 （B ）有两个解 （C ）无解 （D ）不能确定3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A=60,a=3，b=1， 则c 等于() ．（A ） 1 （B ） 2 （C ）3-1 （D ） 3．4．在△ABC 中，已知(b+c)：（c+a ）：(a+b) = 4：5：6，则 sin A ：sin B ：sin C 等于 ( ) ． （A ） 6:5:4 （B ） 7:5:3 （C ） 3:5:7 （D ） 4:5:6． 二、填空题5．在△ABC 中，A= 45，B=60，则ba ba +-=__________ ． 6．在△ABC 中，a=x ，b=2，B=45 ，若三角形有两解，则x 的取值范围为_____________． 7．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若b=2a ，B=A+60，则A=_________ ． 三、解答题8． 在C a b B A cm c ABC ,,56,34,2000和求中，===∆9．在△ABC 中，若a=23,A=30，讨论当b 为何值时（或在什么范围内），三角形有一解，有两解或无解？10. 已知方程2x 一(bcos A)x+acos B=0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为两内角,试判定这个三角形的形状．拔高训练：1. △ABC 中，若1,150,31tan ===︒BC C A ，求AB ．2.在△ABC 中，已知内角3π=A ，边32=BC ，设内角,xB =，周长为.y（1）求函数)(x f y =的解析式和定义域； （2）求)(x f y =的最大值.。
正弦定理证明推导方法
正弦定理证明推导方法正弦定理应用的学科是数学，使用的领域范围是几何。
下面是店铺给大家整理的正弦定理证明推导方法，供大家参阅!正弦定理证明推导方法显然，只需证明任意三角形内，任一角的边与它所对应的正弦之比值为该三角形外接圆直径即可。
现将△ABC，做其外接圆，设圆心为O。
我们考虑∠C及其对边AB。
设AB长度为c。
若1 ∠C为直角，则AB就是⊙O的直径，即c= 2R。
正弦定理∵(特殊角正弦函数值)正弦定理∴2 若∠C为锐角或钝角，过B作直径BC`'交⊙O于C`，连接C'A，显然BC'= 2R。
∵在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角。
∴∠C'AB是直角。
2A 若∠C为锐角，则C'与C落于AB的同侧，此时∵在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等。
∴∠C'=∠C正弦定理∴，有。
示意图2B若∠C为钝角，则C'与C落于AB的异侧，此时∠C'=180°-∠C，亦可推出。
在△DAB中，应用正弦函数定义，知因此，对任意三角形的任一角及其对边，均有上述结论。
考虑同一个三角形内的三个角及三条边，应用上述结果，分别列式可得。
故对任意三角形，定理得证。
实际上该定理也可以用向量方法证明。
正弦定理定义正弦定理(The Law of Sines)是三角学中的一个基本定理，它指出“在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆半径的2倍”，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2R(R为外接圆半径)。
正弦定理是解三角形的重要工具。
正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。
一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素。
一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况，可参考三角形性质、钝角三角形性质进行判断。
正弦定理意义正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。
如何证明正弦定理
如何证明正弦定理引言正弦定理是三角学中的一个重要定理，它描述了一个三角形中的边长和其对应的角度之间的关系。
通过证明正弦定理，我们可以深入理解三角形的性质和特点，并在实际问题中应用它。
什么是正弦定理正弦定理是指在一个任意三角形ABC中，边长a、b、c与其对应的角A、B、C之间满足以下关系：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，sinA、sinB和sinC分别表示角A、B和C的正弦值。
证明思路为了证明正弦定理，我们需要利用一些基本的几何知识和三角函数的性质。
下面将详细介绍证明思路以及每个步骤的推导过程。
步骤1：构造高首先，我们需要在三角形ABC中构造高AD。
通过这一步骤，我们可以将三角形ABC 划分为两个直角三角形：△ABD和△ACD。
