第8课时——正、余弦定理的应用(2)(教、学案)
《正弦定理和余弦定理的实际运用举例》教学设计
《正弦定理和余弦定理的实际运用举例》教学设计正弦定理和余弦定理的实际运用举例教学设计简介本教学设计旨在教授正弦定理和余弦定理的实际运用方法。
通过实例演示和练题的形式，帮助学生理解和掌握这两个几何定理的应用场景。
教学目标- 理解正弦定理和余弦定理的概念和原理- 掌握正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用方法- 进一步发展解决几何问题的能力教学内容正弦定理- 介绍正弦定理的概念和公式（a/sinA = b/sinB = c/sinC）- 解释正弦定理的几何意义和运用场景- 演示实际问题中如何利用正弦定理求解未知变量余弦定理- 介绍余弦定理的概念和公式（c² = a² + b² - 2abcosC）- 解释余弦定理的几何意义和运用场景- 演示实际问题中如何利用余弦定理求解未知变量实际运用举例- 提供几个实际问题的案例，涉及三角形的边长和角度- 分步引导学生运用正弦定理和余弦定理解决这些问题- 给予学生充足的练机会，以加深对定理应用的理解和熟练度教学步骤1. 引入：复三角形的基本概念和知识点2. 正弦定理：- 介绍正弦定理的公式和使用方法- 演示一个实际问题的解决过程，利用正弦定理求解未知变量- 学生模仿演示并完成相关练题3. 余弦定理：- 介绍余弦定理的公式和使用方法- 演示一个实际问题的解决过程，利用余弦定理求解未知变量- 学生模仿演示并完成相关练题4. 实际运用举例：- 提供几个实际问题的案例，涉及三角形的边长和角度- 分组或个人完成案例分析和解决过程- 学生通过小组或个人报告展示解决思路和结果5. 总结与讨论：- 综合讨论学生的解决思路和方法的优劣- 引导学生总结出正弦定理和余弦定理在解决实际问题中的重要性和应用价值教学评估1. 参与度评估：观察学生在课堂中的积极参与程度和问题解答能力2. 练成绩评估：通过练题的完成情况和准确度，进行学生对正弦定理和余弦定理的理解和应用评估3. 案例分析评估：评估学生在实际问题解决中的思考能力和解决方法的合理性参考资源1. 《高中数学教材》2. 互动教学软件和课件3. 个人和小组练习题。
正余弦定理的应用举例教案
正余弦定理的应用举例教案一、教学目标1. 理解正余弦定理的概念及其在几何中的应用。
2. 学会运用正余弦定理解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
二、教学内容1. 正余弦定理的定义及公式。
2. 正余弦定理在直角三角形中的应用。
3. 正余弦定理在非直角三角形中的应用。
4. 正余弦定理解决实际问题举例。
三、教学重点与难点1. 教学重点：正余弦定理的定义及公式，正余弦定理在几何中的应用。
2. 教学难点：正余弦定理在非直角三角形中的应用，解决实际问题。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解正余弦定理的定义及公式。
2. 利用案例分析法讲解正余弦定理在直角三角形和非直角三角形中的应用。
3. 利用小组讨论法解决实际问题。
五、教学过程1. 引入：通过讲解正弦、余弦的概念，引导学生理解正余弦定理的背景。
2. 讲解：详细讲解正余弦定理的定义及公式，结合实际例子，让学生理解并掌握定理的应用。
3. 练习：布置练习题，让学生运用正余弦定理解决直角三角形和非直角三角形的问题。
4. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用正余弦定理进行解决，培养学生的解决问题的能力。
5. 小组讨论：让学生分组讨论，分享各自的解题思路和方法，培养学生的团队协作能力。
6. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调正余弦定理在几何中的应用及其重要性。
7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂练习：通过课堂练习，了解学生对正余弦定理的理解和应用情况。
2. 课后作业：布置有关正余弦定理应用的作业，收集并批改，分析学生的掌握情况。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，了解他们的合作能力和问题解决能力。
七、教学反思1. 教师应根据学生的反馈，及时调整教学方法和进度。
2. 对于学生的共性问题，应加强讲解和辅导。
3. 鼓励学生积极参与课堂和课后实践，提高他们的实际应用能力。
八、拓展与延伸1. 引导学生思考正余弦定理在其他领域的应用。
中学数学余弦定理的应用教案
中学数学余弦定理的应用教案【教案】一、教学目标通过本节课的学习，学生能够掌握余弦定理的概念和求解方法，并能够熟练运用余弦定理解决实际问题。
二、教学内容本节课的教学内容是余弦定理的应用。
三、教学重点与难点教学重点：理解余弦定理的概念和求解方法。
教学难点：能够熟练运用余弦定理解决实际问题。
四、教学过程1. 引入（5分钟）1.1 教师简要介绍余弦定理的概念和作用，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解（20分钟）2.1 通过一个具体的实例，引出余弦定理，并解释其原理和公式。
2.2 讲解如何根据已知条件运用余弦定理求解未知边长或角度的方法。
3. 模型训练（25分钟）3.1 给出若干实际问题，要求学生根据已知条件运用余弦定理解决，并在板书上展示解题过程。
3.2 分组训练，学生进行合作探究，在小组内相互讨论、解决问题。
4. 练习与巩固（25分钟）4.1 课堂练习：教师提供一些简单的练习题，学生个人完成。
4.2 完成课堂练习后，学生将自己的答案进行互评，并与教师讨论解题方法和答案是否正确。
5. 总结与拓展（10分钟）5.1 教师进行本节课的总结，强调余弦定理的应用和作用。
5.2 提出拓展问题，激发学生对余弦定理的深入思考，并鼓励学生自主学习和拓展。
五、教学资源教学用具：黑板、粉笔、练习题。
六、教学反思通过本节课的教学，学生对余弦定理的概念和求解方法有了初步的了解，并能够在实际问题中灵活运用。
学生在小组合作讨论的过程中，积极参与，并能够相互启发、相互提醒。
在练习过程中，学生也发现了自己在应用余弦定理解决问题时的一些常见错误，并通过讨论和互评相互纠正。
通过本节课的教学，学生的数学解题能力和合作能力得到了一定的提高。
初中数学教案余弦定理与正弦定理的应用
初中数学教案余弦定理与正弦定理的应用初中数学教案余弦定理与正弦定理的应用一、引言在初中数学学习中，我们经常会遇到利用几何知识解决实际问题的情况。
而余弦定理和正弦定理作为几何知识的重要部分，具有广泛的应用价值。
本教案旨在通过具体的例子，让学生理解并能够熟练应用余弦定理和正弦定理。
二、教学目标1. 掌握余弦定理和正弦定理的概念和公式；2. 理解余弦定理和正弦定理的应用场景；3. 能够灵活运用余弦定理和正弦定理解决实际问题。
