随机过程课件
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通信原理-随机过程课件
一个随机过程在时间上是否具有某种 稳定的统计特性。如果一个随机过程 在长时间观察下表现出稳定的统计特 性，则称该随机过程具有遍历性。
遍历性的数学描述
对于一个随机过程，如果存在一个常 数$c$，使得对于任意的时间$t$，有 $E[X(t)]=c$，则称该随机过程具有遍 历性。其中$X(t)$表示在时刻$t$的随 机变量的取值。
标量乘法
标量乘法满足结合律和分 配律，即对于任意标量a 和任意随机过程X，有 a(X+Y)=aX+aY。
线性变换的应用
信号处理
在通信系统中，信号经常 需要进行线性变换以实现 调制、解调、滤波等操作 。
控制系统
在控制系统中，线性变换 被广泛应用于系统的分析 和设计，如传递函数、状 态方程等。
图像处理
在图像处理中，线性变换 被广泛应用于图像的增强 、滤波、变换等操作。
04
CATALOGUE
随机过程的平稳性
平稳性的定义
平稳性定义
一个随机过程如果对于任何正整数n，以及任何非负整数k，其n维联合分布函 数与n+k维联合分布函数相同，则称该随机过程是严平稳的。
数学表达式
若对于任意的正整数n和任意的非负整数k，都有P(X_1, X_2, ..., X_n) = P(X_1+k, X_2+k, ..., X_n+k)，则称随机过程{X_t}是严平稳的。
06
CATALOGUE
随机过程的功率谱密度
功率谱密度的定义
功率谱密度
表示随机信号的功率随频率的分布， 是描述随机信号频域特性的重要参数 。
定义方式
功率谱密度函数通常由傅里叶变换来 定义，将随机信号的时域表示转换为 频域表示。
遍历性的数学描述
对于一个随机过程，如果存在一个常 数$c$，使得对于任意的时间$t$，有 $E[X(t)]=c$，则称该随机过程具有遍 历性。其中$X(t)$表示在时刻$t$的随 机变量的取值。
标量乘法
标量乘法满足结合律和分 配律，即对于任意标量a 和任意随机过程X，有 a(X+Y)=aX+aY。
线性变换的应用
信号处理
在通信系统中，信号经常 需要进行线性变换以实现 调制、解调、滤波等操作 。
控制系统
在控制系统中，线性变换 被广泛应用于系统的分析 和设计，如传递函数、状 态方程等。
图像处理
在图像处理中，线性变换 被广泛应用于图像的增强 、滤波、变换等操作。
04
CATALOGUE
随机过程的平稳性
平稳性的定义
平稳性定义
一个随机过程如果对于任何正整数n，以及任何非负整数k，其n维联合分布函 数与n+k维联合分布函数相同，则称该随机过程是严平稳的。
数学表达式
若对于任意的正整数n和任意的非负整数k，都有P(X_1, X_2, ..., X_n) = P(X_1+k, X_2+k, ..., X_n+k)，则称随机过程{X_t}是严平稳的。
06
CATALOGUE
随机过程的功率谱密度
功率谱密度的定义
功率谱密度
表示随机信号的功率随频率的分布， 是描述随机信号频域特性的重要参数 。
定义方式
功率谱密度函数通常由傅里叶变换来 定义，将随机信号的时域表示转换为 频域表示。
应用随机过程PPT课件
k
EX kP(X k) (1)P(X k)
k0
k1 i1
P(X k)
交换求和顺序
k1
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60
同理，对连续型随机变量有相似的结论成立
若X0
x
EX0 xd(PXx)0 (0 dy)dP(Xx)
0 P(Xx)dx
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61
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62
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63
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概率
16
1 .古典概型
A
P(A)
(A) ( )
A 中的样本点数目 中的样本点数目
隐含了等可能条件
2 .几何概型
P(A)
A 点集的面积 点集的面积
隐含了等可能条件
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17
概率是满足 1) 非负性； 2) 归一性； 3) 可列可加性； 的集函数。
可测集 粗略地说，可以定义长度（面积、体积）的 点集即为可测集；反之称为不可测集。
64
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65
Chebyshev不等式
0,
P(|
X
EX
|
)
DX
2
P(|
X
EX
|
)
E
|
X EX
p
|p
( p1)
2021/7/1
66
条件数学期望
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(iN)
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用示性函数的线性组合表示离散型随机变量 （见前面“随机变量”部分 ）
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70
例： 随机变量 X I A ,Y I B , A, B ，
随机过程课件.ppt
随机过程的统计描述 二 有限维分布族
两种描述
分布函数 特征数
设随机过程X (t),t T,对每一固定的t T ,随机变量X (t)的分布函数与t有关， 记为FX (x,t) PX (t) x，x R，称它为随机过程X (t),t T的一维分布函数 FX (x,t),t T称为一维分布函数族
为了描述随机过程在不同时刻状态之间的统计联系， 一般地，对任意n(n 2,3,L )个不同的时刻，t1,t2,L tn T
研究生课程
随机过程
