椭圆与双曲线的几何性质

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cfd椭圆型方程双曲线方程

椭圆型方程和双曲线方程在数学和物理学中都是重要的方程形式。

它们在描述各种自然现象和工程问题中起着非常重要的作用。

本文将分别介绍椭圆型方程和双曲线方程的相关知识和应用。

一、椭圆型方程1.1 椭圆型方程的定义椭圆型方程是指二次型方程中的常对称阵为正定的方程。

具体而言，一个椭圆型方程可以写成如下形式：a(x^2) + 2bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0其中a，b，c为实数且满足a*c - b^2>0。

当a*c - b^2=0时，方程表示一个退化的椭圆。

1.2 椭圆型方程的性质椭圆型方程描述的图形是一个椭圆，其性质包括但不限于：（1）椭圆对称性：椭圆与x轴和y轴对称。

（2）离心率：椭圆的长轴和短轴之比称为椭圆的离心率，是一个重要的椭圆参数。

（3）焦点、直径、面积等椭圆的相关性质。

1.3 椭圆型方程的应用椭圆型方程在物理学、工程学和金融学等领域有着广泛的应用。

在天体力学中，行星公转的轨道可以用椭圆型方程描述；在工程学中，椭圆型方程可以用于描述声波在二维介质中的传播等。

二、双曲线方程2.1 双曲线方程的定义双曲线方程是指二次型方程中的常对称阵为否定定的方程。

具体而言，一个双曲线方程可以写成如下形式：a(x^2) - c(y^2) = 1其中a，c为实数且满足a*c - 1<0。

当a*c - 1=0时，方程表示一个退化的双曲线。

2.2 双曲线方程的性质双曲线方程描述的图形是一个双曲线，其性质包括但不限于：（1）双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，分别与曲线的两支趋向于并成的方向平行。

（2）双曲线的焦点、直径、面积等相关性质。

2.3 双曲线方程的应用双曲线方程在物理学、工程学和经济学等领域也有着广泛的应用。

在电磁学中，电磁波的传播可以用双曲线方程描述；在经济学中，需求曲线和供给曲线的交点通常可以用双曲线方程来表示。

椭圆型方程和双曲线方程是数学中重要的方程形式，它们在各个领域都有着广泛的应用。

椭圆双曲线知识点总结

椭圆知识点【知识点1】椭圆的概念:在平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．当动点设为M 时，椭圆即为点集P ={}12|2M MF MF a += 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形。

【知识点2】椭圆的标准方程焦点在x 轴上椭圆的标准方程: ()222210x y a b a b += >>，焦点坐标为（c ，0)，（-c ，0)焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为：()222210x y a b b a+= >>焦点坐标为（0，c ，）(o ，-c )【知识点3】椭圆的几何性质:规律:(1)椭圆焦点位置与x 2，y 2系数间的关系：焦点在分母大的那个轴上.(2)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .(3)在椭圆中，离心率22222221a b a b a a c a c e -=-===(4)椭圆的离心率e 越接近１椭圆越扁；e 越接近于０，椭圆就接近于圆； (5)离心率公式：在21PF F ∆中，α=∠21F PF ，β=∠12F PF ，()βαβαsin sin sin ++=e二、椭圆其他结论标准方程()222210x y a b a b += >> ()222210x y a b b a += >> 图形性质范围 a x a -≤≤b y b -≤≤对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A 1(－a,0)， A 2(a,0)B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )B 1(－b,0)，B 2(b,0)轴长轴A 1A 2的长为2a ；短轴B 1B 2的长为2b焦距 ∣F 1F 2 |=2c离心率 e=ca∈(0,1) a ，b ，c 的关系c 2＝a 2－b 21、若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b+=若已知切线斜率K ，切线方程为222b k a kx y +±=2、若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+= 3、椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点θ=∠21PF F ，则椭圆的焦点角形的面积为2tan221θb S PF F =∆4、以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5、过焦点的弦中，通径(过焦点且与焦点所在坐标轴垂直的弦)最短ab 226、过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF 。

圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义方程和性质知识总结

椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。

定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。

说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。

②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。

2.3. 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。

焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。

推导过程：由第二定义得11PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离），则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。

简记为：左“＋”右“－”。

由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。

22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22221y x a b+=。

有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。

双曲线的定义、方程和性质1．定义（1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。

说明：①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线；若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。

