工科数学分析答案 13.1
工科数学分析期末试卷部分参考答案
六（17）．（本题满分 8 分）解 dy (t) ， d2 y (1 t)(t) (t) 3 ，
dx 2(1 t) dx2
4(1 t)3
4(1 t)
(1 t)(t) (t) 3(1 t)2 ，解得(t) C1(1 t) 3t(1 t) ，由(1) 6 ，得
C1
0
，于是 (t )
3t (1
2
四（15）．（本题满分 8 分） 解 A
2
x(1
sin
x)dx
2
1，
0
8
V
2
(
x2
x2
sin
2
x)dxΒιβλιοθήκη 2x2 (1cos 2x)dx
4
2
0
20
48 8
五（16）．（本题满分 7 分）解 y C1ex C2e2x x(x 2)ex ，由 y(0) 0 ，
y(0) 0 ，得 C1 2 ， C2 2 ， y 2ex 2e2x x(x 2)ex .
一点 [a,b]，使得 F ( )
b
f (x)dx ，此即
b f (x)dx M ( a) m(b ) .
a
a
共2页
第2页
10-11-2 高数 AB 期末（ A）卷 参考答案及评分标准
一。填空题(本题共 9 小题，每小题 4 分，满分 36 分)
1． eab ；2． y x 1；3． y 2x ；4． 6 ；5． 2n (n 1)!；6． 1；7． 4 ； 8． 2 ；9． xy 1.
3
二．(本题共 4 小题，每小题 7 分,满分 28 分)
t)
， (t )
t3
3 2
t2
C2
学秋季学期工科数学分析答案
哈尔滨工业大学2004 /2005 学年 秋 季学期工科数学分析期末考试试卷 （答案）试卷卷（A ）考试形式（开、闭卷）：闭答题时间：150（分钟） 本卷面成绩占课程成绩70%一．选择题（每题2分，共10分）1．下列叙述中不正确者为（D ）（A ）如果数列}{n x 收敛，那么数列}{n x 一定有界。
（B ）如果a unn lim =∞→，则一定有a u n n lim =∞→。
（C ）f(x)在点0x 处可导的充要条件是f(x)在点0x 处可微。
（D ）如果函数 f(x)=y 在点0x 处导数为0，则必在该点处取得极值。
2．设在[0，1]上0)x (f ''>则下列不等式正确者为（ B ）（A ）)0(f )1(f )0(f )1(f ''->>（B ）)0(f )0(f )1(f )1(f ''>-> （C ）)0(f )1(f )0(f )1(f ''>>-（D ）)0(f )1(f )0(f )1(f ''>-> 3．若f(x)在[]b a,上可积，则下列叙述中错误者为（D ） （A ）dt )t (f xa⎰连续（B ）)x (f 在[]b a,上可积（C ）f(x)在[]b a,上由界（D ）f(x)在[]b a,上连续姓名: 班级： 学号：4．若sinF(x)=dy ])tdt sin sin[(xay03⎰⎰，则=)x (F '（D ）（A ）dy ])tdt sin sin[(cos xay 03⎰⎰（B ）cosx x 3sin )tdt sin sin(dy ])tdt sin sin[(cos 2y3xa y 03⋅⋅⋅⎰⎰⎰（C ）⎰⎰⎰⋅y3xa y 03)x dx sin sin(dy ])tdt sin sin[(cos（D ）⎰⎰⎰⋅y3xay3)tdt sin sin(dy ])tdt sin sin[(cos5．=+∞→)x1e (x 1n lim （D ） （A ）e （B ）2e （C ）3e （D ）4e二．填空题（每题2分，共10分） 1．)0x (x11y n n lim ≥+=∞→的间断点为：1x =，其类型为：第一类间断点。
北京理工大学2015学年第二学期《工科数学分析》期末考试卷及参考答案
4
九. (9 分) 把 f (x) = x ln(2 + x) 展成 x + 1的幂级数, 并指出收敛域. 十. (9 分) 证明 (2x cos y − y2 sin x)dx + (2 y cos x − x2 sin y)dy = 0 是全微分方程, 并求其通解.
5
∫∫ 十一. (9 分) 计算积分 I = S
……………….(7 分)
∑ = −(x + 1) + ∞ (−1)n ( 1 + 1 )(x + 1)n
n=2
n n −1
………….(8 分)
收敛域为 − 2 < x ≤ 0
……………….(9 分)
十.