汪荣鑫编 主讲教师：田ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ俊
2013年9月
第一章 随机过程基本概念
第1节 随机过程及其概率分布
1）随机过程概念 随机过程被认为是概率论的“动力学”部分，即
它的研究对象是随时间演变的随机现象，它是从 多维随机变量向一族(无限多个)随机变量的推广。
自然界中事物的变化过程可以大致分成为两类： 确定性过程：事物变化的过程可用时间的确定函数表示；
4
x1 (t )
3
2
1
t1' t1 t2 t2' t3 t3' t4' t4
t
4
例5：考虑抛掷一颗骰子的试验：
(1) 设X n是第n次(n 1)抛掷的点数，对于n 1, 2,L 的不同值，
X n是随机变量，服从相同的分布，P( X n
i)
1 6
,i
1, 2,3, 4,5, 6
因而X n , n 1构成一随机过程，称为伯努利过程或伯努利随机序列,
它的状态空间为1,2,3,4,5,6。
(2) 设Yn是前n次抛掷中出现的最大点数,Yn , n 1也是
一随机过程，它的状态空间仍是1, 2,3, 4,5, 6。
应用随机过程课件
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性质：线性变换不改变随机过程的 统计特性
举例：高斯随机过程经过线性变换 后仍为高斯随机过程
定义：将随机过程通过非线性函数进行变换得到新的随机过程。 常见变换：对随机变量进行指数变换、对数变换等。
应用场景：在信号处理、通信等领域中通过对随机信号进行非线性变换实现信号的调制、解调等功能。
多径传播：随机过程用于描述无线通信中的多径传播效应以提高信号的可靠性和稳定性。
随机过程在金融领域的应用包括股 票价格预测、风险评估和投资组合 优化等方面。
随机过程还可以用于信用评级和风 险评估帮助金融机构评估借款人的 信用风险和违约概率。
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通过随机过程模型可以分析金融市 场的波动性和相关性从而制定有效 的投资策略。
循环性是随机过程的基本性质之一它决定了过程的可预测性和不可预测性的程度。
循环性对于理解和预测某些自然现象（如气候变化、生态系统的动态等）具有重要意义。
在实际应用中循环性可以帮助我们更好地理解和预测某些随机现象如股票价格的波动、人口增长等。
定义：将随机过程进行线性变换得 到新的随机过程
应用：在信号处理、通信等领域中 广泛应用
数学模型：基于概率论和随机过程的理论基础建立非线性变换的数学模型分析其统计特性。
傅里叶变换的定义和性质 随机过程的傅里叶变换方法 傅里叶变换在信号处理中的应用 傅里叶变换在随机过程中的应用实例
信号传输：随机过程用于描述信号在通信系统中的传输过程如噪声和干扰。
信道容量：随机过程用于分析通信信道的容量以优化通信系统的性能。 调制解调：随机过程用于实现高效的调制解调技术如QM和QPSK。
概率论与数理统计经典课件随机过程
3
一维、二维或一般的多维随机变量的研究是概率论的研究内容，而 随机序列、随机过程则是随机过程学科的研究内容。从前面的描述中看 到，它的每一样本点所对应的，是一个数列或是一个关于t的函数。
定义：设T是一无限实数集，X (e,t), e S,t T是对应于e和t的实数，
即为定义在S 和T 上的二元函数。
DX
(t)
E
[ X (t) X (t)]2
---方差函数
X (t)
2 X
(t
)
---标准差函数
又设任意t1,t2 T RXX (t1,t2 ) E[ X (t1) X (t2 )] (自)相关函数
CXX (t1,t2 ) Cov[ X (t1), X (t2 )]
E [ X (t1) X (t1)][ X (t2 ) X (t2 )] (自)协方差函数
定义： X (t),t T是一随机过程，若它的每一个有限维分布
都是正态分布，即对任意整数n 1及任意t1,t2,
X (t1), X (t2 ), X (tn )服从n维正态分布， 则称X (t),t T是正态过程
tn T ,
正态过程的全部统计特性完全由它的均值函数和自协方差函数所确定。
16
例3：设A, B是两个随机变量，试求随机过程:
当A
N 1,4, B
U 0, 2时，E(A) 1, E( A2 ) 5, E(B) 1, E(B2)
4 3
又因为A, B独立， 故E(AB) E(A)E(B) 1
X (t) t 3, RX (t1, t2 ) 5t1t2 3(t1 t2 ) 12 t1, t2 T
17
例4：求随机相位正弦波X (t) acos(t ) t ,
一维、二维或一般的多维随机变量的研究是概率论的研究内容，而 随机序列、随机过程则是随机过程学科的研究内容。从前面的描述中看 到，它的每一样本点所对应的，是一个数列或是一个关于t的函数。
定义：设T是一无限实数集，X (e,t), e S,t T是对应于e和t的实数，
即为定义在S 和T 上的二元函数。
DX
(t)
E
[ X (t) X (t)]2
---方差函数
X (t)
2 X
(t
)
---标准差函数
又设任意t1,t2 T RXX (t1,t2 ) E[ X (t1) X (t2 )] (自)相关函数
CXX (t1,t2 ) Cov[ X (t1), X (t2 )]
E [ X (t1) X (t1)][ X (t2 ) X (t2 )] (自)协方差函数
定义： X (t),t T是一随机过程，若它的每一个有限维分布
都是正态分布，即对任意整数n 1及任意t1,t2,
X (t1), X (t2 ), X (tn )服从n维正态分布， 则称X (t),t T是正态过程
tn T ,
正态过程的全部统计特性完全由它的均值函数和自协方差函数所确定。
16
例3：设A, B是两个随机变量，试求随机过程:
当A
N 1,4, B
U 0, 2时，E(A) 1, E( A2 ) 5, E(B) 1, E(B2)
4 3
又因为A, B独立， 故E(AB) E(A)E(B) 1
X (t) t 3, RX (t1, t2 ) 5t1t2 3(t1 t2 ) 12 t1, t2 T