②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。

椭圆双曲线知识点的总结

椭圆知识点【知识点1】椭圆的概念:椭圆的第一定义在平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．当动点设为M 时，椭圆即为点集P ={}12|2M MF MF a += 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形。

椭圆的第二定义:在平面内，满足到定点的距离与到定直线的距离之比是等于一个常数的动点的轨迹叫做椭圆。

其中这个定点叫做椭圆的焦点，这条定直线叫做相应于该焦点的准线。

注：定义中的定点不在定直线上。

如果将椭圆的中心与坐标原点重合，焦点放在X 轴上，准线方程是：焦点放在Y 轴上，准线方程是：【知识点2】椭圆的标准方程焦点在x 轴上椭圆的标准方程: ()222210x y a b a b += >>，焦点坐标为（c ，0)，（-c ，0)焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为：()222210x y a b b a+= >>焦点坐标为（0，c ，）(o ，-c )【知识点3】椭圆的几何性质:规律:(1)椭圆焦点位置与x 2，y 2系数间的关系：焦点在分母大的那个轴上.(2)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离标准方程()222210x y a b a b += >> ()222210x y a b b a += >> 图形性质范围 a x a -≤≤b y b -≤≤对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A 1(－a,0)， A 2(a,0)B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )B 1(－b,0)，B 2(b,0)轴长轴A 1A 2的长为2a ；短轴B 1B 2的长为2b焦距 ∣F 1F 2 |=2c离心率 e=ca∈(0,1) a ，b ，c 的关系c 2＝a 2－b 2为a ＋c ，最小距离为a －c .(3)在椭圆中，离心率22222221a b a b a a c a c e -=-===(4)椭圆的离心率e 越接近１椭圆越扁；e 越接近于０，椭圆就接近于圆；椭圆典型例题一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。

椭圆与双曲线性质

椭圆与双曲线性质椭圆和双曲线是解析几何中重要的曲线类型，它们具有各自独特的几何性质和特点。

在本文中，我们将探讨椭圆和双曲线的性质及其在数学和实际应用中的重要性。

椭圆椭圆是一个平面上的几何图形，其定义基于两个焦点和一条连接两个焦点的线段的长度之和等于常数的特定条件。

以下是椭圆的一些重要性质：1. 主轴和副轴：椭圆的两个焦点之间的距离是椭圆的主轴的长度。

主轴的中点是椭圆的中心点。

与主轴垂直且通过中心的线段称为副轴。

2. 离心率：椭圆的离心率定义为焦点与中心之间的距离与主轴长度之比。

离心率介于0和1之间，其中0表示圆形，1表示无限大的线段。

3. 焦距定理：椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的主轴的长度。

4. 方程：椭圆的标准方程是(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b是主轴和副轴的长度。

双曲线双曲线也是平面上的几何图形，其定义基于两个焦点和一条连接两个焦点的线段的长度之差等于常数的特定条件。

以下是双曲线的一些重要性质：1. 主轴和副轴：双曲线的两个焦点之间的距离是双曲线的主轴的长度。

主轴的中点是双曲线的中心点。

与主轴垂直且通过中心的线段称为副轴。

2. 离心率：双曲线的离心率定义为焦点与中心之间的距离与主轴长度之比。

离心率大于1。

3. 焦距定理：双曲线上的任意一点到两个焦点的距离之差等于双曲线的主轴的长度。

4. 方程：双曲线的标准方程是(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是双曲线的中心坐标，a和b是主轴和副轴的长度。

椭圆与双曲线的数学性质椭圆和双曲线在数学中具有广泛的应用和研究价值。

它们是椭圆函数和双曲函数的基础，这些函数在数学物理学、工程学和其他领域中起着重要作用。

椭圆和双曲线的形状和属性使它们适用于模拟、图像处理、信号处理和通信等领域。

椭圆与双曲线的通径

椭圆与双曲线的通径椭圆与双曲线的通径椭圆和双曲线是高中数学中常见的曲线，它们在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。

本文将介绍椭圆和双曲线的通径，包括定义、性质和应用。

一、椭圆的通径1. 定义椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和等于定长（长轴）的点的轨迹。