三、教学内容1. 余弦定理的应用余弦定理是用来求解三角形边长或角度的定理，其公式为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos∠C示例题目1：已知三角形ABC，边长分别为a=5cm，b=7cm，∠C=60°，求边c的长度。
解答思路：根据余弦定理的公式，将已知的数值代入计算，有：c^2 = 5^2 + 7^2 - 2*5*7*cos60°c^2 = 25 + 49 - 70*cos60°c^2 = 74 - 70*0.5c^2 = 74 - 35c^2 = 39因此，c≈6.24cm示例题目2：已知三角形ABC，边长分别为a=8cm，b=9cm，c=10cm，求∠A的大小。
解答思路：根据余弦定理的公式，将已知的数值代入计算，有：8^2 = 9^2 + 10^2 - 2*9*10*cos∠A64 = 81 + 100 - 180*cos∠A180*cos∠A = 181 - 64cos∠A = 117/180∠A ≈ 51.32°2. 正弦定理的应用正弦定理是用来求解三角形边长或角度的定理，其公式为：a/sin∠A = b/sin∠B = c/sin∠C示例题目3：已知三角形ABC，∠A=45°，∠B=60°，AC=8cm，求边AB与BC的长度。
解答思路：根据正弦定理的公式，将已知的数值代入计算，有：AB/sin45° = 8/sin60°AB = 8*sin45°/sin60°AB ≈ 8*0.7071/0.8660 ≈ 6.928cmBC/sin60° = 8/sin45°AB = 8*sin60°/sin45°AB ≈ 8*0.8660/0.7071 ≈ 9.398cm四、教学方法1. 结合实际生活进行示例分析，增加学生的兴趣；2. 组织学生小组合作，共同解决问题，培养合作意识；3. 引导学生总结规律，归纳定理应用方法。
正弦定理和余弦定理的运用教案
正弦定理和余弦定理的运用教案正文：正弦定理和余弦定理的运用教案一、教学目标1. 理解正弦定理和余弦定理的含义和基本公式；2. 掌握正弦定理和余弦定理在解决三角形相关问题中的应用方法；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
二、教学重点1. 正弦定理的推导和应用；2. 余弦定理的推导和应用。
三、教学难点1. 正弦定理和余弦定理的理解和记忆；2. 通过具体问题实际运用，使学生深入理解定理的应用方法。
四、教学准备1. 教材：三角函数学科教材；2. 工具：投影仪、黑板、粉笔、直尺、量角器。
五、教学过程Ⅰ. 导入（10分钟）1. 教师简要复习三角比的概念和计算方法；2. 教师引导学生思考：在已知某一角的情况下，如何确定三角形的边长呢？Ⅱ. 正弦定理的推导和应用（20分钟）1. 教师通过投影仪展示正弦定理的基本公式：a/sinA = b/sinB =c/sinC；2. 教师讲解正弦定理的推导过程，并与学生一同完成推导；3. 教师给出具体问题，引导学生运用正弦定理解决问题，并逐步引导学生总结出应用方法。
Ⅲ. 余弦定理的推导和应用（20分钟）1. 教师通过投影仪展示余弦定理的基本公式：c² = a² + b² - 2abcosC；2. 教师讲解余弦定理的推导过程，并与学生一同完成推导；3. 教师给出具体问题，引导学生运用余弦定理解决问题，并逐步引导学生总结出应用方法。
Ⅳ. 正弦定理和余弦定理的综合应用（25分钟）1. 教师给出一些复合问题，要求学生结合正弦定理和余弦定理解决问题；2. 学生分组讨论、解答问题，并在黑板上展示解题过程；3. 教师组织学生展示解题思路和方法，并针对不同解题方法进行及时点评。
Ⅴ. 拓展应用（15分钟）1. 教师布置一些拓展性应用题，要求学生在课后完成；2. 学生自主学习拓展内容，并在下节课讲解时与教师进行互动讨论。
Ⅵ. 总结与作业（10分钟）1. 教师对本节课的要点进行总结，并强调正弦定理和余弦定理的重要性；2. 布置作业：完成课后习题，复习和巩固所学知识。
正余弦定理的应用举例教案
正余弦定理的应用举例教案第一章：正弦定理的应用1.1 概述介绍正弦定理的概念和基本公式解释正弦定理在几何图形中的应用1.2 三角形内角和定理证明三角形内角和定理运用正弦定理计算三角形的内角和1.3 三角形面积计算介绍三角形面积计算公式运用正弦定理计算三角形的面积第二章：余弦定理的应用2.1 概述介绍余弦定理的概念和基本公式解释余弦定理在几何图形中的应用2.2 三角形边长计算运用余弦定理计算三角形的边长举例说明余弦定理在实际问题中的应用2.3 三角形角度计算运用余弦定理计算三角形的角度举例说明余弦定理在实际问题中的应用第三章：正弦定理与余弦定理的综合应用3.1 概述介绍正弦定理与余弦定理的综合应用解释正弦定理与余弦定理在几何图形中的应用3.2 三角形全等的证明运用正弦定理与余弦定理证明三角形全等举例说明正弦定理与余弦定理在三角形全等问题中的应用3.3 三角形相似的证明运用正弦定理与余弦定理证明三角形相似举例说明正弦定理与余弦定理在三角形相似问题中的应用第四章：正弦定理与余弦定理在实际问题中的应用4.1 概述介绍正弦定理与余弦定理在实际问题中的应用解释正弦定理与余弦定理在实际问题中的重要性4.2 测量问题中的应用运用正弦定理与余弦定理解决测量问题举例说明正弦定理与余弦定理在测量问题中的应用4.3 几何问题中的应用运用正弦定理与余弦定理解决几何问题举例说明正弦定理与余弦定理在几何问题中的应用第五章：正弦定理与余弦定理的拓展与应用5.1 概述介绍正弦定理与余弦定理的拓展与应用解释正弦定理与余弦定理在其他领域中的应用5.2 在物理学中的应用介绍正弦定理与余弦定理在物理学中的应用举例说明正弦定理与余弦定理在振动、波动等问题中的应用5.3 在工程学中的应用介绍正弦定理与余弦定理在工程学中的应用举例说明正弦定理与余弦定理在建筑、航空航天等领域中的应用第六章：正弦定理与余弦定理在三角形中的应用举例6.1 概述回顾正弦定理与余弦定理的基本概念和公式。
2012年金版新学案新编高三总复习第三章 第8课时
第三章
三角函数
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2．若点 A 在点 B 的北偏西 30°，则 B 点在 A ． ， 点的( ) 点的 A．西偏北 30° B．西偏北 60° ． ． C．南偏东 30° D．东偏南 30° ． ． 解析： 如图， 解析： 如图，可知 B 在点 A 的南偏东 30°或东 或东 偏南 60°.
答案： 答案： 70
第三章
三角函数
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5.如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两 如图，为了测量河的宽度， 如图 的宽度 B 测得∠ 点 A， 望对岸的标记物 C， ， ， 测得∠CAB＝30°， ＝ ， ∠CBA＝75°， ＝120 m， ＝ ，AB＝ ， 则这条河的宽度为 ________m.
