基本关系运算
第二讲 集合之间的基本关系及其运算
第二讲 集合之间的基本关系及其运算一．知识盘点知识点一：集合间的基本关系注意：1.A B A B B AA B A B A B A B =⇔⊆⊆⎧⊆⎨⊂⇔⊆≠⎩且且2.涉及集合间关系时，不要忘记空集和集合本身的可能性。
3.集合间基本关系必须熟记的3个结论（1）空集是任意一个集合的子集；是任意一个非空集合的真子集，即,().A B B Φ⊆Φ⊂≠Φ(2)任何一个集合是它自身的子集，空集只有一个子集即本身 （3）含有n 个元素的集合的子集的个数是2n 个，非空子集的个数是21n - ；真子集个数是21n - ，非空真子集个数是22n -。
知识点二：集合的基本运算运算 符号语言 Venn 图 运算性质交集{}|A B x x A =∈∈且x B()(),AB A A B B ⊆⊆ (),AA A AB B A ==A B A A B =⇔⊆ A Φ=Φ并集{}|A B x x A x B =∈∈或()(),A A B B A B ⊆⊆ (),A A A A B B A ==,A B B A B A A =⇔⊆Φ=补集{}|U C A x x U x A =∈∉且,U U C U C U =ΦΦ=()(),U U U C C A A A C A U ==()U AC A =Φ()()()U U U C A B C A C B = ()()()U U U C A B C A C B =二．例题精讲Ep1.下列说法正确的是A. 高一（1）班个子比较高的同学可以组成一个集合B. 集合{}2|,x N x x ∈= 则用列举法表示是{}01，UAC. 如果{}264,2,m m ∈++2， 则实数m 组成的集合是{}-22，D. {}{}(){}222||,|x y xy y x x y y x =====解析：A.与集合的确定性不符；B.对；C.与集合的互异性不符；D 。
{}2|x y x R == ,{}{}2||0y y x y y ==≥ ，(){}2,|x y y x = 是二次函数2y x = 的点集Ep2.已知集合A={}2|1log ,kx N x ∈<< 集合A 中至少有三个元素，则A.K>8B.K ≥ 8C.K>16D.K ≥ 16解析：由题设,集A 至少含有2，3，4三个元素，所以2log 4k> ，所以k>16.Ep3.已知集合M={}{}2|,|,x y x R N x x m m M =∈==∈ ,则集合M 、N 的关系是A.M N ⊂B.N M ⊂C.R M C N ⊆D.R N C M ⊆ 解析：[]1,1M =- ，{}|01N x x =≤≤ ，故选B.Ep4.已知集合M={}0,1 ,则满足M N M = 的集合N 的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 解析：M N M =，故N M ⊆ ,故选D.Ep5已知集合{}{}2|1,|1M x x N x ax ==== ,如果N M ⊆ ,则实数a 的取值集合是{}.1A {}.1,1B - {}.0,1C {}.1,0,1D -解析：{}1,1M =- , N M ⊆,故N 的可能：{}{}{},1,1,1,1Φ-- ，故a 的取值集合{}1,0,1-Ep6.已知集合{}{}2|20180,|lg(3)A x x x B x N y x =-+≥=∈=- ，则集合A B 的子集的个数是解析：{}|02018A x x =≤≤ ，{}{}|3-x>00,1,2B x N =∈= ，故{}0,1,2A B = 故子集个数328=A.4B.7C.8D.16Ep7.已知集合{}{}2|2,|M x x x N x x a =<+=> ，如果M N ⊆ ,则实数a 的取值范围是.(,1]A -∞- .(,2]B -∞ .[2,)C +∞ .[1,)D -+∞解析：{}|12M x x =-<< ，M N ⊆，故1a ≥-Ep8.已知集合{}2|30A x N x x *=∈-< 则满足B A ⊆ 的集合B 的个数是 A.2 B.3 C.4 D.8 解析：{}{}|03=12A x N x *=∈<<， ，故选CEp9.已知集合{}{}|12,|13,M x x N x x M N =-<<=≤≤=则.(1,3]A - B.(1,2]- .[1,2)C D.(2,3]解析：选CEp10.如果集合{}{}(1)2|10,|log 0,x A x x B x -=-≤≤=≤则A B={}.|11A x x -≤< {}.|11B x x -<≤ {}.0C {}.|11D x x -≤≤ 解析：{}10||0111x B x x x x ⎧->⎫⎧==≤<⎨⎨⎬-≤⎩⎩⎭，故选D.Ep11.设集合 {}{}2|11,|,,()R A x x B y y x x A A C B =-<<==∈=则{}.|01A x x ≤< {}.|10.B x x -<< {}|01C x x =<< {}.|11D x x -<<解析：{}|01B y y =≤<，则{}|01R C B y y =<≥或y，(){}{}{}|11|01|10R AC B x x y y y x x =-<<<≥=-<<或 选B.Ep12.已知集合{}{}2|11,|20,A x x B x x x =-<<=--<则 )R C A B =（.(1,0]A - .[1,2)B - .[1,2)C .(1,2]D解析：{}|12B x x =-<< ，{}|11R C A x x x =≤-≥或 (){}|12R C A B x x =≤< ，选C.三．总结提高1.题型归类（1）2个集合之间的关系判断（2）已知2个集合之间的关系，求参数问题 （3）求子集或真子集的个数问题 （4）2个有限集之间的运算（5）1个有限集和1个无限集之间的运算 （6）2个无限集之间的运算（7）已知集合的运算结果，求参数问题 2.方法总结（1）判断集合间关系的方法a.化简集合，从表达式中寻找两个集合之间的关系b.用列举法表示集合，从元素中寻找关系c.利用数轴，在数轴上表示出两个集合（集合为数集），比较端点之间的大小关系，从而确定两个集合之间的关系。
关系运算除的概念 -回复
关系运算除的概念-回复题目：关系运算除的概念及详解引言：关系代数是计算机科学中关系型数据库的基础。
关系运算是关系代数中的一种基本操作，分为除运算、交、差、并、选择、投影、连接和自然连接等多种形式。
本文将详细介绍关系运算除的概念、用法以及相关示例。
