椭圆与双曲线的几何性质
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椭圆和双曲线的几何性质
执教：陆晓芳
【学习目标】
1.了解椭圆和双曲线的定义，掌握根据标准 方程求相关的准线方程。
2.了解椭圆和双曲线之间的联系和区别。 3.会对椭圆和双曲线性质进行类比和归纳，
培养数形结合思想，提高综合解题能力。
【自学指导一】
1.回忆椭圆的定义、焦点在x轴和y轴上的 标准方程以及相关的几何性质，并完成 下列表格。
x2
+
y2
9
=1的焦点坐标是
5
(±
16 9
7 ,0) ,若弦CD
过左焦点F1,则△F2CD的周长是 16 。
3.中心在坐标原点,焦点在y轴上,经过点( 3,0),
离心率为 1 的椭圆方程为 x2 y2 =1.
2
34
2.解析:由已知得，半焦距c= 16 =9 ,故7焦点坐
标为(± ,0),△F2CD的7 周长为4a=4×4=16.
a≤2 4c,
c
从而 c2 ≥ 1,故 2≤ <c1,故e∈［ ,12 ).
a2 2
2a
2
12 8
3.椭圆
x2 a2
y2 b2
1 (a>b>0)的焦点为F1、F2，
两条直线x=± a2 (c2=a2-b2)与x轴的交点为M、 c N ， 若 ｜ MN ｜ ≤ 2|F1F2|, 则 该 椭 圆 的 离 心
率e的取值范围是 ［ 2 ,1).
2
解析：由已知|MN|=2·a2 .
c
又|MN|≤2|F1F2|,则2·
x2 25
y2 5
1 的焦
点相同,且过点(3 2,2) , 则双曲线C的方程
是 x2 y2 1 .
12 8
解析：由已知半焦距c2=25-5=20,且焦点在x
轴上，设双曲线C的方程为 x2 y2 1 ,
a2 b2
a2+b2＝20
a2=12
则 =1 (3 2)2 22
a2
b2
b2=8,
故所求双曲线的方程为 x2 y 2 1 .
（5分钟）
双曲线 标准方程
图形 顶点坐标 对称轴 渐近线 离心率
准线
焦点在x轴
x2 a2
y2 b2
1
y6
4
2
-5
5
10
0-2 -4
x
-6
(±a, 0)
x轴，实轴长2a
yb x a
e c (e 1) a
x a2 c
焦点在y轴
y2 a2
x2 b2
1
8
y6 4
2
- 10
-5
5
10
15
0-2 -4
（4分钟）
椭圆 几何定义 标准方程
图形
焦点在x轴上
焦点在y轴上
MF1 MF2 2a(2a F1F2 )
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y
b
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
ya
o ax
ob
x
顶点坐标 对称性
焦点坐标 离心率 准线方程
a,0,0, b 0, a,b,0
x轴，长轴长2a y轴，短轴长2b
3.解析
b=3
由题意得，
e=
c a
=
1 2
a=2 ,解得 b=3.
a2=b2+c2
又椭圆焦点在y轴上,故其方程为
x2 3
y2 4
=1.
【自学指导二】
1.回忆双曲线的定义、焦点在x轴和y轴上的标 准方程以及相关的几何性质，并完成下列表格。
2.了解等轴双曲线的定义，知道其渐近线有何 关系？
3.双曲线的准线方程和椭圆的准线方程有何关 系？
x
-6
-8
(0, ±a)
y轴，虚轴长2b
y a x b
a2 b2 c2
y a2 c
【自我检测二】
1.双焦曲点线坐标1y是62
x 2 1的实轴长是
9
(0,5),(0,5) .
8
，
2.若双曲线
x2 a2
y2 b2
1的两条渐近线互相垂直，
则双曲线的离心率 e 2 .
3.双曲线的两准线之间的距离为18 ，实轴长为
y轴，长轴长2a x轴，短轴长2b
c, 0, c a2 b2 0, c, c a2 b2
e
c a
0 e 1
x a2 c
Байду номын сангаас
y a2 c
【自我检测一】
1.动点P到两定点F1(2,0), F的2 (2距,0离) 之和等于6，
则点P的轨迹方程是______x_2____y__2。 1
2.椭圆
5
6，则它的标准方程为__x_2___y_2 __1__. 9 16
这节课你学到了哪些知识？
1.利用椭圆和双曲线的定义解题。 2.了解焦点在x轴和y轴的标准方程、
几何性质及准线方程。
【当堂训练】
1.方程 x2 y 2 1 表示双曲线，则实数k的
2k 2k
取值范围是 k 2或k 2 .