步骤2：计算△ABD和△ACD的面积根据几何知识，我们知道一个三角形的面积等于底边乘以高的一半。
因此，我们可以计算出△ABD和△ACD的面积：Area(△ABD) = (1/2) * AD * AB * sinAArea(△ACD) = (1/2) * AD * AC * sinB步骤3：计算三角形ABC的面积三角形ABC的面积可以通过△ABD和△ACD的面积相加来计算：Area(△ABC) = Area(△ABD) + Area(△ACD)= (1/2) * AD * AB * sinA + (1/2) * AD * AC * sinB步骤4：使用三角函数的性质根据三角函数的定义，我们可以得到以下关系：sinA = AB / csinB = AC / c将这两个等式代入步骤3中的面积表达式中，我们可以得到：Ar ea(△ABC) = (1/2) * AD * c * sinA + (1/2) * AD * c * sinB= (1/2) * AD * c (sinA + sinB)步骤5：计算三角形ABC的面积另一种表达式另一方面，根据三角形ABC的面积公式，我们有：Area(△ABC) = (1/2) * a* b* sinC步骤6：证明正弦定理将步骤4和步骤5中的面积表达式相等，我们可以得到：(1/2) * AD * c (sinA + sinB) = (1/2) * a* b* sinC通过消除公式中的分母和分子的分式，我们可以得到正弦定理的一种形式：a/sinA = b/sinB = c/sinC结论通过以上证明过程，我们成功地证明了正弦定理。
正弦定理主要知识点总结
正弦定理主要知识点总结一、正弦定理的表述在任意三角形ABC中，我们可以得到正弦定理的表述如下：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中a、b、c分别表示三角形的边长，A、B、C分别表示三角形的角度。
二、正弦定理的证明正弦定理的证明可以使用三角形的面积公式来进行推导。
我们知道，三角形的面积可以用边长和对应的角度的正弦函数来表示：S = 1/2 * a * b * sinCS = 1/2 * b * c * sinAS = 1/2 * c * a * sinB由于三角形的面积是固定的，所以我们可以得到以下等式：a *b * sinC = b *c * sinA = c * a * sinB进而推导得到正弦定理的表述：a/sinA = b/sinB = c/sinC三、正弦定理的应用1. 求解三角形的边长正弦定理可以帮助我们求解三角形中的边长。
当我们已知三角形的一个角度和对边，以及另外两个角度之一时，我们就可以通过正弦定理来求解这个三角形的其它边长。
2. 求解三角形的角度正弦定理也可以帮助我们求解三角形中的角度。
当我们已知三角形的边长和对应的两个角度时，我们可以通过正弦定理来求解这个三角形的其它两个角度。
3. 解决实际问题正弦定理在解决实际问题中也有着广泛的应用。
比如在测量不便的情况下，可以利用正弦定理来计算物体的高度、距离等。
四、正弦定理的注意事项在使用正弦定理时，需要注意以下几点：1. 三角形的三个边长必须是正数，角度必须在0到180度之间。
2. 必须注意边长和角度之间的对应关系，确保使用正确的对应关系来求解未知量。
3. 在实际问题中，需要根据具体情况来选择使用正弦定理还是余弦定理。
五、正弦定理与余弦定理的比较正弦定理和余弦定理都是三角形中常用的定理，它们之间的区别在于求解的对象不同。
正弦定理适用于已知三角形的一个角和对边，以及另外两个角度之一的情况下求解三角形的其它边长或角度；而余弦定理适用于已知三角形的三个边长或两个边长和夹角的情况下求解三角形的其它边长或角度。
正弦定理内容及证明
正弦定理内容及证明正弦定理是指在一个任意三角形ABC中，三个边的长度a、b、c与对应的角A、B、C之间存在以下关系：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)证明正弦定理一般有两种方法：几何证明和代数证明。
几何证明：1. 过点B作AC的垂线BD，使得BD与AC交于点D。
则三角形ABD与BCD为直角三角形。
2. 由于三角形ABD、BCD为直角三角形，可得：sin(A) = BD / AB，sin(C) = BD / CD。
3. 对于三角形ABD和BCD，因为角B为共对角，所以可得：BD / AB = CD / BC。
4. 根据上面三个等式可以得到：sin(A) = BD / AB = CD / BC = sin(C)。
5. 再利用BD / AB = CD / BC，可以得到BD / CD = AB / BC = sin(B)。
6. 整理可得出正弦定理：a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)。
代数证明：1. 通过三角形ABC的两边b和c之间的夹角A，可构造一个高为h的直角三角形ADE（D在BC上）。
2. 根据正弦的定义可得：sin(A) = h / c，sin(90°-A) = h / b。