17
例4：求随机相位正弦波X (t) acos(t ) t ,
随机过程课件第6章
[ ] 每一个t∈T ，有 lim E | X (t + h) − X (t) |2 = 0 则称X(ht→)在0 t点均方连续，记作
l.i.m X (t + h) = X (t) h→0
若对T中的一切点都均方连续，则称X(t) 在T上均方连续。
6.3 随机分析简介
[ ] E | X (t + h) − X (t) |2 = RX (t + h, t + h)
解: 因为E[Xn]=0，
RX
(
n,n
−τ
)
=
E[
Xn
X n−τ
]
=
⎧σ
⎨ ⎩0
2, τ =0 ,τ ≠0
所以{Xn,n=0, ±1, ±2,…}是平稳随机序列。
6.1 平稳随机过程的概念
例6.3 设状态连续、时间离散的随机过程
X(t)=sin(2πΘt) ，其中Θ是(0,1)上的均
匀分布随机变量，t只取整数值1,2,…， 试讨论随机过程X(t)的平稳性。
三、均方导数
6.3 随机分析简介
定义6.7 二阶矩过程{X(t),t∈T}，若存在
随机过程X′(t)，满足
lim
⎡ E⎢
X
(t
+
h)
−
X
(t)
−
X ′(t)
2
⎤ ⎥
=
0
h→0 ⎢⎣
h
⎥⎦
则称X(t)在t点均方可微，记作
X ′(t) = dX (t) = l.i.m X (t + h) − X (t)
(3)
n→∞
l.i.m
n→∞
cnU
= cU
6.3 随机分析简介
l.i.m X (t + h) = X (t) h→0
若对T中的一切点都均方连续，则称X(t) 在T上均方连续。
6.3 随机分析简介
[ ] E | X (t + h) − X (t) |2 = RX (t + h, t + h)
解: 因为E[Xn]=0，
RX
(
n,n
−τ
)
=
E[
Xn
X n−τ
]
=
⎧σ
⎨ ⎩0
2, τ =0 ,τ ≠0
所以{Xn,n=0, ±1, ±2,…}是平稳随机序列。
6.1 平稳随机过程的概念
例6.3 设状态连续、时间离散的随机过程
X(t)=sin(2πΘt) ，其中Θ是(0,1)上的均
匀分布随机变量，t只取整数值1,2,…， 试讨论随机过程X(t)的平稳性。
三、均方导数
6.3 随机分析简介
定义6.7 二阶矩过程{X(t),t∈T}，若存在
随机过程X′(t)，满足
lim
⎡ E⎢
X
(t
+
h)
−
X
(t)
−
X ′(t)
2
⎤ ⎥
=
0
h→0 ⎢⎣
h
⎥⎦
则称X(t)在t点均方可微，记作
X ′(t) = dX (t) = l.i.m X (t + h) − X (t)
(3)
n→∞
l.i.m
n→∞
cnU
= cU
6.3 随机分析简介
随机过程课件第1讲
如：
1/2
pj
-1
1
x
2）时间离散——样本函数 xi (t ) 在时间t上也是离散的(序列)。
) X i(t
+1
取值离散
t
-1
二、按随机过程的概率分布或性质来分类 1)、高斯过程、泊松过程、维纳过程——其每一个状态Xj 均为高斯分布、泊松分布、维纳分布。 2)、平稳随机过程——过程的一阶，二阶矩不随时间的变 化而变化 3)、独立增量过程——每一个状态的增量之间相互独立。 三、按随机过程的样本函数的可确定性来分类 1）、确定的随机过程 2）、不确定的随机过程
随机过程的基本概念
1. 随机信号的概念
确定信号－－随时间做有规律的、已知的变化。可以用确定的时间函 数来描述。如：方波、锯齿波。人们可以准确地预测它 未来的变化，即：这次测出的是这种波形，下次测出的 还是这种波形。 随机信号－－随时间做无规律的、未知的、“随机”的变化。无法用 确定的时间函数来描述，无法准确地预测它未来的变化。 这次测出的是这种波形，下次测出的会是另一种波形。
k
0
j
t
2）状态连续——状态取值连续，即幅度上也连续。当t固定时，其 状态Xj是连续型随机变量。 如其概率密度
fj(xj)
xj
2
离散型随机过程 X(t,ζ)
1）状态离散——当t固定时，状态Xj取值离散如（－1，1）,其 状态是离散型随机变量。其概率分布如：
Pj 1 2
−1
0
1
xj
2）时间连续——当ζ固定时，其样本函数 xk (t) 是时间t的连续函 数如： xk (t)
随机信号分析与处理是一门研究随机信号的特点与规律 的学科。 随机信号处理已是现代信号处理的重要理论基础和有效 方法之一。
随机过程获奖示范课课件
2 4 9)( 2
1)
d
1
2
2
j[Res( ( 2
2 4 9)( 2 1)
e j
,
j)
Res(
(
2
2 4 9)( 2
1)
e
j
,
3
j)]
j( 3 e 5 e3 ) 3 e 5 e3
16 j 48 j
16 48
Res( ( 2
2 4 9)( 2 1)
e
j
,
j)
lim(
j
j)
阐明信号旳总能量等于能谱密度在全频域上旳积分. 右式也是总能量旳谱体现式.
因为实际中诸多信号(函数)旳总能量是无限旳, 不满足绝对可积旳条件,所以一般研究x(t)在 (-∞,+ ∞)上旳平均功率,即
lim 1 T x2 (t)dt
T 2T T
为了能利用Fouier变换给出平均功率旳谱体现式, 构造一种截尾函数:
x(t)[
1
2
Fx ()e jtd]dt
1
2
[Fx ()
x(t)e jtdt]d
1
2
2
Fx () d
即
x2 (t)dt 1
2
2
Fx () d
( Parseval等式)
即
x2(t)dt 1
2
2
Fx () d
左边为x(t)在(-,+)上的总能量
右边的被积式 Fx () 2 称为信号x(t)的能谱密度.
T x2 (t)dt lim 1
T
T 4T
2
Fx (,T ) d
1
2
1
lim
T 2T
随机过程课件chapter8平稳过程.pptx
称 X t S t 为随机相位周期信号，讨论其平稳性.
解 由假设， 的概率密度为
f
1 T
,
0＜＜T ,
0, 其它,
于是，均值函数
E［X
t ］
1 T
T
0
S
t
d
1 T
t T
t
S
d
1 T
T
0
S
d
常数
上面的第三个等号用到 S t 的周期性.