∂Y = −2 y sin x − 2xsin y = ∂X
∂x
∂y
故所给方程是全微分方程
……………….(2 分)
= 1 − sin1
……………….(8 分)
三.
fx′ = 2x(2 + y2 )
f y′ = 2x2 y + ln y + 1
令 fx′ = 0
f y′ = 0
得x=0 y=1 e
……………….(2 分) ……………….(3 分)
fx′′2 = 2(2 + y2 )
fx′′y = 4xy
f y′′2
dy − dx xz dy
dz = dx + xy
1 dz
z dx dz =
0
dx dx
将点 P 代入得
1 + 3 +
dy
dx dy
− +
dz = dx 3 dz
dz dx =0
工科数学分析试卷+答案
工科数学分析试题卷及答案考试形式（闭卷）：闭 答题时间：150 （分钟） 本卷面成绩占课程成绩 80 %一、填空题（每题2分，共20分）1．---→xx x x sin 11lim 30 3-2．若⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0,0,13sin )(2x a x xe x xf ax 在0=x 处连续，则a 3- 3．设01lim 23=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++∞→b ax x x x ，则 =a 1 ， =b 0 4．用《δε-》语言叙述函数极限R U ⊂∈=→)(,)(lim 0x x A x f x x 的定义： εδδε)()()(:000A x f x x ∈→∈∀>∍>∀U 5．若当)1(,023+++-→cx bx ax e x x是3x 的高阶无穷小，则=a61=b21=c 1 6．设N ∈=--→n x x x f x f nx x ,1)()()(lim2000，则在0x x =处函数)(x f 取得何种极值？ 答： 极小值姓名: 班级： 学号：遵守 考 试 纪 律 注 意 行 为 规 范7．设x x y +=，则dydx x)211(+⋅8．设x x y sin =，则=dy dx xxx x xx)sin ln (cos sin +9．⎰=+dx x x 21arctan C x +2arctan 21 10．⎰=+dx ee xx12 C e e x x ++-)1l n ( 二、选择题：（每题2分，共20分）1．设0,2)1()1l n (2s i n2t a n li m 2222≠+=-+-+-→c a e d x c xb x a x x ，则必有（ D ）（A ）d b 4=；（B ）c a 4-=；（C ）d b 4-=；（D ）c a 2-= 2．设9320:0<<>k x ，则方程112=+x kx 的根的个数为（ B ）（A ）1 ；（B ） 2 ； （C ） 3 ； （D ）03．设)(x f 连续，且0)0(>'f ，则存在0>δ使得（ A ）（A ）)(x f 在),0(δ内单增； （B ）对),0(δ∈∀x 有)0()(f x f >； （C ）对)0,(δ-∈∀有)0()(f x f >； （D ）)(x f 在)0,(δ-内单减。
工科数学分析习题答案(下)
习题6.11．（1）（a ）23()()()d ()d ,x y x y σσσσ+>+⎰⎰⎰⎰ （b ）23()()()d ()d ,x y x y σσσσ+<+⎰⎰⎰⎰（2）(a)2()()e d e d xyxy σσσσ<⎰⎰⎰⎰， （d ）2()()e d e d xy xy σσσσ>⎰⎰⎰⎰2．（1）02I ≤≤； （2）0I ≤≤ （3）e I ππ≤≤ （4）3075I ππ≤≤习题6.21．（1）221； （2）3221； （3）4(3115-； （4）62e 9e 4--；（5）54ln 22-； （6）425-； （7）21)15； （8）3cos1sin1sin 42+-2．（1）2 44 04d (,)d d (,)d yy xI x f x y y y f x y x ==⎰⎰⎰⎰；（2） sin 1 arcsin 0 0 0 arcsin d (,)d d (,)d ;xyyI x f x y y y f x y x ππ-==⎰⎰⎰⎰（3）()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰+==21212121211d ,d d ,d d ,d yyxxx y x f y x y x f y y y x f x I（4）21 01 01 21d (,)d d (,)d I x f x y y y f x y x ---==⎰⎰⎰⎰.3．（1）2 10 d (,)d xx x f x y y ⎰⎰； （2） 1 0d (,)d y f x y x ⎰⎰； （3） 1eed (,)d y y f x y x ⎰⎰；（4）1220 0 1d (,)d d (,)d xxx f x y y x f x y y -+⎰⎰⎰⎰； （5） 132 0d (,)d yy f x y x -⎰；（6）22 2 2 00 22d (,)d d (,)d d (,)d aa aa aay y a aaay f x y x y f x y x x f x y x +++⎰⎰⎰⎰⎰⎰；（7）214d (,)d yy f x y x -⎰⎰； （8） 12 01d (,)d yy f x y x -⎰⎰。
工科数学分析(下)考试题(带答案)培训资料
工科数学分析（下）期末考试模拟试题姓名：___________得分: _________一、填空题（每小题3分，满分18分）1、设()xz y x z y x f ++=2,,，则()z y x f ,,在()1,0,1沿方向→→→→+-=k j i l 22的方向导数为_________.2.,,,-__________.222L L xdy ydx L x y=⎰+Ñ设为一条不过原点的光滑闭曲线且原点位于内部其走向为逆时针方向则曲线积分1,()cc x y x y ds +=+=⎰Ñ3.设曲线为则曲线积分 ___________4、微分方程2(3xy y)dx 0x dy +-=的通解为___________5、2sin(xy)(y)______________.y yF dx x=⎰的导数为 6、{,01,0x (x),2x e x f x ππππ--≤<≤≤==则其以为周期的傅里叶级数在点处收敛于_____________.二、计算下列各题（每小题6分，满分18分） 1. (1) 求极限lim0→→y x ()xy yx y x sin 11232+-(2) 220)(lim 22y x x y x y +→→2.设f ，g 为连续可微函数，()xy x f u ,=，()xy x g v +=，求xvx u ∂∂⋅∂∂（中间为乘号）.3..222V z x y z V +=设是由所围成的立体,求的体积.三、判断积数收敛性（每小题4分，共8分）1. ∑∞=1!.2n n n nn2.∑∞=-1!2)1(2n n nn四、（本小题8分）求向量场2(23)()(2)x z xz y y z =+-+++A i j k u r r r u r 穿过球面∑： 222(3)(1)(2)9x y z -+++-=流向外侧的通量； 五、（本小题7分）2(1sin )cos ,(0,1)(0,1)y y lx e x dy e xdx l x A B +--=-⎰计算其中为半圆到的一段弧。
工科数学分析下册其中考试(修改)附参考答案
z xv yu 2 ; 代入①即得 2 x x y
z vy xu 2 . 代入②即得 2 y x y
y2 6.(1) z x f ( ) : x
2y f
y2 2y3 2 y f ( 2 ) 2 f x x
y2 (2) z f ( x ) : x
7.在第一卦限作椭球面
的切平面,
使其在三坐标轴上的截距的平方和最小, 并求切点.