3. 注意到sin(90°-A) = sin(B)（余角公式），那么可以得到：sin(A) = h / c = sin(B) * b。
4. 类似地，可以通过三角形ABC的两边a和c之间的夹角B，构造一个高为h的直角三角形BEF（E在AC上）。
5. 根据正弦的定义可得：sin(B) = h / a，sin(90°-B) = h / c。
6. 注意到sin(90°-B) = sin(A)（余角公式），那么可以得到：sin(B) = h / a = sin(A) * c。
7. 把第3步的公式和第6步的公式相比较，可以得到：h / a =h / c，即a = c * sin(A)。
正弦定理 几何法证明
正弦定理是三角形中的一种定理，它用于计算三角形的边长和角度。
可以表示为：
a/sin A = b/sin B = c/sin C
其中a、b和c分别表示三角形的边长，而A、B和C则表示相应的角度。
正弦定理可以用于计算任何三角形，无论是锐角、钝角还是直角三角形。
几何证明如下：
假设三角形ABC的边长为a、b和c，相应的角度为A、B和C。
首先，我们可以将任何三角形分成两个直角三角形，如下所示：
将角度A和C的角平分线相交于点D，假设AD=x，CD=y。
根据正弦函数，我们可以得到：
sinA = BD/a
sinC = BD/c
解出BD：
BD = a*sinA = c*sinC
因此，我们可以得到：
a*sinA = c*sinC
同样，将角度B和C的角平分线相交于点E，假设BE=y，AE=x。
我们可以利用正弦函数和三角形内角和为180度的定理得到：
sinB = CE/b
sinC = CE/c
解出CE：
CE = b*sinB = c*sinC
因此，我们可以得到：
b*sinB = c*sinC
同时，利用三角形内角和为180度的定理，我们可以得到：A + B + C = 180°
通过将以上等式代入正弦定理公式中，我们可以得到：
a/sin A = b/sin B = c/sin C
因此，我们证明了正弦定理。
证明正弦定理
证明正弦定理正弦定理是三角形中常用的一个定理，它描述了三角形中各边与其对应的角度之间的关系。
下面我们将详细证明正弦定理。
一、正弦定理的表述在三角形ABC中，设∠A、∠B、∠C分别为三个内角，a、b、c分别为三边的长度，则有以下公式：sinA/a = sinB/b = sinC/c二、证明思路要证明正弦定理，我们需要利用三角函数中的基本公式和几何知识进行推导。
具体来说，我们可以利用单位圆上点的坐标和勾股定理等方法来推导出该公式。
三、证明过程1. 利用单位圆上点的坐标我们可以将三角形ABC放在单位圆上，并假设点A对应于单位圆上的点P(x1, y1)，点B对应于Q(x2, y2)，点C对应于R(x3, y3)。
则有以下关系：a = PQ = 2sinAb = QR = 2sinBc = RP = 2sinC又因为PQ² + QR² = PR²（根据勾股定理），所以有以下等式：4sin²A + 4sin²B = 4sin²C化简后得到：(sinA/a)² + (sinB/b)² = (sinC/c)²即：sin²A/a² + sin²B/b²= sin²C/c²两边同时乘以c²，得到：c²sin²A/a² + c²sin²B/b² = sin²C由于c = a/sinA，b = c/sinC，代入上式得到：a² + b² - 2abcosC = c²这就是余弦定理的表述形式。
2. 利用勾股定理我们也可以利用勾股定理来证明正弦定理。
具体来说，我们可以将三角形ABC分别投影到AB、BC、CA上，并利用勾股定理得到以下等式：a² = h₁² + (b - h₂) 2b 2= h₂ 2+ (a - h₁) 2c 2= h₁ 2+ h₂ 2其中，h₁和h₂分别为三角形ABC中高的长度。
正弦定理的5种证明方法
正弦定理的5种证明方法在⊿ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为，则这就是正弦定a b c 、、,sin sin sin a b c A B C==理．在这个定理的证明过程中蕴涵着丰富的几何意义．为了简单,仅以锐角三角形为例作简要说明．直角三角形的情形非常简单, 钝角三角形的情形与锐角三角形类似．证法一 三角形高法是⊿ABC 的边上的高；sin ,sin a B b A c 是⊿ABC 的边上的高；sin ,sin a C c A b 是⊿ABC 的边上的高．sin ,sin b C c B a 根据这个几何意义，定理证明如下：作锐角三角形ABC 的高CD ，则CD=．sin sin a B b A =所以，同理．sin sin a b A B =sin sin b c B C=因此.sin sin sin a b c A B C == 证法二 三角形外接圆法是⊿ABC 的外接圆直径． 根据这个几何意义，定理证明如下：,,sin sin sin a b c A B C作锐角三角形ABC 的外接圆直径CD ，连结DB ．