第三章 三角函数
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4．轮船 A 和轮船 B 在中午 12 时同时离开海港 ． O，两船航行方向的夹角为 120°，两船的航行 ， ， 速度分别为 25 n mile/h、15 n mile/h，则下午 2 、 ， 时两船之间的距离是________n mile. 时两船之间的距离是
第三章
三角函数
第8课时
正弦定理和余弦定理的应用
第三章
三角函数
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1．仰角和俯角 ． 在视线和水平线所成的角中， 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线 _____的角叫仰角，在水平线 下方 的角叫俯 的角叫仰角， 上方 的角叫仰角 在水平线_____的角叫俯 如图① 角(如图①)． 如图 ．
第三章
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第三章 三角函数
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解析： 方法一： 解析： 方法一：选择水平基线 BC，在 BC 的延 ， 长线上取一点 D， D 点测得仰角∠BDA＝β， ，在 点测得仰角∠ ＝ ， 同 时测得 CD 的长度为 a. 在△ADC 中∠DAC＝α－β， ＝ － ， 在△ADC 中，由正弦定理 AC DC sin β＝sin(α－β)， ( － ) asin β . ∴AC＝ ＝ sin(α－β) ( － ) asin β sin α. 在 Rt△ACB 中，AB＝AC·sin α＝ △ ＝ ＝ sin(α－β) ( － )
高中数学正余弦定理的应用学案2新人教A版必修
如有你有帮助，请购买下载，谢谢！- 1 -页 高一数学导学案必修5 第六课时 正弦定理、余弦定理的应用(2)一、学习目标（1）能熟练应用正弦定理、余弦定理解决三角形等一些几何中的问题和物理问题；（2）能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；（3）通过复习、小结，使学生牢固掌握两个定理，应用自如.二、学习重点，难点能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题。
三、自主预习四、自主探究：在平面几何中，平行四边形的四边的平方和等于两条对角线长的平方和。
你能用余弦定理加以证明吗？五．能力技能交流活动一、解三角形在几何中的应用：【总结】例2．作用在同一点的三个力123,,F F F 平衡.已知130F N =，250F N =，1F 与2F 之间的夹角是60，求3F 的大小与方向，【总结】活动三、计算平面图形的面积例3．如图1-3-4，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，2OA =，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC .问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？【总结】【回顾反思】【课时作业】8．已知ABC ∆的两边,b c 是方程2400x kx -+=的两个根，的面积是2cm ，周长是20cm ，试求A 及k 的值；9．如图，AB BC ⊥，33CD =，30ACB ∠=，75BCD ∠= ，45BDC ∠=， 求AB 的长.10.1,.(1)ABCD AD AB BAD BCD ABCD θθθ==∠=∆如图所示，在平面四边形中，，而是正三角形将四边形的面积S表示为的函数；(2)求S的最大值及此时角的值. 第9题 A B C D。
初中数学九年级下册教案：正弦定理与余弦定理的应用
初中数学九年级下册教案：正弦定理与余弦定理的应用数学作为一门科学，无论在以前还是现在，都是社会中一个非常重要的学科。
初中数学九年级下册教案中有许多重要的知识点需要我们去学习，其中正弦定理与余弦定理的应用就是其中的一部分。
正弦定理与余弦定理在初中数学中是一个非常重要的概念，因为它们可以帮助我们解决很多实际应用问题。
正弦定理是指：在一个三角形中，三角形任意一边的长度，与这个角的正弦值成比例。
即：$\frac{a}{sin A}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$余弦定理是指：在一个三角形中，三角形任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边长度的积与这个角的余弦值的积。
即：$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc cosA$通过正弦定理与余弦定理的公式，从而可以解决很多实际应用问题。
下面我将为大家详细介绍几个具体的应用案例：一、计算高楼的高度通过正弦定理，我们可以计算出高楼的高度。
假如我们想知道一个高楼的高度，这时候我们需要找一条较长的梯子，搭在建筑物的墙壁上，而且这条梯子要够长，可以达到高楼的最高点。
然后我们可以测量梯子与地面的夹角与梯子的长度，同时我们还可以通过测量地面到建筑物外墙的距离，从而可以求得高楼的高度。
二、计算桥的长度在实际应用中，我们还可以用正弦定理与余弦定理来计算一座桥的长度。
假如我们要设计一座桥，桥的两端分别是平的，中间是拱形的，我们需要计算出拱形的长度，以便得出整座桥的长度。
这时候我们可以先测量出桥面到拱顶的高度，以及光学传感器到桥面的高度。
我们还可以测量测量拱的两端的距离，最后通过余弦定理就可以计算出拱的长度。
三、计算三角形的三个角度我们还可以利用正弦定理与余弦定理计算一个三角形的三个角度。
假如我们知道三角形中的三条边的长度，这时候我们可以通过正弦定理或余弦定理来计算三个角度。
正弦定理与余弦定理在初中数学中扮演着重要的角色，它们可以帮助我们解决很多实际应用问题。
正弦定理和余弦定理及应用(教案) (2)
课题：正弦定理和余弦定理及应用（教案）教学目标：1、知识与能力：掌握正、余弦定理公式的灵活运用2、过程与方法：能用正、余弦定理，结合三角恒等变换的相关知识，解决一些三角函数的边角函数转化关系的实际应用问题。
3、情感态度与价值观：通过正、余弦定理的灵活运用领会数学知识解决问题的实用性。
教学重点、难点：正、余弦定理公式的灵活运用学法指导1、利用正弦定理可以将三角形中的边角关系互化，同时要注意互补角的正弦值相等这一关系的应用；2、利用正弦定理判定三角形形状，常运用变形形式，结合三角函数有关公式，得出角的大小或边的关系。
课前准备：多媒体课件，导学案教学过程：知识点复习：1、正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 三角形外接圆半径） 变式公式：A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=. R a A 2sin =，R b B 2sin =，Rc C 2sin =. C B A c b a sin :sin :sin ::=2、余弦定理：⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222 变形公式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 222222222 3、三角形面积公式：A bc B ac C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆ 4、边角关系（1）角的关系： 180=++C B A（2）边的关系：c b a >+，c b a <-（3）边角关系：大角对大边，大边对大角课前练习：1、在ABC ∆中， 45=A ， 60=B ，4=b ，求a . （）2、已知 30=A ，4=a ，5=b ，则=B sin . （）3、已知8=b ，3=c ， 60=A ，则=a . （ 7 ）4、已知5=a ，13=b ，12=c ，求角B . （ 90 ）5、在ABC ∆中，1=AB ，4=BC ， 30=B ，则ABC ∆的面积等于 . （ 1 ） 归纳：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角，常用 正弦 定理；（2）已知两边和一边的对角，求第三边和其他两角，常用 正弦 定理或余弦定理（方程思想）；（3）已知三边求三角，常用 余弦 定理；（4）已知两边和它的夹角，求第三边和其他两个角，常用 余弦 定理.