一、概念解析：关系运算除是指在关系模型中，将两个关系R和S进行运算，得到一个新的关系，并且该关系中的每个元组在R中均出现，但是不在S中出现。
也就是说，除运算是找出在一个关系中但不在另一个关系中的元组。
除运算的结果是一个新的关系，其中包含了符合条件的元组。
二、除运算的符号和语法：除运算通常用符号“÷”表示。
在关系中，除运算的语法可以表示为：R÷S，其中R和S是两个关系。
三、除运算的实例分析：为了更好地理解除运算的概念，我们以一个具体的示例进行分析。
假设有以下两个关系表：R：A B1 a2 b3 c4 dS：C D1 x2 y3 z现在我们要进行R÷S运算。
1. 首先，我们需要找出关系R中的每个元组在关系S中是否存在。
根据示例表格，可以发现R中的A列对应的值1、2、3都存在于S关系的C 列中。
2. 接下来，我们需要找出关系R中的每个元组是否在关系S中出现。
根据示例，关系R中的A列对应的值4在S关系的C列中不存在。
3. 根据除运算的定义，我们需要找出在R中但不在S中的元组。
所以除运算的结果为：A B4 d四、除运算的计算规则：1. 除运算的结果是一个新的关系，其中包含了符合条件的元组。
2. 除运算的结果关系的属性集合与被除关系相同，即结果关系的属性集合等于被除关系的属性集合。
3. 除运算的结果关系的每个元组在被除关系中均出现，但是不在除数关系中出现。
五、除运算的应用场景：1. 考虑一个学生选课系统，其中有一个学生成绩表和一个课程表。
除运算可以应用于找出没有选课的学生信息。
2. 在生产管理中，除运算可以帮助我们找出没有完成生产的产品。
关系的运算
设R、S、T、Q 为任意的关系，满足S T，则有： 1 R◦ S R◦ T 2 S◦ Q T◦ Q
4.3.4 复合运算
定义4.11
设R为A 上的关系，n为自然数，则R的n次幂定义为： （1） R0 = {<x, x>|x A} = IA （2） Rn+1 = Rn◦ R, n 0 由该定义可以看出，A 上的任何二元关系的0次幂都相等，等于A 上的恒等关系IA ，并且有： R1 = R0◦ R = IA◦ R = R 给定A 上的关系R和自然数n，怎样计算Rn呢？若n是0或1，结果是很简单的。 下面考虑n≥2的情况： （1）如果R是用集合表达式给出的，可以根据定义通过n-l次右复合计算得到Rn 。
4.3.4 复合运算
关系矩阵M R 和M S 的布尔乘法:
设集合X={x1, x2, …,xm}，Y={y1, y2, …,yn}，Z={z1, z2, …,zp}，R是从X到Y的二元关系，其关系 矩阵是M R ，S是从Y到Z的二元关系，其关系矩阵是M S ，求R◦ S的关系矩阵M R ◦ S的方法如 下：
4.3.1定义域与值域
定义4.8
设R是二元关系，A 为集合，
（1）R在A 上的限制记作R↾ A，其中 R↾ A = {<x, y>|xRyxA}
（2）A在R 下的像记作R[A]，其中 R[A]=ran (R↾ A)
由定义可得出，R在A 上的限制R↾ A 是R的子关系，而A 在R下的像R[A]是ranR的子集。
例2.14
设 R = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <2, 4>, <3, 2>} R↾ {2} = {<2, 2>, <2, 4>}, R[{2}] = {2,4}
高中数学集合的基本关系及运算
集合的基本关系及运算要点一、集合之间的关系1.集合与集合之间的“包含”关系集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ；子集：如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集.记作：A B(B A)⊆⊇或，当集合A 不包含于集合B 时，记作A B ，用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：A B(B A)⊆⊇或要点诠释：（1）“A 是B 的子集”的含义是：A 的任何一个元素都是B 的元素，即由任意的x A ∈，能推出x B ∈．（2）当A 不是B 的子集时，我们记作“A ⊆B (或B ⊇A )”，读作：“A 不包含于B ”（或“B 不包含A ”）．真子集：若集合A B ⊆，存在元素x ∈B 且x A ∉，则称集合A 是集合B 的真子集(proper subset).记作：A B(或B A)规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 2.集合与集合之间的“相等”关系A B B A ⊆⊆且，则A 与B 中的元素是一样的，因此A=B要点诠释：任何一个集合是它本身的子集，记作A A ⊆．要点二、集合的运算 1.并集一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作：A ∪B 读作：“A 并B ”，即：A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B}Venn 图表示：要点诠释：（1）“x ∈A ，或x ∈B ”包含三种情况：“,x A x B ∈∉但”；“,x B x A ∈∉但”；“,x A x B ∈∈且”．（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).2.交集一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集；记作：A ∩B ，读作：“A 交B ”，即A ∩B={x|x ∈A ，且x ∈B}；交集的Venn 图表示：要点诠释：（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A 与B 没有公共元素时，不能说A 与B 没有交集，而是A B =∅．（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A ∩B 中的任意元素都是A 与B 的公共元素”，同时“A 与B 的公共元素都属于A ∩B ”．（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有公共元素组成的集合.3.