根据同弧所对的圆周角相等及直径所对的圆周角是直角得，∠A=∠D, ∠DBC=90°,（为⊿ABC 的外接圆半2CD R =R 径）．所以，所以．sin sin 2CB a A D CD R ===2sin a R A=同理．2,sin b R B =2sin c R C=因此．2sin sin sin a b c R A B C ===证法三 三角形面积法是三角形ABC 的面积．1sin ,2ab C 1sin ,2bc A 1sin 2ac B 根据这个几何意义,定理证明如下：作锐角三角形ABC 的高CD ，则CD=．sin a B 所以三角形ABC 的面积．11sin 22S AB CD ac B == 同理 所以 1sin ,2S ab C =1sin ,2S bc A =1sin 2bc A =1sin 2ac B 1sin ,2ab C =同除以,再取倒数有．12abc sin sin sin a b c A B C ==证法四 向量的数量积法把变形为．sin ,sin a B b A cos(),cos()22a B b A ππ--则在锐角三角形ABC 中,作高CD,则分别是向量cos(),cos()22a CD B b CD A ππ-- 与向量的数量积．,CB CA CD 利用这个几何意义，定理证明如下：作锐角三角形ABC 的高CD ．因为=,所以0==(),AB CB CA - AB ∙CD CB CA - ∙CD 所以，所以,CB CD CA CD ∙=∙ cos()cos()22a CD Bb CD A ππ-=- 即sin sin .a Bb A =所以，同理．sin sin a b A B =sin sin b c B C=因此．sin sin sin a b c A B C ==证法五 如果想避开分类讨论,可以把三角形放在平面直角坐标系中,利用坐标法． 证明如下： 以C 为原点,以射线CA 为轴的正半轴建立平面直角坐标系,x ）且使点B 落在轴的上方,则AC 边上的高即为B 点的纵坐标.x 根据三角函数的定义, B 点的纵坐标．sin h a C =所以三角形ABC 的面积．11sin 22S bh ab C ==同理 ．1sin ,2S ac B =1sin 2S bc A =所以111sin sin sin ,222bc A ac B ab C == 同除以,再取倒数有．12abc sin sin sin a b c A B C==这种证法之所以避开分类讨论,是因为利用了一般三角函数的定义,前面的四种几何证法都需要分类讨论,因为它们的证明中仅仅利用了锐角三角函数的定义．这个方法是证明正弦定理最简单的方法,体现了坐标法的优越性.。
正弦定理证明方法
正弦定理证明方法正弦定理证明方法方法1:用三角形外接圆证明：任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D. 连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C. 所以c/sinC=c/sinD=BD=2R类似可证其余两个等式。
∴a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R方法2: 用直角三角形证明：在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。
作CH⊥AB垂足为点HCH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到a/sinA=b/sinB同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC ∴a/sinA=b/sinB=c/sinC在直角三角形中,在钝角三角形中(略)。
方法3：用向量证明：记向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c ∴a+b+c=0 则i(a+b+c) =i·a+i·b+i·c=a·cos(180-(C-90))+0+c·cos(90-A)=-asinC+csinA=0 ∴a/sinA =c/sinC (b与i垂直,i·b=0)方法4：用三角形面积公式证明：在△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。