通径是指过两个焦点且垂直于长轴的直线段。

2. 性质（1）通径长度为2b，其中b为短轴长度。

（2）任意一条过焦点且垂直于长轴的直线段都是椭圆的通径。

（3）任意一条过中心且垂直于短轴的直线段都是椭圆的主轴。

3. 应用（1）在建筑设计中，可以利用椭圆形状设计拱门或者天花板。

（2）在天文学中，行星绕太阳运动的轨道大多呈现出类似于椭圆形状。

二、双曲线的通径1. 定义双曲线是平面上到两个定点（焦点）距离之差等于定长（距离）的点的轨迹。

通径是指过两个焦点且垂直于双曲线中心轴的直线段。

2. 性质（1）通径长度为2b，其中b为双曲线中心轴到顶点的距离。

（2）任意一条过焦点且垂直于双曲线中心轴的直线段都是双曲线的通径。

（3）任意一条过中心且垂直于双曲线渐近线的直线段都是双曲线的主轴。

3. 应用（1）在物理学中，电磁波传播和光学成像等问题可以用到双曲线函数来描述。

（2）在工程学中，可以利用双曲线形状设计道路或者桥梁等结构。

三、椭圆与双曲线通径的比较1. 长度比较椭圆和双曲线的通径长度相同，均为2b，其中b分别为短轴和中心轴到顶点的距离。

但是，由于椭圆长轴较短，所以椭圆通径相对较短。

2. 形状比较椭圆和双曲线的通径形状有所不同。

椭圆的通径是一条水平线段，而双曲线的通径是一条斜线段。

这也反映了椭圆和双曲线在几何性质上的差异。

3. 应用比较椭圆和双曲线在应用方面有所不同。

椭圆常用于建筑设计、天文学等领域，而双曲线则常用于物理学、工程学等领域。

这也与它们各自的特点和性质有关。

四、总结本文介绍了椭圆和双曲线的通径，包括定义、性质和应用。

通过对比可以看出，虽然它们都是二次曲线，但在几何性质、形状以及应用方面有所不同。

椭圆、双曲线

0<e<1
e>1
e=1
标准方程(画图标出所有量）
椭圆
x2 y2 焦点x轴上 2 2 1(a b 0) a b y2 x2 焦点y轴上 2 2 1(a b 0) a b
双曲线
x2 y2 焦点x轴上 2 2 1(a , b 0) a b y2 x2 焦点y轴上 2 2 1(a , b 0) a b
正西、正北两个观测同点时听到了一声巨响 ,正东观测点听到
题型四：特殊的最值问题
内部, 点P为椭圆上的点 ,求：
体会第一定义与第二定义的运用
18.椭圆5 x 2 9 y 2 45的左右两焦点为 F1 , F2 , 点A(1,1)在椭圆 3 | PF2 | 的最小值 . 2 2 y 19.已知点 A(3,2)、F ( 2,0), 在双曲线 x2 1上求一点 P, 3 1 使 | PA | | PF | 的值最小 . 2 (1) | PA | | PF1 | 的最小值(； 2) | PA |
(看x2，y2哪个分母大)
a b c (a b 0, a c )
2 2 2
(看x2，y2哪个系数正)
c a b
2 2
2
一个闭合图形
(c a,c b,a,b 无大小关系 ) |PF1|－|PF2|=2a，为靠近F2的一个分支 |PF2|－|PF1|=2a，为靠近F1的一个分支
a c PF a c (1)若 PF a c , P不存在 ( 2)若 PF a c , P唯一 (3)若a c PF a c , P有2个 ( 4)若 PF a c , P唯一 (5)若 PF a c , P不存在

双曲线的简单几何性质学生版

(1)9 x2 y2 81
(2)x2 y2 4
2.若双曲线的渐近线方程为y 4 x,则双曲线 3
的离心率为
1.双曲线的简单几何性质：范围、对称性、顶点、渐近线、离心率
2.数学思想方法：“类比”和“数形结合”
体验高考
1.2011安徽高考双曲线2x2 y2 8的实轴长是（）
A.2
y2 - x2 1 (a 0, b 0) a2 b2
y a或y a, x R
对称性
关于x轴、y轴、原点对称
顶点离心率渐近线
A1（- a，0），A2（a，0）
A1（0，-a），A2（0，a）
* ybx a
e c (e 1) a
* yax b
巩固练习
1.求以下双曲线的焦点坐标、顶点坐标、实轴长、虚轴长、渐近线方程、离心率.
1、范围
y a或y a, x R
y
a
o
x
-a
【练习一】写出以下双曲线的范围
x2 y2 (1) 1
4 12 (2) x2 y2 1
20 16
3 y2 x2 1
9 16
探究双曲线
x2 y2 a2 b2 1(a 0, b 0)
的简单几何性质
2、对称性
(-x,y)
y (x,y)
4.双曲线的渐近线
▲规定：直线
ybx a
叫做双曲线
x2 a2
y2 b2
=1的渐近线。
▲思考：①双曲线
y2 a2
x2 b2
1的渐近线方程是什么？ y
a
x
②两种双曲线的渐近线方程，怎样统一记忆？b
x2 y2 a2 b2 =1
y2 a2
x2 b2