要数形结合，画图分析边角关系，合理使用公式.题型一：探究三角形中的边角运算例1 在ABC ∆中，已知4=a ，24=b ， 45=B ，求角A . 解：由B b A a sin sin =得21sin sin ==b B a A 在ABC ∆中，b a <∴ B A <， ∴ 45<A ， ∴ 30=A .变式：1、在ABC ∆中，已知4=a ，24=b ， 30=A ，求角B 2、在ABC ∆中，已知4=a ，24=b ， 150=A ，求角B . （无解） 题型二：探究三角形的面积求解例2 在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且1=a ，3=b ，求ABC S ∆.解：由角A 、B 、C 依次成等差数列∴ C A B +=2 又 π=++C B A∴ 3π=B 由正弦定理B b A a sin sin =得2133sin 1sin sin =⨯==πb B a A b a < ∴6π=A ∴2π=C ∴ 2313121sin 21=⨯⨯⨯==∆C ab S ABC 变式：在ABC ∆中， 120=A ，5=AB ，7=BC ，求ABC ∆的面积.题型三：探究三角形的形状判断例3 在ABC ∆中，已知A b B a cos cos =，判断ABC ∆的形状.解：由A b B a cos cos =得A B R B A R cos sin 2cos sin 2=∴0sin cos cos sin =-B A B A即()0sin =-B A ，∴B A =，即ABC ∆为等腰三角形变式：1、在ABC ∆中，已知C c B b A a cos cos cos ==，判断ABC ∆的形状. （等边三角形） 2、已知ABC ∆的三内角A 、B 、C 成等差数列，而A 、B 、C 三内角的对边a 、b 、c 成等比数列，试证明：ABC ∆为正三角形.1、解：由Bb A a cos cos =得A b B a cos cos =，由上例可知B A =， 由Cc B b cos cos =得B c C b cos cos =，同理可得C B =， ∴C B A ==，即ABC ∆为等边三角形2、证明： A 、B 、C 成等差数列，∴C A B +=2，又 180=++C B A ，∴ 60=B ， 120=+C Aa 、b 、c 成等比数列，∴ac b =2，又由余弦定理得：acc a ac c a Bac c a b -+=-+=-+=222222260cos 2cos 2∴ac c a ac -+=22，即()02=-c a ，∴c a =又 60=B ，∴ABC ∆为正三角形.高考真题体验：（2008年高考）在ABC ∆中，B ∠，C ∠的对边分别为b ，c ，且 45=∠B ，2=b ，3=c .（1）求C ∠；（2）求ABC S ∆.课堂小结：1、解斜三角形求边角有四种可解类型：已知两角一边和两边及一边的对角时，用正弦定理；已知两边夹角和已知三边时，用余弦定理。
高三数学第三章第8课时精品课件
AC2＝100＋400－2×10×20×cos 120° ＝700， ∴AC＝10 7(km)．
目录
4．已知两灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，它们相
对观察站C的方位角分别为40°和120°，则在灯塔A处测 得灯塔B的方位角是________． 解析：如图所示，由题意知∠ACB＝80°， 又∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝50°.
目录
【解】 在△ABD 中，设 BD＝x m. 则 BA2＝BD2＋AD2－2BD· cos∠BDA， AD· 即 1402＝x2＋1002－2×100×x×cos 60° ， 整理得 x2－100x－9600＝0， 解得 x1＝160，x2＝－60(舍去)， 故 BD＝160 m. 在△BCD 中，由正弦定理得： BC BD ＝ ， sin∠CDB sin∠BCD 又 AD⊥CD，∴∠CDB＝30° ， 160 ∴BC＝ · 30° sin ＝80 2≈113(m)． sin 135° 即两景点 B 与 C 之间的距离约为 113 m.
目录
【名师点评】
要利用正、余弦定理解决问题，需
目录
2.实际问题中的常用角
(1)仰角和俯角
上方 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线________的角
下方 叫仰角，在水平线______的角叫俯角(如图①)．
目录
(2)方位角 北 从指______方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)．
目录
思考探究 1．仰角、俯角、方位角有何区别？ 提示：三者的参照不同．仰角与俯角是相对于水平线而 言的，而方位角是相对于正北方向而言的．
目录
BM 解析：由题可知，在△ABM 中，根据正弦定理得 sin90° －α m mcos α ＝ ， 解得 BM＝ ， 要使该船没有触礁危险需 sinα－β sinα－β mcos αcos β 满足 BMsin(90° －β)＝ >n，所以当 α 与 β 的关系 sinα－β 满足 mcos αcos β>nsin(α－β)时，该船没有触礁危险．
正弦、余弦定理的应用经典教案
正、余弦定理应用【学习目标】1.了解常用的测量相关术语，把一些简单的实际问题转化为数学问题，培养数学的应用意识。
2.学会用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量距离或宽度(有障碍物)有关的实际问题的方法。
3．让学生在独立思考，合作探究中激发学习数学的兴趣，体会数学建模的基本思想，培养其分析问题和解决问题的能力。
【重点】：综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决生活中的测量距离或宽度(有障碍物)问题。
【难点】：根据题意建立数学模型，画出示意图，并从中找出解决问题的关键条件。
一、知识温故1.什么是正弦定理？有几种变式？2.什么是余弦定理？3.利用正弦定理可解决哪几类解三角形的问题？4.利用余弦定理可解决哪几类解三角形的问题？5.仰角和俯角1）在视线和水平线所成的角中，视线在上方的角叫仰角，在下方的角叫俯角(如图①)．2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如②)．6.利用正弦定理可解决两类解三角形问题：（1）___________________________________；（2）_____________________________________________.7.利用余弦定理可解决两类解三角形问题：（1）___________________________________；（2）_________________________________________(3). .8.如何利用正（余）弦定理解决测量距离问题？9.如何利用正（余）弦定理解决测量高度问题？10..正弦定理：正弦定理公式的变形有哪些：余弦定理：余弦定理推论：二、经典范例探究1：测量不能到达的两点之间的距离（重难点）【例1】 如图1，A ，B 两点在河的两岸（不可到达），测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出A ，C 两点间的距离是68 m ，∠BAC=50°，∠ACB=80°.