作CD⊥AB垂足为点D，作BE⊥AC垂足为点E，则CD=a·sinB，BE= c sinA,由三角形面积公式得：AB·CD=AC·BE即c·a·sinB= b·c sinA ∴a/sinA=b/sinB 同理可得b/sinB=c/sinC ∴a/sinA=b/sinB=c/sinC用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2COSc=(a^2+b^2-c^2)/2abSINc^2=1-COSc^2SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2 =[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2* c^2同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2得证正弦定理：三角形ABC中BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC证明如下：在三角形的外接圆里证明会比较方便例如，用BC边和经过B的直径BD，构成的直角三角形DBC可以得到：2RsinD=BC (R为三角形外接圆半径)角A=角D得到：2RsinA=BC同理：2RsinB=AC，2RsinC=AB这样就得到正弦定理了2一种是用三角证asinB=bsinA用面积证用几何法，画三角形的外接圆听说能用向量证，咋么证呢?三角形ABC为锐角三角形时，过A作单位向量j垂直于向量AB，则j 与向量AB夹角为90，j与向量BC夹角为(90-B),j与向量CA夹角为(90+A),设AB=c,BC=a,AC=b,因为AB+BC+CA=0即j*AB+J*BC+J*CA=0|j||AB|cos90+|j||BC|cos(90-B)+|j||CA|cos(90+A)=0所以asinB=bsinA3用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2COSc=(a^2+b^2-c^2)/2abSINc^2=1-COSc^2SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2 =[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2* c^2同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2得证用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2 COSc=(a^2+b^2-c^2)/2ab SINc^2=1-COSc^2SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2 =[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2* c^2 同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2 得证4满意答案好评率：100%正弦定理步骤1.在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。
正弦定理余弦定理知识点总结及最全证明
正弦定理余弦定理知识点总结及最全证明正弦定理概述：正弦定理是三角形的一个重要定理，它描述了三角形中各边与其相对的正弦值之间的关系。
正弦定理可以用于求解任意三角形的边长或角度。
正弦定理表达式：在一个三角形ABC中，有以下正弦定理的表达式：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)其中，a、b、c分别表示三角形的边长，A、B、C表示三角形的角度。
正弦定理表明，三角形的任意一边的长度与这条边相对的角的正弦值成正比。
正弦定理的证明：可以使用数学推导来证明正弦定理。
这里给出一种较为详细的证明方法。
证明：1. 通过三角形的边长关系：a = b * sin(A) / sin(B)和c = b *sin(C) / sin(B)，可得到以下关系式：a * sin(B) = b * sin(A)和c * sin(B) = b * sin(C)2.利用向量叉积原理知识，假设D为线段BC上的一点，则由向量的垂直性知：向量BD与向量AD是垂直的，向量CD与向量AD是垂直的。
3. 记向量AD为向量a，向量BD为向量b，向量CD为向量c，由向量b与向量a的垂直性可得：向量b·向量a = ，b， * ，a， *sin(∠BA) = b * AD * sin(∠BA)。
4. 同理，由向量c与向量a的垂直性可得：向量c·向量a = ，c，* ，a，* sin(∠CA) = c * AD * sin(∠CA)。
5. 因为∠C + ∠A = ∠BA，即∠CA + ∠BA = 180°，所以sin(∠BA) = sin(∠CA)。
所以有b * AD * sin(∠BA) = c * AD *sin(∠CA)。
6. 即有b * AD * sin(∠BA) = c * AD * sin(∠BA)，那么b = c，所以定理得证。
余弦定理概述：余弦定理是三角形的另一个重要定理，它描述了三角形中各边与其相对的角之间的关系。
正弦定理的几种证明方法