补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作：UU A A={x|x U x A}∈∉；即且；补集的Venn 图表示：要点诠释：（1）理解补集概念时，应注意补集U A 是对给定的集合A 和()U A U ⊆相对而言的一个概念，一个确定的集合A ，对于不同的集合U ，补集不同．（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则Z 为全集；而当问题扩展到实数集时，则R 为全集，这时Z 就不是全集．（3）U A 表示U 为全集时A 的补集，如果全集换成其他集合（如R ）时，则记号中“U ”也必须换成相应的集合（即R A ）．4.集合基本运算的一些结论：A B A A B B A A=A A =A B=B A ⋂⊆⋂⊆⋂⋂∅∅⋂⋂，，，， A A B B A B A A=A A =A A B=B A ⊆⋃⊆⋃⋃⋃∅⋃⋃，，，，U U (A)A=U (A)A=⋃⋂∅， 若A ∩B=A ，则A B ⊆，反之也成立 若A ∪B=B ，则A B ⊆，反之也成立若x ∈(A ∩B)，则x ∈A 且x ∈B 若x ∈(A ∪B)，则x ∈A ，或x ∈B求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法. 【典型例题】类型一：集合间的关系例1. 请判断①0{0} ；②{}R R ∈；③{}∅∈∅；④∅{}∅；⑤{}0∅=；⑥{}0∈∅；⑦{}0∅∈；⑧∅{}0，正确的有哪些？【变式1】用适当的符号填空：(1) {x||x|≤1} {x|x 2≤1}； (2){y|y=2x 2} {y|y=3x 2-1}； (3){x||x|>1} {x|x>1}；(4){(x ，y)|-2≤x ≤2} {(x ，y)|-1<x ≤2}．例2. 写出集合{a ，b ，c}的所有不同的子集.【变式1】已知{},a b A⊆{},,,,a b c d e ，则这样的集合A 有 个.【变式2】同时满足：①{}1,2,3,4,5M ⊆；②a M ∈，则6a M -∈的非空集合M有（ ）A. 16个B. 15个C. 7个D. 6个【变式3】已知集合A={1，3，a}， B={a 2}，并且B 是A 的真子集，求实数a 的取值.例3. 设M={x|x=a 2+1，a ∈N +}，N={x|x=b 2-4b+5，b ∈N +}，则M 与N 满足( ) A. M=N B. M N C. N M D. M ∩N=∅ 例4．已知},,,0{},,,{y x N y x xy x M =-=若M =N ，则+++2()(x y x )()1001002y x y +++ = ．A ．－200B ．200C ．－100D ．0【变式1】设a ，b ∈R ，集合b{1,a+b,a}={0,,b}a，则b-a=( )类型二：集合的运算例5. （1）已知集合M={y|y=x 2-4x+3，x ∈R }，N={y|y=-x 2+2x+8，x ∈R }，则M ∩N 等于( )．A. ∅B. RC. {-1，9}D. {y|-1≤y ≤9} （2）设集合M={3，a}，N={x|x 2-2x<0，x ∈Z}，M ∩N={1}，则M ∪N 为( )． A. {1，2，a} B. {1，2，3，a} C. {1，2，3} D. {1，3} 【变式1】设A 、B 分别是一元二次方程2x 2+px+q=0与6x 2+(2-p)x+5+q=0的解集，且A ∩B={21}，求A ∪B.【变式2】设集合A={2，a 2-2a ，6}，B={2，2a 2，3a-6}，若A ∩B={2，3}，求A ∪B.例6. 设全集U={x ∈N +|x ≤8}，若A ∩(C u B)={1，8}，(C u A)∩B={2，6}，(C u A)∩(C u B)={4，7}，求集合A ，B.类型三：集合运算综合应用例7．已知全集A={x|-2≤x ≤4}， B={x|x>a}. （1）若A ∩B ≠∅，求实数 a 的取值范围； （2）若A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围；（3）若A ∩B ≠∅且A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围．【变式1】已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是（ ） A ．(-∞, -1] B ．[1, +∞）C ．[-1，1]D ．（-∞，-1] ∪[1，+∞）例8. 设集合{}{}222|40,|2(1)10,A x x x B x x a x a a R =+==+++-=∈. （1）若A B B =，求a 的值； （2）若A B B =，求a 的值.【变式1】已知集合{}{}222,|120A B x x ax a =-=++-=，若A B B =,求实数a 的取值范围.课后练习一、选择题1．设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则UA B =（ ）A ．{|01}x x ≤< B ．{|01}x x <≤ C ．{|0}x x < D ．{|1}x x >2．已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,1}M =-和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩（Venn ）图是 （ ）3．若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，则m 的值为( ) A ．1 B ．-1 C ．1或-1 D ．1或-1或0 4．已知集合,A B 满足A B A =,那么下列各式中一定成立的是（ ） A ． A B B ． B A C ． A B B = D ． A B A = 5．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有( ) A ．3个 B ．5个 C ．7个 D ．8个6．设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则( )A ．N M =B ．M NC ．N MD ．M N =∅二、填空题7．用适当的符号填空：（1）m {},m n ；（2）{}m {},m n ；（3）∅ {},m n . 8. 