求A ，B 两点间的距离.(精确到0.1 m)【例2】如图2所示，隔河可看到两目标 A ，B ，但不能到达，在岸边选取相距3 km 的C ，D 两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD=45°， ∠ADC=30°，∠ADB=45°，A ，B ，C ，D 在同一平面内，求两目标A ，B 之间的距离.【规律方法总结】测量有关距离问题的应用题可分以下两类：（1）当 时,如图3所示,选取基线 , 测出 的度数及 的长,运用 可求AB.（2）当 时,如图4所示,选取基线 ,测出 的度数及 的长,可以先由 在△ADC 和△BDC 中求出AC 和BC,再在△ABC 中由 求AB.图1图2 图图探究2：测量底部不能到达的某物体的高度（重点）【例3】 如图3，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测量点C 与D.现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在点C 处测得塔顶A 的仰角为θ,求塔高AB.探究3：【例4】如图2所示，太湖中有一小岛C ，沿太湖 有一条南北方向的公路，一辆汽车在A 处测得小 岛在南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km 后到 达B ，测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛离公路的距离是多少？【规律方法总结】解三角形应用题的一般步骤是：探究4：三角形的面积公式B ac A bc C ab ABC S sin 21sin 21sin 21===∆如何推导？探究5：在△ABC 中，BC=a ，AB=c ，AC=b ，若R 为三角形外接圆半径，如何求三角形的面积? 若r 为三角形内切圆半径，如何求三角形面积？【归纳总结】1. _____________________._________________________=====∆ABC S【规律方法总结】解决有关三角形的面积问题，一般用公式 进行求解。
正余弦定理的应用举例教案
正余弦定理的应用举例教案章节一：正弦定理的应用1.1 导入：通过复习正弦定理的定义和公式，引导学生理解正弦定理在几何中的应用。
1.2 实例讲解：以一个等腰三角形为例，利用正弦定理求解三角形的角度和边长。
1.3 练习：给出几个应用正弦定理的例题，让学生独立解答。
章节二：余弦定理的应用2.1 导入：回顾余弦定理的定义和公式，引导学生理解余弦定理在几何中的应用。
2.2 实例讲解：以一个直角三角形为例，利用余弦定理求解三角形的角度和边长。
2.3 练习：给出几个应用余弦定理的例题，让学生独立解答。
章节三：正弦定理和余弦定理的综合应用3.1 导入：介绍正弦定理和余弦定理的综合应用，引导学生理解两者之间的关系。
3.2 实例讲解：以一个复杂的三角形为例，利用正弦定理和余弦定理相互验证，求解三角形的角度和边长。
3.3 练习：给出几个综合应用正弦定理和余弦定理的例题，让学生独立解答。
章节四：正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用4.1 导入：引导学生思考正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用，如测量学和工程学。
4.2 实例讲解：以一个实际问题为例，如测量一个未知角度的三角形，利用正弦定理和余弦定理求解。
4.3 练习：给出几个实际问题应用正弦定理和余弦定理的例题，让学生独立解答。
章节五：总结与拓展5.1 总结：回顾本节课学习的正弦定理和余弦定理的应用，让学生总结关键点和注意事项。
5.2 拓展：引导学生思考正弦定理和余弦定理在其他领域的应用，如物理学和天文学。
5.3 练习：给出一个拓展性问题，让学生独立解答，激发学生的思考和创造力。
正余弦定理的应用举例教案章节六：正弦定理在三角形判定中的应用6.1 导入：引导学生思考正弦定理在三角形判定中的应用，如判断三角形的类型。
6.2 实例讲解：以一个给定角度的三角形为例，利用正弦定理判断三角形的类型。
6.3 练习：给出几个利用正弦定理判断三角形类型的例题，让学生独立解答。
章节七：余弦定理在三角形判定中的应用7.1 导入：回顾余弦定理的定义和公式，引导学生理解余弦定理在三角形判定中的应用。
高中《正弦和余弦定理》数学教案4篇
高中《正弦和余弦定理》数学教案4篇教案是讲课的前提，是讲好课的基础，教案则备课的具体表现形式。
它可以反映教师在整个教学中的总体设计和思路尤其是教学态度认真与否的重要尺度。
以下是小编为大家整理的高中《正弦和余弦定理》数学教案，感谢您的欣赏。
高中《正弦和余弦定理》数学教案1教学目标进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式.教学重难点教学重点：熟练运用定理.教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化.教学过程一、复习准备：1.写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.2.讨论各公式所求解的三角形类型.二、讲授新课：1.教学三角形的解的讨论：①出示例1：在△ABC中，已知下列条件，解三角形.分两组练习→讨论：解的个数情况为何会发生变化②用如下图示分析解的情况.(A为锐角时)②练习：在△ABC中，已知下列条件，判断三角形的解的情况.2.教学正弦定理与余弦定理的活用：①出示例2：在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，求角的余弦. 分析：已知条件可以如何转化→引入参数k，设三边后利用余弦定理求角.②出示例3：在ΔABC中，已知a=7，b=10，c=6，判断三角形的类型.分析：由三角形的什么知识可以判别→求角余弦，由符号进行判断③出示例4：已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.分析：如何将边角关系中的边化为角→再思考：又如何将角化为边3.小结：三角形解的情况的讨论;判断三角形类型;边角关系如何互化.三、巩固练习：3.作业：教材P11B组1、2题.高中《正弦和余弦定理》数学教案2一)教材分析(1)地位和重要性：正、余弦定理是学生学习了平面向量之后要掌握的两个重要定理，运用这两个定理可以初步解决几何及工业测量等实际问题，是解决有关三角形问题的有力工具。
(2)重点、难点。
重点：正余弦定理的证明和应用难点：利用向量知识证明定理(二)教学目标(1)知识目标：①要学生掌握正余弦定理的推导过程和内容;②能够运用正余弦定理解三角形;③了解向量知识的应用。
正余弦定理完美教案
正余弦定理完美教案第一章：正弦定理简介1.1 学习目标了解正弦定理的定义和基本性质学会运用正弦定理解决实际问题1.2 教学内容正弦定理的定义及公式正弦定理与三角形内角和的关系正弦定理在实际问题中的应用1.3 教学方法采用讲解、示例、练习相结合的方式进行教学引导学生通过观察、思考、讨论，发现正弦定理的规律1.4 教学步骤1. 引入正弦定理的概念，引导学生了解正弦定理的定义和公式2. 通过示例，讲解正弦定理在解决实际问题中的应用3. 安排练习题，巩固学生对正弦定理的理解和应用能力第二章：余弦定理简介2.1 学习目标了解余弦定理的定义和基本性质学会运用余弦定理解决实际问题2.2 教学内容余弦定理的定义及公式余弦定理与三角形内角和的关系余弦定理在实际问题中的应用2.3 教学方法采用讲解、示例、练习相结合的方式进行教学引导学生通过观察、思考、讨论，发现余弦定理的规律2.4 教学步骤1. 引入余弦定理的概念，引导学生了解余弦定理的定义和公式2. 通过示例，讲解余弦定理在解决实际问题中的应用3. 安排练习题，巩固学生对余弦定理的理解和应用能力第三章：正弦定理与余弦定理的综合应用3.1 学习目标学会运用正弦定理和余弦定理解决综合问题理解正弦定理和余弦定理之间的关系3.2 教学内容正弦定理和余弦定理的综合应用正弦定理和余弦定理之间的关系3.3 教学方法采用讲解、示例、练习相结合的方式进行教学引导学生通过观察、思考、讨论，发现正弦定理和余弦定理之间的关系3.4 教学步骤1. 