高考数学专题练习：不等式与线性规划

高考数学专题练习：不等式与线性规划1.若不等式(－2)n a －3n －1－(－2)n ＜0对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，43 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，74 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，74 答案 D解析 当n 为奇数时,要满足2n (1－a )＜3n －1恒成立, 即1－a ＜13×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n 恒成立,只需1－a ＜13×⎝ ⎛⎭⎪⎫321,解得a ＞12； 当n 为偶数时,要满足2n (a －1)＜3n －1恒成立, 即a －1＜13×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n 恒成立,只需a －1＜13×⎝ ⎛⎭⎪⎫322,解得a ＜74. 综上,12＜a ＜74,故选D.2.已知a >0,b ＞0,且a ≠1,b ≠1,若log a b ＞1,则( ) A.(a －1)(b －1)＜0 B.(a －1)(a －b )＞0 C.(b －1)(b －a )＜0 D.(b －1)(b －a )＞0 答案 D解析 取a ＝2,b ＝4,则(a －1)(b －1)＝3＞0,排除A ；则(a －1)(a －b )＝－2＜0,排除B ；(b －1)(b －a )＝6＞0,排除C,故选D.3.设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A.(－3,1)∪(3,＋∞)B.(－3,1)∪(2,＋∞)C.(－1,1)∪(3,＋∞)D.(－∞,－3)∪(1,3) 答案 A解析 f (1)＝3.由题意得⎩⎨⎧ x ≥0，x 2－4x ＋6>3或⎩⎨⎧x <0，x ＋6>3，解得－3<x <1或x >3.4. 若a ,b ,c 为实数,则下列命题为真命题的是( ) A.若a ＞b ,则ac 2>bc 2 B.若a ＜b ＜0,则a 2＞ab ＞b 2C.若a ＜b ＜0,则1a ＜1b D.若a ＜b ＜0,则b a ＞ab 答案 B解析 B 中,∵a ＜b ＜0, ∴a 2－ab ＝a (a －b )＞0, ab －b 2＝b (a －b )＞0. 故a 2＞ab ＞b 2,B 正确.5.为了竖一块广告牌,要制造三角形支架,如图,要求∠ACB ＝60°,BC 的长度大于1米,且AC 比AB 长0.5米,为了稳固广告牌,要求AC 越短越好,则AC 最短为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1＋32米B.2米C.(1＋3)米D.(2＋3)米答案 D6.已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1,平面区域Ω：⎩⎨⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω,且圆C 与x 轴相切,则a 2＋b 2的最大值为( )9．已知a ,b ∈(0,＋∞),且a ＋b ＋1a ＋1b ＝5,则a ＋b 的取值范围是( ) A ．[1,4] B ．[2,＋∞) C ．(2,4) D ．(4,＋∞)解析：因为a＋b＋1a＋1b＝(a＋b)(1＋1ab)＝5,又a,b∈(0,＋∞),所以a＋b＝51＋1ab≤51＋⎝⎛⎭⎪⎫2a＋b2,当且仅当a＝b时,等号成立,即(a＋b)2－5(a＋b)＋4≤0,解得1≤a＋b≤4,故选A.答案：A10．若x,y满足约束条件⎩⎨⎧x－y＋2≥0，y＋2≥0，x＋y＋2≥0，则(x＋2)2＋(y＋3)2的最小值为()A．1 B.92C．5 D．9解析：可行域为如图所示的阴影部分,由题意可知点P(－2,－3)到直线x＋y＋2＝0的距离为|－2－3＋2|2＝32,所以(x＋2)2＋(y＋3)2的最小值为⎝⎛⎭⎪⎫322＝92,故选B.答案：B11．已知变量x,y满足约束条件⎩⎨⎧x＋y－3≥0，2x－y－9≤0，y≤2，若使z＝ax＋y取得最小值的最优解有无穷多个,则实数a的取值集合是()A．{－2,0} B．{1,－2}C．{0,1} D．{－2,0,1}解析：作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示．由z ＝ax ＋y 得y ＝－ax ＋z .若a ＝0,则直线y ＝－ax ＋z ＝z ,此时z 取得最小值的最优解只有一个,不满足题意；若－a >0,则直线y ＝－ax ＋z 在y 轴上的截距取得最小值时,z 取得最小值,此时当直线y ＝－ax 与直线2x －y －9＝0平行时满足题意,此时－a ＝2,解得a ＝－2；若－a <0,则直线y ＝－ax ＋z 在y 轴上的截距取得最小值时,z 取得最小值,此时当直线y ＝－ax 与直线x ＋y －3＝0平行时满足题意,此时－a ＝－1,解得a ＝1. 综上可知,a ＝－2或a ＝1.故选B. 答案：B12．若不等式组⎩⎨⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －1＋a ≤0的解集不是空集,则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞,－4]B ．[－4,＋∞)C ．[－4,20]D ．[－40,20)13．已知实数x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≥0x －y ≥02x －y －2≥0,则z ＝y －1x ＋1的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1 解析：由题知可行域如图阴影部分所示,∴z ＝y －1x ＋1的取值范围为[k MA,1),即⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1.答案：D14．