若集合{}|6,A x x x N =≤∈，{|}B x x =是非质数，C A B =，则C 的非空子集的个数为 .9．若集合{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，则A B =_____________． 10．设集合{32}A x x =-≤≤，{2121}B x k x k =-≤≤+，且A B ⊇，则实数k 的取值范围是 .11．已知{}{}221,21A y y x x B y y x ==-+-==+，则A B =_________. 三、解答题12．已知集合{}{}1,2,1,2,3,4,5A B ==，若A M B ⊆，请写出满足上述条件得集合M .13．已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ⊆，求m 的取值范围.14．已知集合{}{}22|20,|0A x x px B x x x q =+-==-+=，且{}2,0,1A B =-,求实数,p q 的值．15．设全集U R=，{}2|10M m mx x =--=方程有实数根，{}2|0,N n x x n =-+=方程有实数根()U C M N 求.巩固训练一、选择题1. 设A={(x, y)| |x+1|+(y-2)2=0}，B={-1, 2}，则必有（ ） A 、BA B 、AB C 、A=B D 、A ∩B=∅2. 集合M={y| y=x 2-1, x ∈R}， N={x| y=23x -}，则M ∩N 等于（ ） A 、{(-2, 1), (2, 1)} B 、{}|03x x ≤≤ C 、{}|13x x -≤≤ D 、∅3．已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,1}M =-和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩（Venn ）图是 （ ）4．已知集合,A B 满足A B A =,那么下列各式中一定成立的是（ ） A ． A B B ． B A C ． A B B = D ． A B A =5．若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，则m 的值为( ) A ．1 B ．-1 C ．1或-1 D ．1或-1或0 6．设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则( )A ．N M =B ．M NC ．N MD ．M N =∅二、填空题 7．设{}{}34|,|,<>=≤≤==x x x A C b x a x A R U U 或，则___________,__________==b a . 8．某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人.9．若{}{}21,4,,1,A x B x ==且A B B =，则x = . 10．若{}|1,I x x x Z =≥-∈，则N C I = .11．设全集{}(,),U x y x y R =∈，集合2(,)12y M x y x ⎧+⎫==⎨⎬-⎩⎭，{}(,)4N x y y x =≠-，那么()()U U C M C N 等于________________.12．设集合{}1,2,3,4,5,6M =，12,,,k S S S ⋅⋅⋅都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{},i i i S a b =，{},j j j S a b =（{},,1,2,3,,i j i j k ≠∈⋅⋅⋅），都有min ,min ,j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭（{}min ,x y 表示两个数,x y 中的较小者）则k 的最大值是 .三、解答题13．设222{|40},{|2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=，其中x R ∈，如果A B B =，求实数a 的取值范围.14．设U R =，集合{}2|320A x x x =++=，{}2|(1)0B x x m x m =+++=；若()U C A B =∅，求m 的值.15．设1234,,,a a a a N +∈，集合{}{}222212341234,,,,,,,A a a a a B a a a a ==.满足以下两个条件：（1）{}1414,,10;A B a a a a =+=（2）集合A B 中的所有元素的和为124，其中1234a a a a <<<. 求1234,,,a a a a 的值.。
关系运算讲解文档
1、笛卡尔积运算：设：关系R为n列（n个属性），K1行（K1个元组）；关系S为m列（m个属性），K2行（K2个元组）；则关系R和S的笛卡尔积，是R中每个元组与S中每个元组连接组成新关系，记作：R×S注意：新关系的属性个数等于n+m，元组个数等于k1*k2举例：关系R：关系S：R×S (R中每个元组与S中每个元组连接)2、投影：是选择关系R中的若干属性组成新的关系，并去掉了重复的元组，是对关系的属性进行筛选例如：关系R↓↓投影操作：∏（A、B）（R）也就是从关系R中筛选出A、B两个属性，形成一个新关系R’因为第一元组和第3元组重复，所以去掉重复的元组，则完成投影运算，形成新关系R’3、自然连接：也是等值连接，从两个关系的笛卡尔积中，选取公共属性满足等值条件的元组，但新关系不包含重复的属性例：关系R关系S进行自然连接运算，首先对R、S两个关系进行笛卡尔积运算则R×S：从R×S中选取出公共属性满足等值条件的元组，也就是R.B=S.B的元组，也就是标示蓝色的元组。
然后去掉重复属性，就形成新关系R∞S4、除设关系R、S，求R÷S的结果关系R关系S解答如下：在关系R中，C可以取2个值{2,1}，其中2的象集为：{(a,1)}1的象集为：{（b,2）,(c,3)};S在(A,B)上的投影为：{（c,3）}显然只有1的象集(A,B)，1包含S在(A,B)属性组上的投影，所以R ÷S=1象集象集的本质是一次选择运算和一次投影运算。
例如关系模式R(X, Y)，X和Y表示互为补集的两个属性集，对于遵循模式R的某个关系A，当t[X]=x时，x在A中的象集（Images Set）为：Zx={ t[Z] | t ∈A，t[X]=x }它表示：A中X分量等于x的元组集合在属性集Z上的投影。