通过示例，讲解正弦定理和余弦定理在解决综合问题中的应用2. 引导学生发现正弦定理和余弦定理之间的关系3. 安排练习题，巩固学生对正弦定理和余弦定理的综合应用能力第四章：正弦定理和余弦定理在几何中的应用4.1 学习目标学会运用正弦定理和余弦定理解决几何问题理解正弦定理和余弦定理在几何中的重要性4.2 教学内容正弦定理和余弦定理在几何中的应用正弦定理和余弦定理在几何中的重要性4.3 教学方法采用讲解、示例、练习相结合的方式进行教学引导学生通过观察、思考、讨论，发现正弦定理和余弦定理在几何中的重要性4.4 教学步骤1. 通过示例，讲解正弦定理和余弦定理在几何问题中的应用2. 引导学生理解正弦定理和余弦定理在几何中的重要性3. 安排练习题，巩固学生对正弦定理和余弦定理在几何中的应用能力第五章：正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用5.1 学习目标学会运用正弦定理和余弦定理解决实际问题理解正弦定理和余弦定理在实际问题中的意义5.2 教学内容正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用正弦定理和余弦定理在实际问题中的意义5.3 教学方法采用讲解、示例、练习相结合的方式进行教学引导学生通过观察、思考、讨论，发现正弦定理和余弦定理在实际问题中的意义5.4 教学步骤1. 通过示例，讲解正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用2. 引导学生理解正弦定理和余弦定理在实际问题中的意义3. 安排练习题，巩固学生对正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用第六章：正弦定理和余弦定理的综合练习6.1 学习目标巩固正弦定理和余弦定理的基本概念提高运用正弦定理和余弦定理解决综合问题的能力6.2 教学内容综合练习题，涵盖正弦定理和余弦定理的应用分析解题思路和方法6.3 教学方法提供综合练习题，引导学生独立解答分析解题思路，讨论解题方法6.4 教学步骤1. 提供综合练习题，要求学生独立解答2. 分析解题思路，引导学生运用正弦定理和余弦定理解决问题3. 讨论解题方法，总结正弦定理和余弦定理的应用技巧第七章：正弦定理和余弦定理在三角形中的应用7.1 学习目标深入学习正弦定理和余弦定理在三角形中的应用掌握正弦定理和余弦定理在解决三角形问题时的灵活运用7.2 教学内容正弦定理和余弦定理在三角形中的应用案例三角形特殊角度时的定理特殊性质7.3 教学方法采用案例教学，通过具体三角形问题讲解定理的应用引导学生通过几何画图工具直观理解定理的应用7.4 教学步骤1. 通过具体三角形问题，展示正弦定理和余弦定理的应用2. 引导学生利用几何画图工具，直观理解定理的应用过程3. 安排练习题，巩固学生对定理在三角形中应用的理解第八章：正弦定理和余弦定理在复杂三角形中的应用8.1 学习目标学习正弦定理和余弦定理在复杂三角形中的应用培养学生解决复杂三角形问题的能力8.2 教学内容复杂三角形问题中正弦定理和余弦定理的运用练习题及解题策略8.3 教学方法采用问题解决法，引导学生思考和探讨提供练习题，让学生通过实际操作解决问题8.4 教学步骤1. 引入复杂三角形问题，引导学生思考如何应用定理2. 提供练习题，让学生独立解决3. 讨论解题策略，引导学生总结解题技巧第九章：正弦定理和余弦定理在实际工程中的应用9.1 学习目标学习正弦定理和余弦定理在实际工程中的应用培养学生解决实际工程问题的能力9.2 教学内容正弦定理和余弦定理在工程测量、建筑等方面的应用案例实际工程问题中的解题方法9.3 教学方法采用案例教学，通过实际工程案例讲解定理的应用引导学生通过实际操作，理解定理在工程中的应用9.4 教学步骤1. 通过实际工程案例，展示正弦定理和余弦定理的应用2. 引导学生参与实际操作，理解定理在工程中的应用过程3. 安排练习题，巩固学生对定理在实际工程中应用的理解第十章：总结与复习10.1 学习目标总结正弦定理和余弦定理的主要内容和应用复习本门课程的知识点，为考试做好准备10.2 教学内容复习正弦定理和余弦定理的基本概念、性质和应用总结解题方法和技巧10.3 教学方法通过复习讲义和练习题，引导学生复习和巩固知识点组织复习课堂，鼓励学生提问和讨论10.4 教学步骤1. 发放复习讲义，让学生提前预习2. 组织复习课堂，引导学生复习重点知识点3. 提供练习题，让学生通过实际操作巩固知识点重点和难点解析第六章：正弦定理和余弦定理的综合练习环节：分析解题思路和方法重点和难点解析：此环节需要重点关注解题思路的培养和方法的多样性。
《正弦定理、余弦定理的应用》教学案
1．3《正弦定理、余弦定理的应用》教学案•三维目标1. 知识与技能( 1)能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；( 2)体会数学建模的基本思想，掌握应用解三角形知识解决实际问题的一般步骤；( 3)了解常用的测量相关术语 ( 如：仰角、俯角、方位角、视角及坡度、经纬度等有关名词和术语的确切含义 ) ，综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题；( 4)能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力；( 5)规范学生的演算过程：逻辑严谨，表述准确，算法简练，书写工整，示意图清晰．2. 过程与方法(1)本节课是解三角形应用举例的延伸，利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些几何和物理上的问题；( 2)让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力．3．情感、态度与价值观( 1)激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值；( 2)培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神；(3) 培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力. •重点、难点重点： (1) 综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题；( 2)掌握求解实际问题的一般步骤；难点：根据题意建立数学模型，画出示意图．体验将实际问题转化为数学问题的过程与思想，认识研究实际问题的方法，是本节教学的重中之重，而突破这一重难点的关键在于引导学生对实际问题进行分析，抽象出数学问题，再利用解三角形的知识加以解决．教学方案设计( 教师用书独具 )•教学建议在学生回忆正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形的基础上，让学生尝试绘制知识纲目图. 生活中错综复杂的问题本源仍然是我们学过的定理，因此系统掌握前一节内容是学好本节课的基础. 解有关三角形的应用题有固定的解题思路，引导学生寻求实际问题的本质和规律，从一般规律到生活的具体运用，这方面需要多琢磨和多体会.测量的主要内容是求角和距离，教学中要注意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念，将实际问题转化为解三角形问题. 解决有关测量、航海等问题时，首先要搞清题中有关术语的准确含义，再用数学语言(符号语言、图形语言)表示已知条件、未知条件及其关系，最后用正弦定理、余弦定理予以解决.能否灵活求解问题的关键是正弦定理和余弦定理的选用，有些题目只选用其一，或两者混用，这当中有很大的灵活性，需要对原来所学知识进行深入的整理、加工，鼓励一题多解，训练发散思维.借助计算机等多媒体工具来进行演示，利用动态效果能使学生更好地明辨是非、掌握方法.