已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x >－1),当x ＝a 时,y 取得最小值b ,则a ＋b 等于( ) A ．－3 B ．2 C ．3D ．8解析：y ＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5,因为x >－1,所以x ＋1>0,9x ＋1>0.所以由基本不等式,得y ＝x ＋1＋9x ＋1－5≥2x ＋1·9x ＋1－5＝1,当且仅当x ＋1＝9x ＋1,即(x ＋1)2＝9,即x ＋1＝3,x ＝2时取等号,所以a ＝2,b ＝1,a ＋b ＝3. 答案：C15．若x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥1x －y ≥－12x －y ≤2,且目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值,则a 的取值范围是( ) A ．[－4,2] B ．(－4,2) C ．[－4,1] D ．(－4,1)解析：作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示,直线z ＝ax ＋2y 的斜率为k ＝－a2,从图中可看出,当－1<－a2<2,即－4<a <2时,仅在点(1,0)处取得最小值．故选B.答案：B16．若关于x 的不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解,则实数a 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1 C ．(1,＋∞)D ．(－∞,－1)解析：x 2＋ax －2>0,即ax >2－x 2. ∵x ∈[1,5],∴a >2x －x 成立．∴a >⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x min .又函数f (x )＝2x －x 在[1,5]上是减函数,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x min ＝25－5＝－235,∴a >－235.故选A. 答案：A17．设x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0y ≥x4x ＋3y ≤12,则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是( ) A ．[1,5] B ．[2,6] C ．[2,10] D ．[3,11]解析：设z ＝x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2y ＋1x ＋1＝1＋2·y ＋1x ＋1,设z ′＝y ＋1x ＋1,则z ′的几何意义为动点P (x ,y )到定点D (－1,－1)的斜率．画出可行域如图阴影部分所示,则易得z ′∈[k DA ,k DB ],易得z ′∈[1,5],∴z ＝1＋2·z ′∈[3,11]．答案：D18．已知函数f (x )＝4x －14x ＋1,若x 1>0,x 2>0,且f (x 1)＋f (x 2)＝1,则f (x 1＋x 2)的最小值为( )A ．14B ．45C ．2D ．4解析：由题意得f (x )＝4x －14x ＋1＝1－24x ＋1,由f (x 1)＋f (x 2)＝1得2－241x ＋1－242x ＋1＝1,化简得412x x ＋－3＝41x ＋42x ≥2×212x x ＋,解得2x 1＋x 2≥3,所以f (x 1＋x 2)＝1－2412x x ＋＋1≥1－232＋1＝45.故选B. 答案：B19．已知a ,b 都是正实数,且2a ＋b ＝1,则1a ＋2b 的最小值是________． 解析：1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋4a b ＋ba ≥4＋24a b ×b a ＝8,当且仅当4a b ＝b a ,即a ＝14,b ＝12时,“＝”成立,故1a ＋2b 的最小值是8. 答案：820．对于实数x ,当且仅当n ≤x <n ＋1,n ∈N *时,[x ]＝n ,则关于x 的不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0的解集是________．解析：由4[x ]2－36[x ]＋45<0得32<[x ]<152,又当且仅当n ≤x <n ＋1,n ∈N *时,[x ]＝n ,所以所求解集是[2,8)． 答案：[2,8)21．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋ax ，x ≥0bx 2－3x ，x <0为奇函数,则不等式f (x )<4的解集为________．解析：因为f (x )为奇函数,所以f (－x )＝－f (x ),可得a ＝－3,b ＝－1,所以f (x )＝⎩⎨⎧x 2－3x ，x ≥0－x 2－3x ，x <0.当x ≥0时,由x 2－3x <4解得0≤x <4；当x <0时,由－x 2－3x <4解得x <0,所以不等式f (x )<4的解集为(－∞,4)． 答案：(－∞,4)22．设不等式组⎩⎨⎧x ≥0x ＋2y ≥42x ＋y ≤4所表示的平面区域为D ,则可行域D 的面积为________．解析：如图,画出可行域．易得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43,B (0,2),C (0,4),∴可行域D 的面积为12×2×43＝43.答案：4 323.已知函数f(x)＝2xx2＋6.(1)若f(x)＞k的解集为{x|x＜－3,或x＞－2},求k的值；(2)对任意x＞0,f(x)≤t恒成立,求t的取值范围.24.如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－120(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它？请说明理由.