2.若双曲线C的焦点和椭圆
执教：陆晓芳
【学习目标】
1.了解椭圆和双曲线的定义，掌握根据标准 方程求相关的准线方程。
2.了解椭圆和双曲线之间的联系和区别。 3.会对椭圆和双曲线性质进行类比和归纳，
培养数形结合思想，提高综合解题能力。
【自学指导一】
1.回忆椭圆的定义、焦点在x轴和y轴上的 标准方程以及相关的几何性质，并完成 下列表格。
x2
+
y2
9
=1的焦点坐标是
5
(±
16 9
7 ,0) ,若弦CD
过左焦点F1,则△F2CD的周长是 16 。
3.中心在坐标原点,焦点在y轴上,经过点( 3,0),
离心率为 1 的椭圆方程为 x2 y2 =1.
2
34
2.解析:由已知得，半焦距c= 16 =9 ,故7焦点坐
标为(± ,0),△F2CD的7 周长为4a=4×4=16.
a≤2 4c,
c
从而 c2 ≥ 1,故 2≤ <c1,故e∈［ ,12 ).
a2 2
2a
2
12 8
3.椭圆
x2 a2
y2 b2
1 (a>b>0)的焦点为F1、F2，
两条直线x=± a2 (c2=a2-b2)与x轴的交点为M、 c N ， 若 ｜ MN ｜ ≤ 2|F1F2|, 则 该 椭 圆 的 离 心
率e的取值范围是 ［ 2 ,1).
2
解析：由已知|MN|=2·a2 .
c
又|MN|≤2|F1F2|,则2·
x2 25
y2 5
1 的焦
点相同,且过点(3 2,2) , 则双曲线C的方程
是 x2 y2 1 .
12 8
解析：由已知半焦距c2=25-5=20,且焦点在x
轴上，设双曲线C的方程为 x2 y2 1 ,
a2 b2
a2+b2＝20
a2=12
则 =1 (3 2)2 22
a2
b2
b2=8,
故所求双曲线的方程为 x2 y 2 1 .
（5分钟）
双曲线 标准方程
图形 顶点坐标 对称轴 渐近线 离心率
准线
焦点在x轴
x2 a2
y2 b2
1
y6
4
2
-5
5
10
0-2 -4
x
-6
(±a, 0)
x轴，实轴长2a
yb x a
e c (e 1) a
x a2 c
焦点在y轴
y2 a2
x2 b2
1
8
y6 4
2
- 10
-5
5
10
15
0-2 -4
（4分钟）
椭圆 几何定义 标准方程
图形
焦点在x轴上
焦点在y轴上
MF1 MF2 2a(2a F1F2 )
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y
b
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
ya
o ax
ob
x
顶点坐标 对称性
焦点坐标 离心率 准线方程
a,0,0, b 0, a,b,0
x轴，长轴长2a y轴，短轴长2b
3.解析
b=3
由题意得，
e=
c a
=
1 2
a=2 ,解得 b=3.
a2=b2+c2
又椭圆焦点在y轴上,故其方程为
x2 3
y2 4
=1.
【自学指导二】
1.回忆双曲线的定义、焦点在x轴和y轴上的标 准方程以及相关的几何性质，并完成下列表格。
2.了解等轴双曲线的定义，知道其渐近线有何 关系？
3.双曲线的准线方程和椭圆的准线方程有何关 系？
x
-6
-8
(0, ±a)
y轴，虚轴长2b
y a x b
a2 b2 c2
y a2 c
【自我检测二】
1.双焦曲点线坐标1y是62
x 2 1的实轴长是
9
(0,5),(0,5) .
8
，
2.若双曲线
x2 a2
y2 b2
1的两条渐近线互相垂直，
则双曲线的离心率 e 2 .
3.双曲线的两准线之间的距离为18 ，实轴长为
y轴，长轴长2a x轴，短轴长2b
c, 0, c a2 b2 0, c, c a2 b2
e
c a
0 e 1
x a2 c
Байду номын сангаас
y a2 c
【自我检测一】
1.动点P到两定点F1(2,0), F的2 (2距,0离) 之和等于6，
则点P的轨迹方程是______x_2____y__2。 1
2.椭圆
5
6，则它的标准方程为__x_2___y_2 __1__. 9 16
这节课你学到了哪些知识？
1.利用椭圆和双曲线的定义解题。 2.了解焦点在x轴和y轴的标准方程、
几何性质及准线方程。
【当堂训练】
1.方程 x2 y 2 1 表示双曲线，则实数k的
2k 2k
取值范围是 k 2或k 2 .
2.若双曲线C的焦点和椭圆