BUPT
8
1 平稳过程的概念
解：（续）同样，利用 S S 关于 的周期性，可得
BUPT
14
2.2自相关函数的性质
(4) 若平稳过程 X t 满足条件 X t X t l ，则称它
为周期过程，其中 l 为过程的周期. 周期平稳过程的自相关函 数必是以 l 为周期的周期函数. 因为:
RX l E［X t X t l］ E［X t X t ］ RX .
(5 ) RX 是非负定的，即对任意的 t1,t2 ,tn T 及任意
无关而只与 有关，则称X t,t T为宽(弱、广义)平稳过
程，并称 X 为它的均值， RX 为它的自相关函数.特别地.
一般来说，宽平稳过程不一定是严平稳过程.反过来，严 平稳过程一般也未必是宽平稳过程，因为它的二阶矩不一定 存在.
BUPT
6
1 平稳过程的概念
例 1.2 如果 Xn, n 0, 1, 2, 为互不相关的随机变
(3) RXY 2 RX 0 RY 0 .
这是由于
RXY 2 E［X t Y t ］2 E［X 2 t ］E［Y 2 t ］ RX 0 RY (0)
(4) | RXY( )| 12［RX (0) RY(0)］.
《随机过程》课件
马尔可夫过程的定义与性质
马尔可夫过程是一种重要的随机过程，具有马尔可夫性质，即未来状态只与当前状态有关。本部分将详 细介绍马尔可夫过程的定义和特性。
马尔可夫过程的应用
马尔可夫过程在很多领域都有广泛的应用，如金融风险评估、自然语言处理和社交网络分析等。我们将 义与性质
《随机过程》PPT课件
随机过程是一个重要的数学概念，本课件将深入介绍随机过程的定义、分类 以及常见例子，帮助您全面理解随机过程的本质。
随机过程的定义与随机变量的区别
了解随机过程和随机变量的不同之处对于理解随机过程的基本概念至关重要，本部分将详细讨论它们的 区别及其意义。
随机过程的分类及常见例子
随机过程可以根据其性质和特征进行分类，例如马尔可夫过程、泊松过程、布朗运动等。我们将介绍每 种类型的定义和常见应用。
布朗运动在金融和物理领域的 应用
布朗运动在金融领域和物理领域有着广泛的应用，如金融市场模型和粒子扩 散模型。我们将介绍一些相关的应用场景。
随机过程在数据分析中的应用
频率分析
利用随机过程的特性进行频率域信号分析， 如功率谱估计和频谱分析。
信号处理
利用随机过程的随机性和噪声模型进行信号 处理和滤波。
泊松过程是一种重要的随机过程，具有独立增量和平稳增量的特性。本部分 将详细介绍泊松过程的定义以及其它一些重要的性质。
泊松过程的应用
泊松过程在很多实际问题中具有重要的应用，如事件发生的模拟、人流和交通流量的预测等。我们将分 享一些实际案例。
布朗运动的定义与性质
布朗运动是一种连续时间的随机过程，具有随机漂移和随机扩散的特性。本部分将详细探讨布朗运动的 定义和一些重要的性质。
时域分析
通过对随机过程的统计特性进行分析，如均 值、方差和自相关函数。
《随机过程》课件
泊松过程
定义
泊松过程是一种计数随机过程，其事件的发生是 相互独立的，且具有恒定的平均发生率。
例子
放射性衰变、电话呼叫次数、交通事故等。
应用领域
物理学、工程学、保险学等。
03
随机过程的变换与函数
随机过程的线性变换
线性变换的定义
线性变换是指对随机过程中的每个时间点，将该点的随机变量或随机向量乘以一个常数 或矩阵，并加上另一个常数或矩阵。
应用
微分在随机过程的理论和应用中非常重要，例如在金融 领域中，可以通过计算股票价格的导数来预测股票价格 的变动趋势。
积分的定义
随机过程的积分是指对随机过程中的每个时间点，将该 点的随机变量进行积分。
积分的性质
积分运算可以改变随机过程的统计特性，例如期望、方 差和协方差等。
应用
积分在随机过程的理论和应用中也有重要应用，例如在 信号处理中，可以通过对信号进行积分来提取信号的特 征或进行信号的合成。
连续随机过程
01
定义
连续随机过程是在时间或空间上 连续取值的随机现象的数学模型 。
02
03
例子
应用领域
电子信号、温度波动、随机漫步 等。
物理、工程、金融等。
马尔可夫过程
定义
马尔可夫过程是一种特殊的随机过程，其未来状态只依赖于当前 状态，与过去状态无关。
例子
赌徒输赢的过程、天气变化等。
应用领域
统计学、计算机科学、人工智能等。
将随机信号视为随时间变化的随机变量序列，具有时间和概率的统 计特性。
随机模型
根据实际需求建立信号的随机模型，如高斯过程、马尔可夫过程等 。
信号的滤波与预测
滤波器设计
根据随机模型设计滤波 器，用于提取有用信号 或抑制噪声。
[理学]随机过程第三章课件_OK
![[理学]随机过程第三章课件_OK](https://img.taocdn.com/s3/m/417d490b0242a8956aece446.png)
dFT1 t
dt
et
t 0
这说明泊松过程中的第一个事件 A 到达时间T1 的概率密度为负指数分
布的密度函数。
T1 的平均值为
ET1
tet dt 1
0
3.3 有关泊松过程的几个问题
【一】各次事件间的时间间隔分布:
【参数二】任意相邻两事件间的时间间隔 设 Tn 代表第 n 次出现事件A
和第n 1 次出现事件A 的时间间隔， Tn 也是一个随机变量，则有
1
时有
dp1t
dt
p1
t
p0 t
et
由于p10 PN 0 1 0 所以B1 0 ，得 p1t tet
用数学归纳法可得
pn t
PN t
N 0
n
t n
n!
et
所以定理得到证明。
3.3 有关泊松过程的几个问题
【一】各次事件间的时间间隔分布:
【参数一】第一个事件到达时间 设泊松过程中第一个事件 A 到达时间为
次事件所需的时间。现求第一过程出现第 k 次事件先于第二过程出
现第一次事件的概率，即研究概率 P sk1 s12 。
根据前面分析的结果可知，sk1 的概率密度为
s12 的概率密度为 f
y
e2 y 2
，故
f
x
e1x 1
，1xk1 k 1!