双曲线的标准方程

双曲线的标准方程双曲线是解析几何中的一类二次曲线，具有许多特殊的几何和代数性质。

本文将详细介绍双曲线的标准方程及其性质。

1. 双曲线的定义双曲线是指一组点P和一个点F，满足从P到F到一个定点D的距离差的绝对值等于一个定值e，即PF - PD = e。

双曲线可以通过椭圆的定义进行推导。

如果从椭圆上的固定点F到点P的距离之和等于一个定值2a，那么从F到P的距离差将等于2a - 2PF，即PF - PD = e，其中e = 2a - 2c，c为椭圆的其中一个焦点到椭圆中心的距离。

因此，双曲线可以看作是一个椭圆的镜像，是的焦点位置沿着中心轴移动了一段距离，从而形成的一组点。

2. 双曲线的标准方程双曲线的标准方程通常写作：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a > 0, b > 0)这里的a和b分别是椭圆的半轴。

对于双曲线的方程，可以进一步推导出其他形式。

例如，将x和y交换，在方程中加上常数c，可以得到：-y^2/a^2 + x^2/b^2 = c这种形式叫做横向双曲线；另一种形式是纵向双曲线：y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1这里的a和b是椭圆的半轴。

3. 双曲线的几何性质双曲线有一些有趣的几何性质，如下所示：(1) 双曲线具有两个分离的分支，这两个分支无穷远处相交于双曲线的渐近线。

(2) 双曲线的渐近线是其方程中不等于0的项所对应的直线。

(3) 双曲线对称于其两条渐近线。

(4) 双曲线移动或旋转后仍然是双曲线。

(5) 两个相交的双曲线组成了双曲线族。

(6) 双曲线上的点到两个焦点的距离之差等于常数e。

4. 双曲线的代数性质双曲线也有许多有趣的代数性质，例如：(1) 双曲线是一类二次曲线，它们的方程可以写成x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0的形式。

(2) 双曲线的法线与其渐近线的夹角相等。

(3) 双曲线的切线与两个焦点之间的连线垂直。

(4) 不同的双曲线是正交的。

共焦点的椭圆与双曲线方程的设法

共焦点的椭圆与双曲线方程的设法1. 概述共焦点的椭圆与双曲线方程是数学中一个重要且常见的问题。

通过研究共焦点椭圆与双曲线的方程，可以深入理解数学中椭圆和双曲线的性质，对于解决实际问题具有重要的理论和实际意义。

本文将探讨共焦点的椭圆与双曲线方程的推导及其相关性质。

2. 共焦点椭圆与双曲线的定义共焦点椭圆与双曲线是指在同一平面上，有两个不同的集合（椭圆和双曲线），它们的焦点相同。

椭圆是指平面上到两定点的距离之和等于常数的动点轨迹，而双曲线是指平面上到一对定点的距离之差等于常数的动点轨迹。

共焦点椭圆与双曲线即是这样两种集合的焦点相同，并且这两种集合存在一定关系的情况。

3. 共焦点椭圆与双曲线的方程共焦点椭圆与双曲线的方程可以通过公式推导得到。

对于椭圆而言，其标准方程为：\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]对于双曲线而言，其标准方程为：\[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \]当两者具有相同焦点时，在同一坐标系中，椭圆的焦点坐标为F(ae, 0)和F'(-ae, 0)，双曲线的焦点坐标为F(ae, 0)和F'(-ae, 0)。