x2 y2 z 2 解: 设 F ( x, y, z ) 2 2 2 1, 切点为 a b c 则切平面的法向量为 2 x0 2 y0 2 z0 n ( Fx , Fy , Fz ) , 2 , 2 2 M a b c 切平面方程
z u v v u y y y
1 u ln( x 2 y 2 ) 2
②
由 x eu cos v, y eu sin v , 得
y v arctan x
u x 2 , 2 x x y y x y 2
唯一驻点
c2 c2 z 2 2 2 0 Fz 2 z z c
由实际意义可知
为所求切点 .
利用行列式解出 du, dv ：
du
d x e u sin v d y e u cos v e u cos v e u sin v u u e sin v e cos v
e
u
cos v
e u sin v
e u sin v
e u cos v
z u v v u x x x ① u v z v u ② y y y
期中考试参考答案
1. 求过点( 2 , 1 , 3 ) 且与直线
工科数学分析(上)提高版智慧树知到答案2024年北京航空航天大学
工科数学分析（上）提高版北京航空航天大学智慧树知到答案2024年第一章测试1.A:图中D B:图中A C:图中B D:图中C答案:B2.A:图中A B:图中D C:图中B D:图中C答案:C3.A:图中A B:图中C C:图中B D:图中D答案:B4.A:图中D B:图中C C:图中B D:图中A答案:D5.A:图中B B:图中D C:图中C D:图中A答案:D第二章测试1.A:图中C B:图中B C:图中A D:图中D答案:C2.A:图中D B:图中A C:图中B D:图中C答案:D3.A:图中D B:图中C C:图中B D:图中A答案:D4.A:图中C B:图中B C:图中D D:图中A答案:D5.A:图中C B:图中B C:图中A D:图中D答案:A第三章测试1.A:图中D B:图中C C:图中A D:图中B答案:C2.A:图中A B:图中D C:图中C D:图中B答案:A3.A:图中D B:图中A C:图中BD:图中C答案:D4.A:图中A B:图中B C:图中C D:图中D答案:C5.A:图中C B:图中D C:图中A D:图中B答案:D第四章测试1.A:图中C B:图中A C:图中D D:图中B答案:C2.A:图中D B:图中C C:图中B D:图中A答案:D3.A:图中B B:图中D C:图中A D:图中C答案:B4.A:图中C B:图中A C:图中D D:图中B答案:A5.A:图中D B:图中A C:图中B D:图中C答案:B第五章测试1.A:图中A B:图中C C:图中D D:图中B答案:C2.A:图中A B:图中B C:图中C D:图中D答案:A3.A:图中B B:图中A C:图中D D:图中C答案:C4.A:图中B B:图中C C:图中A D:图中D答案:B5.A:图中C B:图中D C:图中A D:图中B答案:B第六章测试1.A:图中B B:图中C C:图中D D:图中A答案:A2.A:图中D B:图中B C:图中C D:图中A答案:D3.A:图中A B:图中D C:图中B D:图中C答案:B4.A:图中D B:图中A C:图中B D:图中C答案:B5.A:图中AB:图中B C:图中D D:图中C答案:D第七章测试1.A:图中B B:图中D C:图中C D:图中A答案:C2.A:图中B B:图中D C:图中C D:图中A答案:A3.A:图中C B:图中B C:图中D D:图中A答案:D4.A:图中A B:图中D C:图中B D:图中C答案:D5.A:图中D B:图中C C:图中B D:图中A答案:D第八章测试1.A:图中B B:图中A C:图中C D:图中D答案:D2.A:图中A B:图中C C:图中D D:图中B答案:B3.A:图中D B:图中A C:图中B D:图中C答案:B4.A:图中A B:图中C C:图中B D:图中D答案:A5.A:图中D B:图中B C:图中A D:图中C答案:C第九章测试1.A:图中B B:图中C C:图中D D:图中A答案:C2.A:图中D B:图中B C:图中C D:图中A答案:C3.A:图中B B:图中C C:图中D D:图中A答案:D4.A:图中C B:图中B C:图中A D:图中D答案:C5.A:图中B B:图中D C:图中A D:图中C答案:D。
南京航空航天大学工科数学分析期末考试_2012_06_26(答案)A
.
