波导理论

18.57
15.24
15.19
b = 10.16mm
• BJ-32波导各模式截止波长分布图
• BJ100波导各模式截止波长分布图
TE20
TE10
TE01
TM 11
TE30
TE21 TM 21
λc (cm)
主模：波导中传播的最低模式称为主模，即在导行波截止波 长最大的导行模，也能进行单模传输。 矩形波导的主模为TE10模，该模式具有场结构简单、稳定、频 带宽和损耗小等特点。 1）TE10模的场分布
波导理论
横电磁波（TEM波）：
基 本 场 型
E Z = 0, H Z = 0
横电波（TE波）：
EZ = 0, H Z ≠ 0
横磁波（TM波）：
EZ ≠ 0, H Z = 0
• TEM：横向场满足 • TE：纵向磁场满足
v ∇ ET = 0
2 T
v ∇ HT = 0
2 T
2 ∇T H z + K c2 H z = 0 2 ∇T E z + K c2 E z = 0
1）衰减与波导的材料有关，因此要选择导电率高的非铁磁材料， 使Rs尽量小 2）增大波导高度b能使衰减变小，但当b>a/2时单模工作频带变窄， 故衰减与频带应综合考虑 3）衰减与工作频率有关，给定矩形波导尺寸时，随着频率的提高 先减小，出现极小点，之后稳步上升
选择矩形波导尺寸考虑：
• 波导带宽问题 保证在给定频率范围内电磁波在波导中都能以单一的TE10模传 播，其他高次模都截止，即
• TM：纵向电场满足
以上场分布是在确定的边界条件下、符合麦氏 方程组的基本解 其中：TEM波只存在一种形式，而TE、TM波 有无穷多的形式TEmn、TMmn（m、n不能同时 为零）
混合波：纵向电场和磁场分量均不为零 混合波： 可以表示为TE和TM波的线性组合 如果E波占优， 可以表示为TE和TM波的线性组合，如果E波占优，称为 波的线性组合， EH波，如果H波占优，称为HE波 EH波 如果H波占优，称为HE波
2
λ
cTEmn
= λ cTM =
mn
2π = kcmn
(m a ) + (n b )
2
2
2
= λc
因此，相移常数为
β=
2π
λ
λ 1 − (λ为工作波长，λ = 2π / k ) λ c
2
λ < λc 时，即β2>0，此模可以在波导中传输，称为传导模 λ > λc 时，即β2<0，此模在波导中不能传输，称为截止模
一个模能否在波导中传输取决于波导结构和工作波长； 对相同的m、n，TEmn和TMmn模具有相同的截止波长称为简并模， 它们场分布虽然不同，但具有相同的传输特性
BJ32波导和 波导和BJ100波导不同波型的截止波长 波导和 波导不同波型的截止波长 TE11 TM11
2 1 1 ( )2 + ( )2 a b
λcTE20 < λ < λcTE10 a < λ < 2a ⇒ ⇒b< a/2 2b < λ < 2a λcTE01 < λ < λcTE10
• 波导功率容量问题 b应尽可能大一些，以增加功率容量，使波导不至于发生击穿 波导衰减问题 b应尽可能大一些，以使衰减变小，通过波导后的微波信号功率 不会损失太大
j β mπ mπ nπ Hx = 2 H 0 sin( x ) cos( y ) e j (ω t − β z ) Kc a a b
j β nπ mπ nπ Hy = 2 H 0 cos( x ) sin( y )e j (ω t − β z ) Kc b a b
mπ nπ H z = H 0cos x cos y a b
2 2 K c = K x +K y = (
m,n不能同时为0
mπ 2 nπ 2 ) +( ) a b
mπ 2 nπ 2 ) +( ) ] a b
β = K 2 − K c2 = ω 2 µε − [(
TE 波 的 场 分 量
jωµ nπ mπ nπ Ex = 2 H 0 cos( x ) sin( y ) e j (ω t − β z ) Kc b a b jωµ mπ mπ nπ Ey = − 2 H 0 sin( x ) cos( y )e j (ω t − β z ) Kc a a b Ez = 0
∂ 2 E z 1 ∂E z 1 ∂ 2 E z + + 2 + K c2 E z = 0 ∂r 2 r ∂r r ∂φ 2
利用分离变量法（极坐标） 利用分离变量法（极坐标） 以及Bessel Bessel函数求解 以及Bessel函数求解
圆波导中TM波的场分量可以写为 波的场分量可以写为 圆波导中 cos mφ ( jω t − β z ) jβ ′ Er = − 2 E0 J m ( K c r ) e Kc sin mφ − sin mφ ( jω t − β z ) jβ m Eφ = − 2 E0 J m ( K c r ) e Kc cos mφ cos mφ ( jω t − β z ) E z = E0 J m ( K c r ) e sin mφ − sin mφ ( jω t − β z ) jωε m Hr = E0 J m ( K c r ) e 2 Kc cos mφ cos mφ ( jω t − β z ) jωε ′ Hφ = − E0 J m ( K c r ) e Kc sin mφ Hz = 0
场 分 量
ωµa π π H10 sin( x) cos(ωt − βz − ) π a 2 βa π π Hx = H10 sin( x) cos(ωt − β z + ) a 2 π π H z = H10 cos( x) cos(ωt − β z )
Ey = a Ex = Ez = H y = 0
矩形波导
• 由金属材料制成、矩形截面的、内充空气的规则金属波导 • 矩形波导中的场 不可能存在TEM波，但可单独传播TE波、TM波，主 要用于厘米波段，也可用于毫米波段。
一、传输波形及场分量
1.TE波： 1.TE