根据这一特性，可以得到共焦点椭圆与双曲线的方程。

4. 共焦点椭圆与双曲线的性质共焦点椭圆与双曲线有许多重要的性质，这些性质对于理解椭圆和双曲线的特点具有重要意义。

4.1 共焦点椭圆与双曲线的焦点性质：由于共焦点椭圆与双曲线具有相同的焦点，因此它们的焦点性质是相似的。

椭圆的焦点性质是指动点到两焦点的距离之和是常数，而双曲线的焦点性质是指动点到两焦点的距离之差是常数。

在共焦点曲线中，这一性质是相互关联的，体现了它们具有共同的焦点。

4.2 共焦点椭圆与双曲线的几何性质：共焦点椭圆与双曲线在几何性质上也有一些相似之处。

它们都可以通过离心率、焦距和半长轴等参数进行描述，而这些参数与焦点密切相关，从而展现出共焦点曲线的特殊性质。

椭圆双曲线知识点梳理

c 离心率 e＝a，e∈(1，＋∞)，其中 c＝ a2＋b2 线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长 A1A2＝2a；实虚轴线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长 B1B2＝2b；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长 a、b、的关系 c c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
(2)2a<F1F2. 这两点与椭圆的定义有本质的不同： ①当 MF1－MF2＝2a 时，曲线仅表示焦点 F2 所对应的一支； ②当 MF1－MF2＝－2a 时，曲线仅表示焦点 F1 所对应的一支； ③当 2a＝F1F2 时，轨迹是一直线上以 F1、F2 为端点向外的两条射线； ④当 2a>|F1F2|时，动点轨迹不存在．
图形
要点梳理
范围对称性顶点渐近线准线
忆一忆知识要点
x≥a 或 x≤－a，y∈R x∈R， y≤－a 或 y≥a 对称轴：坐标轴对称中心：原点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0， a) b y＝± x a a2 x＝±c a y＝± x b a2 y＝±c
性质
e c a
O
y
x
②e的含义： e是表示双曲线开口大小的一个量, e越大开口越大!
2 2 c a b 1 ( b )2 , e a a a
b e 2 1. a b 当e (1, )时， (0, ), 且e增大, b 也增大 a a e增大时，渐近线与实轴的夹角增大.
方法与技巧
1．椭圆上任意一点 M 到焦点 F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为 a ＋c，最小距离为 a－c. 2．求椭圆离心率 e 时，只要求出 a，b，c 的一个齐次方程，再结合 b2＝a2－c2 就可求得 e (0<e<1)． 3．求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：(1)中心是否在原点，(2)对称轴是否为坐标轴．

圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)知识点总结

双曲线知识点一、双曲线的定义：1. 第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长〔＜|F 1F 2|〕的点的轨迹〔21212F F a PF PF <=-〔a 为常数〕〕这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：〔1〕距离之差的绝对值.〔2〕2a ＜|F 1F 2|.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支；当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.2. 第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程：12222=-b y a x 〔a ＞0，b ＞0〕(焦点在x 轴上)；12222=-bx a y 〔a ＞0，b ＞0〕(焦点在y 轴上)；1. 如果2x 项的系数是正数，那么焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，那么焦点在y 轴上. a 不一定大于b.2. 与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x 3. 双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 例题：双曲线C 和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。

三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线：点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ⇔-<点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上220022-=1x y a b ⇔2 直线与双曲线：〔代数法〕设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b1) 0m =时，b bk a a-<<直线与双曲线交于两点〔左支一个点右支一个点〕；b k a ≥，bk a≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点；2) 0m ≠时，k 存在时，假设0222=-k a babk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；假设2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时，22220m b a k +->，直线与双曲线相交于两点； 0∆<时，22220m b a k +-<，直线与双曲线相离，没有交点；0∆=时22220m b a k +-=，2222m b k a +=直线与双曲线有一个交点；假设k 不存在，a m a -<<时，直线与双曲线没有交点； m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点； 3. 过定点的直线与双曲线的位置关系：设直线:l y kx m =+过定点00(,)P x y ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x1).当点00(,)P x y 在双曲线内部时：b bk a a-<<，直线与双曲线两支各有一个交点； a bk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；b k a >或bk a<-或k 不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；2).当点00(,)P x y 在双曲线上时：bk a =±或2020b x k a y =，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点〔左支一个点右支一个点〕； 2020b x k a y >〔00y ≠〕或2020b x bk a a y << 〔00y ≠〕或b k a <-或k 不存在，直线与双曲线在一支上有两个交点；当00y ≠时，bk a =±或k 不存在，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b k a >或bk a <-时直线与双曲线的一支有两个交点；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点〔左支一个点右支一个点〕； 3).当点00(,)P x y 在双曲线外部时：当()0,0P 时，b bk a a -<<，直线与双曲线两支各有一个交点； b k a ≥或bk a≤或k 不存在，直线与双曲线没有交点；当点0m ≠时，k =时，过点00(,)P x y 的直线与双曲线相切 bk a=±时，直线与双曲线只交于一点；几何法：直线与渐近线的位置关系例：过点(0,3)P 的直线l 和双曲线22:14y C x -=，仅有一个公共点，求直线l 的方程。