;……….…(7分)
,……….…(9分)
所以 。……….…(10分)
六、解：……….…(3分)
……….…(6分)
……….…(8分)
……….…(10分)、
七、证明： ……….…(2分)
由格林公式有
……….…(4分)
……….…(5分)
切平面方程为 。……….…(9分)
四、解：求导得
。……….…(4分)
因为特征方程为 ，所以特征根为 。
齐次微分方程的通解为 。……….…(6分)
因为 不是特征根，非齐次方程特解的形式为 .
代入非齐次方程，则有 。
所以非齐次方程的通解为 。……….…(10分)
一、 填空题
1. ；2． -；3． ；
4． ；5． ；6．
二、1解： ，………………(2分)
……………(5分)
………(8分)
2解：曲线参数化 ……….…(2分)
将曲线的参数方程代入则有
….………….…(6分)
=
= …………………………(8分)
3解： 的球面坐标为 ，
其中 。….………….…(3分)
= ….………….…(6分)
….………….…(8分)
4 解：由于 ，则有 ，……….…(2分)
因此 ；……….…(4分)
所求锥面在xoy面上投影为 ，……….…(6分)
因此所求锥面的面积为 。………(8分)
三、解：设 处的法向量为 ，则 =（ ）.……….…(2分)
由条件对 求导可知 ，……….…(6分)
则有
。
因此有
。
则 =（ ），……….…(8分)
2004-2005学年秋季学期工科数学分析答案
2004-2005学年秋季学期工科数学分析答案哈尔滨工业大学2004 /2005 学年 秋 季学期工科数学分析期末考试试卷 （答案） 试题卷（A ） 考试形式（开、闭卷）：闭答题时间：150（分钟） 本卷面成绩占课程成绩70%题号一 二 三 四 五 六 七 八 卷 面 总 分平时 成 绩 课程 总 成绩分数一．选择题（每题2分，共10分）1．下列叙述中不正确者为（D ） （A ）如果数列}{nx 收敛，那么数列}{nx 一得分姓名: 级：4．若sin F(x)=dy ])tdt sin sin[(xa y3⎰⎰，则=)x (F '（D ）（A ）dy ])tdt sin sin[(cos xay3⎰⎰（B ）cosxx 3sin)tdt sin sin(dy ])tdt sin sin[(cos 2y3xay3⋅⋅⋅⎰⎰⎰（C ）⎰⎰⎰⋅y3xay3)x dx sin sin(dy ])tdt sin sin[(cos（D ）⎰⎰⎰⋅y3xay3)tdt sin sin(dy ])tdt sin sin[(cos5．=+∞→)x1e(x1n lim （D ）（A ）e （B ）2e （C ）3e （D ）4e二．填空题（每题2分，共10分）1．)0x (x11y nn lim ≥+=∞→的间断点为：1x =，其类型为：第一类间断点。
得分遵 守 考 试 纪 律 注 意 行 为 规 范2．23x )(1x y +=的全部渐近线方程为：2-x y 1,x =-=。
3．摆线2t )cost 1(a y )sint t (a x π=⎩⎨⎧-=-=在处的切线方程为：0a )4(21y x =-+-π。
4．2n 1n )!n (lim ∞→=： 1 。
5．设f(x)在[)+∞,1上可导，23e )1e(f , 0f(1)2x x'+=+=，则=：23-+-三．计算下列各题：（每小题4分，本题满分20分）1．若xy 2e x y = ，求?yx'=解：2xylnx lny =+， 2x 'x 'x y x y y y 2-=⋅则)2x y (x )y x (y y x'-+=2．⎪⎩⎪⎨⎧-==)sint t y 2t cosx ，?yxx''=求 解：2t 4sin2t sin 21cost 1x y y t 't 'x '-=--==，2t4cos2t sin 2112t 2cos yxx''=-⋅-=得分3. ⎰+dx 1x x arctan 解：⎰⎰=⎰⋅⋅=⋅⋅+==sectdt ant t 2tdt sec 2tant sectt dx1x x arctan 2t tan x ttan x 2=c tant sect 2ln -sect 2t sectdt 2-2tsect tdsect 2++⋅==⎰⎰=c )x 1x (2ln 1x x 2arctan +++-+⋅ 4．dx e y x 11x⎰--解： dx y)e -(x dx x)e -(y dx e y x 1yxy1x11x⎰⎰⎰+=--- x1yxy1de y)-(x de x)-(y ⎰⎰+=-dxe y)e -(x dx e x)e -(y 1yx 1x y 1-x 1x⎰⎰-++=-yyyee y y )1(e 2]e y)e -(x []e x)e -(y [y 1x x 1x x +-=-++=-5. 已知dt te c x c x c t ⎰∞-∞→=-+2xx )(lim ，求?=c解：t c c t c de t dt te e xc x cc x c x 222x x x x 21)11()(lim lim ⎰⎰∞-∞-∞→∞→==-+=-+=2c2t 2t e )412c (e [te 21-=-⎰∞-∞-c cdt ，所以2c2ce )412(e-=c 。