解(1)令y＝0,得kx－120(1＋k2)x2＝0,由实际意义和题设条件知x＞0,k＞0,故x＝20k1＋k2＝20k＋1k≤202＝10,当且仅当k＝1时取等号.所以炮的最大射程为10千米.(2)因为a＞0,所以炮弹可击中目标存在k＞0,使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0 a ≤6. 所以当a 不超过6千米时,可击中目标.25.已知函数f (x )＝13ax 3－bx 2＋(2－b )x ＋1在x ＝x 1处取得极大值,在x ＝x 2处取得极小值,且0＜x 1＜1＜x 2＜2. (1)证明：a ＞0；(2)若z ＝a ＋2b ,求z 的取值范围. (1)证明 求函数f (x )的导数 f ′(x )＝ax 2－2bx ＋2－b .由函数f (x )在x ＝x 1处取得极大值, 在x ＝x 2处取得极小值, 知x 1、x 2是f ′(x )＝0的两个根, 所以f ′(x )＝a (x －x 1)(x －x 2). 当x ＜x 1时,f (x )为增函数,f ′(x )＞0, 由x －x 1＜0,x －x 2＜0得a ＞0.(2)解在题设下,0＜x 1＜1＜x 2＜2等价于⎩⎨⎧f ′（0）＞0，f ′（1）＜0，f ′（2）＞0，即⎩⎨⎧2－b ＞0，a －2b ＋2－b ＜0，4a －4b ＋2－b ＞0，化简得⎩⎨⎧2－b ＞0，a －3b ＋2＜0，4a －5b ＋2＞0.此不等式组表示的区域为平面aOb 上的三条直线：2－b ＝0,a －3b ＋2＝0,4a －5b ＋2＝0所围成的△ABC 的内部,其三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫47，67,B (2,2),C (4,2).z 在这三点的值依次为167,6,8. 所以z 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫167，8.26．已知关于x 的不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1＜0对任意实数x 恒成立,求实数a 的取值范围．27．已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称,且f (x )＝x 2＋2x . (1)求函数g (x )的解析式； (2)解不等式g (x )≥f (x )－|x －1|.解析：(1)设函数y ＝f (x )的图象上任意一点Q (x 0,y 0)关于原点的对称点为P (x ,y ),∵点Q (x 0,y 0)在函数y ＝f (x )的图象上,∴－y ＝x 2－2x ,即y ＝－x 2＋2x ,故g (x )＝－x 2＋2x . (2)由g (x )≥f (x )－|x －1|,可得2x 2－|x －1|≤0. 当x ≥1时,2x 2－x ＋1≤0,此时不等式无解．当x ＜1时,2x 2＋x －1≤0,解得－1≤x ≤12.因此原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12.28．若对一切x ＞2均有不等式x 2－2x －8≥(m ＋2)x －m －15成立,求实数m 的取值范围． 解析：由x 2－2x －8≥(m ＋2)x －m －15, 得x 2－4x ＋7≥m (x －1),∴对一切x ＞2均有不等式x 2－4x ＋7x －1≥m 成立． ∴m 应小于或等于f (x )＝x 2－4x ＋7x －1(x ＞2)的最小值． 又f (x )＝x 2－4x ＋7x －1＝(x －1)＋4x －1－2≥ 2（x －1）·4x －1－2＝2, 当且仅当x －1＝4x －1,即x ＝3时等号成立． ∴f (x )min ＝f (3)＝2.故m 的取值范围为(－∞,2]．29．某居民小区要建造一座八边形的休闲小区,它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的,是面积为200平方米的十字形地带．计划在正方MNPQ 上建一座花坛,造价是每平方米4 200元,在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺上花岗岩地坪,造价是每平方米210元,再在四个空角上铺上草坪,造价是每平方米80元．(1)设总造价是S 元,AD 长为x 米,试建立S 关于x 的函数关系式；(2)当x 为何值时,S 最小？并求出最小值．解析：(1)设AM ＝y ,则x 2＋4xy ＝200.∴y ＝50x －x 4.∴S ＝4 200x 2＋210×4×xy ＋80×4×12y 2＝4 000x 2＋4×105×1x 2＋38 000(x ＞0)．(2)S ＝4 000x 2＋4×105×1x 2＋38 000≥ 2 4 000x 2×400 000x 2＋38 000＝118 000,当且仅当x ＝10时等号成立,即x ＝10米时,S 有最小值118 000元．30．在平面直角坐标系中,不等式组⎩⎨⎧ x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤r 2，(r 为常数)表示的平面区域的面积为π,若x ,y 满足上述约束条件,则z ＝x ＋y ＋1x ＋3的最小值为________． 解析：作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,由题意,知14πr 2＝π,解得r ＝2.z ＝x ＋y ＋1x ＋3＝1＋y －2x ＋3,表示可行域内的点与点P (－3,2)连线的斜率加上1,由图知当可行域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3),即kx －y ＋3k ＋2＝0,则有|3k ＋2|k 2＋1＝2,解得k ＝－125或k ＝0(舍去),所以z min ＝1－125＝－75.答案：－7531.不等式组⎩⎨⎧ x ＋y －1≥0，x －y －1≤0，y ≤m ，m >1所表示的平面区域的面积为S ,则当不等式S ＋3m －1≥a 恒成立时,实数a 的取值范围是______________.答案 (－∞,6]。