无网格法的应用
无网格法的理论及应用
为了验证该方法的有效性和可行性，我们进行了一系列实验。实验过程中采 用了某稠油油田的实际数据集，包括地层压力、温度、渗透率等参数。同时，采 用了可视化评估指标，以便直观地评估计算结果的准确性。实验结果表明，该方 法在稠油热采数值模拟过程中具有较高的计算精度和计算效率，可为稠油热采技 术的优化提供有力支持。
1、算法开发：针对稠油热采的物理化学过程，开发相应的数值模拟算法， 如有限元法、有限差分法等。
2、软件架构：设计并实现数值模拟软件的架构，包括前后处理、求解器等 模块，以便用户进行快速高效的计算。
3、数据处理：针对稠油热采数值模拟过程中产生的大量数据，开发相应的 数据处理技术，如数据压缩、可视化等。
无网格法的数值积分采用移动最小二乘法（Moving Least Squares，MLS） 来实现。该方法通过对节点进行加权，构造一个局部近似函数来逼近真实的解。 数值积分通过在节点上建立局部近似函数，然后对该函数进行求导和积分来计算。 无网格法的数值积分具有高精度和高效性，同时避免了传统网格法中的网格生成 和数据处理问题。
1、结构分析
无网格法在结构分析中具有广泛的应用，可以处理各种复杂形状和材料属性 的结构。例如，桥梁、建筑物和飞机等结构分析中，无网格法能够适应复杂的几 何形状和非均匀的材料属性，同时提高计算效率和精度。此外，无网格法在疲劳 分析和振动分析中也得到了广泛应用。
2、流体分析
无网格法在流体分析中也有着广泛的应用，可以处理各种复杂的流体流动问 题。例如，无网格法可以应用于计算流体动力学（CFD）中的复杂流场模拟、燃 烧模拟以及噪声辐射模拟等。无网格法能够适应复杂的几何形状和流场特性，提 高计算精度和效率。
参考内容
稠油热采是一种重要的石油开采方法，具有提高采收率、降低开采成本等优 势。随着计算机技术的不断发展，数值模拟已成为稠油热采领域的重要工具。本 次演示旨在探讨稠油热采数值模拟自适应网格法计算软件的开发研究及实例应用。
无网格法的理论及应用(正在看1)
自动生成仍然是极具挑战力的任务. 其他一些基 于网格的数值方法, 如有限差分法、边界元法等也 或多或少的存在上述问题.
鉴于有限元、边界元等基于网格的数值方法 的这些缺陷, 国际计算力学界从 20 世纪 90 年代开 始兴起了无网格法的研究热潮 [1∼5]. 与基于网格 的有限元等方法不同, 无网格法用一组点来离散 求解区域, 直接借助于离散点来构造近似函数, 可 以彻底或部分地消除网格, 不需要网格的初始划 分和重构, 不仅可以保证计算的精度, 而且可以减 小计算的难度. 然而, 无网格法也存在一些固有缺 陷. 例如, 无网格近似函数一般均很复杂, 其计算量 较大; 大多数的无网格近似函数不具有插值特性, 因此无网格法本质边界条件的施加比有限元法繁 琐.
对于多维问题, 近似函数式 (1) 可以改写为
n
ui(x) ≈ uhi (x) = NI (x)uiI = N (x)u (2)
I =1
其中 uiI = ui(xI ), N (x) = [N1(x)I, N2(x)I, · · · , Nn(x)I], u = [u11, u21, u31, u12, · · · , u3n]T, I 为单 位矩阵. 不同的无网格近似函数具有不同的形函 数. 与有限元法不同, 大多数无网格近似函数不具 有插值特性, 因此 uI 一般不再是试函数 uh(x) 在 节点 xI 处的值, 即 uh(xI ) = uI , NI (xJ ) = δIJ .
MLS 近似中将权函数 wI (x) 在域 ΩI 内取为 1, 在 域 ΩI 外取为 0, 则 MLS 近似退化为标准的最小二 乘近似 (LSQ).
MLS 近似可以精确地重构包含在基底中的任
何函数 pi(x)(即
n I =1
无网格法的应用
无网格法的应用无网格方法的研究应用与进展引言有限元法（FEA）是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法，但FEA 是基于网格的数值方法，在分析涉及特大变形（如加工成型、高速碰撞、流固耦合）、奇异性或裂纹动态扩展等问题时遇到了许多困难。
同时，复杂的三维结构的网格生成和重分也是相当困难和费时的。
近年来，无网格得到了迅速的发展，受到了国际力学界的高度重视。
与有限元的显著特点是无网格法不需要划分网格，只需要具体的节点信息，采用一种权函数（或核函数）有关的近似，用权函数表征节点信息。
克服了有限元对网格的依赖性，在涉及网格畸变、网格移动等问题中显示出明显的优势。
无网格方法的概述无网格方法（Meshless Method）是为有效解决有限元法在数值模拟分析时网格带来的重大问题而产生的，其基本思想是将有限元法中的网格结构去除，完全用一系列的节点排列来代之，摆脱了网格的初始化和网格重构对问题的束缚，保证了求解的精度[1]。
是一种很有发展的数值模拟分析方法。
目前发展的无网格方法有：光滑质点流体动力学法（SPH）、无网格枷辽金法（EFGM）、无网格局部枷辽金法（MLPGM）、扩散单元法（DEM）、Hp－clouds 无网格方法；有限点法（FPM）、无网格局部Petrov－Galerkin方法（MLPG）、多尺度重构核粒子方法（MRKP）、小波粒子方法（WPM）、径向基函数法（RBF）、无网格有限元法（MPFEM）、边界积分方程的无网格方法等。
这些方法的基本思想都是在问题域内布置一系列的离散节点，然后采用一种与权函数或核函数有关的近似，使得某个域上的节点可以影响研究对象上的任何一点的力学特性，进而求得问题的解。
无网格方法国内外研究的进展无网格法起源于20 世纪70 年代。
Perrone，Kao 最早采用任意网格技术将传统有限差分进行扩展，提出了有限差分法，这可看作无网格技术的最初萌芽。