数学分析课后习题答案 高教第二版 陈纪修 章
D
D
（2）因为在 D 上成立 x + y ≥ 3 ，所以 ln(x + y) < [ln(x + y)]2 ，于是
∫∫ln(x + y)dxdy < ∫∫[ln(x + y)]2 dxdy 。
D
D
3．用重积分的性质估计下列重积分的值：
(1) ∫∫ xy(x + y)dxdy ，其中 D 为闭矩形[0,1] × [0,1] ；
Ω
Ω
Ω
当 ∫ g(x)dV = 0 ，积分中值定理显然成立。当 ∫ g(x)dV ≠ 0 ，则
Ω
Ω
∫ f (x)g(x)dV
m≤ Ω
≤M，
∫ g(x)dV
Ω
m 所以存在 µ ∈[m, M ]，使得
co ∫ f (x)g(x)dV
. Ω
=µ，
w ∫ g(x)dV
a Ω
d 即
.kh ∫ f (x)g(x)dV = µ ∫ g(x)dV 。
D
(2)
∫∫
D
100
+
dxdy cos2 x +
cos 2
y
，其中 D 为区域 {(x,
y)| | x|+| y|≤
10} ；
1
(3)
∫∫∫ Ω
1
+
dxdxdz x2 + y2 + z2
，其中
Ω
为单位球 {(x, y, z)| x2
+
y2
+
z2
≤ 1} 。
解（1）因为在 D 上成立 0 ≤ xy(x + y) ≤ 2 ，所以
网 ( )( ) ∫∫ ∫ ∫ （2） xy e x2+y2 dxdy = b xe x2 dx d ye y2 dy = 1 eb2 − ea2 ed2 − ec2 。
北京航空航天大学《工科数学分析》考试试题及参考答案(2012-2013第一学期)
f x e
'
e
cos x ln sin x
cos 2 x sin x cos x sin x ln sin x . sin x
dy dy dx cos t t sin t 4）解： . dx cos t t sin t dt dt
m 满足什么条件，函数在 x 0 可导.
2. 证明下面问题（10 分） 设 s 0, x1 0, xn1
1 s x , 证明数列 xn 单调有界，且极限为 s . n 2 x n
1 , 用 Cauchy 收敛定理证明 xn 收敛. 2n
5.
1) 用反证法证明. 假设存在 q a, b , g q 0 . 则根据拉格朗日中值定理
' g a g q g ' x1 a q 0 得到 g x1 0, x1 a, q
g b g q g ' x2 b q 0 得到 g ' x2 0, x2 q , b
7.
(10 分）证明下面问题 设 f x 定义在 a, b 上. 如果对 a, b 内任何收敛的点列 xn 都有 lim f xn 存在, 则
n
f 在 a, b 上一致连续.
8. (10 分）附加题 (下面两个题目任选其一) 1) 设函数 f
n 1 2 n cos x Cn cos 2 x 1 Cn cos n x , x Cn n1
二、第一次考试题目及答案
1. 计算下面各题（满分 40 分，每个题目 5 分） 1) 2) 计算极限 lim
x 0
大一工科数学分析试卷及答案
大一工科数学分析试卷及答案大一工科数学分析试卷考试形式闭卷答题时间：120 （分钟）本卷面成绩占课程成绩80 %一、填空题（每题3分，共30分）1．=+∞→nnnx n 42lim 22．=+-∞→xx x 1)21(lim3．设?>+≤=00)(22x x x x x x f ，则=-)(x f4．摆线??-=-=ty t t x cos 1sin 在2π=t 处的法线方称为5．函数x x f arctan )(=按马克老林公式展开到)(12+n x ο的表达式为： 6．若??x t dt t f dt e 11)(32，则=)(x f7．若?++=c x dx x f 2cos sin )(（其中c 时任意常数），则 =)(x f8．?-=-+112)1cos (dx x x x9．设)100()2)(1()(---=x x x x f ，则=')1(f姓名: 班级：学号：遵守考试纪律注意行为规范10．若-ba xb dxα)(收敛（其中0>α），则α的取值范围是二、试解答下列各题：（每题5分，共50分）1．求极限)2122321(lim 2nn n -+++∞2．已知0)11(lim 2=--++∞→b ax x x x ，求b a ,。
遵守考试纪律注意行为规范3．设1lim )()1()1(2+++=--∞→x n x m n e bax e x x f ，求b a ,使)(x f 可导。
4．求由等式0333=-+xy y x 确定的)(x f y =在0>x 范围内的极限点。
5．设ttte y e x ==-,，求22,dx y d dx dy 。
6．求曲线)1ln()(2++=x x x f 在1=x 时的曲率。
7．计算不定积分?-dx e x11。
8．计算定积分?20xdx x 。
9．设?<+≥+=011011)(x e x xx f x，求-2)1(dx x f 。
最新工科数学分析(下)考试题(带答案)
