相似三角形经典模型总结及例题分类

相似三角形经典模型总结

经典模型

【精选例题】 “平行型”

【例 1】 如图，EEJ / FFJ / MM 1，若 AE=EF=FM=MB ,

贝V S.A E ® ： S 四边形EE 1F 1F : S 四边形FF 1M 1M : S 四边形MM QB 二

翻折180°

翻折180°

V

平行型

斜交型

斜交型

平行型

斜交型

双垂直

双垂直

特殊

平移

翻折180°

一般

平移

旋转180°

一般

一般

特殊

特殊

C

1

［例2】如图，AD// EF M/N BC若AD =9 , BC =18 , AE :EM :MB = 2:3: 4,则EF = _____ , MN = ______

长线，AB的延长线分别相交于点E，F，G，H

求证：

PE PH PF 一PG

【例3】已知, P为平行四边形ABCD对角线，AC上一点，过点P的直线与

AD , BC , CD的延

【例4】已知：在ABC中，D为AB中点, 求目

匸的值

EF E为AC上一点，且Ah2，BE、CD相交于点F ,

N

C

WORD整理版

1 1

【例引

已知：在ABC中，AD AB，延长BC到F,使CF BC ,连接FD交AC于点E

2 3

AE =2CE

求证: ① DE 二EF ②

【例6】已知：D , E为三角形ABC中AB、BC边上的点，连接DE并延长交AC的延长线于点F , BD: DE 二AB:AC

求证：:CEF为等腰三角形

【例7】如图，已知AB//EF / /CD，若AB =a，CD = b，EF = c，求证：1 =——

cab

【例8】如图，找出S.ABD、S BED、S.BCD之间的关系，并证明你的结论

【例9】如图，四边形ABCD中，B=/D =90，M是AC上一点，ME _ AD于点E , MF _ BC

于占

J

F 求证: MF ME ,

1

AB CD

C

【例10】如图，在ABC中，D是AC边的中点，过D作直线EF交AB于E,交BC的延长线于F 求证：AE BF 二BE CF

【例11】如图，在线段AB上，取一点C，以AC，CB为底在AB同侧作两个顶角相等的等腰三角形

ADC和CEB，AE交CD于点P，BD交CE于点Q,

求证：CP =CQ

【例12】阅读并解答问题.

在给定的锐角三角形ABC中，求作一个正方形DEFG，使D，E落在BC边上，F , G分别落在AC , AB边上，作法如下：

第一步：画一个有三个顶点落在ABC两边上的正方形D'E'F'G'如图，

第二步：连接BF'并延长交AC于点F

第三步：过F点作FE _ BC ,垂足为点E 第四步：过F点作FG // BC交AB于点G 第五步：过G点作GD _ BC，垂足为点D 四边形DEFG即为所求作的正方形

问题：⑴证明上述所作的四边形DEFG为正方形

⑵在ABC中，如果BC =6「3 , ABC =45 , • BAC = 75 ,求上述正方形DEFG的边长

B D' E' D E C

“平行旋转型”图形梳理:

C , E', F'共线

【例13】已知梯形ABCD , AD // BC，对角线AC、BD互相垂直，则

①证明：AD2 BC2二AB2 CD2

色AEF旋转到公AE 一AEF旋转到一AE ' F' AAEF旋转到至AE '

'

二AEF旋转到二AE '

F' △AEF旋转至U色AE ' F'

△AEF旋转至U色AE ' F' △AEF旋转至U色AE ' F'

【例14】当 MOD ，以点O 为旋转中心，逆时针旋转 日度（0£日＜90），问上面的结论是否成立，请 说明理由

D

【例15】（全国初中数学联赛武汉选拔赛试题）如图，四边形

AG : DF : CE = ___________ .

“斜交型”

【例16】如图，.:ABC 中，D 在AB 上，且DE // BC 交AC 于E , F 在AD 上，且AD^AF AB , 求证：

AEF L ACD

【例17】如图，等边三角形 ABC 中，D , E 分别在BC , AB 上，且CE 二BE , AD , CE 相交于M , 求证：

EAM L ECA

ABCD 和BEFG 均为正方形，求

G

F

B

E

D

C

D

【例18】如图，四边形 ABCD 的对角线相交于点 O , . BAC — CDB ,求证：.DAC = . CBD

AB BC CA

【例佃】如图，设伴二CA ，则.仁.2吗?

AD DE EA

等于18和2，DE =2，求AC 边上的高

BD 1

【例21】如图，在等边 ABC 的边BC 上取点D ，使 ，作CH _AD ，H 为垂足，连结BH 。

CD 2

求证： DBH "DAB

【例20】在锐角三角形 ABC 中,

AD ，CE 分别为BC ，AB 边上的高

,

ABC 和 BDE 的面积分别

D