1977年Lucy 和Monaghan 首次提出了基于拉格朗日公式的光滑质点流体动力法（Smoothed Particle Hydrocynamics：SPH），这是一种纯拉格朗日法，无需网格。
无网格法 流体
无网格法（无网格流体模拟）简介无网格法（无网格流体模拟）是一种用于模拟流体行为的数值计算方法。
与传统的网格法相比，无网格法不需要预先划分网格，因此可以灵活地模拟各种复杂的流体现象。
无网格法的主要优势在于能够处理大变形、大位移和自适应网格等问题，在计算效率和精度方面都有较好的表现。
背景在过去的流体模拟中，通常使用网格来离散模拟空间。
然而，传统的网格法存在一些缺点。
首先，网格法需要预先划分网格，这在处理复杂几何体或大变形情况下往往具有挑战性。
其次，网格法在处理液体表面的运动时可能会出现不准确或不稳定的情况。
最后，网格法需要对整个领域进行求解，计算成本相对较高。
无网格法的基本原理无网格法通过将流体领域内的粒子进行离散化，并采用不同的数值计算技术来模拟流体的行为。
在传统的无网格法中，粒子通常是拉格朗日粒子（Lagrangian Particle），它们可以自由移动和变形，并且可以在计算中重新连接和分离。
无网格法的核心是描述流体的运动方程。
在拉格朗日粒子的模拟中，通常使用基于质点的方法来计算粒子运动的方程。
在每个时间步长中，根据质点的受力和刚体动力学原理，可以确定质点的加速度、速度和位置。
通过不断迭代计算所有质点的运动方程，可以得到流体领域内的流体运动状态。
除了描述粒子运动方程之外，无网格法还需要考虑粒子之间的相互作用和液体的流动特性。
为了模拟粒子之间的相互作用，可以使用诸如领域分解、体积渗透、弹簧网格等技术。
而为了模拟流体的流动特性，可以使用诸如斯托克斯流体方程、连续介质力学等数值方法。
无网格法的应用无网格法在计算流体力学和计算物理等领域都具有广泛的应用。
在流体力学方面，无网格法可以模拟复杂的流体现象，如自由表面流动、液滴碰撞、流体-结构相互作用等。
在计算物理方面，无网格法可以用于模拟固体材料的变形和破裂行为，如弹性体的形变、破坏和碎裂等。
此外，无网格法还具有适应性网格的特点，可以根据流体的运动状态自动调整粒子的分布和连接，从而实现更高的计算效率和精度。
无网格法及其在岩石力学与工程中的应用
无网格法及其在岩石力学与工程中的应用
无网格法是一种建模技术，用于模拟复杂结构的变形和破坏过程。
它可以被用来模拟岩石力学与工程中的各种复杂场景，如岩石挤压、爆破、摩擦剪切、抗震等现象。
无网格法的优点是它可以模拟复杂的物理场，而不需要使用大量网格点，从而减少计算复杂度。
此外，无网格法可以模拟多媒质系统，如岩石中的空气和水，以及岩石的结构和力学性质。
无网格法的应用在岩石力学与工程中有很多，如模拟岩石挤压、爆破、摩擦剪切、抗震等现象，以及模拟岩石在地震、洪水、滑坡等自然灾害中的变形和破坏过程。
此外，无网格法还可以用于模拟岩石的结构和力学性质，以及模拟岩石在深层采矿过程中的变形和破坏。
无网格法研究进展及其应用_张雄
计 算 力 学 学报 Chinese Journal of Computational Mechanics
Vol. 20 , No. 6 Decembe r 2003
文章编号: 1007-4708( 2003) 06-0730-13
无网格法研究进展及其应用
网格重新划分的缺点 ; 用 M LS可以较容易地构造 具有 C1 连续性的函数 ,因此 K rysl等将 EFG 用于 板壳分析中 [33 ] ; Liu等将 EFG 和边界元法相耦合 , 用于固 体的应力分析 [ 34 ]; Bely tschko 和 Heg en等
第 6期
张 雄 ,等: 无网格法研究进展及其应用
张 雄* , 宋康祖 , 陆明万
(清华大学 工程力学系 ,北京 100084)
摘 要: 从加权残量法 的角度出发 ,系统地总结了现 有各种无网格法的 基本格式 ,阐明了无 网格法的 特点 ,论 述 了无网格 法的研究进展 ,给出了无网格法 在碰撞、动 态裂纹扩展、金属加工成型、流体 力学以及其 它领域中的 应 用。
波函数的多尺度分析思想 ,构造了一系列可同时伸 缩和平移的窗函数 ,实现了 RKPM的自适应分析。 应用 RKPM 法已对大量问题进行了数值分析 ,如 结构动力学 [ 60]、流体动力学 [ 61-63 ]、动态断裂和局部 化 、 [64-65 ] 应 力 集 中 [66 ]、 大 变 形 、 金 [67-70 ] 属 加 工 成 形 [71, 72 ]、中厚梁板 [ 73]和微电子机械系统 [74 ]等。 Ohs 用重构核函数近似和配点法 ,提出了无网格配点法 ( M eshless Poi nt Co llocatio n M et hod, 简 称 PCM ) [ 75] ,并用于分析压电元件。
无网格法的研究发展及工程应用简述
法没有受到高度重视 。１７ ９７年 ， Ｌ ｃ 有 ｕｙ和 Ｇｎｏ ｉｇｌ 分别提 出了 ｄ等
基于拉格朗 日公式 的光滑质 点流体 动力学 （ Ｐ 法。经过 Ｊｈ— Ｓ Ｈ） ｏｎ
法 ， 仅消除 了张 力不 稳定 性 ， 保证 了计算 的精 确 性。Ｓ ｅｌ 不 还 ｗ ｇ ｅ 等提 出了保守光滑方法来解决 Ｓ Ｈ法 的张力 不稳定性 问题 。 Ｐ
． ＳＨ 时经常 由于 网格纠缠而导致求解 失败 ， 而且 局部应力 集 中等 现象 ２ １ 光 滑质 点流体 动 力 学法 （ Ｐ 法） 在通 常的分类 中 ，Ｐ Ｓ Ｈ法被 归为基 于 配点 法 的无 网格 法 Ｊ 。 的精细分析必须 进行 网格 细化并 反复迭代 求解 。这 使得 通 常的