工科数学分析（下）期末考试模拟试题姓名：___________得分: _________一、填空题（每小题3分，满分18分）1、设()xz y x z y x f ++=2,,，则()z y x f ,,在()1,0,1沿方向→→→→+-=k j i l 22的方向导数为_________.2.,,,-__________.222L L xdy ydx L x y =⎰+设为一条不过原点的光滑闭曲线且原点位于内部其走向为逆时针方向则曲线积分1,()cc x y x y ds +=+=⎰3.设曲线为则曲线积分 ___________4、微分方程2(3xy y)dx 0x dy +-=的通解为___________5、2sin(xy)(y)______________.y yF dx x=⎰的导数为 6、{,01,0x (x),2x e x f x ππππ--≤<≤≤==则其以为周期的傅里叶级数在点处收敛于_____________.二、计算下列各题（每小题6分，满分18分） 1. (1) 求极限lim0→→y x ()xy yx y x sin 11232+-(2) 220)(lim 22y x x y x y +→→2.设f ，g 为连续可微函数，()xy x f u ,=，()xy x g v +=，求xvx u ∂∂⋅∂∂（中间为乘号）.3..222V z x y z V +=设是由所围成的立体,求的体积.三、判断积数收敛性（每小题4分，共8分）1. ∑∞=1!.2n n n nn2.∑∞=-1!2)1(2n n nn四、（本小题8分）求向量场2(23)()(2)x z xz y y z =+-+++A i j k 穿过球面∑：222(3)(1)(2)9x y z -+++-=流向外侧的通量； 五、（本小题7分）2(1sin )cos ,(0,1)(0,1)y y lx e x dy e xdx l x A B +--=-⎰计算其中为半圆到的一段弧。
2021-2022学年工科数学分析期末试题
工科数学分析期末试题题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十十一总分 得分 签名一. 填空题（每小题4分, 共20分）1、极限___________________________。
2、设是由方程确定，则_________________。
3、_______________________________。
4、曲线的斜渐近线方程为_____________________________。
5、设函数在上连续，其二阶导数的图形如右图所示，则曲线在上拐点坐标为:___________________________________________。
22ln(1sin )limcos 1x x t dt x ®+=-ò)(x f y =(2)x y y x e --=1lim [()1]n n f n ®¥-==++òpp -dx x xx x |)|cos 1sin (2223322arctan(1)1x y x x =+-+)(x f ),(+¥-¥)(x f ¢¢)(x f y =),(+¥-¥二、（8分）设。
（1）当时，求； （2）证明当时，恒等于常数，并确定此常数值。
三. (8分) 已知， 求 在上的表达式，并讨论在上的连续性。
22()2arctan arcsin1xf x x x=++0x >()f x ¢1³x ()f x 10()0x x f x x x +<ì=í³î1()()x F x f x dx -=ò[1,1]-()F x [1,1]-四. (8分) (1)求不定积分；(2)求广义积分五、（8分）设曲线方程为。
（1）求曲线在处的切线方程；（2）求曲线在处的曲率。
ò+dx e e x x )1ln(ò¥++1)1(xx dx 1cos r q =+2p q =2p q =六. (8分) 求微分方程满足条件的解。
工科数学分析练习题
2. 设 A ( x 2 yz ) i ( y 2 xz ) j ( z 2 xy ) k ，则 div A
是球面 x 2 y 2 z 2 R 2 的外侧. 11.计算二次积分 dy
1 4 2 y
ln x dx . x2 1
12．求 ( x 2 y 2 )dV ，其中 是由曲面 4 z 2 25( x 2 y 2 ) 及平面 z 5 所围成的闭区域.
. .
x 2 y 2 介于 z 0, z 1 之间的部分，则曲面积分 I ( x 2 y 2 )dS
x 2 y 2 z 2 3x 0 在点 (1,1,1) 处的切线方程是 13. 曲线 2 x 3 y 5 z 4 0
.
14. 球面 z a 2 x 2 y 2 在柱面 x 2 y 2 a x 内部的部分的表面积 A= 15. 函数 u ln( xy z ) 2 yz 2 在点 (1,3,1) 处沿方向 l (1,1,1) 方向的方向导数
a
n 0
n
( x 1) n ， 2 x 0 ，则 a n
7. 已知
( x a y )dx y dy 是某函数的全微分，则常数 a ( x y )2
2
8.设函数 f ( x ) x ,0 x 1 , 而 S ( x )
b
n1
n
sin n x , x . 其中
)
工科数学分析答案 12.2
Dirichlet 判 别 法 ， an cos nx 在 , 2 上 一 致 收 敛 。 同 理 可 证 an sin nx 在
n1
n1
, 2 上一致收敛。
4.