EZ = 0, H Z ≠ 0
∂2HZ ∂2H Z 2 + + kC H Z = 0 2 2 ∂x ∂y
•
a = 0.7λ 矩形波导尺寸一般选为： （ b = 0.4 ~ 0.5）a
脊形波导（矩形波导的变形）
• 单脊波导 特点： 与相同尺寸的矩形波导相比，其TE10模 的截止频率低得多；高次模的截止频率又比 矩形波导高 脊形波导以主模TE10模单模 传输的频带变宽 缺点：衰减比矩形波导大，功率容量比矩形 波导小
2.TM波：
2
EZ ≠ 0, H Z = 0
∂ EZ ∂ EZ 2 + + kC EZ = 0 ∂x2 ∂y 2
2
TM波场分量： 波场分量： 波场分量
j β mπ mπ nπ Ex = − 2 E0 cos( x ) sin( y )e j ( ω t − β z ) Kc a a b j β nπ mπ nπ Ey = − 2 E0 sin( x ) cos( y ) e j (ω t − β z ) Kc b a b
cos mφ ( jω t − β z ) jβ ′ Hr = − H0Jm (Kcr) e Kc sin mφ − sin mφ ( jω t − β z ) jβ m Hφ = − 2 H 0 J m ( K c r ) e Kc r cos mφ
Ez = 0
mπ nπ E z = E0cos x cos y a b
jωε nπ mπ nπ Hx = 2 E0 sin( x ) cos( y )e j ( ω t − β z ) Kc b a b jωβ mπ mπ nπ Hy = − 2 E0 cos( x )sin( y )e j (ω t − β z ) Kc a a b
Hz = 0
2 2 K c = K x +K y = (
mπ 2 nπ 2 ) +( ) a b
β = K 2 − K c2 = ω 2 µε − [(
m、n均不为零
mπ 2 nπ 2 ) +( ) ] a b
二、传输特性
截止频率、截止波长 TM波、TE波的截止频率均为 截止波长为
mπ 2 nπ 2 k cmn = ( a ) + ( b )
cos mφ ( jω t − β z ) H z = H0Jm (Kcr) e sin mφ β = ω 2εµ − K c2 函数的导数 ′ J m 为Bessel函数的导数
′ K c = χ mn a
传输特性
1）截止波长 分析知，圆波导TEmn模、TMmn模的截止波数分别为
umn K CTEmn = a vmn K CTM mn = a
式中，vmn和mn分别为m阶贝塞尔函数及其一阶导数的第n个根。 各模式的截止波长分别为
λTE =
mn
2π 2πa = K CTEmn umn 2π K CTM mn 2πa = vmn
λTM =
mn
在所有的模式中，TE11模截止波长最长，其次为TM01模，三种典型的 截止波长分别为
2
Z TE10 =
• 相速&群速
vp =
ω v = 2 β 1 − (λ / 2a )
dω 2 vg = = v 1 − (λ / 2a ) dβ
2 br
• 传输功率
PTE10
abE λ 2 = 1− ( ) 480π 2a
λ
) 2 MW
Ebr为击穿电场幅值，假设空气中的击穿场强是30KV/cm，则空气中的 功率容量为
边界条件：
∂H Z = 0(x = 0, x = a ) ∂x ∂H Z = 0( y = 0, y = b) ∂y
x = a, y = b面上的边界条件： mπ nπ kx = , ky = (m, n = 0,1,2 L) a b
解得：
mπ nπ H z = H 0 cos x cos y a b
• 双脊波导
圆波导
• 若将同轴线的内导体抽走，则在 一定条件下，由外导体所包围的 圆形空间也能传输电磁能量，这 就是圆波导 • 圆波导具有加工方便、双极化、 低损耗等优点，广泛应用于远距 离通信、双极化馈线以及微波圆 形谐振器等，是一种较为常用的 规则金属波导。
圆波导中的场
• 只能传输TE波或TM波 在圆波导中，TMm0不存在，但存在TM0n、TE0n， 其中n=0表示第0个根、m=0表示圆周方向不变化 1）TM波
Pbr 0来自百度文库= 0.6ab 1 − (
2a
当负载不匹配时，由于形成驻波，电场振幅变大，因此功率容量变小。
•
衰减特性
αc =
120πb 1 − (λ / 2a )
8.686 Rs
2
2b λ 2 1 + (dB / m) a 2a
式中，Rs = πfµ / σ 为导体表面电阻
波型 公式
TE10 TE20
2a
TE01
2b
TE30
2 a 3
48.09
TE21 TM21
2 2 1 ( )2 + ( )2 a b
a
λc
BJ-32
a = 72.14mm b = 34.04mm
142.28
72.4
68.08
61.57
49.51
BJ-100
a = 22.86mm
45.72
22.86
10.32
矩形波导TE10模的场分布图
2)TE10模的传输特性 •截止波数&截止波长&相移常数
kc = π / a
β=
2π
λcTE = 2π / kc = 2a
10
λ
λ 1− 2a
2
•波导波长&波阻抗
λg =
2π
β
=
λ
1 − (λ / 2a )
120π 1 − (λ / 2a )
2
′ J m 为Bessel函数的导数 函数的导数
β = ω 2εµ − K c2
K c = χ mn a
2）TE波 ） 波 圆波导中TE波的场分量可以写为 圆波导中 波的场分量可以写为 − sin mφ ( jω t − β z ) jωµ m Er = − H0Jm (Kcr) e 2 Kc r cos mφ cos mφ ( jω t − β z ) jωµ ′ Eφ = H0Jm (Kcr) e Kc sin mφ