物理的或数值 的） 都认 为集 中于这 些质点 上。它 的基础 引起 了国内外学者 的广泛关注 。无 网格法无需计 算 网格 ， 以避 统 的量 （ 可 理论是插值理论 ， 采用 近似 方法将 偏微 分方程 转换成 积分 方 程 ， 免大变形分析 网格 畸变而引起 的计算 困难 ， 使其在处 理移动 不连 续、 大变形 、 高梯度 问题等 方面 比基 于 网格 的近似方 法具 有特 殊 然后 用质点 近似方 法将连 续形式 的积分方 程转换成 离散形 式 的
．
４ ． ４
第３ ７卷 第 ＨＡＮＸＩ ＡＲＣＨｎ ＥＣＴＵＲＥ
Ｖｏ ｜ ７ Ｎｏ． ６ ｌ３ ２ Ｓｅ ２ ｐ． ０１１
文章编号 ：０ ９ ６ ２ （０ ）６ ０ ４ —２ １０ — ８ ５ ２ １ ２ —０ ４０ １
的优越性 。 方程 。
１ 无 网格 法的研 究发 展历 史 …
对无 网格法 的研究可 以追溯到 ２ Ｏ世纪 ７ ０年代初对非规 则网 格有限差分法 的研 究 ， 由于当时有 限元 法 的巨大成 功 ， 但 这类方
无网格法在金属成形模拟分析中的应用
于初始形及热力学第二定律 的有 限变形 的弹塑性本构关 系 ；
赵 国群利用 Ｅ Ｇ Ｆ Ｍ法首次对 刚塑性材料 沟轴对称 敦粗问 题进行 了无 网格法分 析ｔ ； “ 张湘伟 等提出了一种改进 的无 网格法 ， 通过 采用 Ｓ ｅ ａ ｈｐｒ ｄ
需借助网格 ， 就可 以建 立近似 函数 ， 于函数 逼近近似而非插 基 值， 这也是无 网格方法和有 限元法之 间的主要 区别 。
属 塑 性 成 型过 程 有 限 元 分 析 模 拟 时 所 遇 到 的 网 格 重 构 问 题 ， 具有 一定 的实 际意 义 。
理论 ， 出了再生核质点法（Ｋ Ｍ） 方法使用形 函数通 过核 提 Ｒ Ｐ ， 该
函数 变 换 的方 法 ， 而 达 到 积 分 的 目 的 ， 且 可 以利 用 尺 寸 因 从 并 子 来 改 变 核 函数 的大 小 ㈣ ；
Ｏｅ ｄｎ等提 出了基于云 团概念 的无单 元法 ， 利用最小 二乘
原理建立单元分解 函数 ， 立离散数学模 型 ， 建 能够进行 自适应 分析１埘； ＇ ９ － Ａ ｕｉ 在局部边界积分方 程的基础上 ， ｌ ｆ ｒ等 运用移动最 小二 乘法构造局 部域上的试 函数 和权 函数 ，导 出了一种 新无网格
法 —无 网 格 局 部 伽 辽 金 法 （ Ｐ Ｍ）Ｏ ＭＬ Ｇ ｌ。 ｌ ｌ
国 内对无 网格方 法的研究起步较 晚 ， 但发 展势头强劲 ， 而
且也取得力不少成果 。
１ 无 网格 法
无网格法的研究始 于 ２ ０世纪 ７ ０年代针对不 规则 网格 的
有 限 插 分 法 的研 究 。 目前 已 经 提 出 了近 ２ 无 网格 方 法 ， ０种 除
二乘 法应用 于边 值 问题 的求 解 ，提 出了散射 单元 法 （ ｉｕｅ Ｄｆ ｓ
无网格法的理论及其应用
无网格法的理论及其应用张雄清华大学航天航空学院无网格法，清华大学出版社/有限元法存在的某些困难无网格法是直接利用分布在求解域中的离有限元法存在的某些困难七十年代：非规则网格有限差分法(Nayroles等)Liu等、RKPM）Onate等，FPM）年：单位分解有限元法和广义有限元将无网格法的思想引入有限元法中紧支径向基函数配点法Computer Methods in Engineering有限元法存在的某些困难紧支试函数只定义在局部域中有限元法存在的某些困难(Kernel approximation)用积分核变换近似在边界附近不满足对非均匀布点不能满足含伸缩系数的紧支核函数有限元单位分解近似单位分解条件()1x IIφ=∑()x I φ—定义在子域上ΩI 的非零函数1()()(())x x x m h kII iI i I i u u b q φ==⋅+⋅∑∑(x )I I u u =iI b —待定系数()x i q —基函数hp云团法点插值法m∑ uh (x) = Pi (x) ⋅ ai (x) = P(x)a(x) i =1与MLS类似，但取n = m 是一种插值 系数矩阵的奇异性问题基于径向基函数的点插值法Nm∑ ∑ g(x) = ck ⋅φ( x − xk ) + bi pi (x)k =1i =12005年8月30日无网格法的理论及其应用张雄无网格法的理论及其应用 有限元法存在的某些困难 无网格法的研究历史 紧支试函数加权残量法¾紧支试函数 ¾加权残量法 无网格法总结 无网格法的应用2005年8月30日无网格法的理论及其应用张雄加权残量法 控制方程 A(u(x)) = 0 In Ω B(u(x)) = 0 On Γ∫ ∫ WA(uh (x)) d Ω + WB(uh (x)) d Γ = 0 Γ Ω2005年8月30日无网格法的理论及其应用张雄加权残量法 Galerkin Collocation Local Petrov Galerkin Least Square Collocation Weighted Least Square Galerkin Least Square Galerkin Collocation2005年8月30日无网格法的理论及其应用张雄Collocation 微分方程在域内节点处满足，边界条件在 边界节点处满足A(uh (xI )) = 0 ∀xI ∈ Ω B(uh (xI )) = 0 ∀xI ∈ Γ¾ 计算效率高，方法简单 ¾ 精度差，稳定性差 ¾ 系数矩阵不对称2005年8月30日无网格法的理论及其应用张雄Galerkin 在域内取W = φJ，在边界上取 W = −φJ∫ ∫ ΩφJ [ A(uh (x))]dΩ − ΓφJ [B(uh (x))]dΓ = 0¾ 计算量大 ¾ 精度高，稳定性好 ¾ 系数矩阵对称2005年8月30日无网格法的理论及其应用张雄Galerkin 积分 ¾ 背景网格积分 ¾ 有限元网格积分 ¾ 节点积分（稳定化方案） ¾ 单位分解积分 本质边界条件的处理 ¾ 拉格朗日乘子法 ¾ 修正变分原理 ¾ 罚函数法 ¾ 位移约束方程法 ¾ 变换法2005年8月30日无网格法的理论及其应用张雄Local Petrov-Galerkin 残差在各个节点的子域中消除，且 W ≠ φJ∫ ∫ WA(uh (x))dΩ + WB(uh (x))dΓ = 0ΩIΓI¾ 不需要背景网格 ¾ 需使用特殊的积分方案 ¾ 系数矩阵不对称2005年8月30日无网格法的理论及其应用张雄Least square collocation 除节点外，在域内设置一些辅助点。