共焦点的椭圆和双曲线离心率关系

共焦点的椭圆和双曲线离心率关系椭圆和双曲线是两种常见的二次曲线，在几何学、物理学和工程学等领域有着重要的应用。

两者都具有一个共同的重要性质，即离心率（eccentricity）。

离心率是描述椭圆和双曲线形状的一个重要参数，它反映了曲线的偏离程度和形状特征。

通过深入研究椭圆和双曲线的离心率之间的关系，我们可以更好地理解它们的性质和特点。

首先，让我们回顾一下椭圆和双曲线的基本定义。

椭圆是平面上到两个给定点的距离之和等于常数的所有点的轨迹，这两个给定点称为焦点。

而双曲线是平面上到两个给定点的距离之差等于常数的所有点的轨迹，同样也有两个焦点。

这两种曲线都可以通过一个参数——离心率来描述。

椭圆和双曲线的离心率e是一个非常重要的参数，它定义为焦点到准线（椭圆）或渐近线（双曲线）的距离与长轴或半轴的比值。

在椭圆和双曲线中，离心率的取值范围是0到1之间，离心率为0时，实际上是一个圆，而当离心率趋近于1时，曲线的形状趋近于一条直线。

椭圆和双曲线的离心率之间存在着密切的联系。

首先，我们可以通过数学推导得到椭圆和双曲线的离心率与长轴、短轴之间的关系。

对于椭圆而言，离心率e的定义为焦点到准线的距离与长轴的比值，即e=c/a，其中c为焦点到准线的距离，a为长轴的一半。

而对于双曲线而言，离心率e的定义为焦点到渐近线的距离与长轴的比值，即e=c/a，其中c为焦点到渐近线的距禯，a为长轴的一半。

从上述定义可以看出，椭圆和双曲线的离心率都与长轴有关。

一般情况下，长轴越长，曲线形状越扁平，离心率也就越小。

当离心率接近于0时，曲线形状接近于圆；而当离心率接近于1时，曲线形状接近于直线。

因此，我们可以通过离心率的大小来判断椭圆和双曲线的形状，离心率越小，曲线的形状越接近于圆；离心率越大，曲线的形状越接近于直线。

此外，椭圆和双曲线的离心率还与焦点之间的距离有关。

在椭圆中，焦点之间的距离为2a，其中a为长轴的一半；而在双曲线中，焦点之间的距离为2a，同样也是长轴的一半。

椭圆与双曲线的几何性质分析

椭圆与双曲线的几何性质分析椭圆和双曲线是中学数学中比较重要的代数曲线，也是在初中数学中出现的代数曲线。

椭圆和双曲线有着许多不同的几何性质，下面我们将对这些性质进行一一分析。

首先，让我们来看一下椭圆的几何性质。

椭圆是一个向两个方向延伸的曲线，它与一个矩形的交点形成的图形就是所谓的椭圆。

椭圆有许多基本的性质，其中一个是中心对称。

即对于椭圆上的任意一点P，以椭圆中心为对称轴的点P’也一定在椭圆上。

这个性质就是椭圆的轴对称性。

另一个重要的性质是椭圆的离心率。

椭圆的离心率是一个重要的参数，它定义了椭圆的形状。

一般来说，离心率越小，椭圆越圆。

而当离心率等于1时，椭圆就变成了一个特殊的椭圆，也就是圆。

椭圆离心率的计算公式是 e = c / a，其中c是椭圆的焦距距离，a是椭圆的长半轴长度。

接下来，让我们来看一下双曲线的几何性质。

双曲线是另一种比较重要的代数曲线，它是由两个向不同方向延伸的曲线组成的。

双曲线也有一些基本的几何性质，其中一个是双曲线的渐近线。

双曲线的渐近线是一组与双曲线趋近于无穷远时趋于平行的直线。

双曲线的渐近线可以由双曲线的方程式求出，一般的情况下，它们是 y = ±b/a * x。

另一个重要的性质是双曲线的离心率。

和椭圆类似，双曲线的离心率也定义了它的形状，而且也是一个重要的参数。

一般来说，离心率越接近1，双曲线的形状越尖。

双曲线离心率的计算公式是e = c / a，其中c是双曲线的焦距距离，a是双曲线的长半轴长度。

最后，我们来谈谈椭圆和双曲线的性质之间的关系。