引导学生总结解斜三角形应用题的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.•教学流程课前自主导学【问题导思】小明出家门向南前进200米，再向东前进200米，至U达学校上课. 1•小明的学校在家的哪个方向？【提示】东南方向.2•能否用角度确定学校的方位？【提示】能.课堂互动探究例1如图1-3—1图1—3—1在山顶C测得塔顶A的俯角为45°已知塔高AB为20 m,求山高CD（精确到0. 1 m）【思路探究】D（可放到厶BCD中，要求CD已知/ DBC= 60° / CDB= 90°所以只需求BD 或CB在厶AB（中，AB勺长度已知，三个内角都可以求出，所以可求得CB则Cd CB-s in 60°【自主解答】由条件知/ DBC= 60° / ECA= 45°•••/ ABC 90° —60°= 30° / ACB 60°—45°= 15° ,/ CA= 180° —（ / ABQ-Z ACB = 135°BC AB在^ ABC中,由正弦定理得sin 135 ° = sin 15 ° ,AB- sin 135 °20x 2 40二B C= sin 15 °= 1 = 3— 1.4乐-衣7在Rt △ BC中,40 \/3CD^ BC- sin / CB=书—〔x 2 ~ 47. 3（m）.•山高C哟为47.3 m.规律方法1.本例是典型的测量高度问题，抽象出平面图形，并且将相应数据聚化到相应三角形中，十分关键.2.测量高度的有关问题，大部分都是转化为同一铅垂面上的解三角形问题，但也有转化为立体图形的问题.变式训练如图1-3-2所示，空中有一气球 C,图1-3—2在它的正西方A点测得它的仰角为45°同时在它的南偏东60°的B点，测得它的仰角为3 0° A, B两点间的距离为266米，这两个测点均离地1米，则气球离地多少米？【解】设0C= x,则OA= x, OB= x • tan 60°= 3x.在厶AO中，/ A0= 90° + 60°= 150° AB= 266,所以A^= OA+ OB - 2OA OBi os / AOB=x2+ 3x2— 2x •3x • （—） = 7x2,所以x= TAB= T X 266= 38 7（米），所以气球离地（38,7 + 1）米.例2甲船在A处遇险，在甲船西南10海里B处的乙船收到甲船的报警后，测得甲船是沿着东偏北105°的方向，以每小时9海里的速度向某岛靠近，如果乙船要在40分钟内追上甲船, 问乙船至少应以什么速度、向何方向航行？【思路探究】画图T分析三角形满足条件T选择定理列方程T求相关量T作答【自主解答】如图所示：设乙船速度为v海里/小时，在C处追上甲船，/ BAC= 45°180° —105° = 120°在厶AB(中，由余弦定理得，BC= AC+ A8— 2AC・ AB- cos / BA(2 2 2(3v) 2= ( 3 x 9)2+ 102— 2 x 3X 9x 10x cos 120°,整理得v= 21.BC AC又由正弦定理可知 sin Z BAC= sin B，2AC- sin Z BAC 3x9坐sin B= BC = 2 x sin 120° = 14 ,3x 21■ B^ 2147'.即B应以每小时21海里的速度，按东偏北 45。
正余弦定理的应用举例教案
正余弦定理的应用举例教案正余弦定理是解析几何中常用的定理，它们可以用于求解三角形的边长和角度。
在教学中，可以通过生活中的应用举例来引导学生理解和掌握正余弦定理的应用。
以下是一份正余弦定理的应用举例教案，旨在帮助学生加深对正余弦定理的理解。
教学目标：1.理解正余弦定理的定义和应用。
2.掌握如何利用正余弦定理求解三角形的边长和角度。
3.能够应用正余弦定理解决生活实际问题。
教学准备：1.教师准备一个具体的实际问题，如求解三角形的边长或角度。
2.准备多媒体教学素材，以图表或动画的形式呈现正余弦定理的定义和应用。
教学步骤：引入1.通过一个生活中的实际问题引入正余弦定理的应用。
例如：小明要测量两栋楼房之间的距离，但他只能在地面上测量两栋楼房的夹角和各自到小明位置的距离。
请问小明如何利用这些信息求解两栋楼房之间的距离？讲解理论2.利用多媒体教学素材，介绍正余弦定理的定义和公式。
解释正余弦定理的含义，以及它们如何帮助我们求解三角形的边长和角度。
正弦定理：sin A / a = sin B / b = sin C / c余弦定理：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C例题练习3.解释一个具体的例题，步骤如下：- 呈现一个三角形ABC的图形，已知边长a=5cm，b=7cm，夹角C的正弦值sin C = 0.6- 请问如何求解边长c和角A的正弦值sin A？解题步骤：a.通过正弦定理，求解边长c的值：sin A / a = sin C / csin A / 5 = 0.6 / csin A = (0.6 * 5) / cb.求解边长c的值：0.6 * 5 = sin A * c3 = sin A * cc. 通过余弦定理求解角A的正弦值sin A：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos Cc^2 = 5^2 + 7^2 - 2 * 5 * 7 * cos Cc^2 = 25 + 49 - 70 * cos Cc^2 = 74 - 70 * cos Cd. 代入c的值，求解cos C的值：3^2 = 74 - 70 * cos C9 = 74 - 70 * cos Ccos C = (74 - 9) / 70e. 通过角度表，查找cos C值对应的角度A的正弦值sin A。
高中数学 第一章 第8课时 正、余弦定理的应用学案2 苏教必修5
听课随笔第8课时正、余弦定理的应用（2）【学习导航】知识网络⎪⎩⎪⎨⎧数学问题航海测量学正、余弦定理的应用 学习要求1．利用正弦定理和余弦定理解决有关测量问题时，要注意分清仰角、俯角、张角和方位角等概念。
2. 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过这些三角形，得出实际问题的解。
【课堂互动】自学评价运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤是：①分析：理解题意，弄清清与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；②建模：根据书籍条件与求解目标，把书籍量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；③求解：利用正弦定理、余弦定理理解这些三角形，求得数学模型的解； ④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。
【精典范例】【例1】作用在同一点的三个力123,,F F F 平衡.已知130F N =，250F N =，1F 与2F 之间的夹角是60，求3F 的大小与方向（精确到0.1）. 【解】3F 应和12,F F 合力F 平衡，所以3F 和F 在同一直线上，并且大小相等，方向相反. 如图1-3-3，在1OF F ∆中，由余弦定理，得()70F N ==再由正弦定理，得150sin1205sin 70FOF ∠==， 所以138.2FOF ∠≈，从而13141.8FOF ∠≈.答 3F 为70N ，3F 与1F 之间的夹角是141.8.【例2】半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，2OA =，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC.问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？分析：四边形的面积由点B 的位置唯一确定，而点B 由AOB ∠唯一确定，因此可设AOB α∠=，再用α的三角函数来表示四边形OACB 的面积. 【解】设AOB α∠=.在AOB ∆中，由余弦定理，得2221221AB αα=+-⨯⨯=-. 