如A：X Y Za1 b1 c2a2 b3 c7a3 b4 c6a1 b2 c3a4 b6 c6a2 b2 c3a1 b2 c1a1在A中的象集为{(b1,c2),(b2,c3),(b2,c1)}（海南师范大学-吴老师）。
离散数学关系的运算
关系的对称闭包
定义2.18 设R和R是集合A上的关系，如果满足： （1）R是对称的； （2）R R； （3）对A上任何包含R的自反关系R都有RR。
则将R称为R的对称闭包，记作s(R)。
逆运算的性质
定理2.5 对于任意集合A和B，设R是集合A到B的关系，则有： (R-1)-1 = R。
逆运算的性质
定理2.6 对于任意集合A、B和C， 设R和S分别是集合A到B和集合B到C的关系，那么 (R◦S)-1 = S-1◦R-1。
逆运算的性质
定理2.7 对于任意集合A、B和C， 设R和S分别是集合A到B和集合B到C的关系，那么：
①计算R-1、S-1、(R-1)-1、(S-1)-1、(R◦S) -1和S-1◦R-1；
解 ① 根据逆运算和复合运算的定义，有 R-1 = {<a, 1>, <c, 2>, <b, 3>, <b, 4>, <d, 4>} S-1 = {<2, a>, <4, b>, <3, c>, <5, c>, <5, d>} (R-1)-1 = {<1, a>, <2, c>, <3, b>, <4, b>, <4, d>} (S-1)-1 = {<a, 2>, <b, 4>, <c, 3>, <c, 5>, <d, 5>} R◦S = {<1, 2>, <2, 3>, <2, 5>, <3, 4>, <4, 4>, <4, 5>} (R◦S) -1= {<2, 1>, <3, 2>, <5, 2>, <4, 3>, <4, 4>, <5, 4>} S-1◦R-1 = {<2, 1>, <3, 2>, <5, 2>, <4, 3>, <4, 4>, <5, 4>}
小学数学常用关系式及公式
小学数学常用关系式及公式一、基本算术运算公式：1.四则运算公式：-加法公式：a+b=b+a-减法公式：a-b≠b-a-乘法公式：a×b=b×a-除法公式：a÷b≠b÷a2.整数运算公式：-逆元公式：a+(-a)=0-相反数公式：-(-a)=a-乘法逆元公式：a×(1/a)=13.分数运算公式：- 分数加法：a/b + c/d = (ad + bc)/(bd)- 分数减法：a/b - c/d = (ad - bc)/(bd)- 分数乘法：a/b × c/d = ac/bd- 分数除法：(a/b) ÷ (c/d) = ad/bc4.平方运算公式：- 平方公式：(a + b)² = a² + 2ab + b²- 平方差公式：(a - b)² = a² - 2ab + b²二、面积和周长公式：1.矩形的面积和周长公式：- 面积公式：A = length × width- 周长公式：P = 2(length + width)2.正方形的面积和周长公式：- 面积公式：A = side × side- 周长公式：P = 4 × side3.三角形的面积公式：-面积公式（海伦公式）：A=√(s(s-a)(s-b)(s-c))，其中s为半周长，a、b、c分别为三角形的三条边长4.圆的面积和周长公式：-周长公式：C=2πr三、进位和退位：1.进位公式：-十位进位：当个位数大于等于5时，十位数进1-百位进位：当十位数大于等于5时，百位数进1-更高位类似2.退位公式：-退位借位：当个位数小于等于4时，十位数退1-百位退位：当十位数小于等于4时，百位数退1-更高位类似四、倍数关系：1.乘法倍数公式：-a是b的n倍：a=b×n-b是a的n倍：b=a÷n2.除法倍数公式：-a是b的n倍：b=a/n-b是a的n倍：a=b×n五、最大公约数和最小公倍数：1.最大公约数（GCD）：-欧几里得算法：通过辗转相除法求得2.最小公倍数（LCM）：-LCM(a,b)=，a×b，/GCD(a,b)六、数列：1.等差数列通项公式：- 第n项：an = a1 + (n-1)d ，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差2.等差数列前n项和公式：- 前n项和：Sn = (n/2) × (a1 + an)3.等比数列通项公式：- 第n项：an = a1 × r^(n-1) ，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比4.等比数列前n项和公式：-前n项和（当r≠1）：Sn=a1×(1-r^n)/(1-r)以上就是小学数学常用的关系式和公式，可以帮助理解和解决各种数学问题。
关系代数5个基本运算
关系代数5个基本运算
关系代数是一种数学表达式，用于描述关系数据库中的操作。
它包含五个基本运算：选择、投影、交、并和差。
这些基本运算可以用来创建新的关系表，也可以用于查询和修改现有的关系表。
1. 选择(Select)运算：从关系表中筛选出符合某一条件的元组，生成一个新的子关系表。
2. 投影(Project)运算：从关系表中选择出部分属性，生成一个新的关系表。
3. 交(Intersection)运算：对于两个关系表，找出相同的元组，生成一个新的关系表。
4. 并(Union)运算：对于两个关系表，将它们的元组合并成一个新的关系表。
5. 差(Difference)运算：对于两个关系表，找出只存在于一个关系表中的元组，生成一个新的关系表。
在关系数据库中，这些基本运算可以组合使用，生成更复杂的查询和修改操作。
因此，理解关系代数的基本运算是非常重要的。
- 1 -。
数据库关系的基本运算包括
数据库关系的基本运算包括全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：数据库关系的基本运算是数据库领域中非常重要的概念，它们用于对关系数据库中的数据进行操作和管理。
在数据库系统中，通常会涉及到如下基本运算：选择、投影、连接、除法和关系代数运算。
本文将逐一介绍这些基本运算，帮助读者了解数据库关系的基本运算方式及其作用。
1. 选择（Selection）：选择是一种基本运算，它用于从关系中选择满足特定条件的元组。
在数据库操作中，选择运算通常用来过滤数据，只保留符合特定条件的数据记录。
如果要从员工表中选择所有工资大于50000的员工信息，就可以使用选择运算来实现。
选择运算可以通过使用条件表达式来实现，其中条件表达式指定要保留的元组的条件。