P sk1 s12 f x, y dxdy
PT2 t PNT1 t NT1 0 et
FT2 t PT2 t1 PT2 t1 et
fT2
t
dFT2 t
dt
et
t 0
t 0
同理 FTn t 1 et ; fTn t et t 0
随机过程课件
3.2 随机过程的数字特征
为Ft x ，密度函数为t x ， f 则
t T，随机过程 X t , t T 的一维分布函数
2 Xt
二、方差函数
Var X t E X t EX t
称为随机过程X t , t T 的方差函数 .
若E X t x dFt x , 则称随机
5
1 e 2
2 t
1 e 2
2 t
e
2 t
P X P X P X P X
3.3 离散事件和离散型随机过程
P X t1 X t 2 1
t1
t1
t1 t1
1, X 1 P X 1, X 1 1, X 1 P X 1, X 1 1P X 1 P X 1P X 1
3.3 离散事件和离散型随机过程
E X i p 1 p 2 p 1
E X i p 1 p 1
2
Var X i E X i EX i 1 2 p 1
2 2
2
E Yn E
n2 p 1
Ft1 ,,tn x1 ,, xn P X t1 x1 ,, X t n xn
称为随机过程X t , t T n维分布函数 的 .
4 Ft1 ,,tn x1 , , xn : n 1, t1 , , t n T
0
称为X t , t T 的有穷维分布函数族.
3.3 离散事件和离散型随机过程
Y Y P X t 1 P t 1 t 3
《概率论与数理统计》课件-随机过程
06
随机过程的未来发展与挑战
随机过程理论的发展趋势
随机过程与大数据的结合
随着大数据技术的快速发展，如何将随机过程与大数据分 析相结合，挖掘出更多有价值的信息和模式，是未来的一 个重要研究方向。
复杂系统中的随机过程
研究复杂系统中的随机过程，如金融市场、生态系统、社 交网络等，以揭示其内在的运行规律和动态特性。
02
随机过程的基本ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ型
独立增量过程
总结词
描述随机过程中事件发生次数随时间变化的过程，其中每次事件的发生都是独立 的。
详细描述
独立增量过程是指随机过程中事件发生次数在不相重叠的时间区间内相互独立， 即每次事件的发生与其他时间点的事件无关。这种过程在保险、金融等领域有广 泛应用。
马尔科夫过程
总结词
描述一个随机系统在给定当前状态的情况下，未来状态只依 赖于当前状态的过程。
详细描述
马尔科夫过程是一种特殊的随机过程，其中下一个状态只与 当前状态有关，而与过去状态无关。这种过程在自然现象、 社会现象和工程领域中都有广泛的应用，如天气预报、股票 价格波动等。
泊松过程
总结词
描述随机事件在单位时间内按照恒定速率独立发生的随机过程。
该方法通过大量随机抽样，得到概率分布的近似结果，具有简单、灵活和通用性强 的特点。
蒙特卡洛方法在金融、物理、工程等领域有广泛应用，如期权定价、核反应堆模拟 等。
离散事件模拟方法
离散事件模拟方法是一种基于 事件驱动的模拟方法，适用于 描述离散状态变化的过程。
该方法通过跟踪系统中的事件 发生和状态变化，来模拟系统 的动态行为。
离散事件模拟方法在交通运输 、生产制造、通信网络等领域 有广泛应用。
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A∪ B
B
二、事件的关系和运算 ☞事件的并(和) ☮有限个事件的和事件：A1,A2,•••,An
Ai ⇒
i 1
n
☮无限多个事件的和事件：A1,A2,•••,An, ••• ⇒ ☞事件的交(积)
i 1
Ai
A∩B ⇔ AB ：A 与B 的积事件； A∩B ⇔ 事件 A与事件B 同时发生。
绪 论
教学目标
充分理解、熟练掌握教材的内容
◙ 熟练掌握基本的数学概念和定理； ◙ 熟练掌握随机过程研究对象的数学描述；
通过学习和练习，具备一定的分析、解决本专业具体 问题的能力；
掌握一定的科学思想方法； 创造性从事本专业领域科研工作。
绪 论
要求——同学们
学习过程
课前预习 课上认真听讲
A∩B =Ø⇔ A、B不可能同时发生
A1 , A2 ,, An 两两互斥 Ai A j , i j , i, j 1,2,, n
A
B
☞事件的对立
B A
A
Ω
A∩B =Ø且A∪B= ：
个发生.
