专题02 常用逻辑用语(解析版)

专题02 常用逻辑用语

考点5 命题及其关系

1．（2020新课标III 理16）关于函数()1sin sin f x x x

=+． ①()f x 的图像关于y 轴对称；②()f x 的图像关于原点对称；

③()f x 的图像关于2

x π=对称；④()f x 的最小值为2． 其中所有真命题的序号是 ．

【答案】②③

【解析】

【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取0x π-<<可判断命题④的正误．综合可得出结论． 【详解】对于命题①，152622f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

， ∴函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；

对于命题②，函数()f x 的定义域为{}

,x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称， ()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭

， ∴函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确； 对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭

， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭

，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴函数()f x 的图象关于直线2x π

=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则

()1sin 02sin f x x x

=+<<，命题④错误，故答案为：②③． 2.（2017新课标Ⅰ）设有下面四个命题

1p ：若复数z 满足1z

∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；

3p ：若复数1z ，2z 满足12z z ∈R ，则12z z =；

4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R ．

其中的真命题为

A ．1p ，3p

B ．1p ，4p

C ．2p ，3p

D ．2p ，4p

【答案】B 【解析】设i z a b =+（,a b ∈R ），则

2211i (i)a b z a b a b -==∈++R ，得0b =，所以z ∈R ，1p 正确；2222(i)2i z a b a b ab =+=-+∈R ，则0ab =，即0a =或0b =，不能确定z ∈R ，2p 不正确；若z ∈R ，则0b =，此时i z a b a =-=∈R ，4p 正确．选B ．

3.（2011新课标）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题

12:||1[0,)3p πθ+>⇔∈a b 2:p ||1+>a b ⇔2(,]3

πθπ∈ 3:||1[0,

)3p πθ->⇔∈a b 4:p ||1->a b ⇔(,]3π

θπ∈ 其中真命题是 A ．14,p p B ．13,p p C ．23,p p D ．24,p p

【答案】A 【解析】由得， ， 。由得 ．选A ． 4.（2012新课标，理3）下面是关于复数z =21i

-+的四个命题：1p ：|z |=2；2p ：22z i =；3p ：z 的共轭复数为1i +；4p ：z 的虚部为－1；其中真命题为

A .2p ,3p

B .1p ,2p

C .2p ,4p

D .3p ,4p

【答案】C.【解析】∵z =21i

-+=1i --,∴|z

，22z i =，z 的共轭复数为1i -+，虚部为－1，故2p ，4p 是真命题，故选C.

5.（2014陕西）原命题为“若12

n n n a a a ++<，n N +∈，则{}n a 为递减数列”

，关于逆命题，否命题，逆否命1a b +==>1cos 2

θ>-20,3πθ⎡⎫⇒∈⎪⎢⎣

⎭

1a b -==>1cos 2θ<,3πθπ⎛⎤⇒∈ ⎥⎝⎦

题真假性的判断依次如下，正确的是

A ．真，真，真

B ．假，假，真

C ．真，真，假

D ．假，假，假

【答案】A 【解析】 从原命题的真假人手，由于12

n n n a a a ++<{}1n n n a a a +⇔<⇔为递减数列，即原命题和否命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A ．

6.（2014江西）下列叙述中正确的是

A ．若,,a b c R ∈，则2"0"ax bx c ++≥的充分条件是2"40"b ac -≤

B ．若,,a b c R ∈，则22""ab cb >的充要条件是""a c >

C ．命题“对任意x R ∈，有20x ≥”的否定是“存在x R ∈，有20x ≥”

D ．l 是一条直线，,αβ是两个不同的平面，若,l l αβ⊥⊥，则//αβ

【答案】D 【解析】 2"40"b ac -≤推不出2"0"ax bx c ++≥，因为与a 的符号不确定，所以A 不正确；当20b =时，由""a c >推不出22""ab cb >，所以B 不正确；“对任意x R ∈，有20x ≥”的否定是“存在x R ∈，有0x <”，所以C 不正确．选D ．

7.（2013陕西文）设z 是复数, 则下列命题中的假命题是

A ．若, 则z 是实数

B ．若, 则z 是虚数

C ．若z 是虚数, 则

D ．若z 是纯虚数, 则

【答案】C 【解析】．

对选项A: ,所以为真．

对选项B: ,所以为真．

对选项C: ,所以为假．

对选项D: ,所以为真．所以选C ． 8.（2012湖南）命题“若4πα=

，则tan 1α=”的逆否命题是 A ．若4π

α≠，则tan 1α≠ B ．若4π

α=，则tan 1α≠

C ．若tan 1α≠，则4π

α≠ D ．若tan 1α≠，则4π

α=

【答案】C 【解析】因为“若，则”的逆否命题为“若p ⌝，则q ⌝”，所以 “若4π

α=，则tan 1α=”的逆

否命题是 “若tan 1α≠，则4π

α≠”．

9.（2012福建）下列命题中，真命题是

20z ≥20z <20z ≥20z

22+-=⇒∈+=设为实数则若z b z ⇒=≥0,02为实数z 为纯虚数且则若z b a z ⇒≠=<0,0,02为纯虚数z 00,0,2<⇒≠=z b a z 且则为纯虚数若02≥z 00,0,2<⇒≠=z b a z 且则为纯虚数若02