AD^ccosA盼=^C = AD+1M? = e cos A + csinB正弦定理的几种证明方法1.利用三角形的高证明正弦定理（n l AABC 是锐角三角殄瞅11AB±的商是CD.根据锐角三角函数的定文爹 • • 『•.・ •： • • ••: •' -• •••G • • ： . • •• • • V • ••・• ・・•• • • • • • Q ：•- •・ ^ @=asin3qOD =bsinA <■ 由虬得亠=亠同理可得亠二厶 sinA sinB ‘干吋囂而•而芳•T h 沙 •• • •裱肴 •弊 H ° j 盘 ... .. 、sinM sinB “nC ■从而这冷•.结论崔锐角三角形中成立… • • •• • • • • • • • •• •（2X 当AABC 是钝角三角形毗 述点C 作AB 边上的高「交陋的延长线于点1）, 根据锐角三角函数的定义,莆仪?=左山夂39=力讪厶比\ 仞=0血人言由此铲 握 & fb. 信i 禅n 用 e & - sihX^sinZ^ .同 可需 M^^inAABC *•• *% \ ♦ •• • 7 * * * , - -y; • • • •故有盍r石空=佥 • ••/ - ••.…■. •• A • / • ••・ ■由①⑵可知撑在△ ABC 札憑直 為瞬矗热‘在一来三烫務护*暮过莽它所徘并曲正蠻前比龙MTIh > a D c sinA sin&' sinC . ••r 用知取紛就生: 实际应用何题中”我術常遇到间题： 已知点A, B £M 的施|屈，顾翅量角A 与角B, G ・・哥在如图亦中，巳知角A,痛B, I AB I -c, 紐AC 林b 解；••过©希CD'AB 衮AB 于几则、 •••%•••BD csinA csiiiAcosC tanC sin© slnCcosC csinAcosC c(sinCcosA+sinAcosC) sinC slnCB• .'^ ••/••/ • •• ♦推论: A 111 AC sinB sinC •・• ••岭 J ••: •同理可证： sinA stnB sinC • • • • •2.利用三角形面积证明正弦定理•♦ ♦・■ •• • • • ▼ ♦・•・• • *巳知△ABC,设 BC = a, CA = b,AB=c.作 AD 丄BQ ：垂足消 D..则 Rt AADB 申.sin B w .9 AD 二AB • siri>csi nB, AAB........ 二5备讦亠a • A D=豈wcsin B ・.同理,哥铁Sa 血L • •• 2 • z" • * •'…•: S A ^K F —absin C = — be sin A —-^ac sin B ・在等式两n 憫除以血％可得史£"叠彳=...望婕”.即 丄 产—=—c a bsin A* sinB sinCZ3 •向量法证明正弦定理 ⑴△磁为税角三角形,•过点M 作单位向量j 垂直于屁，则j 与AB 的夹角为 9Q 歿如与的夹角1 90^ -a 由向量的加W 原:则< •#AC + GB = i-嗨T 野囲申貞关舟的三揃陽就建立联髭剩体上话询董導离的睛边厨恥尚量 j 的数量狽运算，得到J •（花+石）可•圧由汾配律可得AC^j^CB = j^AB.血90。
证明正弦定理的方法
证明正弦定理的方法正弦定理是三角形中最基本的定理之一，用于求解三角形的边长和角度。
以下是证明正弦定理的常见方法：方法一：利用三角形的面积公式。
1. 假设有一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C。
2. 构造高AD，将三角形ABC分成两个高度分别为h1和h2的小三角形。
3. 根据三角形的面积公式，可以得到：面积(三角形ABC) = 1/2 * b * h1面积(三角形ABC) = 1/2 * c * h24. 将上述两个公式联立，可以得到：b * h1 =c * h25. 由于三角形ABC的高度h1 = a * sinB，h2 = a * sinC，代入上述公式可以得到：b * a * sinB =c * a * sinC6. 化简上述公式可得：b / sinC =c / sinB7. 将这个公式稍加变形，可以得到正弦定理：a / sinA =b / sinB =c / sinC方法二：利用三角形的内接圆。
1. 设三角形ABC的内接圆的半径为R，圆心为O。
2. 连接AO、BO、CO，将三角形ABC分成三个小三角形。
3. 记三角形AOB的角度为θ，可以得到：AB = 2R * sinθ4. 同理，记三角形BOC的角度为φ，可以得到：BC = 2R * sinφ5. 通过连接CO、AO，可以得到：AC = 2R * sin(θ+ φ)6. 根据三角形中的等式关系可以得到：sin(θ+ φ) = sinθ* cosφ+ cosθ* sinφ7. 代入上述公式，可以得到：AC = AB * cosφ+ BC * sinθAC = 2R * sinθ* cosφ+ 2R * sinφ* sinθAC = 2R * (sinθ* cosφ+ sinφ* sinθ)AC = 2R * sin(θ+ φ)8. 化简上述公式可得：sin(θ+ φ) = sinAsinθ* cosφ+ sinφ* sinθ= sinAsinθ* (cosφ+ sinφ) = sinAsinθ= sinA / (cosφ+ sinφ)9. 同理可以得到：sinφ= sinC / (cosθ+ sinθ)10. 将上述两个公式联立，可以得到正弦定理：sinA / (cosφ+ sinφ) = sinC / (cosθ+ sinθ) sinA / (cosC + sinC) = sinC / (cosA + sinA) sinA / sinC = (cosA + sinA) / (cosC + sinC) a / sinC = b / sinB = c / sinC。