关于无网格法的几点研究
关于无网格法的几点研究无网格法又称分解法，是近年来在计算机中运用较多的解决微分方程组的一种方法。
这种方法属于近似分析，将复杂的微分方程组分割成一系列简单的子问题，用现成的算法来解决。
本文将探讨无网格法更新的重要性，以及它的数值精确性与速度的比较，从而使读者对无网格法有更深入的了解。
无网格法作为近似方法，它可以大大减少计算量，但也失去了某些精度。
因此，广泛使用无网格法解决数值方程组的关键是正确地控制精度。
当存在多个方程组时，可以采用无网格法来分解复杂的方程，从而在提高精度的同时提高计算效率。
无网格法中采用的“分解”技术会使精度受到更大影响。
因此，准确的精度控制要求采用相同的分解法来解决多个方程组，并确保分解准确度。
无网格法比传统的网格运算方法具有更高的数值精确性。
无网格法采用了恰当的迭代步骤和精确的边界条件来确保精度，而网格运算则取决于网格步长和有限差分等步骤。
因此，无网格法可以更好地控制精度，保证解决的问题的准确性。
无网格法的处理速度上也比传统的网格法具有显著优势。
虽然由于每组迭代计算产生的更多的计算，无网格法的计算次数比网格法的计算次数多，但无网格法的每次计算只需要少量的计算量，而网格法则需要大量的计算量。
因此，无网格法比网格法更快。
在使用无网格法时，还应特别注意计算机硬件的计算能力问题。
计算机硬件的计算能力决定了无网格法的计算能力，包括速度和精度。
由于计算机硬件的性能有限，无网格法往往难以实现在短时间内得到高精度的计算结果。
因此，在使用无网格法时，应考虑到计算机的性能，并采取恰当的步骤提高计算精度，以减少结果的误差。
综上所说，无网格法除了可以大大减少计算量，提高数值精度，提高速度外，还应注意到计算机硬件的计算能力问题。
正确的精度控制要求应该采用相同的分解法来解决多个方程组，并在使用无网格法时，采取恰当的步骤来提高计算精度，以减少结果的误差。
本文探讨了无网格法的更新的重要性，以及它的数值精确性和速度的比较，从而使读者对无网格法有更深入的了解。
无网格方法及其在电磁场数值计算中的应用
图1
MLM 方法图解
1°在求解区域中布一系列节点，记为 xI(I=1~N, N 为节点总数)。节点可均布，也可以随机 分布。 2°为每节点 ｘＩ 设置影响域（或称支持域） 。影响域以 ｘＩ 为中心，通常为圆形或矩形，大 小可相同，也可不同。 3°选定权函数 ｗ（ｔ）（其中－１＜ｔ＜１） ，它应关于 ｔ＝０ 对称、高阶连续、正凸，且在－１＜ｔ＜１ 之外为零。将 ｗ（ｔ）映射到每个节点 ｘＩ 的影响域上，得权函数 ｗＩ（ｘ－ｘＩ），它和 ｗ（ｔ）具有类似的 特性，即关于节点 ｘＩ 对称、高阶连续、正凸，在 ｘＩ 影响域的边界及外部为零。 4°为各节点 ｘＩ 分配未知参数 uI，选用某种规则构造节点形状函数ϕI(x)（具体构造方法见 第 9 部分） ，使近似解完全依节点构建，具以下形式：
Liu 等(1995)
u h ( x) =
∫
Ω
C ( x, y ) w( x − y )u ( y ) dΩ y
Liu 等(1995)
Hp clouds PUFEM
N I = φ Ik (u I + bIT p( x))
Duarte and Oden(1996)
N I = φ I0 (u I + bIT p ( x))
无网格方法及其在电磁场数值计算中的应用∗
尹华杰（华南理工大学 广州 510641）
摘要：本文之目的在于向电磁场数值计算界推介无网格法这一新的数值计算方法。文中着重针 对人们在第一次遇到无网格法时，可能提出的疑问，进行说明与阐述，并分析讨论了无网格法 在电磁场数值计算中的一些潜在应用可能。 关键词：无网格法，有限元法，电磁场数值计算，移动最小二乘法 简介 作为一种新的数值仿真技术，无网格法（Meshless method，简称为 MLM）主要用于代替 和弥补有限元法（FEM）的不足。在网格需要反复生成的场合，如运动体仿真、区域变形问题、 裂纹生成仿真，以及存在奇点的场合，MLM 特别有用。然而 MLM 方法的边界条件以及交界 条件的难于处理，使得其研究和应用主要局限在机械、材料领域。 在电磁场数值计算（EM）领域，也存在利用 MLM 的优点以克服 FEM 缺点的许多理由。 从已发表的文献看，尽管 MLM 在 EM 领域的研究、应用尚十分有限，但它已在国外引起 EM 领域研究者的兴趣。经过仔细收集、分析关于 MLM 的文献，我们总结出了 7 个方面的问题， 在以下加以阐述，以期对 EM 领域的研究者理解 MLM 方法有所助益。 本文的第 2 部分， 着重回答 EM 领域为何需要 MLM 方法的问题。 第 3 部分回答什么是 MLM 方法。第 4 部分介绍 MLM 方法的种类。第 5 部分回答当前谁在研究 MLM 方法的问题。第 6 部分回答在 EM 领域中，谁在应用 MLM 方法的问题。第 7 部分分析 MLM 方法存在的问题及 局限。第 8 部分回答 EM 计算领域的研究者们面对 MLM 方法能够做些什么的问题。为方便起 见，第 9 部分对 MLM 方法的数学理论作简单介绍。 为何需要 MLM 方法？ 众所周知，在偏微分方程的数值计算中，FEM 是十分成熟而强大的工具。FEM 以网格单 元为基础，尽管网格自动剖分软件通过商业途径已很容易获得，但对普通研究者，它还过于昂 贵。而在技术上，FEM 则存在以下问题： （1）当求解问题区域变形时，FEM 要求区域反复剖 分，这将成为计算机的沉重负担； （2）FEM 仅仅提供 C0 连续的近似解，当使用标量位或矢量 位求解电磁场时，场解沿单元边界不连续； （3）网格单元形状对解的收敛性影响严重，在一些 逆向问题中（如电磁设备的形状设计） ，为使求解收敛，即便区域变形是比例性质的，也必须 反复剖分。为了克服 FEM 的这些缺陷，人们开发了 MLM 方法。 什么是 MLM 方法？ 根据 E. Oñ ate(1996)的定义，任何方法，如果其近似解能够严格依节点（而非单元）构建， 就是 MLM 方法[1]。 MLM 法原理比较抽象， 根据笔者的心得， 用以下分步骤的操作来解释 MLM 方法，有助于理解（图 1） ：
