无网格法的应用

无网格方法的研究应用与进展

引言

有限元法（FEA）是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法，但FEA 是基于网格的数值方法，在分析涉及特大变形（如加工成型、高速碰撞、流固耦合）、奇异性或裂纹动态扩展等问题时遇到了许多困难。

同时，复杂的三维结构的网格生成和重分也是相当困难和费时的。近年来，无网格得到了迅速的发展，受到了国际力学界的高度重视。与有限元的显著特点是无网格法不需要划分网格，只需要具体的节点信息，采用一种权函数（或核函数）有关的近似，用权函数表征节点信息。克服了有限元对网格的依赖性，在涉及网格畸变、网格移动等问题中显示出明显的优势。

无网格方法的概述

无网格方法（Meshless Method）是为有效解决有限元法在数值模拟分析时网格带来的重大问题而产生的，其基本思想是将有限元法中的网格结构去除，完全用一系列的节点排列来代之，摆脱了网格的初始化和网格重构对问题的束缚，保证了求解的精度[1]。是一种很有发展的数值模拟分析方法。

目前发展的无网格方法有：光滑质点流体动力学法（SPH）、无网格枷辽金法（EFGM）、无网格局部枷辽金法（MLPGM）、扩散单元法（DEM）、Hp－clouds 无网格方法；有限点法（FPM）、无网格局部Petrov－Galerkin方法（MLPG）、多尺度重构核粒子方法（MRKP）、小波粒子方法（WPM）、径向基函数法（RBF）、无网格有限元法（MPFEM）、边界积分方程的无网格方法等。

这些方法的基本思想都是在问题域内布置一系列的离散节点，然后采用一种与权函数或核函数有关的近似，使得某个域上的节点可以影响研究对象上的任何一点的力学特性，进而求得问题的解。

无网格方法国内外研究的进展

无网格法起源于20 世纪70 年代。Perrone，Kao 最早采用任意网格技术将传统有限差分进行扩展，提出了有限差分法，这可看作无网格技术的最初萌芽。

1977年Lucy 和Monaghan 首次提出了基于拉格朗日公式的光滑质点流体动力法（Smoothed Particle Hydrocynamics：SPH），这是一种纯拉格朗日法，无需网格。最初运用SPH 方法解决了无边界天体物理问题。Monaghan 在对SPH 方法深入研究后，将其解释为核（kernel）近似方法。

Swegle 等指出了SPH 方法不稳定的原因，并提出了一个黏度系数来保证其运算稳定。Dyka 则提出了应力粒子法来改善其稳定性。SPH 方法已经被应用于水下爆炸数值模拟、弹丸侵彻混凝土数值模拟、高速碰撞等材料动态响应的数值模拟等。

近年，我国学者张锁春对SPH 方法进行了综述，贝新源等将SPH 方法用于高速碰撞问题，宋顺成等将SPH 方法用于模拟弹丸侵彻混凝土。

78ANSYS在机械工程中的应用25例

Nayroles 首先提出移动最小二乘法（MLS）并应用于边值问题的求解，进而提出了模糊单元法（DEM）。移动最小二乘法的提出为无网格方法的发展奠定了基础。

陈美娟、程玉民等提出了改进的移动最小二乘法。张雄等提出移动最小二乘配点法（Least-Squares CollocationMeshless Method），是一种有限点法。

Belytschko 提出了著名的无网格枷辽（EFGM），给出了误差分析，并成功地应用于动态裂纹扩展数值模拟和三维撞击分析。Belytschkohe 等将EFG 方法模拟动态裂纹扩展问题。Krysl 等将EFG 用于板壳分析中。Belytschko 和Du 等将EFG 用于三维撞击和流体晃动分析。Xu 等将EFG 法用于求解弹塑性材料的裂纹扩展问题。张雄等将EFG 方法的思想用于节理岩体的分析中，周维垣等对EFG 方法进行了详细介绍，并应用于裂纹扩展分析中。

J.T.Oden 等提出了基于云团概念的Hp－clouds 无单元法（HPCM），这种方法适合进行自适应分析。Oden等对这种方法进行了严格的数学论证。Mendoncca 等将这种方法用于求解铁摩辛柯梁问题。刘欣等将其用于平面裂纹问题的自适应分析。

波兰学者Liszka 等提出了Hp 无网格云团法(HPMCM)，是一种纯无网格法。美国学者Babuska 等提出了单位分解法（PUM）。刘欣等将单位分解法用于求解奇异问题中。Li 和Liu 提出移动最小二乘重构粒子方法。

Liu 等提出了再生核质点法（RKPM），接着他又提出了多尺度重构核粒子法（MPKPM）和小波粒子方法，并实现了RKPM 的自适应分析。Onate 和Idelsohn 等提出了有限点法（FPM）。

Zhu，Zhang 和Arluri 建立了在规则局部子域上的局部边界积分方程（LBIE），运用移动最小二乘法构造局部子域上的插值函数，提出了局部边界积分方程无网格法（MLBIEM）。Arluri 和Zhu 在局部边界积分方程的基础上，导出了无网格局部Petrov －Galerkin 方法（MLPGM）。

张见明等提出了杂交边界点法。Mukherjee等人提出了边界点法（BNM）；程玉民等人提出了边界无单元法（BEFG）。

近年来发展了多种无网格方法与有限元法或边界元法的耦合方法：无单元Galerkin 法与有限元法耦合、无单元Galerkin 与边界元法耦合、无单元Galerkin 法与杂交边界元法耦合、无网格局部Petrov－Galerkin 法和有限元法及边界元法耦合等。耦合既可提高运算的精确度，也可提高运算效率。

无网格方法的应用及其发展前景

目前无网格法研究的重点之一是应用无网格法来解决实际工程与科学问题。无网格法主要应用于下面几个领域：1）传统的计算力学领域。应用目的主要是通过和其它方法的比较来探讨无网格方法的性质，此应用不能真正体现其特有的优势。2）传统方法不易解决的一些特殊问题。如大变形问题、高速冲击问题、接触问题、裂纹问题、金属材料成型问题、材料裂变问题、高速爆炸问题、穿透问题等。3）一些新兴的工程和科学领域。如生命科学、微尺度、纳米技术等热点研究领域。

最近几年来无网格法越来越多地应用于纳米级多尺度问题、细胞渗透、血液流动、生物微电子系统等问题。无网格法才刚刚起步, 没有形成有效的通用软件，因此有待于探索和研究来开发无网格方法通用的商业软件包。另外, 用MLS 和RKPM 等建立无网格近似函数时, 涉