A与B互相对立⇔每次试验 A、 B中有且只有一
称B 为A的对立事件(or逆事件)，记为B A 注意：“A与B 互相对立”与“A 与B 互斥”是 不同的概念
☞抽取的是精装中文版数学书 ⇒ ☞精装书都是中文书 ⇒
A B C
C B
☞非数学书都是中文版的，且中文版的书都是
非数学书 ⇒
AB
《随机过程》教程
《随机过程》
教材： ◙ 张卓奎,陈慧婵，随机过程.西安电子科技大 学.2003. 主要参考文献： ◙ 胡奇英编著,随机过程.西安电子科技大学.1998. ◙ 周荫清 ,随机过程习题集. 清华大学出版社, 2004. 纟 金 ,应用随机过程. 清华大学出版社, 2002. ◙ 林元烈
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8
概述 基本概念 随机变量、分布函数及数字特征 矩母函数、特征函数 条件数学期望 随机向量及其多维特征函数 正态随机向量 小结
1.1 概述
必然现象——必然发生或不可能发生
现 象
⊕同性电荷互相排斥 ； ⊕在标准大气条件下，纯水加热到100℃沸腾； ⊕在恒力作用下的质点作等加速运动 ； ••••••
概率论发展历程：
概率论是一门研究客观世界随机现象数量规律的数学 分支学科 概率(或然率或几率) ——随机事件出现的可能性的 量度； 概率论其起源与博弈、保险、天气预报等问题有关 ⊕16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博中的 一些问题； ⊕17世纪中叶，「现有两个赌徒相约赌若干局， 谁先赢S局就算赢了，当赌徒A赢K局(K<S)，而赌徒B 赢L局(L<S)时，赌博中止，赌资应怎样分才合理呢？」 数学家费马、帕斯卡、惠更斯等采用基于排列组 合的方法，解决了“ 合理分配赌注问题” 。
绪 论
《随机过程》基础
高等数学
线性代数 概率论
绪 论
学习《随机过程》意义
在科学研究中，只有借助于数学才能精确地描述一个 现象的不同量之间的关系； 随机过程理论在自然科学和工程技术研究的许多领域 都得到广泛的应用例如物理、化学、生物、通信、机 电、自动化、地震、海洋、医学、气象、航空航天等 学科中均有着广泛的应用。 随机过程理论在社会科学中例如在社会统计，保险学、 经济、金融工程、管理中也得到极其广泛的应用。 为从事科学研究打下坚实的基础；
随机现象——结果不能预先确定，而只是多 种可能结果中的一种
⊕掷一枚均匀硬币（骰子）； ⊕明天降水概率0.3 ； ⊕经济发展趋势； ••••••
☞例： 粉笔从手中脱落 → 朝下落 ( 必然事件 )→ 碎成几段 (随机事件) ☞拉普拉斯曾说：“生活中最重要的问题，其中 绝大多数在实质上只是概率的问题”。 ☞概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。 在实际中，人们往往还需要研究在时间推进中某 一特定随机现象的演变情况，描述这种演变的就 是概率论中的随机过程。
☮有限个事件的积事件：A1,A2,•••,An
A
A∩B
n
B
i 1 i
⇒ A
i 1
☮无限多个事件的积事件：A1,A2,•••,An, ••• ⇒ Ai
☞事件的差 A-B ：A 与B 的差事件；
A
A B
Ω
B
A-B发生 事件 A 发生，但事件 B 不发生
☞事件的互斥(互不相容)
A∩B =Ø⇔ AB =Ø ：A 与B 互斥
Ai Ai
i 1 i 1
n
n
运算顺序： 逆交并差，括号优先
例:利用事件关系和运算表达多个事件的关系
☞
A,B,C 都不发生⇒
A B C A B C
☞
A,B,C 不都发生⇒
A B C A B C
例：在图书馆中随意抽取一本书，事件A表示 数学书，B表示中文书，C表示平装书。
⊕十九世纪泊松、切比雪夫、马尔科夫……近代概率 论开拓者。 ⊕1933前苏联数学家柯尔莫哥洛夫以测度论为基础, 给出概率论公里化体系，严谨、完整的现代概率论开 始。
•
•
•
•
⊕到了20世纪人们开始研究随机过程，1905年爱因斯 坦和斯莫卢霍夫斯基各自独立地研究了布朗运动。 ⊕1907年马尔可夫在研究随机变量序列时，提出了现 今称之为马尔可夫链（马尔可夫过程）的概念； ⊕1934辛钦研究了平稳过程的相关理论。 ⊕从1938年开始，莱维系统深入地研究了布朗运动， 建立了独立增量过程的一般理论。他的著作《随机过 程与布朗运动》(1948)至今仍是随机过程理论的一本 经典著作。 ⊕由于科学技术中许多实际问题的推动以及概率论逻 辑基础的建立，概率论从20世纪30年代以来得到了迅 速的发展。目前其主要研究内容大致可分为极限理论， 独立增量过程，马尔可夫过程，平稳过程和时间序列， 鞅和随机微分方程，点过程等。
可在相同的条件下重复进行； 试验结果不止一个，但能明确所有的结果； 试验前不能预知出现哪种结果。
为样本空间，记为 ；
☞样本空间： 随机试验E所有可能的结果组成的集合称
☞样本点：样本空间的元素，即E的直接结果，称为样
本点，常记为 ， = {}；
☞基本事件：仅由一个样本点所组成的子集， 它是随机试验的直接结果，每次试验必定发 生且只可能发生一个基本事件； ☞随机事件发生：组成随机事件的一个样本点 发生； ☞必然事件：全体样本点组成的事件,记为， 每次试验必定发生的事件； ☞不可能事件：每次试验必定不发生的事情， 不包含任何样本点的事件 ,记为 ☞随机事件：样本空间的子集,常记为 A ,B ,…它是满足某些条件的样本点所组成 的集合.