无网格法在材料力学求解中的运用
ａ ｔ ｌ ａ ｂ编程 ， 求得 的形 函数 图像如 图 ２所示 。通 过形 函数结 果数 在 有限元 中， 形 函数是 通过 相邻 的两 个节 点来 构 造 ， 在径 向 ｍ 可以验证 这种形 函数具有紧支性 ， 满足 Ｋ ｒ ｏ ｎ ｅ ｃ ｋ ｅ ｒ 占函数性质。 基点插值 无网格法 中， 形 函数是通过 以计算 点为 中心 的区域 内的 据，
第３ ９卷 第 ８期 ２ ０ １ ３年 ３ 月 文章编号 ： １ ０ ０ ９ － ６ ８ ２ ５ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ８ － ０ ０ ２ １ — ０ ３
山 西 建 筑
Ｓ ＨＡＮＸＩ ＡＲＣ ＨＩ Ｔ ＥＣ Ｔ ＵＲ Ｅ
Ｖ０ １ ． ３ ９ Ｎｏ ． ８
各个节点来共同构造 ， 属 于高 阶插值 函数 ， 比有限元 的形 函数有更 ２ 材料 力 学 问题 的无 网格法 求解 为 了求得二维 力学 问题 的解答 ， 除 了满 足本 构方 程 之外 ， 还 高 的精度 。对于含有 ｎ个节点的区域 ， 形函数 的表达式如下 ：
（ １ ） 需要满足 如下 的条件 ： 平衡方程 ： 式（ １ ） 中 为一个只与节点 的坐 标值 有关 的常数对 称矩 阵 ， ７‘ ｏ ｒ ＋ｂ ＝ ０ ， 在 ｎ中 其 中的矩阵元素 由径 向基 函数 和多项 式基 函数 组成 （ 也可 以没有
（ ）＝Ｈ（ ｘ ） Ｍ
（ ５ ）
Ｈ… 】 Ｈ帅 ■Ｈ
多项式 基函数 ） ， 对 于不 同的计 算点 就有 不 同的 日（ ） 和 （ ） 。
力边界条件 ：
】Ｈ 】 …
ｌ ２ ． ５ ｍ 以下部位 ， 观众厅 四周混凝 土剪 力墙 ， 及支 撑 中庭 钢 连桥 良好 的抗震性 能。
Ｒ １ （ ｒ ｚ ） Ｒ ２ （ ｒ ２ ）
element-free_galerkin_(efg)方法_概述说明
element-free galerkin (efg)方法概述说明1. 引言1.1 概述Element-Free Galerkin (EFG)方法是数值计算中一种重要的无网格方法，它在求解偏微分方程问题中具有独特的优势和广泛的应用。
相比传统有限元方法，EFG方法不需要构建网格，能够更好地处理复杂几何形状和大变形问题。
本文旨在对EFG方法进行全面的概述和说明，介绍其原理、基本步骤以及在工程应用中的优势和应用领域。
1.2 文章结构本文共包括五个部分。
首先，在引言部分我们将对EFG方法进行概述，并介绍文章的结构安排。
其次，在第二部分我们将详细描述EFG方法的简介、原理以及在工程应用中的优势。
第三部分将介绍EFG方法的基本步骤，包括离散化与网格生成、加权残差法与弱形式表达以及局部插值与求解偏微分方程。
第四部分将探讨EFG方法在结构力学、流体力学和生物医学工程等领域中的广泛应用。
最后，在第五部分我们将总结本文讨论内容及发现结果，并对EFG方法未来发展提出展望和建议。
1.3 目的文章旨在提供关于EFG方法的全面概述和说明，介绍其原理、基本步骤以及在工程应用中的优势和应用领域。
通过本文，读者将能够了解EFG方法的基本原理和特点，并了解其在不同领域中的应用情况。
同时，我们还将对EFG方法未来发展进行展望，为相关研究提供参考和建议。
2. Element-Free Galerkin (EFG)方法概述:2.1 EFG方法简介:Element-Free Galerkin (EFG)方法是一种用于求解偏微分方程的数值方法。
与有限元法类似，EFG方法也是将问题域离散化为小区域，并在每个区域上构建逼近解。
但与有限元法不同的是，EFG方法不需要网格。
在EFG方法中，问题的域被离散化为一系列节点。
每个节点处都需要定义一个试探函数以及相应的待定系数。
通过加权残差法和弱形式表达，在整个领域内建立起一个连续性误差逼近解。
2.2 EFG方法原理:EFG方法的核心思想是利用无网格自由度进行逼近求解，因此避免了传统有限元网格划分所带来的困难和误差。
无网格法及其在声场数值计算中的应用
动声学 ， 包括 有限元 法、 边界元法等 。几何声学方法 主 要适用 于大尺度结构 、 中高频条件翻 对于 中小 尺度 的 ，
封 闭 空 间 ， 者说 界 面 尺 寸 小 于声 波 波长 的情 况 。 或 目前 大 部分 关 于小 尺度 封 闭 空 间声 场 数 值 计 算 的研 究 都 集 中于 有 限 元 、 界元 等 方法 。不 过 ， 些 方 法 的精 度 受 边 这
述 。 最 后 ， 析 了无 网格 法在 小 尺 度 封 闭 空 间声 场 数 值 计 算 中的 应 用 。 分
【 关键词 】无网格 法；形 函数 ；声场数值计算
【 圈分 类号 】Ｔ ５ ５ 中 Ｂ ２ 【 献 标 识 码 】Ａ 文
