初中数学方程函数思想例题

方程函数思想例题

例1：

已知函数y=x³的图像，求解方程x³-x²+1=0.

分析：由于题目中的方程式出现x三次方和平方并存的局面，同时没有x，单纯运用方程式理论对于初中生来说不易解决，而如果可以将已知条件中的函数图像与方程结合出来，却完全可以做到事半功倍的效果。

错误解法：完全运用方程的思想

x³-x²+1=0 →x²(x-1)+1=0 →x²(x-1)=-1

进行初步分析，当x=0时，-1不等于0，此式不成立，而等式的右边是-1，左边出现了x²这个目前完全大于0的数，所以可以得出：

X=0不成立，x²>0 →x-1=-1 →x=0 ? 这里你没有看错，先前我们假定x

不等于0的条件现在却被我们证明了其等于0，这必然证明了我们的结论是错

误的。但是问题出在哪里了呢？此刻我们应当收拾心情，仔细观察一下，将函

数的思想带入其中。

正确解法：

同样，将方程式布局整理一番。

x³-x²+1=0 →x³= x²-1，这时我们运用函数的思想。将等式两边的x³，x²-1

同时设为函数式y= x³,y= x²-1。我们便得到两个函数式，根据已知中我们得知的

y= x³的图像，在坐标图上作出y= x²-1的图像，取两个图像的交点，即为问题的

答案。不仅方便，而且直观形象，也大大降低了解题的风险。这里，我们可以清楚的看出方程函数思想结合的优势。

例2：

2010年杭州市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中

居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和家

庭用水各多少立方米？

分析：这是一道简便通俗的题目。本题中所涉及的是等量关系，可以运用

方程，也可以运用基本函数知识来解答。本题的设置是旨在培养大家的思维定

性，培养方程函数相结合的思想。

解法一：设生产运营用水x亿立方米，则居民家庭用水（5.8-x）亿立方米，

依题意，可得

5.8-x=3x-0.6 解得x=1.3 5.8-x=4.5

答：生产经营用水为1.3亿立方米，而居民家庭用水为4.5亿立方米。

解法二：设生产经营用水x亿立方米，居民家庭用水y立方米，依题意，可得

x+y=5.8 →y=5.8 - x

y=3x+0.6 →y=3x+ 0.6

通过作出两个一次函数的图像，然后取其图像的交点，得出结论。

例3：

杭州市政府大力扶持大学生创业，李明在政府的扶持下投资销售了一种进价为每件20元的护眼台灯。销售过程发现，每月销量y（件）与销售单价x(元)之间的关系可以近似的看作一次函数：y=-10x+500.

(1)设李明每月获得利润为W(元)，当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？

(2)如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？

(3)根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售价格不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本=进价×销售量）

分析：本题中第一小题是根据数量关系得出一个二次函数，进而配方

求值；第二小题给出了一个函数数值，利用方程解决问题；第三小题利用

二次函数的性质结合不等式给出的范围再次利用一次函数解决问题。本题

把函数和方程的思想结合使用，具体问题具体分析，运用最简便和适当的

方法。

(1) 由题意，得：

W=(x-20)y →(x-20)(-10x+500)=-10 x²+700x-10000

x=35

答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润。

(2) 由题意，得：

-10 x²+700x-10000=2000

这个方程可以采取不等式的解法，当然也可以运用我们熟悉的函数方式。

(x-30)(x-40)=0 因此，x1=30,x2=40.

答：李明想要每月获取2000利润，销售单价应定为30元到40元。

(3)首先一定要作出函数图像，a=-10<0，所以抛物线开口向下。当x大于等于30，小于等于40时，W应当大于等于2000。

设成本为P，由题意，得：

P=20(-10x+500)=-200x+10000 此式运用函数的思想，因为k=-200<0,所以P随x的增大而减小。当x=32时，P最小等于3600.根据函数的抛物线走向，轻松的判断出结论。

答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元。

从以上几个小例子可以观察出，方程与函数的思想在初中数学中占据着极其重要的地位，但是只要我们用心抓住题目中的数量关系，弄清楚方程与函数的区别和联系，灵活运用，问题都会迎刃而解。

例4：

已知二次函数y=ax²+bx+c的图像经过(-1,7)，且在x轴上截取长为3的线段，对称轴方程是x-1=0，求这个二次函数的解析式。

分析：按通常的做法，此题应列方程组

a-b+c=7 √b²-4ac/｜a｜=3 –b/2a=1 来解，但若能思考“在x轴”上截取长为3的线段，对称轴方程时x-1=0的深层含义，充分利用抛物线函数的对称性，可得抛物线与x轴的两交点的坐标分别为(2.5,0),(-0.5,0)，且2.5和-1.5是方程ax²+bx+c=0的两个根，若利用好这些信息求解析式，则变得非常简单。

解：抛物线的对称轴方程式x=1，且在x轴上截取的线段为3，所以抛物线与x轴交点坐标为(-0.5,0)(2.5,0).设此解析式为y=a(x-2.5)(x+0.5)

把(-1,7)代入，解得a=4

所以所求的二次函数解析式为y=4x²-8x-5

由于二次函数的解析式中有三个参数a,b,c；运用待定系数法求a,b,c时，则需3个独立条件，已知3个点的坐标，但如果已知对称轴方程，或者抛物线与x轴的一个交点坐标，或截得线段的长时，仍可利用抛物线的对称性，转化为这个基本条件，只需掌握这个转化就可以了，这就是例子。

综上所述，函数思想指导我们运用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想则是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型，然后通过解方程或不等式来使问题获解，实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等适合不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题时通过解方程来实现的......等等。方程函数思想是初中数学的核心内容，也是打好数学基础的关键，函数和方程相辅相成、共同促进人们对数学知识的深入了解和掌握，学好数学，我们始终都要掌握这样一种融合各种知识、各类方法的意识能力，教师努力思考，不断理解演练，才能在教学道路上走出辉煌、走出特色。