4. 除法（Division）：除法是一种基本运算，它用于在两个关系之间进行除法操作。
在数据库操作中，除法运算通常用于计算两个关系之间的差异或共同属性。
如果要从员工表和项目表中获取参与所有项目的员工信息，就可以使用除法运算来实现。
除法运算可以通过指定相同属性值来实现，其中相同属性值表示两个关系之间的关联关系。
5. 关系代数运算：关系代数是一种抽象的数学语言，用于描述关系数据库中的基本运算。
在数据库操作中，关系代数运算包括并、交、差、并补、交补和选择等操作。
这些关系代数运算用于对关系操作进行组合和转换，以实现对关系数据库中数据的操作和管理。
第二篇示例：数据库关系的基本运算是数据库管理系统中的核心操作，它们用于处理数据库中的数据关系，从而实现对数据的查询、修改、删除等操作。
数据库关系的基本运算主要包括：选择操作、投影操作、连接操作、除法操作、并集操作、交集操作和差集操作。
本文将分别对这些基本运算进行介绍和详细解释。
选择操作是数据库关系中最基本的操作之一，它用于从数据库中选择满足指定条件的元组。
选择操作的语法通常为Select <列名> From <表名> Where <条件>。
集合的基本关系及运算
第一章
集合与常用逻辑用语
(1)(2010·江西省信丰中学高三第三次月考)设集合I＝{a1， a2，a3，a4}，则满足M⊆I，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集 合M的补集C1M是 ( D．{a3} ＞0}，则A∩B＝________. )
A．{a3，a4}和{a3}
C．{a3，a4} B＝{x|
第一章
集合与常用逻辑用语
【分析】 由条件B⊆A时要注意B是否为空集，利用数轴 标出集合A. 【解析】 A＝{x|x2－3x－10≤0}＝{x|－2≤x≤5} (1)若B＝∅，则2m－1＜m＋1 ∴m＜2 若B≠∅，且B⊆A，则
第一章
集合与常用逻辑用语
设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．若B⊆A， 求由实数a的所有可能的值组成的集合，并写出它的所有非 空真子集． 【解析】 A＝{x|x2－8x＋15＝0}＝{3,5} (1)当a＝0时，B＝∅，∴B⊆A，
符号
N
N*或N＋
Z
Q
R
C
(4)集合的表示法：列举法 、描述法 、韦恩图法 ．
第一章
集合与常用逻辑用语
2．集合间的基本关系
文字语言 关系 B A⊆B 或 B⊇A
子集
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素
真子集
A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至 少有一个元素不是A中的元素 空集是任何集合的 子集 ，是 非空集合 任何 的真子集
第一章
集合与常用逻辑用语
第一章
集合与常用逻辑用语
1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单 集合的并集与交集； 2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给 定子集的补集； 3．能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算； 4．集合的运算在解题时要注意Venn图及补集思想的应 用； 5．集合中的常用运算性质
五种基本代数关系运算
五种基本代数关系运算
代数关系运算是数学中基本的运算之一，它们可以用于解决各种数学问题。
在代数学的研究中，有五种基本的代数关系运算，分别是加法、减法、乘法、除法和幂运算。
1. 加法：加法是指将两个或多个数相加的运算。
例如，3 + 4 = 7，表示将3和4相加得到7。
加法满足交换律、结合律和分配律。
2. 减法：减法是指将一个数减去另一个数的运算。
例如，5 - 2 = 3，表示将5减去2得到3。
减法不满足交换律和结合律，但满足减法的转化公式 a-b=c 可以转化为 a-c=b。
3. 乘法：乘法是指将两个或多个数相乘的运算。
例如，2 × 3 = 6，表示将2和3相乘得到6。
乘法满足交换律、结合律和分配律。
4. 除法：除法是指将一个数除以另一个数的运算。
例如，10 ÷2 = 5，表示将10除以2得到5。
除法不满足交换律和结合律。
5. 幂运算：幂运算是指将一个数的指数次幂得到的运算。
例如，2 = 8，表示将2的三次方得到8。
幂运算满足幂运算的乘法公式
a^m*a^n=a^(m+n)。
以上是代数关系运算中的五种基本运算，它们的应用非常广泛，可以用于解决各种数学问题。
掌握这些基本运算是进行代数学习的基础。
- 1 -。
五种基本关系运算
五种基本关系运算
五种基本关系运算是并、差、投影、交、选择、投影。
1、并：设有两个关系R和S，它们具有相同的结构。
R和S的并是由属于R或属于S的元组组成的集合，运算符为∪。
记为T=R∪S。
2、差：R和S的差是由属于R但不属于S的元组组成的集合，运算符为－[1] 。
记为T=R－S。
3、交：R和S的交是由既属于R又属于S的元组组成的集合，运算符为∩[1] 。
记为T=R∩S。
R∩S=R－(R－S)。
4、选择：从关系中找出满足给定条件的那些元组。
其中的条件是以逻辑表达式给出的，值为真的元组将被选取。
这种运算是从水平方向抽取元组。
5、投影：从关系模式中挑选若干属性组成新的关系。
这是从列的角度进行的运算，相当于对关系进行垂直分解。
数学运算关系
数学运算关系主要包括加法、减法、乘法和除法。
以下是它们的基本关系和性质：
1. 加法关系：加法是两个数（被称为加数）相加得到一个和（被称为和）的运算。
它满足以下性质：
- 交换律：a + b = b + a
- 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
- 存在零元素：a + 0 = a （0 是加法的零元素）
- 存在相反元素：a + (-a) = 0 （-a 是a 的相反元素）
2. 减法关系：减法是从一个数中减去另一个数的运算。
它可以看作是加法的逆运算。
减法满足以下性质：
- 减法的定义：a - b = a + (-b)
3. 乘法关系：乘法是两个数相乘得到一个积的运算。
它满足以下性质：
- 交换律：a * b = b * a
- 结合律：(a * b) * c = a * (b * c)