Ｍ ｅ ｈ ｅ ｓ Ｍ ｅｈ ｄ ａ ｄ Ｉｓ Ａｐ ｌ ａ ｉ ｎ ｉ ｈｅ Ｎｕ ｒ ｃ ｌ Ｃａｃ ｌ ｔ ｎ ｏ ｏ ｎ ｉ ｌ ｓ ｌｓ ｔ ｏ ｎ ｔ ｐ ｉ ｔ ｎ ｔ ｍｅ ｉ ａ ｌｕ ａ ｉ ｆ Ｓ ｕ ｄ Ｆ ｅｄ ｃ ｏ ｏ Ｗ ＡＮＧ ｉ ｏ Ｈａｔ ，Ｚ ａ ＥＮＧ Ｘｉｎ ｙ ｎ ａ ｇａｇ
无网格法 流体
无网格法流体介绍无网格法流体的定义和背景引述无网格法流体在科学计算和工程应用中的重要性解释无网格法的基本思想和原理着重介绍无网格法在流体模拟中的应用描述无网格法流体模拟的一般步骤包括数据准备、网格生成和流体模拟等关键步骤强调无网格法在流体模拟中的优势和独特之处比较网格法和无网格法的差异和优缺点概述无网格法在不同领域中的应用情况包括工程流体力学、生物流体学和天气模拟等方面讨论无网格法流体模拟的发展趋势和前景提出可能的改进和创新方向总结无网格法流体的重要性和应用前景强调进一步开展相关研究的意义和必要性以上是《无网格法流体》的大纲，该文将以简洁的语言呈现无网格法流体模拟的基本原理、步骤、优势、应用领域和发展趋势，以及结论的总结。
本文将介绍无网格法流体的概念和定义。
无网格法流体（Mesh-free Fluid）是一种基于流体力学原理的数值模拟方法，用于模拟液体或气体在复杂几何形状中的流动行为。
与传统的网格方法（Grid-based Method）不同，无网格法在建立数值模型时不需要网格结构，而是以粒子为基本计算单元。
无网格法流体的核心思想是将流体连续介质看作一系列粒子，通过离散化的方式模拟流体运动。
在模拟过程中，粒子之间的相互作用和影响被计算和更新，从而实现对流体的模拟和预测。
与传统网格方法相比，无网格法具有更高的自由度和适应性，能够处理复杂的流体现象和几何形状。
无网格法流体广泛应用于各个领域，包括工程、物理学和计算机图形学等。
它在模拟自然界中的流体行为、计算流体力学、研究海洋环境、仿真特殊效果等方面具有重要的作用。
通过使用无网格法流体，研究人员和工程师能够更准确地预测和分析复杂流体系统的行为，为各个领域的科学研究和工程设计提供有力的支持。
本文将探讨无网格法流体在不同领域的应用，例如仿真、计算流体力学等。
无网格法流体在仿真领域具有广泛的应用。
通过使用无网格法，可以更精确地模拟涉及流体的各种物理过程，如水流、燃烧等。
无网格有限元方法及应用研究
无网格有限元方法及应用研究有限元方法（Finite Element Method, FEM）是一种常用的数值计算方法，广泛应用于工程、物理和数学领域。
然而，传统的有限元方法在处理复杂边界和高度非结构化的问题时存在较大局限性。
为了克服这些限制，无网格有限元方法（Meshfree Finite Element Method, MFE）应运而生。
无网格有限元方法是一类基于无网格（Meshfree）技术的数值计算方法，其主要的特点是在数值计算中摒弃了传统的网格划分。
相比于传统有限元方法，无网格有限元方法具有以下优势：1. 适应性：无网格有限元方法无需事先进行网格划分，可适应各种复杂的几何形状和边界，避免了传统方法中人工划分网格所带来的困难。
2. 精度：无网格有限元方法可通过适当选择插值函数，获得较高的数值精度。
此外，由于无网格有限元方法通常采用局部插值，因此在非均匀网格下能够更准确地模拟物理现象。
3. 灵活性：无网格有限元方法中无需进行网格的剖分和变形，使问题的建模和计算过程更加灵活简化。
4. 模拟效率：相比于有限元方法，无网格有限元方法更加高效，尤其是在处理大规模问题时表现出色。
基于以上特点，无网格有限元方法被广泛应用于流体力学、地震学、材料力学等领域。
例如，在流体力学中，无网格有限元方法可以用于解决自由表面流动、大变形问题和多相流动等复杂现象；在地震学中，无网格有限元方法可用于地震波传播模拟和地震动力响应分析；在材料力学中，无网格有限元方法可用于研究材料的断裂行为和损伤机制等。
无网格有限元方法的实际应用中，常用的基础模型包括贝塞尔函数法、径向基函数法和有限差分法等。
此外，为了进一步提高计算效率，研究人员还不断开发新的无网格有限元方法。
例如，采用基于领域分解的无网格有限元方法，可以将大规模问题分解为多个子问题并行求解，从而提高求解的效率；采用自适应无网格有限元方法，则可以根据局部误差自动调整网格进行模拟，从而提高求解的精度。
无网格法在固有频率分析中的应用
尸 ｍ＝
ｙ … ｐ （ ） ２ ｍ
：
●
１
…
Ｐ ） ｍ（
ａ＝［ ｌｎ， ，Ｎ ａ ２… ａ ］
［ｌ ２ … ］； ｕ
Ｒ ） 【 ｔ ） ： ， Ｒ ）ｒ ＝ Ｒ（ ， ）…， 】 Ｒ 添加多项式的 Ｒ Ｉ ＰＭ插值可 以表示为
ａ ａ …％ ＝【 ｔ
＝
式中 ，
１ 传 统 径 向基 插 值 函数
将求 解 区域 用 Ⅳ个 节 点 ，ｒ ， …， （＝１ ２， Ｎ） ｊ 离散 ， 函数 （ ） 域 中的 近似 函数 可 表示 为 在
ｈ 、●’
Байду номын сангаас
Ｒ１ ｒ） Ｒ （ ） （１ ２ ｒ １
Ｒ０
Ｒ （ ） ｒ Ｒ （２ ｒ）
＝
Ｐｍ ０
Ｇ ％
㈣
因为矩阵 Ｒ 是对称 的 ， 以矩 阵 Ｇ也将 是对 所
称 的。
： 一 Ｐ（ Ｐ Ｗ ） ， Ｐ（ ） ｖ ）： 一 ］ 一
将式 （ 做适 当的重写 ， ２ ） 求解式 （ ， ５ 利用解得的 ） 结果 ％ ， 可将式 （ 写为 ２ ）
ｔ ｔ
ｈ ） Ｒ （ ＋ ）Ｇ ＝ （ （ ＝【 ） ｐ （ ］～ ）
式 中的 Ｒ Ｉ ＰＭ形 函数 （ 可 表示 为 ） （ ＝Ｒ （ ）ｐ （ ）Ｇ ） Ｊ ＋ ｒ 】
＝
（ ６ ）
＝
［Ｕ ］ Ｐ ｖ ｘＰ 加 ， 一
， ｚ）
Ｐ —
ｉ
（
［ ） （ ， ， （ ） 咖 （ ， ） ， ： …
则方程 的无 网格 列 式 ，使得 无 网格 法的优越 性 与 弹性力 学 Ｈａ ｌ ｎ正 则 方程 的 半解 析 法得到 了有机 的 结合 ， ｍｉｏ ｔ 为