于是，四边形OACB 的面积为AOB ABCS SS ∆∆=+21sin 24OA OB AB α=⋅+ )121sin 54cos 2αα=⨯⨯⨯-sin αα=+2sin 3πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因为0απ<<，所以当32ππα-=时，56απ=，即56A O B π∠=时，四边形O A C B 的面积最大.追踪训练一 1. 如图，用两根绳子牵引重为Ｆ１＝１００Ｎ的物体，两根绳子拉力分别为Ｆ２，Ｆ３，保持平衡．如果Ｆ２＝８０Ｎ，Ｆ２与Ｆ３夹角α＝１３５°．（１）求Ｆ３的大小（精确到１Ｎ）； （２）求Ｆ３与Ｆ１的夹角β的值（精确到０.１°）．听课随笔答案：（１）)(13945sin 6.100sin 10003N F ≈=（２）06.145=β2. 从２００ｍ高的电视塔顶Ａ测得地面上某两点Ｂ，Ｃ的俯角分别为３０°和４５°，∠ＢＡＣ＝４５°，求这两个点之间的距离．答案：8.2822200≈3．在△ABC 中，若1=a ，B=450，△ABC 的面积为2，那么，△ABC 的外接圆直径为25 【选修延伸】【例3】ABC ∆中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，① 求最大角的余弦值； ② 求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积.【解】①设三边1,,1+==-=k c k b k a ，*∈N k 且1>k ， ∵C 为钝角，∴2224cos 022(1)a b c k C ab k +--==<-，解得41<<k ，∵*∈N k ， ∴2=k 或3，但2=k 时不能构成三角形应舍去， 当3=k 时，12,3,4,cos 4a b c C ====-； ②设夹C 角的两边为y x ,，4=+y x ，所以，2sin (4)(4)S xy C x x x x ==--+，当2=x 时，max S =追踪训练二1．我国潜艇外出执行任务，在向正东方向航行时，测得某国的雷达站在潜艇的东偏北300方向的100n mile 处，已知该国的雷达扫描半径为70n mile ，若我国潜艇不改变航向，则行驶多少路程后会有暴露目标？（ B ）A 50B )225(310-C 620D 3502．在△ABC 中，若B A >，则A si n 与B sin 的大小关系是 （ A ）A 大于B 大于等于C 小于D 小于等于 解：2sin A B a b r A >⇔>⇔2sin sin sin r B A B >⇔>3．两艘快艇在水面上一前一后前进，后一艘快艇的速度是前一艘的两倍，前一艘快艇突然向与原前进方向成300角行驶，若后一快艇需想在最短的时间内赶上前艇，则它行驶的方向应与原方向的夹角为 41arcsin。
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第8课时正、余弦定理的应用（2） 【学习导航】
知识网络
⎪⎩
⎪⎨⎧数学问题航海
测量学正、余弦定理的应用 学习要求
1．利用正弦定理和余弦定理解决有关测量问题时，要注意分清仰角、俯角、张角和方位角等概念。
2. 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过这些三角形，得出实际问题的解。
【课堂互动】
自学评价
运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤是：
①分析：理解题意，弄清清与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；
②建模：根据书籍条件与求解目标，把书籍量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；
③求解：利用正弦定理、余弦定理理解这些三角形，求得数学模型的解；
④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。
【精典范例】
【例1】作用在同一点的三个力123,,F F F 平衡.已知130F N =，250F N =，1F 与2F 之间的夹角是60，求3F 的大小与方向（精确到0.1）.
【解】3F 应和12,F F 合力F 平衡，所以3F 和F 在同一直线上，
并且大小相等，方向相反.
如图1-3-3，在1OF F ∆中，由余弦定理，得
()70F N ==再由正弦定理，得
1
50sin1205sin 70FOF ∠==， 所以138.2FOF ∠≈，从而13141.8FOF ∠≈. 答 3F 为70N ，3F 与1F 之间的夹角是141.8.
【例2】半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，2OA =，B 为半圆上任意一点，以AB
为一边作等边三角形ABC .问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？
分析：四边形的面积由点B 的位置唯一确定，而点B 由AOB ∠唯一确定，因此可设AOB α∠=，再用α的三角函数来表示四边形OACB 的面积.
【解】设AOB α∠=.在AOB ∆中，由余弦定理，得22212212cos 54cos AB αα=+-⨯⨯=-.
于是，四边形OACB 的面积为
AOB ABC S S S ∆∆=+21sin 2OA OB AB α=⋅+
)121sin 54cos 2αα=⨯⨯⨯+-
sin αα=-
2sin 3πα⎛⎫=- ⎪⎝
⎭因为0απ<<，所以当32ππα-
=时，56απ=，即56
AOB π∠=时，四边形OACB 的面积最大. 追踪训练一
1. 如图，用两根绳子牵引重为Ｆ１＝１００Ｎ的物体，两根绳子拉力分别为Ｆ２，Ｆ３，保持平衡．如果Ｆ２＝８０Ｎ，Ｆ２与Ｆ３夹角α＝１３５°．
（１）求Ｆ３的大小（精确到１Ｎ）；
（２）求Ｆ３与Ｆ１的夹角β的值
（精确到０.１°）．
答案：（１）)(13945sin 6.100sin 1000
3N F ≈= （２）06.145=β
2. 从２００ｍ高的电视塔顶Ａ测得地面上某两点Ｂ，Ｃ的俯角分别为３０°和
４５°，∠ＢＡＣ＝４５°，求这两个点之间的距离．
答案：8.2822200≈
3．在△ABC 中，若1=a ，B=450，△ABC 的面积为2，那么，△ABC 的外接圆直径为25
【选修延伸】
【例3】ABC ∆中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，
① 求最大角的余弦值；
② 求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积.
【解】①设三边1,,1+==-=k c k b k a ， *∈N k 且1>k ，
∵C 为钝角，
∴2224cos 022(1)
a b c k C ab k +--==<-， 解得41<<k ，
∵*∈N k ， ∴2=k 或3，但2=k 时不能构成三角形应舍去，
当3=k 时，12,3,4,cos 4
a b c C ====-
； ②设夹C 角的两边为y x ,，4=+y x ，
所以，2sin (4)(4)S xy C x x x x ==--+，当2=x
时，max S 追踪训练二
1．我国潜艇外出执行任务，在向正东方向航行时，测得某国的雷达站在潜艇的东偏北300方向的100n mile 处，已知该国的雷达扫描半径为70n mile ，若我国潜艇不改变航向，则行驶多少路程后会有暴露目标？（ B ）
A 50
B )225(310-
C 620
D 350
2．在△ABC 中，若B A >，则A sin 与B sin 的大小关系是 （ A ）
A 大于
B 大于等于
C 小于
D 小于等于
解：2sin A B a b r A >⇔>⇔ 2sin sin sin r B A B >⇔>
3．两艘快艇在水面上一前一后前进，后一艘快艇的速度是前一艘的两倍，前一艘快艇突然
向与原前进方向成300角行驶，若后一快艇需想在最短的时间内赶上前艇，则它行驶的方向
应与原方向的夹角为 41arcsin
【师生互动】。