二、事件的关系和运算
随机事件的关系和运算⇔集合的关系和运算
A
☞事件的包含
A⊂B ：A 包含于B ⇔ 事件 A 发生必导致事件 B 发生；
☞事件的相等 A=B ⇔ A⊂B 且 B ⊂ A
☞事件的并(和)
A∪B ⇔ A+B ：A 与B 的和事件⇔
A∪B ⇔事件 A与事件B 至少有一个发生
A
B
A
二、事件的关系和运算
☞完备事件组
A1 , A2 , , An
两两互斥，且 Ω Ai
i 1 n
若
A1 , A2 ,, An
则称 A1 , A2 , , An 为完备
事件组或称为Ω 的一个划分。
A1
A2
A3
An
An 1
三、运算律
事件运算
☞吸收律 A
A A A ( A B) A
……
绪 论
内容提要
希望•目标
主要内容简介
学习《随机过程》意义
教学目标
要求
考核方式
绪 论
希望•目标
作为教师 ◙ 认真备课、尽职尽责、任劳任怨； ◙ 教学相长，真诚交流，教的过程也是教师学的过程；
作为同学们
◙ 快乐学习、自主学习、创新学习； ◙ 勤奋、刻苦、合作、探索；
绪 论
希望•目标
集合运算
A A A A ( A B) A
☞重余律
A A
A A A
A A A
☞幂等律
☞差化积
A B A B A ( A B)
三、运算律
☞交换律 ☞结合律
事件运算
集合运算
A B B A A B B A
( A B) C A ( B C ) ( A B) C A ( B C )
课后认真复习 消化、作业
掌握知识过程： 反复思维、勤于实践，所学知识“关联”； 经常进行阶段复习，认真做好读书笔记。
保障措施 ◙不得迟到、早退、缺课； ◙作业。
绪 论
考试计分规则
最后期终考试成绩占80％ 平时成绩占20％ ◙ 作业 ◙ 出勤
绪 论
第一章概率论基础
1.2.1基本术语及事件的运算关系 一、基本术语
☞随机现象：
每次试验前不能预言出现什么结果；
每次试验后出现的结果不止一个；
在相同的条件下进行大量的观察或试验时，出现的结
果有一定的规律性—— 称之为统计规律性；
☞试验：对某一事物特征进行观察, 统称试验。 ☞随机试验：若它有如下特点,则称为随机试验, 用E表示：
• •
⊕ 1657年，荷兰数学家惠根斯﹝1629-1695﹞： 《论赌博中的计算》——奠定了古典概率论的基础。 ⊕瑞士数学家伯努利﹝1654-1705﹞建立了概率论中 的第一个极限定理，我们称为「伯努利大数定理」， 著《猜度术》。 ⊕数学家拉普拉斯浦丰、辛普生……。 ⊕1812年法国数学家Laplace《分析概率论》——概 率论完整体系建立。
B
二、事件的关系和运算 ☞事件的并(和) ☮有限个事件的和事件：A1,A2,•••,An
Ai ⇒
i 1
n
☮无限多个事件的和事件：A1,A2,•••,An, ••• ⇒ ☞事件的交(积)
i 1
Ai
A∩B ⇔ AB ：A 与B 的积事件； A∩B ⇔ 事件 A与事件B 同时发生。
绪 论
教学目标
充分理解、熟练掌握教材的内容
◙ 熟练掌握基本的数学概念和定理； ◙ 熟练掌握随机过程研究对象的数学描述；
通过学习和练习，具备一定的分析、解决本专业具体 问题的能力；
掌握一定的科学思想方法； 创造性从事本专业领域科研工作。
绪 论
要求——同学们
学习过程
课前预习 课上认真听讲
A∩B =Ø⇔ A、B不可能同时发生
A1 , A2 ,, An 两两互斥 Ai A j , i j , i, j 1,2,, n
A
B
☞事件的对立
B A
A
Ω
A∩B =Ø且A∪B= ：
个发生.
A与B互相对立⇔每次试验 A、 B中有且只有一
称B 为A的对立事件(or逆事件)，记为B A 注意：“A与B 互相对立”与“A 与B 互斥”是 不同的概念
☞抽取的是精装中文版数学书 ⇒ ☞精装书都是中文书 ⇒
A B C
C B
☞非数学书都是中文版的，且中文版的书都是
非数学书 ⇒
AB
《随机过程》教程
《随机过程》
教材： ◙ 张卓奎,陈慧婵，随机过程.西安电子科技大 学.2003. 主要参考文献： ◙ 胡奇英编著,随机过程.西安电子科技大学.1998. ◙ 周荫清 ,随机过程习题集. 清华大学出版社, 2004. 纟 金 ,应用随机过程. 清华大学出版社, 2002. ◙ 林元烈
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8
概述 基本概念 随机变量、分布函数及数字特征 矩母函数、特征函数 条件数学期望 随机向量及其多维特征函数 正态随机向量 小结
1.1 概述
必然现象——必然发生或不可能发生
现 象
⊕同性电荷互相排斥 ； ⊕在标准大气条件下，纯水加热到100℃沸腾； ⊕在恒力作用下的质点作等加速运动 ； ••••••
概率论发展历程：
概率论是一门研究客观世界随机现象数量规律的数学 分支学科 概率(或然率或几率) ——随机事件出现的可能性的 量度； 概率论其起源与博弈、保险、天气预报等问题有关 ⊕16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博中的 一些问题； ⊕17世纪中叶，「现有两个赌徒相约赌若干局， 谁先赢S局就算赢了，当赌徒A赢K局(K<S)，而赌徒B 赢L局(L<S)时，赌博中止，赌资应怎样分才合理呢？」 数学家费马、帕斯卡、惠更斯等采用基于排列组 合的方法，解决了“ 合理分配赌注问题” 。
绪 论
《随机过程》基础
高等数学
线性代数 概率论
绪 论
学习《随机过程》意义
在科学研究中，只有借助于数学才能精确地描述一个 现象的不同量之间的关系； 随机过程理论在自然科学和工程技术研究的许多领域 都得到广泛的应用例如物理、化学、生物、通信、机 电、自动化、地震、海洋、医学、气象、航空航天等 学科中均有着广泛的应用。 随机过程理论在社会科学中例如在社会统计，保险学、 经济、金融工程、管理中也得到极其广泛的应用。 为从事科学研究打下坚实的基础；