无网格方法在数值计算中的应用
无网格方法在数值计算中的应用无网格方法（Meshless methods）是一种近些年才开始被广泛研究和应用的数值计算方法。
相对于传统的基于网格的方法，无网格方法由于其独特的性质，在某些情况下能够获得更高的计算精度和更好的计算效率。
本文将介绍无网格方法在数值计算中的应用，并分析其优点和局限性。
一、无网格方法的基本原理和特性无网格方法是一种基于节点离散化的方法，比如最常用的有粒子法（Particle Method）和基于径向基函数（Radial Basis Function）的方法等。
相对于传统的有网格方法，无网格方法的基本原理是通过在求解域中构造离散节点集合来近似表示物理场，而不需要依赖于细分的网格结构。
这使得无网格方法在处理具有复杂几何形状和大变形的问题时更加灵活和高效。
无网格方法的特性主要表现在以下几个方面：1. 简化了网格生成过程：无网格方法不需要事先生成和细分网格，这对于具有复杂几何形状的问题尤为重要。
2. 自适应性：无网格方法能够根据问题的需求自适应地调整节点的位置和数量，以提高计算的准确性和效率。
3. 高自由度：无网格方法采用节点离散化，使得节点的数量可以自由调整，从而提供了更高自由度来描述物理场的细节和复杂性。
4. 弱依赖于规则结构：无网格方法不需要规则的网格结构，对于处理具有大变形的物体和边界条件时具有较强的适应性。
二、无网格方法在数值计算中的应用由于其独特的特性，无网格方法在多个领域中得到了广泛的应用。
下面将分别介绍其中几个领域的应用案例：1. 流体动力学无网格方法在流体动力学中的应用主要体现在求解Navier-Stokes方程和Laplace方程等流体方程组上。
相比于有网格方法，无网格方法能够更好地处理流动区域的变形和流体边界的移动。
同时，无网格方法还能够适应复杂的流动结构和边界条件的设定，如自由表面流动和多相流动等问题。
2. 固体力学无网格方法在固体力学中的应用主要涉及到弹性和塑性力学、断裂力学以及热力学等问题。
无网格方法及其在边坡工程分析中的应用研究的开题报告
无网格方法及其在边坡工程分析中的应用研究的开题报告【背景介绍】无网格方法（Meshfree Method）是近年来发展起来的一种新型数值计算方法，其特点是不依赖于网格结构，能够克服传统有限元方法在高度非线性、大变形、结构破坏等问题上的限制，逐渐成为数值计算领域的重要发展方向。
边坡工程作为土力学、岩土工程中的重要分支，涉及到许多非线性、大变形、结构破坏等问题，因此无网格方法在该领域中的应用具有广阔的发展前景。
因此，本文旨在研究无网格方法的相关理论与应用，并将其应用于边坡工程的分析之中。
【研究目的】1. 梳理无网格方法的相关理论，掌握其基本原理与数学模型。
2. 研究无网格方法在边坡工程分析中的应用，分析其优缺点及适用范围。
3. 开发无网格方法在边坡工程分析中的计算程序，实现相关数值计算并验证算例的可行性与正确性。
【研究内容】1. 介绍无网格方法的研究进展，分析其基本原理与数学模型，着重讨论径向基函数（Radial Basis Function，RBF）方法、移动最小二乘（Moving Least-Squares，MLS）方法等。
2. 对边坡工程中的典型问题进行分析，并将无网格方法应用于其分析中。
具体包括：边坡坡度对稳定性的影响、边坡渗流分析、边坡地震反应分析等。
3. 基于Matlab等数值计算软件，开发无网格方法在边坡工程分析中的计算程序，并结合算例验证其可行性与正确性。
【研究意义】1. 为土力学、岩土工程等领域的科学研究提供一种新的数值计算方法，推动无网格方法在该领域中的应用与发展。
2. 对边坡工程的分析与研究具有一定的理论与实践意义，可以为相关专业人员提供参考。
【预期成果】1. 对无网格方法的相关理论进行梳理与总结，形成详实的文献综述。
2. 对边坡工程中的典型问题进行分析，并将无网格方法应用于其中，形成若干实例分析报告。
3. 基于Matlab等数值计算软件，开发无网格方法在边坡工程分析中的计算程序，形成实用性较高的工程计算工具。
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无网格方法的研究应用与进展
引言
有限元法（FEA）是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法，但FEA 是基于网格的数值方法，在分析涉及特大变形（如加工成型、高速碰撞、流固耦合）、奇异性或裂纹动态扩展等问题时遇到了许多困难。
同时，复杂的三维结构的网格生成和重分也是相当困难和费时的。
近年来，无网格得到了迅速的发展，受到了国际力学界的高度重视。
与有限元的显著特点是无网格法不需要划分网格，只需要具体的节点信息，采用一种权函数（或核函数）有关的近似，用权函数表征节点信息。
克服了有限元对网格的依赖性，在涉及网格畸变、网格移动等问题中显示出明显的优势。
无网格方法的概述
无网格方法（Meshless Method）是为有效解决有限元法在数值模拟分析时网格带来的重大问题而产生的，其基本思想是将有限元法中的网格结构去除，完全用一系列的节点排列来代之，摆脱了网格的初始化和网格重构对问题的束缚，保证了求解的精度[1]。
是一种很有发展的数值模拟分析方法。
目前发展的无网格方法有：光滑质点流体动力学法（SPH）、无网格枷辽金法（EFGM）、无网格局部枷辽金法（MLPGM）、扩散单元法（DEM）、Hp－clouds 无网格方法；有限点法（FPM）、无网格局部Petrov－Galerkin方法（MLPG）、多尺度重构核粒子方法（MRKP）、小波粒子方法（WPM）、径向基函数法（RBF）、无网格有限元法（MPFEM）、边界积分方程的无网格方法等。