- 存在单位元素：a * 1 = a （1 是乘法的单位元素）
4. 除法关系：除法是将一个数除以另一个数得到商的运算。
它可以看作是乘法的逆运算。
除法满足以下性质：
- 除法的定义：a ÷ b = a * (1/b) （其中1/b 是b 的乘法逆元素）
此外，还有其他的数学运算关系和性质，如幂运算、根号运算、等于关系、不等于关系等。
这些关系和性质在数学中被广泛应用，并构成了数学运算的基础。
5种基本关系代数运算
5种基本关系代数运算
1. 并集
并集是指两个集合中所有的元素合并起来形成的一个新集合，不重复地列出所有元素，用符号“∪”表示。
例如，集合A={1,2,3,4}和集合B={3,4,5,6}的并集是集合
C={1,2,3,4,5,6}。
2. 交集
交集是指两个集合中共有的元素所构成的一个新集合，用符号“∩”表示。
例如，集
合A={1,2,3,4}和集合B={3,4,5,6}的交集是集合C={3,4}。
3. 差集
差集是指一个集合中除去与另一个集合共有的元素外，剩余的元素所构成的新集合，用符号“-”表示。
例如，集合A={1,2,3,4}和集合B={3,4,5,6}的差集是集合
C={1,2}。
4. 笛卡尔积
笛卡尔积是指两个集合中所有可能的有序对所构成的一个新集合，用符号“×”表示。
例如，集合A={1,2}和集合B={3,4}的笛卡尔积是集合C={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}。
5. 投影
投影是指从笛卡尔积中选取出某些元素，并将这些元素中的一些分量取出来形成一个新集合的运算。
例如，若集合A={1,2}和集合B={3,4}，则集合
C={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}的投影可以是集合D={1,2}，也可以是集合E={3,4}。
在关系代数运算中,五种基本运算
1. 概述关系代数是数据库领域的重要内容之一，可以用来描述和操作数据集合的运算。
在关系代数中，有五种基本的运算，包括并、交、差、笛卡尔积和投影。
本文将就这五种基本运算进行介绍和分析。
2. 并运算并运算是指将两个关系的元组合并成一个新的关系的运算。
并运算的符号为∪，表示两个关系的所有元组的集合。
需要注意的是，并运算要求两个关系的属性是相同的，并且要求两个关系的元组不重复，否则会产生重复元组。
3. 交运算交运算是指将两个关系的共同部分提取出来形成一个新的关系的运算。
交运算的符号为∩，表示两个关系的共同元组的集合。
交运算要求两个关系的属性是相同的，并且要求两个关系的元组不重复，否则会产生重复元组。
4. 差运算差运算是指将一个关系中与另一个关系不相同的部分提取出来形成一个新的关系的运算。
差运算的符号为-，表示一个关系除去与另一个关系相同的元组后的集合。
差运算要求两个关系的属性是相同的，并且要求两个关系的元组不重复，否则会产生重复元组。
5. 笛卡尔积笛卡尔积是指将两个关系的元组按照所有可能的组合形成一个新的关系的运算。
笛卡尔积的符号为×，表示两个关系的所有可能组合的集合。
笛卡尔积并不要求两个关系的属性是相同的，也不要求两个关系的元组不重复。
6. 投影投影是指将一个关系中的部分属性提取出来形成一个新的关系的运算。
投影的符号为Π，表示从一个关系中选取部分属性形成一个新的关系。
投影不要求两个关系的元组不重复。
7. 结论关系代数中的五种基本运算是数据库操作中的基础，掌握这些基本运算对于设计和管理数据库是非常重要的。
通过本文的介绍和分析，希望读者能够对关系代数中的五种基本运算有更深入的理解和掌握。
8.进一步探讨关系代数中的运算在关系代数中的运算并不仅限于上述五种基本运算。
除了并、交、差、笛卡尔积和投影之外，还有其他一些衍生运算，例如选择、连接、除法等。
这些衍生运算在实际数据库操作中也具有重要的作用。
9. 选择运算选择运算是指通过某种条件筛选出关系中满足条件的元组形成一个新的关系。
关系代数中五种基本运算
关系代数中五种基本运算
1.选择运算：选择运算是从一个关系中选择满足特定条件的元组。
例如，选择年龄大于30岁的所有用户。
2. 投影运算：投影运算是从一个关系中选择特定的属性。
例如，从用户关系中选择用户名和年龄属性。
3. 联接运算：联接运算是将两个关系组合成一个新的关系。
例如，将用户关系和订单关系联接以获取用户和订单之间的关系。
4. 并集运算：并集运算是将两个关系合并成一个关系。
例如，
将一个用户关系和另一个用户关系合并以获取所有用户的信息。
5. 差集运算：差集运算是从一个关系中删除另一个关系中存在
的元组。
例如，从所有订单中删除已取消的订单。
- 1 -。
关系运算有几种类型
关系运算的类型有两类：一类是传统的集合运算（并、差、交等），另一类是专门的关系运算（选择、投影、连接、除法、外连接等），有些查询需要几个基本运算的组合，要经过若干步骤才能完成。
在传统的集合运算中，并运算是设有两个关系R和S，它们具有相同的结构。
R和S的并是由属于R 或属于S的元组组成的集合，运算符为∪，记为T=R∪S。
差运算是R和S的差是由属于R但不属于S的元组组成的集合，运算符为－。
记为T=R－S。
交运算是R和S的交是由既属于R又属于S 的元组组成的集合，运算符为∩，记为T=R∩S。
在专门关系运算中，从关系中找出满足给定条件的那些元组称为选择。
其中的条件是以逻辑表达式给出的，值为真的元组将被选取。
这种运算是从水平方向抽取元组。
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1.4 基本关系运算-自然连接
R
A a1 a2 a3 B b1 b2 b2 C c1 c2 c1 C c1 c2 c3
T
D d2 d3 d2 E e2 e2 e1
A
Sno 95002 Sname 刘晨 Ssex 女 Sage 19 Sdept IS
95004
张立
男
19
IS
1.4 基本关系运算-投影运算
投影运算：∏A1,A2,…,An （R）
从给定的属性集中选择若干属性构成新表的属性,而给
定表的记录在这些属性上的值保持不变. 新表的属性集是原表属性集的真子集. 这是从列的角度进行的运算，相当于对关系进行垂直分 解。 π
R∩S
a1 a2
b2 b2
c2 c1
1.4 基本关系运算-求差运算
求差运算：R － S
R和S的差是由属于R但不属于S的元组组成的集合， 运算符为－.