(1)
取 an x 1n ， bn x
1 n x2
，由于
n
1k
k 1
1 ，故
an x
的部分和序列
在 , 上有界。又 bn
Weierstrass 定理，级数 an xn 在 0,1 上一致收敛。 n1
l
和
n ln2 n nn0
1 n2
均收敛，由 Weierstrass 判别法，
n2
ln
1
n
x ln 2
n
在
l,
l
上一致收敛。
2. 当 x 1 时 ， xn 1 x 收 敛 ； 当 0 x 1 时 ， xn 1 x 收 敛 ， 于 是
n1
n1
1n xn 1 x 在0,1上绝对收敛。
n1
n
在 , 上单调递减，所以
0 un x e 2n ,
由于 e 2n 收敛，由 Weierstrass 判别法， x3enx2 在 , 上一致收敛。
n1
n1
(8)
设 un
x
2n
sin
1 3n x
，取
xn
2 3n
0,
，则
un xn 2n ,
即
un x
在
0,
上非一致收敛于
1n n1
x2 1 x2
n 在 , 上一致收敛。
5. 由于 0 enx 1，且 enx 在 0, 上单调，又因为 an 收敛，所以在 0, 上一致 n1
2013-2014年华南理工大学期末考试《工科数学分析》(上)试卷(B)解答
,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《工科数学分析（上）》2012—2013第一学期期末考试试卷（A ）1. 考前请将密封线内填写清楚；所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； ．考试形式：闭卷；本试卷共 5个 大题，满分100分， 考试时间120分钟。
一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 下列说法中哪个不能作为数列{}n x 收敛的等价定义（ ）。
A. 存在常数a ，使得0,0,,n N n N x a εε∀>∃>>-≤当时有；B. 存在常数a ，使得{}()0,,n x a a εεε∀>-+数列中只有有限项落在之外；C. 0,0,,,n N n N x a εε∃>∀>>-≤当时有；D. 0,0,,,n m N n m N x x εε∀>∃>>-<当时有。
2. 设()11arctan ,0(),ln 1,10x e x f x x x -⎧⎪>=⎨⎪+-<≤⎩则()f x 的所有间断点及其类型是( ) 。
A. 1x =是()f x 的无穷间断点, 0x =是()f x 的跳跃间断点； B. 1x =是()f x 的跳跃间断点, 0x =是()f x 的可去间断点；C. 0x =是()f x 的跳跃间断点；D. 0x =是()f x 的可去间断点。
3. 设对任意x ，有(1)(),(0),f x af x f b '+==且其中,a b 为非零常数，则。
A. ()f x 在1x =处不可导； B ． ()f x 在1x =处可导，且(1)f a '=； C ．()f x 在1x =处可导，且(1)f b '=； D. ()f x 在1x =处可导，且(1)f ab '=。
4. 设()f x 二阶可导，且0()(0)0,lim1,x f x f x→'''==则 ( ) 。
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0
n = 2k,
=
2 π
0 −π
f
(x)
sin
nxdx,
n = 2k − 1.
4
ÓnŒ
a2n = 0.
K0.1.4. an, bn´±Ï•2π ŒÈ½ýéŒÈ¼êf Fp“Xê,y²²£ ¼êf (x + h) Fp“Xê´
An = an cos nh + bn sin nh,
Bn = bn cos nh + an sin nh.
bn
=
1 π
π −π
f
(x)
sin
nxdx
=
1 π
0 −π
f (x)
sin
nxdx
+
1 π
0πf (x) sin nxdx
=
1 π
0 −π
f (x)
sin
nxdx
+
1 π
0 −π
f
(t
+
π)
sin
n(t
+
π)dt
=
1 π
ห้องสมุดไป่ตู้
0 −π
f
(x)
cos
nxdx
+
(−1)n+1
1 π
0 −π
f
(t)
sin
ntdt
§0.1 13.1 Fp“?ê Ä Vg
1
§0.1 13.1 Fp“?ê Ä Vg
K0.1.1. y²V4 (Legendre)õ‘ª
´[−1, 1]þ
p0(x) = 1
pn(x)
=
1 2nn!
dn
(x2−1)n dxn
,
n
=
1, 2, · · ·
¼êX.
Proof. V4 õ‘ª´[−1, 1]þ
)
dx
dn−1(x2 − 1)n F (x) = ( dxn−1 )
= (x2 − 1)g(x)
¤±F (1) = F (−1) = 0,
1 −1
dn(x2−1)n dxn
dm
(x2−1)m dxm
dx
=
−
1 −1
dn−1 (x2 −1)n dxn−1
(
dm
(x2−1)m dxm
)
dx
=
−
( 1 d(n−2)(x2−1)n
−1
dx(n−2)
)
( dm+1(x2−1)m
dxm+1
)
dx
=
·
·
·
=
(−1)m
( 1 d(n−m)(x2−1)n
−1
dx(n−m)
)
(
dm+m (x2 −1)m dxm+m
)
dx
=
(−1)m(2m)!
dx 1 d(n−m)(x2−1)n
−1 dx(n−m)
0,
n > m,
=
(−1)n
2
(2n)!! (2n+1)!!