这些方法的基本思想都是在问题域内布置一系列的离散节点，然后采用一种与权函数或核函数有关的近似，使得某个域上的节点可以影响研究对象上的任何一点的力学特性，进而求得问题的解。
无网格方法国内外研究的进展
无网格法起源于20 世纪70 年代。
Perrone，Kao 最早采用任意网格技术将传统有限差分进行扩展，提出了有限差分法，这可看作无网格技术的最初萌芽。
1977年Lucy 和Monaghan 首次提出了基于拉格朗日公式的光滑质点流体动力法（Smoothed Particle Hydrocynamics：SPH），这是一种纯拉格朗日法，无需网格。
最初运用SPH 方法解决了无边界天体物理问题。
Monaghan 在对SPH 方法深入研究后，将其解释为核（kernel）近似方法。
Swegle 等指出了SPH 方法不稳定的原因，并提出了一个黏度系数来保证其运算稳定。
Dyka 则提出了应力粒子法来改善其稳定性。
SPH 方法已经被应用于水下爆炸数值模拟、弹丸侵彻混凝土数值模拟、高速碰撞等材料动态响应的数值模拟等。
近年，我国学者张锁春对SPH 方法进行了综述，贝新源等将SPH 方法用于高速碰撞问题，宋顺成等将SPH 方法用于模拟弹丸侵彻混凝土。
78ANSYS在机械工程中的应用25例
Nayroles 首先提出移动最小二乘法（MLS）并应用于边值问题的求解，进而提出了模糊单元法（DEM）。
移动最小二乘法的提出为无网格方法的发展奠定了基础。
陈美娟、程玉民等提出了改进的移动最小二乘法。
张雄等提出移动最小二乘配点法（Least-Squares CollocationMeshless Method），是一种有限点法。
Belytschko 提出了著名的无网格枷辽（EFGM），给出了误差分析，并成功地应用于动态裂纹扩展数值模拟和三维撞击分析。
Belytschkohe 等将EFG 方法模拟动态裂纹扩展问题。
Krysl 等将EFG 用于板壳分析中。
Belytschko 和Du 等将EFG 用于三维撞击和流体晃动分析。
Xu 等将EFG 法用于求解弹塑性材料的裂纹扩展问题。
张雄等将EFG 方法的思想用于节理岩体的分析中，周维垣等对EFG 方法进行了详细介绍，并应用于裂纹扩展分析中。
J.T.Oden 等提出了基于云团概念的Hp－clouds 无单元法（HPCM），这种方法适合进行自适应分析。
Oden等对这种方法进行了严格的数学论证。
Mendoncca 等将这种方法用于求解铁摩辛柯梁问题。
刘欣等将其用于平面裂纹问题的自适应分析。
波兰学者Liszka 等提出了Hp 无网格云团法(HPMCM)，是一种纯无网格法。
美国学者Babuska 等提出了单位分解法（PUM）。
刘欣等将单位分解法用于求解奇异问题中。
Li 和Liu 提出移动最小二乘重构粒子方法。
Liu 等提出了再生核质点法（RKPM），接着他又提出了多尺度重构核粒子法（MPKPM）和小波粒子方法，并实现了RKPM 的自适应分析。
Onate 和Idelsohn 等提出了有限点法（FPM）。
Zhu，Zhang 和Arluri 建立了在规则局部子域上的局部边界积分方程（LBIE），运用移动最小二乘法构造局部子域上的插值函数，提出了局部边界积分方程无网格法（MLBIEM）。
Arluri 和Zhu 在局部边界积分方程的基础上，导出了无网格局部Petrov －Galerkin 方法（MLPGM）。
张见明等提出了杂交边界点法。
Mukherjee等人提出了边界点法（BNM）；程玉民等人提出了边界无单元法（BEFG）。
近年来发展了多种无网格方法与有限元法或边界元法的耦合方法：无单元Galerkin 法与有限元法耦合、无单元Galerkin 与边界元法耦合、无单元Galerkin 法与杂交边界元法耦合、无网格局部Petrov－Galerkin 法和有限元法及边界元法耦合等。
耦合既可提高运算的精确度，也可提高运算效率。
无网格方法的应用及其发展前景
目前无网格法研究的重点之一是应用无网格法来解决实际工程与科学问题。
无网格法主要应用于下面几个领域：1）传统的计算力学领域。
应用目的主要是通过和其它方法的比较来探讨无网格方法的性质，此应用不能真正体现其特有的优势。
2）传统方法不易解决的一些特殊问题。
如大变形问题、高速冲击问题、接触问题、裂纹问题、金属材料成型问题、材料裂变问题、高速爆炸问题、穿透问题等。
3）一些新兴的工程和科学领域。
如生命科学、微尺度、纳米技术等热点研究领域。
最近几年来无网格法越来越多地应用于纳米级多尺度问题、细胞渗透、血液流动、生物微电子系统等问题。
无网格法才刚刚起步, 没有形成有效的通用软件，因此有待于探索和研究来开发无网格方法通用的商业软件包。
另外, 用MLS 和RKPM 等建立无网格近似函数时, 涉
第9例各种坐标系的应用实例—圆轴扭转分析79 及到对矩阵求逆, 计算量较大。
与有限元法不同, 无网格法的近似函数大都不是多项式, 因而基于Galerkin 法的无网格法需要在每个背景网格中使用高阶高斯积分以保证计算精度, 因此无网格法的计算量一般大于有限元法。
因此如何提高无网格法的计算效率也是近年来的研究热点，这也是影响其应用与发展的一个因素。
目前，计算机硬件技术的迅速发展，使得并行计算具备了硬件条件。
并行计算已经应用到了有限元、边界元中，进行有限元和边界元并行计算，极大的提高了计算的效率，有良好的效果。
如果把并行算法应用于无网格方法中，将会推动无网格方法的发展。
目前，基于有限元法和边界元法具有一定的发展的成熟性，无网格方法和这些方法耦合可以得到满意的结果。
无网格法不需要网格, 因此它在超高速碰撞、爆炸、裂纹扩展、金属加工成型等领域中具有广阔的发展前景。
相信随着研究的不断深入, 无网格法理论与软件会日臻完善, 能发展成为如有限元法一样功能强大的数值方法, 并将得到更广泛的应用。