正弦定理的几种证明方法
正弦定理的几种证明方法正弦定理是初中数学中常见的定理，它描述了三角形内部三条边和三角形内角的关系。
在数学教学中，有多种证明正弦定理的方法，每种方法都有其独特的思路和逻辑，下面我们将介绍几种常见的证明方法。
第一种证明方法是利用三角形的面积公式。
我们知道，三角形的面积可以表示为S=1/2ab*sinC，其中a、b分别为任意两边的长度，C为这两边之间的夹角。
根据这个公式，我们可以推导出正弦定理。
假设有一个三角形ABC，其三边分别为a、b、c，夹角分别为A、B、C。
根据三角形的面积公式，我们有S=1/2ab*sinC，S=1/2bc*sinA，S=1/2ac*sinB。
将这三个式子分别除以abc，得到sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R，其中R为三角形的外接圆半径。
整理得到sinA/a=sinB/b=sinC/c，这就是正弦定理的形式。
第二种证明方法是利用三角形的内切圆。
我们知道，一个三角形的内切圆对三条边分别作了切线，这些切线对三角形的边所作的切点就构成一个三角形。
根据内切圆的性质，这个三角形的边长与原三角形的边长之比就满足正弦定理。
第三种证明方法是利用余弦定理。
正弦定理和余弦定理是三角形中最基本的两个定理之一，它们之间有密切的联系。
我们可以利用余弦定理推导正弦定理。
假设有一个三角形ABC，其三边分别为a、b、c，夹角分别为A、B、C。
根据余弦定理，我们有c^2=a^2+b^2-2ab*cosC。
根据正弦定理中的关系sinC=c/(2R)，其中R为三角形的外接圆半径。
将sinC的表达形式代入余弦定理中，整理得到a^2+b^2-2ab*cosC=4R^2*sinC^2。
然后再利用三角恒等式sin^2x+cos^2x=1，将sinC^2用1-cosC^2来表示，最终得到a^2+b^2-2ab*cosC=a^2+b^2-2ab*cosC，这就是正弦定理的形式。
以上是三种常见的证明正弦定理的方法，每种方法都有其独特的优势和适用范围。
如何证明正弦定理
如何证明正弦定理 正弦定理是高中数学中的一个重要定理，用于解决三角形中的各种问题。
它表明，在任意三角形ABC中，三条边a、b、c和对应的角A 、B、C之间存在着如下关系：a/sinA = b/sinB = c/sinC 下面将详细介绍如何证明正弦定理。
我们将使用几何和三角函数的一些基本概念和性质来进行推导。
1. 从三角形ABC出发，延长边AC，使其过点B，与边AB交于一点D。
2. 我们将证明三角形ABC与三角形CBD之间存在相似关系。
由于三角形ABC与三角形CBD有一个公共角B，所以只需证明角C和角D相等即可。
3. 角C是三角形ABC的内角，角D是三角形CBD的内角，根据三角形内角和等于180度的性质，我们有角C+角D=180度。
4. 接下来，我们利用三角恒等式来进一步证明角C和角D相等。
利用三角形ABD和BCD中的正弦定理，我们可以得到：a/sinA = b/sinB （三角形ABD）b/sinC = c/sinD （三角形BCD） 将这两个等式联立起来，可以得到 a/sinA = c/sinD 5. 接下来，我们再观察三角形ABC和三角形CBD的共边BC，以及三角形对边AC和BD。
它们都共享相同的角B，根据正弦定理可以得到：a/sinA = c/sinD 再次使用三角恒等式，我们可以得到 sinA/sinD = sinC 再进一步化简，可以得到 sinA/sinC = sinD 6. 根据三角恒等式的性质，我们知道 sinA/sinC = sinD 等价于sinC/sinA = sinD 因此，最终我们得到 sinC/sinA = sinD 7. 再进一步观察，我们可以发现 sinC/sinA = c/a，代入之前的等式可以得到 c/a = sinD或者写成 a/sinA = c/sinD 8. 综上所述，我们得到了 a/sinA = b/sinB = c/sinC，即正弦定理的表达式。
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正弦定理的四种证明方法
1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，
有=sin CD a B ,sin CD b A =。
由此，得
sin sin a
b
A
B =
，同理可得
sin sin c
b
C
B
=
，
故有
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C =
.从而这个结论在锐角三角形中成立.