=
1 π
0 −π
f (x)
cos
nxdx
+
1 π
0 −π
f
(t
+
π)
cos
n(t
+
π)dt
=
1 π
0 −π
f
(x)
cos
nxdx
+
(−1)n
1 π
0 −π
f
(t)
cos
ntdt
0
n = 2k − 1,
=
2 π
0 −π
f
(x)
cos
nxdx,
n = 2k.
ÓnŒ
b2n−1 = 0.
(2) é?¿ n > 0,
k=1
=
∞
A0 2
+
(Ak cos kx + Bk sin kx)
k=1
¤±n ¼êTn Fp“?ê´§ .
K0.1.3. f (x)´±Ï•2π ŒÈ¼ê§y²µ(1) XJf 3[π, π]¥÷vf (x + π) = f (x), @of 4|“Xê÷v
a2n−1 = b2n−1 = 0, n ≥ 1.
,
n = m.
2
K0.1.2. y²n õ‘ª
n
Tn(x) = (Ak cos kx + Bk sin kx)
k=0
Fp“?êÒ´§gC.
Proof. Äk£Á˜en ¼êX
5µ
π
= 0, n = m
cos nx cos mxdx
−π
= π, n = m.
π
= 0, n = m
sin nx sin mxdx
¼êX⇔
1
= 0, n = m,
pn(x) · pm(x)dx
−1
= 0, n = m.
1 dn(x2 − 1)n dm(x2 − 1)m
= 0, n = m,
⇔
−1
dxn
dxm
dx = 0, n = m.
e¡b
1
1
whenn = m = 0, p0(x) · p0(x)dx = 1dx = x|1−1 = 2.
k=1
= Am
∀m > n,Ó dn ¼êX
55Υam = 0. =
am =
Am, 0 ≤ m ≤ n 0, m > n.
§0.1 13.1 Fp“?ê Ä Vg
3
bm =
Bm, 1 ≤ m ≤ n 0, m > n.
¤±Tn
Fp“?ê•
∞
a0 2
+
(ak cos kx + bk sin kx)
k=1
= 2A0
ùp^ n ¼êX
5.
éu?¿ n ≥ m ≥ 1,k
am
=
1 π
π −π
Tn
cos
mxdx
=
1 π
π −π
A0 2
cos
mxdx
+
1 π
π −π
n
(Ak cos kx + Bk sin kx) cos mxdx
k=1
=
1 π
π −π
n
(Ak cos kx cos mx + Bk sin kx cos mx)dx
Proof.
An
=
1 π
π −π
f
(x
+
h)
cos
nxdx,
=
1 π
π+h −π+h
f
(t)
cos
n(t
−
h)dx(-t
=
x
+
h)
=
1 π
π+h −π+h
f (t)
cos
nx cos
nhdx
+
1 π
π+h −π+h
f
(t)
sin
nx
sin
nhdt
=
cos
nh
1 π
π −π
f
(t)
cos
nxdx
+
sin
−1
−1
n ≥ m,
1 −1
dn(x2−1)n dxn
dm(x2−1)m dxm
dx
=
−11(
dn−1 (x2 −1)n dxn−1
)
dm
(x2−1)m dxm
dx
=
(
dn−1 (x2 −1)n dxn−1
)
dm
(x2−1)m dxm
|1−1
−
1 −1
dn−1 (x2 −1)n dxn−1
(
dm
(x2−1)m dxm
nh
1 π
π −π
f
(t)
sin
nxdt
= an cos nh + bn sin nh.
Bn
=
1 π
π −π
f
(x
+
h)
sin
nxdx,
=
1 π
π+h −π+h
f
(t)
sin
n(t
−
h)dx(-t
=
x
+
h)
=
1 π
π+h −π+h
f (t)
sin
nx cos
nhdx
−
1 π
π+h −π+h
(2) XJf 3[π, π]¥÷vf (x + π) = −f (x), @of 4|“Xê÷v
a2n = b2n = 0, n ≥ 1.
Proof. (1) é?¿ n > 0,
an
=
1 π
π −π
f
(x)
cos
nxdx
=
1 π
0 −π
f (x)
cos
nxdx
+
1 π
0πf (x) cos nxdx
−π
= π, n = m.
π
cos nx sin mxdx = 0.
−π
Tn(x)´±Ï•2π ¼ê§cos kx, sin kx3«m[−π, π]þŒÈ©§l ¤±Tn(x) Fp“XêŒd½Â¦Ñ.
Tn(x)ŒÈ§
a0
=
1 π
π −π
Tndx
=