随机现象——结果不能预先确定，而只是多 种可能结果中的一种
⊕掷一枚均匀硬币（骰子）； ⊕明天降水概率0.3 ； ⊕经济发展趋势； ••••••
☞例： 粉笔从手中脱落 → 朝下落 ( 必然事件 )→ 碎成几段 (随机事件) ☞拉普拉斯曾说：“生活中最重要的问题，其中 绝大多数在实质上只是概率的问题”。 ☞概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。 在实际中，人们往往还需要研究在时间推进中某 一特定随机现象的演变情况，描述这种演变的就 是概率论中的随机过程。
☮有限个事件的积事件：A1,A2,•••,An
A
A∩B
n
B
i 1 i
⇒ A
i 1
☮无限多个事件的积事件：A1,A2,•••,An, ••• ⇒ Ai
☞事件的差 A-B ：A 与B 的差事件；
A
A B
Ω
B
A-B发生 事件 A 发生，但事件 B 不发生
☞事件的互斥(互不相容)
A∩B =Ø⇔ AB =Ø ：A 与B 互斥
Ai Ai
i 1 i 1
n
n
运算顺序： 逆交并差，括号优先
例:利用事件关系和运算表达多个事件的关系
☞
A,B,C 都不发生⇒
A B C A B C
☞
A,B,C 不都发生⇒
A B C A B C
例：在图书馆中随意抽取一本书，事件A表示 数学书，B表示中文书，C表示平装书。
⊕十九世纪泊松、切比雪夫、马尔科夫……近代概率 论开拓者。 ⊕1933前苏联数学家柯尔莫哥洛夫以测度论为基础, 给出概率论公里化体系，严谨、完整的现代概率论开 始。
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⊕到了20世纪人们开始研究随机过程，1905年爱因斯 坦和斯莫卢霍夫斯基各自独立地研究了布朗运动。 ⊕1907年马尔可夫在研究随机变量序列时，提出了现 今称之为马尔可夫链（马尔可夫过程）的概念； ⊕1934辛钦研究了平稳过程的相关理论。 ⊕从1938年开始，莱维系统深入地研究了布朗运动， 建立了独立增量过程的一般理论。他的著作《随机过 程与布朗运动》(1948)至今仍是随机过程理论的一本 经典著作。 ⊕由于科学技术中许多实际问题的推动以及概率论逻 辑基础的建立，概率论从20世纪30年代以来得到了迅 速的发展。目前其主要研究内容大致可分为极限理论， 独立增量过程，马尔可夫过程，平稳过程和时间序列， 鞅和随机微分方程，点过程等。
可在相同的条件下重复进行； 试验结果不止一个，但能明确所有的结果； 试验前不能预知出现哪种结果。
为样本空间，记为 ；
☞样本空间： 随机试验E所有可能的结果组成的集合称
☞样本点：样本空间的元素，即E的直接结果，称为样
本点，常记为 ， = {}；
☞基本事件：仅由一个样本点所组成的子集， 它是随机试验的直接结果，每次试验必定发 生且只可能发生一个基本事件； ☞随机事件发生：组成随机事件的一个样本点 发生； ☞必然事件：全体样本点组成的事件,记为， 每次试验必定发生的事件； ☞不可能事件：每次试验必定不发生的事情， 不包含任何样本点的事件 ,记为 ☞随机事件：样本空间的子集,常记为 A ,B ,…它是满足某些条件的样本点所组成 的集合.
二、事件的关系和运算
随机事件的关系和运算⇔集合的关系和运算
A
☞事件的包含
A⊂B ：A 包含于B ⇔ 事件 A 发生必导致事件 B 发生；
☞事件的相等 A=B ⇔ A⊂B 且 B ⊂ A
☞事件的并(和)
A∪B ⇔ A+B ：A 与B 的和事件⇔
A∪B ⇔事件 A与事件B 至少有一个发生
A
B
A
二、事件的关系和运算
☞完备事件组
A1 , A2 , , An
两两互斥，且 Ω Ai
i 1 n
若
A1 , A2 ,, An
则称 A1 , A2 , , An 为完备
事件组或称为Ω 的一个划分。
A1
A2
A3
An
An 1
三、运算律
事件运算
☞吸收律 A
A A A ( A B) A
……
绪 论
内容提要
希望•目标
主要内容简介
学习《随机过程》意义
教学目标
要求
考核方式
绪 论
希望•目标
作为教师 ◙ 认真备课、尽职尽责、任劳任怨； ◙ 教学相长，真诚交流，教的过程也是教师学的过程；
作为同学们
◙ 快乐学习、自主学习、创新学习； ◙ 勤奋、刻苦、合作、探索；
绪 论
希望•目标
集合运算
A A A A ( A B) A
☞重余律
A A
A A A
A A A
☞幂等律
☞差化积
A B A B A ( A B)
三、运算律
☞交换律 ☞结合律
事件运算
集合运算
A B B A A B B A
( A B) C A ( B C ) ( A B) C A ( B C )
课后认真复习 消化、作业
掌握知识过程： 反复思维、勤于实践，所学知识“关联”； 经常进行阶段复习，认真做好读书笔记。
保障措施 ◙不得迟到、早退、缺课； ◙作业。
绪 论
考试计分规则
最后期终考试成绩占80％ 平时成绩占20％ ◙ 作业 ◙ 出勤
绪 论
第一章概率论基础
1.2.1基本术语及事件的运算关系 一、基本术语
☞随机现象：
每次试验前不能预言出现什么结果；
每次试验后出现的结果不止一个；
在相同的条件下进行大量的观察或试验时，出现的结
果有一定的规律性—— 称之为统计规律性；
☞试验：对某一事物特征进行观察, 统称试验。 ☞随机试验：若它有如下特点,则称为随机试验, 用E表示：
• •
⊕ 1657年，荷兰数学家惠根斯﹝1629-1695﹞： 《论赌博中的计算》——奠定了古典概率论的基础。 ⊕瑞士数学家伯努利﹝1654-1705﹞建立了概率论中 的第一个极限定理，我们称为「伯努利大数定理」， 著《猜度术》。 ⊕数学家拉普拉斯浦丰、辛普生……。 ⊕1812年法国数学家Laplace《分析概率论》——概 率论完整体系建立。