（2）当∆ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。
由此，得
=
∠sin sin a
b
A
ABC ，同理可得
=
∠sin sin c
b
C
ABC
故有
=
∠sin sin a
b
A
ABC
sin c
C =
.
由(1)(2)可知，在∆ABC 中，
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C
=
成立.
从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C =
.
1’用知识的最近生长点来证明：
实际应用问题中，我们常遇到问题：
已知点A ，点B 之间的距｜AB|，可测量角A 与角B ， 需要定位点C ，即：
在如图△ABC 中，已知角A ，角B ，｜AB ｜＝c ， 求边AC 的长b
解：过C 作CD ⊥AB 交AB 于D ，则
cos AD c A =
sin sin cos sin tan sin cos BD c A c A C
DC C C C C =
==
sin cos (sin cos sin cos )sin cos sin sin sin c A C c C A A C c B
b AC AD DC
c A C C C
+==+=+
==
a
b D
A
B
C
A
B C
D
b
a
推论：
sin sin b c
B C
= 同理可证：
sin sin sin a b c
A B C
==
2.利用三角形面积证明正弦定理
已知△ABC,设BC ＝a, CA ＝b,AB ＝c,作AD ⊥BC,垂足为 D.则Rt △ADB
中,AB
AD B =sin ,∴AD=AB·sinB=csinB. ∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=•.同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21
sin 21=.
∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 2
1
sin 21sin 21==.∴absinc=bcsinA=acsinB, 在等式两端同除以ABC,可得b B a A c C sin sin sin ==.即C
c
B b A a sin sin sin =
=. 3.向量法证明正弦定理
(1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于AC ,则j 与AB 的夹角为
90°-A ,j 与CB 的夹角为90°-C .由向量的加法原则可得AB CB AC =+,
为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量
j 的数量积运算,得到AB j CB AC j •=+•)( 由分配律可得AB j CB j AC •=•+.
B
∴|j |
AC
Co s90°+|j |
CB Co s(90°-C )=|j |AB Co s(90°-A ). j
∴asinC=csinA.
∴
C
c
A a sin sin =
. A
另外,过点C 作与CB 垂直的单位向量j ,则j 与AC 的夹角为90°+C ,j 与AB 的夹角为90°+B ,可得
B
b C
c sin sin =
.
(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j 与AC 的夹角
为90°-C ,j 与AB 的夹角为90°-B )
∴
C
c
B b A a sin sin sin =
=.
D
C B
A C
(2)△ABC 为钝角三角形,不妨设A ＞90°,过点A 作与AC 垂直的单位向量j ,则j
与
AB 的夹角为A -90°,j 与CB 的夹角为90°-C .
由AB CB AC
=+,得j ·AC
+j ·
CB =j ·AB , j 即a·Cos(90°-C)=c·Cos(A-90°),∴asinC=csinA.
∴
C
c
A a sin sin =
另外,过点C 作与CB 垂直的单位向量j ,则j 与AC 的夹角为90°+C ,j 与AB 夹
角为90°+B .同理,可得C
c
B b sin sin =
.∴
C
c
B b simA a sin sin =
= 4.外接圆证明正弦定理
在△ABC 中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC 的外接圆,O 为圆心,
连结BO 并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到
∠BAB′=90°，∠C =∠B′，∴sin C =sin B′=R c B C 2sin sin ='=.∴R C
c
2sin =.
同理,可得R B b R A a 2sin ,2sin ==.∴R C
c
B b A a 2sin sin sin ===.
这就是说,对于任意的三角形,我们得到等式 C
c
B b A a sin sin sin =
=.
A
C
B
A。