记为T＝R－S。 R－S＝R－（R ∩ S）。
1.4 基本关系运算- 求差运算 R S
A a1 a1 a2 B b1 b2 b2 A C c1 c2 c1 B A a1 a1 a2 B b2 b3 b2 C C c2 c2 c1
关系代数
运算符 集 合 运 算 符 含义 运算符 比 较 运 算 符 ＞ ≥ ＜ ≤ ＝ <> 含义
大于 大于等于 小于 小于等于 等于 不等于
含义 ∧ ∨ 非 与 或 Nhomakorabea∪ ∩ ×
并 差 交 笛卡尔积
含义
运算符 专门的关 系运算符
运算符
σ π ÷
选择 逻辑运算 符 投影 连接 除
1.4 基本关系运算-合并运算
σ
学 号 Sno 95001 95002 95003 95004
课程 号
姓 名 Sname 李勇 刘晨 王敏 张立
性 别 Ssex 男 女 女 男
年 龄 Sage 20 19 18 19
所在系 Sdept CS IS MA IS
Cno 1 2 3 4 5 6 7
课程名 Cname 数据库 数学 信息系统 操作系统 数据结构 数据处理
关系操作
关系操作是集合操作，操作的对象及结果都是集合， 是一次一集合（Set-at-a-time）的方式。 而非关系型的数据操作方式是一次一记录 （Record-at-a-time）。
1.4 基本关系运算
关系操作
关系的基本数据操作包括四种：
数据查询 数据插入
数据删除
数据修改
如用关系代数来表示关系的操作，可以有选择、投 影、连接、除、交、差、并、积等。 设有两个关系R和S，它们具有相同的结构。
S
B b2 b3 b2 B C c2 c2 c1 C
R×S
a1 a1 a1 a1 a1 a1 a2 a2 a2
b1 b1 b1 b2 b2 b2 b2 b2 b2
c1 c1 c1 c2 c2 c2 c1 c1 c1
a1 a1 a2 a1 a1 a2 a1 a1 a2
b2 b3 b2 b2 b3 b2 b2 b3 b2
B b1 b2 b2 b3
C c1 c2 c1 c2
1.4 基本关系运算-交集运算
交运算： R∩S
R和S的交是由既属于R又属于S的元组组成的集合， 运算符为∩。
记为T＝R∩S。
1.4 基本关系运算-交集运算 R S
A a1 a1 a2 B b1 b2 b2 A C c1 c2 c1 B A a1 a1 a2 B b2 b3 b2 C C c2 c2 c1
[例] 查询学生的姓名和所在系
即求Student关系上学生姓名和所在系两个属 性上的投影
πSname，Sdept(Student) 或 π2，5(Student)
结果：
Sname 李勇 刘晨 王敏 张立
Sdept CS IS MA IS
1.4 基本关系运算-自然连接
自然连接运算：R1∞R2
c2 c2 c1 c2 c2 c1 c2 c2 c1
专门的关系运算
选择(selection)
投影(projection)
连接(join)
除(division)（选学）
1.4 基本关系运算-选择运算
选择运算：σF（R）
从一个表中选出所有满足给定条件的记录(行),选出的记
录构成一个新表,其关系模式与原表相同. 选择运算是从关系 R 中选取使逻辑表达式 F为真的元组， 是从行的角度进行的运算
R－S
a1
b1
c1
1.4 基本关系运算-乘积运算
乘积运算：R1×R2
两个关系的乘积运算是两个关系框架的合并，是两 个关系元祖的连串，运算符为×。
记为T＝R×S。
1.4 基本关系运算-乘积运算
R
A a1 a1 a2 B b1 b2 b2 A C c1 c2 c1 B C A a1 a1 a2 A
第1章 关系数据库的基本原理
1.4 基本关系运算
1.5 关系的完整性规则
1.6 关系的规范化
1.4 基本关系运算
用二维表来表示实体及其相互联系
属性
元组
姓名 张军 王红 李明
学号 09701023 09702011 09708250
性别 男 女 男
系别 数学系 物理系 计算机系
1.4 基本关系运算
合并运算：R∪ S
R和S的并是由属于R或属于S的元组组成的集合， 运算符为∪。
记为T＝R∪S。
1.4 基本关系运算-合并运算 R S
A a1 a1 a2 B b1 b2 b2 C c1 c2 c1 A a1 a1 a2 B b2 b3 b2 C c2 c2 c1
R∪S
A a1 a1 a2 a1
PASCAL语言
先行课 Cpno 5
学分
Ccredit
学 号
课程号
成 绩
Sno
95001
Cno
1
Grade
92
1 6 7
6
4 2 4 3 4 2 4
95001
95001 95002 95002
2
3 2 3
85
88 90 80
[例] 查询信息系（IS系）全体学生 σSdept = 'IS' (Student) 或 σ5 ='IS' (Student) 结果：
自然连接是一种特殊的等值连接，它要求两个关系中进行比较的 分量必须是相同的属性组，并且在结果中把重复的属性列去掉。
例: Student ∞ SC
SELECT Student.Sno, Sname, Ssex, Sage, Sdept, Cno, SCORE
FROM Student, SC
WHERE Student.Sno=SC.Sno