事实上，椭圆和双曲线之间有着密切的关系。

它们的形状和一些基本的性质是紧密相连的。

例如，当离心率等于1时，椭圆就变成了一个圆，而对于双曲线而言，当离心率等于1时，它就成为了一条抛物线。

此外，它们都是二次曲线，也就是由二次方程式所定义的曲线。

总的来说，椭圆和双曲线是中学数学中比较重要的代数曲线，它们有着许多不同的几何性质。

通过对它们的研究，我们可以更好地理解它们的性质和特点，对计算机图形学、椭圆加密算法等领域也有着广泛的应用。

双曲线的简单几何性质

§2.3.2 双曲线的简单几何性质一
2.椭圆的图像与性质:
标准 x2 y2 方程 a2 b2 1
范围
|x|a,|y|≤b
对称性
顶点
关于X,Y轴, 原点对称
±a,0 , 0,±b
焦点
±c,0
A1 F1
长轴、
短轴 A1A2 ; B1B2
离心率
e c a
Y
B2
o
B1
A2
F2
X
课堂新授
一、研究双曲线
法一:直接设标准方程,运用待定系数法
⑵解:设双曲线方程为
x2 a2
y2 b2
1 (a>0,b>0)
a2 b2 20
则
(3 2)2 22 a2 b2
1
解之得
a b
2 2
12 8
或设
x2 m2
y2 20 m2
1,
∴双曲线方程为 x2 y2 1 12 8
求得m2 12(30舍去)
y2 x2 a2b2 1(a0,b0)
x≥ a,或 x≤ a， y R y≥ a,或 y≤ a， x R
对称性关于x轴、y轴、原点对称关于x轴、y轴、原点对称
顶点 A1 - a,0 ,A2 a,0
离心率渐近线
e c (e 1) a
y b x a
A1 0,-a ,A2 0,a
e c (e 1) a
顶A 点 1 ( a ,0 )、是 A 2 (a ,0 )
（2）线段 A 1 A 2 叫双曲线的实轴，长为2a，a为实半轴长；
线段B 1 B 2叫双曲线的虚轴，长为2b，b为虚半轴长 y
（3）实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，即a=b

椭圆与双曲线的几何性质1(精)

两焦点之间的距离叫双曲线的焦距．
F1
0
｜｜PF１｜-｜PF２｜｜=2a
｜F１F２｜=2c 2a<2c c2=a2+b2
4．双曲线的两种标准方程
(1)
x2 a2

y2 b2
1
y2 x2 (2) a2 b2 1
共同点：a>0, b>0
不同点：焦点所在的坐标轴不同
p F2 X
新课讲解：椭圆与双曲线的几何性质
y
P(x,y)
o
x
p'(x,-y)
结论：坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，也叫做椭圆的中心
３．椭圆的顶点
x2 y 2 1(a b 0) a2 b2
令 x=0，得 y=±b，说明椭圆与y轴的交点为（0,b)和(0,-b)
令 y=0，得 x=±a,说明椭圆与x轴的交点为(a,0)和(-a,0)
o
x=±a 和 y=±b 所围成的
a
x
矩形之中。 -b
２．椭圆的对称性
在 x2 a2

y2 b2
1(a b 0)中
以-y代y,方程变化吗？不变化说明椭圆关于x轴对称
同理，以-x代x,方程也不改变，说明椭圆关于y轴对称，以-x 代x,以-y代y，方程也不改变，说明椭圆关于原点中心对称
思考：
1.b 或 c 的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？ ab
为什么？
２．你能运用三角函数的知识解释，为什么 e c
越大，椭圆越扁？ e c 越小，椭圆越圆吗？ a
a
y
M
F1 o
F2
x
二、双曲线
x2 a2